v. puissance d`une force constante

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Chapitre 1
TRAVAIL ET PUISSANCE D’UNE FORCE CONSTANTE
I. RAPPELS
I.1. Notion de produit scalaire
Soient
⃗
u
et
⃗
v
deux vecteurs. On appelle produit scalaire de
⃗
u
par
⃗
v
le
produit p défini par :
p=
⃗
u
.
⃗
v
= u v
cos(⃗ u,⃗ v)
= u.v cos
α
Remarque : p est une grandeur algébrique. Son signe dépend de cos
.
I.2. Force constante
Une force est une grandeur vectorielle. Elle est dite constante, lorsqu’elle
garde sa direction, son sens et sa norme constants au cours du temps.
II. TRAVAIL D’UNE FORCE CONSTANTE

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II.1. Définition du travail
Le travail d’une force est égal au produit scalaire du vecteur force par le
vecteur déplacement de son point d’application.
II.2. Expression du travail : Cas d’un déplacement rectiligne
Soit une force qui déplace son point d’application de A vers B sur droite.
Le travail de la force
F
est défini par :
W(
⃗
F)
=
⃗
F
.
⃗
AB
W(
⃗
F)
= F . AB . Cos(
⃗
F
,
⃗
AB
) = F . AB . Cos(
α
)
Remarque : Le travail est une grandeur algébrique
- Si
Si −90< α< 90°, cosα>0, W(
⃗
F)>0
: le travail est dit moteur.
- Si
AB
90 180°, cos < 0 W(F) < 0
: le travail est dit résistant.
- Si
AB
90 180°, cos < 0 W(F) < 0
: le travail est nul.
II.3. Expression du travail : cas d’un déplacement quelconque
F
A
B

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Notion de travail élémentaire
F
Supposons que le point d’application se
déplace de A vers B sur une trajectoire
curviligne.
Considérons un déplacement infiniment petit
⃗
δl
appelé déplacement
élémentaire.
La quantité définie par :
δW(
⃗
F)=
⃗
F
⃗
δl
est appelé travail élémentaire.
Expression du travail total
Sur le trajet AB, le travail total effectué par la force
⃗
F
est égal à la somme des
travaux élémentaires.
WAB(
⃗
F)=∑(δW(
⃗
F))= ∑(
⃗
F
⃗
δl)
WAB(
⃗
F)=∑(δW(
⃗
F))= ∑(
⃗
F
⃗
δl)=
⃗
F∑(
⃗
δl)=
⃗
F
⃗
AB
Le travail d’une force constante ne dépend pas du chemin suivi mais des
positions initiale et finale de son point d’application.
III. Application: Travail du poids
Le poids est une force constante verticale. Son travail pour un déplacement
quelconque de A vers B est :
WAB(
⃗
P)=
⃗
P
⃗
AB
A
B
l
ZA
ZB
h = ZA - ZB
A
B
i
k
Z

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Dans le plan vertical contenant les ponts A et B, considérons le repère
(O, i, k)
.
On a :
⃗
P
(0, -P) ; A(XA, ZA) ; B(XB, ZB) et
⃗
AB
(XB – XA, ZB – ZA)
Le travail du poids devient :
WAB(
⃗
P)
= 0( XB – XA) -P( ZB – ZA) = -P( ZB – ZA)
Remarques :
- Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi mais de la
dénivellation.
- Le travail du poids est une grandeur algébrique
. Si le corps descend, ZB < ZA
WAB(
⃗
P)
= -P( ZB – ZA) > 0, le travail est moteur
. Si le corps monte, ZB > ZA
WAB(
⃗
P)
= -P( ZB – ZA) < 0, le travail est résistant

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IV. TRAVAIL DE LA TENSION D’UN RESSORT
Tension d’un ressort Soit le dispositif ci-dessous :
A l’extrémité libre du ressort, on exerce une force
⃗
F
le ressort réagit par une
force de rappel appelée tension
⃗
T
.
A l’équilibre,
⃗
F+
⃗
T=
⃗
0
avec
⃗
T=−kx
⃗
i
Calcul du travail de
⃗
T
Le travail élémentaire pour un déplacement élémentaire est :
δWCD (
⃗
F)=
⃗
F
⃗
δl
δWCD(
⃗
F)= kx
⃗
iδx
⃗
i=kxδx
⃗
i
⃗
i=kxδx
: aire du trapèze CDFE
F
T
i
X
X’
X
F
O
G
M
i
E
F
C
D
δl = δx
δx