Chapitre 2 : Angles

Chapitre 4 : Angles- Parallélogramme
I Angles
1 - Vocabulaire des angles
a) Angle, sommet, côté
x
A
o
B
y
Les demi-droites [ox) et [oy) sont les côtés de l’angle xôy. O est le sommet de l’angle xôy.
L’angle xôy peut aussi se noter : AôB.
Les notations xôy et yôx désignent le même angle.
b) Angle droit, angle plat
Un angle est droit lorsque ses côtés sont perpendiculaires. Sa mesure est 90 °.
y
o
x
xôy = 90°
Un angle est plat lorsque ses côtés sont le prolongement l’un de l’autre. Sa mesure
est180°
y
o
x
xôy = 180°
c) Angle aigu, angle obtus
Un angle aigu est un angle dont la mesure est inférieure à 90°.
Un angle obtus est un angle dont la mesure est comprise entre 90° et 180°.
Angle obtus
Angle aigu
d) Angles opposés par le sommet
Deux angles sont dits opposés par le sommet lorsque leurs côtés sont dans le
prolongement l’un de l’autre.
y’
x
o
angles opposés par le sommet
x’
y
e) Angles complémentaires, angles supplémentaires
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.
x
60°
o
30°
y
z
Les angles xôy et yôz sont complémentaires. ( 60° + 30° = 90°)
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°
z
160°
x
20°
o
y
Les angles xôz et zôy sont supplémentaires. (20 ° + 160 ° = 180 °)
f) Angles adjacents
On dit que des angles sont adjacents lorsque les trois conditions suivantes sont
vérifiées :
- ils ont le même sommet
- ils ont un côté commun
- ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
z
y
x
O
Les angles xôy et yôz sont adjacents
2 Angles alternes-internes et angles correspondants
Deux droites coupées par une sécante forment deux paires d’angles alternes-internes et quatre
paires d’angles correspondants.
d1
d
d
a
b
c
a
d2
b’
a’
d1
b
d
c’ a’
d’
a et a’ sont des angles alternes-internes.
b et b’ sont des angles alternes-internes.
d2
b’
a et a’ sont des angles correspondants
b et b’ sont des angles correspondants
cet c’ sont des angles correspondants
d et d’ sont des angles correspondants
Remarque
Les angles alternes-internes sont situés de part et d’autre de la sécante d et entre les droites d1
et d2.
Les angles correspondants sont situés du même côté de la sécante, l’un entre d1 et d2, l’autre
non.
II Angles et parallélisme
1 Angles alternes-internes
Théorème 1
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes
d’une même paire sont égaux.
d
d1
a
d2
Hypothèse : d1 //d2
a’
Conclusion : â = b : les angles alternes-internes â et b sont égaux
Théorème 2
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant une paire d’angles alternes-internes
égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
d
d1
a
d2
b
Hypothèse : â = b
Conclusion : d1 // d2
2 Angles correspondants
Théorème 3
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants d’une
même paire sont égaux.
d a
d1
.
d2
b
Hypothèse : d1 //d2
Conclusion : â = b : les angles correspondants â et b sont égaux
Théorème 4
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant une paire d’angles correspondants
égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
d
d1
a
d2
Hypothèse : â = b
b
Conclusion : d1 // d2
III Le parallélogramme
1 Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
2 Propriétés du parallélogramme
Propriété 1
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors le point d’intersection de ses diagonales est
centre de symétrie.
o
Propriété 2
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont même milieu.
Propriété 3
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles et ont la
même longueur.
A
B
D
C
(AB)//(DC)
(AD)//(BC)
Propriété 4
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés sont égaux ; ses angles
consécutifs sont supplémentaires.
A a
D
b
â + b = 180°
b
C
a
B
3 Caractérisation d’un parallélogramme
Théorème 5
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles, alors ce quadrilatère est un
parallélogramme.
A
B
D
C
Hypothèses : (AB) // (CD)
(AD) // (BC)
Conclusion : ABCD est un parallélogramme
Théorème 6
Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un
parallélogramme.
A
B
o
D
C
Hypothèses :
O milieu de [AC]
O milieu de [BD]
Conclusion : ABCD est un parallélogramme.
Théorème 7
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un
parallélogramme.
A
B
D
Hypothèses : AB = DC
AD = BC
Conclusion : ABCD est un parallélogramme.
C