Mathématiques supérieures

Théorie
5
Cours 1. Mécanique classique. Lois de conservation en mécanique
classique.
La mécanique classique décrit les phénomènes de la nature, dans lesquels la
masse du corps reste constante.
La relation fondamentale de la mécanique classique est la deuxième lois de
Newton, autrement appellée – l’équation principale de la dynamique.
Nous allons formuler cette loi. Voila sa formulation (son énoncé):
La somme des forces appliquées au solide est égale au produit de la masse
du solude par l’accélération qu’il subit.
Soit :
amF
-c’est une forme générale vectorielle.
Si une direction est choisie, on utilise une forme algébrique:
m
F
a
.
Sa formulation:
L’accélération d’un corps est directement proportionelle à la force, exécutante
et inversement proportionnelle à la masse du corps.
Définition. La quantité de mouvement d’un point matériel (Point matériel –
c’est un corps solide, dont les dimensions linéaires sont petites par rapport à
la distance parcourue par ce corps) de masse m et de vitesse est la
grandeur vectorielle
mp 
.
La dimension en unités de SI (Système international) est suivante
1
 smkgp
.
Nous allons toujours désigner la dimension d’une grandeur entre les crochets.
On utilise SI par convention dans le monde scientifique contemporain.
Définition. L’impulsion est la différence des quantités de mouvement après le
choc et avant le choc
12 ppI 
1
 smkgpI
Si le choc a duré un temps
t
, la force moyenne
m
F
de l’impulsion a pour
valeur:
t
I
Fm
.
Conservation de la quantité de mouvement – c’est la prémière loi de
conservation en mécanique classique. Sa formulation:
Au cours d’un choc, la somme vectorielle des quantités de mouvement avant
le choc et après le choc se conserve
aprèsavant PP  
Si on considère le choc direct de deux corps (les corps rebondissent suivant
une ligne droite) on a:
22112211 umummm 
11
m
22
m
11um
22 um
Ici m1, m2 sont les masses de deux corps

Physique
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1
,
2
sont leurs vitesses avant le choc
1
u
,
2
u
sont leurs vitesses après le choc.
Considerons un choc inélastique (mou). C’est un choc où seule la quantité de
mouvement se conserve.
On dit que le choc est mou lorsque les deux corps restent en contact après le
choc; alors les deux vitesses après le choc sont égales
1
u
=
2
u
=
u
et donc
ummmm 212211 
,
d’où
21
2211 mm mm
u
Cas particuliers de chocs mous :
1. m2>>m1 et
2
=0 alors
1
2
1
21
2211
m
m
mm mm
u
Soit:
0u
puisque le rapport
0
2
1
m
m
tend vers 0.
C’est le cas d’une boule de mastic lancée contre un mur. Choisissons le sens
positif le long d’une droite horisontale de gauche à droite.
11
m
m2,
2
=0 m1+m2,
u
=0
La boule
11
m
se heurte contre le mur et elle reste au mur
2.
mmm  21
et
12
alors
0
211
21
2211 
mmm
mm mm
u
.
C’est le cas de deux boules de mastic identique lancées à vitesse égale l’une
contre l’autré
mv
-
mv
0u
1
vm
et
2
vm
êtant opposées, leur somme algébrique sera nulle : les boules
s’arrêtent.
3.
mmm  12
et
0
2
, alors
22 11
21
2211 v
m
m
mm mm
u
C’est le cas où l’on jette une boule de mastic avec vitesse
1
sur une boule de
mastic idéntique mais au repos
1
mv
m
m2
2
1
v

Théorie
7
Les boules s’unissent et ont la vitesse commune égale à la moitie de la
vitesse de la première boule.
Définition. On appelle l’énergie mécanique la somme de l’énergie cinétique et
de l’énergie potentielle d’un corps. E est une grandeur scalaire
potcin EEE 
.
Ici
2
2
mv
Ecin 
,
2
2
ks
Epot 
(à cause de l’action d’une force élastique),
mghE 
(à
cause de la gravitation).
Les expériences et les calculs théoriques montrent qu’en l’absence de forces
de frottement et sous l’action de seules forces élastiques (
skFèl 
) et de la
force de pesanteur (
gmFp
), la loi de conservation de l’énergie mécanique se
réalise. Sa formulation: La somme de l’énergie cinétique et de l’énergie
potentielle d’un corps ou d’un système de corps reste toujours constante.
La loi de la conservation de l’énergie mécanique est la deuxieme loi de la
conservation en mécanique classique.
Il faut mettre en relief, que la loi de la conservation de l’énergie a un caractère
universel. Vraiment, en présence des forces de frottement l’énergie
mécanique diminue, mais l’énergie interne du corps augmente et la loi de
conservation de l’énergie s’effectue aussi.
Les formes diverses de l’énergie sont suivantes: l’énergie lumineuse, l’énergie
des ondes électromagnetiques, l’énergie chimique, l’énergie nucleaire. Elles
peuvent se transformer les unes dans les autres. Et l’énergie totale de toutes
les formes reste constante. Cela montre le caractère universel de la loi de la
conservation de l’énergie.
Mais revenons à la consideration des chocs. Considerons maintenant un choc
élastique. On dit que l’on a affaire à un choc élastique si en plus de la
conservation de la quantité de mouvement, il y a conservation de l’énergie
cinétique, d’où le couple d’équations va décrire un choc élastique:
22112211 umummm 
2222
2
22
2
11
2
22
2
11 umummm 
Nous considerons le choc direct de deux corps le long d’une droite horisontale
pour avoir les relations algébriques, qui elles seules peuvent être utilisables
dans les calcules pratiques. Écrivons les lois de conservation sou la forme
commode hour le calcul:
)()(
)()(
2
2
2
22
2
1
2
11
222111
umum
umum
En divisant la seconde équation sur la première, on a l’équation marquée par
l’astérisque *:
2211 uu 
. (*)
En multipliant l’équation (*) par m2 on a
222112 umum 
.
Et effectuons la soustraction membre à membre
222111 umum 
222112 umum 

Physique
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On obtient
2222222212111211 ummummumummm 
Les membres pareils s’annulent et ona:
21
22121
12
mm vmmm
u
Et de la manière paraille on obtiènt l’expression pour
2
U
.
En multipliant l’équation (*) par m1 on a:
221111 umum 
+
222111 umum 
Et effectuons l’addition membre à membre
2222212111111111 ummummummumm 
Les membres pareils s’annulent et on a:
21
11221
22
mm vmmm
u
Marquez dans votre mémoire l’algorithme général de la décision des
problèmes qui concernent les lois de conservation.
Cas particuliers de chocs absolument élastiques.
1. m2>>m1 et
0
2
. On peut négliger les termes contenant m1 au
numérateur et au dénominateur alors
1
2
12
1
m
m
u
.
C’est le cas d’une boule de tennis lancée contre un mur.
11
m
1111
mum 
m2,
0
2
m2,
0
2u
, puisque
0
2
1
m
m
Après le choc la boule rebond en obtenant la vitesse opposée.
2.
mmm  21
, alors
2
2
12
2
 m
m
u
,
1
1
22
2
 m
m
u
C’est le cas de deux boules de masse égale soit lancées l’une contre l’autre,
soit l’une rejoin l’autre. Les boules échangent de leurs vitesses.
1
mv
2
mv
1
mu
2
mu
1
mv
2
mv
1
mu
2
mu
3.
mmm  12
et
0
2
, alors
0
1u
,
1
1
22
2
 m
m
u
C’est le cas où l’on jette une boule avec une vitesse
1
sur une boule de
masse égale mais au repos

Théorie
9
1
mv
m
12
mmum
La boule 1 mobile communique sa vitesse à la boule 2, et s’immobilise. La
boule 2 commence son mouvement avec la vitesse
12 vu 
.
La consideration des chocs, c’est un thème traditionnel par lequel on
commence le cours de physique. Ce thème semble abstrait, mais en effet, en
réalite il nous concerne, nous et notre vie. Notre vie est un mouvement. Nous
vivons, tant que nous mouvons le mouvement suppose l’interaction, c’-à-d les
chocs.
Voila pourquoi nous commençons notre cours par ce thème.