Chapitre 1 : Introduction à l`optique géométrique

Chapitre 1 : Introduction à l'optique
géométrique
I - Introduction
L'optique est la partie de la physique qui a pour objet l'étude des phénomènes lumineux,
c'est-à-dire des phénomènes qui sont perçus par l'oeil.
Cependant la sensibilité de l'oeil est réduite au domaine du visible. Il existe donc des
radiations lumineuses non perçues par l'oeil (UV, IR, ...). Aussi l'on étend le domaine de
l'optique à l'étude de tous les phénomènes engendrés par une cause de même nature que celle
qui entraine l'apparition de phénomènes visuels.
Les effets produits par les radiations sont divers :
impression d'une plaque photographique (due à une réaction chimique) ;
courant électrique produit par insolation dans une photopile ;
élévation de la température dans un four solaire ; etc.
Il est de tradition de séparer l'optique géométrique de l'optique physique.
L'optique géométrique s'intéresse à des effets macroscopiques tels que la propagation, la
réflexion et la régraction de la lumière. On peut rendre compte de ces phénomènes grâce à
quelques idées relativement simples que l'on exprime sous forme de deux groupes de lois :
1. la loi de la propagation rectiligne de la lumière
2. les lois de Snell-Descartes conçernant la réflexion et la réfraction
Ces deux groupes de lois peuvent d'ailleurs être exprimées simultannément par une seule
proposition appelée le principe de Fermat.
L'optique géométrique ne fait aucune hypothèse sur la nature de la lumière, sur son mode ou
sa vitesse de propagation. Et pourtant, à partir de là, on a pu étudier et perfectionner des
instruments d'optique.
Avec l'optique physique, on étudie les phénomènes dont l'explication est nécessairement liée
à des hypothèses sur la nature de la lumière et sur son mécanisme de propagation. Ce sont en
particulier les phénomènes d'interférence, de diffractuion, de polarisation, d'émission,
d'absorption et différents effets : photothermique, photochimique, photoélectrique, etc.
Certains de ces phénomènes se produisent lorsque la lumière traverse un instrument d'optique.
L'étude de ces instruments que l'on déduit des lois de l'optique géométrique n'est donc qu'une
première approche. Ainsi on a pu amoéliorer le pouvoir de résolution du microscope
lorsqu'on a su tenir compte des phénomènes de diffraction.
Nous ne parlerons pas dans ce cours d'optique non linéaire mais il faut savoir qu'elle existe.
Un cristal liquide est un exemple de matériau qui donne lieu à des phénomnes d'optique non
linéaires : lorsque l'on éclaire en lumière blanche (contenant toutes les radiations lumineuses)
un cristal liquide, celui-ci ne réfléchit qu'une seule couleur déterminée par la nature même du
cristal liquide.
II - Petit rappel historique de l'évolution des idées
ARCHIMÈDE 287 à 212 av JC : a-t-il incendié la flotte romaine devant Syracuse ? Il s'agit
sans doute d'une légende car il est très difficile de renvoyer de lalumière à l'aide de miroirs sur
une cible mouvante.
ANTIQUITÉ -3000 à 477, arrivée des francs : notion de rayons lumineux, loi de la réflexion
et l'idée que la lumière suit le chemin qui a le temps de parcours minimum germe.
CLAUD PTOLÉMÉE 90-168 : mathématicien, astronome, géographe grec d'Alexandrie. On lui
doit un traité d'optique et des tables de mesure concernant la réfraction.
ALHAZEN 965-1039 : physicien arabe, comprend le premier que l'oeil n'émet pas de rayons
venant ``scruter'' les objets mais que ceux-ci, éclairés par des sources, sont à l'origine de
rayons lumineux rectilignes.
1609 - GALILÉE 1564-1642 : physicien et astronome italien. On lui doit la lunette
astronomique avec laquelle il découvre les satellites de Jupiter, les anneaux de Saturne, les
taches et la rotation du Soleil. La cours de Rome le dénonce comme hérétique et il doit
abjurer devant l'inquisition (1633).
1611 - KEPLER 1571-1630 : astronome allemand. Son ouvrage ``Dioptrique'' (dans lequel il
expose le principe d'une lunette à deux lentilles convergentes), publié en 1611, est l'ouvrage
d'optique le plus important publié avant l'``Optique'' de Newton. Découvre le mouvement
élliptique des planètes autour du Soleil.
A la même époque, construction du premier microscope.
1620 - SNELL 1580-1626 : astronome et mathématicien hollandais. Découvre la loi de la
réfraction.
1666 - NEWTON 1642-1727 : mathématicien, physicien et astronome anglais. A l'aide d'un
écran percé d'un trou, suivi d'un prisme, il découvre, en projetant la lumière sur le mur opposé
qu'elle se compose d'une infinité de couleurs.
1672 - NEWTON 1642-1727 : construction du premier télescope.
1673 - DESCARTES 1596 - 1650 : philosophe et scientifique français. Formalise les lois de la
réflexion et réfraction. Publication d'un ouvrage ``Dioptrique''. Le problème de stigmatisme
est posé et Descartes donne une théorie de l'arc-en-ciel mais ignore la complexité de la
lumière blanche, il ne peut pas expliquer la coloration de l'arc-en-ciel.
1676 - ROENER : première mesure de la vitesse de la lumière à l'observatoire de Paris.
1704 - NEWTON : publication d'un traité d'optique dans lequel il explique la complexité de la
lumière blanche. Celle-ci serait formée de corpuscules : grains de nature imprécise lancés à
toute vitesse par l'émetteur. Il explique ainsi la coloration de l'arc-en-ciel.
1802 - YOUNG 1773-1829 : médecin et physicien anglais. Effectue la première mesure de
longueur d'onde à partir de ses célèbres fentes. Il découvre aussi l'accomodation du cristallin
et les interférences lumineuses.
A la même époque, MALUS, FRESNEL et ARAGO étudient la polarisation de la lumière.
Fresnel suppose que la lumière est propagée par le mouvement vibratoire d'un milieu
hypothétique, l'éther. Aucun renseignement n'est donné sur ce milieu.
1870 - MAXWELL 1831-1879 : physicien écossais. Elabore une théorie permettant d'unifier
l'optique et les phénomènes électromagnétiques. Dans sa théorie électromagnétiques, les
ondes lumineuses (visibles ou invisibles) sont constituées d'un champ électrique
perpendiculaire à un champ magnétique avec des intensités variant périodiquement dans
l'espace et dans le temps.
1905 - EINSTEIN 1879 - 1955 : physicien allemand. Explore la notion de photon pour
interpréter l'effet photoélectrique. Des corps convenanblement illuminés expulse des photons.
Or il faut fournir énormément d'énergie à un atome pour lui arracher des électrons. Par
ailleurs cette extraction se fait sur des niveaux d'énergie discontinus. L'apport énergétique de
la lumière se fait sous forme corpusculaire (notion de photons). L'extraction étant
obligatoirement continue si la lumière était uniquement de nature ondulatoire. Grâce à l'apport
de la mécanique ondulatoire, LOUIS DE BROGLIE, en 1924, a concilié les deux aspects :
corpusculaire et ondulatoire.
On doit à l'époque contemporaine de nombreux perfectionnements en optique instrumentale.
L'introduction de la transformée de Fourier a permis de mieux comprendre le rôle de l'optique
physique dans la formation des images, les méthodes informatiques permettant d'effectuer des
tracés systématiques de rayons et d'introduire des méthodes mathématiques très puissantes
dans le traitement des images (ex : Hubble).
L'invention du laser (1960), de l'holographie (imaginée en 1949 par Gabor, n'a donné des
résultats satisfaisants qu'en 1960 grâce aux lasers qui fournissent une lumière cohérente),
l'utilisation de fibres optiques (400 000 communications téléphoniques en même temps sur la
même fibre, 5Gbits/s) sont quelques uns des aspects de l'optique moderne.
III - Généralités
1. Notion de source lumineuse
C'est l'endroit d'où provient la lumière. On peut citer par exemple la flamme d'une bougie, le
soleil, le filament d'une lampe, etc qui sont les sources primaires d'énergie lumineuse.
Les sources secondaires sont celles qui réemettent la lumière reçue (ex : la lune, les planètes).
Une source lumineuse est nécessairement étendue. Mais du point de vue du récepteur, pour
une surface d'émission donnée, elle peut s'apparenter d'autant mieux à une source pontuelle
qu'elle est plus éloignée du récepteur.
Ce qui permet de dire qu'une source peut être considérée comme ponctuelle ou étendue c'est
la connaissance de l'angle sous lequel depuis le centre du récepteur, on voit la source.
une source circulaire plane de rayon 1 cm placée à 5 cm d'un récepteur . Sous quel
Exemple angle est-elle vue ? peut-on l'approximer à une source ponctuelle ?
:
même question si la source est placée à 50 cm de l'observateur.
Même question avec le soleil.
Si une source est assimilable à une source ponctuelle, alors seule sa position compte, sa
dimension transversale n'a plus d'importance.
2. Les milieux de propagation de la lumière
L'énergie lumineuse, visible, traverse plus ou moins bien les divers milieux de propagation.
Si la propagation dépend peu de l'épaisseur de substance traversée, on dit que la matière
constitutive du milieu de propagation est transparente (air, eau, vide).
Si la propagation est totalement empêchée, il s'agit d'une substance opaque (métaux, bois).
Mais les choses ne sont pas toujours aussi simples. Un verre dépoli laisse passer la lumière
mais on peut difficilement voir ce qu'il y a derrière.
De même, une très fine couche de métal peut laisser passer la lumière (par exemple, l'or en
couche très fine laisse passer de la lumière verte).
Un milieu homogène a les mêmes propriétés en tout point.
Un milieu isotrope a les mêmes propriétés quelle que soit la direction considérée.
L'air contenu dans une salle close, pas trop vaste, constitue un exemple de milieu homogène
et isotrope.
Un cristal de quartz est un milieu homogène mais non isotrope.
Imles phénomènes lumineux apparaissent grâce à la propagation de l'énergie lumineuse.
Deux théories ont été défendues qui semblent contradictoires :
a) propagation d'énergie par propagation de matière Ex : une balle de tennis échangée par
deux joueurs à coup de raquettes.
Il s'agit dans ce cas de l'aspect corpusculaire de la lumière.
Pour interpréter certaines expériences telles que l'effet photoélectrique, il est nécessaire de
concevoir la propagation d'énergie lumineuse comme celle de grains de lumière. On donne le
nom de photon à ces derniers.
b) propagation d'énergie par propagation d'ondes. Ex : déformation d'une surface d'eau créée
par l'impact d'une pierre ; la propagation met en mouvement une vaguelette qui au passage
met en mouvement de haut en bas le bouchon d'un pécheur qui se trouve là sans pour autant
entraîner le bouchon dans le sens de déplacement de la vaguelette.
Il s'agit ici de l'aspect ondulatoire de la lumière.
La propagation d'énergie lumineuse correspond ici à la propagation d'une onde
électromagnétique pouvant se déplacer même dans le vide.
A une source lumineuse correspond une vibration. Si la source est entretenue (c'est-à-dire si la
transformation d'énergie en énergie lumineuse est indépendante du temps) la vibration est
périodique. Si de plus elle est sinusoïdale, la période T de cette sinusoïde correspond à la
fréquence f=1/T (la fréquence s'exprime en Herzt, la période en seconde).
Le milieu de propagation (supposé homogène, isotrope et transparent) est touché par la
vibration. En un point situé à l'abcisse x du point source, on retrouve la déformation identique
à celle de la source (en supposant aucune atténuation) au bout du temps t=x/v où v est la
vitesse de propagation de la déformation.
Pour l'onde sinusoïdale, dans un milieu caractérisé par la célérité v, correspond une longueur
d'onde ou périodicité spatiale lambda (
Lambda,
): lambda = v/f = v.T
s'exprime en mètre.
A toute longueur d'onde, on associe une impression subjective lumineuse de couleur.
Une émission constituée d'une seule radiation de longueur d'onde lambda est dite
monochromatique (un laser émet une lumière monochromatique).
Les émissions lumineuses sont en général plus complexes, elles contiennent plusieurs
longueurs d'onde : on parle alors de lumière polychromatique.
Séparer les radiations d'une lumière polychromatique c'est mettre en oeuvre un phénomène
de dispersion (ex: prisme et réseau) afin d'obtenir le spectre de la lumière.
Remarque 1 : l'expérience montre que la célérité de la lumière dépend du milieu de
propagation. Dans le vide par exemple on pose : v = c = 3. 108 m/s
C'est une constante universelle déduite d'une mesure. Dans un milieu matériel : v < c
Remarque 2 : la nature de la source lumineuse se retrouve dans le spectre de la lumière émise
par cette source. Le spectre peut être continu (lampe à incandescence, soleil) ou discontinu
(lampe à décharge spectrale : tube néon) auquel cas on a un spectre de raies c'est-à-dire une
discontinuité dans la répartition de l'énergie en fonction de la longueur d'onde.
IV - Le rayon lumineux, notion fondamentale de l'optique
géométrique
1. Mise en évidence
L'ombre portée sur l'écran par le disque opaque est homothétique de l'objet quelle que soit la
distance à laquelle il se trouve de l'écran.
Cela suggère que le faisceau lumineux soit composé de rayons lumineux rectilignes.
2. Le rayon lumineux
On cherche à isoler le rayon lumineux en faisant passer un faisceau lumineux cylindrique à
travers plusieurs écrans successifs.
Il y a diffraction quand le trou est trop petit.
La tache s'élargit au fur et à mesure que l'on diminue l'ouverture du diaphragme : ce
phénomène porte le nom de diffraction.
On ne peut donc pas isoler un rayon
lumineux.
On peut cependant considérer qu'un faisceau de lumière est formé de rayons lumineux :
l'étude de la propagation de ces rayons constitue l'objet de l'optique géométrique.
Le rayon lumineux est un cas idéal, non réellement physique mais qui est adopté
comme modèle.
3. Propriété du rayon lumineux
a. la propagation rectiligne de la lumière :
Il y a propagation rectiligne de la lumière dans un milieu homogène.
La propagation dans un milieu hétérogène conduit à des fluctuations spatiales si
l'hétérogénéïté n'est pas régulière. Le phénomène s'observe facilement au-dessus d'une
flamme : on voit les objets situés derrière la flamme "danser". Les fluctuations spatiotemporelles observées sont dues dans ce cas à une distribution irrégulière et rapidement
variable de l'indice de l'air celui-ci étant le siège d'une forte turbulence. La turbulence joue un
rôle particulèrement important et néfaste dans les instruments d'observation astronomique où
elle est accentuée par les grossissements des appareils. Des différences même légères dans le
tube des télescopes (et dans l'atmosphère) peuvent altérer considérablement la qualité des
images.
b. indépendance des rayons lumineux :
On supposera par la suite que le cheminement des différents rayons lumineux traversant un
instrument d'optique sont indépendants : c'est l'hypothèse de l'indépendance des rayons
lumineux.
En diminuant l'ouverture du diaphragme, on peut supprimer le rayon SM1. En général, on ne
constate pas de modifications en M0 ce qui montre que, dans ce cas, SM0 est indépendant de
SM1.
En fait, si la source S est très fine (laser par exemple) et si l'on diminue trop l'ouverture,
l'éclairement en M0 peut s'en trouver modifié. C'est le phénomène de diffraction déjà décrit
auparavant. Il existe donc des circonstances particulières (qui constituent le domaine de
l'optique physique) où au lieu d'être indépendants les rayons lumineux peuvent interférer entre
eux. Cette éventualité sort du cadre de l'optique géométrique où nous admettons
l'indépendance des rayons lumineux à titre d'hypothèse fondamentale.
c. principe du retour inverse :
L'expérience montre que dans un milieu transparent, isotrope (homogène ou non) le trajet de
la lumière est indépendant de son sens de parcours.
4. L'objet de l'optique géométrique
L'optique géométrique a donc pour objet l'étude de la marche des rayons lumineux dans des
milieux transparents. Nous nous limiterons dans notre étude au cas de milieux homogènes
séparés par des dioptres ou limités par des miroirs. Dans ces milieux, la lumière se propage
un ligne droite.
Pour pouvoir déterminer la marche d'un rayon lumineux, il nous faut énoncer les lois qui
régissent le comportement d'un rayon à la surface d'un dioptre ou d'un miroir. Ces lois,
connues sous le nom de Snell-Descartes, font l'objet du prochain chapitre.
Chapitre 2 : Réflexion
et réfraction
Résumé de cours
Les définitions
dioptre
indice
système centré
Les lois de la réflexion :
1. le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence
2. i=r
Les lois de la réfraction (Snell-Descartes) :
1. le rayon réfracté est dans le plan d'incidence
2.
L'indice de réfraction :
que représente-t-il ?
en fonction de quels paramètres varie-t-il ?
Le chemin optique et le principe de Fermat :
Remarque : un principe (synonyme de loi en physique) est une affirmation non démontrée
mais vérifiée par ses conséquences.
La notion de chemin optique est importante car la méthode de Pierre de Fermat pour étudier la
trajectoire de la lumière s'intéresse au temps de parcours plus qu'au chemin géométrique. Le
temps de parcours dans un milieu d'indice donné est fonction de la vitesse de propagation
dans ce milieu et donc de l'indice du milieu. C'est pourquoi l'on introduit la notion de chemin
optique qui est fonction de l'indice du milieu et du trajet géométrique.
Trajets géométriques : AI, IJ, JB
Trajet optique : LAB = (AB) = n1 AI + n2 IJ + n3 JB
Principe de Fermat : parmi toutes les trajectoires possibles, celle effectivement suivie par
un rayon lumineux correspond à un chemin optique extrèmal.
Si la lumière se propage dans un milieu d'indice donné isotrope, transparent et homogène
alors l'indice est constant et le temps de parcours est minimal. Il correspond alors à une
trajectoire rectiligne. Le principe de Fermat permet donc de montrer le principe de la
propagation rectiligne.
Il permet aussi de prévoir les phénomènes de réfraction et de réflexion d'un rayon lumineux se
propageant dans deux milieux d'indice différents et d'établir simplement les lois de SnellDescartes (cf cours et TD).
Les surfaces d'onde et le théorème de Malus :
Etant donné une source lumineuse S, on appelle surface d'onde le lieu des points M tels que le
chemin optique (SM) soit constant, ce chemin optique étant compté le long d'un rayon.
Les surfaces d'onde sont des sphères centrées en S : c'est pourquoi on dit qu'une source
ponctuelle placée dans un milieu homogène est la source d'ondes sphériques. Si la source
s'éloigne à l'infini, ces sphères sont localement assimilables à des morceaux de plans (on a
alors à l'infini des ondes planes).
Pour les surfaces d'ondes, on a égalité des chemins optiques : (SM1) = (SM2) ; (SA) = (SB) ;
...
Théorème de Malus : les rayons d'un faisceau lumineux isogène (c'est-à-dire provenant
d'une même source ponctuelle) après avoir traversé un système optique formé d'un nombre
quelconque de milieux transparents isotropes sont tous normaux à une famille de surface
appelées surfaces d'onde.
Cette proposition est indépendante de toute hypothèse sur la nature de la lumière. Elle résulte
mathématiquement du principe de Fermat et de la définition d'une surface d'onde.
D'après le théorème et la définition d'une surface d'onde, on a : (SM1) = (SM2)
Importance du théorème : d'un point de vue théorique, le théorème de Malus permet de
donner un définition précise des rayons lumineux. Ces rayons sont les normales à une famille
de surface.
Par ailleurs, la notion de surface est très importante : nous avons vus que les surfaces d'onde
sont des surfaces équiphases. Cette notion joue un rôle de tout premier plan dans la théorie de
la propagation des vibrations. Ceci montre l'importance du théorème de Malus qui relie
directement cette notion caractéristique de l'optique physique à la notion de rayons lumineux
qui est fondamentale en optique géométrique.
Enfin, le théorème de Malus est très utile pour se rendre compte intuitivement du problème de
stigmatisme, c'est-à-dire du problème soulevé par la formation des images (voir cours).
Chapitre 3 : Stigmatisme
Résumé de cours
Espace objet - espace image pour les dioptres
Espace objet - espace image pour les miroirs
Type d'image et type d'objet
Définition : l'image est à l'intersection des rayons sortant du système.
A (objet) et A' (image) sont conjugués par rapport au système optique S.
Par convention dans ce cours, les rayons "virtuels" sont représentés en pointillés.
Stigmatisme rigoureux
Définition : Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points
A et A' si tout rayon passant par A passe par A' après avoir tranversé le système optique.
Exemple : un miroir plan est un système optique rigoureusement stigmatique.
On remarque pour un miroir (plan ou non) l'espace image réel est replié sur l'espace objet réel
(de même pour les espaces virtuels).
L'image est à l'intersection des rayons qui sortent du système (ici le miroir) : on prolonge donc
tous les rayons réels issus du miroir et on trouve l'image qui est virtuelle.
Conditions du stigmatisme rigoureux : La longueur du chemin optique (AA') est constante
à condition de compte négativement le chemin optique correspondant aux portions de rayons
virtuels.
Donc, un système optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A' si
le chemin optique (AA') est indépendant du rayon lumineux particulier choisi pour aller de A
à A'.
Stigmatisme non rigoureux
Nous avons ci-dessous un exemple de stigmatisme non rigoureux. L'image se trouve à
l'intersection des rayons qui sortent du système : on prolonge donc les rayons images pour
trouver leur intersection. Or les rayons ne se coupent pas tous au mème endroit : il existe donc
plusieurs images du même point objet A.
Sauf quelques cas particuliers, le stigmatisme rigoureux n'est pas réalisable. Face à cette
imperfection, les récepteurs d'images tels que l'oeil ou la plaque photographique montrent une
compensation. En effet ils possèdent une structure granulaire : la partie sensible de la rétine
est constituée d'une mosaïque de cellules de 4 micromètres environ, celle d'une plaque
photographique oscillant entre 10 et 100 micromètres (ce sont des grains de bromure d'argent
juxtaposés). L'image d'un point est considéré alors comme ponctuelle tant qu'elle ne dépasse
pas les dimensions d'un élément sensible.
Stigmatisme approché
Un système réalise le stigmatisme approché pour tous les points de l'axe à condition que les
rayons cheminent au voisinage de l'axe (conditions de Gauss ).
Conditions de Gauss : par définition on dit qu'un système est utilisé dans les conditions de
Gauss si tous les rayons lumineux le traversant font avec l'axe un angle faible (ce sont des
rayons paraxiaux).
Pour qu'un système soit utilisé dans les conditions de Gauss, il faut que la partie utile (près de
l'axe optique) des dioptres et/ou des miroirs soit restreinte (par des diaphragmes par exemple).
Les conditions de Gauss entrainent non seulement le stigmatisme approché mais aussi
l'aplanétisme approché à savoir que l'image d'un petit objet plan perpendiculaire à l'axe
optique est une image plane perpendiculaire elle aussi à l'axe optique.
Chapitre 4 : Systèmes optiques simples
I - Les dioptres plans
Résumé de cours
Image d'un point
Dans le cas de la figure n1 > n2. La position de l'image A' par rapport à celle de l'objet est
définie par la relation :
La position de l'image étant fonction de l'angle d'incidence sur le dioptre, il n'y a pas de
stigmatisme rigoureux en général.
En se placant dans les conditions de Gauss (petits angles), la relation devient :
Cette relation s'appelle relation de conjugaison.
Image d'un objet
L'image d'un objet plan parallèle au dioptre est une image plane parallèle au dioptre et de
même dimension pourvu que l'on se trouve dans les conditions de Gauss.
Le dioptre est alors aplanétique.
Lame à faces parallèles
A est l'objet réel.
A' est l'image (virtuelle) de A (objet réel) par le dioptre 1.
A" est l'image (virtuelle) de A' (objet réel) par le dioptre 2.
A" est aussi l'image (virtuelle) de A (objet réel) par la lame à faces parallèle constituée des
dioptres 1 et 2.
Dans les conditions de Gauss, la position de A" par rapport à A s'écrit :
où d est l'épaisseur de la lame.
Comme dans le cas du dioptre plan, on obtient une image acceptable d'un objet dans les
conditions de Gauss, si l'objet est plan et parallèle aux faces de la lame.
Le prisme
Le prisme est une association de deux dioptres plans non parallèles qui limitent un milieu
transparent d'indice n. Leur intersection définit l'arête du prisme et l'angle dièdre est l'angle du
prisme. En pratique il est limité par une troisième face, la base, qui n'intervient pas.
Etude de la déviation
La déviation D du rayon incident due à la traversée du prisme est : D = i + i' - A
On peut montrer que lorsque l'indice augmente, la déviation augmente. De même, lorsque
l'angle du prisme augmente, la déviation augmente.
En revanche, lorsque l'angle d'incidence augmente, la déviation commence par diminuer
jusqu'à atteindre un minimum Dmin puis augmente. On peut montrer que la déviation minimale
est atteinte pour : Dm = 2im - A
Par ailleurs, on peut mesurer cette déviation minimale Dm pour l'angle d'incidence im et en
déduire (connaissant l'angle A du prisme), l'indice du prisme :
On peut montrer qu'au minimum de déviation, il y a un stigmatisme approché. C'est pourquoi
le prisme est en général utilisé dans ces conditions.
Conditions d'émergence du rayon
Lorsque l'angle d'incidence i=90°, il existe un angle de réfraction limite que l'on peut calculer
(rlimite = r'limite). Ceci est schématisé sur la figure ci-dessus.
Si r' est supérieur à r'limite, alors le rayon est totalement réfléchi sur la deuxième face du
prisme.
On en déduit la première condition d'émergence du rayon : A<2 rlimite
Si le rayon incident entre avec un angle de 90° sur le prisme il ressort du prisme avec un angle
de réfraction de i0.
D'après le principe de retour inverse de la lumière si le rayon entre avec un angle égal à i0, il
ressort avec un angle de réfraction de 90°.
La deuxième condition d'émergence du prisme est donc : i>i0
Chapitre 4 : Systèmes optiques simples
IV - Les lentilles minces
Résumé de cours
Types de lentilles
Les lentilles convergentes sont des lentilles à bords minces : le pourtour est plus mince que le
centre.
Les lentilles divergentes sont des lentilles à bords épais : le pourtour est plus épais que le
centre.
Les lentilles sont constituées de deux dioptres. Leur épaisseur est la distance séparant les deux
sommets des deux dioptres. La lentille peut être considérée comme une lentille mince si la
distance joingnant les deux sommets est faible devant la différence des deux rayons de
courbure des deux dioptres.
La minceur est une propriété relative. Une lentille de 2 cm d'épaisseur peut être considérée
comme mince si la différence entre ses rayons de courbure est de 1 m.
L'avantage de considérer une lentille comme mince est que l'on peut confondre les sommets
des deux dioptres la constituant : cela simplifie les formules.
Les formules des lentilles
On se place toujours dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux).
On pose (par convention) :
Construction d'une image
COURS EN ANGLAIS
The reflection and refraction of light
7-27-99
Rays and wave fronts
Light is a very complex phenomenon, but in many situations its behavior can be understood
with a simple model based on rays and wave fronts. A ray is a thin beam of light that travels
in a straight line. A wave front is the line (not necessarily straight) or surface connecting all
the light that left a source at the same time. For a source like the Sun, rays radiate out in all
directions; the wave fronts are spheres centered on the Sun. If the source is a long way away,
the wave fronts can be treated as parallel lines.
Rays and wave fronts can generally be used to represent light when the light is interacting
with objects that are much larger than the wavelength of light, which is about 500 nm. In
particular, we'll use rays and wave fronts to analyze how light interacts with mirrors and
lenses.
The law of reflection
Objects can be seen by the light they emit, or, more often, by the light they reflect. Reflected
light obeys the law of reflection, that the angle of reflection equals the angle of incidence.
For objects such as mirrors, with surfaces so smooth that any hills or valleys on the surface
are smaller than the wavelength of light, the law of reflection applies on a large scale. All the
light travelling in one direction and reflecting from the mirror is reflected in one direction;
reflection from such objects is known as specular reflection.
Most objects exhibit diffuse reflection, with light being reflected in all directions. All objects
obey the law of reflection on a microscopic level, but if the irregularities on the surface of an
object are larger than the wavelength of light, which is usually the case, the light reflects off
in all directions.
Plane mirrors
A plane mirror is simply a mirror with a flat surface; all of us use plane mirrors every day, so
we've got plenty of experience with them. Images produced by plane mirrors have a number
of properties, including:
1. the image produced is upright
2. the image is the same size as the object (i.e., the magnification is m = 1)
3. the image is the same distance from the mirror as the object appears to be (i.e., the
image distance = the object distance)
4. the image is a virtual image, as opposed to a real image, because the light rays do not
actually pass through the image. This also implies that an image could not be focused
on a screen placed at the location where the image is.
A little geometry
Dealing with light in terms of rays is known as geometrical optics, for good reason: there is a
lot of geometry involved. It's relatively straight-forward geometry, all based on similar
triangles, but we should review that for a plane mirror.
Consider an object placed a certain distance in front of a mirror, as shown in the diagram. To
figure out where the image of this object is located, a ray diagram can be used. In a ray
diagram, rays of light are drawn from the object to the mirror, along with the rays that reflect
off the mirror. The image will be found where the reflected rays intersect. Note that the
reflected rays obey the law of reflection. What you notice is that the reflected rays diverge
from the mirror; they must be extended back to find the place where they intersect, and that's
where the image is.
Analyzing this a little further, it's easy to see that the height of the image is the same as the
height of the object. Using the similar triangles ABC and EDC, it can also be seen that the
distance from the object to the mirror is the same as the distance from the image to the mirror.
Spherical mirrors
Light reflecting off a flat mirror is one thing, but what happens when light reflects off a
curved surface? We'll take a look at what happens when light reflects from a spherical mirror,
because it turns out that, using reasonable approximations, this analysis is fairly straightforward. The image you see is located either where the reflected light converges, or where the
reflected light appears to diverge from.
A spherical mirror is simply a piece cut out of a reflective sphere. It has a center of curvature,
C, which corresponds to the center of the sphere it was cut from; a radius of curvature, R,
which corresponds to the radius of the sphere; and a focal point (the point where parallel light
rays are focused to) which is located half the distance from the mirror to the center of
curvature. The focal length, f, is therefore:
focal length of a spherical mirror : f = R / 2
This is actually an approximation. Parabolic mirrors are really the only mirrors that focus
parallel rays to a single focal point, but as long as the rays don't get too far from the principal
axis then the equation above applies for spherical mirrors. The diagram shows the principal
axis, focal point (F), and center of curvature for both a concave and convex spherical mirror.
Spherical mirrors are either concave (converging) mirrors or convex (diverging) mirrors,
depending on which side of the spherical surface is reflective. If the inside surface is
reflective, the mirror is concave; if the outside is reflective, it's a convex mirror. Concave
mirrors can form either real or virtual images, depending on where the object is relative to the
focal point. A convex mirror can only form virtual images. A real image is an image that the
light rays from the object actually pass through; a virtual image is formed because the light
rays can be extended back to meet at the image position, but they don't actually go through the
image position.
Ray diagrams
To determine where the image is, it is very helpful to draw a ray diagram. The image will be
located at the place where the rays intersect. You could just draw random rays from the object
to the mirror and follow the reflected rays, but there are three rays in particular that are very
easy to draw.
Only two rays are necessary to locate the image on a ray diagram, but it's useful to add the
third as a check. The first is the parallel ray; it is drawn from the tip of the object parallel to
the principal axis. It then reflects off the mirror and either passes through the focal point, or
can be extended back to pass through the focal point.
The second ray is the chief ray. This is drawn from the tip of the object to the mirror through
the center of curvature. This ray will hit the mirror at a 90° angle, reflecting back the way it
came. The chief and parallel rays meet at the tip of the image.
The third ray, the focal ray, is a mirror image of the parallel ray. The focal ray is drawn from
the tip of the object through (or towards) the focal point, reflecting off the mirror parallel to
the principal axis. All three rays should meet at the same point.
A ray diagram for a concave mirror is shown above. This shows a few different things. For
this object, located beyond the center of curvature from the mirror, the image lies between the
focal point (F) and the center of curvature. The image is inverted compared to the object, and
it is also a real image, because the light rays actually pass through the point where the image
is located.
With a concave mirror, any object beyond C will always have an image that is real, inverted
compared to the object, and between F and C. You can always trade the object and image
places (that just reverses all the arrows on the ray diagram), so any object placed between F
and C will have an image that is real, inverted, and beyond C. What happens when the object
is between F and the mirror? You should draw the ray diagram to convince yourself that the
image will be behind the mirror, making it a virtual image, and it will be upright compared to
the object.
A ray diagram for a convex mirror
What happens with a convex mirror? In this case the ray diagram looks like this:
As the ray diagram shows, the image for a convex mirror is virtual, and upright compared to
the object. A convex mirror is the kind of mirror used for security in stores, and is also the
kind of mirror used on the passenger side of many cars ("Objects in mirror are closer than
they appear."). A convex mirror will reflect a set of parallel rays in all directions; conversely,
it will also take light from all directions and reflect it in one direction, which is exactly how
it's used in stores and cars.
The mirror equation
Drawing a ray diagram is a great way to get a rough idea of how big the image of an object is,
and where the image is located. We can also calculate these things precisely, using something
known as the mirror equation. The textbook does a nice job of deriving this equation in
section 25.6, using the geometry of similar triangles.
Magnification
In most cases the height of the image differs from the height of the object, meaning that the
mirror has done some magnifying (or reducing). The magnification, m, is defined as the ratio
of the image height to the object height, which is closely related to the ratio of the image
distance to the object distance:
A magnification of 1 (plus or minus) means that the image is the same size as the object. If m
has a magnitude greater than 1 the image is larger than the object, and an m with a magnitude
less than 1 means the image is smaller than the object. If the magnification is positive, the
image is upright compared to the object; if m is negative, the image is inverted compared to
the object.
Sign conventions
What does a positive or negative image height or image distance mean? To figure out what
the signs mean, take the side of the mirror where the object is to be the positive side. Any
distances measured on that side are positive. Distances measured on the other side are
negative.
f, the focal length, is positive for a concave mirror, and negative for a convex mirror.
When the image distance is positive, the image is on the same side of the mirror as the object,
and it is real and inverted. When the image distance is negative, the image is behind the
mirror, so the image is virtual and upright.
A negative m means that the image is inverted. Positive means an upright image.
Steps for analyzing mirror problems
There are basically three steps to follow to analyze any mirror problem, which generally
means determining where the image of an object is located, and determining what kind of
image it is (real or virtual, upright or inverted).



Step 1 - Draw a ray diagram. The more careful you are in constructing this, the better
idea you'll have of where the image is.
Step 2 - Apply the mirror equation to determine the image distance. (Or to find the
object distance, or the focal length, depending on what is given.)
Step 3 - Make sure steps 1 and 2 are consistent with each other.
An example
A Star Wars action figure, 8.0 cm tall, is placed 23.0 cm in front of a concave mirror with a
focal length of 10.0 cm. Where is the image? How tall is the image? What are the
characteristics of the image?
The first step is to draw the ray diagram, which should tell you that the image is real, inverted,
smaller than the object, and between the focal point and the center of curvature. The location
of the image can be found from the mirror equation:
which can be rearranged to:
The image distance is positive, meaning that it is on the same side of the mirror as the object.
This agrees with the ray diagram. Note that we don't need to worry about converting distances
to meters; just make sure everything has the same units, and whatever unit goes into the
equation is what comes out.
Calculating the magnification gives:
Solving for the image height gives:
The negative sign for the magnification, and the image height, tells us that the image is
inverted compared to the object.
To summarize, the image is real, inverted, 6.2 cm high, and 17.7 cm in front of the mirror.
Example 2 - a convex mirror
The same Star Wars action figure, 8.0 cm tall, is placed 6.0 cm in front of a convex mirror
with a focal length of -12.0 cm. Where is the image in this case, and what are the image
characteristics?
Again, the first step is to draw a ray diagram. This should tell you that the image is located
behind the mirror; that it is an upright, virtual image; that it is a little smaller than the object;
and that the image is between the mirror and the focal point.
The second step is to confirm all those observations. The mirror equation, rearranged as in the
first example, gives:
Solving for the magnification gives:
This gives an image height of 0.667 x 8 = 5.3 cm.
All of these results are consistent with the conclusions drawn from the ray diagram. The
image is 5.3 cm high, virtual, upright compared to the object, and 4.0 cm behind the mirror.
Refraction
When we talk about the speed of light, we're usually talking about the speed of light in a
vacuum, which is 3.00 x 108 m/s. When light travels through something else, such as glass,
diamond, or plastic, it travels at a different speed. The speed of light in a given material is
related to a quantity called the index of refraction, n, which is defined as the ratio of the speed
of light in vacuum to the speed of light in the medium:
index of refraction : n = c / v
When light travels from one medium to another, the speed changes, as does the wavelength.
The index of refraction can also be stated in terms of wavelength:
Although the speed changes and wavelength changes, the frequency of the light will be
constant. The frequency, wavelength, and speed are related by:
The change in speed that occurs when light passes from one medium to another is responsible
for the bending of light, or refraction, that takes place at an interface. If light is travelling from
medium 1 into medium 2, and angles are measured from the normal to the interface, the angle
of transmission of the light into the second medium is related to the angle of incidence by
Snell's law :
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Total internal reflection, and Lenses
7-28-99
Total internal reflection
When light crosses an interface into a medium with a higher index of refraction, the light
bends towards the normal. Conversely, light traveling across an interface from higher n to
lower n will bend away from the normal. This has an interesting implication: at some angle,
known as the critical angle, light travelling from a medium with higher n to a medium with
lower n will be refracted at 90°; in other words, refracted along the interface. If the light hits
the interface at any angle larger than this critical angle, it will not pass through to the second
medium at all. Instead, all of it will be reflected back into the first medium, a process known
as total internal reflection.
The critical angle can be found from Snell's law, putting in an angle of 90° for the angle of the
refracted ray. This gives:
For any angle of incidence larger than the critical angle, Snell's law will not be able to be
solved for the angle of refraction, because it will show that the refracted angle has a sine
larger than 1, which is not possible. In that case all the light is totally reflected off the
interface, obeying the law of reflection.
Optical fibers are based entirely on this principle of total internal reflection. An optical fiber is
a flexible strand of glass. A fiber optic cable is usually made up of many of these strands,
each carrying a signal made up of pulses of laser light. The light travels along the optical
fiber, reflecting off the walls of the fiber. With a straight or smoothly bending fiber, the light
will hit the wall at an angle higher than the critical angle and will all be reflected back into the
fiber. Even though the light undergoes a large number of reflections when traveling along a
fiber, no light is lost.
Depth perception
Because light is refracted at interfaces, objects you see across an interface appear to be shifted
relative to where they really are. If you look straight down at an object at the bottom of a glass
of water, for example, it looks closer to you than it really is. Looking perpendicular to an
interface, the apparent depth is related to the actual depth by:
An example
A beam of light travels from water into a piece of diamond in the shape of a triangle, as
shown in the diagram. Step-by-step, follow the beam until it emerges from the piece of
diamond.
(a) How fast is the light traveling inside the piece of diamond?
The speed can be calculated from the index of refraction:
(b) What is , the angle between the normal and the beam of light inside the diamond at the
water-diamond interface?
A diagram helps for this. In fact, let's look at the complete diagram of the whole path, and use
this for the rest of the questions.
The angle we need can be found from Snell's law:
(c) The beam travels up to the air-diamond interface. What is , the angle between the normal
and the beam of light inside the diamond at the air-diamond interface?
This is found using a bit of geometry. All you need to know is that the sum of the three angles
inside a triangle is 180°. If is 24.9°, this means that the third angle in that triangle must be
25.1°. So:
(d) What is the critical angle for the diamond-air interface?
(e) What happens to the light at the diamond-air interface?
Because the angle of incidence (64.9°) is larger than the critical angle, the light is totally
reflected internally.
(f) The light is reflected off the interface, obeying the law of reflection. It then strikes the
diamond-water interface. What happens to it here?
Again, the place to start is by determining the angle of incidence, . A little geometry shows
that:
The critical angle at this interface is :
Because the angle of incidence is less than the critical angle, the beam will escape from the
piece of diamond here. The angle of refraction can be found from Snell's law:
Lenses
There are many similarities between lenses and mirrors. The mirror equation, relating focal
length and the image and object distances for mirrors, is the same as the lens equation used
for lenses.There are also some differences, however; the most important being that with a
mirror, light is reflected, while with a lens an image is formed by light that is refracted by, and
transmitted through, the lens. Also, lenses have two focal points, one on each side of the lens.
The surfaces of lenses, like spherical mirrors, can be treated as pieces cut from spheres. A lens
is double sided, however, and the two sides may or may not have the same curvature. A
general rule of thumb is that when the lens is thickest in the center, it is a converging lens, and
can form real or virtual images. When the lens is thickest at the outside, it is a diverging lens,
and it can only form virtual images.
Consider first a converging lens, the most common type being a double convex lens. As with
mirrors, a ray diagram should be drawn to get an idea of where the image is and what the
image characteristics are. Drawing a ray diagram for a lens is very similar to drawing one for
a mirror. The parallel ray is drawn the same way, parallel to the optic axis, and through (or
extended back through) the focal point. The chief difference in the ray diagram is with the
chief ray. That is drawn from the tip of the object straight through the center of the lens.
Wherever the two rays meet is where the image is. The third ray, which can be used as a
check, is drawn from the tip of the object through the focal point that is on the same side of
the lens as the object. That ray travels through the lens, and is refracted so it travels parallel to
the optic axis on the other side of the lens.
The two sides of the lens are referred to as the object side (the side where the object is) and
the image side. For lenses, a positive image distance means that the image is real and is on the
image side. A negative image distance means the image is on the same side of the lens as the
object; this must be a virtual image.
Using that sign convention gives a lens equation identical to the spherical mirror equation:
The other signs work the same way as for mirrors. The focal length, f, is positive for a
converging lens, and negative for a diverging lens.
The magnification factor is also given by the same equation:
Useful devices like microscopes and telescopes rely on at least two lenses (or mirrors). A
microscope, for example, is a compound lens system with two converging lenses. One
important thing to note is that with two lenses (and you can extend the argument for more
than two), the magnification factor m for the two lens system is the product of the two
individual magnification factors.
It works this way. The first lens takes an object and creates an image at a particular point,
with a certain magnification factor (say, 3 times as large). The second lens uses the image
created by the first lens as the object, and creates a final image, introducing a second
magnification factor (say, a factor of seven). The magnification factor of the final image
compared to the original object is the product of the two magnification factors (3 x 7 = 21, in
this case).
Ray diagram for a diverging lens
Consider now the ray diagram for a diverging lens. Diverging lenses come in a few different
shapes, but all diverging lens are fatter on the edge than they are in the center. A good
example of a diverging lens is a bi-concave lens, as shown in the diagram. The object in this
case is beyond the focal point, and, as usual, the place where the refracted rays appear to
diverge from is the location of the image. A diverging lens always gives a virtual image,
because the refracted rays have to be extended back to meet.
Note that a diverging lens will refract parallel rays so that they diverge from each other, while
a converging lens refracts parallel rays toward each other.
An example
We can use the ray diagram above to do an example. If the focal length of the diverging lens
is -12.0 cm (f is always negative for a diverging lens), and the object is 22.0 cm from the lens
and 5.0 cm tall, where is the image and how tall is it?
Working out the image distance using the lens equation gives:
This can be rearranged to:
The negative sign signifies that the image is virtual, and on the same side of the lens as the
object. This is consistent with the ray diagram.
The magnification of the lens for this object distance is:
So the image has a height of 5 x 0.35 = 1.75 cm.
Multiple lenses
Many useful devices, such as microscopes and telescopes, use more than one lens to form
images. To analyze any system with more than one lens, work in steps. Each lens takes an
object and creates an image. The original object is the object for the first lens, and that creates
an image. That image is the object for the second lens, and so on. We won't use more than two
lenses, and we can do a couple of examples to see how you analyze problems like this.
A microscope
A basic microscope is made up of two converging lenses. One reason for using two lenses
rather than just one is that it's easier to get higher magnification. If you want an overall
magnification of 35, for instance, you can use one lens to magnify by a factor of 5, and the
second by a factor of 7. This is generally easier to do than to get magnification by a factor of
35 out of a single lens.
A microscope arrangement is shown below, along with the ray diagram showing how the first
lens creates a real image. This image is the object for the second lens, and the image created
by the second lens is the one you'd see when you looked through the microscope.
Note that the final image is virtual, and is inverted compared to the original object. This is
true for many types of microscopes and telescopes, that the image produced is inverted
compared to the object.
Sign convention
The sign convention for lenses is similar to that for mirrors. Again, take the side of the lens
where the object is to be the positive side. Because a lens transmits light rather than reflecting
it like a mirror does, the other side of the lens is the positive side for images. In other words, if
the image is on the far side of the lens as the object, the image distance is positive and the
image is real. If the image and object are on the same side of the lens, the image distance is
negative and the image is virtual.
For converging mirrors, the focal length is positive. Similarly, a converging lens always has a
positive f, and a diverging lens has a negative f.
The signs associated with magnification also work the same way for lenses and mirrors. A
positive magnification corresponds to an upright image, while a negative magnification
corresponds to an inverted image. As usual, upright and inverted are taken relative to the
orientation of the object.
Note that in certain cases involving more than one lens the object distance can be negative.
This occurs when the image from the first lens lies on the far side of the second lens; that
image is the object for the second lens, and is called a virtual object.
An example using the microscope
Let's use the ray diagram for the microscope and work out a numerical example. The
parameters we need to specify are:
To work out the image distance for the image formed by the objective lens, use the lens
equation, rearranged to:
The magnification of the image in the objective lens is:
So the height of the image is -1.8 x 1.0 = -1.8 mm.
This image is the object for the second lens, and the object distance has to be calculated:
The image, virtual in this case, is located at a distance of:
The magnification for the eyepiece is:
So the height of the final image is -1.8 mm x 3.85 = -6.9 mm.
The overall magnification of the two lens system is:
This is equal to the final height divided by the height of the object, as it should be. Note that,
applying the sign conventions, the final image is virtual, and inverted compared to the object.
This is consistent with the ray diagram.
EXECICES ET CORRIGES
Comment un maitre nageur sauve un vacancier !
Enoncé :
Pierre de Fermat (mathématicien et physicien français, 16011665) postula que les rayons lumineux répondaient à un
principe très général selon lequel le chemin emprunté par la
lumière pour se rendre d’un point donné à un autre était celui pour lequel le temps de parcours était
minimum (en fait un extremum qui peut être un minimum ou un maximum).
Un maître nageur, situé en un point A d’une plage, souhaite appliquer ce principe afin de porter
secours le plus rapidement possible à un vacancier (situé en B) sur le point de se noyer à quelques
brasses du bord de mer !
On note
et
les vecteurs vitesses (supposés constants) du maître nageur sur la plage (lorsqu’il
court) et dans l’eau (où il nage).
Quel doit être le chemin suivi par le maître nageur afin que le principe de Fermat soit vérifié et le
vacancier sain et sauf ? En déduire l’expression de la loi de la réfraction en optique.
Solution :
On choisit un repère qui simplifie le problème : on fait passer l’axe des abscisses par la droite
qui sépare la plage de la mer et l’axe des ordonnées par le point A, position initiale du maître
nageur. Dans un tel repère, les points A et B ont alors les coordonnées A (0,yA) et B (xB,yB).
La trajectoire du maître nageur va être constituée de deux portions rectilignes AI et IB, où
I (x,0) désigne le point où le maître nageur se met à nager. On peut remarquer que la distance
AI sera plus grande que la distance IB puisque le maître nageur va certainement plus vite en
courant qu’en nageant !
Le temps T mis pas le maître nageur pour aller de A à B est alors :
En développant les valeurs de AI et IB, on obtient la
dépendance suivante de T = T(x) en fonction de l’abscisse x
de I :
L’extremum de T(x) est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle. Or :
En remarquant que :
et
(où les angles i1 et i2, par analogie avec l’optique (voir figure ci-dessus), peuvent être appelés
angle d’incidence et angle de réfraction), la condition d’un temps extremum mis par la
lumière (soit
) s’exprime alors sous la forme :
Il suffit que les angles d’incidence et de réfraction remplissent cette condition pour que le
chemin parcouru par le maître nageur soit effectivement celui qui prend le moins de temps. Il
est en effet évident que ce temps extrémal correspond bien à un minimum ; en effet, la
distance AI et donc le temps T peuvent être facilement rendus très grands si le maître nageur,
manquant alors assurément de conscience professionnelle, décidait d’aller par exemple faire
des courses avant de porter secours au pauvre vacancier !
Cas de la lumière et lois de Snell-Descartes :
On considère deux milieux (M1) et (M2) d’indices de réfraction respectifs n1 et n2. Soient deux
points A et B situés respectivement dans le milieu d’indice n1 (le point A) et dans le milieu
d’indice n2 (le point B). Le principe de Fermat permet d’affirmer que le chemin emprunté par
la lumière pour aller de A à B est tel que le temps mis pour le parcourir est extremum (le plus
souvent minimum).
Par application de ce principe, un raisonnement similaire à celui effectué dans le cas du
chemin suivi par le maître nageur, permet de démontrer la loi de la réfraction énoncée, vers
1620, par les physiciens Snell et Descartes :
, où i1 et i2 sont
respectivement les angles d’incidence et de réfraction (on rappelle que l’indice d’un milieu
permet de connaître la vitesse v de la lumière dans ce milieu en fonction de celle dans le vide
c;
).
Fibres optiques :
a) Une fibre optique est formée d’un âme en verre d’indice n1=1,66 entourée d’une gaine en
verre d’indice n2=1,52. Quelle est la valeur maximale im de l’angle d’incidence i pour lequel la
lumière est transmise le long de la fibre.
b) Le diamètre de l’âme de la fibre vaut d = 0,05 mm. On courbe la fibre comme indiqué sur
le figure ci-contre. Quel est le rayon de courbure R minimal pour lequel toute la lumière
incidente traverse la fibre ?
Distance zénithale apparente
Enoncé :
L'espace est orienté par l'axe vertical (Oz) ascendant, l'origine O étant choisie au niveau du sol.
L'indice n(z) de réfraction de l'atmosphère (A) est relié à la masse volumique (z) de l'air par la loi de
Gladstone :
(avec k constante positive). Au niveau du sol, sous la pression
et à la température
, l'indice de l'air (gaz parfait) vaut
décroît continûment jusqu'à la valeur n = 1 aux confins de l'atmosphère.
. Cet indice
On suppose que l'atmosphère (A), de composition constante, est formée par un empilement de lames
à faces parallèles horizontales et transparentes (couches élémentaires d'indice n(z)). On néglige le
caractère dispersif de l'air : l'indice n(z) correspond à une certaine longueur d'onde du spectre visible.
Du point O, on repère la direction d'une étoile de diamètre apparent négligeable. Sans atmosphère,
l'angle  (appelé distance zénithale) entre la direction de l'étoile et la verticale (Oz) en O serait
directement mesuré. En présence de l'atmosphère (A), la position apparente de l'étoile diffère de sa
position réelle : on relève une distance zénithale apparente ' au lieu de .
 1. Peut-on considérer qu'à l'approche de la Terre, le faisceau lumineux émis par l'étoile est
cylindrique ? Qu'en est-il au niveau du sol ? Expliquer l'existence de l'écart
schéma clair.
à l'aide d'un
 2. Soient i(z) l'angle d'incidence d'un rayon lumineux à la traversée de la couche d'indice n(z) et x
la coordonnée horizontale du point courant du rayon. Déterminer l'équation différentielle de la
trajectoire suivie.
 3. Montrer que les valeurs de ' admettent une limite théorique
zénithales sont importantes. Calculer
, lorsque les distances
.
 4. On pointe le centre de la Lune, situé à D = 385 000 km de la surface de la Terre, avec une
distance zénithale apparente
. Calculer . Quelle erreur commet-on sur la position du centre
de la Lune ?
 5. On utilise le fait que
.
a) Exprimer  en fonction uniquement de n0 et , puis en fonction de  et de la masse volumique au
sol 0. On utilisera le fait que k0 << 1.
b) Une variation de la pression et de la température à la surface du sol modifie la valeur de n 0.
Exprimer la variation relative
en fonction des variations relatives de P0 et de T0. Calculer la
variation de position apparente du centre de la Lune (pointé initialement avec
) si, au sol, la
température T0 baisse de 10 K et la pression augmente de 3 kPa.
c) Compte tenu de ce qui précède, quels conseils peut-on donner pour l'installation d'un
observatoire ?
Solution :
 1. L’étoile, située très loin de la Terre, est observée avec un diamètre apparent (défini
comme l’angle sous lequel de la Terre on voit le diamètre de l’étoile) pratiquement nul. Elle
peut être ainsi assimilée à une source ponctuelle émettant un faisceau de lumière quasiparallèle cylindrique. Les rayons constituant ce faisceau, arrivant dans l’atmosphère terrestre
(voir figure (1)) vont tous être réfractés de la même manière : le faisceau arrivant sur la Terre
sera donc toujours cylindrique.
 2. La figure (2) précise les notations. L’atmosphère possède une structure stratifiée : elle
est considérée comme la superposition de couches infiniment minces, d’épaisseur dz, dans
lesquelles l’indice optique n(z) peut être considéré comme étant pratiquement constant.
L’application de la loi de Descartes relative à la réfraction permet d’écrire, de proche en
proche :
En remarquant que (voir figure (2)) :
(
, donc
)
et en utilisant l’expression précédente de la loi de Descartes, on obtient alors l’équation
différentielle vérifiée par les coordonnées x et z d’un rayon lumineux à travers l’atmosphère :
La résolution de cette équation différentielle nécessite la connaissance de l’indice n(z) en
fonction de l’altitude z, c’est-à-dire le choix d’un modèle permettant d’évaluer, d’après la loi
de Gladstone citée dans l’exercice, la masse volumique de l’air atmosphérique.
 3. La distance zénithale apparente ’ est reliée à la distance zénithale réelle  par
. Par conséquent, pour de grandes distances zénithales (soit
), les
distances zénithales apparentes observées vont tendre vers la valeur limite
Numériquement, avec
,
.
.
 4. La distance zénithale réelle  entre la Lune et la
et l’écart :
verticale (Oz) vaut
La distance entre la position apparente et la position réelle
du centre C de la Lune est alors (voir figure ci-contre), en
notant D la distance Terre-Lune,
.
 5-a) En remplaçant ’ par
dans l’expression de la loi de Descartes, il vient :
Or l’écart  étant faible,
et ainsi :
soit
En utilisant la loi de Gladstone, on obtient :
Comme
,
et par conséquent, au 1er ordre en
:
b) Si l’on assimile l’air atmosphérique à un gaz parfait, la masse volumique au sol peut
s’écrire
, où M désigne la masse molaire de l’air et R la constante des gaz
parfaits. L’écart  devient alors :
Une variation de la pression et de la température au sol entraîne une modification de l’écart .
L’expression de la différentielle logarithmique de l’expression précédente donne directement
la relation suivante entre les différentes variations relatives :
Si l’on assimile les variations de température (
(
) et de pression
) à des différentielles, il vient que la variation  de l’écart 
observée sera
et la variation
réelle et apparente du centre de la Lune :
de la distance entre les positions
c) Afin de diminuer l’influence de l’atmosphère sur la lumière provenant des astres (réfraction
comme étudiée dans ce problème, mais aussi absorption, diffusion, scintillation,…), il semble
nécessaire de construire des télescopes dans des sites placés à haute altitude (par exemple,
l’observatoire de Hawaï est situé à 4 200 m d’altitude et le VLT, " very large telescope ",
construit récemment sur le Cerro Paranal au Chili, est à 2 400 m d’altitude) ou des les placer,
comme le satellite Hubble, en orbite autour de la Terre.
Complément : forme du Soleil couchant et rayon vert
La photographie représentée ci-dessous, que l’on retrouve en couleur en 1ère page de couverture, fait
apparaître le soleil couchant comme un disque notablement aplati.
Coucher de Soleil sur l’atlantique depuis Etel (Morbihan), illustration de la
réfraction atmosphérique (Photo D. Pronost).
Ce phénomène s’explique encore par la réfraction de la lumière solaire à travers l’atmosphère. En effet,
plus la couche atmosphérique traversée est grande et plus les rayons solaires sont incurvés. Par
conséquent, comme le montre la figure suivante, le bord inférieur du Soleil sera plus relevé que le bord
supérieur, transformant ainsi le disque circulaire du Soleil en un disque aplati. Le diamètre apparent du
Soleil (angle défini comme le rapport du diamètre du Soleil sur la distance Terre-Soleil et exprimé en
minutes d’angle) voit sa valeur passer de 32’ à 26’. On peut enfin remarquer que l’observateur terrestre
voit encore le Soleil alors que celui est déjà couché et situé derrière l’horizon ; il s’agit ici d’un exemple
de mirage " supérieur " (voir exercice sur " Les mirages ", page 197).
On peut encore citer, comme dernier exemple de perturbations dues à l’atmosphère terrestre, le rayon
vert, rendu célèbre par le film du même nom du cinéaste Rohmer. La déviation des rayons lumineux
n’est pas la même pour les rayons bleus et rouges, ces derniers étant les moins déviés. Par conséquent,
un spectre de la lumière solaire se constituera à l’horizon, d’autant plus dispersé que le Soleil est bas sur
l’horizon. Au moment du coucher du Soleil, la lumière rouge, plus basse, sera la première à disparaître ;
la dernière à s’éteindre sera la lumière verte (la lumière bleue est pratiquement absente à cause de la
diffusion Rayleigh importante dans l’atmosphère, voir note de bas de page, page 191), faisant ainsi
apparaître un rayon vert extrêmement fugitif (la photographie présentée en 4ème page de couverture en
donne un très bel exemple). L’auteur a personnellement eu la chance d’observer un tel rayon au large de
Concarneau, un soir d’août où l’horizon était particulièrement bien dégagé.