Cours - Ecole polytechnique

Six leçons sur l’incomplétude :
logique, mécanique quantique
G. Longo, T. Paul
CNRS - DI et DMA, ENS, Paris
Le concept d’incomplétude apparaît dans l’article fondamental de
Gödel, ainsi que dans celui, célèbre, d’Einstein, Podolsky et Rosen. Dans
ce mini-cours, ouvert à tous, on se propose de présenter les idées
mathématiques au coeur de ces deux incidences de l’incomplétude
ainsi que certaines de ses résonnances contemporaines.
Janvier 2008: mercredi et jeudi, 16 et 17, 23 et 24, 30 et 31
de 17h 30 à 19h 30, salle W, quatrième étage, Escalier B
Ecole Normale Supérieure, 45, Rue d’Ulm, Paris
1. [Longo] : Gödel - Déduction formelle et indécidabilité :
1. codage et représentation : premier théorème d’incomplétude
2. codage et cohérence : deuxième théorème d’incomplétude
3. le sens et la preuve ; des “philosophies” contre Hilbert : Poincaré, Weyl et
Wittgenstein.
2. [Paul] : Einstein - Mécanique quantique et complétude :
1. formalisme quantique et décidabilité, intrication et EPR
2. inégalités de Bell, les expériences d’Aspect
3. levée du “paradoxe”, pas de transmission d’information, complétude,
accessibilité.
3. [Longo] : Comprendre l’incomplétude, aujourd’hui - Les énoncés “concrets” :
1. typage et cohérence : théorèmes de normalisation à la Girard
2. forme finie de Friedman du théorème de Kruskal
3. analyse des passages non-formalisables ; le sens vs. l’ordre ou les ordinaux.
4. [Paul] : Comprendre l’intrication aujourd’hui - L’intrication recherchée concrètement dans
l’expérience :
1. d’un moindre mal à un meilleur bien, téléportation, mesure de l’intrication
2. intrication, décohérence et le sujet
3. les algorithmes quantiques : puissance vs. déterminisme
5. Incomplétude et structures de la détermination :
1. imprédictibilité dynamique et indécidabilité logique (Poincaré vs. Gödel) [Longo]
2. imprédictibilité dynamique et indéterminisme quantique (Poincaré vs. Born) [Paul]
6. Méthode différentielle et quantités observables :
1. la notion de “quantité observable” et la question de la “complétude” du formalisme
de la physique quantique [Paul].
2. le “programme génétique” et la méthode différentielle : la question de la
“complétude” de la détermination génétique du phénotype, une analyse physique et
logique [Longo].