Méthodes de quadratures - IA

Introduction
Intégration numérique
Principe
Principe (suite)
Méthodes de quadrature
Méthodes simples de
quadrature
Introduction
Intégration de G AUSS
V IET H UNG N GUYEN - FABIEN R ICO
[email protected]
EPU Pierre et Marie Curie - Sicence de la Terre
- p. 1/39
Introduction
- p. 2/39
Principe
Intégration numérique
On cherche à approcher l’intégrale d’une fonction :
Dont on ne connaît la valeur qu’en certains points
◆ mesures
■ Dont on peut calculer les valeurs, mais dont on ne peut pas
calculer la primitive
◆ pas de formule analytique
◆ trop complexe
■
Introduction
Intégration numérique
On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés
Principe
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
f (y0 ), f (y1 ), . . . , f (ym ) avec y0 = a < y1 < · · · < ym−1 < ym = b
b−a
et
yi+1 − yi =
m
■
Il faut approcher
■
I(f ) =
Z
Introduction
Intégration numérique
Principe
Principe (suite)
b
f (t)dt
■
a
Principe (suite)
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
On sépare [a, b] en sous-intervalles
i.e. on regroupe les points yi par paquets de un, deux ([yi , yi+1 ])
ou trois ([yi , yi+1 , yi+2 ]) points consécutifs.
On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des
polynômes gi (t).
On calcule l’intégrale du polynôme d’interpolation de chaque
sous intervalle, cela s’exprime simplement en fonction des
valeurs fi = f (yi ) :
Z
yi+k
gi (t)dt =
yi
k
X
αl fi+l
l=0
- p. 3/39
- p. 4/39
Principe (suite)
■
La somme de ces valeurs est une approximation de l’intégrale de f sur [a, b].
Cette somme s’exprime aussi simplement en fonction des valeurs fi
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Méthode des rectangles
I(f ) ≃
m
X
Exemple
βi fi
(1)
i=0
Erreur commise
Méthodes simples de quadrature
Erreur commise(suite)
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
La différence entre les méthodes vient du nombre de points d’interpolations
dans les paquets :
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
■
1 point ⇒ approximation de degré 0 ⇒ méthode des rectangles
■
2 points ⇒ approximation de degré 1 ⇒ méthode des trapèzes
■
3 points ⇒ approximation de degré 2 ⇒ méthode de S IMPSON
■
n points ⇒ approximation de degré n − 1 ⇒ méthode de N EWTON -C ÔTES
Exemple
Erreur commise
Explication
Intégration de G AUSS
Pour chaque méthode, il existe des constantes βi qui permettent d’appliquer la
formule (1) et une majoration de l’erreur que l’on va calculer.
- p. 5/39
Méthodes simples de quadrature
- p. 6/39
Exemple
Méthode des rectangles
Les points (yi ) i = 0, ..., m sont pris régulièrement espacés sur
[a, b] : yi = a + i b−a
m Sur chaque intervalle Ii = [yi , yi+1 ], la fonction
f est approchée par la fonction constante gi tel que gi (t) = f (yi ).
Z yi+1
b−a
f (yi )
gi (t)dt = (yi+1 − yi )f (yi ) =
m
yi
Z ym
Z y2
Z b
Z y1
f (t)dt
f (t)dt + ... +
f (t)dt +
f (t)dt =
a
L’approximation de
donnée par :
y1
y0
Rb
a
f (t)dt par la méthode des rectangles est
quadrature
Méthodes simples de
quadrature
Méthode des rectangles
Méthode des rectangles
Exemple
Exemple
Erreur commise
Erreur commise
2
Erreur commise(suite)
Erreur commise(suite)
Méthode des trapèzes
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Calcul de la formule
Exemple
Exemple
1
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
Explication
Intégration de G AUSS
=
Introduction
3
Méthodes simples de
Erreur commise
IR
Méthodes simples de quadrature
ym−1
Introduction
Exemple
−1
1
−1
2
3
4
5
6
Erreur commise
Explication
Intégration de G AUSS
m−1
b−a X
f (yi )
m i=0
- p. 7/39
Méthodes simples de quadrature
- p. 8/39
Erreur commise
On applique la formule d’erreur de l’interpolation de L AGRANGE :
∀t ∈ [yi , yi + 1] il existe η(t) ∈ [yi , yi + 1] tel que
f (t) − gi (t) = f ′ (η(t))(t − yi )
Z yi+1
Z yi+1
b−a
f (t)dt −
f ′ (η(t))(t − yi )dt
f (yi ) =
m
yi
yi
Soit M = supt∈[a,b] |f ′ (t)|
Z yi+1
b−a
f (yi )
f (t)dt −
m
yi
Erreur commise(suite)
Introduction
Finalement
Introduction
Z
Méthodes simples de
quadrature
Méthode des rectangles
Exemple
Erreur commise
Erreur commise(suite)
Remarques :
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
b
a
(b − a)2
f (t)dt − IR ≤ M
2m
Pour trouver une valeur approchée de
■
Erreur commise
de prendre m plus grand que M
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
≤ M
Z
Méthode de S IMPSON (suite)
yi+1
yi
(yi+1 − yi )
2
(b − a)2
≤ M
2m2
2
a
Les points (yi ) i = 0, ..., m sont pris régulièrement espacés sur
[a, b] : yi = a + i b−a
m .
Sur chaque intervalle Ii = [yi , yi+1 ], la fonction f est approchée par
la fonction affine gi coïncidant avec f en yi et yi+1 soit :
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Méthode des rectangles
Exemple
Erreur commise
Erreur commise(suite)
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
R yi+1
Méthodes simples de quadrature
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
Erreur commise
- p. 10/39
gi (t)dt
R yi+1
[ yi+1t−yi (f (yi+1 ) − f (yi )) − yi+1yi−yi (f (yi+1 ) − f (yi )) + f (yi )]dt
yi
=
Erreur commise
- p. 11/39
2
yi+1 −yi
2(yi+1 −yi ) (f (yi+1 ) − f (yi )) − yi (f (yi+1 ) − f (yi )) + (yi+1
yi+1 +yi
(f (yi+1 ) − f (yi )) − yi f (yi+1 ) + yi+1 f (yi )
2
yi+1 −yi
(f (yi+1 ) + f (yi ))
2
b−a
2m (f (yi+1 ) + f (yi ))
=
=
=
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
2
Rb
f (t)dt + y1 f (t)dt + ... + ym−1 f (t)dt
Rb
Donc l’approximation de a f (t)dt par la méthode des trapèzes est
donnée par :
Or
a
f (t)dt =
=
y0
Méthodes simples de
quadrature
Méthode des rectangles
Méthodes simples de quadrature
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
3
4
5
6
Erreur commise
Explication
Intégration de G AUSS
Méthodes simples de quadrature
- p. 13/39
f (t) − gi (t)
=
Z
yi+1
yi
f (t)dt −
b−a
(f (yi+1 ) + f (yi ))
2m
=
3
− (yi+13−yi )
(yi+1 −yi )3
6
+
(yi+1 −yi )2
(yi+1
2
− yi )
(yi+1 −yi )3
b−a
2m (f (yi+1 ) + f (yi )) ≤ M
12
Exemple
Erreur commise
Erreur commise(suite)
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
Erreur commise
Explication
Intégration de G AUSS
1 ′′
f (η(t))(t − yi )(t − yi+1 )
2
Z
1 yi+1 ′′
f (η(t))(t − yi )(t − yi+1 )dt
2 yi
d’où si M = supt∈[a,b] |f ′′ (t)|
Z yi+1
Z yi+1
b−a
f (t)dt −
(t − yi )(yi+1 − t)dt
(f (yi+1 ) + f (yi )) ≤ M
2m
yi
yi
Méthodes simples de quadrature
- p. 14/39
Erreur commise (suite)
Ry
Pour le calcul de yii+1 (t − yi )(yi+1 − t)dt, on effectue un
changement de variable.
Soit x = t − yi (t = x + yi )
R y −y
R yi+1
(t − yi )(yi+1 − t)dt = 0 i+1 i x(yi+1 − yi − x)dx
yi
R yi+1 −yi
−x2 + x(yi+1 − yi )dx
= 0
Méthode des rectangles
On applique la formule d’erreur de l’interpolation de L AGRANGE :
∀t ∈ [yi , yi + 1] il existe η(t) ∈ [yi , yi + 1] tel que
Erreur commise(suite)
−1
quadrature
- p. 12/39
Erreur commise
1
Méthodes simples de
b−a
(f (y0 ) + 2f (y1 ) + .... + 2f (ym−1 ) + f (ym ))
2m
Exemple
2
Introduction
Erreur commise
Introduction
3
− yi )f (yi )
R ym
R y2
R y1
Exemple
Méthodes simples de quadrature
Erreur commise (suite)
yi
=
IT
a
Erreur commise
Méthodes simples de quadrature
Méthode de S IMPSON
Intégration de G AUSS
b
Exemple
Calcul de la formule
Explication
Z
Calcul de la formule
Intégration de G AUSS
Exemple
Remarque : gi est la fonction affine par morceaux reliant les points
de coordonnées (yi , f (yi )).
R
y
Donc yii+1 f (t)dt −
Méthode des trapèzes
Explication
Calcul de la formule
(t − yi )
gi (t) = f (yi ) +
(f (yi+1 ) − f (yi )).
(yi+1 − yi )
=
Erreur commise(suite)
f (t)dt à ε près, il suffit
Intégration de G AUSS
Méthode des trapèzes
=
Erreur commise
Explication
Méthode des trapèzes
2
Exemple
L’approximation est exacte si la dérivée f est nulle c’est-à-dire si
la fonction f est constante.
■
Erreur commise
- p. 9/39
1
Méthode des rectangles
≤ M
Méthodes simples de quadrature
−1
quadrature
′
Exemple
(t − yi )dt
(b−a)2
2ε
Rb
Méthodes simples de
Erreur commise (fin)
Introduction
Finalement
Méthodes simples de
quadrature
Méthode des rectangles
a
Exemple
Erreur commise
Erreur commise(suite)
Remarques :
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
■
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
Erreur commise
Introduction
Z
■
b
(b − a)3
f (t)dt − IT ≤ M
12m2
Rb
Pour trouver une valeur approchée de a f (t)dt à ε près, il suffit
q
3
de prendre m plus grand que M (b−a)
12ε
L’approximation est exacte si la dérivée seconde f ′′ est nulle
c’est-à-dire si la fonction f est affine.
Méthodes simples de
quadrature
Méthode des rectangles
Exemple
Erreur commise
Erreur commise(suite)
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
Erreur commise
Explication
Explication
Intégration de G AUSS
Intégration de G AUSS
(b − a)3
f (t)dt − IT ≤ M
12m2
- p. 15/39
Méthodes simples de quadrature
- p. 16/39
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
On considère les 2n + 1 points zi = a + i b−a
(i = 0, ..., 2n)
2n
Sur chaque intervalle Ii = [z2i , z2i+2 ], la fonction f est approchée
par la parabole gi passant par les points
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Méthode des rectangles
Exemple
Erreur commise
Erreur commise(suite)
(z2i , f (z2i )) (z2i+1 , f (z2i+1 )) (z2i+2 , f (z2i+2 ))
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
Donc
Ce qui donne, tout calcul fait :
Z z2i+2
b−a
(f (z2i ) + 4f (z2i+1 ) + f (z2i+2 ))
gi (t)dt =
6n
z2i
L’approximation de l’intégrale par la méthode de S IMPSON est donc IS avec
Erreur commise
gi (t) = f (z2i ).
Erreur commise (suite)
(t − z2i+1 )(t − z2i+2 )
(z2i − z2i+1 )(z2i − z2i+2 )
+f (z2i+1 ).
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
IS
Méthode de S IMPSON (suite)
=
Exemple
(t − z2i )(t − z2i+2 )
(z2i+1 − z2i )(z2i+1 − z2i+2 )
Erreur commise
b − a
f (z0 ) + 4f (z1 ) + 2f (z2 ) + 4f (z3 ) + 2f (z4 ) +
6n
· · · + 2f (z2n−2 ) + 4f (z2n−1 ) + f (z2n )
Explication
Intégration de G AUSS
(t − z2i )(t − z2i+1 )
+f (z2i+2 ).
(z2i+2 − z2i )(z2i+2 − z2i+1 )
Méthodes simples de quadrature
- p. 17/39
Méthodes simples de quadrature
- p. 18/39
Exemple
Erreur commise
Introduction
3
Méthodes simples de
Soit M = maxt∈[a,b] |f (4) (t)|
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
quadrature
Méthode des rectangles
Exemple
Erreur commise
2
Erreur commise(suite)
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
1
Remarques :
Z
b
a
M (b − a)5
f (t)dt − IS ≤
2880n4
Erreur commise
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
■
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
−1
1
2
3
4
5
6
Erreur commise
■
Explication
−1
Intégration de G AUSS
Méthodes simples de quadrature
- p. 19/39
Exemple
Erreur commise
Erreur commise(suite)
Méthode des trapèzes
Calcul de la formule
Exemple
Erreur commise
Rb
Pour trouver une valeur approchée de a f (t)dt à ε près, il suffit
q
5
de prendre m plus grand que 4 M (b−a)
2880ε
(4)
L’approximation est exacte si la dérivée f est nulle c’est-à-dire
si la fonction f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
!
Méthode des rectangles
Erreur commise (suite)
Erreur commise (fin)
Méthode de S IMPSON
Méthode de S IMPSON (suite)
Exemple
Erreur commise
Explication
Intégration de G AUSS
L’erreur est d’ordre 4 alors que le polynôme est
de degré 2
Méthodes simples de quadrature
- p. 20/39
Explication
On pourrait s’attendre à ce que l’erreur de ma méthode de S IMPSON soit de la
forme
M (b − a)4
M = max |f (3) (t)|
et
Kn3
t∈[a,b]
or on gagne un facteur
(b−a)
n .
b
z2i
A
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Intégration de G AUSS
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
b
b
z2i+1
z2i+2
Prenons le cas ou f est un polynôme de degré 3.
−A
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
f (t) − gi (t) est donc un polynôme de degré 3,
■ il s’annule 3 fois en z2i , z2i+1 et z2i+2 ,
■ donc f (t) − gi (t) = α(t − z2i )(t − z2i+1 )(t − z2i+2 ),
■ il est symétrique par rapport au milieu du segment [z2i , z2i+2 ],
R z2i+2
■ donc
f (t) − gi (t) = 0
z2i
Cela peut se généraliser aux méthodes de N EWTON -C OTES
■
Méthodes simples de quadrature
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Cas des intégrales impropres
Conclusion
- p. 21/39
- p. 22/39
Intégration de G AUSS
Introduction
■
Jusqu’à présent le problème a toujours été posé de la façon
suivante :
◆ On dispose de la valeur de f sur n + 1 points : y0 , y1 , . . . , yn et
on cherche a approcher l’intégrale de f par la formule :
Z b
n
X
(2)
αi f (yi ) + E
f (t)dt =
a
■
■
i=1
ou E est l’erreur de la méthode
On cherche à minimiser l’erreur E.
◆ Chaque méthode correspond à un choix de valeurs αi .
◆ Au mieux on arrive à obtenir une méthode d’ordre n + 1 c’est à
dire dont le terme d’erreur dépend de maxa≤t≤b f (n+1) (t)
cela signifie qu’elle est exacte si f est un polynôme de degré
< à n + 1.
Si on est capable de calculer f en n’importe quel point, on peut
faire varier les yi de manière à ce que la méthode soit d’ordre
supérieure.
Intégration de G AUSS
Posons le problème
Introduction
Méthodes simples de
■
quadrature
■
Intégration de G AUSS
■
Introduction
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
■
■
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
I(f )
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Cas des intégrales impropres
Conclusion
■
■
■
- p. 23/39
Soit f une fonction que l’on peut calculer en n’importe quel point
Soit n le nombre de points de calcul
Soient y1 , y2 , . . ., yn les points et α1 , α2 ,. . .,αn les coefficients
Soit Pk l’ensemble des polynômes de degré inférieur à k.
On cherche les « meilleures valeurs » pour αi et yi afin de
minimiser E dans la formule :
Z b
n
X
αi f (yi ) + E
f (t)dt =
i=1
| a {z }
| {z }
J(f )
Il y a 2n degrés de liberté, on espère obtenir une méthode
d’ordre 2n
i.e. E = 0 si f est un polynôme de degré inférieur à 2n.
Comment trouver les valeurs de αi et yi ?
Quelle est l’erreur si f n’est pas un polynôme de Pn ?
Intégration de G AUSS
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Cas des intégrales impropres
Conclusion
- p. 24/39
Changement de variable
On cherche les « meilleures valeurs » pour αi et yi afin de
minimiser E dans la formule :
Z b
n
X
αi f (yi ) + E
f (t)dt =
a
i=1
Choix des αi et yi
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Nous n’étudirons pas ici la façon dont sont trouvées ces valeurs, il
vous suffit de savoir que :
■
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
Ces valeurs dépendent des bornes de l’intégrale a et b
⇒ on se ramène toujours à au mêmes bornes grâce à un
changement de variable.
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
◆
Exemple - II
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Il existe plusieurs familles de polynômes, chacune est
associée à une certaine forme d’intégrale.
R1
Pour calculer une intégrale de la forme −1 f (u)du, il faut
utiliser les racines des polynômes de L EGENDRE, cela
s’appelle la méthode de G AUSS -L EGENDRE
Cas des intégrales impropres
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
■
■
b−a
On utilise le changment de variable t = b+a
2 + 2 u
Z
Z b
b−a 1
f (t)dt =
f (u)du
2
−1
a
On approche l’intégrale par :
Z 1
n
X
αi f (yi )
f (t)dt ≃
−1
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
Cas des intégrales impropres
Conclusion
- p. 27/39
b
Méthodes simples de
quadrature
a
Intégration de G AUSS
Introduction
Posons le problème
: n, (yi )1≤i≤n , (αi )1≤i≤n , f , a, b
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
début
En pratique
som ← 0
pour i = 1 à n faire
a+b
t ← b−a
2 yi + 2
som ← som +αi × f (t)
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
fin
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
: som ×
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
En pratique les valeurs des αi et des yi sont connues et tabulées.
Par exemple, en double précision pour la méthode de G AUSS -L EGENDRE à 12
points :
y1 = 0.98156063424671925069
y2 = 0.90411725637047485667
y3 = 0.76990267419430468703
y4 = 0.5873179542866174472
y5 = 0.36783149899818019375
y6 = 0.12523340851146891547
y7 = −0.12523340851146891547
y8 = −0.36783149899818019375
y9 = −0.58731795428661744729 y10 = −0.76990267419430468703
y11 = −0.90411725637047485667 y12 = −0.98156063424671925069
α1
α3
α5
α7
α9
α11
=
=
=
=
=
=
0.04717533638651182
0.16007832854334622
0.23349253653835480
0.249147045813402
0.203167426723065
0.10693932599531
b−a
2
α2
α4
α6
α8
α10
α12
=
=
=
=
=
=
0.10693932599531843
0.20316742672306592
0.24914704581340278
0.233492536538354
0.16007832854334
0.04717533638651
- p. 28/39
Intégration de G AUSS
Calcul de l’erreur sur [−1, 1]
Introduction
f (t)dt en tenant compte du
changement de variable pour se ramener à [−1, 1] est le suivant :
Résultat
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
- p. 26/39
Intégration de G AUSS
L’algorithme
Données
En pratique
G AUSS -L AGUERRE
i=1
Z
Changement de variable
On trouve les αi grâce à la résolution d’un système linéaire qui
dépend des yi .
Accélération de la méthode
Intégration de G AUSS
L’algorithme de calcul de
Posons le problème
En pratique
Introduction
a
Introduction
Conclusion
■
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
Pour calculer une intégrale de la forme :
Z b
f (t)dt
Intégration de G AUSS
Cas des intégrales impropres
Conclusion
- p. 25/39
Intégration de G AUSS
quadrature
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
◆
Autres familles orthogonales
Par exemple, si a, b ∈ IR, on peut toujours faire une intégration sur
b−a
l’intervalle [−1, 1] par le changement de variable t = b+a
2 + 2 u
Z b
Z
b−a 1
f (t)dt =
f (u)du
2
a
−1
Méthodes simples de
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
En pratique
■
Les points d’évaluations y1 , y2 , . . . , yn sont les racines d’un
polynôme faisant partie d’une famille de polynômes orthogonaux.
Introduction
Cas des intégrales impropres
Conclusion
Sur [−1, 1] si la fonction f n’est pas un polynôme, mais qu’elle est
C 2n (sa dérivée 2ne est continue). Alors, on sait par le
développement de TAYLOR que ∀x ∈ [−1, 1]
Introduction
x
x2n−1 (2n−1)
f (x) = f (0) + f ′ (0) + · · · +
f
(0)
1!
(2n − 1)!
Z x
(x − s)2n−1 (2n)
f
(s)ds
+
(2n − 1)!
0
R1
Pn
On peut montrer que l’erreur E = 1 αi f (yi ) − −1 f (t)dt est de la
forme
!
n
X
2
f (2n) (γ)
αi yi2n −
E =
×
2n
+
1
(2n)!
i=1
Posons le problème
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Cas des intégrales impropres
Conclusion
avec γ ∈ [−1, 1].
- p. 29/39
Intégration de G AUSS
- p. 30/39
Intégration de G AUSS
Exemple - I
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Sur [a, b], On effectue le changement de variable :
Z b
Z 1 b−a
a+b
f (t)dt =
f
u+
dt
2
2
a
−1
Introduction
Méthodes simples de
f (x) =
Intégration de G AUSS
Introduction
Posons le problème
Changement de variable
En calculant la somme :
1
p
1 + cos(x)
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
n
X
2
αi yi2n −
2n
+1
i=1
!
f (2n) (ε)
×
(2n)!
La méthode est d’ordre 2n c’est à dire qu’elle est exacte si f est un
polynôme de degré < 2n.
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
12
X
En pratique
avec ε ∈ [a, b]
Intégration de G AUSS
Introduction
quadrature
Choix des αi et yi
Donc cela donne
2n+1
b−a
×
E =
2
Soit f la fonction :
Méthodes simples de
Alors que
En pratique
αi f (yi ) = 1.7340961839255953
i=1
Z 1
−1
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
f (t)dt = 1.7340961839256152185433 . . .
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Cas des intégrales impropres
Cas des intégrales impropres
Conclusion
Conclusion
- p. 31/39
Intégration de G AUSS
- p. 32/39
Exemple - II
Soit f la fonction :
Autres familles orthogonales
Introduction
f (x)
√
=
x
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
En calculant la somme :
Posons le problème
Changement de variable
12
X
Choix des αi et yi
αi f (yi )
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
= 1.8857676976624573
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
i=1
Alors que
Z
[−1, 1]
2
Calcul de l’erreur sur [a, b]
f (t)dt = 1.88561808316412 . . .
Exemple - I
Exemple - II
O
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
La méthode n’est pas très efficace car
√
G AUSS -L AGUERRE
x n’est pas dérivable en 0.
Il est possible d’utiliser cette méthode pour d’autres formes
d’intégrales :
Z b
w(t)f (t)dt
■
■
√ 1
1−x2
Z
■
quadrature
■
Intégration de G AUSS
■
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
■
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
◆
◆
n
X
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Conclusion
αi f (yi )
i=1
- p. 34/39
Conclusion
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
n−1
n Ln−2 (x)
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Cette méthode est adaptée au calcul des intégrales de la forme
Z ∞
n
X
αi f (yi ) + E
exp(−t)f (t)dt =
0
Cas des intégrales impropres
i=1
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Cas des intégrales impropres
Conclusion
- p. 36/39
Intégration de G AUSS
Cas des intégrales impropres
Il y a deux méthodes pour obtenir une meilleure approximation :
■ Augmenter le nombre de points de G AUSS
Mais cela n’est pas toujours efficace
■ Diviser l’intervalle d’intégration en petits intervalles
◆ Soient a0 = a < a1 < · · · < an = b avec ai+1 − ai = b−a
n
◆ Alors
Z an
Z a2
Z b
Z a1
f (t)dt
f (t)dt + · · · +
f (t)dt +
f (t)dt =
a1
w(t)f (t)dt ≃
La fonction de poids est w(x) = exp(−x)
L’intervalle considéré est [0, ∞]
Les polynômes orthogonaux sont :


 L0 (x) = 1
L1 (x) = 1 − x

 L (x) = 2n−1−x L
n−1 (x) −
n
n
Accélération de la méthode
a0
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
G AUSS -L AGUERRE
- p. 35/39
a
b
Intégration de G AUSS
Posons le problème
Intégration de G AUSS
Choix des αi et yi
Cas des intégrales impropres
Introduction
Cette méthode est adaptée au calcul des intégrales de la forme
Z 1
n
X
f (t)
√
αi f (yi ) + E
dt =
2
1−t
−1
i=1
Changement de variable
Cas des intégrales impropres
Méthodes simples de
cos(n arccos(x))
Posons le problème
Accélération de la méthode
Introduction
L’intervalle considéré est ] − 1, 1[
Les polynômes orthogonaux sont :


 T0 (x) = 1
T1 (x) = x

 T (x) = 2xT
n
n−1 (x) − Tn−2 (x) =
Introduction
Accélération de la méthode
- p. 33/39
La fonction de poids est w(x) =
Intégration de G AUSS
Pour chaque forme d’intégrale, il existe une famille de polynômes
orthogonaux, donc des points d’interpolation et des coefficients qui
permettent de calculer l’intégrale sur [a, b] avec la formule :
G AUSS -C HEBYSHEV
■
quadrature
où [a, b] est un intervalle quelconque et w(x) une fonction positive
sur [a, b] appelée poids.
a
■
Méthodes simples de
a
Conclusion
Intégration de G AUSS
Introduction
an−1
on calcule séparément chaque petite intégrale.
la borne d’erreur sur le calcul est :
!
2n+1
n
X
b−a
2
|E| < n ×
αi yi2n −
×
max f (2n) (t)
a≤t≤b
2n
2n
+
1
i=1
Parfois on ne peut pas utiliser directement ces méthodes pour le
calcul de l’intégrale d’une fonction :
Z ∞
1
■ Si l’une des bornes de l’intégrale est infinie
dt
t2
1
Z 1
■ Si la fonction n’est pas définie sur l’une des bornes
log(t)dt
0
■
Si la fonction n’est pas dérivable sur l’une des bornes
Alors, on sépare l’intégrale en de petites intégrales :
Z ∞
∞ Z 1+10(k+1)
X
1
1
dt =
dt
2
t
t2
1
1+10k
k=0
Z 1
∞ Z 2−k
X
ou
log(t)dt =
log(t)dt
0
k=0
Z
1
√
xdt
0
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Cas des intégrales impropres
Conclusion
2−k−1
On calcule chaque petite intégrale séparément et on s’arrête quand
le reste est négligeable
- p. 37/39
Intégration de G AUSS
Conclusion
■
■
Pour le calcul de l’intégrale d’une fonction, on se ramène au
calcul de l’intégrale d’un polynôme.
◆ Car c’est un ensemble de fonctions très simple.
◆ Il permet d’approcher presque toutes les fonctions intégrables.
◆ Mais cela ne fonctionne bien que sur les fonctions très
régulières.
On peut couper l’intervalle d’intégration en petits morceaux.
◆ Pour accélérer la convergence
◆ Si l’intégrale est impropre
◆ Si la fonction n’est pas assez régulière (non dérivable)
Introduction
Méthodes simples de
quadrature
Intégration de G AUSS
Introduction
Posons le problème
Changement de variable
Choix des αi et yi
Méthode de G AUSS -L EGENDRE
En pratique
L’algorithme
Calcul de l’erreur sur
[−1, 1]
Calcul de l’erreur sur [a, b]
Exemple - I
Exemple - II
Autres familles orthogonales
G AUSS -C HEBYSHEV
G AUSS -L AGUERRE
Accélération de la méthode
Cas des intégrales impropres
Conclusion
Intégration de G AUSS
- p. 39/39
Intégration de G AUSS
- p. 38/39