Chapitre 4 : SYMETRIE ET ANGLES I. VOCABULAIRE ET DEFINITIONS • Angles adjacents : Deux angles sont dits adjacents lorsque : - ils ont le même sommet - ils ont un côté commun - ils sont situés de part et d'autre du côté commun a xOy et a yOz sont adjacents • Angles complémentaires : Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90° d A +d B = 90° Ou a xAy + a uBv = 90° 52°+38° = 90° a xAy et a uBv sont complémentaires Remarque : Deux angles complémentaires peuvent être adjacents. • Angles supplémentaires : Deux angles sont dits supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180° d A +d B = 180° ou a xAy + a uBv = 180° 55° + 125° = 180° a xAy et a uBv sont supplémentaires 5ème - IV - Symétrie et Angles 1 Remarque : Deux angles supplémentaires peuvent être adjacents. • Angles opposés par le sommet : Deux angles sont opposés par le sommet s’ils sont symétriques par rapport à leur sommet commun. a xOy et a tOz sont opposés par le sommet a xOt et a yOz sont opposés par le sommet • Angles alternes-internes : a uAz et a vBy sont deux angles alternes-internes formés par les droites (xz) et (vt) et leur sécante (yu). - deux autres angles alternes-internes sont a uAx et a tBy • Angles correspondants : - a xAy et a vBy sont deux angles correspondants formés par les droites (xz) et (vt) et leur sécante (uy). d'autres angles correspondants sont : a yAz et a yBt a zAu et a tBu a xAu et a vBu II. PROPRIETES 1. Angles opposés par le sommet Propriété Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure. Démonstration : D'après les données, a xOy et a tOz sont opposés par le sommet Donc, par définition ils sont symétriques par rapport au sommet commun. 5ème - IV - Symétrie et Angles 2 Or la symétrie centrale conserve la mesure des angles, Par conséquent, a xOy et a tOz ont la même mesure. 2. Autres propriétés Dans Géoplan, ouvrir le fichier act_caractérisation_angulaire.g2w. La figure est constituée par les droites parallèles (AB) et (FE) et leur sécante commune (BE). Première partie ◊ Afficher les mesures en degrés avec trois décimales des angles suivants : a ABE, a BEG , a BEF et a EBC . Observer. Quelle remarque peut-on faire ? On remarque que : a ABE = a BEG et a BEF = a EBC ◊ Faire bouger la figure. Observer. Quelle remarque peut-on faire ? On remarque que les angles précédents gardent la même mesure deux par deux Que peut-on dire des angles a ABE et a BEG d’une part et a BEF et a EBC d’autre part ? Les angles a ABE et a BEG d’une part et a BEF et a EBC d’autre part sont alternes-internes formés par les droites parallèles (AB) et (FE) et leur sécante commune (BE). Propriété : Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même mesure Démonstration : Par construction, les angles a ABE et a BEG sont alternesinternes formés par les droites parallèles (AB) et (FE) et leur sécante commune (BE) Soit I le milieu du segment [BE]. Par définition, E est le symétrique de B par rapport à I et B est le symétrique de E par rapport à I. De plus, d’après les données, les droites (AB) et (FE) sont parallèles Donc, par propriété, les demi-droites [BA) et [EG) sont symétriques par rapport à I On en déduit que les angles a ABE et a BEG sont symétriques par rapport à I. Or, la symétrie centrale conserve les mesures d’angles (AB)//(FE) Par conséquent, les angles a ABE et a BEG ont la même mesure 5ème - IV - Symétrie et Angles 3 Deuxième partie Propriété : Si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même mesure. Démonstration : Montrons que les angles correspondants a ABE et a FEH ont la même mesure : Par construction, les angles a ABE et a BEG sont alternes-internes formés par les droites parallèles (AB) et (FE) et leur sécante commune (BE) Donc, d’après la propriété précédente, a ABE et a BEG ont la même mesure De plus, a BEG et a FEH sont opposés par le sommet. Or, si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure Donc les angles a BEG et a FEH ont la même mesure (AB)//(FE) FEH ont la même mesure. Par conséquent, les angles a ABE et a Exemple 1 : Sur le dessin ci-contre, les droites (xy) et (zt) sont parallèles et a vBt mesure 105°. Calculer la mesure de l'angle a xAu . Réponse : On calcule la mesure de l'angle a xAu : Par construction, les angles a xAu et a vBt sont des angles alternes-internes formés par les droites parallèles ( xy ) et ( zt ) et leur sécante commune (uv ) . Or, si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même mesure. xAu et a vBt ont la même mesure . Donc, les angles a Commea vBt mesure 105°, a xAu mesure 105 ° Exemple 2 : Sur le dessin ci-contre, les droites (xy) et (zt) sont parallèles et a uBt mesure 62°. Calculer la mesure de l'angle a uAy . Réponse : 5ème - IV - Symétrie et Angles 4 uAy : On calcule la mesure de l'anglea Par construction, les angles a uAy eta uBt sont des angles correspondants formés par les droites parallèles ( xy ) et (zt ) et leur sécante commune (uv ) . Or, si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même mesure. Donc,a uAy eta uBt ont la même mesure. uBt mesure 62°, a uAy mesure 62° . Comme a Exemple 3 : n°22 p 204 Position des droites (d) et (d’) : D’après la figure, les angles de 35° et 37° sont correspondants formés par les droites (d) et (d’) et une sécante commune. Or, si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles et une sécante commune alors ils ont la même mesure. Comme ces angles n’ont pas la même mesure, on peut affirmer que les droites (d) et (d’) ne sont pas parallèles. Remarque : Ces deux propriétés servent : • à calculer la mesure d'un angle. • à montrer que deux droites ne sont pas parallèles. III. PROPRIETES RECIPROQUES : a. Si deux droites forment avec une sécante deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles Si a yAt = a xBu alors (d1)//(d2) b. Si deux droites forment avec une sécante deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles Si a vAt = a uBt alors (d1)//(d2) Exemple : n°20 p204 Position des droites (d) et (d’) : 5ème - IV - Symétrie et Angles 5 D’après la figure donnée, les angles de 36° sont alternes-internes formés par les droites (d) et (d’) et une sécante commune (d’’). Or, si deux droites forment avec une sécante deux angles alternes-internes de même mesure, Comme ces angles ont la même mesure, on peut affirmer que les droites (d) et (d’) sont parallèles. Remarque : Ces deux propriétés servent à montrer que deux droites sont parallèles. 5ème - IV - Symétrie et Angles 6