SYMETRIE ET ANGLES

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- IV - Symétrie et Angles 1
I. VOCABULAIRE ET DEFINITIONS
• Angles adjacents :
Deux angles sont dits adjacents lorsque :
- ils ont le même sommet
- ils ont un côté commun
- ils sont situés de part et d'autre du côté commun
a xOy et
aa
yOz sont adjacents
• Angles complémentaires :
Deux angles sont complémentaires lorsque la
somme de leurs mesures est égale à 90°
d
A +
d
B = 90°
Ou
a
xAy +
a
uBv = 90°
52°+38° = 90°
a xAy et
a
uBv sont complémentaires
Remarque :
Deux angles complémentaires peuvent être
adjacents.
• Angles supplémentaires :
Deux angles sont dits supplémentaires lorsque la
somme de leurs mesures est égale à 180°
d
A + d B = 180°
ou
a
xAy + a uBv = 180°
55° + 125° = 180°
a xAy et
a
uBv sont supplémentaires
Chapitre 4 : SYMETRIE ET ANGLES

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- IV - Symétrie et Angles 2
Remarque :
Deux angles supplémentaires peuvent être
adjacents.
• Angles opposés par le sommet :
Deux angles sont opposés par le sommet s’ils sont
symétriques par rapport à leur sommet commun.
a xOy et
a
tOz sont opposés par le sommet
a
xOt et
a
yOz sont opposés par le sommet
• Angles alternes-internes :
- a
aa
a
uAz et a vBy sont deux angles alternes-internes
formés par les droites (xz) et (vt) et leur sécante (yu).
- deux autres angles alternes-internes sont a uAx et
a
tBy
• Angles correspondants :
- a
aa
a
xAy et a vBy sont deux angles correspondants formés
par les droites (xz) et (vt) et leur sécante (uy).
- d'autres angles correspondants sont :
a yAz et a yBt
a
zAu et a tBu
a
xAu et a vBu
II. PROPRIETES
1. Angles opposés par le sommet
Propriété
Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.
Démonstration :
D'après les données, a xOy et a tOz sont opposés par le sommet
Donc, par définition ils sont symétriques par rapport au sommet
commun.

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- IV - Symétrie et Angles 3
Or la symétrie centrale conserve la mesure des angles,
Par conséquent, a
xOy et a tOz ont la même mesure.
2. Autres propriétés
Dans Géoplan, ouvrir le fichier act_caractérisation_angulaire.g2w.
La figure est constituée par les droites parallèles (AB) et (FE) et leur sécante commune (BE).
Première partie
◊ Afficher les mesures en degrés avec trois décimales des angles suivants : a ABE, a BEG, a BEF et a EBC .
Observer.
Quelle remarque peut-on faire ?
On remarque que : a ABE = a BEG et a BEF = a EBC
◊ Faire bouger la figure.
Observer.
Quelle remarque peut-on faire ?
On remarque que les angles précédents gardent la même mesure deux par deux
Que peut-on dire des angles a ABE et a BEG d’une part et a BEF et a EBC d’autre part ?
Les angles a ABE et a BEG d’une part et a BEF et a EBC d’autre part sont alternes-internes formés par les droites
parallèles (AB) et (FE) et leur sécante commune (BE).
Propriété :
Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même
mesure
Démonstration :
Par construction, les angles a ABE et a BEG sont alternes-
internes formés par les droites parallèles (AB) et (FE) et
leur sécante commune (BE)
Soit I le milieu du segment [BE].
Par définition, E est le symétrique de B par rapport à I et B
est le symétrique de E par rapport à I.
De plus, d’après les données, les droites (AB) et (FE) sont
parallèles
Donc, par propriété, les demi-droites [BA) et [EG) sont
symétriques par rapport à I
On en déduit que les angles a ABE et a BEG sont symétriques
par rapport à I.
Or, la symétrie centrale conserve les mesures d’angles
Par conséquent, les angles a ABE et a BEGont la même mesure
(AB)//(FE)

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- IV - Symétrie et Angles 4
Deuxième partie
Propriété :
Si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même
mesure.
Démonstration :
Montrons que les angles correspondants a ABE et a FEH ont la
même mesure :
Par construction, les angles a ABE et a BEG sont alternes-internes
formés par les droites parallèles (AB) et (FE) et leur sécante
commune (BE)
Donc, d’après la propriété précédente, a ABE et a BEG ont la même
mesure
De plus, a BEG et a FEH sont opposés par le sommet.
Or, si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la
même mesure
Donc les angles a BEG et a FEH ont la même mesure
Par conséquent, les angles a ABE et a FEH ont la même mesure.
Exemple 1 :
Sur le dessin ci-contre, les droites (xy) et (zt) sont parallèles et a vBt mesure 105°.
Calculer la mesure de l'angle a xAu .
Réponse :
On calcule la mesure de l'angle a xAu :
Par construction, les angles a xAu et a vBt sont des angles alternes-internes
formés par les droites parallèles
(
)
xy et
(
)
zt et leur sécante commune
(
)
uv .
Or, si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même
mesure.
Donc, les angles a xAu et a vBt ont la même mesure .
Commea vBt mesure 105°, a xAu mesure 105 °
Exemple 2 :
Sur le dessin ci-contre, les droites (xy) et (zt) sont parallèles et a uBt
mesure 62°.
Calculer la mesure de l'angle a uAy .
Réponse :
(AB)//(FE)

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- IV - Symétrie et Angles 5
On calcule la mesure de l'anglea uAy :
Par construction, les angles a uAy eta uBt sont des angles correspondants formés par les droites parallèles
(
)
xy et
(
)
zt et leur sécante commune
(
)
uv .
Or, si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même
mesure.
Donc,a uAy eta uBt ont la même mesure.
Comme a uBt mesure 62°, a uAy mesure 62° .
Exemple 3 : n°22 p 204
Position des droites (d) et (d’) :
D’après la figure, les angles de 35° et 37° sont correspondants formés par les droites (d) et (d’) et une sécante
commune.
Or, si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles et une sécante commune alors ils
ont la même mesure.
Comme ces angles n’ont pas la même mesure, on peut affirmer que les droites (d) et (d’) ne sont pas
parallèles.
Remarque :
Ces deux propriétés servent :
• à calculer la mesure d'un angle.
• à montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
III. PROPRIETES RECIPROQUES :
a. Si deux droites forment avec une
sécante deux angles alternes-internes
de même mesure,
alors ces deux droites sont parallèles
Si
a
yAt =
a
xBu alors (d
1
)//(d
2
)
b. Si deux droites forment avec une
sécante deux angles correspondants de
même mesure,
alors ces deux droites sont parallèles
Si
a
vAt =
a
uBt alors (d
1
)//(d
2
)
Exemple : n°20 p204
Position des droites (d) et (d’) :