2013-2014 Arithmétique 1 Jeudi 10 octobre Enigme du jour : Existe-t-il une puissance de 2 qui commence par un 7 ? soit n = pa11 · · · par r la décomposition de n en facteurs premiers. Alors les diviseurs de n sont les nombres de la forme pb11 · · · pbrr où Théorème : b1 6 a1 , b2 6 a2 , . . . , br 6 ar . Combien 1000 a-t-il de diviseurs ? Plus généralement, quel est le nombre de diviseurs de pa11 · · · par r ? Exercice 1. Exercice 2. Combien y a-t-il d'entiers 1 6 n 6 1000 qui sont divisibles par 3 ou Exercice 3. A quelle condition un entier n admet-il un nombre impair de diviseurs ? Exercice 4. Quels sont les entiers 6 1000 admettant exactement 7 diviseurs ? par 5 ? Est-il vrai que le produit de quatre nombres consécutifs est toujours divisible par 2 ? Par 4 ? Par 8 ? Par 16 ? Exercice 5. Exercice 6. Quels sont les entiers p tels que p et p + 1 sont premiers ? Exercice 7. Quels sont les entiers p tels que p, p + 2 et p + 4 sont premiers ? Exercice 8. Quel est le plus grand entier k tel que 100! est divisible par 7k ? (*) Plus généralement, si p est un nombre premier, donner une expression calculant le plus grand entier k tel que n! est divisible par pk . Exercice 9. Notons σ(n) la somme des diviseurs de n. Que vaut σ(n) si n est un nombre premier ? Si n est une puissance d'un nombre premier ? Exercice 10. Exercice 11. (*) Soit τ (n) le nombre de diviseurs de n. Montrer que √ n+1 nτ (n) 6 σ(n) 6 τ (n). 2 1√ Exercice 12. Montrer que τ (n) 6 n. 2 τ (n) (**) Montrer que pour tout a > 0, a tend vers 0 lorsque n tend vers l'inni. n Exercice 13. Un nombre est dit parfait si σ(n) = 2n. Montrer que si 2k+1 − 1 est un nombre premier alors 2k (2k+1 − 1) est parfait. (*) Montrer que tout nombre parfait pair est de cette forme. 1