Activités numériques I Le partenaire de votre réussite ! Série N°3 NIVEAU : 1ère année Exercice N°1 : Soit n un entier naturel n1 IN. n3 n 14 2°) Déterminer n pour que IN. n4 n 14 n1 3°) Déterminer n pour que et IN. n4 n3 1°) Déterminer n pour que Exercice N°2 : Soit n un entier naturel. 3n 1 IN. n4 2n 3 2°) Déterminer n pour que IN. n1 3n 1 2n 3 3°) Déterminer n pour que et IN. n4 n1 1°) Déterminer n pour que Exercice N°3 : Trouver les entiers naturels n dans chacun des cas suivants n5 a) IN. n1 42 n b) et soit des entiers naturels. n 7 Exercice N°4 : On donne les entiers a = 2 3 57 2 et b = 3 2 5 2 7 1°) Montrer que a et b ne sont pas premiers entre eux. 2°) a) déterminer PGCD (a, b). b) déterminer PPCM (a, b). a 3°) Rendre la fraction rationnelle irréductible. b a 4°) Est-ce que est-il décimal justifier votre réponse. b Exercice N°6 : 1°) Les nombres 200 et 360 sont-ils premiers entre eux ? Justifier votre réponse sans faire de calcul. 2°) Calculer PGCD (200 ; 360) en utilisant l'algorithme d' Euclide. www.monmath.com : Le partenaire de votre réussite ! 1 3°) a) Déterminer : la liste des diviseurs communs de 200 et 360. b) Déterminer : le PPCM (200 ; 360). c) En déduire l’écriture irréductible de la fraction 4°) Montrer que la fraction 360 200 360 représente un nombre décimal. 200 Exercice N°7 : 1°) a) Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier naturel 120. b) Déduire l’ensemble des diviseurs de 120. 2°) Soit a et b deux entiers tels que : a 120 ; PGCD(a , b) 6 et PPCM(a , b) 2520 . Calculer alors b. a 3°) On suppose que b 126 . Rendre la fraction irréductible. b 2n 8 6 4°) a) Prouver que pour tout entier naturel n on a : . 2 n1 n1 b) Déduire l’ensemble des entiers naturels n tel que n 1 divise 2n 8 . Exercice N°8 : 1°) a) Donner D28 . 28 soit un entier ? n2 c) Vérifier que PGCD(a, b) 6 ; puis déterminer les entiers naturels n, pour que PGCD(a, b) 6 soit un entier. 2°) Comment faut-il choisir les chiffres x et y pour que l’entier N 2 yx5 soit divisible à la fois par 25 et 3 (donner toutes les possibilités). 3°) Parmi les entier suivants lesquels qui par la division euclidienne par 8 donnent un reste égal à 1 : 7345 ; 58557 ; 65933 ; 42521. b) Quels sont les entiers naturels n pour que Exercice N°9 : 1°) a) Déterminer l’ensemble de diviseur de 50. b) Trouver les couples des entiers naturels (a,b) tels que ab 50 et PGCD(a, b) 5 . c) En déduire PPCM(a , b) . 2°) On pose a 23 57 311 17 et b 25 56 38 11 . a) Déterminer PGCD(a , b) b) Déterminer PPCM(a , b) 2n² n 3°) Déterminer les entiers naturels n tel que IN . 4n 2 4°) Déterminer l’entier naturel n tel que : PGCD(3n 1,8) 4 et PPCM(3n 1,8) 62 . www.monmath.com : Le partenaire de votre réussite ! 2 Exercice N°10 : Soient a et b deux entiers naturels tels que a b . Montrer que a²b²(a² b²) est divisible par 3 et par 4. (utiliser l'arbre de choix) Exercice N°11 : k et p sont deux entiers naturels non nuls Montrer les propositions suivantes : 1°) Si k est pair alors k2 est divisible par 4. 2°) Si k et p sont impairs alors (k p)(k p) est divisible par 4. 3°) Si k est impair alors 3k +1 est pair. Exercice N°12 : 1°) Quel est le plus petit entier naturel x qui donne pour reste 1 quand on le divise par 2 ; par 3 et 5 2°) a) Soit n un entier naturel ; montrer que n (n + 1) est pair b) Soit a un entier impair ; montrer que a2 + 1 est divisible par 8. Exercice N°13 : Au centre d’une place, on veut réaliser un losange décoratif de longueur inconnue x , en assemblant des carreaux en forme de parallélogrammes comme l'indique le schéma ci-contre. Les mesures de longueurs sont exprimées en centimètres. 1°) Déterminer la valeur minimale x puis le nombre des carreaux disposés. 2°) Déterminer x dans les cas suivants : a) On dispose 48 carreaux. b) On dispose 108 carreaux. 3°) Sachant que l'on dispose au plus de 192. www.monmath.com : Le partenaire de votre réussite ! 3