théorie KAM

Une introduction à la théorie
KAM
Application au système solaire ?
Philippe Robutel
IMCCE-CNRS-Observatoire de Paris
Plantons le décor
1954 :
Kolmogorov énonce un théorème portant sur la stabilité des
systèmes hamiltoniens presque intégrables
1962, 1964 :
Moser puis Arnold en démontrent deux versions
Une conséquence : “il est bien possible que le système solaire soit
quasi-périodique”
Et donc que les orbites des planètes soient stables
Plantons le décor
1954 :
Kolmogorov énonce un théorème portant sur la stabilité des
systèmes hamiltoniens presque intégrables
1962, 1964 :
Moser puis Arnold en démontrent deux versions
Une conséquence : “il est bien possible que le système solaire soit
quasi-périodique”
Et donc que les orbites des planètes soient stables
Kepler (1571-1630) : mouvements périodiques
a, e, I, !, ⌦ constants
Newton (1643-1727)
Gravitation : Soleil + 1 planète : 2 corps --> Mouvement keplerien : stable
Soleil + n planète :
Interactions gravitationnelles entre les planètes (et les comètes) : les
perturbations s’accumulent et peuvent détruire le système !
2 questions scientifiques fondamentales du XVIII :
- La loi de Newton régit elle bien le mouvement des planètes ?
- La stabilité du système solaire est elle garantie malgré les interactions entre
les planète ?
Perturbation planétaires :
a, e, I, !, ⌦ ne sont plus constants
Les éléments elliptiques des planètes sont
animés de mouvements :
- à courtes périodes (périodes orbitales des planètes : ordre de l’année)
- séculaires : longues périodes (siècle) ou non périodiques (termes polynomiaux en t)
ex : précession des orbites
Un problème fondamental : les inégalités dans le mouvement de
Jupiter et de Saturne
Jupiter s’approchait du Soleil (diminution de son demi-grand axe) alors que Saturne s’en éloignait
Evolution séculaires des demi-grands axes ?
Kepler décrivait en 1625 qu'ayant examiné les observations de
Régiomontanus et de Waltherus, faites vers 1460 et 1500, il avait
trouvé constamment les lieux de Jupiter & de Saturne plus ou
moins avancés qu'ils ne devaient l'être selon les moyens
mouvements déterminés par les anciennes observations de
Ptolémée & celles de Tycho faites vers 1600.
De la Lande "Abrégé d'Astronomie" (1774)
Travaux d’Euler (1748, 1752) et de Lagrange (1766) : calculs incorrectes mais novateurs sur les
équations différentielles
En 1773 Laplace montre que :
Les demi-grands axes des planètes n’ont pas de variation séculaire
(par un calcul des variations moyennes)
Laplace montrera plus tard que ces “inégalités” dans les mouvements de Jupiter et Saturne sont
dues à des combinaisons de termes périodiques :
2nJ
5nS
T ⇡ 900 ans
Mouvement des inclinaisons et des noeuds :
Lagrange (1774 ----1778)
Développements au plus bas degré
yj = tan Ij exp(i⌦)
0
1
0
a1,1
ẏ1
B .. C B ..
@ . A=@ .
ẏ6
a6,1
yj =
6
X
p=1
p,j
···
···
···
10
1
y1
a1,6
.. C B .. C
. A@ . A
y6
a6,6
exp(isp t)
Evolution Q.P. des noeuds et inclinaisons
Mouvement des excentricités et des périhélies :
Laplace (1775)
Application de la méthode de Lagrange
xj = ej exp(i!)
0
1
0
b1,1
ẋ1
B .. C B ..
@ . A=@ .
ẋ6
b6,1
xj =
6
X
p=1
p,j
···
···
···
exp(igp t)
10
1
x1
b1,6
.. C B .. C
. A@ . A
x6
b6,6
Evolution Q.P. des excentricités et périhélies
Théorème de stabilité de Lagrange-Laplace
Les demis-grands axes n’ont que des variations à coutes périodes.
Ils sont bornés
Les excentricités et inclinaisons ont des variations quasipériodiques. elles sont bornées
Pas d’intersections possible des orbites planétaires : stabilité
perpétuelle
Le Verrier (1840, 1841) soulève le problème des
petits diviseurs dans la construction du système
séculaire des planètes intérieures
Ces termes acquièrent par l'intégration de très petits diviseurs ; et ainsi il en
résulte, dans les intégrales, des termes dus à seconde approximation, et dont
les coefficients surpassent ceux de la première approximation. Si l'on pouvait
répondre de la valeur absolue de ces petits diviseurs, la conclusion serait
simple : la méthode des approximations successives devrait être rejetée
Poincaré (1854-1912)
Entre autres choses ...
- Conclut que : les séries de perturbations utilisées
par les astronomes pour représenter le
mouvement des planètes ne peuvent converger sur
un ensemble ouvert de conditions initiales.
- Mais, ces méthodes peuvent fournir une très
bonne approximation des mouvements sur un
temps fini.
Les termes de ces séries, en effet, décroissent d'abord très rapidement et se mettent
ensuite à croitre ; mais, comme les astronomes s' arrêtent aux premiers ternes de la
série et bien avant que ces termes aient cessé de décroître, l'approximation est
suffisante pour les besoins de la pratique.
La divergence de ces développements n'aurait d' inconvénients que si l'on voulait s'en
servir pour établir rigoureusement certains résultats, par exemple la stabilité du système
solaire.
L’écart entre la solution “exacte” S la nième approximation Sn évolue comme :
Rn = S
Sn = O ("n n!)
Rn ! 1, mais est minimum pour n = "
1
20
1
"=
100
10
log10 (Rn )
0
R"
-10
-20
-30
-40
-50
0
50
100
n
150
200
250
300
1
⇣
=O "
1/2
e
1/"
⌘
Liste des ingrédients
Petites perturbations
Approximation successives
Petits diviseurs
divergence des séries
Un modèle réduit de la théorie des perturbations
Système dynamique très simple : itérations d’une application sur le cylindre
Application non-perturbée : rotation sur le cylindre
f0 :
R/Z ⇥ R
(x, y)
!
7 !
R/Z ⇥ R
(x + ↵, y)
La dynamique sur le cylindre est donnée par les itérations de f0
f0n (x, y) = (x + n↵, y)
courbe invariante (x, y) = (✓, y0 )
dynamique ✓ 7 ! ✓ + ↵.
Translation de vecteur ↵
Si ↵ 2 R r Q : Les trajectoires sont denses sur les cercles
Si ↵ 2 Q : Nombre fini de points sur les cercles : périodicité
Perturbation de l’application :
u : R/Z ! R
f" :
R/Z ⇥ R
(x, y)
”régulière” et " un petit paramètre
!
7 !
R/Z ⇥ R
(x + ↵, y + "u(x))
f"n (x, y) = (x + n↵, y + "
n
X1
u(x + p↵))
"
p=0
n
X1
u(x + p↵)
bormée ?
p=0
courbe invariante (x, y) = (✓, y0 )
dynamique ✓ 7 ! ✓ + ↵.
courbe invariante
Translation de vecteur ↵
(✓, y0 + "v(✓))
dynamique ✓ 7 ! ✓ + ↵
v
existe t’elle et à quels conditions ?
(✓, y0 + "v(✓))
courbe invariante
f" (✓, y0 + "v(✓)) = (✓ + ↵, y0 + "v(✓) + "u(✓)) = (✓ + ↵, y0 + "v(✓ + ↵))
u(✓) = v(✓ + ↵)
v(✓)
équation aux différences
Développement en séries de Fourier
Si u(✓) =
X
k2Z
uk e
2i⇡k✓
et
v(✓) =
X
k2Z
vk e2i⇡k✓
si k = 0 : u0 = 0 et v0 arbitraire
8k 2 Z : e2i⇡k↵
1 v k = uk
u0 =
si k 6= 0 : e2i⇡k↵ 6= 1 et vk =
Z
1
u(✓)d✓ = 0
Moyenne nulle
0
uk
e2i⇡k↵
1
e2i⇡k↵ 6= 1 8k 2 Z () ↵ 2 R \ Q
Donc, si u
est de moyenne nulle et si ↵
X uk e2i⇡k✓
v(✓) = v0 +
2i⇡k↵
e
1
⇤
k2Z
Convergence de la série ?
est irrationnel
Petits diviseurs
e
2i⇡k↵
1
Si ↵ 2 R r Q : e2i⇡k↵
1 6= 0
mais aussi petit que l’on veut
Pour tout ↵ irrationnel , il existe une infinité de nombres rationnels
p/q (q > 0) tels que |↵
p/q| < 1/q 2
Si ↵ est un nombre diophantien
9C > 09r
|e2i⇡k↵
2 tels que 8 p/q 2 Q (q > 0), on a
1| > 4C/|k|r
|↵
p/q| > C/q r
1
Existe t’il des nombre diophantiens ?
Le nombre d’or ' = (1 +
8 p/q 2 Q on a :
|'
p
5)/2 est diophantien
p
p/q| > 1/( 5q 2 )
L’ensemble des nombre diophantiens est de mesure (de Lebesgue)
pleine dans l’ensemble des réels
Si ↵ est un nombre diophantien
|vk | < |uk ||k|r
1
/(4C)
|e2i⇡k↵
1| > 4C/|k|r
1
Si les uk décroissent suffisemment vite, la serie converge
La vitesse de décroissance dépend de la régularité de u
Si u est indéfiniment dérivable : décroissance rapide 8 p 2 N, 9 Cp > 0 tel que |uk | < Cp |k|
|vk | < Cp0 |k|r
X uk e2i⇡k✓
converge pour p assez grand
2i⇡k↵
e
1
⇤
p 1
k2Z
Si u est analytique sur la bande |=(✓)| <
|vk | < C 0 |k|r
1
e
|k|
|uk | < Ce
|k|
p
Remarques
↵ diophantien et décroissance assez rapide des uk
par tout point (x0 , y0 ) passe une courbe invariante : (x, y0 +"v(x)) indépendamment de "
Ces courbes se déduisent les unes des autres par translation verticale
La dynamique est identique sur chaque courbe : ✓ 7 ! ✓ + ↵
Ce n’est pas un cas perturbatif car l’équation
u(✓) = v(✓ + ↵)
est linéaire
v(✓)
Un exemple moins simple
R/Z ⇥ R
g" :
(x, y)
!
7 !
R/Z ⇥ R
(x + y, y + "u(x))
Si " = 0 : les cercles y = ↵ sont des courbes invariantes
Mais la dynamique dépend du cercle : orbites denses ou discretes
Si " 6= 0 on cherche des courbes invariantes (x, y) = (✓ + "w(✓), ↵ + ✏v(✓))
Dynamique : ✓ 7 ! ✓ + ↵
↵, v, w?
u(✓ + "w(✓)) = w(✓ + 2↵)
v(✓) = w(✓ + ↵)
w(✓)
2w(✓ + ↵) + w(✓)
u(✓ + "w(✓)) = w(✓ + 2↵)
2w(✓ + ↵) + w(✓)
Fonctions implicites dans un espace fonctionnel
Résolution itérative de l’équation avec un noyau de la forme
u(n) (✓) = w(n) (✓ + 2↵)
2w(n) (✓ + ↵) + w(n) (✓)
équation aux différences : diviseurs
e
2i⇡k↵
w = w(0) + · · · + w(n) + · · ·
1
2
Si ↵ est diophantien, 9 "⇤ : 8 " < "⇤ , la méthode converge
(x, y) = (✓ + "w(✓), ↵ + ✏v(✓))
mais
9 "⇤ : 8 " < "⇤ , certaines courbes invariantes par g0 (cercles) sont détruites
d’autres sont seulement légèrement déformées en courbes invariantes pas g"
(x, y) 7 ! (y cos x, y sin x)
Systèmes hamiltoniens
Le système di↵érentiel sur R2n : ṙ = F(r) ssi
si on pose r = (q1 , · · · , qn , p1 , · · · , pn )
9 H(q1 , · · · , qn , p1 , · · · , pn ) tel que :
r 2 Rn et S 2 Sn+ (R) : Sr̈ =
q = r, p = ṙ
8
>
q̇j
>
>
<
>
>
>
: ṗj
=
=
rr U (r)
1
H = p · Sp + U (q)
2
Problème des n corps :
n
X
||pi ||2
H=
2m
i
i=1
X
1i<jn
Gmi mj
||ri rj ||
ṙi 2 R3 , pi = mi ṙi
@H
@pj
@H
@qj
Oscillateur harmonique
ẍ =
↵2 x
p2 + ↵ 2 q 2
H(q, p) =
2
q = x, p = ẋ :
p
(✓, I) ! (q, p) = ( 2↵I sin ✓,
p
2↵
1I
cos ✓)
est canonique (préserve de formalisme hamiltonien) : dq ^ dp = d✓ ^ dI
0
H(q, p) = H (✓, I) = ↵I
˙✓ = @H = ↵, I˙ =
@I
@H
=0
@✓
Fréquence du mouvement
Solutions :
(✓(t), I(t)) = (✓0 + ↵t, I0 )
Si t = 1, on retrouve l’application f0
Pendule
ẍ =
Si ↵ = 0
Solutions :
↵2 sin x
avec ↵2 = g/l
˙✓ = @H = I, I˙ =
@I
@H
=0
@✓
Fréquence du mouvement
(✓(t), I(t)) = (✓0 + It, I0 )
Si t = 1, on retrouve l’application g0
Si 0 6= ↵ << 1 :
perturbation
(✓1 , ✓2 , I1 , I2 ) 2 T2 ⇥ R2
T = R/(2⇡Z)
Solutions :
I12
I22
H(✓, I) =
+
2
2
(✓(t), I(t)) = (✓10 + I10 t, ✓20 + I20 t, I10 , I20 ) = (✓0 + It, I0 )
vecteur fréquence ⌦ = (I1 , I2 )
Si
9 k 2 Z2 \ (0, 0) : k · ⌦ = 0
Sinon
⌦ est résonant : orbite périodique sur T2
⌦ est non-résonant : orbite dense sur T2
I12
I22
H(✓, I) =
+
+ "h(✓1 , ✓2 , I1 , I2 )
2
2
✓j =
✓j0
@W 0 0
+ " 0 (✓ , I ) + O("2 )
@Ij
Ij =
Ij0
@W 0 0
" 0 (✓ , I ) + O("2 )
@✓j
Flot au temps 1 du système hamiltonien d’hamiltonien "W
02
02
I
I
H 0 (✓0 , I 0 ) = 1 + 2 + "h̄(I10 , I20 )
2
2
I˙j0 =
@H 0 0 0
(✓ , I ) = 0
0
@✓j
h̄(I1 , I2 ) = (2⇡)
2
Z
2⇡
0
Z
2⇡
h(✓1 , ✓2 , I1 , I2 )d✓1 d✓2
0
0
@H
@h 0
0 0
0
˙✓0 =
(✓ , I ) = Ij + " 0 (I )
j
0
@✓j
@✓j
I12
I22
H(✓, I) =
+
+ "h(✓1 , ✓2 , I1 , I2 )
2
2
✓j =
✓j0
@W 0 0
+ " 0 (✓ , I ) + O("2 )
@Ij
Ij =
Ij0
@W 0 0
" 0 (✓ , I ) + O("2 )
@✓j
Flot au temps 1 du système hamiltonien d’hamiltonien "W
02
02
I
I
2
1
2
0 0 0
0
0
+"
R(W, H)
H (✓ , I ) =
+
+ "h̄(I1 , I2 )
2
2
@W
0 @W
0 @W
⌦·
= I1 0 + I2 0 = h̄
0
@✓
@✓1
@✓2
W =i
X
k2Z2 \(0,0)
⌦
hk (I) ik·✓
e
k·⌦
h
diviseurs ... pas trop petits
C
C
vecteur fréquence diophantien : |k · ⌦| >
=
et r > 2
r
r
|k|
(|k1 | + |k2 |)
La mesure du complémentaire des vecteurs diophantiens dans R2 est nulle
On itère la transformation jusqu’à l’ 1
02
02
I
I
2
H 0 (✓0 , I 0 ) = 1 + 2 + "h̄(I10 , I20 ) +" R(W, H)
2
2
Compétition entre la décroissance des "
2n
et l’accumulation des petits diviseurs
Ces questions sont au coeur des théories KAM.
Un énoncé de type KAM
H(✓, I, ") = H0 (I) + "H1 (✓, I, ")
sur Tn ⇥ Rn
- l’application fréquence est non-dégénérée : I 7 ! rH0 (I) : est un di↵éo.
- régularité de H1
Pour une perturbation assez petite, la majeure partie des tores invariants nonrésonants du système non-perturbé subsistent en étant faiblement déformés.
Le flot du système est linéaire sur ces tores.
La mesure du complémentaire de la réunion des tores invariants du problème
perturbé tend vers zéro (quand ") tend vers zéro)
Ij = Ij0 + "fj (
✓j =
j
+ "gj (
1, · · ·
1, · · ·
,
n)
,
n)
˙ j = !j
Tores T2 qui séparent l’espace (dim. 4 + intégrale première = R3 )
En dim. sup. possibilité de di↵usion
Théorème de Nekhoroshev (1977) :
|I(t)
I(0)| < "b pour 0  t < "
1
exp("
a
)
a, b > 0
KAM et le système solaire
Le problème de Kepler est dégénéré : les résultat précédents ne sont pas applicables
Généralisation d’Arnold aux systèmes dégénérés (1963)
Arnold 1963 : application à 2 planètes dans le plan (+ Soleil)
énoncé à n planètes dans l’espace (sans démonstration)
Robutel 1995 : application à 2 planètes dans l’espace (+ Soleil)
énoncé à n planètes dans l’espace sans démonstration
Féjoz, Herman 2004 : application à n planètes dans l’espace (+ Soleil)
Chierchia, Pinzari 2010 : application à n planètes dans l’espace (+ Soleil)
Enoncés du type :
pour des masses planétaires, des excentricités et des inclinaisons assez petites,
la plupart des trajectoires sont quasi-périodiques (stables sur des temps infinis).
Le “assez petites” ne correspond à aucun système planétaire raisonnable !
Simulations numériques (Laskar, Robutel, Guzzo, ...) :
- Le mouvement de Jupiter et Sature (dans le problème des 3 corps) est
indiscernable d’un mouvement quasi-périodique (comme dans KAM)
- L’instabilité est quasiment indétectable dans le système (Soleil, Jupiter, Uranus,
Neptune)
Mais, le système solaire intérieur (planètes telluriques) est instable !
- Laskar (1989) : l’orientation des planètes telluriques est perdue en 100 Ma
- Laskar, Gastineau (2009) : collision possible entre Venus et Mercure (5 Ga)
Quelques références bibliographiques
Ghys, Résonances et petits diviseurs (www.umpa.ens-lyon.fr/~ghys/articles/kolmogorov.pdf)
Laskar, 1992, La stabilité du système solaire, in Chaos et Déterminisme, A. Dahan et al, eds
Seuil, Paris
Laskar, 2012, Is the Solar System stable ? (http://arxiv.org/pdf/1209.5996v1)
Morbidelli, 2002, Modern celestial mechanics. Taylor \& Francis, London.
(http://www.oca.eu/morby/celmech.pdf)