Université de Rouen Licence 3 Mathématiques 2016–2017 Mesure & Intégration TD 5 – Continuité et dérivation sous l’intégrale - Théorèmes de Fubini Z Exercice 1. Soit f la fonction définie sur R+ par f (t ) = +∞ µ sin x ¶2 x 0 a) Montrer que f est continue sur R+ et deux fois dérivable sur R∗+ . e −t x dx. b) Calculer f 00 et les limites en +∞ de f et f 0 . c) En déduire une expression simple de f . Exercice 2. a) Montrer que la fonction f : x 7→ sin x est Lebesgue-intégrable sur [0, +∞[. ex − 1 b) Montrer que, pour tout x > 0, on peut encore écrire f (x) sous la forme : f (x) = +∞ X e −nx sin x. n=1 Est-ce vrai en 0 ? Z c) En déduire que 0 +∞ ∞ X 1 sin x dx = . x 2 e −1 n=1 n + 1 Exercice 3. a) Démontrer que h : θ 7→ ln(1 − sin2 θ) est Lebesgue-intégrable sur [0, π/2[. Z π/2 b) On considère la fonction F : t 7→ ln(1 + t sin2 θ) λ(dθ) de R dans R. 0 (i) Montrer que F est définie et continue sur [−1, +∞[. (ii) Établir que F est de classe C 1 sur ] − 1, +∞[ et que Z π/2 sin2 θ 0 λ(dθ). ∀t ∈] − 1, +∞[, F (t ) = 1 + t sin2 θ 0 c) π F 0 (t ) = p . p 2 1 + t (1 + 1 + t ) i h ¡ p ¢ (ii) En déduire que ∀t ∈ [−1, +∞[, F (t ) = π ln 1 + 1 + t − ln 2 . (i) Montrer que ∀t ∈] − 1, +∞[, Exercice 4. Soit f la fonction définie sur l’espace produit R+ × [0, 1] par f (x, y) = 2e −2x y − e −x y . a) Montrer f est B(R+ ) ⊗ B([0, Z 1])-mesurable. Z que ³Z ´ ³Z ´ Calculer f (x, y) dx dy et f (x, y) dy dx. Conclure. [0,1] R+ R+ [0,1] Exercice 5. Z 1 ln x ln x a) Montrer que l’intégrale I = dx est bien définie et vérifie I = −2 dx. 2 2 x −1 0 0 1−x Z dx dy b) Calculer de deux façons l’intégrale et en déduire la valeur de I . 2 R2+ (1 + y)(1 + x y) Z +∞ c) Déduire de la question précédente et d’un développement en série entière de 1/(1 − x 2 ) les égalités X X 1 1 π2 π2 = , puis = . 2 2 8 6 n≥0 (2n + 1) n≥1 n 1 CONTINUITÉ ET DÉRIVATION SOUS L’ INTÉGRALE - T HÉORÈMES DE F UBINI 2 Exercice 6. Soit (X , F , µ) un espace mesuré. Soit f et g deux fonctions mesurables positives sur (X , F ). © ª a) Montrer que A = (x, t ) ∈ E × R+ : f (x) ≥ t ∈ F ⊗ B(R+ ). Z Z © ª b) Montrer que f dµ = µ( f ≥ t ) λ(dt ). X R+ Z Z © ª p c) En déduire que, pour tout p ≥ 1, g dµ = pt p−1 µ( g ≥ t ) λ(dt ). X R+ Z d) Que dire de ϕ ◦ f dµ si ϕ est une fonction croissante de classe C 1 sur R+ nulle en 0 ? X e) En considérant l’application de X ×R+ ×R+ dans R+ , F : (x, s, t ) 7→ 1[s,+∞[ ( f (x))1[t ,+∞[ (g (x)), montrer que Z Z ¡© ª © ª¢ f g dµ = µ f ≥ s ∩ g ≥ t λ(ds) λ(dt ) . X R2+ Exercice 7. Soit f : R → R+ une fonction borélienne positive. © ª a) Montrer que l’ensemble A f = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ f (x) est un borélien de R2 et calculer λ(2) (A f ). [Indication : On pourra procéder par méthode standard] © ª b) Même question pour le graphe de f défini par G f = (x, f (x)) : x ∈ R . ¡© ª¢ c) En déduire que pour λ-presque tout y ∈ R+ , λ x ∈ R : f (x) = y = 0. Exercice 8. Une formule d’intégration par parties généralisée. a) Si µ est une mesure sur (R, B(R)), on désigne par F = F µ sa fonction de répartition, qui est une fonction définie sur R par F (t ) = µ(] − ∞, t ]). (i) Montrer que F est une fonction croissante, admet en tout point une limite à gauche et est continue à droite. (ii) À quelle condition sur F la mesure µ est-elle finie, de probabilité ? (iii) Pour tout x ∈ R, exprimer µ({x}) en fonction de F . Montrer que F est continue en x ssi µ({x}) = 0 (x n’est pas un atome de µ). b) Soit µ et ν des mesures finies sur B(R). On désigne par F et G leurs fonctions de répartition respectives. Pour des réels fixés a et b, avec a < b, on définit © ª A = (x, y) ∈ R2 : a < y ≤ x ≤ b . En calculant de deux façons différentes µ ⊗ ν(A), montrer que Z Z − F (t ) ν(dt ) + G(t ) µ(dt ) = F (b)G(b) − F (a)G(a). ]a,b] ]a,b] c) Soit f et g des fonctions positives, λ-intégrables sur R et Z x Z ∀x ∈ R, F (x) = f dλ, et G(x) = −∞ x g dλ . −∞ Montrer que F et G sont les fonctions de répartition de deux mesures finies sur B(R). En déduire que Z Z ∀a, b ∈ R, a < b, F (x)g (x) λ(dx) + f (x)G(x) λ(dx) = F (b)G(b) − F (a)G(a). [a,b] [a,b]