capes PC 2014

ministi
Éducat
nation GBE PHC 1
SESSION 2014
CAPES
CONGOURS EXTERNE
ET CAFEP
Section : SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES
COMPOSITION DE PHYSIQUE AVEC APPLICATIONS
Durée : 5 heures
Calculatrice électronique de poche - y compris calculcttrice progrqmmoble, alpltanumérique ou à
écran graphique - à fonctionnement qutonome, non imprimante, qutorisée conformément à la
circulaire n" 99-186 du l6 novembre 1999.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnctire et de tout qutre mcttériel électronique
es t rigoureus ement interdit.
La plus grande importance sera donnée à la qualité de la rédaction et de la présentation des
résultats obtenus. Il est rappelé en particulier qu'une application numérique doit comporter un
nombre de chffies significatifs adapté et une unité.
Dans le cas oùt un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale très
lisiblement sur sa copie, propose lq correction et poursuit l'ëpreuve en conséquence.
De même, si cela vous conduit àformuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou tes)
mentionner exp licitement.
NB : La copie que vous rendrex, ne devra, conformément au principe d'anonymut, compofter aucun signe
distinctif, tel qae nom, signature, origine, etc. Si le truvail qui vous est demandé compofte notumment Ia
réduction d'an projet ou d'une note, voas devrez impérativement vous abstenir de signer ou de I'identifier.
Tournez la page S.V.P.

Transmission de signaux numériques
Le problème est découpé en trois parties toTalement indépendantes. Les parties I et III contiennent chacune de
nombreuses questians indépendantes entre elles.
Partie I :
Partie II :
Partie III :
Modes de transmission de signaux numériques : principes physiques et limitations
Transfert de données numériques
Géolocalisation par transmission de données : le système GPS
Partie I : MODES DE TRAI{SMISSION DE SIGNAUX NUMERIQUES :
PRTNCIPES PHYSIQUES ET LIMITATIONS
La trcmsmission de signatx numériques peut s'ffictuer en espâce libre ou bien par l'intermédiaire d'un gttide-
Cette première partie aborde successiventent, e[ de .façon totalement indépendante, les guides de type ligne
bifilaire électriepte, puis les guides de typefibre optique-
A) Lisne bifilaire en cuivre
Les lignes tétéphoniques, installées depuis de nombreuses décennies, initialement pour ttssurer la trunsmissian
cles sigtaux inalogiqnns de ta îéIëphonie, contribuent aujourd'hui beaucoup à la transntission de signaar
nu,néiiques, pourj'înterner, lc ftlàvision er la téléphonie numérique. Elles sûnt constiTuées de deuxfils de
cuivre,.formant en général une paire torsadée.
1o) Equation de,pronaeation dans Ie cas idéal
lJn tronçon de ligne élémentaire, cle longueur dx, peut être modélisé par le schéma de la figrrre 1. .tl est
i,inductance linéique et" f lacapacité linéique de la ligrre. On donne A = 250 nH. m-1 et 1' = 100 pF. m-1'
x+dx
Figure 1
t WEn utilisant la loi des næuds, établir la relation *= -'#
t ),Énnutilisant la loi des mailles, établir la relation #= -n*
a )i-En déduire qge la tension u(x,t) vérifie une équation de propagation de d'Alernbeft et donner
-l,"xpression de la célérité c des ondes en fonction de A etf . Calculer numériquement c puis commenter.
20) Prise en compte des faibles pertes
Afin de prendre en compte les dissipations d'énergie sous fbrme d'effet Joule le long de la ligne, on peut
modifierie modè|e en ajoutant une résistance en série avec la bobine, conformément à la figure 2.
"ffi''t
,l I *.ïl,c+ax,o
a

R représente la résistance linéique de la ligne.
i(x,t) Rdx dx,t)
v-J.
x+dx,t)
x+dx
Figure 2
t /ft-On montre que la nouvelle équation de propagation de la tension est : {$ - O, # = Rf #. Ën
cherchant une solution en notation complexe de la forme u=lJ*ei(^x'kx), avec j2 - -1, établir la
relation de dispersion, reliant k à la pulsation ar de la tension.
2tr- Montrer que dans le cas de faibles pertes, c'est-à-dire pour R 41. Au, k peut se mettre sous la forme
&: k' - jk", avec les expressions approchées suivantes , k' = T "tk" * *.
2e- On considère une portion de ligne de longueur /. Soit une onde de tension progressive se propageant
dans ie sens des x croissants. On note U6 sûn amplitude à l'entrée de la ligne, et U7 celle au bout de la
distance 4.Etablir larelation : IJ4 = lJoe-k"'t.
2d- En déduire l'atténuation en dB après un parcours d'une distance / dans la ligne, en fonction de k" et
t.
3o'l Evaluation de l'atténuation
On cherche à.iustifier i'évolution de l'atténuation dans une ligne en fonction du dianiètre a du fil de cuivre
utilisé, telle qu'elle apparaît dans le tableau suivant, pour une fréquence donnée, égale à 1,1 MHz :
Diamètre a du fil (en mm) Coefficient d'atténuation Att (en dBikm)
0,40 15
0,50 12.4
0.60 10^3
Compte tenu du 2o), le coefficient d'atténuation Att dans la ligne, exprimée en dB/m peut s'écrire :
Att = 1oR log(e).
AC
Onrappellequelarésistanceélectriqued'uncylindrederésistivitép,desection,Setdelongueur testr=*.
En régime sinusoidal, la densité volunique de courant n'est pas uniforme dans un fil, en raison de I'effet de
peau. On rappelle I'expression de l'épaisseur de peau, à une fréquence f, dans un milieu de résistivité p :
^G-IL
u - I ^.
{ rttol
I sa.En admettant qu'en première approximation, le courant circule dans une épaisseur ô << a à la
périphérie du fil, évaluer la section .!rrs;;s du fil effectivement parcourue par un courant en fonction du
diamètre a et de l'épaisseur de peau ô.
. 3b- En déduire que la résistance linéique effective de la ligne (fils aller et retour) peut s'écrire :
n -2 F^r
rI:- l-.
a\ 1t
r 3c- Montrer que les valeurs du tableau ci-dessus sont cohérentes avec celles du coefficient d'atténuation
linéique en fonction du diamètre du fil que l'on peut déduire du 3tr. Comparer les ordres de grandeur
obtenus à partir des valeurs expérimentales du tableau ou d'une évaluation directe.
On donne la résistivité dtt cuivre I Pcu = 1,7 ' 1.0-e fI. m et on rappelle Que /to = 4r '10-7 H. m-1.
a
--) Tournez la page S.V.P.

B) Fibre orrtiquç
Le,s fibres optiques sont de plus en plzts utilisées dan,s le domaine des télécontrnzmications. Elles permettent en
ffit des trensmissions à grande distance. '4près une étude générale des -fibres ù saul d'indice, puis une nise en
équution simplifîée des modes de pt"opagalion, deux sources de litnitation dans l'tttilisation des filsres sont
successittemenl analvsées : la dispersion el l'ct|\énualian.
Considérons une flbre optique dout le cceur est un cylindre circulaire d'axe O.r, de rayon R1 et d'indice optique
ru1. O est le centre de la face d'entrée de ia fibre. La gaine est égalenrent d'axe O;, d'indice t?2, de râyon
intérieur R1 et de rayon extérieur ,R2. Les indices vérifient l'inégalité fir), ?12. Une telle fibre est dite à saut
d'iirdice.
Soit iin rayon lumineux arivant en O à l'entrée du cæur de la fibre. Dans I'air, il est incliné d'un angle 0ç par
lapport à I'axe Oz" Après r'éfi"action dans le cærir de la fibre, le rayon arrive à I'interface entre le cæur et la
gaine. avec un angle d'incidence iI par rapport à ia nonnale au dioptre formé par ie cæur et la gaine.
'lous les angles intervenant dans cette partie sont compris entre 0 et l.
L'indice de l'air est considéré égal à 1. On peut se référer à la figure 3, réalisée dans le plan d'incidence, qui est
un plan de symétrie pour la fibre.
Figrire 3
le) Notions doouverture numérique et de mode
, "_F Etablir une relation entre les angles i1, A6 û les indices des milieur.
ç 4)d-Quelleestlaconditionportantsursiniletlesindicesdesrniiieurpourciu'il yaitréflexiontotaleà
74'interlace etttre le crcur el la gaine ?
/-
o 4/Anappelle ornerTure nuruériqtte cle la fibre la quantité OÀ = tl$:æ, Quelle est, en fonction cle
ôN,lovaleur maximale 00nro, de l'angle 06 au-delà de laquelle il n'y a plus refiexicn totale à i'interface
cæur-gaine ? Calculer numériqueinent 0snrot potlt'17r : I.'18 et n2:1,46.
La dételnination cles différents modes de propagation des ondes électromagnétiques dans une fibre optique fait
appel aux équations de Maxlvell et aux équations de propagation qui en découletrt. l,es solutions rigotreuses
s'écrivent âu moyen de fanctions de Bessel.
II est toutefois possible d'obtenir des solutions approchées. et d'appréhender la notiolt de modes avec un
fomralisme allégé, en s'appuyant sur des considérations sitnples d'optique ondulatoire.
Figure 4
-4-

Considérons un plan de symétrie de la fîbre contenant l:axe Oe. Soient deux rayons lumineux se propageant
dans ce plan, au sein du cceur de la fibre optique, l'un repéré par une sirnple flèche, I'autre par une double
flèche. Les ondes associées à ces deux rayons sont supposées monochromatiques, cohércntes, de longueur
d'onde dans le vide 2. Ellcs subissent des réflexions totales aux interfaces entre le cæur de la fibre et la gaine,
c'est-à-dire aux points Ar, Az, 43, etc pour le rayon repéré par une simple flèche, et aux points Br, Bz. etc pour le
rayon repéré par une double flèche. On note f I'angle d'inclinaison de chacune des portions rectilignes de ces
rayons pâr rappofi à l'axe Oz de la fibre.
Toutes ces notations sont illustrées par la {igure 4.
Soient C et D les points des rayons ArAz et BzB: se trouvant dans un même plan orthogonal aux deux rayons.
Soient E et F les points des rayons A:A+ et B2B3 se trouvant dans un mêtne plaii orlhogonal aux deux rayons.
ç ?{ Dans un premier ternps, on ne prend pas en compte les éventueis dépliasages dus aux réflexions. En
/utilisant les points apparaissant sur cette figure 4, exprimer la difference de chernin optique ô entre les
deux rayons allant du plan coatenant C et D au plan E et F. La différence sera choisie de telle sorte que ô
soit positif.
c F-soient A'2 et A'3 ies projetés orthogonaux respectifs des points Az et Ar sur le rayon 8283. Exprimer
la difÊerence de marche ô en fonction de AzA:, A'2A'3 etn1.
+ 5c- Montrer que cette difference de marche peut encore s'écrire : 6 = Rtsin 06.
a 5d- On suppose que, pour que la propagation soit possible, cette différence de marche doit être égale à
un nombre entier de fois la longueur d'onde tr. Commenter cette hypothèse et en déduire la condition
(Cl) associée en introduisant un entier naturel rz, que l'on nommera < indice du mode >>.
On notera 06* et B*les angies 0o et B associés au mode rir.
ç 6a- Quelle inégalité doit vérifier m compte tenu de l'ouverlure numérique ON de la fibre ?
r 6b-Applicationnumérique:pournr:1,48,n2:1,46,R1 :25,0pmet.1 = 1,55pm,combienya-t-il
de modes possibles ?
+ 6c-Montrer que pour n1:1,447,n2:7,443, R1 :3,50pm et )- = L55 pm, seui le mode m:0 est
possible. La fibre est alors dite monomode.
+ 6d- On tient compte à présent des déphasages dus aux réflexions. Lorsqu'une onde lumineuse se
propageant dans un milieu d'indice n, renÇontre un dioptre séparant le milieu d'indice no d'un milieu
d'indice n3, à quelle condition la réflexion sur le dioptre s'accompagne-t-elle d'un déphasage de n ?
+ 6e- La condition (C1) est-elle modifiée si l'on prend en compte le déphasage éventuel lié à la réflexion ?
Une réponse justifiée est attendue.
2o) Disnersion
Il existe plusieurs types de disper:sion au sein d'une fîbre optique. Nous allons nous intéresser successivement à
la clispersion intermodale puis à la dispersion intramodale.
Dis nersion intermodale
On considèl'e une fibre optique multimode d'axe Oz, de longueur L, avec un cæur de rayon R1 et d'indice
optique rLl,Etune gaine d'indice rlzlhr. Supposons qu'une diode laser émette une impulsion lumineuse de
longueur d'onde dans le vide,1 pendant une durée 16. Les calactéristiques de la fibre sont telles qu'il existe i/+1
modes, d'indices compris entre 0 et iy'. Pour ie mode d'indice m, F* = arcsin (#i)
,/
"r-'- ----- - - ' tt. \4n1È1,/
+ 7Â- Montrer que pour une fibre optique de longueur /., la distance parcourue par la lumière pour le mode
-/
, m est-?-. En déduire l'expression du chemin optique dans la fibre pour le mode rz.
' cos rljm
u /b- Quel est l'indice du mode dont la durée de la propagation le long de la fibre est le pius court ?
-5- Tournez la page S.V.P.