Formules 2-XORSAT aléatoires dans la fenêtre critique

Formules 2-XORSAT aléatoires dans la fenêtre
critique
Vlady RAVELOMANANA1
1LIPN – UMR CNRS 7030, Université de Paris Nord
[email protected]
(travail en commun avec HERVÉ DAUDÉ – LATP, Univ.. de Provence.)
Aléa 2008
V. Ravelomanana (LIPN – P13) 2-XORSAT inside the critical window 11 – 03 – 2008 1 / 26

Sommaire
1Contextes: k-SAT, CSP
22-XORSAT
3Enumérations exactes des graphes de 2-XORSAT
4Transition de phase et 2-XORSAT
5Conclusion et perspectives
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Les formules aléatoires
k-SAT/CSP ...
Formules k-SAT aléatoires (k>2)−→ transitions de phase
abruptes (sharp) FRIEDGUT, BOURGAIN 99
De manière générale,
Les objectifs dans les phénomènes de transitions de phase
1Localisation du seuil, ex. 3-SAT 4.2???, 3-XORSAT DUBOIS, MANDLER
03.
2Nature de la transition: abrupte ou douce (’sharp’ ou ’coarse’). Voir
cours ALEA’05 de CREIGNOU, DAUDÉ.
3Détails dans la Fenêtre Critique (ex: 2-SAT BOLLOBÁS et al. 06)
4Structure de l’espace des solutions MONASSON et al. 07
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L’Exemple 2-SAT : Localisation du Seuil
Une instance : (v1∨v2)∧(¬v1∨v3)∧(¬v1∨ ¬v2)
Une affectation : SAT avec (v1=1,v2=0,v3=1).
Localisation du seuil : nvariables, m=c×nclauses. c<1proba
SAT ∼1,c>1proba SAT ∼0.
Structures combinatoires: graphes dirigés.
ECRIRE x∨yCOMME ¬x=1=⇒y=1
¬y=1=⇒x=1
Caractérisation : SAT ssi pas de chemin dirigé entre xet ¬x
et entre ¬xet x.
Preuves de la localisation : essentiellement premier et second
moments. GOERDT 92, DE LA VEGA 92, CHVÀTAL-REED 92.
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L’Exemple 2-SAT : Fenêtre Critique.
2-SAT scaling window :
Th. [Bollobás, Borgs, Chayes, Kim, Wilson] (2006)
Il existe des constantes ε0and λ0(0 < ε0<1,0< λ0<∞) s. t.
PFn,m=(1+λnn−1/3)n=
1−Θ(|λn|−3)si −ε0n1/3≤λn≤ −λ0
Θ(1)si −λ0≤λn≤+λ0
exp −Θ(λ−3
n)si +λ0≤λn≤+ε0n1/3.
Remarques : Ces résultats évoquent [Janson, Knuth, Luczak,
Pittel] (1993)
PhG(n,m=n/2(1+λnn−1/3)sans composante complexe i∼
1−5
24 |λn|−3si −n−1/12 λn≤ −λ0
f(λn)si −λ0≤λn≤+λ0
Oλ−3/4
nexp −λ3
n/6si +λ0≤λnn1/12 .
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