Les triangles

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Les triangles
Triangle dégénéré inégalité triangulaire
Triangle médian droites des milieux médianes isobarycentre (« centre de gravité »)
Médiatrices des côtés cercle circonscrit bissectrices des angles cercle inscrit hauteurs orthocentre aire
Théorème de Thalès, sa contraposée, son théorème « réciproque »
Triangles rectangles théorème de Pythagore, sa contraposée, son théorème réciproque
Triangles scalènes triangles isocèles triangles isocèles-rectangles triangles équilatéraux
Quand tu observes l'arborescence de la page 159, tu te dis que le clade des triangles est bien plus restreint que celui
des quadrilatères... Et qu'il n'y aura pas grand-chose à en dire. Alors, prépare-toi à quelques surprises !
En introduction, une minuscule définition, suivie d'un théorème qui est presque une évidence :
D-127 Triangle dégénéré : « triangle » dont les sommets sont alignés.
Cette définition est une conséquence de Dphy-6… Mais pourquoi les guillemets ?
D'une part, parce que la frontière de ce « triangle » passe plusieurs fois par un même point : ce n'est donc pas un
polygone élémentaire - donc pas un polygone au sens du collège.
D'autre part, parce que ce n'est même pas vraiment un polygone : l'ensemble de ses points est une ligne, donc une
« surface dégénérée », pas une « vraie » surface !
Mais alors, M’sieur, un angle nul, c'est pas non plus un angle ?
Soupir ! J'aurais dû savoir que tu le remarquerais !
Bon : d'après Dphy-6, un angle nul n'est pas une surface donc, d'après D-42, ce n'est pas un angle…
Tout comme, d'après D-95, un polygone dont les sommets sont alignés (oui, ça s'appelle toujours
un « polygone dégénéré », qu'il ait trois sommets ou beaucoup plus) n'est pas un polygone !
Les « surfaces dégénérées » sont les lignes que tu obtiens à partir de surfaces que tu aplatis - tout
en conservant leurs propriétés caractéristiques - jusqu'à ce que leurs aires soient nulles.
Et ce « jusqu'à ce que... », si je le précisais, nous conduirait tout droit à une partie des
mathématiques (la topologie) que je ne peux vraiment pas aborder ici. Désolé !
D’accord, M’sieur… Je comprends !

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Merci ! Et maintenant, le théorème-évidence :
T-137 « Inégalité triangulaire » : la longueur d'un côté d'un triangle non dégénéré
est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
La longueur du plus grand des trois côtés d'un triangle dégénéré
est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Démonstration :
soient A, B et C trois points de l'espace, non alignés :
D'après M-11, la longueur de [AB] est inférieure à la longueur de toute autre ligne reliant A à B…
En particulier de la ligne formée des segments adjacents [AC] et [CB], de longueur AC + CB !
Le même raisonnement s'applique évidemment à [AC] et à [BC].
Si A, B et C sont alignés (donc si ABC est un triangle dégénéré) : l'un de ces trois points est entre les deux autres.
Je suppose que c'est B : alors, B appartient à [AC] et d'après T-8, AC = AB + BC. Quant à [AB] ou [BC], leurs longueurs
sont déjà, d'après l'égalité précédente, inférieures à AC... Donc certainement inférieures à la somme de deux longueurs
dont l'une serait AC !
Et maintenant, nous passons aux choses sérieuses : trois sommets, trois côtés, trois milieux… Ça ne suffisait pas !
Triangle médian, droites des milieux et médianes :
Pour t’échauffer, et rien qu'en jouant avec les milieux du côté d'un triangle, voici deux définitions et trois
théorèmes… Puis encore deux définitions, chacune accompagnée d'un théorème.
Ensuite, les choses sérieuses.
D-128 Triangle médian (d'un triangle) : le triangle dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle
d'origine.
D-129 Droite des milieux (d'un triangle) : le support d’un côté du triangle médian de ce triangle.
(A chaque triangle correspondent donc 3 droites des milieux de ce triangle.)
T-138 Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle,
alors cette droite est parallèle au (support du) troisième côté.
DEF est le triangle médian de ABC.
(DE), (EF) et (FD)
sont les droites des milieux de ABC.
[AD], [BE] et [CF] sont ses médianes.
G est son centre de gravité.
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K