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Corrigé et barème – Triangles semblables
Rappels de 4e (somme des angles, triangles égaux, agrandissement et réduction de coefficient k), triangles
semblables définis par des angles deux à deux égaux (deux angles suffisent), côtés homologues
proportionnels et réciproque, repérer les sommets et les côtés homologues, calculer une longueur, un
périmètre ou une aire (aire multipliée par k2).
Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 3ᵉ
Exercice 1 – Rappels et triangles semblables par les angles (4 pts)
a) Troisième angle du premier : . Les deux triangles ont des angles de , et
: ils sont semblables (1)
b) Dans le second, l’autre angle aigu mesure . Les deux ont un angle droit et un angle de
: ils sont semblables (1)
c) Le premier a pour angles , , ( ) ; le second , , (
). Les angles ne sont pas les mêmes : ils ne sont pas semblables (1)
d) cm ; cm ; cm. Les angles ne changent pas : les deux triangles
sont semblables (1)
Méthode — Je complète toujours les trois angles de chaque triangle avant de comparer : deux paires
d’angles égaux suffisent.
Exercice 2 – Semblables par les côtés (4 pts)
a) , et : les trois quotients sont égaux, T1 et T2 sont semblables, (1)
b) et , mais : un quotient diffère, ils ne sont pas semblables (1)
c) Périmètres : et ; : le même coefficient que les côtés
(1)
d) ; ; (1)
Repère — Un coefficient qui ne tombe pas juste s’écrit en fraction : , et non .
Exercice 3 – Côtés homologues et longueurs (4 pts)
a) , , donc : , , (1)
b) (1)
c) cm ; cm (1)
d) cm ; ou périmètre de multiplié par :
cm (1)
Méthode — J’écris d’abord les homologues, puis je calcule avec la seule paire de côtés homologues connus
tous les deux.
180 − 42 − 71 = 67∘42∘67∘
71∘
90 − 66 = 24∘
24∘
48∘66∘66∘(180 − 48) ÷ 2 = 66 48∘48∘84∘180 − 2 ×
48 = 84
4 × 1,5 = 6 5 × 1,5 = 7,5 6 × 1,5 = 9
3
5
=
4,5
7,5
3
5
=
6
10
3
5k=
3
5
3
4
=
4,5
6
3
4
=
6
7,5 1,25 =
4
5
3 + 4,5 + 6 = 13,5 5 + 7,5 + 10 = 22,5 =
13,5
22,5
3
5
4 × 2 = 8 6 × 2 = 12 7,5 × 2 = 15
3
51,67
A↔R B ↔S C ↔T[AB] ↔ [RS] [BC] ↔ [ST ] [AC] ↔ [RT ]
k= =
AB
RS
=
5,6
8,4 1,5
ST = 4,2 × 1,5 = 6,3 RT = 7 × 1,5 = 10,5
8,4 + 6,3 + 10,5 = 25,2 ABC k (5,6 + 4,2 + 7) × 1,5 = 16,8 ×
1,5 = 25,2
k
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Exercice 4 – Périmètres et aires (4 pts)
a) Par (1)
b) cm2 (1)
c) , donc ; périmètre du grand : cm (1)
d) Non : un périmètre doublé signifie (toutes les longueurs doublent), donc l’aire est multipliée
par (1)
Le point clé — Longueurs et périmètre , aire : pour remonter des aires aux longueurs, on cherche le
nombre dont le carré vaut le rapport des aires.
Exercice 5 – Problème — la rampe (4 pts)
a) Le triangle est rectangle en et est rectangle en ; ils ont l’angle de sommet en
commun. Deux paires d’angles égaux : ils sont semblables ( , , ) (1)
b) et sont homologues : (1)
c) est homologue de : m (1)
d) est homologue de : m (1)
Méthode — Angle droit + angle commun : deux triangles rectangles emboîtés sont semblables, sans
aucune mesure d’angle.
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k=
24 =
216
7,2 × 2,5 =
27,2 × 6,25 = 45
k=
2
=
12
75 6,25 = 2,52k= 2,5 14 × 2,5 = 35
k= 2
2 =
24
×k×k2
ANM N ABC B A
A↔A N ↔B M ↔C
[AN ] [AB]k= =
AN
AB
=
2,4
9,6 4
[BC] [NM ]BC = 0,7 × 4 = 2,8
[AC] [AM ]AC = 2,5 × 4 = 10
1
/
2
100%
