Compétition Math&Maroc 2025 Jour 1 – Problèmes d'olympiade

Math&Maroc Competition
Day 1
Date : July 26, 2025
Duration : 4 hours Each problem is worth 10 points
Problem 1
The sequence (an)is defined by
a1“1, a2“1, an“öp2an´1`an´2` ¨ ¨ ¨ ` a1ùif n > 2.
Find a2025.
Problem 2
For any non-empty subsets Xand Yof Ně1, we define X¨Y:“{xy, x PX, y PY}. For
instance, if
X“{1,2,4}and Y“{3,4,6}
then
X¨Y“{3,4,6,8,12,16,24}.
We say that a subset Sof Ně1is Moroccan if there exists no two subsets Aand Bof N˚,
each containing at least two elements, such that A¨Band Sare equal.
Prove that the set of perfect powers which are greater or equal to 2025 is Moroccan.
(A perfect power is an integer nk, where n > 1and k > 1are integers.)
Problem 3
For pairwise–distinct natural numbers a1, . . . , an, prove that :
n
ÿ
j“1
a2
jź
k‰j
aj`ak
aj´ak
“a1` ¨ ¨ ¨ ` an2 .
Problem 4
Let ně3.
— We denote by
E“(ÿ
1ďiďjďn
ai,j XiXj,@1ďiďjďn, ai,j PR)
the set of real homogenous polynomials of degree 2in nindeterminates.

— For P“P(X1, . . . , Xn)PEand M“(mi,j )1ďi,jďnPMn(R), we denote by P˝MPE
their composition, defined by
P˝M(X1, . . . , Xn)“P(m1,1X1`. . . `m1,nXn, . . . , mn,1X1`. . . `mn,nXn).
— For PPE, we denote by
V(P)“{xPRn, P (x)“0}.
Show that there exists a polynomial P0PE, which we will exhibit, such that for all PPE,
the following equivalence holds
V(P)is NOT an R-vector space ðñ DMPMn(R), P ˝M“P0.
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Math&Maroc Competition
Journée 1
Date : 26 Juillet 2025
Durée : 4 heures Chaque problème est noté sur 10 points
Problème 1
On définit la suite (an)nPN˚par
a1“1, a2“1, an“öp2an´1`an´2` ¨ ¨ ¨ ` a1ùsi n > 2.
Trouver a2025.
Problème 2
Pour deux sous-ensembles non vides Xet Yde N˚, on définit X¨Y:“{xy, x PX, y PY}.
Par exemple, si
X“{1,2,4}et Y“{3,4,6}
alors
X¨Y“{3,4,6,8,12,16,24}.
On dit qu’un sous-ensemble Sde N˚est Marocain s’il n’existe pas d’ensembles Aet B
d’entiers positifs, chacun ayant au moins deux éléments, tels que les ensembles A¨Bet S
soient égaux.
Prouvez que l’ensemble des puissances parfaites supérieures ou égales à 2025 est Marocain.
(Une puissance parfaite est un entier de la forme nk, où n > 1et k > 1sont des
entiers.)
Problème 3
Soit a1, . . . , andes entiers naturels distincts (i.e. différents 2à2). Montrer que :
n
ÿ
j“1
a2
jź
k‰j
aj`ak
aj´ak
“a1` ¨ ¨ ¨ ` an2 .
Problème 4
Soit ně3.
— On note par
E“(ÿ
1ďiďjďn
ai,j XiXj,@1ďiďjďn, ai,j PR)
l’ensemble des polynomes réels homogènes de degré 2en nindétérminées.

— Pour P“P(X1, . . . , Xn)PEet M“(mi,j )1ďi,jďnPMn(R), on note par P˝MPE
leur composée, définie par
P˝M(X1, . . . , Xn)“P(m1,1X1`. . . `m1,nXn, . . . , mn,1X1`. . . `mn,nXn).
— Pour PPE, on note
V(P)“{xPRn, P (x)“0}.
Montrer qu’il existe un polynome P0PE, qu’on exhibera, tel que pour tout PPE, on a
l’équivalence
V(P)n’est PAS un R-espace vectoriel ðñ DMPMn(R), P ˝M“P0.
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