INSAT Examen d’Analyse Numérique Matricielle Filière: RT3 Documents non autorisés Enseignante: F. Khayat Date: 28/05/2025 Durée: 1h30 Nbre de pages: 2 N.B. Seules les calculatrices scientifiques non programmables sont autorisées. Barème approximatif : Exercice 1: 8 points - Exercice 2: 7 points - Exercice 3: 5 points. Exercice 1 Considérons le système linéaire (S) : Au = b où A (qu’on supposera inversible) et b sont donnés par: −4 1 0 1 A = 1 −4 1 , b = 1 . 0 1 −4 1 1. Calculer la matrice d’itération J de Jacobi. 2. Calculer ρ(J). En déduire que la méthode de Jacobi est convergente pour la résolution du système (S). 3. Déduire que la méthode de Gauss-Seidel est convergente pour la résolution de (S). 4. Écrire le système associé à chacune de ces deux méthodes. 5. Faire 3 itérations de la méthode de Jacobi à partir de u(0) = (0, 5; 0, 5; 0, 5)T (donner 4 chiffres après la virgule pour les calculs intermédiares). Exercice 2 On considère le problème de minimisation : min3 J(x) x∈R où J : R3 −→ R définie pour x = (x1 , x2 , x3 )T par : J(x) = 2x21 + 3x1 x2 + 2x22 − x2 x3 + 2x23 − (3x1 + 4x2 − x3 ). 1. Écrire J sous la forme J(x) = 1 (Ax, x) − (b, x) 2 1 4 3 0 où A = 3 4 −1 est une matrice symétrique de M3 (R) et où le vecteur b est à 0 −1 4 déterminer. 2. Montrer que A est définie positive. 3. (a) Rappeler l’algorithme du gradient à pas fixe α pour la minimisation de J. (b) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles cet algorithme converge. 1 (c) Faire 3 itérations de cet algorithme en prenant x(0) = (1, 1, 1)T et α = . 4 Exercice 3 Soit A la matrice suivante : a 0 α A= 0 b 0 α 0 c où a, b, c et α sont des réels tels que A soit définie positive. 1. Montrer que puisque A est définie positive alors on a forcément a, b et c sont strictement positifs. 2. Montrer que la méthode de Jacobi converge pour n’importe quel vecteur second membre et n’importe quel vecteur initial x(0) . 2