Math´
ematiques
TD 2: Fractions rationnelles
INSAT — DGIM — MPI -ALG`
EBRE
A.U. 2026-2027
Exercice 1
D´ecomposer en ´el´ements simples dans R(X)les fractions rationnelles suivantes:
1. X3−2X2+X
X2−3X+2.
2. X2+1
X3+X.
3. 1
X2(X−1)2.
4. X
(X−1)3(X+1).
Exercice 2
1. D´ecomposer 1
X3+1dans C(X), puis dans R(X).
2. En posant Y=X−1, d´ecomposer en ´el´ements simples dans R(X)la fraction X2+X+1
(X−1)4.
3. D´ecomposer 1
X(X2+1)2dans R(X).
4. Factoriser, par t´el´escopage, le polynome X4+X2+1dans R[X]puis d´ecomposer 1
X4+X2+1
dans R(X).
Exercice 3
1. (a) D´ecomposer en ´el´ements simples dans R(X)la fraction
F2=2X −1
X3+3X3+2X.
(b) En d´eduire la valeur
S=lim
n→+∞
n
X
k=1
2k −1
k3+3k2+2k.
2. Calculer Tn=
n
X
k=2
1
k2−1et sa limite T.
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Exercice 4
1. (a) Donner la formule de Taylor au point −1de X5+1.
(b) En d´eduire la d´ecomposition en ´el´ements simples dans R(X)de la fraction
F1=X5+1
(X+1)9.
2. Soit le polyn^ome
Q=X7−5X6+11X5−15X4+15X3−11X2+5X −1.
(a) Montrer que 1 est une racine de Qet d´eterminer son ordre.
(b) En d´eduire une factorisation de Qen polyn^omes irr´eductibles dans R[X]
puis dans C[X].
(c) D´ecomposer en ´el´ements simples dans R(X)la fraction
F3=X8−4X7+6X6−4X5+4X3−5X2+2X
Q.
Exercice 5
1. Calculer la d´eriv´ee n-i`eme de f(x) = 1
x2−1sur ] − 1, 1[.
2. En d´ecomposant dans C(X), montrer que pour g(x) = 1
x2+1:
g(n)(x) = (−1)nn!Im (x+i)n+1
(x2+1)n+1.
En d´eduire g(n)(0).
Exercice 6
Soit P∈C[X]non constant, scind´e : P=λQr
i=1(X−ai)mi.
1. Montrer que P′
P=
r
X
i=1
mi
X−ai
.
2. On suppose P∈R[X]scind´e sur R. Montrer que pour tout x∈R:P′(x)2≥P(x)P′′ (x).
3. Soit n≥2. Montrer que
n−1
X
k=1
1
1−ωk
=n−1
2o`u ωk=e2ikπ/n.
(Indication : appliquer 1) `a P=1+X+· · · +Xn−1.)
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