Telechargé par Kemuel Kouame

Support de Cours d’Analyse 3 avec Exercices Corrig´es

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université de Béjaia
Faculté des Sciences Exactes
Département de Recherche Opérationnelle
Support de Cours d’Analyse 3
avec Exercices Corrigés
Proposé par :
Mme AOUDIA née RAHMOUNE Fazia
Béjaia, juin 2015
Avant-propos
Ce polycopié est une partie du programme officiel du module d’Analyse 3 destiné principalement aux étudiants en deuxième année licence mathématiques appliquées, mais peut
éventuellement être utile pour les étudiants en deuxième année licence mathématiques,
sciences techniques, informatique (dans le cadre du système L.M.D.), et toute personne
souhaitant connaı̂tre les techniques de calcul des sommes infinies dans le cas continu et
dans le cas discret.
Le niveau mathématique requis est celui de la première année Licence M.A, M.I ou
encore S.T. Le contenu de cette matière est la base de toute introduction à l’analyse
mathématique. Elle est considérée comme suite logique ou encore une extension directe
des deux matières Analyse 1 et Analyse 2 vues en première année. Elle permet à l’étudiant
d’acquérir le maximum de techniques mathématiques nécessaires pour la plupart des
matières étudiées le long de son cursus, à savoir : Analyse numérique, probabilités et
statistiques, programmation mathématique et optimisation, processus aléatoires et files
d’attente...etc.
Ce polycopié comporte trois chapitres principaux, où sont exposées les notions de
séries numériques, de suites de fonctions et de séries de fonctions. Chaque chapitre se
termine par quelques exercices corrigés permettant de contrôler l’acquisition des notions
essentielles qui ont été introduites.
Je ne saurais pas terminer cet avant-propos sans un grand hommage plus personnel à
mes collègues enseignants ayant expertisé sérieusement ce polycopié. Je souhaite remercier
également et tout particulièrement nos lecteurs. Enfin, des erreurs peuvent être relevées,
prière de les signaler à l’auteur.
1
Table des matières
Avant-propos
1
Table des matières
1
Avant Propos
3
1 Les Séries Numériques
4
1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Définitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1
Suite des Sommes Partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2
Série Géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.3
Condition Nécessaire de Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.4
Opérations sur les Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.5
Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.6
Convergence Absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Séries à Termes Positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.1
Critères de Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.2
Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.3
Critère de Comparaison à une Série de Riemann . . . . . . . . . . .
13
1.3.4
Critères d’équivalence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4
Critère Intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5
Critères de Convergence des Séries à Termes Quelconques . . . . . . . . . .
16
1.5.1
Critère de Comparaison à une Série Géométrique . . . . . . . . . .
16
1.5.2
Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5.3
Règle de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5.4
D’autres Critères de Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3
2
Avant Propos
1.5.5
3
Critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6
Séries Alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.7
Produit de deux Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 Les Suites de Fonctions
32
2.1
Convergence Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2
Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3
Convergence Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4
Convergence Uniforme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.5
Propriétés de la fonction limite d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . .
36
2.5.1
La continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.5.2
L’intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.5.3
La dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.6
3 Les Séries de Fonctions
3.1
49
Critère de Convergence Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.1.1
Condition Nécessaire de Convergence Simple . . . . . . . . . . . . .
50
3.1.2
Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Convergence Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2.1
Conditions Nécessaires de Convergence Uniforme . . . . . . . . . .
51
3.2.2
Critère Uniforme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3
Critère de Convergence Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.4
Critère Uniforme d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.5
Propriétés des Sommes des Séries de Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.5.1
Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.5.2
Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.5.3
Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.2
3.6
Bibliographie
70
Chapitre 1
Les Séries Numériques
1.1
Introduction
Etant donnée une suite numérique (Un )n∈N de nombres réels, on sait alors que la
somme d’un nombre fini de ses termes est finie. Mais ce n’est pas toujours le cas quand on
passe à un nombre infini de termes. On se propose alors de donner un sens à l’expression
P
Un . Il est ainsi naturel de former les sommes partielles Sn = U0 + U1 + U2 + . . . + Un
n≥0
et d’étudier la limite de la suite (Sn )n∈N . En notant S = lim Sn , si cette limite existe,
n→+∞
on convient de poser S =
+∞
P
Un et de dire que S est la somme de la série
n=0
P
Un .
n≥0
Ce chapitre est consacré aux conditions nécessaires et suffisantes de la convergence de
la suite (Sn )n∈N et à la généralisation des propriétés connues sur les sommes finies.
1.2
Définitions et Propriétés
1.2.1
Suite des Sommes Partielles
Définition 1.2.1. Soit (Un )n∈N une suite numérique de nombres réels ou complexes. On
P
appelle une série de terme général Un , notée
Un , la suite des sommes partielles (Sn )n∈N
n≥0
définie par Sn = U0 + U1 + U2 + . . . + Un . Si cette suite est convergente vers une limite S,
P
on dira que la série
Un est convergente et a pour somme la valeur S et nous écrivons
n≥0
alors S =
+∞
P
Un . Dans le cas contraire, on dira que la série
n=0
P
n≥0
4
Un est divergente.
1.2
Définitions et Propriétés
Remarque 1.2.1.
5
1. Cette définition peut constituer un premier critère donnant une
condition à la fois nécessaire et suffisante de convergence des séries numériques, dit
critère des suites des sommes partielles.
2. Si la suite (Un )n≥k n’est définie qu’à partir d’un certain rang k, il en est de même
n
P
pour la suite des sommes partielles qui lui est associée donnée par Sn =
Um et
m=k
P
Un .
donc même pour la série en question et l’on écrit
n≥k
1
, ∀n ≥ 1, la suite des
n(n + 1)
Exemple 1.2.1. Pour la série de terme général Un =
sommes partielles qui lui est associée
est donnée
par :
n
n
n
P
P
P 1
1
1
1
Sn =
Up =
=
−
→ 1 quand n → +∞.
=1−
p+1
n+1
p=1
p=1 p(p + 1)
p=1 p
P
1
Ainsi, la suite (Sn )n≥1 est convergente vers 1. Par conséquent, la série
est
n≥1 n(n + 1)
aussi convergente de somme S = 1.
Exemple 1.2.2. Pour la série de terme général Un =
√
n+1−
√
n, ∀n ≥ 1, la suite des
sommes partielles qui lui est associée est donnée par :
n
n √
√
P
P
√
Sn =
Up =
n + 1 − 1 → +∞ quand n → +∞.
( n + 1 − n) =
p=1
p=1
P √
Ainsi, la suite (Sn )n≥1 est divergente, ce qui entraı̂ne la divergence de la série
( n + 1−
n≥1
√
n).
Définition 1.2.2. Soit
P
Un une série numérique réelle ou complexe convergente, de
n≥0
somme S. Alors, son reste d’ordre N noté RN est donné par :
R N = S − SN =
X
Un −
n=N
X
Un =
n=0
n≥0
X
Un
n≥N +1
Théorème 1.2.1. Si une série numérique réelle ou complexe
P
Un est convergente alors
n≥0
son reste d’ordre N converge vers zéro.
Preuve 1.2.1. Pour démontrer ce résultat il suffit de considérer l’égalité suivante :
R N = S − SN =
X
Un −
n≥0
et de faire un passage à la limite des deux cotés.
n=N
X
n=0
Un =
X
n≥N +1
Un
1.2
Définitions et Propriétés
1.2.2
6
Série Géométrique
Définition 1.2.3. On appelle série géométrique de raison K de R ou de C et de premier
terme U0 toute série de terme général Un = (K)n U0 pour U0 6= 0.
Examinons de près les conditions de convergence d’une telle série. Pour cela, on définit
d’abord la suite des sommes partielles (Sn )n∈N qui lui est associée, donnée par :
Sn =
n
X
Up =
p=0
n
X
p=0
p
(K) U0 = U0
1 − K n+1
1−K
; ∀K 6= 1
Il est clair que la suite (Sn )n∈N converge si | K |< 1. Dans ce cas, on dira que la série
P
U0
géométrique
Un est convergente et a pour somme la valeur S =
.
1−K
n≥0
Si | K |≥ 1, alors la suite (Sn )n∈N est divergente, ce qui entraı̂ne la divergence de la série
P
géométrique
Un .
n≥0
Exemple 1.2.3. 1. La série de terme général Un = e−n est une série géométrique de raison
K = e−1 < 1, donc convergente.
2. La série de terme général Un = 2n est une série géométrique de raison K = 2 > 1, donc
divergente.
P
Remarque 1.2.2. Il faut prendre garde de ne pas confondre l’étude de la série
Un
n≥0
P
avec celle de la suite (Un )n∈N . En effet, reprenons l’exemple (1.2.2) où la série
Un =
n≥1
P √
√
( n + 1 − n) était divergente, bien que la suite (Un )n∈N soit convergente vers zéro.
n≥1
Remarque 1.2.3. La nature d’une série, en terme de convergence ou de divergence, est
une propriété asymptotique. Autrement dit, si on modifie un nombre fini de termes, ceci
p
P
P
ne va pas influencer la nature de la série en question. En effet, on a bien
Un =
Un +
n≥0
P
n=0
P
Un est finie, alors la nature de la série
Un , mais non
n≥0
P
pas sa somme, dépend uniquement de celle de la série
Un .
n≥p+1
Un . Sachant que la somme
p
P
n=0
n≥p+1
Remarque 1.2.4. Comme on peut bien le constater, le critère de la suite des sommes partielles associée est loin d’être facile à appliquer, car il demande explicitement l’expression
1.2
Définitions et Propriétés
7
analytique exacte de celle-ci, chose qui n’est pas toujours facile à déterminer. En effet, il
P 1
suffit de considérer par exemple la série harmonique
. Pour remédier à ce problème,
n≥1 n
il a fallu concevoir d’autres critères qui nous permettent de juger de la nature d’une série
numérique sans autant passer par l’expression analytique de la suite des sommes partielles
qui lui est associée. Ces critères peuvent constituer soit une condition nécessaire de convergence, ou bien une conditioin suffisante ou encore une condition à la fois nécessaire et
suffisante .
1.2.3
Condition Nécessaire de Convergence
Théorème 1.2.2. Pour qu’une série numérique
P
Un soit convergente, il est nécessaire,
n≥0
mais pas suffisant, que son terme général Un tende vers zéro, quand n tend vers l’infini.
P
Autrement dit,
Un Converge =⇒ lim Un = 0.
n−→+∞
n≥0
Preuve 1.2.2. Supposons que la série
P
Un est convergente et montrons alors que son
n≥0
terme gnénéral Un tend vers zéro. Soit (Sn )n∈N la suite des sommes partielles associée
n
n−1
P
P
P
à la série
Un . Alors Sn =
Up et Sn−1 =
Up . Ainsi, Sn − Sn−1 = Un . Or, si
p=0
p=0
n≥0
P
la série
Un converge ceci est équivalent à dire que la suite (Sn )n∈N converge vers S.
n≥0
Autrement dit, on aura d’une part
lim (Sn − Sn−1 ) =
n−→+∞
lim Sn = S (existe, finie et unique). D’autre part,
n−→+∞
lim Un = 0. Ce qui achève la démonstration.
n−→+∞
P √
√
( n + 1 − n) est divergente bien que son
Exemple 1.2.4. On a déjà vu que la série
n≥1
terme général tende vers zéro.
P 1
dite série harmonique est
n≥1 n
aussi divergente bien que son terme général tend vers zéro.
Exemple 1.2.5. On va voir un peu plus loin, que la série
1.2.4
Opérations sur les Séries
Définition 1.2.4. Soient
P
Un et
n≥0
général Wn = Un + Vn et on écrit
P
Vn deux séries. La série somme est la série de terme
n≥0
+∞
P
+∞
P
n=0
n=0
Un +
Vn =
+∞
P
n=0
(Un + Vn ).
1.2
Définitions et Propriétés
8
P
Un par le nombre réel ou complexe λ est une série de
De même, le produit de la série
terme général λUn et on écrit λ
n≥0
+∞
P
+∞
P
n=0
n=0
Un =
(λUn ).
P
P
Un et
Vn sont convergentes et ont pour somme S
n≥0
n≥0
P
0
0
et S respectivement, alors la série
(Un + Vn ) est convergente et a pour somme S + S
n≥0
P
et la série
(λUn ) est aussi convergente et a pour somme λS.
Proposition 1.2.1. Si les séries
n≥0
Remarque 1.2.5.
1. Ces deux propriétés de linéarité (sommation et produit par
un scalaire) confèrent à l’ensemble des séries numériques convergentes la structure algébrique d’un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel de toutes les séries
numériques.
2. L’ensemble des séries numériques divergentes n’est pas un sous-espace vectoriel de
l’espace vectoriel de toutes les séries numériques, car la somme de deux séries divergentes n’est pas toujours une série divergente, sauf si elles sont de même signe,
comme nous le montrent les exemples suivants.
P
P
3. Si λ 6= 0 alors les séries
Un et
(λUn ) sont de même nature.
n≥0
n≥0
P
P
P
4. Si la série
Un est convergente et
Vn est divergente alors la série somme
(Un +
n≥0
n≥0
n≥0
Vn ) est aussi divergente.
Exemple 1.2.6.
que la série
1. On voit bien que la série
P 1
P 1
−
= 0 est convergente bien
n≥1 n
n≥1 n
P 1
soit divergente.
n≥1 n
P 1
1
( +
) est divergente comme une somme de deux séries à termes
n+1
n≥1 n
positifs divergentes.
2. La série
Remarque 1.2.6. Quand on ne connait pas explicitement l’expression analytique de la
suite des sommes partielles (Sn )n≥0 , le passage à la limite fait défaut pour retrouver sa
nature et donc même celle de la série correspondante. Dans ce cas, on fait appel au critère
dit de Cauchy suivant.
1.2
Définitions et Propriétés
1.2.5
9
Critère de Cauchy
On sait déjà que l’étude de la série
P
Un est équivalente à celle de la suite des sommes
n≥0
partielles qui lui est associée (Sn )n≥0 . On sait aussi qu’une suite numérique est convergente
si et seulement si elle est de Cauchy. Nous pouvons énoncer à présent le critère de Cauchy
sur les séries numériques donné par le théorème suivant.
Théorème 1.2.3. Pour qu’une série numérique
P
Un soit convergente, il est nécessaire
n≥0P
Un Converge ⇐⇒ ∀ > 0, ∃N tel
et suffisant qu’elle soit de Cauchy. Autrement dit,
n≥0
que ∀p > q > N , on ait
p
P
Un < .
n=q+1
Preuve 1.2.3. Il suffit juste d’appliquer le critère de Cauchy à la suite des sommes parp
q
p
P
P
P
tielles (Sn )n≥0 , pour avoir |Sp − Sq | = |
Un −
Un | = |
Un |.
n=0
n=0
n=q+1
Remarque 1.2.7. Le critère de Cauchy est nous donne une condition à la fois nécessaire
et suffisante de convergence.
P 1
est divergente, il suffit de
n≥1 n
montrer que la suite des sommes partielles qui lui est associée (Sn )n≥1 n’est pas de Cauchy.
n 1
P
et pour (p = 2n, q = n) ∈ N∗ × N∗ , on obtient :
En effet, pour Sn =
p=1 p
1
1
1
1
1
1
1
1
|Sp − Sq | = |S2n − Sn | =
+
+ ... +
>
+
+...+
= n( ) = .
n+1 n+2
2n
2n 2n
2n
2n
2
1
Il suffit ainsi de choisir = , pour que (Sn )n≥1 ne soit pas de Cauchy, et donc pour que
2
P 1
la série harmonique
soit divergente.
n≥1 n
Exemple 1.2.7. Pour montrer que la série harmonique
Remarque 1.2.8. Les critères de convergence que l’on a vus jusqu’ici, reposent sur l’expression analytique de la suite des sommes partielles (Sn )n≥0 , qui n’est pas toujours facile
à déterminer. C’est pour cette raison qu’il a fallu concevoir d’autres critères qui nous perP
mettent de juger de la nature d’une série numérique
Un , sans autant passer par la
n≥0
détermination de la suite des sommes patielles qui lui associée. Autrement dit, des critères
ne tenant compte que du terme général Un .
1.3
Séries à Termes Positifs
1.2.6
10
Convergence Absolue
P
Définition 1.2.5. La série
Un est dite absolument convergente si la série
n≥0
P
|Un | est
n≥0
convergente.
De la propriété triangulaire de la valeur absolue combinée avec le critère de Cauchy,
résulte le théorème suivant.
Théorème 1.2.4. Pour que la série numérique
P
Un soit convergente, il suffit qu’elle
n≥0
soit absolument convergente.
P (−1)n
est absolument convergente. En effet, on a :
n≥1 n(n + 1)
P
(−1)n
1
1
=
, ∀n ≥ 1. Or, on a déjà vu que la série
est convern(n + 1)
n(n + 1)
n≥1 n(n + 1)
P (−1)n
gente. On déduit ainsi la convergence absolue de
. Ce qui entraine sa
n≥1 n(n + 1)
convergence.
Exemple 1.2.8.
1. La série
Remarque 1.2.9.
1. La réciproque de ce résultat n’est pas toujours vraie. En effet,
P (−1)n
il suffit de considérer la série
et de montrer, en se servant du critère de
n
n≥1
cauchy, qu’elle est convergente sans qu’elle soit absolumlent convergente. Notons que
cette série est dite alternée (voir un peu plus loin).
2. Ce résultat montre l’intérêt des séries numériques à termes positifs. Nous verrons
aussi plus loin, qu’il y a des séries convergentes sans qu’elles soient absolument convergentes. De telles séries sont dites semi-convergentes.
1.3
Séries à Termes Positifs
Vu l’importance des séries à termes positifs, plusieurs critères de convergence ont été
établis pour cette classe particulière de séries. Les plus pratiques sont énoncées dans la
présente section. Notons que ces mêmes critères sont aussi valables pour les séries à termes
négatifs.
Définition 1.3.1. La série
P
Un est dite à termes positifs si son terme général Un est
n≥0
positif, pour tout n ∈ N. Formellement ceci veut dire que : Un ≥ 0, ∀n ∈ N.
1.3
Séries à Termes Positifs
11
Théorème 1.3.1. Pour que la série numérique
P
Un soit convergente, il faut et il suffit
n≥0
que la suite des sommes partielles (Sn )n≥0 qui lui est associée soit majorée. Ainsi, la somme
+∞
P
de la série S =
Un n’est autre que la borne supérieure de la suite (Sn )n≥0 .
n=0
Preuve 1.3.1. Pour la démonstration de ce théorème, il suffit juste de remarquer que la
suite des sommes partielles (Sn )n≥0 associée à une série à termes positifs est croissante et
de faire appel par la suite aux résultats fondamentaux connus sur les suites monotones.
P 1
est convergente car la suite des sommes
k
n≥1 n
partielles qui lui est associée est majorée. En effet, on a :
Exemple 1.3.1. Pour tout k ≥ 2, la série
pour tout k ≥ 2,
1
1
1
≤ 2 <
, ∀n > 1.
k
n
n
n(n − 1)
En notant par Sn la suite des sommes partielles qui lui est associée, on aura :
Sn =
n
X
1
p=1
pk
≤
n
X
1
p=1
p2
≤1+
n
X
1
1
=2− ≤2
p(p − 1)
n
p=2
Ainsi, la suite (Sn )n≥1 est majorée par 2, donc la série correspondante est convergente
et a pour somme une valeur S, telle que 0 < S ≤ 2.
Remarque 1.3.1.
respond à
1. Une série à termes positifs diverge d’une seule manière, qui cor-
lim Sn = +∞.
n−→+∞
2. Les résultats qu’on vient d’énoncer sur les séries à termes positifs sont aussi valables
pour les séries numériques à termes positifs à partir d’un certain rang car la somme
des premiers termes non positifs est finie. Cette dernière influe sur la valeur de la
somme de la série en question mais non pas sur sa nature.
Exemple 1.3.2. La série numérique de terme général Un =
positifs à partir de n ≥ 5. Sa somme
1.3.1
1
est à termes
(n − 4)(n + 1)
+∞
P
1
est finie.
n=0,n6=4 (n − 4)(n + 1)
Critères de Comparaison
La notion de comparaison des séries numériques réelles ou complexe découle de la
relation d’ordre totale que l’on connait sur l’ensemble des nombres réels.
1.3
Séries à Termes Positifs
Théorème 1.3.2. Soient
P
12
Un et
n≥0
P
Vn deux séries à termes positifs vérifiant Un ≤
n≥0
Vn , ∀n ≥ 0.
P
i)- Si la série
Vn converge alors la série
n≥0
+∞
P
Un ≤
n=0
P
Un est aussi convergente et on écrit
n≥0
+∞
P
Vn .
n=0 P
ii)- Si la série
Un diverge, il en sera de même pour la série
n≥0
P
Vn .
n≥0
Intuitivement, ceci veut dire que, toute quantité positive inférieure à une quantité finie
est elle même finie. Inversement, toute quantité supérieure à une quantité infinie positivement est elle même infinie.
Preuve 1.3.2. Pour montrer i), il suffit d’utiliser le résultat énoncé au Théorème1.3.1,
relatif à la propriété de la suite des sommes partielles associée à une série à termes positifs,
puis de consommer le résultat de la remarque1.3.1 pour montrer ii).
e−n
est convergente. En effet, on a bien
n≥1 n(n + 1)
P
1
1
e−n
≤
, ∀n ≥ 1. Or, on a déjà vu que la série
est
n(n + 1)
n(n + 1)
n≥1 n(n + 1)
convergente. En vertu du critère de comparaison, on déduit la convergence de
P e−n
.
n≥1 n(n + 1)
Exemples 1.3.1.
1. La série
P
P en
P 1
en
1
est divergente. En effet, on a bien
> , ∀n ≥ 1. Or, la série
n
n
n≥1 n
n≥1 n
P en
est divergente. En vertu du critère de comparaison, on déduit la divergence de
.
n≥1 n
2. La série
Remarque 1.3.2.
1. Ces critères constituent une condition suffisante de convergence
mais non pas nécessaire.
2. Pour pouvoir appliquer ces critères de comparaison à des séries à termes négatifs
ou encore à des séries ne gardant pas un signe constant, il susffit de multiplier son
terme général Un par un (−1) ou encore de prendre sa valeur absolue, comme nous
le montrent les exemples suivants.
1.3
Séries à Termes Positifs
13
P −en
) qui est à termes négatifs pour tout n ≥ 1 est
n≥1 n
en
convergente. En effet, il suffit de la multiplier par (−1), pour avoir :
≤ e−n pour
n
P −n
tout n ≥ 1 et que la série
e est série géométrique convergente.
Exemple 1.3.3.
1. La série
n≥1
cos n
2. La série
dont le terme général ne garde pas un signe constant est
n≥2 n(n − 1)
convergente car elle est absolument convergente. En effet, on a bien pour tout n ≥
P
cos n
1
1
1,
≤
. Or, on a déjà établi la convergence de la série
.
n(n − 1)
n(n − 1)
n≥2 n(n − 1)
En vertu du critère de comparaison combiné avec celui de convergence absolue, on
P cos n
déduit la convergence absolue de
qui implique immédiatement sa convern≥2 n(n − 1)
gence.
P
De ces critères de comparaison découlent plusieurs critères. Entre autres, on retrouve
ceux dits d’équivalence et celui de comparaison à une série de Riemann.
1.3.2
Séries de Riemann
Définition 1.3.2. Une série de Riemann est une série numérique à termes positifs, de
1
terme général Un = α , α ∈ R.
n
Les séries de Riemann forment une classe particulière des séries à termes positifs.
Théorème 1.3.3 (Conditions de convergence d’une série de Riemann). La série
P 1
de Riemann
converge si et seulement si α > 1.
α
n≥0 n
Preuve 1.3.3. Ce résultat peut être démontré de différentes manières mais nous avons
opté pour le critère intégrale de Cauchy que l’on verra un peu plus loin.
1.3.3
Critère de Comparaison à une Série de Riemann
Théorème 1.3.4. Soit
P
Un une série à termes positifs.
P
1. Si ∃α > 1 tel que lim nα Un = 0, alors la série
Un va converger.
n−→+∞
n≥0 P
2. Si ∃α ≤ 1 tel que lim nα Un = +∞, alors la série
Un va diverger.
n≥0
n−→+∞
n≥0
1.3
Séries à Termes Positifs
14
Preuve 1.3.4. C’est une conséquence immédiate du critère de comparaison combiné avec
la définition de la limite d’une suite numérique.
Exemples 1.3.2.
lim nα
n−→+∞
P e−n
2
n≥1 n
1. La série
est convergente. En effet, on a bien
e−n
= 0, ∀α. Ce résultat reste vrai pour tout α > 1.
n2
P en
en
est divergente. En effet, on a bien lim nα = +∞, ∀α. Ce résultat
n−→+∞
n
n≥1 n
reste vrai pour tout α ≤ 1.
2. La série
Remarque 1.3.3. Ce critère est aussi valable pour les séries à termese quelconques, à
condition de prendre leur valeur absolue.
1.3.4
Critères d’équivalence
Ces critères nous permettent de ramener l’étude d’une série numérique compliquée
à celle d’une série plus simple. La technique de calcul utilisée est généralment celle des
dévellopements.
Un
Vn deux séries à termes positifs avec lim
=
n−→+∞ Vn
n≥0
n≥0
P
P
L = Cte < +∞. Alors la convergence de la série
Vn entraı̂ne celle de la série
Un .
Théorème 1.3.5. Soient
P
Un et
P
n≥0
n≥0
Si de plus L 6= 0, alors les deux séries sont de même nature.
Preuve 1.3.5. Pour démontrer ce résultat, il suffit d’appliquer la définition de la limite
et de se servir par la suite des résultats des critères de comparaison. En effet, avoir :
Un
Un
= L = Cte < +∞ ⇔ ∀ > 0, ∃N, ∀n > N ⇒
−L <
n−→+∞ Vn
Vn
lim
⇔ ∀ > 0, ∃N, ∀n > N ⇒ (L − )Vn < Un < (L + )Vn .
Un
= L = 1, on dit alors que les deux
n−→+∞ Vn
suites (Un ) et (Vn ) sont équivalentes, et on écrit Un ≃ Vn .
Remarque 1.3.4. Dans le cas particulier où
Théorème 1.3.6. Soient
P
n≥0
Un et
P
lim
Vn deux séries à termes positifs ou à signe constant,
n≥0
telles qu’au voisinage de l’infini on a Un ≃ Vn , alors les deux séries sont de même nature.
1.4
Critère Intégrale de Cauchy
15
Preuve 1.3.6. Ce résultat est une conséquence immédiate du Théorème1.3.5, en prennant
L = 1.
Remarque 1.3.5. Ce critère s’applique même sur les séries numérqiues positives à partir
d’un certain rang.
Exemples 1.3.3.
1. La
série
P
n≥1
sin
1
n2
est
convergente
car
quand
n
∈
P 1
1
1
≃ 2 . Or,
est une série de Riemann convergente. Par
2
2
n
n
n≥1 n
P
P
1
1
sin 2 est bien
conséquent la série
sin 2 converge aussi. Notons que la série
n
n
n≥1
n≥1
à termes positifs.
V (+∞), sin
1
1
2. La série
log 1 −
est divergente car quand n ∈ V (+∞), log 1 −
≃
n
n
n≥1
P 1
−1
. Or,
est une série harmonique divergente. Par conséquent la série
n
n
n≥1
P
1
log 1 −
diverge aussi.
n
n≥1
P
1.4
Soit
Critère Intégrale de Cauchy
P
Un une série à termes positifs, où (Un )n∈N est décroissante tendant vers zéro. Si
n≥0
dans un système d’axe OXY , en traçant la courbe qui passe par les points (x, y) = (n, Un ),
il est toujours possible de trouver une fonction f décroissante de R+ → R+ continue dont
la représentation graphique est justement cette courbe, on a alors le résultat énoncé par le
Théorème suivant.
Théorème 1.4.1. Soit f une fonction de R+ dans R+ , continue et décroissante. La série
+∞
R
de terme général Un = f (n) est de même nature que l’intégrale
f (x)dx.
a
Exemple 1.4.1. La série de Riemann
P 1
est convergente si et seulement si α > 1. En
α
n≥0 n
P 1
divergente car la condition nécessaire de convergence
α
n≥0 n
n’est même pas vérifiée. Il nous reste le cas où α est positif, pour lequel le terme
effet, si α ≤ 0, alors la série
1.5
Critères de Convergence des Séries à Termes Quelconques
16
1
est décroissant positivement vers zéro. Par conséquent, pour α > 0, la série
nα
+∞
R dx
P 1
est
de
même
nature
que
l’intégrale
I(α)
=
. Cherchons alors la nature de I(α).
α
α
n≥0 n
1 x
général
Z +∞
I(α) =
1
dx
= lim
xα A−→+∞
ZA
dx
=∀α6=1
xα
1
A (
+∞
Si α < 1;
1
lim
x1−α =
A−→+∞ 1 − α
l < +∞ Si α > 1.
2
.
Si α = 1, I(α) = I(1) =
RA dx
R +∞ dx
=
lim
= lim [log log x]A
1 = +∞.
1
A−→+∞ 1 x
A−→+∞
x
Par conséquent, I(α) converge si α > 1 et diverge sinon. En vertu du critère intégrale
de Cauchy, on déduit la convergence de la série de Riemann si et seulement si α > 1.
1.5
Critères de Convergence des Séries à Termes
Quelconques
1.5.1
Critère de Comparaison à une Série Géométrique
Par comparaison avec la série géomètrique de raison K, on obtient le résultat donné
par la proposition suivante.
Proposition 1.5.1. Soit
P
Un une série à termes quelconques. Si il existe un nombre
n≥0
réel ou complexe K, 0 <| K |< 1 tel que, pour tout n assez grand, l’inégalité |Un | ≤ |K|n
P
est vérifiée, alors la série
Un est absolument convergente.
n≥0
Preuve 1.5.1. La preuve de ce résultat est immédiate, une fois combiné le critère de
comparaison établi pour les séries à termes positifs avec le résultat de convergence d’une
série géométrique.
1.5
Critères de Convergence des Séries à Termes Quelconques
17
P e−n
e−n
≤
est
convergente.
En
effet,
on
a
bien
2
n(n + 1)
n≥1 n
P −n
e−n , ∀n ≥ 1. Or, la série
e est une série géométrique de raison e−1 < 1, donc
Exemple 1.5.1.
1. La série
n≥1
convergente. En vertu du critère 1.5.1, on déduit la convergence de
P e−n
.
2
n≥1 n
1
1
1
est convergente. En effet, on a bien sin 2 ≤ 2 , ∀n ≥ 1.
2
n
n
n
n≥1
P cos n
cos n
3. La série
est absolument convergente. En effet, on a bien
≤
n
2n
n≥1 2
n
1
1
, ∀n ≥ 1, qui est le terme général d’une série géométrique de raison K = < 1,
2
2
donc convergente. En vertu du critère 1.5.1, on déduit la convergence absolue de
P cos n
.
n
n≥1 2
2. La série
P
sin
Remarque 1.5.1. Pour répondre à la question d’existence du nombre réel K, 0 < K < 1
vérifiant l’inégalité |Un | ≤ K n , l’idée la plus naturel est d’étudier la nature de la suite
p
( n |Un |)n∈N . Ce qui nous conduit à la Règle de Cauchy.
1.5.2
Règle de Cauchy
P
Proposition 1.5.2. Soit
Un une série à termes quelconques et supposons que la limite
n≥0
p
L = lim n |Un |, existe. Alors
n−→+∞
P
1. si L < 1 , la série
Un est absolument convergente ;
n≥0
P
2. si L > 1 , la série
Un est divergente ;
n≥0
P
3. si L = 1 , on ne peut rien dire de la nature de la série
Un .
n≥0
Preuve 1.5.2.
1. Si L < 1, on procède par définition puis par comparaison de la série
initiale à une série géométrique. En effet, si L < 1, alors il existe un réel k, tel que
p
L < k < 1. Ainsi, pour n assez grand, on aura : n |Un | < k. D’où |Un | < k n . La
convergence de la série géométrique de raison k entraine la convergence absolue de
la série de terme général Un .
2. Si L > 1, alors le terme général Un ne tend jamais vers zéro quand n tend vers
l’infini. Ce qui entraine la divergence de la série correspondante.
1.5
Critères de Convergence des Séries à Termes Quelconques
Exemples 1.5.1.
1. La série de terme général Un =
r
lim
n−→+∞
p
n
|Un | =
lim
n
n−→+∞
2. La série de terme général Un =
lim
n−→+∞
|Un | =
lim
n−→+∞
nn
est convergente car :
2n2
nn
n
lim n = 0 < 1.
2 =
n
n−→+∞ 2
2
p
n
18
n+1
n
n+1
n
n2
est divergente car :
n
= e > 1.
3. On ne peut rien dire sur la nature de la série de terme général Un =
p
n+1
n
|Un | = lim
= 1.
la règle de Cauchy, car : lim
n−→+∞
n−→+∞
n
1.5.3
n+1
n
n
via
Règle de d’Alembert
P
Proposition 1.5.3. Soit
Un une série à termes quelconques et supposons que la suite
n≥0
Un+1
est définie pour n assez grand et admet une limite L quand n tend vers l’infini.
Un
Alors
P
1. si L < 1 , la série
Un est absolument convergente ;
n≥0
P
2. si L > 1 , la série
Un est divergente ;
n≥0
P
3. si L = 1 , on ne peut rien dire de la nature de la série
Un .
n≥0
Preuve 1.5.3. Un raisonnement analogue à celui utilisé pour démontrer la règle de Cauchy
nous permet de démontrer la règle de d’Alembert.
Exemples 1.5.2.
1. La série de terme général Un =
nn
Un+1
lim
= lim
= lim
n−→+∞
n−→+∞ (n + 1)n+1
n−→+∞
Un
2. La série de terme général Un =
1
est convergente car :
nn
n
n+1
n
en
est divergente car :
n
1
= 0 < 1.
n+1
1.5
Critères de Convergence des Séries à Termes Quelconques
Un+1
lim
= lim
n−→+∞
n−→+∞
Un
en+1 n
n + 1 en
n
= e > 1.
n−→+∞ n + 1
= e lim
3. On ne peut rien dire sur la nature de la série de terme général Un =
règle de d’Alembert, car :
1.5.4
19
1
via la
n log n
Un+1
n log n
= 1.
= lim
n−→+∞
n−→+∞ (n + 1) log(n + 1)
Un
lim
D’autres Critères de Convergence
Théorème 1.5.1. Soit (an )n∈N une suite à termes poisitifs telle que lim an = a > 0.
n−→+∞
P
P
Si Un = an .Vn , ∀n ∈ N et que
Vn est une série à termes positifs, alors les séries
Un
n≥0
n≥0
P
et
Vn sont de même nature.
n≥0
Preuve 1.5.4. Pour montrer ce résultat, il suffit d’appliquer la règle de d’Alembert.
n+3
est divergente. En effet, après
Exemple 1.5.2. La série de terme général Un = 2
n + 2n
n+3
décomposition, on aura Un = an .Vn , où an =
> 0, ∀n ∈ N avec lim an = 1 > 0
n−→+∞
n+2
P
P 1
est une série divergente. En vertu du Théorème 1.5.1, on déduit la
et
Vn =
n≥1
n≥1 n
P
divergence de la série
Un .
n≥1
Proposition 1.5.4. Soient (Un )n∈N et (Vn )n∈N deux suites numériques vérifiant Un =
P
Vn+1 − Vn , ∀n ∈ N. Alors la série
Un est de même nature que la suite (Vn )n∈N .
n≥0
Preuve 1.5.5. Pour montrer ce résultat, il suffit d’utiliser le critère des suites des sommes
n
n
n
P
P
P
partielles assosiées. En effet, si Un = Vn+1 − Vn , ∀n ∈ N ⇐⇒
Uk =
Vk+1 +
Vk =
k=0
k=0
k=0
Vn+1 − V0 . C’est à dire que Sn = Vn+1 − V0 , où (Sn )n∈N la suite des sommes partielles
P
Un . Ce qui montre qu’elles sont bien de même nature.
associée à la série
n≥0
1.5.5
Critère d’Abel
P
Théorème 1.5.2. Soit
Un une série à termes quelconques ne gardant pas un signe
n≥0
P
P
constant, de la forme
Un =
an bn . Si la suite (bn )n∈N est positive, décroissante et
n≥0
n≥0
n
P
tend vers zéro, et que la suite Sn =
p=0
ap est bornée, alors la série
P
n≥0
an bn est convergente.
1.6
Séries Alternées
20
P sin n
est convergente, car pour tout n ≥ 1, le terme général
n≥1 n
1
qui est bien positive et décroissante vers zéro, et la suite
Un = an bn , où la suite an =
n
des sommes partielles associée à la suite bn = sin n est bornée.
1:
n−1 n ≥
Enneffet, pour tout
n
n
n
n
P
P
P
P
P
P
eip =
eip = ei
Im (eip ) = Im
eip ≤
sin p =
bp =
|Sn | =
Exemple 1.5.3. La série
p=1
p=1
p=1
p=1
p=1
in
1 − ein
2
i 1−e
ei
=
=
|e
|
≤√
i
i
1−e
1−e
2 − 2 cos 1
1
sin
1
2
p=0
= M.
Remarque 1.5.2. Notons que tous ces critères de convergence établis jusqu’ici sur les
séries à termes quelconques restent valables pour déterminer la nature des séries à termes
positifs.
1.6
Séries Alternées
P
Définition 1.6.1. La série
Un est dite alternée si son terme général Un = (−1)n Vn , où
n≥0
Vn ≥ 0, ∀n ∈ N.
(−1)n Vn une série alternée. Si pour tout n ∈ N, la
P
suite (Vn )n∈N est décroissante et tend vers zéro, alors la série
Un est convergente. De
Théorème 1.6.1. Soit
P
Un =
n≥0
P
n≥0
n≥0
+∞
P
plus, si Rn =
(−1)k Vk est son reste d’ordre n, alors on a |Rn | ≤ Vn+1 .
k=n+1
P (−1)n
Exemple 1.6.1. La série
ets une série alternée convergente.
n
n≥1
Remarque 1.6.1. Le critère de convergence des séries alternées est un cas particulier du
critère d’Abel.
1.7
Produit de deux Séries
Définition 1.7.1. Soient
P
n≥0
deux séries
P
n≥0
Un et
P
n≥0
Un et
P
Vn deux séries numériques. La série produit des
n≥0
Vn est une série
P
n≥0
Wn , où Wn =
n
P
p=0
Up Vn−p , ∀n ∈ N.
1.8
Exercices
21
Théorème 1.7.1. Soient
P
Un et
P
Vn deux séries numériques à termes quelconques
P
absolument convergentes, de sommes U et V repectivement. Alors la série produit
Wn
n≥0
n≥0
n≥0
est aussi absolument convergente et a pour somme la valeur U V .
Théorème 1.7.2. Soient
P
Un et
P
Vn deux séries numériques à termes positifs converP
gentes, de sommes U et V repectivement. Alors la série produit
Wn est aussi convergente
n≥0
n≥0
n≥0
et a pour somme la valeur U V .
1
Exemple 1.7.1. Pour les séries numériques de terme génaral Un = Vn = n , la série
2
n
P
P
P
n+1
, ∀n ∈ N,
Un
Vn est de terme général Wn =
produit
Up Vn−p =
2n
p=0
n≥0
n≥0
convergente et de somme égale
! +∞ ! +∞
!2
+∞
+∞
Xn+1
X
X
X
1
Vn =
Un
=
=4
2n
2n
n=0
n=0
n=0
n=0
.
1.8
Exercices
Exercice 1.8.1. Donner la nature des séries numériques suivantes en se servant du critère
des suites des sommes partielles associées.
an =
(n + 1)
(n − (−1)n )
1 + 2 + ··· + n
;
b
=
cn = 3
.
n
n
n
3
3
1 + 23 + · · · + n3
dn =
n4 − (n + 1)3
n
1
; vn = 4
; wn = log(1 − 2 ).
2
n!
n +n +1
n
Corrigé 1.8.1. Notons par (An ), (Bn ), (Cn ), (Dn ), (Vn ) et (Wn ) les suites des sommes partielles associées aux séries précédentes respectivement. Alors, on aura :


1. An =
n
P
p=0
ap =
n p+1
n 1
n p
n p
P
P
P
0
 1 − (1/3)n+1  P
=
+
=
+
= Sn + Sn , où


p
p
p
p
1
p=0 3
p=0 3
p=0 3
p=0 3
1−
3

n+1
1 − (1/3)
3


→n→+∞ ;
Sn =


1
2


1−

3
n p
n p
n−1
P
P
P p+1
1
0

S
=
=
=
=
An−1 .

n

p
p
p+1

3
p=0 3
p=1 3
p=0 3



1.8
Exercices
22
Ainsi, on aura
1
1
9
An = Sn + An−1 ⇒ lim An = lim Sn +
lim An−1 ⇒ lim An = .
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
3
3
4
P
Par conséquent, la série
an converge et a pour somme la valeur 9/4.
n
P
2. Bn =
n≥0
n
P (p − (−1)p )
bp =
p=0
3p
p=0
=
n p
n (−1)p
P
P
0
00
−
= Sn − Sn , où
p
p
3
p=0 3
p=0

n p
n−1
P
P p+1
1 9
1

0


S
=
=
= An−1 →n→+∞ × = 3/4;
n

p
p+1

3
3 4
p=1 3
p=0 3
n+1
3
1
−
(−1/3)
00

→n→+∞ .
Sn =


1
4


1+
3
Ainsi, on obtient
1
1 − (−1/3)n+1
00
0
Bn = Sn − Sn = An−1 −
→n→+∞ 0.
1
3
1+
3
P
Par conséquent, la série
bn converge et a pour somme la valeur nulle.
n≥0
n
n
P
P
1 + 2 + ··· + p
1 + 2 + ··· + p
2
=
=
=
3
3
3
2
p=1
p=1 (1 + 2 + · · · + p)
p=1 1 + 2 + · · · + p
p=1 p(p + 1)
n 1
P
1
1
2 ( −
) = 2(1 −
) →n→+∞ 2.
p+1
n+1
p=1 p
P
Par conséquent, la série
cn converge et a pour somme la valeur 2.
3. Cn =
n
P
cp =
n
P
n≥0
n p4
n (p + 1)3
P
P
(n + 1)3
−
=
→n→∞ 0.
p!P
p!
n!
p=0
p=0
p=0 p!
p=0
Par conséquent, la série
vn converge et a pour somme la valeur nulle.
4. Dn =
n
P
n p4 − (p + 1)3
P
dp =
=
n≥0
5.

n
X

n
n

X
p
1 X
1
1
p


Vn =
vp =
=
=
− 2
 2

4
2
2
2
p +p +1
(p + p + 1)(p − p + 1)
2 p=0  p − p + 1 p + p + 1 
p=0
p=0
p=0
| {z } | {z }
n
X
=xp
n
1X
1
1
1
1
=
(xp − xp+1 ) = (x0 − xn+1 ) = (1 − 2
) →n→+∞ .
2 p=0
2
2
n +n+1
2
P
Par conséquent, la série
vn converge et a pour somme la valeur 1/2.
n≥0
=xp+1
1.8
Exercices
6.
23
n
X
n
X
n
X
1
Wn =
wp =
log(1 − 2 ) =
(log(p + 1) + log(p − 1) − 2 log p)
p
p=2
p=2
p=2
n+1
→n→+∞ − log 2.
= − log 2 − log n + log(n + 1) = − log 2 − log
n
P
Par conséquent, la série
wn converge et a pour somme la valeur − log 2.
n≥0
Exercice 1.8.2. Soit à étudier la nature de la série numérique de Bertrand de terme
général
Un =
1
nα (log n)β
,
où α ∈ R, β ∈ R.
Corrigé 1.8.2. Vérifions d’abordla condition nécessaire de convergence, en cherchant :

0
Si α > 0, ∀β > 0;





+∞ Si α < 0, ∀β > 0;
1
lim Un = lim
= 0
Si α = 0, ∀β > 0; .
n−→+∞
n−→+∞ nα (log n)β



1
Si α = 0, ∀β = 0;



+∞ Si α = 0, ∀β < 0.
Ainsi la condition nécessaire n’est vérifiée que si (α > 0, ∀β) ou (α = 0, ∀β > 0) . Ce
P
qui entraine la divergence de la série
Un pour tout (α < 0, ∀β > 0) ou (α = 0, ∀β ≤ 0).
P
Notons que la série
Un et à termes spositifs. On peut alors lui appliquer le critère de
comparaison à une série de Riemann, en cherchant :
nγ
lim nγ Un
=
lim
n−→+∞
n−→+∞ nα (log n)β


0
Si γ − α < 0, ∀β;
(i)





(ii)
+∞ Si γ − α > 0, ∀β;
0
Si γ − α = 0, ∀β > 0;
(iii) .



1
Si γ − α = 0, ∀β = 0;
(iv)



+∞ Si γ − α = 0, ∀β < 0
(v).
• De (i), on a bien
=
lim nγ Un = 0, ∀γ − α < 0, ∀β ⇐⇒
n−→+∞
nγ−α
n−→+∞ (log n)β
lim
=
lim nγ Un = 0, ∀α > γ, ∀β.
n−→+∞
lim nγ Un = 0 même pour tout α > γ > 1, ∀β.
P 1
P
Or pour γ > 1, la série
est
convergente.
Par
conséquent,
la
série
Un converge si
nγ
α > 1 et ∀β.
En particulier,
n−→+∞
1.8
Exercices
24
• De (ii), on a bien
lim nγ Un = +∞, ∀γ − α > 0, ∀β ⇐⇒
n−→+∞
lim nγ Un = +∞, ∀α <
n−→+∞
γ, ∀β.
lim nγ Un = +∞ même pour tout α < γ < 1, ∀β.
P 1
P
est
divergente.
Par
conséquent,
la
série
Un diverge si
Or pour γ < 1, la série
nγ
α < 1 et ∀β.
En particulier,
n−→+∞
• Il reste le cas où α = 1, β ∈ R. Dans ce cas, on peut appliquer le critère Intégrale de
1
est bien positive, décroissante et tendant
Cauchy, car la fonction x 7→ f (x) =
x(log x)β
R∞
P
dx
vers zero. Ainsi, la série
Un est de même nature que l’intégrale I(β) =
, que
β
k x(log x)
l’on va établir comme suit :
I(β) =
R∞
RA
dx
dx
=
lim
β
β
A−→+∞
k x(log x)
k x(log x)
1
A
1
1−β
x
dx = lim
(log x)
, ∀β 6= 1
= lim
A−→+∞ 1 − β
A−→+∞ k (log x)β
k

 1 (log k)1−β Si β > 1;
(1)
= β−1
+∞
Si β < 1.
(2)
RA
De (1) et (2), on déduit que l’intégrale I(β) est convergente si α = 1, β > 1 et divergente
P
si α = 1, 0 < β < 1. Par conséquent, la série
Un est convergente si α = 1, β > 1 et
divergente si α = 1, 0 < β < 1.
• Si α = 1 et β = 1, alors :
1
R∞ dx
RA dx
RA x
= lim
= lim
dx = lim [log log x] = +∞.
I(β) =
A−→+∞ k x log x
A−→+∞ k log x
A−→+∞
k x log x
Ce qui implique la divergence de I(β), et donc celle de la série
P
Un , si α = 1 et β = 1.
1.8
Exercices
25
• Conclusion :
La série de Bertrand converge si (α > 1, ∀β) ou (α = 1, ∀β > 1) et diverge si (α < 1, ∀β)
ou (α = 1, ∀β ≤ 1).
P
Exercice 1.8.3. Indiquer la nature de la série
Un dans chacun des cas suivants :
n
2
1
2n
π
a)- Un =
;
b)
−
U
=
,
p
>
0;
c)
−
U
=
(sin α)2 , α ∈ [0, ];
n
n
n
p
2
1+3
(log n)
n
2
1 + log n
√
;
d) − Un =
n n
sin2 n
(−1)n log n
n2α
e)- Un =
;
f
)
−
U
=
[1
+
];
g)
−
U
=
,
n
n
nα
nα
αn + log n
n nα
h) − Un = (
) , α > 0.
n+1
Corrigé 1.8.3. Notons que les séries proposées sont à termes positifs.
2n
≤ (2/3)n qui est le terme d’une série
1 + 3n
géométrique de raison k = (2/3) < 1, donc convergente. Ce qui entraine la converP 2n
gence de la série
.
n
n≥0 1 + 3
b)- Il suffit d’utiliser le critère de comparaison à une série de Riemann. En effet,
1
on a bien lim nα Un = lim nα
= +∞, ∀α ≥ 0 et pour tout p > 0. En
n→+∞
n→+∞
(log n)p
particulier, ceci est vrai même pour un 0 ≤ α ≤ 1 et indépendemment de p. Or, pour
P 1
α ≤ 1, la série de Riemann
est divergente. Ce qui entraı̂ne la divergence de
α
n≥1 n
P
1
, ∀p > 0.
p
n≥2 (log n)
P 2n
π
c)- Pour la série
(sin α)2 , α ∈ [0, ], on a deux cas à distinguer :
2
2
n≥1 n
i)- Si α = 0, alors Un = 0.
π
ii)- Si α ∈]0, ], il suffit d’appliquer la règle de d’Alembert. En effet, on a :
2
2n+1 n2
n 2
Un+1
lim
= lim
= 2 lim (
) = 2 > 1.
2
n
n→+∞ Un
n→+∞ (n + 1) 2
n→+∞ n + 1
P 2n
De i) et ii), on déduit la convergence de la série
(sin α)2 si et ssi α = 0.
2
n≥1 n
a)- Il suffit de remarquer que Un =
1.8
Exercices
26
1 + log n
1
log n
√
= √ + √ = Vn + Wn .
n n
n n n n
P
P 1
√ est une série de Riemann convergente (α > 1).
La série
Vn =
n≥1
n≥1 n n
P
P log n
√ est aussi convergente car on peut toujours trouver un α
La série
Wn =
n≥1
n≥1 n n
tel que 1 < α < 3/2 de sorte que lim nα Wn = 0.
n→+∞
P
Ainsi, la série
Un converge comme la somme de deux séries convergentes.
d)- Un =
n≥1
sin2 n
, α > 0, peut s’écrire de la manière suivante :
nα
1 − cos 2n
1
cos 2n
sin2 n
=
= α−
= Vn + Wn .
Un =
α
α
n
2n
2n
2nα
P
P 1
Or, la série
Vn =
est une série de Riemann convergente si et ssi α > 1.
α
n≥1
n≥1 2n
P
P cos 2n
D’autre part, grâce au critère d’Abel, la série
Wn =
−
est aussi conver2nα
n≥1
Pn≥1
gente pour tout α positif. Par conséquent, la série
Un va converger pour tout
e)- La série de terme général Un =
n≥1
α > 1.
(−1)n log n
] est divergente car la condition
nα
nécessaire de convergence n’est pas vérifiée ∀α.
n2α
, α > 0. Pour déterminer sa nag)- Soit la série de terme général Un = n
α + log n
ture, vérifions d’abord la condition nécessaire de convergence. Pour cela, cherchons
f)- La série de terme général Un = [1 +
lim Un , en se servant du critère d’équivalence connu sur les suites numériques,
n→+∞
comme suit :
Un ≃
 2α
n


,

n


 α n2
Si α > 1.
, Si α = 1.
1 + log n




n2α


,
Si α < 1.
log n
Par passage à la limite, on obtient facilement les résultats suivants :


Si α > 1,
0
lim Un = +∞ Si α = 1,
n→+∞


+∞ Si α < 1.
(1.1)
(1.2)
La condition nécessaire n’est donc vérifiée que pour α > 1, par conséquent la série
P
Un est divergente si 0 < α ≤ 1.
n≥1
1.8
Exercices
27
Maintenant si α > 1, il suffit de se servir du critère d’équivalence combiné avec la
régle de d’Alembert.
P
P
n2α
=
V
.
Ainsi,
les
séries
U
et
Vn sont de
n
n
αn
n≥1
n≥1
2α
1
n+1
1
Vn+1
=
lim
= < 1, on déduit alors
même nature. Comme, lim
n→+∞
n→+∞ Vn
α
n
α
la convergence des deux séries.
En effet, pour α > 1, Un ≃
h)- De même pour déterminer la nature de la série de terme général Un =
n nα
(
) , α > 0, nous allons d’abord vérifier la condition nécessaire de convergence
n+1
après avoir déterminé son équivalent. On aura ainsi,


0


α−1
1
lim Un = lim e−n
=
n→+∞
n→+∞


e
1
Si α > 1,
Si α = 1,
(1.3)
Si α < 1.
La condition nécessaire n’est donc vérifiée que pour α > 1, par conséquent la série
P
Un
n≥1
est divergente si 0 < α ≤ 1.
Maintenant si α > 1, il suffit de se servir du critère d’équivalence combiné avec la régle de
Cauchy comme suit :


0


√
p
α−2
n
1
α−1
lim n Un = lim
e−n
= lim e−n
=
n→+∞
n→+∞
n→+∞


e
1
Par conséquent, la série
P
Si α > 2,
Si α = 2,
(1.4)
Si 1 < α < 2.
Un est convergente si α ≥ 2.
n≥0
Exercice 1.8.4. Indiquer la nature des séries numériques de terme général
(−1)n
a)- Un = α
, α > 0.
n
n
+
(−1)
n log n
log n
b)- Un = 1 −
, α > 0.
(log(n + 1))
nα
Corrigé 1.8.4.
a)- Notons que, bien que la série de terme général
Un =
(−1)n
, α > 0 est une série alternée, à partir, dont la condition nécessaire de
nα + (−1)n
1.8
Exercices
28
convergence est vérifiée ∀α > 0, on ne peut pas comme même se servir du critère de
1
convergence des séries alternées à cause de la non décroissance de la suite α
.
n + (−1)n
Ainsi pour déterminer la nature de
P
Un , on va procéder comme suit :
n≥0

n
Un =
où
n
(−1)
(−1) 
=

nα + (−1)n
nα

1
1
1
1
 (−1)n
+
−
ε(
),
n =
α
2α
2α
2α
(−1)
n
n
n
n
| {z } |{z} | {z }
1+
Wn
Vn
Zn
nα
(1.5)
1
lim ε( 2α ) = 0, ∀α > 0. Autrement dit,
n→+∞
n
Un ≃
(−1)n
1
− 2α , ∀α > 0.
α
n
| n{z } |{z}
Vn
(1.6)
Wn
P
Or d’une part, la série
Vn est une série alternée convergente pour tout α > 0.
n≥0
P
D’autre part, la série
Wn est une série de Riemann convergente si et ssi α > 1/2.
n≥0
P
On déduit alors la convergence de la série
Un si et ssi α > 1/2.
n≥0
b)- Pour déterminer la nature de cette série, nous alllons d’abord simplifier son expression, en lui cherchant un équivalent comme suit :
a)
Un = 1 −
log n
log(n + 1)
n log n 

= 1 − 
nα

n 


log n
log(n(1 +
1
))
n
  log n
  α
n
n 


 


 


 

  log n
log n
log n


  log n 





= 1 − 
= 1 − 


  nα
α
1
1
n



log n + log(1 + )
log(1 + ) 


 


n
n

 log n 1 +
 
log n

n 


n 




≃
1
−


1
1+
1
n log n
n   log n
1
log n
1
 
≃ α
  nα ≃ 1 − 1 − n log n
α
n
n
1.8
Exercices
29
qui est une série de Riemann convergente si et ssi α > 1. En vertu du critère
P
d’équivalence, on déduit la convergence de la série
Un si et ssi α > 1.
n≥1
Exercice 1.8.5. Soit la série de terme général Un suivante :
(n+1)π
Z
e−x sin x dx
Un =
nπ
1)- Montrer que la série
P
Un est alternée.
2)- Retrouver sa nature puis calculer sa somme
+∞
P
Un de deux manières différentes.
n=0
Corrigé 1.8.5. Soit la série de terme général Un suivante :
(n+1)π
Z
e−x sin x dx
Un =
nπ
1)- Montrons que la série
P
Un est alternée.
n≥0
Faisons un changement de variable en posant : x = nπ + t. On obtient ainsi
l’expression suivante :
(n+1)π
Z
Zπ
nπ
0
e−x sin x dx =
Un =
e(−nπ−t) sin(nπ+t) dt = (−1)n e−nπ
Zπ
e−t sin(t) dt = (−1)n e−nπ U0 .
0
Après une double intégration par parties, on trouve :
Zπ
U0 =
e−t sin(t) dt =
1 + e−π
.
2
0
D’où l’expression récurrente de Un en fonction de U0 suivante :
Un = (−1)n e−nπ U0 = (−1)n
1 + e−π −nπ
e
= (−1)n Vn .
2
(Vn )n est bien une suite numérique à termes positifs, donc la série numérique
P
Un
n0
est bien une série alternée. La décroissance vers zéro de la (Vn )n entraı̂ne la converP
gence de la série
Un .
n≥0
2)- Calculons la somme
+∞
P
Un :
n=0
Pour calculer la somme demandée, on peut procéder de deux manières différentes.
1.8
Exercices
30
Première Méthode : Elle consiste à consommer directement le résultat trouvé à
la question précédente. En effet, notons par S la somme de cette série numérique,
on aura alors :
S=
+∞
X
Un = U0
n=0
+∞
X
(−1)n e−nπ = lim U0
n→+∞
n=0
1 + e−(−n+1)π
1
.
=
1 + e−π
2
Deuxième Méthode : Elle consiste à nous ramener à l’étude d’une intégrale
impropre, du fait que :
S=
+∞
X
(n+1)π
Z+∞
+∞ Z
X
−x
e−x sin x dx.
Un =
e sin x dx =
n=0
n=0
0
nπ
Après une double intégration par parties, on trouve :
S = I = 1/2
Exercice 1.8.6. Retrouver la nature de la série numérique de terme génaral Un =
(n + 1)
puis calculer sa somme en se servant des séries produit.
3n
P
Corrigé 1.8.6. La série
Un est convergente grâce à la règle de d’Alembert. En
n≥0
effet, on a bien
Un+1
1
n+2
=
lim
= 1/3 < 1.
n→+∞ Un
3 n→+∞ n + 1
1
Pour calculer sa somme, posons an = n qui est le terme général d’une série
3
1
géométrique de raison ( < 1) donc convergente et ayant pour somme la valeur
3
3
S= .
2
1
1 1
Il est simple de constater alors que n = p n−p . A présent, on peut réécrire Un sous
3
3 3
la forme suivante :
lim
n
n
n
X
X
X
1 1
1
Un = (n + 1) n = (n + 1)an =
an =
ap an−p =
3
3p 3n−p
p=0
p=0
p=0
qui est le terme général de la série produit
!
!
X
X
an ×
an =
n≥0
n≥0
!2
X
n≥0
an
1.8
Exercices
31
9
Un est convergente et a pour somme la valeur S 2 = .
4
n≥0
2
2
P
P 1
est convergente et
Exercice 1.8.7. Monter que la série
Un
=
n
n≥0
n≥0 2 n!
puis calculer sa somme.
Par conséquent la série
P
Corrigé
allons retrouver une expression analytique plus simple pour la
1.8.7.Nous
P 1 2
série
.
n
n≥0 2 n!
!2
!
!
!
n
X 1
X X
X 1
X 1
1
1
=
=
n
n
n
p
n−p
2 n!
2 n!
2 n!
2 p! 2 (n − p)!
p=0
n≥0
n≥0
n≥0
n≥0
!
!
n
n
X 1 X
X 1
X 1
X
1
n!
=
=
=
.
2n p=0 p!(n − p)!
2n n! p=0 p!(n − p)!
n!
n≥0
n≥0
n≥0
P 1
est bien convergente, grâce à la règle d’Alembert. En effet, il suffit de
n≥0 n!
calculer la limite suivante :
Un+1
n!
lim
= lim
= 0 < 1.
n−→+∞
n−→+∞
Un
(n + 1)!
La série
A présent, on peut calculer sa somme, en se servant du dévelopement limité de la
P 1
= e1 .
fonction ex au voisinage du point x = 0. Il suffit juste de constater que
n!
n≥0
P
√
Par conséquent, la série
Un converge aussi et a pour somme la valeur e.
n≥0
Chapitre 2
Les Suites de Fonctions
Dans ce chapitre, nous allons étudier les suites de fonctions réelles (fn )n∈N , i.e des
suites dont les termes sont des fonctions définies sur une même partie E ⊆ R. Pour
cela, il est clair que l’on va combiner toutes les notions fondamentales connues sur les
suites numériques avec celles établies sur les fonctions rélles à une seule variable réelle.
Nous allons nous interesser aux propriétés de la fonction limite en terme de continuité,
dérivabilité, intégrabilité, etc . . ., étant connues celles des fonctions (fn ), ∀n ∈ N. La
notion du simple passage à la limite connue dans le cadre des suites numériques nous
permet de définir un critère dit de convergence simple des suites de fonctions.
2.1
Convergence Simple
Définition 2.1.1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
E ⊆ R. La suite (fn )n∈N sera dite simplement convergente sur E, si pour tout x ∈ E,
la suite numérique (fn (x))n∈N est convergente quand n → +∞. Si la fonction f (x)
est sa limite, la convergence simple s’exprime alors comme suit :
fn →n→+∞ f ⇔ lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ E
n→+∞
⇔ ∀x ∈ E, ∀ > 0, ∃N,x , ∀n ≥ N,x ⇒ |fn (x) − f (x)| < .
Remarque 2.1.1. 1. Le nombre N dont l’existence est affirmée après le choix de et de x dépend de ce choix.
32
2.1
Convergence Simple
33
2. Toutes les propriétés sur les limites des suites numériques se traduisent
immédiatement comme des propriétés sur les limites simples des suites de fonctions.
Exemple 2.1.1. Prenons E = [0, 1] et la suite de fonctions définie par
x 7−→ fn (x) =
x
, ∀n ∈ N.
1 + nx
Par un simple passage à la limite, on aura
lim fn (x) = 0, ∀x 6= 0. Si x = 0, alors
n−→+∞
fn (0) = 0. Par conséquent, la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement vers
la fonction f ≡ 0 sur [0, 1]. Notons que toutes les fonctions fn sont continues sur E
ainsi que la fonction limite f .
Exemple 2.1.2. Prenons E = [0, 1] et la suite de fonctions définie par
x 7−→ fn (x) =
nx
, ∀n ∈ N.
1 + nx
Par un simple passage à la limite, on aura
lim fn (x) = 1, ∀x 6= 0. Si x = 0, alors
n−→+∞
fn (0) = 0. Par conséquent,
( la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement vers la
1 si x ∈]0, 1]
fonction x 7−→ f (x) =
0 si x = 0.
Notons que toutes les fonctions fn sont continues sur E mais la fonction limite f ne
l’est pas.
Exemple 2.1.3. Prenons E = R et la suite de fonctions définie par
1
1 2
2
x 7−→ fn (x) = x + 2
, ∀n ≥ 1.
n
Un simple passage à la limite nous permet d’avoir
lim fn (x) = |x|, ∀x ∈ R.
n−→+∞
Par conséquent, la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement sur R vers la
fonction x 7−→ f (x) = |x|. On voit bien que toutes les fonctions fn sont dérivables
sur E mais la fonction limite f ne l’est pas.
Exemple 2.1.4. Prenons E =]0, 1] et la suite de fonctions définie par


n si 0 < x ≤ 1
n
x 7−→ fn (x) = 1
1


si
≤x≤1
x
n
2.2
Critère de Cauchy
34
Par un simple passage à la limite, on obtient une fonction limite définie par :
f :]0, 1] → R
x 7−→ f (x) =
1
x
Par conséquent, la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement vers sur ]0, 1] vers
1
la fonction x 7−→ f (x) = . Comme on peut bien le constater, chacune des fonctions
x
fn est bornée sur ]0, 1], mais la fonction limite f ne l’est pas.
Remarque 2.1.2. Pour l’étude des suites de fonctions, on dispose aussi, comme
dans le cas des suites numériques, du critère de Cauchy qui est surtout d’un emploi
théorique très utile dès que l’on veut montrer la convergence d’une suite dont on
ignore la limite.
2.2
Critère de Cauchy
Par analogie aux suites numériques, il est naturel de poser la définition suivante.
Définition 2.2.1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
E ⊆ R. La suite (fn )n∈N sera dite simplement de Cauchy sur E, si pour tout x ∈ E,
la suite numérique (fn (x))n∈N est de Cauchy. Ce qu’on peut exprimer formellement
come suit :
(fn )n∈N est de Cauchy sur E ⇔
∀x ∈ E, ∀ > 0, ∃N,x , ∀(p, q) ∈ N × N/ p > q > N,x ⇒ |fp (x) − fq (x)| < .
Théorème 2.2.1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
E ⊆ R. La suite (fn )n∈N est simplement convergente sur E, si et seulement si elle est
simplement de Cauchy sur E.
Preuve 2.2.1. Le raisonnement est analogue à celui établi sur les suites numériques,
il suffit juste de remplacer la valeur de la limite par la fonction f .
Exemple 2.2.1. La suite de fonctions définie sur R par x 7→ fn (x) = sin(nx), ∀n ∈ N,
n’est pas simplement convergente sur R car elle n’est pas de Cauchy sur R.
2.3
Convergence Uniforme
35
Remarque 2.2.1. Les exemples 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 et 2.1.4 nous montrent que la
convergence simple n’est pas suffisante pour que la fonction limite hérite des propriétés des fonctions fn , d’où la nécessité de forger un autre critère beaucoup plus
puissant dit ”de Convergence Uniforme”.
2.3
Convergence Uniforme
Définition 2.3.1. Une suite de fonctions (fn (x))n∈N définies sur une même partie
E ⊆ R converge uniformément sur E vers la fonction f , si à tout positif, on peut
faire correspondre un nombre entier N , ne dépendant que de , tel que ∀n > N , on
ait fn (x) tend vers f (x) uniformément sur R. Autrement dit,
(fn )n∈N converge uniformément sur E ⇔
∀ > 0, ∃N , ∀n ≥ N ⇒ |fn (x) − f (x)| < , ∀x ∈ E
⇔ lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n→+∞ x∈E
Remarque 2.3.1. Il est facile de constater que la convergence uniforme entraı̂ne la
convergence simple mais que la réciproque est fausse.
Exemple 2.3.1. Soit la suite de fonctions définie par
fn (x) = xn , ∀x ∈ [0, 1], ∀n ≥ 0.
Par un simple passage à la limite, on aura
lim fn (x) = 0, ∀x 6= 1. Si x = 1, alors
n−→+∞
fn (1) = 1. Par conséquent,
( la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement vers la
0 si x ∈ [0, 1[
fonction x 7−→ f (x) =
1 si x = 1.
Pour la convergence uniforme, il est clair qu’elle n’est pas vérifiée ni sur [0, 1] ni aussi
sur [0, 1[. En effet, on a : sup |fn (x) − f (x)| = sup |x|n = 1 9 0 quand n −→ +∞.
x∈[0,1[
x∈[0,1[
Le problème se pose justement au point x = 1 et tout son voisinage. En revanche, il
y a convergence uniforme sur tout intervalle de type [0, a] où 0 < a < 1.
En effet, ∀a, 0 < a < 1, sup |fn (x) − f (x)| = sup |x|n = an −→n−→+∞ 0.
x∈[0,a]
x∈[0,a]
2.4
Convergence Uniforme de Cauchy
2.4
36
Convergence Uniforme de Cauchy
Comme dans le cadre de la convergence simple, le critère uniforme de Cauchy nous
permet de juger de la convergence uniforme d’une suite de fonctions sans faire appel
à l’expression analytique de sa fonction limite simple.
Définition 2.4.1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
E ⊆ R. La suite (fn )n∈N sera dite uniformément de Cauchy sur E si :
∀ > 0, ∃N , ∀(p, q) ∈ N × N/ p > q > N ⇒ |fp (x) − fq (x)| < , ∀x ∈ E.
En combinant le critère de Cauchy avec le critère de convergence uniforme, on obtient
immédiatemment le résultat suivant.
Théorème 2.4.1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie E ⊆ R. Pour que la suite (fn )n∈N soit uniformément convergente sur E, il est
nécessaire et suffisant qu’elle soit uniformément de Cauchy sur E.
2.5 Propriétés de la fonction limite d’une suite de
fonctions
Dans cette partie, nous allons donner les conditions suffisantes sous lesquelles la
fonction limite f conserve certaines propriétés des fonctions fn .
2.5.1
La continuité
Théorème 2.5.1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
E ⊆ R, uniformément convergente sur E vers f . Si les fonctions fn sont toutes
continues sur E, alors la fonction limite f est aussi continue sur E.
Preuve 2.5.1. On va procéder par définition équivalente de chaque notion. On sait
alors que :
1.D’une part,
les fonctions fn sont continues en tout point a ∈ E
2.5
Propriétés de la fonction limite d’une suite de fonctions
⇔par définition ∀1 > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ E : |x − a| < α ⇒ |fn (x) − fn (a)| < 1
37
(2.1)
2.D’autre part,
la suite de fonctions fn est uniformément convregente vers f sur E
⇔par définition ∀2 >, ∃N2 , ∀n > N2 ⇒ |fn (x) − f (x)| < 2 , ∀x ∈ E
(2.2)
Ceci reste vrai en particulier même pour x = a. C’est-à-dire que
∀2 > 0, ∃N2 , ∀n > N2 ⇒ |fn (a) − f (a)| < 2 ,
(2.3)
Pour montrer que la fonction limite f est continue sur E, il suffit de montrer qu’elle
est continue en tout point a ∈ E. Ce qui est équivalent par définition à :
∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ E : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < En effet, on a bien :
|f (x) − f (a)| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (a) + fn (a) − f (a)|
≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (a)| + |fn (a) − f (a)|
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
<2 =
<1 =
<2 =
3
3
3
Ainsi, il suffit de prendre δ = α pour que :
∀ > 0, ∀x ∈ E : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < (2.5)
Ce qui traduit bien la continuité de la fonction limite f en tout point a ∈ E.
Corollaire 2.5.1. Si une suite de fonctions continues sur E, converge uniformément
sur E, alors sa limite est une fonction continue sur E.
2.5.2
L’intégrabilité
Théorème 2.5.2. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions continues sur E = [a, b], uniformément convergente sur [a, b] vers f . Si les fonctions fn sont toutes continues sur
E. Alors,
2.5
Propriétés de la fonction limite d’une suite de fonctions
38
1. La fonction f est intégrable sur [a, b].
Rb
Rb
Rb
lim fn (x)dx = f (x)dx.
fn (x)dx =
2. De plus, lim
a n−→+∞
n−→+∞ a
a
C’est à dire que la convergence uniforme conserve l’intégrabilité et permet alors d’intervertir le signe limite et le signe intégrale.
Preuve 2.5.2. i)- Soit (fn )n∈N une suite de fonctions continues sur [a, b], uniformément convergente sur [a, b] vers la fonction limite f . Alors en vertu du
Theorème2.5.1, f est continue sur [a, b] et donc aussi intégrable sur [a, b].
ii)- On sait que
La suite de fonctions fn est uniformément convregente vers f sur [a, b].
⇔par définition ∀ > 0, ∃N , ∀n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| <
, ∀x ∈ [a, b]
(b − a)
(2.6)
On sait aussi que
Zb
Zb
[fn (x) − f (x)]dx ≤
a
|fn (x) − f (x)| dx
(2.7)
a
On cherche alors à avoir
Zb
lim
Zb
fn (x)dx =
n−→+∞
a
f (x)dx
a
Zb
⇔par définition ∀ > 0, ∃N , ∀n > N ⇒
Zb
fn (x)dx −
a
f (x)dx < a
En effet, en se servant du résultat (2.6) et de l’inégalité (2.7), on obtient alors
Zb
∀ > 0, ∃N , ∀n > N ⇒
Zb
fn (x)dx −
a
Ce qui achève notre démonstration.
Zb
f (x)dx ≤
a
|fn (x) − f (x)| dx < .
a
2.5
Propriétés de la fonction limite d’une suite de fonctions
2.5.3
39
La dérivabilité
Théorème 2.5.3. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions continument dérivables sur
[a, b]. Si,
0
a)- La suite des fonctions dérivées (fn )n∈N converge uniformément sur [a, b].
b)- Pour un point x0 ∈ [a, b], la suite numérique (fn (x0 ))n∈N est convergente.
Alors
1. La suite de fonctions (fn )n∈N converge uniformément sur [a, b] vers une fonction
f continument dérivable sur [a, b].
d
d
2. De plus,
fn (x) .
lim fn (x) = lim
n−→+∞ dx
dx n−→+∞
Autrement dit, la convegence uniforme nous permet d’intervertir les opérations de
dérivation et de passage à la limite.
Preuve 2.5.3. Soit x, x0 deux points de [a, b] avec a ≤ x0 ≤ x ≤ b. On sait que
les fonctions fn sont continument dérivables sur [a, b] (condition a). Ceci veut dire
qu’elles sont de calsse C 1 sur [a, b]. Autrement dit, elles sont continues, dérivables et
leurs dérivées sont continues sur [a, b]. Ainsi, on peut écrire, pour tout n ∈ N,
Zx
fn (x) = fn (x0 ) +
0
fn (t)dt.
(2.8)
x0
0
Si la suite des fonctions dérivées (fn )n∈N converge uniformément sur [a, b] (toujours
de la condition a), alors elle l’est aussi sur [x0 , x] ⊆ [a, b]. Il en résulte alors d’après
le Théorème 2.5.2, que
Zx
lim [fn (x) − fn (x0 )] =
0
lim fn (t)dt.
n→+∞
n→+∞
x0
Compte tenu de la convergence de la suite (fn (x0 ) (condition b), on déduit celle de
la suite (fn ) vers une fonction f . Par passage à la limite dans (2.8), on botient :
Zx
f (x) = f (x0 ) + lim
0
fn (t)dt.
n→+∞
x0
(2.9)
2.5
Propriétés de la fonction limite d’une suite de fonctions
40
0
Ce qui peut être réécrit grace à la convergence uniforme des fonctions dérivées (fn )n∈N
sur [a, b] comme
Zx
0
lim fn (t)dt.
f (x) = f (x0 ) +
(2.10)
n→+∞
x0
On déduit alors que
0
0
lim [fn (x)] = [ lim fn (x)] .
(2.11)
n→+∞
n→+∞
Il reste à montrer que la suite (fn ) converge uniformément vers une fonction continue
f sur [a, b]. Formellement, ceci est équivalent à montrer que
∀ > 0, ∃N , ∀n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| < , ∀x ∈ [a, b].
En effet, pour tout x ∈ [a, b] on a :
Zx
0
0
f (x)−fn (x) = f (x)−f (x0 )+f (x0 )−fn (x0 )+fn (x0 )−fn (x) = f (x0 )−fn (x0 )+ [f (t)−fn (t)]dt.
x0
Ainsi
Zx
|f (x)−fn (x)| ≤ |f (x0 )−fn (x0 )|+
0
Zx
0
0
0
[f (t) − fn (t)]dt ≤ |f (x0 ) − fn (x0 )| +
f (t) − fn (t) dt.
|
{z
}
{z
}
|
x0
x0
<
<
2
2(x − x )
0
Car, d’une part d’après (2.11), on a
0
0
∀ > 0, ∀x, x0 , [x, x0 ] ⊆ [a, b], ∃N1 , ∀n > N1 ⇒ |fn (x) − f (x)| <
.
2(x − x0 )
D’autre part, compte tenu de la convergence de la suite (fn (x0 ) (condition b), on
aura
∀ > 0, ∃N2 , ∀n > N2 ⇒ |fn (x0 ) − f (x0 )| < .
2
Finalement, il suffit de choisir un rang N = sup(N1 , N2 ), à partir duquel on ait
|fn (x) − f (x)| <
(x − x0 )
+
= , ∀ > 0, ∀x ∈ [a, b].
2 2(x − x0 )
Ce qui achève notre démonstration.
2.6
Exercices
2.6
41
Exercices
Exercice 2.6.1. a)- Montrer que, si une suite (fn : I −→ R)n∈N de fonctions
croissantes sur un intervalle I de R converge simplement sur I vers une fonction
f : I −→ R, alors f est aussi croissante sur I.
b)- Montrer que, si une suite (fn : I −→ R)n∈N de fonctions bornées sur un intervalle
I de R converge uniformément sur I vers une fonction f : I −→ R, alors f est
bornée sur I.
c)- Montrer que, si une suite (fn : I −→ R)n∈N de fonctions uniformément continues
sur un intervalle I de R converge uniformément sur I vers une fonction f : I −→ R,
alors f est uniformément continue sur I.
Corrigé 2.6.1. On va procéder par définition équivalente de chaque notion évoquée
dans cet exercice.
a)- Soit (fn : I −→ R)n∈N une suite de fonctions croissantes sur I ⇔par définition
∀(x, y) ∈ I × I/x ≥ y ⇒ fn (x) ≥ fn (y).
Si cette suite converge simplement sur I vers une fonction f : I −→ R, alors par
un simple passage à la limite, on aura
∀(x, y) ∈ I × I/x ≥ y ⇒ lim fn (x) = f (x) ≥ lim fn (y) = f (y).
n→+∞
n→+∞
Ce qui traduit bien la croissance de la fonction limite f sur I.
b)- On sait que :
1. D’une part,
les fonctions fn sont bornées sur I
⇔par définition pour tout n ∈ N, ∃M > 0/∀x ∈ I, |fn (x)| ≤ M, ∀n ≥ 0.
(2.12)
2. D’autre part,
la suite de fonctions fn est uniformément convregente vers f sur I
⇔par définition ∀ > 0, ∃N , ∀n ≥ N ⇒ |fn (x) − f (x)| < , ∀x ∈ I
(2.13)
2.6
Exercices
42
Ceci reste vrai en particulier même pour = 1. C’est-à-dire que
⇔par définition ∃N, ∀n ≥ N ⇒ |fn (x) − f (x)| < 1, ∀x ∈ I
(2.14)
Il reste à montrer que la fonction limite uniforme f est bornée. En effet, on a :
0
|f (x)| = |f (x) − fn (x) + fn (x)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x)| ≤ 1 + M = M , ∀x ∈ I.
Ce qui est équivalent à dire que f est bornée sur I.
c)- 1.Là aussi,
les fonctions fn sont uniformément continues sur I
⇔ les fonctions fn sont uniformément continues en tout point a ∈ I
⇔par définition ∀1 > 0, ∃α1 > 0, ∀x ∈ I : |x−a| < α1 ⇒ |fn (x)−fn (a)| < 1 (2.15)
2.D’autre part,
la suite de fonctions fn est uniformément convregente vers f sur I
⇔par définition ∀2 >, ∃N2 , ∀n > N2 ⇒ |fn (x) − f (x)| < 2 , ∀x ∈ I
(2.16)
Ceci reste vrai en particulier même pour x = a. C’est-à-dire que
∀2 > 0, ∃N2 , ∀n > N2 ⇒ |fn (a) − f (a)| < 2 .
(2.17)
Pour montrer que la fonction limite f est uniformément continue sur I, il suffit
de montrer qu’elle est uniformément continue en tout point a ∈ I. Ce qui est
équivalent à montrer par définition à :
∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < En effet, on a bien :
|f (x) − f (a)| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (a) + fn (a) − f (a)|
2.6
Exercices
43
≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (a)| + |fn (a) − f (a)|
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
<2 =
<1 =
<2 =
3
3
3
Ainsi, il suffit de prendre δ = α1 pour que :
∀ > 0, ∀x ∈ I : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < (2.19)
Ce qui traduit bien la continuité uniforme de la fonction limite f sur I.
Exercice 2.6.2. Etudier la nature (Convergence Simple et Uniforme) des suites de
fonctions suivantes :
a) − fn : R+ −→ R, x 7−→ fn (x) = log(x +
b)- fn : [1; +∞[−→ R, x 7−→ fn (x) =
1
), ∀n ∈ N∗ .
n
x
, ∀n ∈ N∗ .
n(1 + xn )
1 − n2 x2
c)- fn : [0; 1] −→ R, x 7−→ fn (x) =
, ∀n ∈ N.
(1 + n2 x2 )2
x
, ∀n ∈ N.
(1 + n2 x2 )
Corrigé 2.6.2. a)- Nature de la suite de fonctions donnée par :
d)- fn : [−1; 1] −→ R, x 7−→ fn (x) =
fn : R+ −→ R, x 7−→ fn (x) = log(x +
1
), ∀n ∈ N∗ .
n
a.1)- Convergence Simple : Notons que les fonctions (fn ) sont toutes bien
définies et continues sur R+ , ∀n ≥ 1. Par un simple passage à la limite, on
obtient :
lim fn (x) =
n−→+∞
lim log(x +
n−→+∞
1
) = log x, ∀x > 0.
n
1
→n→+∞ −∞. Donc, la suite (fn (0))n est divergente.
n
Par conséquent, la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement sur ]0, +∞[
Si x = 0, alors fn (0) = log
vers la fonction x 7−→ f (x) = log x.
a.2)- Convergence Uniforme : Bien que cette fonction limite est bien définie
et continue sur R∗+ , la convergence uniforme ne peut avoir lieu sur R∗+ ni sur
2.6
Exercices
44
R+ . Ceci est dû au fait que le point x = 0 et son voisinage posent problème. En
effet, pour le point x = 0, il est clair qu’il ne peut pas être dans le domaine de
convergence uniforme de la suite de fonctions (fn ), car il n’y est même pas dans
son domaine de convergence simple. Maintenant sur R∗+ , il suffit de chercher
sup |fn (x) − f (x)| = sup | log(x +
x>0
x>0
1
1
) − log x| = sup log(1 +
) = sup gn (x).
n
nx
x>0
x>0
Comme toutes les fonctions gn sont bien dérivables sur ]0, +∞[, on aura alors :
0
gn (x) =
−n2
< 0, ∀x > 0, ∀n ≥ 1.
x(1 + nx)
Ce qui veut dire que les fonctions gn sont décroissantes sur ]0, +∞[. Ainsi, on
aura :
sup |fn (x) − f (x)| = sup gn (x) = +∞
x>0
x>0
Ce qui traduit bien la non convergence uniforme de la suite de fonctions (fn )n
vers la fonction f sur ]0, +∞[.
En revanche, il y a convergence uniforme sur tout intervalle de type [a, +∞[, a >
0. En effet, sur tout intervalle [a, +∞[, a > 0, on aura :
sup |fn (x) − f (x)| = sup | log(x +
x≥a
x≥a
1
1
) − log x| = sup log(1 +
) = sup gn (x).
n
nx
x≥a
x≥a
Comme toutes les fonctions gn sont décroissantes sur [a, +∞[, on aura alors :
sup |fn (x) − f (x)| = sup gn (x) = gn (a) = log(1 +
x≥a
x≥a
1
) →n→+∞ 0.
na
Ce qui traduit bien la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn )n vers
la fonction f sur [a, +∞[, a > 0.
b)- Nature de la suite de fonctions donnée par :
fn : [1; +∞[−→ R, x 7−→ fn (x) =
x
, ∀n ∈ N∗ .
n(1 + xn )
2.6
Exercices
45
b.1)- Convergence Simple : Notons que les fonctions (fn ) sont bien définies et
continues sur [1, +∞[, pour tout n ≥ 1. Par un simple passage à la limite, on
obtient :
lim fn (x) =
n−→+∞
x
= 0, ∀x ≥ 1.
n−→+∞ n(1 + xn )
lim
Par conséquent, la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement vers la fonction f ≡ 0, sur le domaine [1, +∞[.
b.2)- Convergence Uniforme : Remarquon que là aussi la fonction limite f est
bien définie et continue sur [1, +∞[. Il nous reste alors à chercher :
x
x
− 0| = sup
= sup fn (x).
n
n
x≥1 n(1 + x )
x≥1 n(1 + x )
x≥1
sup |fn (x) − f (x)| = sup |
x≥1
Comme toutes les fonctions fn sont bien dérivables sur [1, +∞[, on aura alors :
1 − xn (n − 1)
, ∀x ≥ 1, ∀n ≥ 1.
n(1 + xn )2
r
1
≤ 1, ∀n ≥ 3.
Le point qui annule cette dérivée est x = n
n−1
Ce qui veut dire que les fonctions fn sont décroissantes sur [1, +∞[, pour tout
0
fn (x) =
n ≥ 3. Ainsi, on aura :
sup |fn (x) − f (x)| = sup fn (x) = fn (1) =
x≥1
x≥1
1
→n→+∞ 0.
2n
Ce qui traduit bien la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn ) vers la
fonction f ≡ 0, sur [1, +∞[.
c)- Nature de la suite de fonctions donnée par :
fn : [−1; 1] −→ R, x 7−→ fn (x) =
1 − n2 x2
, ∀n ∈ N.
(1 + n2 x2 )2
c.1)- Convergence Simple : Notons que les fonctions (fn ) sont toutes bien
définies et continues sur [−1, 1] et qu’elles sont aussi paires, pour tout n ≥ 1. Ceci
nous permet de restreindre l’étude sur le domaine [0, 1]. Par un simple passage
à la limite, on obtient :
lim fn (x) =
n−→+∞
1 − n2 x2
= 0, ∀x ∈ [−1, 1], x 6= 0.
n−→+∞ (1 + n2 x2 )2
lim
2.6
Exercices
46
Si x = 0, alors fn (0) = 1 →n→+∞ 1.
Par conséquent, la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement sur [−1, 1]
vers la fonction f définie par :
(
0, si x 6= 0;
x 7−→ f (x) =
1, si x = 0.
f : [−1, 1] → R,
c.2)- Convergence Uniforme : On voit bien que la fonction limite f n’est pas
continue en x = 0, ce qui entraı̂ne sa discontinuité sur [−1, 1]. Par conséquent la
convergence de la suite (fn ) vers la fonction f n’est pas uniforme sur [−1, 1].
d)- Nature de la suite de fonctions donnée par :
fn : [−1; 1] −→ R, x 7−→ fn (x) =
x
, ∀n ∈ N.
(1 + n2 x2 )
d.1)- Convergence Simple : Notons que les termes de cette suite sont des
fonctions bien définies et continues sur [−1; 1], ∀n ∈ N. On peut remarquer
également que les fonctions (fn ) sont impaires. Ainisi, on peut restreindre
l’étude de la suite de fonctions (fn ) sur [0; 1]. Par un simple passage à la
limite, on obtient :
lim fn (x) =
n−→+∞
x
= 0, ∀x ∈]0, 1].
n−→+∞ (1 + n2 x2 )
lim
Si x = 0, alors fn (0) = 0 →n→+∞ 0.
Par conséquent, la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement vers la
fonction f ≡ 0 sur [0, 1] et donc même sur [−1, 1].
d.2)- Convergence Uniforme : Notons que la fonction limite f est bien définie
et continue sur [−1, 1]. Il nous reste alors à chercher :
x
− 0| = sup = sup fn (x).
2 2
x∈[0,1] (1 + n x )
x∈[0,1]
x∈[0,1]
sup |fn (x) − f (x)| = sup |
x∈[0,1]
Comme toutes les fonctions fn sont bien dérivables sur [−1, 1], elles le sont
aussi sur [0, 1]. On aura ainsi :
0
fn (x) =
1 − n2 x2
, ∀x ∈ [−1, 1], ∀n ≥ 0.
(1 + n2 x2 )2
2.6
Exercices
47
Le point qui annule cette dérivée est x =
1
∈ [0, 1], ∀n ≥ 1.
n
Il est à présent facile de vérifier que :
1
1
sup |fn (x) − f (x)| = sup fn (x) = fn ( ) =
→n→+∞ 0.
n
2n
x∈[0,1]
x∈[0,1]
Par conséquent, la suite de fonctions (fn ) est uniformément convergente vers
la fonction f ≡ 0, sur [0, 1] et donc même sur [−1, 1].
Exercice 2.6.3. On définit sur [0, 1] la suite de fonctions (fn ) par :
fn (x) = n2 xn (1 − xn ), ∀n ∈ N∗
1. Étudier la convergence simple de la suite (fn ) sur [0, 1].
R1
R1
2. Comparer lim 0 fn (x)dx et 0 lim fn (x)dx , que peut-on conclure ?
n→+∞
n→+∞
3. Y-a-t-il une parie de [0, 1] sur laquelle il y’a convergence uniforme ?
Corrigé 2.6.3. On va étudier sur [0, 1] la nature de la suite de fonctions donnée par :
fn (x) = n2 xn (1 − xn ), ∀n ∈ N∗
1)- Convergence Simple : Notons que les fonctions fn sont bien définies et continues sur [0, 1], ∀n ∈ N∗ . Par un simple passage à la limite, on obtient :
lim fn (x) =
n−→+∞
lim n2 xn (1 − xn ) = 0, ∀x ∈]0, 1[.
n−→+∞
De plus, fn (0) = fn (1) = 0 →n→+∞ 0.
Par conséquent, la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement vers la fonction
f ≡ 0 sur [0, 1].
2)- On a d’une part
Z 1
lim
n→+∞
= lim n
n→+∞
2
Z 1
fn (x)dx = lim
0
n→+∞
n2 xn (1 − xn )dx
0
1
x2n+1
n2
xn+1
−
= lim
=1
n + 1 2n + 1 0 n→+∞ (n + 1)(2n + 1)
D’autre part,
Z 1
Z 1
lim fn (x)dx =
0 n→+∞
lim f (x) dx = 0.
0 n→+∞
2.6
Exercices
48
Ainsi, lim
R1
n→+∞
f (x)dx 6=
0 n
R1
lim f (x) dx. On déduit alors que la convergence
0 n→+∞ n
ne peut pas être uniforme sur [0, 1].
3)- Convergence Uniforme : Redémontrons d’abord la non convergence uniforme
sur [0, 1], en cherchant tout simplement :
sup |fn (x) − f (x)| = sup |n2 xn (1 − xn ) − 0| = sup fn (x).
x∈[0,1]
x∈[0,1]
x∈[0,1]
Comme toutes les fonctions fn sont bien dérivables sur [0, 1], pour tout n ≥ 1, on
aura ainsi :
0
fn (x) = n3 xn−1 (1 − 2xn ), ∀x ∈ [0, 1], ∀n ≥ 1.
r
1
Le point qui annule cette dérivée est x = n ∈ [0, 1], ∀n ≥ 1. Notons aussi que
2
x → 1 quand n → +∞.
Il nous reste qu’à vérifier facilement que :
r
sup |fn (x) − f (x)| = sup fn (x) = fn (x) = fn (
x∈[0,1]
x∈[0,1]
n
n2
1
)=
9n→+∞ 0.
2
4
Par conséquent, la suite de fonctions (fn ) ne converge pas uniformément vers la
fonction f ≡ 0, sur [0, 1].
En revanche, il y a convergence uniforme sur tout intervalle de type [0, a], 0 < a < 1,
car le voisinage qui pose problème est celui du point x = 1. En effet, en considérant
ce type d’intervalle, on aura :
lim
sup |fn (x) − f (x)| = lim
sup |n2 xn (1 − xn ) − 0|
n→+∞ x∈[0,a]
n→+∞ x∈[0,a]
= lim
sup fn (x) = fn (a) = lim n2 an (1 − an ) = 0.
n→+∞ x∈[0,a]
n→+∞
Ce qui traduit bien la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn ) vers f ≡ 0,
sur tout intervalle de type [0, a], 0 < a < 1.
Chapitre 3
Les Séries de Fonctions
P
On a déjà vu au Chapitre 1, les conditions de convegence des séries numériques
Un
n≥0
dont le terme général est une suite numérique (Un )n∈N . Dans le présent chapitre, on
P
va étendre l’étude aux cas des séries de fonctions
Un (x) dont le terme général
n≥0
est une suite de fonctions (Un (x))n∈N . Ainsi, les résultats que nous avons établis sur
les suites de fonctions entraı̂nent des résultats analogues relativement aux séries de
P
fonctions à valeurs dans R. La convergence simple ou uniforme de la série
Un (x)
n≥0
étant équivalent à celle de la suite de fonctions qui lui est associée (Sn )n∈N , définie
n
P
par Sn (x) =
Up (x), ∀x ∈ E.
p=0
L’emploi des séries de fonctions (polynomiales ou trigonométriques) permet de définir
de nouvelles fonctions. La convergence uniforme est essentielle dans ces questions car
elle permet d’intégrer ou de dériver sous le signe somme, c’est à dire terme à terme.
P
Dans ce qui suit, par abus d’écriture, on notera la série de fonctions par
Un (x),
n≥0
pour ne pas la confondre avec la notation déjà donnée aux séries numériques étudiées
au Chapitre 1.
3.1
Critère de Convergence Simple
Définition 3.1.1. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
E de C ou R pour chaque n ∈ N. Soit (Sn )n∈N la suite de fonctions définie par
n
P
Sn (x) =
Up (x), ∀x ∈ E. Lorsque la suite (Sn )n≥0 est simplement convergente sur
p=0
49
3.1
Critère de Convergence Simple
E, on dit que la série de fonctions
P
50
Un (x) est simplement convergente sur E. La
n≥0
fonction limite est la fonction somme de la série, définie par x 7−→ S(x) =
+∞
P
Un (x).
n=0
n
Exemple 3.1.1. La série de fonctions de terme général Un (x) = x(1 − x) , ∀n ∈ N,
est simplement convergente sur [0, 2[. En effet, on a :
i)- Si x = 0, alors Un (0) = 0 ⇒ Sn (0) = 0. Par conséquent, la série
P
Un (0) est
n≥0
convergente, de somme nulle.
n
n
n
P
P
P
ii)- Si x 6= 0, alors Sn (x) =
Up (x) =
x(1 − x)p = x (1 − x)p =
p=0
p=0
p=0
n+1
1 − (1 − x)
x
= 1 − (1 − x)n+1 , qui est une progression géométrique de raison
1 − (1 − x)
(1 − x), convergente pour |1 − x| < 1. Autrment dit, cette suite de fonctions sera
simplement convergente si x ∈]0, 2[, vers la fonction x 7−→ S(x) = 1.
P
De (i) et (ii), on déduit que la série
x(1 − x)n est simplement convergente sur
n≥0
(
1 Si x ∈]0, 2[;
[0, 2[ et a pour somme la fonction x 7−→ S(x) =
0 Si x = 0.
3.1.1
Condition Nécessaire de Convergence Simple
Théorème 3.1.1. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
P
E. Pour que la série de fonctions
Un (x) soit simplement convergente sur E, il est
n≥0
nécessaire que la suite de fonctions (Un )n∈N soit simplement convergente sur E vers
une fonction nulle. Formellement, ceci est équivalent à écrire :
X
Un (x) Converge Simplement sur E ⇔ ∀x ∈ E, lim Un (x) = 0
n≥0
3.1.2
n−→+∞
Critère de Cauchy
En adaptant au cas des séries de fonctions le critère de Cauchy relatif aux suites de
fonctions, on a immédiatement le résultat suivant.
Théorème 3.1.2. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie E pour chaque n ∈ N. Soit (Sn )n∈N la suite de fonctions définie par Sn (x) =
3.2
Convergence Uniforme
n
P
Up (x), ∀x ∈ E. Pour que la série de fonctions
p=0
51
P
Un (x) soit simplement conver-
n≥0
gente sur E, il est nécessaire et suffisant que la suite de fonctions (Sn )n∈N soit de
Cauchy. Formellement, ceci est équivalent à :
X
Un (x) Converge Simplement sur E ←→
n≥0
∀ > 0, ∀x ∈ E, ∃N,x , ∀(p, q) ∈ N×N/ p > q > N,x −→ |Uq+1 (x)+Uq+2 (x)+. . .+Up (x)| < Remarque 3.1.1. Les critères établis sur la convergence des séries numériques sont
tous valables pour étudier la convergence simple des séries de fonctions.
3.2
Convergence Uniforme
Définition 3.2.1. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie E de C ou R pour chaque n ∈ N. Soit (Sn )n∈N la suite de fonctions définie
n
P
P
par Sn (x) =
Up (x), ∀x ∈ E. On dit que la série de fonctions
Un (x) est unip=0
n≥0
formément convergente sur E, lorsque la suite (Sn )n≥0 est uniformément convergente sur E. La fonction limite est la fonction somme de la série, définie par
+∞
P
x 7−→ S(x) =
Un (x).
n=0
3.2.1
Conditions Nécessaires de Convergence Uniforme
Première Condition Nécessaire
Théorème 3.2.1. Pour que la série de fonctions
P
Un (x) soit uniformément
n≥0
convergente sur E, il est nécessaire qu’elle soit simplement convergente sur E.
Deuxième Condition Nécessaire
Théorème 3.2.2. Pour que la série de fonctions
P
Un (x) soit uniformément
n≥0
convergente sur E, il est nécessaire que la suite de fonctions (Un )n∈N soit uniformément convergente sur E vers une fonction nulle. Ceci est équivalent à écrire :
X
n≥0
Un (x) Converge Uniformément sur E ⇒
3.3
Critère de Convergence Normale
52
Le terme général Un (x) Converge uniformément vers la fonction nulle sur E
3.2.2
Critère Uniforme de Cauchy
Théorème 3.2.3. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie E pour chaque n ∈ N. Soit (Sn )n∈N la suite de fonctions définie par Sn (x) =
n
P
P
Up (x), ∀x ∈ E. Pour que la série de fonctions
Un (x) soit uniformément converp=0
n≥0
gente sur E, il est nécessaire et suffisant que la suite de fonctions (Sn )n∈N soit uniformément de Cauchy. Formellement, ceci est équivalent à :
X
Un (x) Converge Uniformément sur E ←→
n≥0
∀ > 0, ∃N , ∀(p, q) ∈ N×N/ p > q > N −→ |Uq+1 (x)+Uq+2 (x)+. . .+Up (x)| < , ∀x ∈ E
Preuve 3.2.1. Il suffit de considérer la suite des sommes partielles (Sn )n≥0 qui est
uniformément convergente si et seulement si elle est uniformément de Cauchy (Voir
Théorème 2.4.1)
3.3
Critère de Convergence Normale
Comme on peut le constater à travers ce qui précède, pour établir la convergence
uniforme d’une série de fonctions il nous faut alors l’expression analytique de la suite
des sommes partielles qui lui associée ainsi que celle de sa fonction somme, chose qui
est doublement difficile. Pour cela, il a fallu forger un autre critère qui nous permet de
juger de la convergence uniforme en se contentant de la donnée de son terme général.
Il s’agit du critère de convergence normale donné ci-après.
P
Définition 3.3.1. On dit que la série
Un (x) de fonctions définies sur E est norn≥0
P
malement convergente sur E, s’il existe une série numérique
Vn convergente telle
n≥0
que, pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ E, on ait |Un (x)| ≤ Vn .
Avec cette définition, le critère de Cauchy entraı̂ne immédiatement le résultat suivant.
P
Théorème 3.3.1. Pour que la série de fonctions
Un (x) soit uniformément
n≥0
convergente sur E, il suffit qu’elle soit normalement convergente sur E.
3.4
Critère Uniforme d’Abel
53
Preuve 3.3.1. Il suffit de combiner le critère de Cauchy avec la propriété triangulaire
de la fonction valeur absolue.
einx
Exemple 3.3.1. La série de fonctions de terme général Un (x) = 2 , ∀n ∈ N est
n
uniformément convegente sur R, car elle est normalement convergente sur R. En effet,
einx
1
il suffit de constater que |Un (x)| =
≤
, ∀x ∈ R et d’utiliser le fait que la
n2
n2
P 1
série numérique
est de Riemann convergente.
2
n≥1 n
Remarque 3.3.1. Il en résulte de ce qui précède, que la convergence normale d’une
série de fonctions est le mode de convergence le plus restreint que la covergence
uniforme. Nous allons maintenant établir une condition nécessairre et suffisante pour
qu’une série de fonctions soit normalement convergente.
P
Théorème 3.3.2. Pour que la série de fonctions
Un (x) soit normalement convern≥0 P
gente sur E, il est nécessaire et suffisant que la série
sup |Un (x)| soit convergente
n≥0 x∈E
sur E.
Remarque 3.3.2. De ce théorème, il est facile de constater que la convergence
absolue est nécessaire (mais non suffisante) pour la convergence normale d’une série
de fonctions. Ainsi, une série de fonctions qui n’est pas absolument convergente ne
peut pas alors converger normalement sur le même domaine.
3.4
Critère Uniforme d’Abel
Le critère de convergence normale est de loin le plus simple et le plus utilisé. Mais,
il ne s’applique qu’à des séries de fonctions absolument convergentes sur E. Ainsi, il
est utile donc de compléter par des critères s’appliquant à certains types de séries
semi-convergentes. En revenant sur le critère d’Abel connu pour les séries numériques
et en cherchant des majorations uniformes, on obtient le résultat suivant.
Théorème 3.4.1. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
E de C ou R, de la forme Un (x) = an (x)bn (x), pour chaque n ∈ N et tout x ∈ E. Pour
P
que la série de fonctions
Un (x) soit uniformément convergente sur E, il suffit que
n≥0
les conditions suivantes soient vérifiées :
3.5
Propriétés des Sommes des Séries de Fonctions
54
a)- Pour chaque x ∈ E, la suite an (x) est positive, décroissante et uniformément
convergente sur E vers zéro.
b)- Il existe une constante M > 0, telle que
m
P
bp (x) ≤ M, ∀x ∈ E et ∀(n, m) ∈ N×N.
p=n
Exemple 3.4.1. Comme exemple d’application, les séries de fonctions de type
P inx
e an (x), sur tout compact de R privé des points xk = 2kπ, k ∈ Z, répondent
n≥0
bien à notre situation, à condition que la suite de fonctions (an )n≥0 soit positive,
décroissante et convergente uniformément vers zéro. En effet, il suffit de réaliser que
m
P
1
1
eipx ≤
et que la fonction x 7−→
x
x est bornée sur tout compact de
p=n
sin
sin
2
2
R privé des points x 6= 2kπ, k ∈ Z.
3.5 Propriétés des Sommes des Séries de Fonctions
Pour traiter les questions de continuité, dérivation et intégration avec les moyens
dont on dispose, on se limitera au cas où E ⊆ R. Les résultats concernant les suites
de fonctions appliqués aux suites des sommes partielles entrainent des résultats analogues pour les séries de fonctions. Il suffit juste de remarquer que si les fonctions
Un (x) sont toutes continues (respectivement dérivables ou intégrables) sur E, alors la
somme Sn (x) formée d’un nombre fini de tremes est aussi continue (respectivement
dérivable ou intégrable) sur E.
3.5.1
Continuité
Théorème 3.5.1. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies sur une même partie
P
E ⊆ R. Si la série
Un (x) est uniformément convergente sur E et si chacune des
n≥0
fonctions (Un ) est continue sur E, alors la fonction somme x 7−→ S(x) =
+∞
P
n=o
est continue sur E.
Un (x)
3.5
Propriétés des Sommes des Séries de Fonctions
3.5.2
55
Intégrabilité
Théorème 3.5.2. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalle
P
[a, b] de R. Si la série
Un (x) est uniformément convergente sur [a, b] et si chacune
n≥0
des fonctions (Un ) est intégrable sur [a, b], alors la fonction somme x 7−→ S(x) =
+∞
P
Un (x) est intégrable sur [a, b] et on a :
n=o
Zb
Zb
+∞
X
a
n=o
S(x)dx =
a
!
Un (x) dx =
+∞
X
 b

Z
 Un (x)dx
n=o
a
Ce théorème nous fournit une condition suffisante pour intégrer une série de fonctions
terme à terme, autrement dit de permuter l’opération de sommation infinie avec celle
d’intégration.
3.5.3
Dérivabilité
Théorème 3.5.3. Soit (Un )n∈N une suite de fonctions définies et continument
dérivables sur un même intervalle fermé et borné I de R, vérifiant les conditions
suivantes :
i)- La série
P
Un (x) est convergente au moins en un point x0 ∈ I.
n≥0
ii)- La série
0
P
Un (x) est uniformément convergente sur I.
n≥0
Alors, La série
x 7−→ S(x) =
P
Un (x) est uniformément convergente sur I et sa fonction somme
n≥0
+∞
P
Un (x) est dérivable sur I. De plus, on a :
n=o
d
S (x) =
dx
0
+∞
X
n=0
!
Un (x)
=
+∞
X
d
dx
n=0
(Un (x)
Ainsi, la convergence uniforme de la série des dérivées nous permet d’intervertir le
signe somme et le signe dérivée.
3.6
Exercices
3.6
56
Exercices
Exercice 3.6.1. Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série
de fonctions suivante :
Un : R −→ R
−nx2
n e
x 7−→ Un (x) = (−1) 2
.
n +1
Corrigé 3.6.1. Nature de la série de fonctions de terme génaral :
Un : R −→ R
−nx2
n e
x 7−→ Un (x) = (−1) 2
.
n +1
1)- Convergence Simple : Notons que les fonctions (Un ) sont toutes bien définies
et continues sur R, ∀n ∈ N. On peut remarquer également que les fonctions (Un )
P
sont paires. Ainsi, on peut restreindre l’étude de la série de fonctions
Un (x) sur
n≥0
[0, +∞[. Pour la convergence simple de cette série, on peut procéder de différentes
manières. Entre autres, on peut citer le critère des séries alternées et la règle de
d’Alembert.
Première méthode : Il suffit de remarquer que la série
P
Un (x) est alternée car
n≥0
elle s’écrit sous la forme suivante :
2
Un (x) = (−1)n Vn (x), où Vn (x) =
e−nx
> 0, ∀x ∈ R et ∀n ∈ N.
n2 + 1
Et du fait que la suite de fonctions (Vn )n≥0 est décroissante positivement vers zéro
P
sur R, on déduit alors la convergence simple de la série
Un (x) sur R.
n≥0
Deuxième méthode : i)- En appliquant la régle de d’Alembert, on aura :
Un+1 (x)
1 + n2
2
2
e−x = e−x < 1, ∀x 6= 0.
= lim
2
n−→+∞
n−→+∞ 1 + (n + 1)
Un (x)
P
Ainsi,
Un (x) converge absolument pour tout x 6= 0.
lim
n≥0
ii)- Si x = 0, alors Un (0) =
1
n2 + 1
≃
1
, qui est le terme général d’une série de
n2
3.6
Exercices
57
Riemann convergente.
De i) et ii), on déduit la convergence simple de la série
P
Un (x) sur R.
n≥0
Remarque 3.6.1. On peut également démontrer la convergence simple de la série
P
Un (x) sur R en se servant du critère simple d’Abel.
n≥0
2)- Convergence Uniforme : Là aussi, on peut procéder de différentes manières,
sauf qu’on se limitera cette fois-ci au critère de convergence normale. En effet, pour
tout x ∈ R et pour tout n ∈ N , on a :
|Un (x)| ≤
1
1
1
⇔ sup |Un (x)| = |Un (0)| =
≃ 2.
2
2
1+n
1+n
n
x∈R
P 1
Or, la série
est une série de Riemann convergente, par conséquent la série
2
n>0 n
P
P
sup |Un (x)| est convergente. Autrement dit, la série
Un (x) est normalement
n≥0 x∈R
n≥0
convergente sur R. Ce qui entraine sa convergence uniforme sur R.
P
Remarque 3.6.2. 1. On peut aussi retrouver la série
sup |Un (x)| en étudiant
n≥0 x∈R
la variation des fonctions Un sur R.
2. On peut également démontrer la convergence uniforme de la série
P
n≥0
R en se servant du critère uniforme d’Abel.
Exercice 3.6.2. Soit la série de fonctions suivante :
+∞
X
Un (x) =
n=0
+∞
X
x
,
2 )n
(1
+
x
n=0
∀x ∈ R.
1)- Quelle est sa fonction somme.
2)- Montrer sa convergence simple sur tout R.
3)- Est-elle uniformément convergente sur tout R ?
4)- Est-elle uniformément convergente sur le domaine [0, 1] ?
5)- Montrer qu’elle est normalement convergente sur [α, +∞[, où α > 0.
Corrigé 3.6.2. Soit la série de fonctions suivante :
+∞
X
n=0
Un (x) =
+∞
X
x
(1 + x2 )n
n=0
Un (x) sur
3.6
Exercices
58
1)- L’expression analytique de la fonction somme :
Soit Sn la suite des sommes partielles associée à la série
+∞
P
Un (x). On a alors :
n=0
n
X
n
X
n
X
x
1
Sn (x) =
Up (x) =
=x
2
p
(1 + x )
(1 + x2 )p
p=0
p=0
p=0
1
strictement inférieure à
1 + x2
1 pour tout x ∈ R∗ . Donc pour de telles valeurs de x, on aura :
Qui est une progression géométrique de raison k =
Sn (x) = x[
1 − (1+x12 )n+1
1
1 − 1+x
2
] → S(x) =
1 + x2
, quand n → +∞, pour tout réel non nul.
x
Pour x = 0, la valeur du terme général Un (0) = 0. Il vient que
+∞
P
Un (0) = 0.
n=0
Finalement, la somme est une fonction définie sur tout R comme suit :

 1 + x2
, Si x ∈ R∗
S : R −→ R; x → S(x =
x
0,
Si x = 0.
2)- Le domaine de convergence simple :
De la première question, on déduit que la série de fonctions proposée est simplement
convergente sur tout R.
3)- La convergence uniforme sur R :
Il est clair que la convergence ne peut pas être uniforme sur tout R du moment que
la fonction somme S n’est même pas continue sur R, plus précisément en x = 0.
Ceci implique qu’il ne peut pas y avoir convergence normale sur R.
4)- La convergence uniforme sur [0, 1] :
La convergence ne peut pas être uniforme sur [0, 1] non plus, du fait que le
problème est au niveau de zéro et son voisinage. Ceci implique qu’il ne peut pas y
avoir convergence normale sur [0, 1] également.
En revanche, il y a convergence uniforme sur tout intervalle du type [α, +∞[ où
α > 0 et encore sur ] − ∞, −α], du fait que la suite de fonctions Un (x) est impaire.
On peut justifier la convergence uniforme sur de tels domaines de deux manières
3.6
Exercices
59
différentes : Soit en servant de la convergence normale (voir la question suivante)
ou encore en appliquant le critère de convergence uniforme à la suite des sommes
1
partielles (Sn ) défine précédement dont la fonction limite est S(x) =
, pour
1 + x2
tout x non nul. En effet, pour tout x 6= 0, on a
1 + x2
|Sn (x) − S(x)| =
x
1
=
x
1
1 + x2
n
1
1−(
)n+1
1 + x2
1
≤
α
1
1 + α2
1 + x2
1 + x2
−
=
x
x
1
1 + x2
n+1
n
→n→+∞ 0, ∀x ≥ α > 0.
5)- La convergence normale sur [α, +∞[, où α > 0 :
Notons d’abord que la convergence n’est pas normale sur R ni sur tout autre
intervalle comptenant le point x = 0 et son voisinage. En effet, ceci peut être
justifié de deux manières différentes :
1. Soit du fait qu’il n’y a pas de convergence uniforme sur les domaines signalés
déjà justifié à la question 3.
2. Soit en montrant que la série
P
sup |Un (x)| est une série numérique divergente
n≥1
sur ces domaines. Pour ce faire, il suffit d’étudier la nature et la variation de la
suite de fonctions (Un (x))n≥1 sur R. Comme il a été déjà signalé, les fonctions
(Un ) sont impaires, on va alors restreindre l’étude sur l’intervalle [0, +∞[. RapP
Un (x) était simplement convergente sur R,
pellons que la série de fonctions
n≥1
elle le sera aussi alors sur l’intervalle [0, +∞[. Ceci est suffisant pour conclure
sur la convergence simple de la suite de fonctions (Un (x))n≥1 sur R et donc
même sur l’intervalle [0, +∞[. Pour montrer sa convergence uniforme sur l’intervalle [0, +∞[, on va alors étudier sa variation. Comme les fonctions (Un ) sont
dérivables pour tout x ∈ R et tout n ∈ N , on aura alors :
0
Un (x) =
1 − (2n − 1)x2
, ∀x ∈ [0, +∞[, ∀n ∈ N∗ .
(1 + x2 )n+1
3.6
Exercices
60
De là, il est facile de vérifier que
1
sup |Un (x)| = Un ( √
)=
√
2n − 1
x∈[0,+∞[
1
1
2n − 1 1 +
1
2n − 1
e− 2
n ≃ √
2n − 1
Ce résultat nous permet de conlure sur la non convergence normale de la série
P
n≥0 Un (x) sur l’intervalle [0, +∞[, car la série
X
1
)=
sup |Un (x)| =
Un ( √
√
2n − 1
n≥1
n≥1 x∈[0,+∞[
n≥1
X
1
1
X
2n − 1 1 +
e− 2
n ≃
√
.
2n
−
1
n≥1
X
1
2n − 1
est une série numérique divergente.
Le point x = 0 ainsi que son voisinage posent problème (car x = √
1
→0
2n − 1
quand n → +∞).
• En revanche, la convergence est normale sur tout intervalle de type [α, +∞[, pour
tout α > 0. En effet sur ces intervalles, la série
X
sup
|Un (x)| =
n≥1 x∈[α,+∞[
X
Un (α) =
n≥1
α
(1 + α2 )n
n≥1
X
est une série numérique convergente, d’après la règle de d’Alembert. Ce qui répond
à notre question.
Exercice 3.6.3. Pour tout n ∈ N∗ , on considère la suite de fonctions (Un ) définie
par :
(
Un (x) =
n
exp (− nx )
x2
0
si x > 0
si x = 0.
1. Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (Un )n .
P
2. On considère maintenant la série de fonctions
Un (x).
a)- Étudier la convergence simple de la série.
b)- La convergence est-elle normale ?
c)- La convergence est-elle uniforme ?
d)- Y-a-t-il un intervalle de [0, +∞[ sur lequel la convergence est uniforme ?
3.6
Exercices
61
3. En intégrant terme à terme la série
P
Un (x) sur un intervalle convenable, en
déduire, pour tout x ≥ 0, l’expression de la somme de la série.
Corrigé 3.6.3. On a pour tout n(∈ N∗ , les fonctions (Un ) définies par :
n
exp (− nx ) si x > 0
Un (x) = x2
0
si x = 0.
sont toutes bien définies et continues sur R+ , de plus elles sont positives.
1. La convergence simple et uniforme de la suite (Un )n :
1.1 La convergence simple : Par un passage simple à la limite, on obtient pour
tout x > 0 :
lim Un (x) =
n−→+∞
n
n
exp (− ) = 0, ∀x ∈]0, +∞[.
2
n−→+∞ x
x
lim
De plus, Un (0) = 0 →n→+∞ 0.
Par conséquent, la suite de fonctions (Un )n∈N∗ converge simplement vers la fonction f ≡ 0 sur [0, +∞[. Notons que ce résultat est nécessaire pour la convergence
P
simple de la série
Un (x) sur [0, +∞[.
n≥1
1.2 Convergence Uniforme : Sur [0, +∞[, on va chercher :
n
n
exp (− ) − 0
sup |Un (x)−f (x)| = max |Un (0) − f (0)|, sup
2
x
x∈[0,+∞[
x∈]0,+∞[ x
!
=
sup Un (x)
x∈[0,+∞[
Comme toutes les fonctions Un sont bien dérivables sur ]0, +∞[, pour tout n ≥ 1,
on aura ainsi :
e−n/x 2
(n − 2nx), ∀x > 0, ∀n ≥ 1.
x4
n
Le point qui annule cette dérivée est x = ∈]0, +∞[, ∀n ≥ 1. Notons aussi que
2
x → +∞ quand n → +∞. A présent, il est facile de vérifier que :
0
Un (x) =
n
4e−2
sup |Un (x) − f (x)| = Un (x) = Un ( ) =
→n→+∞ 0.
2
n
x∈[0,+∞[
Ce qui traduit bien la convergence uniforme de la suite de fonctions (Un )n∈N∗
vers la fonction f ≡ 0 sur [0, +∞[. Notons que ce résultat est nécessaire pour la
P
convergence uniforme de la série
Un (x) sur [0, +∞[.
n≥1
3.6
Exercices
62
2. On considère maintenant la série de fonctions
P
Un (x).
a)- La convergence simple de la série : i)- Si x 6= 0, il suffit d’appliquer la
régle de d’Alembert comme suit :
Un+1 (x)
n + 1 −1/x
= lim
e
= e−1/x < 1, ∀x > 0.
n−→+∞ Un (x)
n−→+∞
n
P
Ainsi, la série
Un (x) est bien convergente si x > 0.
n≥0
P
ii)- Si x = 0, alors Un (0) = 0 ⇒ la série
Un (0) converge et a pour somme la
lim
n≥1
valeur nulle.
De i) et ii), on déduit la convergence simple de la série
P
Un (x) sur R+ .
n≥1
b)- La convergence normale : La convergence ne peut pas être normale sur R+ ,
P
car la série
sup |Un (x)| est divergente. En effet, on a d’après la question
n≥1 x∈[0,+∞[
précédente :
n
4e−2
sup |Un (x)| = Un ( ) =
,
2
n
x∈[0,+∞[
qui est le terme général d’une série numérique divergente (série harmonique).
c)- La convergence uniforme :
d)- Y-a-t-il un intervalle de [0; +∞[ sur lequel la convergence est uniforme ? : On a déjà constaté que le voisinage qui pose problème est celui de
+∞. Pour pallier à ce problème, il suffit donc de s’éloingner du voisinage de
+∞, en considérant tout intervalle de type Iα = [0, α], α > 0. En effet, pour
tout x ∈ Iα , on aura :
sup |Un (x)| = Un (α) =
x∈[0,+α
n
n
exp
(−
),
α2
α
qui est le terme général d’une série numérique convergente grâce à la régle de
P
d’Alembert, pour tout α > 0. Par conséquent, la série
Un (x) est normalement
n≥0
P
convergente sur Iα . Ce qui implique la converegence uniforme de la série
Un (x)
n≥0
sur Iα .
3. L’expression de la fonction somme de la série : Notons par S(x) la fonction
0
somme de la série. L’intégartion terme à terme sur tout intervalle [x , x] ⊆]0, α],
3.6
Exercices
63
sur lequel la convergence uniforme est garantie, nous permet d’écrire :
!
x
x
x
Zx X
XZ
XZ n
XZ
0
−n/t
−n/t
Un (t) dt =
Un (t)dt =
dt
e
e
dt
=
2
t
n≥1
n≥1
n≥1
n≥1
x0
x0
X
=
x0
e−n/x − e−n/x
0
x0
0
= S(x) − S(x )
n≥1
Sachant que
P
Un (0) = 0 = S(0), on aura pour tout x > 0 :
n≥1
S(x) =
X
−n/x
e
= lim
N
X
N →+∞
n≥1
−n/x
e
n=1
−1/x
= lim e
N →+∞
N
−1
X
e−n/x
n=0
1 − e−N/x
e−1/x
=
, ∀x > 0.
N →+∞ 1 − e−1/x
1 − e−1/x
P
Par conséquent, l’expression finale de la fonction somme de la série
Un (x) est
= e−1/x lim
n≥1
donnée par :
S : [0, +∞[−→ R
 −1/x
 e
, si x > 0;
x 7−→ S(x =) 1 − e−1/x

0,
si x = 0.
P
Remarque 3.6.3. La fonction somme S de la série
Un (x) est bien définie, contin≥1
nue et dérivable sur [0, +∞[.
Exercice 3.6.4. On considère la fonction x 7−→ S(x) =
+∞
P xn sin nx
n=1
n
.
1. Montrer que la fonction S est définie sur l’intervalle [−1, 1].
2. Montrer que la fonction S est continue sur l’intervalle [−1, 1].
3. Montrer que la fonction S est dérivable sur l’intervalle ] − 1, 1[ et a pour dérivée
+∞
P 0
0
S (x) =
Un (x).
n=1
0
4. Calculer S (x) et en déduire l’égalité
x sin x
S(x) = arctan
pour x ∈ [−1, 1].
1 − x cos x
5. En déduire la somme des séries :
+∞
X
sin n
n=1
n
et
+∞
X
(−1)n sin n
n=1
n
.
3.6
Exercices
64
xn sin nx
, ∀n ≥ 1, ∀x ∈ R. Notons que les fonctions
n
(Un ) sont bien définies et continues sur R, pour tout n ≥ 1.
Corrigé 3.6.4. On pose Un (x) =
1. Montrons que la fonction S est définie sur l’intervalle [−1, 1] : Pour cela,
+∞
P
il suffit de montrer la convergence simple de la série
Un (x) sur [−1, 1].
n=1
On sait que [−1, 1] = [−1, −a] ∪ [−a, a] ∪ [a, 1] = I1 ∪ I2 ∪ I3 , ∀ 0 < a < 1. Il revient
+∞
P
alors à montrer la convergence simple de
Un (x) sur chacun de ces intervalles.
n=1
• Pour x ∈ I2 : On a |Un (x)| ≤ an , ∀n ≥ 1. Or, la série
+∞
P
an est une série
n=1
géométrique de raison 0 < a < 1, donc convergente. Par conséquent, la série
+∞
P
Un (x) est normalement convergente donc simplement convergente sur I2 .
n=1
• Pour x ∈ I3 : On peut appliquer le critère simple d’Abel, sachant que :
xn sin nx
xn
Un (x) =
= an (x) × bn (x), où an (x) =
et bn (x) = sin nx.
n
n
Il est à présent facile de vérifier que la suite de fonctions (an ) est décroissante
positivement vers zéro sur [a, 1] et que la suite des sommes partielles associée
n
P
à la suite (bn )n≥1 est bornée par une constante positive donnée par : |
bp | ≤
p=1
1
x , ∀x ∈ I3 (revoir l’exemple (1.5.3)). Ce qui traduit bien la convergence
2
+∞
P
simple de
Un (x) sur I3 .
sin
n=1
• Pour x ∈ I1 : Il suffit de procéder par changement de variable en poxn sin nx
=
sant y = −x ∈ I3 , ∀x ∈ I1 . On aura ainsi Un (x) =
n
n
n
(−y) sin(−ny)
(y)
yn
n+1
=
(−1)
sin(ny) = an (y) × bn (y), où an (y) =
n
n
n
et bn (y) = (−1)n+1 sin(ny), ∀y ∈ I3 . Maintenant il nous reste qu’à faire un
raisonnement analogue au précédent, en applicant le critère simple d’Abel pour
+∞
P
Un (x) sur I1 .
avoir la convergence simple de la série
n=1
Finalement, la série
+∞
P
Un (x) est simplement convergente sur [−1, 1]. Autrement
n=1
dit, sa fonction somme S est définie sur [−1, 1].
2. Montrer que la fonction S est continue sur l’intervalle [−1, 1] : Pour cela,
3.6
Exercices
65
il suffit de montrer la convergence uniforme de la série
+∞
P
Un (x) sur [−1, 1]. En
n=1
décomposant l’intervalle [−1, 1] = [−1, −a]∪[−a, a]∪[a, 1] = I1 ∪I2 ∪I3 , ∀ 0 < a < 1,
+∞
P
il revient à montrer alors la convergence uniforme de
Un (x) sur chacun de ces
n=1
intervalles.
• Pour x ∈ I2 : On a |Un (x)| ≤ an , ∀n ≥ 1. Or, la série
+∞
P
an est une série
n=1
géométrique de raison 0 < a < 1, donc convergente. Par conséquent, la série
+∞
P
Un (x) est normalement convergente donc uniformément convergente sur I2 .
n=1
• Pour x ∈ I3 : On peut appliquer le critère uniforme d’Abel, sachant que :
xn sin nx
xn
Un (x) =
= an (x) × bn (x), où an (x) =
et bn (x) = sin nx.
n
n
Il est à présent facile de vérifier que la suite de fonctions (an ) est décroissante
positivement et tendant uniformément vers zéro sur [a, 1] et que la suite des
1
sommes partielles associée à la suite (bn )n≥1 est bornée par
x , ∀x ∈ I3 . Ce
sin
2
+∞
P
qui traduit bien la convergence uniforme de
Un (x) sur I3 .
n=1
• Pour x ∈ I1 : Il suffit de procéder par changement de variable en posant
y = −x ∈ I3 , ∀x ∈ I1 et de raisonner comme précédemment, en appliquant le
+∞
P
critère uniforme d’Abel pour avoir la convergence uniforme de la série
Un (x)
n=1
sur I1 .
Finalement, la série
+∞
P
Un (x) est uniformément convergente sur [−1, 1]. Ce qui est
n=1
suffisant pour la continuité de sa fonction somme S sur [−1, 1].
3. La déribabilité de S sur l’intervalle ] − 1, 1[ : Les fonctions (Un ) sont toutes
dérivables sur R donc même sur ] − 1, 1[, ∀n ≥ 1, et on a :
0
Un (x) = xn−1 sin nx + xn cos nx, ∀x ∈ R, ∀n ≥ 1.
Sachant que la série
+∞
P
Un (x) est convergente sur [−1, 1], il ne nous reste alors
n=1
qu’à examiner la convergence uniforme de la série dérivée
+∞
P
0
Un (x). On a bien :
n=1
0
|Un (x)| = |xn−1 sin nx+xn cos nx| ≤ an−1 +an = Vn , ∀n ≥ 1, ∀x ∈ [−a, a], 0 < a < 1.
3.6
Exercices
Comme
66
P
Vn est une série numérique convergente grâce à la règle de d’Alembert,
n≥1
on déduit alors la convergence normale donc uniforme de la série
+∞
P
0
Un (x) sur
n=1
[−a, a], 0 < a < 1. Ceci nous garantie la dérivabilité de la fonction somme S de
+∞
P
la série
Un (x) terme à terme sur tout intervalle de type [−a, a], 0 < a < 1.
n=1
Autrement dit, on aura :
!0 +∞
+∞
+∞
X
X
X 0
0
S (x) =
Un (x) =
xn−1 sin nx+xn cos nx, ∀|x| ≤ a, 0 < a < 1.
Un (x) =
n=1
n=1
n=1
Comme a est arbitraire dans ]0, 1[, on déduit alors la dérivabilité de S sur ] − 1, 1[.
0
4. L’expression analytique de S (x) : Pour déterminer l’expression analytique de
0
la focntion S , il suffit de faire appel à l’analyse complexe. En effet, il suffit de
remarquer que :
0
S (x) =
+∞
X
n
x cos nx + x
n−1
sin nx =
+∞ X
Re(x e
n=1
n=1
n inx
1
n inx
) + Im(x e ) .
x
A présent, il suffit de déterminer la somme de la série géométrique complexe de
raison K = xeix , où |K| < 1, ∀|x| < 1, donnée par :
+∞
X
n inx
(x e
n
X
) = lim
n→+∞
n=1
(xp eipx ) =
p=1
xeix
x cos x − x2
x sin x
=
+i
ix
2
1 − xe
1 − 2x cos x + x
1 − 2x cos x + x2
0
Finalement, l’expression analytique de la fonction dérivée S est donnée par :
0
S (x) =
+∞ X
n inx
Re(x e
n=1
1
x cos x − x2 + sin x
n inx
, ∀x ∈]−1, 1[, x 6= 0.
) + Im(x e ) =
x
1 − 2x cos x + x2
Pour x = 0, on aura S 0 (0) = 0, grâce à la convergence uniforme de la série dérivée
+∞
P 0
Un (x) sur [−a, a] qui nous garantie donc la continuité de la fonction dérivée au
n=1
point x = 0.
5. En déduire l’expression
analytique
de S : Il suffit de déterminer la dérivée
x sin x
de la fonction x → arctan
pour x ∈ [−1, 1], donnée par :
1 − x cos x
x sin x
arctan
1 − x cos x
0
=
x cos x − x2 + sin x
,
1 − 2x cos x + x2
3.6
Exercices
67
0
qui n’est autre que la fonction S sur ] − 1, 1[. On déduit ainsi que
x sin x
S(x) = arctan
, ∀x ∈] − 1, 1[.
1 − x cos x
Comme S est continue sur [−1, 1], il résulte alors que :
x sin x
, ∀x ∈ [−1, 1].
S(x) = arctan
1 − x cos x
6. En remplaçant à chaque fois par la valeur de x correspondante, on obtient :
+∞
X
sin n
n=1
n
sin 1
= S(1) = arctan
1 − cos 1
et
+∞
X
(−1)n sin n
n=1
n
sin 1
= −S(−1) = − arctan
.
1 + cos 1
Exercice 3.6.5. Pour tout entier n ≥ 1, définissons la fonction :
fn : [0, +∞[−→ R
(−1)n
, pour tout x ≥ 0.
n(1 + nx)
P
a)- Étudier la convergence de la série de fonctions
fn (x).
x 7−→ fn (x) =
n≥1
b)- Montrer que cette série de fonctions n’est normalement convergente sur aucun
intervalle de la forme ]0, b], où b > 0.
P
c)- La fonction F somme de la série
fn (x) est-elle continue sur [0, +∞[ ?
n≥1
Corrigé 3.6.5. Soit la série de fonctions de terme général fn , où :
(−1)n
, pour tout x ≥ 0, ∀n ≥ 1.
n(1 + nx)
P
a)- Convergence Simple de la série
fn (x) : La série de fonctions étant une
fn (x) =
n≥1
série alternée simplement convergente sur [0, +∞[, car son terme général s’écrit
comme :
fn (x) =
(−1)n
= (−1)n Vn (x), pour tout x ≥ 0, ∀n ≥ 1,
n(1 + nx)
1
est le terme d’une suite de fonctions décroissante positivin(1 + nx)
ment et tendant vers zéro sur [0, +∞[.
où Vn (x) =
3.6
Exercices
68
b)- Montrons sa non convergence normale sur tout intervalle de type ]0, b],
où b > 0 : Il suffit de trouver au moins un x ∈]0, b], b > 0, pour lequel la série
1
correspondante ne converge pas absolument. En effet, il suffit de choisir x = ∈
n
P
P 1
]0, b], pour lequel
, qui est une série harmonique divergente.
|fn (x)| =
n≥1
n≥1 2n
1
Comme on vient de le constater, le point x = ∈ V(0) quand n ∈ V(+∞). Ainsi,
n
le point qui pose problème est le point x = 0 et son voisinage. En revanche, en
s’écartant de se point et de son voisinage, la convergence normale aura lieu. En
P
effet, pour tout x ∈ [a, b], 0 < a < b, la série
fn (x) est normalement convergente
n≥1
car :
(−1)n
1
1
|=
≃ 2 , ∀n ≥ 1.
n(1 + na)
an
x∈[a,b] n(1 + nx)
sup |fn (x)| = sup |
x∈[a,b]
qui est le terme général d’une série de Riemann convergente.
P
c)- Continuité de la fonction F somme de la série
fn (x) sur [0, +∞[ :
n≥1
P
La fonction somme F est bien continue sur [0, +∞[ car la série
fn (x) est unin≥1
P
formément convergente sur [0, +∞[. En effet, la série
fn (x) étant alternée et
n≥1
la suite de fonctions |fn | est positive, décroissante et converge unifotmément vers
zéro sur [0, +∞[. Grâce au résultat particulier du critère uniforme d’Abel établi
P
sur les séries alternées, on déduit la convergence uniforme de
fn (x) sur [0, +∞[.
n≥1
Ce qui entraine par la suite la continuité de sa fonction somme F sur [0, +∞[.
Remarque 3.6.4. Notons que les fonctions (fn ) sont toutes dérivables sur
[0, +∞[, ∀n ≥ 1 et que
(−1)n+1
, ∀x ∈ [0, +∞[ et ∀n ≥ 1,
(1 + nx)2
P 0
mais la série dérivée résultante
fn (x) n’est simplement convergente que sur
0
fn (x) =
n≥1
]0, +∞[. Effet, pour tout x > 0, on a :
0
|fn (x)| = |
1
1
|≤
→n→+∞ 0, ∀x 6= 0.
2
(1 + nx)
(nx)2
0
De plus, la suite de fonctions |fn | est décroissante positivement sur ]0, +∞[. Ainsi, la
P 0
série
fn (x) est une série alternée simplement convergente sur ]0, +∞[.
n≥1
3.6
Exercices
69
0
Pour le point x = 0, |fn (0)| = 1 9 0 quand n → +∞. Par conséquent, la
P 0
série
fn (0) est divergente. Ceci entraı̂ne la non convergence uniforme de la série
n≥1
P 0
fn (x) sur [0, +∞[ et sur ]0, +∞[, car comme on peut le constater, le voisinage de
n≥1
1
zéro aussi pose problème. En effet, il suffit de considérer le point x = ∈ V(0), pour
n
P (−1)n+1
P 0
est divergente.
lequel la série
fn (x) =
2
n≥1
n≥1
Bibliographie
[1] B. Demidovitch (1977). Recuiel d’Exercices et de Problèmes d’Analyse Mathhématique.
[2] G. Flory (1979). Exercices de Topologie et d’Analyse, Tome 1, 2 et 3.
[3] V. Smirnov (1981). Cours de Mathématiques Supérieures.
[4] J. Rivaud (1982). Fonctions Différentiables et Intégrales Multiples (Cours et
Exercices).
[5] J. Rivaud (1982). Séries et Equations Différentielles (Cours et Exercices).
[6] G. Dupont (1983). Séries et Intégrales.
[7] J. M. Monier (1990). Analyse (600 Exercices Résolus et 21 Sujets d’Etude).
[8] A. Mansouri (1992). Analyse (Cours et Exercices Résolus).
[9] K. Allab (2007). Eléments d’analyse. Tome 1 et 2. Edition O.P.U.
[10] E. Azoulay et J. Avignant (1983). Analyse Mathématiques. Tome 1. Mc GrawHill.
70

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