Power Series in Complex Analysis: Convergence and Properties

S´eries enti`eres
L’objectif de ce chapitre est d’´etudier des s´eries d´ependants d’un param`etre r´eel ou complexe de la
forme Panzn(le param`etre ´etant z, les ansont des donn´ees de l’´enonc´e). Ces s´eries repr´esentent une
g´en´eralisation de la notion de polynˆome.
Dans un premier temps, nous nous int´eresserons aux valeurs de zpour lesquelles cette s´erie est conver-
gente puis dans un second temps nous nous verrons ces s´eries comme des fonctions de la variable z.
Les s´eries enti`eres sont de tr`es bons outils pour la r´esolution des ´equations diff´erentielles ainsi que pour
certains calculs en probabilit´es.
Notations :
Kd´esigne Rou C. On rappelle que l’ensemble des suites (an)n∈Nindex´ees par Net `a valeurs dans K
se note KN.
I Convergence d’une s´erie enti`ere
1 Premier vocabulaire
D´efinition 1
Soit (an)n∈N∈KN.
— Pour z∈C, la s´erie num´erique Panznest appel´ee s´erie enti`ere de la variable z.
— L’ensemble D={z∈Ctels que la s´erie Panznconverge }est appel´e le domaine de conver-
gence de la s´erie enti`ere.
— En notant f(z) =
+∞
X
n=0
anznpour tout z∈D, on obtient ainsi une fonction de la variable complexe
f:D⊂C→C, appel´ee la fonction somme de la s´erie enti`ere.
Remarques :
— Les sommes partielles d’une s´erie enti`ere sont des polynˆomes :
∀n∈N, Pn(z) =
n
X
k=0
akzk=a0+a1z+···+anzn∈Cn[z].
Les s´eries enti`eres sont donc des limites de suites de polynˆomes, mais ce ne sont pas des polynˆomes
en g´en´eral !
— On adopte la convention suivante : 00= 1. z= 0 est donc toujours dans le domaine de convergence
car la s´erie X
n>0
an0nconverge (les sommes partielles sont constantes et ´egales `a a0).
On a donc :
+∞
X
n=0
an0n=a0.
— Lorsque la variable est r´eelle, on notera plutˆot Panxn.
2 Premiers exemples
Exemple 1:
La s´erie g´eom´etrique Pznest une s´erie enti`ere (on a ici an= 1 pour tout n), qui converge lorsque
|z|<1 et diverge lorsque |z|>1.
Le domaine de convergence de la s´erie enti`ere Pznest donc D1={z∈C/|z|<1}.
C’est le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1.
La fonction somme de cette s´erie enti`ere est : ∀z∈D1, f1(z) =
+∞
X
n=0
zn=1
1−z.
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Exemple 2:
On consid`ere la s´erie enti`ere X
n>1
zn
n2(ici an=1 n2pour n>1 et a0= 0).
Cette s´erie converge pour |z|61.
En effet, si |z|61, 
zn
n261 n2donc, d’apr`es le crit`ere de comparaison sur les s´eries `a termes positifs,
la s´erie converge (absolument).
Si |z|>1, 
zn
n2=|z|n n2=enln(|z|) n2→+∞par croissances compar´ees, donc la s´erie diverge grossi`erement.
Ainsi le domaine de convergence de la s´erie X
n>1
zn
n2est D2={z∈C/|z|61}: c’est le disque ferm´e de
centre 0 et de rayon 1.
La fonction somme de cette s´erie est : ∀z∈D2, f2(z) =
+∞
X
n=1
zn
n2.
Exemple 3:
On consid`ere la s´erie Pzn
n!. C’est une s´erie enti`ere qui converge (absolument) pour tout z∈C.
En effet, pour z∈C∗fix´e, on pose un=
zn
n!.
On a un>0 et un+1
un
=|z|
n+ 1 →0<1.
Donc d’apr`es le crit`ere de d’Alembert, la s´erie Pzn
n!converge absolument, et donc converge, pour tout
z∈C∗. Cette s´erie converge ´evidemment aussi pour z= 0.
Pour la s´erie Pzn
n!, le domaine de convergence est D3=C.
Exemple 4:
La s´erie X
n>1
nnznest une s´erie enti`ere qui ne converge que si z= 0.
En effet, si z6= 0 on a : |nnzn|= (n|z|)n= enln(|z|n)→+∞donc la s´erie diverge grossi`erement.
Ainsi pour la s´erie X
n>1
nnznle domaine de convergence est D4={0}.
Remarque :
On observe donc sur ces exemples que le domaine de convergence d’une s´erie enti`ere semble ˆetre un
≪disque ≫, de rayon ´eventuellement infini ou nul, qui peut contenir ou non sa fronti`ere.
3 Rayon de convergence
Commen¸cons par mettre en ´evidence une propri´et´e g´eom´etrique importante des s´eries enti`eres : l’exis-
tence d’un ≪rayon de convergence ≫et d’un ≪disque ouvert de convergence ≫.
Th´eor`eme 1 : Lemme d’Abel
S’il existe un r´eel r > 0 tel que la suite (anrn)n∈Nest born´ee, alors pour tout z∈Ctel que |z|< r, la
s´erie Panznest absolument convergente.
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D´emonstration :
On sait que la suite (anrn) est born´ee donc il existe M>0 tel que |anrn|6Mpour tout
n∈N.
Soit maintenant z∈Ctel que |z|< r.
On a |anzn|=anrn×z
rn6M|z| rn
.
Or |z|
r<1 donc la s´erie g´eom´etrique P|z| rn
est convergente et par cons´equent la s´erie
PM|z|
rn
est convergente.
D’apr`es le crit`ere de comparaison sur les s´eries `a termes positifs, la s´erie Panznest
absolument convergente.
✷
Propri´et´e 1
L’ensemble I={r>0,(anrn)n∈Nest born´ee}est un intervalle de Rde minimum 0.
On appelle parfois Il’intervalle de bornitude.
Remarque :
Trois cas de figure se pr´esentent donc :
— l’intervalle In’est pas major´e, et donc I= [0; +∞[ ;
— l’intervalle Iest major´e et ferm´e, et donc I= [0; R], avec R= sup(I)>0 ;
— l’intervalle Iest major´e et ouvert, et donc I= [0; R[, avec R= sup(I)>0.
D´efinition 2
Soit une suite (an)n∈N∈KNet Panznune s´erie enti`ere. On pose :
R= sup(I) = sup r∈R+/la suite (anrn)n∈Nest born´ee
(´eventuellement R= +∞si l’intervalle de bornitude In’est pas major´e).
Cet ´el´ement R∈[0,+∞] est appel´e le rayon de convergence de la s´erie enti`ere Panzn.
Remarques :
—Rest soit un r´eel positif ou nul soit ´egal `a +∞.
— La borne sup´erieure d’un ensemble n’est pas n´ecessairement atteinte : cela signifie que mˆeme si R
est un r´eel, la suite (anRn)n∈Nn’est pas n´ecessairement born´ee.
Exemple 5:
Pour la s´erie g´eom´etrique Pzn, le rayon de convergence est ´egal `a 1.
Th´eor`eme 2
Soit Panznune s´erie enti`ere de rayon de convergence R∈[0; +∞].
1. Si R∈]0; +∞[, alors pour tout z∈C:
|z|< R =⇒Panznconverge absolument
|z|> R =⇒Panzndiverge grossi`erement .
2. Si R= +∞, alors la s´erie Xanznconverge absolument pour tout z∈C.
3. Si R= 0, alors la s´erie Xanzndiverge grossi`erement pour tout z∈C∗(et converge pour z= 0
bien sˆur).
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0R
iR
|z|< R :
convergence absolue
|z|> R : divergence grossi`ere
|z|=R: ? ? ? (on ne peut rien dire a priori)
R
Figure 1 – Rayon de convergence d’une s´erie enti`ere
D´emonstration :
D´emontrons uniquement le cas o`u R∈]0; +∞[.
On note I={r>0/(anrn)n∈Nest born´ee }. Soit z∈C.
— si |z|< R. Il existe r∈Itel que |z|< r < R.
Comme r∈I, la suite (|an|rn)n∈Nest born´ee. Ainsi, d’apr`es le lemme d’Abel, la
s´erie Panznest absolument convergente.
— Si |z|> R, alors |z| 6∈ Idonc la suite (an|z|n)n∈Nn’est pas born´ee. Elle ne peut
donc pas converger vers 0. La s´erie Panznest donc grossi`erement divergente.
✷
D´efinition 3
Soit une suite (an)n∈N∈KNet Panznune s´erie enti`ere, de rayon de convergence R∈]0,+∞[ (non nul
et fini). On appelle :
—disque ouvert de convergence le disque ouvert de centre Oet de rayon R, c’est-`a-dire
l’ensemble D(O, R) = {z∈C,|z|< R};
—cercle d’incertitude (ou parfois cercle de convergence) le cercle de centre Oet de rayon R,
c’est-`a-dire l’ensemble
C(O, R) = {z∈C,|z|=R};
—intervalle ouvert de convergence l’intervalle ] −R;R[.
Remarques :
— On dira souvent disque de convergence et intervalle de convergence (le terme ouvert sera sous-
entendu).
— Si R= +∞, le disque ouvert de convergence est en fait C. Et si R= 0 alors le disque ouvert de
convergence est vide.
— Sur le cercle de centre Oet de rayon R, il n’y a pas n´ecessairement convergence, tout peut se
produire (voir les exemples). C’est pourquoi on l’appelle le ≪cercle d’incertitude ≫.
—ATTENTION : Le disque ouvert de convergence est inclus dans le domaine de conver-
gence, mais pas n´ecessairement ´egal : ne pas les confondre !
En notant Dle domaine de convergence de la s´erie enti`ere Panznet Rson rayon de convergence,
on a donc D(O, R)⊂D⊂D(O, R),et les deux inclusions peuvent ˆetre strictes.
L’objectif est maintenant de savoir calculer le rayon de convergence d’une s´erie enti`ere donn´ee.
Cours TSI2 Page 4 S´eries enti`eres

II M´ethodes de calcul du rayon de convergence
1 Utilisation du crit`ere de D’Alembert
Remarque :
L’´enonc´e du crit`ere de D’Alembert pour les s´eries enti`eres n’est pas au programme de TSI. Pour
contourner cela nous allons nous ramener `a l’´etude d’une s´erie num´erique.
ATTENTION, la r´edaction pour l’utilisation du crit`ere de D’Alembert doit ˆetre extrˆemement rigou-
reuse. Les jurys de concours n’acceptent jamais une r´edaction bˆacl´ee.
Conseils m´ethodologiques :
Voici la r´edaction `a adopter :
Soit z∈C∗. Pour tout n∈......, on pose un=|......|.
On a bien un>0, et de plus un+1
un
=....... Donc lim
n→+∞
un+1
un
=......
Trois cas se pr´esentent alors :
— lim
n→+∞
un+1
un
= 0 : comme 0 <1, d’apr`es le crit`ere de D’Alembert, pour tout z∈C, la s´erie
P...... est absolument convergente.
On en d´eduit donc que R= +∞.
— lim
n→+∞
un+1
un
= +∞: comme +∞>1, d’apr`es le crit`ere de D’Alembert, pour tout z∈C∗, la
s´erie P...... est grossi`erement divergente.
On en d´eduit donc que R= 0.
—Si lim
n→+∞
un+1
un
est un r´esultat d´ependant de zalors on trouve des conditions sur zpour savoir
si la s´erie P...... est absolument convergente et on en d´eduit donc le rayon de convergence.
(cf. r´edaction dans les exemples ci-dessous)
Exemple 6:
D´eterminons le rayon de convergence de Pn!
nnzn.
Soit z∈C∗. Pour tout n∈N, on pose un=
n!
nnzn=n! nn|z|n.
On a bien un>0 et de plus un+1
un
=n
n+ 1n
|z|= enln(n/(n+1)|z|= e−nln(1+ 1
n)|z|.
On a donc lim
n→+∞
un+1
un
= e−1|z|.
D’apr`es le crit`ere de d’Alembert :
— Si |z|
e<1, c’est-`a-dire |z|<e, la s´erie Punest convergente donc la s´erie Pn! nnznest absolument
convergente.
— Si |z|
e>1, c’est-`a-dire |z|>e, la s´erie Punest grossi`erement divergente donc la s´erie Pn! nnznest
grossi`erement divergente.
On a donc R= e.
Exemple 7:
D´eterminons le rayon de convergence de la s´erie X
n>1
4n
n2z2n.
Soit z∈C∗. Pour tout n∈N∗, on pose un=4n
n2|z|2n.
On a alors un>0 et de plus un+1
un
=4n+1
(n+ 1)2|z|2n+2 ×n2 4n|z|2n= 4|z|2n2 (n+ 1)2.
Donc lim
n→+∞
un+1
un
= 4|z|2.
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