Correction BAC Mathématiques 2025 - Elite Science

ELITE SCIENCE
Le Serviteur du Peuple
πCORRIGÉ BAC — MATHÉMATIQUES
Séries S2 ·S2A ·S4 ·S5 — Session 2025
OFFICE DU BACCALAURÉAT — UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
CORRECTION ULTRA-DÉTAILLÉE
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES — 1er GROUPE
Séries S2 – S2A – S4 – S5 •Coef. 5 •Durée : 4 h •Session 2025
⋆Comment lire ce corrigé? Chaque réponse est découpée en étapes numérotées. Les
♦décodages de formule expliquent pourquoi on écrit ce qu’on écrit. Les ⋆Conseils du Serviteur te
donnent le réexe à avoir le jour J, et les ▲pièges signalent les erreurs qui coûtent des points. Lis stylo en main et
refais chaque calcul toi-même.
▶EXERCICE 1 (05,5 points) — Nombres complexes & Similitude
Partie A — Rappels (01 point)
Les 4 propriétés à connaître par cœur
Pour deux complexes non nuls z1et z2:
z1
z2=|z1| |z2|argz1 z2=arg(z1)−arg(z2) [2π]
|z1×z2|=|z1|×|z2|arg(z1×z2) = arg(z1) + arg(z2) [2π]
⋆Le réexe : le module se comporte comme une valeur absolue (il multiplie et divise), tandis que l’argument se
comporte comme un exposant (il additionne et soustrait). C’est exactement la logique de la forme exponentielle
z=r eiθ :rse multiplie, θs’additionne. N’oublie jamais le « [2π]» derrière un argument : c’est un automatisme
noté.
Partie B — Étude du polynôme P
P(z) = z3+ (4 −5i)z2−(5 + 12i)z−8 + i
▷1) Racine imaginaire pure β(0,5 pt)
Poser β=bi et séparer réel / imaginaire
Une racine imaginaire pure s’écrit β=bi avec b∈R. On remplace zpar bi et on utilise i2=−1, i3=−i:
(bi)3=−b3i, (bi)2=−b2.
P(bi) = −b3i+ (4 −5i)(−b2)−(5 + 12i)(bi)−8 + i
= (−4b2+ 12b−8)
| {z }
partie réelle
+ (−b3+ 5b2−5b+ 1)
| {z }
partie imaginaire
i.
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1Correction proposée par M. Ndiaye

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♦Décodage de la formule
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle ET sa partie imaginaire sont nulles en
même temps. Donc P(β) = 0 donne un système de deux équations :
(−4b2+ 12b−8 = 0 (réelle)
−b3+ 5b2−5b+ 1 = 0 (imaginaire)
Résoudre l’équation la plus simple, puis vérier dans l’autre
La 1re équation (÷(−4)) devient b2−3b+ 2 = 0, donc b= 1 ou b= 2.
On teste ces deux valeurs dans la 2eéquation :
b= 1 : −1+5−5 + 1 = 0 ✓b= 2 : −8 + 20 −10 + 1 = 3 6= 0 ×
Seul b= 1 convient.
β=iest la racine imaginaire pure de P.
⋆Stratégie gagnante : le système a une équation du 2nd degré (facile) et une du 3edegré (pénible). Résous toujours
la plus facile d’abord, puis vérie tes candidats dans l’autre. Tu évites ainsi de résoudre une équation de degré 3
«à la main».
▷2.a) Trouver gtel que P(z) = (z−i)g(z)(0,5 pt)
Identication des coecients
Pest de degré 3 et (z−i)de degré 1 : donc gest de degré 2, on pose g(z) = z2+cz +d. On développe :
(z−i)(z2+cz +d) = z3+ (c−i)z2+ (d−ci)z−di.
On identie terme à terme avec P:
(c−i= 4 −5i⇒c= 4 −4i
−di =−8 + i⇒d=−1−8i
(la 3eégalité d−ci =−(5 + 12i)sert de vérication :−1−8i−(4 −4i)i=−5−12i✓).
g(z) = z2+ (4 −4i)z−1−8i
⋆Deux méthodes existent : l’identication (ci-dessus) ou la division euclidienne des polynômes (potence). Les
deux sont acceptées. L’identication est souvent plus rapide ici car on connaît déjà le degré de g.Toujours
vérier avec le coecient «en trop» : si ça ne tombe pas juste, tu as fait une erreur.
▷2.b) Factoriser g(z)puis P(z)(0,5 pt)
Discriminant à coecients complexes
On résout z2+ (4 −4i)z−1−8i= 0. On calcule ∆ = b2−4ac avec a= 1, b = 4 −4i, c =−1−8i:
(4 −4i)2= 16 −32i+ 16i2=−32i, −4ac = 4(1 + 8i) = 4 + 32i,
∆ = −32i+4+32i= 4.
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∆ = 4 >0en tant que réel : une racine carrée est δ= 2.
z1=−(4 −4i)+2
2=−1+2i, z2=−(4 −4i)−2 2=−3+2i.
♦Décodage de la formule
La formule z=−b±δ
2areste exactement la même qu’au lycée, sauf que δdésigne ici une racine carrée
complexe de ∆(et non √∆, symbole réservé aux réels positifs). Ici ∆=4est réel positif, donc δ= 2 :
c’est un cas «gentil».
g(z)=(z+ 1 −2i)(z+ 3 −2i)d’où P(z)=(z−i)(z+ 1 −2i)(z+ 3 −2i)
⋆Remarque en or : les trois racines de Psont i, −1 + 2i, −3 + 2i, c’est-à-dire exactement les axes de C,A
et Bde la question 3! Ce n’est jamais un hasard dans un sujet de bac : repère ces «ponts » entre les questions,
ils conrment que tes calculs sont justes.
▷3) Points A(−1+2i),B(−3+2i),C(i);z=zC−zA
zB−zA
a) Placer les points (0,25 pt). Coordonnées : A(−1 ; 2),B(−3 ; 2),C(0 ; 1).(Voir la gure récapitulative en
n d’exercice.)
b) Module et argument de z(0,75 pt)
On calcule séparément le numérateur et le dénominateur :
zC−zA=i−(−1+2i) = 1 −i, zB−zA=−3+2i−(−1+2i) = −2.
z=1−i
−2=−1 2+1 2i=−1 + i 2.
Module : |z|=|1−i|
| − 2|=p12+ (−1)2 2=√2 2.
Argument : le point d’axe −1 + ia pour partie réelle <0et imaginaire >0: il est dans le 2equadrant,
arg(−1 + i) = 3π
4. Diviser par 2(réel positif) ne change pas l’argument :
arg(z) = 3π
4[2π].
♦Décodage de la formule
Le quotient zC−zA
zB−zA
n’est pas un calcul «gratuit » : son argument est exactement l’angle orienté
(−−→ AB, −→ AC). En eet
argzC−zA
zB−zA=arg(zC−zA)−arg(zB−zA) = (−−→
AB, −→ AC) [2π].
zC−zAest l’axe du vecteur −→ AC, et zB−zAcelle de −−→ AB.
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|z|=√2
2, arg z=3π 4et donc −−→
AB, −→ AC=3π
4[2π].
⋆Dès que tu vois un quotient de diérences d’axes du type zC−zA
zB−zA, pense «angle et rapport de longueurs en
A». Le module AC
AB et l’argument (−−→
AB, −→ AC). C’est l’outil-clé qui relie complexes et géométrie.
▷4) Similitude directe S:Ainvariant, B7→ C
a) Écriture complexe et analytique (0,5 pt)
Une similitude directe s’écrit s(z) = az +b. Comme Aest invariant (s(zA) = zA), c’est le centre, et on
peut écrire la forme «centrée » :
s(z)−zA=a(z−zA).
On utilise la condition B7→ C, c’est-à-dire s(zB) = zC:
zC−zA=a(zB−zA) =⇒a=zC−zA
zB−zA
=z=−1 + i
2.
On revient à s(z) = az +bavec b=zA(1 −a):
b= (−1+2i)1−−1+i
2= (−1+2i)·3−i
2=−1+7i 2.
Écriture complexe : z′=−1 + i
2z+−1+7i 2
Passage à l’écriture analytique
On pose z=x+iy et z′=x′+iy′, puis on développe az +bavec a=−1
2+1 2i:
az =−1
2+1 2i(x+iy) = −x 2−y 2+ix 2−y 2.
En ajoutant b=−1
2+7 2iet en identiant parties réelle et imaginaire :
x′=−1
2(x+y+ 1)
y′=1
2(x−y+ 7)
▲Erreur classique : confondre l’écriture complexe (avec z, z′) et l’écriture analytique (avec x, y, x′, y′). Pour
passer de l’une à l’autre, il faut développer az en distribuant la multiplication complexe, sans oublier que i×i=
−1. Beaucoup d’élèves perdent les 0,5pt en mélangeant les deux écritures.
b) Éléments caractéristiques (0,5 pt)
Pour une similitude s(z) = az +b:
•Centre Ω: point invariant. Ici donné par l’énoncé, Ω = A(−1+2i).
(Vérication : ω=b
1−a=(−1+7i)/2
(3−i)/2 =−1+7i
3−i=−1+2i✓)
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•Rapport k=|a|=|z|=√2
2.
•Angle θ=arg(a) = arg(z) = 3π
4[2π].
S: centre A(−1+2i), rapport k=√2
2, angle θ=3π 4.
c) Image du cercle (C)par S(0,5 pt)
(C) : (x+ 3)2+ (y−2)2= 4 a pour centre ΩC(−3 ; 2) = Bet pour rayon r= 2.
Propriété : une similitude transforme un cercle en un cercle. Le nouveau centre est l’image de l’ancien,
le nouveau rayon est k×r:
ΩC′=S(B) = C(0 ; 1) (car Senvoie Bsur C), r′=k r =√2
2×2 = √2.
(C′) : x2+ (y−1)2= 2
⋆Astuce qui fait gagner du temps : le centre de (C)est précisément B, et Senvoie Bsur C. Donc le centre de
(C′)est C—pas besoin d’appliquer les formules analytiques au centre ! Lis toujours les coordonnées du centre
d’un cercle avant de te lancer dans des calculs : tu repères souvent un point déjà connu.
d) Tracé (0,5 pt) : voir gure ci-dessous.
⃗u
⃗v
O
−4−3−2−1 1
1
2
3
(C)
(C′)
AB
C
Figure récapitulative : les points A, B, C, le cercle (C)(rouge, centre B) et son image (C′)(or, centre C).
▶EXERCICE 2 (06 points) — Probabilités : loi binomiale
Mise en place du modèle (à faire toujours avant tout calcul).
Identier l’épreuve de Bernoulli répétée
On tire un téléphone, on regarde s’il est défectueux, on le remet, et on recommence. La remise garantit
que chaque tirage est indépendant et se fait dans les mêmes conditions. À chaque tirage, deux issues :
• «succès » = le téléphone est défectueux, de probabilité p=2
100 = 0,02 ;
• «échec» = non défectueux, de probabilité q= 1 −p= 0,98.
On répète nfois de façon indépendante : le nombre Xde défectueux suit une loi binomiale B(n; 0,02).
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