Examen terminal Mathématiques 2 Université Clermont Auvergne 2025

Université Clermont Auvergne
Mathématiques 2
Année 2024 – 2025
Z120BU01 et S1ABBU02E3
Examen terminal du 13 mai 2025
Durée : 2h
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L’usage de tout document, calculatrice et de tout matériel connecté est interdit.
Il sera tenu compte de la rédaction.
En particulier, les réponses doivent être justifiées.
Les exercices sont indépendants.
Le sujet comporte 5pages (y compris celle-ci).
Le barème est donné à titre indicatif.
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Ecrire le numéro de votre groupe sur la copie.
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Université Clermont Auvergne
Mathématiques 2
Année 2024 – 2025
Z120BU01 et S1ABBU02E3
Exercice 1. Questions de cours et applications directes du
cours. (environ 25 %)
(Les questions (1),(2) et (3) sont indépendantes.)
(1) Soit = (n)n∈Nune suite.
Écrire, avec des quantificateurs, les phrases mathématiques suivantes :
(a) « La suite est minorée. »
(b) « La suite est bornée. »
(c) « La suite n’est pas bornée. »
(2) Pour chacune des affirmations (a),(i) et (ii) suivantes, dire si elle est vraie
ou fausse et justifier la réponse par une démonstration ou un
contre-exemple.
(a) Soit (n)n∈Nune suite croissante. Alors (n)n∈Nconverge.
(b) Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de R3.
(i) F∪Gest un sous-espace vectoriel de R3.
(ii) F∩Gest un sous-espace vectoriel de R3.
(3) On note M2(R)l’espace vectoriel des matrices 2×2à coefficients réels.
Soit φ:M2(R)→Rune application linéaire.
(a) Justifier que φn’est pas injective.
(b) On suppose que φn’est pas nulle. Démontrer que φest surjective.
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Année 2024 – 2025
Z120BU01 et S1ABBU02E3
Exercice 2. (environ 20 %)
Soit ƒ:[1; +∞[→Rla fonction définie par ƒ() = 1
2+2 et soit
g:[1; +∞[→Rla fonction définie par g() = ƒ()−.
On donne les variations de ƒet g
(chaque flèche indique que la fonction
est strictement monotone sur l’intervalle
concerné) :
ƒ
g
1p2+∞
3
2
3
2p2
p2
+∞+∞
1
2
1
2
−∞−∞
0
Soit = (n)n∈Nla suite définie par 
0=2
n+1=ƒ(n)pour tout n∈N.
(1) Justifier que ƒ(]p2; +∞[) ⊂]p2; +∞[, puis démontrer, par récurrence
sur n∈N, que la suite est bien définie et que, pour tout n∈N, on a
n∈]p2; +∞[.
(2) Démontrer que est monotone et préciser si elle est croissante ou
décroissante.
(3) Justifier que la suite converge.
(4) Déterminer ℓ=lim
n→+∞nen justifiant soigneusement la réponse.
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Z120BU01 et S1ABBU02E3
Exercice 3. (environ 30 %) On se place dans l’espace vectoriel E=R4.
On considère les vecteurs
1= (1,−2,1,0), 2= (0,1,0,1), 3= (1,−1,1,1)
de Eet les sous-espaces vectoriels Fet Gsuivants de E:
F=Vect(1;2;3)
et G={(, y, z, t)∈E|+y+z=0et t=0}.
(1) Déterminer une base BGde Get la dimension de G.
(2) (a) Déterminer une base BFde Fet la dimension de F.
(b) Déterminer les coordonnées des vecteurs 1,2et 3dans la
base BF.
(c) Déterminer un système d’équations cartésiennes pour F, c’est-à-dire,
trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur les nombres
réels , y, z, t pour que le vecteur (, y, z, t)soit dans F.
(3) Les sous-espaces vectoriels Fet Gsont-ils supplémentaires dans E?
Justifier la réponse.
(4) Déterminer un supplémentaire Hde Fdans E.
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Z120BU01 et S1ABBU02E3
Exercice 4. (environ 35 %) Soit φ:R3→R4l’application définie, pour
tout (, y, z)∈R3, par
φ(, y, z) = (−2y, y +z,  −y+z, 2−3y+z).
On note E= (e1;e2;e3)la base canonique de R3et E0= (ƒ1;ƒ2;ƒ3;ƒ4)la base
canonique de R4.
(1) Démontrer que φest une application linéaire.
(2) Justifier, sans calcul, que φn’est pas surjective.
(3) Déterminer la matrice Ade φdans les bases canoniques Ede R3et
E0de R4.
(4) Déterminer une base de Ker(φ)et la dimension de Ker(φ).
(5) (a) Donner le rang de φ.
(b) Déterminer une base de m(φ).
(6) On pose 1= (2,1,−1)∈R3,1= (0,1,1,1)∈R4et
2= (1,0,1,2)∈R4.
Démontrer que B= (1;e1;e3)est une base de R3et que
D= (1;2;ƒ1;ƒ4)est une base de R4, par exemple par des calculs de
déterminants.
(7) Déterminer la matrice de φdans les bases Bde R3et Dde R4.
Fin du sujet
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