Chapitre 1 Formules de Taylor et Applications Dr Khalil Amine [email protected] Printemps 2026 Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 1 / 57 Formule de Taylor avec Reste de Young 4. Formule de Taylor avec Reste de Young Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 43 / 57 Formule de Taylor avec Reste de Young 1.4. Formule de Taylor avec Reste de Young Théorème (Taylor–Young) Si f est de classe C n au voisinage de c, alors f (x) = n ∑ f (k) (c) k=0 k! (x − c)k + (x − c)n ε (x) tel que lim ε (x) = 0. x→c Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 44 / 57 Formule de Taylor avec Reste de Young 1.4. Formule de Taylor avec Reste de Young Idée de démonstration On part de la formule de Taylor–Lagrange : Rn (x) = f (n+1) (z) (x − c)n+1 . (n + 1)! Comme f (n+1) est bornée au voisinage de c, Rn (x) −→ 0. (x − c)n D’où la forme asymptotique. Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 45 / 57 Formule de Taylor avec Reste de Young 1.4. Formule de Taylor avec Reste de Young Théorème (Taylor–Young (Général)) Si f est de classe C n−1 au voisinage de c et f admet une dérivée n (ième) , alors f (x) = n ∑ f (k) (c) k=0 k! (x − c)k + (x − c)n ε (x) tel que lim ε (x) = 0. x→c Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 46 / 57 Formule de Taylor avec Reste de Young 1.4. Formule de Taylor avec Reste de Young Idée de démonstration On considère la fonction auxiliaire ϕ(x) = f (x) − n ∑ f (k) (c) k=0 Alors k! (x − c)k . ϕ(c) = ϕ′ (c) = · · · = ϕ(n−1) (c) = 0. Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 47 / 57 Formule de Taylor avec Reste de Young 1.4. Formule de Taylor avec Reste de Young Idée de démonstration 1. Application du TAF généralisé En appliquant le théorème des accroissements finis généralisé n fois, il existe ξ entre c et x tel que ϕ(x) = ϕ(n) (ξ) (x − c)n . n! 2. Calcul de la dérivée d’ordre n Par construction, ϕ(n) (x) = f (n) (x) − f (n) (c). Donc ϕ(x) = Khalil Amine (ENS, Casablanca) f (n) (ξ) − f (n) (c) (x − c)n . n! [email protected] 48 / 57 Formule de Taylor avec Reste de Young 1.4. Formule de Taylor avec Reste de Young Idée de démonstration 3. Passage à la limite Comme f (n) est dérivable en c, elle est continue en c, donc f (n) (ξ) → f (n) (c) (x → c). Ainsi ϕ(x) = (x − c)n ε(x), ε(x) → 0. Conclusion f (x) = n ∑ f (k) (c) k=0 Khalil Amine (ENS, Casablanca) k! (x − c)k + (x − c)n ε(x). [email protected] 49 / 57 Applications des formules de Taylor 5. Applications des formules de Taylor Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 50 / 57 Applications des formules de Taylor Étude Locale de la Convexité et des Extrema 1.5. Applications des formules de Taylor 1.5.1. Étude Locale de la Convexité et des Extrema: Le signe de f ′′ (c) intervient dans le terme quadratique. Le développement d’ordre 2 permet d’analyser la convexité locale et la nature d’un point critique. Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 51 / 57 Applications des formules de Taylor Étude Locale de la Convexité et des Extrema 1.5. Applications des formules de Taylor 1.5.1. Étude Locale de la Convexité et des Extrema: Théorème (Test de la dérivée seconde) Soit f une fonction telle que f ′ (c) = 0 et dont la dérivée seconde existe sur un intervalle ouvert contenant c. 1. Si f ′′ (c) > 0, alors f admet un minimum local en (c, f (c)); 2. Si f ′′ (c) < 0, alors f admet un maximum local en (c, f (c)). Remarque Le cas f ′′ (c) = 0 est indéterminé : la fonction peut admettre un maximum local, un minimum local ou aucun extremum. Dans ce cas, on peut utiliser le test de la dérivée première. Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 52 / 57 Applications des formules de Taylor Étude Locale de la Convexité et des Extrema 1.5. Applications des formules de Taylor 1.5.1. Étude Locale de la Convexité et des Extrema: Idée de démonstration Supposons f ′ (c) = 0 et f de classe C 2 au voisinage de c. D’après le théorème de Taylor–Young à l’ordre 2 : f ′′ (c) f (x) = f (c) + f ′ (c)(x − c) + (x − c)2 + (x − c)2 ε(x), 2 avec ε(x) → 0 lorsque x → c. Comme f ′ (c) = 0, on obtient f (x) − f (c) = f ′′ (c) (x − c)2 + (x − c)2 ε(x). 2 On factorise : ( ′′ ) f (c) f (x) − f (c) = (x − c) + ε(x) . 2 2 Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 53 / 57 Applications des formules de Taylor Étude Locale de la Convexité et des Extrema 1.5. Applications des formules de Taylor 1.5.1. Étude Locale de la Convexité et des Extrema: Conclusion : 1. Si f ′′ (c) > 0, alors pour x proche de c, f (x) − f (c) > 0 ⇒ minimum local en c ; 2. Si f ′′ (c) < 0, alors pour x proche de c, f (x) − f (c) < 0 ⇒ maximum local en c. Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 54 / 57 Applications des formules de Taylor Étude Locale de la Convexité et des Extrema 1.5. Applications des formules de Taylor 1.5.1. Étude Locale de la Convexité et des Extrema: Exercice : Déterminer les extrema locaux de la fonction f (x) = −3x 5 + 5x 3 . Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 55 / 57 Applications des formules de Taylor Approximation numérique 1.5. Applications des formules de Taylor 1.5.2. Approximation numérique: Le théorème de Taylor–Young permet d’obtenir une approximation locale d’une fonction : f (x) = Pn (x) + (x − c)n ε(x), ε(x) → 0. Ainsi, au voisinage de c : f (x) ≈ Pn (x). Khalil Amine (ENS, Casablanca) [email protected] 56 / 57 Applications des formules de Taylor Approximation numérique 1.5. Applications des formules de Taylor 1.5.2. Approximation numérique: Exercice : Approximation par Taylor–Young Soit f (x) = sin x. 1. Écrire la formule de Taylor–Young à l’ordre 2 en 0. 2. En déduire une approximation de sin x au voisinage de 0. Solution: 1. sin x = x + x 2 ε(x), ε(x) → 0. 2. sin x ≈ x pour x proche de 0. 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