Exercice de Statique : Ponceuse Vibrante - Modélisation Cinématique

CPGE –Meknès- Statique-TD
A. Balga
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EXERCICE : Ponceuse
La figure 1 représente la modélisation cinématique d’une ponceuse vibrante électroportative. L’arbre
d’entrée (2) est entraîné en rotation continue par un moteur (non représenté) ; cette rotation continue est ensuite
transformée par l’intermédiaire de la noix (3) en un mouvement de rotation alternative du patin (4).
On note : : 1 NB = μ z
  ; 1
AC= λ x
  ; 22
AB = r z ; 14 NC= d x ; 11 CI = -h z ;
212 12
(y ,y ) (z ,z ) 
  ; 414 14
(x ,x ) (y ,y ) ;
L’action mécanique du moteur sur l’arbre (2) est modélisée par un torseur couple de moment 1
x
mm
CC .
L’action mécanique de la pièce à poncer sur le patin (4) est modélisée par :
{(ponçage4}= 111
111
x y z
x y z
xyz
xyz
C
FFF
MMM
On suppose que le mécanisme est en équilibre, toutes les liaisons sont parfaites et Le poids des pièces est
négligeable.
Les torseurs d’actions mécaniques des liaisons en un point M seront notés : { (ij)} =
111
( x , y , z )
ij ij
ij ij
ij ij
M
XL
YM
ZN
1. Tracer le graphe d’analyse des actions mécaniques.
2. Déterminer, en projection sur 11 x,y et 1 z , les trois équations scalaires issues de la fermeture géométrique..
3. Ecrire , dans la base 111 (x ,y ,z )
 , la forme des torseurs d’action mécaniques de liaisons suivants :
{ (43)} au point B ; { (23)} au point B ; { (12)} au point A ; { (14)} au point C .
4. Déterminer l’équation scalaire issue du théorème du moment statique au point A appliqué à (2) en
projection sur 1 x
.
5. Déterminer les trois équations scalaires issues du théorème de la résultante statique appliquée à (3) en
projection sur 111 (x ,y ,z )
.
6. Isoler (4), puis en vous aidant des résultats des questions précédentes, déterminer l’unique équation scalaire
issue du PFS pour déterminer Mz en fonction de Cm, d1, r2 , 2 et 4.
7. Montrer alors que : Mz = -Cm 14
22
cos
cos
d
r
.
Figure 1
A
B
C
I
N
1
x
4
x
1
x
4
x
1
y
1
z
1
z
2
z
 2
4
4
.
.
1
x
1
y
1
z
2
z
2
2 2
y
1
z 1
x
4
x
1
y
4
y
4
4
(1)
(2)
(4)
(3)

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Corrigé :
1)
2) AB BN NC CA AA 0
22 1 14 1
221211141411
rz z dx x 0
r sin y cos z z d cos x sin y x 0
En projetant sur la base 111
(x ,y , z )
 , on obtient les 3 équations scalaires suivantes :
14
2214
22
dcos 0
r sin d sin 0
rcos 0
3)
43 43
43 43
111
B(x,y,z)
XL
(4 3) Y M
00
23 23
23 23 111
B(x,y,z)
0
(2 M
N
0
3) Y
Z
12
12 12
12 12 111
A(x,y,z)
X
(1 M
N
0
2) Y
Z
14 14
14 14
14 111
C(x,y,z)
0
XL
(1 4) Y M
Z
4) Le TMS appliqué à (2) au point A en projection sur 11A
xx.M(22)0
1A 1A 1A
0
x.M (1 2) x.M (mot 2) x.M (3 2) 0  
m1A
Cx.M(23)0
m1B 1
0
Cx.M(23)x.ABR(23)0
m1 m122
CR(23).xAB0 CR(23).xrz 0     
m22 m23123122
CR(23).ry0 C YyZz.ry0   
D’où
m223 2 23 2
CrYcos Zsin 0 (1)
5) Le TRS appliqué à (3) R(3 3) 0
R(2 3) R(4 3) 0
En projetant sur la base 111
(x ,y , z )
  on obtient :
43
23 43
23
X0(2)
YY0(3)
Z0(4)
1 2
43
Pivot 1 (A,x )
Pivot glissant 1
(B,x )
Pivot glissant 1
(B, z )
Pivot 1
(C, z )
Moteur
Ponçage

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6) En isolant le patin (4) celui-ci est soumis aux actions :
xx
yy
zz
111
C(x,y,z)
FM
(ponçage 4) F M
FM
43 43
43 43
111
B(x,y,z)
XL
(3 ) Y
0
4M
0
14 14
14 14
14 111
C(x,y,z)
0
XL
(1 4) Y M
Z
On applique à (4) le TMS au point C en projection sur 1 z soit 1C z.M (4 4) 0
1C 1C 1C
M0
z
z .M (ponç 4) z .M (3 4) z .M (1 4) 0  
z1C
Mz.M(34)0
z1B 1
0
Mz.M(34)z.R(34)BC0
z1 431 431 114 z1 43114
Mz.XxYy zdx 0 Mz.Yydx 0     
( X43 = 0 d’après (2) )
D’où z143 4 MdYcos 0 (5)
7) (5) et (3)  z123 4
MdYcos
(1) et (4)  m
23 22
C
Yrcos
D’où 14
zm
22
dcos
MC
rcos