MMe Gharbi
Les suites réeLLes
bac techniques
eXercice 1 :
Soit la suite définie sur IN par : = 2e et =
.
1. Calculer et et vérifier que n’est ni arithmétique ni géométrique.
2. Montrer que ≥ e ; pour tout entier naturel n.
3. Montrer que la suite est décroissante.
4. En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite.
5. Soit la suite définie par =– e.
a. Montrer que est une suite géométrique de raison
.
b. Exprimer puis en fonction de n. Calculer
et retrouver
.
eXrecice 2 :
1. Soit la suite définie sur IN par : = 1 et =
.
a. Montrer que 1 ;nIN.
b. Montrer que la suite est croissante.
c. En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite.
2. On définit sur IN la suite par : =
- 2.
a. Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b. Exprimer puis en fonction de n.
3. On pose =
. Exprimer en fonction de n et calculer la limite de
.
eXercice 3 :
1. Soit la suite définie par : = 0 et =
nIN.
a. Montrer que -1 2 ; nIN.
b. Etudier la monotonie de la suite .
c. En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite.
2. Soit =
;nIN.
a. Montrer que est une suite arithmétique de raison
et calculer v0.
b. Exprimer en fonction de n.
c. En déduire que =
;nIN. Retrouver la limite de .
3. On pose =
;nIN.
a. Exprimer en fonction de n. Déterminer n pour que = 7. Calculer
.
eXercice 4 :
1. Soit la suite définie sur IN par : = 2 et = 2 -
.
a. Montrer que un≥ 1 ; nIN.
b. Montrer que nIN on a : -=
.
c. En déduire la monotonie de la suite .
2. Soit = 3 +
;nIN.
a. Montrer que est une suite arithmétique dont précisera la raison.
b. Montrer que =
et calculer
.
3. On pose =
+
+…+
et =++…+ .
a. Exprimer en fonction de n puis calculer
.
b. En déduire en fonction de n. c. Calculer
.
eXercice 5 :
1. Soit la suite définie sur IN par : =
et = 1 + .
a. Montrer que 1 2 ; nIN.
b. Montrer la suite est croissante.
c. En déduire que la suite converge vers un réel que l’on précisera.
2. Soit la suite définie sur IN par : = ln .
a. Montrer que est une suite géométrique de raison
.
b. Exprimer puis en fonction de n.
c. Calculer
et retrouver la limite de .
eXercice 6 :
1. Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par : g(x) = x – xlnx.
a. Montrer que g est dérivable sur ]0, +∞[ et que g’(x) = - lnx.
b. Dresser le tableau de variation de g.
c. Etudier la monotonie de la suite , définie sur IN* par : = g(n).
2. On définit sur IN* la suite et par : =
et .
a. Montrer que = ln ;nIN*. Etudier la monotonie de la suite .
b. Montrer que 0 e ; nIN*.
c. En déduire que la suite converge vers un réel que l’on précisera.
eXercice 7 :
1. Soit h la fonction définie sur IR par : h(x) = x
a. Etudier les variations de h.
b. Représenter graphiquement h ainsi que la droite : y = x.
c. Déterminer par lecture graphique h .
2. Soit la suite définie sur IN par : = 1 et = h ;nIN.
a. Construire les points , , et .
b. Que peut-on conjecturer sur la monotonie et la convergence de la suite ?
c. Montrer que 0 4 ; nIN.
d. Montrer que
≥ 1 ; nIN. En déduire la monotonie de la suite .
e. Montrer que la suite est convergente et calculer sa limite.
3. Pour tout entier naturel non nul n, on pose =
.
a. Montrer que =
;nIN*. b. En déduire que
= 4.
eXercice 8 :
1. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie par : f(x) = 2 +
;0.
2. Soit la suite définie sur IN par : = 2 et = f .
a. Montrer que ≥ 2 ; nIN.
b. Montrer que ≤
;nIN.
c. En déduire que ≤
;nIN. Déterminer alors la limite de .
3. Soit la suite définie sur IN* par : =
.
a. Montrer que ≤
;nIN*.
b. En déduire que est convergente et encadrer sa limite.
eXercice 9 :
Soit la suite définie sur IN* par : =
.
1. Calculer à l’aide d’une intégration par parties, .
2. Montrer que = -e(n + 1) ;nIN*. En déduire .
3. Montrer que la suite est décroissante.
4. Montrer que
≤
;nIN*. Calculer alors la limite de la suite .
eXercice 10 :
1. Soit la suite définie sur IN* par : =
.
a. Montrer que =
ln2.
b. Vérifier que +=
;nIN*. En déduire la valeur de .
c. Montrer que 0 ≤ ≤
;nIN*. Calculer alors
.
2. Soit la suite définie sur IN* par : =
.
a. Montrer que =
-
;nIN*.
b. Calculer alors
et
.
eXercice 11 :
Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = (x + 2)
.
1.
et
. Interpréter graphiquement le résultat.
2. Montrer que
= 0. Interpréter graphiquement le résultat.
3. Déterminer les coordonnées des points E et F intersection de respectivement
avec l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
4. Dresser le tableau de variation de f.
5. Montrer que admet un point d’inflexion K que l’on précisera.
6. Tracer ainsi que sa tangente en K.
7. On pose =
et =
;nIN*.
a. Montrer que = e² -
.
b. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que = (n + 1) -
.
c. Calculer alors et .
d. Soit D le domaine plan limité par , l’axe des abscisses et les droites d’équations
x = 2 et x = -2. Calculer le volume du solide de révolution engendré par la
rotation de D autour de l’axe des abscisses.
bOn traVaiL
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