Cours de Mécanique - Tshiélikk’ α par Dr Gomat

MECANIQUE
Le cours de Tshiélikk’
α
Dr Landry Jean Pierre GOMAT, MC-CAMES
Semestre 1 LGC+LMI
ENSP-UMNG
30 novembre 2023
1
Introduction
La mécanique est une partie de la Physique qui étudie les mouvements et leurs
causes. Elle comprend deux parties essentielles : la cinématique, qui a pour objet
la description des mouvements sans se préoccuper de ce qui les provoque (on parle
du principe d’objectivité qui permet de dire une réalité, la même pour tous), et la
dynamique qui étudie les relations entre ces mouvements et leurs causes (on
parle du principe de causalité ou du déterminisme qui voudrait que tout ait une
cause et que des conditions -initiales et aux limites- données déterminent l’avenir
d’un système. Ce déterminisme tombe lorsqu’il s’agit de mouvement de particules
(les très petits systèmes matériels -typiquement les éléments constitutifs de la
matière-) qui rentre dans le domaine de la mécanique quantique où les mêmes
conditions données peuvent conduire des systèmes à des comportements différents.
Si la vitesse d’un système est proche de celle de la lumière, de nouveau, la
mécanique classique ne s’applique plus pour faire place à la mécanique relativiste.
2
Introduction
Deux principes fondamentaux fondent donc l’univers que toute la science dont la
mécanique que nous avons commencé d’étudier exprime comme suit :
Le principe de causalité : la réponse d’un système à l’instant t actuel ne
dépend que de son histoire antérieure. La contrainte actuelle ne dépend que
du mouvement et des sollicitations passées ou actuels. On dit aussi qu’une loi
est déterministe. Autrement dit : tout ce qui existe a une cause ou est dû à
un passé déterminant. Tout vient de tout, rien ne vient de rien.
Le principe d’universalité qu’on appelle aussi principe d’objectivité : une
loi de comportement d’un système doit être objective c’est-à-dire la même
pour tous les observateurs. Cette condition d’objectivité suppose une
invariance pour les changements de chronologie (changement d’origine des
temps et/ou changement d’unités de temps), et une invariance pour les
changements des repères.
Dans ce cours, on étudie les lois fondamentales de la dynamique du point et du
solide : description d’un système mécanique, inventaire des forces qui s’y
appliquent, application des lois de Newton, calcul du travail de ces forces de sorte
à pouvoir réaliser le bilan énergétique d’une particule puis d’un système et
expliquer son mouvement.
3
...Introduction
Figure: LANIAKEA : Représentation simulée du supercluster de notre galaxie.
4
...Introduction
Figure: La voie lactée : notre galaxie.
5
...Introduction
Figure: Le système solaire.
6
...Introduction
Figure: La Terre : notre planète.
7
...Introduction : le génie civil
Figure: Une tour gratte ciel à Abu Dhabi.
Figure: L’aéroport de Hong Kong.
8
...Introduction : le génie civil
Figure: Canal de Panama.
Figure: Echangeur à Abidjan.
9
...Introduction : le génie civil
Figure: Tour Nabemba à Tandala.
Figure: Tour Eiffel à Paris.
10
...Introduction : le génie civil
Figure: Marina Bay à Singapour.
Figure: Viaduc de Kintélé.
11
...Introduction : le génie civil
Figure: Pont suspendu en France.
Figure: Pont au Viet-Nam.
12
...Introduction : le génie civil
Figure: Stade de Kintélé.
Figure: Une maison à Songolo.
13
L’espace vectoriel euclidien
Le monde dans lequel nous vivons, notre milieu, on dit de plus en plus
l’environnement que nous composons et mais aussi celui qui nous compose a été
schématisé ou modélisé, comme un ensemble de points plus ou moins denses
auxquels on a associé une quantité de matière ou une masse, qui interagissent.
Il est représenté en mathématiques par un espace affine (ensemble de points
réglementé par des propriétés le caractérisant) dans lequel on peut mesurer la
distance entre deux points. Il sera noté E .
Le point est l’être le plus petit de cet ensemble. On dit alors qu’il est un élément
de E . Le point est un être mathématique dépourvu de dimension. On dit que sa
dimension est nulle c’est-à-dire qu’elle est infiniment petite ou infinitésimale. Les
points sont associés à des grandeurs dites scalaires c’est-à-dire entièrement
déterminées par leur valeur numériques (la masse, la longueur, la pression,
l’énergie, la température, ...).
On identifie E à l’espace ordinaire dans lequel nous vivons, le monde, qui est un
espace réel. A partir de cet espace, on a construit des modèles de tous les êtres
qui existent dans le monde, la nature. C’est ainsi qu’on a créé un être de points
dont les caractéristiques ont permis la construction d’un modèle de l’univers : le
vecteur.
L’espace vectoriel euclidien : le vecteur
Le vecteur est un ensemble de points alignés dans un segment orienté. Il a une
origine et extrêmité et est caractérisé par un point d’application, une direction, un
sens et une mesure.
Figure: Représentation d’un vecteur.
Le vecteur a été choisi comme élément d’un ensemble considéré comme un espace
réel de trois dimensions noté R3 associé à E. Une dimension représente une ligne
infinie (ou ouverte) et droite notée R. L’espace que nous considérons est régi par
des propriétés qui fondent cet ensemble appelé espace vectoriel.
15
L’espace vectoriel euclidien : propriétés
L’espace vectoriel R3 est un espace des translations des éléments de E en vecteurs
(ses éléments) ou grandeurs dites vectorielles c’est-à-dire déterminées par leur
droite d’action ou direction, leur sens et leur mesure (la position, la vitesse, la
force, le moment,... sont des vecteurs). L’espace vectoriel à trois dimensions que
nous considérons est le plus simple qui ait été conçu pour appréhender la nature. Il
est défini ainsi qu’il suit : on dit que R3 est un espace vectoriel tridimensionnel ou
de dimension trois, lorsque :
Les élément ~v de R3 sont des transformations de E en lui-même :
~v ∈ R3 , ~v : E −→ E
(1)
3
La somme + de deux éléments ~u et ~v de R , qui exprime une loi de
composition interne, est définie comme suit :
∀(~u , ~v ) ∈ R3 × R3 , ∀A ∈ E , (~u + ~v )(A) = ~u [~v (A)]
(2)
3
Pour tout élément A et B de l’espace affine E , ∀~v ∈ R tel que :
−→
B = ~v (A) ⇐⇒ AB = ~v
A est le point d’application de ~v , il constitue l’origine du vecteur et B
16
(3)
Exemple
−→
Ecrire B = ~v (A) ⇐⇒ AB = ~v signifie que ~v est une transformation de E en
lui-même, c’est-à-dire, on part d’un point de E pour arriver à un autre point de E ,
et que cette transformation, est intégralement déterminée par la valeur prise sur
un point de E .
Remarque : Le même vecteur peut opérer différentes transformations, en fonction
du point d’application :
mais aussi
−→
B = ~v (A) ⇐⇒ AB = ~v
(4)
−−→
B 0 = ~v (A0 ) ⇐⇒ A0 B 0 = ~v
(5)
Le point d’application ne participe pas à la variation d’un vecteur.
17
Exemple
La somme de deux vecteurs en pratique c’est :
−→
−→
−→
~ tel que :
Si AB = ~v et si BC = ~u alors AC = w
−→ −→ −→
~ = ~v + ~u
AC = AB + BC ⇐⇒ w
(6)
C’est la relation de Chasles qui correspond graphiquement à la fameuse règle du
parallélogramme :
Figure: Règle du triangle ou du parallélogramme.
18
Propriétés générales d’un espace vectoriel
~ est appelé espace vectoriel si et seulement si :
Un ensemble R3 d’éléments ~u , ~v , w
A deux éléments quelconques ~u ∈ R3 et ~v ∈ R3 correspond un troisième
~ ∈ R3 appelé somme + de ~u et ~v .
élément w
A tout élément ~u ∈ R3 et à tout nombre (scalaire) λ ∈ R correspond un
élément λ × ~u = λ~u ∈ R3 , appelé produit × de ~u par λ.
Ces deux opérations doivent être telles que pour trois éléments quelconques
~u ∈ R3 , ~v ∈ R3 et w
~ ∈ R3 et deux scalaires quelconques λ et µ il y ait :
1
~u + ~v = ~v + ~u ;
2
~u + (~v + w
~ ) = (~u + ~v ) + w
~;
3
Un élément ~0 ∈ R3 tel que ~u + ~0 = ~u définit le vecteur nul ;
4
λ(µ~u ) = (λµ)~u ;
5
1~u = ~u ; 0~u = ~0, il faut bien noter que 0 est un scalaire dans le premier
membre et ~0 est un vecteur dans le second ;
6
λ(~u + ~v ) = λ~u + λ~v ; (λ + µ)~u = λ~u + µ~u ;
7
Pour tout élément ~u ∈ R3 , il existe un élément opposé −~u = (−1)~u donc
aussi l’opération de soustraction d’élément ~u − ~v . En vertu des axiomes 4. et
7., on a : ~u − ~u = ~u + (−1)~u = (1 − 1)~u = 0~u = ~0 et ~u − ~v = ~u + (−~v ).
19
Sous-espace vectoriel
Une partie B d’un espace vectoriel R3 est un sous-espace vectoriel de R3 , si pour
~ ) ∈ B 3 et trois scalaires quelconques λ, µ, α la
trois éléments quelconques (~u , ~v , w
combinaison linéaire λ~u + µ~v + α~
w est un élément de B. On dit que B est stable
~ ) ∈ B 3 sont générateurs du
par combinaison linéaire. Les vecteurs (~u , ~v , w
vecteur λ~u + µ~v + α~
w . Les coefficients λ, µ, α sont les composantes du vecteur
engendré. Exemples de stabilité par combinaison dans la nature : L’ensemble des
humains ou l’ensemble des canards constituent respectivement des "sous-espaces
~ ) ∈ B 3 forment une famille de
vectoriels" du monde. Les éléments (~u , ~v , w
vecteurs liés (ou qu’ils sont linéairement dépendants s’ils admettent une
combinaison linéaire λ~u + µ~v + α~
w = ~0 dans laquelle les coefficients λ, µ et α ne
sont pas tous nuls. Si λ~u + µ~v + α~
w = ~0 uniquement que pour
~ ) ∈ B 3 forment une famille
λ = 0 = µ = 0 = α, on dit que les vecteurs (~u , ~v , w
de vecteurs libres ou qu’ils sont linéairement indépendants. Autrement dit,
aucun vecteur ne dépend d’un autre.
Base euclidienne d’un espace vectoriel.
Une base B de l’espace vectoriel R3 est un sous-espace vectoriel de trois vecteurs
libres. Autrement dit, c’est une famille de vecteurs libres et générateurs.
Une base est dite euclidienne si à tout couple d’éléments (~u , ~v ) ∈ B 2 est associé
un nombre réel (un scalaire) noté ~u · ~v (on lit ~u scalaire ~v ) appelé produit
scalaire.
De façon plus large, on peut aussi considérer des espaces vectoriels euclidiens en
les munissant du produit scalaire.
Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
Cette définition doit être bien comprise, parce qu’elle donne les propriétés simples
et de très grande importance du produit scalaire. D’abord, on dit que le produit
scalaire est une forme : en mathématique, une forme est une application qui
opère sur les éléments d’un espace vectoriel, donc sur des vecteurs, pour donner
comme résultat un scalaire. Une forme est bilinéaire si elle opère sur deux
vecteurs et si elle est linéaire par rapport à chaque vecteur.
Enfin, une forme est définie positive si le scalaire résultant de l’application sur le
même vecteur deux fois est toujours positif pour n’importe quel vecteur, sauf pour
le vecteur nul où le résultat est zéro.
21
Axiomes du produit scalaire
Soit que les axiomes suivants ont lieu :
1
~u · ~v = ~v · ~u (symétrie) ;
2
3
(λ~u ) · ~v = λ(~u · ~v ) ;
~ ) · ~v = ~u · ~v + w
~ · ~v (bilinéarité).
(~u + w
Le produit scalaire
Par définition, le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v est donné par :
~u · ~v = k~u k × k~v k × cos(~ud
, ~v )
(~ud
, ~v ) est la mesure de l’angle orienté entre les vecteurs ~u et ~v .
22
(7)
Angles particuliers entre deux vecteurs
Soit les vecteurs ~u et ~v .
L’angle (~ud
, ~v ) = 0 est appelé angle nul lorsque les deux vecteurs sont dans la
même direction et orienté dans le même sens.
Figure: L’angle nul.
L’angle (~ud
, ~v ) = π est appelé angle plat lorsque les deux vecteurs sont dans la
même direction et orienté dans des sens opposés.
Figure: L’angle plat.
23
... Angles particuliers entre deux vecteurs
π
L’angle (~ud
, ~v ) = est appelé angle droit lorsque les deux vecteurs ont des
2
directions perpendiculaires ; on dit alors qu’ils sont orthogonaux et que leurs
directiosn respectives sont perpendiculaires.
Figure: L’angle droit.
24
Projection orthogonale
Le produit scalaire est, géométriquement, la mesure de la projection orthogonale
du vecteur ~v sur la direction du vecteur ~u ; autrement dit, c’est la mesure de la
longueur du vecteur ~v dans la direction du vecteur ~u ; et vice versa.
Figure: Projection orthogonale d’un vecteur sur la direction d’un autre.
25
Norme ou mesure d’un vecteur
Une base euclidienne peut être normée en la munissant de la norme suivante :
√
k~u k = ~u · ~u
(8)
C’est la mesure de (la longueur, de l’intensité ou de la qunatité de points) du
vecteur ~u sur sa propre direction, donc sa mesurer propre tout simplement.
On vérifie que cette norme est conforme aux axiomes de la norme suivants :
1
k~u k ≥ 0, k~u k = 0 si et seulement si ~u = ~0, on dit que la norme est non
dégénérée ;
kα~u k = |α|k~u k, on dit que la norme est homogène ;
k~u + ~v k ≤ k~u k + k~v k, inégalité triangulaire.
On munit une base de la distance d(~u , ~v ) entre deux éléments quelconques ~u et ~v
telle que :
d(~u , ~v ) = k~u − ~v k
(9)
2
3
26
Base orthogonale et base normée
Deux vecteurs ~u et ~v d’un espace vectoriel euclidien sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est nul (~u · ~v = 0).
~ ) est orthogonale lorsqu’on a :
On dit qu’une base B = (~u , ~v , w
~u · ~v = 0 = ~v · w
~ =0=w
~ · ~u
(10)
~ ) est normeé lorsqu’on a :
On dit qu’une base B = (~u , ~v , w
k~u k = k~v k = k~
w k = a = cte
(11)
~ ) de vecteurs libres et générateurs dont les vecteurs sont
Une famille B = (~u , ~v , w
normés à l’unité (a = 1) et orthogonaux deux à deux constitue une Base
orthonormée.
Figure: Base orthonormée dans l’espace.
27
Présentation géométrique d’une base orthonormée
Bien que l’on puisse avoir des bases de R3 qui ne soient pas orthonormées, on se
bornera à ce type de bases car elles ont des avantages considérables en terme de
simplicité. Soit la base orthonormée (~ex ,~ey ,~ez ), on a :
Figure: Base de Descartes.
28
Composantes d’un vecteur dans une base
Tout vecteur de R3 peut être écrit comme une combinaison linéaire de vecteur
d’une base choisie dans R3 .
~v = vx ~ex + vy ~ey + vz ~ez
(12)
La base orthonormée (~ex ,~ey ,~ez ) est appelée base cartésienne de R3 . les scalaire
(vx , vy , vz ) sont les composantes cartésiennes d’un vecteur quelconque ~v dans
la base cartésienne. on montre que :
vx = ~v · ~ex
vy = ~v · ~ey
vz = ~v · ~ez
29
(13)
Composantes d’un vecteur dans une base
La projection orthogonale du vecteur ~v dans la base (~ex ,~ey ,~ez ) est effectuée
comme suit :
~v = (~v · ~ex )~ex + (~v · ~ey )~ey + (~v · ~ez )~ez
Figure: Composantes d’un vecteur dans une base cartésienne.
30
(14)
Expression du produit scalaire dans la base cartésienne
Le calcul du produit scalaire lorsque les composantes cartésiennes des vecteurs
sont connues s’effectue simplement. Soit :
~v = vx ~ex + vy ~ey + vz ~ez
(15)
v~0 = vx0 ~ex + vy0 ~ey + vz0 ~ez
(16)
On a :
~v · v~0 = (vx ~ex + vy ~ey + vz ~ez ) · (vx0 ~ex + vy0 ~ey + vz0 ~ez ) = vx vx0 + vy vy0 + vz vz0 (17)
Il faut remarquer que cette expression est aussi simple parce que les calculs sont
effectués dans une base orthonormée, justifiant ainsi l’intérêt du choix d’une base
orthonormée, ce qui sera toujours sous-entendu dans la suite.
31
Calcul matriciel du produit scalaire
On note par v et v 0 les matrices colonnes respectives des vecteurs ~v et v~0 . On a :
 
vx
v = vy 
(18)
vz
~v · v~0 = v T v 0 = vx
 0
vx
v 0 = vy0 
vz0
 0
vx0
vy vz vy  = vx vx0 + vy vy0 + vz vz0
vz0
v T est la matrice transposée de la matrice colonne v . C’est donc une matrice
ligne.
32
(19)
(20)
Le produit vectoriel
Le produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs ~a = ax ~ex + ay ~ey + az ~ez de R3 et
~b = bx ~ex + by ~ey + bz ~ez de R3 est le vecteur noté ~a ∧ ~b (on lit ~a vectoriel ~b) de
R3 , normal au plan formé par les vecteurs ~a et ~b dont la mesure est donnée par :
d
k~a ∧ ~bk = k~ak × k~bk × |sin(~a, ~b)|
(21)
Le sens de ce vecteur est donné par la règle dite de la main droite : si la main
d
droite est placée le long du premier vecteur ~a et qu’elle balaie l’angle (~a, ~b) = θ
pour atteindre le deuxième vecteur ~b par la paume, le point d’application étant
indiqué par le poignet, alors le pouce indique la direction et le sens du vecteur
produit vectoriel résultant.
Le produit vectoriel
Figure: La règle de la main droite.
Une normale est un vecteur unitaire dont la direction est perpendiculaire à toutes
les directions contenues dans la surface (le plan P) qu’elle représente.
Figure: La normale ou le vecteur normal d’une surface.
34
Propriétés du produit vectoriel
1
2
3
4
5
6
7
8
~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u , le produit vectoriel est antisymétrique ;
~u ∧ (~v + w
~ ) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ w
~ , il distributif par rapport à la somme de vecteurs ;
~ ) ∧ ~v = ~u ∧ ~v + w
~ ∧ ~v (bilinéarité) ;
(~u + w
(λ~u ) ∧ ~v = ~u ∧ (λ~v ) = λ(~u ∧ ~v ), λ ∈ R ;
~u ∧ ~v = ~0 ⇐⇒ ~v = α~u , α ∈ R, condition de parallélisme ;
(~u ∧ ~v ) · ~u = 0 = (~u ∧ ~v ) · ~v , le produit vectoriel est orthogonal aux vecteurs
qui le font. Le vecteur résultant d’un produit vectoriel est normal au plan
déterminé par les deux vecteurs d’origine ;
~u ∧ (~v ∧ w
~ ) = ~v (~u · w
~)−w
~ (~u · ~v ), c’est le double produit vectoriel ;
~u · (~v ∧ w
~)=w
~ · (~u ∧ ~v ) = ~v · (~
w ∧ ~u ), c’est le produit mixte. Il est invariant
par permutation circulaire.
35
Signification géométrique du produit vectoriel
Géométriquement, on montre que la norme du produit vectoriel est la mesure de
l’aire du parallélogramme délimité par les deux vecteurs du produit :
Figure: L’aire du parallélogramme construit par les vecteurs ~u et ~v .
36
Signification géométrique du produit mixte
La valeur absolue du produit mixte est la mesure du
volume du parallélépipède construit par les trois vecteurs du produit :
~.
Figure: Le volume du parallélépipède construit par les vecteurs ~u , ~v et w
37
Calcul matriciel du produit vectoriel
Les matrices colonnes des vecteurs ~a et ~b étant données par a et b , on note par ã
la matrice antisymétrique associée au vecteur ~a définie telle que :


0
az
−ay
0
ax 
ã = −az
(22)
ay −ax
0
    

ax
bx
az by − ay bz
~a ∧ ~b = ay  ∧ by  =  ax bz − az bx 
(23)
az
bz
ay bx − ax by

  

0
az
−ay
bx
az by − ay bz
0
ax  by  =  ax bz − az bx 
(24)
ã b = −az
ay −ax
0
bz
ay bx − ax by
Ce qui montre que :
~a ∧ ~b = ã b
38
(25)
Orientation d’un base
C’est immédiat de voir qu’une base de R3 peut être orientée de deux façons
différentes : on dit que la base (~ex ,~ey ,~ez ) est orientée dans le sens direct
(right-handed basis) ou base directe si :
~ex ∧ ~ey = ~ez
~ez ∧ ~ex = ~ey
~ey ∧ ~ez = ~ex
Autrement, on dit que la base est indirecte.
(26)
Repères.
Une base permet d’identifier un vecteur de R3 , mais lorsqu’on doit repérer un
point P de E , il faut utiliser un repère : un repère R est un ensemble de points
(un solide indéformable de préférence) formé par un point O appelé origine du
repère et trois vecteurs appliqués en ce point qui forment une base orthonormée
directe (BOND).
(~ex ,~ey ,~ez ) est une BOND si elle vérifie les conditions suivantes :
~ex · ~ey = 0 = ~ey · ~ez = 0 = ~ez · ~ex
(27)
~ex · ~ex = ~ey · ~ey = ~ez · ~ez
(28)
~ex ∧ ~ey = ~ez
~ez ∧ ~ex = ~ey
(29)
~ey ∧ ~ez = ~ex
Les relations (27) indiquent que la base est orthogonale, les relations (28)
indiquent que la base est normée et les relations (29) indiquent que la même base
est orientée dans le sens direct.
40
Le repère cartésien
Une fois un repère choisi, on peut déterminer la position d’un point P de E grâce
−→
aux composantes du vecteur position OP. Ces composantes sont alors les
coordonnées de P dans le repère. Toutefois, il y a plusieurs façons de repérer ou
de choisir les coordonnées d’un point. Le repère cartésien est le système de
coordonnées le plus connu, mais il y a aussi le repère intrinsèque, le repère
polaire, le repère polaire cylindrique et le repère polaire sphérique. Ces
derniers repères sont construits à partir du repère cartésien qui est leur ancêtre à
tous.
Le repère cartésien
C’est le repère le plus simple et le plus connu : la position d’un point P est détermi−→
née à l’aide des composantes du vecteur OP (le vecteur position du point P) dans
la base associé au repère choisi ; ces composantes prennent le nom de coordonnées
cartésiennes ou coordonnées rectangulaires comme le montre la figure
−→
OP = x ~ex + y ~ey + z ~ez
41
(30)
...Le repère cartésien
Figure: Position d’un point P dans un repère cartésien.


−∞ ⩽ x ⩽ +∞
−∞ ⩽ y ⩽ +∞


−∞ ⩽ z ⩽ +∞
42
(31)
Le repère polaire cylindrique
Le repérage cylindrique consiste à repérer le point P par la mesure de la longueur
−→
ρ de la projection du vecteur OP sur le plan (O,~ex ,~ey ), par la mesure de l’angle θ
que cette projection forme avec la direction de ~ex , et par la mesure de la longueur
−→
z de la projection de OP sur ~ez .
Figure: Position d’un point P dans un repère polaire cylindrique.
43
...Le repère polaire cylindrique
On définit la base polaire cylindrique (~eρ ,~eθ ,~ez ) comme une BOND telle que :
−→
−→
(OP · ~ex )~ex + (OP · ~ey )~ey
~eρ =
ρ
(32)
~eθ = ~ez ∧ ~eρ
(33)
θ = (~\
ex ,~eρ )
−→
OP = ρ~eρ + z~ez
(34)
44
(35)
...Le repère polaire cylindrique
Les coordonnées cylindriques ρ, θ, z sont ainsi liées aux coordonnées cartésiennes
par les relations suivantes :

p

x 2 + y 2 , 0 ⩽ ρ ⩽ +∞
ρ
=


y
θ = arctan , 0 ⩽ θ ⩽ 2π
(36)

x

z = z, −∞ ⩽ z ⩽ +∞
Ou bien dans l’autre sens


x = ρ cos θ
y = ρ sin θ


z =z
45
(37)
Le repère polaire sphérique
−→
Le repérage sphérique consiste à repérer le point P par la mesure r de OP, par
−→
l’angle ϕ dit longitude que fait la projection de OP sur le plan (O,~ex ,~ey ) avec
−→
~ex , et par l’angle θ dit colatitude formé par OP et ~ez . On définit la base polaire
sphérique (~er ,~eϕ ,~eθ ) comme une BOND telle que :
~er =
−→
OP
r
(38)
~eϕ = ~ex ∧ ~eρ
(39)
~eθ = ~er ∧ ~eϕ
(40)
ϕ = (~\
ex ,~eρ )
(41)
\
θ = (~
ez ,~er )
(42)
46
...Le repère polaire sphérique
Figure: Position d’un point P dans un repère polaire sphérique.
47
...Le repère polaire sphérique
Les coordonnées sphériques r , ϕ, θ sont ainsi liées aux coordonnées cartésiennes
par les relations suivantes :

p

r = x 2 + y 2 + z 2 , 0 ⩽ r ⩽ +∞


y

ϕ = arctan , 0 ⩽ ϕ ⩽ 2π
(43)
x
p


x2 + y2 + z2


θ = arctan
, 0⩽θ⩽π
z


x = r cos θ sin θ






(44)
y = r sin θ sin θ






z = r cos θ
48
Exercices et problèmes
Voir TD
49
Le référentiel
Le mouvement est le changement (évolution, progrès, développement, différence,
variation, ...) de position par rapport au changement correspondant du temps de
tout ou partie d’un système mécanique.
L’étude du mouvement d’un système mécanique exige la connaissance d’au moins
l’état de repos (la position) dudit système vis-à-vis d’un repère mais aussi du
temps.
Le temps est un paramètre noté t qui permet d’apprécier la succession des
événements ou des phénomènes dans l’univers. Il est toujours orienté du passé vers
le futur. Le repère temporel ou chronologie permet d’apprécier le déroulement
des événements dans la nature. Il est constitué d’un instant d’origine ou instant
initial.
L’observateur que chaque être vivant est, appréciera le mouvement d’au moins un
point en fonction d’un repère (spatial ou un espace naturel) et d’un repère
temporel (la chronologie qui est la même pour tout observateur donc choisie une
fois pour toutes). Cet observateur ainsi muni constitue un référentiel.
Référentiel = Observateur muni d’au moins un repère + une chronologie.
Le référentiel galiléen
De façon absolue, il n’existe pas d’état de repos (absence absolue de mouvement).
Galilée a défini
le référentiel galiléen comme étant un référentiel en état de repos en
présentant le principe qui porte son nom, le principe de relativité de Galilée
stipulant que tout dans le monde est relatif à un référentiel.
L’hypothèse de référentiel galiléen c’est-à-dire de système en état de repos n’est
qu’une illusion qui nous montre des repos apparents dits relatifs dont l’explication
satisfait notre ressenti. La réalité est que tout est en mouvement par rapport à
tout, le mouvement est partout. Notre monde est tel qu’il est en mouvement en
permanence et de façon inconstante. Rien n’est constant ni dans l’espace ni dans
le temps. Cette inconstance du monde se manifeste de façon tout aussi
inconstante.
Parmi les interactions naturelles ou physiques entre différents objets ou corps,
celles qui concernent la mécanique sont celles qui modifient l’état de repos ou de
mouvement d’un système ou de certaine de ses parties.
Le référentiel galiléen
En fonction du type de mouvement du repère d’observation, on distingue les
référentiels galiléens des référentiels non galiléens.
Un référentiel galiléen ou d’inertie est un référentiel fixe dans le temps ou bien
muni d’un mouvement de translation uniforme.
Figure: Référentiels en translation uniforme donc galiléen.
On verra que dans un tel référentiel, un point isolé c’est-à-dire un point libre de
toute interaction a le même mouvement rectiligne uniforme que le référentiel.
52
Exemples de référentiels célèbres
Référentiel héliocentrique ou de Copernic : L’origine correspond au centre de
masse du système solaire et les axes sont dirigés vers trois étoiles fixes.
Figure: Référentiels héliocentrique et géocentrique.
Référentiel géocentrique : L’origine correspond au centre de masse de la planète
Terre et les axes sont dirigés vers trois étoiles fixes (les mêmes que celles de
Copernic).
53
...Exemples de référentiels célèbres
Référentiel terrestre ou du laboratoire : L’origine est prise à la surface de la
planète Terre et des axes solidaires à la Terre ou au laboratoire, il est souvent
toujours supposé galiléen.
Figure: Référentiels géocentrique et terrestre.
Dans un référentiel, on peut choisir plusieurs repères. Un référentiel se distingue
d’un autre par le mouvement relatif qu’il a vis-à-vis de l’autre.
54
Le mouvement d’un point.
Parmi les interactions naturelles entre différents objets ou systèmes matériels,
celles qui concernent la mécanique sont celles qui modifient l’état de repos ou de
mouvement d’un système matériel ou de certaines de ses parties.
Le mouvement est le changement de position dans le temps de tout ou partie d’un
système.
la position d’une particule P est déterminée par la connaissance du vecteur
−→
position OP de P. On appelle vecteur déplacement de P ou déplacement de P
−→
noté ∆OP la variation du vecteur position de P !
−→ −→
−→
∆OP = OP f − OP i
(45)
−→
−→
où OP i est le vecteur position initial et OP f le vecteur position actuel. Lorsque
l’on considère ce déplacement sur des écarts très très petits (on dit infinitésimaux),
−→
le déplacement devient le déplacement élémentaire, noté d OP et défini par :
−→
−→
d OP = lim ∆OP
(46)
Pf →Pi
−→
C’est la différentielle (la très très petite différence) de OP.
Comment calcule-t-on la différentielle d’un scalaire ?
Les règles de différentiation des scalaires sont étudiées depuis le lycée. On en
rappelle dans le tableau suivant les grandes lignes. Soit a, b et c des fonctions
scalaires de scalaires, on a :
a = constante
a = u(t)n , n ∈ N
da = 0
da = nu n−1 (t)du(t)
c(t) = a(t)b(t)
dc = (da)b + a(db)
c(t) =
a(t)
b(t)
dc =
(da)b − a(db)
b2
La dérivée d’un scalaire a par rapport à un autre scalaire t est le rapport noté ȧ
tel que :
da
ȧ(t) =
(t)
(47)
dt
56
La dérivée partielle d’une fonction scalaire
On considère une fonction scalaire de deux variables scalaires x et y . On définit la
différentielle de cette fonction par :
df =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
(48)
∂f
est la dérivée partielle de f par rapport à x , c’est-à-dire la dérivée de f par
∂x
rapport à x lorsqu’on considère l’autre variable y comme une constante.
On dit que la fonction f (x , y ) est une fonction d’état lorsqu’elle admet une
différentielle totale exacte c’est-à-dire lorsque :
∂2f
∂2f
=
∂x ∂y
∂y ∂x
(49)
Autrement, elle n’est qu’une forme différentielle et représente un processus et non
un état et l’on note sa variation infinitésimale par δf au lieu de df .
δf = Hdx + Qdy
57
(50)
Le vecteur vitesse d’un point
Comme le mouvement de P est le changement de sa position par rapport au
changement du temps c’est-à-dire la variation de la position de P (ou du vecteur
position) par rapport à la variation correspondante du temps. Il est défini par le
vecteur ~v (P) tel que :
−→
−→
d OP
∆OP
~v (P) = lim
= lim ~vm (P) =
(51)
∆t→0
∆t→0 ∆t
dt
−→
On dit que ~v (P) est la dérivée par rapport au temps du vecteur position OP de P.
Elle donne la vitesse à chaque instant t du point.
On l’appelle vitesse instantanée.
−→
∆OP
~vm (P) =
(52)
∆t
~vm (P) est la vitesse moyenne du point P sur le chemin donné entre les deux
points extrêmes de celui-ci. Elle donne une information globale du mouvement du
point lors que la vitesse instantanée donne l’information locale à chaque instant.
58
Comment dérive-t-on un vecteur ?
On dérive un vecteur exactement comme on le fait pour un scalaire en sachant
que :
Lorsque le point d’application d’un vecteur change, le vecteur ne change pas ;
La mesure, la direction et le sens d’un vecteur sont les seuls caractéristiques
qui font varier un vecteur.
Si on fixe la mesure ou la norme d’un vecteur comme pour le cas d’un vecteur
unitaire ou vecteur normé à l’unité, les seuls caractéristiques qui vont influencer la
variation d’un tel vecteur sont sa direction et son sens.
Le sens et la direction d’un vecteur ne changent que si le vecteur tourne de sorte à
décrire un angle par rapport à sa position initiale. On dit que le vecteur effectue
une rotation.
Retenons la règle suivante :
Un vecteur unitaire ne varie qu’en fonction de son angle de rotation. La dérivée
d’un vecteur unitaire par rapport à son angle de rotation est un vecteur unitaire qui
lui est placé à + π2 dans le plan de rotation.
59
Base fixe et base mobile
Les vecteurs de la BOND cartésienne (~e1 ,~e2 ,~e3 ) fixe vérifient
d~e1 = d~e2 = d~e3 = ~0
Les vecteurs de la BOND cylindrique (~eρ ,~eθ ,~e3 ) mobile locale vérifient


d~eρ = ~eθ dθ
d~e = −~eρ dθ


d~e3 = ~0
Les vecteurs de la BOND sphérique (~er ,~eθ ,~eϕ ) mobile locale vérifient


d~er = ~eθ dθ + sin θ~eϕ dϕ
d~eθ = −~eρ dθ + cos θ~eϕ dϕ


d~eϕ = −(sin θ~er + cos θ~eθ ) dϕ
60
(53)
(54)
(55)
Calculs dans un référentiel
Dans un référentiel galiléen d’origine O muni d’une BOND cartésienne (~ex ,~ey ,~ez ),
−→
une particule P est repérée par son vecteur position OP = x ~ex + y ~ey + z ~ez , on a :
−→
d OP = dx ~ex + dy ~ey + dz ~ez
(56)
Il vient : b étant une fonction scalaire de x , y et z,
db =
−−→
−→
∂b
∂b
∂b
dx +
dy +
dz = grad b · d OP
∂x
∂y
∂z
(57)
−−→
où grad b définit l’opérateur gradient de b défini par :
−−→
∂b
∂b
∂b
→
−
~ex +
~ey +
~ez = O b
grad b =
∂x
∂y
∂z
(58)
→
−
O b, appelé nabla de b est l’autre nom du gradient de b. Il a la propriété de
transformer un scalaire en un vecteur. En fait, il montre comment varie un scalaire
dans les différents sens et directions de l’espace.
61
Calculs dans un référentiel
Lorsqu’il agit sur un vecteur
→
−
f (x , y , z) = fx (x , y , z)~ex + fx (x , y , z)~ey + fz (x , y , z)~ez :
→
−
il peut le transformer en un scalaire appelé divergence de f (x , y , z) notée :
→
−
−
∂fx
∂fy
∂fz
→
− →
div f = O · f =
+
+
(59)
∂x
∂y
∂z
La divergence indique alors comment un vecteur se comporte autour d’un
point duquel ses composantes partent ou arrivent.
→
−
il peut le transformer en un autre vecteur appelé rotationnel de f (x , y , z)
notée :
−−→ →
−
∂fy
∂fx
∂fz
∂fy
∂fx
∂fz
− →
~ex +
~ey +
~ez
−
−
−
rot~f = O ∧ f =
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(60)
−−→
~
div rot f = 0
(61)
−−−−
−−
−→
−→
rot grad b = ~0
(62)
62
Calculs dans un référentiel
f
~c = λ ~b
c = ~a · ~b
df
−−−−→
div ~c = grad λ · ~b + λ div ~b
−−−→
grad c = div ~a ~b + ~a div ~b
63
Le point matériel ou la particule
Le point matériel ou particule est un élément de E auquel on a associé une
quantité de matière qu’on appelle masse. Le point, tant qu’il n’est pas doué de
masse, n’existe que dans l’imagination. Il devient une réalité naturelle lorsqu’il a
une masse donc de l’énergie.
La masse du point, notée m est une grandeur positive ou nulle : m ≥ 0 . La
masse est une grandeur extensive ou additive. Le système matériel constitué de
deux particules P1 de masse m1 et P2 de masse m2 a pour masse m = m1 + m2
L’unité de la masse est le kilogramme (kg) .
La masse de l’univers est une constante et l’on admet que pour un système
mécanique, la loi de conservation de la masse est toujours vérifiée.
Retenons la définition suivante :
On appelle système mécanique tout ensemble d’au moins une particules. Le point
matériel ou la particule est ainsi le système mécanique le plus petit ou le système
mécanique élémentaire.
64
Le système matériel ou système mécanique
Un système mécanique regroupe ses particules dans une distribution ou répartition
de particules et une géométrie données : il s’agit de tous les corps de la nature.
Dès lors qu’une géométrie a une masse, elle sera appelée système mécanique ou,
pour simplifier, système.
On distingue les distributions discrètes ou systèmes discrets des distributions
continues ou systèmes continus.
Systèmes discrets.
Les systèmes discrets de particules sont des ensembles dénombrables de particules.
le système mécanique est ici un ensemble d’un grand nombre de particules Pi (que
l’on peut compter) de masses mi ,i=1,2,...,N . La masse totale m du système est
donnée par :
N
X
m=
mi = m1 + m2 + ... + mN
(63)
i=1
Toutes les autres grandeurs physiques extensives seront formellement définies par
des sommes discrètes.
Exemples : Vol en formation de N hérons pique-bœuf.
65
...
Systèmes continus.
Un système S est dit continu si le nombre de particules contenues dans un volume
élémentaire dv est suffisamment grand et indénombrables pour que l’on puisse
négliger ses fluctuations . Ce mode de description n’est pas spécifique aux corps
solide mais convient également très bien pour les fluides.
Dans l’hypothèse des systèmes continus, on peut décrire le système matériel S
non pas seulement par un ensemble discret de points matériels Ai , mais aussi par
la réunion d’un ensemble de courbes matérielles Sl , d’un ensemble de surfaces
matérielles Ss ou d’un ensemble de volumes matériels Sv définis respectivement
par une densité) linéique de masse λ, densité surfacique de masse σ, densité
volumique de masse ρ, définie en tout point M du domaine spatial occupé par le
système.
Q
N
M
K
X
X
X
X
Ai +
Sl j +
Ss k +
Sv q
(64)
S=
i=1
j=1
k=1
q=1
Exemples : Un tableau ou un crayon sont considérés comme des systèmes continus.
Une particule c’est
Tout système mécanique dont la position est parfaitement définie par la connaissance d’un point de E , donc d’un triplet de nombre réels.
Tout système mécanique dont les dimensions sont négligeables au regard des
dimensions de ses trajectoires (ensemble des positions occupées par le corps
pendant son mouvement) est considéré comme une particule. Ce, peut être une
particule au sens propre du terme (électron, proton, neutron) ou un corps dont les
dimensions sont très petites devant les distances d’observation (satellites
artificiels, planètes, étoiles, galaxies, amas de galaxies, ...).
67
La ligne matérielle.
Le vecteur matériel ou vecteur (en mécanique) est un élément de l’espace vectoriel
de E auquel on a associé une quantité de matière m suivant une distribution
linéique donnée. La mesure du vecteur ~u est la longueur d’un segment matériel
déterminée par la projection orthogonale du vecteur matériel sur sa propre
direction :
√
(65)
k~u k = l = ~u · ~u
Une ligne matérielle est obtenue par la superposition de particules les unes à la
suite des autres. La masse m est distribuée dans cette ligne en fonction de la
grandeur λ appelée densité linéique de masse :
λ=
m
l
(66)
m
dm
=
où dm est la masse d’une
l
dl
particule de la ligne et dl sa longueur (dite élémentaire).
On dit que la ligne est homogène lorsque λ =
68
La surface matérielle.
La surface matérielle ou surface est la mesure du vecteur surface auquel on a
associé la masse m suivant une répartition donnée. On construit une surface à
partir d’au moins deux vecteurs ~u et ~v grâce au produit vectoriel :
k~u ∧ ~v k = S = k~u kk~v k|sin(~ud
, ~v )|
(67)
La masse m est repartie sur cette surface S en fonction de la grandeur σ appelée
densité surfacique de masse :
m
(68)
σ=
S
m
dm
On dit que la surface matérielle est homogène lorsque σ =
=
où dm est la
S
dS
masse d’une particule de la surface et dS sa surface (dite élémentaire).
69
Le volume matériel.
le volume matériel ou le volume peut être considéré comme la superposition de
lignes et de surfaces matériels. L’opération qui a permis de construire les volumes
est le produit mixte qui est un scalaire dont la valeur absolue signifie
géométriquement la mesure du volume du parallélépipède construit par les trois
vecteurs du produit mixte :
|~a · (~b ∧ ~c )| = V
(69)
La matière m est repartie dans ce volume V en fonction de la grandeur ρ appelée
densité volumique de masse :
m
ρ=
(70)
V
m
dm
On dit que la surface matérielle est homogène lorsque ρ =
=
où dm est la
V
dV
masse d’une particule de du volume et dV son volume (dit élémentaire).
70
Représentation analytique du mouvement.
Dans un référentiel < (dont la base sera, sauf mention contraire, toujours une
BOND) ; une particule A à un instant t donné a des coordonnées (x (t), y (t), z(t))
qui définissent à cet instant sa position. L’évolution de la particule dans le temps
est exprimée par des relations fonctionnelles.
Trajectoire.
On appelle trajectoire d’une particule A par rapport à un référentiel <, la courbe
représentant l’ensemble des positions occupées par le point mobile A lors de son
mouvement dans ledit référentiel. C’est aussi la courbe décrite par l’extrémité du
−→
vecteur position OA.
L’équation de la trajectoire du mobile A est la relation analytique reliant les
coordonnées indépendamment du temps. En coordonnées cartésiennes, on notera :
f (x , y , z) = 0
(71)
Équation horaire.
On appelle équation horaire (ou équation paramétrique) du mouvement de A, l’expression des coordonnées de A en fonction du temps.
71
Equations horaires du mouvement
En coordonnées cartésiennes, on a :


x = fx (t)






y = fy (t)






z = f (t)
(72)
z
Selon que le mouvement étudié est dans un plan ou sur un droite, on choisit le
repère de sorte que deux, ou une coordonnées soient suffisantes. Ce sont les
coordonnées qui permettent de décrire le plan ou la droite, par exemple :
Dans le plan :


x = fx (t)
(73)


y = fy (t)
Equations horaires du mouvement
Sur la droite :
z = fz (t)
(74)
−→
La fonction vectorielle OA définie sur un intervalle de temps est appelée
représentation paramétrique régulière d’une courbe représentant la trajectoire de
la particule A dans <.
A partir des équations horaires, on obtient l’équation de la trajectoire en y
éliminant le temps t.
On retient que :
L’unité de mesure de la position d’une particule dans le Système International (SI)
est le mètre noté m.
On retient que :
Pour obtenir l’équation de la trajectoire, on élimine le temps dans les équations
horaires.
73
La cinématique d’une particule
La cinématique a pour objet la description des mouvements. Le mouvement est la
variation du vecteur position d’une particule A par rapport à la variation
correspondante du temps. Dans le chapitre précédent, on a déterminé et exprimé
−→
le vecteur position OA dans un référentiel donné. Dans deux référentiels donnés,
soit < = (O,~ex ,~ey ,~ez ) un référentiel galiléen et <0 = (O 0 , e~0 x , e~0 y , e~0 z ) un
référentiel non galiléen, on a obtenu les définitions suivantes.
Le vecteur position.
Le vecteur position d’une particule A est donné :
dans < par
−→
OA = x ~ex + y ~ey + z ~ez
(75)
−−→
O 0 A = x 0 e~0 x + y 0 e~0 y + z 0 e~0 z
(76)
0
dans < par
La position de O 0 origine de <0 dans < (ou relativement à <) est donnée par le
−−→
−−→ −→ −−→ −→ −−→
vecteur position OO 0 tel que : OO 0 = OA + AO 0 = OA − O 0 A
74
...La cinématique d’une particule
−→
L’extrémité A de OA décrit la trajectoire du point A dans le référentiel < ;
−−→
L’extrémité A de O 0 A décrit la trajectoire du point A dans le référentiel <0
Le vecteur vitesse
La vitesse d’une particule comme sa position est toujours relative à un référentiel
donné. Par définition, le vecteur vitesse d’une particule A par rapport à un référentiel
< est noté par :
−→ !
d OA
~v (A/<) =
(77)
dt
<
Lorsque tous les calculs ne se font que dans un seul référentiel et qu’il n’y a pas
risque de confusion, on écrit :
−→
d OA
~v (A) =
(78)
dt
75
La cinématique d’une particule
En dehors de la variation de sa mesure, un vecteur varie lorsque sa direction et son
sens changent, ce qui ne peut avoir lieu que lorsque le vecteur tout entier tourne
ou subit une rotation. Un vecteur lié à un référentiel <0 tourne lorsque celui-ci
effectue une rotation.
Le vecteur vitesse de rotation
la rotation consiste en une variation de l’angle entre une direction de <0 et une
direction de <. Elle est définit par un vecteur appelé vecteur vitesse de rotation
→
−
de <0 par rapport à < noté Ω <0 /< , tel que :
sa direction est normale au plan de rotation ;
son sens direct est celui donné par le produit vectoriel de vecteurs suivant la
rotation dans le plan de rotation ;
sa mesure est donnée par la valeur absolue de la dérivée par rapport au temps
de l’angle balayé à chaque instant par le vecteur position dans le plan de
rotation.
76
...La cinématique d’une particule
Figure: Direction et sens du vecteur vitesse de rotation.
77
...La cinématique d’une particule
Le référentiel cartésien < étant galiléen, les vecteurs de sa BOND sont constants
dans le temps c’est-à-dire :
d~ey
d~ez
d~ex ~
=0=
= ~0 =
dt
dt
dt
(79)
Il vient :
dx
dy
dz
~ex +
~ey +
~ez
dt
dt
dt
dx
En retenant la convention d’écriture suivante :
= ẋ , on notera :
dt
~v (A) =
~v (A) = ẋ ~ex + ẏ ~ey + ż ~ez
78
(80)
(81)
...La cinématique d’une particule
Le vecteur vitesse de la même particule A par rapport au référentiel cartésien <0
(autrement dit, la vitesse de A dans le référentiel <0 , ou encore le mouvement de
A par rapport à <0 ) est donné par :
−−→ !
d O0A
~vr (A) =
= x˙0 e~0 x + y˙0 e~0 y + z˙0 e~0 z
(82)
dt
0
<
parce que :
d e~0 x
dt
!
= ~0 =
<0
d e~0 y
dt
!
= ~0 =
<0
d e~0 z
dt
!
(83)
<0
Ce qui veut dire que les vecteurs e~0 x , e~0 y et e~0 z sont constants dans le référentiel
<0 . Mais, par rapport au référentiel galiléen <, comment varient ces vecteurs de
<0 si celui-ci est en mouvement par rapport à < ?
79
La cinématique d’une particule
Proposition :
On montre que :

!
~0 x

→
−
d
e


= Ω <0 /< ∧ e~0 x



dt


<





!

 d e~0
→
−
y
= Ω <0 /< ∧ e~0 y

dt


<





!



→
−
d e~0 z


= Ω <0 /< ∧ e~0 z

 dt
<
80
(84)
La cinématique d’une particule
−−→
Qu’advient-il lorsqu’on doit dériver le vecteur O 0 A de <0 par rapport au référentiel
galiléen < ?
!
−−→ !
d O0A
d(x 0 e~0 x + y 0 e~0 y + z 0 e~0 z )
=
= x˙0 e~0 x + y˙0 e~0 y + z˙0 e~0 z +
dt
dt
<
!
!<
!
0
0
~
~0 z
~
d
e
d
e
d
e
y
x
+ y0
+ z0
+ x0
dt
dt
dt
<
<
<
!
−−→
0
→
−
dO A
(85)
=
+ Ω <0 /< ∧ (x 0 e~0 x + y 0 e~0 y + z 0 e~0 z )
dt
0
<
Il vient :
−−→ !
d O0A
=
dt
<
−−→ !
−−→
→
−
d O0A
+ Ω <0 /< ∧ O 0 A
dt
0
(86)
<
C’est la formule de Bour qui permet de généraliser le calcul de la dérivée d’un
vecteur quelconque d’un référentiel relatif par rapport à un autre référentiel.
81
Formule de Bour
→
−
Soit U ∈ <0 un vecteur que l’on veut dériver dans <.
On retient que :
→
−!
dU
=
dt
→
−!
→
−
→
−
dU
+ Ω <0 /< ∧ U
(87)
dt
<
<0
→
−!
→
−
dU
0
Si le vecteur U est fixe dans le référentiel < , alors
= ~0 et l’on a :
dt
0
<
→
−!
→
−
→
−
dU
= Ω <0 /< ∧ U
dt
<
82
(88)
Remarque sur le vecteur vitesse de rotation
En considérant un troisième référentiel <” en mouvement de rotation par rapport
à <0 , on a la règle suivante :
→
−
→
−
→
−
Ω <”/< = Ω <”/<0 + Ω <0 /<
→
−
Où Ω <”/< est le vecteur vitesse de rotation de <” par rapport à <.
83
(89)
Défintions sur la vitesse
On appelle vitesse absolue de la particule A, notée ~va (A), la vitesse de A dans le
référentiel dit absolu < :
−→ !
d OA
~va (A) =
(90)
dt
<
On appelle vitesse relative de la particule A, notée ~vr (A), la vitesse de A dans le
référentiel dit relatif parce que celui-ci ( <0 ) est en mouvement relativement à <
qui est au repos donc absolu :
−−→ !
d O0A
~vr (A) =
(91)
dt
0
<
On appelle vitesse d’entrainement de la particule A, notée ~ve (A), la vitesse de A
dans le référentiel absolu < en la considérant attachée au référentiel relatif <0 . Il
s’agit donc de la vitesse avec laquelle le référentiel relatif <0 se meut par rapport
0
au référentiel <, c’est la vitesse avec
! laquelle < entraine la particule A dans son
−→
d OA ∈ <0
mouvement : ~ve (A) =
= ~va (A) − ~vr (A)
dt
<
84
La loi de composition des vitesses
De tout ce qui précède, il vient la loi de composition des vitesse qui s’énonce
comme il suit :
Loi de composition des vitesses :
La vitesse à l’instant (t) d’une particule A en mouvement dans un référentiel <0 qui
est lui même en mouvement dans un référentiel absolu < à la vitesse d’entrainement
~ve (A) est la somme de sa vitesse ~vr (A) relative à <0 et de sa vitesse d’entrainement.
~va (A) = ~ve (A) + ~vr (A)
85
(92)
Longueur d’un arc de courbe représentant une trajectoire
−→
Soit OA une représentation paramétrique régulière d’une courbe sur un intervalle
de temps I = [a, b]. A toute n-subdivision σn de I par des points
a = to ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn = b on associe la longueur de la ligne brisée
Lσn =
n−1
X
−→
−→
kOA(tk+1 ) − OA(tk )k
(93)
k=0
−→
On appelle longueur de OA le nombre l = sup Lσn , où la borne supérieure est
prise sur toutes les subdivisions σn . Dans le cas où l est fini on dit que l’arc de
courbe est rectifiable. On montre que :
−→
Z b
d OA
dt
(94)
l = sup Lσn =
dt
a
−→
On appelle abscisse curviligne de l’arc OA la fonction s(t) définie par :
Z t −→
d OA
s(t) =
k
kdτ
dτ
to
86
(95)
Courbure d’un arc de courbe
−→
−→
d OA
On appelle vecteur unitaire tangent à l’arc OA, le vecteur
. En effet, le
ds
−→
vecteur tangent à l’arc de la courbe OA(s) est donné par définition par :
−→
−→
−→
d OA
OA(s+ M s) − OA(s)
=
= ~τ
(96)
lim
Ms→0
Ms
ds
−→
−→
Comme OA(t) = OA(s(t)), on a :
−→
−→
d OA
dt d OA
=
(97)
ds
ds dt
Fort de la définition (95), il vient :
−→
ds(t)
d OA
=k
k
(98)
dt
dt
d’où
−→
d OA
(99)
~τ = dt
−
→
OA
k ddt
k
87
Courbure d’un arc de courbe
−→
On appelle vecteur courbure au point OA(to ), le vecteur ~k défini par :
~k = d~τ
ds
(100)
La mesure k~kk du vecteur courbure définit la courbure de l’arc au point considéré.
L’inverse de la courbure détermine le rayon de courbure ρ = k~kk.
Un point d’inflexion de l’arc est déterminé en un point où la courbure s’annule.
On définit le vecteur unitaire normale principale à la courbe en un point par :
~n =
d ~k
k~kk
(101)
A partir de ces deux vecteurs unitaires et orthogonaux, on on détermine le plan
−→
(A, ~τ , ~n) appelé plan osculateur de la courbe OA qui définit un repère local en A.
88
Base intrinsèque ou base de Frenet
~ = τ (s)
~ ∧ n(s)
~ normal au plan osculateur. Ce
On considère le vecteur b(s)
vecteur s’appelle le vecteur binormal. Le plan passant par ~n et ~b s’appelle plan
normal et celui passant par ~b et ~τ est appelé plan rectifiant.
Le triplet (~τ , ~n, ~b) définit un BOND appelée trièdre de Frenet ou trièdre
mobile. on a ainsi établi un système de coordonnées local aussi appelée le
système de coordonnées intrinsèques d’un particule A.
De l’équation (99) on montre que :
−→ !
d OA
~v (A) =
= ṡ ~τ
(102)
dt
<
89
Direction du vecteur vitesse d’une particule
On retient que :
le vecteur vitesse d’une particule A est toujours porté par la direction de la
tangente à la courbe au point A ; sa mesure est la dérivée de son abscisse
curviligne par rapport au temps.
Ainsi, on remarque que le vecteur vitesse ne dépend pas du référentiel ou de
l’observateur. Sa direction ne dépend que de la courbe qui porte sa trajectoire. On
dit que la vitesse est une grandeur objective.
En coordonnées cartésiennes, le vecteur vitesse est donné tel que :
~v (A) = ẋ ~ex + ẏ ~ey + ż ~ez
(103)
p
(104)
et
k~v (A)k = ṡ =
ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2
En coordonnées polaires cylindrique, le vecteur vitesse est donné tel que :
~v (A) = ρ̇ ~eρ + ρ θ̇ ~eθ + ż ~ez
90
(105)
Hodographe du mouvement d’une particule
On appelle hodographe du mouvement de la particule A de pôle Q, la courbe
décrite par le point H, extrêmité du vecteur vitesse ~v (A), telle que :
−→
QH = ~v (A)
(106)
Q est un point fixe quelconque qui peut être pris à l’origine du repère. Les
coordonnées de H sont alors les composantes du vecteur vitesse de A.
On retient que :
L’unité de mesure de la vitesse dans le système International est le mètre par
seconde (m · s −1 ) ;
Le sens du vecteur vitesse est celui du mouvement ;
La direction du vecteur vitesse est toujours celle de la tangente à la
trajectoire au point considéré ;
Il ne faut pas confondre d’une part le référentiel par rapport auquel on étudie
le mouvement de la particule avec d’autre part la base que l’on choisit pour
exprimer le plus facilement les vecteurs.
91
Le vecteur accélération
Il exprime la variation de la vitesse par rapport à la variation du temps. Le vecteur
accélération est ainsi par définition la dérivée du vecteur vitesse par rapport au
temps. Comme pour la vitesse, le calcul se fait en tenant compte de la variation
des vecteurs unitaires des référentiels choisis pour l’observation du mouvement de
la particule.
Pour une particule A en mouvement par rapport au référentiel < on a :
d~v (A)
(107)
~γ (A) =
dt
<
Lorsqu’il n’y a pas risque de confusion, on écrit :
~γ (A) =
d~v (A)
dt
92
(108)
Le vecteur accélération
Lorsqu’il y a au moins un autre référentiel en mouvement par rapport au
référentiel absolu (pouvant ne pas être galiléen), on montre que :
~γ (A) = ~γr (A) + ~γie (A) + ~γic (A)
~γ (A) est le vecteur accélération absolue de A définie par :
d~v (A)
~γ (A) =
dt
<
~γr (A) est le vecteur accélération relative de A définie par :
d~vr (A)
~γr (A) =
dt
<0
(109)
(110)
(111)
~γie (A) est le vecteur accélération d’inertie d’entrainement de A définie par :
→
−
→
−−→
d Ω <0 /< −−→
→
−
−
0
∧ O 0 A + Ω <0 /< ∧ Ω <0 /< ∧ O 0 A
(112)
~γie (A) = ~γ (O ) +
dt
93
...Le vecteur accélération
~γ (A) est le vecteur accélération d’inertie de Coriolis de A définie par :
→
−
~γic (A) = 2 Ω <0 /< ∧ ~vr (A)
~γ (A) =
d (ṡ ~τ )
ṡ 2
d~v (A)
=
= s̈ ~τ + ~n = γτ ~τ + γn ~n
dt
dt
ρ
où
γτ = s̈ ≡ la composante tangentielle de l’accélération de A ;
2
γn = ṡρ ≡ la composante normale de l’accélération de A.
94
(113)
(114)
...Le vecteur accélération
On retient que :
L’unité de mesure de l’accélération dans le système International est le mètre
par seconde carré (m · s −2 ) ;
Le sens du vecteur accélération par rapport à sa trajectoire n’est pas
aisément exprimable ;
La direction du vecteur vitesse est toujours celle de la tangente à la
trajectoire au point considéré ;
Le vecteur accélération est aussi indépendant de l’observateur ;
Le vecteur accélération peut se décomposer en composante tangentielle et
composante normale ;
La composante normale est toujours positive et orientée dans le sens de ~n.
C’est la composante responsable de la courbure de la trajectoire.
95
Cas particuliers
Le vecteur vitesse passe par un point fixe O.
Dans < muni d’une BOND, soit un mobile M de vecteur vitesse ~v (M) passe par
un point fixe O. On a :
−−→
OM ∧ ~v (M) = ~0
(115)
−−→
d~i
où OM = s(t) ~i et ~v (M) = ṡ(t) ~i + s(t)
dt
Il vient :
−−→
d~i
OM ∧ ~v (M) = s 2 (t) ~i ∧
= ~0
dt
∀t , s 2 (t) 6= 0 =⇒ ~i ∧
d~i
= ~0
dt
(116)
(117)
d~i ~ d~i
d~i
(i ⊥
), il faut donc que
= ~0,
dt
dt
dt
c’est-à-dire que ~i soit indépendant du temps pour que l’équation (117) soit
vérifiée. Il vient que le vecteur ~i est un vecteur constant et que le mouvement de
M est un mouvement rectiligne dans la direction fixe de ~i.
96
Comme ~i est toujours orthogonal à
...Cas particuliers
Le vecteur accélération passe par un point fixe O
Lorsque le vecteur accélération de M, ~γ (M) passe par un point fixe O. On a :
−−→
−−→
−−→
d 2 OM
OM ∧ ~γ (M) = ~0 ⇔ OM ∧
= ~0
dt 2
1
2
(118)
−−→
−−→
−−→
−−→
d OM
d 2 OM
d −−→
[OM ∧
] = OM ∧
= OM ∧ ~γ (M) = ~0
(119)
dt
dt
dt 2
−−→
−−→
d −−→
d OM
~
] = OM ∧ ~v (M) = Cte
(120)
⇒ [OM ∧
dt
dt
−→
~ = ~0, −
cas : Cte
OM ∧ ~v (M) = ~0, le mouvement de M est rectiligne ;
−
−
→
~ 6= ~0, OM
~
cas : Cte
∧ ~v (M) = Cte
−−→ −−→
−−→ ~
OM · [OM ∧ ~v (M)] = OM · Cte
= 0
(121)
alors le mouvement de M est situé dans un plan contenant le point O de
~ : le mouvement de M est un mouvement plan.
vecteur normal Cte
97
...Cas particuliers
Le mouvement d’un point matériel M est dit à accélération centrale lorsqu’il
−−→
existe un point fixe O appelé centre du mouvement, tel que OM soit colinéaire
à ~γ (M). soit :
−−→
−−→
OM = λ ~γ (M) ⇐⇒ OM ∧ ~γ (M) = ~0
(122)
Le vecteur accélération est colinéaire au vecteur vitesse
C’est le cas où
~v (M) ∧ ~γ (M) = ~0
(123)
Sachant que :
~v (M) = ṡ ~τ
(124)
2
ṡ
~n
ρ
(125)
ṡ 2
ṡ 3
~n] = ~0 ⇒
=0
ρ
ρ
(126)
~γ (M) = s̈ ~τ +
On a :
ṡ ~τ ∧ [s̈ ~τ +
98
...Cas particuliers
soit ṡ = 0, auquel cas il n’y aurait pas de mouvement ;
soit ρ −→ ∞, ce qui correspond à un mouvement rectiligne.
99
Étude du mouvement à partir de ses composantes.
Exemple : Soit une particule A décrivant la courbe paramétrique dans un
référentiel euclidien donnée par :
(
x (t) = 2t − 2
y (t) = t 2 − 2t + 3
(127)
Déterminer l’équation de la trajectoire, l’hodographe de pôle O et le rayon de
courbure de la courbe représentant la trajectoire de A.
100
Étude de mouvements particuliers
Mouvement rectiligne.
La courbe représentant la trajectoire d’un mouvement rectiligne est une droite. Le
référentiel est tel que < = (O, ~ex ).
Loi du mouvement d’une particule B en mouvement rectiligne uniforme.
Un mouvement rectiligne est uniforme lorsque la trajectoire (une droite) est
parcourue à vitesse constante.
−→
OB = x (t) ~ex
(128)
avec la condition initiale suivante :
−→
−−→
OB(t = 0) = OBo = xo ~ex
(129)
−→
d OB
dx (t)
~ex = v ~ex . Il vient :
=
Par définition ~v (B) =
dt
dt
dx (t)
= v ⇒ x (t) = v t + xo
(130)
dt
Remarque : Dans le cas d’un mouvement rectiligne uniforme, on a ~γ (B) = ~0
101
Exemple
Une automobile modélisée comme une particule M va de A vers B à la vitesse de
−→
80 km/h. On donne kABk = 190 km, l’heure de départ étant to = 9 heures. Une
heure plus tard, un cycliste part de B vers A à la vitesse de 30 km/h. Déterminer
le lieu et l’instant de leur rencontre.
102
...Étude de mouvements particuliers
Loi du mouvement d’une particule B en mouvement rectiligne uniformément varié
Un mouvement rectiligne est uniformément varié lorsque son accélération est
constante.
Soit la même particule B maintenant en mouvement rectiligne uniformément varié
dans < = (O, ~ex ), on a :
~γ (B) = γ ~ex
(131)
avec les conditions initiales suivante :
−→
−−→
OB(t = 0) = OBo = xo ~ex
~v (Bo ) = vo ~ex
103
(132)
(133)
...Étude de mouvements particuliers
d 2 x (t)
d~v (B)
~ex = γ ~ex . Il vient :
=
dt
dt 2
d 2 x (t)
1
= γ ⇒ x (t) = γ t 2 + vo t + xo
(134)
dt 2
2
−→
1
(135)
OB = ( γ t 2 + vo t + xo )~ex
2
Le mouvement est dit accéléré lorsque |v | augmente, et il est dit décéléré lorsque
|v | diminue.
Par définition ~γ (B) =
104
Exemple
Une automobile modélisée comme une particule M se mouvant à la vitesse de 126
km/h se trouve derrière une autre N allant à la vitesse de 72 km/h dans le même
sens. A cet instant M freine avec une accélération de γM = 4 km/s 2 et N accélère
avec une accélération γN = 2 km/s 2 . A quelle distance de N, M doit-il freiner
pour qu’ils évitent le choc ? Préciser le lieu, l’instant et la vitesse de la rencontre.
105
...Étude de mouvements particuliers
Mouvement circulaire.
La courbe représentant la trajectoire d’un mouvement circulaire est un cercle.
Soit le référentiel intrinsèque de base (~τ , ~n).
Loi du mouvement d’une particule B en mouvement circulaire uniforme.
Un mouvement circulaire est uniforme lorsque la trajectoire (un cercle) est parcourue
à vitesse constante v .
~v (B) = ṡ(t) ~τ = v ~τ
(136)
La position de B est définie par l’abscisse curviligne s(t)
Le vecteur accélération de B, fort de l’équation (114),qui annule la composante
tangentielle de l’accélération, s̈(t) = v̇ = 0 devient :
~γ (B) =
v2
ṡ 2
~n =
~n
ρ
ρ
On remarque que l’accélération est orientée vers le centre du cercle.
106
(137)
...Étude de mouvements particuliers
La vitesse angulaire. Soit la variable scalaire θ(t) telle qu’à chaque instant t
correspond une position B(t) de la particule. A l’instant initial to = 0, on a
B(t = to ) = Bo qui correspond à θo On montre que pour des intervalle petit
d’espace, l’abscisse curviligne vérifie :
s(t) = Rθ(t), so = Rθo =⇒ v (t) = v =
dθ
ds
=R
= R θ̇
dt
dt
(138)
Mouvement uniforme donc θ̇ = cte = ω, il vient :
v (t) = Rω, =⇒ γn =
v2
= R ω2
R
(139)
L’abscisse curviligne est alors : s(t) = Rω t + so = Rθ(t) et l’angle de rotation
instantanée donné en radian (rd)
θ(t) = ω t + θo
107
(140)
...Étude de mouvements particuliers
−→
On remarque qu’à chaque instant, la mesure du vecteur position de B, OB, est
~ = ω ~ez tel que
constante et égale à R. Et on montre qu’il existe un vecteur Ω
−→ ~
~v (B) = OB ∧ Ω
Figure
108
(141)
...Étude de mouvements particuliers
Loi du mouvement d’une particule B en mouvement circulaire uniformément varié.
Un mouvement circulaire est uniformément varié lorsque la trajectoire circulaire est
parcourue tel que ω̇ = θ̈ = cte = 0.
On a :
1 2
at + ωo t + θo
2
(142)
ṡ 2
~n = Ra ~τ + (a t + ωo ) ~n
ρ
(143)
θ̇(t) = a t + ωo ⇒ θ(t) =
Le vecteur accélération est
~γ (B) = s̈ ~τ +
On remarque que l’accélération normale varie au cours du temps tandis que la
tangentielle reste constante.
109
...Étude de mouvements particuliers
Loi du mouvement d’une particule M en mouvement sinusoïdal.
Un mouvement est sinusoïdal lorsque l’equation horaire est de la forme :
s(t) = a sinω t + b cosω t + c
(144)
où a, b, et c sont des constantes réelles et ω = cte qui est appelée pulsation.
Figure On dit d’un tel mouvement qu’il est périodique de période T c’est-à-dire
que s(t + T ) = s(t)
(
sin(ω t + ω T ) = sin(ω t)
(145)
cos(ω t + ω T ) = cos(ω t)
alors
2π
ω
Les mouvement sinusoïdaux de pulsation ω sont solutions d’équations
différentielles de la forme
s̈(t) + ω 2 s(t) = cte
ωT = 2π ⇒ T =
110
(146)
(147)