Concours ISE Cycle Long / AS : 1ère Composition de Mathématiques Avril 2025

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ECOLE NATIONALE SUP´ ERIEURE
DE STATISTIQUE ET D’´ ECONOMIE
APPLIQU´ EE
ENSEA - ABIDJAN
´
ECOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ´ ECONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
INSTITUT SOUS-R´ EGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’´ ECONOMIE APPLIQU´ EE
ISSEA - YAOUND´ E
AVRIL 2025
CONCOURS ING´ ENIEURS STATISTICIENS ´ ECONOMISTES CYCLE LONG
/
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE Cycle long
/
AS
1`ere COMPOSITION DE MATH´ EMATIQUES
(Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures)
Avertissement !
•Le sujet comporte cinq pages num´erot´ees de 1 `a 5.
•L’exercice 1 est compos´e de 10 questions ind´ependantes entre elles, toutes not´ees
sur 1 point. Une note strictement inf´erieure `a 6 est ´eliminatoire. Toutefois, cet
exercice ne comptera que pour un cinqui`eme dans la note finale de cette premi`ere
´epreuve.
Notations
— On d´esigne par Nl’ensemble des entiers naturels, et on pose : N∗=N\ {0}.
— On d´esigne par Rl’ensemble des nombres r´eels,R+l’ensemble des nombres r´eels positifs ou
nuls, et on pose : R∗=R\ {0}.
— On d´esigne par Cl’ensemble des nombres complexes — il contient l’ensemble des nombres
r´eels R, ainsi qu’un ´el´ement i qui v´erifie : i2=−1.
Exercice 1
1. Calculer l’int´egrale Z2
0
xe−x2dx.
2. D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction num´erique x7→ pln(x2+x−1).
3. Montrer que la courbe repr´esentative de la fonction x7→ 3x2+ 7x−1
x+ 3 poss`ede une asymptote
oblique au voisinage de +∞, dont on d´eterminera une ´equation cart´esienne.
4. ´ Etudier la limite de x2−3x3
x4ex−1lorsque xtend vers −∞.
1

5. Calculer la d´eriv´ee de la fonction x7→ ln cos(3x)d´efinie sur i0,π
6h.
6. On note (un)n∈Nla suite d´efinie par son premier terme u0>0 et pour tout n∈N:un+1 =
p1 + un+u2
n−1
2. Montrer que la suite (un+u2
n)n∈Nest arithm´etique. Pr´eciser sa raison.
7. Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On lance nfois de suite une pi`ece ´equilibr´ee, et
l’on note Plorsque la pi`ece tombe sur pile , et Florsque la pi`ece tombe sur face . Le
r´esultat est alors donn´e par une liste de nlettres Pou F. Par exemple, pour n= 4, on note
PFPP pour indiquer qu’on a tir´e pile au premier lancer, puis face au deuxi`eme, puis
pile au troisi`eme et au quatri`eme.
(a) Combien y a-t-il de listes possibles ?
(b) Calculer la probabilit´e d’obtenir exactement deux pile lors des nlancers.
8. D´eterminer une forme trigonom´etrique du nombre complexe a=√3−i.
9. D´eterminer la limite de la suite (vn)n∈Nd´efinie par : ∀n∈N, vn=(1 + i)n
2n.
10. R´esoudre l’´equation : 2x4−3x2−2 = 0 d’inconnue x∈R, puis d’inconnue x∈C.
Exercice 2
Pour tout entier non nul n∈N∗, on note fnla fonction d´efinie sur Rpar la relation :
∀x∈R, fn(x) = xe−n
xsi x6= 0
0 si x= 0.
1. Dans cette question, on fixe l’entier naturel n∈N∗.
(a) La fonction fnest-elle continue en 0 ? Justifier.
(b) ´ Etudier les limites de fnen +∞et −∞.
(c) Justifier que fnest d´erivable sur R∗, et calculer f0
n.
(d) Dresser le tableau de variation complet de fnsur R.
2. Montrer que pour tout n∈N∗, l’´equation : fn(x) = 1 d’inconnue x∈R+poss`ede une
unique solution, qu’on note un.
3. (a) Justifier que pour tout n∈N∗:un≥1.
(b) Montrer que (un)n∈Nest strictement monotone.
On pourra commencer par calculer et simplifier fn+1(un)pour tout n∈N∗.
(c) Montrer que (un)n∈Ndiverge vers +∞.
4. (a) Montrer que pour tout n∈N∗:unln(un) = n.
(b) ´ Etudier la limite : lim
x→+∞
ln(x) + ln ln(x)
ln(x).
En d´eduire la limite de ln(n)
ln(un)lorsque ntend vers +∞.
(c) Montrer que la suite un
ln(n)
nn∈N
converge, et pr´eciser la limite.
2

Exercice 3
On note (E) l’´equation : x3+ 3x−1 = 0 d’inconnue x∈R.
1. (a) Montrer que (E) poss`ede une unique solution.
Vous n’essaierez pas de la calculer, c’est l’objectif de la suite de l’exercice.
On note ρl’unique solution de (E).
(b) Justifier que : ρ∈]0,1[, puis que : ρ=1
ρ2+ 3.
On note fla fonction x7→ 1
x2+ 3 sur R, et (ρn)n∈Nla suite d´efinie par :
ρ0= 0 et pour tout n∈N:ρn+1 =f(ρn) = 1
ρ2
n+ 3.
On admet que pour tout n∈N:ρn∈[0,1].
2. Donner f(0) et f(1). Montrer que fest strictement d´ecroissante sur [0,1].
3. (a) D´eterminer un r´eel k∈]0,1[ pour lequel : ∀x∈[0,1],|f0(x)| ≤ k.
(b) En d´eduire que pour tout n∈N:|ρn+1 −ρ| ≤ k|ρn−ρ|.
4. Montrer par r´ecurrence que pour tout n∈N:|ρn−ρ| ≤ kn.
5. (a) Montrer finalement que (ρn)n∈Nconverge vers ρ.
(b) D´eterminer un entier Npour lequel : |ρN−ρ| ≤ 10−20.Vous d´etaillerez votre raison-
nement.
Exercice 4
1. Soit n∈N∗.
(a) R´esoudre l’´equation : cos(nθ) = −1 d’inconnue θ∈[0,2π[. Combien y a-t-il de solu-
tions `a cette ´equation ?
(b) Soient θ∈Ret ρ∈R∗
+. On pose : z=ρcos(θ) + i sin(θ)∈C.
Donner sans d´emonstration une forme trigonom´etrique de zn.
(c) En d´eduire les solutions de l’´equation : zn=−1 d’inconnue z∈C.
Pour tout n∈N, on note (En) l’´equation : ¯z(z−1) = zn(¯z−1) d’inconnue z∈C.
2. (a) R´esoudre l’´equation (E0), c’est-`a-dire l’´equation ¯z(z−1) = ¯z−1 d’inconnue z∈C.
(b) R´esoudre l’´equation (E1), c’est-`a-dire l’´equation ¯z(z−1) = z(¯z−1) d’inconnue z∈C.
Dans la suite de l’exercice, on fixe un entier naturel n∈Ntel que : n≥2.
3. (a) Montrer que 0 est solution de (En).
Soit z0∈Cune solution non nulle de (En).
(b) Montrer que : |z0|= 1.
(c) Montrer que : z0=1
z0
, puis que : (z0−1)(zn
0+ 1) = 0.
(d) En d´eduire les valeurs possibles pour z0.
(e) En d´eduire toutes les solutions de (En) lorsque n∈Net n≥2.
3

Exercice 5
Dans cet exercice, on fixe un entier naturel n∈N∗.
1. Dans cette question, y0, . . . , ynsont des nombres r´eels positifs, et Yest une variable al´eatoire
`a valeurs dans {y0, . . . , yn}.
(a) Montrer l’in´egalit´e de Markov :∀ε > 0,E(Y)≥εP(Y≥ε).
Indication. Vous pourrez partir de la d´efinition de l’esp´erance.
Dans la question suivante, on note ml’esp´erance de Y, et σ2sa variance.
(b) En d´eduire l’in´egalit´e de Bienaym´e-Chebychev :P(|Y−m| ≥ ε)≤σ2
ε2.
Une population de personnes pr´esente une maladie avec une proportion inconnue p∈]0,1[. On
choisit un ´echantillon de npersonnes, et on pose Xi= 1 si le i-i`eme individu est malade, 0 sinon.
On consid`ere que les variables al´eatoires Xiainsi d´efinies sont ind´ependantes et suivent toutes une
loi de Bernoulli de param`etre p.
2. Quelle est la loi suivie par Sn=X1+··· +Xn? Rappeler l’esp´erance et la variance de Sn.
3. (a) Montrer que pour tout x∈[0,1] : 0 ≤x(1 −x)≤1
4.
(b) Montrer que pour tout ε > 0 : P
Sn
n−p
> ε≤1
4nε2.
Vous pourrez appliquer l’in´egalit´e de Bienaym´e-Chebychev.
4. Pour ε= 0,01, quelle taille Nde l’´echantillon doit-on choisir pour que SN/N soit voisin de
p`a ε-pr`es avec une probabilit´e sup´erieure `a 95% ?
Exercice 6
Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;~ i,~ j), et on consid`ere les points A(−3; 1), B(1; 5)
et C(3; −3).
1. Donner les coordonn´ees du centre de gravit´e 1du triangle ABC. On le notera Gdans la suite.
2. (a) D´eterminer une ´equation cart´esienne de la hauteur issue de A.
(b) D´eterminer une ´equation cart´esienne de la hauteur issue de B.
(c) En d´eduire les coordonn´ees de l’orthocentre 2de ABC. On le notera Hdans la suite.
3. On note El’ensemble d’´equation cart´esienne : x2−12
5x+y2−8 5y−78 5= 0.
(a) D´eterminer α, β ∈Rtel que : ∀x∈R, x2−12
5x= (x−α)2+β.
(b) Montrer que Eest un cercle, dont on pr´ecisera son centre Ω et son rayon R.
(c) Montrer que Eest le cercle circonscrit 3au triangle ABC.
4. Montrer que les points H, Ω et Gsont align´es.
1. On rappelle que le centre de gravit´e du triangle ABC est le point de concours des m´edianes. C’est aussi le
barycentre du syst`eme {(A, 1),(B, 1),(C, 1)}.
2. On rappelle que l’orthocentre du triangle ABC est le point de concours des hauteurs.
3. On rappelle que le centre du cercle circonscrit du triangle ABC est le point de concours des m´ediatrices. C’est
aussi le centre de l’unique cercle passant par A,Bet C.
4

Exercice 7
On pose : I=Z1
0
1
1 + t2dt.
1. (a) Justifier que Iest bien d´efinie.
(b) Montrer que pour tout x∈i−π
2;π 2h:Ztan(x)
0
1
1 + t2dt=x.
Vous commencerez par montrer que la fonction x7→ Ztan(x)
0
1
1 + t2dtest d´erivable sur
l’intervalle i−π
2;π 2h, et calculerez sa d´eriv´ee.
(c) En d´eduire la valeur de I.
2. Pour tout n∈N, on pose : Jn=Z1
0
tn
1 + t2dt.
(a) Justifier que pour tout n∈N: 0 ≤Jn≤1
n+ 1.
(b) En d´eduire la limite de (Jn)n∈N.
3. Dans cette question, on fixe un entier n∈N.
(a) Montrer que pour tout t∈R:1
1 + t2=
n
X
k=0
(−1)kt2k+ (−1)n+1 t2n+2
1 + t2.
(b) En d´eduire que : I=
n
X
k=0
(−1)k
2k+ 1 + (−1)n+1J2n+2.
(c) Expliquer comment obtenir une approximation rationnelle de π`a 10−10 pr`es.
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