Telechargé par Mariame Racine Sow

Manuel Physique Appliquée Électronique Terminale F2

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2
Collection Robert METE René MOREAU
Luc ALLAY + Jean-Pierre DUBOS + Jacques LAFARGUE + ROBE LE
EGOF |
TOUT
APPLIQUEE
ÉLECTRONIQUE
ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE
Spectres d'émission
:
1. hydrogène
2. hélium
3. néon
4. krypton
5. sodium
6. fer
7. mercure
Spectre d'absorption
:
8. iode
Les spectres précédents ayant été obtenus
verticale entre les radiations ci-dessus.
Voir chapitre
17, figure 28
avec des appareils différents, il n’y a pas de correspondance
Luc ALLAY
Professeur de physique appliquée
Lycée Technique Dorian, PARIS
Robert LE GOFF
Professeur de physique appliquée
Lycée Gustave Eiffel, CACHAN
Jean-Pierre DUBOS
Professeur de physique appliquée
Lycée Gustave Eiffel, BORDEAUX
Inspecteur pédagogique régional
Robert MÉRAT
René MOREAU
Inspecteur général
Jacques LAFARGUE
Professeur de physique appliquée
Lycée Gustave Eiffel, BORDEAUX
PHYSIQUE
APPLIQUÉE
Électronique analogique
Électronique numérique
Term. F2
CONSEIL ; |
D'ÉLÈVES
DES PARENTS
SAINT-CRICQ
MERS
NATHAN
k
ue ABS
ésNSEIL
<VTS D'ÉLÈVES
SAINT-CRICQ
AVANT-PROPOS
Cet ouvrage est le prolongement du livre de la classe de première : PHYSIQUE
APPLIQUÉE 1" F 2-3-5. Il développe les contenus du programme de sciences
physiques de la classe de terminale F 2. Il associe donc quelques compléments
d'électricité générale et de physique aux deux parties très importantes de cette voie
de formation :
—
l'électronique analogique et l'électronique numérique,
—
la conversion d'énergie (par convertisseurs statiques ou par machines tournantes).
Une approche concrète est toujours privilégiée pour favoriser l’acquisition des
connaissances et du savoir-faire qui peuvent être exigés à l’issue de la terminale. Les
nombreux travaux pratiques proposés constituent une aide efficace pour bien
assimiler les lois de la physique et les notions théoriques nécessaires à leur
compréhension. Abordées par l’intermédiaire de la physique appliquée, qui permet
une expérimentation riche et motivante, ces lois et ces notions sont ainsi plus
facilement maîtrisées que par un apprentissage traditionnel, plus abstrait, où
l'utilisation des mathématiques peut être une cause de blocage pour certains
étudiants. Ces acquis très concrets constituent ensuite un support intellectuel
précieux, aussi bien pour la continuation d’études supérieures que dans la vie active.
Chaque chapitre regroupe : l’étude d’un sujet, des propositions de travaux pratiques
et, à la suite, deux catégories d’exercices :
* des exercices de contrôle des connaissances pour vérifier l’acquisition des notions
présentées dans le cours;
* des exercices à résoudre qui correspondent à deux niveaux de difficulté différents
signalés au moyen des cadres suivants :
exercices de niveau 1 : vérification de connaissance et de savoir-faire dans le
domaine expérimental ou dans le domaine théorique; ce sont des applications directes
du cours ou des travaux pratiques. Ils permettent de tester l’acquisition des
connaissances et la maîtrise dans l’utilisation de moyens divers (graphiques,
mathématiques, …) pour l’étude d’une situation, le plus souvent déjà rencontrée
(cours ou exercice résolu);
exercices de niveau 2 : acquisition de la pratique d'une démarche scientifique,
en général dans une situation voisine d'une situation connue.
Cours, travaux pratiques et exercices sont accompagnés de nombreux schémas
conformes aux dernières normes. Ils sont utilisés pour prendre rapidement en compte
des données, des notations, des conventions d’orientation et toute information utile à
une compréhension rapide.
© Éditions Nathan, Paris France, 1990
ISBN 2-09-181557-8
Chapitre 1
RÉGIME PERMANENT
SINUSOIDAL
CIRCUITS LINÉAIRES
En régime sinusoïdal, l'utilisation des
nombres complexes est souvent pratique.
Aussi, fréquemment, sur les schémas
portons-nous les grandeurs complexes
associées aux grandeurs sinusoïdales plutôt que les valeurs instantanées. L'orientation d'un conducteur par une flèche est
conservée et sa signification reste la même
qu'auparavant : la flèche indique le sens de
circulation pour lequel l'intensité instantanée
est positive. Ainsi la représentation est analogue à celle utilisée avec les valeurs instantanées et les grandeurs portées sur le
schéma sont celles qui interviennent dans
les calculs.
M 1. NOTATIONS EN RÉGIME SINUSOÏDAL
Pour un dipôle alimenté sous la tension w et traversé par un
courant d'intensité À (fig. 1.01), nous écrirons w et i sous la
forme suivante :
u = UV2 cos wt
et
i= IV2 cos (ot - o).
Nous dirons que @ est le déphasage de À par rapport à 4.
Ainsi o est une grandeur :
— positive pour un dipôle inductif,
— négative pour un dipôle capacif.
Sur le diagramme de Fresnel, y est l’angle (7, U ) des vecteurs
de Fresnel associés à i et u() [Ï=(I, - 6); Ü={(U, 0)].
Fig. 1.02. Expression des mêmes grandeurs u et
dans deux systèmes d'axes différents.
Dans le repère en noir : u=Ù V2 cos ot et
i= IV2 cos (ot - Q).
Dans le repère en rouge : u =U V2 cos(ut’ +4) et
i= V2 cos ut’.
Fig. 1.01. Conventions algébriques pour i et u.
Représentation de ces grandeurs en fonction du
temps.
Si le dipôle est inductif, i est en retard par rapport à
u et est positif.
Remarque
Changeons l’origine des temps (fig. 1.02). Posons £’ =1 - gp/«,
les expressions de w et i deviennent :
u = UV2 cos(ot'+9)
Nous
et
i= IV2 cos wt’.
voyons alors que y est aussi la phase de # à l’instant
t,=0,
Avec ces notations, la puissance réactive est donnée par la
même expression dans les deux cas : Q = UI sin @ (c’est un
nombre positif si le dipôle est inductif).
m2. CIRCUITS LINÉAIRES
(1) Voir livre de 1"° F2-3-5 chap. 18.
Un réseau électrique est formé d’un ensemble de dipôles,
passifs ou actifs, reliés entre eux par des conducteurs. En
général ces dipôles peuvent être représentés par des modèles.
3
2.1. Dipôles linéaires
m 2.1.1. Dipôles passifs linéaires
Fig. 1.03. Caractéristique d'un dipôle passif
linéaire.
Dans un dipôle passif, l'énergie électrique est intégralement
transformée en énergie thermique par effet Joule.
La caractéristique U(1) du dipôle passe par l’origine (U=0
pour 1 = 0). S'il est linéaire, cette caractéristique est une droite
située dans le quadrant 1 (fig. 1.03).
Les principaux dipôles passifs élémentaires sont les résistances,
les bobines et les condensateurs. Ils sont linéaires si les
grandeurs R, L et C qui les caractérisent respectivement sont
des constantes.
Une association de dipôles passifs linéaires forme un dipôle
passif linéaire.
e Facteur de qualité d’un dipôle passif
Le facteur de qualité © d’un dipôle passif est le rapport de la
valeur absolue de la puissance réactive qu’il reçoit ou qu’il
fournit et de la puissance active qu’il absorbe :
Q
d lpuissance réactive|
puissance active
Ce facteur permet de caractériser le comportement du dipôle.
dans un montage : la puissance active correspond à des pertes
par effet Joule et donc plus elle est faible devant la valeur
absolue de la puissance réactive, plus le facteur de qualité
est grand.
m 2.1.2. Dipôles actifs linéaires
Un dipôle est actif :
e s’il fournit de l'énergie électrique par transformation d’une
autre forme d’énergie (ou d’une énergie électrique de caractéristiques différentes),
e ou s’il en consomme pour la convertir en une énergie d’une
autre forme.
Fig. 1.04. Caractéristique
linéaire.
d'un dipôle actif
Un dipôle actif est linéaire s’il est équivalent à une association
de dipôles passifs linéaires et d’un électromoteur linéaire au
moins (s’il y en a plusieurs, ils doivent être synchrones, c’està-dire de même fréquence et leurs phases à l’origine doivent
être fixes les unes par rapport aux autres). En général, la
caractéristique U(7) est alors une droite (fig. 1.04) ne passant
pas par l’origine (U# 0 pour 7 = 0).
2.2. Loi d'Ohm
m 2.2.1. Dipôle À, L, C série
Les lois applicables à un dipôle en continu, le sont également
à un instant quelconque en régime sinusoidal.
Exprimons la tension aux bornes de chaque dipôle du montage
(fig. 1.05) :
:
Ur = Ri; ares
ue = À
Fig. 1.05. Dipôle R, L, C série.
4
(g désigne la charge portée par l’armature A).
Le dipôle R, L, C série considéré, à un instant £, est soumis à la
tension v telle que :
2 D
Autre écriture
Il est équivalent de dire que :
e i est la dérivée de la fonction q par
rapport au temps, ce qui s'écrit : = dg/dt.
e gest la fonction dont j est la dérivée par
rapport au temps, ce qui s'écrit :
t
g= ici
0
Pour cette raison, la tension 4. aux bornes
d'un condensateur (voir fig. 1.05) est parfois
exprimée sous la forme suivante :
j
di
gq
40e
u = Rii +47on
avec :
(1)
; 64
dt
(i est la dérivée par rapport au temps de la charge q).
La relation (1) est une équation différentielle.
Sa résolution directe fait appel à des notions mathématiques
hors programme. Toutefois, nous disposons d’un moyen simple
de trouver w en fonction de i (ou l’inverse) : nous savons qu’à
toute relation entre valeurs instantanées nous pouvons faire
correspondre une relation entre les valeurs complexes qui leur
sont associées. Il suffit de remplacer chaque grandeur instantanée par la grandeur complexe qui lui correspond en appli-
quant les règles suivantes :
Nous avons également appris que si la
tension u est une tension sinusoïdale de
valeur efficace Ü fixe et de pulsation «
grandeur instantanée — grandeur complexe associée
réglable, la valeur efficace / de l'intensité ;;
si À est assez faible, passe par un maximum /,= U/R pour la pulsation «, telle
I
di
que LCwÿ= 1.
Lorsque la résistance À est assez faible, le
fait que les grandeurs u et j soient reliées
par l'équation (1) a pour conséquence la
sélection de la fréquence f,= ..de la tension u par le circuit série À, L, C.
Le problème
suivante :
est alors ramené
à la résolution
de l’équation
mit ALI +ET.
jCœ
Soit encore :
Cette relation entre nombres complexes est une expression de la
loi d'Ohm pour un dipôle R, L, C série.
L’impédance complexe Z du dipôle est égale à :
Conclusion
Les résultats à retenir pour un montage R, L, C série sont
donc les suivants :
— loi d'Ohm :
U(V)
Z(Q)
I (A)
—
impédance complexe :
Zet R(Q)
L (H)
C(F)
« (rad/s)
Généralisation
L'impédance complexe Z du dipôle formé
par l'association
en série de plusieurs
dipôles est égale à la somme des impédances complexes de tous les dipôles de
l'association. Cette impédance peut toujours
s'écrire sous la forme :
Z=R+jX
R étant la résistance du dipôle et X sa réac-
tance.
L'association des dipôles élémentaires précédents donne toujours R> 0 alors que X
peut être une grandeur :
— soit positive : le dipôle est inductif;
— soit négative : le dipôle est capacitif;
— soit nulle : le dipôle est purement résistif.
Ce dernier résultat est utilisable pour retrouver l’impédance de
tout dipôle particulier :
e résistance R : ZR=R
e bobine d’inductance L : Z, = jLo
e condensateur de capacité C : Z-= 1/jCo.
Bien noter que : Z = Zz + Z, + Z.et si un élément R, L ou C
n'apparaît pas dans le montage, c’est l’impédance correspondante qui doit être prise égale à zéro (en l’absence de condensateur il faut prendre Z&= 0).
m 2.2.2. Dipôle À, L, C parallèle
Considérons le dipôle constitué par la mise en parallèle d’une
résistance À, d’une bobine supposée parfaite d’inductance L et
d’un condensateur de capacité C (fig. 1.06). Les intensités des
courants dans les trois branches sont liées à la tension aux
Ê
dde”:
Po
bornes de l’ensemble par les relations : ir = R (pour la résistance), u = L gi(pour la bobine) et i. = C . (pour le condensateur).
À chaque instant :
ET
TRE
i=ditdntia=
R
L
C tr
R
Fig. 1.06. Dipôle R, L, C parallèle.
du
T#
hocdt
di
dt
avec :
u=L—£,
A cette équation entre valeurs instantanées, nous pouvons faire
Autre écriture
l'est possible d'isoler ; de l'expression :
u=L
di,
dt
iL est la fonction dont u/L est la dérivée par
rapport au temps, ce qui s'écrit :
t
= [2NU
:
=
correspondre une relation entre valeurs complexes associées.
En appliquant les règles de correspondance proposées précédemment, nous obtenons une équation qui se présente sous la
forme :
|
Cette relation entre nombres complexes est une expression de
la loi d'Ohm pour un dipôle R, L, C parallèle.
L’admittance complexe Y du dipôle est égale à :
U
Conclusion
Les résultats à retenir pour un montage R, L, C parallèle
sont donc les suivants :
Pour le circuit À, L, C parallèle, si l'intensité
est imposée, par un générateur de courant
délivrant un courant d'intensité efficace /
constante et de fréquence fréglable, alors
la tension u aux bornes du circuit bouchon
passe par un maximum U,,=A! pour la
fréquence f, telle que :
(),
h=—
0 On et CofLCwÿ=1.
Î
— loi d'Ohm :
[ (A)
Y (S)
U (V)
—
admittance complexe :
R (Q)
Y (S)
LH)
C(F)
© (rad/s)
Généralisation
L'admittance complexe YŸ du dipôle formé
par l'association en parallèle de plusieurs
dipôles est égale à la somme des admittances complexes de tous les dipôles de
l'association. Cette admittance peut toujours s’écrire sous la forme :
Y= G+)jB.
G étant la conductance du dipôle et B sa
susceptance.
L'association des dipôles élémentaires précédents donne toujours G> 0 alors que B
peut être une grandeur :
— Soit positive : le dipôle est capacitif;
— soit négative : le dipôle est inductif;
— Soit nulle : le dipôle est purement résistif.
Ce dernier résultat est utilisable pour retrouver l’admittance de
tout dipôle particulier :
e résistance R : Y,=1/R
e bobine d’inductance L : Y, = 1/jLo
e condensateur de capacité C : Y-= jC«w.
Bien noter que : Y=Y,+Y,+ Yet si un élément R, L ou C
n'apparaît pas dans le montage, c’est l’admittance correspondante qui doit être prise égale à zéro (en l’absence de bobine, il
faut prendre Y, = O).
m3. MODÈLES D'UN DIPÔLE PASSIF LINÉAIRE
À tout dipôle linéaire passif nous avons fait correspondre un
modèle qui pouvait être :
— soit une association en série d’une résistance R, et d’une
réactance X, (fig. 1.07) que nous appelons modèle série;
— soit une association en parallèle d’une résistance R, et d’une
réactance X, (fig. 1.08) que nous appelons modèle parallèle.
Nous allons vérifier qu’un dipôle passif linéaire qui est représenté par un modèle série peut aussi l’être par un modèle parallèle.
3.1. Conditions réalisées
Le dipôle, alimenté sous une tension sinusoidale # (pulsation
w), est traversé par un courant sinusoidal d’intensité . Appelons Z la valeur complexe de son impédance.
Lorsque deux associations sont des modèles équivalents de ce
dipôle nous pouvons écrire :
e l'égalité des valeurs complexes
modèles, ce qui se traduit par :
Ze R+JIA;
Jet
des
impédances
ee
de
ces
(1)
e l'égalité des puissances actives d’une part et des puissances
réactives d’autre part qui peuvent être calculées à partir de ces
modèles :
RAT
2
et
Xl?=—.
R,
Fig. 1.08. Modele parallèle.
Notons que cela implique le même facteur de qualité Q pour
chaque modèle. On vérifiera que les relations (1) entraînent les
relations (2) et réciproquement.
3.2. Expressions du facteur de qualité
Pour le modèle série nous pouvons écrire :
D'où :
(1) Voir livre de 1° F2-3-5 chap. 14.
(2)
p
3.3. Relation entre À, R, et Q
L'égalité des puissances actives entraîne les relations suivantes :
U?
|
SOIR
U?
7?
RP=Z
3 RÉ,
OUR
lat nt
pet
PRIS
de
(EEE
RjmRÉR,
et :
4
2
+3
R=R (+01
3.4. Relation entre X,, X; et Q
L'égalité des puissances
réactives entraîne
les relations sui-
vantes :
soit :
ete
3.5. Remarque
Pour les valeurs de Q? très supérieures à 1, par exemple pour
des valeurs de © supérieures à 10, nous pouvons adopter les
relations suivantes :
«
3.6. Conclusion
Les relations précédentes permettent le passage d’un modèle
série à un modèle parallèle et réciproquement. Elles seront
utilisées pour adopter le modèle qui conduira à l’étude la plus
simple.
Pour un même dipôle le choix peut dépendre du montage et
des conditions de fonctionnement (domaine de fréquences
notamment).
m3.6.1. Exemple de modèles
a) Résistance
Le comportement d’une résistance peut être différent suivant la
fréquence d'utilisation. Il dépend également de sa technologie
de fabrication :
— en basses fréquences, les résistances à couches de carbone
sont plutôt capacitives alors que les résistances bobinées sont
plutôt inductives;
— pour des fréquences élevées, le comportement est inversé :
les résistances à couches de carbone sont plutôt inductives alors
que les résistances bobinées sont plutôt capacitives.
Le modèle de la figure 1.09 est utilisable dans une large bande
Fig. 1.09. Modèle équivalent d'une résistance.
8
de fréquences.
ra
b) Bobine
Soumise à des signaux d'amplitude importante, une bobine à
Fig. 1.10. Modèle équivalent d'une bobine pour
les basses fréquences.
noyau ferromagnétique ou ferrimagnétique ne fonctionne pas
en régime linéaire : sa modélisation est alors fort complexe et
souvent peu intéressante. Dans le cas de signaux de faible
amplitude, la bobine fonctionne en régime linéaire et on peut
lui associer :
— un modèle r, L série (fig. 1.10) en basses fréquences,
— un modèle R,, L', C parallèle (fig. 1.11) pour les fréquences
plus élevées. La résistance À, permet de tenir compte des pertes
par hystérésis et par courants de Foucault qui augmentent très
rapidement avec la fréquence. L'influence des capacités entre
spires est prise en compte au moyen de la capacité C.
Fig. 1.11. Modèle équivalent d'une bobine pour
les fréquences moyennes et élevées.
c) Condensateur
En continu, la conductivité du diélectrique (qui n’est pas un
isolant parfait) placé entre les armatures explique la décharge
progressive du condensateur : il présente des «fuites». En
alternatif cela se traduit par des pertes par effet Joule dans le
diélectrique.
Un condensateur présente également une inductance dont les
effets se font sentir en hautes fréquences ; au-delà d’une certaine
fréquence, appelée fréquence de résonance, un condensateur
peut même se comporter comme un dipôle inductif.
Suivant la fréquence d’utilisation, deux modèles sont généralement employés :
— le modèle R,, C parallèle (fig. 1.12) en basses fréquences,
— le modèle R, L', C' série (fig. 1.13) pour les fréquences élevées.
Angle de pertes d'un condensateur :
Pour un condensateur réel, la valeur abso- :
lue du déphasage v de j
par rapport à u est
»
T
T
,
NT
inférieure
à 5 Le complément ô=>-lpl
est appelé angle de pertes du condensa-
teur.
Les constructeurs donnent générälement le
coefficient de pertes tan à :
1
ni
tan tan
(© bi)Ll)- all
S'
En basses fréquences tan à = A,Cw
Î
= ü
Fig. 1.12. Modèle équivalent d'un condensateur Fig. 1.13. Modèle équivalent d'un condensateur
pour les basses fréquences.
pour les fréquences moyennes et élevées.
m4, MODÈLE D'UN DIPÔLE ACTIF
4.1. Modèle de Thévenin
Les résultats établis en courant continu peuvent être généralisés
puisqu’à toute relation entre valeurs instantanées nous pouvons
faire correspondre une relation entre les valeurs complexes
associées.
Fig. 1.14. Modèle équivalent de Thévenin.
| m4.1.1. Théorème de Thévenin
Tout dipôle actif linéaire AB admet un modèle équivalent de
Thévenin représenté
par l’association en série (fig. 1.14) :
e d’une source linéaire de f.é. m. égale, à chaque instant, à la
tension à vide du dipôle; si la valeur complexe de cette tension
est notée U,, la valeur complexe de cette fé. m. est :
Eg=
Ü= (Ü);-0
e d’une impédance complexe Z,, impédance «vue» des
bornes À et B lorsque les électromoteurs autonomes sont
«éteints» (c’est-à-dire remplacés par leurs impédances internes).
Avec la convention générateur, la valeur complexe de la
tension aux bornes du dipôle actif s’écrit alors :
U, E, : (NV)
VrbomZol
Zo : (Q)
I : (A)
4.1.2. Exemple
Fig. 1.16. Autre présentation d'un pont d'impédances.
Détermination du modèle équivalent de Thévenin du dipôle
actif AB représenté sur la figure 1.15. L’impédance interne du
générateur autonome G qui alimente le circuit est supposée
négligeable.
Nous travaillons à partir de la figure 1.16. Cette présentation
facilite la détermination des éléments du modèle équivalent de
Thévenin du dipôle AB.
a) Calcul de Z,
L’impédance
interne du générateur étant négligeable,
«éteindre» ce générateur revient à le remplacer par un courtcircuit (fig. 1.17). Nous obtenons ainsi deux groupements en
série de deux impédances en parallèle (fig. 1.18). L'impédance
de ce système est l’impédance de Thévenin Z, cherchée :
DATA,
RE
+
Z3Zs
PANNET
b) Calcul de E,
Le dipôle fonctionne à vide. Après avoir orienté les conducteurs (fig. 1.19), appliquons la loi d’additivité des tensions :
Uo= Eds
Zi, t #4
Fig. 1.17. Schéma du circuit après avoir
«éteint» la source de tension.
Fig. 1.18. Impédance du dipôle AB.
10
Fig. 1.19. Schéma permettant le calcul de la tension de Thévenin.
Pour les dipôles, nous avons utilisé des
modèles correspondant à des associations
en série. Nous aurions pu utiliser des
La maille ACDA permet d’obtenir
maille BCDB celle de J;. Soit :
l’expression
de Z, et la
modèles correspondant à des associations
en parallèle. Les ponts PQ et P/Q peuvent
être classés en :
— ponts PQ série,
— ponts PQ parallèle,
— ponts P/Q série,
— ponts P/Q parallèle.
Donc :
Ou encore :
=£E,,
PRE
—<=1=3
<=I1=4
ZN(Z; + Z,)
m 4.1.3. Applications : ponts d’impédances et capteurs
Fig. 1.20. Pont d'impédance muni de son détec-
teur.
a) Ponts d’impédances
Pour cette application, il faut placer un détecteur entre A et B
(fig. 1.20). Le montage ainsi constitué forme un pont d’impédances. Ces dispositifs ont été longtemps très utilisés pour la
mesure d’impédances inconnues (ils sont maintenant remplacés
par des capacimètres et des inductancemètres fondés sur
d’autres principes).
Le pont est équilibré lorsque la tension aux bornes du détecteur
est nulle. Le courant qui le traverse ayant alors une intensité
nulle, le schéma équivalent de l’ensemble (fig. 1.21) montre que
le pont est équilibré lorsque E, = 0, soit pour :
Z1Z4 =
222%
Les ponts d’impédances sont classés en deux
ponts PQ et les ponts P/Q.
catégories,
les
e Ponts PQ
Les impédances Z, et Z, sont deux résistances respectivement
égales à P et Q. Le produit PQ est connu. Si Z, est une
impédance inconnue Z; (Z;=Z;) dont il faut déterminer la
résistance R, et la réactance X;, Z, doit être une impédance
étalon Z,. (Z. = Z;) dont la résistance R. et la réactance X, sont
connues. L'équilibre du pont est obtenu pour :
Z:23= PO.
Soit :
Z3=P0/2,1
Ou :
R; + jX; = PQJ(R. + JA).
En identifiant les parties réelles entre
imaginaires entre elles, nous tirons :
R
R=PO———
720 R?2+ X?
et
elles
et les parties
+4
X,=-PO———.
0 EE
X. et X, doivent être nécessairement de signes contraires. Pour
des raisons économiques et d’encombrement, les impédances
étalons sont toujours capacitives. Les ponts PQ sont donc
utilisables pour mesurer les impédances de dipôles inductifs.
e Ponts P/Q
|
Les impédances Z, et Z, sont deux résistances respectivement
égales à P et Q. Le rapport P/Q est connu: Si Z, est l’impédance
. inconnue Z,;, alors Z, doit être l’impédance étalon Z.. L’équilibre du pont est obtenu pour :
Fig. 1.21. Schéma équivalent du pont.
Soit :
Zi= Z.P/Q.
R; + jX; = (R. + JA.) P/Q.
Ce qui donne :
BE RPIQ,.ÉL,
de xRICE,
X; et X. doivent être de même signe. Une impédance étalon
capacitive permet d'utiliser un pont P/Q pour mesurer les
impédances des dipôles capacitifs.
b) Transducteurs
Si au moins l’une des impédances Z,, Z,, Z;, Z, du montage
de la figure 1.20 varie en fonction d’une grandeur physique
(pression, épaisseur, déplacement, température, ….), la tension
mesurée entre À et B peut être utilisée pour suivre les
variations de cette grandeur. Le pont joue alors le rôle de
transducteur.
Notons que si les éléments placés dans les branches du pont
sont purement résistants, l’alimentation peut être continue
pour cette application.
4.2. Modèle de Norton
C’est aussi la généralisation
continu.
des résultats établis en courant
m 4.2.1. Théorème de Norton
Tout dipôle actif linéaire AB, admet un m0
Norton représenté par l'association en par
Fig. 1.22. Modèle équivalent de Norton.
e d’une source linéaire qui délivre un cou
à chaque instant, à l’intensité du couran
dipôle; sa valeur complexe est notée Loc: s
L'uE A 4:# Lee = Duo
à LOU Pre
etscomplexe 5e. dote
bornes de sortie À et B lorsque les électromoteurs a
sont éteints (c’ est-à-dire sont remplacés par leurs adi
internes).
Avec la convention D
ut la valeur Moi
sité du courant débité par le dipôle est alors:
l
de Finite
L, Zcc : (A)
Fo: (S)
U:(V)
Fig. 1.23. Exemple de circuit. L'impédance Z,
est supposée inductive :Z,=R + Lo.
m4.2.2. Exemple
Déterminons le modèle équivalent de Norton du dipôle actif AB
de la figure 1.23.
a) Calcul de Y,
La source de tension est remplacée par un court-circuit (son
impédance interne est nulle). Entre les bornes de sortie A et B
(fig. 1.24), on trouve alors deux dipôles en parallèle : le
condensateur d’admittance Ye et un dipôle d’admittance Y, :
Yc=jCo;
Ces deux
Fig. 1.24. Admittance
Yo= Yc+ Ye:
12
du
dipôle
AB
Yc=
RE LE
Ze
R+jLo
dipôles étant placés en parallèle, l’admittance
dipôle AB est égale à :
Yo = Yo + Ye
du
soit :
b) Calcul de Z«
Les bornes A et B étant réunies par un court-circuit, le
condensateur n'intervient pas (fig. 1.25) et l’intensité du courant de court-circuit est limitée uniquement par l’impédance
interne du générateur :
Fig. 1.25. Schéma permettant le calcul de l'intensité du courant de court-circuit.
soit :
4.3. Équivalence Thévenin-Norton
Les modèles de Thévenin
équivalents :
e l'impédance
interne
et de Norton d'un dipôle actif sont
est la même
pour
les deux
modèles
PANEEES:Il
(z x.)
e il est possible de passer d'un modèle à l’autre par l’une des
relations suivantes :
ou [le =YE
4.4. Cas de sources commandées
Les énoncés précédents des théorèmes de Thévenin et de
Norton ne font intervenir que des sources autonomes. Il est
cependant possible de les appliquer à un dipôle dont certaines
sources sont commandées.
Lors du calcul de l’impédance de Thévenin (qui est également
l'impédance de Norton), les sources commandées ne peuvent
être «éteintes» comme s’il s'agissait de sources autonomes.
Elles doivent être conservées.
Fig. 1.26. Exemple de montage avec source commandée.
Exemple
Le montage de la figure 1.26 comporte une source autonome de
tension et une source de courant commandée débitant un
courant d'intensité ki, proportionnelle à l’intensité , du courant traversant l'élément d’impédance Z. Déterminons les
éléments du modèle de Thévenin et du modèle de Norton de ce
dipôle.
a) Calcul de E;
Le dipôle fonctionne à vide (fig. 1.27) :
Es =(U),-0=Zl-.
Calculons /,. Le générateur {E s, Zc} débite un courant
d'intensité Z,(1 + k) (expression obtenue par application de la
loi des nœuds). Appliquons la loi d’additivité des tensions à la
maille formée des éléments E&, Za et Z. Nous obtenons :
»
Fig. 1.27. Fonctionnement à vide.
mn.
ù
:
Ec=Zcl(+k)+2ZI..
EG© PETER TES
I SREEEE
Le ZG+brz
La fé.m. du modèle de Thévenin est donc égale à :
SE
E. =
AC,
4. ZoU
HR Z
b) Calcul de Ze
Le dipôle fonctionne en court-circuit (fig. 1.28) : U=0
et par
conséquent Z, = 0 et kI, = 0.
D'où
Fig. 1.28. Fonctionnement en court-circuit.
:
I
==
c) Calcul de Z,
Les modèles de Thévenin et de Norton
équivalents, nous pouvons écrire :
étant
strictement
Es = Zolcc
E
te
20
AU
DZ
SO1
Zo= Re
=.
ZZoc
G+k)+Z
m5. THÉORÈME DE SUPERPOSITION
C’est la généralisation des résultats établis en courant continu.
Ce théorème sera vérifié à l’aide de l’exemple qui suit. Un
calcul direct peut fournir le résultat demandé. Nous nous
limitons à l’application du théorème de superposition.
Pour décrire le fonctionnement d’un réseau linéaire comportant des éléments passifs et des sources autonomes, il faut
écrire un système d’équations linéaires dont l’exploitation peut
être difficile et longue. Le théorème de superposition permet de
calculer directement :
e la tension aux bornes de l’une des branches du réseau,
e l'intensité du courant circulant dans une branche.
Fig. 1.29. Exemple de montage.
5.1. Exemple d'application
Considérons le montage de la figure 1.29 dans lequel l’amplificateur opérationnel est parfait (1 =i =0) et fonctionne en
régime linéaire (e = 0). Ce montage est alimenté par une tension
sinusoidale. Nous pouvons donc chercher la relation entre la
tension complexe U, et les tensions complexes U, et U,. Cette
relation peut s’écrire sous la forme :
Us = a U, + œU,
où æ, et o, sont deux coefficients constants évidemment
indépendants de U, et de U,. Le calcul direct peut être réalisé à
titre d’exercice. Nous allons constater que le théorème de
superposition permet de calculer les coefficients æ, et æ
aisément puisque nous pouvons écrire :
e a, = (Us/U,) pour U,=0,
e a) = (Us/U;) pour U, = 0.
Fig. 1.30. Schéma du circuit après avoir céteint»
la Source fournissant la tension u,.
14
a) Calcul de a,
Pour obtenir U, = 0 il faut que la source de tension entre B et
M soit «éteinte». Dans ces conditions, la résistance R, est
reliée à la masse (fig. 1.30). Comme /*=1-=0, le potentiel de
l'entrée non inverseuse E, est égal à celui de la masse M.
Donc :
U;,=R;I,
D'où :
et
Us =-RI,
(car e=0).
1 = Us/U, = -R;/R:.
b) Calcul de a;
«Eteignons » la source de tension placée entre A et M : U,= 0.
Dans
ces conditions,
la résistance
R, est reliée à la masse
(fig. 1.31). Comme 7*=7"=0, les potentiels des entrées E_ et
E, sont respectivement égaux à :
Vr-=UsR;/(R+R,)
Or :
Fig. 1.31. Schéma du circuit après avoir «éteint»
la source fournissant la tension u,.
Donc :
et
Vr.=U,R,/(R; + R)).
Ve-Vr-=e=0.
Us2Ri/(R + R;) = U,Ry/(R; + Ri).
D'où :
d2 = Usy/U, = R,(R; + RJ/R;(R; + R)).
L'expression qui fournit la tension U, est donc :
D
R
Ar.
R,(R, + R;)
ras
| RiCRiYR) 1À
Le résultat obtenu traduit le fait que la tension de sortie dans le
cas général est la somme des tensions qui auraient été mesurées
entre S et M en éteignant à tour de rôle les sources autonomes
du circuit.
5.2. Cas général
La valeur complexe U de la tension aux bornes d’une branche
d’un réseau linéaire comportant des dipôles passifs et des
sources autonomes caractérisées par leur f.é.m. U,,, Us, .
pour les sources de tension et par l'intensité Zcc, Lcc, … du
courant délivré pour les sources de courant, est une combinaison linéaire qui peut s’écrire :
U= œ Un + do Uo +
+ Bilcc + Bilcc2 + …
De même, l'intensité Z du courant traversant une branche d’un
réseau linéaire comportant des dipôles passifs et des sources
autonomes caractérisées par leur f.é.m. U,,, Us, … pour les
sources de tension et par l'intensité Zcc, Zcc, … du courant
délivré pour les sources de courant, est une combinaison
linéaire qui peut s’écrire :
1 = @i Un + & Uo + + + Bi lc + B21cc2 + …
Détermination des coefficients &,, &,, … et B;,, B, …
Pour déterminer le coefficient æ,, æ>, …, il faut rendre passives
toutes les sources autonomes (tension et courant) sauf celle
correspondant à &, c’est-à-dire celle qui fournit la tension U,,.
Le calcul de la valeur U, de la tension U créée par la seule
source en fonctionnement permet de connaître le coefficient
cherché :
&i = U/Us.
La même démarche est utilisable pour tout coefficient.
La superposition des états intermédiaires permet de reconstituer la situation la plus générale.
‘ La somme des résultats intermédiaires donne la tension U
cherchée.
On opère de même pour trouver l'intensité du courant dans
une branche.
15
5.3. Cas particuliers : sources commandées
L’énoncé précédent
nomes. Les sources
Fig. 1.32. Exemple de circuit avec source com-
mandée.
ne fait intervenir que des sources autocommandées ne peuvent être «éteintes»
seules comme s’il s'agissait de sources autonomes. Il est
cependant possible d'appliquer le théorème de superposition à
un réseau dont certaines sources sont commandées. Elles
doivent être conservées tandis que les sources indépendantes,
elles, sont successivement «éteintes». La tension (ou l’intensité) cherchée est exprimée uniquement en fonction des f.é. m.
(ou des intensités) des sources autonomes. La superposition de
tous les résultats partiels donne la tension (ou l'intensité)
cherchée.
Exemple
Sur le schéma de la figure 1.32, la source de courant d’intensité
I; est commandée par le courant d’intensité Z,. Nous nous
proposons de déterminer l’expression de l'intensité Z du courant traversant la résistance R.
Appliquons le théorème de superposition :
I =
aiE,
Se %E).
e Calcul de à : a, = I/E, pour E, = 0.
Éteignons la source E, (fig. 1.33). Nous pouvons écrire:
RISE;, 2RI;
IP2R=-IJ/R =, +1:)/3R = 1, (1 +k)/3R
Fig. 1.33. Schéma du circuit après avoir «éteint
la source de tension de f.é.m. complexe E..
soit :
1+21,=E,/R
D'où :
1+31/(1+k)=E,/R
1/2=1,(1+k)/3.
OL
= d.
E, R(k+4)
e Calcul de &, : a, = I/E, pour E, =0.
La source E, étant éteinte (fig. 1.34), nous avons :
RI=E; -2RI,;
I/2R=-1I;/R = (1; +1:)/3R
Fig. 1.34. Schéma du circuit après avoir «éteint
la Source de tension de f.é.m. complexe E.
soit :
1+21;=E,/R
IDESTE=(LD+
kI;)/3.
D'où :
1/3 =1/2+k1/6
> 21,=1(3+k).
Alors :
I1+1(G3+k)=E,/R
et:
A = sk = cs En
E;
R(k+4)
La superposition des deux états précédents donne l’expression
finale de 1:
,
7- + DEEE,
se
R(k +4)
M6. QUADRIPÔLE
6.1. Définition
Entrée
Un quadripôle est un organe de liaison assurant la transmission
ou
Fig. 1.35. Quadripôle.
16
la transformation
d’une
information.
Il comporte
bornes d’entrée et deux bornes de sortie (fig. 1.35).
deux
Si le quadripôle échange avec l’extérieur uniquement de l’énergie par effet Joule, il est qualifié de passif; dans le cas contraire,
il est qualifié d’actif.
6.2. Modèle équivalent
Prenons l’exemple d’un quadripôle linéaire assurant la liaison
entre un dipôle actif linéaire, générateur, et un dipôle passif
linéaire (fig. 1.36).
Fig. 1.36. Quadripôle assurant la liaison entre un
dipôle générateur et dipôle récepteur.
m6.2.1. Impédance d'entrée
Appelons uw, la tension d’entrée et à, l’intensité du courant
d’entrée. L’impédance d’entrée est égale à (fig. 1.37) :
Z.=.Le
Remarque
L’intensité i, du courant d’entrée dépend souvent de la charge
du quadripôle. Il en est de même de l’impédance d’entrée Z..
Fig. 1.37. Impédance d'entrée.
Nous nous sommes placés dans le cas où l'entrée
du quadripôle est équivalente à une impédance,
mais ce n'est pas toujours le cas.
6.2.2. Impédance de sortie
Pour la charge, le quadripôle se comporte comme un dipôle
actif qui peut être représenté par son modèle de Thévenin ou
par son modèle de Norton.
L'impédance de sortie Zs du quadripôle est l'impédance interne
du modèle (fig. 1.38).
Remarque
Pour le calcul de Z4, il faut «éteindre » le dipôle d’entrée c’està-dire remplacer E, par un court-circuit : l’impédance de sortie
Z,s dépend de l'impédance interne Z« du générateur d'entrée.
m6.2.3. Fonction de transfert
a) Cas général
Nous nous plaçons dans le cas de petits signaux pour lesquels le
quadripôle a un fonctionnement linéaire.
Si à la grandeur d’entrée e = & cos œt correspond la grandeur de
sortie s = $ cos(æt + p), par définition, la transmittance complexe du quadripôle est le rapport :
H est aussi appelée fonction transfert dynamique.
Si e et s sont de même nature (tensions ou courants), la
transmittance est un nombre abstrait (amplification en tension
ou en courant, ou atténuation).
Si l’une des grandeurs est un courant et l’autre une tension, la
transmittance est homogène à une impédance (s est une
tension) ou à une admittance (s est un courant).
b) Application
Dans le cas de la représentation de Thévenin (fig. 1.38), la
f.é.m. E, est proportionnelle à la tension d’entrée U, :
E; à Av LL.
Fig. 1.38. Impédance de sortie.
A, est l’amplification en tension à vide.
& 6.2.4. Conclusion
En regroupant les résultats précédents, nous
modèles du quadripôle linéaire considéré :
obtenons
deux
e l’un obtenu à partir du théorème de Thévenin (fig. 1.39),
Fig. 1.39. Modèle équivalent.
e l’autre obtenu à partir du théorème de Norton (fig. 1.40).
Fig. 1.41. Courbe de réponse.
En toute rigueur, l'expression bande passante doit être accompagnée d'une information permettant de savoir dans quelle
condition elle a été (ou elle doit être) déterminée. Exemple : la bande passante B
à -3dB d'un filtre est l'intervalle de fréquences B pour lequel l'atténuation de gain
G= 20 Ig |H| par rapport à sa valeur maxi-
male est au plus de 3 dB.
Remarque : Le gain en puissance est défini
par la relation G,=101g P,/P,. La puissance de référence est choisie par convention Ps= 1 mW.
Certains voltmètres électroniques présentent une échelle en décibels : elle permet
de repérer les tensions en les comparant à
une tension de référence. La tension de
référence choisie est U,, = 0,775 V :c'est la
tension qui, appliquée à une résistance de
six cents ohms, entraîne une dissipation de
puissance d’un milliwatt.
Fig. 1.40. Autre modèle équivalent.
6.3. Réponse fréquentielle
En régime harmonique, la fonction de transfert d’un quadripôle
dépend en général de la fréquence.
La réponse fréquentielle d’un quadripôle est l’étude de l’évolution de la fonction transfert dynamique A avec la fréquence f.
6.3.1. Courbe de réponse
Si G représente le gain du quadripôle et «© la pulsation
des grandeurs électriques, c’est la courbe G(w) ou G(f)
(fig. 1.41).
Le gain
G est lié au
module
de la fonction
transfert
H
par la relation :
G = 20 Ig H.
G est exprimé en décibels (symbole : dB).
m6.3.2. Bande passante
Soit G, la valeur maximale que peut prendre le gain G. On
appelle bande passante à — 3 dB, l'intervalle de fréquence B
pour lequel le gain G est au moins égal à (G, — 3 dB). Deux
fréquences limitent cet intervalle : f: : fréquence de coupure
inférieure, f, : fréquence de coupure supérieure.
Un filtre est un circuit permettant d'éliminer
les fréquences électriques non souhaitées.
Il existe des filtres passifs et des filtres
actifs.
— Les filtres passifs sont des quadripôles
constitués de résistances, de bobines et
de condensateurs.
— Les filtres actifs sont des quadripôles
contenant des résistances et des condensateurs associés à des amplificateurs.
Dans ce paragraphe, nous ne nous intéressons qu'aux filtres passifs, les filtres
actifs seront étudiés lors de l'étude de
montages à amplificateurs opérationnels.
Remarque
G=20lg8A
Dans l'intervalle
réalisée :
G=201g
H,.
B, il faut que
G>G;,-3
-
la condition
suivante
soit
> 2018 H,-20lg
H<3
H
soit :
2011-11<8
ou encore :e
l8 (&)
< 0,3
H
=
Vs
e(5)
ce qui entraîne :
(#) < 2
H
me: |
Ou :
H=
Ho,
.
Suivant la bande passante, les filtres sont
classés en quatre catégories : passe-bas,
passe-haut, passe-bande et réjecteur de
bande (ou coupe-bande).
Dans le domaine des fréquences éliminées,
et
v2
A une diminution du gain G de 3 dB (par rapport au gain
maximal G,), correspond une atténuation du module de la
plus la pente de la courbe est élevée, plus le
filtre est efficace.
Filtre passe-bas : Un filtre passe-bas transmet les basses fréquences (y compris le
continu) et atténue les fréquences élevées.
La fréquence inférieure de coupure f est
«rejetée» vers 0. La bande passante est :
fonction transfert
H de An
v2
6.3.3. Diagramme de Bode
[0, #].
Filtre passe-haut : Un filtre passe-haut
transmet les hautes fréquences et atténue
les basses fréquences. La fréquence supérieure de coupure f, est «rejetée» à l'infini.
La bande passante est : [f, col.
Filtre passe-bande : Un filtre passe-bande
transmet une bande de fréquences et atténue les autres. La bande passante est :
Le diagramme de Bode d’un quadripôle est un ensemble de
deux courbes rendant compte du comportement du quadripôle
sur une plage étendue de fréquences :
— l’une des courbes représente les variations du gain,
G = 29 Ig H, en fonction de la fréquence /f (ou de la pulsation
&) : c’est la courbe de réponse en gain;
— l’autre représente les variations de l’argument
de Æ en
fonction de la fréquence / (ou de la pulsation «) : c’est la courbe
de réponse en phase.
Les fréquences pouvant varier sur de très larges intervalles,
elles sont placées sur un axe à graduation logarithmique.
[f, #].
Filtre réjecteur de bande : Un filtre réjecteur
de bande atténue une bande de fréquences
et transmet les autres. La bande passante
est : [0, AJU[É, œl.
m7. APPLICATION
7.1. Filtres du premier ordre
m7.1.1. Filtre passe-bas
La cellule R, C de la figure 1.42 est un quadripôle dont l’entrée
est alimentée par une source de tension sinusoïidale, et dont la
sortie est ouverte. Calculons sa fonction de transfert. Le
quadripôle constitue un pont diviseur de tension :
Mt
Fig. 1.42. Filtre passe-bas.
Zi
avec
Remarque : Pour les graphiques qui suivent,
l'échelle des abscisses porte une graduation semilogarithmique. Rappelons que le logarithme décimal
d'un nombre x (/g,*x ou plus simplement Ig x)
présente la particularité d'être égal à n lorsque
x= 10",
L'intervalle séparant deux fréquences dont le rapport est 10 ou 1/10 s'appelle une décade.
ë
D'où :
7
ZR
et
57 R
Zk
U——,
1Co
l
H = A,=
:
l
Z
Ze
1 + =R
C
soit :
;
—
=
l
1+jRCo
G=201Ig À,
Lorsque © = 0, À, = A = 1 (49, est l’amplification statique en
,
tension).
En
l
posant
é
RC = @),
;
1
l'amplification
complexe
en
tension s'écrit :
La figure 1.43 représente le diagramme de Bode de ce quadripôle; c’est un filtre passe-bas dont la bande passante à — 3 dB
est :
B=1[0,f]
Fig. 1.43. Diagramme de Bode d'un filtre passe-
avec:
fK=—=
bas.
# 7.1.2. Filtre passe-haut
Le montage est donné figure 1.44. Dans les mêmes conditions
que pour le filtre précédent,
transfert suivante :
V1
D
nous
trouvons
la fonction
de
COTE
LPO TE
soit encore:
Il
À, =
A
ET
TRCo
Fig. 1.44. Filtre passe-haut.
G = 20 lg 4,
—
avec
CU
Dp
l
= —=:
Te
J @)
Lorsque © — wo, À, = A5 = 1 (44, est l’amplification statique
en tension). La valeur complexe de l’amplification en tension
est égale à :
La figure 1.45 représente le diagramme de Bode du filtre passehaut; sa bande passante à — 3 dB est :
B=[f,cœ[
Fig. 1.45. Diagramme de Bode d'un filtre passehaut.
avec:
(ON
RS
Il
RC"
1.2. Filtre du second ordre
Le montage est un circuit R, L, C série (fig. 1.46). L'entrée est
alimentée par une source de tension sinusoidale et la sortie est
ouverte.
Le quadripôle constitue un pont diviseur de tension :
ne ide
1.
Nous pouvons écrire :
H=4,
Ed
-Zr'kZatidh
l
=>
1+&+Zo
—ÿ S
Fig. 1.46. Filtre passe-bande.
20
avec :
ZR=R,
SR
Z.=jLo
J
EL
et
il
Z=——.
jCo
=C
=
D'où :
Posons :
«, représente la pulsation correspondant à la résonance d’intensité du circuit série; Q, est le facteur de surtension du dipôle R,
L à la résonance du circuit.
En introduisant @, et Q, dans l’expression de 4, nous obtenopns
:
Op
Fig. 1.47. Diagramme de Bode du filtre passe-
bande.
©
La figure 1.47 est le diagramme de Bode de ce filtre passebande. Une étude expérimentale de ce quadripôle est proposée
en travaux pratiques.
Travaux pratiques
1. Étude d’un circuit à capacité réglable
1° L’amplificateur opérationnel du montage représenté figure 1.48 est supposé parfait : 1‘ =i =0,
e=0. Calculer l’admittance d’entrée Y =//U du
montage. L’écrire sous la forme Y = 4 + jB. Montrer
que le dipôle 9 est assimilable à un dipôle capacitif
formé par l’association en parallèle d’une résistance
R et d’un condensateur de capacité C (fig. 1.49). On
vérifiera que : R=R,; et C=C;(1 + R;/R;).
2° Manipulation
a) Montage
Constituants du dipôle D :
e un circuit intégré TL 082 (contenant deux amplificateurs opérationnels dont un seul est provisoirement utilisé). Il est alimenté sous +15 V et
—15 V;
e un condensateur de capacité C, = 150 nF;
e une
boîte
à
R; + R> = 10 KQ.
décades
P
(x 10% Q)
telle
que
Q
Fig. 1.48.
Fig. 1.50.
u
Ce dipôle est placé dans une branche d’un pont
d’impédances (fig. 1.50). Les résistances P et Q sont
deux boîtes de résistances à décades (x 102 (). Pour
constituer le dipôle étalon il faut associer en parallèle une boîte de condensateurs (x 10-°F, xXI0°FF,
x 10-7F) et une boîte de résistances (x 10? Q,
Fig. 1.49.
x 103Q,
x104Q,
x 10 Q). G est un générateur
21
basse fréquence et le détecteur D est un oscilloscope.
Si ce générateur BF et ce détecteur ont une masse
commune (terre du secteur), un transformateurécran T est alors nécessaire pour isoler le détecteur
du reste du circuit.
b) Expérimentation
e R, = 1 kQ. Prendre P/Q= 1. Appliquer au montage un signal sinusoidal w d'amplitude 1 V et de
fréquence 100 Hz.
Donner à C,. une valeur quelconque. Agir sur la
boîte de résistances étalon afin d’obtenir en sortie
(donc au niveau du détecteur) un signal d'amplitude
minimal. Agir ensuite sur la boîte de condensateurs
afin de diminuer l’amplitude de ce signal. Ajuster à
nouveau la valeur de R, si cela est nécessaire pour
atteindre une amplitude quasi nulle.
Changer la valeur de P/Q si l’équilibre du pont ne
peut être obtenu ou pour affiner les mesures.
e Donner une autre valeur à R, (2, 3, …, 10 kQ) et
chercher le nouvel équilibre.
Tracer les graphes R.(R,) et C.(R;).
Remarque
On pourra vérifier
obtenu pour :
P
R=GR
que
l’équilibre
& £a
du
pont
Explication
La tension w, est une grandeur périodique alternative de fréquence f. Elle peut être considérée comme
la somme de plusieurs grandeurs sinusoïdales dont
les fréquences sont f et des multiples de f. Les trois
composantes principales sont :
€, = U,V2 cos &{,
e3= U,V2 cos (31 + 43)
et
es = U;V2 cos (Sœt + ps).
La composante e, est appelée le fondamental (fréquence f comme
#;); les autres
sont
des harmo-
niques (e, : harmonique 3, fréquence 3/: CE
harmonique 5, fréquence 5f). Plus le circuit magnétique est saturé, plus l’influence des harmoniques de
rang impair est importante (il n’y a pas d’harmonique de rang pair dans la tension du secteur). A
tout instant (fig. 1.52) :
W = U,V2 cos œt + U,V2 cos (3&œ1t + @3)
avec
U, < U,
et
+ U;V2 cos (5Sœt + ps)
U, « U:.
est
R
gi
3° Réaliser le montage de la figure 1.51 en utilisant
le deuxième amplificateur opérationnel contenu
dans le circuit intégré TL 082. Ce deuxième amplificateur est également supposé parfait (i*=i-=0,
€=0). Montrer que le montage est alors assimilable à un dipôle purement capacitif de capacité
A
A
€
ul;
Pie
U,
B
C=C(1+R;/R;).
Recommencer l’expérimentation précédente en utilisant ce nouveau dipôle. Justifier la dénomination
«circuit à capacité réglable» donnée à ce montage.
e3
Le
6s
Fig. 1.52.
B
2° Application du théorème de superposition
2.1. En série avec le secondaire, placer un conden-
Fig. 1.51.
2. Théorème de superposition
1° Tension d’alimentation
Alimenter
le primaire
d’un
transformateur
220 V/6 V, de petite puissance apparente, sous
tension nominale 220 V. Observer, à loscilloscope, la
tension # disponible au secondaire du transformateur. Vérifier que cette tension n’est pas tout à
fait sinusoidale.
Survolter quelque peu le transformateur et vérifier
que la déformation de la tension w, devient plus
importante.
22
sateur de capacité C=10uF et une résistance
R = 10 Q. Alimenter le primaire sous tension nominale. Vérifier que l'intensité i du courant dans ce
circuit (et donc la tension Ri) est très déformée.
Calculer 1/Cow pour f= 50 Hz, 150 Hz puis 250 Hz.
Comparer 1/Cœ et R pour ces différentes fréquences. En appliquant le théorème de superposition, montrer que i peut s’écrire pratiquement
sous la forme :
iz CoV2IU, cos (œt + x/2) + 3U, cos (3œt + p;)
+ SU, cos (Soit + p:)].
Le condensateur renforce-t-il ou atténue-t-il les harmoniques de courant (autrement dit, est-ce que le
rapport «amplitude de l’harmonique de courant
/amplitude du fondamental» est égal, supérieur ou inférieur à U;/U,, US/U,, etc.)?
2.2. Remplacer le condensateur par une bobine
d’inductance L = 0,5 H. En opérant comme précédemment, vérifier que l'intensité : du courant traversant le secondaire est alors sinusoïdale. Mesurer
le déphasage de : par rapport à .
Calculer Lo pour f= 50 Hz, 150 Hz puis 250 Hz.
Comparer Lo et R pour ces différentes fréquences.
Quelle est alors l’expression approchée de :? La
bobine renforce-t-elle ou atténue-t-elle les harmoniques de courant?
3° Mise en évidence des harmoniques (fig. 1.53).
La charge du transformateur est maintenant constituée par une association en série de la résistance
R = 150 Q et d’un circuit bouchon (un condensateur
de capacité C = 20 UF en parallèle avec une bobine
d’inductance L réglable entre 0,1 H et 1 H).
Lorsque L a pour valeur 0,5 H, observer à l’oscillo-
scope la tension aux bornes de la résistance R (donc
l'intensité :) et mesurer la fréquence. L’impédance
du circuit bouchon étant supposée très grande à
50 Hz et très faible à 150 Hz et 250 Hz, donner
l'expression de l’intensité À si u, a la valeur fournie
au 1°.
Remplacer la résistance R par une bobine de
1000
spires de transformateur
démontable
(L'=40 mH, soit L'wÆ 13 Q à 50 Hz). Observer
la tension y aux bornes de cette bobine. Pourquoi
cette tension est-elle nettement plus importante que
la tension obtenue aux bornes de R précédemment ?
Fig. 1.54.
e Donner
l'expression
complexe
de
l’impédance
d’entrée Z. du quadripôle en fonction de r, R, L, C
et ©.
e Donner l'expression de
laquelle le circuit est en
la fréquence f, pour
résonance d’intensité.
Déterminer le facteur S = UC/U, à la résonance (UC
est la valeur efficace de la tension aux bornes du
condensateur).
e Calculer l’amplification en tension À, = U,/U, et
montrer qu’elle peut s’écrire sous la forme :
nn ne
1 + isL- :
Lo f
e La bande
passante
est l'intervalle de fréquence
Af=|f -fl pour lequel A, >Ao/V2, Ao étant
l’'amplification maximale en tension obtenue pour
f=fh. Calculer f, et f, puis Af. Comparer S au
rapport fo/Af.
220 V/6 V
u;
Fig. 1.53.
3: Filtre passe-bande
La bobine utilisée dans le montage de la figure 1.54
a une inductance L=1H
et une résistance
r = 350 Q. Un générateur BF fournit une tension
sinusoïdale, de fréquence réglable, dont la valeur
efficace est ajustée à 5 V et est maintenue constante
durant toute l’expérimentation.
Un oscilloscope permet de visualiser la tension
d’entrée u, et la tension de sortie w, du quadripôle.
Le quadripôle est utilisé dans un fonctionnement à
vide.
e Déterminer les valeurs de R et de C qui permettent l’obtention d’une fréquence de résonance
f = 1 kHz et d’une bande passante Af= 200 Hz.
Manipulation
e Réaliser le montage en utilisant des composants
dont les grandeurs caractéristiques ont les valeurs
prédéterminées ci-dessus.
e En maintenant constante la valeur efficace de la
tension d’entrée, faire varier la fréquence / de 10 Hz
à 100 kHz et mesurer à l’oscilloscope U, et U, ainsi
que l’argument de 4,. Tracer les graphes 4,(f),
[20 18 A,1(f) et [ArgA,](f).
e Déterminer expérimentalement les valeurs de f,,
Af et S et les comparer aux valeurs théoriques.
e Augmenter la valeur de R (la doubler
exemple). Quelle est son influence :
— sur l’amplification maximale 4,,
— sur la largeur de la bande passante?
par
23
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
REPONSE(S)
Deux dipôles passifs d’impédances complexes
respectives
Z,=200+100;(Q)
et
Z = 300 — 200j (Q) sont associés en série. Quelle
est l’impédance complexe, équivalente, de cette
association ?
Les éléments de Thévenin d’un générateur
sont : U, = 220 (V) et Z, = 100; (Q).
Quels sont les éléments de Norton du même générateur?
R : (Zcc=-2,2j; Yo =-107?j);
(Loc = 2:27; Yo = 107 ?j);
R : 500 — 100;; 100 — 300;; 500 + 300;; 100 — 100ÿ.
(Lcc=-2,2;; Yo = 107 7j);
(Ycc = 2:27; Yo =-107j).
Deux dipôles passifs d’admittances complexes
respectives
Y,=0,4 +0,17 (S)
et
Y3 = 0,5 — 0,2; (S) sont associés en parallèle.
Quelle est l’admittance complexe, équivalente, de
cette association?
résistance R, (fig. 1.55)?
On donne :
Quelle est la tension #,8 aux bornes de la
R;=R;=R;=100 Q; u, = u, = 30V2 sin 100nt.
R : 0,1 — 0,17; 0,9 — 0,3j; 0,1 — 0,3; 0,9 — 0,1.
bobine
Les éléments du modèle série d’une
sont, d’après la documentation construc-
teur
: Z, =0,1 H et r, = 32 Q à 1 000 Hz.
Quel est le facteur de qualité de la bobine
à
cette fréquence?
R : 3,4; 9,8; 19,6; 23,4.
Les éléments du modèle série d’une
bobine sont, à une fréquence f donnée : L, = 10 mH
et r; = 5 (2. A cette fréquence son facteur de qualité
est Q@=100. Quelles sont alors les valeurs des
éléments Z,, et r, du modèle parallèle?
R : 10 mH, 50 kQ; 1 H, 5 Q; 10 mH, 5 Q; 1H,
50 k©Q2.
1.05.
L’angle de pertes d’un condensateur de
capacité C=100 UF est Ô = 1,0 % à la fréquence
f= 50 Hz. Quelle est la résistance de fuite de ce
condensateur ?
1:06. |Les éléments de Norton d’un généra
teur
sont : Zcc = 10 (A) et Y, = 0,5; (S).
Quels sont les éléments de Thévenin
générateur?
24
du
même
Z=+2j); (Uo
=+20ÿ; Zo = - 2j);
(Us =-20j; Zo=-2j);
R : 10V2 sin 100nr; 20V2 sin 100xr:
30V2 sin 100; 40V2 sin 100nr.
La fonction transfert en tension d’un filtre
passe-bas, s'écrit sous la forme :
À
—
10
:
h
1 + j——
17000
Quelle est la bande passante à — 3 dB?
R : 10 kHz; 1,0 kHz; 100 Hz; 10 Hz.
R : 100 Q; 250 Q; 3,2 kQ; 5,5 kQ.
R : (Uo=-20j;
B
Fig. 1.55.
(Us = +20; Zo = +2j).
Quelle est la nature du filtre dont l’amplification en tension est :
5
a V
1100
h
R : passe-bas;
passe-haut.
passe-bande;
réjecteur
de bande;
Exercices résolus
Le montage
de la figure 1.56 qui fonc-
tionne en régime sinusoïdal, comporte deux générateurs autonomes de même fréquence f. Les expres-
Les admittances Y et YA forment un diviseur de
courant. Le courant traversant la résistance R a
pour intensité :
DST.
ON
ES 7)
sions complexes des éléments du montage sont :
E,=220(V), E2=110;(V), Z; = 10°; (Q),
Z:=-500; (Q), Z=R = 10° (Q).
1° En appliquant le théorème de Norton, déterminer
l'expression complexe Z de l’intensité du courant
traversant l’élément d’impédance complexe Z.
Soit:
I=-—0,22(1 + j) x 10-3/(10-3j+ 1073)
S
(en ampère).
2° Retrouver le résultat précédent en appliquant le
théorème de superposition.
A
3° Z, est l’impédance complexe d’un condensateur
de capacité C = 1,0 uF. Quelle est l’expression de
l'intensité instantanée À du courant traversant la
résistance
sation.)
R?
(On
précisera
la valeur
Eee
Kay
de la pul-
Fig. 1.58.
B
2° Application du théorème de superposition
I= GE; + E:.
e Calcul de &, : «, = 1/E, pour E; =0.
Éteignons
écrire :
la source
E, (fig. 1.59); nous
pouvons
Fig. 1.56.
ObT=1
SOLUTION
1° Calcul de Z
Les éléments (E,,Z;) et les éléments (E;,, Z:))
définissent les deux générateurs de Thévenin correspondant aux sources qui alimentent le montage.
Effectuons une transformation Thévenin-Norton :
nous obtenons le schéma de la figure 1.57. Les
éléments de Norton des deux générateurs sont :
IG
= EZ:;
Xi = 1/Z:
et
Icc2=E2/Z2;
Y2= 1/22.
et
ee
Ji
je
PET
Z,
+R
=
—#
-F -
À
—_
Ë,
z
STARS
pe
ZE
——
ET
Or
PR
ton
TE;
ENS
Dr
2
TR
à
=
ERIUZR
toree
4
Application numérique
or
1
Hs
— 500;
103;(— 500j+ 10?) — 500j x 10?
10-3
œ ass ah +J)
e Calcul de &; : a = 1/E, pour E; =0.
Fig. 1.57.
Le schéma peut alors se simplifier (fig. 1.58) :
L=Locit Loc
Soit
ETC =-0,22(1+j)
set Y= Xi + Ya
et
Y= 10° 37.
4
à
Fig. 1.59.
Éteignons
la source
E, (fig. 1.60); nous
pouvons
écrire:
> =
doZAR
E,=[2,+
Ir,I
Or 1-1" et
L'=I,
:
Le dispositif mécanique représenté sur la
figure 1.61 permet de faire osciller le contrepoids.
Appelons x l’abscisse du centre de gravité G de ce
contrepoids, et y la mesure algébrique de sa vitesse
(v = dx/df); l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse v est la suivante :
t
=
= ———>#——
. ——
ZitR
ZiR
Zi+R
"
Z;
—
E;
Zi
ar + m
+ k |
dt
NA R
F+
Ï
YA
AZUR MUEER
:
SE,
-
“1
D'où : Leu
—
0
=
ka
sin or.
Dans cette équation, © représente la vitesse angulaire du disque.
On donne 2=0,25N -m-!:s;
m=0,10 kg;
k= 40 N :-m°-!;4a=5,0 cm.
‘
Z1
E) Z1ZitR)+ZR
1° Pour quelle fréquence de rotation du moteur
(tr/min) l’amplitude de la vitesse du contrepoids estelle maximale ?
Application numérique
ne
103j
2 = 500j(10j+ 103) + 10%: 10?
2° Quelle est cette amplitude V,, ?
3° Calculer l’amplitude de déplacement X,, correspondante?
a = 107 7(1+j)]
Nous pouvons maintenant calculer ] :
I=@E;+aE;.
Soit:
x 220
I= _(1+j) x 1073
+ (1+j)
x 1073 x 110j
2
>
|1=-0,22|(en ampère).
ressort
disque entraîné par
un moteur
(raideur k)
D
contrepoids
Fig. 1.61. La palette introduit un frottement visqueux de valeur algébrique
f=-Av.
Fig. 1.60.
3° Calcul de à
L’intensité
instantanée
SOLUTION
i est
de
la
forme
IV2 cos (&@t — @p).
Détermination de I et de y. I est le module du
complexe Z et — y est son argument. La référence est
évidemment €, puisque E, est un nombre réel.
Donc :
I=-0,22
1=0,22A
et
=
ÏCZ)
1
? DE ————
(— 500j x 107 6j)
> © =2000 rad/s.
Expression de i :
i = 0,22V2 cos(2 000 - x) = -0,22V2 cos 2000 |
26
t
meme
dt
p=nrrad.
Détermination de w. Elle se déduit de la valeur de
l’impédance Z;, du condensateur : Z2= 1/jCo soit :
1
=
1° Fréquence de rotation du moteur
Posons y = Ka sin wt, y est une fonction sinusoïdale
d'amplitude ka et de pulsation variable «.
La relation entre v et y est l’équation différentielle :
Elle
est
du
même
[var
0
type
que
(1)
l'équation
Ë
di
ul
L
Ri+L—+—
i+
n
cf: dt= u u.
(2)
Or nous savons que si # est une tension sinusoïdale
d'amplitude U et de pulsation w, l'intensité sinusoidale i a une amplitude maximale lorsque :
L’équation (1) se déduit de (2) par ia transposition
suivante :
I
DRM
L Ke GC:
C’est donc lorsque la vitesse angulaire du moteur
sera égale à :
l
Op =
= Vk/m = 20 rad -s !
x Vm/k
que l’amplitude de la vitesse du contrepoids atteindra une valeur maximale PV.
La fréquence correspondante est :
À = 0/27 = 3,2 Hz = 3,2 tr/s.
(Comme les données, les résultats
avec deux chiffres significatifs.)
Soit :
sont exprimés
f6=(3,2 x 60)tr/min > |f6=(1,9 x 10) tr/min
2° Calcul de Vy
0 €
|
De même que l’on a : /Z = U/R, on aura : V4, = Y/1.
Or :
Y = Ka.
Donc :
Vu = ka/2.
Soit : Vu = (40 x 5 - 10-2/0,25) > |Vu = 8,0 m/s
3° Calcul de Xu
Pour ce fonctionnement : y = V4, sin (ft + g@) avec
«9 = 20 rad - s-!. C’est la dérivée de l’abscisse x qui
est donc donnée par la fonction :
2-/Ÿ2
cos (@ot + ?)
(07)
L’amplitude de déplacement correspondant à la
résonance mécanique obtenue lorsque le moteur
tourne à 191 tr/min, vaut donc :
Xu =
Vw/@0
ei (8/20) m
>
Xu = 0,40 m
Alors que le déplacement du point À a pour
amplitude a = 5 cm, le déplacement du contrepoids,
à la résonance, a une amplitude X,, = 40 cm.
Exercices à résoudre
Considérons le montage de la figure 1.62.
La source de courant À, est autonome, la source de
courant i, est commandée : i, = aig. Quels sont les
éléments du générateur de Thévenin équivalent au
dipôle AB?
2.1. Montrer que pour une valeur particulière f, de
la fréquence f, l'intensité du courant traversant la
résistance R est indépendante de la valeur de cette
résistance.
22. L= 50 mH, C=2,2nF. Calculer :
a) la valeur f,
b) la valeur complexe 7 de l’intensité : du courant
traversant la résistance lorsque f= f.
Le dipôle de la figure 1.64 est formé par
Fig. 1.62.
l'association en série d’un générateur autonome
EG» Zat et d’un générateur commandé {kUr, R}.
A
d
1° Déterminer les éléments Zcc, Yo du
modèle de Norton du dipôle AB de la figure 1.63.
Zc
R
B
Fig. 1.64.
Fig. 1.63.
2° Le générateur délivre une tension sinusoidale u
de valeur efficace constante U = 10 V. La résistance
R est réglable.
fetes | RRUREES
kUR
ra
1° Calculer les expressions des éléments du modèle
de Thévenin du dipôle AB.
2° Sans utiliser les résultats précédents, déterminer
les éléments du modèle de Norton du dipôle AB.
3 A partir des résultats des deux questions précédentes, vérifier l’équivalence des deux modèles.
27
Dans le montage de la figure 1.65, l’amplificateur opérationnel est supposé parfait. La tension
d’entrée uw, est sinusoïdale.
1° Écrire l’impédance
branches du circuit.
complexe
de chacune
2° Exprimer l’impédance complexe
du circuit sous la forme :
des
de l’ensemble
Z=R+jx.
(Expliciter les valeurs de R et X.)
3° Calculer
la puissance
active
absorbée
par
le
récepteur.
4 Quelle puissance réactive absorbe-t-il ?
5° Quelle est l’expression complexe J de l'intensité à
du courant fourni par l’alimentation?
6° Calculer la valeur complexe de la tension U, aux
bornes de l’ensemble {R, subite
Fig. 1.65.
7° Quelle est l’expression complexe J, de l'intensité
il, du courant traversant le condensateur?
1° Exprimer la tension U* en fonction de U,, R, C
et &.
8° Quelle est l’expression complexe Z, de l’intensité
i» du courant traversant la bobine ?
2° Exprimer la tension U” en fonction de U, et U...
3° En déduire l’expression
tension À, = U,/U..
de
l’amplification
en
4° Calculer le module et l’argument de 4,.
| 1.19.
|Un générateur de tension sinusoidale de
f.é.m. eg = 10V2 sin wt alimente une résistance et
une bobine associées en série (fig. 1.68).
5° Pourquoi ce montage est-il appelé « déphaseur » ?
1° Déterminer les éléments Z<c, Yo du
modèle de Norton du dipôle AB de la figure 1.66.
Fig. 1.68.
1° Déterminer l’expression du rapport U,/EG
fonction de R, L et «.
en
2° Déterminer l'expression
fonction de R, L et «.
en
du
rapport
//E4
3° Que deviennent les rapports précédents :
3.1. pour les très basses fréquences?
Fig. 1.66.
3.2. pour les très hautes fréquences?
2° Quelle est la valeur complexe de l'intensité ; du
Courant traversant le condensateur lorsque le générateur délivre un courant sinusoïdal.
Les éléments du circuit (R, C) du montage de la figure 1.69 ont pour valeur : R = 220 Q,
C=1,0 F. La tension d’entrée est sinusoidale.
Le circuit de la figure 1.67 est alimentée sous une tension # = 220
V2 cos «xt. Les impé-
R
dances des éléments du circuit sont :
R; = 1,0 Q, Liw= 1,0 Q, L,w= 3,0 Q,
R; = 3,0 Q, 1/Cw = 3,0 Q.
Fig. 1.69.
RES
]
1° Exprimer U, en fonction de U., R, C et w.
Fig. 1.67.
28
2° Montrer que Av = Us/U, peut s’exprimer sous la
forme :
Av =(1 + jRC&)/(1 + 2jRCw).
3° Calculer les valeurs limites de l’amplification 4,
lorsque l’on fait varier la fréquence.
4° Quelle est la valeur maximale 44, de l’amplification?
5° Calculer
la
fréquence
/-
pour
En l'absence
jauge sont :
de contrainte,
1=5,0:10"m
et
les dimensions
de la
s= 2,0: 1071! m2.
laquelle
lavl=Avo/V2.
Le schéma de principe d’une sonde atténuatrice est donné par la figure 1.70.
Étude en régime sinusoidal.
R,
corps d’épreuve
Fig. 1.71.
1° Quelle est, en l’absence de contrainte, la résistance R, de la jauge (la résistivité du métal constituant la jauge est : p = 107% Qm)?
2° La transmission des déformations du corps
d’épreuve à la jauge est parfaite. Dans ces conditions :
Fig. 1.70.
TERA —
SPAATIE
1° Montrer que le rapport 7 = V,/V, peut se mettre
sous la forme :
Donner la relation liant numériquement — Avr
7,140
ÿ
1 +jflf2
Données : section du corps d’épreuve :
2° On donne R, = 1,0 kQ; R, = 10 ko; C, = 10 nF.
S = 5,0 - 1074 m2; C = 2,00 (constante);
2.1. Calculer la capacité C; pour laquelle T' reste
constant lorsque la fréquence f varie.
K = 5,0 : 107 !2 m2/N.
2.2. Quelle est alors la valeur de T7?
3° Tracer la courbe G(Ilg f) représentant les variations du gain G= 20 Ig|7| en fonction de la fréquence f.
C2]
3° Quelle variation de résistance AR provoque une
force de traction F de 500 N?
4 Du point de vue électrique, la jauge est assimilable à une résistance variable. On l’intègre dans le
pont de la figure 1.72. La tension wpQ est amplifiée par l’amplificateur opérationnel supposé parfait
(it=i =0ete=0).
Un capteur de force est constitué d’une
jauge collée sur un corps d’épreuve. La figure 1.71
représente le principe d’un type de capteur. La
résistance de la jauge est proportionnelle à l'effort
auquel est soumis le corps d’épreuve. Le capteur, de
section S, est soumis à une force de traction F
provoquant une variation relative AZ/L de la longueur L du corps d’épreuve proportionnelle à FJS :
AL
CET
Le
F
S
La variation relative AR/R de la résistance R de la
jauge est proportionnelle à la variation relative AI/I
de la longueur de cette jauge :
AR
Se
R
AI
[
.
La résistance de la jauge est donnée par la relation :
l
R=p-.
es
4.1. Montrer que:
AE
105
(R — Ro)
S
1001R+1000R8
é
29
Chapitre 2
FONCTIONS ÉLECTRONIQUES
(ANALOGIQUES)
M1. AMPLIFICATION
Les montages de ce paragraphe fonctionnent en régime linéaire.
L’amplification de tension ou de courant est réalisée au moyen
de montages assimilables à des quadripôles. Leur fonction de
transfert est appelée amplification de tension ou de courant
(voir chapitre 1).
Ces amplificateurs sont classés en tenant compte de leur bande
passante.
Selon qu’elle est très étendue ou étroite, l’amplificateur est dit
à large bande ou sélectif.
Les exemples qui vont être étudiés mettent uniquement en
œuvre des amplificateurs opérationnels. L’amplification de
puissance fera l’objet d’une étude particulière au chapitre 8.
1.1. Montages amplificateurs
m 1.1.1. Amplificateur inverseur
Déterminons les caractéristiques de ce montage (fig. 2.01)
lorsqu'il fonctionne en régime sinusoïdal : w, et u, sont des
tensions sinusoidales de même fréquence.
e Amplification À,
L’amplificateur opérationnel de la figure 2.01 est idéal
(i*=i"=0). Il fonctionne en régime linéaire (e = 0). Que le
montage alimente ou non une charge, la loi d’'Ohm nous
permet d'écrire :
LE
Zi.
et
Era
L’amplification en tension du montage est donc égale à :
Fig. 2.01. Montage inverseur.
e Impédance d'entrée Z.
L’impédance d’entrée du quadripôle est le rapport entre la
tension d’entrée U, et l'intensité Z, du courant d’entrée :
U
Z ==.
:
—€
Fig. 2.02. Schéma équivalent d'un amplificateur
opérationnel idéal. L'impédance d'entrée d'un
amplificateur idéal est infiniment grande : son coef-
ficient d'amplification 1 est très élevé.
30
e Impédance de sortie Z,
L’impédance de sortie Z, du quadripôle est l’impédance interne
du générateur de Thévenin vu des bornes de sortie.
Dans le schéma du montage, remplaçons l’amplificateur opérationnel par son modèle équivalent (fig. 2.02). Pour la détermination de l’impédance du générateur de Thévenin vu des
bornes S et M, il faut «éteindre» toutes les sources autonomes,
ce qui revient à placer un court-circuit entre E et M (voir
paragraphe 4, chap. 1). Nous obtenons le schéma de la
figure 2.03.
Pratiquement, l'impédance Z, de sortie du montage peut être
considérée comme nulle :
m 1.1.2. Amplificateur non inverseur
Le montage fonctionne en régime sinusoïdal (fig. 2.04).
Fig. 2.03. Schéma équivalent d'un montage inverseur PAL le calcul de l'impédance de sortie Z, :
e Amplification À,
L’amplificateur opérationnel est idéal (1* =i=0) et il fonctionne en régime linéaire (£ = 0). Quelle que soit la charge
placée entre S et M, nous pouvons écrire :
U.=-Z;l,
Z==.!
et
U,=-(Z;+2)1:.
D'où :
e Impédance d'entrée Z.
L’impédance d’entrée du montage est égale à :
z.=%Le
Or :
1.=1*&0.
L'impédance Z. d'entrée peut être considérée comme infinie.
e Impédance de sortie Z,
Dans le schéma du montage de base, remplaçons l’amplificateur opérationnel par son modèle équivalent. Nous obtenons
le schéma de la figure 2.05.
La détermination de l’impédance de sortie s'effectue après
avoir «éteint» toutes les sources autonomes, ce qui revient à
placer un court-circuit entre E‘ et M.
L'impédance de sortie Z, du montage peut être considérée
comme nulle.
m1.1.3. Bande passante
Fig. 2.05. Schéma équivalent d'un montage noninverseur.
Pour l'étude d'un amplificateur, un oscillo-
scope est nécessaire. L'une des voies d'un
oscilloscope est branchée à l'entrée du
montage, l'autre à la sortie. L'oscilloscope
est placé sur la position DC pour surveiller
la forme des signaux d'entrée et de sortie.
Le montage devant fonctionner en régime
linéaire, il ne doit pas y avoir de saturation du montage ou de déformation du
signal de sortie. Pour une tension d'entrée
sinusoïdale, la saturation se caractérise par
un écrétage de la tension de sortie et la
déformation par une forme triangulaire de
cette tension de sortie. La saturation est
due à l'amplitude trop importante de la
tension d'entrée, la déformation est due à
une mauvaise fréquence d'utilisation (revoir
le paragraphe 6 du chapitre 21 du livre de
1e F2-3-5 traitant du slew-rate d'un AÀ.O.).
Une fois la tension sinusoïdale de sortie
obtenue, il est possible de placer l'oscilloscope sur la position AC afin d'éliminer un
éventuel décalage continu de la tension de
sortie.
Un amplificateur opérationnel se comporte comme un filtre
passe-bas (fig. 2.06). Le montage amplificateur inverseur et le
montage amplificateur non inverseur proposés sont formés,
chacun, d’un amplificateur opérationnel associé à un circuit de
réaction (nous verrons au chapitre 11 que ce sont des montages
à contre-réaction). La courbe de réponse de chacun des montages est alors très différente de celle de l’amplificateur opérationnel. Ce sont essentiellement les éléments formant le circuit
de réaction qui imposent au montage la largeur de sa bande
passante.
G(dB)
Fig. 2.06. Courbe de réponse en gain d'un amplificateur opérationnel c'est-à-dire du nombre
G=201g h si & désigne le nombre complexe
associé à sa valeur instantanée €.
31
Exemples
— avec des résistances, le montage peut être un amplificateur
à très large bande (voir exercice 2.11),
—
avec des résistances et des condensateurs, le montage peut
être un amplificateur passe-bande (voir exercice 2.12).
Remarque
Fig. 2.07. Filtre sélectif.
Valeurs proposées :
R=1,0k0,L=10Hr=3500,C=10nF.
A.0,. : TL 081 alimenté sous + 15 V.
Résultats :
f,= 1590 Hz, Q,% 29, À, 280.
Attention! Le niveau de la tension d'entrée doit
être très faible sinon l'amplificateur sélectif est
saturé.
En règle générale, lorsque la bande passante B d’un montage est
modifiée en agissant sur la chaîne de réaction, l’amplification
maximale |4,| du montage l’est également de telle sorte que le
produit B [4] reste constant (ce produit est appelé facteur de
mérite du montage) : une augmentation de la largeur de
la bande passante s'accompagne d’une diminution, dans les
mêmes proportions, de l’amplification maximale.
1.2. Amplificateur sélectif
m 1.2.1. Expérience
Le montage utilisé (fig. 2.07) comporte une résistance R et un
dipôle, d’impédance Z,, formé par l’association d’un condensateur de capacité C en parallèle avec une bobine d’inductance
L et de résistance r. Nous visualisons à l’oscilloscope la tension
d’entrée , et la tension de sortie w..
e Appliquons à l’entrée du montage une tension , sinusoidale
de fréquence f= 100 Hz et d'amplitude 1 V : la tension de
sortie u, a une amplitude très faible.
e Augmentons progressivement la fréquence. Tant que la
fréquence reste inférieure à 1 000 Hz, l’amplitude de la tension
de sortie n’augmente que très légèrement. Puis pour des
fréquences voisines de 1 600 Hz, l’amplitude de la tension de
sortie devient très importante à tel point que le montage se
sature : la tension de sortie est écrêtée. Pour que le montage ne
se sature pas quelle que soit la valeur de f, il faut donner à la
tension d’entrée une amplitude très faible (inférieure à 50 mV
pour notre exemple). Au-delà de 2000 Hz l’amplitude de la
tension de sortie redevient très faible.
e La figure 2.08 représente les courbes de réponse obtenues :
— la courbe de réponse en amplitude |A,l (f),
— la courbe de réponse en phase [Arg 4,](f).
e L'analyse de la courbe de réponse en amplitude montre que
la bande passante de cet amplificateur est très étroite (60 Hz
environ) : il est très sélectif.
l4,|
l4,|= 280
Fig. 2.08 a. Courbe de réponse en amplitude d'un filtre sélectif
32
b. Courbe de réponse en phase d'un filtre sélectif.
m 1.2.2. Étude
Afin de simplifier cette étude, nous prendrons à la place d’un
modèle série de la bobine (formé des éléments r et Z), un
modèle parallèle (formé des éléments R, et L,) tel que :
R,=r(1+Q?)
Rappelons
qu'avec
et L,=L[1 er
des dipôles
de facteur
de qualité
élevé
(Q > 1), nous pouvons écrire :
Fig. 2.09. Modèle équivalent de l'ensemble
RÉRPrOPICONTELUETL
bobine-condensateur.
ce qui conduit
considéré.
au
modèle
de la figure 2.09
pour
le dipôle
a) Amplification du montage
C’est un montage amplificateur inverseur dont la valeur
complexe de l’amplification en tension est donnée par la
relation :
Fa,
A,=-<==-
de
avec :
1
Zi
V2:
1
É
l
Y,= rQ? +]|Co-—],
L)
i( œ
=)
Soit :
Ay=-
Z,=R.
2:
as
rQ
LR
7
CE
%
=
_
L’amplification |4,| est égale à :
Il
l4,1=
Expérimentalement,
nous avons observé que sur un intervalle
de fréquences très étroit, centré autour de la fréquence f,, nous
obtenions la partie essentielle de la courbe de réponse en
amplitude. En limitant notre étude sur cet intervalle, nous
pouvons admettre que le facteur de qualité Q reste pratiquement
constant.
Lee
L’amplification
|A,
est
è
maximale
pour
STE
l
à
c’est-à-dire pour :
«, est la pulsation de résonance (10* rad/s pour notre expérience) du dipôle R,, L, C parallèle. A la résonance, le facteur
|
=
a
}
"É
& 29). La
de qualité Q, du dipôle est égal à rex ou
Ga (Qi
29)
2
valeur maximale de (A, est Liol= 22.
L’amplificateur est d’autant plus sélectif que la courbe de
réponse [4,| (w) ou [4,| (f) présente un pic étroit.
On montre que la bande passante B (B = 55 Hz) est telle que :
@o =,
_h
B--0
2nQ
Q
33
b) Courbes de réponse
A partir de l’expression de À,, nous pouvons retrouver les
courbes de réponse en amplitude et en phase du montage
obtenues expérimentalement.
© = &, À, = A9 = _rQi : c’est un réel négatif, son
R
argument est alors égal à x rad. En se plaçant sur un intervalle étendu de fréquences, nous obtenons les graphes de la
figure 2.10 (le facteur de qualité Q ne peut plus être considéré
Lorsque
Fig. 2.11. Représentation
amplificateur de différence.
fonctionnelle d'un
constant).
Vs = Aaau= Vaw?.
Fig. 2.12. Mise en évidence des perturbations
Fig. 2.10. Courbes de réponse.
dues à la tension de mode commun.
— R= 220 kQ; R' = 220 kQ,
—U : tension sinusoidale, 5V crête à crête,
f= 1 kHz,
— V, : tension de déséquilibre du pont de Wheat-
m2. AMPLIFICATION DE DIFFÉRENCE
stone constitué par les quatre résistances.
2.1. Présentation
Un amplificateur de différence (fig. 2.11) fournit une tension
SM proportionnelle à la différence de potentiel entre les entrées
AetB:
Vsm = Aa (Vam — VBm)
(Masse de l’oscilloscope)
Fig. 2.13. Montage 1. Liaison directe entre montage et oscilloscope. La tension v, est une combinaison d'une tension sinusoïdale de fréquence
1000 Hz et d'une tension de mode commun de
fréquence 50 Hz (calibres : en ordonnées : 2 V/cm:;
en abscisses : 5 ms/cm).
© Vam — Vem = Va St /a tension différentielle d'entrée;
e À, est l’amplification différentielle.
2.2. Intérêt
m2.2.1. Tensions de mode commun
a) Expérience
Sur le montage
de la figure 2.12, comportant un pont de
Wheatstone faiblement déséquilibré, observons la tension entre
les points A et B. Idéalement cette d. d. p. devrait être une petite
fraction de la tension sinusoïidale appliquée par le générateur
basse fréquence.
Tension correspondant au bruit sans-amplificateur
de différence.
34
e Montage 1 (fig. 2.13)
Nous relions directement l’oscilloscope aux points À etB. Dans
ce cas, l’oscillogramme montre que la tension v, est généralement perturbée par une tension parasite, de fréquence 50 Hz,
appelée tension de mode commun.
e Montage 2 (fig. 2.14)
Nous interposons maintenant l’amplificateur de différence
A. D. entre les points À et B et l’oscilloscope. La masse de
l’oscilloscope peut alors, sans inconvénient, être réunie au
point M.
Dans ce cas, nous constatons que la tension y, n’est pratiquement plus perturbée par la tension de mode commun.
b) Conclusion
Fig. 2.14. Montage 2. Liaison à l'aide d'un amplificateur de différence.
L'amplificateur de différence permet l'observation
en mode différentiel (ca/ibres:ordonnées : 2 V/cm;
abscisses : 5 ms/cm). Dans ce cas l'effet perturbateur des tensions de mode commun est considérablement atténué (l'amplificateur de différence utilisé peut être celui étudié au paragraphe 1.3).
LeOUR (LEE DEL ROLE EL
11
Tension obtenue avec un amplificateur de différence.
disjoncteur
différentiel
Mise àla
L'utilisation d’un amplificateur de différence permet d’observer
et de mesurer la tension entre deux points À et B, tous deux
distincts de la masse du montage. Ce procédé permet en outre
de diminuer considérablement l’influence indésirable des tensions de mode commun.
& 2.2.2. Normes de sécurité
Les parties métalliques accessibles des appareils électriques
alimentés par le réseau alternatif sont reliées au fil de terre de
leur cordon d’alimentation et, par conséquent, à la prise de
terre de la distribution électrique. Ainsi, en utilisation normale
le potentiel de la borne de référence d’un oscilloscope (masse)
est celui du sol (fig. 2.15). De ce fait, la tension entre les parties
métalliques accessibles et le sol ne peut atteindre une valeur
dangereuse pour l’utilisateur.
Cette protection par mise à la terre des masses métalliques a
son revers. L'observation directe d’une tension v,8 n’est possible que si l’un des points (A ou B) peut être réuni à la masse
de l’oscilloscope (donc à la terre de l’installation) ou si les deux
points (A et B) sont strictement isolés de la terre.
Exemple
A l’aide d’un oscilloscope ordinaire (c’est-à-dire ne comportant
pas de double isolation), il est impossible de visualiser directement une tension composée d’un réseau triphasé (fig. 2.16).
En revanche, en interposant un transformateur T (fig. 2.17), la
visualisation est possible car les points A’ et B’ sont strictement isolés de la terre.
Dans le cas général, l’utilisation d’un oscilloscope à entrées
différentielles ou d’un amplificateur de différence convenable
est alors indispensable.
2P+T
terre
Fig. 2.15. Alimentation des appareils électriques.
— L'appareil ci-dessus (oscilloscope) est alimenté
sous une tension monophasée entre le fil de phase,
P, et le fil neutre N. Avant l'arrivée chez l'abonné,
par conséquent en amont du disjoncteur différentiel, EDF réunit le neutre à la terre (régime de neutre
non isolé).
— Aucune d.d.p. importante ne peut donc exister
entre l'utilisateur et un appareil normalement bran-
ché par un cordon de type 2P +T.
(Remarque : dans certaines installations industrielles, le régime du neutre est différent.)
Fig. 2.16. L'observation de la tension u est
impossible avec un oscilloscope ordinaire car les
potentiels des points À etB sont imposés et aucun
Fig. 2.17. L'observation de la tension u', délivrée
par le transformateur abaisseur T, est possible
avec un oscilloscope ordinaire car le point A”, ou le
d'eux n'est égal à celui de la terre.
point B', peut être relié sans danger à la terre.
35
2.3. Étude théorique
Le montage utilisé (fig. 2.18) comporte un amplificateur opérationnel idéal qui fonctionne en régime linéaire (voir 1" F2-3-5,
chap. 21). Les résistances sont choisies de façon à réaliser
les conditions suivantes :
R, =
Déterminons
expression
R;
et
les potentiels
R;, = R4.
v» et vQ afin de trouver
étant prise comme
de v,. La masse
une
potentiel de
référence, nous obtenons les égalités :
plificateur opérationnel.
al mn
PRO ca
R,
É
R;
p'
R;+R,
À
R +R,
2
Far
Fig2.18. Amplificateur de différence utilisant un
Par application du théorème de superposition, nous pouvons
écrire :
R;
+ —R;1 y».
Vos.
5
Ri
+R;
VE
R;
+185
Puisque la tension différentielle & peut être considérée comme
nulle :
Vp =
Vo
R;
R; — Vp + ————
R;
LV
———
Ve.
R,+R;
R, + R;
R,+R;
D'où la valeur de la tension de sortie :
EE
Oscilloscope à entrées différentielles.
Chaque voie de l'oscilloscope comporte une entrée
+ et une entrée -.
Ainsi la trace observée sur la voie 1, par exemple,
représente :
V= AG
V5).
2.4. Fonction de transfert
Pour un amplificateur de différence réel, nous allons vérifier
expérimentalement que la relation donnant la tension de
sortie peut s’écrire :
Dans cette expression :
A, est le coefficient d’amplification différentielle,
A, est le coefficient d’amplification de mode commun,
V, est la tension de décalage du montage.
Le montage utilisé est celui schématisé sur la figure 2.18.
# 2.4.1. Détermination expérimentale de W
Réunissons
les points À et B à la masse
v, =» =0 volt.
V, = 5 mV).
36
Nous
mesurons
alors
: nous
imposons
v,= V, (par exemple
m2.4.2. Détermination de À.
!
!
I
!
l
(
!
!
ul
Appliquons la même tension réglable »., entre chaque entrée A
et B et la masse :
Va VB = VE
et relevons la courbe v,() (fig. 2.19). C’est une droite de
coefficient directeur À, (on trouve par exemple : 4, = 0,010).
m2.4.3. Détermination de A,
Fig. 2.19. Détermination expérimentale du coefficient d'amplification de mode commun.
La condition expérimentale, \,=V,=V-, entraîne :
Prenons par exemple v3 = 0 volt et relevons »(v,) (fig. 2.20).
En tenant compte des résultats précédents nous trouvons
A4 © 10, valeur très proche du résultat obtenu par la théorie
simplifiée (4 = FE: 10).
il
Vs= AVE+ Vo
e Taux de réjection de mode commun (T.R.M.C.)
Le résultat précédent montre que la tension de sortie d’un
amplificateur de différence réel ne dépend pas uniquement de
la tension
tension
différentielle
de mode
v,. La
commun,
tension
a une
y. =
influence
Va
+ VB
, appelée
sensible
sur
la
tension de sortie. De ce point de vue, la qualité d’un amplificateur de différence sera caractérisée par un coefficient appelé
taux de réjection de mode commun.
T.R.M;C:=20los n.
Pour l’amplificateur étudié, nous trouvons :
T.R.M.C. = 60 décibels.
Fig. 2.20. Détermination expérimentale du coefficient d'amplification différentielle.
La condition expérimentale v, = 0 volt entraîne :
soit :
Vs= Agat ANat Vo
dès que V,> 100 mV.
V«=AN,
2.5. Origine des défauts
La tension de décalage PV, est un défaut dû au circuit intégré luimême. Elle peut être annulée avec certains circuits intégrés
pour lesquels un réglage est prévu dans ce but.
Le terme 4, dépend d’une part de l’imperfection avec laquelle
R; _ R;
on a réalisé la condition
, et d’autre part du circuit
2
4
intégré qui n’est pas un amplificateur de différence idéal.
En agissant sur l’une des quatre résistances, par exemple sur R,
(fig. 2.21) il est possible de rendre À, nul.
Fig. 2.21. Compensation des imperfections de
l'amplificateur de différence.
— Le potentiomètre P (10 kQ), convenablement
connecté, permet d'annuler V,.
— La résistance réglable R, permet d'annuler
expérimentalement À...
— Ces corrections dépendent du circuit intégré
utilisé (le brochage indiqué correspond au boîtier
CB98).
m3. MONTAGE INTÉGRATEUR.
MONTAGE DÉRIVATEUR
Nous avons vu que l’amplificateur opérationnel permettait de
réaliser des opérations mathématiques simples : sommation,
soustraction. Avec ce composant, il est aussi possible de
réaliser, de façon analogique, les opérations d'intégration et de
dérivation.
37
3.1. intégrateur
m3.1.1. Étude théorique
e Pour calculer la tension de sortie d’un montage intégrateur
(fig. 2.22), nous supposons que :
|
— J’amplificateur opérationnel est parfait (£ = 0, i‘ =i- =0);
— le condensateur est initialement déchargé (g = 0 à l’instant
t=0);
— Ja tension d’entrée v.(t) est nulle avant l'instant initial
(t = 0).
e Dans ces conditions, nous pouvons écrire les relations
suivantes :
i= Ve
R
(car
€ = O0)
t
a- |idt
(car
i =0)
0
qg= Cu,
=
(car € = O).
Par conséquent :
Fig. 2.23. Influence de la tension et du courant de
décalage du circuit intégré.
— L'amplificateur réel peut être considéré comme
l'association d'un amplificateur idéal, d'un générateur de tension V, représentant la tension de
décalage à l'entrée, et d'un générateur de courant
d'intensité |...
— Supposons que la correction apportée par R'
soit parfaite. L'entrée étant reliée à la masse, en
régime permanent nous avons : V,= C® et aucun
courant ne parcourt la branche du condensateur.
Dans ces conditions, en tenant compte du fait que
= 0, en appliquant le théorème de superposition
nous obtenons :
(nue
— Pour ne pas modifier sensiblement l'opération
d'intégration il convient de prendre R'>R.
(R' = 50R par exemple). Alors :
V,= deVs.
Par conséquent l'amplificateur ne se sature pas
W,= 100 mVpour V,=2mV et|,=2 mA).
Fig. 2.24. Montage intégrateur.
>
—R=10Kk0,C=10nF, R' = 470 kQ.
— V, : tension en créneaux, 5 V crête à crête,
f= 1 kHz.
À la tension d'entrée en créneaux correspond une
tension de sortie en dents de scie. Calibres : en
ordonnées : 5 V/cm; en abscisses®: 0,5 V/cm ou
0,2 ms/cm.
38
q
nn.
Vs
y
Ad.
1 R
D'où une expression de la tension de sortie du montage :
Conclusion
Le montage intégrateur fournit une tension de sortie proportionnelle à l’intégrale de la tension d’entrée.
Notons que si la tension v, est positive v, décroît, et que si ».
est négative, y, croît.
Remarque
|
En pratique, la tension de décalage et le courant d’entrée :" du
circuit intégré (fig. 2.23) provoquent la saturation de l’amplificateur opérationnel. On remédie à ce défaut en utilisant, par
exemple, le montage de la figure 2.24.
m3.1.2. Application : intégration d'une tension périodique
Appliquons à l’entrée du montage de la figure 2.24a une
tension périodique en créneaux, de valeur moyenne nulle. La
tension de sortie y, est une tension en triangle.
e Sur l'intervalle Lo| V, = ÿ. = 2,5 V. Sur ce même
inter-
valle, par conséquent, l’expression de la tension de sortie est :
À la tension d'entrée en créneaux correspond une
tension de sortie en dents de scie. Calibres : en
ordonnées : 5 V/cm; en abscisses : 0,5 V/cm ou
0,2 ms/cm.
|
baie V1 + K
soit :
(K = constante)
v=-at+K
expression dans laquelle (fig. 2.24 b) :
a = 2,5 - 10* V/s
K = v,(0) = 6,25 V.
Comme
la tension y, est périodique, triangulaire et de valeur
à
L
moyenne nulle, v.(0) = — y, F = 4 2:
3.2. Dérivateur
m3.2.1 Étude théorique
Fig. 2.25. Montage dérivateur. Principe.
Le schéma de principe d’un montage dérivateur (ou différenciateur) est donné figure 2.25. Les hypothèses concernant
l’'amplificateur opérationnel et les conditions initiales sont les
mêmes que pour le montage intégrateur.
Pour trouver l’expression de la tension de sortie y, nous
disposons des relations suivantes :
; = 19 _
du,
dt
u.=Y,
dt
(car
e = 0)
Fe.
(car e = 0)
Donc :
r:
RTC
|
= Red
dt
Conclusion
La tension de sortie du montage dérivateur est proportionnelle
à la dérivée de la tension d’entrée.
Notons que si la tension v, croît v, est négative, et que si la
tension v, décroît, v, est positive.
m 3.2.2. Application : dérivation d'une tension périodique
Dans le montage dérivateur utilisé (fig. 2.26), un générateur G
fournit une tension périodique en triangle. Nous obtenons une
tension de sortie en créneaux. En effet, sur chaque demipériode, la tension d’entrée v. est une fonction affine du temps,
et sa dérivée est constante.
Fig. 2.26. Montage
dérivateur.
R= 10 kQ,
L=dt+K
de =a > v,=-aRC
v=-ad+K>
=
dé
a > y, =aRcC.
C=10nFetr=220Q.
39
M4, FONCTION RETARD
4,1. Expérience
La résistance r, (r <R), en série avec le condensateur, amortit les oscillations apparaissant à la
sortie lorsque la résistance de sortie du générateur est faible r = 220 Q pour la photo a etr= 0 Q
pour la photo b. (Calibres : en ordonnées : 2 V/cm;
en abscisses : 0,5 ms/cm).
L.C.C. LKF 1 000 Q 0,68 us + 10 %
Ï
p
Nous utilisons une ligne à retard du commerce (ligne à retard
destinée à traiter le signal dit de luminance d’un récepteur de
télévision). Elle se présente sous la forme d’un bâtonnet d’une
dizaine de centimètres de long (fig. 2.27) et possède quatre
électrodes : deux électrodes d’entrée auxquelles nous appliquons un signal d’entrée (tension triangulaire), et deux électrodes de sortie qui nous permettent de récupérer la tension de
sortie. En réalité, deux de ces électrodes sont reliées entre elles,
et nous les relions à la masse du générateur.
Sur la ligne à retard, nous pouvons lire, outre la marque
et le type de la ligne, les indications suivantes : 1000 Q);
0,68 us + 10 %.
Choisissons un signal d’entrée de fréquence 500 kHz (donc de
période 2,0 us) et observons le signal de sortie. Si la ligne à
retard est à vide, le signal de sortie est très différent du signal
d’entrée : nous constatons une grande distorsion par rapport à
celui-ci. Branchons une résistance ajustable R, réglable entre 0
et 1,5 kQ, entre les bornes S et M de la ligne à retard (fig. 2.28) :
pour une valeur R, de R, voisine de 1,0 kQ, le signal de sortie
reproduit le signal d’entrée avec seulement un décalage 0 dans
le temps (fig. 2.29). La ligne a introduit un retard.
Ce réglage de la résistance de la charge étant effectué, on peut
vérifier que le signal de sortie reproduit le signal d’entrée à un
retard près, pour une large gamme de signaux (sinusoïdaux, en
dents de scie, carrés mais de fréquence faible, etc.).
Le retard est toujours le même et l’oscilloscope permet de le
mesurer : nous trouvons alors : 0 0,68 us. R, est appelée la
résistance caractéristique de la ligne à retard.
Fig. 2.27. Les électrodes 1 et 4 sont reliées entre
elles (masse). Souvent,
n'existe pas.
d'ailleurs, l'électrode 4
4.2. Fonction retard
M 4.2.1. Expression mathématique
Si la ligne à retard, fermée sur sa résistance caractéristique,
introduisait le même retard © pour tous les signaux d’entrée,
quelles que soient leur fréquence et leur forme, elle réaliserait
une fonction retard idéale. Nous traduisons mathématiquement
cette propriété, en écrivant qu’au signal d’entrée v.({) correspond le signal de sortie :
v()=v(—0).
Fig. 2.28. Une ligne à retard doit être fermée sur
sa résistance caractéristique R.. loi R,= 1000 Q.
C'est une valeur trés courante.
A l'instant f, la tension de sortie est égale à la valeur prise par la
tension d’entrée à l'instant ({ — 6).
& 4.2.2. Application
transfert
au régime harmonique
: fonction de
A une tension d’entrée sinusoidale : v, = V V2 cos œt nous
associons le nombre complexe V, = V.
D’après la définition de la fonction retard, à cette tension
d’entrée correspond la tension de sortie suivante :
Fig. 2.29. Lorsque la ligne à retard est fermée sur
sa résistance caractéristique et que la fréquence
du signal d'entrée n'est pas trop grande, on a
v{t}= vit - 0).
40
v, = VV2 coslœ(t - 0)]= V V2 cos(ot - 0).
A cette tension sinusoidale nous pouvons associer le nombre
complexe qui a pour module V et pour argument y =-@0. Un
tel nombre complexe peut s’écrire sous la forme :
Fe PR EL
ar 0
La fonction de transfert T' correspondante est :
Fig. 2.30. Amplitude de la fonction de transfert
d'une ligne à retard parfaite.
W
0
Fi
Nous nous intéressons au module 7 de cette fonction de
transfert et à son argument (ou sa phase) y.
Il est clair que T = 1 : l'application d’une fonction retard à une
tension sinusoidale ne modifie pas l'amplitude de cette tension,
et ceci quelle que soit sa fréquence f= w/2nr (fig. 2.30).
Quant à l’argument de T, il est égal à y = - 0. Le graphe de la
figure 2.31 traduit la variation de y en fonction de f.
4.3. Ligne à retard réelle
Fig. 2.31. Argument de la fonction de transfert
d'une ligne à retard parfaite.
m 4.3.1. Expérience
A la ligne à retard précédente appliquons une tension d’entrée
sinusoïdale (v, = V V2 cos «f) et faisons varier la fréquence /fde
cette tension de 100 kHz à 10 MHz. Nous pouvons tracer le
graphe du module T de la fonction de transfert de la ligne à
retard (fig. 2.32). En utilisant un phasemètre, nous pouvons
relever la courbe représentant les variations de l’argument y de
T en fonction de (fig.
f
2.33).
Nous constatons que jusqu’à 4 MHz, T conserve une valeur
proche de l’unité : la ligne atténue quelque peu la plupart des
signaux qui lui sont appliqués. Elle en privilégie certains
cependant : on dit qu’elle n’est pas parfaitement «adaptée».
Après 4 MHz, T diminue; par exemple, à 5 MHz : T = 0,5. Les
signaux de hautes fréquences ne sont donc pas transmis par la
ligne : elle se comporte comme un filtre passe-bas.
En ce qui concerne l’argument y, jusqu’à 4 MHz, nous obtenons à peu de choses près la courbe idéale (attention : pour
lyl> 2x, il faut procéder par continuité; le phasemètre et
l’oscilloscope ne permettent pas de distinguer x et 37).
Fig. 2.33.
æ 4.3.2. Conclusion
circuits de
synchronisation
De nombreuses lignes à retard analogiques sont disponibles.
Les retards qu’elles introduisent sont en général inférieurs à
20 us (pour des retards très supérieurs, on fait généralement
appel à des techniques numériques). Pour fonctionner correctement, toutes les lignes à retard doivent être fermées sur leur
résistance caractéristique À. qu’il faut donc connaître.
lignes à retard sont en général des filtres passe-bas.
Atténuateur
ligne à
Déviation
Fig. 2.34. Organisation d'un oscilloscope. Dans
un oscilloscope, c'est le signal lui-même qui
déclenche le balayage. On retarde le signal avant
de l'appliquer à l'amplificeteur de déviation verticale. Cela permet d'observer la courbe au voisi-
nage du seuil de synchronisation.
Les
4.4, Usages des lignes à retard
Un récepteur de télévision couleur comporte plusieurs lignes à
retard qui interviennent dans l’élaboration des signaux nécessaires pour reproduire des images. La plupart des oscilloscopes
en possèdent également une (fig. 2.34). Les décodeurs prévus
pour la réception de la chaîne de télévision Canal + utilisent
largement les propriétés des lignes à retard.
41
Travaux pratiques
1. Étude d’un montage amplificateur de différence
Le montage est celui de la figure 2.35. Nous
rappelons que la tension de sortie v$ a pour expression :
1.3. Détermination du coefficient d'amplification
différentielle 44.
Le point B est relié à la masse. Dans ces conditions,
la tension v, est donnée par la relation :
vs = AqVa + AcVa + Vo.
va +y
Vs = Aa (va — VB) + Ac (a
Vo.
Si l’amplificateur opérationnel est parfait, et si l’on
réalise de façon rigoureuse la condition a © la
1
A4
*
R
valeur théorique de À, est : A4 = .
Pour le montage considéré 44 = 10.
Compte tenu du fait que 4, est très faible devant 44,
et que PV, est égal à quelques millivolts, dès que la
tension v\ dépasse quelques dizaines de millivolts,
v, peut s’écrire :
Ys =
AN
KW
Fig. 2.35. Les résistances au carbone (à 0,2 % ou 0,5 %) ont les valeurs
suivantes :
R,=R,= 10000 -1/2W;
R,=R,= 100k0-1/2W.
La mesure des tensions V,, V, et V. est réalisée au moyen de voltmètres électroniques.
1.1. Mesure de la tension de décalage P,.
Relier les points A et B à la masse M pour avoir
va = ÿg = 0; mesurer la tension de sortie qui est alors
égale à :
Vs _
1.2. Détermination du coefficient d'amplification
de mode commun 4..
Relier les points À et B au point E (fig. 2.36).
Si va = vg = v, la tension de sortie est égale à :
Vs _ AVE
+
2. Montage intégrateur
Réaliser le montage de la figure 2.24, avec
R=10kQ, C=10nF, R'=470 kQ. On vérifiera
quantitativement la relation établie en cours :
es
=-—1
t
1
ni4de J sra
selon laquelle la sortie y, admet, à une constante
Vo.
Vérifier que la tension de décalage 1, est de l’ordre
de quelques millivolts.
è
AGVa .
Dans ces conditions, relever et tracer la caractéristique de transfert en tension du montage v{vA);
en déduire la valeur de À, et la comparer à la valeur
théorique.
1.4. Calculer le taux de réjection de mode commun
du montage.
Vo :
Relever la caractéristique de transfert en tension du
montage; tracer v,(v-). Déterminer la valeur de
A, (généralement le coefficient d'amplification de
mode commun 4, est faible, proche de 10 -?).
près, l’entrée pour dérivée Ë - k.).
Pour cela on utilisera des signaux d’entrée en
créneaux de fréquence 1 kHz.
On mettra en évidence le phénomène de «lissage»
qui accompagne l'intégration : ainsi si l’on applique
une tension «sinusoidale » distordue à l’entrée d’un
intégrateur, la tension de sortie, elle, ne présente que
des défauts mineurs. Afin de vérifier cette propriété,
on peut créer une tension présentant de la distorsion, à partir de celle qui est délivrée par un
générateur, en utilisant le montage de la figure 2.37.
15V
E
A,B
VE
-15V
WW
Fig. 2.36. P est un potentiomètre de 1 kQ (1 Wi
42
Fig. 2.37. Montage permettant d'obtenir une tension présentant une
importante distorsion.
À
D, et D, sont des diodes 1 N 4148 (v est fournie par un générateur).
3. Montage dérivateur
Réaliser le montage de la figure 2.26, avec
R=10kQ et C=10nF.
En utilisant des signaux d’entrée triangulaires de
1 kHz, on vérifiera la relation :
on peut mettre en évidence le fait que les sinusoïdes
que celui-ci délivre, ne sont qu’approchées par des
portions de fonctions affines, comme le montre (en
exagérant), la figure 2.38.
4. Étude d’une ligne à retard
dv
ess RC —<:
:
di
On
On mettra en évidence le fait que l’opération de
dérivation accentue les «défauts» des fonctions :
ainsi, en dérivant une tension «sinusoidale » fournie
par un générateur de fonctions de qualité médiocre,
utilisera
par exemple
une
ligne à retard
de
marque SECRE, de type FM 477 R, dont le retard 0
est égal à 4,7 us et la résistance caractéristique
R,;= 1,0 kQ. On étudiera sa fonction de transfert
(module et argument).
Fig. 2.38.
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
REPONSE(S)
L’amplificateur de différence de la figure
2.40 a les caractéristiques suivantes : coefficient
L’amplificateur de différence de la figure
2.39 est parfait. Son coefficient d’amplification dif-
d'amplification différentielle 4,= 10, coefficient
d'amplification de mode commun À, = 0,1, tension
de décalage V, = 0. Si v, = 0,2 V et v, = 0,4 V ; quelle
férentielle À, est égal à 1. Quelle
obtient-on?
tension
w,
tension, v, obtient-on?
R : —-1,97 V; — 1,94 V; 2,03 V; 3,02 V.
R :e-2E;e- 5 e; 2ËE+e.
Fig. 2.39.
43
l'exercice précédent, on donne : tension de mode
commun : 2 V: tension de mode différentiel : 0,4 V.
L'origine des temps étant prise à l’instant
où l’on ferme l'interrupteur K, la tension w(f) aux
bornes du condensateur de la figure 2.43 exprimée
Quelle est la valeur de v,?
en volts, a pour expression : u = 10 + de “ La
Pour
l’amplificateur
de
différence
de
Indiquer, dans l’ordre : la tension initiale #, aux
R: 16 V: 1,7 V; LS V; 2,4 V.
Quelles
caractéristiques
la courbe
vs (vx)
de l’amplificateur de différence de la figure 2.41
permet-elle de déterminer?
R : Au et Vos Aa et 4,5 A. et Vos 4e, Aa et Vo.
bornes du condensateur, la tension Æ appliquée et
l'expression (en volts) de la tension wr.
R : 10 V, 4 V, de”*; 14V, 10 V, -4e“; 4,
10 V, 10e*; 14 V, — 4 V, — 14eà.
Fig. 2.41.
Le coefficient d'amplification différentielle d’un amplificateur de différence atteint 200;
son coefficient d'amplification de mode commun
est égal à 0,1. Quel est son taux de réjection de
mode commun ?
Fig. 2.43.
R : 3,3 dB; 33,0 dB; 66,0 dB; 152 dB.
Dans le montage de la figure 2.42 la
tension de sortie y, est égale à 0,50 V. En supposant
que le défaut correspondant est dû à la seule existence d’une tension de décalage (tension d’offset)
VA, déterminer |V| sachant que R;/R, = 100.
R : 1,0 pV; 5,0 mV; 50 mV; 500 mV.
Une ligne à retard est supposée parfaite.
Elle est fermée sur sa résistance caractéristique. Son
retard est de 0,68 ps.
Quelle est la plus petite fréquence de la tension
sinusoidale qui peut être appliquée pour que les
tensions d’entrée et de sortie soient en opposition de
phase?
R : 1,47 MHz; 680 MHz; 68 kHz; 735 kHz.
Une ligne à retard fermée sur sa résistance
caractéristique est considérée comme parfaite. On
lui applique une tension sinusoidale. La tension de
sortie semble être en phase pour la première fois
avec la tension d’entrée pour une fréquence de
1,0 MHz.
Quel est le retard de cette ligne?
Fig. 2.42.
+1
R : 0,5 us; 4,7 us; 1,0 us; 0,68 us.
Exercices résolus
Le montage de la figure 2.44 fonctionne en
régime linéaire.
La résistance de Thévenin est la résistance équivalente vue des bornes N et M, c’est-à-dire la résistance équivalente à deux résistances R, et R, placées
en parallèle (entre S et M nous supposons que la
source de tension est parfaite).
Donc
7
:
b,
= R3R4
R+R,
La f.é.m. de Thévenin est la tension aux bornes de
la résistance R, lorsque i = 0. R; et R, forment alors
un pont diviseur de tension.
D'où :
Fig. 2.44.
E,,
th
= R; R4
+R,
ÆS
2.1. Expression de U;
La loi d’additivité des tensions appliquée à la maille
d’entrée donne :
1° Calculer les éléments du générateur de Thévenin
E;;; Ryf Vu des points N et M en fonction de U,,
R; et R;.
2° Exprimer :
LE pr Ril: Te
L’amplificateur opérationnel fonctionnant en
régime linéaire, la tension différentielle d’entrée €
peut être considérée comme nulle.
2.1. U, en fonction de R, et de Z, valeur complexe de l'intensité #, du courant traversant la
résistance R,,
D'où :
2.2. E,, en fonction de R,, R,, et de Z;,
2.2. Expression de £Æ;,
La figure 2.46 représente la maille de réaction du
montage. Appliquons la loi d’additivité des tensions.
2.3. En en fonction de R, et R,,.
U.
Ue=Ril;
(1)
3° Donner l’expression littérale de l’amplification en
U
tension
ension À,
À, ==.
v.
4 Que devient l’expression de À, dans le cas où
R; <R,?
s°
R, =
10
kQ,
R;=22kQ,
R;=4,7kQ,
R;=1k9Q.
Calculer :
5.1. la valeur numérique de À,,
5.2. l’impédance d’entrée Z, du montage.
Fig. 2.46.
SOLUTION
1° Éléments du générateur de Thévenin
Nous obtenons :
La figure 2.45 représente la partie du montage dont
on cherche le modèle de Thévenin.
Ex
=—(R) + Ra) Li]
(2) (€&0)
2.3. Expression de E,, /U,
Éliminons /, entre les relations (1) et (2) en effec-
(2).
tuant le rapport -—
(D:
A
(U.
Fig. 2.45.
(©
à Ri)
R
C3
3° Expression de 4, = U, /U,
Remplaçons, dans la relation (3), E;, et R,, par leurs
expressions obtenues dans la première question :
45
5 R,=1kQ, C,=10nF, R, = 10 kQ, C;,=1nE.
L
soit :;
Cu.
R3 + R4
UtR; +R
R,
U
R;R;
+
RR4
OR
SZ 3
22+4 + R;3R
344
Ay
v.
5.1. Représenter la courbe de réponse en gain G(æ)
du montage amplificateur.
5.2. L’amplificateur est-il sélectif ou à large bande?
TE MERR,
R, ©
ou encore:
4 Expression simplifiée de 4, = U,/U,
En choisissant les résistances R, et R, telles que
Ra < R, l'expression précédente devient :
Fig. 2.47.
5.1. Valeur numérique de À,
R;= 1 kQ et R;, = 22 kQ : nous sommes dans le cas
où R;<R,. Nous pouvons utiliser l'expression
simplifiée de À,.
PT
1
D'où: À,
22.
4,7
spa
10 (1+
}> Ay
1255
5.2. Impédance d’entrée Z,
L'impédance d’entrée du quadripôle est le rapport
entre la tension d’entrée U. et l’intensité Z, du
courant d’entrée :
Ze = U/Le.
SOLUTION
1° Amplification en tension
Le montage de la figure 2.47 est un montage amplificateur inverseur analogue à celui de la figure 2.01
dans lequel l’impédance Z, est l’impédance de
l'association en série R,, C,; et Z) celle de l’association en parallèle R;, C;. Donc :
Zi=R-j/Co
est :
U,=R;l,
Ay=
nous en déduisons que :
Application numérique
Z.=R,=10kQ
Remarque : Ce montage permet d’obtenir des gains
élevés sans utiliser des résistances de trop fortes
valeurs : il est appelé amplificateur à gain amplifié.
L'expression de À, est indépendante de la fréquence : cela vient du fait que l’amplificateur
opérationnel est considéré comme parfait. Dans
la pratique, l’amplification en tension 4, = U,/U,
chute à partir d’une fréquence (élevée) qui dépend
de l’amplificateur opérationnel utilisé.
tension
2° Exprimer À, sous la forme :
À,
a
1+j(@/0, - /©)"
Donner les expressions de 4, ©, et æ.
3° Exprimer les pulsations de coupure &,; et &c, à
— 3 dB en fonction de &, et &;.
4° Quelle est l’expression de la bande passante à
— 3 dB de l’amplificateur?
46
— 1
(R; -j/C,@)(1/R; + jC20)
2° Expression de 4, @;, et ©)
Transformons l'expression de À, pour la mettre
sous la forme :
:
Lo
aa
(relation 1)
A,= PRIT
re = R.
1° Calculer l’amplification en
A,= U,/U, du montage de la figure 2.47.
Y,=1/R;+jC0@.
A, *UJU.=-2yJZ;=-1/Z41%
L’intensité Z, est aussi l’intensité Z, du courant qui
traverse la résistance R..
Comme :
et
L’amplification en tension :
Pour cela, mettons
nateur :
en facteur R,/R; au dénomi-
Ps
- R,/R,
7"
(1 -j/RC;o)(1 + jR,C20)
Effectuons le produit (1 — j/R,C,«w)(1 + jR,C;w) :
À.
=
7
= R,/R;
1+R,C/RiC, + j(R2C20— 1/R;C\&)
En mettant en facteur le terme 1+R;,C;/RiC;,
l'expression de À, devient (relation 2) :
À
eu
Le.
—
R;,C;/(R
C,+R;C;)
1+j{(o/G/RC,+1/R2C))-1/ÎCR,C; + RC) œl}
Identifions les relations (1) et (2). Nous obtenons :
RC
Ni
"RC+IRCI" RC RG
Re
‘ec
=
——
+
—:
S
ï
RC
nes
3° Pulsations de coupure
L’amplification 4, a pour module :
a
l4,1=
VIT + (oo, - Jo)
#3
Ce module est maximum pour w/&, — w,/« = 0.
5.1. Courbe de réponse
Calcul de a, ©, et ©, :
Son expression littérale est :
et
A9ÿ=4a= R;Ci/(RiC; + R;C).
Les pulsations de coupure sont telles qu’à — 3 dB,
a = R;C/(RiC + RC), © = 1/RC; + 1/R3C>
@=1/(R,C; + R;,C).
Applications numériques
a=0,5,
l4,1=40/V2. Donc :
et :
D
Vi+(o/o, -@/o}?
V2
soit :
©/@, — ©,/© =+1
ou encore :
_&? + &,@ — W,@ = 0.
Les solutions physiquement
pulsations positives :
Se E @, + Vo?
Do).
acceptables
«©, =2:10* rad/s
© = 0,5 - 10° rad/s.
L'expression numérique du gain est alors :
G=201g |A,1-201e |
V1+(&/2-10°- 0,5-10$/«w)?
sont
les
La courbe de réponse (fig. 2.48) montre
bande passante de l’amplificateur est :
que
la
B£=31,8 kHz.
oo,= (on+ Vi
Di + doc)
Jes
105
(Hz)
4 Détermination de la bande passante à — 3 dB
La bande passante à — 3 dB est :
B = fcs — Ja
avec
D'où :
Jes ui @cs/2T
et
Jai = Oci/2T.
B = (@c, — Wa)/27 = &;/2r.
Soit en remplaçant w, par son expression en fonction de R,,.R;, C, et C: :
Es = : res)
27
R;C,
R;C;
Fig. 2.48.
Exercices à résoudre
Afin de mesurer la variation r d’une résistance R (sous l’influence d’une variation de température par exemple), on réalise deux montages
(fig. 2.49 et 2.50) dans lesquels on utilise quatre
résistances R identiques, et seule l’une d’entre elles
subit la variation r.
1° Étude du montage de la figure 2.49.
L’amplificateur de différence est supposé parfait.
Son coefficient d'amplification de différence est
noté A.
Fig. 2.49.
1.1. Donner l'expression de v, en fonction de vyg
et Ai.
1.2. En déduire que v, peut s’écrire :
<
un
or
1.3. En supposant r très petit devant R, donner la
valeur approchée de v..
1.4. Quel est l'intérêt du montage?
47
2° Étude du montage de la figure 2.50.
|
214. | On considère le montage représenté sur la
figure 2.52 dans lequel la ligne à retard et les amplificateurs opérationnels sont parfaits.
L'amplificateur opérationnel est supposé parfait.
Fig. 2.50.
2.1. Établir une relation entre v, v, et .
4
2
2. M ontrer que 1;jee
D
y
2R+r
Fig. 2.52.
:
2.3. En déduire l’expression de v, en fonction de y.
2.4. En supposant 7 très petit devant
1° Exprimer y, en fonction de v, et de ».
R, montrer
,
Mess.
nr
que l’on peut écrire
: M == —.
2° Exprimer v, en fonction de v.(t) et de 6.
2.5. Quel est l’intérêt du montage ?
3° La tension v. est de la forme y, = V V2 sin œt
(wo = 27f).
Un amplificateur différentiel est réalisé
avec deux amplificateurs opérationnels que l’on
suppose parfaits (fig. 2.51).
1° Donner l’expression de v en fonction de y, et a.
2° Donner
et a.
l’expression de v, en fonction de v;, v
3° En déduire le coefficient d'amplification différentielle 4, du montage. Ce coefficient est défini par la
relation :
V, = A (M — vi).
4 Quelle
Ag= 10?
Fig. 2.51.
48
valeur
faut-il
donner
à a
pour
que
3.1. Quelle est, en fonction de PV, la valeur efficace
de v, lorsque la fréquence fest très faible (de l’ordre
de 1 kHz)?
3.2. On fait croître f. Montrer qu'il existe une première fréquence /f,, inférieure à toutes les autres,
pour laquelle la tension v, est nulle. Exprimer f, en
fonction de 6 et calculer sa valeur.
3.3. Quelle est, en fonction de PV, la valeur efficace
V, de v, pour
f= f,/2?
3.4. Quelle est la valeur de V. pour
f= 2f,?
3.5. Dessiner l'allure de F, en fonction de f.
AUTRES FONCTIONS
DE L'ÉLECTRONIQUE,
ASSOCIATIONS
DE FONCTIONS
Chapitre 3
Dans le chapitre précédent, nous avons étudié plusieurs fonctions de l’électronique. Dans celui-ci, nous poursuivons cette
étude. Nous donnerons également quelques exemples d’associations de fonctions différentes et nous nous pencherons sur
les problèmes posés par de telles associations.
m 1. FILTRAGE
1.1. Filtre passe-bas
m 1.1.1. Expérience
Nous utilisons un montage (fig. 3.01) dont la structure ressemble à celle d’un amplificateur inverseur. Le dipôle D,,
branché entre l’entrée inverseuse et la sortie, est constitué d’une
résistance À et d’un condensateur de capacité C montés en
parallèle. Le générateur basse fréquence G délivre un signal
sinusoidal d'amplitude constante et de fréquence f réglable.
Observons à l’oscilloscope les tensions v.({) et v,({) et mesurons
leurs valeurs efficaces respectives V. et V. (ou leurs amplitudes
v.V2 et V.V2) lorsque la fréquence / varie de 100 Hz à 10 kHz.
Nous notons Z la transmittance complexe du montage, et T
Fig. 3.01. Filtre passe-bas
son module
:
R=10kQ;C=10nF.
L
T==
4
>
T=—<,
V.
LA
ve
Grâce aux relevés effectués, nous pouvons déterminer, les
variations de 7° en fonction de f (nous ne nous intéressons
donc pas ici à l'argument 0 de T).
Nous constatons alors que (fig. 3.02) :
—
si la fréquence est faible : V, = VF,
— Jorsque la fréquence dépasse un seuil, V, diminue rapidement.
Ce montage, dont la transmittance ne dépend que de la
fréquence, est un filtre passe-bas : les signaux de basse fréFig. 3.02. Courbe de réponse du filtre passe-bas.
T diminue quand la fréquence augmente.
quence
sont transmis sans être atténués alors que les autres
signaux
grande.
sont
d'autant
plus atténués
que
leur fréquence
est
49
Un filtre passe-bas déphase également les
signaux qui lui sont appliqués, mais nous ne
nous intéressons pas ici au déphasage qu'il
apporte.
Rappels 1g :=-1g x
m 1.1.2. Interprétation : calcul de 7
Supposons l’amplificateur opérationnel
obtenons :
V
V
[I =—=--—
=e€
lg x°=n1gx.
TU
TA
A
R
Il
bem
idéal (fig. 3.03). Nous
F7
.
avec
YŸ,=—+jCo
Par conséquent
1
Là
=
l
1 + jRC&
Posons : &, = 1/RC, et : f. = &,/2n.
L'expression de T devient :
Fig. 3.03. L'amplificateur opérationnel est supposé idéal : i* =i- =0; e= 0. Les valeurs complexes associées à \,, i, et v, sont notées respectivement V,, l, etV..
Cette dernière expression montre bien que :
— Sif<f:
TET=1
soit: =,
— si f>f, : on peut négliger 1 devant
parenthèse, si bien que :
104
TA
f(Hz)
(lgP)
le contenu
de la
Lesf'
T est très faible et décroît comme
atténuation.
1/f. Le filtre provoque une
asymptote
m1.1.3. Caractéristiques
Fig. 3.04. Sur l'axe des abscisses on marque les
fréquences mais, en réalité, les longueurs sont
proportionnelles aux logaritimes des fréquences
(coordonnées semi-logarithmiques).
2
G=2019T-=- wu[1(t) |
a
= sif-0,G+G,=-10{1=00B
:
L sit>f,G=-101g
f\
f
(:) --200(?)
G= 20 Igf,20gt.
La quantité (20gf,-20lgf) est l'équation de
l'asymptote à la courbe G(f) quand f -«. Cette
droite passe par le point (f=f,, G = 0 dB); sa pente
est de - 20 dB par décade (une décade est l'inter-
valle de fréquences séparant deux fréquences f,
et f, telles que f,/f,= 10). Ainsi, pour = 10f,,
G= - 20 dB.
Pour f=f,, G=G.=G,-3dB car G,=0; pour
cette fréquence remarquable, la courbe G(f) se
trouve à 3 dB au-dessous de son asymptote.
50
e Impédance d’entrée Z,
C’est le rapport V./I. (fig. 3.03).
On peut calculer Z.; puisque la tension € peut être négligée,
on trouve :
Ze=R.
e Impédance de sortie Z,
Le calcul de Z, est assez difficile. Pour l’effectuer, il faudrait
connaître la résistance de sortie de l’amplificateur opérationnel
(1 F,, F;, chapitre 21), et tenir compte de la réaction introduite par la chaîne R, Z,. Comme dans tous les montages où
l'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire, on
constate que Z, est très faible (inférieure à 1 Q).
e Gain G
Nous avons vu au chapitre 2 que le gain, exprimé en décibels
(dB), est tel que :
G=20lB&T
soit:
G=-101g{1 + (£Y1
La figure 3.04 donne la courbe représentant les variations de Ja
fonction G(f) en coordonnées semi-logarithmiques.
e Fréquence de coupure
La fréquence de coupure à — 3 dB est la fréquence pour laquelle
le gain est égal à :
PF, = On - 208
avec Tax = T(0) = 1 et Grax = 0.
Par conséquent, pour la fréquence de coupure il vient :
G}=-3dB! soit: T=T.=7,../V2=1/V2
(en effet : 20 1g[1/V2] = - 20 1gV2 = - 10 x 0,30 = - 3,0).
L'expression de T nous montre que c’est pour f = f. que G = G..
La fréquence de coupure est donc égale à :
(pour le montage de la figure 3.01, f. = 1,59 kHz).
e Bande passante
C’est l’intervalle de fréquences pour lequel Test supérieur à 1
valeur 7: =1 IV2 (ou pour lequel le gain G est supérieur à G.).
Pour le filtre passe-bas étudié, la bande passante s’étend de la
fréquence nulle (tension continue) jusqu’à f..
1.2. Filtre passe-haut
Une étude expérimentale, analogue à la précédente, peut être
conduite avec le montage de la figure 3.05. Nous nous bornons
ici à mettre en évidence les propriétés essentielles de ce filtre.
m1.2.1. Transmittance
Exprimons la transmittance complexe T du montage :
Fig. 3.05. Filtre passe-haut.
Res
R=10kQ;C=10nF> f,= 1,59 kHz.
Puisque
&= 0, l'impédance d'entrée de ce montage
est égale
àZ..
Soit :
T=-
AVOC DO
R E—,
—
Par conséquent le module T de la transmittance complexe T'a
pour expression :
m1.2.2. Caractéristiques
L'expression de la transmittance montre que :
—
—
si f> f:
si f < f, :
T=T,=1%
IN =
T=
Ep.
<1 > V, < V..
51
Le montage atténue les signaux de basse fréquence et transmet
sans les atténuer les signaux de fréquence élevée : c’est un filtre
passe-haut.
Sa fréquence de coupure est :
Fig. 3.06. Variation de T=[T| en fonction de t
pour le filtre passe-haut. Un tel filtre déphase également les signaux qui lui sont appliqués.
Les figures 3.06 et 3.07 donnent les courbes représentant les
variations de T'et de G = 20 Ig T en fonction de f.
L’impédance d’entrée de ce filtre passe-haut est égale à Z, ; elle
varie avec f.
Fig. 3.07. Courbe de gain du filtre passe-haut en
coordonnées semi-logarithmiques
a G= 20147 = 20 lg—"—
A
V:(5)
nidt,T=1,G=6G,-0dB
nf=f,
1-7, G-G,-308=0
2
saf—0T=tff,G=-20/gft-201gf,.
La quantité (20 1gt-20 gt.) est l'équation de
l'asymptote à la courbe G(f) lorsque f — 0; sa
pente est de 20 dB par décade, ainsi pour
=f,/10, on a G = - 20 dB.
1.3. Filtre passe-bande
Comme pour le filtre passe-haut nous
recherche des propriétés principales.
nous
limitons
à la
& 1.3.1. Transmittance
Le montage de la figure 3.08 comprend deux dipôles R, C dont
les impédances complexes sont :
;
l
12
Z\=R-—=—et:Z,=—
Y, = —+jCo.
Zi
a
22
Y, avec : TR
J
La transmittance complexe T de ce montage est donnée par
l'expression suivante :
4
Fig. 3.08. Filtre
C=10nF.
passe-bande.
R=10kQ;
— En basse fréquence: Z SE et v,=L.
Y
R'
JU0
TÆ-jRCo. Si — 0 alors T — 0. Les signaux de
basse fréquence sont atténués.
l
Il
VE iCw)
(xCELA
let
11 )
2+ i(RCO _ =
Posons : &, = 1/RC, soit f, = 1/2rRC;
s'écrit alors :
la relation précédente
En posant : 7,= 1/2, le module T de T estrar CS
— En Re - fréquence: Z,TR et Y,=jCo;
T& Ru
i-.
Si® — w alors T — 0. Les signaux de
Fe fréquence sont atténués.
L'impédance d'entrée est égale à Z : elle varie
avec la fréquence.
52
LI
1
m 1.3.2. Caractéristiques
e Fréquence centrale
C’est la fréquence pour
laquelle T est maximal. L’expression de 7 montre que cette fonction atteint son maximum
(Tax = Lo = 1/2) lorsque son dénominateur est égal à 1.
Dans ce cas nous avons :
dd
f.'ùj”J POyEnc JFig. 3.09. Variation de T avec f pour le fitre
passe-bande. La sélectivité d'un tel filtre, mesurée
par Q =f,/Af = 0,5 est faible.
Pour R=10kQ et C=10nF
f= 1,59 kHz; f,. = 3,83 kHz.
: f,=0,65 kHz;
e Fréquences de coupure
Pour les fréquences de coupure à — 3 dB la transmittance est
égale à : T= T/V2 (fig. 3.09). Ces fréquences sont les solutions
positives des équations auxquelles doit satisfaire la variable f
pour qu’il en soit ainsi. Nous trouvons :
a) (9/20 — f/2) = 1, soit : f?-2ff - fé = 0.
Nous obtenons ainsi la fréquence de coupure supérieure :
les
b) (7/2
a ST
fo AY==T, soit : f2,+ 2ff — fé =-0.
Nous obtenons cette fois la fréquence de coupure inférieure :
fa=(- Ï + V2)f,.
e Bande passante
C’est le domaine
et f. :
k
de fréquences
limité par les fréquences /,;
N=fs fs = 2.
e Impédance d’entrée
Elle est égale à Z, et varie donc avec f.
M 2. ASSOCIATION DE FONCTIONS
Fig. 3.10. La numérotation des broches correspond, en réalité, au circuit intégré MF 10 qui comprend les éléments de deux circuits intégrés MF 5.
Entre la borne 10, que nous avons notée H, et la
masse, on applique une tension en créneaux de
4,5 V, dont la fréquence f, est réglable. La cons-
tante de temps + des deux intégrateurs S, etS, est
50
alors telle
tel que !t=—-.
:* %
h
La variation de + est obtenue grâce à la technique
dite de «commutation de capacité». En portant la
borne 6 au potentiel V * = 5 V, on place le commutateur C dans la position (1); en fixant son potentiel
à V=-5V, on placerait ce commutateur dans la
position (2) ce qui permettrait de réaliser d'autres
applications que celle que nous allons étudier.
Dans tout système électronique remplissant une fonction
quelque peu complexe on peut distinguer des sous-systèmes qui
remplissent chacun une fonction simple, comme celles que
nous avons étudiées. Ils sont associés à l’intérieur d’un même
boîtier ou d’une même enceinte et sont interconnectés entre
eux.
A titre d'exemple nous allons étudier la structure d’un circuit
intégré particulier (MF 5), qui permet de réaliser un filtre
sélectif dont la fréquence centrale f, est réglable à volonté
tandis que sa bande passante Af reste étroite et telle que :
Q=Jj,/Af= constante.
Ce filtre nous sera utile lorsque nous voudrons séparer plusieurs signaux sinusoidaux présents dans un même signal non
sinusoidal (chapitre 7).
2.1. Structure du circuit intégré MF5
Utilisant la technologie
(fig. 3.10) :
CMOS,
ce circuit intégré comporte
— un amplificateur opérationnel À dont seule l’entrée inverseuse est libre;
— un opérateur de différence D, qui fournit un signal égal à la
différence entre la tension de sortie de l’amplificateur opérationnel et la tension de sortie de l’intégrateur S, ;
53
— deux intégrateurs en cascade, S, et S,, dont les bornes de
sortie sont accessibles.
La relation entre la tension de sortie s de l’un quelconque des
intégrateurs et sa tension d’entrée e peut s’écrire (voir chapitre 2) :
t
1
fear
T
Fig. 3.11 Réalisation d'un amplificateur sélectif à
l'aide du circuit intégré MF 5. La tension de sortie
est s; la tension y est appliquée entre l'entrée de
Jo
Particularité très intéressante de ce circuit intégré : la constante
de temps t qui intervient dans cette expression est réglable à
volonté. Si jf, est la fréquence d’un signal d’horloge appliqué
entre la borne H du circuit MF 5 et la masse, 7 est inversement
proportionnelle à f, :
l'opérateur de différence et la masse (système
«bouclé »)
R,=330k0; R,=10k0.
L'impédance d'entrée de cet amplificateur sélectif
est égale à : R, = 330 kQ; son impédance de sortie
est celle du premier intégrateur : elle est très faible.
2.2. Analyse du montage
Pour le montage de la figure 3.11, construit à partir du circuit
intégré MF 5, nous supposons tous les opérateurs idéaux.
L’amplificateur opérationnel A est utilisé pour réaliser un
amplificateur sommateur. Ecrivons que le courant entrant dans
A par la borne inverseuse est nul :
D'où la relation entre x et s :
R;
R;
LPS
=- 2 e (relation 1)
R;
R;
Pour les trois autres opérateurs nous pouvons écrire :
e pourD:
Ee=x-y
> x=Ee+7y (relation 2),
{
e pour S, :
5-1
fears e-rŸ
TJo
dt
{
e pour S, :
y=1
[sa
T
Fig. 3.12 Circuit résonnant série R, L, C.
Avec les notations de la figure nous pouvons
écrire :
Jo
Reportons ces deux dernières expressions de € et de y dans la
relation 2. Il vient :
t
i= _ Si nous choisissons l'instant initial t= 0 tel
cr
t
que q(0)= 0, cette relation équivaut à q = Îi at.
0
Donc : u-d-2 |:dt.
0
SiR
est faible devant Lo, (adk le facteur de
qualité CET ur
est élevé, et seule une
R
RCo,
tensionu de fréquence
f très proche de la fréquence de résonance f, donne naissance à un
courant d'intensité appréciable.
Q> 10; si Af rose 3 dB, on rappelle
quel'on
a la
relation: Q =1
54
Sal
fsar
Œ
0
Dans la relation 1, remplaçons x par cette dernière expression.
Nous obtenons:
t
ds 1!
R
R
.
pe
Li
gefs dt+-—25=-—2
R?
FAC ]
3)s
C’est une équation différentielle semblable à celle que l’on peut
écrire en appliquant la loi d’'Ohm au circuit résonnant série de
la figure 3.12 :
t
LÊ+S [ idt
+ Ri=u. (relation 4)
Le second membre de la relation 1 s'écrit
PR.
|
J
a: e, mais si E est la valeur efficace de
1
e(t), la valeur efficace de la tension -À e
1
est à E. C'est pour cela que l’analogue de
1
U dans le montage de la figure 3.12 et 13
dans celui de la figure 3.11.
1
Les solutions des deux équations ont donc des formes semblables. Rappelons rapidement la solution de cette dernière
équation.
Si u est une tension sinusoïidale, de valeur efficace U constante
et de fréquence f variable, nous savons que le circuit de la
figure 3.12 peut être le siège d’un phénomène de résonance
en courant. Pour l'intensité À, tout se passe comme si le circuit opérait une sélection de fréquences autour de sa fréquence
propre f, :
1
De
er
Ainsi, seules les tensions # dont la fréquence est très proche
de f, permettent d’obtenir des courants sinusoidaux d’intensités appréciables. Si Z est la valeur efficace de ji, en posant
Q = Low,/R nous pouvons écrire :
U
Lt
l
(enter2) Ppisfe(e-Sp
L’analogie d’écriture entre les relations 3 et 4 permet de dire
que, pour le circuit de la figure 3.11, si la tension d’entrée e
est sinusoidale, de valeur efficace E, alors la tension de sortie s
est aussi sinusoïdale. La valeur efficace S est obtenue en appliquant le tableau de correspondance suivant entre les grandeurs
intervenant dans les relations 3 et 4.
R;
R;
Loles sms dan UT
LAN US dorrspondaÿl
t correspond à VLC = =
0
R
En posant «, = 1/T nous trouvons Q = Len r oi bg
2
E
= —————
Ne
=
E
VE C-AT Vte-sT
2.3. Conclusion
L'expression de S montre qu’en associant les fonctions élémentaires que sont la sommation, l’amplification, la différence et
l'intégration, nous avons obtenu un filtre sélectif qui a les propriétés remarquables suivantes :
— sa pulsation propre «, = 1/7 est réglable. En effet 7 dépend
— son coefficient de qualité Q = fo
R,/R, de deux résistances choisies;il ne dépend donc pas de la
fréquence propre du filtre.
55
Exemple : R, = 330 kQ, R;, = 10 KkQ.
Q=33 valeur qui correspond
ment réalisable.
à un filtre excellent et aisé-
m 3. ADAPTATION D'UN ÉTAGE
Fig. 3.13. Un diviseur de tension présente une
impédance d'entrée (qui peut varier) et une impédance de sortie (variable elle aussi). Son fonctionnement n'est très simple que si son circuit de
charge présente une impédance d'entrée infinie. On
dit alors qu'il fonctionne «à vide ».
Lorsque plusieurs opérateurs sont associés en cascade, il faut
veiller à ce que l’opération que chacun d’eux réalise lorsqu'il
est seul ne soit pas perturbée par la présence du précédent et
du suivant.
3.1. Influence de l'entrée d’un étage
Prenons comme exemple un diviseur de tension (fig. 3.13) qui
réalise l’opération suivante :
v=Ku
avec:
=—,
En présence d’une résistance R,, qui représente la résistance
d’entrée de l’opérateur qui le suit dans la chaîne utilisée, nous
trouvons (fig. 3.14) :
Fig. 3.14. Diviseur de tension potentiométrique.
La tension V n'est proportionnelle à r que si
v = K'u.
Rr
R, 0.
R. +r
avec :
r
K° = ——
= ——
RE
R(R-7r)
R-r+——
R+————
T'RAR
R,
Cette expression de K’ ne présente pas le caractère de linéarité en 7 comme celle donnant K (R est supposé constant). Les
valeurs X' et K' peuvent être notablement différentes si R, n’est
pas très supérieure à À.
3.2. Suppression du défaut
Fig. 3.15 Utilisation d'un étage suiveur.
Pour les très faibles tensions v (jusqu'à 20 mV par
exemple) ce montage doit être assorti d'un réglage
de la tension de décalage de l'amplificateur opérationnel qui s'ajoute (algébriquement) à la tension
d'entrée pour donner la tension de sortie.
Le défaut entraîné par la présence d’un étage de résistance
d'entrée R, qui n’est pas infinie peut être éliminé en insérant, entre le potentiomètre et l’opérateur suivant, un étage suiveur (appelé souvent, improprement, étage adaptateur d’impédance). Celui-ci présente un double intérêt :
e son impédance d’entrée est très grande (voisine du gigaohm)
et il ne charge pas le potentiomètre.
e son impédance de sortie est extrêmement réduite; il restitue,
à l’entrée de l’opérateur suivant, une tension égale à la tension
v = (r/R) u (fig. 3.15).
3.3. Influence de la sortie d’un étage
Dans le montage de la figure 3.16 les tensions w et s sont liées
par la relation :
Fig. 3.16. Perturbation de l'étage intégrateur par
l'impédance de sortie Z..
Nous supposons l'amplificateur opérationnel parfait
(Sans tension de décalage, et sans courants de
polarisation). En réalité ces défauts (surtout le
premier) nécessitent la mise en parallèle avec C
d'une résistance R, proche de 1 MQ.
56
u = RC ds/dt.
Supposons que la grandeur à intégrer soit la f.é.m. e.
Dans le cas où Z., est réelle (Z, = R) il vient :
u —
R
+R e
;
soit
R.+R
=
e ae eh À u=(R,
+ kR
ds
re —à
La relation entre s et e dépend donc de R..
Si Z, n’est pas une impédance réelle, la relation entre s et e est
beaucoup moins simple et elle dépend de Z, comme la
précédente. Là encore, la solution la plus simple, pour s’affranchir du défaut dû à Z,, consiste à insérer entre le premier étage
et l’intégrateur un étage suiveur (fig. 3.17).
M4, COMBINAISONS DE RETARDS
Fig. 3.17. Utilisation d'un étage suiveur i* = 0
4.1. Filtrage passe-bas
donc v*=e; l'impédance de sortie du montage
suiveur peut être considérée comme nulle, donc
v,=v' =e quelle que soit la valeur de i, (tant que
l'on peut considérer l'amplificateur opérationnel
comme parfait).
m4.,1.1. Expérience
Un signal sinusoidal :
v,.(t) = Ÿ, sin wt
d'amplitude F,= 1,0 V et de fréquence f = w/2r réglable, est
appliqué à l’entrée d’une chaîne de 4 lignes à retard (fig. 3.18).
Chacune d’elles introduit un retard 0 = 20,6 us. Les signaux à la
sortie de ces lignes ont donc pour expression générale :
(iEU — 0),
MERS RE EOR
v3=V(t— 30),
v,=v.(t- 40).
Un amplificateur sommateur
signal de sortie v,(#) tel que :
(fig. 3.19) permet
d'obtenir
le
v.(£) = v. (8) + v.(£ — 0) + v.(t — 20) + v.(t — 30) + v.(t — 40).
Fig. 3.19. Sommateur. R = 22 kQ ; on pourra rem-
placer 5R par 100 kQ.
En appliquant le théorème de superposition, on
trouve :
Fig. 3.18. Filtre avec lignes à retard. La dernière
ligne à retard est fermée sur son impédance caractéristique R,= 690Q (valeur fournie par le cons-
v: Net Vite tv,
6
tructeur pour une ligne formée de cellules (L, C)
avec L=4,7 mH et C= 10yF); pour obtenir un
retard 8=20,6us, les cellules sont groupées
3 par 3.
Les impédances d'entrée des entrées correspon-
dant à V;, V,, VA et V, doivent être grandes par
or
VR=VÉERIE
soit:
V,= ENV =, +V, + Vo + Vat Ve.
8f
Qv,=vt+5Ri
(Dans la réalité, il est bon que les résistances soient
légèrement décroissantes pour tenir compte de
rapport à R,.
l'affaiblissement apporté par les lignes).
Un oscilloscope permet de constater que, quelle que soit la
fréquence, les déphasages ,, 9, 9;, 9, des signaux sinusoidaux
Vi,
Vs, V3, Va, par
rapport
à v, forment
une
progression
arithmétique :
P=2P
P3= 30
Pa = 4.
Choisissons f très faible. La tension de sortie v, (6) :
—
est une tension sinusoidale de fréquence /;
— son amplitude Ÿ, est égale à 5 volts, soit 5Ÿ;
— cette amplitude décroît quand f augmente;
pour f = 9,7 kHz (fig. 3.20);
|
elle s’annule
secondaire de hauteur
1,25 V pour
— après un maximum
f& 14,6 kHz, Ÿ, s’annule encore pour f = 19,4 KHz etc.;
57
—
un autre maximum
assez prononcé (2,5 V) est obtenu pour
[= 48,5 kHz;
—
l’amplitude est définitivement nulle à partir de 55 kHz.
& 4.1.2. Interprétation
A la sortie de la première
ligne,
le signal
obtenu
a pour
expression :
9,7 19,4 29,1 38,8 48,5 58,2
Î (kHz)
v(t) = v.(t — 0) = V, sin (œt — w0) = V, sin (œt — Pi).
Avec :
®, = W0.
Fig. 3.20. Les lignes à retard utilisées pour réa-
À la sortie de la deuxième ligne, la tension est égale à :
liser cette expérience ont une bande passante
voisine de 46 kHz : à partir de 40 kHz, la courbe
réelle (en trait plein) s'éloigne donc de la courbe
théorique. On rappelle que Ÿ, = 1,0 V.
Le
premier
maximum
secondaire
f=14,6kHz)
correspond
à une
(pour
amplitude
Ÿ.= 1,24 V [T= 1/sin(4&)]; le second (pour
f= 24,3 kHz) correspond à :
Ÿ.=10V [T= 1/sin (80°).
Pour des signaux de fréquence inférieure à 40 kHz,
le montage correspondant aux figures 3.18 et 3.19
est un passe-bas assez sélectif.
Pour augmenter sa sélectivité, il faudrait augmenter
le nombre n de composantes de la somme v.. De
tels filtres existent, sous une autre forme, en télécommunications.
On montre en mathématiques que lorsque
x—0, sin(nx)&nx. Par conséquent,
lorsque f—0, T=(nnf0)/nf0=n. C'est
bien ce que nous avons trouvé par une
méthode différente.
(1) = v.(t — 20) = V, sin(œt - 206).
Ce signal est déphasé en arrière par rapport à v.({) d’un angle
P> =
20
De même
=
29..
v, est en retard de y; = 30 = 3, sur v.(t), etc.
AUX signaux V,, V, V; et y, associons les vecteurs de Fresnel PV,
V,, Pet V, (fig. 3.2.1.). Ils ont pour module 1 volt, comme le
vecteur ÿ. qui représente v, (1) et ils sont décalés en arrière de
V. respectivement de p,, 4, v; et qu.
Lorsque la fréquence f (ou la pulsation «) est faible, les
déphasages ,, @, y, et w, sont petits. La tension de sortie v,(1)
est alors représentée par un vecteur V. de module voisin de 5 V
(fig. 3.22).
Pour une certaine fréquence f,, le déphasage , est égal à 21/5.
L’amplitude de la tension de sortie v,({) est alors nulle
(fig. 3.23) :
Vi= ++,
+V,+ 7, =.
Calculons f, :
Pi = @00 = 2n/5 > «wo = 27/50
==
1/50=9,7 kHz.
27
C’est bien ce que nous avons trouvé expérimentalement:
On peut vérifier, que pour f= 2f, = 19,4 kHz (fig. 3.24) :
V,= V4
Vi+
+ Vi+ Pa= 0.
Fig. 3.21. Chaque tension est déphasée par rapport à la précédente d'un angle égal à
9,= 00 - 27f0. Ainsi, si g, désigne le déphasage
de V; par rapport à \, : p,= 30.
Fig. 3.24. Pourt = 2f,= 19,4 kHz, chaque vecteur
Fig. 3.22. Ÿ,= 1V, A très basse fréquence
(jusqu'à
1kHz
V,= 5 voits.
58
environ),
on a sensiblement
Fig. 3.23. Pour t,= 9,7 kHz, +, 2 soit 72° : le
vecteur Ÿ, est alors nul. Pour la clarté de la
figure, les tensions sont représentées à une échelle
double de celle adoptée pour la figure 3.22.
est déphasé par rapport au suivant de # soit
144 : le vecteur Ÿ, est encore nul.
Les 5 vecteurs intervenant sont les mêmes que
sur la figure 3.23, mais ils sont disposés différemment.
La figure obtenue en ajoutant les 5 vecteurs décalés les uns par
rapport aux autres d’un angle w, 7
est également un poly-
gône.
Dans ce diagramme de Fresnel, comme dans les suivants
(fig. 3.25 et 3.26), correspondant respectivement aux fréquences
3, =29,1 kHz
et
4f,=38,8 kHz
on retrouve toujours les
mêmes vecteurs, donc la même somme vectorielle nulle.
Pour f = 5f, = 48,5 kHz, tous les vecteurs sont en phase, comme
pour les fréquences voisines de zéro et l’on devrait trouver
V, = 10 V. La bande passante limitée des lignes (46 kHz) ne
permet pas d’obtenir ce résultat et à cette fréquence, l’amplitude n’atteint que 2,5 V (voir fig. 3.20).
Les maximums secondaires sont observés pour 14,6 kHz,
24,3 kHz, etc.
F4
à
A ces fréquences, V, =). passe par des maximums. La
figure 3.27 représente le cas correspondant à f= 14,6 kHz,
soit ®, = . <
108°..
# 4.1.3. Conclusion
Pour des signaux dont la fréquence est inférieure à 45 kHz, le
système formé en associant des «opérateurs retard» caractérisés par 0 = 20,6 us, et un sommateur, se comporte bien
comme un filtre passe-bas.
On montre en mathématiques que le module
7 de la transmittance 7 d’un tel filtre composé de n cellules est donnée par
l'expression suivante :
sin (nxf0)
sin(x/0)
|
4.2. Filtrage passe-bande
m 4.2.1. Montage
Cinq lignes à retard (fig. 3.28) permettent d’obtenir, à partir du
signal d’entrée v, = Ÿ, sin(œt), les signaux v, = Ÿ, sin (ot — o),
y, = Ÿ. sin(œt — 29), …,
0 = 3,2 ps.
Fig. 3.27. f=14,6kHz,
premier
maximum
secondaire : p-- 108°.
L'expression de T donne Ÿ,= tsin(®) =1,24V
puisque Ÿ,= 1 V.
Fig. 3.28. La ligne à retard unique utilisée pour
réaliser ce montage est une ligne à prises multiples,
dont l'impédance caractéristique R, est égale à
1 kQ.
Comme précédemment R = 22 kQ; le sommateur
est du même type que sur la figure 3.19, mais,
entre la sortie et l'entrée inverseuse, on doit placer
une résistance égale à 6R pour avoir exactement
VS = Ve Vi Vo Va Vs.
vs = V, sin(œt - 5p), avec
p= 0
et
Le signe des signaux v,, v, et v. est changé afin d’effectuer la
somme suivante :
VV
Vi
Ua
PV
m4.2.2. Propriété du montage
La figure 3.29 donne la courbe représentant les variations du
module 7 de la transmittance T du montage en fonction de la
fréquence f. Cette courbe a pour expression mathématique :
52
104 156 208 260 312
f(kHz)
sin f& + neo)
Fig. 3.29. V,= 1 V; V,= TV. La courbe obtenue
représente aussi bien la variation de V. (en volts)
que celle de T (sans unité).
Le dispositif obtenu est un filtre passe-bande assez
sélectif. On augmente sa sélectivité en augmentant
le nombre n de cellules.
De tels filtres sont très utilisés dans les télécommunications (filtres dits «à ondes de surface »).
La ligne à retard utilisée présente une bande
passante à - 3 dB voisine de 300 kHz.
A partir de cette fréquence, la courbe réelle tend
vers zéro (courbe en trait plein) et s'écarte de la
courbe théorique (en pointillé).
sin ë + rfo)
C’est
la transmittance
centralef, =
d’un
filtre passe-bande
de fréquence
= 156 kHz.
4.2.3. Interprétation
Nous ne nous intéressons qu’aux propriétés essentielles :
— Pour les très basses fréquences, les signaux v., v,, …., v, sont
en phase, et sont sensiblement identiques. La somme algébrique v, est donc très faible.
— Pour une fréquence J, les différentes tensions v., y, …, Vs
sont en opposition de phase. Cette fréquence f, est telle que :
27/0 = @00 = 7.
Nous trouvons
:
É= LES
20
(483240,
Pour cette fréquence f,, si v, = Ÿ, sin &f, nous avons donc :
v, = V, sin œst — Ÿ, sin (@ÿt — x) + Ÿ. sin(œst — 27)
— Ÿ, sin (œt — 37) + P. sin (@ot — 4n) — V, sin (@t — 5n).
L'application de la formule donnant 7(f) et la construction
de diagrammes de Fresnel permettent de rendre compte de
l’ensemble des propriétés.
m5. ADAPTATION D'IMPÉDANCE EN RÉGIME
SINUSOÏDAL
5.1. Puissance maximale délivrée par un générateur
Soit un générateur G décrit par son modèle de Thévenin :
e fé.m.:e=EV2 sin(wt), (ou E=E),
e impédance interne : Z, = R, +JX,.
60
Nous nous limitons au cas le plus courant où Z, est réelle :
Z,=R,.
AUx bornes de ce générateur branchons un dipôle passif D
d’impédance Z=R+jX. Comment choisir Z pour que la
puissance électrique transférée de G à D soit maximale
(fig. 3.30)?
ADPEQANN à
la loi d’'Ohm au circuit:
Fig. 3.30. p=ui; P=p=Ul cosy, si p est le
déphasage de i, supposée sinusoïdale, par rapport
äâu.
Mais si R est la partie réelle de Z, on a aussi
Calculons la valeur efficace r'aers pe
l
MStGeÉA
SR RE dE
on
RE ZRURRRT FIX
VER, + RP + X?
P=RI2. En effet : 0069 = et : U=Z1, donc :
Calculons maintenant la puissance moyenne P fournie à la
charge d’impédance Z. Cette puissance ne peut être dissipée
que dans la résistance R, car nous savons que les éléments
réactifs (bobines parfaites, condensateurs) ne consomment pas
de puissance en moyenne. Donc:
U og =211- À RP.
Ainsi la puissance P que le générateur délivre à sa charge
d’impédance Z = R + jX dépend de E, R,, R et X.
Pour un générateur déterminé (E et R, fixés), 1l est évident que
la puissance P est d’autant plus grande que X est faible.
Pour que P soit la plus grande possible, il faut tout d'abord que
X=0.
Si cette condition est réalisée, la puissance est égale à :
P=E?
LES
(R, +R ; a
Afin de trouver la valeur de R qui rend P maximale, nous
utiliserons une méthode simple, couramment utilisée en physique. Écrivons P sous la forme suivante:
_É
(+)
VR VR
P=E? =*-PLPPAES
(A+ RP x X2°
La réactance X ne figure qu'au dénominateur. Pour augmenter P, (les autres éléments E, A, et A étant fixés), il faut annuler X.
Pour X= 0, on trouve:
P= E?
mm
(A, à
—
Fi ,2R +R
R
Pour que P soit maximale, il faut que le
dénominateur de la fraction soit minimal, ou
encore, que la dérivée par rapport à A de ce
dénominateur soit nulle. Écrivons qu'il en
est ainsi :
R
prie
l
> AR,
Au dénominateur de la fraction nous devons élever au carré
une somme
égal à 1 :
S$ de deux termes dont le produit est constant et
réVR ve
VR.
La puissance P est maximale quand $ est minimale. Or la
somme S de deux termes dont le produit est constant est
minimale lorsque les deux termes sont égaux. Autrement dit P
est maximale quand R = R,.
La puissance délivrée par le générateur G est maximale quand
le dipôle D dans lequel il débite présente une impédanceZ = R,.
Elle est alors égale à :
C'est bien ce que nous avons trouvé par
ailleurs.
61
5.2. Adaptation d'impédance
Nous disposons d’un générateur G (E, R,) fonctionnant en
régime sinusoidal de pulsation æ et d’une charge, que nous
supposons purement ohmique : Z=Ravec:R#ÆR,.
On peut toujours interposer entre le générateur et la charge un
quadripôle Q (fig. 3.31) qui permet de transférer la puissance
2
Pnax = _. du générateur à la charge : cela s’appelle «adapter»
8
Fig. 3.31. Adaptation d'impédance par insertion
d'un quadripôle Q entre le générateur G et la
charge R #R,.
4
la charge au générateur (ou vice versa).
m 5.2.1. Adaptation par transformateur
C’est la solution la plus courante. Nous apprendrons au
chapitre 13, à déterminer les caractéristiques du transformateur
permettant (aux pertes près), de résoudre ce problème. Notons
que cette solution est aussi la meilleure car elle ne dépend pas
de la fréquence.
m5.2.2. Adaptation par réseau L, C
Considérons le problème précis suivant : nous disposons d’un
générateur G dont la f.é. m. e a une valeur efficace E = 1 V, et
dont l’impédance interne est une résistance R, de valeur 50 (2.
Fig. 3.32. Adaptation d'impédance par quadripôle
LC.
Nous voulons transférer de ce générateur G, à un microphone à
grenaille M, la puissance maximale P,,. Le microphone
présente une impédance Z que l’on peut considérer comme
réelle et égale à 600 (. La fréquence de fonctionnement est
5,0 kHz.
Nous interposons entre M et G un quadripôle Z, C (fig. 3.32) et
nous supposons la bobine d’inductance L sans perte.
Pour que G débite sa puissance maximale :
Île
2h
max
En réduisant au même dénominateur nous
obtenons la relation :
_ A(t- LCu?) + jLo
Lie
-L
RCo
RC
et ——=—==R,
G, soit réelle et égale à R,.
PR
RE
alors
ART
©
En effet si a, b, c, d'et x sont des réels
c+jd
R
… 00deR(1-jRC&)
ne
mefL
RAS
2
LeRCO ”
LRO
R
R?Co
ZLy=—t+)j|Lo-——
vérifiant la relation :
SE
W
il faut que l’impédance Z,, ramenée aux bornes de sortie de
Pour avoir Zis = À,, il faut nécessairement
réaliser :
IR
5 m
Calculons Zn :
F6 >: 1+RCuen
A(1-LC@)=R,
4R,
|” |ele Reis |
RC):
R
Il faut donc avoir : ——
1+(RCoÿ #RkR,et
+
R?Cow
Lo = ——
1 +(RCOP
La première condition s’écrit encore : (RCw}? = . = 1.
20%
ca
£
On en déduit les relations : S=BR, et
Elle permet de calculer C quand on connaît R, R, et «. Ici :
R(1 - LCw) = R,, qui sont équivalentes aux
Æ = 12, donc :
conditions trouvées dans le cours. On peut
encore démontrer que ces conditions
entraînent les égalités :
R-A,
êe (RCwÿ = 11, RCo=VIT
62
Vi = 0,18 UF.
C- =
Compte tenu de la première condition, la deuxième se réduit à :
L
Lo=VRIR-R,) et Co=—À.
Voir également l'exercice 3.17.
et
C rs RR,
soit :
L=RR,C.
mn
——
Théoriquement, il est toujours possible de
trouver un quadripôle passif permettant de
transférer la puissance maximale d'un étage
caractérisé par son modèle de Thévenin
(E, À) à un étage suivant présentant une
impédance d'entrée A.
Ce problème doit être distingué de celui qui
consiste, comme nous l'avons vu au paragraphe3 de ce chapitre, à interposer un
étage suiveur entre deux étages d'une
chaîne, de manière que la fonction de transfert de l'ensemble soit le produit des fonctions de transfert «à vide» de chacun des
deux étages.
L'adaptation d'impédance, au sens où nous
venons de la définir dans ce paragraphe
(transfert d’une puissance maximale) est un
problème essentiel dans les télécommunications.
Dans l’exemple numérique choisi, nous trouvons : L= 5,3 mH.
5.3. Vérification expérimentale
Les valeurs que nous avons choisies (R, = 50 Q; R = 600 Q;
f= 5,0 kHz), sont des valeurs courantes; elles conduisent à des
valeurs de L et de C faciles à obtenir. La bobine d’inductance
L= 5,3 mH peut être réalisée en utilisant un pot de ferrite dont
l’inductance spécifique À est connue. Rappelons que si n est le
nombre de tours de fil de la bobine, l’inductance est égale à
L=A:n? (voir le chapitre 13).
Nous avons calculé L et C pour que G délivre sa puissance
maximale P,, = Le Ni la bobine d’inductance Z, ni le condensateur de capacité C ne consomment de puissance. La résistance R doit dissiper la puissance P,, et la valeur efficace U de
la tension # aux bornes de R (fig. 3.32) doit vérifier la
relation :
soit :
-Ë |
L'expérience conduit à une valeur de U proche de 1,70 V, ce
qui correspond au résultat attendu à moins de 2 % près.
Travaux pratiques
1. Étude de filtres R.C.
Réaliser les filtres passe-bas, passe-haut et passebande des figures 3.01 ; 3.05 et 3.08.
Pour chacun de ces filtres, effectuer les relevés permettant de tracer les courbes représentant les variations de T(f) = V./V, et de G(f), avec G= 20 Ig 7.
Pour ces dernières on utilisera les coordonnées
logarithmiques. Comparer les résultats expérimentaux et théoriques. Mesurer les déphasages apportés
par les filtres aux différentes fréquences de coupure.
2. Association de fonctions
Réaliser le montage de la figure 3.33.
2.1. Identifier les différents étages construits autour
de A;, A;, 43.
2.2. En admettant que la tension v; ne peut prendre
que les valeurs Vi = 14,7 V et V3; =-14,7 V, déterminer les valeurs de v, qui provoquent les basculements du troisième étage. On notera ces valeurs
net
2.3. Quelles sont les valeurs que peut prendre la
tension y, ?
En déduire la durée mise par la tension y, pour
passer de la valeur V,- à la valeur V;'. Calculer la
période du phénomène obtenu.
2.4. Comparer
valeurs
expérimentales
et valeurs
théoriques. Relever les oscillogrammes de v,, v,, y;.
2.5. Pourquoi n'est-il pas nécessaire d’insérer des
étages suiveurs entre les trois opérateurs utilisés?
2.6. Pourquoi n'est-il pas nécessaire de placer une
résistance (de 1 MQ) en parallèle avec le condensateur de capacité C?
3. Filtrage par filtre sélectif
Fig. 3.33. R,= 1040; R,=47kQ; R,= 10k0; C=10nF; R,= 10KQ;
A= 47 K0.
3.1. Principe
On réalise tout d’abord un signal composite e(f)
formé de la somme de deux tensions sinusoïdales
v, (t) et v;(t) fournies par deux générateurs B.F.
63
A laide d’un filtre sélectif, on se propose ensuite de
séparer y, et W.
3.2. Réalisation du signal composite e(t)
v,=V, sin(œt) et : v, = V, sin (at + p).
Prendre : Ÿ, = 1,0 V, fi = w,/2x = 200 Hz;
V, = 2,0 V, f, = 1,0 kHz.
Montrer que le premier étage du montage de la
figure 3.34 permet d’obtenir : e(t) =—(v, + y).
3.3. Construction du filtre sélectif
Compte tenu des indications contenues dans la
légende montrer que le montage de la figure 3.35
permet de mettre en cascade deux filtres tels que
celui qui est représenté sur la figure 3.11.
3.4. Manipulation
Brancher la sortie s(1) du filtre sélectif à un oscilloscope et à un voltmètre alternatif. Élever progressivement la fréquence jf, du signal d’horloge v, (4) à
partir de 1 kHz par exemple.
Vérifier que s({) est nulle, sauf pour f,, = 10 kHz et
fx = 50 KHz. Sur l’oscilloscope on doit visualiser :
— pour /,, = 10 kHz : une sinusoïde d’amplitude
V, = 1,0 V et de fréquencef,= 200 Hz [v,@)];
AN
— pour /f,, = 50 kHz : une deuxième sinusoide
d'amplitude V, = 2,0 V et de fréquence f; = 1,0 kHz.
Fig. 3.34. Séparation des composantes sinusoïdales d'un signal composite e(t) grâce à un filtre sélectif. R = 10 kQ.
Fig. 3.35. Pour la numérotation des broches, on se reportera. à la
figure 3.10. Pour l'application étudiée, les bornes 7 et 8 d'une part, 13 et 14
d'autre part, sont identiques : le circuit MF 10 comporte deux circuits ME 5
tel que celui de la figure 3.10.
Les bornes 10 et 11 sont homologues pour les deux demi circuits du MF 10;
il en est de même des couples de bornes 4 et 17, 3 et 18, 2 et 19 5 et
16, ainsi que du couple 1 et 20 non utilisé ici.
Les bornes 6 et 12, portées au potentiel V*, permettent de fixer le
coefficient de proportionnalité entre la constante de temps x des deux
intégrateurs et la fréquence f, du signal d'horloge : 1 = _
h
Si, par suite de la technique dite «de capacité commutée» utilisée dans ce
circuit, la sortie s(t) apparaît entachée de signaux parasites à la fréquence
f,, un filtre passe pas, de fréquence de coupure f,= 3 kHz fera disparaître
ces altérations sans nuire au principe de la manipulation. Ce filtre doit être
branché en cascade avec le filtre sélectif. On donne :
R,=330kQ;
R,= 1040.
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
REPONSE(S)
On utilise un filtré passe-bas (fig. 3.36). II
doit présenter une impédance d’entrée égale à 10 kQ
et sa bande passante doit être égale à 3,0 kHz.
Quelle est la valeur de la capacité C'?
R:10nF;53nF;
5,3 nF; 2,0 UF.
On utilise le filtre de la figure 3.36 avec
R=22kQet C=10nF.
Quelle est sa fréquence de coupure?
R : 1,59 kHz; 7,23 kHz; 360 Hz; 1,50 MHz.
64
Fig. 3.36.
Avec les mêmes valeurs numériques que
dans l’exercice précédent, on branche à l’entrée du
filtre un générateur d’impédance interne R, = 600 Q
et de fé.m. e=EËE sin(2x/ft), avec f= 0,10 kHz et
E=5V.
4
Quelle est l’amplitude V de la tension de sortie obtenue?
D
EN
17 V: 3,9 V.
On dispose, en cascade, un filtre passehaut de transmittance 7, (0) = 1 et de fréquence de
coupure /; = 2,0 kHz, et un filtre passe-bas de transmittance 7,(0)=1 et de fréquence de coupure
Jf=10 kHz. Les problèmes d’association sont
résolus, et la transmittance T de l’ensemble est telle
que T'=T;,T;,. Parmi les 4 courbes de la figure 3.39,
quelle est celle qui est susceptible de représenter les
variations de T'(f).
R'#abitesd:
On place, en cascade, deux filtres passehaut identiques, d’impédance de sortie nulle, dont
P: fonction
de
transfert
T,
à pour
module
PULELL IT)".
I
ga fonction de “À , Calculer la fréquence de coupure
{à 3 dB de l’ensemble ainsi obtenu (on rappelle que
f. est la fréquence pour laquelle T = T..,,,/V2).
Ref EPST
SN
155 f..
0
Le générateur G de la figure 3.37 a pour
éléments de son modèle équivalent de Thévenin
2
10
f(kHz)
10
f(kHz)
10
f(kHz)
(a) passe-bande
e=EV?2 sin wf, avec E=10 V, et r=50Q. Un
quadripôle sans pertes, Q, permet de transférer de G
à une résistance R de 1,0 kQ la puissance maximale
que G peut débiter à la pulsation «.
Quelle est la valeur efficace de la tension ur ?
R : 22,4 V; 10 V; 200 V; 6,9 V.
(b) passe-bas progressif
Fig. 3.37.
Le quadripôle Q de la question précédente
est représenté figure 3.38. La fréquence / est égale à
(©) coupe-bande
1,0 kHz. Calculer les valeurs des éléments Z et C de
ce quadripôle.
R : 2,2mH-1/0uF;
5,3 mH-0,18uF;
3,0 1F ; 35 mH-0,69 uF.
25 HT
il
0,5
19 J(kHz)
@
Fig. 3.38.
passe-haut par paliers
Fig. 3.39.
65
Les 9 lignes à retard dessinées
sur la
figure 3.40 ont pour bande passante l'intervalle
0-700 kHz. A l’intérieur de cette bande, elles
n’introduisent aucun affaiblissement et on peut les
considérer comme parfaites. Le retard apporté par
chacune d’entre elles au signal qui lui est appliqué
est 0=1,0 us. On donne : v,. = PV, sin(2xff), avec
P.=1,0V.
Quelle est la plus petite fréquence f pour laquelle la
somme v, = v, + v, +. + vo a une amplitude nulle?
R : 1,0 MHz; 200 kHz; 100 kHz; 9,7 kHz.
Quelle est la fréquence f pour laquelle l'amplitude
Ÿ. de la tension v, est égale à 10 V?
R : 1,0 MHz; 0,50 MHz; 156 kHz; 100 kHz.
Dans
le montage
de la figure 3.41 le
condensateur chimique de capacité C et l’amplificateur opérationnel A sont parfaits.
Le curseur du potentiomètre linéaire de 100 k£2 est
à l’extrémité A. On ouvre l'interrupteur K : la
tension s croît linéairement de 0 à 10 V en 500 s. Le
curseur du potentiomètre est maintenant en M
milieu de AB (50 kQ entre A et M, 50 kQ entre
M et B.
Quelle est la durée nécessaire à la même croissance de 5?
R : 500 s; réponse impossible à donner;
1500 s.
1000 s;
Fig. 3.40.
A l’aide du dispositif de la figure 3.40
décrit précédemment, on réalise, grâce à des inverseurs et à un sommateur, la somme algébrique
Vs = Ve — Vi + Va — Va +. + Ve — Vo.
La tension v, est de la forme v, = V, sin(2x/ft),
Fig. 3.41.
avec V, = 1,0 V.
Exercices résolus
La tension e appliquée à l’entrée d’un circuit intégrateur (fig. 3.42) est une tension sinusoidale :
e=EV2 cos (ot). Le nombre
associé est E.
complexe qui lui est
1° Déterminer
la
transmittance
complexe
S
SEE
T, (w) 27 de ce circuit en supposant que tous les
1.1. Calculer le module 7, de cette transmittance et
son argument @..
1.2. On prend : R = 10 kQ; C = 10 nF. Représenter
graphiquement l’allure des courbes 7; (w) et y, (w).
(On posera w, = 1/RC et on graduera l’axe des pul-
sations en fonction de w/«..)
2° La tension e est maintenant appliquée à l’entrée
du montage de la figure 3.43.
éléments sont parfaits.
Fig. 3.42.
66
Fig. 3.43.
2.1. Déterminer
de cet étage.
la transmittance
complexe T;(«)
2.2. On prend R, = 10 kQ@; R, = 10 kQ; C=10 nÆ.
Représenter graphiquement l’allure des courbes
T;(&) et g,(&). Commenter brièvement.
2.3. Pour annuler la dérive d’un intégrateur tel que
celui de la figure 3.42 (due au courant de polarisation z- et à la tension de décalage — ou d’off-set
— de l’amplificateur opérationnel), on est souvent
conduit à placer en parallèle avec le condensateur de
capacité C une résistance R, de 1 M par exemple
si R = 10 kQ et C= 10 nF. Interpréter cette opération en termes de modification de la fonction réalisée
par le système.
ce qui conduit à :
l
Ts
ÿde PR
(0) 1 |
ù
x
ap = arg(j) = —Le" @1 == Q90 O
Me
1.2. Application
RC = (104 x 1078) s = 10745; ©, = 104 rad/s.
Les courbes
de la figure 3.45 représentent
7 (w)
et , (&).
2.4. A l’entrée du filtre de la figure 3.43, on applique
un signal v, (fig. 3.44) constitué d’impulsions de
hauteur Æ et de largeur t constantes (E = 12 V;
t = 3,0 us). La fréquence f, de ces impulsions est
réglable. Pour les applications numériques, on prendra f, = 111 kHz ce qui correspond à une période 7,
de », égale à 9,0 us.
Calculer en fonction de E, rt et f, la valeur moyenne
v, de »..
p
(degrés)
©
90
0
I
(@/c.)
Fig. 3.45.
0
3
D
(7)
(T.)
27
18
21
fr(us)
(2T.)
2.1. Transmittance T,
Fig. 3.44.
Appelons Z;, l’impédance complexe correspondant
au groupement en parallèle de la résistance R, et du
condensateur de capacité C :
2.5. On montre qu’un signal tel que v, peut être
considéré comme la somme d’un signal continu égal
à sa valeur moyenne pv, et de tensions sinusoïdales
Nous pouvons écrire :
Z2= R}y/( + j R; Co).
de fréquences f,, 2f., 3f., etc. Ces tensions sinusoïdales ont des amplitudes proches de E qui ont tendance à être de plus en plus faibles quand la fré-
E=R;l;
SOLUTION
1.1. Transmittance 7, et argument 9,
E = RI.
S=-Z.1=j1/RCo
puisque : Z.=1/j Co.
Donc: Ti=S/E > [T; -j/RC& = j(w,/0)
TP,
|
LPS
T LR CO
2.2. Application
R;=R,=10kQet
C=10nF.
T;=-1/[1+j(w/&,)],
avec
(= 1,6 kHz).
D'où :
Puisque l’amplificateur opérationnel est parfait, la
tension e peut être négligée et nous pouvons appliquer la loi d'Ohm au circuit d’entrée :
C’est le même courant qui traverse R et le.condensateur. Donc :
T;,=S/E=-2;/R:
AO
URI
soit :
quence augmente.
Caractériser la réponse du filtre étudié dans la question 2 à la tension d’entrée v,. On souhaiterait que
la tension de sortie s soit très proche de p, : porter
un jugement sur la qualité de cette opération.
S=-Z;1;
«@,= 10* rad/s
T, = CL
1 + (2)
[07
m=1-Argli+j(w/w)l=7-x.
avec:
tan x =(«/c,) > x = tan! (w/w,).
En particulier : pour © = «,/2 :
T; = 0,89; y = 2,9 rad & 166°
pour & = &, :
T;, = 0,71; 9 = 2,36 rad & 135°
67
pour & = 26, :
T; = 0,45; p = 2,03 rad & 117.
Les courbes
de la figure 3.46 représentent
7,(&)
Sur une période T, l'intégrale définie a pour valeur
l’aire limitée par le contour d’une impulsion, soit
Et; donc :
et (a).
=
Le fait de placer R, en parallèle sur C a transformé
l'intégrateur de la figure 3.42 en filtre passe-bas.
Et
T.€
=Etf|
(e=1/T}X
La valeur moyenne v, est donc proportionnelle à f..
Application numérique
= (12 x 3,0-10-6 x 111 : 10%)
V = 4,0 V.
2.5. Réponse du filtre
Le filtre de la figure 3.43 est un dispositif linéaire.
La réponse s(f) est la somme des réponses au signal
v. de fréquence nulle et d’amplitude 4,0 V et aux
différents harmoniques de fréquences f., 2f., etc.
Pour
v., la transmittance
T2(0) =-
du
filtre est égale à
La réponse du filtre est donc :
(0 =-7%=-4V.
Pour
=
l’harmonique
1 (fondamental)
de fréquence
111 KHZ, la transmittance est très faible :
TG)=TLUE
co, Cf
1,4:107?
En admettant que l’amplitude du signal d’entrée
de fréquence f. soit égale à E, le signal de sortie correspondant, à une amplitude voisine de :
E:T;(f)=0,17 V. C’est une valeur faible, mais
non négligeable, devant — v,. =—4 V.
On peut négliger la contribution des autres harmoniques
[amplitudes
plus faibles que E et
0,5
l
2
Fig. 3.46.
;
e
:
œ@
Pour les fréquences supérieures à f, (= 1).
O
les deux sortes de courbes se ressemblent : le
filtre passe-bas est assimilable à un ren
(1/R;, < Co).
Pour les fréquences faibles (f & f) il n’en est pas de
même. Le filtre passe-bas peut être assimilé à un
amplificateur inverseur de transmittance égale à :
T(0)=-R;,/R;
[ici R=R,
T(0)=-1].
2.3. Rôle de la résistance R,
Le fait de placer une résistance R,, de valeur élevée
en parallèle avec C transforme |’intégrateur en filtre
passe-bas de fréquence de coupuref = 1/(2x R Cd.
Dans l’exemple considéré nous trouvons:
{= 16 Hz.
Le montage continue à se comporter comme un
intégrateur seulement si la fréquence f'est très supérieure à f..
2.4. Valeur moyenne de y,
On peut calculer . en appliquant la méthode des
aires (voir 1" F 2.3.5), ou en utilisant l'expression
mathématique suivante :
47"
nr
68
ve (0 : dt
T{nf) < T{f)]1. En conclusion, la réponse s(1) est
la somme d’une composante continue de — 4 V et
d’une ondulation sinusoidale d’amplitude 0,17 V.
Le filtrage obtenu n’est donc pas tout à fait satisfaisant. Il aurait fallu prendre soit un filtre passebas de fréquence de coupure plus faible (f. = 100 Hz
par exemple au lieu de 1,6 kHz), soit mettre plusieurs filtres passe-bas en cascade.
Nota
: cet
exercice
ne
peut
être
traité
qu'après l’étude des primitives et des intégrales définies.
1° On note e/? un nombre complexe de module
et d’argument .
Montrer que e/? = cos @ + j sin @.
c
LCA
2° Montrer que l’on peut écrire : COS
3
SIN
1
ei? + ei
= ——;
2
ei? — ei?
= ——.
2j
3° Montrer que la transmittance complexe T, d’une
ligne à retard parfaite de retard 6, fermée sur son
impédance caractéristique, vaut T, = e-/%#,
4 Dans le montage de la figure 3.47, £ est une ligne
à retard parfaite, fermée par son impédance caractéristique R,. Les résistances R, sont très grandes
devant R..
4.1. Exprimer la tension #(t1) en fonction dee(r) et
de 06.
4.2. Exprimer la tension s(f) en fonction de R, C et
u(f), en supposant l’amplificateur opérationnel A;
parfait, et s (0) = 0.
4.3. On règle les valeurs de R et de C de manière à
obtenir RC = 6.
Par ailleurs, on ne considère que des fonctions e(r)
nulles pour #<0, dont les primitives &(1) sont
également nulles pour 1 < 0.
2° Expression de cos g et sin
Dans la relation précédente, remplaçons @ par — 9:
cos(—p)=cosp
Donc :
et
e” 1 = cos @ — j sin +.
COS p =
t
4.4. Quelle est la fonction réalisée par le dispositif
de la figure 3.47 ?
(2)
En ajoutant membre à membre les expressions (1) et
(2) et en divisant par 2, nous trouvons :
Montrer que l’on peut écrire:
s(e) =-: x e)dr.
sin(—p)=-sin #.
(ei + ei?)
5
De même en soustrayant (2) de (1) et en divisant le
résultat obtenu par 2, nous obtenons :
sin @ =
(eiv — ei?)
2j
Fig. 3.47.
5° On suppose que 6 prend la valeur 95 us, et que
l’on applique le signal v.(f) de la figure 3.44 à
l'entrée du dispositif de la figure 3.47 [v,(1)
=0
pour 1< 0].
Dessiner l'allure de s(1) en distinguant les phases
suivantes :
5.1. de r = 0 jusqu’à r, = 93 ps.
5.2. de r, = 93 us jusqu’à r, = 95 us.
Fig. 3.48.
3° Transmittance d’une ligne à retard
Si la tension d’entrée d’une ligne à retard parfaite
5.3. de r, = 95 us jusqu’à fr; = 98 us.
(retard 6) est v. = v.V2 sin &f, la tension de sortie
est
5.4. de t, = 98 us jusqu’à f, = 99 us.
v, = V,V2 sinlw(t - 6)]
5.5. de r, = 99 us jusqu’à r, = 102 ps.
soit :
V, = v,V2 sin (@{ — 6).
Or v.({) peut être représentée par le nombre complexe V, = V.. Et v.(f) peut être représentée par le
nombre complexe J, de même module (F.) que V.,
5.6. de t: = 102 ps jusqu’à r, = 104 ps.
5.7. de t4 = 104 us jusqu’à f infini.
Commenter le résultat obtenu.
6° Déterminer la transmittance complexe 7 du montage de la figure 3.47. Donner l’expression de son
module T et de son argument .
Comparer les résultats obtenus
relatifs à un filtre passe-bas.
à ceux
Par conséquent : |T, =
qui sont
SOLUTION
1° Expression de e/?
Soit M laffixe d’un nombre complexe z de module
1 et d’argument y (fig. 3.48). Nous pouvons écrire :
x = OH = cos y = partie réelle dez
y = OK = sin g = partie imaginaire de z.
4.1. Tension u(f)
Le montage construit à l’aide de l’amplificateur
opérationnel À, et des quatre résistances égales (R;)
est un opérateur de soustraction : 4 = e — y avec :
v(t)=e(t- 06).
Donc :
[u()=e(t)-e(t-0)]
4.2. Tension s(f)
soute
e
Or : z= x + jy = cos 9 + j sin y. Donc :
eÏP
= COS @ + j sin p.
et d’argument — 6. On a donc V,= V, - ei,
(1)
!
(4e 0. s-u--2--t
fidt.
0
1e
69
donc :
se
A l'instant 1, = 93 us, après la 11° impulsion, on a
donc : —-s=(0,38 x 11) V —4,2 V.
Jus
5.2. De 1,=93us à
=95us, il n’y a pas de
nouvelle impulsion dans la «fenêtre » [1 — 95 us, é],
aussi s(1) = CE =4,2 V.
Vous retrouvez bien que pour { = 0, s(0) = 0.
4.3. Relation entre s(f) et e(f)
s(£) --5 |Let) - et -0)ldr
£
L
Il
l
=—— à fewar+s= feu —
)Ô)dt.
5.3. De 95 us à 98 us, la fenêtre dans laquelle
nous intégrons «perd» progressivement la première
impulsion. Ainsi pour { = ft; = 98 us, nous intégrons
de 3 à 98 us, et, dans cette fenêtre, il n’y a que
10 impulsions 5(98 us) = — 10 x 0,38 V =-3,8 V
(fig. 3.50).
Soit &(1) une primitive de e(f) : “ = €.
Nous pouvons écrire :
s(t)= = Le(t) — &(0) — Et — 0) + E(- 0).
1 (ps)
93
94
95
96
97
98
D’après l’énoncé : &(0) = &(— 0) = 0, donc :
99
ù1
100 101 102 103 104
!
1
1
1
1
l
s()=-S [60-84 -0)]
1!
1
!
1
1
1
l
l
1
l
[l
ûl
'
t
LL
LL
s |s(t) =; [ eo
ra
LE
0
[l
1
:
to
1
ils
HA
[l
93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
{(us)
4.4. Fonction réalisée
Le dispositif de la figure 3.47 donne à chaque
instant { (au signe près), la valeur moyenne de la
fonction e(t) durant l'intervalle [1 — 6, f], c’est-àdire pendant la durée 0 qui précède l'instant £.
Fig. 3.50.
5° Allure de A(f)
5.4. De 98 à 99 us, la situation reste inchangée.
5.1. Si 0-95 us, pendant les 95 premières microsecondes, comme e(t) est nulle pour {<0, le dispositif réalise l’opération :
5.5. De {,=99 us à f; = 102 us, nous retrouvons
progressivement une onzième impulsion dans la
fenêtre d'intégration : s(102 us) = —4,2 V.
5.6. De ft; à 1, comme
est inchangée.
{
s(£) sl à Jet de.
Après chaque impulsion de v.(t), dont l’aire vaut
E-t=(12x3:10-6) V:s=36:1076 V:s,
la fonction s({) décroît de :
AsEs
ÉnTie 10 )vLU 0,38 V.
(Sur la figure 3.49, on a représenté — s(1), qui croît
donc de 0,38 V à chaque impulsion.)
de f, à #, la situation
5.7. Pour {> 14, la figure 3.49 montre que la tension s(t) oscille entre — 3,8 V et — 4,2 V autour
d’une valeur moyenne — 4,0 V. Le montage a exactement les mêmes propriétés que le filtre passe-bas
de la figure 3.43, (voir exercice 3.11), qui lorsqu'on
lui applique la même tension v.({), voit sa tension
de sortie s({) osciller autour de — 4 V avec une
amplitude de l’ordre de 0,17 V (la constante de
temps du filtre de la figure 3.43 est de 100 us,
alors que dans l'exercice actuel nous avons pris
0 = 95 ps).
6° Détermination de T
La transmittance 7, de la ligne à retard est :
T,=e"i%6, Celle «du fil» qui relie l’entrée e(t) à
l’entrée non inverseuse de l’amplificateur de différence est évidemment égale à l’unité. La trans12 21 30 19 48
!
1
[)
[l
1
!
1
1
!
1
;
1
[l
57 66 75 84
93 102 111/(us)
mittance T, = F est donc égale à : 1 — er ie,
La transmittance de l’intégrateur (voir la question 1
de l'exercice précédent) est égale à : T; DA
Puisque nous avons réalisé RC = 6, nous avons :
1
S/U=T;:=-—,
SUr.Ls
#0
TE
La transmittance de l’ensemble, S/E = (S/UXU/E)
est telle que T=T;:T;,=-(1 -e-/%)/j06.
a
Nous pouvons encore écrire :
I
eUcw6/2) —
T=-e" 0007)
Gcwb/2)
0,71
(a)
2j (0/2)
Soit, d’après la question n° 2 :
=
ne
9-Goën) Sin(6/2)
(0/2)
D'où l'expression de T
|
=|7| :
sin (0/2)
sin (0/2)
et
28
0
20
o
®
180°
: …=Agl=nr-(w0/2)+n
chaque
fois
que
l'expression [sin (0/2)]/(w8/2) change de signe.
La figure 3.51 donne les variations de ces fonctions.
On constate bien une certaine similitude entre les
courbes de la figure 3.51, relatives au dispositif de la
figure 3.47, et celles de la figure 3.46, relatives au
: filtre passe-bas de la figure 3.43.
0
-
2x
Fig. 3.51.
@
0
Exercices à résoudre
C8.)
On considère le montage de la figure 3.52.
R;
5° Calculer de nouveau f’ et f” avec f, = 1,0 kHz et
= 9 kHz.
6° Le fait de choisir R;,C; # RC, at-il, d’après les
résultats obtenus, une influence notable sur la sélectivité du filtre?
On réalise le montage de la figure 3.53.
R
SSL
Fig. 3.52.
1° Montrer que sa transmittance 7 = V,/V., exprimée en fonction de la fréquence f, peut se mettre
sous la forme :
a
.
Fig. 3.53.
1° Calculer
Donner l’expression de f, et de /;.
sa
transmittance
complexe
V
TJ 7:
—©
2° Que devient l'expression de 7 lorsque R, = R, et
Montrer qu’il s’agit d’un filtre passe-bas.
C s# C;,?
2° Calculer la fréquence de coupure f., de ce filtre
en fonction de RC.
Application numérique: R=10kQ;
calculer C
pour que f = 1,0 kHz.
3° On
choisit la valeur
des éléments
passifs du
montage de manière que /, = /, = 3 kHz. Chercher
les limites f’ et f” de la bande passante à 3 dB
(f! <f") du filtre obtenu.
4 Reprendre
= 1,0 kHz.
cette
question
avec /, =9 kHz
et
3° Montrer que si l’on place deux filtres identiques en cascade, la transmittance complexe T de
l’ensemble est bien telle que 7
=(T;).
71
4 Déduire du résultat précédent la valeur f. de la
fréquence
de
coupure
obtenue
en
plaçant
deux
filtres identiques à celui de la figure 3.53 en cascade
(avec f. = 1,0 kHz).
On rappelle que l’expression du module 7°
de la transmittance d’un filtre obtenu en ajoutant n
signaux retardés chacun de @ par rapport au précédent (en commençant par le signal d’entrée luimême) est :
_
[sin (nx/f0)
sin (x/0)
1° En utilisant une calculette de poche, et en
s’aidant au besoin d’un petit programme de calcul,
déterminer, en fonction de 6, la limite supérieure f
de la bande passante à 3 dB d’un tel filtre lorsque
n = 5.
2° Recommencer
EM]
valent
le même calcul pour n = 20.
Un dipôle actif admet pour modèle équide
Thévenin
les
éléments
suivants
(voir
fig. 3.54):
3.14%
| Un générateur G, représenté par son
RTS de Thévenin (fig. 3.54) est associé à une
résistance R à travers un quadripôle Q purement
réactif, constitué d’une bobine parfaite d’inductance
L et d’un condensateur de capacité C (fig. 3.56).
La fé. m. e(f) a pour valeur efficace E = 10 V; sa
fréquence f est égale à 5,0 kHz.
1° Montrer qu’il est possible de choisir L et C de
manière que l’impédance Z,8 vue des bornes A et
B du générateur soit réelle et égale à R,.
2° Montrer que les valeurs de L et de C correspon|
dants sont telles que :
e(t)= EV2 sin (2xft) avec E= 10 V et f= 5,0 kHz;
R, = 600 Q.
LE
tj Co
R-R,
R
VR,(R=R))
3° Calculer L et C pour que la condition
soit satisfaite.
4° Calculer
dans À.
la puissance
Z = R,
P qui est alors dissipée
5° En déduire la valeur efficace de la tension 4.
Fig. 3.54.
1° Calculer la puissance maximale P qu’il peut
délivrer à un dipôle D dont on précisera
la nature.
6° Calculer l’impédance du modèle de Thévenin
équivalent à l’ensemble (G, Q) vu des bornes HK,
en fonction de R,, Let C.
On notera Zyr cette impédance.
7° Montrer que si Zas = R,, alors Zur = À.
2° On branche directement entre A et B une résis-
R,=50Q, C
tance À de 50 (2. Quelle est la valeur efficace U, de
+
la tension aux bornes de R?
Calculer la puissance P, qui est dissipée dans R.
e
3° On interpose entre le dipôle actif précédent et la
résistance R, un quadripôle constitué d’une bobine
parfaite, d’inductance Z, et d’un condensateur de
capacité C, comme l'indique la figure 3.55.
Quelle est la condition à réaliser _pour que la
puissance transmise à R soit égale à P?
Montrer qu’il en résulte deux relations portant sur L
et C. (Pour résoudre cette question, on sera peutêtre amené à écrire que si 4, b, c, d et x sont
des réels et vérifient la relation 4? jo = x, alors
Ca
[ 3.18. ] On dispose d’une tension sinusoidale
pilote v, (?), d'amplitude V, = 6,0 V et de>fréquence
f= ©/27 = 1,0 kHz, telle que v,(f)= Ÿ, sin œt.
"LAN
complexe V,. On désire obtenir une tension car-
dE
Ed
4° Calculer
soit ainsi.
“
(600 Q)
Fig. 3.56.
Cette tension peut être représentée par le nombre
numériquement
L et C pour qu’il en
5° Quelles sont alors les valeurs efficaces des tensions u et y de la figure 3.55?
72
|
rée vF(1), synchrone de v, (f), dont les passages par
la valeur zéro sont décalés (en retard) par rapport à
ceux de v, (f) d’une valeur 6, réglable entre 0 et 7/2
(fig. 3.57). Pour cela, on utilise le montage
de la
figure 3.58.
2.1. Calculer les seuils de basculement V4 et F,
(respectivement bas et haut) du comparateur. Montrer qu’en fait, cette partie du montage détecte les
passages par zéro de la tension v,(f).
2.2. Dessiner,
en
concordance
de temps,
les ten-
sions vA(f)}, vg(), ve (0 pour 1E[0.271].
2.3. Montrer que la tension vL(f) se compose
d’impulsions dont on déterminera la hauteur en
fonction de V, et de PV.
2.4. Quelle est, vue des points D et M (masse),
l'impédance d’entrée de l’étage suivant? En déduire
la composition réelle du circuit dérivateur alimenté
par la tension v»., puis la largeur à mi-hauteur Ô
des impulsions composant w(f) si C; =0,47 nF;
R;=10kQ; Ro= 10 kQ; R,5= 15 kQ.
Fig. 3.57.
3° Étude de l’amplificateur de différence
1° Étude de l’intégrateur
1.1. Soit T, la fonction de transfert de ce filtre :
3.1. Exprimer v.(f) en fonction de v8 (f), y, ( et des
résistances R;, Re, Ro et Rio.
Ti = V/Va.
3.2. Application numérique
Montrer que : T\ = T,/[1 +j(f/f.)1. Exprimer T, en
fonction de R, et de R;.
Exprimer f. en fonction de R, et de C..
R;=
Roy =
10 kQ;
Rg =
Rio =
15 kQ.
Compléter le dessin de la question 2.2 en représen-
tant les tensions v,, (f) et v£(#).
1.2. Application numérique
R, = 10 kQ; R, = 470 kQ; C, = 15 nF. Calculer
f..
Pour= 1,0 kHz, calculer 7; =[7;|, et g = Arg(T.);
en déduire que l’on peut écrire : vg(1) = VA cos wt.
2° Circuit de bornage
Ce circuit est destiné à éviter toute perte de stabilité aux bornes de l'intervalle ]0, T[ de 6. Il se
compose d’un premier circuit (comparateur à deux
seuils) dont l'entrée est la tension v,(f) et la sortie la
tension ve (f), et d’un circuit dérivateur dont la tension de sortie est vp (f).
R; Æ
1,0 kQ
; R;=
1,0 MQ ; R; =
100 QE D;,
et D;
sont des diodes Zéner dont la tension Zéner
V;
vaut 5,1 V et dont la tension de seuil, en conduc-
tion directe est Vs = 0,6 V.
Fig. 3.58.
4 Étude du comparateur
4.1. Déterminer les limites de réglage de la tension
continue de commande v«, sachant que P est un
potentiomètre linéaire de 10 kQ2 et que l’on a par
ailleurs : R,, = R, = 1,0 kQ.
4.2. Les diodes Zéner D, et D, sont identiques à
D;, et D,. Quelles sont les valeurs de repos V,, et
Vr de la tension vF(R,3 = 100 Q)?
4.3. On néglige la durée des phases de transition de
la tension v- lorsqu'elle passe de V4, à VX ou viceversa. Dessiner la tension v-(f) en concordance avec
les autres tensions pour vcp = 3 V.
4.4. Expliquer le rôle du circuit de bornage.
Chapitre 4
FONCTIONS ANALOGIQUES
NON LINEAIRES
M1. OPÉRATEURS FONCTIONNELS
1.1. Multiplieurs analogiques
m1.1.1. Présentation
Fig. 4.01. Multiplieur analogique :
u;U
u,=Kuu,= 1,
La constante U, joue le rôle de facteur d'échelle.
Cette grandeur peut être fixe et égale à 10 V ou
ajustable.
Un multiplieur est un circuit dont la tension de sortie uw,
est proportionnelle au produit des tensions d’entrée , et w,
fig. 4.01) :
(lg
us = KU,U;.
La constante K est homogène à l’inverse d’une tension.
La relation précédente est souvent écrite sous la forme :
us = enr
ce 12 en volts.
Us;
U,
avec U, = constante.
m1.1.2. Fonction de transfert
Fig. 4.02. Fonction de transfert d'un multiplieur
idéal quatre quadrants.
En pratique, les valeurs absolues des tensions
d'entrée u, et u, sont limitées à 10 Vet la constante
U, est égale à 10 V.
Pour un multiplieur sans défaut, les caractéristiques u,(w,),
pour une tension w, constante, sont des segments de droites. Ils
sont disposés comme l’indique la figure 4.02 si le multiplieur
est prévu pour des tensions d’entrée de signe quelconque (multiplieur quatre quadrants).
En toute rigueur, la caractéristique de transfert d’un multiplieur
réel n’est pas une droite.
On appelle erreur de linéarité, le nombre égal au quotient de
l'écart maximal (Aux). entre caractéristique idéale et caractéristique réelle, par la tension de sortie U. correspondant au
maximum de l’échelle soit (fig. 4.03) :
£ —
(AUs)max U
U,
m1.1.3. Modèle équivalent
Le modèle équivalent d’un multiplieur intégré est comparable à
celui d’un amplificateur opérationnel (fig. 4.04).
Fig. 4.03. Erreur de linéarité d'un multiplieur réel.
Caractéristiques réelle (trait continu) et idéale (trait
pointillé). L'ordre de grandeur de l'erreur de linéarité est de 1 % voire 0,1 %.
74
Fig. 4.04. Modèle équivalent d'un multiplieur intégré réel.
Exemple : AD534
K=0,1 V-?.
R,=10MQ
R,=01Q
Les grandeurs U, et U,, sont respectivement les valeurs efficaces de la tension de
sortie aux fréquences f et O (continu). La
bande passante f., correspond à une variation relative (U,-U)/Us égale à 1%.
Cette définition est plus sévère que la classique bande à - 3dB.
Exemple : AD534
Entre les entrées on trouve une résistance R, très élevée. En
sortie, le modèle de l’opérateur se réduit pratiquement à un
générateur commandé par la tension d’entrée. La résistance de
sortie R, est négligeable.
Comportement en fréquence
Utilisons les deux signaux suivants :
f., = 50 kHz.
u, = U, sin wt; u, = constante
et faisons varier la fréquence f = w/2x de u,. Nous constatons
que la valeur maximale U, de la tension de sortie w, varie en
fonction de la fréquence / du signal d’entrée #,. Ce comporte-
ment conduit à définir la bande passante utile de l’opérateur et
impose des limites pour son emploi.
m1.1.4. Réalisations
a) Multiplieur à transistors
On démontre (voir exercice résolu 4.10) que la tension de sortie
u, du montage de la figure 4.05 est égale à :
U, =
Kouxlo
avec
Ux =
Ux: Fr Ux2.
En utilisant un générateur de courant commandé par une tension 4, de façon à avoir :
Lo = Gouy
il vient : 4, = Kuxuy,
Fig. 4.05. Multiplieur à transistors.
avec K= K,Gs.
La tension de sortie est proportionnelle au produit des tensions
d'entrée u, et u,. Cet opérateur est donc un multiplieur.
Ce résultat n’est obtenu que pour de faibles variations des courants d’émetteur autour d’un point de polarisation (domaine de
fonctionnement linéaire pour le montage).
Des circuits intégrés (fig. 4.06) sont couramment utilisés car
leurs performances sont bien meilleures.
b) Multiplieur à effet Hall
Une sonde à effet Hall, parcourue par un courant d’intensité i,,
est soumise à l’action d’un champ magnétique uniforme B,. La
tension , qu’elle délivre est donnée par l’expression suivante :
Uz (ons kixB,y 4
Fig. 4.06. Multiplieur universel à entrée différentielle.
Exemple : AD534. Cette structure permet de réaliser par exemple les opérations de multiplication,
division, extraction d'une racine carrée.
La tension
de sortie Sest liée aux tensions d'entrée
X',X-,Y*,Y-,Z* etZ- par la relation :
on
on à -2]
Si le champ magnétique B, est créé au moyen d’une bobine
parcourue par un courant d'intensité i,, la relation précédente
peut s’écrire :
y = Kixiy
u, est la tension de sortie du multiplieur dont i, et À, sont les
grandeurs d’entrée.
c) Remarque
Les amplificateurs logarithmiques, étudiés ci-dessous,
également utilisés pour la réalisation de multiplieurs.
sont
m 1.1.5. Applications
Le multiplieur est utilisé dans de nombreuses opérations ayant
pour but le traitement d’un signal.
a) Muitiplieur en régime sinusoïdal
ge
Les signaux appliqués aux entrées d’un multiplieur (fig. 4.07)
sont respectivement :
u, = U,V2 cos(@t+p)
u= U,;V? cos (@); { + @:).
75
La tension de
exercice 4.14) :
sortie
,
du
multiplieur
est égale
à (voir
u, = KU, U {cos[(&, — w:)t + (oi — p2)]
+ cos[(c, + @)1 + (pi + g)}.
0 w,-&,
&,
œ
enter
ea
@ + @,
sortie
Fig. 4.08. Spectres en amplitude des signaux
d'entrée et de sortie d'un multiplieur en régime harmonique.
Us
b) Association multiplieur - filtre passe-bas
Le multiplieur est utilisé en régime harmonique (fig. 4.09). La
tension w,, en sortie du filtre passe-bas est égale à :
Us
(@:)
U
Du fait de la non-linéarité de la fonction multiplication, la
tension de sortie u, est une somme de deux composantes de
pulsations (©, + &,) et (&, — &w,) différentes des pulsations &, et
«, des signaux d’entrée (fig. 4.08).
Kuu;
(&.)
|Tv
ee
—w-
TT
Usb
vérifie l'inégalité :
0;+ Oz.
u, @) PEORRE Kuu,
[ro
u, (@) D
AT
OC) t di (gi 4 gp).
Dans le cas particulier où &, = &,, la tension de sortie s’écrit :
+ = KU,U, cos (p; — q).
Fig. 4.09. Association multiplieur - filtre passebas.
La pulsation de coupure w, du filtre passe-bas
la,- 0 <<
es KU, U, cos [(c, à
La tension 4, est continue.
Par exemple l'association multiplieur-filtre passe-bas se
retrouve dans les applications suivantes : wattmètre électronique, détecteur de phase (voir TP 1), détecteur synchrone.
c) Association multiplieur - filtre passe-haut
Le multiplieur est utilisé en régime harmonique. La tension w,,
en sortie du filtre passe-haut (fig. 4.10) est égale à :
haut.
Ua =KU,U, cos [(a, + ©)1 + (@i + p2)].
Dans le cas particulier où les tensions d’entrée sont identiques,
le multiplieur est utilisé en quadrateur (pour une élévation au
Carré) :
Uy =
U
=
UV2 cos (œt + Ep).
La pulsation de coupure w, du filtre passe-haut
vérifie l'inégalité :
La tension de sortie s’écrit :
F«
Fig. 4.10. Association multiplieur - filtre passe-
h = AU? cos (2&t + 29).
lo,-w <w,<o,+o,.
A partir d’une tension de pulsation &w, on obtient une tension
de pulsation double 2 : c’est le principe de la multiplication
analogique de fréquences (voir TP 2).
d) Association multiplieur - filtre passe-bande sélectif
À l’une des entrées d’un multiplieur appliquons la tension
(fig. 4.11) suivante :
u, = U + U, sin @,t+ U, sin &;t
avec @, < Qi.
L’autre entrée est alimentée par un wobulateur qui délivre un
Fig. 4.11. Association multiplier - filtre sélectif.
signal sinusoiïdal w, de fréquence variable f = w/2x, tel que :
= U sinof
Amplitude
avec : © = ©, + kt
(k très faible).
La tension de sortie du multiplieur w,, est appliquée à un filtre
sélectif de fréquence centrale jf, :
U0 = KÜU sin œt
+> KOU
cos (&@ — o)t-> KO, cos
(@ + &,)t
+ ;KÜD, cos
(w - w;)t - ïKÜU, cos(© + &;).
Le spectre de ce signal comprend cinq fréquences : f, f-Jf\,
f+fi, f—-f, f+f. Lorsque le wobulateur balaye l'intervalle
Fig. 4.12. Spectres en amplitude des signaux
d'entrée et de sortie d'un multiplieur en régime
périodique.
Entrée u, : (—), sortie u,, : (..) pour & = 0.
76
des fréquences
MZ
compris
entre f, et une
fréquence
maximale
+/f, la tension de sortie u, du filtre est généralement
nulle, sauf pour trois valeurs particulières de la fréquence : Jo:
fi+f et f + f (fig. 4.12).
Exemple numérique
e Interprétation
u = Ü+ Ü sin 2x ft+ Üsin 2x ht
u = Ü sin 2x ft.
avec :Ü=10V; K=0,1 V-1; f = 10 kHz;
Une composante est transmise lorsque sa fréquence est égale à
J. Il y aura donc transmission :
—
de la composante KÜU sin œt lorsque f= f,
f, = 20 kHz et f,= 40 kHz.
—
de la composante > KOO, cos
(© — &,)t lorsque f=f, + fi
—
de la composante ;KÜUU, cos(& — w;)t lorsque f= f, + f.
On trouve:
Uso
= 10 sin 2x ft
+5 cos[2x(f- #) 1-5 cos[2x(f+ f) À]
+5 cos{2x(f- £) 1-5 cosl2r(f+ £) à]
Les valeurs des composantes spectrales
pour différentes valeurs de la fréquence fdu
wobulateur sont consignées dans le tableau
Suivant:
1.2. Amplificateurs fonctionnels
m 1.2.1. Structure de base
La structure la plus courante est représentée figure 4.13 où
l’un des deux dipôles D, ou D, est un dipôle non linéaire
(fig. 4.14).
i
em
D
ES
ce ue
u
Dit [[60 |65|70|75|#0]
Selon la valeur de f le signal transmis correspond à f, où f.
e Détermination
Fig. 4.13. Amplificateur fonctionnel.
Schéma
général.
de h{uJU,).
SR
——
Commande
Fig. 4.14. Caractéristique d'un dipôle non linéaire
D : la fonction g(ill,) est la fonction inverse
Les constantes |, et U, sont introduites pour assurer l'homogénéité des relations i(u/U,) et u(i/l,).
en tension
Commande
en courant
de la tension de sortie
Pour le montage de la figure 4.15a :
— la tension d’entrée est égale à : , = Ri
— Ja tension de sortie est telle que : 4, =-u
— et pour le dipôle D nous pouvons écrire que x est fonction de À, ou l’inverse, sous la forme suivante :
te) = 4-49
Up NT,
TA
17 à
y
.
:
u
Nous tirons la relation suivante : u, =- U, 8 e ]
0
Fig. 4.15. Amplificateur fonctionnel. Les deux Bmontages possibles en utilisant une résistance R
et un dipôle D.
M
Pour
le montage
de la figure 4.15b,
en
opérant
de façon
analogue, nous obtenons la relation (voir exercice 4.22) :
M
u
=-RIh(Æ).
A
1.2.2. Amplificateur logarithmique. Amplificateur exponentiel
Fig. 4.16. Caractéristique d'une diode à jonction.
Pour une température de jonction 0 = 27°C soit
T=300K, la constante U, de la diode est égale
à: U,= 25 mv.
a) Choix du dipôle non linéaire
Le dipôle non linéaire utilisé est
ristique est une courbe d’équation :
une
diode.
Sa caracté-
i= 1,LeU
—1].
Dans cette expression, les grandeurs Z, et U, représentent
respectivement l'intensité du courant inverse (courant de saturation) et une constante fonction de la température absolue
de la jonction (fig. 4.16).
Dans le cas où la tension anode-cathode ” est positive et
très supérieure à U,, la relation précédente peut s’écrire :
iS Ie WU),
Cette loi exponentielle permet la réalisation d’amplificateurs
logarithmiques ou exponentiels.
b) Amplificateur logarithmique
Avec le montage de la figure 4.17, pour des tensions d’entrée u,
positives, la tension de sortie u, est donnée par la relation :
Fig. 4.17. Amplificateur logarithmique. Principe.
Me
u,ne Un (@-)
c) Amplificateur exponentiel
Il correspond au montage de la figure 4.18.
sortie est donnée par la relation :
La tension de
M 1.2.3. Réalisation
Fig. 4.18. Amplificateur exponentiel. Principe.
On vérifiera expérimentalement (voir TP 4) le bon fonctionnement du montage de la figure 4.17 en amplificateur logarithmique. En remplaçant la diode par la jonction base-émetteur
d’un transistor dont le potentiel de collecteur est maintenu égal
au potentiel de base (fig. 4.19), les performances du montage
sont améliorées.
M 1.2.4. Application
Des amplificateurs logarithmiques sont utilisés dans des dispositifs permettant le tracé automatique de la courbe de gain
d’un filtre (fig. 4.20).
Fig. 4.19. Réalisation d'un amplificateur logarithmique.
La stabilité du montage est assurée par le condensateur de capacité C (100 nF). Pour une tension
d'entrée négative il convient d'utiliser un transistor
PNP,.
78
Fig. 4.20. Principe du tracé automatique de la
courbe de gain d'un filtre.
Le wobulateur G,, est ungénérateur
qui délivre :
— une tension sinusoidale u, de fréquence
variable f,
— une tension u, proportionnelle
àlafréquencef.
L'amplitude ü, de la tension d'entrée estsupposée
constante.
Fig. 4.21. Comparateur.
La tension de référence V,, du comparateur est
une tension constante dont la valeur peut être
réglée.
Un wobulateur fournit une tension w, proportionnelle à la
fréquence f du signal sinusoïdal d’entrée ,. Un amplificateur
logarithmique A,, commandé par la tension ,, délivre une
tension #, proportionnelle au logarithme de la fréquence f.
Cette tension w, assure le balayage de la voie X de la table
traçante T.
La tension %, mesurée à l’aide d’un voltmètre de crête, en sortie
du filtre F, est appliquée à l’entrée d’un amplificateur logarithmique À, qui délivre une tension #, proportionnelle au gain G
du filtre.
Cette tension w, alimente la voie Y de la table traçante.
Ainsi, aux
facteurs d’échelles près, la courbe de réponse du
filtre : G=£g(lg f), est restituée par la table traçante.
M2. OPÉRATEURS DE MISE EN FORME
2.1. Comparateurs analogiques
m2.1.1. Comparateurs à un seuil
Un comparateur est un opérateur dont la tension de sortie u,
prend deux valeurs stables et distinctes U, et U, selon le signe
de la différence entre la tension d’entrée , et une tension de
référence U.., (fig. 4.21).
dend U,
si Ue re
Ua
>
0
u, = U, si ue — Us <0
La caractéristique u,(u.) pour U,: = C'° est alors soit celle de la
figure 4.22a (comparateur non inverseur ou suiveur), soit celle
de la figure 4.22b (comparateur inverseur).
e Exemple : comparateur non inverseur
a) Montage
Pour le comparateur de la figure 4.23, selon le signe de la
tension différentielle d’entrée &, la tension de sortie , est égale
à + U... En
effet:
vs
e=u—
VU
et il vient:
u<Ug
> e<0>u,=-
Us
Fig. 4.22. a Caractéristique de transfert d'un
comparateur
non inverseur.
U> Ug > 8>0
b Caractéristique de transfert d'un comparateur
inverseur.
La caractéristique de transfert correspondante (fig. 4.24)
montre bien qu’il s’agit d’un comparateur non inverseur.
Fig. 4.23. Comparateur non inverseur à amplificateur opérationnel.
parateur non inverseur à amplificateur opérationnel.
> u,=+Ux.
Fig. 4.24, Caractéristique de transfert d'un com-
79
b) Réponse à un signal sinusoïdal
La tension d’entrée est un signal sinusoidal d’amplitude
U,> Ua. La tension de sortie u, est un signal rectangulaire de
rapport cyclique réglable selon la valeur de la tension de
référence Ur (fig. 4.25).
Dans le cas où un signal parasite (bruit) est superposé au signal
utile w, la tension de sortie du comparateur est alors très
perturbée (fig. 4.26). Des basculements aléatoires se produisent.
Cet inconvénient majeur est éliminé dans le comparateur
à hystérésis.
m 2.1.2. Comparateurs à hystérésis
Fig. 4.25. Réponse à un signal sinusoidal
u, = Ù, sin ot.
Un comparateur à hystérésis est un opérateur (fig. 4.27) dont la
tension de sortie x, prend deux valeurs stables et distinctes U,
et U, selon le signe de la différence entre la tension d’entrée u.
et une référence U, si , croît depuis une valeur inférieure à U
(fig. 4.28 a) ou une référence U_ si u. décroît depuis une valeur
supérieure à U, (fig. 4.28b)
u, a été inférieure à U_ : u, = U, si u, - U,>0
u, = U, si u, — U, <0.
u, a été supérieure à U, : u, = U, si u, - U_>0
u, = U, si u, —- U_<0.
Fig. 4.26. Réponse à un signal sinusoïdal avec
bruit.
u! = Ü, sin ot +b(t).
Fig. 4.28. Caractéristiques de transfert d'un comparateur à hystérésis.
a Tension d'entrée croissante.
Fig. 4.27. Comparateur à hystérésis appelé aussi
bascule de Schmitt.
La tension de référence L,,, du comparateur à hystérésis est une tension constante dont la valeur
peut être réglée. Elle détermine les seuils de basculement U* et U- qui définissent l'hystérésis
du circuit.
Fig. 4.29. Caractéristiques de transfert d'un com- >
parateur à hystérésis.
a Comparateur non inverseur (superposition des
figures 4.28 a et b).
b Comparateur inverseur.
80
b Tension d'entrée décroissante.
La caractéristique de transfert s'obtient en superposant des
courbes analogues à celles des figures 4.28 a et b. Nous sommes
conduit à distinguer deux cas (fig. 4.29a et b) correspondant
respectivement au comparateur à hystérésis non inverseur et
inverseur.
e Exemple : comparateur à hystérésis non inverseur
a) Montage
La réaction positive sur l’entrée non inverseuse d’un amplificateur opérationnel (fig. 4.30) impose au circuit un fonctionnement non linéaire. Selon le signe de la tension différentielle
d’entrée &, la tension de sortie 4, est égale à + U.,.
On démontre que :
€ AVIS
RER,
Fig. 4.30. Comparateur à hystérésis non inverseur à amplificateur opérationnel.
tr
R;
+R
RC.
Si la tension d’entrée u, est très négative, la tension différentielle € est également négative, ce qui impose une tension de
sortie égale à : u, =-U,.
Si, ensuite, la tension d’entrée v, croît sur la caractéristique de
transfert, à entrée croissante (voir fig. 4.28a) le point de
fonctionnement se déplace de A vers B.
Lorsque la tension w, devient supérieure
à la valeur
U,, la
tension € devient positive et la tension de sortie passe de — U..
à +U... La situation reste ensuite inchangée. Le seuil de
basculement U,, défini pour e=0 alors que u,=-U.. est
égal à :
Fig. 4.31. Caractéristique du comparateur à hystérésis non inverseur à amplificateur opérationnel.
À partir de cet état, si la tension d’entrée w, décroît, sur la
caractéristique de transfert à entrée décroissante (voir
fig. 4.28 b) le point de fonctionnement se déplace de B vers A.
Lorsque la tension w. devient inférieure à la valeur U_, la
tension & devient négative, la tension de sortie passe de + U,.. à
- VU. La situation reste ensuite inchangée. Le seuil de
basculement U_, défini pour e = 0 alors que 4, =+U,.4, est
égal à :
U_
R,
réf
R,
sat
:
CR Reg
Rp
C’est ce que met en évidence la caractéristique de la figure 4.31
pour laquelle on définit :
—
la largeur (ou hystérésis) du cycle :
AUD
—
le centre du cycle :
Ut
U,
> DU:
R;
HU LaRyteR,
2
R;
Ur Q
:
b) Réponse à un signal sinusoïdal
La tension d'entrée est un signal sinusoidal d’amplitude
Ü,> U*. La tension de sortie , est un signal rectangulaire
|
(fig. 4.32).
En présence de bruit, la tension de sortie n’est pas modifiée. Il
faut que l’amplitude des parasites soit supérieure à la largeur du
cycle d’hystérésis (fig. 4.33) pour que le fonctionnement du
montage soit perturbé.
Fig. 4.33. Réponse à un signal sinusoidal avec
bruit. Un basculement aléatoire exceptionnel peut
se produire si un parasite présente une amplitude
supérieure à la largeur AU du cycle d'hystérésis.
Pour accroître l'immunité au bruit il suffit d'augmenter la largeur du cycle.
2.1.3. Réalisations
a) Utilisation d’amplificateurs opérationnels
La tension différentielle d’entrée doit être limitée. Le circuit
intégré peut être protégé en disposant deux diodes régulatrices
de tension entre les entrées E* et E° (fig. 4.34).
81
Les performances dynamiques des amplificateurs opérationnels
limitent l’utilisation de ces comparateurs au domaine des
basses fréquences.
b) Utilisation de circuits logiques et de circuits spécialisés
Un inverseur CMOS peut être utilisé pour réaliser un comparateur (exercice 4.20).
Le domaine des hautes fréquences requiert l’utilisation de
comparateurs rapides, dont les temps de réponse sont de l’ordre
de quelques dizaines de nanosecondes.
Fig. 4.34, Exemple de réalisation : comparateur
inverseur.
Les résistances R* et R- et les diodes régula-
trices de tension D, et D, protègent les entrées
de À.
m 2.1.4. Applications
e Un circuit d'interface analogique-numérique peut être un
comparateur dont les niveaux de sortie U, et U, sont choisis
respectivement égaux à 0 et 5 V, pour représenter les états
logiques 0 et 1.
e L'association en boucle fermée, d’un comparateur à hystérésis et d’un circuit R;, C, (fig. 4.35), constitue un oscillateur
(voir chapitre 12) très fréquemment utilisé en électronique.
2.2. Monostable
2.2.1. Présentation
Un monostable est un montage dont la tension de sortie w,
prend deux valeurs distinctes, l’une stable U,, l’autre instable
U, (fig. 4.36a et b).
En l’absence d’impulsion de commande à l’entrée du montage,
le monostable conserve son état stable et la tension de
sortie reste égale à U..
Une impulsion de commande à l’entrée, d'amplitude supéFig. 4.35. Oscillateur à relaxation : montage
astable.
C'est un comparateur à hystérésis inverseur dont la
tension de référence est nulle.
Fest un filtre R, C passe-bas, du premier ordre.
La période T du signal d'horloge est proportionnelle à la constante de temps = RC, de ce filtre.
rieure à U, le fait changer d’état et la tension
de sortie
prend la valeur U..
Après une durée 7, le monostable revient à son état initial
et la tension , reprend la valeur U..
Fig. 4.36. Montage monostable.
La durée de relaxation T du monostable M
est fonction de la tension de référence L,..
m2.2.2. Monostable à amplificateur opérationnel
La réaction sur l’entrée non inverseuse de l’amplificateur
opérationnel A de la figure 4.37, impose au circuit un fonctionFig. 4.37. Monostable à amplificateur opérationnel.
82
nement non linéaire. Selon le signe de la tension différentielle
d'entrée €, la tension de sortie u, prend les valeurs de
saturation égales à + U...
La solution de l'équation différentielle du
premier ordre à coefficient constant :
e État stable
En l’absence d’impulsion de commande
T sn + u(t) = constante
est de la forme :
par
u= =0,
u=U, +(U,-U,)et"
avec: t>0*
expression dans laquelle les constantes U,
et U,, correspondent respectivement à la
valeur initiale et à la valeur finale de la
—
l'intensité : du courant dans le circuit R,, R,, C est alors
nulle (l’état stable correspond à un régime permanent),
— l'entrée non inverseuse est au potentiel + U.,:
Ug=Ri+u'=u*
tension u:
u(0*)=0, et
:
pot l'entrée inverseuse de A est au potentiel de la masse
l'intermédiaire de la résistance R :
—
u(w)=U,.
la tension différentielle € est égale à :
e=u-u
=U,.
Supposons U.. positif, l’état stable du monostable correspond à
e positif c’est-à-dire à :
Us — U, ri
Us 2
La tension aux bornes du condensateur est alors égale à :
Uc =
EN
Us —
U,
Æ
Ur.
e Etat instable
Prenons pour origine des temps, l’instant où une impulsion
positive u., d'amplitude U, supérieure à U.., impose momentanément une tension différentielle € négative. De ce fait la
tension de sortie de A bascule de U, =+ U,,, à U, = - U,,, et un
régime transitoire prend naissance dans le circuit R,, R;, C.
Il faut étudier l’évolution de la tension différentielle €, qui est
égale à u* en l’absence d’impulsion de commande, pour
déterminer la tension de sortie w..
A un instant f :
Ur = (R+R;)i+uc+u,
(1)
due
l =C—7
2
(2)
Us=Ri+u*
(3)
Levi
En posant :
Les
(4)
T=(R, +R,)C il vient :
du
T ra TUG®
Us + Ut:
C’est une équation différentielle du premier ordre
solution peut être écrite sous la forme suivante :
= Non-discontinuité de tension aux bornes
d'un condensateur :
ji |
Hier
i== C du
di = Gi
À
3
Le courant restant une grandeur finie, la
tension aux bornes d'un condensateur ne
peut subir de discontinuité. En effet si l'on
avait:
u(0*) # u(0°)
i tendrait vers l'infini quand At tend vers
zéro.
Cette relation capitale permet de trouver les
conditions initiales à l'instant 0* à partir des
conditions initiales à l'instant 0” qui sont les
seules connues.
dont
la
uc = U., + (Un - U.)e”"
avec :
U,, = Ur + Un
A
U, Le IF
soit :
LEE
Us + Un(1 — 2e).
permet d’obtenir la valeur de l'intensité i
Cette expression
(équation 2) et par conséquent l’évolution de u‘ (équation 3) :
__2R;
R, +R;
Notons qu'immédiatement après la suppression de l’impulsion,
à un instant que nous noterons { = 0‘, nous avons :
u*=Uu- ave"
avec:
«
e(0*)=ut(0*) = Ur - aUn.
Cette valeur doit être négative pour assurer un fonctionnement
satisfaisant du monostable. Cela impose la condition suivante :
83
2R
Urréf <<
R, K: R; Un.
sat
e Durée T de la période de relaxation
A l'instant 7 (c’est-à-dire juste avant 7), la tension u*
s’annule. En portant ces valeurs dans l’équation donnant w*,
nous obtenons le résultat suivant :
T=(R,+R)CIn
RYR))
DIR
U.
(Ki
Es),
es _
Remarque
a) A cet instant, la tension différentielle € est nulle, la tension
de sortie u, de A reprend la valeur stable VU, =+U,,. Un
nouveau régime transitoire succède à ce second basculement.
Une analyse identique à la précédente conduit à une nouvelle
équation différentielle. Dans le système d’équations précédent,
l'équation 4 est remplacée par : u, = + U,, et il vient :
du
(>
g*
;
Ta,
*
Uc =
Urr—
Un
Les résultats sont reportés sur la figure 4.38.
Fig. 4.38. Régimes transitoires du monostable.
Les notations 0” et 0* distinguent les instants respectivement immédiatement avant 0 et immédiatement après 0.
b) Pour obtenir un fonctionnement à durées de relaxation 7
constantes, il faut que le monostable retrouve un état identique
à celui qu’il avait avant l’impulsion de commande. En particulier, la tension u* doit être redevenue égale à U,., ce qui peut
être considéré comme réalisé après une durée égale à 57. Cette
durée 7, est appelée temps de récupération du monostable :
TR = ST.
Deux impulsions consécutives doivent
durée minimale 6, telle que :
Onin
=
être séparées par une
‘LaTr TR.
En général, T}, n’est pas négligeable devant 7.
m2.2.3. Réalisation
a) Utilisation d’amplificateurs opérationnels
A l’état stable, la tension différentielle € est égale à la tension de
référence LU... Pour un fonctionnement satisfaisant de l’amplificateur opérationnel, la condition [U.l<Ee,. doit être respectée. Le temps de récupération 7} limite la récurrence des
impulsions de commande. Sans changer la durée T il est
possible d’améliorer les performances du monostable en réduisant 7,. Une solution simple consiste à brancher une diode D
en parallèle avec la résistance R, (fig. 4.39). Dans ce cas :
Tr = 5R,C (au lieu de 5(R, + R;)C).
b) Utilisation des circuits logiques et de circuits spécialisés
La caractéristique de transfert d’une porte
«ET NON » CMOS
permet l’utilisation de cet opérateur pour réaliser un monostable. Une large gamme de durées de relaxation peut être
obtenue en agissant sur un circuit À, C externe au cireuit
intégré utilisé.
m2.2.4. Applications
Fig. 4.40. Obtention d'impulsions retardées.
84
a) Temporisation - Impulsions retardées
Chaque fois qu’une impulsion est appliquée à l’entrée d’un
monostable M, la tension de sortie w, change de valeur (deux
impulsions sont supposées séparées par une durée suffisam-
ment grande). Cette valeur particulière de w,, qui est maintenue
pendant une durée T déterminée, peut être utilisée pour obtenir
le fonctionnement d’opérateurs ou de circuits pendant des
durées T fixées. Cette propriété de temporisation a de nombreuses applications.
A titre d'exemple, considérons le montage de la figure 4.40 : le
monostable M associé à un dérivateur permet d’obtenir en
sortie deux impulsions, la seconde étant retardée d’une quantité
connue
7 par rapport à la première.
b) Convertisseur fréquence-tension
Des impulsions positives x, périodiques (fig. 4.41) commandent un monostable M. Ce montage délivre en sortie un
signal temporisé u, constitué d’impulsions d'amplitude E et de
durée 7,. Un filtre passe-bas en extrait la valeur moyenne 4,
(composante continue du signal) :
À.
u, =
Il
ET, Te
Eos.
Cette composante continue est proportionnelle à la fréquence
f du signal d’entrée w,.. Le système réalise la conversion
fréquence-tension. En instrumentation, cette fonction est utilisée, par exemple, pour réaliser un tachymètre (exercice 4.22).
Fig. 4.41. Convertisseur fréquence-tension.
Travaux pratiques
1. Détecteur de phase
Nous allons vérifier expérimentalement que l’association
multiplieur-filtre
passe-bas,
décrite
figure 4.09 permet d’obtenir une tension de sortie :
Us = K U,U, cos p
lorsque les signaux appliqués aux entrées sont respectivement :
U, = U,V2 cos œ@f
et
e Le déphaseur (fig. 4.43) est réalisé autour d’un
amplificateur opérationnel TLO81. Le module de la
transmittance est unitaire, seul le déphasage o du
signal w#, par rapport à l'entrée e est réglable par
l'intermédiaire de la résistance Ro.
tan 9/2 = RoCo@.
e Le filtre passe-bas est le quadripôle RF, Cr.
Uu= U,V2 cos (œt — @).
1.1. Montage
Réaliser le circuit présenté figure 4.42.
e Le multiplieur est un circuit intégré AD534.
Fig. 4.43. Déphaseur.
1.2. Réglages
Le signal e est sinusoidal de fréquence f= 1 kHz et
de valeur efficace E = 5 V.
e Les valeurs des composants du déphaseur sont :
R=10kQ,
Fig. 4.42. Détecteur de phase.
CO =
R=1MQ
(potentiomètre)
et
10 nF.
85
e Initialement, les valeurs des composants du filtre
passe-bas sont : R£ = 1 kQ, CK= 1 UF.
3. Association multiplieur - filtre sélectif
Deux transducteurs à ultrasons E et R (fig. 4.45)
1.3. Mesures
sont placés face à face à une distance d l’un de
lPautre (quelques centimètres). Le transducteur E est
e Visualiser à l’oscilloscope la tension w,;,.
En agissant sur R- chercher le minimum de l’ondulation de la tension de sortie.
alimenté sous une tension sinusoïdale .. L’onde
acoustique
O
émise
par
E est
détectée
par
le
récepteur R qui délivre une tension sinusoidale 4,.
e Visualiser à l’oscilloscope les tensions w, et ,.
e Relever
les valeurs
moyennes
de la tension de
sortie uy pour différentes valeurs
retard @ compris entre 0 et x rad.
e Sur papier
millimétré,
du déphasage
tracer la courbe
expéri-
mentale w,,(p). Comparer les résultats obtenus et les
valeurs théoriques correspondantes données par la
relation KU, U, cos op.
2. Muitiplieur de fréquence
Le montage utilisé est celui de la figure 4.44, Le
multiplieur M est monté en quadrateur puisqu'il
permet d’effectuer une élévation au carré.
M
M
KW
Fig. 4.45. Filtre sélectif électro-acoustique.
Références des transducteurs à ultrasons utilisés :
E:MA40L1-S
R : Ma 40 LI-R.
Une résistance r de 10 KQ est nécessaire pour éviter les perturbations dues
au secteur (50 Hz).
u,
) ( ùU
U;
3.1. Filtre sélectif
Dans la bande de fréquences 30 — 60 kHz, mesurer
le gain G du filtre électro-acoustique :
G = 20 Ig(U,/U.).
Fig. 4.44. Multiplieur de fréquence.
2.1. Régime harmonique
a) La cellule R, C est éliminée.
Le signal à l'entrée
sion sinusoidale
du multiplieur
est une
ten-
u, = Ü, sin œ,t = U,V2 sin (2xjit).
Pour /, = 1 kHz, mesurer U, au voltmètre et ajuster
cette valeur efficace à 3,16 V.
Relever les oscillogrammes des tensions u, et w.
Mesurer les caractéristiques de la tension % :
fréquence, valeur moyenne et valeur efficace, amplitude.
Vérifier que u, = 1 — cos 2w,t (volts).
U. et U, représentent respectivement les valeurs
efficaces des tensions de sortie et d’entrée du filtre.
Sur papier millimétré, tracer la courbe G(f). Noter
la fréquence centrale /, du filtre et la bande passante
Af à — 3 dB.
3.2. Ensemble multiplieur - filtre sélectif
Une tension sinusoïdale u de fréquence / réglable est
appliquée à l’entrée du montage de la figure 4.46. La
tension U, peut être mesurée à l’aide d’un voltmètre
de crête (ou du montage de la figure 4.47). Une
simple observation de l’amplitude de u, à l’oscillo-
scope convient également.
AD 534
b) Adjoindre la cellule R, C. Calculer R pour que la
fréquence de coupure à — 3dB soit Je = 15,9 Hz
si la valeur de la capacité du condensateur est
C=I1ur.
Relever les oscillogrammes des tensions 4, , u, et u;.
Mesurer les caractéristiques de la tension w; :
À
D à valeur moyenne et valeur efficace, amplitude.
Donner l'expression de u;, en fonction du temps.
2.2. Influence d’une composante continue
Au signal sinusoidal d’entrée précédemment utilisé,
on superpose une composante continue Æ,.
Relever les oscillogrammes des tensions U,, U et
u; pour E, =+2 V puis E, =-2 V.
Mesurer les caractéristiques de la tension U) :
fréquence, valeur moyenne et valeur efficace, valeur
de crête.
La tension w, est-elle sinusoidale ? Comment filtrer
U} POUr que w; soit sinusoidale sur une large bande
de fréquences?
86
Fig. 4.47. Voltmètre de crête. Diode utilisée : OA95.
a) Régime sinusoïdal
Le signal à analyser #, est sinusoïdal de fréquence /,
et d'amplitude U,.
Pour les valeurs suivantes de jf, : 0, 10, 20, 30 et
40 kHz, faire varier lentement la fréquence f du
signal w de référence de 30 à 100 kHz. Observer
l'évolution de la tension de sortie #,. Noter la
valeur f,, de la fréquence f correspondant au maximum de #,; comparer fu à la valeur (f + fi).
b) Régime périodique
Le signal à analyser :
A
avec :
U, +
Faire varier lentement la fréquence de référence f de
30 à 100 kHz. Observer comment varie l’amplitude
de la tension ,. Noter les valeurs de la fréquence f
correspondant aux maximums (U.),,,, de U,. Comparer ces valeurs à f, fo+fa; Jo +Zfa. Tracer
(Us)maxQ). Reprendre ces mesures en modifiant les
grandeurs E, et E,.
3.3. Application à l’analyse fréquentielle d’un signal
rectangulaire
Prendre un signal w, de fréquence /, = 10 kHz avec
et sans composante continue.
Al sin at <> UZ cos
2©\t
On = 27/1
est obtenu grâce à un quadrateur dont la tension
d’entrée est une tension sinusoidale superposée à
une composante continue (fig. 4.48).
AD 534
4. Amplificateur logarithmique
Le montage utilisé (fig. 4.17) comporte les éléments
suivants :
R=10kQ
D:1IN4148
Ajuster la tension de décalage
opérationnel À au minimum.
4.1. Caractéristique statique
En régime statique, relever les valeurs de la tension
de sortie , pour différentes valeurs, strictement
positives, de la tension d’entrée .. Ces valeurs sont
comprises entre 0,3 mV et 30 V par exemple. En
pratique, pour les faibles valeurs de #,, il faut
utiliser un diviseur potentiométrique. Tracer la
courbe u, (u.) sur papier semi-logarithmique (#, sur
la graduation logarithmique).
Déterminer la pente p de la courbe expérimentale
(mV/décade). Quelle est la loi expérimentale u, (ue)?
Ux
O
A :TLOB81.
de l’amplificateur
t
®
Fig. 4.48. Générateur de signal périodique à trois composantes spectrales
:0,fet 2f
E,=+2V e,=EV2sn2rit
E,-316V f,=10KkHz
4.2. Utilisation d’un transistor
Le montage comporte les
(fig. 4.19)
éléments
R=10kQ
T:2N2222
C=100nF
A :TLO81.
suivants
Le condensateur assure la stabilité du montage
étudié. Effectuer le même travail qu’au 4.1.
Comparer les deux montages.
87
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
Quelles tensions peuvent être appliquées
Avec quelle unité faut-il exprimer la constante K intervenant dans l'expression de la tension de sortie u, = Kï,i, d’un multiplieur analogique
d’intensités ?
R:A
TV -L'VA-2 AV?
On trace la caractéristique w,(,) d’un
multiplieur pour w, = constante. La tension de sortie
correspondant au maximum de l’échelle est égale à
U, = 10 V. L’erreur de linéarité atteint 0,1 %.
Calculer l’écart maximal (AU)... entre la caractéristique idéale et la caractéristique réelle.
R : 1 mV; 10 mV; 100 mV; 1 V.
Un
wattmètre
On
passe-haut;
indique
la
passe-bande;
réjecteur
positives,
alternatives,
de la
unidirection-
Quelle est la valeur de l’hystérésis d’une
bascule de Schmitt dont les seuils de transition sont
respectivement U, =5 V et U_=-5 V?
RAS
SNS S V:10
V5 15 V.
Quelle est la valeur de la tension correspondant au centre du cycle d’hystérésis d’une
bascule de Schmitt dont les seuils de transition sont
respectivement U, =5 V et U_=-5 V?
L’amplificateur opérationnel À du monostable décrit figure 4.37 est alimenté sous + 15 V et
il comporte les éléments suivants : R, = R;, = 1 kQ,
C=10nE, Ux= 5 V.
Quelle est la «période» T du monostable ?
R : 10 ns; 22 us; 34 ms; 46s.
souhaite
augmenter
l’immunité
au
bruit d’un comparateur dont la tension de référence
est Ur et l’hystérésis AU. Comment modifier les
caractéristiques du cycle d’hystérésis du comparateur?
R : augmenter
diminuer AU.
R : négatives,
nelles.
logarithmique
R:-10V;
-5 V;0 V;5 V.
électronique
puissance moyenne. Quel filtre analogique est associé au multiplieur pour constituer cet appareil de
mesure ?
R : passe-bas;
de bande.
à l'entrée de l’amplificateur
figure 4.197?
U,;$, diminuer
U,;$, augmenter
AU,
Quelle est la fréquence limite f des
impulsions à l’entrée du monostable décrit à l’exercice précédent?
Le temps de récupération est égal à 37t avec
T=(R, +R;)C.
R : 60 Hz; 12 kHz; 30 kHz; 60 kHz.
Exercice résolu
[ 4.10. ]Le montage de la figure 4.49 est supposé
parfaitement symétrique. Pour chaque transistor,
l’intensité À du courant d’émetteur est liée à la
tension base-émetteur u3K par la loi suivante :
ie = lew
avec:
1=Ct, 1=Ct,
L’intensité du courant de base sera négligée devant
l'intensité du courant d’émetteur.
1° Exprimer ux = ux; -ux, en fonction de Upe1 €t
HBE2 2° Calculer l'intensité Z, du générateur de courant
en fonction des grandeurs , upy1 et 4py.
88
3° Déterminer les intensités & et ic des courants
de collecteur en fonction de Z, et x. Tracer l’allure
des courbes ic\(4x) et ic(ux).
4° Écrire l’expression de la tension de sortie u, en
fonction des grandeurs J, et u,.
5° Que devient l’expression précédente dans l’hypothèse d’un fonctionnement linéaire (petits signaux :
ux = 0)? La portion d’exponentielle est assimilée à
un segment de droite.
Mettre le résultat sous la forme : 4, = Kyuxl,. On
rappelle que : si x <1 e*=1+x.
6° Calculer la valeur numérique de la constante X,.
Adopter
les valeurs
suivantes
R=4kQ,
À = 40 Vi.
7° Quelle est la valeur de la tension de sortie 4,9
lorsque la tension différentielle d’entrée est égale à
uxo = — 1 mV ? Le générateur de courant délivre une
intensité Z, = 4 mA.
L'hypothèse
acceptable?
du
fonctionnement
linéaire
est-elle
Fig. 4.50. Variation dei, ti. en fonction de u,.
4 Expression de 4,
La loi des mailles appliquée à la maille de sortie
peut s’écrire :
Us = R(ic2 — ici):
Us
LC
Soit
5
:
1
us = Ro Êrée +
EL
LC
7.
En développant il vient :
ë
7
— Àu
Jet
Au
PEEE
PRE
DAUx + e 73
2 +e
Uy
Fig. 4.49. Étude de la structure différentielle.
La réponse de l’arnplificateur différentiel n’est donc
pas linéaire.
5° Hypothèse d’un fonctionnement linéaire
UE
SOLUTION
1° Expression de x
Considérons la maille comprenant les deux entrées
du montage
Ux = Uxi = Ux2 > [ux = UBEi — UBE2
2° Calcul de J,
de
=
RI
[D = I(ete
Ein ete Met
(1—Au,)—(1 +u,)
EE
D: 6 +(1+/u)+(1 À)
Ru
}
Soit après simplification :
u, = Kou,l,|
Lo = pi + Ép2.
Donc :
LS ee
L'expression démontrée précédemment se réduit à :
avec:
Ki= > 2R.
6° Calcul de X,
+ ever)
Ko=(-5x40x4. 10%) A1 > [K=-80
kA |
3° Calcul de à: et ic
ia ©
et co
ip.
7° Valeur de 4,
Factorisons e“# dans l’expression donnant 1, :
e Aug
Lo 5 Left (1F
e }lse
)
= le] (1 tes Aux),
La tension de sortie 9 est égale à :
x 4 x 10-3] V
uso =[(— 80 : 105) x (— 1 x 107?)
> |150 = +320 mV
Factorisons e““# dans l'expression donnant 1, :
Age:
1, = Le" e 4: 1e ip2(1 + e#x).
Upe2
D'où les expressions des courants de collecteur :
n
ee —
lci 7
208.1
Em
Î Fa e7 Àux
MU
ne
Le
PET
Les graphes ic(ux) et i(ux) sont tracés figure 4.50.
L'amplification
— 320,
de l’étage différentiel
est égale à
Posons a = e*“* et a = 1 — Àu,.
L'erreur relative € = (a) — a)/a, permet de tester la
validité de l’approximation d’un fonctionnement
linéaire.
u,=-1 mV > e<1 %o
L'approximation est justifiée.
89
Exercices à résoudre
La structure interne d’un multiplieur uni-
3° Pour le montage 3 (fig. 4.54), établir la relation :
versel est présentée figure 4.51. Les opérateurs À,,
A, et À, sont des opérateurs de différence. Le
coefficient d'amplification À, de l’amplificateur A
est supposé très grand devant
que € est négligeable.
Us3 =
Yy U,(Z7
28]
n D ce
Quelle est la fonction réalisée lorsque X7 =0 V?
1 (4, > 1) de sorte
Fig. 4.54. Montage 3. La diode D impose une tension de sortie positive.
4° Applications numériques
Calculer us, ua et u,3 lorsque : X*=5 V;
X==0V;:
Y'=O0OV:{Y =-7. NV; ZEUS
Z7=0 V; U=10 V.
Une sonde à effet Hall, alimentée par un
Fig. 4.51. Multiplieur universel.
1° Montrer que la tension de sortie du montage
(fig. 4.52) est donnée par la relation suivante :
Us:
PCR ARTS
U
1
courant d'intensité iX est soumise à l’action d’un
champ magnétique uniforme B, (fig. 4.55). La tension de Hall w, est donnée en fonction de à et
By par la relation suivante :
uz = kixBy
YA
avec
k= constante.
Solénoide
Quelle est la fonction réalisée lorsque Z 7 =0 V?
>, dé
Fig. 4.52. Montage 1.
2° Pour le montage 2 (fig. 4.53), établir la relation :
LS
Z*
Us e= AE
+
den
Quelle est la fonction réalisée lorsque Y* =0 V?
Fig. 4.55. Multiplieur à effet Hall. Une partie seulement des spires du
solénoïde est représentée sur ce schéma.
1° Avec quelle
tante k?
unité
faut-il
exprimer
la cons-
Dé
2° La tension de Hall est égale à 10V lorsque
ix = 10 mA et By = 1,0 T. Calculer la valeur numérique de k.
3° Le champ magnétique uniforme B, est créé au
moyen d’un solénoide, de longueur /, dont les
N spires sont parcourues par le courant d’intensité
Fig. 4.53. Montage 2.
90
ly.
x
Exprimer le module By du champ magnétique. On
notera y la perméabilité magnétique du milieu.
4 En déduire la relation suivante :
Uz=
Exprimer la constante
numérique.
Kixiy :
X puis calculer
sa valeur
Applications numériques
Lo = 4x 10? H/m; N = 1 000; / = 12,56 mm.
5° Tracer le réseau des caractéristiques de transfert
du système : u,(ix) à iy = C®.
On limitera l’étude aux valeurs suivantes :
luxl<1 V
|ixl<100 mA
iyE[+ 50 mA; + 100 mA; + 200 mA].
On adoptera les échelles suivantes :
lem=0,1V
et
1cm=10 mA.
La structure interne du multiplieur intégré 4200 est représentée figure 4.56. Pour chaque
transistor on admettra que l'intensité du courant
d’émetteur est donnée par la relation (fig. 4.57) :
=
wpr> en fonction de v,; et v; en
l'intensité À, peut se mettre sous la
3° Montrer que l’on a : à, - là
Eu
| 4.14. | Les signaux appliqués aux
multipiieur sont respectivement :
U, = U,V2 cos(@it+@)
entrées
d’un
u= U,V2 cos (ht + p)).
1° Calculer l'expression de la tension de sortie u,
sachant que : 4, = Ku;w.
On rappelle que :
cos a cos b =
cos(a
b) + 7cos(a + b).
2° Exprimer la tension de sortie #
particulier où &, = &;.
dans le cas
3° Calculer la valeur moyenne 4 de la tension w.
ÎE = IQ ete
et que :
2° Exprimer
déduire que
forme :
ic.
On désigne par »1, vY et v,3 les tensions, respectivement, entre les points S;, S;, S; et la masse du
montage.
A l'entrée d’un multiplieur (fig. 4.58) on
applique une tension sinusoïdale uw, = U, sin 2zft
telle que : VU, = 4,47 V; f=1 kHz. On donne
Un 2
10 +"
U,
U; =
KW
WW
Fig. 4.58. Quadrateur en régime harmonique
u,=0, sin2nft U,=10V
Ü,=447V f=1KkHz.
1° Calculer la tension de sortie w.
Dessiner #, pour 0<t< 1/f.
2° On superpose à #, une composante continue
E, =+2 V. Dans ces conditions, calculer la tension
de sortie w;.
ic
B
E
Up
E
Fig. 4.57. Notations pour un transistor NPN.
1° Exprimer up, en fonction de v,; et V3; en
déduire que l'intensité i, peut s’écrire sous la forme :
2
16 4-1,
iTA
Fig. 4.59. Variation de u, en fonction du temps.
3° La courbe représentative du signal u; est donnée
figure 4.59.
Calculer du;/dt. En déduire les maximums du
signal. Vérifier les relations : Uu = (U, + EŸ/Uo;
U.=(O, -E;)/U,. Calculer Au = Uy - Un.
Les multiplieurs de la figure 4.60 sont
identiques. A l’entrée du montage on applique une
tension sinusoidale :
Un montage correspondant au schéma de
la figure 4.15b comporte un dipôle non linéaire
dont la caractéristique (4) est donnée figure 4.14a.
1° Démontrer la relation u, = - Rlyg(ue /Uo).
L’amplificateur opérationnel A est supposé idéal.
2° Le dipôle non linéaire est une diode à jonction,
branchée conformément à la figure 4.18. La tension
u, est positive. Exprimer la tension de sortie u,.
u, = U, sin wt.
1° Calculer la tension de sortie w, en fonction de w,
ar U, :
2° Exprimer le résultat sous la forme :
U3 3==
vi (3 sin œt — sin 3wf).
4US
On rappelle que :
Le montage de la figure 4.15a comporte
un dipôle non linéaire D dont la caractéristique i(u)
est donnée par l’équation suivante : i = 15 exp (Au/o).
Dans cette expression /, et x sont des constantes. On
donne : À = g/KT.
1° Calculer
À sachant
que
g= 1,6 : 10"
C:;
k=1,38:10
%J.K-!;: 0=279C; T=273+0,
2° Calculer la tension de sortie 4, du montage.
sin a sin b= 3cos(a— b) 3
cos(a + b)
sin 4 COS b=3 sin(a—b) +3sin(a +b).
3° Si la tension d’entrée passe de uw, à 10w, (saut
d’une décade) la tension de sortie correspondante
passe de HU à w.
.
,
Par définition, la valeur de la pente p du conver-
tisseur
logarithmique
est égale à : u,-uw.
Elle
s’exprime en millivolts par décade (mV/dec).
Calculer p pour &= 1 et «= 2.
Le montage
de la figure 4.62 est un
générateur d’impulsions.
Fig. 4.60. Générateur d'harmonique triple
3° Comparer
figure 4.61.
u,=Ü, sin2rft
Ü,=464V
f=1,0kHz
U,=10V.
le résultat obtenu
à la courbe de la
Fig. 4.62. Générateur d'impulsions à rapport cyclique réglable.
1° On suppose l'interrupteur K ouvert. Calculer la
tension 4, : 14 =1 mA; C=100 nF; u,(0)=0 V.
0,1
0,2
0,3: 04
0,5\
0,6 0,7 0.800
2° L’horloge H commande l’ouverture et la fermeture de l'interrupteur électronique K (transistor en
commutation). La fréquence de l’horloge est égale à
{= 2 kHz. Le temps de fermeture de K est {= 5 pis.
Représenter la tension w,. Calculer la valeur maximale U, de u..
3° Quelle est la fonction de l’amplificateur opéra-
tionnel
A? Sa fonction
de transfert est définie
par les relations suivantes : e>0* > u, =+ Us;
e<0 > u,=0.
La tension continue U, est réglable de 0 à +5 V.
Pour U,=1 V, tracer u,. Calculer le rapport
Fig. 4.61. Variation de u, en fonction du temps.
92
cyclique x de la tension 4,. Tracer æ(U,).
Les courants d’entrée des inverseurs
logiques d’un comparateur à hystérésis non inverseur sont négligés.
1° Tracer la caractéristique de transfert w,(u) des
deux
inverseurs
logiques
montés
en
cascade
(fig. 4.63). La caractéristique de transfert d’un inverseur est rappelée figure 4.64.
secondes.
Les sorties ©, et ©, des monostables
M, et M;
commandent l’opérateur ET qui délivre en sortie le
signal d’alarme S. Les durées de relaxation 7, et 7;
des monostables M, et M, sont respectivement
définies par les composants externes au circuit
intégré (R;, R;, Ci, C) :
Fig. 4.63. Comparateur à hystérésis non inverseur.
+ Up
Fig. 4.65. Commande d'un signal d'alarme.
1° À l'instant pris pour origine des temps apparaît
un défaut. L'entrée passe de l’état O à l’état 1 et
commande les monostables sur le front montant. En
posant 7,>T;,, tracer, en correspondance des
temps, les chronogrammes ÆE(t); Qi(t); Qt):
Q,(1) et S(r).
2° L'état haut de la sortie commande l’alarme. On
souhaite que celle-ci fonctionne durant 7+= 5 min
avec un retard à l’enclenchement 78 = 20 s après
l'apparition du défaut.
A quelles valeurs R;, et Rx doit-on ajuster les
résistances réglables de 1 MQ, R, et R, sachant que
C;, = 470 uF et C, = 100 uF?
U,
pe — “DD
ou?
Fig. 4.64. Inverseur CMOS.
2° Calculer la tension
HR,
et R;.
en fonction des grandeurs
3° Initialement w, = 0. La tension w, croît.
Soit U, la valeur de u, pour laquelle u = Ur.
Calculer U, en fonction de Un. R; et R.
4 Initialement #, = Unn. La tension 4, décroît.
Soit U, la valeur de w. pour laquelle u = Ur.
Calculer U, en fonction de Up, R; et R;.
5° Calculer l’hystérésis AU du comparateur.
6° Calculer le centre U, du cycle.
7° Tracer le cycle d’hystérésis u,(w.) pour R; = R;.
8° Déterminer la réponse x, pour une commande
harmonique : u, = V2 sin œt avec R, = R;.
4.21. |Un système d’alarme (fig. 4.65) comporte
|
un circuit intégré qui associe deux monostables M,
et M, commandés-sur le front montant de la transition du signal d'entrée E. L'état de repos des
monostables correspond à Q, = 0 et Q, = 0. Lorsque
les monostables sont excités, les sorties Q, et Q;
restent à l’état «1 » pendant respectivement 7, et 7;
B4/220 Un capteur optoélectronique C (fig. 4.66)
détecte le passage d’un repère réfléchissant R monté
sur l'arbre d’un moteur à courant continu qui
tourne à la vitesse angulaire Q. Ce capteur délivre
un train d’impulsions u,. de fréquence f égale à la
fréquence de rotation V=Q/2r du moteur. Ces
impulsions sont appliquées à l'entrée d’un monostable M dont la durée de relaxation + et les tran-
sitions sont définies figure 4.67. La tension u,, est
appliquée à l’entrée inverseuse d’un soustracteur S
dont l’entrée non inverseuse est alimentée par la
tension continue U.
1° Tracer la courbe représentant la tension
D'AIDE
2° Proposer un montage soustracteur utilisant un
amplificateur opérationnel.
3° Calculer la moyenne U, de w,. Mettre le résultat
sous la forme U, = «N. Expliciter 0.
4 Calculer les éléments d’un circuit À, C (filtre
passe-bas), utilisable pour obtenir la valeur
moyenne du signal u,.
On donne : U=15
Vett= . ms. Calculer R et C.
93
<<
US
avec:
u= Ü sin &f, © = 2nf; v = V sin (œt — y).
La fréquence f de la tension , fournie par un
wobulateur, varie de la manière qui est représentée
sur la figure 4.69, f, étant la fréquence de résonance
ducircuiteReZ:e Ci
TOP
T OS TEA TS T
Fig. 4.66. Capteur du tachymètre optique. Le capteur optoélectronique C
est un optocoupleur. Une diode électroluminescente émet un faisceau (1)
qui est réfléchi (2) par le repère R et reçu par un phototransistor.
Un circuit de mise en forme délivre le signal utile u...
Fig. 4.68. Circuit diviseur.
ss
3/02
fi--/--\---/£
21 5 NSP
Lo
t(s)
0
0,1
0,2:
0.3,
0,4,
.0,S
A0
Fig. 4.69. Courbe f(t).
Fig. 4.67. Circuit électronique du tachymètre optique
1° A quelle grandeur relative au circuit R, L, C la
tension s est-elle proportionnelle ?
Le montage de la figure 4.68, dont la partie essentielle est un circuit R, L, C série (r = 10 Q:
L = 40 mH; C= 0,1 UF), comporte une résistance R
réglable.
Deux voltmètres de crête, dont on peut négliger les
courants d’entrée, fournissent à chaque instant des
tensions (assimilables à des tensions continues)
égales aux amplitudes respectives des tensions u et
v, Un diviseur D, que l’on peut réaliser à l’aide d’un
multiplieur universel, fournit à son tour une tension s variant lentement, telle que :
94
2° Calculer f; calculer Z(f) pour f= f/2, f et 2f,
Z étant l’impédance du circuit et R étant réglée à
la valeur 100 Q,.
3° Sur un oscilloscope utilisé en mode X, Y (ou sur
une table traçante), on applique, en ordonnées, la
tension de sortie s du diviseur, et en abscisses, une
tension image de la fréquence f, variant de manière
proportionnelle.
Quelle est l’allure de la courbe obtenue sur l’écran
pour R = 100 Q.
Comment cette courbe est-elle modifiée si l’on règle
R à 400 A7?
|
FONCTIONS LOGIQUES
Chapitre 5
FONCTIONS NUMÉRIQUES
M1. REPRÉSENTATIONS DES NOMBRES
1.1. Systèmes de numération
1.1.1. Numération décimale
Dans un système de numération à base 10, écrire le nombre
No = 1989, c’est écrire l'égalité suivante :
= (1 X 107) + (9 x 102) + (8 x 10!) + (9 x 100).
No
De même W', = 19,89 correspond à l'égalité :
?).
+ (9 x 107
o=(x10!)+(9 x 109) +(8 x 107!)
m1.1.2. Numération en base B
Plus généralement, dans un système de numération en base B,
un nombre noté V, égal à :
un N= 3aB*.
k
Numération en base B.
a, élément du kËE rang
B* poids de l'élément &,.
Ne MLD
PU De
Te
+ a,B?+aB'+aB°+a.B°'+a,B7?+..
s'écrit symboliquement :
Na = (Gn@n-1
A2 di dpA- 1 A2 .)p.
1.1.3. Bases usuelles
Les systèmes de numération les plus couramment utilisés sont :
— le système binaire : B=2;4a,€(0, 1)
— Je système octal : B=8; a, E(0, 1, 2, …, 7)
— Je système décimal : B = 10; a,€(0, 1, 2, …, 9)
— le système hexadécimal :
B=16%4@4E(0;1, 2, …, 9, 4, B, C D, E, F).
Les lettres 4, B, …, F placées entre parenthèses correspondent
respectivement aux nombres 10, 11, …, 15 du système à
base 10.
1.2. Changement de base
M1.2.1. Transfert de la base B vers la base 10
«= En système binaire les chiffres (ou symboles) 0 et 1 sont appelés éléments
binaires : e.b. ou bit (binary digit).
« Le système hexadécimal est utilisé pour
représenter les nombres binaires dans les
calculateurs numériques.
Cherchons quel nombre en base 10 correspond au nombre 111 l
exprimé en base 2 :
+(1 x 2°).
+ (1 x 21)
+(1 x 22}
=(1 x 23)
(111),
L'opération est immédiate : il suffit de développer le second
membre de l'égalité précédente. On trouve :
(1111); = (15).
95
Autre exemple:
(FF)
= (FX 16!)+(Fx 16°) = (15 x 16) + (15 x 1) = (255).
m 1.2.2. Transfert de la base 10 vers la base B
e Méthode pour soustractions successives.
Elle consiste à soustraire du nombre (N),,, que l’on souhaite
convertir, le nombre
mB?P obtenu en cherchant :
1° La plus grande puissance entière p de la base B telle que :
BP <(N),.
2° Le plus grand multiple entier m du nombre
mB? <(N),, avec m < B.
BP tel que :
On réitère l’opération sur le résultat du calcul précédent jusqu’à
l'obtention d’un résultat nul. De l’écriture, en fonction décroissante des puissances entières de la base B, on déduit l’expression du nombre dans cette base.
Exemple
A quel nombre N en base
exprimé en base 10 :
16 correspond
le nombre
1989
(1989)0 = (Nhi6?
Nous constatons que : 162< 1989< 16°; donc : p, = 2. Nous
cherchons le plus grand multiple de B°1= 16? compris dans
1989 :
1989=7x162+197
ou 1989—[7]x 16? = 197.
Réitérons l’opération sur le résultat précédent. Nous constatons
que : 161 <197<16?; p, = 1. Nous cherchons le plus grand
multiple de B°:= 16! compris dans 197 :
197=12x16+5
ou 197-|C|x16!=5.
La dernière opération conduit aux expressions suivantes :
100<
5 161:
5=5x16+0
m=0
ou 5-[5]x 10°=0.
D'où le résultat cherché :
(1989),,
= (7 x 162) + (Cx 16!) + (5 x 16°).
Soit symboliquement :
(1989)10 = (7CS)i6.
e Méthode pour divisions successives.
Elle consiste à diviser le nombre (N),, que l’on souhaite
convertir, par la base B, puis à réitérer l’opération avec le quotient obtenu jusqu’à l'obtention d’un quotient nul (fig. 5.01). Le
nombre cherché s’écrit en plaçant les restes des divisions dans
l’ordre inverse de leur obtention dans la suite des opérations
effectuées.
Exemple
Expression du nombre (1989),, dans le système à base 16.
1989= 124 x 16 +5
124=7x16+12=7x16+C
7T=0X16 +7.
Fig. 5.01. Méthode par divisions successives.
96
Le nombre cherché s'écrit donc :
(1989),, = (7CS).
1.3. Codes
Æ 1.3.1. Nécessité des codes
Les signaux traités par les systèmes électroniques numériques
sont représentés par des symboles appelés éléments binaires
(e.b.). Cette correspondance entre les signaux et les éléments
binaires est définie par un code binaire. Les codes binaires
permettent aussi de détecter et de corriger des erreurs.
m1.3.2. Codes pondérés
e Cas général
Na = ARE
BL
+
EARE
+
00 B 4
Au chiffre a, est attribué un poids B*.
Exemple
Dans le système à base 10, pour le nombre 456, le chiffre 5 a
pour poids 10! et le chiffre 4 a pour poids 107.
« Transitions en code Gray.
Si les transitions des différents e.b. ne
sont pas simultanées, un codage binaire
pur risque d'introduire des états transitoires
parasites. Le tableau ci-dessous montre que
le passage de 3 à 4 en code binaire pur
peut donner lieu à l'affichage transitoire de
nombres correspondant à 7 et 5 qui constituent des aléas.
Ce défaut est éliminé par l'utilisation du
code Gray.
décimal
(g
7
QU (191-109
parité
Symbole
ÉStart [o1 2,3 4 5 6[7[Stop].
T
8t 9T
:
11Tr (ms)
= Élément binaire de parité
L'élément binaire de parité (1 ou 0) est
ajouté aux sept premiers éléments binaires
qui codent le symbole à transmettre de
façon que l'octet obtenu comporte un
nombre pair de 1. Les codes avec e.b. de
parité permettent de détecter des erreurs
simples lors des transmissions.
Exemples
0000000
0000001
2
0000011
3
0000111
1Transmissions
1 Écorrectes
0
0j
Erreur
transmission
—
Nb de
Symboles
(1989),
="
s'écrit :
(0001
1001
1000
1001)»8
Ce code est pondéré par les poids (de droite à gauche) :
—
1,2, 4, 8, pour le chiffre des unités du système à base 10,
à
M 1.3.3. Codes non pondérés
” Code ASCII.
0
Le nombre :
Le code n’impose pas obligatoirement un poids déterminé à
chaque rang. Pour la conversion d’un nombre il faut alors
utiliser un tableau de correspondance.
(r=9,9 ms)
2
Exemple
— 10, 20, 40, 80 pour le chiffre des dizaines du système
base 10, etc.
5
Code
0
e Code DCB (décimal codé en binaire)
Chaque chiffre du nombre exprimé en base 10 est représenté
par sa valeur dans le système à base 2 (quatre e.b. par chiffre
du nombre décimal).
e.b. de parité
e Codes cycliques : code Gray
Deux nombres successifs exprimés avec le code ne diffèrent que
par un seul élément binaire (fig. 5.02). Le code est cyclique.
Exemple : pour le code Gray à 4e.b., le passage de 3 à 4
s'effectue par l'unique transition 0 — 1 sur l’élément binaire de
plus fort poids (voir marge).
Ainsi, par construction même, les transitions s'effectuent sans
ambiguité, éliminant les risques d’aléas.
e Codes alphanumériques : code ASCII
Ce système permet de coder les chiffres, les lettres et certains
signes (voir ci-contre). Un symbole est codé avec huit e.b. ou
encore un octet (dont un e. b. de vérification, dit de parité). Des
signaux de début (START) et de fin de message (STOP)
complètent la séquence.
La rapidité r de fonctionnement du code est exprimée en
bauds. Si t est le temps nécessaire à la transmission d’un
élément binaire, la rapidité r, par définition, est égale à :
ns 1
{ en secondes
bT
r en bauds.
97
1.4. Changement de code
Un transcodeur est un circuit numérique qui réalise l’opération
de changement de code (conversion de code).
Des circuits intégrés transcodeurs réalisent les conversions
suivantes :
— décimal — binaire, binaire — décimal,
— binaire — DCB,
DCB — binaire,
— DCB
— affichage sept segments lumineux,
—
Gray
— binaire (fig. 5.03).
m 2. FONCTIONS ARITHMÉTIQUES
2.1. Opérations arithmétiques
SRE
3
2
1
0
e Calcul en arithmétique binaire
Les règles de calcul habituellement utilisées dans le système
décimal s'appliquent également au système binaire pur.
Avertissement
Afin de ne pas
arithmétique,
confondre la somme logique et la somme
nous adoptons la convention de notation sui-
vante:
—
—
l’opérateur somme logique sera noté V : 4 VB (4 ou B),
l'opérateur somme arithmétique sera noté + : 4 + B.
e Tables d’addition et de multiplication en arithmétique binaire
Addition
Multiplication
Exemple
Ni=(15)o=(1111),
Addition :
et
A=N,+N,
= (4):0=(0100),
Soustraction :
S=N, -N,
(1)(1)<— retenue
Rs
15
| 1111
+ dit
0100
(4)o
= 19 (4),=1 0011
Fig. 5.03. Transcodeurs.
15
1111
— À
- 0100
(Sho=11 (S,;=1011
Multiplication : M = NN,
x
F5
PPET
"4
x 0100
(M), = 60
0000
+
0000<-I° décalage
+ 1111<-—2° décalage
(M);:=111100
Division : D = N,/N,
150u4
30 |3,75=(D)}
20
0
98
1111
0111.
0110
0100
000
|100
|11,11=(D}y
« Nature des circuits arithmétiques.
Les opérateurs pour l'addition et la soustraction sont des circuits combinatoires.
L'état des sorties est uniquement fonction
de l'état des entrées.
Les opérateurs pour la multiplication et la
division sont des circuits séquentiels. L'état
des sorties est fonctions de l'état des
entrées et de l'état antérieur des sorties.
e Calcul automatique en arithmétique binaire
Pour les opérations autres que l’addition on dispose de divers
circuits.
-- Une représentation adéquate des nombres négatifs permet
de réaliser une soustraction à l’aide d’un additionneur :
S=N,
—N,=N,
+(-N)).
— La multiplication peut être réalisée par l’association des
fonctions suivantes : produit (circuits ET), décalage (registres)
et addition.
— La division se ramène à une suite de multiplications et de
comparaisons.
Les quatre opérations arithmétiques sont donc réalisées à partir
des circuits fondamentaux suivants : additionneur, comparateur et circuit de décalage.
2.2. Additionneur binaire
# 2.2.1. Demi-additionneur
e Principe
Fig. 5.04. Demi-adaïtionneur (D. À.).
Table de vérité du demi-additionneur (D.A.)
Les sorties s et r de ce circuit (fig. 5.04) traduisent le résultat de
l'addition des deux entrées a et b, la sortie r correspondant à
une éventuelle retenue.
e Équations booléennes
La table de vérité d’un demi-additionneur permet d’écrire les
relations suivantes :
s=a
bVa:b=a@b
(1)
r=a"b
Fr
EUR
|
(2)
Aux relations (1) et (2) correspondent respectivement les
opérateurs «OU exclusif» (opération notée ®) et «ET»
(fig. 5.05).
e Limitation du demi-additionneur
Le demi-additionneur ne peut effectuer l’addition que des
chiffres de plus faible poids de deux nombres, puisqu'il ne peut
pas prendre en compte l’éventuelle retenue qui proviendrait du
calcul de la colonne précédente.
Afin d'éliminer cette difficulté, on adjoint une troisième entrée
au circuit. On obtient ainsi un additionneur complet.
Fig. 5.05. Structure du demi-additionneur.
Table de vérité de l’additionneur complet.
m 2.2.2. Additionneur complet
e Principe
Les sorties s et r correspondent au résultat de l’addition des
trois entrées a, b et r,-_,; la sortie r est une éventuelle retenue
re
e Équations booléennes
La table de vérité d’un additionneur complet permet d’écrire
les relations suivantes :
Va
s=a-br,
ee
Soit encore :
2
bñ
Sr
Va-b:r,.;
Va
br;
À
RPC
(=a@b@r,.,
n=(a@b):r,-,Va:b.
(3)
(4)
99
L’équation (3) est réalisée par la mise en cascade de deux
opérateurs «OU exclusif» (fig. 5.06).
L'équation (4) nécessite les opérateurs : «OU exclusif», «OU »
et «ET » (fig. 5.07).
La superposition des structures décrites figures 5.06 et 5.07
fournit la structure de l’additionneur complet qui apparaît
comme l'association de deux demi-additionneurs (fig. 5.08).
Fig. 5.08. Structure de l'adaïtionneur complet.
& 2.2.3. Additionneur à 4 e.b.
e Principe
Calculons la somme S de deux nombres binaires X et Y définis
par 4 e.b. chacun :
X = (a;a,a;&) et Y = (b,b,b; b5)
Fig. 5.09. Structure d'un additionneur à 4 e.b.
e Structure physique
Le calcul de la somme
complets (fig. 5.09).
Fig. 5.10. Comparaison
de deux
éléments
binaires (C).
Le comparateur est aussi appelé circuit de coincidence.
= Table de vérité du comparateur.
S nécessite donc quatre additionneurs
2.3. Comparateur numérique
m 2.3.1. Comparaison de deux e.b.
e Principe
Un comparateur doit permettre de détecter l’égalité de deux
e.b. a et b. La sortie s réalise les conditions suivantes
(fig. 5.10) :
s=1
si
a=b
s=0
si
ab.
e Équation booléenne
La table de vérité d’un comparateur traduit les relations :
s=a-bVa:b
soit:
S5=a-bVa-b=a@b
ou encore :
s=a@
b.
L'association d’un opérateur «OU exclusif» et d’un inverseur
logique réalise la comparaison de deux e.b. (fig. 5.11).
m2.3.2. Comparaison de deux nombres binaires
e Principe
Comparer deux nombres binaires X et Ÿ définis par 4 e.b.
chacun revient à comparer deux à deux les e.b. de même poids.
e Équation booléenne
Soit X = (a,a,a, as) et Y = (b,b,b, b)
Pour que X = Y il faut que Vi : a, = b..
Pour que X # Y il faut que 1; : a, # b..
Ainsi peut-on écrire :
s = (3
© b;) : (a,
© b;) : (a,
© b) : (& & bo).
L'association de quatre
opérateur «ET» réalise
binaires (fig. 5.12).
Fig. 5.12. Structure d'un comparateur de deux
mots binaires X = a,a,a,a, etŸ=b,b,b,b,.
comparateurs élémentaires et d’un
la comparaison des deux nombres
2.4. Unité arithmétique et logique
e Principe
Une unité arithmétique et logigue (U. A. L.) est un circuit combinatoire complexe permettant d’effectuer sur deux nombres
binaires des opérations arithmétiques et logiques.
e U. A.L. complète à 1e. b.
Entrées
a
Un tel circuit (fig. 5.13) présente, cinq entrées et deux sorties :
b c;
S;
‘sélection
8,
C
Retenue
Résultat
Fig. 5.13. U.A. L. complète à un e.b.
— 5, et s, : entrées de sélection dont l’ensemble des quatre
valeurs logiques commandent deux opérations logiques (®,
ET) et deux opérations arithmétiques (+, —);
— a et b : entrées des e.b. à traiter;
— c; (carry in) : entrée autorisant la prise en compte d’une retenue éventuelle provenant d’une autre U. A.L.;
— ret & (carry out) : sorties qui traduisent le résultat (r)
de l’opération ainsi que l’éventuelle retenue €.
e U.A.L. complète à 4e.b.
Elle correspond à l’association de quatre U. A. L. complètes à
un e.b. (fig. 5.14).
Fig. 5.14. U.A. L.complète à quatre e.b.
101
m3, FONCTION MÉMOIRE
3.1. Mémoire élémentaire : la bascule RS
3.1.1. Principe
La bascule RS est un opérateur à deux entrées et une sortie
Fig. 5.15. Bascule RS.
s Table de vérité réduite de la bascule RS.
X est une sortie indéterminée.
(fig. 5.15) dont le fonctionnement peut être décrit de la façon
suivante :
— R=S=0 : l’état de la sortie ne change pas et on écrit
Qn+1 S Qù ©
— R=0,S= 1": la sortie passe à l’état 1: Q,..=Helle reste
dans cet état (mémorisation).
— R=1,S=0:
la sortie passe à l’état 0 : Q,,, = 0, et elle reste
dans ce nouvel état; cette commande permet l’effacement de
l’état mémorisé.
— R=S=1 correspond à un état de la sortie indéterminé
Q,+, = À; on interdit cette commande.
La table de vérité réduite de la bascule RS (voir marge)
présente, par rapport à celles des circuits combinatoires (circuits arithmétiques par exemple), une particularité essentielle.
En effet lorsque les entrées sont dans l’état zéro (R =,8S = 0),
l’état de la sortie ne dépend ni de R ni de S mais de Q,, valeur
mémorisée, qui joue le rôle d’une troisième variable d’entrée
(fig. 5.16). Cela a conduit à l’établissement d’une table de
vérité complète qui tient compte de la variable secondaire Q,
(tableau 1).
La bascule RS est un circuit séquentiel.
3.1.2. Structure physique d'une bascule RS
La figure 5.17 présente une bascule RS réalisée avec quatre
portes «ET NON » (NAND).
Les chronogrammes de la figure 5.18 résument son fonctionnent.
Fig. 5.16. Variable secondaire Q,.
= Table de vérité complète de la bascule
RS.
Tableau 1
Fig. 5.17. Structure de la bascule RS.
Si S=R=1, Q= 1 mais les deux sorties ne sont
pas complémentaires.
Fig. 5.18. Chronogrammes de la bascule RS.
3.2. Bascules synchrones
m3.2.1. Principe
Pour un système constitué de plusieurs bascules, il est nécessaire de contrôler leurs instants de commutation. La synchronisation du système est assurée par une horloge commune qui
rythme le fonctionnement des bascules.
# 3.2.2. Bascule RSH ou RS synchrone
H = 0 : la bascule RSH (fig. 5.19) ne prend pas en compte les
états des entrées.
— H=1:1la bascule RSH se comporte comme la bascule RS.
La sortie se trouve synchronisée sur le front montant de
l'horloge. Les chronogrammes de la bascule RSH sont présentés
figure 5.20.
& 3.2.3. Bascule D
Pour les bascules précédentes, la combinaison S = R = 1 donne
une sortie indéterminée. Afin de s'affranchir de cette difficulté
on réalisé une bascule D en imposant la complémentation des
entrées d’une bascule RS synchrone (fig. 5.21).
Sur le front montant du signal d’horloge, l’état de la sortie de
la bascule recopie et mémorise l’état de l’entrée :
D=S=R.
Les chronogrammes de la bascule D sont présentés figure 5.22.
Fig. 5.21. Structure de la bascule D.
m 3.2.4. Bascule JK
e Principe
= Table de vérité réduite de la bascule JK.
Fig. 5.22. Chronogrammes de la bascule D.
Conserver deux entrées à une bascule tout en interdisant la
combinaison $S = R = 1 conduit à chercher une structure différente de celle de la bascule D. La solution adoptée dérive de la
bascule RS synchrone par deux bouclages supplémentaires
(fig. 5.23) : c’est la bascule JK.
Sur le front montant de l'horloge on obtient :
Fig. 5.23. Structure de la bascule JK.
103
e Cas particulier :
— Bascule T : elle est réalisée en imposant J = K= 1. Cette
bascule permet une division par deux de la fréquence du signal
d'horloge H = T (fig. 5.24). Les chronogrammes de la bascule T
sont présentés figure 5.25.
3.3. Registres mémoires
m3.3.1. But
Les bascules permettent d’enregistrer une information concernant un e.b. La mémorisation d’un mot binaire de n e.b.
nécessite l’utilisation de n bascules constituant un registre
mémoire.
M 3.3.2. Registre mémoire à 4e.b.
On
Fig. 5.25. Chronogrammes de la bascule T.
La transition de la sortie Q s'effectue sur le front
montant du signal d'horloge H.
souhaite
mémoriser
le mot
binaire
X = (4,4,a,&).
Les
quatre données a; se présentent simultanément aux entrées des
quatre bascules D, (fig. 5.26). Ces informations sont mémorisées et disponibles en sortie (Q.) lors du front montant du
signal d'horloge H commun aux quatre bascules. Ce registre
mémoire est un registre à entrées-sorties en parallèle donc à
lecture ou écriture simultanées.
M4, FONCTIONS DÉCALAGE ET COMPTAGE
Fig. 5.26. Registre mémoire à quatre e.b.
4.1. Fonction décalage
M 4.1.1. But
Un mot binaire de ñn e.b. est inscrit dans un registre mémoire
constitué de 7 mémoires élémentaires (bascules). La fonction
décalage consiste à faire glisser l’information d’une cellule
mémoire C; dans la cellule mémoire C,;,, (à droite) ou C..,
(à gauche) au rythme des entrées d’horloge.
M 4.1.2. Principe
D’après la définition, une cellule mémoire C, doit posséder une
entrée, une sortie et une entrée d’horloge qui commande le
transfert de l’information. La figure 5.27 présente une structure
de principe pour laquelle il convient de préciser la réalité
physique de chaque cellule mémoire.
Les caractéristiques dynamiques sont spécifiées par les constructeurs, en particulier
la fréquence maximale f,, et la largeur
minimale 4, de l'impulsion d'horloge. Par
exemple pour le circuit intégré 4015, double
registre à décalage à 4e.b., à bascules
D : fax = 9 MHZ; Gin = 50 NS.
104
Fig. 5.27. Principe du registre à décalage.
m4.1.3. Structure physique d’une cellule mémoire
À linstant {, le registre à décalage reçoit une impulsion
d'horloge H. L'information binaire présente à l’entrée Æ, est
transférée à la sortie S, avec un retard Af appelé temps de
basculement de la cellule (fig. 5.28) :
Si(t + At) = E;(to).
Deux conditions doivent être remplies pour assurer le fonctionnement souhaité du registre :
— à partir du front montant, l’horloge valide le transfert de
l'information. Celle-ci doit donc être stable lorsque l’horloge est
à l’état haut, c’est-à-dire pendant la durée 6;
— le temps de basculement Arf de chaque cellule doit vérifier
l'inégalité At > 6, pour que le décalage n’excède pas une cellule
à chaque impulsion d’horloge.
m4.1.4. Cellules mémoires à deux étages
La condition At > 0 peut être satisfaite en insérant une ligne à
retard entre deux cellules consécutives afin d'augmenter artificiellement le temps de basculement. L'intégration des circuits
numériques a permis de supprimer ces lignes à retard et de
concevoir des cellules mémoires à deux étages (fig. 5.29).
Une commande d’enregistrement CE transfère l’information
d'entrée en sortie du premier étage sans modification du
deuxième étage.
Une commande d'affichage CA transfère l’information en sortie
du deuxième étage.
Dans le cas où les entrées d'enregistrement CE et d’affichage
CA sont complémentaires et commandées au rythme d’une
Fig. 5.29. Cellule mémoire à deux étages.
horloge on obtient une bascule de type «maître-esclave»
(fig. 5.30). Cette cellule mémoire enregistre et communique
l'information d’entrée respectivement sur les fronts montant et
descendant du signal H délivré par l'horloge.
m4.1.5. Registre à décalage
La structure de principe présentée figure 5.31 peut être réalisée
avec quatre bascules D. L'entrée d’une bascule est alimentée
par la sortie de la précédente. Le tableau suivant montre le
décalage à droite des e.b. «1» à chaque impulsion d’horloge
(fig. 5.32).
Tableau 2
Fig. 5.30. Bascule «maître-esclave »(BME).
Fig. 5.32. Commande du registre à décalage à
droite.
Fig. 5.31. Registre à décalage à droite (RD).
Le tableau précédent correspond à une sortie initiale
(Q:Q:Q:Q5)
= (0100) et une entrée Æ définie par les chronogrammes A (t) et E(f).
105
4.2. Fonction comptage
m4.2.1. But
Cette fonction a pour objectif le comptage des impulsions qui
se présentent à l’entrée d’un circuit. En général les impulsions
sont émises par une horloge.
m4.2.2. Principe
La méthode la plus simple pour réaliser un compteur consiste à
utiliser une cascade de cellules mémoires montées en diviseurs
par deux : on réalise alors un compteur asynchrone. Les
chronogrammes de la figure 5.33 démontrent qu’à chaque
instant, le mot binaire S = (Q,Q,0Q,) représente le nombre total
d’impulsions d’horloge.
Fig. 5.33. Chronogrammes
binaire.
d'un
compteur>
9 N° d’impul.
(000)
(001)
(010)
(011)
(100)
(101) (111)
(000)
(001)
S = (Q:Q:Q)
D
Modulo 8
m 4.2.3. Structure physique du compteur
Le diviseur par deux est réalisé par une bascule T. Un
compteur binaire asynchrone de capacité 8 e.b. ou encore
modulo 8 comportera trois bascules T (fig. 5.34). Plus généralement, la capacité C,, d’un compteur binaire constitué de MN
bascules bistables vaut :
C.=2N
M
+
.
Fig. 5.34. Compteur asynchrone modulo 8.
x 4.2.4. Décodage
Compteur synchrone.
Un signal d'horloge est appliqué simultanément à l'ensemble des bascules qui constituent le compteur. Toutes les bascules
changent d'état en même temps.
Le compteur binaire permet le comptage modulo 2" en utilisant
n bascules T. Il peut être nécessaire de travailler avec un
modulo différent, par exemple 10. Il faut alors réaliser un
décodeur.
Un simple opérateur «ET NON» (NAND) détecte l'étape
finale du comptage. Dès lors il convient de remettre à zéro
106
l’ensemble des bascules T. Cette opération est possible grâce à
l'existence
d’entrée
de «forçage»
(R.A.Z.-remise
à
zéro
- CLEAR) sur les circuits intégrés utilisés.
La figure 5.35 présente un décodeur modulo 6.
4.3. Application : multiplication numérique
2 4.3.1. But
Fig. 5.35. Décodeur modulo 6. La porte «ET
NON est branchée sur les bascules de poids 2 et
4 afin de compter jusqu'à 6 en commandant les
remises à zéro (R.A.Z) des bascules.
Un compteur modulo 10 est appelé : décade.
Réaliser numériquement la multiplication de deux nombres
binaires. Le premier est le multiplicande X = (a,a,a,a,), le
second est le multiplicateur Y =(b,b,b,b;). Le résultat de
l'opération est noté P = XY.
# 4.3.2. Structure du multiplicateur
e Algorithme de calcul.
Un exemple numérique va nous permettre d'illustrer le principe de la multiplication.
X=(1111)} =(15)0
Y=(1011); =(11),-.
A dé
1101
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lil d'One“thRs
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Pl
à LR A 2
P=(10100101)=(165)%
Opération 1
x
IMMOREX,
Ou
III
Opération 2
x
Opération 3
110
<-X,
ail
NL O
———
———
R,
R;
Xl
Opération 4
HIMOOMEEX,
Unlel
000000
es,
mm”
x
1111000
[OI
1111000
le
R;
—X;,
?
R;,
Les résultats intermédiaires R,, R,, R, et R, sont obtenus en
multipliant X,, le multiplicande décalé de 0, 1, 2 ou 3 e.b. vers
la gauche, par b, (en rouge).
Selon la valeur de b, on a :
b=1;R,;, = À,
b,=0; R,,,= (0); ici R; = (000000).
Le produit XY
est égal à :
P=R,
+R +R;+R.
Soit encore pour l’exemple étudié :
P =
X
20 X, >2 X, =
Ainsi après avoir comparé les valeurs de b, à O, la multiplication se ramène à une suite d’additions. Cette somme doit être
calculée par un circuit électronique additionneur à deux entrées
seulement. Cette structure physique impose le choix d’un
algorithme adapté.
Ces considérations conduisent aux calculs suivants :
TS
nie
Er
P,=R, +R, +R;=P;+R;
P,=R+R+R;tR=P;t
el LATEST
R
107
Soit encore :
si b,=1;
une
Pat
À
SE O0; P,,,=P,
e Structure matérielle d’un multiplieur (fig. 5.36).
Un circuit multiplieur comprend :
Fig. 5.36. Principe de la structure matérielle d'un
multiplieur.
— un additionneur Z qui calcule les termes P,,,,
— un registre mémoire RM pour le résultat de la multiplication,
— un registre à décalage à gauche RD, (respectivement à
droite RD),,) qui fournit le multiplicande X, (respectivement le
multiplicateur Y,),
— un comparateur binaire C, qui teste la valeur de b,,,
— un compteur C, qui enregistre le nombre nr de pas de
décalage,
— un deuxième comparateur C} qui teste la fin des opérations.
e Structure logicielle d’un multiplieur
La séquence des opérations à effectuer pour obtenir le produit
XY est présentée sous forme d’un organigramme (tableau 3).
Tableau 3
Début des opérations
Remise à zéro (R.A.Z.)
Initialisation du système
Chargement des registres
X dans RD;
Y dans RD,
Test de comparaison
b, : e.b. de plus faible poids
de 7;
Addition:
bitil
>
P, 47
=
F3
Un pas de décalage pour les
registres RD, et RD,,
Le contenu de RD, passe de
X; à F.@ +1
Le contenu de RD, passe de
#
à a 4
Incrémentation
du
comp-
teur Ce
Le contenu de C, passe de n
àn+l
Test de comparaison
N, est le nombre d’éléments
binaires
du
multiplicateur }ÿ.
Fin des opérations
108
M5. STRUCTURE ÉLÉMENTAIRE
D'UN CALCULATEUR NUMÉRIQUE
5.1. Systèmes programmés
Les systèmes programmés sont
idées directrices suivantes :
basés
sur l'exploitation
des
— l’utilisation d’une mémoire dans laquelle on peut enregistrer
des données et des programmes,
— une exécution séquentielle de ces programmes,
— une possibilité de rupture de séquence en fonction des
Fig. 5.37. Éléments d'un calculateur numérique.
résultats de tests ou de comparaisons.
Un calculateur numérique est constitué de cinq
unités fonctionnelles.
Il est possible d'adjoindre à cette configuration de
base les extensions suivantes :
— mémoire externe par exemple disque dur,
— imprimante et table traçante pour éditer et visualiser les résultats obtenus,
— interface d'entrée-sortie autorisant l'acquisition
et le traitement de signaux.
Ces systèmes programmés sont des automates universels,
spécialisables à volonté par simple programmation.
5.2. Structure matérielle (fig. 5.37)
m5.2.1. Unité centrale de traitement
L'unité centrale de traitement (U.C.T.) permet de traiter les
fonctions arithmétiques et les fonctions logiques (U. A. L.) sous
le contrôle d’une unité de commande (U.C.) en fonction des
impulsions de synchronisation d’une horloge interne. L’unité
de commande cherche, décode et exécute les instructions du
programme stocké en mémoire (M).
m5.2.2. Unités périphériques
e Unité d’entrée ou de commande : c’est le clavier (C), système
permettant l’injection dans l’unité centrale :
—
de données
alphanumériques
: numériques
ou chaîne
de
caractères,
—
d'instructions : déclaration ou branchement.
e Unité de sortie ou d’échange : c’est l'affichage (A), système
permettant la visualisation des informations traitées par l’unité
centrale.
5.3. Structure logicielle
5.3.1. Langages de programmation
Il existe trois niveaux de langage :
e Le langage machine : c’est le plus proche du fonctionnement
physique de l’unité centrale. Chaque instruction est fournie en
binaire et peut porter sur un ou plusieurs octets.
e Le langage d’assemblage : il est d’un emploi plus aisé. Les
instructions binaires sont remplacées par des codes mnémoniques dont la signification est plus transparente pour l’utilisateur : ADD pour additionner par exemple.
e Le langage évolué : contrairement aux deux langages précédents, le langage évolué est théoriquement indépendant de la
machine utilisée. La syntaxe de ce type de langage est proche de
celle employée par l'utilisateur. C’est le cas de BASIC ou
PASCAL par exemple.
Ces trois niveaux de langage nécessitent deux types de traduction en langage machine, le seul utilisable par le système :
109
e La traduction du langage d’assemblage en langage machine :
ce travail est réalisé par un programme résident, en mémoire,
appelé assembleur.
e La traduction du langage évolué en langage machine : le
programme rédigé en langage évolué est appelé source; il doit
être traduit dans une version objet lisible par la machine. Deux
méthodes sont employées pour réaliser cette traduction :
— La compilation permet de traduire d’un bloc une version
source en version objet qui, une fois sauvegardée en mémoire,
peut être directement exécutée par la machine. Ce travail est
effectué par un programme résident, en mémoire, appelé compilateur.
|
— L'interprétation consiste à traduire généralement ligne par
ligne la version source. Dès sa traduction terminée l’instruction
est exécutée. La suivante subit le même traitement et ainsi de
suite jusqu’à épuisement des instructions contenus dans le
programme source. Ce travail est réalisé par un programme
résident, en mémoire, appelé interpréteur.
m5.3.2. Structures des programmes
Un programme peut être écrit et présenté sous forme d’une
succession de phrases traduisant la chronologie exacte des
traitements à effectuer. Dans ce cas, l’accent est mis sur les
situations et les actions réalisées par le programme. Il est
possible de proposer une variante appelée organigramme. C’est
une représentation symbolique des actions envisagées. Dans ce
cas, l’accent est mis sur la structure et les branchements du
programme.
Travaux pratiques
Étude expérimentale
d’un compteur binaire asyn-
chrone (d’après Bac. F2).
1. Mesures
statiques
1.1. Générateur d’impulsions
Réaliser le générateur d’impulsions (fig. 5.38) commandé manuellement par l'interrupteur K,. La
tension
wy commande
l'entrée
(H) du compteur
étudié.
Sur quel front cette commande est-elle active?
Quel est le rôle du condensateur C,?
Ent
1.2. Tracé des caractéristiques statiques
Le compteur binaire asynchrone utilisé est le circuit intégré 4040.
Réaliser le montage de la figure 5.39.
Q;, le niveau logique de la sortie de la troisième
bascule (broche 6) est égal à «1 » ou «0». Indiquer
le mode opératoire pour passer d’un état logique à
un autre. Relever puis tracer les caractéristiques
courant-tension i; (w:) pour Q, = 1 puis Q; = 0.
UN
R;= 100 kQ
Ko
Cy= 100 nF
Un
d: [
Fig. 5.38. Générateur d'impulsions.
110
Fig. 5.39. Caractéristiques statiques : i,=f{u,), 0<u,< 5 V.
2. Mesures dynamiques
2.1. Mesure du temps de propagation
Réaliser le montage de la figure 5.40. Doit-on tenir
compte de la capacité du câble de mesure (Yg)?
Pour différentes valeurs de la capacité y, relever les
temps de propagation 6, entre l’entrée (H) et une
sortie Q, (fig. 5.41); Q, et Q; sont prises respec-
2.2. Mesure du courant d’alimentation
Réaliser le montage de la figure 5.42. Relever les
valeurs i,, de l'intensité moyenne du courant d'alimentation pour des fréquences f d’horloge variant
de 3 MHz à 1 kHz.
Tracer la courbe i,(f) sur papier à graduation semilogarithmique (échelle log pour f).
tivement sur les broches 9 et 7).
Tracer les courbes correspondantes @,().
e(t)
y (0 à 500 pF)
0
T => 1
f
f= 300 kHz
®
Fig. 5.41. Temps de propagation 6,
Fig. 5.40. Caractéristiques dynamiques : temps de propagation 8.
3. Conclusions
e(t)
@
1/f
Fig. 5.42. Caractéristiques dynamiques : courant d'alimentation \,..
Contrôle des connaissances
Convertir
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
(5.01. |Convertir dans
le système
décimal
les
nombres suivants :
(N)s = (44)s;
dans
le système
binaire
les
nombres suivants :
(Nhi6 = (A8F)16.
R : (Nih10= 22; 34; 36; 47;
(No = 1854; 2703; 5239; 7 820.
Calculer en bauds la rapidité r de fonc|
tionnement du code ASCII.
(No = 415
Mie = (FAhi6;
(Nas = 47.
(110011); (101001);
R : (N):=(100000);
(101 010);
(N3h = (10001010); (11111010); (10 111010);
(11 000 010);
(N3) = (100 111); (111 000); (101 111); (100 001).
R : 50 bauds; 100 bauds; 150 bauds; 200 bauds.
Quel est le nombre maximal N de symboles pouvant être codés par le code ASCII?
R : 32; 64; 135; 256.
Quelle est la combinaison d’entrée interdite pour la bascule RS?
R : (00); (01); (10); (11).
111
Les équations
neur
booléennes
de l’addition-
sont :
Écrire en
vants
S=A-B°R,_,VA-B.R,_,VA-B:-R,.,
Rial
hab
id
VA-B-R,.,
n pe
D A2
R:S:[4-B-R,_];[4A@(B-R,_.)];
R,:[(4@B)-R,_,VA-B];[(4® B)VR,,l;
A-B°R
(No
les nombres
sui-
= 23
(Nic ‘à (1Chi6-
(1000 0011); (00100111);
| 5.09.
[4A@BER,_;l; [4-B@R,1
DCB
R : (Noces = (0010 0011); (01000011);
(N)pce = (0100 1000);
(00100111).
Simplifier les expressions de Set R,..
AVBVR,_;l;
code
:
| Combien
(00101000);
faut-il d’étages
(00101111);
binaires
à un
compteur asynchrone pour compter jusqu’à 1 000?
R : 3; 4; 10; 12.
I
Par quel programme le langage d’assemblage est-il traduit en langage machine ?
5.07. | Qu'est-ce qu’une décade?
R : bascule RSH; compteur modulo
modulo 12; registre à décalage.
10; compteur
R : compilateur;
assembleur;
interpréteur;
moni-
teur.
Exercices résolus
On
veut obtenir
la différence S de deux
Application numérique
nombres À et B :
A=(a;a;a;ay)
et
B=(7);50=(0111);
B=(b,b,b,b,) avec À > B.
Il s’agit de montrer que cette opération peut être
effectuée à l’aide d’un circuit additionneur grâce à
une représentation adéquate des nombres négatifs.
1° Les compléments restreint CR(B) et vrai CV(B)
du nombre B sont définis par les relations :
CR(B)=(b:b;b;,b,) et CV(B)=CR(B) +1.
Établir l'égalité suivante :
- B=CV(B)-2"
CR(7)= (1000),
CV(7) = (1 001); = (9) ,0.
+ B=(9);9-2*=-7.
2° Expression de la différence S
La différence S peut s’écrire :
S=A-B=A+(-B)=A+[CV(BISSS
Soit :
[S=A+CV(B)-2"
(ici n = 4).
2° En déduire l’expression de la différence S.
3° Réaliser un soustracteur à partir d’un circuit
additionneur.
Pour chacune des questions, on effectuera l’application numérique pour : À = (15),0; B =(7)30:
Application numérique
A=(1S)10=(1111);
B=(7)10=(0111)3.
S=(1111),+ (1001); — (10000);
S = (1000);
=(8)10.
SOLUTION
1° Expression de B
Écrivons la somme
restreint CR(B) :
de B et de son
complément
B+CR(B)=(b,b,b,b;) +(b,b,b,b:)
=(b3+b,,b,+b,,b,+b;,b5+b:)
B+CR(B)=(111
= 1)
2" — 1 avec n = 4.
soit:
-B=[CR(B)+1]-2»2]-8-CV(8)-21
112
Il suffit de faire l'addition À + CV(B) et de ne pas
tenir compte du terme de poids fort 2.
3° Réalisation d’un soustracteur
Le calcul de S se réduit à l’opération :
A+CV(B)=A+CR(B)+lI.
Les chiffres binaires 4;, b; et 1 sont respectivement
appliqués aux entrées 4;, B; et R, (retenue) de
l’additionneur ZX (fig. 5.43).
Fig. 5.44. Comparateur numérique complet.
Fig. 5.43. Soustracteur numérique.
Les enroulements B;, B;,, B; et B, d’un
Le comparateur complet est un circuit qui
présente deux entrées où sont appliqués les e. b. a et
b à comparer et trois sorties. Les e. b. obtenus aux
sorties sont les suivants :
—
—
—
les équations
booléennes
(B:B3);:
(B:B4);
(B:B4).
1° Tracer les chronogrammes des commandes B,;,
B,, B; et B, des quatre enroulements en notant f, la
période d’horloge.
1° Établir la table de vérité de l’opérateur.
déduire
(B:B3);
Un ordre de succession inverse (séquence inverse)
produit une rotation du moteur en sens inverse.
S doit être égal à 1 seulement si a > b.
E doit être égal à 1 seulement si a = b.
I doit être égal à 1 seulement si 4 < b.
2° En
moteur pas à pas (voir chap. 15) sont alimentés
selon la séquence suivante (séquence directe) :
qui défi-
nissent les variables de sortie S, E et J.
3° Montrer que le circuit de la figure 5.44, entièrement réalisé avec des portes «ET NON », constitue une réalisation possible d’un tel comparateur.
2° Le signal d’horloge H ainsi que son complément
H sont appliqués aux entrées de deux bascules D
commandées sur le front montant.
Tracer les chronogrammes des signaux de sortie
notés respectivement H' et H”.
3° Une variable binaire S est affectée au sens de
rotation du moteur : S = 0 pour la séquence directe,
$ = 1 pour la séquence inverse.
En déduire les équations booléennes qui définissent
les commandes B; en fonction des variables H”', H”
et S.
SOLUTION
1° Table de vérité
4 Montrer que la commande (fig. 5.45) construite à
partir d’un circuit double bascule D (par exemple
4013) et d’un circuit quadruple porte «OU EXCLUSIF » (par exemple 4030), permet bien d’atteindre le
résultat souhaité.
2° Équations booléennes
S=a-b; E=a-bVa-bsoitE=a-bVa-b.
er
va
Eeaës
On en déduit:
=a®b.
I1=a:b.
3° Exemple de réalisation
Un exemple d’opérateur est donné figure 5.44.
ab).
b=a:(av
a.
b=a:a
S=x=
S=-a-aVa-b=a.5
> [s-abl
Fig. 5.45. Commande d'un moteur pas à pas.
113
SOLUTION Fees
tbe
= "see.
1° Chronogrammes des commandes
2° Chronogrammes des signaux de sortie
Ils sont représentés sur la figure 5.47.
Ils sont représentés sur la figure 5.46.
@
H
(@)
Séquence directe (S = 0)
B,;
(1)
(D)
0
ta
®
SFA
3
at,
Séquence inverse (S= 1)
B Il
Fig. 5.47. Chronogrammes des signaux.
3° Équations booléennes de commande
VS:
B,=B,
VS:
B;=B,
en
siS=1
B, =
H"
pp) PH
B,=-H
SV
D'où les équations de commande
(1)
0
B,
lo
2
Fig. 5.46. Chronogrammes des commandes.
114
3
Ho
1
=
H"
.S-H@S
:
B;=H'@S.
4° Exemple de circuit
Les bascules D sont montées en diviseur par 2.
L'égalité N ® 1 = N permet de réaliser des inverseurs à partir des opérateurs
«OU EXCLUSIF».
L'ensemble des équations est vérifié.
Exercices à résoudre
Convertir
dans
le système
binaire
le
nombre décimal N =(3,75),0.
Une bascule R'S" est réalisée par l’association de deux portes «ET NON»
(fig. 5.48).
4 Afin d'augmenter le cycle de comptage, on réalise
un compteur Johnson en reliant l’entrée de la
première bascule à la sortie complémentée de la
dernière (fig. 5.50).
Établir la table de vérité.
Fig. 5.50. Compteur Johnson.
Fig. 5.48. Bascule anti-rebonds.
1° Écrire les équations donnant @,,, et Q,,, en
fonction de R', S', Q, et Q;.
2° En déduire la table de vérité. Quels sont les états
de R' et S’ pour lesquels les sorties ne sont pas
complémentaires ?
3° Quels sont les états @ de la sortie
position de l’interrupteur K : 0, 1 ou 2?
selon
la
4 L’interrupteur K oscille entre les positions 0 et 1
ou 0 et 2. Comment évolue l’état Q de la sortie dans
ces deux situations?
5° L'utilisation d’interrupteur mécanique pour la
commande de circuit numérique présente des difficultés à cause du rebondissement des contacts.
Traduire ce phénomène mécanique par le tracé
qualitatif de R' en fonction du temps lors d’une
transition 0-1 de l’interrupteur K. Même travail
pour S’ lors d’une transition 0-2. Montrer que le
circuit étudié permet d’éliminer cet inconvénient.
[516.1] Le compteur en anneau de la figure 5.49
est un registre à décalage bouclé sur lui-même.
5° Quelle est la capacité du compteur Johnson?
Comparer à celle du compteur en anneau.
Combien d’étages doit avoir un compteur Johnson
pour réaliser une décade?
6° L’entrée de la première bascule est alimentée par
la sortie d’un circuit
«OU EXCLUSIF» lui-même
alimenté par les bascules D; et D, du registre
(fig. 5.51).
Établir la table de vérité. Exprimer les mots binaires
(Q:0:0:0Q,) en système décimal.
Comparer les quinze valeurs obtenues. Justifier le
nom donné à ce type de compteur.
Ce compteur génère une séquence pseudo-aléatoire
qui peut être utilisée pour simuler un bruit numérique.
Fig. 5.51. Compteur pseudo-aléatoire.
Écrire les équations logiques des sorties
du circuit figure 5.52.
Fig. 5.49. Compteur en anneau.
1° Initialement toutes les bascules sont à 0. L’entrée
de la première bascule est mise à 1.
Établir la table de vérité.
2° Quelle est la capacité du compteur en anneau?
3 Combien faut-il utiliser de bascules pour réaliser
une décade?
Fig. 5.52.
Réaliser manuellement la multiplication
des nombres binaires X#= (1111), et Y =(1011), en
suivant la structure logicielle proposée tableau 3.
Écrire pour chaque étape du programme les valeurs
numériques de toutes les variables puis effectuer les
bouclages successifs jusqu’à la fin des opérations.
Un codeur absolu est un capteur à sortie
numérique. Pour des déplacements angulaires, un
disque est divisé en N surfaces égales sur lesquelles
un code binaire est associé à la position angulaire
mesurée. La résolution angulaire est par définition :
r = 360/N.
1° Pourquoi choisir le code GRAY
d’application ?
pour ce type
2° Le nombre de points est N = 8192. Calculer la
résolution 7 du codeur. Exprimer le résultat en
minutes et secondes d’arc.
3° Sur combien
angulaire?
d’e.b. est codée
Un opérateur
chaque
position
«OU EXCLUSIF»
est ali-
menté par deux circuits de mise en forme C, et C,;
(fig. 5.53) commandés eux-mêmes par deux tensions sinusoidales w,(r) et u(r) (fig. 5.54), de même
pulsation, dont on veut mesurer le déphasage w.
Filtre
passe
bas
Fig. 5.56. Compteur binaire asynchrone (circuit intégré 4040).
1° Quel doit être l’état logique de l’entrée MR pour
que l’entrée H soit active?
2° En supposant MR dans l’état précédent, décrire
l’évolution de la sortie Q, de la première bascule
lors des transitions de Æ : sur le front montant
(0 — 1) puis sur le front descendant (1 — O).
3° Quelle est la capacité du compteur ?
4 Si l’on effectue une remise à zéro préalable du
4040, après combien de transitions actives d’horloge
trouvera-t-on le premier changement d'état de la
sortie Q,, puis le second?
5° Soit 0 le temps de propagation entrée-sortie
d’une bascule et #. le temps de propagation du
signal d’horloge depuis l’entrée Æ jusqu’à la première bascule. Calculer le temps de propagation 6,
depuis l’entrée H jusqu’à la sortie Q,;.
(D’après Bac F2.)
Fig. 5.54. Signaux d'entrée du comparateur de phases.
Le circuit est complété par un filtre passe-bas qui
extrait la valeur moyenne v de la tension de sortie
du circuit logique.
1° Dessiner la structure d’une bascule D.
2° En déduire la table de vérité.
3° Montrer que la connection réalisée sur la
figure 5.57 permet de réaliser un diviseur par deux.
1° Écrire les valeurs instantanées (1) et w(t),
exprimer le déphasage o de w, par rapport à x, en
fonction de « et r.
2° A l’aide de la figure 5.55, tracer le chronogramme
de y;.
3° En déduire la valeur de la tension v. Tracer v()
pour 0<p<r.
4 Trouver des applications à ce circuit.
116
Fig. 5.57. Diviseur par deux à bascule D.
Chapitre 6
FONCTIONS HYBRIDES
C.N.A. - C.AN.
= Signaux analogiques et signaux numériques :
* Définitions :
— Un signal analogique s, (f) est un signal
continu (au sens mathématique du terme)
dont la valeur est fonction d'une variable
continue ft(test ici le temps).
La grandeur analogique s,(t) possède une
dimension physique (ex : tension en volts,
éclairement en lux, etc.)
— Un signal numérique s,(n7-) est un
signal discontinu dont la valeur est fonction
d'une variable discontinue n7£ (n est ici un
nombre entier, n7E : n fois la période 7e
d'échantillonnage des mesures).
La grandeur numérique s,(n7-) n'a pas de
dimension physique, c'est un nombre.
M1. CONVERSION NUMÉRIQUE-ANALOGIQUE
1.1. Généralités
À un signal numérique d'entrée, un convertisseur numériqueanalogique ou C.N.A. (fig. 6.01) fait correspondre un signal
analogique de sortie, proportionnel à la valeur numérique
représentée par le signal d’entrée. A des instants 75, 27%, …
nT; imposés par une horloge, l'information numérique d’entrée
est exprimée sous la forme d’un nombre N codé dans le
système binaire au moyen de p éléments binaires :
N'=(A, 1; A-25 ve Go).
Le signal de sortie est une
par la relation :
suite de nombres (séquence) qui constitue
un signal numérique Sy (AT).
analogique
u,(f) définie
et g en volts
u, (0 = qN {Nu, sans
unité.
* Exemple :
La tension u(t) mesurée aux bornes d'un
condensateur de capacité C chargé par un
courant d'intensité constante / est un signal
analogique 5,(t) qui s'exprime en volts.
La mesure de cette tension, à intervalles
réguliers, après conversion, fournit une
tension
Le coefficient
de proportionnalité
g est appelé
convertisseur.
quantum
du
|
Cette conversion est indispensable dans les chaînes de traitement numérique afin de pouvoir commander en sortie des
systèmes analogiques. C’est le cas, par exemple, des commandes de moteur.
1.2. Exemples de C.N. A.
m 1.2.1. C.N.
A. à résistances pondérées
e Principe
La structure étudiée est celle d’un sommateur analogique
(fig. 6.02). Le signal numérique d'entrée N est défini par les
…, D. Ceux-ci commandent
éléments binaires D,_,, …, D,,
respectivement les interrupteurs K,_,,…, K;, …, Ko.
Fig. 6.01. Symbole d'un convertisseur numériqueanalogique à n e.b.
Fig. 6.02. C.N.A. à résistances pondérées. D
117
Cela permet d’affecter différentes valeurs à l’intensité À du
courant. Ce dernier est «converti» en tension de sortie x, au
moyen de l’amplificateur opérationnel A.
Le signal analogique de sortie u,(f) est égal à (voir exercice 6.17) :
u, (0) = 4 N
I
avec : G= (
= . Ua-
e Limitations
Ce convertisseur nécessite l’utilisation de résistances de précision dont les valeurs s’échelonnent entre R et 2"R. On limite
la valeur de # pour éviter que l'intervalle [R, 2"R] ne soit trop
grand.
De ce fait la résolution de la grandeur numérique d’entrée est
assez faible. Au maximum, le nombre N est codé au moyen de
8 e.b. correspondant à 256 valeurs distinctes du signal d’entrée.
& 1.2.2. C.N. A. à réseau R-2R
Ce convertisseur (fig. 6.03) met à profit les propriétés des
réseaux R-2R (voir exercice 2.25 - 1° F2-3-5). Comme pour le
C.N.A. à résistances pondérées, le courant d’intensité À est
«converti» en tension de sortie u,(f) au moyen de l’amplificateur opérationnel À tout en maintenant le point P au
potentiel de la masse M.
Le signal analogique de sortie est égal (voir exercice 6.19) à :
u, = 4H N
avec: ae
Il
Us.
Par rapport au C.N.A. à résistances pondérées, ce converisseur offre l’avantage d’utiliser seulement deux valeurs de
résistance.
V, [pe v..4L12R
Fig. 6.03. C.N.A. à réseau R-2R.
118
»|
1.3. Caractéristiques des C.N.A.
m1.3.1. Caractéristique de transfert d’un C.N.A. idéal
C’est la courbe u,(f) = f[N]. Compte tenu du caractère discontinu de la grandeur de commande N, la caractéristique de
transfert est une courbe en escalier (fig. 6.04) qui s’appuie sur
une droite À appelée enveloppe de la caractéristique de transfert.
Cette enveloppe représente la caractéristique idéale.
La caractéristique de transfert conduit à la définition de
grandeurs importantes qui sont rassemblées dans le tableau 1.
m 1.3.2. Caractéristiques d’un C.N.A. réel
e Caractéristique de transfert
010
D
100
110
56
1000
7 SN,
N Ne
Fig. 6.04. Caractéristique de transfert d'un
C.N.A. à 3e.b.
L’enveloppe À de la caractéristique de transfert d’un C.N.A.
idéal est une droite mais celle d’un C. N. A. réel est une courbe
F (fig. 6.05).
Cette différence peut être expliquée en partie par la dispersion
des composants utilisés.
e Précision d’un C. N. A. réel
La précision p d’un C.N. A. est égale à l’écart maximal Aux
entre les enveloppes de la caractéristique réelle (1°) et de la
caractéristique idéale (A) divisé par la valeur maximale de la
tension de sortie Ur :
_ Au smax
Ure
e Caractéristiques d’un C. N. A. idéal
Tableau 1
Le
ments binaires
Nombre de points
Fig. 6.05. Caractéristiques d'un C. N. À. réel.
pe
|
Nombre max. à
Exenpi
n
=
ME
+.
_
l'entrée du C.N.A.
Ÿ
S > NS
I unun
Mmimx
Z
n
|
E
[Tension quel-
U=SN
FR, De
conque
e Temps de conversion
Le temps de conversion est le temps nécessaire pour que la
tension de sortie soit acquise avec une précision déterminée
lors du passage de la commande numérique de zéro au nombre
maximal N.
119
m 1.3.3. Discontinuité du signal analogique de sortie
Dans une chaîne de traitement numérique, une séquence de
commande est une suite de nombres [NW], présentée à l’entrée
du C.N.A., au rythme imposé par un signal d’horloge de
période 7;.
En sortie du C.N.A. (fig. 6.06) on dispose d’un signal analogique u* (1) discontinu de la variable £. Un filtre passe-bas F est
utilisé pour éliminer les harmoniques de fréquences élevées de
ce signal. Ce filtrage permet de restituer un signal analogique
Fig. 6.06. Filtre passe-bas de restitution.
Le signal u;(t) est quantifié, le signal u,(t) est lissé.
lissé u, (6).
m2. CONVERSION ANALOGIQUE-NUMÉRIQUE
2.1. Généralités
Un convertisseur analogique-numérique ou C.A.N. (fig. 6.07)
fait correspondre à un signal analogique d’entrée un signal
numérique de sortie.
Le signal d’entrée du convertisseur est une tension analogique
u, (®).
A chaque instant, le signal de sortie N est un nombre codé au
moyen de p éléments binaires :
Fig. 6.07. Symbole d'un convertisseur analogiquenumérique à n e.b.
Le
CRT
dp-2»
5
Go)
Ce nombre est égal à :
N=LLO-al fre
envois
q
N sans unité.
Le coefficient de proportionnalité est l'inverse du quantum g
du convertisseur, e(t) est l’erreur de quantification.
La relation de définition s'écrit également sous la forme
suivante
:
u(t) = gN + e(t).
2.2. Exemples de C.A.N.
m2.2.1. Conversion à intégration
e Convertisseur simple rampe
La tension w, à convertir est comparée à une rampe de tension
u, (1) qui est obtenue en chargeant un condensateur de capacité
C; par un courant d’intensité constante 1, (fig. 6.08).
Fig. 6.08. Principe du convertisseur simple rampe.
120
Tant que la tension , est supérieure à la référence u,(1), la
sortie du comparateur À impose un niveau logique «1» à
l'entrée E, de la porte ET. Le compteur binaire C, enregistre
les impulsions d’horloge #,,(1) de période Ty.
Dès que la tension rampe #,(1) atteint la valeur w, le comparateur À impose à l’entrée E, de la porte ET un niveau logique
«0», le comptage s'arrête.
Le contenu du compteur est alors N :
N=ku,
avec:
k=C/LTu
si
e=0.
L'évolution des tensions est présentée sur la figure 6.09.
e Limitations
La précision de conversion dépend de la valeur de la capacité
C, et de la stabilité du signal d’horloge w;(f).
Il est possible d’améliorer la conversion en réalisant un circuit
à double rampe. Ce type de convertisseur est d’utilisation
courante dans les appareils de mesure numériques.
m 2.2.2. Conversion par comptage
Fig. 6.09. Convertisseur simple rampe : évolution
des tensions.
e Convertisseur à comparaison directe
La méthode consiste à comparer le signal analogique d’entrée 4.
(fig. 6.10) à l’image analogique, wxA, du contenu d’un compteur binéaire C,, donnée par un convertisseur numériqueanalogique C. N.A.
Fig. 6.10. Principe du convertisseur à comparai- >
son directe.
On peut remarquer que, pour ce système, la sortie
(N), (nombre codé en binaire) réagit sur l'une des
entrées du comparateur analogique À (chap. 4).
Ce convertisseur est un système bouclé (chap. 11).
Tant que la tension u, est supérieure à la tension ww, ,la sortie
du comparateur A impose un niveau logique « 1 » à l'entrée E,
de la porte ET. Le compteur binaire C, est incrémenté, ce qui
entraîne la modification de la valeur de 4x.
Dès que cette dernière atteint la valeur w., le comparateur A
impose à l’entrée E, de la porte ET un niveau logique «0» et le
comptage s'arrête.
Le contenu du compteur est alors N :
N=ku.
avec:
l
k=
si
e=0.
NA
L'évolution des tensions est indiquée figure 6.11.
e Limitations
Comme dans
le cas
conversion est long.
»
Fig.6.11. Convertisseur à comparaison directe :
des
C.A.N.
à rampe,
le temps
de
|
La précision du convertisseur à comparaison directe dépend de
celle du C.N.A. utilisé pour produire la tension de compa-
TaiSON Ucna «
121
e Remarques
— La structure du C.N.A à comparaison directe (fig. 6.10) et
celle du C.N.A à simple rampe (fig. 6.08) sont comparables.
La différence réside dans le mode d’élaboration de la tension de
comparaison : 4,({) OU Ucna— Le convertisseur à comparaison directe montre qu’il est
possible de réaliser les fonctions C. N. A. et C. A. N. à partir de
la seule fonction C. N.A.
— Le convertisseur à comparaison directe présente une structure de circuit bouclé (chap. 11).
m2.2.3. Autres convertisseurs
La conversion par approximations successives met en œuvre
un principe analogue à celui utilisé pour la mesure d’une masse
à l’aide d’une balance.
Le temps de conversion est beaucoup plus court que celui des
C. A. N. à intégration ou à comparaison directe.
2.3. Caractéristiques des C.A.N.
m2.3.1. Caractéristique de transfert d’un C.A.N. idéal
Fig. 6.12. Caractéristique de transfert d'un
C.A.N. idéal à 3 e.b. Erreur par défaut (.) en trait
plein, erreur centrée (e,) en pointillé.
C’est la courbe N = f(u.). Compte tenu du caractère discontinu
de la grandeur commandée N la caractéristique de transfert est
une courbe en escalier (fig. 6.12).
L'erreur de quantification e(.) dépend du choix de la définition de la caractéristique de transfert (fig. 6.13).
Les caractéristiques d’un C. A. N. idéal sont définies de manière
identique à celles du C. N. A. idéal (tableau 2).
e Caractéristiques d’un C. A.N. idéal
Tableau 2
From
Q
Tension pleine
Résolution ou
quantum
Fig. 6.13. Erreur de quantification du C.A.N.
idéal.
Erreur par défaut (e.), erreur centrée (e).
Tension max.
.
S, = 39 mV
he
Ü = 9,96 V:
N=255
à l'entrée du C.A.N.
x
mm
7m
Nombre
binaires
d’éléments
Nombre de points
(pleine échelle)
Nombre max.
à la sortie du C.A.N.
numérique
122
Tarr
So = Qo = RU
E
_£L
Nre = 2
F
NP = 256
ET
N'#=252
& 2.3.2. Caractéristiques d’un C.A.N. réel
(Ech. discontinue)
e Caractéristique de transfert
L’enveloppe A de la caractéristique de transfert d’un C.A.N.
idéal est une droite et celle d’un C. A. N. réel est une courbe T°
(fig. 6.14).
La situation est comparable à celle déjà évoquée pour les
C. N. A. réels.
e Précision d’un C. A.N. réel
La précision p d’un C.A.N. est égale à l’écart maximal Au, mx
entre les enveloppes de la caractéristique réelle (1°) et de la
caractéristique idéale (A) divisé par la valeur maximale de la
tension d’entrée Ur :
à AU. max
UE
e Temps de conversion
Le temps de conversion est le temps nécessaire pour que la
grandeur numérique de sortie N soit acquise lors du passage de
la commande analogique de zéro à la valeur correspondant au
maximum de l'échelle.
m 2.3.3. Évolution du signal analogique d'entrée
La conversion analogique-numérique n’est pas un processus
instantané.
En conséquence, la tension analogique d’entrée w.(f) doit être
maintenue constante entre les instants tels que r, et f, (fig. 6.15)
afin de rendre possible la conversion. L’acquisition du signal,
en vue de la conversion A.N. nécessite donc un dispositif
supplémentaire appelé échantillonneur-bloqueur E. B.
m3. ACQUISITION DES SIGNAUX
3.1. Principe de l'échantillonneur-bloqueur
Fig. 6.15. Évolution du signal analogique à
l'entrée d'un C.A.N.
e Phase d’échantillonnage
L'échantillonnage consiste à prélever périodiquement la valeur
de la tension analogique u,(t) (fig. 6.16). Cette opération non
linéaire est réalisée en utilisant un interrupteur électronique K+
commandé au rythme d’un signal w.({) dont la période 7& est la
période d’échantillonnage.
Fig. 6.16. Principe de l'échantillonneur-bloqueur.
123
e Phase de maintien
A l'instant k7, le condensateur de capacité C'est chargé sous la
tension 4, (KT) (fig. 6.17).
Entre les instants X7: et (k + 1) 7:, le condensateur maintient
constante la tension de sortie u*(t) à la valeur w.(KT;) à
condition que l'intensité soit nulle. Ce qui rend indispensable
la présence de l’amplificateur suiveur A.
A l'instant (k + 1) 7;, le condensateur se charge sous la tension
uT(k + 1) 7]. Le signal w%(f) est appelé signal échantillonné-
bloqué.
e Conversion
A l'entrée du convertisseur analogique-numérique (fig. 6.15), la
tension analogique échantillonnée-bloquée u * ({) est maintenue
constante pendant la période d’échantillonnage 7;.
La conversion est possible dans la mesure où le temps de
conversion 74 satisfait à la relation :
Te
Tel
Remarque
On appelle signal échantillonné
dessiné sur la figure 6.17d.
#-(1)
le signal
théorique
3.2. Fréquence d’échantillonnage
m3.2.1. Position du problème
Fig. 6.17. Évolution des tensions.
a) Tension d'entrée ut).
b) Tension de commande de l'interrupteur.
c) Tension échantillonnée-bloquée u‘(t).
d) Signal échantillonnée : ue =0sitÆKT,
uAt) = u,(t) sit=KT,.
Lors de l’acquisition d’un signal, l’échantillonnage est une
opération essentielle.
En effet, au laboratoire, un signal analogique ,({) peut être
déterminé expérimentalement point par point.
Des mesures successives à des instants {= kT,; constituent
l’échantillonnage de la fonction ,(f) : c’est le signal w#.({).
Malgré l’absence d’information entre les divers échantillons,
peut-on retrouver complètement le signal u.({) à partir de
u-(t)? Dans ce but, comment choisir la période d’échantillonnage 7? La reconstitution du signal w.(1) à partir de w(t)
s'appelle l’interpolation (fig. 6.18).
m3.2.2. Théorème de l’'échantillonnage (Th. de Shannon)
e Théorème
La reconstitution parfaite d’un signal analogique u(t) à partir d'échantillons prélevés à la fréquence d’échantillonnage
F; = 1/7%$ n’est possible que si la fréquence F- est au moins
deux fois plus grande que F,,, la plus grande des fréquences
contenues dans le signal w(f) :
F:>2F _
e Conséquence
Le théorème de Shannon montre que pour reconstituer parfaitement un signal, il n’est pas nécessaire de le transmettre inté-
gralement!
e Applications
Fig. 6.18. Influence de la fréquence d'échantillonnage Sur la reconstitution d'un signal.
4) Signal d'entrée u, (1 = ae
T
b) Signal de sortie échantilonné bloqué avec
Te= 055.
124
— Pour une communication téléphonique F,, = 4 kHz.
Il suffit d’échantillonner le message à F, = 8 kHz.
— La restitution haute fidélité d’un signal sonore nécessite la
transmission de fréquences qui atteignent F,, = 20 kHz.
Dans le cas du disque numérique, l’information est échantil-
lonnée à la fréquence F4 Æ 44 KHz.
M4, TRAITEMENT DES SIGNAUX
4.1. Structure d’une chaîne numérique
m 4.1.1. Chaîne de mesure
e Prise d’information
Le capteur C (fig. 6.19) a pour rôle de fournir un signal
électrique fonction de la grandeur physique 6, ici la température du four S,, sans la perturber.
Généralement le capteur délivre une tension analogique u,(t).
La réponse ,({) du capteur, à l’excitation 6, doit être indépendante des grandeurs d’influences qui peuvent également caractériser le système étudié.
Pour mesurer 7 grandeurs distinctes 1l faut n capteurs.
e Traitement numérique de l’information
Le signal analogique d’entrée y, ({) est échantillonné-bloqué par
E. B. puis converti en signal numérique N; par un convertisseur
analogique-numérique C. A.N. codé au moyen de nr éléments
binaires, l’information est traitée par l’unité de calcul U.C.
Fig. 6.19. Structure d'une chaîne numérique
(chaine directe).
Mesure de la température à d'un fours,
A la sortie du calculateur, un convertisseur numérique-analo-
gique C.N.A. transforme le signal numérique N, en signal
analogique quantifié wena(t). Un filtre passe-bas permet de
restituer un signal utile u,(f).
e Exploitation de l'information
L'information numérique M, obtenue en sortie de la chaîne
directe de traitement peut être utilisée pour agir automatiquement sur la grandeur physique étudiée G (fig. 6.20).
Cette opération est réalisée par une chaîne de retour qui permet
de comparer l'information de sortie N, à un nombre M, image
numérique de la grandeur de consigne 4.
Chaîne directe
(E. B./C.A.N./U.C.)
Commande
analogique
de 0
Chaîne de retour
(U.C./C. N.A.)
N,=
Fig. 6.20. Structure d'une chaine numérique en
boucle fermée.
Asservissement de la température à du four S, à
Programme
NU)
la valeur de consigne 0,(t) = kN,(t).
125
Il y a asservissement de la grandeur physique @ lorsque la
grandeur de consigne N, évolue en fonction du temps.
Dans le cas particulier où la grandeur de consigne est indépendante du temps : 4, =C* ou N,=C* on parle de régulation
de la grandeur physique 0.
m 4.1.2. Chaîne d'acquisition
Une chaîne d’acquisition de données (fig. 6.21) permet de
multiplier le nombre de grandeurs physiques mesurées.
Ce système est construit autour d’une unique chaîne de mesure.
Fig. 6.21. Chaîne d'acquisition.
En conséquence, chaque voie de mesure doit être périodiquement dirigée vers l'entrée de la chaîne de traitement.
Commandé au rythme de l'horloge H, le multiplexeur temporel
M réalise cette opération d’aiguillage.
4.2. Application : filtrage numérique
m4.2.1. Structures physique et logicielle d’un filtre numérique
e But
Avec des signaux analogiques, un quadripôle réactif (fig. 6.22)
est caractérisé par sa réponse en fréquence (voir chap. 2).
Dans le domaine numérique, un système peut également
fournir une réponse fonction de la fréquence du signal. Cette
propriété est exploitée dans les filtres numériques.
FILTRE
NUMÉRIQUE
Fig. 6.23. Filtre numérique.
126
e Structure physique d’un filtre numérique
Le filtre numérique se confond avec l’unité de calcul de la
chaîne numérique en boucle ouverte (fig. 6.19). La structure
physique est identique à celle d’un calculateur numérique (voir
chap. 5).
e Structure logicielle d’un filtre numérique
Les calculs réalisés par l’unité de traitement sont gérés par un
programme qui traduit le procédé numérique (algorithme)
permettant, à chaque instant d’échantillonnage 77:, de calculer
le nombre
(fig. 6.23).
N, en sortie connaissant le nombre MN, à l'entrée
# 4.2.2. Réponse fréquentielle d’un filtre numérique
e Algorithme d’un filtre numérique
Le filtrage est une opération linéaire. Dans le cas d’un filtre
numérique, seule une combinaison linéaire des échantillons
d'entrée et de sortie peut conduire à cette propriété essentielle.
A l'instant {= nT., les échantillons d’entrée et de sortie sont
respectivement notés :
e, =e(nT,)
5, =Ss(nT.).
A l'instant t=(n-k)T., kT, secondes avant l'instant n7,, les
échantillons d’entrée et de sortie sont respectivement notés :
e=el(r-k)T)
s,,=5(n-k)T.].
e Filtres non récursifs et récursifs
Il est nécessaire de distinguer :
Fig. 6.24. Structure d'un filtre numérique non
—
récursif.
nT. est calculée numériquement à partir des échantillons
d'entrée e,_, pris aux instants antérieurs (n — k)T, (fig. 6.24).
Par exemple :
les filtres non récursifs pour lesquels la sortie s, à l'instant
Sn = Agen + 41611 + 4260-2
— les filtres récursifs pour lesquels la sortie s, à l’instant n7,
est calculée numériquement à partir des échantillons d’entrée
e,-x et de sortie s,_, pris respectivement aux instants antérieurs (n — k)T, et (n —- p)T.. Par exemple :
Sn = Aer
+ Aie-:
+ An)
“8B;S5-:
+ B5,-2.
e Exemple : algorithme de la moyenne
Le comportement fréquentiel d’un filtre numérique peut être
testé sur un algorithme simple non récursif, par exemple :
Sn = Aoes + Aie-1. Pour 45=4,=1/2, le filtre fournit la
moyenne arithmétique des nombres d’entrée e, et e,-, acquis
respectivement aux instants d’échantillonnage
n1% et
(ns Lie :
e Analyse fréquentielle de l’algorithme de la moyenne
L'analyse fréquentielle de l’algorithme est l'étude de la réponse
du filtre à une excitation harmonique. Expérimentalement,
l'information numérique d’entrée e, est obtenue à partir d’un
signal analogique sinusoidal e(f), échantillonné et bloqué par
E.B. puis converti au moyen d’un C.A.N. (fig. 6.15).
On vérifie expérimentalement et on démontre théoriquement
que le comportement fréquentiel de l’algorithme testé est de
type passe-bas.
En effet, à la séquence d’entrée
e,=E
sin (nwT+)
correspond la séquence numérique de sortie :
s, = $ sin (n&T;, +)
et dans cette expression, l’amplitude $ et la phase o dépendent
Fig. 6.25. Analyse fréquertielle de l'algorithme de
de la fréquence f = Sedu signal selon les lois (fig. 6.25a et b).
la moyenne :
a) Transmittance.
S=E cos (#°) o = re
b) Phase.
127
Les relations précédentes montrent que la réponse du système
numérique dépend de la fréquence d’échantillonage. C’est là
une différence essentielle entre les filtres numériques et les
filtres analogiques (tableau 3).
e Filtre analogique et filtre numérique
Tableau 3
Filtre analogique
Hire
Matérielle
(câblage)
Logicielle
(algorithme)
Valeurs des composants
| Valeurs des constantes
AIG
Aÿ, A, 1000
A
Paramètres
RE
ERREURS
Variable
4
ÿ
€
(sans unité)
(Hz)
Travaux pratiques
1. Conversion numérique-analogique
1.1. Réaliser le montage de la figure 6.26. Le
convertisseur numérique-analogique utilisé est le
circuit intégré DAC 0808 (MC 1408) ou équivalent.
Les résistances R et R,, sont égales à 5 kQ2 (boîtes
1.3. Les entrées correspondant aux €. b. 44, As, 46,
A;, et 4 sont reliées à la masse.
Relever les valeurs de V, ainsi que les variations
AV, obtenues lorsque les e.b. 4,, 4,, 4; passent de
la combinaison (111) à la combinaison (000) :
[(111), (110), (101), … (000)].
à décades).
Von = +5 V
Déduire l’entrée correspondant à l’e.b. de poids le
plus élevé (M.S.B) et la résolution exprimée en
volts du convertisseur à 3 e.b. ainsi obtenu.
1.4. Dans ces conditions,
V, suit la relation sui-
vante : n=k(4+2+4)
ENTRÉES
Les coefficients À;
peuvent prendre la valeur O0 ou 1. Calculer les
différentes valeurs de k correspondant à chacune
des mesures effectuées. Conclure.
1.5. Toutes
les entrées
sont
portées
au
potentiel
V5p-
Pour R = 5 kQ), tracer la courbe
Fig. 6.26. Convertisseur numérique-analogique. On prendra R,,= 5,6 kQ.
128
14
La valeur de R,, varie de 5 kQ à 10 kQ.
L’allure
1.2. Mesurer V, lorsque toutes les entrées sont
d’abord «en l’air», ensuite à la masse, enfin au
potentiel Von.
V, de (se
de la courbe
correspond-elle
bien à une
équation de la forme PV, = Ru Donner la valeur du
14
coefficient a et préciser son unité.
1.6. Sachant que :
R
V,0 = —
jh
ue:
0 max
Ë 1
4)
déduire du tracé précédent la valeur de V5.
Comparer cette valeur à Vr.
(D’après BTn F2, Sciences physiques.)
2. Étude expérimentale d’un quadripôle numérique
1° Réaliser le quadripôle numérique ON à l’aide
de résistances R et d’interrupteurs À commandés
manuellement (fig. 6.27). On adoptera :
== 1,00 mS soitR=1 kQ à 1 %.
2° Résistance et conductance d’entrée de ON
cédentes pour les charges successives suivantes R, :
1 kKQ; 0,1 kQ; 0 Q (sortie en court-circuit). Représenter R, en fonction de N pour les trois charges
testées. On adoptera les échelles suivantes :
R, : 0,1 kQ
= 20 mm, N : 1 = 10 mm.
2.2. Relevé automatique
Proposer puis réaliser les montages simples permettant de relever automatiquement à l’aide d’une
table traçante, ou d’un voltmètre :
—
—
la résistance d’entrée : R,(N) à R, =0 Q;
la conductance d’entrée : G.(N) à R, = 0 Q.
Afin de faciliter la commande manuelle des interrupteurs K on adoptera, par exemple, un calibre de
10 s/cm pour la base de temps de la table traçante.
Vérifier la relation G, = gN si R, = 0 Q.
2.3. Application
Mettre à profit cette propriété remarquable pour
réaliser, par exemple, à partir d’un amplificateur
opérationnel un amplificateur commandé numériquement que l’on testera.
3° Transfert du quadripôle ON.
3.1. Caractéristique de transfert
L'entrée du quadripôle ON est alimentée sous une
tension continue E = 16 V. La sortie est à vide.
Dans ces conditions, enregistrer à la table traçante
ou mesurer à l’aide d’un voltmètre la tension de
sortie U en fonction de l’entrée numérique N.
En première approximation, vérifier la relation
U Sr) So N.
Fig. 6.27. Quadripôle numérique.
2.1. Relevé manuel
Le quadripôle QN est à vide. Mesurer la résistance d’entrée R, en fonction de l’entrée numérique
(Nh = (D;, D;, D,, Di). Reprendre les mesures pré-
Quelle est la valeur numérique de S,?
Quelle conversion est réalisée par. le quadripôle
ON?
3.2. Comparaison au transfert du convertisseur
idéal.
Sur l’enregistrement précédent, tracer le transfert du
convertisseur
idéal
à 4 e.b.,
en
déduire
la pré-
cision p du convertisseur réel.
129
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
Quelle est la fréquence /;, du signal d’horloge wy?
R : 10 kHz; 100 kHz; 1 MHz; 10 MHz.
Quelle est la valeur de la tension w, en sortie d’un C.N.A. à 4 e.b. de résolution ou quantum
do = 0,5 V pour une entrée binaire (N), = (1011)?
R':'15N278V;:5=2V::5,9,V:
Quelle est l’entrée binaire
(N), d’un
C.N.A. à de.b., de résolution ou quantum
do = 250 mV, si la sortie u, est égale à 2,25 V?
R : (1110); (1001); (1010); (1111).
d’un
C.N.A.
à 12e.b.,
de résolution
quantum g = 10 mV, pour une entrée
BOD : (W)scp = (0001 0111 1000)gcp?
signal sinusoidal
w(t) d'amplitude
R : 0,159 V; 0,195 V; 0,591 V; 0,951 V.
|
6.10. |Quelle est la fréquence théorique mini-
Quelle est la valeur de la tension w, en
sortie
Un
U=1 V et de fréquence f/= 1 kHz est échantillonné
à la fréquence /; = 10 kHz. Les échantillons successifs, pris aux instants 0, 7%, 27#, etc. sont notés
respectivement #o, #1, 4, etc. Sachant que l’on a :
uo = 0 et w, > 0, calculer la valeur de w.
codée
ou
en
male /E min à laquelle doit être échantillonné le signal
u(t) de fréquence f= 1 kHz afin de pouvoir être
reconstitué parfaitement ?
u(t) = sin 2 ft+ 3sin 6m fi+ +sin 107 f£+
R : 2,56 V; 1,78 V; 1,28 V; —- 6,4 V.
.!
Le
#5] sin 42r ft.
La tension correspondant à la pleine
échelle d’un C. N. A. à 8 e.b. est Upg = 10 V.
Quelle est la tension maximale Ü en sortie?
R : 2 kHz; 21 kHz; 42 kHz; 84 kHz.
Un filtre numérique est défini par l’algo-
R : 10,039 V; 10 V; 9,99 V; 9,96 V.
rithme
Quelle est la valeur binaire du nombre N,
en sortie d’un C. A. N. à 4 e.b. dont la résolution ou
quantum go = 100 mV pour une entrée u, = 1,20 V?
5, = i(8 +5,:-1).
À l'entrée
du filtre on
applique la séquence :
e=16,
e=e;=
…
=e, =0.
Sachant que s_, =0, calculer la valeur de la sor-
R : (1110); (1001); (1100); (1010).
tie 55.
Quelle est l'erreur extrêmale de quantifi-
R : 0,25; 0,5; 8; 1024.
cation Eax d'un C. A. N. de résolution g?
A l'entrée du filtre précédent, on applique
1° Pour un transfert par défaut : 8,1.
la séquence :
2° Pour un transfert centré : &x2.
CDR
R : &uuxt
© +45 45
C.A.N.
simple
=
€, =
16.
R : 0,25; 1024; 8; 15,75.
rampe
présenté
igure 6.08 convertit une tension U, = 10 V en une
durée f, = 10 ms. Quelle est la valeur de l’intensité
I, du courant qui charge le condensateur dont la
capacité C, est égale à 10 nF?
R : 10 mA; 15 LA; + 10 LA; — 10 lA.
Le C.A.N. de l'exercice précédent doit
compter V=10* impulsions d’horloge lors de la
conversion de la tension U, = 10 V.
130
bn:
Sachant que s_, =0, calculer la valeur de la sortie 54.
+ q; +5
Z,
Ermax2 © + 245 +95 0; at)
Le
ETIMIES
La structure d’une chaîne numérique de
température est décrite figure 6.20. Le système S,
est, par exemple, un laboratoire dont la température
0 est mesurée par le thermomètre C qui délivre une
tension w, (1) = À, 0 convertie puis traitée pour obtenir le nombre N, = 4, u..
Pour 4, = 0,333 V/°C et 4, = 1,5 V-!, quelle valeur
codée avec 4 e.b. doit-on donner à la consigne M,
pour que la température du laboratoire soit régulée
à 0, = 20 °C?
R : (1010); (1011); (1100); (1111).
Exercices résolus
Réponse indicielle de l’algorithme
A l’ordre k : SES
1
Sn 2
(e, + Sn - 1).
A l’ordre (k+ 1) :
La réponse indicielle est la réponse du filtre à une
séquence d’entrée définie par :
e =E>0sinz>0;e,=0
1
la séquence
d’entrée
Il
sa=3E+sD=E(5+
+
arc
2k+1 FUEE À
si n <0.
Co
La séquence e, est appelée séquence échelon.
La période d’échantillonnage est notée 7;.
1° Tracer
Fe acer
e, en fonction
Alordren:|5=E£E
de
ou
Y
k=1
5x * ESn+i
3° Somme de la progression géométrique
nT,E:
2° Écrire successivement 59, $,, 5 en supposant :
‘2 + LL 0.
Proposer une écriture à l’ordre 4, vérifier sa validité à l’ordre (4+1). En déduire l’expression de
k=n
1
Sn = ESh+1 avec : S,= © 3x"
D'où l’expression
égale à :
k=1
3° Calculer
la somme
S, en
cherchant
l’expres-
de S,= 1-— 1/2", La sortie est
=
E (1= ral
sion de S, — à.
4° Constante de temps t du filtre analogique équivalant au filtre numérique étudié.
Démontrer que la sortie s’écrit : 5, = Æ£ (1- st
4° Le filtre analogique correspondant au filtre
numérique étudié est du type «R, C». Pour une
entrée constante e(f)=EÆ, appliquée au circuit
«R.C» à l'instant r=0, la réponse est de la
forme : s(t) = E(1-e-‘/") en posant 7 = RC.
Montrer qu’il est possible de choisir + en fonction de
Tz; pour que les réponses respectives 5, et s(7;) du
filtre numérique et du filtre analogique soient égales.
Pour le filtre numérique : 5 = ;= E (:- se
_Te
Pour le filtre analogique : s(7%) = E (:— €
D’après ces deux équations il vient:
1
ES
-&1 0
AA
5° La constante de temps t ayant la valeur déterminée précédemment, montrer que les réponses 5, _:
et s(n7;) du filtre numérique et du filtre analogique
sont encore égales.
Fr
TE
2=eT
RES
;
LEe-3:À
RP
5° Calcul des réponses s, _, et s(nT%) :
i
_Te
_"Tg
D’après (4) : 5 =e
‘ donc 53 mere
6° Calculer les valeurs numériques des sorties 5 (f)
La sortie du filtre numérique s'écrit :
et s, pour #€{[0,10]. Tracer les courbes correspondantes s(f) et s’(f) image analogique de s, fournie
par le C.N.A. du filtre numérique. On donne :
E = 10 V.
SOLUTION
1° Séquence d’entrée e,
Voir la figure 6.28.
r).
a.-E(1 -L)-r( LL
ta
=—
esT:
om
|
_©
9
8
y
En
6
Et. +. -+-..+.--+4-
5
4
LE ZTy rad Te
0
Te
2Tz
3Te
AT:
STE
SC
2° Séquence de sortie 5,
E, Si
et à
E(5+5)s
l
0
Fig. 6.28. Séquence d'entrée e,.
7;
nTe
3
2
NR SE T E (5
àNS3#$}
:)
ITRAENMET
Fig. 6.29. Réponses indicielles.
Réponse du filtre analogique st).
Réponse du filtre numérique après conversion N. A. s'(t).
131
6° Calculs numériques et représentations
phiques
Voir le tableau 5 et la figure 6.29.
gra-
Tableau5
Me
2e
intlFA
T
Te: CO TNT
ETS
AT;
ST;
nTe
Fig. 6.30. Séquence d'entrée e,.
Il
OL
=10V
7e
Ts=1
S
2° Valeurs du signal de sortie
0
il
2
l'E
ÿ = 7 E+0)= 4:
:
4
1
5
6
7
|
l
PO
NT 8EE SN23 fa
2
8
9
l0
Sn
Réponse impulsionnelle de l’algorithme
Il
Sie
1
Sn rt (en + Sn- 1)
La réponse impulsionnelle est la réponse du filtre à
une séquence d’entrée définie par : e, = E>0 si
n=0; e,=0 si n
0. La séquence e, est appelée
séquence impulsion. La période d’échantillonnage
est notée 7;.
1° Tracer
nTz.
la séquence
d’entrée e, en fonction
de
2° Écrire successivement 59, 51, 52 Si s_,=0.
déduire l’expression de s,.
En
3° Tracer
de nTy%.
la séquence
de
sortie
s, en
3° Séquence de sortie
Voir la figure 6.31.
Sn À
E/2
fonction
SOLUTION
1° Séquence d’entrée
CNP
Voir la figure 6.30.
Fig. 6.31. Séquence de sortie s,.
132
TU
TR
NITE ST
AIRE
nT;
Exercices à résoudre
Quelle est la valeur de la tension x, en
sortie d’un C.N.A. à n e.b. de résolution ou
quantum 5 = — U,4/2° pour une entrée binaire N°?
de comptage est-il modifié?
Application
Application
numérique
(N);= (1111 0000).
: n=8;
U=-10
V:
Calculer le coefficient 4, de l’atténuation nécessaire
pour conserver
l'étendue de mesure
numérique
U,= 8 V; fa = 1 MHz.
U,. Le temps
: U,= Upg = 10 V; n=8;
Un C.N.A. à résistances pondérées est
présenté sur la figure 6.02.
1° Écrire l'intensité i en fonction des intensités £
2° Exprimer i;en fonction de Ur, D; et R;=2"-jR.
3° En déduire la tension de sortie u{t).
5° Quelle est la valeur wsp de la tension de sortie
pour l’entrée N,?
numérique
: n=3;
1° Quel est le nombre N d'échantillons par période?
2° Calculer les valeurs numériques w, des N échantillons lorsque Ü = 10 V en supposant Up = 0 V.
4° Calculer la résolution ou quantum &.
Application
Une tension sinusoidale u(1) = U sin 2x ft
est échantillonnée à la fréquence f; = 12f.
U=-8
V;
(No): = (110).
Un C. N. A. à réseau R-2R est présenté sur
la figure 6.03.
3° Tracer sur papier millimétré :
— le signal échantillonné w#(t),
— le signal échantillonné-bloqué wep(),
— le signal w(f).
4° Calculer la valeur efficace Ur du signal échantillonné-bloqué wrg(t). Comparer à la valeur efficace
U = OV? du signal u(t).
1° Démontrer la relation : À, = U,:/2R (voir les propriétés des réseaux R-2R : exercice 2.25 1'° F2-3-5).
2° Exprimer
successivement
V,_,,
V,_,;
en
déduire V;. Établir la relation V, = U4/2n.
3° Calculer l'intensité i; en fonction de P;, D; et R.
4° En déduire la tension de sortie u..
(6.21. ] Le système
analogique
présenté
sur la
figure 6.32 est constitué de trois blocs fonctionnels
parfaits : un dérivateur (d/df), un intégrateur (f) et
un sommateur (À).
5° Calculer la résolution ou quantum 4%.
6° Quelle est la valeur #,, de la tension de sortie
pour l’entrée N,?
7° Calculer la tension
pleine échelle U»r.
Application
numérique
maximale
Ü et la tension
: n=4;
Us=-—10
V;
(No) = (1010).
Un C. A. N. à conversion par comptage est
présenté figure 6.10. L’étendue de mesure du signal
Uy(£)
d’entrée est définie par : 0< uw, < U,.
Fig. 6.32. Système analogique.
1° Quelle est la résolution 4) du C.N.A. à n e.b.
dont la tension pleine échelle vaut Upg?
2° Quelle est la valeur de u<nA pour un nombre N?
En déduire la valeur N. affichée en fin de comptage
pour l'entrée LU...
3° La fréquence d’horloge est égale à f. Exprimer
le temps de comptage {- correspondant à la tension U..
4 Quelle modification doit-on apporter au C. N.A.
pour obtenir une résolution g,Æ 1 mV sans changer Un?
5° Afin de résoudre le problème précédent, la tension #eçna est réduite avant d’être injectée sur
l'entrée inverseuse de A.
1° Exprimer les unités des constantes K,; et X:,
sachant que les grandeurs e(t), u4(t) et u;(1) sont des
tensions.
2° En fonction du signal d’entrée e(t), écrire successivement les tensions #,(t) et (ft).
3° En déduire l’expression du signal de sortie s(f)
lorsque K;K4= 1.
4 Un signal d’horloge (1) de fréquence 5 = 1/7%
remet périodiquement à zéro (R. A. Z.) l’intégrateur.
Tracer la tension de sortie s(1) dans ces conditions.
Montrer que le système est un échantillonneurbloqueur.
139
Chapitre 7
SIGNAUX ÉLECTRIQUES
ANALYSE
M1. DIPÔLES LINÉAIRES PASSIFS
A un instant {, un dipôle linéaire passif soumis à une tension
est traversé par un courant d’intensité : (fig. 7.01) qui dépend
de la nature de ce dipôle. Pour les dipôles élémentaires, les
grandeurs
et i sont liées par l’une des relations suivantes :
a) Résistance R constante (fig. 7.02)
b) Bobine parfaite d’inductance ZL constante (fig. 7.03)
En effet si nous appelons g la quantité d’électricité accumulée à
un instant f sur l’armature A, nous pouvons écrire :
En éliminant
précédente.
g entre ces relations, nous trouvons
l’équation
m2, RÉGIMES TRANSITOIRES
Nous allons observer les signaux électriques obtenus dans un
circuit soumis à une variation brutale de tension, de zéro à une
valeur E ou l’inverse (échelon de tension). Pour l’expérience,
nous utilisons un générateur fournissant des signaux en créneaux, de période telle que le régime permanent puisse s'établir
au cours de chaque créneau.
2.1. Dipôle R, L
Le dipôle inductif, formé par l'association en série d’une
résistance R et d’une bobine d’inductance Z (de résistance
Fig. 7.05. Dipéle série R, L alimenté sous une
négligeable) est soumis à une tension en créneaux non symé-
tension en créneaux non symétriques de SEE |
très supérieure à la constante de temps 1 = à
triques 0-E (fig. 7.05). Nous allons déterminer l’intensité i du
courant dans ce circuit.
134
m2.1.1. Tension variant de E à 0
L’instant où la tension d’alimentation passe de ÆE à GO V est
choisi pour origine des temps (1 = 0). A cet instant, l’intensité
du courant traversant le circuit est égale à Le
Fig. 7.06. Courant dans le circuit R, L série
lorsque u = 0 et que le circuit reste fermé.
Tant que la tension d’alimentation est nulle, ce montage est
alors assimilable à celui de figure 7.06.
A tout instant de cette phase de fonctionnement nous avons :
Uy + Up = 0
avec :
ro
Donc :
et
dt
An
dt
up = Ri.
AU)
Cette relation peut s’écrire :
di+=
dé
Fig. 7.07. Allure de l'intensité du courant (lors de
son annulation) dans un circuit R, L série.
avec
La solution de cette équation est l’intensité À cherchée.
On peut vérifier que cette solution est :
EE
ue
Résolution d’une équation différentielle de la
forme :
Pour simplifier l'écriture, posons Y=(y)'.
T= 2e
R
er
Après la suppression de la tension d’alimentation, l’intensité
du courant dans le circuit décroît exponentiellement en fonction du temps (fig. 7.07).
L’intensité peut être considérée comme nulle pour { = 57.
Notons que les tensions w} et #, sont données par les relations
suivantes (fig. 7.08) :
u=Ri=Ee"
detl
u=-uÿ=r
EE,
L'équation précédente s'écrit :
FLE
+£=0.
('+£
Isolons le rapport erà De |
«2est la dérivée de In y.
D'où :
In y= =!+Ct.
(1)
A l'instant {= 0, y= y(0).
Posons : y{0) = 4, soit alors :
Fig. 7.08. Allure des tensions u, et u, lors de l'annulation du courant dans un circuit R, L série : u,
subit une discontinuité.
C'e=1In y(0) = In À.
La relation (1) devient alors :
t
ny-Ini=--.
ny-in2
”
D'où :
Pia!
()
NAT
La relation (2) équivaut à :
y
fie
D'où :
pe
4
y(t) = 2e ‘.
Remarque
L’équation L . + Ri = 0 est une relation différentielle linéaire à
[
coefficients constants (R et L sont des constantes). L’équation
différentielle est dite du premier ordre car c’est une relation
.Æ
4
:
ARR
4
di(t
entre la fonction i(t) et la fonction dérivée de (1), so : Le
circuit R, L est appelé système du premier ordre.
135
m 2.1.2. Tension variant de 0 à E
Résolution de l'équation : "+ £=K
y, solution de cette équation, est la somme
de deux termes :
— la solution y, de l'équation sans second
membre : elle correspond au fonctionne-
ment en régime libre :
L’instant du passage de la tension d’alimentation de 0 V à E est
choisi pour origine des temps ({ = 0). A cet instant, l’intensité à
du courant traversant le circuit est nulle. Le montage est alors
assimilable à celui de figure 7.09.
A tout instant :
Us tUp=E
di
t
y. = Àe
avec :
ë
u.=L—
L
dt
et
k
ur R = Ri.
— une solution particulière y, de l'équation
avec second
membre
(correspondant
au
régime forcé). Le régime permanent est un
cas particulier pour lequel nous connaissons bien la solution :
Donc :
EE di+Ri=E
dt
Expression que l’on peut écrire :
q + RE
ÿ2 = KT.
Donc :
we
Soit :
AFR
Y= it Ye.
y=}1e ‘+ Kr.
La résolution
relation :
mathématique
Condition initiale : t= 0, y= 0.
Conséquence : À + Xr=0.
Soit :
T= -
R1
de cette équation
conduit
à la
E Î _ e UT
R!
)
Res
<
À=-K7.
Expression de y:
avec
à
L’intensité À du courant croît exponentiellement en fonction du
temps (fig. 7.10) et tend vers la valeur (3)qui correspond au
régime permanent. Cette valeur est atteinte pour { = 57.
La tension est égale à :
u.=E-uRg=E-
Riou ui= LT
Fig. 7.09. Établissement du courant dans un circuit inductif.
U,
Fig. 7.10. Allure de la tension u et de l'intensité i lors de l'établissement du courant dans
un circuit inductif.
Fig. 7.11. Allure de la tension u, lors de l'établissement du courant dans un circuit inductif : elle
subit une discontinuité pour t= 0.
La tension w, décroît exponentiellement en fonction du temps
(fig. 7.11) : elle subit une discontinuité à l’instant 1 = 0.
L'intensité i du courant traversant un circuit R, L soumis à un
échelon de tension ne subit pas de discontinuité.
2.2. Dipôle
A, C
Fig. 7.12. Dipôle R, C série alimenté sous une
tension en créneaux non symétriques de période T
très supérieure à la constante de temps t = RC.
136
Le dipôle capacitif formé par l'association en série d’une
résistance R et d’un condensateur parfait de capacité C est
soumis à une tension en créneaux non symétriques 0-E
(fig. 7.12). Comme précédemment, nous déterminons l’intensité À du courant dans ce circuit.
8 2.2.1. Tension variant de E à 0
L’instant de passage de la tension d'alimentation de E à O V est
choisi pour origine des temps (1 = 0). A cet instant w.= E. Le
montage est alors assimilable à celui de la figure 7.13.
A tout instant :
avec :N
Fig. 7.13. Décharge d'un condensateur dans une
résistance.
Uc + Ur = 0
q
Uc=<,
Up=Ri
RTE
Donc 1:
. _dg
i=—<,
et
ru
di
duc
RC—<+uc=0.
dt
Cette relation peut s’écrire :
duc
u
—<+—<=0
de
LT
avec
La résolution mathématique
fournit la tension w. :
7t=RC.
de cette équation
différentielle
Ue=E ev
Cette tension décroît exponentiellement en fonction du temps
(fig. 7.14); l'intensité du courant traversant le condensateur
peut être obtenue à l’aide des expressions suivantes :
j=UR_ _Uc
R
i=-
ce
R
di
On trouve:
Fig. 7.14. Allure des tensions u et U, lors de la
décharge d'un condensateur dans une résistance.
i--E
e- {7
R
Après la suppression de la tension d’alimentation, la valeur
absolue de l'intensité du courant dans le circuit décroît exponentiellement en fonction du temps (fig. 7.15).
Remarque
Le circuit
Fig. 7.15. Allure de l'intensité du courant lors de
la décharge d'un condensateur dans une résistance. L'intensité de ce courant subit une dis-
continuité à l'instant t= 0.
R,C
est un
système
du premier
ordre
puisque
l'équation donnant u est une relation différentielle linéaire à
coefficients constants entre la fonction uç({) et sa dérivée
première.
La tension u- aux bornes du condensateur d'un circuit R, C
soumis à un échelon de tension ne subit pas de discontinuité.
& 2.2.2. Tension variant de 0 à E
L’instant du passage de la tension d’alimentation de0VàEest
choisi pour origine des temps ({= 0). A cet instant w= 0. Le
montage est alors assimilable à celui de figure 7.16.
A tout instant :
Uc+Ur=E
avec :
ba :
:
et
.
_dg
Éoe
duc
RC—<+uc=E
dé
Donc :
Fig. 7.16. Charge d'un condensateur à travers
une résistance.
ur = Ri
Uc= À
duc
uc_
E
—C+<=—
dt.
RC
avec
T=RC
137
Fig. 7.17. Allure des tensions u et u, lors de la p>
charge d'un condensateur à travers une résistance.
La résolution
tension ue :
mathématique
de
cette
équation
fournit
la
Cette tension croît exponentiellement en fonction du temps
(fig. 7.17) et tend vers la valeur E qui correspond au régime
Fig. 7.18. Allure de l'intensité i lors de la charge
d'un condensateur à travers une résistance : cette
intensité subit une discontinuité.
permanent.
L’intensité du
courant traversant le condensateur
obtenue à l’aide des expressions suivantes :
j=UR_E—uc
R
R
ou
peut
être
rés
Elle est égale à :
Cette intensité (fig. 7.18) décroît exponentiellement en fonction
du temps après avoir subi une discontinuité.
2.3. Dipôles PR, L, C
m2.3.1. Dipôle À, L, C série
a) Expérience
Fig. 7.19. Circuit R, L, C série.
Conditions de l'expérience : f= 100 Hz, condensateur de capacité C = 100 nF; bobine d'inductance
L=25 mH et de faible résistance; résistance R
réglable : boîtes à décades de valeurs connues
x 1000, x 100, x 10; résistance r= 1Q pour la
visualisation de l'intensité du courant.
Un dipôle R, L, C série (fig. 7.19) est soumis à une tension en
créneaux non symétriques 0-E. Nous nous intéressons à la
transition correspondant au passage de E à 0 V de la tension
d'alimentation.
+ Lorsque la résistance R est réglée à 100 Q par exemple, la
tension w, (image de l’intensité : du courant traversant le
circuit) est pseudopériodique (fig. 7.20).
e En augmentant la valeur de la résistance R, nous observons
une diminution de la durée du régime oscillatoire (ainsi qu’une
diminution rapide de l’amplitude des oscillations) et même la
disparition. de ce régime pour une valeur de résistance supérieure à 500 Q (fig. 7.21).
Fig. 7.20. Regime pseudopériodique.
138
Fig. 7.21. Régime apériodique.
b) Étude théorique
La tension d’alimentation passe de la valeur Æ à 0 V à un
instant qui est choisi pour origine des temps. Le montage est
alors assimilable à celui de figure 7.22 et nous cherchons
l'intensité i du courant à partir de cet instant.
Nous avons choisi r < R : dans ces conditions u, < up.
A tout instant:
avec :
Uy + Up + Uc=0
q
Uc=<,
sh
Up=Ri,
:
iis
di
u=L—-
NS «
Nous pouvons écrire: “He
dt
Fig. 7.22. Circuit R, L, C série en régime libre.
et
.__dg
i-=—.
dt
air
C
En dérivant par rapport au temps, la relation précédente s’écrit
aussi :
2:
:
$2s
L—+R—+-=0.
(1)
Cette équation est une relation différentielle linéaire à coefficients constants.
C’est une équation différentielle du second ordre car Siest la
dérivée seconde de À par rapport au temps. Le circuit R, L, C
série est appelé système du second ordre.
e Régime libre
L’intensité i du courant traversant un circuit R, L, C série en
régime propre (ou libre, parce qu’il n’y a pas de source) est la
solution de l’équation (1).
La résolution mathématique de cette équation donne l’expression générale de l’intensité 1.
— Dans le cas d’un circuit pour lequel R Æ 0, l'équation (1) se
réduit à :
La solution de cette équation (étudiée en mathématiques) est :
avec
i=icos(ot+g)
œ=l/VLC.
i et g dépendant uniquement des conditions initiales.
— Dans le cas d’un circuit pour lequel la résistance R n’est pas
négligeable, on montre que deux cas sont possibles :
R<2VL/C.
Premier cas :
L’intensité i du courant est alors donnée
,
par l'équation
sui-
vante:
i = Ae°X cos (œt + @)
avec :
R
k=SE
et
«
#YÉMNET
Er
TC
A et p dépendent uniquement des conditions initiales.
L’intensité i se présente sous la forme d’oscillations pseudopériodiques exponentiellement amorties.
Second cas :
RZ n/£
139
L'intensité
vante :
: du courant
est alors donnée
i = Bel
par l’équation
sui-
se Bel:
k, et k, dépendent des valeurs de Z, R et C. B,, B, sont des
constantes fixées par les conditions initiales. Le régime est
apériodique : l'intensité
tend vers zéro, sans osciller, d’autant
plus lentement que la résistance R est importante.
#2.3.2. Dipôle À, L, C parallèle
a) Expérience
Un dipôle R, L, C parallèle (fig. 7.23a) est alimenté par un
générateur de courant en créneaux non symétriques d’intensité
0 —-J. Nous nous intéressons à la transition correspondant au
passage de Z à O A de l'intensité du courant débité par le
générateur.
e Lorsque la résistance R est réglée à 2 kQ par exemple, la
tension # aux bornes du circuit R, L, C est pseudopériodique
(fig. 7.24).
Fig. 7.23. Circuit R, L, C parallèle.
Conditions de l'expérience : f= 100 Hz, condensateur de capacité C = 100 nF, bobine d'inductance
L,= 100 mH et de résistance r = 32, résistance
réglable : boîtes à décades de valeurs connues
x 1000, x 100, x 10.
e En diminuant la valeur de la résistance R, nous observons
une diminution de la durée du régime oscillatoire (ainsi qu’une
diminution rapide de l’amplitude des oscillations). Si la résistance devient inférieure à 600 Q, les oscillations disparaissent
(fig. 7.25) : le régime est apériodique.
En l'absence d'une source de courant, il est possible d'utiliser un G.B.F. en série avec une résis-
tance r, élevée (créneaux 0-10 V et résistance de
47 KQ pour notre expérience).
Fig. 7.24. Regime pseudoperiodique
Fig. 7.25. Regime aperiodique.
b) Étude théorique
L’instant où l’intensité du courant passe de Z à 0 A est choisi
pour origine des temps. Le montage est alors assimilable à celui
de la figure 7.26.
A tout instant :
ic+irt+i = 0
avec :
=
ic=
ie
U= Ris
et
u=L
dir
dt
Nous pouvons donc écrire la relation précédente sous la forme
suivante :
Fig. 7.26. Circuit R, L, C parallèle en régime libre.
140
Ou, en dérivant par rapport au temps et en posant G =
|
dr
d?u
Se
dé?
du
dom
WE
u
dira
(2)
Cette équation est aussi une relation différentielle linéaire
à coefficients constants. C’est une équation différentielle du
d'u
est la dérivée seconde de
par rapport
second ordre car
2
au temps.
Le circuit R, L, C parallèle est un système du second ordre.
e Régimes de fonctionnement d’un circuit R, L, C parallèle
Les équations différentielles (1) et (2) sont semblables : leurs
solutions le sont également, ce qui explique, que, suivant les
valeurs de R on obtienne un régime oscillatoire ou un régime
apériodique.
e Dualité
Les équations différentielles (1) et (2), caractéristiques respectivement d’un circuit R, L, C série et d’un circuit R, L, C
parallèle ayant exactement la même forme, on peut établir les
correspondances (dualité) suivantes :
Circuit R, L, C série
Circuit R, L, C parallèle
additivité des tensions (maille)
intensité
inductance
résistance
additivité des intensités (nœud)
tension
capacité
VAE
LORS
conductance
La dualité fait correspondre une maille et un nœud. Par
exemple nous pouvons dire qu’à un circuit R, L série commandé par une source de tension correspond un circuit R, C
parallèle commandé par une source de courant (fig. 724):
Fig. 7.27. Dualité R, L série -R, C parallèle.
Remarques
Une étude semblable peut être conduite lorsque la tension
d'alimentation du circuit R, L, C série passe de 0 V à E et
lorsque le générateur de courant alimentant le circuit R, L, GC
parallèle délivre un courant dont l’intensité passe de 0 A à J.
Les équations différentielles caractéristiques des circuits sont
alors :
e Circuit R, L, C série,
d?i
Fa
et
=L—+R—+—-.
E LG
c'e
mm
mmmm—
e Circuit R, L, C parallèle,
d?u
du
SL EGST
LE
Fig. 7.28. Exemple d'un signal périodique.
dt?
u
d'u
L’analogie est donc conservée.
m3. SIGNAUX PÉRIODIQUES
3.1. Définition
Fig. 7.29. Signal alternatif.
‘Un signal w(t) est périodique (fig. 7.28), s’il se répète identique
à lui-même à des durées successives T° égales :
.
u(t+T)=u(t).
est
il
nulle,
est
Si la valeur moyenne du signal périodique
alternatif (fig. 7.29).
141
Fig. 7.30. Composante continue et composante
alternative d'une tension redressée bialternance.
3.2. Expression d’un signal périodique
m3.2.1. Cas général
e Tout signal périodique w peut être considéré comme égal à la
somme de deux signaux (fig. 7.30) :
— un signal continu appelé composante continue du signal :
c’est la valeur moyenne # de u,
— un signal alternatif w,, appelé composante
signal
alternative du
e Le signal alternatif ,, de fréquence f = w/2n, peut lui-même
être considéré comme égal à une somme de signaux sinusoidaux dont les pulsations sont égales à ©, 2&, 3, …
Le fondemental du signal est l'harmonique
de rang 1.
ä, sin (œt + p,) est le fondamental du signal,
ü, sin (2œt + o) est l’harmonique de rang 2,
A titre d'information, signalons que les coefficients +, et 8, de l'harmonique de rang k
se calculent à partir des relations suivantes :
$
ä, sin (3œt + o;) est l’harmonique de rang 3,
Remarque
=? |u sin kotdt
:
et
n-2| u cos kot dt.
Leur utilisation n'entre pas dans le cadre
du programme.
Vai+Bi=üù
et
Bi/a
= tan,
Vai+Bi=ü
et Bi/o
= tan p,…
Les deux expressions de x, sont évidemment équivalentes.
m 3.2.2. Expressions simplifiées
a) Le signal présente des alternances positives qui, au signe
près, sont identiques aux alternances négatives (fig. 7.31) :
u(e+5 )= ut
Dans ce cas :
eu =0,
e u, ne contient pas d’harmonique de rang pair.
Fig. 7.31. Exemple d'un signal périodique ne présentant pas d'harmonique de rang pair : signal
alterné.
142
Exemple
u = ü, sin (ot + p,) + 4, sin (3œt + y;) + ü, sin (Sœt + ps).
b) La courbe représentative de u(t) est symétrique par rapport à
l'origine des temps (fig. 7.32) :
u(t)=-u(-t).
Dans ce cas :
eu
=0,
e u, ne contient que des termes en sinus.
Fig. 7.32. Exemple d'un signal périodique dont
l'expression en fonction du temps ne comporte que
des termes en sinus (fonction impaire).
Exemple
u = à, Sin @f + o, sin 2 © + a, sin 3 @t + &, sin 4 I.
c) La courbe représentative de u(t) est symétrique par rapport
au milieu des alternances (fig. 7.33). Si l’origine des temps est
l'instant correspondant à l’un de ces milieux, alors :
u(t)=u(-t).
Dans ce cas, z, ne contient que des termes en cosinus.
Exemple
Fig. 7.33. Exemple d'un signal périodique dont
l'expression en fonction du temps ne comporte que
des termes en cosinus (fonction paire).
L'exemple ci-contre montre que le choix des
fonctions sinus plutôt que des fonctions
cosinus pour la représentation des harmoniques est sans importance.
u = u + BP, cos œt + B, cos 2 œt + B, cos 3 wt+ a, cos 4 œt.
d) La courbe alternée u(t) présente une des symétries précé-
dentes.
— Si l’origine des temps est l'instant
passage par zéro du signal (fig. 7.34) :
correspondant
à un
u = à, sin &f
+ o, sin 3 @f + œ; Sin 5 @f + …
Par exemple, dans le cas de la courbe (f) de la figure 7.34,
cette expression s'écrit exactement :
Le
7 1
Le
EX
U
u = à sin œt — — sin 3 @t + — sin 5 of - — sin 7 wI.
9
2,5
49
— Si l’origine des temps est l'instant correspondant à l’un des
milieux des alternances (fig. 7.35) :
TA
10"
u = B, cos wt + B, cos 3oœt + B; cos Sœot + …
3.3. Analyse temporelle
m 3.3.1. Grandeurs caractéristiques d'un signal périodique
Fig. 7.34. Exemple d'un signal périodique dont
l'expression en fonction du temps ne comporte que
des termes en sinus de rang impair.
Les grandeurs caractéristiques d’une tension périodique sont :
e sa fréquence f,
e sa valeur maximale #,
e sa valeur moyenne 4 définie par la relation :
t+T
T=7 [. u(t)dt,
e sa valeur efficace U définie par la relation :
to+T
U? =. [
Fig. 7.35. Exemple d'un signal périodique dont
l'expression en fonction du temps ne comporte que
des termes en cosinus de rang impair.
ut) dt.
t, est un instant quelconque.
La détermination de f, #, 4, U est l’analyse temporelle de la
tension 4.
143
æ 3.3.2. Mesures
Des appareils de mesure fournissent les valeurs des grandeurs électriques caractéristiques d’un signal périodique (voir
1" F2-3-5) :
e un oscilloscope ou un fréquencemètre permet la mesure de
sa fréquence;
e un oscilloscope permet de relever la valeur maximale d’une
tension; certains appareils numériques indiquent également les
valeurs maximales;
e un appareil numérique en position «continu»
valeur moyenne # du signal;
indique la
e un appareil numérique R. M.S. en position :
— «alternatif AC + DC» indique la valeur efficace U du
signal,
— «alternatif AC» indique la valeur efficace U, de sa composante alternative.
Remarques
1° Une tension périodique x peut s’écrire sous la forme :
u=uUu+uU,
ce qui entraîne : u?=u?+2uu, + ui.
Si U est la valeur efficace de , alors :
U2=u2
D'où :
Comme
U?= u2+2uu,
+ ul.
, est une composante alternative :
U,— =
a ME
ST 8
d’où :
U? = u? + Uï.
2° Ce résultat peut être étendu au cas d’une tension # pouvant
être assimilée à la somme de plusieurs tensions sinusoidales de
fréquences différentes :
U=U
nous écrirons :
+
+U3
+ Ua,
U2=
U? + U2 + U3 + Ui.
U, U,, U,, U, et U, étant respectivement les tensions efficaces
des tensions instantanées u, u,, U>, U3 et Us.
3.4. Analyse fréquentielle
Fig. 7.36. Analyseur de spectres.
144
L'analyse fréquentielle d’un signal périodique est la détermination de la fréquence et de l’amplitude du fondamental et des
harmoniques de ce signal. Cette analyse peut être faite directement au moyen d’un analyseur de spectre (fig. 7.36).
A titre d'exemple nous allons faire l’analyse fréquentielle (ou
spectrale) d’un signal en créneaux symétriques. A la place d’un
analyseur de spectres nous utilisons un filtre sélectif programmable à commutation de capacités.
Fig. 7.37. Montage utilisé pour l'analyse spectrale >
d'un signal en créneaux.
R=R,=
47
k0,R,= 1 kQ.
u, provient de la sortie T. T.L. (0/5 V) d'un G.B.F.
u, est la tension à analyser : choisir par exemple
une tension symétrique en créneaux d'amplitude
1 Vet de fréquence f,= 100 Hz.
u, est la tension de sortie du circuit.
Pour la détermination du spectre de fréquences, il
suffit de chercher chaque fréquence f,, du signal
d'horloge pour laquelle la tension de sortie u, est
sinusoidale. La fréquence de l'harmonique de rang
k qui lui correspond est f,“ls: dans le cas de
notre exemple, le fondamental (harmonique 1) est
obtenu pour f,,,= 10 kHz, l'harmonique de rang 3
19
pour t,3= 30 kHz, …
It
A2
15
Remarque : si l'on dispose d'un circuit MF 10 qui
est un double MF 5, mettre les deux montages en
cascade : il est possible d'obtenir un spectre de
fréquences plus large et de meilleure qualité (voir
T. P. 3).
m 3.4.1. Montage
Le montage de la figure 7.37 est alimenté sous +35 V. A
l'entrée d’horloge du circuit intégré, est appliquée une tension
en créneaux carrés (0,5 V) provenant, par exemple, de la sortie
T.T.L. d’un générateur B.F. La fréquence de cette tension est
connue et réglable. La tension d’entrée ,, dont nous effectuons
l'analyse spectrale, peut être fournie par un autre générateur
B.F. Nous visualisons simultanément la tension de sortie w, du
circuit intégré et la tension d’entrée w, à analyser.
m 3.4.2. Mode opératoire
Nous faisons croître la fréquence f, du signal d'horloge en
partant d’une valeur assez faible (f; < 100).
L’amplitude de la tension de sortie varie avec cette fréquence.
Elle est nulle sauf pour certaines valeurs particulières de fx :
lorsque la fréquence du signal d’horloge est égale à 100 fois la
fréquence de l’un des harmoniques de la tension d’entrée, cette
tension de sortie est alors sinusoïdale : elle est l’image de cette
composante. Il est ainsi possible de déterminer la fréquence et
l'amplitude de chaque harmonique, donc le spectre du signal
(fig. 7.38).
La fréquence f, est la fréquence du fondamental (c’est aussi la
fréquence de la tension en créneaux).
m 3.4.3. Conclusion
%
5
% Y 1
Fig. 7.38. Spectre d'un signal en créneaux carrés
symétriques.
Nous pouvons remarquer :
— que le spectre ne comporte
impair (fo; 3/0; 5/0:++),
que des harmoniques
de rang
|
que les amplitudes des harmoniques décroissent au fur et à
est l'amplitude du fondamesure que le rang s'élève; si
—
145
Si un quadripôle contient un ou plusieurs
éléments non linéaires, il introduit une distorsion.
On évalue la distorsion d'un signal périodique par le rapport entre la valeur efficace
U, de l'ensemble des harmoniques et la
valeur efficace U, du fondamental : c'est la
distorsion totale d, (appelée aussi taux de
distorsion) du signal :
OA
U,
avec
U,=VU3+U3+U$ +.
U,, Us, U,, … sont les valeurs efficaces respectivement des harmoniques de rang 2, 3,
ee
mental
nous
trouvons
u
:
à pour l’harmonique
de rang 3 et
|
pour l’harmonique de rang 5.
En mesurant l’amplitude Æ du signal d’entrée et celle #, du
fondamental,
on
constate
que
le rapport
u
Le
+ est voisin
du
rapport :que donne le calcul théorique.
L'analyse fréquentielle nous permet donc de dire que la valeur
instantanée d’une tension en créneaux carrés symétriques est
sensiblement la suivante :
u=
{sin +3 sin (3 Qt + ps)+ sin (5 Qt +ps)+3 sin (7 ot+p»).
T
Travaux pratiques
de
3° Étude de la tension uv? aux bornes de la résistance.
1° Réaliser le montage de la figure 7.39. Un G.B.F.
alimente le circuit R, C sous une tension en créneaux rectangulaires symétriques. Un oscilloscope
est utilisé pour visualiser la tension w aux bornes
du condensateur et la tension #} aux bornes de la
résistance.
Dans le cas où la masse du G.B.F. est reliée à la
terre (comme l’est celle de l’oscilloscope), est-il
possible de visualiser simultanément u, et uR? Si la
réponse est négative, comment faut-il procéder pour
l'étude de u, et de up?
|
e De quelle autre grandeur, cette tension u(t), estelle l’image? A la fréquence de 1 kHz, relever
l’oscillogramme représentant ug(t).
A partir des oscillogrammes de u-(t) et de wg(f)
vérifier que la loi d’additivité des tensions
u = Uc+ UR est respectée.
1. Dipôle R,C alimenté
signaux rectangulaires
par
un
générateur
e En faisant varier la fréquence j, à partir de quelle
fréquence jf, la tension v, est-elle assimilable à des
impulsions dont la largeur à mi-hauteur est infé“à
rieure à
(T étant la période du signal d’entrée)?
100
Visualiser alors le signal de sortie obtenu pour un
signal d’entrée triangulaire à la fréquence /;. Pourquoi ce circuit est-il parfois appelé dérivateur?
2. Dipôle R, L, C alimenté
signaux rectangulaires
par un générateur
de
Dans le montage de la figure 7.40, nous utilisons
une bobine moulée d’inductance ZL = 4,7 mH. La
résistance R est réglable. Le générateur, de résistance interne R,=50 Q, délivre une tension en
créneaux 0-E (0,10 V).
Fig. 7.39.
2° Étude de la tension #- aux bornes du condensateur.
e À la fréquence de 1 kHz, relever l’oscillogramme
représentant #-(f) en précisant les calibres de la
voie verticale et de la voie horizontale.
Vérifier que l’oscillogramme obtenu est compatible
avec les choix de la période T' et de la constante de
temps RC.
e En faisant varier la fréquence f de 100 Hz
à
100 kHz, observer l’évolution de la forme de la
tension #-. À partir de quelle fréquence j,, la
tension we est-elle assimilable à un signal triangulaire? Pourquoi ce cireuit est-il parfois appelé intégrateur?
146
Fig. 7.40
Régler les calibres des voies A et B de l’oscilloscope
pour que cinq carreaux de l’écran représentent 10 V.
e Déterminer expérimentalement à partir de quelle
valeur de R le régime est apériodique.
e Donner
3. Analyse harmonique d’un signal triangulære
à À une
d’un oscillogramme
figure 7.41.
valeur
permettant
semblable
l’obtention
à celui
de
la
Réaliser
le montage
de la figure 7.42. L’amplifi-
cateur opérationnel est alimenté sous +15 V (il
joue le rôle d’un filtre éliminant des composantes
dues au circuit MF 10 et ne provenant pas du signal
à analyser). Le signal d’horloge est un signal pro-
venant
de la sortie T.T.L.
d’un générateur
Avec un autre G.B.F., appliquer à l'entrée
montage, une tension triangulaire symétrique
fréquence /, = 100 Hz et d'amplitude 1 V.
B.F.
du
de
Observer à l’oscilloscope la tension d’entrée u, et la
tension de sortie u,.
Agir sur la fréquence f, d'horloge pour déterminer la
fréquence f, = à et l'amplitude #, de chacune des
fonctions sinusoidales qui composent le signal triangulaire.
Vérifier :
— que les harmoniques ont des fréquences égales à
os Moro
ED hs
— que les amplitudes des harmoniques sont égales
à Los Go/9, Go/25, … &o/(2k+ 1}.
Fig. 7.41.
— Mesurer le temps de montée t, («rise time»),
temps que met la tension , pour passer de 10 % à
90 % de sa valeur en régime permanent.
— Mesurer le temps de réponse t, («settling time »)
à 5 % c’est-à-dire la durée au-delà de laquelle on a :
Représenter sur un papier à graduation logarithmique, en abscisses et en ordonnées, les amplitudes
des composantes en fonction de leurs fréquences.
luc
- El<5 %E.
1297181
14
s1Ssr16N
Fig. 7.42. R=10kQ;R'=270kQ;C=22nF;C
7
18
=1,1nF.
147
Contrôle des connaissances
Quelle est la valeur efficace d’une tension
INDIQUER LA (OU LES) BONNES(S)
RÉPONSE(S)
périodique en créneaux carrés 0/5 V (fig. 7.45)?
Quelle est la tension # aux bornes d’un
condensateur (initialement déchargé) de capacité
C=10nF, après une durée 0 de 10 us, lorsqu'il a
été traversé par un courant d'intensité constante
1= 10 mA?
RES
SV 2 SV
u
STATE
‘
5 V
R:1V;10 V; 100 V; 1000 V.
7.02. | A l'instant / = 0, l'interrupteur K du montage de la figure 7.43 est fermé. Quelle est, à
l'instant { = 0*, l'intensité i du courant traversant le
circuit?
0
Fi
Quelle est la valeur
sion périodique en créneaux
= 5 V/+5 V (fig. 7.46)?
R : 0 A; 0,5 À; 1 A; 2 A.
{
Fig. 7.45.
efficace d’une tencarrés symétriques
R3,N
35% 2 SV LV
u
R=10Q
+5V
Fig. 7.43.
Le condensateur de capacité C = 22 nF du
montage de la figure 7.44 est initialement chargé
sous une tension constante u, = U, = 5 V à travers
une résistance À = 100 Q. Le régime permanent
étant établi, la tension d’entrée à l'instant /=0
prend instantanément la valeur uw, = U, = 15 V. Au
bout de quelle durée 6, la tension aux bornes du
condensateur sera-t-elle égale à 10 V?
R:0,5 us; 1 ms; 1,5 us; 2 ms.
©
SV
Fig. 7.46.
Un voltmètre R.M.S. :
e en position «alternatif
tension u, = 5 V;
een position
U = 3 V.
AC + DC»,
indique
indique
la tension
«continu»,
la
Quelle est la valeur efficace de la composante
alternative de la tension mesurée?
R:8V:6
V;:4 V:2 V.
Fig. 7.44.
L’intensité
À du
courant
traversant
un
circuit R, L série est : i = 0,1 (1 — e- 100), Quelle est
la constante de temps t du circuit R, L?
La figure 7.47 est le spectre de fréquences
d’un signal. Quelles sont l’amplitude et la fréquence
de l’harmonique de rang 3 du signal?
R : 4 V, 300 Hz; 2 V, 500 Hz;
1 V, 700 Hz; 0,5 V, 900 Hz.
R :0,1s; 100 s; 100 us; 10 ms.
Une tension électrique périodique à pour
expression : # = 25 + 10 cos «xt (en volts).
Quelle est la valeur moyenne de cette tension?
RS TL
AUNVS A7 Vs
Ve,
2V
Un circuit électrique est traversé par un
nr
courant d'intensité : i = 2 + 4 sin œt (en ampères).
Quelle est la valeur efficace de cette intensité?
RDA
148
:ZS A: A4"A:3S
A,
100 Hz
Fig. 7.47.
300 Hz
500 Hz
700 Hz
0,5 V
900 Hz
Exercice résolu
L’amplificateur
opérationnel
du montage
de la figure 7.48 est supposé idéal. Il est alimenté
sous + 15 V. On donne :
R =2R'=68 kQ, C = 0,47 uE.
1° Le montage est soumis à une tension d’entrée 4,
sinusoïdale de pulsation ©.
U
1.1. Calculer l’amplification en tension À, Ts en
—e
fonction de R, C, R' et «.
1.2. En déduire la nature du filtre ainsi réalisé.
1.3. Calculer l’amplification 4, obtenue lorsque
É= 0. EFZ,
SOLUTION
1° Étude en régime sinusoïdal
1.1. Calcul de À,
Le dipôle linéaire R, C relie la sortie de l’amplificateur opérationnel à son entrée inverseuse : l’amplificateur fonctionne en régime linéaire. Le montage est
un amplificateur inverseur analogue à ceux étudiés
au chapitre 2. Appelons Z l’impédance complexe du
dipôle R, C.
L’amplification du montage s'écrit alors :
Z
À,
À
R
R et C étant associés en parallèle, utilisons l’admit-
1.4. Quelle est la fréquence supérieure de coupure
du filtre à — 3 dB?
tance
Y = 5 du dipôle : Y = à+ jCo.
D'où
:
2° Le montage est soumis à une tension d’entrée 4,
pouvant s’écrire sous la forme :
A, =
u, = 2 + sin 1 000nt + :sin 3 000rr
+ Èsin 5 000ns + :sin 7 000n.
2.1. Calculer
d’entrée.
le taux
de distorsion
53
A
=
de la tension
2.2. Pour la tension 4,, calculer :
a) la valeur de la composante continue 4,;
Soit.
oit encore
:
-
LPPATT
ER
— + jR'C
printer
P
Ay RRES
R'
1+jRCw
1.2. Nature du filtre
Pour les hautes fréquences, (la pulsation & tend vers
l'infini), le module de À, devient pratiquement nul;
pour les basses fréquences (la pulsation & tend vers
b) l’amplitude #%,, du fondamental;
zéro),
c) les amplitudes %,3, 4, et 4, respectivement des
montage est un filtre passe-bas.
harmoniques 3, 5 et 7.
2.3. Un oscilloscope permet la visualisation de la
tension de sortie. En l’absence de tension, la trace
est un trait horizontal situé au milieu de l’écran.
a) Qu’observe-t-on sur l’écran lorsque le commutateur de la voie utilisée est sur la position DC et que
le calibre choisi est de 1 V/carreau ?
b) Donner, en le justifiant, un nom à ce montage.
:
le module
de À, est maximal
Éxe, : le
1.3. Calcul de 4
Lorsque f = 0 Hz, «© = 2xf= 0 rad/s.
Dans ces conditions :
R
A, see
ER
Comme R = 2R', nous obtenons : |A,0 = —2
1.4. Fréquence de coupure à — 3 dB
<
R
Remplaçons, dans l’expression de À,, — R par A
1
et ——
Re
par &,; nous obtenons :
1
A,
Ev = A,vO
&::
:
RS
6
La fréquence de coupure f. à — 3 dB est la fréquence
pour laquelle :
Dans ces conditions :
Fig. 7.48.
V2 - A/1+ Gel avec &, = 2nf..
©
149
Soit après simplification : &@, = @o.
D'où
de
Soit :
|
= ——.
:
üs = 40 ———
à.
Le RC
Application numérique
| z > [60H
=5 Hz]
1
a
Lee
La
2° Étude en régime non sinusoïdal
2.1. Taux de distorsion de z,
La valeur moyenne de la tension d’entrée est :
u. = 2 V.
Le fondamental de cette tension est #, = sin 1 000xf
(valeur efficace U, = _ fréquence f, = 500 Hz).
2
La tension d’entrée est formée des harmoniques de
rang
3
Fe
get
3V2
|
Us = ——, f; = 2500 He)
sV2
U, =
à He), de
rang5
et
rang 7
de
2
c) Amplitudes des harmoniques de 4,
Pour l’harmonique de rang k, le montage se com-
porte comme un amplificateur d'amplification À,%,
valeur de À, pour la fréquence f, (k = 3 ou 5 ou 7).
L’amplitude de l’harmonique de rang k de la tension de sortie se déduit de celle de l’harmonique de
même rang de la tension d’entrée, par la relation :
üsk = lAxl Uk
Awl=l4v0
Nous présentons
tableau :
les résultats
sous
la forme d’un
2
l
Ga)" (a) 6)
v2
> |d,= 41,4 %
2.2. Analyse de la tension de sortie
Le montage fonctionne en régime linéaire. La tension de sortie peut s’écrire sous la forme :
u= U;+ Us Sin (1000xt+ p,)+ u,3 sin (3000nt+ p;)
+ us Sin (S000nt + p;) + u,, sin (7000nt + >).
a) Valeur de la composante continue x,
Vis à vis de la composante continue le montage se
comporte comme un amplificateur d'amplification
A0:
La composante continue %, se déduit de la composante 4., par la relation :
Us a Ayo ue.
n= C2 DV s E=-sv)
Application numérique
b) Amplitude du fondamental de u,
Pour le fondamental, le montage
se comporte
comme un amplificateur d'amplification À,,, valeur
de À, pour la fréquence /; = 500 Hz (ou pour la
pulsation &, = 10007 rad/s).
L’amplitude du fondamental de u, se déduit de celle
du fondamental de u., par la relation :
üs E l4,18.
150
2
1 + ee
5
dE
Application numérique
d,=
_x1lvel&-20410 2%
|
VU2
s
x 17
Hz |.
TV 7v2
s
ü,=12
Avec :
Î
——, f; = 3500
Le taux d, de distorsion est le rapport entre la valeur
efficace U, de l’ensemble des harmoniques et la
valeur efficace U, du fondamental.
Soit
Application numérique
fi. (H?)
f. (H?)
ia W)| 033 | 020 | "014
2.3. a) Oscillogramme de u,
Comparons
u, et üs en effectuant le rapport LR >
Œ,
4
Usi
(20 : 107 +)
re
ü, = — 200.
Ne
Usi
L’amplitude du fondamental est négligeable devant
la valeur moyenne %,. Les amplitudes des harmoniques étant encore plus faibles, nous pouvons donc
écrire :
US U,=—-4 V.
Sur l’écran de l’oscilloscope, nous observons une
trace horizontale située quatre carreaux plus bas que
le milieu de l’écran (car le calibre est 1 V/carreau et
la tension est négative).
2.3. b) Nom du montage
La tension de sortie est égale à — 2 fois la valeur
moyenne de la tension d’entrée. Le montage permet
donc d’obtenir une valeur amplifiée et inversée de
la tension moyenne d’entrée : c’est un amplificateur
inverseur moyenneur.
Exercices à résoudre
La figure 7.49 représente une
périodique u en triangle, unidirectionnelle.
1° Le montage
tension
de la figure 7.51. est
soumis à une tension d’entrée continue
w, = 5 V.
1° Donner l'expression de u lorsque :
Lorsque le régime permanent est établi, quelles sont
les valeurs :
T
LUC
=
1PE
PIN9 [7]
1.1. de la tension , aux bornes du condensateur?
NE
1El—,T|.
1.2. de la tension w?, aux bornes de la résistance R,
sachant que R, = R,?
1.2.
e[r.7]
2° Pour la tension
1.3. de la tension de sortie u,?
calculer :
2.1. la valeur moyenne w,
2.2. la valeur efficace U,
2.3. la valeur efficace U, de la composante alternative.
2° À un instant choisi pour origine (f= 0), la tension 4, prend instantanément la valeur — 15 V.
2.1. A l'instant { = 0*, quelles sont les valeurs des
tensions :
a) uc?
b) ur:?
c) u,?
2.2. R, = R;=2,2 kQ, C=0,1 HF.
Au bout de quelle durée peut-on considérer que le
régime transitoire est achevé?
3° Représenter l’évolution
fin du régime transitoire.
de u,(f) du début à la
à1 ES A
un
Fig. 7.49.
La cellule R, C (R = 2,2 kQ, C= 15 nF) de
la figure 7.50 est soumise à une tension en créneaux
carrés 0-10 V de fréquence f = 1 kHz.
Un oscilloscope permet la visualisation de la tension d’entrée v, et de la tension de sortie y,.
Représenter les oscillogrammes des tensions v.(1) et
de v,(t) :
1° lorsque l’interrupteur K est ouvert,
2° lorsque l’interrupteur K est fermé ( la diode étant
considérée comme idéale).
Fig. 7.51.
Pour le montage de la figure 7.52, à l’instant {= 0, l'interrupteur K est fermé.
l'a
R
K
R
Fig. 7.50.
Fig. 7.52.
151
1° Montrer que l'intensité ; du courant traversant la
bobine est la solution de l’équation différentielle
suivante :
30V
na Lun
dt
2° La solution de cette équation peut s’écrire :
i(t)=A(1 -e Pr),
2.1. Exprimer À et B en fonction de E, R et L.
2.2. Calculer À et B lorsque
et L= 10 mH.
E = 10 V,
R=100 Q
Un condensateur de capacité C =0,1 uF
Fig. 7.54.
initialement chargé sous une tension continue
E = 10 V est branché aux bornes d’un circuit R, L
série (R = 10 Q et ZL = 0,1 H) à l'instant = 0.
à
1° Donner la relation liant x, 2e et +.
dt
dr?
2° L’intensité du courant traversant le circuit a pour
Énpee (sin100
T
expression :
i = Ae7
2.1. Quelles sont les expressions de À, k, © et op?
numériques
sin 300 xt
. :sin OUR ;sin 900n/ }
cos (œt + @).
2.2. Quelles sont les valeurs
o et o?
3
de À, k,
1° Écrire l'expression de la puissance
dissipée dans la résistance R.
instantanée
2° Dans cette résistance, quelle est la puissance
moyenne apportée par le fondamental et celle
apportée par chaque harmonique du courant?
Nota : utiliser les résultats du paragraphe 2.3.1.
Quelle est la valeur efficace de l'intensité
1(£) du courant triangulaire de la figure 7.53?
3° Quelle est la puissance moyenne
dans la résistance?
totale dissipée
4 En déduire la valeur efficace 7 de l’intensité 1?
5° Calculer le taux de distorsion de l’intensité 1?
L’intensité du courant traversant un circuit électrique peut s’écrire sous la forme :
i=1+2
sin 312 sin 3m
+ 2 sin 5 nt
+ sin Tnt.
1° En utilisant une calculette, construire point par
point la courbe i(t) sur une période.
2° Quelle est la forme de la courbe obtenue?
37% Calculer:
Fig. 7.53.
a) la valeur moyenne : i,
b) la valeur efficace : Z,
Pour la tension
figure 7.54, calculer :
représentée
sur
la
c) la valeur efficace de la composante alternative :
ÿ:Fe
1° sa valeur moyenne,
4° Quel est le taux de distorsion de l’intensité?
2° sa valeur efficace.
5° Représenter le spectre de fréquences?
152
Chapitre 8
CIRCUITS LINÉAIRES,
CIRCUITS NON LINÉAIRES
EN RÉGIME PERMANENT
e Les circuits électriques peuvent être classés en deux catégories :
— les circuits linéaires constitués d'éléments à caractéristique
linéaire (résistances, condensateurs, bobines non saturables,
circuits intégrés linéaires) ou d’éléments à caractéristique non
linéaire utilisés dans un domaine de tensions où leur fonctionnement est linéaire (diodes, transistors);
Fig. 8.01. Quadripôle R, C (R est un potentiomètre de 10 k, C = 0,22yuF) :
— Jes circuits non linéaires comportant un ou plusieurs éléments à caractéristique non linéaire (diodes, transistors), éventuellement associés à des éléments à caractéristique linéaire.
e À partir de quelques exemples, nous nous proposons :
— de montrer l'influence de la nature d’un circuit sur les
signaux électriques qui peuvent être obtenus,
— d'étudier des quadripôles fonctionnant en amplificateur
de puissance.
M 1. CIRCUITS LINÉAIRES
1.1. Quadripôle À, C
m 1.1.1. Expérience
a) Montage
Le générateur de fonctions du montage de la figure 8.01 délivre
une tension en créneaux carrés 0 — E (E = 10 V). La fréquence f
d'utilisation est réglée à 1 kHz. A l’oscilloscope visualisons la
tension d’entrée u, et la tension de sortie u, du quadripôle R, C.
b) Observations
e Pour une faible valeur de la résistance réglable R, la tension
de sortie est analogue à celle obtenue lors de l’étude des régimes
transitoires (succession de charges et de décharges exponentielles : voir chapitre 7). La valeur moyenne de cette tension
ondulée (fig. 8.02) est égale à :
Fig. 8.02. Tension de sortie d'un quadripôle R, C
dont la constante de temps RC est petite devant la
période de la tension d'entrée en créneaux.
E
u=—=S
"I
V.
153
e Si la résistance R et réglée à sa valeur maximale (10 kQ), la
tension de sortie est alors pratiquement triangulaire (fig. 8.03) :
;
:
E
c’est encore une tension ondulée de valeur moyenne 5:
m1.1.2. Analyse du signal u,
Fig. 8.03. Tension de sortie d'un quadripôle R, C
dont la constante de temps RC est grande devant la
période de la tension d'entrée en créneaux.
Dans ce cas, on peut négliger u, devant RC _ , et
l'on a sensiblement, pour la partie variable :
du
u, = RC —<.
:
dt
On vérifie que les expressions de u, et de u, en
Nous utilisons un analyseur de spectres pour réaliser l’analyse
spectrale de la tension de sortie , (fig. 8.04) et de la tension
d’entrée u, (fig. 8.05).
Quelle que soit la valeur de la résistance R nous constatons que
les harmoniques de la tension de sortie ont les mêmes
fréquences que les harmoniques de la tension d’entrée. Seules
les amplitudes (dont l’analyseur nous indique les valeurs) et les
phases (à propos desquelles il ne nous fournit aucun renseignement), sont différentes : Le circuit linéaire R, C ne crée pas
d'harmoniques : il modifie seulement l'amplitude et la phase de
ceux qui existent dans le signal d'entrée.
fonction de leurs harmoniques satisfont à cette
équation.
Exemple (en nous limitant aux quatre premiers harmoniques)
e Tension d’entrée en créneaux :
us
+ À (sint+2 sin CÔTE CT Sites
Ne:
ï
&
3
7 œt |.
e Tension de sortie triangulaire, pour RCo > 1 :
LS
(cosot+e cos 3 Ot+ > COS 5 Qt + cos To),
Analyseur
de
spectres
1.2. Conclusions
Fig. 8.04. Analyse du signal de sortie u.
Nous savions déjà que lorsque nous appliquons, à l’entrée d’un
circuit linéaire, une tension sinusoïdale w,
Lu, = À, sin (œt + p.)],
Analyseur
de
spectres
Fig. 8.05. Analyse du signal d'entrée u..
Pour l'analyse spectrale de la tension u, et
de la tension u,, il est possible de reprendre
le montage de la figure 7.42; utilisant le
circuit MF 10.
154
la tension de sortie u, est sinusoïdale, de même fréquence, et
que seule son amplitude Ü, et sa phase y, diffèrent de celles de
u, : U, et o, dépendent de la pulsation & de u,.
Nous savions également que lorsque x, est périodique (de
période T'=2x/œ) mais n’est pas sinusoidale, elle peut être
considérée comme une somme de tensions sinsuoïdales de
pulsations multiples de & (ici : ©, = ©, «, = 36, etc.). Nous
pouvons donc comprendre que le circuit linéaire agit sur
chacune de ces tensions et en modifie l'amplitude et la phase de
manière différente selon leur pulsation. La somme de ces
différentes composantes, modifiées par le circuit linéaire, constitue le signal de sortie dont la forme est donc différente de celle
du signal d’entrée. Cela explique qu'avec un circuit linéaire, les
modifications apportées ne concernent pas les fréquences des
harmoniques. On dit qu’un circuit linéaire «ne crée pas
d’harmoniques ».
Dans le cas d’un circuit linéaire :
e à un signal d’entrée sinusoïdal correspond un signal de sortie.
sinusoïdal;
e à un signal d’entrée non sinusoïdal correspond en général un
signal de sortie non sinusoïdal. Les fréquences des harmoniques
qui composent ce dernier sont les mêmes que celles des harmoniques du signal d’entrée (certaines peuvent être absentes).
m2. CIRCUITS NON LINÉAIRES
Fig. 8.06. Montage équivalent à une diode sans
seuil:D,, D,:1N4148;À : TLO81.
u,>0, le courant d'intensité i passe nécessairement par D, qui conduit, et u,=u,, car & est
négligeable.
La tension u, ne peut être négative. Si u,<0,
u,= 0 : la diode D, est bloquée, D, conduit et
empêche la tension \ de prendre la valeur -V....
De ce fait on a :u,= p.p.(u.).
2.1. Expérience 1
m2.1.1. Montage
Le montage utilisé (fig. 8.06) est équivalent à celui de la
figure 8.07 si la diode D est supposée parfaite (diode sans seuil).
La caractéristique de transfert, u,(u.) (fig. 8.08) est non
linéaire :
e u, <0, alors u, = 0;
e u. > 0, alors u, = u..
La tension u, est égale à la partie positive de w, :
Us = D.p. (we).
Appliquons à l’entrée du montage une tension sinusoïdale u,
d'amplitude U, = 2,0 V et de fréquence f = 1,0 kHz :
u, = Ü, cos wt.
Fig. 8.07. La diode D présente en général un seuil
V.. De ce fait, siu,>0,onau,=u,-V..
& 2.1.2. Observations
La tension de sortie , = p.p.(u.) obtenue (fig. 8.09) est une
tension redressée monoalternance. Son spectre, limité à sa
valeur moyenne et à ses trois premiers harmoniques, est donné
sur la figure 8.10. Avec l’origine des temps choisie
figure 8.09, l'expression de u, est :
us
sur la
(1+3 cos Qt + Àcos 2 &t - À cos st).
Fig. 8.08. Caractéristique de transfert d'un montage diode sans seuil-résistance R,.
Fig. 8.10. Spectre de u, : les phases des divers
harmoniques n'interviennent pas.
Fig. 8.09. u,= p.p.(u,).
Avec une autre origine du temps, l'expression de u, serait différente. Exemple, avec
une origine du temps telle que
u,=Ü, sin ot,
on aurait:
ua (+5sin üt-ÉcosDE cos4ut)
15
Nous constatons que le montage non linéaire utilisé fournit un
signal qui contient bien une composante de même fréquence
f= 1,0 kHz que le signal d’entrée (harmonique fondamental,
d'amplitude 1,0 V), mais qui comprend en plus :
e une
composante
continue
(c’est la valeur
moyenne
u, = Ga 0,64 v}ce qui se traduit, sur l’écran de l’analyseur de
us
spectres par l'apparition d’une raie à la fréquence zéro;
155
e d’autres
harmoniques,
de fréquences
respectives
2/, 4f et
d’amplitudes 0,42 V et 0,08 V.
2.2. Expérience 2
m 2.2.1. Montage
Il est donné sur la figure 8.11. A l’aide du redresseur sans seuil,
déjà utilisé précédemment, nous redressons la tension composite v, = e, + e,, obtenue à l’aide d’un premier étage qui est un
sommateur. Les tensions e, et e, ont pour expressions respectives :
e,=E sin œt,
avec
e, = E, sin (@;t+@),
E =2,0 V et f=5=1.0KHz
avec
E,=2,0V et Enr
kHz.
Fig. 8.11. Par application du théorème de super- >
position on à :
EE
e,+e
2;
Donc :
v,=vt +Ri=vt +v* =2v*.
Vo=6; re.
Vs = P.P. (Ve).
Sommateur
Diode sans seuil
& 2.2.2. Observations
Le spectre de la tension v. (fig. 8.12) contient deux raies qui
correspondent aux tensions e, et &.
Le spectre de la tension v, (fig. 8.13) dépend beaucoup
amplitudes E, et E, (nous les avons choisies égales).
Fig. 8.12. Spectre de v,()=e,+e, : les deux
composantes de v, ont même amplitude, mais leurs
Il comprend des raies de fréquences /, et f,, présentes dans le
spectre de v., des raies de fréquences 2/, et 2/, (donc des
multiples de /, et fi), et des raies dont les fréquences sont des
fréquences sont dans le rapport 10.
combinaisons de ji et f, (exemple : jf, + 3, 27, - 2j, etc.).
Fig. 8.13. Spectre de v..
dé
Ce spectre fait apparaître des groupes de fré-
quences :
e Proches def, : et 2f..
e Proches de f, : f,-3f,, f,-f,, f,, f.+f,,
f,+ 9f,.
e Proches de 2, : 2f,- 2f,, 2f,, 2f,+ 2f..
e Proches de 3f, : 3f,-3f,, 3f,-f,, 3f,+f,,
3f,+ 3,
156
des
7 %,d! 13
18 20 22
27
.30,:33 =f{KEEES
Fig. 8.14. Quadripôle non linéaire.
Fig. 8.15.
Fig. 8.16.
2.3. Expérience 3
m 2.3.1. Montage
Dans le montage de la figure 8.14, la tension d’entrée w est
fournie par un générateur B.F. La diode D est une diode assez
lente : 1N 4007. L'une des voies de l’oscilloscope permet la
visualisation de la tension d’entrée, l’autre, branchée aux
bornes de la résistance de 100 Q, permet d’observer l’intensité À
du courant traversant le circuit.
1
i premier
té ii se compose d'un
L'i
Fig.
1g. 8.8.17. L'intensité
,
f
|
terme de fréquence
d'entrée, mais
sous-harmonique du signal
qui constitue le fondamental de i.
\
Donc i a pour fréquence r.
& 2.3.2.
2
Observations
La tension sinusoïdale # a une fréquence /, = 76 kHz.
=
er UEUSEVe
Nous constatons que l'intensité à (fig. 8.15) est une grandeur
périodique de fréquence # = 76 kHz.
eo OV
i est
une
VEN,
grandeur
périodique,
mais
sa
fréquence
devient
L- 38 kHz (fig. 8.16) : son spectre (fig. 8.17) contient une raie
de fréquence 38 kHz qui est un sous-harmonique, une autre de
même fréquence que celle du signal d’entrée u (fondamental),
et d’autres, de fréquences multiples de f/2 (harmoniques).
sel"
f
La fréquence de i devient : = 19 KHz (fig. 8.18); son spectre
(fig. 8.19) s’est enrichi, le circuit a créé des sous-harmoniques
supplémentaires.
Fig. 8.18.
“ Remarque:
La création de sous-harmoniques par un
système non-linéaire, sans être unique, est
tout de même assez rare.
Fig. 8.19. Pour Ü > 1,5 V, il peut arriver que
l'intensité ine soit plus périodique (chaos). La capacité interne de la diode 1N4007 joue un rôle
essentiel et complexe. lci i a pour fréquence
f,/4=19 kHz.
2.4. Conclusions
Les observations précédentes peuvent être généralisées :
Dans le cas d’un circuit non linéaire :
e à un signal d’entrée sinusoïdal de fréquence f correspond un
signal de sortie non sinusoïdal comportant des harmoniques, et
même, parfois, des sous-harmoniques ; la présence d’une composante de fréquence f n’est pas certaine.
e à un signal d’entrée non sinusoïdal correspond un signal de
sortie non sinusoïdal. Le spectre de ce signal de sortie fait
apparaître des fréquences différentes de celles des harmoniques
du signal d’entrée.
M3. AMPLIFICATEUR DE PUISSANCE
Alimentation
Amplificateur
de
Puissance
Fig. 8.20. Schéma synoptique.
238127)
(uonestqnn)
Entre la source prévue pour fournir le signal de commande et la
charge (haut-parleur, moteur, …) à alimenter, il faut souvent
placer un amplificateur de puissance, quadripôle destiné à
délivrer la puissance nécessaire au fonctionnement de la charge.
Nous nous limitons à l’étude des amplificateurs de puissance
à transistors.
3.1. Caractéristiques
M 3.1.1. Amplification
a) Amplification en puissance À,
C’est le rapport de la puissance de sortie P, et de la puissance
d'entrée P, (fig. 8.20) :
A, QUE
= P.
b) Gain en puissance G,
Il est défini par la relation :
G,= 10184;
Le gain s’exprime en décibels (dB).
c) Rendement 7
C’est le rapport de la puissance de sortie P, et de la puissance
totale (P;+ P.) reçue par le montage, P. désignant la puissance
fournie par l’alimentation :
En
TT P+P)
En général, la puissance d’entrée P. est négligeable devant la
puissance P; et nous pouvons écrire :
n gEs
P.
m 3.1.2. Distorsion
Lorsque l’amplificateur fonctionne en régime non linéaire, à un
signal d’entrée sinusoïdal correspond un signal de sortie non
sinusoidal mais cependant périodique : il y a génération
d’harmoniques.
158
Appelons respectivement S,, S,,…., S,, … les valeurs efficaces
des harmoniques 1, 2, …, k, … du signal de sortie (rappelons
que l’harmonique 1 est le fondamental).
À l’harmonique de rang k correspond le taux de distorsion 4,
qui est le rapport de S, et de S, :
A un signal périodique de sortie correspond le taux de
distorsion total d qui est le rapport de la valeur efficace de
l’ensemble des harmoniques autres que l’harmonique 1 et de
1 :
d.=
t
Fig. 8.21. Amplificateur de classe À.
Exemple : Transistor NPN2219,
R=14K0, R-100k0,
P=220k0, V,=30V
e Le condensateur de capacité y est un condensateur de liaison.
Il évite une modification de la polarisation du transistor. Sa capacité a une valeur telle qu'aux fréquences utilisées son impédance est faible : la
chute de tension provoquée par le condensateur
est négligeable.
VS3 +53 +... +52 +.
S,
Soit en utilisant les taux de distorsion harmonique :
d=Vd3+d3+...+d1+.…
3.2. Amplificateur de classe À
m3.2.1. Expérience
Réalisons le montage de la figure 8.21. Un G.B.F. fournit une
tension w, sinusoidale. Un oscilloscope permet la visualisation
des tensions u, et Vc.
a) Polarisation du transistor
La tension continue d’alimentation .. est choisie égale à 30 V.
En l’absence d’une tension sinusoïdale d’entrée, le potentiomètre P est réglé à une valeur permettant l’obtention du point
de repos S, suivant (fig. 8.22) :
e tension collecteur-émetteur V9 = 15 V (lue à l’oscilloscope),
e courant de collecteur d'intensité Z,, = 15 mA (lue sur l’ampèremètre).
Fig. 8.22. Droite de charge.
Ce point S, se trouve à l'intersection de la caractéristique
I(Ver) pour la valeur 74, de l’intensité du courant de base et de
la droite de charge d’équation :
Re
Re
(Cette équation est obtenue en appliquant la loi d’Ohm au
circuit de sortie : PV, = vœ + Rcic.)
Notons que le point S, choisi se trouve au milieu du segment
(S,S:). En effet :
V
k
VCÉ
Notations utilisées :
lc, Ve Sont des grandeurs variables dans
le temps.
Îco, Voso Sont des grandeurs constantes
dans le temps : ce sont aussi les composantes continues de k, VcE:
la, Vera Sont les composantes alternatives
ke, VE:
Fa
> =
lo
5Re
b) Régime variable
Le réglage précédent étant conservé, une tension sinusoidale de
faible amplitude est appliquée à l'entrée du montage. Sur
l’oscilloscope nous observons que la tension w et l’intensité ic
sont des grandeurs ondulées : tout se passe comme si des
composantes sinusoïdales, que nous appellerons vor; €t ic, S€
superposaient aux grandeurs de repos, respectivement Voro et
Ico
Vce = Voro + Vcta
Üc = Loco + lca159
Le point de fonctionnement se déplace de part et d’autre deS,
sur la droite de charge.
Ajustons l’amplitude de u, pour que la composante alternative
Ver de væ ait la plus grande amplitude possible. Dans ces
conditions, l’amplitude de la composante alternative à, de ie
est également maximale.
La représentation de la figure 8.23 correspond à un transistor
idéal. L’amplitude de la composante alternative »+, de la
vx, ne peut dépasser Ve (soit 15 V dans l’exemple
2
choisi) et celle de la composante alternative :,, de l’intensité du
tension
À
7%.
TAG
courant traversant R« ne peut pas être supérieure à 5R
Le
Fig. 8.23. Amplitudes maximales des compo-b>
santes alternatives de l'intensité i. et de la tenSiON Vos
Dans la réalité, pour éviter un écrêtage de v, nous n’avons pu
dépasser er, = 13 V.
Remarque
A un instant f, la relation traduisant
circuit de sortie, peut s’écrire :
la loi d’'Ohm
pour le
Ve = Vocro + Vcra + Reco + éca).
LU De
Donc :
Ve = Voro + RclooVcEa = — Reica = — Usa
La composante alternative x, de la tension aux bornes de la
résistance de charge R- a donc même amplitude que ve,
(sa = Vers) Mais ces tensions sinusoidales sont en opposition de
phase (fig. 8.24). Pour cette raison nous pouvons considérer
que la tension de sortie du montage est vs.
160
m3.2.2. Bilan énergétique
L’intensité du courant de base peut être négligée devant
l'intensité À. du courant dans R«-. Dans ces conditions, l’intensité z du courant fourni par l’alimentation est égale à i..
e Sans tension sinusoïdale d’entrée
— L'alimentation continue fournit une puissance :
Pl 3
soit ici :0P, =
—
cc
pe co
Es} CE)
(450 mW dans notre exemple)
2Rc
P
.
2Rc)
La puissance dissipée dans la résistance de charge Rc est :
y?
P,0 =
(soit 225 mW
Rel2 = 4Rc—<
CÆc0
dans notre exemple).
e Avec une tension sinusoiïdale d’entrée
—
L'alimentation continue fournit une puissance instantanée :
D= RTE VIS
P= Va (Loo + ic):
soit :
La composante alternative à, de l’intensité 7. est sinusoïdale.
Posons :
ica = Lo Sin ©! = Le, V2 sin œt.
La puissance moyenne fournie par l’alimentation est égale à :
T
T
Il
2
T
l
[
cc LC
l
r
|
cc
{C0
:
&
|
le
La valeur moyenne d’une fonction sinusoidale sur une période
est nulle :
V.
—<<
Fé
À ICa
dt = 0.
V2
’où :
D'où
Fig. 8.24. Tensions u,, U, et V.- du montage
amplificateur de classe À.
—
P=P=V,.Ilo=—<.
0
c/C0 7 7 Re
La puissance instantanée dissipée dans la charge Rç est :
p'=Rcié.
La puissance moyenne correspondante est égale à :
Pa = Re EP
Icer est la valeur efficace de l’intensité 1e :
521072
2
Léer = Léo + Léa
ete
À,
(voir figure 8.24).
avec :
I,=—Æ-=—"—
D'où : 1
CR (72% 12) = Ro(ns + 7
ES
D'où :
MUORUS
eV
1
FE
prVé,
4Re
TPE
2Rc
ü?,
PLIS
2Re
161
e Rendement
La puissance utile P, est égale à :
P$= PE
ë
Le
Fe
Ps =
*
RP;
ü2
—=
T2R
En négligeant la puissance d’entrée P, (fournie par le G.B.F.),
la puissance fournie au montage est égale à :
Le rendement
suivante :
du montage
est donc
donné
par la relation
Fig. 8.25. Amplificateur de classe A avec transformateur.
Pour améliorer le fonctionnement du montage, un dipôle, formé par l'association en
parallèle d'une résistance ÆA- et d'un
condensateur de capacité C-, est branché
entre l'émetteur E et la masse M.
C’est une valeur théorique.
M 3.2.3. Conclusions
e Le fonctionnement en classe A présente l'inconvénient de
consommer de la puissance électrique même en l’absence d’une
tension d’entrée.
V
e Le rendement maximal théorique est obtenu pour ba 17cc
(cas de la figure 8.23) :
Le rendement maximal réel est encore
environ pour notre expérimentation).
plus
faible
(20 %
Remarque
L'utilisation d’un transformateur dans le circuit de sortie du
transistor (fig. 8.25) permet d’atteindre un rendement théorique
maximal de 50 % (voir exercice 8.10).
3.3. Amplificateur de classe B
Fig. 8.26. Amplificateur de puissance de
classe B. (Exemple : T1 transistor NPN 2219, T2
transistor PNP 2905, R=10kQ,
E=10V)
R,= 1000,
Pour éviter la consommation de puissance électrique en
l'absence de tension d’entrée, il suffit de placer le point de
repos S, du transistor en S, (voir fig. 8.23) : c’est le fonctionnement en classe B. Pour une reproduction fidèle de la
tension d’entrée il faut utiliser deux transistors complémentaires (fig. 8.26).
Les résistances R,(1Q) permettent
d'éviter l'emballement thermique.
m 3.3.1. Expérience
En comparant la tension de sortie à la
tension d'entrée, nous remarquons que
U, © U, : il n'y pas d'amplification en tension
(c'est un montage «suiveur de tension»).
L'amplification de puissance, pour ce montage push-pull, est due à une amplification
de courant.
La tension d’entrée , du montage est sinusoïdale.
e Si l'amplitude de la tension d’entrée dépasse 10 V, la tension
de sortie est écrêtée. La valeur de crête ne peut dépasser un
maximum qui traduit la saturation des transistors (fig. 8.27).
162
e Ajustons l’amplitude de , à une valeur qui évite la saturation des transistors. Malgré ce réglage, la tension de sortie
n’est pas sinusoidale (fig. 8.28 : elle présente un palier horizontal à chaque passage par zéro de la tension w,.
u
u,
,
Fig. 8.27. Distorsion de croisement et distorsion
1
Fig. 8.28. Distorsion de croisement.
d'amplitude.
m3.3.2. Interprétation
La jonction base-émetteur présentant un seuil de conduction
(0,6 V environ pour le transistor NPN, — 0,6 V environ pour le
transistor PNP), la caractéristique ,(#.) du quadripôle n’est
pas une droite (fig. 8.30) : cela peut être vérifié expérimentalement en plaçant l’oscilloscope sur la position XY. A partir
de cette caractéristique, qui présente des paliers horizontaux,
nous pouvons retrouver l’allure de la tension de sortie 4,
obtenue expérimentalement : la figure 8.30 illustre l'obtention
d’une tension de sortie présentant une distorsion de croisement
et une distorsion par écrêtage.
Fig. 8.29. Caractéristique de transfert u,(u,) d'un
amplificateur réel.
Fig. 8.30. Construction graphique de la tension
de sortie d'un amplificateur fonctionnant en
classe B en régime saturé.
163
æ 3.3.3. Élimination de la distorsion de croisement
a) Expérience
Pour le montage de la figure 8.31, ajustons l’amplitude de la
tension sinusoidale d’entrée à une valeur donnant une tension
de sortie non écrêtée : cette tension de sortie ne présente plus
de distorsion de croisement.
Fig. 8.31. Élimination de la distorsion de croise- D
ment par montage à amplificateur opérationnel
R;
u,=--2u,.
R;
b) Interprétation
Les deux transistors présentent un seuil de conduction :
e V3 © 0,6 V pour le transistor T,,
e Vy=-0,6
Fig. 8.32. Élimination de la distorsion de croise
V pour le transistor T,.
L’amplificateur opérationnel fonctionne en amplificateur inverseur. Pour des tensions v comprises entre — 0,6 V et + 0,6 V, il
n’y a pas de réaction sur l’entrée inverseuse : l’amplificateur
opérationnel est donc en circuit ouvert. Une tension d’entrée
u., même très faible (quelques microvolts par exemple), suffit
pour que || atteigne 0,6 V les transistors conduisent et la
tension de sortie ne présente pratiquement pas de distorsion de
croisement.
ment par diodes de compensation. R = 4,7 KQ; D,
et D, : 1N4148;R,= 100.
Remarque
Deux diodes convenablement polarisées (fig. 8.32) permettent
également d’éliminer la distorsion de croisement.
8 3.3.4. Bilan énergétique
Nous nous plaçons dans le cas du montage théorique supposé
parfait de la figure 8.33.
e Les coordonnées du point de repos sont :
—
pour T, : Voro = E, Lo = 0;
_——
pour
T;
ä Vcro =-—£E,
TL
=
0.
En l’absence de signal sinusoïdal d’entrée, les alimentations ne
fournissent donc aucune puissance.
e En présence d’un signal sinusoïdal d’entrée, chaque transistor
conduit pendant une demi-période (fig. 8.34).
La puissance fournie au transistor NPN est :
T
T
2
Fig. 8.33. Schéma de principe d'un amplificateur
«push-pull» série.
164
PE
1
2
.
|Ei
E
ar-#
4
x
| lci dt = Ei«
En plaçant dans le circuit de l’alimentation du transistor NPN un ampèremètre
magnéto-électrique (position continue) ou
un ampèremètre numérique en position DC,
il est possible de mesurer {;, et d'en
déduire la puissance fournie aux transistors.
qe.
A
Li Mie
|
k = k Sur l'intervalle oz] Tip
Sur
l'intervalle [7
- 7]
"4
vo
AVEC
%i — =D:
l'en
D
Er
ul
cos at
la Sin œ@t dt==|-———|
td Pal
T
T
=
Ci
Le montage étant parfaitement symétrique, l’alimentation four-
nit la même puissance au transistor NPN et au transistor PNP.
Donc :
P.=2P,=2E "©
T
Dans le cas d’une charge résistive : £a = is= ls.
Ru
D'où :
—
P,.=2E +
TR,
La puissance disponible en sortie est la puissance utile :
pp
SR
rie R
U;
RER
:
soit encore :
ü?
2R
P,=—
C’est une valeur théorique.
Le rendement maximal théorique est obtenu pour à, = E.
Dans ces conditions :
T
Nmax — 4 =
78,5 %
(plus de trois fois le rendement maximal théorique obtenu en
classe A).
Remarques
— Dans le cas où le signal de sortie est à la limite de la
saturation, nous avons obtenu : #4, Æ 14V et à, Æ 46 mA (avec
les composants choisis pour le montage de la figure 8.27) :
PF_ Hs é et LITRES 0.98 W
LR:
(2 x:100)mt
:
Chaque alimentation fournit une puissance Et. La puissance
totale fournie est :
P, = 2Eia = 2 X 15 x 46.107* = 1,38 W.
Le rendement du montage est :
n = 71 %.
Fig. 8.34. Intensités des courants traversant les
émetteurs des transistors :
im =is pourte[0 u
et:
_
i2=-i,
pourte[?,1]
— Pour cette étude sur les amplificateurs de puissance, nous
avons utilisé des transistors bipolaires. Il existe des transistors
M.O.S. de puissance qui peuvent être utilisés à des fréquences
très élevées et qui, du point de vue stabilité thermique, sont
autostabilisés. Il existe également des amplificateurs opérationnels de puissance qui admettent des courants dont l’intensité peut atteindre plusieurs ampères (exemple : TCA 365).
165
Travaux pratiques
1. Diviseur de fréquences
Réaliser le montage de la figure 8.35. Régler la
valeur du potentiomètre P à 10 kQ environ. Le
montage oscille. Vérifier que la tension y, est
sinusoidale et mesurer sa fréquence f (avec les
valeurs proposées, elle est proche de 26 kHz).
Augmenter la valeur de P ; observer à l’oscilloscope
les tensions y, et y.
Mesurer la nouvelle valeur f’ de la fréquence de la
tension », et vérifier que f’ est un sous-multiple de f
( par exemple).
Fig. 8.36.
Lorsque le potentiomètre P a une valeur de 80 kQ,
vérifier que la tension v, comporte de nombreux
harmoniques. Mesurer sa fréquence f” (elle est égale
environ à i)
10V
Fig. 8.35.
2. Circuit multiplieur
2.1. Montrer que le produit de deux fonctions :
u=ü,cos2rfit
et
w=u;+ü,;cos2rpt
ICONE Dur OT SRE VO: rs
MF 10
à
s'écrit sous la forme d’une somme de trois fonctions
sinusoidales :
K cos 2x ji 1+ BEcos 2 (f + ph) t
+2 cos2x(f —-f) t
avec
K=@-metp=2.
2.2. Réaliser le montage
U2
de la figure 8.36. u, est
une tension sinusoidale de fréquence jf, = 5 kHz
et d'amplitude #, = 6 V. u, est une tension périodique de fréquence /; = 2 kHz, de valeur moyenne
u,=4 V, dont
la composante
alternative
w,, est
sinusoidale et a pour amplitude #%, = 3 V.
2.3. Relever les oscillogrammes
us(t).
166
de (1),
u,(t) et
Fig. 8.37. R=10kQ;R'=270kQ;C=22nF;C'=1,11nF.
2.4. Réaliser le montage de la figure 8.37. Il permet
d’effectuer l’analyse spectrale de la tension de sortie
u, du circuit AD 534. Pour cela reprendre le mode
opératoire décrit au chapitre 7 (T.P.).
A partir du calcul du produit de ,:u, et de
l'analyse spectrale de x,, vérifier que le montage de
la figure 8.38 effectue, à un coefficient m constant
près, le produit des tensions , et u, :
Us =
M
U; : W.
En déduire la valeur de m.
2.5. Modifier la valeur de #,, de telle sorte que P
soit d’abord égal à 1, puis supérieur à 1. Relever
pour chacun de ces cas, les oscillogrammes de w,(1).
Effectuer l’analyse spectrale de 4, et vérifier que la
valeur de K reste inchangée.
3. Amplificateur de puissance de classe B
Réaliser le montage de la figure 8.38.
3.1. En l'absence de tension sinusoidale d’entrée,
agir sur le potentiomètre pour que les alimentations
fournissent un courant d’intensité Z, = 0,5 A. Mesurer les intensités des courants traversant les résistances R, et R;. En déduire les intensités des
courants de collecteurs des deux transistors.
Mesurer la tension base-émetteur de chacun des
transistors.
3.2. Appliquer une tension sinusoidale x. de fréquence f = 1 000 Hz à l'entrée du montage. Déterminer expérimentalement l’amplitude maximale qu’il
faut donner à la tension , pour que la tension de
Fig. 8.38. T, : BD137: T, : BD138;
R,=R,=6800; P=1000; R,=100;
C=47uF: E=10V
sortie x, soit à la limite de l’écrêtage. Ne pas
modifier les réglages.
Relever les valeurs efficaces U,, U, des tensions u,,
u,. Le montage apporte-t-il une amplification en
tension?
Mesurer les intensités moyennes des courants
fournis par les alimentations.
A partir des relevés expérimentaux, calculer :
— Ja puissance totale fournie par les alimentations,
— la puissance utile à la sortie du montage,
— le rendement de l’amplificateur.
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
REPONSE(S)
Le montage de la figure 8.39 est soumis
à une tension en créneaux rectangulaires 0-10 V
de rapport cyclique «= 0,5. Quelle est la valeur
moyenne de la tension aux bornes du condensateur?
Te
L'analyse spectrale du signal d’entrée d’un
quadripôle indique la présence des fréquences suivantes : 100 Hz, 300 Hz et 500 Hz. Celle du signal
de sortie indique la présence des mêmes fréquences.
Quel qualificatif peut-on attribuer au fonctionnement de ce quadripôle?
R : linéaire;
donner.
non
linéaire;
réponse
impossible
à
SVis07.5 V : 10 V.
Un quadripôle linéaire est soumis à une
tension d’entrée en créneaux symétriques. La tension obtenue à la sortie est triangulaire (fig. 8.40).
Quelle(s) grandeur(s) ont été modifiées par le quadripôle?
R : fréquence du fondamental; fréquences des harmoniques; amplitudes du fondamental et des har‘
moniques ;phases des harmoniques.
167
Quel est le taux de distorsion total de
la tension :
Us = U (cosot +3 cos 3ct + 5 cos Se)?
R : 2,2 ; 4,1 ; 7,8 %; 11,8 %.
L'amplificateur
figure 8.43 n’est pas saturé.
de fonctionnement?
de
classe
B
Quel est son
de
la
régime
R : linéaire; non linéaire.
Fig. 8.40.
Les diodes du montage de la figure 8.41
sont supposées idéales. La tension d’entrée est
sinusoidale, de fréquence f= 50 Hz et d'amplitude
ü =17 V. Quelles sont la fréquence f, et l’ampli-
tude %, de la tension de sortie?
R : 50 Hz, 17 V; 100 Hz, 17 V; 50 Hz, 12 V.
Fig. 8.43.
L’amplificateur
figure 8.44 n’est pas saturé.
de fonctionnement?
de
classe
B
Quel est son
de
la
régime
R : linéaire; non linéaire.
Fig. 8.41.
A quel endroit, sur la droite de charge
(fig. 8.42), doit être placé le point de repos d’un
amplificateur de puissance à transistor fonctionnant en classe A ?
R : au milieu de la droite de charge; en S,; en S,.
Fig. 8.44.
Les alimentations d’un amplificateur de
classe B (fig. 8.44) fournissent une tension E = 20 V.
La tension d’entrée w, est sinusoïdale; les transistors
sont supposés parfaits. Quelle est la valeur de la
résistance R, de charge qui permet l’obtention d’une
puissance théorique maximale utile P, = 20 W?
Re S 0:10
(5:15 0:20 0:
Exercices résolus
Le transistor du montage de la figure 8.45
est supposé
idéal.
La
tension
d’alimentation
est
V,.
= 10 V. L’intensité du courant de repos est
IC = 10 mA. Les résistances des enroulements du
transformateur sont négligées.
1.2. Droite de charge dynamique
Pour que le point de repos se trouve au milieu de la
droite de charge dynamique (fig. 8.46), cette droite
doit couper :
— l'axe des abscisses au point S, de coordonnées [2 Vo» 0],
— l'axe des ordonnées au point S, de coordonnées [0, 21060].
Droite de charge
statique
Fig. 8.45.
1° Représenter sur un même graphique la droite de
charge :
Fig. 8.46.
1.3. Coefficient directeur de la droite de charge
dynamique
La droite de charge dynamique a pour équation :
1.1. en régime statique,
1.2. en régime dynamique sachant que le point de
repos se trouve au milieu de cette droite.
Le +
aVc
+ 216-
Son coefficient directeur a est égal à :
1.3. Calculer le coefficient directeur de la droite de
charge dynamique.
1.4. R, = 1 kQ; calculer le rapport de transformation m du transformateur.
2° L’amplitude de la tension d’entrée 4, a une valeur
telle que la tension de sortie 4, soit à la limite de
l’écrêtage. Effectuer un bilan des puissances en
calculant :
2.1. la puissance fournie par l’alimentation ;
2.2. la puissance utile;
2.3. la puissance dissipée dans le transistor ;
Soit :
qe ere Se
Application numérique
pus (MO SOS? je” 3
10
(3=-10
07
1.4. Rapport de transformation du transformateur
Le rapport de transformation d’un transformateur
parfait (fig. 8.47) est :
a) en l’absence de tension d’entrée;
b) en présence du signal d’entrée;
2.4. le rendement.
Donc :
U,=mU,
et
L=
Si R, est la résistance de charge du transformateur,
SOLUTION
1.1. Droite de charge statique
En continu, l’enroulement primaire du transformateur supposé parfait se comporte comme un
court-circuit. Dans ces conditions, Ver = V. : dans
le repère d’axe des ordonnées J< et d’axe des
abscisses Ver, la droite de charge statique est
parallèle à l’axe des ordonnées. Le point de repos So
a pour abscisse : Voro = Ve = 10 V et pour ordonnée
nous pouvons écrire :
U, = RL
*
Soit en remplaçant U, et Z, par leurs expressions :
mu, = Ril m
F
U, AY
m°
u
Pour avoir U, = R,I, il faut prendre R, = À.
D'où :
169
En appliquant ce résultat au montage amplificateur proposé, R. représente la résistance de charge
du transistor lorsqu'il fonctionne en régime dynamique.
=
est
le coefficient
directeur
a de
Bert Par
la droite
Application numérique
Les
de charge dynamique.
nl
b) En présence du signal d’entrée.
La puissance dissipée dans le transistor est égale à la
différence entre la puissance fournie par l’alimentation et la puissance utile :
P,= (0,1 - 0,05) W >
PUR EU PPla
R.
R.
a
PA
D'où :
Soit :
2.4. Rendement
Le rendement est le rapport entre la puissance utile
et la puissance absorbée.
m=%Rulon,
Fe
Application numérique
SACLIE 3 _
Soit
oit :
:
10 =3
n =,
P.
IT mr
Application numérique
__ 0,05
n = 0.1
u,
U)
Re
>
_
|n = 50 %
Pour que les transistors T,;, et T, du
montage de la figure 8.48 conduisent, il faut que la
tension base-émetteur soit égale à : — 0,6 V pour T,
et 0,6 V pour T;. Le seuil de conduction
U, des
diodes utilisées est égal à 0,6 V.
Fig. 8.47.
2° Bilan de puissance
2.1. Puissance fournie par l’alimentation
La puissance fournie par l’alimentation est :
Pr= Velo:
Application numérique
P=(10 x 10:-10-*) W >
|P=0,1 W
2.2. Puissance utile
Le transformateur étant parfait, la puissance dissipée dans la résistance R, (c’est la puissance utile
P,) est égale à la puissance qui serait dissipée dans
une
pe
résistance
de
valeur
FE
R.=—% si l’ensemble
m
transformateur-résistance R, était remplacé par
cette résistance. Dans les conditions de l’énoncé, la
composante alternative de l'intensité du courant
traversant le primaire du transformateur a pour
valeur maximale /(.
Soit" :
= g [1
P,=R|—=
V2
\ |.
(ue
10-10-31
1° Étude en régime statique : le montage
repos; V, = 20 V.
est au
1.1. En négligeant l’intensité du courant dans la
base des transistors, calculer la valeur R des résistances permettant l’obtention d’un courant d’intensité Z, = 10 mA dans le pont de polarisation.
1.2. Quel est le potentiel du point E ?
Application numérique:
P,=10{——— | W >
Fig. 8.48.
/|P,=0,05W
1.3. Le condensateur de capacité C est appelé
condensateur réservoir. Quelle est la tension à ses
bornes?
2.3. Puissance dissipée dans le transistor
2° Étude en régime dynamique
tionne en amplificateur.
a) En l’absence de signal d’entrée.
La puissance dissipée dans le transistor est :
2.1. Quel est le rôle du condensateur de capacité y?
Po = Vceo lc:
Application numérique
P5= (10 x 10-1073)W > [P,=0,1 W
170
: le montage fonc-
2.2. À quelle condition ce condensateur se comporte-t-il comme un court-circuit pour l’alternatif ?
2.3. Comment doit-on choisir le condensateur de
capacité C pour qu’il soit équivalent à une source de
tension continue constante ?
SOLUTION
1.1. Calcul de la valeur des résistances
risation
de pola-
La tension UC aux bornes du condensateur est alors
égale à Ur c’est-à-dire :
Uc=10
En négligeant les courants de base des transistors,
nous pouvons écrire :
Ve = 2(RI,+ U:).
Soit :
2.1. Rôle du condensateur de capacité y
Le condensateur de capacité y est un condensateur
de liaison. Il évite qu’une partie du courant de
polarisation ne passe dans le circuit de commande
ce qui aurait pour conséquence de modifier la
polarisation du transistor.
R=
Application numérique
2.2. Condition de court-circuit
En choisissant une valeur de capacité suffisamment
.
R= _(10-0,6)
0 © © LR=940
0
élevée, l’impédance
1.2. Potentiel du point E
Le potentiel du point E est égal à la tension Ur.
Or :
V
_ du condensateur
peut être
très faible : il se présente alors comme un courtcircuit pour le courant sinusoidal d’entrée.
Urm = Uni + Ugim
avec
:
d’où
ss
Usa =
U; et
Um
2.3. Choix du condensateur de capacité C
Pour que la tension UC aux bornes du condensateur
Unim = RI°
ai U; x RTS:
reste pratiquement constante lorsque le montage est
Application numérique
Upm = [0,6 + 940 x 10 :1073]V > [Up
=10V]
1.3. Tension aux bornes du condensateur de capacité C
La tension aux bornes du dipôle R,,C est
Um = 10 V. En régime établi, l’intensité du courant
traversant la résistance R, est nulle, donc Un, = 0 V.
soumis à une tension d’entrée sinusoidale, il faut
que la constante de temps 7 = R,C soit très grande
devant la période T de cette tension d’entrée. La
capacité C du condensateur doit être importante.
Pour le continu, il joue le rôle d’une source de
tension ee) (il est appelé condensateur réservoir).
Pour l’alternatif, c’est un court-circuit.
Exercices à résoudre
La caractéristique principale d’un circuit
linéaire est donnée par l'expression suivante : «Les
fréquences des harmoniques qui composent le signal
de sortie sont les mêmes que celles des harmoniques
du signal d'entrée». Le montage de la figure 8.49,
soumis à une tension en créneaux rectangulaires
O=-5V, de fréquence f= 1000 Hz, de rapport
cyclique «= 0,5 fonctionne en régime linéaire. On
donne : R = 47 kQ; R'=2R; C=0,68 UF.
1° Quelle est la fréquence de coupure du montage
à — 3 dB?
2° Montrer que la tension de sortie du montage est
:
continue.
signal
du
ces
fréquen
3% On ne retrouve plus les
d'entrée dans le signal de sortie. Pourquoi ce résultat n'est-il pas en contradiction avec l'expression
citée précédemment ?
Fig. 8.49. R'=47kQ;R'=2R;C=068uF.
171
Les diodes du montage de la figure 8.50
Le montage de la figure 8.33 est considéré
sont supposées parfaites, E = 10 V et R= 10 kQ.
L’amplificateur opérationnel est alimenté sous
ELSEV.
comme parfait (tension Var négligée et Vopsa& 0).
Les alimentations fournissent une tension E = 14 V.
La résistance de charge R, est de 7 Q. A l'entrée du
montage on applique une tension x. sinusoidale,
telle qu’à la sortie, la tension u, soit à la limite de
lécrêtage. Le gain statique de chaque transistor est
B = 50.
1° Quelle est l’amplitude maximale #, de la tension
de sortie ?
2° Quelle est l'amplitude %, de la tension d’entrée
qui permet l’obtention d’une tension de sortie à
la limite de l’écrêtage?
3° Quelle
est
alors
l’amplification
en
tension
57
14
ie
4° Calculer :
4.1. la puissance P, fournie à la résistance de charge,
4.2. la puissance P, fournie à l'entrée du montage,
1° La tension d’entrée u, est nulle.
1.1. Les diodes
passantes?
D, et D, sont-elles
4.3. l'amplification en puissance CAT _
bloquées
ou
1.2. En déduire :
a) les potentiels V, et VQ des points P et Q,
b) le potentiel V,, du point M,
c) la tension de sortie w,.
2° La tension d’entrée u. est positive.
2.1. Quel est l’état des diodes D, et D,?
2.2. Montrer que tant que la diode D, est bloquée,
la tension de sortie u, est égale à —-E.
2.3. Montrer que la diode D, conduit lorsque la ten-
sion d’entrée u, est inférieure à 5:
2.4. Exprimer alors u, en fonction de u..
3° La tension d’entrée w, est positive.
3.1. Quel est l’état des diodes D, et D,?
3.2. Montrer que tant que la diode D, est bloquée,
la tension de sortie u, est égale à + E.
3.3. Montrer que la diode D; conduit lorsque la ten:
;
er
sion d’entrée w, est supérieu
re à — 5:
3.4. Exprimer alors w, en fonction de ,.
€
4.4. la puissance P, fournie par les alimentations,
4.5. le rendement 7 du montage.
815.
| Un transistor de puissance a les caracté-
ristiques suivantes :
— gain statique en courant B = 50;
— tension de saturation Vos © 0 V;
— intensité maximale admissible dans le collecteur : Zonax = 1 À;
— tension collecteur-émetteur maximale admisSible : VoEmax = 50 V;
— puissance maximale admissible : P,,, = 30 W.
1° Dans
le repère ZC(Vcr), représenter les limi-
tations du transistor.
2° Ce transistor est utilisé dans le montage amplificateur de classe A de la figure 8.45.
2.1. Tracer la droite de charge statique dans le cas
où la résistance des enroulements du transformateur
est négligeable.
2.2. Tracer la droite de charge dynamique passant
par le point Q, point d’intersection de la droite de
charge statique avec l’hyperbole de dissipation de
puissance.
2.3. En déduire :
a) la résistance R« (apparente) de collecteur,
b) le rapport de transformation m du transformateur sachant que la résistance d'utilisation est
R, =8 Q.
4 La tension d’entrée w, varie entre — E et + E.
4.1. Construire la caractéristique de transfert u,(u)
du montage.
a) la puissance maximale que peut fournir le montage à la résistance d’utilisation?
4.2. Justifier le qualificatif de «limiteur de tension »
donné à ce montage.
b) le rendement théorique maximal possible avec
ce montage.
172
2.4. Calculer :
Chapitre 9
APPAREILS NUMÉRIQUES
logique de
commande
interrupteurs
kiélectroniques
Affichage
Horloge
Go
Fig. 9.01. Schéma de principe d'un voltmètre
numérique à double rampe. La tension à mesurer,
est supposée positive.
=
ITT vu
RER
MX 52
MEM
ÿ
à
4 G0
#c
(0 0
59
10 4
Les appareils numériques affichent les valeurs des grandeurs
mesurées et permettent donc une lecture directe.
Ces appareils, souvent très performants, remplacent progressivement les appareils analogiques.
mdapatienmtunlunaurlunnt
1. VOLTMÈTRE NUMÉRIQUE
Nous
nous
limitons à un exemple
correspondant
à un volt-
mètre très courant.
L'organisation simplifiée de l’appareil est représentée sur la
figure 9.01. Pour cette première étude, afin de faciliter les
el |
LOGICR
explications, la tension mesurée v, et la tension de référence Ver
Voc$
mv $
VO
|
# COM
ypAmA
A
sont supposées positives. Cela nous a conduit à ajouter, à
l'entrée du montage, un opérateur « x (— 1)» dont la fonction
est de faire correspondre une tension négative —v, à la
tension mesurée v,.
La fonction électronique essentielle est réalisée par un montage
intégrateur à amplificateur opérationnel. Il est possible d’appliquer à l’entrée de cet étage :
e soit la tension — v, lorsque K, seul est fermé;
e soit la tension de référence [., lorsque K, seul est fermé.
173
C’est l’état du comparateur placé à la suite de l’intégrateur qui
détermine l’action de la logique de commande d’une part sur les
interrupteurs,
d’autre
part
sur
le compteur.
Lorsque
cette
commande le permet, le compteur reçoit des impulsions de
période 7, délivrées par l’horloge H. Le résultat du comptage
est transféré à un afficheur.
1.2. Fonctionnement
Fig. 9.02. Phase d'initialisation de l'intégrateur.
Nous allons étudier comment évolue la quantité d'électricité
41, qui est portée par l’armature du condensateur reliée au
point À, au cours d’un cycle de fonctionnement.
a) État initial
À l'instant { = 0, le condensateur C'est déchargé (fig. 9.02) :
qga(0) = 0.
b) Régime de charge entre 0 et £,
À partir de l'instant { =0*, la logique de commande place les
interrupteurs dans l’état suivant (fig. 9.03) : K, fermé, K;,etK,
ouverts. Le condensateur se charge.
En appliquant la loi des nœuds au point B, nous obtenons
l'intensité À du courant de charge (le C.I.L. fonctionne en
régime linéaire) :
Puisqu’il s’agit d’une charge à courant constant, à un instant t :
A
R
<
La durée T, =1f, du régime de charge est égale à un nombre
entier de périodes du signal d’horloge; elle est fixée par le
constructeur et ne dépend pas de la tension y, :
7: =
Fig. 9.03. Phase de charge du condensateur.
noL)o.
A la fin du régime de charge le condensateur porte une charge
Qa(t) :
L” Th
qa(ti) À: Tçel R'00
c) Régime de décharge de r, à f,
A l'instant /,, la logique de commande impose un nouvel état
pour les interrupteurs (fig. 9.04) : K, et K; ouverts, K, fermé.
Nous trouvons l'intensité À du courant en opérant comme
précédemment :
R
Nous constatons qu’elle est constante et négative.
Donc, à partir de l'instant , le condensateur se décharge à
courant constant. Ce régime de fonctionnement cesse à l'instant
l où la charge g, devient nulle. Entre les instants #, et & le
condensateur perd une charge égale à :
É (2 1].
C’est évidemment la charge g\(r,) qui était possédée à la fin du
régime de charge.
PE
Fig. 9.04. Phase de décharge du condensateur.
174
D'où :
F,
ga(ti) = RG
ra #3À
d) Récapitulation
Les variations de la quantité d’électricité g, au cours d’un cycle
de fonctionnement sont représentées sur la figure 9.05. Neïons
que cette courbe représente également, à une échelle différente,
les variations de la tension de sortie v, de l’intégrateur puisque
ga et v, sont des grandeurs proportionnelles (g, = Cv,).
|Ps Courbe v,(t}=LS. c'est la tension de sortie
Fig. 9.05. Courbe q,(t) (double rampe).
— La durée de charge, T,, est imposée par la
logique de commande et par l'horloge. Elle ne
dépend pas de la mesure à réaliser.
— La durée de la décharge T,=nT, est proportionnelle à v,.
|
de l'intégrateur qui est visualisée à l'oscilloscope.
1.3. Indication du compteur
m1.3.1. Nombre d’impulsions enregistrées
Le compteur enregistre les impulsions fournies par l'horloge
uniquement pendant la décharge du condensateur.
Le nombre d’impulsions enregistrées est égal au nombre n de
périodes qui s’écoulent durant l'intervalle de temps (f — 1)
nécessaire à cette décharge :
LS
Caractéristiques du voltmètre présenté
— T,=200 pus, m= 10°,
MoTo = 73 = 20,0 ms.
— Vy= 10,0 V, R=20kQ, C=1 UF,
RC= 20 ms.
La décharge a lieu en un nombre de
périodes égal à :
mme.
To
m1.3.2. Relation entre n et y,
Dans la relation donnant g,({,), remplaçons (f; — Li) par son
expression en fonction de 7, (nous supposons # entier) :
Ve
",
Qa(ti) =
e Premier exemple de mesure
v, = 3,520 V.
il
D'où :
“4 nTs = R ol:
n=—no y,.
Ver
Le nombre nr de périodes d’horloge enregistré par le compteur
est donc proportionnel à la tension à mesurer v,.
n= 2 v, = 352.
réf
Dans ce cas, la durée 7, correspond à un
nombre entier de périodes d'horloge. L'indication du compteur est égale à n = 352.
e Deuxième exemple de mesure
v, = 3,525 V.
Dans ce cas :
|
n= 352,5.
La durée 7, est telle que :
3527< T2 < 35370.
Le contenu du compteur n'évoluant pas
entre les instants 3527, et 3537, la quantité affichée sera n’ =352 < n. Il y a donc là
une première cause d'erreur : Je nombre
affiché est approché à une unité près par
défaut.
m1.3.3. Affichage
L’indication n du compteur étant proportionnelle à la tension
y.
X ?
il suffit de choisir un
rapport
ño
égal à une
puissance
réf
entière de 10 pour que l'indication #7 du compteur soit un
multiple décimal de la tension à mesurer v, (à une unité près;
voir marge ci-contre).
1.4. Réalisation industrielle
Le principe de la double rampe qui vient d’être exposé est mis
en œuvre dans la plupart des multimètres industriels. Un
opérateur permet la mesure des tensions continues positives ou
négatives : il est conçu pour fournir à l’entrée de l’intégrateur
une tension de même valeur absolue que la tension à mesurer
et de signe convenable.
175
Charge sous
une tension 2y,
charge pour
une tension y,
Fig. 9.06. Allure des rampes pour deux valeurs
e À chaque valeur de la tension v, correspondent (fig. 9.06) :
— une courbe de charge car la pente de la rampe montante
varie proportionnellement à la tension v,,
— une durée de décharge car la pente de la rampe descendante
étant constante (elle dépend uniquement de PV et de R), la
durée de la décharge est proportionnelle à g,(f,) donc à »,.
Notons également que R et C n’interviennent pas dans l’expression de nr. L’emploi de composants de grande précision ne
s'impose donc pas.
e La durée de la charge est constante et égale à T..
e La durée de la décharge, proportionnelle à v, dans le domaine
de fonctionnement de l’appareil, ne peut dépasser un maximum fixé par le constructeur : 7, = 7; (fig. 9.07). A cette valeur
de la tension à mesurer : v, et 2v,.
maximale de la durée de la charge correspond
— La pente de la rampe montante est proportionnelle à la tension à mesurer alors que la pente de
maximale y, pour la tension à mesurer :
la rampe descendante ui est constante.
si T,=T,.:
Aie
Vies
R
une valeur
LAvreRe
1.5. Chronogramme de fonctionnement
A
Charge sous
.
7
la tension v,
Il est possible de résumer l’ensemble des séquences et les
conditions de leur enchaînement à l’aide d’un chronogramme
(fig. 9.08). II montre notamment que /e rythme des conversions
est fixé par un signal rectangulaire obtenu par division du
signal d’horloge (dans l’exemple choisi, une conversion est
effectuée toutes les 40 ms). Ce rythme est donc indépendant de
la tension à mesurer.
Signal
d’horloge
Fig. 9.07. La durée maximale de la décharge Ÿ,
est telle que : T,=T,;. Par conséquent la valeur
0
maximale Ÿ, de la tension inconnue applicable à
m
l'entrée de l'intégrateur est telle que :Ÿ,=V, 4.
Fig. 9.08. Chronogramme du principe de fonc}
tionnement d'un voltmètre à double rampe.
— L'horloge fournit des signaux en créneaux de
période T,.
— Le Signal m est obtenu à partir du signal
d'horloge par une division de fréquence par 2000;
puisque dans notre exemple T,= 20 us :
m= { pendant 20 ms : durée T,;
l
État du
comparateur
Ed
2
i
interrupteurs
1
à 0 30
re
=
ke2=0
in
PE
m = 0 pendant 20 ms : durée (T,+T;).
— Le front descendant de m provoque la modification de l'état des interrupteurs et le début du
comptage.
— L'instantt,, (vi(t,) = 0), est marqué par le bas-
Fonctionnement
du compteur
compteur
bloqué
=
10
2
pe
|
[
L
Transfert |
|
|
:
comptage
PIRE
[
JU Contenu;
1
à zéro
!
puis remise,
culement du comparateur (et le changement de
valeur de la variable logique c). Ce dernier interrompt le comptage de façon asynchrone.
— Le contenu n du compteur est ensuite trans-
1
féré vers les afficheurs. Enfin le compteur est remis
à zéro avant le début d'un nouveau cycle.
Le——"à T, —————# lt 7
176
Un voltmètre numérique à courant continu
est une sorte de convertisseur analogiquenumérique (C.A.N.) puisque sa grandeur
d'entrée est une tension continue réglable et
sa sortie un nombre. Cependant nous verrons en fin de chapitre que la fonction qu'il
réalise est en fait beaucoup plus complexe.
En particulier si la tension qu'on lui applique
comporte des fluctuations périodiques, il en
donne approximativement
la valeur
moyenne. (Cette valeur moyenne est donnée exactement pour certaines valeurs par-
ticulières de la fréquence des fluctuations.) Il
diffère également des convertisseurs analogiques-numériques par sa cadence de
conversion : 4 ou 5 mesures par seconde
alors qu'un circuit intégré C.A.N. en réalise
facilement 105 par seconde.
m2. VOLTMÈTRE INDUSTRIEL.
CARACTÉRISTIQUES
Le plus souvent, les appareils de mesure sont des multimètres
pourvus d’une fonction voltmètre.
2.1. Calibres
Un voltmètre industriel est pourvu de plusieurs calibres. Un
diviseur de tension placé à l'entrée de l'appareil permet
d’obtenir une tension v, à l’entrée de l’intégrateur au plus égale
à la tension de référence V4.
2.2. Nombre de points
Le nombre de points d’un appareil numérique est le nombre de
valeurs positives discrètes qu’il est susceptible d’afficher. Par
exemple, un voltmètre à 4000 points, utilisé sur le calibre 4 V,
peut afficher 4000 tensions positives régulièrement réparties
dans l’intervalle compris entre 0,000 V et 3,999 V.
2.3. Étendue de la plage de mesure
Lorsque la tension à mesurer est très voisine de zéro volt, certains appareils
affichent alternativement les signes +
ou -.
Par exemple le voltmètre MX40 utilisé sur le
calibre 400 mV «considère» comme nulle
toute tension dont la valeur est comprise
entre 10uV et 10 uV; entre - 11 uV et
— 99 UV il affiche le signe — suivi de l'indication 000.0 mV.
Pour des tensions continues, comme le signe est pris en compte
et indiqué, l’étendue de la plage de mesure est le double de
l'intervalle correspondant au nombre de points.
2.4. Résolution
Elle correspond à une unité du chiffre de poids le plus faible
(dernier chiffre de droite). Avec un voltmètre à 4000 points sur
le calibre 4 V, la résolution est égale à 1 mV.
2.5. Nombre de digits
Le voltmètre considéré dans l’exemple précédent est équipé
d’un afficheur à quatre chiffres dont le premier chiffre à gauche
ne peut être égal qu’à 0, 1, 2 ou 3. Conventionnellement, il est
dit à «3 digits 1/2» pour exprimer le fait que le nombre
maximal affiché est compris entre 10° et 10* lorsqu'il n’est pas
tenu compte de la présence d’une virgule (ou point décimal).
2.6. Résistance d'entrée
Fig. 9.09. Immunité aux bruits.
* Conditions de l'expérience.
— VE est un multimètre de 4000 points.
— La source de f.é.m. E est une alimentation stabilisée très stable réglée pour obtenir :
lorsque K est ouvert.
— Le générateur basse fréquence, (GBF), délivre
une tension u, d'amplitude 10 V, de fréquence f
réglable. Le condensateur de 47uF (au tantale)
bloque toute composante continue que pourrait
délivrer le générateur B.F.
— L'oscilloscope permet de visualiser la tension
v et, sl possède un mode de synchronisation
«Réseau, de contrôler parfaitement la fréquence
f quand
elle vaut 10 Hz, 25 Hz, 50 Hz, etc.
La résistance d’entrée d’un voltmètre numérique peut dépasser
plusieurs centaines de mégohms et sa valeur peut être la même
pour tous les calibres (par exemple : 10 M{).
Pratiquement, un voltmètre numérique se comporte comme un
appareil qui ne dérive aucun courant dans les conditions de
mesure les plus courantes. De ce point de vue il possède un
avantage considérable par rapport aux appareils analogiques.
2.7. Immunité aux bruits
#m 2.7.1. Influence des tensions parasites
|
|
Expérience
tension
une
d'obtenir
permet
9.09
figure
la
de
Le montage
ondulée, de fréquence connue, entre les points À et M. Le
177
+ Résultats.
— K ouvert
:V=V,= 3,555 V.
— K fermé :
e f=(p x 10) Hz avec p entier : V = 3,555 V. L'affichage est parfaitement stable.
e f#(px 10) Hz : V=35V. Les deux derniers
chiffres sont le plus souvent en réactualisation permanente; pour certaines fréquences (25 Hz par
exemple), ils sont stables mais faux.
voltmètre numérique VE est utilisé sur un calibre «continu»
pour mesurer la valeur moyenne de v : v = P.
L’ondulation qui affecte la tension à mesurer simule un bruit
dont l’origine peut être, par exemple, la tension du réseau
(f= 50 Hz en Europe, 60 Hz en Amérique du Nord).
Cette expérience permet de constater que /a mesure de =,
n'est pas perturbée par la tension de bruit lorsque la fréquence de
l'ondulation est un multiple de 10 Hz.
m2.7.2. Interprétation
e Les courbes de la figure 9.10 montrent que lorsque la durée
d'intégration est un multiple de la période du bruit, la position
du sommet M de la rampe est inchangée.
e La tension du réseau étant à l’origine des bruits les plus
gênants, la durée d’intégration 7, est un multiple de la période
du réseau. Ainsi la valeur 7, = 100 ms est le plus petit multiple
commun
entre la période du réseau européen continental
(T=20ms)
et
celle
des
réseaux
anglo-saxons
(rje60supp
r
ms:|
T,=5T=67".
De ce fait, toutes les tensions parasites de fréquences multiples
de 10 Hz sont arrêtées.
Fig. 9.10. Allure de la rampe en présence d'une
tension de bruit.
a) Visualisation de la tension v, à mesurer :
v=V,+ V,V2 sin (ot + @).
b) On peut établir que la tension de sortie de l'inté-
= Observation à l'oscilloscope de la tension de sortie
V, de l'intégrateur lorsqu'un bruit se superpose à la
grateur a pour expression entre 0 ett, :
D tension v, à mesurer (calibre en Y: 1 V/cm; calibre
N'RTRAE [cos p - cos (ut + o)].
RC
en X : 5 ms/cm; T,= 20 ms;T,= 5 ms).
RCo
— QuandT,, durée de l'intégration, est un multiple
de T, (T période du bruit), la valeur de v,(t,)=ÿ,
est inchangée : le sommet M de la rampe occupe la
même position que si le bruit n'existait pas. (Ce
résultat est indépendant de la phase du bruit
à l'origine.)
Par conséquent l'instant t, et le résultat du comptage ne sont pas affectés par la présence du bruit.
En revanche lorsque T # Li,(p entier), le sommet
M de la rampe dépend à la fois de l'amplitude du
bruit et de sa phase à l'origine.
m3. MULTIMÈTRE NUMÉRIQUE
Les mesures des tensions alternatives, des intensités des courants continus ou alternatifs et des résistances peuvent se
ramener simplement à une mesure de tension continue. Il est
alors possible de munir un voltmètre de plusieurs autres
fonctions de mesure.
7151
178
MULTIMETRE
CALCULATEUR
Valeur efficace d'une tension périodique
La valeur efficace V d'une tension périodique v(f), de période 7, est la valeur d'une
tension continue qui provoquerait dans une
résistance le même effet thermique (même
dégagement de chaleur) dans le même
temps. On peut établir, (1 F2-3-5, chapitre 13), que son expression mathématique
3.1. Voltmètre alternatif RMS
eIlest utilisé pour mesurer les valeurs efficaces des tensions
périodiques.
& Le principe de son fonctionnement (fig. 9.11) résulte de la
définition de la valeur efficace. La méthode employée ramène
la mesure de la valeur efficace à celle d’une tension continue.
est:
T
V= Vv2(- +[ v2(t) dt
Multiplieur
analogique
0
Filtre
passe-bas
Extracteur
analogique
de racine
carrée
Fig. 9.11. Principe de la mesure des valeurs effi- B>
caces (RMS de Root Mean Square : racine de la
moyenne du carré).
e Le dispositif fournit une tension continue V,
égale à la valeur efficace V de la tension v(t)
Vs=
Move
V7
-v.
e Cette tension V, est ensuite mesurée au moyen
du voltmètre numérique et affichée.
s
An
e Selon que l’appareil prend en compte la totalité de la tension
y(t) (fig. 9.12. a), ou seulement son ondulation (fig. 9.12. b), il
est respectivement dit RMS — AC + DC ou RMS -— AC.
e Facteur de crête : c'est le quotient ce Le plus
souvent les caractéristiques du voltmètre précisent
un facteur de crête maximal à ne pas dépasser (4
par exemple). Au-delà, la mesure est mauvaise car
la sortie du multiplieur analogique est transitoirement saturée.
Fig. 9.12. Fonctions
RMS-AC+DC
ou
RMS- AC est la somme d'une composante continue Y et d'une ondulation \, :
V(D=V+v.
— Fonction RMS - AC + DC : l'appareil indique la
valeur efficace V de v(t).
— Fonction RMS- AC : l'appareil indique seulement la valeur efficace V, de v,(t).
Relation. Nous avons montré (voir chap. 8) que :
V=Vv2+ V5.
3.2. Ampèremètre continu et alternatif
La figure 9.13. montre comment la mesure d’une intensité est
ramenée à celle d’une tension.
Suivant l’utilisation choisie le multimètre peut indiquer les
valeurs moyennes ou les valeurs efficaces des intensités.
3.3. Ohmmètre
Lorsque cette fonction est sélectionnée, un générateur de
courant débite un courant d'intensité Z, dans la résistance
inconnue (fig. 9.14). L'appareil mesure la tension RI, et affiche
directement la valeur de la résistance (voir TP 2).
J
RI,…
Fig. 9.13. Ampêremètre numérique. Le voltmètre
numérique mesure la tension ri. En position ampé-
remètre l'appareil affiche directement la valeur de
l'intensité en tenant compte de la résistance r du
shunt (sa valeur dépend du calibre).
|
E
|
Fig. 9.14. Ohmmètre numérique.
L'intensité |, dépend du calibre de l'ohmmètre.
Exemples (MX40) :
De Lim [on
179
Avec le voltmètre de principe présenté
au paragraphe 1, aucune rampe de
charge ne peut être obtenue quand la
tension d'entrée v, devient nulle. Pour
remédier à cet inconvénient et également pour faciliter la mesure des faibles
tensions, un générateur de courant
constant (intensité /) est parfois ajouté
au montage (fig. a).
Mesure des faibles tensions
Dans ces conditions la charge acquise
au bout de la durée 7; est, avec les
notations de la figure b :
pendant laquelle le compteur reste bloqué, ne dépend que des valeurs de 4,
alt) = (k + LT:
avec =.
Va et A. Elle est fixée une fois pour
toutes.
La durée 7,=1#-t; et le résultat n du
comptage ne sont pas modifiés par 4.
De ce fait, le comptage ne doit débuter
qu'à l'instant t{. La durée Af=t;-t,
Conclusion : Une rampe est obtenue
même si v, = 0.
EU
(SA
——— TT; —————)
Ale T, +
1
Charge
Compteur 1 Comptage
ibloqué
!
'
Décharge
Le galvanomètre magnéto-électrique
{voir 1" F2-3-5, chap. 8) est un transducteur électromécanique qui fait correspondre un angle x (angle de rotation
du cadre) à l'intensité / du courant qui
parcourt le bobinage du cadre. À l’équilibre x= Xi si X désigne une constante
Appareils magnéto-électriques
fonction du calibre (une valeur par
calibre). Lorsque sa déviation est maximale (x,), un voltmètre est traversé par
Posons :
un courant d'intensité /, dont la valeur
est caractéristique de l'appareil. Elle est
la même quel que soit le calibre uti-
R, est une caractéristique du voltmètre,
indépendante du calibre. Elle s'exprime
en ohms par volt. Elle est souvent appe-
(fig. c).
lisé (, = 50 LA par exemple) : %, = cali-
bre/résistance interne pour ce calibre.
Un galvanomètre G associé à des résis-
Pour le voltmètre de la figure d, si nous
désignons par À;, Ro et ao les résistances présentées par le voltmètre res-
Exemple : si ,=50 uA, le voltmètre
présente une résistance spécifique
égale à :
tances de précision r, , f et r; Convenables selon le schéma de la figure d,
permet de réaliser un voltmètre magnétoélectrique à trois calibres. Contrairement
à un voltmètre numérique, un voltmètre
magnéto-électrique est polarisé et il présente une résistance interne qui est
pectivement pour les calibres 3 V, 10 V
et 30 V nous pouvons écrire :
Fourche qui
commande le
réglage du zéro
cadre mobile
aimant
Fig. c
180
HA/V cs=20 KO.
Sur le calibre 3 V, sa résistance interne
mn” “bn
P
ER
Re
est égale à : À; = 3A, = 60 kQ.
aiguille
fil de suspension
lée résistance spécifique du voltmètre.
Cylindre faisant partie du
et
magnétique
circuit
jouant un rôle de blindage
Suspension à ruban tendus : Lorsque
le courant à mesurer ou à prélever
est faible les équipages sont exécutés
avec une suspension du cadre à
rubans tendus ce qui assure une
grande sensibilité, l'absence d’hystérésis et une grande robustesse.
Fig. d
Travaux pratiques
1. Immunité aux bruits d’un voltmètre électronique
Le montage est celui de la figure 9.15. Le générateur basse fréquence (G. B.F.) délivre une tension
w sinusoidale, d'amplitude 2 V, de fréquence f
réglable, qui simule le bruit superposé à la tension
u à mesurer.
L’oscilloscope permet de visualiser la tension
(voie 1) et de mesurer la fréquence de la tension
uy fournie par le générateur (voie 2).
Y
E Se
R;
|K
Uj
R
cn)
ti
Û
3
Fig. 9.15. VE est un voltmètre électronique (MX40 par exemple); E = 5 V,
c'est par exemple la tension de sortie d'un régulateur de tension SFC 2805;
R,=R,=2200-1/2W:
R-=4700-1/2W;
C=100uF (au tantale)
e K ouvert : relever la valeur de la tension x
indiquée par le multimètre numérique et la comparer à sa valeur théorique prévisible.
e K fermé : en faisant varier la fréquence f de u, de
10 Hz en 10 Hz, pour chaque valeur de f, noter
l'indication donnée par le multimètre.
On pourra observer que l’affichage est stable pour
les fréquences multiples de 10 Hz. En revanche,
pour les autres fréquences, seuls les deux premiers
chiffres sont stables, les suivants sont en réactualisation permanente.
Enfin à partir de 200 Hz (environ) l'influence du
bruit devient quasi nulle, ce qui indique la présence
d’un filtre supplémentaire (filtre classique dit «analogique »).
2. Utilisation d’un multimètre numérique en générateur de courant
De nombreux multimètres numériques, en position
ohmmètre, fonctionnent en générateur de courant.
Pour différents calibres (400 Q ; 4 kQ, etc.), tracer la
caractéristique i = f(u), en appelant i l'intensité du
courant débité par l’ohmmètre et w la tension à ses
bornes. Pour chaque calibre, préciser la plage des
tensions # où l’ohmmètre peut être utilisé en générateur de courant.
Contrôle des connaissances
Un
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
L'affichage
d’un
voltmètre
s'effectue en 2000 points. Quel
nombres positifs peut-il afficher?
numérique
ensemble
de
R : 0000 à 1999; 0000 à 2000; 0001 à 1999; 0001
à 2000.
voltmètre
numérique
possédant
la
fonction RMS — AC + DC est utilisé pour mesurer
la valeur efficace d’une tension w dont l'expression
est : u = 198 + 132 cos wt. Quelle valeur est affichée
sur le voltmètre (tension arrondie à 3 chiffres)?
R : 132 V; 198 V; 219 V; 330 V.
numérique à 4000 points sur le calibre 4 V?
Un voltmètre numérique RMS-AC est
utilisé pour mesurer la tension w de l'exercice
précédent. Quelle valeur est affichée sur le voltmètre?
R : 0,25 mV; 0,50 mV; 1,0 mV; 2,0 mV.
R : 93,3 V; 132 V; 140 V; 198 V.
Quelle est la résolution
d’un voltmètre
On mesure une tension de 15,342 volts
avec un voltmètre numérique 3 digits 1/2. Quelle
tension affiche-t-il s’il est utilisé sur le calibre
200 V?
R : 0015; 015.3; 15.00; 15.34.
On utilise le calibre 20 V d’un voltmètre
numérique à 2 000 points pour mesurer une tension
continue de 4,000 V. Quelle sera l'indication du
voltmètre?
R : 04.0; 04.00; 4.000; 0004.
Sur
le
calibre
30 V,
un
voltmètre
magnéto-électrique présente une résistance de
600 kQ. Quelle est sa résistance sur le calibre 3 V?
R : 6000 kQ; 1 800 kQ; 600 kQ; 60 kQ2.
Sur
le calibre
300 mV,
un
voltmètre
magnéto-électrique présente une résistance de 6 kÇ2.
Quelle est l’intensité i, du courant qu'il dérive, pour
une déviation pleine échelle, sur le calibre 100 V?
R : 5,0 pA ; 20 pA; 50 pA; 0,5 mA.
181
_ Exercices résolus
On mesure une tension continue positive U
On se propose de mesurer la tension U,
avec le voltmètre numérique à double rampe de la
figure 9.01.
La durée T; de la fermeture de l’interrupteur K, est
10,0 ms; la résistance R est égale à 100 kQ et la
tension de référence est V4; = 5,00 V.
La décharge complète du condensateur s’effectue en
une durée 7, = 8,00 ms.
Calculer :
aux bornes de la résistance R, du montage de la
figure 9.16, en utilisant un voltmètre magnétoélectrique dont la résistance sur le calibre utilisé est
R, = 600 kQ. La tension E est égale à 15,06 V et les
résistances R;, R; ont pour valeurs respectives :
R; = 1,044 kQ, R, = 10,01 kQ.
1° l’intensité z du courant de décharge du condensateur;
2° la quantité
décharge;
d’électricité
g, évacuée
pendant
la
1° Quelle est l’intensité i du courant débité par le
générateur?
2° Calculer la tension U.
3° Déterminer l'intensité 5, .
4° Quelle valeur U' trouverait-on pour la tension U
si l’on pouvait négliger le courant dérivé par le
voltmètre (appareil numérique) ?
3° la valeur de la tension U.
SOLUTION
1° Intensité ? du courant de décharge
Pendant la décharge du condensateur, la tension aux
bornes de la résistance R est la tension de référence :
Ver. D'où (voir fig. 9.04) :
i=- Vrer
R
ga
SOL
vrgrerrcue
5 (D)
ue
1
100 x 10 À ? Li
50 uA
Fig. 9.16.
2° Quantité d’électricité g, évacuée
La décharge complète du condensateur nécessite
une durée 7, = 8 ms. Elle a lieu à courant constant.
Pendant cette décharge, la quantité d’électricité
évacuée est :
da =lilT>
soit :
Ga = [50x 10-6x8x 10-3]C> [gy = 0,40 uC
SOLUTION
1° Intensité : du courant débité par le générateur
La source de tension alimente une résistance R,, en
série avec le groupement en parallèle des deux
résistances R; et R,. La résistance R. équivalente à
cet ensemble a pour expression :
RR,
Ke =R,
3° Valeur de la tension U
Le courant de charge du condensateur est constant:
son intensité est égale à :
purs un
ol
R
R
de
R, = (1,044 x 103+ 10,01 x 103 x 600 x ns)
10,01 x 103
+ 600 x 103
> R, = 10,89 x 10% Q.
L’intensité : du courant est égale à :
;
UT
TUE
L,
[En
1=
R
Comme : 4 = 4, nous tirons :
R
U=—F5 Ga
[100
x 10° * 04 *«10-6
Li
U== (gs
10 }v + U=4,0
V
R+R,
D'où la valeur de R, :
(v,= U).
Au bout du temps 7, la charge du condensateur a
pour expression :
+
ts
SONT
E
R.,
10,89x10 A > if
ie
2° Tension U
La résistance R., équivalente
expression :
1,38 mA
à R, et R, a pour
RR,
2
Lt Rs
pts
D'où :
_ (0,01 x 10°) x (600 x 103)
&
La
(10,01 x 103) + (600 x 102)
U est
la tension
ensemble R;-R, :
tension
:
U=R,i.
:
soit:
> R,,=9,85 kQ.
aux
bornes
de
cet
D'où:
U= (9,85 x 103) x (1,38 x 1073) >
|U= 13,62 V
3° Intensité à,
R, désignant la résistance présentée par le voltmètre, l'intensité À, du courant qui le traverse est
telle que :
"a
v
R,
:
13,62
1, =——
3
À > |i, = 22,70
LA
* go x 108 À?LE
522,70
ua)
4° Tension U'
Négliger l'intensité À, du courant dérivé par le
voltmètre revient à considérer la résistance R,
comme infinie.
La tension aux bornes de la résistance R serait alors
égale à :
U'=R;i=R;
E
À
R, +R;
Application numérique
u'=[
10,01 x 10 3
(1,044 x 102)
+(IOOI x 102) + 15,06] v
>
|U'=13,64 V
Exercices à résoudre
Le chronogramme de la tension de sortie
v,A de l’intégrateur du voltmètre numérique de la
figure 9.01 est donné figure 9.17.
Le montage de la figure 9.18 permet de
mesurer l'influence de la résistance d’entrée d’un
voltmètre analogique. On donne : E = 20,00 V et
R, = R;,= 10,00 kQ.
Le voltmètre
analogique
V,
présente, sur le calibre utilisé (15 V), une résistance
R, = 600 kQ.
On
considère
que
l'intensité
À; du
courant qui traverse le voltmètre numérique V, est
négligeable. Le voltmètre numérique, à 2000 points
de mesure, est supposé parfait.
1° Quelle tension indique-t-il lorsque l’interrupteur
K est fermé?
2° Quelle tension indique-t-il lorsque K est ouvert?
20 25
40
6065
(ms)
Fig. 9.17.
1° Pour une tension de référence Ve = 5,0 V
l'intensité du courant de décharge du condensateur
C est égale à 1 mA (20 ms <{<25 ms). Calculer la
résistance R.
2° Quelle est la quantité d'électricité emmagasinée
par le condensateur à l’issue de la charge?
3° Déterminer l'intensité du courant de charge
de C?
4 Calculer la tension v, appliquée à l'entrée de
l’intégrateur pendant la charge du condensateur
(0 <1<20 ms).
5° Déterminer la capacité C du condensateur.
6° Quelle est la valeur maximale v, de la tension
inconnue y, applicable à l'entrée de l'intégrateur
sachant que la valeur maximale v, de vA est égale
Fig. 9.18.
Le schéma de la figure d (voir encadré en
fin de cours : appareils magnétoélectriques) donne le
principe d’un voltmètre magnéto-électrique à trois
calibres.
Lorsque l'appareil est soumis à une tension
U = 3,0 V, appliquée entre les bornes 0 —3 V, le
cadre est parcouru par le courant d’intensité
15=45 UA qui provoque la déviation maximale.
L'appareil dérive alors le courant d’intensité
i, = 1 = 50 HA.
La résistance du cadre est égale à g = 2,20 kQ2.
à 15 V?
1° Quelle est la valeur de r5?
7° Donner le chronogramme de v, correspondant à
une tension d’entrée de l’intégrateur v, = 2 V.
2° Quelle est la résistance équivalente de l’appareil
pour le calibre 3 V?
183
Chapitre 10
ERREURS ET INCERTITUDES
Dans ce chapitre, exceptionnellement, nous
notons à le résultat de la mesure d'une
tension U, etc.
Avertissement. Ce chapitre regroupe l’ensemble des notions
susceptibles d’éclairer les activités de mesures de la classe de
TF2 : il ne doit pas être abordé comme un tout indissociable.
En revanche, on s’y référera avec profit lorsque, progressant
dans la réflexion critique à propos des mesures, on rencontrera
une situation dont il permet l’analyse.
m 1. ERREURS DUES A UN VOLTMÈTRE
1.1. Expérience
Fig. 10.01. Mesure de la tension U à l'aide d'une
collection de voltmètres du même type. La tension
U doit être bien stabilisée, les mesures doivent
autant que possible, être groupées dans le temps.
Plaçons en parallèle sur une alimentation stabilisée de bonne
qualité, fournissant une tension continue U bien définie, plusieurs multimètres numériques d’une même série (fig. 10.01).
Par exemple, nous prenons les appareils utilisés par l’ensemble
des élèves d’une classe lors d’une séance de travaux pratiques.
Supposons qu’en groupant ainsi huit appareils de calibre 20 V,
à 20000 points, nous obtenions les indications %, suivantes (en
volts) :
"
3951; 3952; 3,953::3,953; 3,953: 3,954: 3,95@—
1.2. Interprétation
Il nous faut savoir quel crédit accorder à chaque lecture et
ensuite quels enseignements nous pouvons tirer de cette série
d'indications.
a) Erreur maximale
Dans la notice technique des appareils, le constructeur annonce
que l’erreur maximale &,,,, que l’on peut commettre en utilisant
les voltmètres testés sur ce calibre, est égale à la somme de deux
termes : &,,, = 0,05 % : L + 2UR.
e le premier égal à 0,05 % de la mesure (soit 2,0 mV dans le
cas présent);
e le second égal à la valeur correspondant à deux unités de la
décade la plus faible (soit encore 2,0 mV dans notre exemple).
Au total donc, dans l’expérience réalisée nous pouvons écrire :
Emax = 4,0 mV.
Conséquence
Selon le constructeur,
dans le cas général d’une tension de
valeur vraie U, les indications des voltmètres doivent se situer
dans l'intervalle [U-e8,,,; U+ ex |].
Il revient au même de dire que si # désigne l'indication d’un
voltmètre, cette valeur U est telle que :
dus
184
WEURERS
b) Application
Dans l’expérience réalisée, l'application de ce résultat conduit à
définir les intervalles dans lesquels doit se trouver la vraie
valeur U
— mesure | :
[3,947 V ; 3,955 V]
— mesure 2 :
[3,948 V ; 3,956 V]
— mesures 3, 4 et 5 :[3,949 V ; 3,957 V]
— mesure 6 :
[3,950 V ; 3,958 V]
— mesure 7 :
[3,952 V ; 3,960 V]
— mesure 8 :
[3,956 V ; 3,964 V]
Les intervalles de mesures 1 à 7, par exemple, ont des
domaines communs. En revanche, les intervalles 1 et 8 sont
totalement extérieurs l’un à l’autre. Cela signifie que le calcul
de l’erreur maximale garantie par le constructeur ne peut plus
être appliqué à un appareil usagé dont l’étaionnage n’a pas été
périodiquement vérifié. Pour des appareils neufs, au contraire,
les indications des constructeurs sont généralement vérifiées.
1.3. Conclusion
Fig. 10.02. Courbe de densité de probabilité
d'erreur. Courbe de Gauss.
La courbe G donne la densité de probabilité p(£) de
l'erreur € : pour un type déterminé d'appareils, G
est en général inconnue. L'expérience permet toutefois d'en donner la représentation trés probable
qui est dessinée ci-dessus. I! s'agit d'une courbe
dite «normale», ou courbe de Gauss. L'aire située
entre la courbe G, l'axe des abscisses et deux verticales d'abscisses &, et &, représente la probabilité pour que & soit comprise entre &, et ,. Comme
l'erreur & a une valeur et une seule, l'aire totale
située entre G et l'axe des abscisses est égale
à l'unité.
La valeur absolue |s| a de fortes chances d'être
e L'expérience précédente met en évidence un résultat général :
lorsque l’on mesure une tension bien définie U à l’aide d’un
voltmètre en bon état, on trouve souvent une valeur # légèrement différente de U. L'erreur commise est la différence
ü-U=e.
Lorsque cette erreur £& peut être connue, on constate que sa
valeur absolue [el est en général nettement inférieure à la
valeur €, .
Si l'appareil est un peu usagé (cas le plus fréquent), il est possible que l’on ait lel>e
e Dans
le cas général nous
suivante :
appellerons
erreur la différence
e = valeur mesurée — valeur vraie.
inférieure à €, donnée par le constructeur :
lorsque les appareils sont neufs, la probabilité cor-
respondante est très proche de 1 {par exemple
0,995), car la courbe est resserrée autour de la
valeur exacte U. Lorsqu'ils sont très usagés, elle
est plus faible (par exemple 90 %). Si elle devenait
encore plus faible, il faudrait réétalonner tous les
appareils de la collection dont on dispose.
m2. PROBABILITÉ DES ERREURS
2.1. Cas d’une série de mesures
Certaines valeurs d’erreurs € sont plus probables que d’autres.
Une courbe G (fig. 10.02), qui possède une forme «en cloche »
bien particulière, permet en général de décrire correctement la
manière dont les erreurs se répartissent dans une série de
mesures d’une même grandeur avec des appareils différents.
Cette courbe représente les variations d’une fonction p(e) que
nous n’explicitons pas; la variable € est précisément l'erreur
ü - U.
& 2.1.1. Présentation de la courbe G
La courbe G peut être tracée dans un système d’axes (OE,
Op), comme sur la figure 10.02. Cependant puisque # = U+e,
elle peut être représentée de manière à avoir en abscisse 4
(fig. 10.03). Sur cette dernière figure, en dilatant l'échelle des
abscisses, nous pouvons placer les valeurs UV, U-e&., et
Courbede Gauss
Si G est exactement une courbe de Gauss, la pro-
babilité de trouver une erreur & comprise entre - o
et +o correspondant aux abscisses des points
d'inflexion de G, est de 0,68, soit encore 68 %; ©
est l'écart-type. Entre - 20 et + 20, on trouve alors
sensiblement
95 % des valeurs de £.
U+
Emax +
‘Il s’agit d’une courbe symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées ;pour un type donné d’appareils, elle dépend de la
valeur U de la grandeur mesurée et du calibre utilisé (comme
En). L'aire totale comprise entre G et l’axe des abscisses est
égale à l’unité.
185
m2.1.2. Probabilité d’une erreur
Notons
p(e)
l’ordonnée
du
point
de G
d’abscisse
Î+e
et
appelons de un intervalle d’erreur très faible situé au voisinage
de € (fig. 10.03). La probabilité dP de commettre une erreur
comprise entre € et e + de est égale à :
dPÆ
Fig. 10.03. Autre représentation de la courbe de
densité de probabilité d'erreur. Elle se déduit de
la courbe de la figure 10.02 par une translation
d'amplitude U suivant l'axe Où.
p(e) : de.
Cette probabilité est représentée par la surface d’un rectangle
(fig. 10.04). La courbe G traduit donc le fait que les faibles
erreurs (telles que lel<e..) sont plus fréquentes que les
erreurs importantes.
Si €, est une erreur beaucoup plus faible que &, (fig. 10.05), la
probabilité dP, = p(£,) : de de commettre une erreur comprise
dans un intervalle de largeur de autour de &,, est plus importante que la probabilité dP, = p(e;) - de d’en commettre une
dans un intervalle de même largeur de autour de &,.
Le fait que la courbe G soit symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées [p(- &) = p(e)] traduit le fait qu’une erreur positive
est aussi probable qu’une erreur de même valeur absolue mais
négative.
La figure 10.05 montre aussi qu’il est très probable que le| soit
inférieure à la quantité &., indiquée par le constructeur,
puisque la probabilité P correspondante, mesurée par l'aire en
rouge, est élevée. Supposons qu’elle soit égale à 0,95 : l’éventualité contraire ne peut pas être écartée : la probabilité pour que
lon ait [el>e,. est alors égale à 1 - P= 51072.
2.2. Cas d’une mesure unique
Fig. 10.04. Probabilité de commettre une erreur
comprise entre & et € + de.
En toute rigueur, c'est l'aire du rectangle élémenfaire qui est égale à p(e) : de, mais l'aire comprise
entre G, l'axe horizontal et les deux verticales
d'abscisses & et &+ de est très proche de cette
valeur; plus de est faible et plus cette différence
est négligeable.
Fig. 10.05. Probabilité d'une erreur.
L'erreur &, est faible devant o, elle est donc assez
probable; l'erreur &, est supérieure à o, elle est
donc peu probable : p(e,) <p(e,). y
La figure 10.06 suppose que l’on a effectué une mesure unique
ü de U et que l’on cherche à localiser la valeur inconnue U sur
l'axe des abscisses. Maintenant c’est donc U qui est porté sur
cet axe et la courbe T°, centrée sur # qui donne la probabi-
lité de trouver U au voisinage de %.
L’abscisse d’un point M de L (abscisse mesurée à partir de à),
représente donc un écart 7 tel que :
n=U-ü=-e.
Les courbes T° et G sont donc identiques.
Si le résultat d’une mesure unique de U, effectuée à l’aide d’un
appareil du type précédent, est à, alors l’aire en rouge est égale
à la probabilité d’avoir l’encadrement suivant pour U :
U—-e max
p(n) = p(- €) = p(e)
Le]
ls
;
;
,
. e]
4La
4.
Là
De]
#
sdeq
|
AN
:
PL
<U<Ü+eE….
max
< Fig. 10.06. Autre présentation de la courbe de
Gauss.
&
RS
Puisque l'écart n = U -Ü est l'opposé de l'erreur
e=0-U, la probabilité dP=p{n) dn d'avoir un
écart situé dans un petit intervalle de largeur ch
autour de n, est égale à p(-e) dn. On à donc
pin)=p(-e) et par conséquent la courbe T' se
déduit de G par une symétrie autour de l'axe üp,
mais comme G est elle-même symétrique par rap-
port à l'axe des ordonnées
[p(-e)=p(e)], les
courbes T' et G sont identiques
[p(n) = p(- 6) = p(E)l.
186
——
Par exemple, cette aire peut être égale à P=0,95 comme
précédemment. Là encore, le risque pour que la vraie valeur U
soit extérieure à l’intervalle [Ÿ-e,,3; @ + En] n’est pas «ul :
dans notre exemple, il est égal à 1 - P= 5 %; il croît avec le
vieillissement de l’appareil.
La figure 10.06 montre aussi que si une mesure unique de la
grandeur U, pratiquée avec un appareil inconnu que nous
n’avons aucune raison de suspecter, donne le résultat %, alors #
doit être considérée comme la valeur la plus probable de U.
m3. CAUSES DES ERREURS
3.1. Appareils de mesure
En absence de bruit, le glissement de fréquence de l'horloge est sans conséquence,
mais nous avons vu que la durée d'intégration de la tension d'entrée doit être égale
à un multiple de 20 ms (lorsque la fréquence
du secteur est 50 Hz); si la fréquence de
l'horloge varie, l'immunité au bruit du multimètre est donc réduite.
Appareils numériques. Erreur maximale
Généralement, le prix de l'appareil et sa
résolution sont en rapport avec sa précision. Comparons par exemple les erreurs
maximales correspondant à deux types
d'appareils assez courants utilisés pour
mesurer une tension continue de 10 V. Le
premier type est celui que nous avons pris
pour notre premier exemple (calibre 20 V,
20000 points). Le deuxième est un appareil
«grand public», à 4000 points, de calibre
40 V. Si Lest la lecture et si nous désignons
par U.R. une «unité de représentation», ou
une unité de la décade de poids le plus
faible, le constructeur indique pour le premier:
3.1.1. Appareils numériques
Au chapitre précédent, nous avons vu qu’un appareil numérique à double rampe comporte de nombreux composants :
amplificateur opérationnel autour duquel est construit un
intégrateur, source de tension de référence, horloge, interrupteurs, etc.
Tous les défauts et les imperfections de ces composants
s’accroissent lorsqu'ils vieillissent. L’amplificateur opérationnel, par exemple, est affecté d’une tension de décalage et de
courants d’entrée fluctuants qui peuvent rendre légèrement non
linéaires la charge et la décharge du condensateur; le condensateur peut avoir des fuites ;la tension de référence peut dériver
ainsi que la fréquence de l’horloge, etc. Ces différents défauts
entraînent des erreurs plus ou moins importantes. Parfois,
cependant, ces défauts peuvent être corrigés. Ainsi un potentiomètre permet généralement de compenser la dérive de la
tension de référence. Cette opération peut être réalisée en
procédant à un réétalonnage.
Le choix des composants, la complexité du principe utilisé (le
principe de l’appareil à double rampe est assez fruste), ont une
influence sur la précision du multimètre.
Le constructeur garantit que l’erreur est inférieure à une limite
(voir marge).
Emax = 0,05 %L + 2U.R.
et pour le second :
Emax = 0,7 L + 1U.R.
En utilisant ces relations, nous trouvons une
erreur maximale de 7 mV pour le premier et
de 80 mV pour le second.
m 3.1.2. Appareils analogiques
Comme pour les appareils numériques, leurs performances sont
affectées par le vieillissement des composants. Ils sont caractérisés par leur classe C indiquée par le constructeur. Pour un
calibre T, l'erreur maximale &,., qui les caractérise est donnée
CT
par la relation :
Emax
La classe d'un appareil analogique est inscrite sur son cadran; elle est la même pour
tous les calibres de l'appareil; cependant
lorsque l'appareil peut fonctionner soit en
courant continu soit en courant sinusoidal,
deux classes sont en général indiquées : la
plus faible correspond au courant continu
pour lequel l'appareil est plus précis.
1
100
%
Cette valeur &,,, doit être considérée comme équivalente à celle
obtenue pour un appareil numérique en appliquant la méthode
indiquée au paragraphe 1.1. : là encore, dans la très grande
l’on
majorité des cas, la valeur absolue de l'erreur € que
que
telle
est
appareil
tel
un
commet effectivement en utilisant
l’on
s
appareil
certains
pour
que
nt
cependa
arrive
11
‘lel<e..
ait le > Ex; autrement dit, si le résultat d’une mesure unique
est à, il y a, là aussi, un certain risque (par exemple 5 %) pour
à
que la vraie valeur U de la grandeur mesurée soit extérieure
l'intervalle [@ — Eux; À + Emax J
187
3.2. Fluctuation des grandeurs mesurées
e La valeur d’une résistance au carbone ou d’une résistance
métallique dépend de la température (température ambiante ou
température de la résistance elle-même, échauffée par le passage
d’un courant), etc. La mesure précise de telles résistances n’est
donc possible que si la température est maintenue parfaitement
constante, ce qui n’est pas toujours aisé.
e En électronique, pour déterminer la résistance thermique
d’un dissipateur, par exemple, il faut mesurer la puissance qui
doit être dissipée, la température ambiante et la température
d'équilibre du dissipateur. Or le régime permanent est long à
s'établir, et la température ambiante, pendant toute la durée du
régime transitoire, peut fluctuer; la température du dissipateur
n'est en général pas parfaitement uniforme, etc. Ces phénomènes entraînent des erreurs non imputables aux appareils.
Pour discuter correctement de la précision des mesures et tenter
ensuite de l’améliorer, il convient donc de noter très précisément l’ensemble des conditions expérimentales qui accompagnent celles-ci.
3.3. Méthode de mesure
La méthode utilisée peut être erronée, et dans certains cas il
peut même arriver que l’on sache globalement en quoi consiste
l'erreur de méthode sans que l’on soit capable a priori de la
chiffrer. Ainsi les éléments R et L du modèle série d’une bobine
à air sont des fonctions de la fréquence par suite de phénomènes capacitifs divers. De ce fait, la prévision, par le calcul, de
la bande passante d’un amplificateur sélectif utilisant une telle
bobine, conduit à des résultats légèrement erronés.
En revanche, nous ne classons pas parmi les erreurs de
méthode celles qui peuvent être corrigées, comme, par exemple,
celles qui résultent de l’usage d’ampèremètres et voltmètres non
parfaits.
Exemple
Supposons que l’on veuille mesurer la puissance P; = UI
fournie par un générateur G en utilisant le montage de la
figure 10.07. Le voltmètre mesure bien la tension U (et indique
ü=U+e,), mais l’ampèremètre ne mesure pas tout à fait
l'intensité 7 du courant fourni par G puisque le voltmètre en
dérive une partie. La puissance Pc ne peut donc être obtenue en
faisant seulement le produit des indications des deux appareils :
en toute rigueur, si Ry est la résistance du voltmètre, il faut
écrire :
U?
Pc 3
LU, à BR:
V
Fig. 10.07. Pour le générateur, l'ampéremétre et
le voltmêtre sont montés selon le montage aval;
pour le dipôle D, ils sont montés selon le montage
amont. Les erreurs commises en n'effectuant pas
de correction ne sont donc pas les mêmes selon
que l'on s'intéresse à la puissance délivrée par G
ou à celle qui est reçue par D. Pour mesurer cette
dernière, il vaut mieux modifier le montage.
188
Rappelons qu’il est toujours possible de connaître la résistance
d’un voltmètre (en consultant la notice de l'appareil par
exemple). En conclusion, il est possible de s'affranchir de
l'erreur systématique de mesure de P apportée par cette
méthode, si cela est nécessaire.
De la même manière, le montage précédent peut être utilisé
pour mesurer la puissance P, reçue par le dipôle D. En
désignant par R, la résistance de l’ampèremètre, nous écrirons :
P5= Ul, - Ril2.
Cela implique de connaître R, (ou la chute de tension aux
bornes de A), ce qui est également possible mais souvent moins
aisé que de connaître la résistance d’un voltmètre. Dans ce cas,
il vaut mieux changer de méthode et placer le voltmètre aux
bornes de D (montage aval), de manière que la correction soit
Gs
ou du moins très faible devant l’expression princi-
pale.
M 4. CLASSIFICATION DES ERREURS
4.1. Erreurs liées. Erreurs indépendantes
e Si, à l’aide d’un couple ampèremètre-voltmètre inconnu,
nous mesurons une résistance R, pour différentes valeurs de
l'intensité Z du courant dans cette résistance les mesures sont
entachées d’erreurs liées. Par exemple si l’un des deux appareils
est usagé, ses indications peuvent toutes être affectées d’erreurs
ayant le même signe.
e Pour que les erreurs soient indépendantes, pour chaque
couple de mesures conduisant à cette détermination de R, il
faut changer les deux appareils. Il n’est pas superflu, également,
de demander à d’autres opérateurs de recommencer la mesure.
4.2. Erreurs systématiques. Erreurs aléatoires
Dès lors qu’une cause d’erreur est connue,
il faut essayer de
la corriger ou de la minimiser. Restent ensuite les erreurs
inconnues. Certaines affectent toutes les mesures dans le même
sens (c’est le cas par exemple d’erreurs de méthode), elles sont
appelées erreurs systématiques. D’autres, au contraire, changent
de signe et de valeur d’une mesure à l’autre : ellés sont appelées
erreurs aléatoires.
La recherche des causes d’erreurs consiste justement à essayer
de dépister les erreurs systématiques ;nous verrons comment le
fait de procéder à des mesures indépendantes permet de réduire
l'influence des erreurs aléatoires.
4.3. Erreur absolue. Erreur relative
e Si la mesure d’une résistance R est entachée d’une erreur
er = 2 Q, cette valeur constitue l'erreur absolue sur la mesure
de À.
e Commettre une erreur de 2 Q sur la mesure d’une résistance
R voisine de 10 Q, n’a évidemment pas la même importance
que se tromper de 2 Q sur la mesure d’une résistance proche de
10 kKQ. L’erreur absolue n’est pas significative de la précision de
la mesure. Ce qui traduit cette précision, c’est l'erreur relative &,/R.
Dans le cas général d’une grandeur À connue avec une erreur
En métrologie la précision des mesures est
telle qu'il est courant de commettre des
erreurs relatives inférieures à 107% (cela
peut aller jusqu'à 10-'?). Au lycée, une
erreur relative voisine de 107? est acceptable, car le matériel utilisé n'est que très
rarement réétalonné et les méthodes de
mesures ne sont pas très élaborées.
absolue AA = &, l'erreur relative est 2.
e Pour les appareils numériques comme pour les appareils à
aiguille, il faut réduire les erreurs relatives en choisissant
convenablement le calibre. Pour cela on doit utiliser le plus
petit calibre compatible avec la mesure (c’est d’ailleurs ce qui
est automatiquement réalisé dans les multimètres à microprocesseurs).
189
M 5. ESTIMATEUR D'UNE GRANDEUR.
INTERVALLE DE CONFIANCE
5.1. Cas d’une mesure unique
Supposons qu’à l’aide d’un voltmètre numérique unique, en
bon état apparent, identique aux huit appareils du montage de
la figure 10.01, nous mesurions une nouvelle tension inconnue
U en utilisant le calibre convenable (20 V). Nous trouvons
ü = 12,457 V.
Exprimons l’erreur maximale €, prévue par le constructeur,
en millivolts :
Emax = L(12457 x 5 : 1072 : 100) + 2]mV
soit :
Emax = 8,2 MV & 8 mV.
Nous écrivons ensuite : U=ü+ ex SOit:
U=1(12,457 + 8 - 107*) V.
Nous pouvons dire maintenant que :
e
= 12,457 V est la valeur la plus probable de U et c’est par
cette valeur que nous estimerons U :
u est l’estimateur de U ;
e l’erreur € que nous
commettons
en estimant
U par %, est
certainement très inférieure (en valeur absolue) à €. ;
e la probabilité pour que l'intervalle :
(D— Eux À + Emax) = (12,449 V: 12,465 V),
contienne la vraie valeur de U est un peu inférieure à 1. Si cette
probabilité est égale à 0,95, on dit alors que le niveau de
confiance correspondant à l’intervalle (12,449 V ; 12,465 V) est
égal à 95 %. Ce niveau de confiance est ici difficile à estimer : il
est certainement supérieur à 99 % lorsque l’appareil est neuf, et
devient égal à 95 % ou moins lorsque l’appareil est usagé.
L'intervalle (4 — 8, ; U + Eux) est un intervalle de confiance
adopté
pour
une
mesure
unique, à un niveau
de confiance
certainement supérieur à 95 %.
Parfois, on dit aussi que €, représente l'incertitude AU sur la
mesure de U : c’est une manière rapide de dire qu’il s’agit de la
demi-largeur d’un intervalle de confiance à un niveau de
confiance raisonnable (autour de 95 %).
5.2. «Poids » d’une mesure
On peut montrer que le poids d'une mesure
est inversement proportionnel au carré de
l'incertitude qui lui est attaché. La sixième
mesure, pour laquelle l'incertitude n'est que
de 0,15Q a donc un poids 16 fois plus
important que chacune des autres pour
lesquelles AR est de 06Q (en effet
0,6 : 0,15=4 et 42 = 16).
190
Supposons que nous disposions d’une résistance À de valeur
nominale 100 Q et de 6 ohmmètres différents. Les cinq
premiers sont des multimètres à 2000 points, pour lesquels
le constructeur indique l’expression permettant de calculer
l’erreur maximale égmax: Désignant par L (lecture) la valeur
affichée par l’appareil et par U.R. (unité de représentation) la
valeur correspondant au chiffre de poids le plus faible de cet
affichage, le constructeur indique l’expression donnant êpax :
Ermax = 0,3 %.: L+3UR.
Le sixième appareil, de qualité supérieure, est à 20000 po,
et pour lui l’erreur maximale est:
Ehmax = 0,1 % - L+ SUR.
»
Supposons que deux étudiants mesurent le
rendement d'un amplificateur de puissance
pour des signaux d'entrée déterminés. Le
premier, élève de la section F2, débutant,
opère une telle mesure pour la première
fois; l’autre est élève d'une classe de T.S.
électronique de 2° année : il est évident
que la mesure effectuée par l'étudiant chevronné aura plus de poids que le résultat
donné par son jeune camarade.
Le degré de vétusté de tous ces ohmmètres est sensiblement le
même (3 ans), aussi attribuons-nous le même niveau de
confiance (95 %) aux intervalles de confiance de largeur
2€rmax QUi peuvent être établis à partir de chacune de- leurs
indications.
Le calibre le plus faible pour tous ces ohmmètres est 200 Q.
Nous trouvons
r, = 100,5 Q;, r:=100,6Q; r;= 100,7 Q:
ra = 100,7 Q; r;=101,1 Q. Pour chacune de ces mesures,
l'incertitude AR = Eprnax = 0,6 2.
La sixième
mesure
est r,=100,70 Q et l'incertitude
ERmax = 0,15 Q.
Il est évident que cette dernière mesure dont l’intervalle de
confiance (au même niveau de confiance 95 %) est quatre fois
plus faible que chacune des précédentes, est beaucoup plus
précise que les autres. On dit qu’elle a un poids statistique plus
élevé que les autres (ou, plus simplement que son «poids» est
plus fort).
5.3. Cas de plusieurs mesures indépendantes
En toute rigueur, s'il s’agit d'appareils à
aiguille, il ne suffit pas de changer d'appareils pour rendre les mesures indépendantes. En effet, un opérateur donné, en
relevant les indications des appareils, peut
commettre des erreurs de lecture de même
nature — erreur de parallaxe, par exemple
— et affectées du même signe. Dans ce
cas, pour être indépendantes, les mesures
doivent être effectuées par des opérateurs
différents. L'utilisation d'appareils numé-
riques élimine cette difficulté.
Revenons à la série de huit mesures de la tension U (expérience
du paragraphe 1). Bien que la mesure #, (3,960 V) soit un peu
éloignée de celle qui la précède immédiatement (% = 3,956 V)
nous la conservons (il faut être très prudent avant de rejeter
une mesure : celle-ci est douteuse mais on peut montrer qu’il y
a une certaine probabilité, légèrement supérieure à 5 %, pour
que l’appareil correspondant ne soit pas obligatoirement défectueux).
Les appareils
numériques utilisés étant différents, les huit
mesures sont indépendantes.
Les appareils sont du même type, ont le même âge, nous ne les
connaissons pas individuellement, aussi leurs indications ontelles le «même poids». Dans ces conditions, nous pouvons
estimer la tension inconnue U par la moyenne des huit mesures
m, = 3,9540 V.
La moyenne est le meilleur estimateur de U dont nous
disposons dans le cas d’une série de mesures indépendantes.
Nous allons apprendre à compléter ce résultat en lui adjoignant
un intervalle de confiance où la vraie valeur de U a une
probabilité convenable de se trouver (probabilité égale à 0,95
par exemple). Dans ce but il est nécessaire de présenter la
notion d’écart-type.
5.4. Écart-type d’une variable aléatoire
® 5.4.1. Définitions
Supposons que nous disposions d’un nombre N assez grand
d'appareils de mesure du même type (N > 35) nous permettant
d’obtenir NV estimations indépendantes %, d’une tension parfaitement définie U.
On dit que les mesures #, sont les valeurs prises par la variable
aléatoire 4.
Les N valeurs # sont groupées autour de la vraie valeur U.
Notons que la moyenne des valeurs #; est égale à U : en
mathématiques on dit que l’espérance mathématique de la
variable aléatoire w est U, et on écrit U= Eu). Selon que la
dispersion des #; autour de U est faible ou importante (voir la
figure 10.02), on dit que les appareils utilisés sont précis ou
non.
191
Pour mesurer cette dispersion, on définit une autre caractéristique de la variable aléatoire u, c’est son écart-type. La
définition mathématique de l’écart-type de u est la suivante :
DOMUNMO NU + er
29,
LOMCPOMNU TE
29;
Fig. 10.08 Rappelons qu'une courbe de Gauss,
centrée sur l'origine &= 0, présente deux points
d'inflexion qui ont pour abscisse + o.
Si la mesure d'une même grandeur U, à l'aide de
deux types d'appareils (ou par deux méthodes dif
férentes), conduit à des variables aléatoires ayant
des écarts-types différents (o,> 0), cela signifie
que l'appareillage (ou la méthode) correspondant à
l'écart-type le plus faible est plus précis(e).
Sur la plupart des calculettes actuelles,
les calculs de moyenne, d’écart-type d'une
série complète de nombres, ou d’estimateur
d'écart-type d'après échantillon, sont effectués automatiquement après avoir rentré les
différentes données.
Sur certaines calculettes, ces différentes
fonctions sont respectivement repérées par
les symboles suivants : X pour la moyenne,
Pour l’écart-type, a, _, pour l'estimateur
que nous avons noté 5,.
Si nous avions écarté la mesure douteuse
Üÿ= 3,960 V, nous
aurions
trouvé
S, = 1,6 mV, alors que la notice du constructeur nous a permis de calculer l'erreur maximale &, max = 4,0 MV. Le rapport &,,,/s,
aurait alors été égal à 2,5 ce qui est une
situation assez fréquente pour un lot
d'appareils en bon état.
Pour obtenir une
appareils précis.
dispersion
©, faible,
il faut
utiliser
des
Remarque
Si la mise en œuvre d’une méthode de mesure d’une grandeur
déterminée (par exemple, la mesure de la célérité du son à
l’aide du dispositif de la figure 10.08), conduit à des résultats
caractérisés par un écart-type o,, et si une autre méthode,
s'appliquant à la mesure de la même grandeur (la célérité du
son € obtenue par mesure de la longueur d’onde d’une
onde sonore de fréquence f et application de la formule
c = Àf), conduit à des résultats moins dispersés, caractérisés par
O2 < 0,, alors, on peut affirmer que la deuxième méthode est
plus précise que la première (fig. 10.09).
m5.4.2. Estimateur de l’écart-type
A défaut d’un grand nombre d’appareils, on est le plus souvent
limité à un nombre n restreint, égal à 6 ou 7 par exemple : les
mesures obtenues constituent alors un échantillon dont l'effectif
est n. De ce fait on ne connaît pas la vraie valeur U cherchée et
il faut alors estimer l’écart-type o,.
L’estimateur 5, de l’écart-type o,, si m, représente la moyenne
des 7 mesures indépendantes et de même poids, est défini par
la relation :
S (G-m)?
n—1
5, est un estimateur de l’écart-type o, que nous ne connaissons
pas.
Exemple
Pour les huit mesures indépendantes de la même tension U
que nous avons données au début de chapitre, on trouve :
Sy — 2,8 mV.
5.5. Intervalle de confiance utilisant l’estimateur s,
e On peut montrer qu’à partir de la moyenne m, de l’échantillon de n mesures de U et de 5,, on peut déterminer des
intervalles de confiance correspondant chacun à un niveau de
confiance choisi. Ces intervalles sont de la forme :
s
Qi de,mi
Vn
C'est pendant la guerre de 1939-1945 que
Student a développé la théorie des intervalles de confiance. Les prédictions que l'on
put en déduire se révélèrent si fiables (dans
différents domaines militaires notamment)
que sa découverte fut gardée secrète
jusqu'à la fin du conflit.
192
eVSu |
e Dans cette expression, { désigne un coefficient (dit de
Student) qui dépend :
— du niveau de confiance que l’on veut attribuer à l’intervalle
de confiance cherché,
— de l’effectif » de l’échantillon.
Nous donnons ci-dessous quelques valeurs de f correspondant à
divers effectifs n et à deux niveaux de confiance : 95 % et 99 %.
Pour n infini, on peut considérer que 5, est
exactement égal à , : l'estimateur coïncide
REP A re LCR Eee
avec la grandeur estimée. Les valeurs correspondantes de t (t= 1,96 pour le niveau
de confiance 95 % et t= 2,57 pour 99 %)
sont celles que l’on prend quand on connaît
parfaitement a,. Elles correspondent à la
courbe de Gauss pour laquelle 95 % de
l'aire est comprise entre les abscisses
+ 1,96 a et 99 % entre + 2,57 o.
IRC AQ CRU
En mathématiques, on montre que si
ü, Wu, Sont n variables aléatoires
de mêmes caractéristiques (même espérance mathématique U et même écarttype a,) alors leur moyenne m, a aussi
e L'expression donnant ces intervalles montre :
pour espérance mathématique U, mais
son écart-type 9, est plus faible que o;,;
ee dr
EST CENT PE PS LC
—
qu'ils sont centrés sur la moyenne m, des n mesures de U;
—
qu'ils
font
intervenir
le rapport
Su (voir l’encadré
n
ci-
on à : 69=0,/Vn. La quantité o,/Vn
contre);
n'est donc pas autre chose que l'estimateur de l'écart-type de la moyenne
— que le coefficient { dépend avant tout du niveau de
confiance que l’on veut attribuer à l'intervalle de confiance
cherché : plus le niveau de confiance est élevé, plus f est grand.
En outre, { dépend un peu de l'effectif » de l’échantillon : il
est d’autant plus grand que n est faible.
my.
La relation 9, =, Va signifie par exemple
que si nous réussissons à constituer plusieurs groupes de 6 voltmètres, et si nous
faisons, pour chaque groupe, la moyenne
des six indications (les appareils mesurant
tous la même tension U), ces moyennes
seront moins dispersées que les mesures
Exemple
Pour l’échantillon de 8 mesures que nous avons
début de chapitre, nous trouvons :
directes.
soit:
m,=3,9540;
5,=2,8mV
et
4 =10mV;
(55% (8)=2,37;
examiné
en
Vn=28;
op à (8) = 3,50.
n
Au niveau de confiance 95 %, l'intervalle de confiance pour U
est :
[3,9516;
3,9564].
Si nous appliquons la technique du calcul de
l'intervalle de confiance aux 5 mesures de
résistances pratiquées avec différents ohmmètres à 2000 points (cas étudié au paragraphe 5.2), nous trouvons successivement :
5=0230;
b54=257;
V5=2,24.
Nous en déduisons l'incertitude AR ou demilargeur de l'intervalle de confiance au niveau
de confiance 95 % : AR = 0,29 Q. Comme la
moyenne des 5 mesures est 100,72 (, nous
pouvons donner comme résultat :
R= (100,72 + 0,29)Q.
Avec l'appareil unique à 20000 points, le
résultat est :
R= (100,70 + 0,15)Q.
Nous vérifions bien ce qui avait été annoncé
au paragraphe 5.2. : la mesure avec le seul
appareil à 20000 points est plus précise
que le résultat déduit de l'ensemble des
5 mesures effectuées avec des appareils à
2000 points. Cela est général : une bonne
mesure vaut mieux que de nombreuses
mauvaises !
Au niveau de confiance 99 %, cet intervalle devient :
95057
3,975].
5.6. Remarque
Des conclusions intéressantes peuvent être tirées de l’analyse
d’un échantillon de 6 ou 7 appareils du même type (appartenant par exemple à la collection utilisée pour les travaux
pratiques). Nous supposons qu'il s’agit, comme c’est généralement le cas, d'appareils en bon état, mais un peu usagés. À
l’aide de ce lot d’appareils si nous mesurons une grandeur
unique U nous trouvons, à partir des mesures ü,, un «écarttype» s, qu’il est intéressant de comparer à l'erreur maximale
Ex indiquée par le constructeur. Nous pouvons constater que
le rapport (&mx/S) est proche de 2,5; la valeur maximale
annoncée
pour
l'erreur
qui
peut
entacher
une
mesure
est
2,5 fois plus grande que l’estimateur s, de l’écart-type a,. Nous
tirons de cette observation deux conclusions approchées :
a) Pour une mesure unique #, l'intervalle (4 — &, sax ;Ü + Eu max)
correspond certainement à un niveau de confiance proche de
95 % comme nous l’avons adopté.
193
Nous avons vu que si nous pouvons effectuer n mesures indépendantes d'une grandeur inconnue U, nous estimerons U par la
moyenne m, de ces n mesures. Comme
nous pouvons également estimer a,, nous
serons capables de donner pour U un intervalle de confiance à un niveau de confiance
déterminé. En revanche, si nous ne pouvons
procéder qu'à une seule mesure de U, et si
nous trouvons la valeur à, il faut bien sûr
estimer U par à. Mais, comme, en l’absence
de connaissance complète de l'appareil utilisé, a, ne peut être estimé, nous ne pourrons pas appliquer la méthode précédente
pour proposer un intervalle de confiance (ou
b) Si par manque de temps ou de moyens il n’est pas possible
d'estimer l’écart-type o, d’une variable aléatoire w correspondant à la mesure d’une grandeur U, avec un type d’appareil
déterminé, on pourra adopter pour valeur approchée de 5, la
quantité &, max/2,5. (Insistons sur le fait qu’il ne s’agit là que
d’estimations grossières.)
un domaine raisonnable d'incertitude). Les
règles qui sont données ci-contre, bien que
m6. PROPAGATION DES ERREURS
PAR L'INTERMÉDIAIRE DES FORMULES
non rigoureuses, sont destinées à fournir
dans ce cas des ordres de grandeurs permettant d'évaluer l'incertitude sur U.
On désigne ainsi la répercussion des erreurs des données sur le
résultat d’un calcul.
6.1. Cas d’une somme ou d’une différence
Supposons que nous obtenions une tension U, liée à deux
autres tensions U, et U, par la relation U=U,+U,, en
effectuant les mesures de U, et U, (mesure indirecte de U). Les
valeurs fournies par les mesures sont #, et ià.
A ces mesures correspondent les variables aléatoires w, et w,
dont les espérances mathématiques respectives sont U, et U,.
Comme les résultats #, et #, des mesures sont erronés, la
somme # =, +) est elle même erronée. Elle varie d’un
opérateur à l’autre notamment et l’on peut dire que # est la
valeur prise par la variable aléatoire u = u, + u;.
L'erreur €, = # —- U est due à la propagation des erreurs &, et &,
commises sur U, et U,; cette propagation s'effectue par la
formule & = &, + ü.
Essayons de connaître la caractéristique la plus importante de
la variable aléatoire u c’est-à-dire son écart-type o,. En mathématiques on montre que lorsque 3 variables aléatoires sont
liées par une relation du type : u = u, + u,, leurs écarts-types
vérifient la relation :
Par conséquent, si o, et o,, sont connus, nous calculerons a,.
La relation précédente peut être transformée pour obtenir
l’estimateur s, de o, :
nd_
2
2
Ce résultat s’applique à une somme ou à une différence de deux
termes. Il peut être généralisé.
Appelons A U l'incertitude absolue sur U. Si nous posons par
exemple, AU = 72,5s, (et de même pour y, et u,) nous pouvons
écrire :
AU=VAUT+ AUX.
Cette relation s’énonce ainsi :
dans le cas d'une somme ou d'une différence, les incertitudes absolues (correspondant au même niveau de confiance),
s'ajoutent quadratiquement.
194
Montrons que dans un produit, par exemple,
les erreurs Sur chacun des facteurs se
compensent partiellement si bien que les
incertitudes relatives ne s'additionnent pas
directement.
Supposons que nous mesurions la puissance P=U/ absorbée par un récepteur.
Les mesures de U et de /, entachées des
erreurs &, et e, ont donné respectivement :
ü=120+24V;
1=50+0.1 A.
La puissance P est donc estimée par
Ê=üi =600 W.
Ces valeurs sont telles que :
AU AI ,,
ri
2%.
6.2. Cas d’un produit ou d’un quotient
a) Produit
Supposons qu’une puissance P = UJ soit déterminée
d'une mesure # de U et d’une mesure à de .
Le produit P = ÿ i par lequel on estime P est entaché d’une
erreur €, = P — P. Elle est due à la propagation des erreurs &, et
€, lors de l’utilisation de la relation p = ü 6.
La puissance réelle P est estimée par P, valeur prise par la
variable aléatoire p = ui, produit des variables aléatoires u et i.
Que pouvons-nous dire de la variable aléatoire p?
En mathématiques on montre que si trois variables aléatoires p,
u et i d’espérances mathématiques respectives P, U et Z sont
liées par une relation monômiale du type p = ui, alors leurs
écarts-types satisfont à la relation :
=
Avec nos conventions (incertitude
= demi-
largeur de l'intervalle de confiance au niveau
de confiance 95 %), notre écriture signifie
que la probabilité pour que la tension U
soit supérieure à 0+ AU= 122,4 V est seu! lement de 5: 107 2/2 = 2,5 : 10"2. De même
la probabilité pour que l'intensité /soit supérieure à / + A/=5,1 À est égale à 2,5 : 102.
En mathématiques on montre que la probabilité pour avoir à la fois :
U>û+AU
et
1>T+A/
est égale à :
2,5: 1072 x 2,5 : 1072= 6,2: 1074
est donc très faible : la valeur 624 W est
donc largement extérieure à l'intervalle
(p- AP, +AP)
qui est l'intervalle de
confiance au niveau de confiance 95 %.
L'application de la formule
CAN
P
û
NE
î
nous donne effectivement
AP= (600 x 2,8 : 10-2}W = 17 W.
Cette expression traduit donc simplement le
fait qu'il est peu probable que les erreurs &,
et «, soient à la fois importantes et qu'elles
affectent le produit Ÿ / dans le même sens.
[a] 4 [a]
2
P
U
2
I
L’écart-type o, peut être estimé à partir de s,, s;, 4, À et p, grâce
à la relation approchée :
n
2pô
12
2
Ë +|à|.
NL]
L
En prenant comme incertitude À P sur la mesure de P (demilargeur de l’intervalle de confiance à un niveau de confiance
proche de 95 %) la quantité AP =72,5s,, et en procédant de
même
pour ÜU et Z, nous pouvons alors écrire :
a.
La probabilité pour que la puissance P soit
supérieure à :
(122,4 x 5,1) W= 624 W
à l’aide
faUT [UT
p
L'intervalle
alors :
ü
de confiance
au
À
niveau
17
de confiance
95 % est
[Pp-AP; p+API.
Les quantités AP/f, AU/f et Al/T étant les incertitudes
relatives sur les mesures respectives de P, U et J, la relation
précédente s’énonce ainsi :
dans le cas d'un produit (ou d'un quotient), les incertitudes
relatives (au même niveau de confiance), s'ajoutent quadratiquement.
Remarque
Lx
Si les estimateurs # et { proviennent
unique, en posant :
chacun
d’une mesure
AU= Es max © 2,55,, et AZ = Eux © 2,55,
nous
avons
:
b)
Quotient
à
U
Nous prenons l'exemple d’une résistance R = 7 La valeur est
obtenue par mesure de U et de Z. La relation liant les écartstypes 0,, 0, et a; est analogue à celle applicable dans le cas d’un
produit :
Ge
R
[al -[T
U
Ti}
195
La marche à suivre est donc également
déduisons la relation suivante :
RAC
F
ü
la même;
nous
en
NE
Fr. tu
Dans le cas d’une mesure unique de U et J, si nous posons
AU = Es max Et A = E; max >l'incertitude AR sur la mesure de R est
donnée par la relation :
AR
|
[Es |
4
A
Éimax
U
“
i
Exemple
si = 2% et 22= 2 % alors:
À R népfro
es NIUE
ri” (5) CS) on
Les erreurs €, et & étant
partiellement.
aléatoires,
elles
se
compensent
6.3. Monôme : A = X°*YŸZ'
Supposons qu’une grandeur À soit définie à partir de grandeurs
X, Ÿ, Z, par une expression monômiale du type 4 = X°YPZY.
Nous ne chercherons pas comment, dans ce cas, sont reliés les
écarts-types des différentes variables, mais nous nous proposons de montrer qu’il faut être d’autant plus attentif à la
mesure d’une grandeur X, Ÿ ou Z intervenant dans l'expression
de À que son exposant est plus élevé.
On montre en mathématiques (voir dérivée logarithmique) que
si dX, d} et dZ sont de petites variations de X, Y et Z,
alors la variation Sn
2 dA de A est telle que :
dA _
A
+8Ÿ
dy, Re
ER {
L'expression reste vraie si _ hasdY et dZ sont des erreurs
Enr Es €, Et €,; nous avons alors :
€
€
Da
+B+ye.
a
X
ÿ
e
Autrement dit, une erreur relative commise sur l’une des
variables primaires X, Y ou Z, intervient dans l’erreur relative
de À multipliée par son exposant dans la formule.
A titre d'exemple, considérons l’expression À = X 2Y VZ. Si les
erreurs relatives sur X, Ÿ et Z sont les mêmes, les considérations précédentes nous montrent que la mesure de À sera
quatre fois plus affectée par celle de X, dont l’exposant est 2,
que par celle de Z dont l’exposant est 1/2.
6.4. Autres cas
Nous avons vu que dans le cas d’une somme ou d’une différence, les écarts-types (et les incertitudes absolues) s'ajoutent
quadratiquement tandis que dans le cas d’un produit ou d’un
quotient, ce sont les rapports écart-type/grandeur (a,/U, ou
s,/4) et les incertitudes relatives qui s'ajoutent quadratiquement. Dans le cas de formules plus complexes, les relations
196
permettant de relier les différents écarts-tvpes des variables
aléatoires intervenant dépassent le cadre du programme de la
classe de terminale. Ces relations sont d’ailleurs un peu
illusoires car elles imposent de connaître parfaitement la
relation mathématique À = f(X, Y, Z) qui permet de passer des
grandeurs X, Y, Z à la grandeur À. Or, souvent, il n’en est pas
tout à fait ainsi, et diverses causes d’erreurs affectent la
précision d’une mesure sans que l’on soit bien capable de le
traduire par une formule.
m7. CONCLUSION
Pour avoir une idée de la précision avec laquelle une méthode
de mesure et un type d’appareillage permettent de mesurer une
grandeur À, le plus simple est de constituer un échantillon de
n mesures 4, de À, indépendantes et de même poids.
Cet échantillon permet d’estimer l’écart-type ©, relatif à la
variable aléatoire a correspondant à la mesure de A. La
comparaison des écarts-types relatifs à deux méthodes ou à
deux types d’appareillages est souvent significative.
Si nous appelons incertitude relative le rapport de la demilargeur À À de l'intervalle de confiance et de 4, au niveau de
confiance 95 %, l’échantillonnage permet également de bien
caractériser une telle incertitude.
Les formules de propagation des erreurs que nous avons vues,
montrent que dans le cas d’un produit ou d’un quotient, les
incertitudes relatives s’ajoutent quadratiquement.
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
(10.01. ]Le multimètre MX 40 est un appareil à
4000 points de mesure.
Quelle est sa résolution sur le calibre 400 mV?
R : 1 mV; 1 pV; 100 uV; 400 V.
Le multimètre MX 575 est un appareil à
20000 points de mesure.
En ce qui concerne la mesure des résistances, et sur
le calibre 2000 Q, sa précision est définie de
par le constructeur
suivante
la manière
& max = (0,1 %L + 3d), en désignant par L la lecture
et par d la valeur d’un «digit» de poids le plus
faible. En déduire &,,, Pour une lecture de 1 500 ©2.
R : 4,5 Q; 1,8 Q; 15,3 Q; 2,1 Q.
Sur le calibre 2000 kQ, pour l'appareil
Au sujet de l'appareil précédent, le cons-
précédent, le constructeur donne :
tructeur indique que sur le calibre 400 mV, l’incertitude À U (ou erreur «maximale » &ax) est telle que :
AU=0,7 %L + 1U.R., en désignant par L la lecture
et par U.R. une «unité de représentation», c’està-dire 1 unité de la décade de poids le plus faible.
Quelle est la valeur de A U lorsque L = 286 mV?
& mu = 0,3 L + 34
;
à
5-3
Quel est, approximativement, | écart-type de l erreur
que l’on commet avec un tel appareil, âgé de moins
d’un an, lorsque l'on mesure sur ce calibre une
résistance R voisine de 1! M2?
R : 2,1 mV; 3,1 mV; 0,1 mV; 2,9 mV.
R:99kQ;
3,3 kQ; 6.3 kQ; 1,1 KO.
197
[10.05. | Un multimètre numérique (Beckman
T 110B), à 2000 points de lecture, âgé de quatre ou
cinq ans, utilisé pour mesurer la valeur efficace de
l'intensité d’un courant sinusoidal, sur le calibre
2A, indique 7 = 1,263 A. Le constructeur stipule que
l'incertitude AZ est donnée par l'expression
Al=2%L+4d.
Quel est, approximativement,
lécart-type de l’erreur que l’on commet avec ce type
d’appareil lors d’une telle mesure?
[10.06. ]Sur le calibre C=20 V «continu», les
multimètres MX 727 sont caractérisés par l’incertitude &, max = 1 %L + 0,3 %C. Sept de ces appareils,
âgés de moins d’un an, ont été branchés en parallèle
sur une source de tension très bien stabilisée. On a
obtenu les résultats suivants :
ui = 17,12 V, w = 17,03 V, u3= 17,14 V,
ua = 17,21 V, us = 17,15 V, u= 17,07 V,
ur = 17,06 V.
R : €, max = 231 MV, 5, = 6,2 MmV, &, max /Su = 37 : la
série est conforme aux affirmations du constructeur; &, max = 231 mV, 5, = 62 mV, 8, max /Su = 3,7 : la
série est excellente; &,,,, = 23,1 mV, 5, = 62 mV,
Eu max /Su = 0,37 : il ne faut pas acheter d’appareils de
ce type; 8, max = 0,771 V, 4 = 6,2: 107 2V;
Eu max /Su = 12,4 : ce type d’appareil est remarquable.
10.07. |Le rendement 7 d’un moteur à courant
continu s’exprime par le rapport 7 = P,/P, où P, est
la puissance mécanique utile du moteur et P, la
puissance électrique qu’il absorbe.
I est plus facile de mesurer une puissance électrique
qu’une
puissance
mécanique,
aussi calculet-on généralement P, : P,= P, — p,, si p, représente
les pertes du moteur.
Cela
permet d'obtenir l'égalité 7 = 1 -(p,/P,) et d’estimer 7 grâce aux mesures de p, et de P,.
Supposons que les vraies valeurs de P, et de P,
soient respectivement 400 kW et 370 kW.
Appliquant la première formule, un opérateur a
effectué la mesure de P, et de P,. Il a commis une
erreur de 1,0 % par excès sur P,, et en mesurant P,
il s’est trompé de 3,0 % par excès également. Il
trouve un rendement #..
Un autre opérateur utilise la deuxième formule, lui
aussi surestime ?, de 1,0 %, mais il commet une
erreur de 15 % par défaut dans l'estimation de p,. Il
trouve un rendement 7,. Quelles sont les valeurs de
n, M et M?
R:7=92,5 %, m1 = 94,3 %, m2 = 93,7 %; n = 90 %,
M1 = 92,6 %, 12 = 95,2 %; mn =95 %, 11 = 96 %,
M2 = 103,7 %; n = 92,5 %, mn, = 88,9 %, m> = 91,5 %.
Au cours d’un cycle de TP portant sur
les amplificateurs de puissance, sept groupes de
2 élèves mesurent indépendamment, mais selon la
même méthode, le rendement 7 d’un amplificateur
de puissance fonctionnant en classe B (push-pull
198
66,1
%,
M6 =
65,8
%,
5
be: 66,3 %.
Quel intervalle de confiance (au niveau de confiance
95 %) peuvent-ils donner pour r s’ils mettent leurs
résultats en commun ?
R : (65,1; 67,8);
(65,8; 67,1).
(65,8; 67,7);
(64,3; 70,8);
Mesuré par 12 groupes de deux élèves, le
coefficient d'amplification d’un même préamplificateur a été successivement estimé selon la même
méthode (m = U, /U,) par :
m=1,71;
Quel est le rapport &, ax /Su, et quel commentaire
suggère-t-il ?
de toutes
m = 66,1 %, m = 67,7 %, m3 = 65,9 %, m4 = 67,2 %,
ns =
R : 29,3 mA; 12 mA ; 257 mA; 9,8 mA.
la somme
série symétrique). L’amplificateur doit fonctionner
en régime sinusoidal, débiter sur une résistance de
charge de 8,0 Q@ et fournir à cette charge une
puissance égale à 20 W. Il est alimenté sous + 20 V.
Avec des appareils différents mais de qualités comparables, les différents groupes ont trouvé successivement :
Mm=1,74;
m;=1,72;
ms = 1,73; ms =1,78; m=
Mo
=
1,68 ; 10
=
IN76S
PIRE
m=1,71;
1,75; ms = 1,70;
1,72:
m2
_
BE
S
Les mesures sont indépendantes et de qualités
comparables.
Déterminer pour m, à partir de ces mesures, un
intervalle de confiance au niveau de confiance 95 %.
Rus(1,735; 1,737)::.(1,51: 1,89);
(1,68; 1,78).
CL RER,
Pour mesurer, au voisinage de 1 kHz, le
coefficient d’inductance L d’une bobine à noyau de
ferrite possédant un entrefer, on utilise la méthode
de la résonance série (lors de la résonance d’inten-
sité, en régime sinusoidal, on a LCw= 1). On dispose d’un générateur B.F. à fréquencemètre incorporé (mesure de &,), d’une boîte de condensateurs
étalonnés (mesure de C), d’un jeu de résistances
radio et d’un oscilloscope (contrôle de la linéarité du
dispositif, et en particulier de la non-saturation du
circuit magnétique de la bobine).
Ranger, par ordre d’importance décroissante, en
justifiant votre classement, les divers paramètres à
mesurer ou à contrôler.
R : — Il faut soigner la mesure de C parce que c’est
l'élément le plus important pour obtenir une résonance, puis contrôler la linéarité du dispositif, et
enfin porter son attention sur la mesure de f (ou de
&6). — Les deux paramètres C et f sont également importants; le fait que le régime soit totalement sinusoïdal est, lui, sans importance. — Il
faut d’abord s’assurer que le régime est bien sinusoïdal, parce que la relation LCw$ = 1 n’est vraie, en
toute rigueur que si L est bien une constante, ensuite
il faut porter son attention sur la mesure de y,
parce qu’une erreur sur ce paramètre a une répercussion deux fois plus importante sur la mesure de
L, ensuite déterminer C avec la précision maximale.
— Si l’on dispose d’appareils numériques, la mesure
de f est parfaite et donc sans erreur, il faut donc
déterminer C soigneusement et s’assurer qu’on a
bien un signal sur l’oscilloscope.
Exercice résolu
Lors d’une séance de travaux pratiques,
les élèves sont invités à construire un amplificateur
comportant deux amplificateurs opérationnels du
type TL 081, selon le montage de la figure 10.09.
Les valeurs nominales des résistances (à 5 %) sont
imposées : R,=1kQ, R;,=10kQ, R;,=1kQ et
R, =
10 kQ.
2.4. Comment interprétez-vous la dispersion correspondant à cette deuxième série de mesures?
2.5. Comment interprétez-vous la dispersion correspondant à la première série de mesures ?
3° On recommence les mêmes mesures que précédemment, mais à la fréquence nominale de 150 kHz.
A cette fréquence, on ne peut plus utiliser les
multimètres, aussi les élèves mesurent-ils les amplitudes V, et V. en utilisant exclusivement leur oscilloscope.
Chaque groupe mesurant le coefficient À de son
propre amplificateur, on obtient :
À; = 70; À; = 9%; A3 = 90; A4 = 2:
As = 65;
A6 = 82; A,=75; Ag = 92.
3.1. Que peut-on déduire de cette dispersion ?
3.2. Chaque groupe (à l’exception du groupe n° 1)
recommence ensuite la mesure de 4, à la fréquence
de 150 kHz. Les résultats obtenus sont les suivants :
Fig. 10.09
A1 =70; 4: =75; A3=72; A,=68; Ai =170;
A6=72; A;=171; 4g = 74.
Chaque groupe d’élèves mesure ensuite le coefficient
d’amplification 4, de son amplificateur en régime
sinusoïdal, à la fréquence f, = 300 Hz, en appliquant
à l’entrée un signal d’amplitude 0,10 V et en mesurant, à l’aide d’un voltmètre numérique de bande
SOLUTION
passante 450 Hz les valeurs efficaces V, et V, des
tensions d’entrée et de sortie.
Les résultats de cette première série de mesures sont
les suivants :
1° Estimation de l’écart-type ©
Après avoir entré les huit données dans une calculette appropriée,
on obtient la moyenne
Mo = 100,2 des différentes mesures et on estime
Aoi = 99,6; A
=
102,7;
A3 = 97,3; A4 =
103,1;
A9s = 95,0; A6 = 101,2; A7 = 104,1 ; A8 = 98,7.
1° Estimer l’écart-type ©, de la variable aléatoire &
correspondant à la mesure des coefficients 4, dans
ces conditions.
2° Selon la même technique, l’ensemble des
8 groupes mesure ensuite le coefficient 45, de
lamplificateur construit par le groupe n° 1 (celui-ci
ne recommence pas sa mesure). La deuxième série
de résultats ainsi obtenus est la suivante :
Aÿ1 = 99,6: A4 = 98,9; 463 = 100,7; 44 = 99,3;
Aÿs= 101,1; 446 = 99,4; 4j, = 100,8; 444 = 101,4.
2.1. Estimer l’écart-type o, correspondant à la
mesure de 4,, par les différents groupes d'élèves.
2.2. Donner un intervalle de confiance au niveau de
confiance 95 % pour 41.
2.3. Les multimètres utilisés (MX 512) sont de
bonne qualité; ils ont 2000 points de mesure. La
mesure de Ÿ, est effectuée sur le calibre 200 mV
alternatif, pour lequel le constructeur annonce une
erreur maximale &,. max = 1 %L + AU.R., tandis que
la mesure de Ÿ, a lieu sur le calibre 20 V alternatif pour lequel on a également &,, 4x = 1 %L + AU.R.
Donner, à partir de ces seules indications, un ordre
de grandeur de l’incertitude sur la mesure de 45,, en
prenant À V, = 8. ax €t À V, = Es max :
Commenter cette nouvelle dispersion.
l’écart-type correspondant : |50 = 3,1
2.1. Estimation de l’écart-type o;
ma = 100,15;
2.2. Intervalle de confiance pour 4
Il y a 8 mesures, nous prenons donc : 4=2,37
(voir tableau du paragraphe 5.5). L’incertitude A 4j,
au niveau de confiance 95 % est donc égale à
AA = (2,37 x 0,95)/V8 = 0,80.
L’intervalle de confiance demandé
(Mai — À A0: ; Mai + AA)
est donc égal à : (99,35; 100,95). Il est assez réduit,
la mise en commun des résultats conduisant à
une incertitude relative AA5/Ao
€ 0,8 %.
2.3. Incertitude sur la mesure de As;
Le coefficient d’amplification 4, dépend de PV, et de
V, selon l’expression :
A9 =
Es
Dans ces conditions nous savons que l'incertitude
relative sur À, s'obtient en ajoutant quadratique-
ment les incertitudes relatives sur V, et , :
AA _ 4 J[AV.Ÿ + (25)
49
Ve
72 à
199
Calculons donc AP, et
Puisqu’on
a imposé
AP.
V,Æ 100 mV,
s’ajoute à celle qui caractérise la série de mesures
les valeurs
de
V, = VJV2 sont voisines de 70 mV. Sur le calibre
200 mV, une unité du chiffre de poids le plus faible
correspond à 200 mV : 2000 = 0,1 mV. Sur ce calibre
l'incertitude sur chaque mesure de V, vaut donc :
AV, =& ue max = [(70/100)
+ 0,4]mV = 1,1 mV.
Les valeurs de F. sont voisines de 7 V puisque
V, = AV, et que À, est voisin de 100; sur le calibre
20 V utilisé pour les mesurer, la valeur de 1 U.R. est
égale à 20 V : 2000 = 0,1 V. Par conséquent :
AV,=Ee
ue max
=[(7/100) + 0,04]
V = 0,11 V.
Nous pouvons donc écrire :
ARLARE
(57 10 221378
F
V.
On en déduit:
A
AV ER
Donc $
220
A4p
=— X
0 = 100
* 10000 = 2,22,
%
En supposant que les rapports entre AP et a, AV.
et 64; Ado, et 6, sont voisins de 2,5, on peut même
estimer 0, par A4,,/2,5 et on trouve :
0, = 2,22/2,5 = 0,89.
Cette valeur est très proche de la valeur estimée par
échantillonnage.
2.4. Interprétation de la dispersion dans la seconde
série de mesures
La deuxième série de mesures concerne la même
grandeur 4, ; la dispersion correspondante provient
essentiellement des erreurs imputables aux voltmètres, car, au voisinage de 300 Hz, 4, ne dépend
pas de la fréquence. Les mesures de PV, et de V, par
chaque groupe d’élèves ne sont pas tout à fait
indépendantes, puisqu'elles ont été réalisées avec le
même voltmètre. Les erreurs commises sur PV, et V,
ne sont pas non plus complètement liées puisque
deux calibres différents sont utilisés.
2.5. Interprétation de la dispersion correspondant à
la première série de mesures
La dispersion de la première série de mesures
s’explique par le fait que les résistances intervenant
dans chacun des montages n’ont pas exactement
leurs valeurs nominales. De ce fait, une seconde
cause de dispersion, plus importante que celle qui
est due aux erreurs de mesures, puisque 5 & 35,,
de Ab:
L'expression théorique
tion À, est :
k
du coefficient
d’amplifica-
#- Re) (-È)-R Re.
R
R3)
Ri°R;
Compte tenu des valeurs nominales des résistances,
sa valeur nominale est donc égale à 100. Mais
4 résistances, telles que, pour chacune d’entre elles
AR/R = 5 %, interviennent dans la définition de 4
et dispersent les valeurs réelles des coefficients 4b;
réellement obtenus.
On remarquera toutefois que dans les différentes
mesures de cette série, interviennent essentiellement
6 paramètres aléatoires : les valeurs des quatre
résistances de chacun des montages (à 5 % chacune),
et les deux mesures de tension (à 1,5 % chacune). Or, si l’on prend comme incertitude sur la
mesure d’un coefficient d'amplification quelconque
la valeur A4,2,5s,, on trouve À 45/4, = 7,8 %. On a
bien là l'illustration du fait que les erreurs aléatoires
se compensent partiellement.
3.1. Conclusion concernant cette dispersion
L’écart-type de cette troisième série de mesures est
grand (5, = 12). La mesure des coefficients À, est
certes effectuée d’une manière non précise (à l’oscilloscope), mais la quatrième série de mesures où
cette opération est prise en compte montre que là
n’est pas la cause essentielle de la dispersion. En
fait, 150 kHz est une fréquence située à la limite de
la bande passante d’un tel amplificateur, et selon les
circuits intégrés utilisés, cette limite est franchie ou
non. La dispersion essentielle provient donc de la
dispersion des caractéristiques des circuits intégrés.
3.2. Étude de la nouvelle dispersion
La moyenne des 8 mesures de 4,, pour f = 150 kHz,
est 71,5, alors qu’on avait, à très basse fréquence,
Ag = 100,1. On est donc juste à la limite de la bande
passante à 3 dB de cet amplificateur et, au voisinage
de 150 kHz, 4, dépend de la fréquence. La dispersion obtenue dans cette quatrième série de mesures,
se rapportant à un même amplificateur, dépend
donc de la précision avec laquelle F, et , ont été
mesurées (emploi de l’oscilloscope), maïs aussi de la
manière dont les différents groupes ont réalisé avec
précision l’égalité f = 150 kHz. En l’absence d’expérimentation permettant de traiter séparément les
deux causes de dispersions, on ne peut donc rien
affirmer. Il faudrait faire mesurer un même coefficient d'amplification indépendant de la fréquence,
à l’oscilloscope, pour apprécier la dispersion provoquée par cette méthode de mesure.
Exercices à résoudre
On mesure le coefficient d'amplification 4
d’un amplificateur dans une zone où celui-ci ne
dépend pas de la fréquence (/— 1 kHz). Les valeurs
efficaces V. et V; des tensions sinusoidales d’entrée
et de sortie sont mesurées avec des voltmètres à
2 000 points de mesure pour lesquels le constructeur
indique que sur les 2 calibres utilisés (2 V et 20 V,
le calibre 200 mV n’existant pas pour les tensions alternatives), l’erreur maximale est donnée par
l'expression :
Emax = 0,3 % L + 0,2 % Cal
Les appareils
anciens.
sont
de bonne
(Cal = calibre).
qualité
mais
assez
On trouve PV. = 70 mV et PV. = 7,21 V.
On
prend
chaque
fois
pour
incertitude
AV
au
niveau de confiance 95 % la quantité €, .
Estimer l'incertitude sur la valeur de À à ce niveau
de confiance.
On dispose de 7 sondes à effet Hall,
reliées à des voltmètres numériques, et de 7 solénoiïdes identiques (commercialement), de dimensions apparentes égales, comportant, d’après le constructeur, le même nombre de spires par mètre (7).
Les solénoiïdes sont alimentés par des alimentations
stabilisées réglables, et l'intensité du courant est
ajustée à sa valeur nominale 7 = 2,0 A.
Les différentes intensités sont mesurées à l’aide
d’ampèremètres analogiques, de calibre 3 A et de
classe 1,5. On observe, en début d’expérience, une
dérive générale des intensités qui ont tendance à
décroître légèrement.
Les différents expérimentateurs, grâce aux ampèremètres et aux alimentations stabilisées, rétablissent
les valeurs nominales de J.
On place les sondes au centre des solénoïdes en
veillant à ce qu’elles soient bien orientées. Les résultats obtenus pour la mesure des champs magnétiques à l’intérieur des divers solénoides sont les
suivants :
B,=352mT;
B,=-348mT;
B;,=34,6 mT;
B,=360mT;
B:,=353mT;
B,-=358mT;
B; = 34,9 mT.
1° Proposer une explication pour la dérive initiale
des ampèremètres.
2° Faire l'inventaire des causes de la dispersion de
cette série de mesures. Proposer des manipulations
permettant d’avoir une idée des incertitudes relatives introduites par les différents facteurs de dispersion.
3° Estimer l’écart-type de la variable aléatoire correspondant à ces mesures.
4 Les
7 ampèremètres,
placés
en
série,
avec
le
solénoïide S, ont donné les indications suivantes :
1, = 2,00 A; L = 1,98 A; Z, = 2,00 A: 1,= 1,96 A:
14 = 1,95 4: 16 = 2,02 A: I, = 2,01 A.
4.1. Pour ces ampèremètres, calculer le rapport
T = E max/S et porter un jugement sur le degré de
vétusté de la série d’appareils utilisés, en prenant
comme critère de vétusté tT< 2,5 (si t est inférieur
à cette valeur les appareils doivent être révisés).
4.2. En posant AJ = 2,5s;, calculer l'incertitude relative sur la mesure de 7 à l’aide d’un ampèremètre
de cette collection.
5° Les 7 sondes à effet Hall, placées au centre du
solénoïde S, alimenté comme précédemment, ont
alors fourni les résultats suivants :
B,=352mT;
B,=35,0 mT;
= 34,9 mT;
B,=35,8mT;
B;=351mT;
B,=35,6 mT;
B; = 35,0 mT.
5.1. Estimer
mesures.
l’écart-type
correspondant
à ces
5.2. En prenant comme incertitude sur la mesure de
B la quantité AB = 2,55, calculer l’erreur relative
sur une mesure de B à l’aide d’une sonde de
cette série.
6° Sachant
qu’au
centre
d’un
solénoïde,
on
a
B = nl, avec 9 = 4 x : 107? S.I., estimer le paramètre », pour le solénoide S,.
7° En admettant que les incertitudes relatives correspondant aux différentes causes de dispersion
s'ajoutent quadratiquement, peut-on, à l’aide de
l'ensemble des résultats précédents, porter un jugement sur une éventuelle disparité des solénoïdes?
8° On recommence
la manipulation
initiale
(1=2 À dans chaque solénoïde, valeur contrôlée
par un ampèremètre), mais on s'intéresse au champ
magnétique mesuré au niveau d’une face de sortie
de chaque solénoïde. On trouve:
B,=132mT;
B=174mT;
B;=14,6 mT;
B3=16,2mT;
B;s=127mT;
B,=11,4mT;
= 10,5 mT.
8.1. Caractériser la dispersion de ces résultats.
8.2. Expliquer son ampleur par lapparition
nouvelle cause de variabilité.
d’une
201
Chapitre 11
SYSTÈME COMMANDÉ
EN CHAÎNE FERMÉE
L'objectif de ce chapitre est de montrer l’intérêt d’un montage
constituant un système bouclé pour une régulation (de tension,
de fréquence, de vitesse, etc.).
m1. SYSTÈME COMMANDÉ
Fig. 11.01. Amplificateur de tension.
1.1 Exemples
e Un amplificateur : il est commandé par une tension d’entrée
u. et il délivre une tension de sortie u, (fig. 11.01).
e Un moteur à excitation séparée : il peut être commandé par
la tension w appliquée à l’induit et la grandeur de sortie
peut être la vitesse angulaire @ (fig. 11.02).
1.2. Cas général
Fig. 11.02. Un moteur peut être commandé par
sa tension d'alimentation u, mais aussi dans cerfains cas, par le courant d'intensité | qui le traverse
ou encore par le courant d'excitation d'intensité |,
qui parcourt l'enroulement inducteur. Ce dernier
mode de commande, très utilisé autréfois, est maintenant assez rare.
Tout dispositif dans lequel le réglage d’une grandeur d’entrée
G, permet l’obtention d’une grandeur de sortie G, ne dépendant, en principe, que de G., est un système commandé.
On symbolise ce dispositif par un rectangle (fig. 11.03) et un
schéma unifilaire fait apparaître la grandeur d’entrée G, et la
grandeur de sortie G,.
1.3. Transmittance
Un système réel est modélisé par un système linéaire dont il est
en général très proche. Dans le cas le plus simple, on peut alors
écrire :
Test la fonction de transfert ou transmittance du système.
m2. ANALYSE D'UN MONTAGE CONNU
Fig. 11.03. Les schémas unifilaires permettent de
représenter très simplement les systèmes étudiés.
Un organe est représenté par sa fonction de transfert ou sa transmittance T;aux grandeurs d'entrée
G, et de sortie G, sont associées des flèches
dirigées conventionnellement de l'entrée vers la
sortie. La grandeur de sortie s'obtient en multipliant la grandeur d'entrée par la transmittance de
l'organe concerné.
202
Fig. 11.04. Amplificateur non inverseur. Nous
Supposons que le circuit intégré linéaire est unidirectionnel (la résistance d'entrée R, ne dépend pas
de la charge et la résistance de sortie p est indépendante de la résistance R, du générateur fournissant la tension V,) : d'ou le petit triangle qui
accompagne sa représentation; en revanche, nous
ne supposons pas son coefficient d'amplification
interne y infini, d'où l'absence de signe « devant la
pointe du triangle.
En général, la propriété d'unidirectionnalité n'est
gu'approchée.
Nous allons montrer qu’un amplificateur non inverseur
(fig. 11.04; 1° F2-3-5; chap. 21) est un système commandé en
chaîne fermée et nous verrons que ce montage est organisé
d’une manière tout à fait caractéristique de ces systèmes.
2.1. Relation entre tension d'entrée et tension de
sortie
Fig. 11.05. Circuit intégré linéaire et sa charge.
p©1009;
R,=1k@;
R,=-9kQ;
Ro=[(R;+R,)IR,]S 09%;
R=1KkQ;
R,=00.
En régime sinusoïdal, le coefficient d'amplification interne d'un amplificateur opérationnel est un nombre complexe 4 variant avec
la fréquence : avec les conventions de la
figure 11.09, la transmittance de la chaîne
directe est alors un nombre complexe H.
L’amplificateur opérationnel, seul, peut être représenté par le
modèle de la figure 11.05. Nous admettrons que la résistance R.
est infinie et que le coefficient d’amplification interne, 4, de
l'amplificateur opérationnel est un nombre réel positif (bien
que ce ne soit pas rigoureusement exact, notre démonstration
n’en sera pas affectée).
La charge du montage étant constituée par la résistance R,
(pour fixer les idées supposons que R, = 1,0 kKQ, R, = 1,0 kQ,
R;
= 9,0 kQ), nous voyons que la charge de l’amplificateur
opérationnel est une résistance R,,, équivalente à la mise en
parallèle de R, d’une part et de (R,+R;) d’autre part (ici
R,4 = 0,90 kQ).
Dans ces conditions nous pouvons écrire :
RQ
RS
Rat?
P OSONS :
H = MR,
Re
D'où :
v, = HE
Nous pouvons associer un schéma unifilaire à une telle relation
(fig. 11.06). Celui-ci fait apparaître la grandeur d’entrée €, la
grandeur de sortie v, et la transmittance FÆ de l’amplificateur
opérationnel.
Fig. 11.06. Chaîne directe. La grandeur de sortie
v, S'obtient en multipliant la grandeur d'entrée & par
la transmittance H de l'organe concerné.
2.2. Taux de réaction négative
Le taux de réaction négative est la fraction de la tension de
sortie qui est reprise pour élaborer la tension €.
La figure 11.04 permet d’écrire :
1
E=V.—
Re À
Fig. 11.07. Chaîne de retour:elle fait apparaître
la tension x, comme provenant de l'action de la
chaîne potentiométrique, de transmittance K, sur la
grandeur de sortie v..
v,.
R
Posons :
K=——,
R +R,
D'où :
e = y, — KYy..
Nous pouvons définir une tension X,, telle que : x; = Kv,; elle
représente une tension obtenue à partir de la tension de sortie
et appliquée à l’entrée du montage.
x
DE
:
rx.
Æ.
Le taux de réaction négative est donc égal à : |K= os
s
C’est la transmittance de la chaîne potentiométrique (ici
K = 0,10) à laquelle nous faisons correspondre la représentation
unifilaire de la figure 11.07.
2.3. Tension €
=»,
— KV,
Fig. 11.08. Opérateur
de différence. Les signes
+ et- doivent être affectés aux variables v, et x,
pour obtenir
lavariable 5.
soit
E=v
-X,.
La tension & apparaît donc comme la différence entre la tension
d’entrée v, et la tension x, élaborée à partir de la tension de
sortie. La représentation conventionnellle de la figure 11.08 fait
203
apparaître cet opérateur de différence (on dit parfois qu’il s’agit
d’un opérateur de comparaison).
2.4. Schéma synoptique du montage
Fig. 11.09. Chaîne fermée complète. Le schéma
synoptique traduit certaines propriétés du montage
de la figure 11.04. Il fait apparaître la chaîne directe
et la chaîne de retour.
Le schéma de la figure 11.09 réalise la synthèse des représentations de ces trois relations. Il montre que le montage
amplificateur étudié est un système «bouclé»; on dit qu'il
fonctionne en chaîne fermée.
Ce schéma (appelé schéma synoptique), fait apparaître :
a
à
:
—
une chaîne directe, de transmittance
—
une
y
4
H = =, dont le rôle est
€
d’amplifier fortement la grandeur € (car u est élevé, et par
conséquent A est très grand devant l’unité);
L
chaîne
à
de retour, de transmittance
K <]1), dont le rôle est de renvoyer
fonction du signal de sortie;
x
Re
X =— (avec ici
yS
vers l’entrée un signal
— un opérateur, qui est ici un opérateur de différence : il
permet d’obtenir €, grandeur d’entrée de la chaîne directe, à
partir du signal d’entrée x et du signal x, par différence entre ».
et x,. Cette opération provoque une réaction négative de la
sortie sur l’entrée. Dans d’autres montages l’opérateur peut
permettre d’obtenir une somme pour réaliser une réaction
positive.
2.5. Transmittance globale
Pour établir une relation entre la grandeur d’entrée ». et la
grandeur de sortie v,, rappelons les relations obtenues précédemment
:
v,= He
et
e=v-x.=v.
— Ky..
Elles permettent d'écrire :
v, = H(v, — Kv,) = Hv. - HKY..
soit :
v,(1 + HK) = Hv..
La transmittance du système en chaîne fermée est donc égale à :
e Intérêt d’une chaîne fermée
Pour l’amplificateur opérationnel, nous prendrons des valeurs
typiques : p = 100 Q et u = 10°. Avec les valeurs numériques
fournies (R., = 0,9 kQ, K = 0,1) la transmittance A de la chaîne
directe est égale à :
R
H=u tr
——Æ&0,9
++
u u=9:10$.
Le produit HK est voisin de 9 : 10°.
Dans ces conditions, l’expression de la transmittance
simplifie (HK > 1) et devient :
7 se
Nous retrouvons l'expression bien connue du coefficient
d'amplification d’un montage non inverseur si 4 est supposé
infini.
204
— En prenant les valeurs numériques suivantes : p = 100 Q),
u=10, K=0,1 nous trouvons : H&90; HK&9; TÆ9,
Lorsque le coefficient d'amplification interne 4 de l’amælificateur opérationnel passe de 10° à 10? (donc est divisé par
1000), la transmittance 7 du montage ne varie que de 10 %
(elle passe de 10 à 9).
C’est en cela que réside l'intérêt d'insérer les amplificateurs
opérationnels dans des chaînes fermées : bien que leur coefficient u varie beaucoup avec la fréquence, les grandeurs de
sortie des montages
variations de ce
sont peu sensibles aux
paramètre.
2.6. Conclusion : éléments essentiels d’un système
bouclé
Nous avons fait apparaître que :
e le montage amplificateur non inverseur est un système en
chaîne fermée;
+ dans ce système, la chaîne directe, de transmittance ET,
amplifie une grandeur €, qui n’est pas la grandeur d’entrée du
système;
e la grandeur € provient de la différence (v.- x;) entre la
grandeur d’entrée v, du système et une fraction x, = Kv, de la
tension de sortie v,, fraction que la chaîne de retour élabore.
M3. GÉNÉRALISATION
Fig. 11.10.
3.1. Transmittances complexes
Le modèle schématisé sur la figure 11.09 représente tout
système bouclé pour lequel les relations entre les couples de
grandeurs
€ et v, d’une
» €t x; d’autre
part,
part, sont
des
relations de proportionnalité.
Toutefois dans de nombreux cas, les grandeurs d’entrée [x..(@)]
et de sortie [y(1)] de la chaîne directe (fig. 11.10) sont reliées
par une équation différentielle, plus complexe qu’une simple
relation de proportionnalité.
Dans ces conditions, nous pouvons supposer que la grandeur
d’entrée x(1) est sinusoïdale et lui associer un nombre complexe X.
Si tous les éléments du système sont linéaires, les grandeurs
x. (4),y(t) et x; (1) sont alors également sinusoidales et peuvent
être associées à des nombres complexes X,., Y et X, (fig. 11.11).
Nous définissons alors les transmittances :
j
É
Lx
|
Fig. 11.11. Convention pour décrire un système
en chaîne fermée dont la réaction, a priori, est
négative.
H
1+HK
Transmittances complexes. Les chaines (surtout la
chaîne directe) ne sont jamais totalement linéaires
du fait de diverses limitations (d'amplitude notamment) : ce n'est qu'à l'intérieur du domaine de
linéarité que la transmittance complexe d'une
chaîne est définie.
H(jo)
+
|”
K(J&)
Y
Ce sont des fonctions complexes de la variable j«.
de
Cette manière de décrire le système en chaîne fermée permet
précision,
stabilité,
(rapidité,
comportements
ces
prévoir tous
etc.). Une telle étude dépasse le cadre du programme.
La transmittance du système en chaîne fermée est elle-même
:
une fonction de la variable complexe (jo). Elle est égale à
ne
I<
Lx
e Calcul de T
Posons :
Aer
YrHAX.,
et,
X,= KE
Cherchons une relation entre Y et X :
LPHN
TU TA ART
soit :
FA THK)=HX,
D'où la transmittance en chaîne fermée :
Fig. 11.12. Chaîne ouverte. Comme la chaîne
est ouverte, X,= 0, donc :X,,=X.
3.2. Transmittance de la chaîne ouverte
Les propriétés d’un système en chaîne fermée peuvent être
entièrement prévues en étudiant les propriétés du système
obtenu en ouvrant la chaîne en un point figuré par l'entrée
x. de l'opérateur de différence sur le schéma synoptique
(fig. 11.12).
La chaîne ouverte obtenue, a pour transmittance :
X
= = H K
2. Ms ltd
Parce que H K est au dénominateur de T, cette transmittance
intervient de manière importante dans les propriétés de la
fonction de transfert globale T.
3.3. Réaction négative ou positive
Lorsque les transmittances Æ et K sont complexes, il est
difficile de dire si la réaction introduite par la chaîne de retour
est négative ou positive.
Considérons un système dont la chaîne directe a pour transmittance H(jw); notons H le module de H(jw), T le module
de T(jw), etc. Associons à ce système une chaîne de retour de
fonction de transfert K(j«w). La fonction de transfert T du
système en chaîne fermée est toujours donnée par :
H
=
———,
DCLITPACE
Supposons que pour un système bouclé,
décrit par le schéma de la figure 11.09, la
fonction de transfert H de la chaîne directe
n'ait aucun comportement particulier autour
d'une fréquence f,. Si la fonction de trans-
fert K de la chaine de retour est telle que le
dénominateur 1+ÆH de la fonction de
transfert T soit proche de 0 (ce qui implique
que XH soit proche de -1), dans un
domaine de fréquences situé autour d'une
fréquence #, le système bouclé privilégie
dans ce cas les signaux de fréquence f,,
(même si ce n'est pas le cas de la chaîne
directe).
Une telle réaction positive peut entraîner de
dangereuses instabilités. Nous verrons qu'à
la limite, le système bouclé se met à osciller
à la pulsation «w, si pour cette pulsation :
1+ (oo) H(jwo) = 0.
206
Son module est égal à :
rees 23
1 +HKl
e La chaîne de retour apporte une réaction négative (ou contre
réaction) pour une fréquence f, si nous avons :
[1 + H K|>1 soit : T<H.
La réaction négative diminue donc la transmittance, mais, en
contre partie, elle accroît la précision, la linéarité et la stabilité
du système. Quand on veut réguler un système, on lui adjoint
une chaîne de retour introduisant une réaction négative pour
toutes les fréquences (c’est le cas de l’amplificateur que nous
avons étudié tout d’abord).
e La réaction est positive pour une fréquence /, si nous avons :
[1 + H K|<1 soit: T>H.
La réaction positive augmente la transmittance.
Remarquons que la transmittance H K peut évoluer en fonction de f de manière telle que la réaction introduite par la
chaîne de retour soit négative pour certaines fréquences (les
fréquences basses, par exemple), et devienne positive pour
d’autres. Pour la plage de fréquences où la réaction est positive,
le bouclage du système a donc pour effet d'augmenter la
transmittance. Le fait d'introduire une chaîne de retour dans un
système peut donc avoir pour effet, parfois, d’en modifier
profondément le comportement fréquentiel.
3.4, Cas particulier des systèmes à réaction positive
Nous verrons au chapitre 12 que le principe de nombreux
oscillateurs est fondé sur le fait que la chaîne de retour apporte
une réaction positive.
Considérons la double égalité :
LY=HX.,
nY=ELX.
Nous en déduisons les relations suivantes :
=
ut
4
T
—.
1
=
=,
D
F1
Puisque le module T de T est supérieur à H = |[H|, nous avons
donc l'inégalité : |[X|<|X..|.
Dans ces conditions, et pour des raisons de commodité, on
préfère souvent écrire la relation entre les variables x, x, et x,,,
sous la forme :
Fig. 11.13. Convention pour décrire un système
en chaine fermée dont la réaction, a priori, est positive.
H
T=
1-HK
Il est plus commode de représenter la relation
X,=X+X, par un opérateur de sommation que
par un opérateur de différence [X,,=X-(-X,)]
qui oblige à définir une grandeur intermédiaire :
X;,=-X,.
Xmix HR
Autrement dit, à l'entrée du montage, l’opérateur de différence
est remplacé par un opérateur de sommation (fig. 11.13).
Dans ce cas, les relations entre les différentes grandeurs
complexes s’écrivent :
Xx=X+À,
soit :
Y=HXS=H
=
ou encore
:
et
Aer
X+HX.=HX+HK
HK)=HX.
7.
Cette manière de décrire une chaîne fermée est plus intéressante pour un système où la réaction est essentiellement
positive : elle évite l'écriture de plusieurs signes moins.
M4. APPLICATIONS DE LA RÉACTION NÉGATIVE
source de
tension
commandée
en tension
U, = Kkx,,
(Hacheur)
Fig. 11.14. La source commandée en tension
peut être un hacheur; ou, pour de petits moteurs,
un amplificateur opérationnel de puissance pouvant
fournir, par exemple des courants allant jusqu'à
3A.
Sur deux exemples, nous allons mettre en évidence quelquesunes des propriétés de la réaction négative.
4.1. Régulation de vitesse d’un moteur à courant
continu
Supposons que nous disposions d’une source de tension U,,
. réglable, capable d’alimenter un moteur à courant continu à
excitation indépendante.
Pour une charge déterminée (fig. 11.14), le moment du couple
résistant est une fonction connue de la vitesse angulaire 42. Il
est possible de régler £2 en agissant sur U..
207
Alimentation
commandée
en tension
Moteur
à excitation
indépendante
Fig. 11.15. Nous ne nous intéressons ici qu'aux
régimes permanents. En régime transitoire, la relation entre U, et Q, est plus complexe qu'une simple
relation de proportionnalité : elle fait intervenir
les caractéristiques mécaniques et électriques du
moteur.
En revanche, pour une valeur fixée de U,, la vitesse angulaire
{2 du moteur varie quelque peu lorsque le couple résistant
présenté par la charge varie. Nous avons alors affaire à un
système commandé en chaîne ouverte (fig. 11.15).
Si, par exemple, le moment du couple résistant augmente, {2
diminue : il faut alors augmenter U, pour retrouver la vitesse
angulaire initiale.
Certaine applications nécessitant des vitesses très bien régulées,
il faut qu’un système automatique et rapide permette d’agir en
permanence sur l’alimentation du moteur, pour que sa vitesse
demeure pratiquement constante. On insère alors le moteur
dans un système global (système asservi), dans lequel une
chaîne de retour permet en permanence de comparer € à la
valeur désirée et d’agir en conséquence.
m4.1.1. Chaîne directe
Pour une charge connue, invariable, il est
possible de calculer la relation exacte entre
92 et U, en tenant compte, en particulier, de
la résistance d'induit À.
Nous nous contentons de la relation approchée U, = K,Q exacte seulement à vide.
La chaîne directe comprend évidemment le moteur à excitation
séparée M. Nous verrons (chapitre 14) que la f.é.m. E d’un
moteur est liée à sa vitesse angulaire {2 par la relation E = k, Q.
Le produit RI de la résistance interne R du moteur par
l'intensité Z du courant traversant le moteur étant assez faible,
la f.é. m. Æ du moteur est très proche de sa tension d’alimentation U, :
U,=E+RIRE> U,=RkQ.
C’est ce qui explique que le réglage de U, commande grossièrement la vitesse angulaire {2 (cette relation n’est rigoureuse
que lorsque le moteur fonctionne à vide).
Nous supposons que la tension U, d’alimentation du moteur est
elle même commandée par une tension x,, : (U, = k,x,.).
La grandeur de sortie de la chaîne directe est la vitesse
angulaire {2 du rotor de ce moteur (fig. 11.16) :
CT
(PEL
A
RE
= Hx,'
A
‘4
avec
k
H="#4
k,
m4.1.2. Chaîne de retour
Puisque la grandeur de commande x,, de la chaîne directe est
une tension, il est nécessaire que la grandeur de sortie x, de la
chaîne de retour soit également une tension : x, doit être
l’image de la vitesse angulaire € que l’on désire réguler. Il
existe de nombreuses manières de convertir une vitesse angulaire {2 en une tension continue x, telle que x, = KQ : la solution
la plus classique consiste à monter sur l’arbre du moteur une
petite génératrice à aimants permanents (dynamo tachymétrique) dont la tension est directement proportionnelle à la
vitesse du moteur (fig. 11.16).
Fig. 11.16. Le moteur, sa charge et la chaîne de >
retour. (Cette dernière se trouve à l'intérieur du
rectangle en pointillés).
Le filtre passe-bas r, C est nécessaire car la
tension fournie par la dynamo tachymétrique est
ondulée et comporte des pointes parasites dues
au contact balais-collecteur. En l'absence d'un tel
filtre, le fonctionnement de l'opérateur de diffé-
rence, capable de réagir très rapidement, est
désordonné.
La chaîne potentiométrique (p,, p.)-permet d'ajuster x,.
208
m 4.1.3. Tension de consigne. Tension d'erreur
La tension de consigne , (ou tension d’affichage) est la
grandeur d’entrée du système en chaîne fermée; w, est l'image
de la vitesse angulaire (2, souhaitée pour le moteur (fig. 11.17).
Le tension d’erreur est obtenue en comparant à chaque instant
les tensions 4, et x, :
Fig. 11.17. Élaboration de x... Un simple amplifi- D
cateur de différence (R,=R,) permettrait d'élaborer x. à partir de u, et de x,. En fait, ici, avec
R,=0R, et R,=BR,, on réalise une première
amplification de la tension d'erreur qui sert de
commande à la source délivrant la tension U, :
Xer=(1 +B)x,=a(1 + B)(u,-X,)
m 4.1.4. Transmittance du système commandé en chaîne
fermée
Nous ne nous préoccupons que du régime permanent, et nous
supposons que le moteur fonctionne à vide (U, =k,Q). Le
schéma général du système est celui de la figure 11.18.
Fig. 11.18. Système en chaîne fermée. u, (ten- b>
sion de consigne, correspondant à une valeur
affichée de Q) peut être obtenue à partir d'une
source de tension régulée et d'un simple potentiomètre.
D’après les résultats des paragraphes précédents, nous pouvons
écrire é
k
HAE
4,
GR
1.+ HK
I+È K
k
k +k,K
æ 4.1.5. Propriété essentielle du système asservi
Supposons
à 1,0 Q.
Prenons
que la résistance
interne R du moteur
soit égale
k, = 2000, k, = 0,637 Vs rad !, K = 1,88 - 1072 Vs rad” !.
209
e En chaîne fermée, avec les valeurs précédentes nous obtenons:
H=3140rads!:V-!';:
HK=59:
T = .52,4rad #24
Pour u, = 3,0 V nous trouvons :
e {2= 157 rad s !, ce qui correspond, à vide, à une fréquence
de rotation n, = 1 500 tr/min.
e x. = Q/H = 50 mV.
On peut alors montrer que si l’on charge le moteur et que l’on
provoque une augmentation du courant qui le traverse de 0 à
10 À, la fréquence de rotation de moteur ne diminue que de
2,5 tr/min (n, = 1 497,5 tr/min); la nouvelle valeur de x,, s’établissant alors à 55 mV.
Le système en chaîne fermée réagit donc de manière à enrayer
presque totalement les effets de la charge : la fréquence de
rotation ne diminue que de An = 2,5 tours par minute parce
que l’asservisement permet l’augmentation automatique de x.,
(qui passe de 50 mV à 55 mV) et donc celle de U, (qui passe de
100 V à 110 V).
e Il est intéressant de comparer ces résultats à ceux obtenus
pour le moteur en chaîne ouverte s’il est alimenté sous la
tension fixe U, = 100 V.
A
vide,
nous
aurions
alors
: Q=
= 157 rad s-! ce
qui
2
correspond à #9 = 1 500 tr/min.
On peut alors montrer que si la charge du moteur augmente, et
si, de ce fait l’intensité du courant dans le moteur passe de 0
à 10 A, la fréquence de rotation diminue de 150 tr/min :
n; = 1350 tr/min.
e L’asservissement, ici, permet donc de réduire d’un facteur 60
la variation de vitesse due à une variation du couple résistant.
On dit que l’asservissement améliore la précision du système.
On peut montrer que ce facteur 60 est égal à 1 + HK (ici, en
effet, HK = 59, et par conséquent 1 + HK = 60).
Plus la quantité 1 + HK est élevée, plus la précision du système
asservi est importante.
4.2. Amplificateur de tension
1° Nous utilisons le montage didactique de la figure 11.19 (il ne
correspond pas à une réalisation industrielle). Nous mesurons :
Nous considérons maintenant les amplificateurs opérationnels comme parfaits, et
nous supposons notamment que leur coefficient d'amplification est infini (comme
l'indique le signe ), ce qui implique que
leur tension d'entrée & (au sens du paragraphe 1) est nulle. En fait un véritable
système asservi est constitué de plusieurs
chaînes fermées imbriquées les unes dans
les autres (un amplificateur opérationnel,
seul, est déjà un système bouclé dont la
chaine de retour est réalisée de manière
interne).
210
e son coefficient d'amplification,
fréquences (1 kHz) :
à vide,
pour
les basses
Ao=2Z.
V
Avec R;,=100kQ
et
R, = 0,47 kQ, nous trouvons :
R
A=1+—2&214.
-
R Il
e sa bande passante à — 3 dB : le facteur d'amplification à vide
n’est plus égal qu’à > pour une fréquence égale à :
2
f, = 20 kHz.
e sa résistance de sortie R, à basse fréquence (en déterminant
par exemple la valeur de la résistance de charge R, telle que,
pour une fréquence / fixée, la tension de sortie y soit égale à
ue Nous trouvons :
R,=R,= 1,0 kQ.
Fig. 11.19. Pour mesurer la résistance de sortie B>
R, pour une tension d'entrée fixée, il faut tracer la
courbe donnant la valeur efficace V. de la tension
de sortie en fonction de la valeur efficace |, de
l'intensité du courant de sortie, tout en vérifiant que
le fonctionnement de l'amplificateur reste bien
linéaire. On obtient une droite d'équation
V,=E-R,l../ci comme la résistance de sortie est
importante, il est plus rapide de procéder comme il
est indiqué dans le cours, mais cette méthode ne
peut être généralisée.
2° A la suite de l’amplificateur précédent se trouve maintenant
un étage suiveur, qui laisse inchangée la tension y (fig. 11.20).
Ensuite, un dispositif connu (voir 1° F2-3-5, chap. 21) réalise
l'opération :
VU =x-Ky
avec
K
MED L
R;
Fig. 11.20. La tension de sortie y se retrouve sur
l'entrée du premier amplificateur (une borne de R).
L'opération que réalise cet amplificateur s'obtient
aisément par application du théorème de superposition; elle a pour expression :
v= Re Pot, Re,
R+tR;
R;,
Rs
On donne:
R,=047kQ; R,=100k0; R,=47kQ;
R,=47K0; R,=47K0;
R;=47k0; R,=14k0.
D'où :
Fig. 11.21.
V,=X- 0,1.
L'entrée du système bouclé ainsi constitué est la tension x; sa
sortie est la tension y.
Le schéma synoptique correspondant au fonctionnement à
basse fréquence et à vide (fig. 11.21) montre que le nouvel
amplificateur est obtenu en imposant au premier une réaction
négative (ou contre-réaction). Cette réaction négative est caractérisée par son taux : K= 0,1.
211
Calculons la transmittance
7; de ce montage.
donc :
H, = À
=
H5
To= ie
== ——
te:
À
= ———,
ROME H Re Te
Avec les valeurs numériques choisies (4, = 214, K = 0,10) nous
trouvons :
T, = 9,55.
3° Caractéristiques du nouvel amplificateur.
a) Coefficient d’amplification 7,
La mesure effectuée par exemple à 1 kHz, permet de constater
le bon accord entre la théorie et l’expérience (7, mesuré & 9,5).
Par exemple, le fait de modifier assez sensiblement la valeur de
la résistance R, autrement dit, de changer la valeur de 4,, n’a
pas d'influence sensible sur 7,. Ainsi pour R,= 47 kQ et
R, = 0,47 kKQ nous obtenons : 4, = 100 et 7, = 9,1. Notons que :
HK=KAo=22
et
SR
10.
Nous retrouvons ainsi la propriété signalée au début de ce
chapitre ($ 2.5) : /a contre-réaction permet de s'affranchir des
variations de la transmittance H de la chaîne directe si ie
produit KH est assez élevé.
b) Bande passante
La mesure de la nouvelle bande passante /, conduit à un
résultat proche de 400 kHz : /a contre-réaction augmente la
bande passante.
Remarque
La théorie
(qui sort du cadre du programme) permet de
montrer que dans le cas précis que nous venons d'étudier, les
P roduits:
Alfa
TT.
restent sensiblement égaux : la réaction négative divise le
coefficient d’amplification par un facteur 22 (celui-ci passe de
A = 214 à 79,5); dans le même temps elle multiplie la
bande passante par le même facteur. Ce facteur commun est
égal à 1 + 4,K.
c) Résistance de sortie
La mesure de la nouvelle résistance de sortie, en basse fréquence, permet de montrer que celle-ci est fortement réduite :
elle est proche de 50Q (alors que R,= 1 kQ) : la contreréaction diminue la résistance de sortie.
(L’exercice corrigé 11.11 permet de montrer que, là encore, du
fait de la réaction négative, le facteur par lequel la résistance de
sortie doit être divisée, est 1 + 4,K.)
m5. ÉTUDE D'UN CAS DE RÉACTION POSITIVE
Fig. 11.22. La encore, pour plus de simplicité,
l'amplificateur opérationnel est supposé parfait
(e = 0, p = 0, etc). Le fait de prendre en compte ses
défauts ne changerait pratiquement rien au résultat final, mais cela compliquerait beaucoup notre
étude.
212
5.1. Schéma synoptique du montage
Considérons le montage de la figure 11.22. D’emblée nous
reconnaissons qu’il met en œuvre une réaction positive,
puisque la sortie de l’amplificateur opérationnel est notamment
reliée à l’entrée non inverseuse.
Par la pensée nous pouvons décomposer ce montage en deux
sous-ensembles.
e Le premier est un amplificateur non inverseur (fig. i 1.23).
L’amplificateur opérationnel étant supposé parfait, le coefficient d'amplification de ce montage est égal à :
U
H=—
soit
H=1 +204
U,
Dans ce cas H est réel : H = H.
qi
=
1
e Le deuxième (fig. 11.24) introduit une relation entre les
grandeurs U,, U. et U.. Elle peut être obtenue en appliquant le
théorème de superposition :
Fig. 11.23.
U,=
El
En
P
posant :
Z+R;
X =
U
R
=
Z+R
—
CTIiR
;
U
T
cette relation s'écrit :
U,=X+KU..
Le schéma synoptique de la figure 11.25, dans lequel un
opérateur de sommation a été inséré, résume les propriétés du
montage initial.
Fig. 11.25. On note la présence d'un opérateur de sommation qui fait mieux apparaître la réaction
positive.
5.2. L'impédance Z est réelle
Fig. 11.26. R,= 1 kKQ, R,= 10 kQ,R,= 10 kQ,; la
résistance R, est réglable (commencer par des
valeurs faibles); la tension d'entrée u, est continue
ou alternative. Nous supposons que la tension
d'entrée u, est fournie par un générateur de tension
parfait. Comme en général cela n'est pas le cas, il
faut inclure dans R, la résistance de sortie R, de ce
générateur. Le système ne peut alors fonctionner
en régime linéaire que si:
BR
R;
R;
Un calcul de proportion montre en effet que cette
condition est équivalente à celle qui fait intervenir
les taux de réaction :
1’
UPOILTIRSSLUES
RAR,
R,+R, R+R,
m 5.2.1. Expérience
Prenons R, = 1 kQ, R, = 10 kQ et R; = 10 kQ2 et, à l'entrée du
montage de la figure 11.26, appliquons une tension sinusoidale
u, d'amplitude faible et constante, de fréquence 1 kHz par
exemple.
Posons Z = R, et faisons croître R, de 0 à 2 k@.
Tant que R, est inférieure à 1 kQ, une tension de sortie 4,
sinusoidale est délivrée par le montage, Quand R, attejnt et
dépasse 1 kQ, la tension de sortie w, se bloque à + Ps.
m 5.2.2. Interprétation
Les éléments de la théorie que nous avons élaborée nous permettent d'interpréter partiellement les phénomènes observés.
213
|
alors
Puisque ZZ=R,,
= R,, alors
>
>
Bien
:
) ;
H= (R;+R)
2-1]
R;
U
SL
H
==
x
Rs
=K=K= (R; + R;) :
———
X|-1- AK
e Par exemple pour R,;=0,5kQ, K=0,043,
TÆ21 : l’amplificateur obtenu est stable.
HK=0,48
et
e Lorsque R, croît, le produit HK se rapproche de l’unité et la
fonction de transfert 7 tend vers l'infini.
e Lorsque HK = 1 c’est-à-dire lorsque :
MT
RERO
R
IR+R
T est infini, le système est instable
instabilité le conduit à la saturation.
et, dans
ce cas,
son
Remarque
e L’instabilité subsiste lorsque HK est supérieur à 1. Cette
condition est indépendante de la fréquence.
e Comme
nous
l’avions vu sans démonstration
À
ee
en 1" F20),
R
2
lorsque le taux de réaction positive T' =———{ atteint ou
(R; + R;)
dépasse le taux de réaction négative T_=
Fig. 11.27. On a montré au chapitre 2 que la
résistance R,, est égale à Q2r, Q étant le facteur de
qualité de la bobine (Q = Lo, /r)etr la résistance de
son modèle série.
l
le phéno-
re
|
(Ri +R)
mène d’instabilité survient (lorsque t' est supérieur à t., le
système est a fortiori instable).
5.3. L'impédance Z dépend de la fréquence f
M 5.3.1. Expérience
L’impédance Z est celle d’un d’un circuit résonnant parallèle
(fig. 11.27). Dans ce cas, Z est réelle pour une valeur &, de la
pulsation «æ telle que LCwË=1 (voir chapitre 2). Posons
Z(@%) = Ru; Ru est alors la valeur maximale du module |Z|
de Z.
Choisissons des valeurs de Z et de C telles que la pulsation @
de résonance corresponde à une fréquence jf, voisine de 10 kHz
(on peut prendre ZL = 2,2 mH et C = 100 nF). Supposons que la
valeur de R,, correspondante soit par exemple R,, = 2,0 kQ.
La résistance R, est réglable, sa valeur initiale est assez faible
(R;in = 1 KQ); les valeurs des autres éléments du montage sont
précisées sur la figure 11.28. La tension , est sinusoïdale,
d'amplitude faible et constante et sa fréquence f est réglable.
Nous constatons alors que la tension , est également sinusoidale. Traçons la courbe représentant les variations du rapport
É en fonction de f (figure 11.29) pour des valeurs croissantes
de R;.
Fig. 11.28. Nous supposons que, à la résonance,
le circuit bouchon est équivalent à une résistance
égale à R,,=2kQ. En fait, on ne connaît pas la
valeur de R,,. C'est la manipulation précédente qui
permet de déterminer cette valeur : le système
e Tant que R, est assez faible, le maximum de la courbe, et
donc de U,, pour la fréquence jf, est assez peu marqué.
devient instable lorsque î >À (attention, il faut
e Si nous augmentons encore la valeur de R, (R,> 5 kQ) le
système se met à osciller à la fréquence f, et il ne répond plus
au signal w,. qui lui est appliqué à l’entrée. Lorsque cela se
3
2
prendre en compte la résistance R, du générateur
fournissant u, ).
214
e Lorsque la valeur de R, approche de 5 kQ (par valeurs
inférieures), la résonance de U, devient très aiguë.
réalise, le générateur imposant la tension w, peut être supprimé
ou éventuellement remplacé par une résistance égale à sa
résistance interne R,Æ 50 Q (fig. 11.30). Le montage continue
à osciller à la fréquence jf, : c’est un oscillateur.
m5.3.2. Interprétation
Le schéma synoptique de la figure 11.31 correspond au
montage de la figure 11.28. La transmittance H augmente avec
R
Pa:
Fe
l hp
Fig. 11.29. Le montage de la figure 11.28 est un
amplificateur sélectif à réaction positive. Sa sélectivité est réglable par action sur la résistance R, (par
exemple) comme le montre les deux courbes obte-
nues.
Fig. 11.31.
e Quelle
Fig. 11.30. Montage oscillateur. On donne :
R,=14Q; R,-514k0; R,=10k0.
La tension u, est obtenue même lorsque le générateur fournissant la tension u, a été enlevé. En
revanche, sa fréquence est fixe : c'est la fréquence
de résonance du circuit oscillant. On a fabriqué un
oscillateur. L'énergie nécessaire à l'entretien de
l'oscillation est bien entendu fournie par l'alimentation de l'amplificateur opérationnel.
que
soit la valeur
de R,, c’est pour
la fréquence
unique f =, que Z = R\ = 2,0 kQ et que K prend une valeur
réelle X°, :
Ry+Ry
Par exemple, pour R, = 2 kQ, H = 3, et donc HK, = 0,50.
Dans ces conditions, on a affaire à un système stable qui porte
le nom d’amplificateur sélectif à réaction positive.
e Lorsque
R, approche
transmittance
Par
Æ augmente
exemple,
1 - HK,=8
de 5 kQ (par valeurs inférieures), la
10°.
pour
et devient très proche de _ 6.
R;,=4,95kQ,
La fonction
HK,=0,992,
soit
de transfert 7-+ est alors
égale à 1250 pour f-=f, ; pour cette fréquence, le coefficient
d'amplification global du montage est égal à :
U __Ri 70,83 x1250= 1040.
Un
U, R;+Ru
tel coefficient est très élevé
: en fait, pour cette valeur
de R,, l'amplificateur sélectifà réaction positive est à la limite
de l'instabilité. La moindre modification dans le montage,
comme celle qui consiste à changer la position d’un cordon,
suffit à le faire osciller (à la fréquence /,) indépendamment de
. la tension #, qui lui est appliquée (même si la fréquence de u.
est très différente de jo).
e R,= 5,0 kQ, HK, = 1 : le système oscille à la fréquence f,. Le
générateur peut être remplacé par une résistance égale à sa
résistance de sortie R,.
215
e R, est légèrement supérieure à 5,0 kQ, K,H > 1 : le générateur peut être remplacé par un court-circuit et le montage
oscille sinusoïdalement : c’est un oscillateur harmonique.
e R, est fortement augmentée, autrement dit, le produit AK,
devient très supérieur à l’unité :
—
—
la fréquence de l’oscillation s’éloigne de f,,
les oscillations ne sont plus sinusoïdales.
Pour cette raison on dit que /a condition limite d'obtention
d'oscillations sinusoidales est :
K(a) H(@) = 1.
m6. CONCLUSION
e Dans la majorité des systèmes commandés en chaîne fermée,
la chaîne de retour réalise une réaction négative (ou contreréaction). Il en résulte des effets bénéfiques pour la stabilité du
montage.
Dans le cas d’un système électronique, la réaction négative
améliore la bande passante, stabilise le gain et diminue la
résistance de sortie. Elle accroît aussi la linéarité du montage.
La réaction négative permet des régulations de position, de
vitesse, de température, etc.
Un système en chaîne fermée à réaction négative fait intervenir
un opérateur de différence. La fonction de transfert T du
système est alors égale à (voir fig. 11.11) :
La nature de la réaction apportée par la chaîne de retour peut
dépendre de la fréquence.
e La réaction positive est mise en œuvre dans des amplificateurs très sélectifs et des oscillateurs. Un système à réaction
positive peut être représenté par le schéma synoptique de la
figure 11.13 lorsqu'il est souhaitable de mettre en évidence un
opérateur de sommation.
Dans ce cas, la fonction de transfert du système bouclé est
égale à :
Différents cas peuvent se présenter :
Pour retenir la relation donnant la fonction
de transfert, on peut utiliser un moyen
mnémotechnique, basé sur un «paradoxe»
apparent : quand l'opérateur du schéma
synoptique est un opérateur de différence le
dénominateur de la fonction de transfert est
une somme (1+HK). C'est le contraire
dans l’autre cas : à un opérateur de somme
correspond un dénominateur de la fonction
de transfert qui est une différence (1 - HK).
216
e AK = 1 pour une valeur f, = rede la fréquence : le système
oscille à la fréquence ff.
e K est réel et supérieur à 1 pour une fréquence j, : le système
oscille
mais
de manière
non
sinusoidale,
à une
fréquence
différente de /..
e /1K est réel et supérieur à 1 dans une large gamme
fréquences : le système peut se bloquer.
de
Travaux pratiques
Régulation de la vitesse d’un moteur à courant
continu.
Nous nous proposons d'étudier un régulateur de
vitesse pour lequel nous imposerons le facteur de
régulation. Après les réglages nécessaires, effectués
en chaîne ouverte, nous étudierons le fonctionnement statique du système à vide puis en charge.
b) Chaîne de retour
La tension , est amplifiée au moyen de l’amplificateur AO3 qui permet le réglage de la transmittance de la chaîne de retour (grâce au potentiomètre P,). Pour la suite, nous supposerons que la
tension , est égale à 500 mV lorsque la dynamo est
entraînée à la fréquence de 3000 tr/min.
1. Montage
Le groupe tournant comporte deux machines identiques, M et G (12 V-1 A-3000 tr/min), et une
petite machine jouant le rôle de dynamo tachymétrique (fig. 11.32).
c) Notations
10kQ
10 kQ
1 kQ
H=n
a
K=*
Xer
Un
2. Étude théorique préalable
2.1. Établir le schéma synoptique du système.
2.2. On veut qu’une tension affichée 4,= 3,00 V
corresponde à 4, = #9 = 500 mV lorsque le moteur
est à vide. Calculer 7.
2.3. On rappelle que F=1+HK.
On choisit
F=F,=S5. Calculer A, et K..
Déterminer de même H, et K, pour F=F,=10.
3. Étude expérimentale
3.1. Caractéristique u,(i) à u = C*.
Pour apprécier l'efficacité de la régulation il faut disFig. 11.32. Selon la dynamo, la tension u, devra être atténuée ou
amplifiée (dans le montage ci-dessus elle est amplifiée).
La dynamo utilisée étant une petite machine peu coûteuse, qui comporte
peu de lames au collecteur, la tension u, est en général très ondulée. Le
filtre RC a pour rôle de lisser la tension u, mais ildétériore les performances
dynamiques du montage. C'est pourquoi un convertisseur fréquence — tension est préférable.
a) Chaîne directe
Obtention
J, pour appliquer avec un
sur l'entrée non inverseuse
de l’amplificateur AO4, une tension 4 = 49 = CONStante, telle que, lorsque le moteur est à vide, on
obtienne une tension déterminée :
Ouvrir l'interrupteur
générateur auxiliaire,
U, = Uno = 500 mV (par exemple).
e Le moteur est alimenté par un hacheur réalisé
autour de l’amplificateur opérationnel de puissance
AO4 qui fonctionne en comparateur. Par exemple,
on peut utiliser le circuit intégré TCA 365 monté sur
un radiateur convenable.
poser de la caractéristique intrinsèque du bloc de
puissance (ensemble G + D.T.).
cl
Une tension en dents de scie v évoluant entre 0 et F,
de fréquence fixe (5 kHz par exemple), est appliquée
sur l'entrée inverseuse. Son amplitude V est choisie de façon que pour 4, = 3,00 V on obtienne
= 12,0 V lorsque le moteur fonctionne à vide
(cette situation est pratiquement réalisée lorsque
i= 0).
Le montage délivre une tension # d’amplitude
2 Vy.(28 V environ), et de valeur
Vy=W
moyenne # = U= kju..
e La chaîne directe comprend également un amplificateur de différence, AOÏ, et un amplificateur,
AO2, d'amplification réglable par le potentiomètre P..
e La grandeur de sortie de la chaîne directe est
normalement la vitesse angulaire (. Pour simplifier,
nous considérons ici que cette grandeur de sortie est
la tension w, fournie par la dynamo tachymétrique,
tension qui est proportionnelle à (2.
Ensuite fermer l'interrupteur J, et relever la caractéristique 4,(i) pour 4 = Uo3.2. Réglages en chaîne ouverte.
e Position des interrupteurs : J,, J, et J, : ouverts;
J, : fermé.
e Avec un générateur auxiliaire, appliquer une tenu
F
sion Xer = F2 et régler P, de façon que 4, = u:6.
Il
Alors : À = H,.
e En conservant à x,, la même valeur, régler P;, de
façon que u, = Kiu0.
Alors : K=K.
:
3.3. Fonctionnement en boucle fermée.
J,, J, et J, : fermés; J, : ouvert (ponts à vide) puis
fermé (ponts en charge).
e Afficher la tension x, convenable de façon que
U, = Uno, la génératrice étant à vide (on doit retrouver u, = 3,00 V).
e En conservant la même valeur pour 4,, relever
la caractéristique u,(i) pour à variant de 0 à }
(Î= 500 mA par exemple).
217
3.4. Amélioration de la régulation.
Reprendre les opérations des paragraphes 3.2. et 3.3.
pour F = F, c’est-à-dire pour H = H, et K= K;.
4.2. Calcul des valeurs expérimentales de F, et F,;.
F est le quotient de [w,0 - #,(i)] sans régulation par
[uso — #(i)] avec régulation.
F
I
.
#
“a
Pour i = 5 et : = ; calculer les valeurs expérimentales
Fel'ex et F 2ex°
4, Exploitation et conclusions
,
Comparer aux valeurs théoriques F, et F;,. Calculer
4.1. Tracer les caractéristiques :
également Fex et comparer à Eu
Lex
eu(i)àau,=C;
F;
4.3. Conclure sur la qualité des prédéterminations
et des réglages effectués et sur l’efficacité de ce dispositif de régulation de vitesse.
eu (i) pour F=F;;
e (i) pour F=F..
Contrôle des connaissances
INDIQUEZ LA (OU LES) BONNE(S)
REPONSE(S)
Quelle est la valeur de la transmittance K
de la chaîne
figure 11.33?
RAS
de retour
du système
bouclé
de la
11.03. Quatre
sortes de systèmes bouclés
(fig. 11.35) sont utilisés. Quel montage correspond
au prélèvement d’une tension en sortie et à l’application d’une tension de retour à l’entrée?
AL ALS: 7:
chaîne
directe
Fig. 11.33.
11.02. | La figure 11.34 est le schéma synoptique
d’un système en chaîne ouverte. Quelle est la transmittance de ce système?
Fig. 11.35.
H K
R:=:2;
KH;HK.
R :a;b;c;d.
K' 1° £4:HK
Pour une
fréquence f,, un système en
chaîne fermée est à réaction positive. Comparer le
module T de la transmittance de ce système à celui
H de la chaîne directe.
Fig. 11.34.
218
ReinHAT
HS TEE
Pour une fréquence f,, un système en
La transmittance de la chaîne directe d’un
fermée est à contre réaction. Comparer le
module 7 de la transmittance de ce système à celui
H de la chaîne directe.
amplificateur est Æ = H = 40. Celle de sa chaîne de
c haîne
MR HT
H; T>H.
Compléter la phrase suivante, utilisée lors
de la comparaison entre un amplificateur opérationnel seul et le même amplificateur opérationnel
en contre réaction (fig. 11.04).
«La contre réaction … la bande passante et … la
résistance de sortie. »
R : augmente, diminue; diminue, diminue;
mente, augmente; diminue, augmente.
11.07. | La
SÉCrit.:
transmittance
d’un
système
aug-
est K=X=0,02. Le système bouclé est à
réaction négative. Quelle est la valeur 7 de sa
transmittance ?
R : 22,2; 44,4; 100; 200.
|11.09. | Le système bouclé de l’exercice précédent
est maintenant à réaction positive. Calculer alors sa
transmittance 7?
R : 22,2; 44,4; 100; 200.
La figure 11.36 est le schéma synoptique
asservi
d'un système en chaîne fermée. Quelle relation
existe-t-il entre la tension de sortie U. et la tension
d'entrée U,?
|: Re: CS
nr
retour
TE
Quelles sont les deux affirmations exactes dans la
liste qui suit?
a Plus la quantité [1 + HK | est grande, plus la
précision du système asservi est importante.
b Plus le produit ZX se rapproche de — 1, plus
l'asservissement est stable.
c L’asservissement améliore la précision du système.
d L'augmentation
système asservi.
RE
Fig. 11.36.
de H est sans action sur un
R : 3U,-SU,=0;
ARDMDNEC";
CC, d'a, C.
SU. + 3U, =0.
3U, + SU. = 0; SU,
- 3U,=0;
Exercices résolus
[11.11. | Un amplificateur A est constitué de la
manière suivante :
- la chaîne directe est un premier amplificateur dont
la tension d’entrée est notée e. Son facteur d’amplifi-
cation à vide est égal à y et sa résistance interne est
égale
à p (u=20000;
p=1,0 kQ).
Il est donc
équivalent à un générateur de Thévenin de f.é.m.
E = ue et de résistance interne p.
- la chaîne de retour permet d’obtenir une tension
u,, image de la tension de sortie 4,, telle que
u, = Ku,.
Un opérateur de différence permet d'élaborer la
tension d’erreur & à partir de l'entrée réelle du
système, notée u, et de u, : & =(u, - u;).
On suppose que les fonctionnements envisagés sont
stables, l’amplificateur À alimente une résistance
réglable R...
1° Fonctionnement à vide
1.1. Représenter l’ensemble de la chaîne
correspondant à l’amplificateur.
fermée
1.2. Donner l'expression 7, de la fonction de transfert en chaîne fermée.
1.3. Quelle valeur faut-il donner à Æ pour que
la tension de sortie w, soit égale à 10 V quand
u, = 0,1 V?
1.4. Cette valeur est conservée dans la suite du
problème. Quelle est la valeur de & correspondant
à u,=0,1 V?
2° Fonctionnement en charge
2.1. En faisant apparaître l’intensité Z du courant
débité par l’amplificateur A comme une deuxième
entrée du système en chaîne fermée (entrée de
perturbation), placer sur un nouveau schéma unifi-
219
laire, à l’aide d’un deuxième opérateur de différence,
les variables E et u,.
2.2. Montrer que la relation donnant 4, peut se
mettre sous la forme suivante :
u,=ue
1 + Ku ;
le terme
EPL
donc:
&=
LA
&
10
Es= 30
000 V >
——
I
= Tou,
04e -
U,
1.4, Calcul de e
|&, = 0,5 mV
2° Fonctionnement en charge
représente
Que
Calculer
sa
valeur numérique.
2.3. Justifier l’appellation de facteur de régulation
donnée au terme : 1 + Ky.
2.1. Schéma synoptique
Le nouveau schéma unifilaire
relation suivante (fig. 11.38) :
fait apparaître
la
u, = E — pl.
2.2. Calcul de 4,
u,=ue-pl=p(u,-Ku,)
SOLUTION
LOS
- pl= pue = Kuu, pl.
u{1 + Ku) = uu, — pl
1° Fonctionnement à vide
1.1. Schéma synoptique de la chaîne
Le schéma unifilaire (fig. 11.37) fait apparaître
l’ensemble des relations décrivant le système dans
son fonctionnement à vide, lorsque 4, = E.
E=ue;
D
u,= Tou, rl
Dans cette expression 7,u, est la f.é. m. du modèle
équivalent de l’amplificateur À (pour une tension
d'entrée u.), et r =
1.2. Calcul de 7,
Nous pouvons écrire :
e=(u-u);
soit :
U=E-pl=E
car
«à
#10
est sa résistance interne :
(1 + Ku)
1 000
= (100)
àà =”
I1=0;
u, = KU,
et
Th =u,/u
avec:
u,=ue=p(u, -u,)=uu, - Kuu,.
D'où :
u,(1 + Ku) = au,
ne
ce qui qui donne:
|
0"T+kp
|Ty=—#—
Fig. 11.38.
Fig. 11.37.
3. Détermination de K
On donne : u, = 10 V lorsque w, = 0,1 V.
2.3. Facteur de régulation
Le terme (1 + Ku) est celui par lequel il faut diviser
la perturbation introduite par la résistance interne p
lorsque la chaîne de retour est en service : il s’agit
bien d’un facteur de régulation qui intervient en fait
pour réduire toutes les imperfections du SYRIE
initial.
Un asservissement de vitesse de moteur à
Donc :
T,=—
0
0
= 100.
courant continu comporte :
a) un moteur de f.é. m. E telle que E = kQ (E=12 V
lorsque n' = 3000 tr/min avec 9 = ns,
Or:
To
+Ku)=u
>
K=-
Fo
où)
;
soit
+
K
=
100 30000
= -——
1
— > \K&
10 -2
b) une chaîne de puissance: la tension d’alimentation U du moteur est proportionnelle à une tension
de commande u, :
U= Au,;
A=50;
c) une chaîne de retour qui permet d’obtenir une
tension y, image de la vitesse :
u, = KQ.
fréquence de rotation du
la
(u,= 10 V lorsque
moteur #’ est égale à 3000 tr/min).
La tension de consigne de l’asservissement est notée
u, . Un opérateur de différence permet d'élaborer une
tension d’erreur x., = (4, — 4,) qui est ensuite amplifiée avant de constituer la grandeur de commande de
la chaîne de puissance :
He = Ko Xe di
Lorsque le moteur fonctionne à vide, on néglige la
chute de tension RJ dans son enroulement d’induit.
On ne s'intéresse qu'aux régimes permanents et l’on
suppose que les fonctionnements envisagés sont
stables.
1.1. Représenter l’ensemble de la chaîne fermée de
régulation par un schéma unifilaire qui fera apparaître la tension U.
pose H =
1° Fonctionnement à vide (E = U)
1.1. Schéma unifilaire
Il fait apparaître l’ensemble des relation décrivant le
système (fig. 11.39). Bien noter que l’élément de la
chaîne qui correspond au moteur présente une
ù
L
1
;
:
transmittance égale à TL’ k étant le coefficient de
la relation entre E et (2.
1.2. Expression de la transmittance T
Elle est donnée par la relation : {2=Tu,.
Nous
pouvons écrire :
U = Au, ;
Ue = Ko Xer;
Xer — (ES U) ;
(à vide),
et:
1° Fonctionnement à vide.
1.2. On
SOLUTION
4; donner
l’expression
de la
fonction de transfert 7 en chaîne fermée.
1.3. Quelle valeur faut-il donner à kÿ pour que la
tension d’erreur soit limitée à 500 mV quand
ce qui donne :
RATER
A =Hx
et :
k
= H(u, - 4) = Hu, - HKQ.
H
TER
1 + HK
o2=
D'où :
La transmittance T du système en chaîne fermée est
donc égale à :
n'=3000 tr/min?
1.4. Cette valeur et conservée dans la suite du
problème. En déduire les valeurs de HK et de T.
1.5. Calculer la tension de consigne qui permet
d’obtenir la vitesse de 2000 tr/min.
2° Fonctionnement en charge
On considère que l'intensité Z du courant traversant
le moteur est imposée par la charge (pour une charge
donnée, elle ne dépend que de Q selon une loi dont
on ne se préoccupe pas).
2.1. En faisant apparaître Z comme une deuxième
entrée du système en chaîne fermée (entrée de
perturbation) sur un nouveau schéma unifilaire,
la
placer un deuxième opérateur de différence, après
r
grandeu
la
est
moteur
du
E
variable U. La f.é.m.
de sortie de cet opérateur.
:
22 Montrer que l’on peut mettre {2 sous la forme
PAT
RI
r.À
1+HX
2.3. Que représente le terme 2
ion
2.4. Justifier l’appellation de facteur de régulat
donnée au terme 1 + HX.
4, est
2.5. R=1,0 ohm; la tension de consigne
tr/min.
réglée de manière qu’à vide on ait n' =2000
tension U
Quelle serait la variation de vitesse si la
de 0
demeurait constante lorsque l'intensité / passe
à 2,0 A?
en
2.6. Calculer la variation de vitesse du moteur
de 0 à
chaîne fermée lorsque l'intensité 7 passe
2,0 A.
Fig. 11.39.
1.3. Calcul de X
Nous déduisons k, de la valeur de la transmittance
H. En effet :
Hat
avec
He
Xer
k
2e)
(x
> |ko = —
A
Xer
Applications numériques
2x (2000)
H = CAE
dé := 628 rad/Vs
&e Ea = 2 Vs/rad > k=382:10-2 Vs/rad
rare
À
1072 x 628 .* [k, = 0,48]
——
50
(ko, étant un rapport de deux
nombre sans dimension).
tensions,
est un
221
1.4. Calcul de HK et de T
Pour calculer ÆK il faut d’abord déterminer K :
HA alv
— Vs/rad == 3,18 .-2 s/rad Vs/rad.
K ==
0
314
_._628 rad Vs > [T
SET
Tag
=29,9 rad/Vs|
1.5. Tension de consigne pour n' = 2000 tr/min
n'
er
PAS
r(66)
de
{=
Ti
peut s'écrire sous la
0Q,-AQ,.
2, représente la vitesse angulaire à vide,
AA, représente
D'où : HK
= 628 x 3,18 : 107? > |HK
= 20
F4
Notons que cette expression
forme :
la variation
de vitesse due à la
perturbation apportée par la charge en chaîne fermée.
2.3. Terme =
Lorsque le moteur est en chaîne ouverte et qu’il est
alimenté sous une tension constante U, une variation de l'intensité du courant dans l’induit de 0 à 7
(du fait de la variation de la charge) se traduit par
une diminution A(2,,, de la vitesse angulaire du
rotor :
mx (PS)
AIRES
2
=
AE
k
——
x|&
=
(AE représente la diminution de la f.é. m., qui passe
de la valeur U à vide à (U- RI) en charge.)
2° Fonctionnement en charge
2.4. Facteur de régulation
2.1. Schéma synoptique avec une entrée perturbatrice
Ce schéma est donné figure 11.40. Le second opérateur de différence permet de traduire la relation :
E=U-RI.
=
F=1+HK
AQ
AQ, s 2°
[+ HRK
et
Le facteur (1 + HK) traduit l’action de la chaîne de
retour, La diminution de vitesse angulaire est FÆ fois
plus petite en chaîne fermée qu’en chaîne ouverte.
Ce facteur F correspond bien à une action de régulaton.
2.5. Variation de vitesse en chaîne ouverte
RI
AG
" d
.
D'où :
RE
3,82
A2,
x
10
2 rad/s
uv
AG
>
Sr
rad/s
Variation de la fréquence de rotation Axwy :
Fig. 11.40.
Ant = 60A@ur à 60 X 52,3 tr/min
2.2. Relation entre {2 et u,
A l’aide du schéma précédent nous pouvons écrire
successivement :
E
Que
k
U-RI
Ak,;x
mL
[SX
RImL
Er
RI
Eden:
ee
Lis
27
27
/
>
|Ançuy = 500 tr/min
2.6. Variation de vitesse en chaîne fermée
AQ
gr
= H(u, -u,) - su= Hu, - HKQ - #
= ——ouv.
1 + HK°
D'où :
D'où nous obtenons :
a( + HK) = Hi
A
À
[+ 20 rad/s >
|A(2;=
2,49 rad/s
Variation de la fréquence de rotation An:
soit, en divisant chaque terme par (1 + HK) :
ANTu
222
RTE]
EL
Es
MTL
I+HR
An =
60AQ2; _ 60 x 2,49
tr/min
2x
2x
>
|Anç= 23,8 tr/min
Exercices à résoudre
11.13. | On donne le schéma
système bouclé (fig. 11.41).
synoptique
d’un
3° Le montage peut être représenté par le schéma
synoptique de la figure 11.43.
Donner les expressions des transmittances æ, et m.
4 R,=R;,=1kQR,= 10 kQ.
Montrer que le schéma synoptique peut alors se
présenter comme indiqué sur la figure 11.44, Quelle
est la valeur de A?
" el
Fig. 11.41.
S
1° Quelle est la transmittance T = £ du système?
2° Ce système est équivalent au système bouclé de
la figure 11.09. Donner les expressions des trans-
mittances :
Fig. 11.44.
La fonction transfert de la chaîne directe
d’un système bouclé est :
gr]
10
2.1. de la chaîne directe;
2.2. de la chaîne de retour.
L'entrée E d’un amplificateur est soumise
à une tension y obtenue à partir de deux tensions
ver €t ve (fig. 11.42).
Celle de la chaîne de retour est K= 0,1.
ÿ
H
T=-—
Un système
systè
bouclé,
tt
T =
——=HK
bouclé, dede ttransmittance
est instable si l’on a simultanément Arg(Æ
K) = nr et
lHK|> 1.
1° Montrer que Arg (4 K) = x pour {= 10 kHz.
2° Montrer que le système proposé
est stable.
3 Pour quelles valeurs de K le système est-il instable?
La transmittance
Amplificateur
Fig. 11.42.
A, Vel + A
2° L'amplificateur fonctionne à vide. Montrer que
y, est donnée par l'expression suivante :
Vs = A(AiVer + A2 Ver).
Quelle est la valeur de u?
Fig. 11.43.
ampli-
cateur À, dépend de la pulsation d’un signal sinusoidal qui lui est appliqué :
Asa
LE
Ve.
Donner les expressions de 4, et de 4, en fonction
de R;,R,et R..
d’un
er
1° Montrer que y peut s’écrire sous la forme :
v=
4=
JT
Ao = 10°, test une constante de temps égale à 10 pis.
La résistance de’ sortie de À, est considérée comme
nulle, sa résistance d’entrée est infinie.
L'amplificateur A, est associé à un quadripôle Q
(fig. 11.45) dont la transmittance K=2 est réelle :
K = 1072.
Fig. 11.45.
223
1° Exprimer, en hertz, la bande passante à — 3 dB
de l’amplificateur A, ?
2° Représenter le schéma synoptique unifilaire de
cette chaîne fermée.
1° Montrer que
représenté par
figure 11.47.
chacun des
le schéma
montages peut être
synoptique de la
2° Pour chacun d’eux donner les expressions de &,
H et K.
3° Exprimer la transmittance T = F en fonction À
sm E,
et de K, puis en fonction de 4,, w, K et t.
4 Montrer
Hs
1 + jœTt
que
T peut
s’écrire
sous
la forme
où À' et t' sont des grandeurs réelles.
5° Calculer
AoK > 1.
À’
et t' compte
tenu
de l'inégalité
6° Quelle est la bande passante de ce nouvel amplificateur ?
Fig. 11.47
7° Proposer une réalisation simple pour le quadripôle Q en justifiant votre réponse.
11.18. |Dans le domaine des fréquences utilisées,
11.17. | Les deux montages de la figure 11.46
fonctionnent à vide. La résistance de sortie des
amplificateurs opérationnels est négligée.
la transmittance !1 = da de la chaîne directe du syser
tème bouclé de la figure 11.48 est H = #00
a
157 mi.
1 000
Sa résistance d’entrée R, est égale à 100 kQ. La
transmittance K de la chaîne de retour est égale à
0,02.
Le branchement
de la chaîne
de retour
ne
modifie pas A.
Fig. 11.48
1° Calculer l’impédance d’entrée du système bouclé
pour les pulsations suivantes :
1.1. ©, = 1 000 rad/s;
1.2. ©; = 10000 rad/s.
Fig. 11.46.
224
2° La tension
d’entrée
du montage
est
v. = 0,1 sin œt (v, en volts et /{ en secondes).
Donner l’expression numérique de la valeur instantanée de la tension de sortie v, pour les pulsations &, et @
Chapitre 12
GÉNÉRATION DE
SIGNAUX PÉRIODIQUES
Dans certaines conditions, divers montages électriques peuvent
osciller spontanément. Ils peuvent être le siège :
e d’oscillations sinusoiïdales : c’est un régime harmonique,
e d’oscillations périodiques non sinusoiïdales : c’est un régime
non harmonique (ou de relaxation).
Fig. 12.01. Schéma synoptique d'un système en
chaîne fermée (réaction positive).
m1. OSCILLATEURS SINUSOÏDAUX
1.1. Structure d’un oscillateur harmonique
Les oscillateurs sont des systèmes en chaîne fermée dont la
chaîne de retour apporte une réaction positive. Nous utilisons
donc la notation présentée dans le chapitre précédent pour ce
type de réaction (fig. 12.01) et si nous désignons par Æ(j) la
transmittance de la chaîne directe et par K(jw) celle de la
chaîne de retour, la transmittance du système bouclé T(jw)
peut s’écrire :
Pour savoir si un système bouclé peut
osciller sinusoidalement, il faut chercher s’il
y a une fréquence unique f S- telle que
H
“HOCHE
éloignée de la valeur f.
Si 1-HK=0 pour une fréquence f=f, le module T de la
transmittance T devient infiniment grand.
A un signal d’entrée X, de fréquence f,, même d'amplitude
infiniment faible, correspond alors un signal de sortie Y
d'amplitude importante (fig. 12.02). L'existence de «bruit» à
l’intérieur des composants suffit à la création d’un signal de
sortie Y. Comme il est ensuite appliqué à l'entrée de la chaîne
directe par l'intermédiaire de la chaîne de retour, les oscillations se poursuivent même si la cause initiale disparaît.
Pour un système bouclé, la condition limite nécessaire à
l'obtention de signaux sinusoïdaux s’écrit :
Nous appelons «bruit», de très faibles tensions dues à l'agitation désordonnée des
électrons à l'intérieur des composants. Ces
tensions suffisent à la création d'un signal
de sortie qui, après filtrage par la chaîne
de retour puis amplification par la chaîne
directe, donne naissance à des oscillations
de pulsation «.
Fig. 12.02. Schéma synoptique d'un oscillateur.
le nombre H(f) X(f) soit réel.
Cette condition étant réalisée il faut ensuite
comparer le produit H(f) X(f) à l'unité :
— Si H(f) KX(f)=1 : les oscillations sont
sinusoidales (à la fréquence f);
— si H(f) K() est légèrement supérieur à
1, les oscillations sont quasi sinusoïdales (à
la fréquence f);
— Si H(f) A(h) > 1, les oscillations ne sont
plus sinusoïdales et leur fréquence f est
225
1.2. Oscillateur à circuit résonnant
m 1.2.1. Montage
Le montage utilisé (fig. 12.03) associe :
— une chaîne directe qui est un amplificateur non inverseur;
— une chaîne de retour qui est un quadripôle à circuit
résonnant.
m 1.2.2. Expérience
a) Mesures et réglages préliminaires
e Chaîne de retour
Déterminons
la fréquence f, pour
laquelle la transmittance
K = . de ce circuit est réelle (fig. 12.04).
S
Appliquons à l’entrée une tension sinusoiïdale de fréquence
réglable et d’amplitude constante. Nous visualisons la tension
de sortie à l’oscilloscope afin de noter pour quelle fréquence ji,
les tensions w, et z, sont en phase. Nous obtenons :
Jo = 1 120 Hz.
e Système en chaîne ouverte
Fig. 12.03. Oscillateur à circuit résonnant.
Vérifions que pour f= f,,, l’amplificateur de la chaîne directe
fonctionne en régime linéaire et, pour le système en chaîne
ouverte, agissons pour avoir l'égalité w; = u,.
Un générateur B.F. est placé à l’entrée de la chaîne (fig. 12.05).
Il délivre une tension sinusoïdale de fréquence /,,. Les voies de
l’oscilloscope sont reliées à l’entrée et à la sortie du montage
pour visualiser les tensions #, et w3.
Ajustons R, (potentiomètre) à une valeur telle que , et u, aient
la même amplitude. Les deux quadripôles devant fonctionner
en régime linéaire, nous vérifions également que la tension ,
est bien sinusoidale (si ce n’est pas le cas, il faut diminuer
l'amplitude de la tension d’entrée). Avec les valeurs proposées,
- nous obtenons : R, = 2,73 kQ.
Fig. 12.04. Chaine de retour. Détermination
de fs.
Fig. 12.05. Système en chaîne ouverte. Obtention de u,=u, : égalité des amplitudes et des
phases.
b) Obtention d’oscillations
e Après
Fig. 12.06. Système en chaîne fermée.
226
avoir enlevé
le générateur
B.F., relions la sortie à
l'entrée du montage (fig. 12.06). L’oscilloscope permet de
visualiser les tensions #, et w,. Si le circuit n’est pas le siège
d’oscillations, il faut augmenter légèrement la résistance R,
pour qu’il se mette à osciller. La valeur nécessaire étant
R;0 = 2,74 kQ pour le montage utilisé, nous faisons alors les
constatations suivantes :
—
R,<R,, : il n’y a pas d’oscillations;
— R;> Ryte (ici e=5 Q) : il y a des oscillations mais le
fonctionnement n’est plus linéaire : la tension w, est écrêtée;
—
R;= Rs : les oscillations sont sinusoïdales et d'amplitude
maximale,
/e montage se trouve à la limite du fonctionnement
linéaire.
Fig. 12.07. Schéma synoptique de la chaîne
directe. Sa transmittance est réelle et égale
à:
H je
=
U;,
Ta
Avec les valeurs proposées, nous obtenons pour R, = 2,74 kQ :
f=fo = 1125 Hz, &, = 3,5 V et ü,= 13 V.
à
R;
m1.2.3. Analyse du montage
e Chaîne directe
La chaîne directe est un montage amplificateur non inverseur :
— sa transmittance À est égale à l’amplification en tension de
l'étage (fig. 12.07) :
U
:
Fe
;
Le rapport Te est un réel positif : les tensions #4, et 4, sont
1
en phase.
Fig. 12.08. Schéma équivalent de la chaine de
retour. Sa transmittance est réelle pour f=t,.
—
son impédance d’entrée un est infiniment grande (l'intensité
ia
i* du courant d’entrée étant pratiquement nulle);
— son impédance de sortie est celle de l’amplificateur
inverseur elle est donc pratiquement nulle.
non
e Chaîne de retour
La chaîne de retour est un circuit résonnant parallèle. Nous
connaissons les éléments 7 et L du modèle série de la bobine.
Pour faciliter l’étude du circuit, nous allons utiliser les éléments
r, et L, du modèle parallèle.
Si Q est le facteur de qualité de la bobine (voir chapitre 2) :
soit 2 À +
Q?) et Le
l
L(1er
Dans l'exemple considéré Q est supérieur à 10 (nous
vérifierons par la suite) et nous pouvons écrire :
le
r, =r@ et L,& L.
Schéma équivalent simplifié de la
ap
5aine
de retour.
alors être représentée par le schéma de
La chaîne de retour peut
.
:
la figure 12.08 qui permet un calcul plus simple de la
transmittance K de cette chaîne. Le montage se réduit à un
pont diviseur de tension formé de R,; et d’un groupement
(fig. 12.09) d’impédance Z, correspondant à l'association y,
LI HREPEr
Dhs
107:
=+ —+j|
Co
Sonp
R
i( “
au,
Z+R)
1
- —
|.
D'où (fig. 12.10) :
Fig. 12.10. Schéma synoptique de la chaîne de
retour. Sa transmittance est:
dieu
Z
U, G+R)
;
jp, RsFa
F3 |
A la résonance du circuit parallèle : Co — Lo = 0,
227
:
AE
Donc :
.
«=u,=
DE
0 Ed
ue
VLC
et
K=
2
ER
TE
Ê
1+R;[— LL
+
APE
à:
Le rapport K = = est un réel positif : les tensions 4, et 4, sont
en phase.
nid
Fig. 12.11. Schéma
:
synoptique de la chaine
ouverte.
Remarque
Le facteur
La transmittance de l'ensemble est :
U, /U,\/U
ne()C)-KE
4
BA
24 |
,
;
de qualité
s
d’une
Lo
bobine
est ——.
à
s
Pour
.
l’expéri-
r
!
mentation, nous avons utilisé un condensateur de capacité
C=200 nF, une bobine d’inductance L = 0,1 H et de résistance
r = 32 Q (mesurée à 1,2 kHz). A la résonance, la valeur du
facteur de qualité de la bobine est : Q, = _ = 22,1. L’approxi-
mation adoptée (Q > 10) était justifiée.
e Système en chaîne ouverte
La fonction de transfert des deux
cascade (fig. 12.11) est égale à :
=.
Cou
quadripôles
montés
en
-HK
CITES
A la fréquence f,, nous trouvons :
AO
D
nn
1+R(7+2)
;
PRE
se
Toutes les résistances, sauf R,, sont fixées et connues. En
agissant sur R,, nous pouvons régler cette transmittance HK à
la valeur 1.
Avec les valeurs proposées (R = R;, = 27 kQ et R,
1 kQ), cette
condition a été obtenue pour la fréquence f = fi; 1120 Hz et
R; = 2,73 kQ.
e Système en chaîne fermée
La transmittance 7 K est égale à l’unité pour la fréquence jf; si
le système est fermé sur lui-même, il oscille et fournit un signal
de fréquence f;. Nous retrouvons bien la structure de la
figure 12.02 dans laquelle :
—
—
—
—
le signal d’entrée X est nul,
le signal d’entrée de la chaîne directe X., est la tension U,,
le signal de sortie Y est la tension U,,
le signal de retour X, est la tension U;.
La chaîne directe ayant une impédance d’entrée infinie, pratiquement la chaîne de retour fonctionne à vide. Compte tenu de
la valeur de R, cette chaîne ne charge pas non plus la chaîne
directe.
Conclusions
e Dans le cas de notre expérience, il y a bon accord entre le
valeurs :
.
Ju =1120Hz
et R;,=2,73kQ
qui assurent l’égalité des tensions w, et w, lorsque la chaîne est
ouverte, et les valeurs f,, et R;, = Rx qui caractérisent l’oscillateur à la limite du fonctionnement linéaire.
228
Remarque
Le modèle adopté pour l’amplificateur opérationnel ne prend
pas en compte les non-linéarités et les déphasages introduits par
ce composant qui jouent un rôle et influent sur la valeur de R;..
Dans la pratique, pour stabiliser les oscillations à une ampli-
Fig. 12.12. Schéma de principe d'un oscillateur à
résistance négative.
tude bien déterminée, il est nécessaire d’utiliser un élément non
linéaire (varistance ou thermistance) à la place de R, : cette
étude n’entre pas dans le cadre du programme.
e L’oscillateur est très sensible à la valeur donnée à R, : les
oscillations sont sinusoidales pour un intervalle de variation de
R, très réduit.
1.3. Oscillateur à résistance négative
m 1.3.1. Réalisation
Nous savons que, dans certaines conditions, un circuit R, L, C
série ou parallèle peut être le siège d’oscillations amorties (voir
chapitre 1). L’amortissement des oscillations est dû à la résistance R.
En associant un circuit R, L, C et un dipôle actif pouvant se
comporter comme une résistance négative nous allons obtenir
un oscillateur (fig. 12.12). Le dipôle actif apporte l’énergie
nécessaire à l’entretien des oscillations.
m 1.3.2. Dipôle actif à résistance négative
Fig. 12.13. Montage permettant le relevé de la
caractéristique d'un dipôle à résistance négative.
Dans la pratique : R,=R,= 1 kQ.
Pour relever la caractéristique ui), il! faut que le
dipôle soit attaqué par un générateur ayant une
résistance interne élevée afin de réaliser la condition Suivante :R,>R,. u,= - pi.
L’amplificateur opérationnel des montages proposés fonctionne
en régime linéaire (e = v' -v 0).
a) Dipôle à caractéristique en N
Déterminons la résistance d’entrée R. du dipôle AB
figure 12.13.
|
La tension & étant nulle, nous pouvons écrire :
u=u
=
Nous obtenons:
U;
>
R, i, =
R=Tu
de la
=-kRii
R;i
=
j=
Rob
R;
R,R
15
R;
La caractéristique utile w(i) est une portion de droite de
coefficient directeur négatif (fig. 12.14). Pour les fortes valeurs
de |i|, on sort du domaine linéaire : la caractéristique est alors
composée de portions de droite de coefficient directeur positif
et égal à R;.
Fig. 12.15. Montage permettant le relevé de la
caractéristique u(i) d'un dipôle à résistance négative à caractéristique en S. Dans la pratique :
R,=R,= 1 KQ. On remarque que u, = - pi.
Fig. 12.14. Caractéñstique d'un dipôle à résistance négative. Le dipôle est dit à caractéristique
NE:
rateur ayant une résistance interne faible afin de
réaliser la condition :
|
b) Dipôle à caractéristique en S
En déterminant comme précédemment la résistance d’entrée R,
du dipôle A’B' (fig. 12.15), nous obtenons :
Il faut que le dipôle soit attaqué par un géné-
R,+p<R,;.
enN':i,=-—2 —sat,
" R; R;+R,
229
La caractéristique utile (1) est encore un segment porté par
une droite à coefficient directeur négatif (fig. 12.16).
& 1.3.3. Exemple
a) Montage
A l'entrée d’un dipôle actif à résistance négative (dipôle à
caractéristique en N), tel que R, = R;, = 1 kQ, R, étant réglable
(potentiomètre à 10 tours de 100 Q), nous plaçons (fig. 12.17),
en série, une bobine d’inductance Z = 40 mH et de résistance
r, une résistance p = 10 Q et un condensateur de capacité
C=22nF.
Nous visualisons la tension aux bornes de la résistance p
(voie A) et la tension w aux bornes du dipôle actif (voie B).
Comme w,=-pi nous utilisons la touche inverseuse de la
voie À pour que la courbe obtenue corresponde à — 4, = pi.
b) Expérience
Fig. 12.16. Caractéristique en S. Pour les fortes
valeurs de u on sort du domaine de fonction\
nement linéaire (1.=Vu a }
1
2
e R,=15 Q : l'oscilloscope montre que les tensions — 4, et 4
sont nulles.
e R, = 50 Q : à l’oscilloscope (fig. 12.18) nous constatons que
la tension — 4, est presque sinusoidale, tandis que w présente
des crêtes déformées.
e Diminuons progressivement la valeur de R,. Nous obtenons
des oscillations sinusoïdales (fig. 12.19) pour R, = 30,1 Q (de
fréquence f, = 5,4 kHz dans notre exemple).
Fig. 12.17. Oscillateur à résistance négative.
On peut visualiser directement la tension V, aux
bornes du condensateur. Elle présente moins de
distorsion que l'intensité ipar suite de l'intégration :
t
eg [ia
Fig. 12.18. Oscillogrammes obtenus avec
Fig. 12.19. Oscillogrammes obtenus avec
R,= 50 Q.
R,= 30,1 Q.
e Diminuons très légèrement R, (de 0,2 Q par exemple) : les
oscillations disparaissent.
c) Analyse du fonctionnement
e Aspect énergétique :
L’échange d’énergie du condensateur vers la bobine ou de la
bobine vers le condensateur s’accompagne d’une dissipation
d'énergie par effet Joule dans la bobine et dans la résistance p.
Appelons — R, la résistance négative du dipôle actif :
R;,=R,
(puisque R;= R;).
— R,>7r+p:1le dipôle actif fournit une puissance supérieure à
celle perdue par effet Joule dans le circuit lors de chaque
transfert : il y a création d’oscillations non harmoniques. La
distorsion de u (comme celle, plus légère, de i) s’explique par le
fait que l’amplificateur opérationnel sort de son régime de
fonctionnement linéaire.
230
+ Expression de ve
e Simplifions le montage de la figure 12.17
en remplaçant le dipôle actif par un élément
de résistance — À, (fig. a).
— R;,=r+p : le dipôle actif fournit la puissance juste nécessaire à compenser celle perdue par effet Joule dans le circuit
lors de chaque tranfert : les oscillations sont sinusoïdales et
leur fréquence est f, =
l
2x VLC
— R,<r+p:1e dipôle actif ne peut fournir l’énergie suffisante
pour compenser celle qui est perdue par effet Joule dans la
bobine et dans la résistance p lors d’un transfert : les oscillations ne peuvent s'établir.
Dans le montage équivalent de la figure 12.20, la résistance
négative — R, consomme une puissance — R, i?, autrement dit
fournit une puissance égale à R, i?.
Fig. 12.20.
Appliquons la loi d’additivité des tensions;
nous obtenons :
Ve + LÉ+ri- Ri=0 avec r'=r+p
(1)
_dg
i=—+.
Ve =+cq e et er
Or
de
di
d Vc
—C
et —-C—<
dt
de
—
celui de la figure 12.21 : 1l représente la chaîne directe du
système;
La relation (1) s'écrit alors :
"
# 1.3.4. Schéma synoptique
Le montage de la figure 12.17 est un système bouclé. Nous
pouvons le considérer comme la superposition de deux montages élémentaires :
Donc:
MEL
Le dipôle équivalent à une résistance négative se comporte
comme un générateur tel que la tension w entre ses bornes
est proportionnelle à l’intensité —i du courant qu’il débite
u=R,(-i).
dv,
dv,
dv,
MOrnC—-RC—S=0.
MT Cpr
Éd
Soit encore :
d?ve
l
dve
1
—+-(r-R)—C+—
V0.
(2
0 (
tic
Dans le cas où R,=7r', la relation (2) se
simplifie pour devenir :
Fig. 12.21. Chaîne directe.
La transmittance de la chaîne directe est égale à :
C'est une équation différentielle dont nous
connaissons la solution. Avec un choix
convenable de l'origine des temps, cette
solution est de la forme :
Ve= À COS opt
avec
= —.
VLC
La fréquence des oscillations est :
b=
-
soit
#%=5,4KkHz
on VLC |
Fig. 12.22. Chaine de retour.
avec les valeurs de L et C choisies pour
notre expérience. Ce résultat est en accord
avec celui trouvé au cours de la manipulation.
Remarque :
à ce 3 j=-Cove sin ct
La transmittance de la chaîne de retour est
égale à :
ue
A,
7 U, (R;+R,)
Si Z est l’impédance du circuit r’, L, C série, la transmittance
de la chaîne directe est égale à :
U
R
H=-==]1+—+,
sl
Z
La transmittance de la chaîne de retour est égale à :
231
Pour la fréquence
)
4 =—=
1
27 DVLC
le
Lorsque la chaîne est fermée, nous retrouvons
synoptique général d’un oscillateur (fig. 12.23).
le schéma
nombre H est réel. Nous avons :
LH=1+ B
r
(nr Rix)
R
R
K=[1+—<
1).
Comme précédemment, supposons que :
R;=R,= R. Alors pour la fréquence f, :
: x-CtR
Mel
A
TA
,
Fig. 12.23. Schéma synoptique de l'oscillateur.
A
e HK=1 pour R,=r" : c'est la condition
d'obtention des oscillations sinusoïdales à
la fréquence f,;
M 2. MULTIVIBRATEURS ASTABLES
e HK>1 pour A; > r' : le système oscille
Les multivibrateurs astables sont des oscillateurs qui produisent des signaux non sinusoidaux.
Nous allons illustrer le fonctionnement de ces générateurs au
moyen de deux exemples réalisés à l’aide :
mais de manière non sinusoïdale et à une
fréquence différente de f,;
e HK<1 pour R,<r' : le système
n'oscille pas.
Nous retrouvons bien les mêmes résultats
que ceux donnés par l'étude énergétique.
—
—
l’un, d’un amplificateur opérationnel;
l’autre, de circuits logiques.
2.1. Multivibrateur à amplificateur opérationnel
m2.1.1. Montage
a) Expérience
Réalisons le montage de la figure 12.24. Un oscilloscope permet
de visualiser la tension #- aux bornes du condensateur et la
tension de sortie , du montage.
La tension de sortie est rectangulaire symétrique (fig. 12.25) si
l'alimentation de l’amplificateur opérationnel est elle-même
symétrique.
Elle oscille entre deux valeurs qui sont les tensions de saturation de l’amplificateur : + VV, et — V., avec une alimentation
symétrique.
b) Interprétation
e L’amplificateur fonctionne en comparateur c’est-à-dire de
manière non linéaire. Sa tension de sortie ne peut prendre que
deux valeurs : — V., ou + V.,. Chaque fois que € passe par 0,
le montage change d’état.
e Nous
Fig. 12.24. Multivibrateur astable : l'amplificateur
opérationnel de ce montage fonctionne en régime
non linéaire.
Valeurs proposées
R,=R,=R= 10kQ,
C=0.1uF; À. 0. TL 081 alimenté sous + 15 V.
supposons
232
établi et nous choï-
La sortie se trouve à l’état haut. Le circuit R, C'est soumis à la
tension + V... : le condensateur se charge sous tension constante
à travers la résistance R avec la constante de temps tr = RC. La
tension #- augmente car l’intensité À est positive.
Lorsqu'elle
En général, les multivibrateurs astables
délivrent en sortie une tension rectangulaire. Pour la sortie, deux états stables seulement sont possibles : ils sont appelés
état haut et état bas (dans le premier cas
Us = + Va, dans le deuxième us =- Vi).
le régime permanent
sissons pour instant { = 0, celui où : u, =+ V.. et ue = 0 (voir
fig. 12.25).
atteint
la valeur
U3=+F., D
es le système
R, +R,
bascule.
La sortie se trouve alors à l’état bas. Le circuit R, C est soumis
à la tension u,=-V.,. L’intensité À est alors négative et la
tension algébrique u- décroît et change de signe. Lorsque we
atteint la valeur U, = - U,, le système bascule à nouveau ét
ainsi de suite …
e Le fonctionnement étant parfaitement symétrique, la tension
de sortie de l’amplificateur est rectangulaire symétrique, la
durée de l’état haut étant égale à celle de l'état bas.
# 2.1.2. Calcul de la période de l’oscillateur
La période de l’oscillateur est égale à la somme des durées 6, et
0, respectivement d’un état bas et d’un état haut de la tension
u, (voir fig. 12.25).
Fig. 12.25. Tensions u, et u, à l'entrée et à la
sortie du montage de figure 12.24.
e Calcul de 6,.
Lorsqu'un circuit R, C est placé sous une tension constante,
l’évolution de la tension #- aux bornes du condensateur est
représentée par une exponentielle dont l’équation peut s’écrire
sous la forme suivante :
Uc = Ve) + (Vo = Ven) €.
Vi est la tension aux bornes du condensateur
correspondant au
décharge (f = 0*).
début
de
la charge
ou
au
à l'instant
début
de la
V,., est la tension qui existerait aux bornes du condensateur
au bout d’un temps infini.
Dans le cas du montage de la figure 12.24 :
HS se = Fu et Fo= Uz.
Donc
:
A
PCR (U3 + Via) € #:
Au bout de la durée 0, :
d’où
:
1
.
soit :.
e
Us T
2LRsat
Sp
uc=- Un,
Le Li (Ur F4 Via) € el
UV
B
U =
avec
V
R
“RL 1 R, ;
Notons que :
Es
à
Un
Te
D'où
:
Et
—
R;
SRE
Voat R, +R,
e OT
et
R
U
LE Fe
+)
sat
2R, e R;
2
R, v R,
R2
+R
2R
0,=tIn[1+—"|,.
1
=T a
R, )
e Calcul de 6,
Les créneaux étant symétriques, la durée 6, est égale à 6,.
Nous en déduisons la période T du multivibrateur :
T0 + 0,= 2 in(1RE
2
Soit encore :
T=2RCin (10
2
m 2.1.3. Modification du rapport cyclique
- Le rapport cyclique est le rapport de la durée @, de l’état haut à
la période T. Dans l’exemple précédent, le rapport cyclique est
égal à 0,5. Si la constante de temps rt = RC est modifiée, seule la
fréquence de la tension 4, varie. Il en est de même si les valeurs
de R, et R, changent, c’est-à-dire si les seuils de basculement
(Ua) sont changés.
233
Pour modifier le rapport cyclique il faut :
— que la constante de temps t correspondant à l’évolution de
la tension w vers + V.. soit différente de celle t’ correspondant à la phase où la tension w. évolue vers — V..,
— ou que les seuils de basculement de l’étage correspondent à
des valeurs de w. qui ne soient pas opposées (fig. 12.26).
a) Étude d’un montage
Au montage de la figure 12.27 correspondent les courbes de la
figure 12.28.
Fig. 12.26. Le rapport cyclique de la tension de
sortie d'un multivibrateur astable peut être modifié
par adjonction d'un générateur de tension u, qui
permet d'avoir des seuils de basculement différents
pour les deux changements d'état.
Fig. 12.28. Tensions u, etu, obtenues à partir du
montage de figure 12.27.
e Montage à l’état haut :
A l'instant { choisi pour origine des temps u, = + 1, et ue = 0.
Le potentiel de l’anode de la diode D, est plus élevé que celui
de sa cathode : D, conduit. Le potentiel de la cathode de la
diode D, est plus élevé que celui de son anode : D, est bloquée.
Le condensateur se charge, sous tension constante, à travers la
résistance R avec la constante de temps t = RC. Lorsque wc
atteint le seuil de basculement U,, le montage change d'état.
e Montage à l’état bas : u, = — V.,. La diode D, se bloque et la
diode D, conduit : le condensateur se charge, sous tension
constante, à travers la résistance R' avec la constante de temps
t'=R'C. Lorsque ue atteint le second seuil de basculement
alors € s’annule à nouveau et le montage change d'état.
Fig. 12.27. Montage permettant d'adopter un
rapport cyclique de la tension de sortie différent
de 0,5.
b) Période T de l’oscillateur
Un calcul analogue au précédent conduit au résultat suivant :
Le rapport cyclique est égal à : «= Te
— En faisant varier R, la constante de temps t = RC est
modifiée (donc la durée de l’état bas) : nous agissons simultanément sur le rapport cyclique et sur la période.
—
En faisant varier R', la constante
de temps
t'=R'C
est
modifiée (donc la durée de l’état haut) : nous agissons simultanément sur la durée de l’état bas et sur la période.
— En changeant la valeur de €, les constantes de temps t = RC
et T’=R'C sont modifiées dans un rapport constant : nous
modifions la période T en maintenant le rapport cyclique
constant.
— En modifiant les valeurs de R, ou de R,, nous changeons la
Fig. 12.29. Montage potentiométrique à utiliser
valeur de la période sans modifier le rapport cyclique.
en remplacement de R etR' pour pouvoir changer
le rapport cyclique du multivibrateur sans modifier
la période.
— Lorsque R et R' sont les résistances des deux parties d’un
potentiomètre (fig. 12.29), en déplaçant le curseur nous faisons
234
varier R et R'
en maintenant
la somme
R+R'
constante
:
nous changeons la valeur du rapport cyclique sans modifier la
période.
2.2. Multivibrateur à circuits logiques
m2.2.1. Montage
Le montage de la figure 12.30 est réalisé à l’aide d’inverseurs CMOS.
La tension d’alimentation des inverseurs est P,,, = 10 V.
La résistance R, (10 kQ) placée à l’entrée du second inverseur a
une valeur suffisamment élevée pour que l’on puisse négliger
l'intensité du courant qui la traverse devant celles des courants
qui traversent le condensateur et la résistance R.
Un oscilloscope permet la visualisation des tensions v, (tension
de sortie du premier inverseur), v, (tension d’entrée du second
inverseur) et y, (tension de sortie du second inverseur qui est
aussi la tension d’entrée du premier inverseur).
m 2.2.2. Expérience
Fig. 12.31. Oscillogrammes des tensions v,, v, et
V; du montage de figure 12.30.
À chaque basculement nous pouvons constater que v, et v, varient de la même
quantité : la tension ue ne subit pas de discontinuité.
Visualisons la tension v, sur la voie À de l’oscilloscope. En
synchronisant le balayage sur ce signal, observons ensuite
successivement les tensions v, et v, sur la voie B. Nous
obtenons des oscillations non harmoniques (fig. 12.31).
m 2.2.3. Interprétation
a) Caractéristique d’un inverseur CMOS
(fig. 12.32)
e Pour une tension d’entrée v, inférieure à un seuil de
se
V,
;
:
transition P,, = dE la tension de sortie de l’inverseur, v,, est
égale à V5. Le montage se trouve alors à l’état haut.
e Pour une tension d’entrée v, supérieure à P,, la tension de
sortie de l’inverseur v, est nulle. Le montage se trouve alors à
l’état bas.
b) Fonctionnement de l’oscillateur
|
Choisissons pour instant {=0, celui où le second inverseur
bascule de l’état bas à l’état haut : v, passe de 0 V à V5.
e À 1=0, la tension d’entrée du premier inverseur est
Fig. 12.32. Caractéristique d'un inverseur CMOS.
y; =0 V, sa tension
de sortie est alors
:»=0V,
m=VD=10V,
v, = Vpn = 10 V; »
atteint la valeur PV, = 5 V ce qui provoque le basculement du
second inverseur.
Le circuit R, C du montage se trouve alors dans la situation
représentée sur la figure 12.33.
Nous supposons que V, æ= Voo
D"
t=0
et
=
=SV
uc=V-»=SV.
e A t1=0*,
v3= Vpn = 10 V. La tension
v, s’annule
instan-
tanément mais la tension #- aux bornes du condensateur ne
peut changer instantanément. Or uc=v,-v,=-Y. Donc y,
passe de la valeur +5 Vàat=0",à -5 Var=0". Le circuit RÀ,
C est à cet instant dans la situation représentée sur la
figure 12.34
t=0*
Fig. 12.33. Valeurs des différentes tensions à
l'instant t = 0°.
et
: v,=
Vpn
= 10 V,
y,
m=-V,=-S
=0
V,
V.
“=,
=SN
e Après ce premier basculement, la tension , décroît à travers
la résistance R (i < 0) avec la constante de temps RC.
Or à chaque instant ue + v, = 0 : la décroissance de la tension wc
s'accompagne de la croissance de la tension v,.
La tension aux bornes du circuit R, C étant constante, la
décroissance de
et la croissance de y, sont exponentielles
jusqu’à l'instant 7, où v, atteint le seuil de transition du
second inverseur.
e À l'instant f; , le circuit R, C'est dans l’état de la figure 12.35.
Fig. 12.34. Valeurs des différentes tensions à
l'instantt= 0*.
t=
tele
et
10
V,
M =0V,
nm =r,=5»
uc=-V,
=-5 V.
e À l'instant /,‘, le second inverseur bascule, ce qui entraîne la
commutation du premier inverseur : y; = 0 V et v, = 10 V. La
tension #- aux
instantanément,
bornes du condensateur ne pouvant varier
=
la tension v, passe de la valeur 5 V à t; à
la valeur v, = v, - uc = 3
V,
s
LE
15
V
a
tj .
Le circuit RC est dans l’état de la figure 12.36.
t=ti :r=0V,v =
et
pp =10
V,uc=-V
== 5
p = 222 = 15 V.
e Après ce deuxième basculement, le condensateur se charge
à travers la résistance R (i>=>0) sous la tension constante
v, = Vop = 10 V. L’augmentation de u, entraîne la diminution
de y, : après l'instant £,, la tension v, diminue exponentiellement.
Fig. 12.35. Valeurs des différentes tensions à
l'instant t; .
e Le basculement suivant aura lieu à l'instant #, lorsque la
tension y, atteindra à nouveau le seuil V,. Le circuit se trouve
dans la situation correspondant à l'instant { = 0 : le fonctionnement est périodique.
c) Période T de l’oscillateur
Te & #9
Une tension x, évoluant exponentiellement (fig. 12.37), avec la
constante de temps 7, vers une limite asymptotique V, (pour
1 — ) met, pour passer d’une valeur V, (à l'instant initial)
à une valeur #,, (à l'instant final choisi t;), une durée :
Aerin, er
Fa
Fig. 12.36. Valeurs des différentes tensions à
l'instant t;.
Fig. 12.37. Évolution de la tension aux bornes
d'un condensateur.
236
@
ue
Travaux pratiques
1. Naissance
monique
des oscillations
d’un oscillateur
har-
e Réaliser le montage de la figure 12.38. Brancher
l'une des voies d’un oscilloscope à la sortie de
l'amplificateur opérationnel.
Ajuster le potentiomètre P, dont la résistance
réglable vaut R, pour voir apparaître les oscillations
(R> r). Placer alors en parallèle avec P un courtcircuit. Qu’observe-t-on ? Enlever le court-circuit.
e Compléter le schéma précédent en ajoutant, en
parallèle avec le potentiomètre P,, un transistor
devant fonctionner en commutation (pour cela réunir À et A’).
L'entrée du transistor est attaquée par une tension
symétrique en créneaux provenant d’un générateur
B.F.
Régler la fréquence du générateur à 100 Hz. Donner
à la tension en créneaux une amplitude permettant
le fonctionnement du transistor en commutation.
Fig. 12.38. P,= 1000, C= 0,1uF,L= 22 mH.
Fig. 12.39.
a) En utilisant une tension d’entrée v, triangulaire,
de fréquence inférieure ou égale à 1 kHz, relever la
caractéristique de transfert v,(v,). La figure 12.40
représente la forme de cette caractéristique.
Quelle est la valeur de la tension V?
Orienter les portions de caractéristique AA’, A'B,
BB’ et B’A dans le sens où elles sont décrites par le
point de fonctionnement. Choisir une fréquence
voisine de un hertz et vérifier à l’oscilloscope que
les orientations choisies conviennent.
Relever les valeurs des tensions de seuil », et vm:
Fig. 12.40.
Quelle est alors la tension V4 aux bornes du transistor lorsqu'il est saturé?
En déduire le rôle du transistor en commutation
dans ce montage.
Relever l’oscillogramme obtenu. Observer la naïissance, la croissance, la stabilisation puis la disparition des oscillations en synchronisant sur
le GBF.
2. Association d’un étage comparateur et d’un étage
intégrateur
2.1. Étage comparateur (fig. 12.39)
Les éléments du montage sont les suivants :
À, : amplificateur opérationnel (par exemple l’un
des amplificateurs du TLO82) alimenté sous
LsoV::
D : diode de signal (1IN4148 par exemple);
R, : résistance de 4,7 kÇ);
R, : résistance de 10 kÇ2.
b) Comparer ces valeurs à celles obtenues lorsque D
est remplacée par un court-circuit, puis lorsqu'elle
est débranchée (circuit ouvert).
En confortant votre raisonnement par des considérations de potentiel, en déduire que la diode D, en
fonctionnement normal, conduit sur l’une des portions B’A ou A'B de la caractéristique de transfert
et qu’elle est bloquée sur l’autre.
2.2. Étage intégrateur (fig. 12.41)
Les éléments du montage sont les suivants :
A, : amplificateur opérationnel (par exemple l’autre
amplificateur du TLO82) alimenté sous + 15 V:
R : résistance de 10 kQ;
C : condensateur de capacité C = 100 nF.
237
t (ms)
Fig. 12.43.
Fig. 12.41.
a) Retrouver la relation entre v;, v,, R et C.
b) En appliquant, entre E, et la masse, une tension
y, en créneaux, symétriques, de fréquence 1 kHz, on
trouve une tension v; qui n’a pas la forme prévue
même en ayant préalablement déchargé le condensateur. Pourquoi?
c) Montrer qu’une résistance R' de 470 kQ, placée
en parallèle sur le condensateur, permet de retrouver un fonctionnement pratiquement conforme à
la théorie basée sur un fonctionnement idéal de
amplificateur opérationnel A,. Pourquoi?
2.3. Association des deux étages
S, est relié à E, et S, est relié à E, (fig. 12.42).
3. Oscillateur à NE 555
e Présentation du circuit NE 555.
Le circuit (fig. 12.44) est constitué
suivants :
des éléments
— un comparateur forçant la sortie Q’ d’une
bascule bistable à «1» si la tension d’entrée de la
broche n° 6 dépasse les deux tiers de la tension
d’alimentation,
— un comparateur qui fait passer la même bascule
bistale à «0» chaque fois que la tension à l’entrée de
la broche n° 2 est inférieure au tiers de la tension
d’alimentation,
2
— une bascule bistable dont seule la sortie © est
utilisée,
— un transistor à collecteur ouvert (broche n° 7),
— un inverseur pouvant recevoir ou fournir de
forts courants (200 mA).
8
4
8 765
6
3
NE 55°"
1234
BROCHAGE
5
,
À
SYNOPTIQUE INTERNE
Fig. 12.42.
Fig. 12.44.
a) En s’aidant de la caractéristique de transfert de la
figure 12.40 et de la relation établie au 2.1.a.
Justifier la forme de la courbe v,(t). Mesurer la
période T, de v,.
b) Si les tensions de saturation de A, sont respectivement + Wet — V, montrer que la période T de v,
2RR,C
est égale à
. Comparer
à la valeur expéri-
2
mentale 7,. Quelles sont les causes de différence
entre Zret:7,7
c) Modifier le montage de la figure 12.42 de
manière à obtenir la tension de sortie y, représentée
sur la figure 12.43?
238
&
Fig. 12.45.
e Réaliser le montage de la figure 12.45.
P est la résistance d’un potentiomètre de 100 kQ.
Déterminer les temps de charge et de décharge du
condensateur lorsque sa tension varie entre = et
y.
AE
$&
ES En déduire la période 7° de v;, et le rapport
4. Muiltivibrateur astable à circuits logiques CMOS
Réaliser le montage de la figure 12.46. Les éléments
du montage sont les suivants : circuits logiques
CMOS 4011 alimentés sous la tension Vip = 5 V.
R, : 10kQ,
Cr: 4EnF:RK,
47 k0. C; : 224
R, : 10 kQ2.
cyclique % (ty durée du signal v; à l’état haut). Faire
e Relever les oscillogrammes : vx, (1); vs1 (1); ve2(t)
varier P entre 0 et 100 kQ. Relever T(P) et FI (P).
et Vs2 (£ D
Pour P = 50 kQ, comparer :
e Mesurer la période, la durée de l’état haut et celle
* {y à 0,693(R + P)C;
de l’état bas de la tension vs.
En déduire la fréquence et le rapport cyclique de
cette tension.
* {1 à 0,693P-C;
:
18
e Expliquer le fonctionnement du montage en utilisant les oscillogrammes obtenus.
1,44
5pc
e La période
est donnée
par la relation
T = k(R,C,; + R,C)). Déterminer la valeur de k.
+ & à P/(R + 2P).
Fig. 12.46.
Si les oscillations ne prennent pas naissance spontanément, relier un très court instant l'entrée d’un
opérateur et la borne positive de l’alimentation. De
même, pour faire cesser les oscillations, relier passagèrement une entrée à la masse.
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
7 d’un système bouclé
[12.01. |La transmittance
12.02. |La transmittance de la chaîne directe d’un
|
oscillateur sinusoïdal est : Æ = 40.
Celle de sa chaîne de retour a pour expression :
s'écrit :
K
Ta,
H
réa
R:H>0;|HK|>1; HK=1; |1-HK|>1.
RAT ra
dæ.j | 107 °f- à
Es (
DS : 1
Quelle est la condition limite nécessaire à l’obtention de signaux sinusoidaux?
=
{
Quelles sont les valeurs de fet de 4?
R : 1000 Hz,
100 Hz, 0,1.
10;
100 Hz,
100;
1000 Hz,
0,1;
239
Un condensateur initialement chargé est
branché aux bornes d’une bobine de résistance
négligeable. Quelle est la nature des signaux électriques qui prennent naissance dans le circuit oscillant?
R : non sinusoïdaux; sinusoïdaux.
12.07. | Les éléments de la figure 12.48 ont les
valeurs suivantes
R,=100 Q, R, = 200 Q,
L=0,1H et C=0,1uF. Donner l'équation difféd'u
du
:
: llee liant
Uc co, —<
dé e et ——<.
ar
han
rentiell
R : 10-8ug
12.04, | Quelle est la condition pour que le circuit
d e la figure 12.47 soit le siège d’oscillations sinusoidales ?
10-8uç
R:R<R,;
R> Ry5 - Ra = Rp Ra = Ry-
g10=S
me
L
:
_
C=0;
—C+—d?u
+ 1075 due
dr?
dt
due
d?u
= 1075 —C +—C=0;
did
dc + 10-8
EC 9;
dr?
du
105 ec
+ 1-8 d?u
SEC
L 0,
F Fi
dr?
à
Jie
Fi
i
Fig. 12.47.
Uc
AS
C
12.05. | Les résistances R,, R, et R du montage de
la figure 12.27 sont toutes égales à 10 kQ2. Quelle est
Fig. 12.48.
la période des oscillations lorsque C = 0,1 uF?
R : 2,2 ms; 3,8 ms; 4,4 ms; 5,6 ms.
Quel est le rapport cyclique de la tension
u, obtenue à partir du montage
lorsque R = 2R' 7?
de la figure 12.27
R : 0,25; 0,33; 0,67; 0,75.
L’oscillateur de la figure 12.30 est réalisé
avec un condensateur de capacité C = 47 nF et une
résistance R = 1 kQ. Quelle est la fréquence des
oscillations ?
R : 1 kHz; 4,7 kHz; 9,7 KHz; 21 kHz.
Exercices résolus
12.09. | Dans le système bouclé de la figure 12.49
l’amplificateur opérationnel fonctionne en régime
linéaire.
1° Exprimer #, en fonction de R,, R, et u;.
2° Exprimer les intensités :
2.1. i, en fonction de #,, R,, R; et R;;
2.2. i, en fonction de #,, L, r et PE
2.3. i, en fonction de C et du.
3° En
appliquant
la loi des
nœuds
du,
, d?u
au
point P,
trouver lala re relation liant #,, 2 —2
qf et —2.
dr?
4 À quelle condition z,(t), solution de l’équation
établie précédemment, est une grandeur sinusoidale?
Fig. 12.49.
240
5 R,=R;, L=0,1 H,r=32Qet C=100 nF.
5.1. Quelle doit être la valeur de R,; pour que les
oscillations soient sinusoïdales ?
4 Condition pour que 4, soit sinusoïdale
Pour que la solution de cette équation soit sinusoi-
5.2. Quelle est alors la fréquence f des oscillations ?
dale, il faut que le coefficient de _ soit nul.
SOLUTION
Donc :
1° Expression de 4;
R, et R, forment un pont diviseur de tension (car
ir =0).
Donc :
Or:
R
v-=u
e=0.
RL 0
R;R;
5.1. Valeur de R, nécessaire
A partir de la relation précédente, nous obtenons :
L—_,
v'&=y
&.
Application numérique
0,1
RO
R+R
D'où :
C-
TR +R
Nous avons alors:
:
;
Uy = U———2
Ée
R;
a)
Fi
R, = 31,25 kQ
5.2. Fréquence des oscillations
Dans ces conditions, la relation (5) se simplifie :
2.1. Expression de 5;
Appliquons la loi d'Ohm à la résistance R, :
ia = WU TU;
3
R,
En remplaçant w, par l'expression trouvée au 1° et
après simplification, nous obtenons :
dérie.]l
——2+—
db
APT R,
(1)
2.2. Expression de i;,
La loi d’additivité des tensions appliquée au circuit
r, L se traduit par la relation suivante :
un
Soit encore
dr?
reC
|] - —
F3 )F2
— 0!
Cette équation est de la forme x”+æ@2x=0, «©
étant alors la pulsation des oscillations sinusoïdales.
Donc:
2= l [1]
Ce A
2C
A
LR +
ris.
;
soit :
.
=
<<
(2)
cs
:
1
1
(|
sat
1-7
r2C
_
Application numérique
2.3. Expression de à,
L’intensité du courant traversant le condensateur à
pour expression :
li = C—<
L
3 [fr 1 590 Hz
3
(3)
12.10. |Les circuits intégrés utilisés sont consi-
3 Équation donnant w,
dérés comme parfaits. Ils sont alimentés
tensions + 15 V.
En P, nous avons: i, + à, + B 0 (car i‘=0).
Donc:
322 x 0,1 : 1076 À LH
lan ls
niPE
f = (Z
urbornes |
0,1
) .
3
R
à=-i- ÉCOLE
4 RER
sous
les
1° Étude d’un étage comparateur (fig. 12.50).
ë
+
di,
du
dt
de
—=-C—E
Ga
R;
+
du
—<,
3
RAR, 'di'
5
69)
En utilisant les relations (2) et (3') nous obtenons :
4 LC du,
2
Net
» dr
L R; du,
r R;R; dt
(4)4
2.
La loi des nœuds appliquée en P, donne à partir des
relations (1), (3) et (4):
_Wk,cdM,w,LCdu_L_R
Ur
du;
à
Soit encore :
|
Pa (rc BL) (1 - A)
22Vus=0|Ru6
rt + (rc RiR;) dt
Fig. 12.50.
241
1.1. L’amplificateur fonctionne-t-il
linéaire ou en régime non linéaire?
1.2. Exprimer
en
régime
SOLUTION
1° Étage comparateur
»* en fonction de v,, »,, R, et R;.
1.3. En déduire les valeurs particulières de v, provoquant la commutation du circuit intégré pour
R, = 2R, :
a) lorsque y, augmente avec y», =-—15 V;
b) lorsque y, diminue avec », =+15 V.
1.1. Régime de fonctionnement.
Il n’y a pas de réaction négative : le circuit intégré
fonctionne en régime non linéaire.
1.2. Expression de r *
L'amplificateur étant considéré comme parfait,
l'intensité du courant de l’entrée non inverseuse est
nulle. Dans ces conditions :
Gi), G=r) 0
1.4. Donner l'allure de la caractéristique de transfert v,(v,) en précisant le sens de parcours de cette
courbe lorsque v, varie de — 10 V à + 10 V.
R;
D'où où :
2° Étude d’un étage intégrateur (fig. 12.51).
R;
vR,
+ CRIER
So +RVa
Ê
1.3. Valeurs de y,
Avec R; = 2R,, l'expression précédente devient :
y? =
2v, l +y 2.
3
:
Soit :
3v* —y
peer
|
Il y a commutation
vt-v_=0.
2
de
l’amplificateur
Or v_ =0; elle se produit donc pour v' =0.
a) Lorsque v, = —15 V, nous avons :
M = Vo =+7,5V
Fig. 12.51.
b) Lorsque v, = +15 V, nous avons :
2.1. L’amplificateur
linéaire?
fonctionne-t-il
en
régime
l'instant
1=0,
la tension
#, est égale
Elle est représentée sur la figure 12.53.
à
— 7,5 V. A l’instant r = _ la tension 4, est égale à
+7,5 V. Calculer T sachant que C = 0,1 uF.
3° Étude du système bouclé (fig. 12.52).
L’ensemble fonctionne en multivibrateur astable.
3.1. Expliquer le fonctionnement du montage.
3.2. Représenter en concordance des temps les tensions v(r) et »' (r).
Fig. 12.52.
242
Fo ashde
1.4. Caractéristique de transfert
2.2. v, est une tension continue égale à + 15 V. Calculer l’intensité du courant : traversant le condensateur lorsque À = 10 KkQ2.
2.3. A
7
Fig. 12.53.
lorsque
2° Étage intégrateur
2.1. Régime de fonctionnement
Il y a une réaction négative par un composant
linéaire et il n’y a pas de réaction positive : le
circuit intégré fonctionne en régime linéaire (sauf en
régime continu permanent où le circuit de réaction
se comporte comme un circuit ouvert).
2.2. Calcul de à
i &0. Dans ces conditions : ÎR =ic=1i.
Or: v*-vr=0.
1 =— Le] = constante
R
Application numérique :
:
Soit :
;
15
lé
=
|i=1,5
>
mA
Soit :
=l0CS = T7 'ms
DJ
3.1. Fonctionnement du montage.
L’étage 2 est un intégrateur. La moindre perturbation (due à une variation de température ou à
une dissymétrie des alimentations des amplificateurs opérationnels) est amplifiée et fait commuter
l'étage
1. À la sortie de l’amplificateur A.O2, la
tension v’ est continue : le condensateur se charge à
courant constant. Lorsque v' atteint 7,5 V, l’amplificateur A.OI
commute
le condensateur se
décharge; lorsque v' atteint —7,5 V, il y a à
nouveau commutation de l’amplificateur A.OI et
ainsi de suite.
3.2. Chronogramme des tensions
Les courbes représentatives des fonctions
y’ (t) sont données figure 12.54.
2.3. Calcul de T
Déterminons la fonction u,({)
t
D'où :
uc = d:idt+ Cr.
0
La charge du condensateur s’effectuant à courant
constant (i = C"), nous obtenons :
y
Uc === t+Uc-.
RC
At=0,
Uc==7,5
l'E
Uco = — 7,5 V.
L'expression numérique de uw est alors :
=
15" 101-725.
Rs
vs 75- 15-1077 7,5.
Fig. 12.54.
Exercices à résoudre
1° Montrer que le dispositif électronique
placé dans le rectangle en pointillé de la
figure 12.55, construit autour d’un amplificateur
opérationnel supposé parfait, est une source de
tension, constituant un générateur dont la tension u
est proportionnellé à l'intensité / du courant qu'il
débite.
2° En comparant le taux de réaction positive et le
taux de réaction négative (voir chap. 21, 1" F2-3-5)
montrer que le système étudié est stable.
3 Calculer i et u si e=1 V. Quelle est alors la
fonction (générateur ou récepteur) de la source de
f.é. m. e?
À
4 Toujours pour e = 1 V, calculer la tension v, et
l'intensité i,.
Fig. 12.55.
v(f) et
12.12. | Le montage de la figure 12.56. utilise
un amplificateur opérationnel que l’on considérera
comme parfait.
3° Étude de la chaîne de retour :
3.1. Exprimer la tension U, en fonction de U,, U,
R et R..
3.2. Montrer que U, peut s’écrire sous la forme :
KU, + AU...
4° Donner le schéma synoptique du montage.
5° La source u, est remplacée par un court-circuit.
5.1. A quelle condition ce montage peut-il osciller?
5.2. Calculer la fréquence des oscillations.
d
6° Seule la résistance R est réglable. Dans quel sens
doit-on modifier R pour faire cesser les oscillations?
R,=4,7kQ
R=2KkQ
Sur le schéma de la figure 12.58, la chaîne
de retour
du
système
bouclé
est représentée
en
rouge.
Fig. 12.56.
1° Montrer que la partie du dispositif à l’intérieur
du rectangle en pointillé constitue un générateur de
tension parfait, dont la tension
est proportionnelle
à l'intensité ; du courant qu’il débite dans sa charge
(e, R;).
2° Montrer que le système étudié est stable.
3° Calculer et v lorsque e = 1 V. Quelle est alors la
fonction (générateur ou récepteur), de la source de
f'étm.e?
4° Toujours pour e = 1 V, calculer i, et v,.
1° Isoler la chaîne directe (4= D et la
1!
chaîne de retour du montage de la figure 12.57.
Fig. 12.58.
1° Donner l’expression de la transmittance FH de la
chaîne directe : H = Fr
2° Montrer que la transmittance de la chaîne de
retour peut s’écrire sous la forme :
.
3
1
él
|
O9
œo
Donner l'expression de «, en fonction de R et de C.
Fig. 12.57.
2° Étude de la chaîne directe.
3° Pour
réel?
2.1. Exprimer la tension U, en fonction de Z, R,
et U..
4° Quelle relation doit-il y avoir entre R, et R, pour
que le produit H K puisse être égal à 17?
2.2. En déduire
directe.
5° Pour supprimer les oscillations, on modifiela
valeur de R, : faut-il la diminuer ou l’augmenter?
244
la transmittance
H de la chaîne
quelle pulsation
«© le produit AK
est-il
1° Chaîne directe : amplificateur intégré
de la figure 12.59 fonctionne en régime linéaire.
R, = 680 Q; v., est une tension sinusoidale.
L’amplificateur opérationnel et les diodes
de la figure 12.61 sont supposés parfaits. A l’instant
t=0,v,= UV,= 14 Vet uc=0V.
Fig. 12.59.
1.1. Exprimer
l’amplification
en tension 4, = =
en fonction de R, et R;.
1.2. Exprimer le module de 4, et le déphasage de
Vs par rapport à V1.
2° Chaîne de réaction (fig. 12.60) : R;= 3,3 kQ;
R;=2,7kQ; R{=330 Q; C=10nF; v., est une
tension sinusoidale.
Fig. 12.61.
1° Exprimer », en fonction de R;, R,; et v..
2° Les tensions de saturation de l’amplificateur
opérationnel sont + 14 V ou — 14 V. Quelles sont
les valeurs Vox et Vos de vo qui provoquent le
basculement de l’amplificateur?
3° En partant de t = 0, expliquer le fonctionnement
du montage en donnant en concordance des temps,
les allures de v, et de uc.
4 Soient @, et @, les durées respectives de l’état
haut et de l’état bas.
4.1. Donner les expressions littérales de 4, et 6, en
fonction de R, R,, Rp, Ri, Ret C.
4.2. En déduire l'expression de la période T de v,.
Fig. 12.60.
2.1. Calculer la transmittance
(on
a) Calculer la période T.
de la fréquence f, pour
b) Entre quelles limites
rapport cyclique ?
de la réaction en fonction
a R;=R;+R).
2.2. Donner l'expression
laquelle Arg T = 0.
T = LS de la chaîne
Le
4.3. Application numérique : R=1
R,=R,=10kQ et C=100 nF.
de R;, FA Co
2.3. Que devient l’expression T4 de ZT" = = à cette
LAT
fréquence? Calculer f et T5.
>.
;
3 Oscillateur : on relie S, et E>, E, et S,. Écrire la
condition d’oscillation.
3.1. Quelle est la fréquence des oscillations?
3.2. Quelle doit être la valeur de À, pour que le
signal de sortie soit sinusoidal? En déduire R;.
(D’après bac F2)
peut-on
kQ, P= 10 kQ,
faire
varier
le
de la figure 12.30 est un
réalisé avec des inverseurs
Le montage
multüivibrateur astable
logiques.
Donner le schéma de
liser si l’on ne dispose
principe du montage
:
1° que de portes NON
ET,
2° que de portes NON
OÙ,
à réa-
3 que de portes OU EXCLUSIF.
245
La figure 12.62 représente un générateur
de signaux non harmoniques réalisé avec deux
circuits logiques CMOS NON ET. La tension d’alimentation des circuits est Vpn = 10 V. Les courants
d’entrée des portes logiques sont négligés. Le système oscille. On admet que la tension de bas:
|
V.
4° Représenter les variations de vo, vp et Vs SUr un
intervalle de temps correspondant à deux périodes.
5° R=470 Q, C=0,1
oscillations.
uF. Calculer la période des
12.19. | Le montage de la figure 12.63 comporte
les éléments suivants :
culement des inverseurs logiques est Éd
a et b : inverseurs CMOS alimentés sous une
tension Vpp = 5 V;
D, et D, : diodes supposées parfaites;
P=R, + R, : potentiomètre de 10 kQ);
R, : résistance de 1 kQ;
R, : résistance de 1 MQ;
C : condensateur de capacité C = 4,7 nF.
Fig. 12.62.
1° A l'instant choisi pour origine ({ = 0), v£ = 10 V.
1.1. Déterminer les potentiels v, et v, des points P
et S à cet instant.
1.2. En déduire la tension entre les points S et P.
1.3. Quelle est la tension aux
sateur?
3°
bornes
du conden-
Fig. 12.63.
Von
2° A l'instant f,, VE ET
1° Quel est le rôle :
2.1. Quelle est alors la tension w- aux bornes du
condensateur ? Préciser le signe de i.
1.1. de la résistance de 1 MQ,
2.2. Quels sont les potentiels des points P et S à
l'instant f; ?
1.3. du potentiomètre P?
2.3. Donner
tant tj ?
2° Expliquer le fonctionnement de l’oscillateur en
traçant les allures de v£(f), vo(t) et vs(t) dans le
cas où R,=R;.
les valeurs
de ces potentiels
à l’ins-
2.4. Calculer la valeur de ÿ à l'instant {=1t;.
3° A l'instant f,, E reprend l’état logique
Quelles sont les valeurs de w», Vs, Uc Et
3.1. à l'instant f; ,
3.2. à l'instant r;' ?
246
1.2. des diodes D, et D,
3° Calculer la période des oscillations.
«1».
4° Quelle valeur faut-il donner à R,, pour que le
rapport cyclique de vs soit æ = 0,7?
5° Entre quelles limites ‘peut-on
rapport cyclique?
faire
varier
ce
Chapitre 13
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
(C) ligne de champ
m 1. THÉORÈME D'AMPÈRE
1.1. Excitation magnétique en un point P
Nous utilisons un bobinage torique constitué de N spires régulièrement réparties (fig. 13.01). Cherchons le champ magnétique B et l’excitation magnétique # en un point P de la
ligne de champ moyenne à l’intérieur du bobinage (pointillé).
&æ 1.1.1. Point P dans l'air
Fig. 13.01. Vecteur excitation magnétique À, en
un point P.
L'intérieur du bobinage est de l'air (ou un matériau non
magnétique). Le bobinage est parcouru par un courant continu
d'intensité :. Les caractéristiques du champ magnétique en un
point P de la ligne moyenne du tore peuvent être déterminées à l’aide d’une sonde à effet Hall.
“4
Le champ magnétique en P est représenté par un vecteur B;
tangent à la ligne moyenne du tore et de module égal à :
Ni
si nous désignons par 4, la perméabilité magnétique absolue
de l’air et par / la longueur de la ligne moyenne du tore.
En ce point P, le vecteur excitation magnétique est :
L'air est un milieu magnétique : un circuit avec entrefer constitue donc un circuit
magnétique fermé.
de module X, :
æ 1.1.2. Point P dans un milieu ferromagnétique
L'intérieur du bobinage est un matériau ferromagnétique. En un
point P, le vecteur excitation magnétique Æ est le même que si
le point se trouvait dans l’air. Ce vecteur a le même module H
dans tout le tore et sa valeur est donnée par la même relation
que précédemment :
F
Dans le vide :
B=uH
Dans un
avec u,=4r:10 7S.I.
milieu ferromagnétique
Ni
(l
En revanche, le champ magnétique B _en ce point P est bien
plus grand que le champ magnétique B, qui régnait dans l’air
au même point :
B-uou,H.
a, est la perméabilité relative du milieu; elle
peut être comprise entre 800 et 4000. Le
produit u, est la perméabilité absolue 4
de ce milieu.
Le rapport des modules B/B, peut être voisin de 1 000; il varie
avec la valeur de l’excitation magnétique H; u, est appelé
perméabilité magnétique relative du matériau.
247
Remarque : perméabilité magnétique absolue #
Elle est égale au rapport a
1.2. Circulation du vecteur H
Fig. 13.02. Circulation du vecteur À : Z,, h-d£.
[ Hd est l'expression mathématique
(e)
exacte de la circulation du vecteur Hle long
du contour (C).
Choisissons un contour orienté (C) (fig. 13.02). Décomposons-le en segments de droite tels que sur chacun d’eux le
vecteur excitation magnétique soit constant. La circulation du
vecteur excitation magnétique Æ le long du contour (€) est
représentée par la somme de tous les produits scalaires H, : d}
obtenus en parcourant l'intégralité du contour, les vecteurs
élémentaires d/ étant orientés dans le sens positif choisi sur le
contour. C’est une grandeur égale à :
Lo H : di,= A, - dl,+ H, - di, + H, - 1, + …
Si le contour (C) est une ligne de champ alors le vecteur
excitation magnétique H est tangent au contour (€) et le calcul
se simplifie. Avec l'orientation de contour adoptée sur la
figure 13.03 nous obtenons :
Pair
ligne de champ
E di, =
Ze
H; b dé.
Nous aurons souvent à prendre en compte le cas de circuits
magnétiques formés de plusieurs tronçons homogènes, chacun,
de section constante et de longueur connue (leurs longueurs
respectives seront notées /,, /,, L;, etc.). A l’intérieur de chacun
d’eux, le vecteur excitation magnétique À a un module
constant (respectivement },, H,, H,, etc.) et une direction
parallèleà la ligne de champ moyenne. La circulation du
vecteur } le long d’une ligne de champ moyenne est telle que :
H.:
[+H,-L+H,:
L+.=H,-L+H:-L+H,-L+.
Nous admettrons les résultats suivants :
Fig. 13.03. Circulation du vecteur H.lorsque le
contour est une ligne de champ :H-d€=H:d£.
e Cas où /e contour (C) n'enlace pas de conducteurs parcourus
par un courant (fig. 13.04) : la circulation du vecteur À le long
de (€) est nulle :
ZwH
Fig. 13.04. © (©) h-d{-0
248
È di, 0
Fig. 13.06. 5, A: dt =-I.
e Cas où /e contour (C) enlace des conducteurs parcourus par
un courant (fig. 13.05) : l'orientation du contour (C) permet de
définir une normale # à ce contour par la règle de la main
droite.
Si le conducteur est orienté dans le sens de la normale #, nous
écrirons :
Ze, | di, "
Dans le cas contraire (fig. 13.06) :
Ze Hi- dl = -1.
Fig. 13.07. Exemple d'application du théorème
d'Ampère.
1.3. Énoncé
La circulation du vecteur excitation magnétique H le long d'un
contour fermé (©) est égal à la somme des intensités algébriques
des courants enlacés, en comptant ces intensités :
— positivement lorsque le conducteur est orienté dans le sens de
ñ;
—
négativement dans le sens contraire.
Exemples
Figure 13.01 : MN À . dé = Hi= NI avec : [= 2xr.
Figure 13.07 : ZoH;:d,=0+1,-31,;-21,+1;.
m2. CIRCUIT MAGNÉTIQUE SANS HYSTÉRÉSIS
Le flux y traversant une section droite du
circuit magnétique est aussi le flux traversant une spire de la bobine inductrice (le
flux ® traversant la bobine étant égal à Mp).
Un matériau magnétique est caractérisé par un cycle précisant
la correspondance entre B et H. Dans certaines conditions, ce
cycle peut être simplifié. Il est alors possible d'utiliser des
modèles illustrant simplement le fonctionnement du circuit
magnétique. C’est l’objet de ce paragraphe.
2.1. Modèle linéaire
igne de champ moyenne
Ce modèle est utilisable si le circuit magnétique n'est jamais
saturé. Nous allons montrer qu’il peut alors être caractérisé au
moyen d’une grandeur physique que nous n'avons pas Encore
rencontrée : sa réluctance.
Le circuit magnétique considéré est réalisé dans un matériau
ferromagnétique ou ferrimagnétique parfait. La saturation est
négligée : B est proportionnel à l'excitation magnétique :
B=uH (u=constante si l’on ne tient pas compte de la
saturation). Pour la suite, nous considérons un circuit magnétique de section constante, ne présentant pas de fuites magnétiques et dont les lignes de champ ont toutes la même longueur.
m2.1.1. Circuit magnétique sans entrefer
La source de champ du circuit magnétique est un bobinage
inducteur de AN spires (fig. 13.08) parcourues par un courant
d'intensité | Nous cherchons une relation entre grandeurs
magnétiques et électriques.
” Appliquons le théorème d'Ampère à ce circuit. Le contour (€)
choisi est la ligne moyenne du circuit magnétique (c’est aussi
une ligne de champ), de longueur . Nous obtenons :
Fig. 13.08. Circuit magnétique sans entrefer.
ZoË -dl, = Xe : di = Ni.
249
Le flux magnétique à travers une section droite s du circuit est :
p = Bs = uHSs.
Cette relation nous permet d’obtenir H : H = Ph
us
Le flux y à travers la section s étant constant, il en est de même
de Æ et l’expression obtenue à partir du théorème d'Ampère
peut s’écrire :
Lx, di,= Ni.
us
La somme
Z,d/; représente la longueur / du contour. Nous
pouvons donc écrire :
Posons
L'inverse de la réluctance est appelé la
perméance:
pbs
: 8 =—;:
LS
c’est une grandeur
constante
:
puisque
/, u et
s sont constants. D’où la loi d'Hopkinson :
1
“
Il existe une certaine analogie entre les circuits magnétiques et les circuits électriques.
Elle est représentée dans le tableau suivant :
fmm.é 6 f.é.m. E
flux 9 & intensité /
réluctance # & résistance A
perméance f & admittance Ÿ
perméabilité
& conductivité y
Ni est la force magnétomotrice
du circuit, elle s’exprime en
ampères. & s'appelle la réluctance ;elle s'exprime en henrys à la
puissance moins un.
Conclusions
e La réluctance Æ = //us du modèle linéaire d’un circuit magnétique sans entrefer est constante.
e Pour une force magnétomotrice fixée, plus la réluctance du
circuit magnétique est faible plus le flux à travers une section
de ce circuit est élevé.
# 2.1.2. Circuit magnétique avec entrefer
ligne de champ moyenne
a) Champ magnétique dans l’entrefer
Comme précédemment, nous cherchons à relier les grandeurs
magnétiques et les grandeurs électriques. Le circuit magnétique
présente un entrefer de faible épaisseur e (fig. 13.09).
Il est formé de deux tronçons homogènes : l’un constitué du
matériau ferromagnétique (ou ferrimagnétique) et l’autre de
l’entrefer.
Désignons par B;le champ magnétique dans le fer, par B, celui
dans l’air, par A; l'excitation magnétique dans le fer et par Fi
celle dans l'air.
Le flux @ étant conservatif et la section du circuit magnétique
pouvant être considérée comme constante si e est faible (pas de
dispersion au niveau de l’entrefer), le champ magnétique B a
la même valeur dans tout le matériau et dans l’air.
D'’oi::
b) Réluctance
Es
La circulation de l’excitation magnétique FX le long d’une ligne
moyenne
de champ est égale à :
H;({-e)+H,e=H,l+H,e
Le théorème d'Ampère s'écrit alors :
Fig. 13.09. Circuit magnétique avec entreter.
250
H,l + EH, ë sd Ni
car
e<l.
= Inductance L d'une bobine de W spires
enserrant un tore (perméabilité magnétique
absolue ).
Le champ magnétique B à l'intérieur d'un
tore portant une bobine de NV spires non
jointives, parcourues par un courant d'inten-
sité 4 est : 8-l avec €: longueur
avec :
He
®= Np = NES.
jS N2
œ=/4!
s
l
RE
Lo
Remplaçons AH, et H, par leurs valeurs respectives.
Nous obtenons :
Re
Ho Ur
1e
Lo
Dans cette relation remplaçons B par sa valeur 9/5 :
moyenne du tore.
Soit y le flux à travers une spire. Le flux
total à travers une section S du tore est :
ù
D'où :
ta
Lo
Mplee PEUR
Après identification
obtenons :
HolS
Los
avec la loi d’'Hopkinson,
fo
= Ni, nous
L'inductance du bobinage porté par le tore
est :
Conclusions
L'inductance L est proportionnelle au carré
du nombre N de spires : c'est un résultat général.
e Créer un entrefer revient à augmenter artificiellement la
longueur moyenne d’un circuit magnétique et donc la réluctance de ce circuit.
e Pour une force magnétomotrice fixée, le flux à travers une
section d’un circuit magnétique avec entrefer est plus faible que
celui à travers une section du même circuit magnétique sans
entrefer (@ = Ni/R).
Conséquences
— Dans les machines électriques tournantes : un flux élevé
étant recherché, en général il est nécessaire d’avoir un entrefer
le plus étroit possible.
— Dans certains circuits magnétiques (comme celui des
bobines de lissage) un entrefer est nécessaire car il faut éviter la
saturation du circuit malgré une force magnétomotrice importante.
2.2. Modèle non linéaire
Le modèle linéaire précédent est insuffisant lorsqu'il faut
rendre compte du phénomène de saturation magnétique. Pour
le modèle qui va être présenté maintenant, le matériau ferromagnétique est caractérisé par une courbe d’aimantation B(H)
idéalisée (fig. 13.10) :
e -H, <H<H, : le fonctionnement du circuit est linéaire;
B est proportionnel à H :
U=Holk.
B=uH
avec:
°eH<-H, ou H>H, :il y a saturation magnétique ;
B n’est plus proportionnel à H :
|B|&B,, quelle que soit la valeur de F.
m 2.2.1. Inductance du circuit inducteur
Fig. 13.10. Courbe d'aimantation B(H).
A chaque domaine de la courbe d’aimantation B (H) idéalisée
à
correspond une relation ®(i) particulière, D désignant le flux
_travers le circuit inducteur (bobine de N spires enserrant le
circuit magnétique).
ité À
e Domaine linéaire : le flux ® est proportionnel à l'intens
du courant qui crée ce flux. Dans ces conditions, à toute
variation Ai, de i correspond une variation A, du flux ®.
251
Durant cette variation de flux, le circuit inducteur présente une
inductance :
L = A, /Ai, = ®/i = constante.
e Domaine de saturation magnétique : avec une bonne
approximation, la courbe d’aimantation se réduit à une demidroite horizontale. Il en est de même de la courbe ®(i)
(fig. 13.11). Tant que le point de fonctionnement M reste sur
cette portion de courbe, une variation Ai, de i n’entraîne
aucune variation de flux et le circuit ne présente pas d’inductance :
Fig. 13.11. Modélisation d'un matériau magnétique. Inductance : L= . avec ® = Np.
ourbe 1
m2.2.2. Influence de l'entrefer
Nous nous plaçons dans le cas d’un courant d’intensité toujours
positive et nous allons étudier l'influence d’un entrefer sur
linductance du circuit inducteur.
a) Bobine avec noyau ferromagnétique sans entrefer
Le coude de saturation est obtenu pour i=5i, (fig. 13.12;
courbe 1). Selon l’intensité À du courant, deux cas de fonctionnement sont à envisager :
e 0 <i<i,:le point de fonctionnement du circuit magnétique
reste entre O et À : le régime est linéaire. Le coefficient
directeur de la partie OA du graphe ®(i) est :
re,
Li
Fig. 13.12. Courbe 1 : ®(i) d'une bobine à noyau
de fer sans entrefer. Courbe 2 : ®(i) d'une bobine à
noyau de fer avec entrefer, ® désignant le flux total
embrassé par la bobine.
Il est égal à l’inductance présentée
conditions de fonctionnement.
par la bobine
dans ces
e ii, : le point de fonctionnement se trouve dans le domaine
de saturation magnétique. Le flux est donc constant et alors :
L=0.
Fig. 13.13. Dispositif expérimental pour la
mesure de l'énergie emmagasinée dans une
bobine.
-b) Bobine avec noyau ferromagnétique avec entrefer
La caractéristique ®(i) obtenue est semblable à la précédente
(fig. 13.12, courbe 2). Cependant la zone de fonctionnement
linéaire (OD) est plus étendue. En effet, le coude de saturation
s’obtient pour un courant d'intensité À, supérieure à l’intensité
i, : l’entrefer augmente l'intervalle des intensités pour lequel le
fonctionnement de la bobine est linéaire.
Pour un point de fonctionnement qui reste entre O et D
Clan
(0<i<i,),
L
linductance
è
de la bobine
a une
D
valeur Le
inférieure à celle obtenue précédemment : Z, <L,.
2
2.3. Énergie emmagasinée
Fig. 13.14. Circuit magnétique sans entrefer avec
bobines montées en flux additifs.
252
Dans le montage de la figure 13.13, 8 est l'association de deux
bobines de 1 000 spires montées en «flux additifs» (fig. 13.14)
sur la carcasse d’un transformateur démontable. La diode D (de
puissance 10 A) empêche le débit de l’alimentation dans le
moteur M (petit moteur de baladeur). L’arbre de ce moteur
porte une poulie de faible diamètre utilisée pour remonter une
masse m d’une dizaine de grammes.
À la fermeture de l'interrupteur K, la bobine
(dont nous négligeons la résistance) apparaît comme un électromoteur de f.é.m.
e=-d®/dt (loi de Faraday).
La puissance instantanée reçue est :
P =—
ei=
Î d®
dt
L'énergie dw stockée pendant la durée dt
ms
dw=pdt=id®
Pour un circuit magnétique sans entrefer
(fig. 13.15) et pour i<, l'énergie W/
emmagasinée lorsqu'on a atteint l'état (i ®)
est égale à l'aire hachurée :
à
W,1 ==5!i®.
La valeur maximale est :
de
W:
2
h®.
Si le circuit magnétique de la bobine présente un entrefer, la saturation magnétique
est alors obtenue pour une intensité /,supérieure à À. L'énergie emmagasinable est
alors :
j
2.3.1. Circuit magnétique sans entrefer
Expérience
L’interrupteur K est fermé; un courant d’intensité Z, fourni par
le générateur, parcourt la bobine 8. Le moteur ne tourne pas.
L’intensité du courant est réglée à 0,3 A.
A l’ouverture de l'interrupteur K, le moteur élève la masse m
de 20 cm environ.
En recommençant l’expérience avec un courant initial d’inten-
sité différente de 0,3 A (0,5 puis 1 A), la masse s'élève toujours
de 20 cm environ.
Interprétation
Si la masse m est déplacée, c’est que le moteur a reçu de
l'énergie électrique. Celle-ci ne peut être fournie que par la
bobine puisque le générateur est déconnecté du reste du circuit.
En effet la bobine est le siège d’une f.é.m. auto-induite
(e=-d@/dt) responsable du passage d’un courant dans la
maille constituée de la bobine , de la diode D et du moteur.
Considérons la courbe ®(i) de l’ensemble circuit magnétiquebobine (fig. 13.15). On montre que l’énergie emmagasinée par
le circuit magnétique est proportionnelle à l’aire hachurée.
Cette énergie a une valeur maximale W,,, pour i = i, :
Ib
Wan Ps 9 1; Da .
Wo - 2 iDa «
Comme :
ec
LÉ
b> 1 > 3/2 Pa?
.
3liDh.
L'entrefer permet de stocker une énergie
plus grande à condition que la bobine inductrice accepte un courant d'intensité plus
élevée. La différence W,, - W,, est l’énergie emmagasinable dans l'air. L'énergie est
essentiellement emmagasinée dans l'entrefer. Il serait tentant d'augmenter considérablement l'entrefer. Mais il y aurait alors
dispersion des lignes de champ, ce qui
entraine une diminution du champ magnétique B.
Pour un courant d'intensité 0,3 A, cette valeur W,,, était déjà
obtenue. Restituée au moteur, elle permettait d’élever la masse
m de 20 cm. En augmentant l'intensité du courant on ne peut
emmagasiner une énergie plus grande.
m 2.3.2. Circuit magnétique avec entrefer
a) Expérience 1
Créons un entrefer dans le circuit magnétique en intercalant
une épaisseur e de carton (fig. 13.16). Reprenons le mode
opératoire décrit précédemment. Pour un courant d'intensité z
de 1 À et un entrefer 2e de 1,2 mm, la masse m s'élève de
1,20 m environ.
entrefer
entrefer
RE
UE
|
ii
[
|
Fig. 13.15. Énergie emmagasinée dans une
bobine: =
sii<i,.
KKY
I
Fig. 13.16. Circuit magnétique avec entrefer avec
bobines montées en flux adaïtifs.
253
sans
entrefer
Interprétation
Puisque lascension de la masse m est nettement plus importante dans cette expérience, nous pouvons penser que le moteur
doit avoir reçu une énergie nettement plus importante de &.
L’aire hachurée (fig. 13.17) montre que pour le même flux ®D,,,
le circuit magnétique avec entrefer emmagasine plus d’énergie
que le circuit magnétique sans entrefer.
b) Expérience 2
Réalisons un entrefer important en plaçant plusieurs épaisseurs
de carton. Pour une même valeur de l'intensité À (1 A), la
masse mn s'élève nettement moins que dans l’expérience précédente.
Fig. 13.17. Exemple où l'énergie emmagasinée
par un circuit avec entrefer est supérieure à celle
emmagasinée par un circuit sans entrefer.
Interprétation
Avec un entrefer de grande épaisseur, la partie utile de la
caractéristique ®(i) est un segment de droite peu incliné par
rapport à l’horizontale. Le flux maximal ®,, n’est pas atteint
pour /=1 À et l'énergie emmagasinée par la bobine est
très faible.
2.4. Applications
2.4.1. Convertisseur continu-continu à deux enroulements
Le convertisseur à deux enroulements (fig. 13.18) est utilisé
pour la réalisation d’alimentations de tension continue à
découpage.
Ce convertisseur est placé aux bornes de la source de tension
continue. Le fonctionnement de l'interrupteur électronique K
est périodique de période T. Il reste fermé pendant une durée
aT (a, compris entre 0 et 1, est appelé rapport cyclique). Le
circuit magnétique du transformateur emmagasine une énergie W durant cette phase de fonctionnement (principalement
dans son entrefer). Cette énergie W est ensuite transférée au
condensateur placé aux bornes de l’enroulement secondaire
entre les instants «7 et T. Le condensateur restitue ensuite
progressivement cette énergie à la charge. Selon les valeurs de «
et du rapport de transformation, i/ est ainsi possible d'obtenir
des tensions de sortie inférieures ou supérieures à celles de la
source.
m2.4.2. Bobine de lissage
Une bobine de lissage est une bobine, entourant un circuit
magnétique avec entrefer, prévue pour atténuer l’ondulation
d’un courant unidirectionnel.
La bobine doit avoir une inductance importante, il faut donc
que son circuit magnétique n’atteigne pas la saturation. Elle est
utilisable avec un courant d’autant plus important que l’entrefer est plus grand.
e Pour des courants faibles, l’entrefer peut être de faible
épaisseur : cela permet d’obtenir une grande inductance.
e Pour des courants intenses, l’entrefer est indispensable et il
doit être important. De ce fait, pour réaliser un lissage
satisfaisant, la section du circuit magnétique et le nombre de
spires atteignent de grandes valeurs.
Fig. 13.18. Schéma de principe d'une alimenta-
tion à découpage.
254
m2.4.3. Transformateur d'impulsions
=
Un transformateur d’impulsions (tore de ferrite portant deux
Le secondaire du transformateur d'impulsions est ouvert (fonctionnement à vide).
Flux embrassé par n, spires de la bobine
du primaire :
D, =n:p.
Flux embrassé par n, spires de la bobine
du secondaire :
enroulements ayant souvent le même nombre de spires) est
utilisé dans les circuits de commande de thyristors. Il permet la
transmission d’impulsions sans qu’une liaison électrique soit
nécessaire entre le générateur qui les produit et les thyristors
(isolation galvanique).
Voyons un exemple de fonctionnement d’un transformateur
d’impulsions fonctionnant à vide : transmission d’une impulsion rectangulaire.
Le transformateur est assimilé à une bobine de résistance
négligeable (fig. 13.19).
e À l'instant t= 0 (1, = 0), une tension continue E est appliquée
au primaire. Il s'établit un courant d’intensité à, telle que, si L
est l’inductance du primaire et r sa résistance,
Ein
FL Ans
dt
e Tant que le circuit magnétique n’est pas saturé, L est élevée
et de valeur constante, et la chute ohmique peut être négligée
devant l’autre terme. Donc :
dé,
+ ASE
E=L 7 > me rer.= constante.
D'où la loi de variation de l'intensité , en fonction du temps :
,-E
P
Transformateurs d'impulsions.
IT 5
Cette intensité croît linéairement en fonction de f. Le flux varie
donc dans le circuit magnétique et une f.é. m. est induite dans
l’enroulement secondaire.
e Lorsque à, atteint la valeur J.., le circuit magnétique se
sature. Le flux, alors, ne varie plus et il n’y a plus de fé. m.
induite au secondaire. La durée de l’impulsion secondaire est
donc limitée à une valeur 7 telle que :
Lx = . D T= La,
Par ailleurs, pour {> 7, l’inductance L devient nulle et l’intensité bp n’est plus limitée
que
par la résistance
r
(E=ri, > i,=E/r). Elle croît alors brusquement et peut
atteindre une valeur trop élevée pour l’enroulement primaire.
Le produit LI, représente une limite supérieure du produit Et.
Dans le plan (u, {) ce produit est représenté par une aire. Pour
cette raison, LI. est appelé aire maximale de l’impulsion. La
valeur maximale (Et),Ax Se situe couramment entre 100 V : us
et 2000 V ‘us. Elle est déterminante quant au choix du
transformateur car la commande d’un thyristor exige des
impulsions de hauteur et de durée suffisantes, faute de quoi il
ne s’amorce pas.
m3. TRANSFORMATEUR
Cette étude concerne
tension sinusoidale.
un
transformateur
alimenté
sous
une
‘3.1. Transformateur parfait
Fig. 13.19. Schéma équivalent d'un transformateur d'impulsions (parfait). On désigne par r et L,
respectivement, la résistance et l'inductance de
l'enroulement primaire.
Pour un transformateur parfait nous négligeons :
e les pertes par effet Joule dans les enroulements (ce qui revient
à considérer R, = R, = 0);
255
e les pertes magnétiques, c’est-à-dire les pertes par hystérésis et
les pertes par courants de Foucault (la caractéristique b(h) est
assimilée à un segment de droite passant par l’origine des
axes):
e la réluctance du circuit magnétique (R = 0).
De plus nous supposons que le flux à travers chacune des spires
du primaire est égal à celui traversant chacune des spires du
secondaire (c’est-à-dire qu’il n’y a pas de fuites magnétiques et
donc y = p =).
Fig. 13.20 a. Conventions choisies. La ligne de
champ moyenne est orientée arbitrairement. La
règle de la main droite permet d'orienter le circuit
primaire et le circuit secondaire pour que les intensités i, et i, soient positives lorsque ® est positif.
Ensuite, les tensions sont choisies en adoptant la
convention récepteur pour le primaire, la conven-
tion générateur pour le secondaire.
Un transformateur parfait ne présente ni pertes de puissance, ni
Juites magnétiques.
m 3.1.1. Relation entre les tensions
Un transformateur ne présentant pas de fuites magnétiques, un
* même flux y traverse chaque spire de l’enroulement primaire
et de l’enroulement
secondaire.
figure 13.20, les fé.m.
Avec
les conventions
dans les enroulements
de la
sont les sui-
vantes :
LE
d
e au primaire : e = -N, A.
s
d
e au secondaire : e,, = -N, FR
Les résistances des enroulements étant
nulles, à chaque instant nous avons :
considérées
comme
dy
u=-e=N,
1
Il
l —
dt
Fig. 13.20 b. Schéma électrique équivalent d'un
transformateur parfait.
WU 2 =e 2 =-N ? dy
dt À
Gt
:
N.
Soit :
22 _m
U,
Orientation
du conducteur
ou encore:
N,
Un =-MmuU,.
Le rapport m = & est le rapport de transformation du trans1
sens de la
normale ñ
formateur.
La tension #, est une grandeur sinusoidale. Il en est donc de
même de la tension w,.
Les tensions 4, et u, sont en opposition de phase.
En utilisant les grandeurs complexes U,, U, qui sont respectivement associées aux grandeurs sinusoïdales ,, uw, nous
pouvons écrire :
Conventions adoptées.
La spire est orientée arbitrairement. Notons que le
champ magnétique extérieur B, produit un flux @
positif à travers la spire orientée, lorsque Ë, a
même sens que la normale à (et même sens que
le champ magnétique propre à la bobine, quand
celle-ci est parcourue par un courant d'intensité
positive).
Un courant d'intensité positive entre dans la spire
par la borne P. Si u désigne la tension v,,, et r
la résistance de la spire, nous pouvons écrire :
& 3.1.2 Relation entre les intensités
Appliquons la loi d'Hopkinson au transformateur.
conventions choisies, elle s’écrit :
Ni,
u=e-ri. Lorsque l'intensité i est nulle, c'est donc
la tension u =V,, qui est égale à la force électromotrice e. Cette f.é.m. donne naissance à un courant d'intensité positive lorsqu'il n'y a pas d'autre
source dans le circuit.
256
T
Ni,
=
Avec
les
RO.
Le circuit magnétique d’un transformateur parfait a une réluctance nulle.
Donc :
Ni, Fe Ni
ms 0.
Soit :
Fig. 13.21. Diagramme de Fresnel.
PRE
b
N
EE
Nous avons vu précédemment que si la tension w, est une
grandeur sinusoiïdale, il en est de même de la tension w,
(u, = - mu). Si, de plus, la charge est linéaire, l'intensité à, est
une grandeur sinusoïdale. Comme i, =- mi,, l'intensité À, est
également une grandeur sinusoidale.
Les intensités £, et i, sont en opposition de phase (fig. 13.21).
À i, et /, nous pouvons associer des nombres complexes J,, Z,.
D'où :
3.1.3. Modèles électriques
a) Modèle «vu» de la charge
Vu de la charge, le transformateur se comporte comme
source de tension parfaite (fig. 13.22) :
une
U,=E;=2Z.l.
Le transformateur se comporte comme un dipôle actif qui
alimente la charge sous une tension de valeur efficace U,
constante si le primaire du transformateur est soumis à une
tension de valeur efficace constante (et de fréquence constante).
Fig. 13.22. Dipôle équivalent «vu» de la charge.
b) Modèle « vu» de l’alimentation
Dans la relation U,=Z,1,, remplaçons U, et 7, par leurs
expressions respectives en fonction des grandeurs primaires :
U;=-mU,
et 1,=-ù
m
.
nous obtenons :
Soit :
U,-
Pour l'alimentation, le transformateur chargé par l’impédance
Z, se comporte comme un dipôle passif (fig. 13.23) d'impéFig. 13.23. Dipôle équivalent «vu» de l'alimen-
tation.
dance :
z
z=*.
—
—cC
On dit que le transformateur permet de «ramener» au primaire
une impédance égale à l’impédance de charge divisée par le
carré du rapport de transformation m.
3.2. Modèle linéaire du transformateur réel
Un transformateur réel comporte :
Les tensions indiquées sur la plaque
signalétique d’un transformateur sont
les valeurs nominales des tensions. La
valeur de la tension secondaire correspond à un fonctionnement à vide sous la
tension primaire nominale.
La règle est de désigner par des lettres
majuscules les bornes du côté des tensions les plus élevées et par des lettres
minuscules les autres.
a) des enroulements de résistances R, et R; non nulles,
b) un circuit magnétique dont la magnétisation nécessite une
force magnétomotrice non nulle. De plus ce circuit magnétique
présente de l’hystérésis et fonctionne toujours à la limite de
Ja saturation. Son fonctionnement n’est pas tout à fait linéaire.
Cependant, en remplaçant par la pensée le circuit magnétique
réel par un circuit magnétique fictif dont le cycle d’hystérésis
serait une ellipse, on peut associer un modèle linéaire à un
transformateur réel.
257
Toutes les grandeurs intervenant dans le fonctionnement du
transformateur réel sont ainsi remplacées par des grandeurs
sinusoidales équivalentes (en fait, dans le transformateur réel,
seul le courant à vide n’est pas sinusoïdal).
m 3.2.1. Relation entre intensités
Pour une tension d’alimentation w, de valeur efficace U, et de
fréquence f constantes, la valeur maximale du flux est sensiblement constante. La valeur instantanée de ce flux conserve la
même expression quelle que soit la charge.
Ce flux, créé par les courants ;, et i,, dépend de la somme
(Ni + Ni).
Cette somme a donc la même valeur en charge qu’à vide, c’està-dire pour À, = i, et à = 0.
D'où :
Ni, + Ni = Niio-
Ou encore :
=
Mi + bo.
Soit en notation complexe :
7,=-ml, +1.
Si l’on néglige le phénomène d’hystérésis ainsi que les courants
de Foucault et si l’on suppose la perméabilité du matériau
infinie, ce qui revient à négliger l'intensité Z,, (hypothèse dite
de Kapp), cette relation entre les intensités se simplifie et
devient :
NI
soit :
+N,1;=0
I,=-ml,
m 3.2.2. Expression des tensions
Les résistances des enroulements et les fuites magnétiques sont
les causes d’une chute de tension au secondaire.
Au voisinage des enroulements, il y a dispersion des lignes du
champ : certaines sont canalisées par le circuit magnétique,
d’autres traversent des substances non magnétiques (air, cuivre
et isolant), donc non saturables. Au niveau de chaque enrou-
lement il y a donc un flux de fuite y, proportionnel à l’intensité
du courant traversant l’enroulement (fig. 13.24) :
Pr ga li,
le coefficient / est appelé inductance de fuite.
Le flux total traversant :
e le primaire est : D = Np+li,,
e le secondaire est : ®, = N,p + Li,.
Le flux
est le flux commun
à chacune des spires des deux
enroulements.
a) Tension primaire
Appliquons la loi d’additivité des tensions au primaire :
Fig. 13.24. Circuit magnétique avec fuites
magnétiques. Des lignes de champ enlacent la
bobine et se referment dans l'air. A°ces lignes de
champ est associé un flux de fuite 9.
258
Soit en remplaçant ®, par sa valeur N,@ + Li, :
=
N,
+
M
ri.
Comme
d
e, =-N, =
nous obtenons :
di
H=-e+h
9
+R.
Soit en notation complexe :
b) Tension secondaire
Appliquons la loi d’additivité des tensions au secondaire :
2
=-——<{
dt - R,i
272
Soit en remplaçant ®, par sa valeur N,o + Li, :
U
Comme
?
=-N,
do
F1
—
di
-
k
—? - R;iù.
PS
LÉ
d
e, =-N, Fa nous obtenons :
H=+e
di
À
he
Roi.
Soit en notation complexe :
m3.2.3. Modèle de Thévenin
a) Schéma
Comme nous nous plaçons dans l’hypothèse d’un fonctionnement linéaire, un transformateur alimenté sous tension
efficace constante se présente, pour la charge, comme un
générateur de Thévenin de f.é. m. E, et d’impédance interne Z,
(fig. 13.25).
Nous pouvons alors écrire :
U,; T PE. Si ZsL
Fig. 13.25. Modèle de Thévenin du transformateur.
avec
Zs = R, + ji ©.
e E,=U, =- mU, lorsque 7, = 0 c’est-à-dire lorsque le transformateur fonctionne à secondaire ouvert : la f.é.m. de
Thévenin E, peut donc être déterminée expérimentalement par
un essai à vide.
e Si le secondaire est en court-circuit, la tension U, est nulle et
De =
(Le : intensité du courant
de court-circuit, EX
—S
fé. m. de court-circuit).
L’impédance de Thévenin Z, peut donc être déterminée expérimentalement (moyennant quelques précautions) par un essai en
court-circuit.
b) Obtention des éléments du modèle
e Essai à vide : détermination de E, (fig. 13.26).
Les appareils indiquent :
—
—
Fig. 13.26. Essai à vide.
la tension primaire U,,
la tension secondaire à vide U,,.
D'où :
259
:
Dans un fonctionnement en court-circuit,
le transformateur, vu de l'alimentation, présente une impédance apparente très faible.
Nous utilisons donc le montage aval (ou
courte dérivation) pour le branchement des
appareils de mesure. Notons que dans cet
essai, Si /occ
=lon AlOTS lice
© lin Puisque
lice © Mace = Mon À lin:
e Essai en court-circuit : détermination de Z,, R, et Lo.
Le secondaire étant court-circuité (fig. 13.27), l'intensité du
courant débité par le secondaire n’est limitée que par l’impédance interne Z, qui est généralement très faible. Une tension
primaire nominale provoquerait la destruction du transformateur. L’essai en court-circuit doit se faire sous tension
primaire réduite (U,. est limitée à la valeur nécessaire à
l'obtention de 1,,< L;,).
Les appareils indiquent :
— l'intensité de court-circuit Z,, du courant traversant
secondaire,
— la tension primaire U,.,
— l'intensité du courant traversant le primaire 1,
— la puissance absorbée par le primaire P,...
le
réduite —
e Détermination de Z,
Lorsque la tension U, est nulle, la tension aux bornes de Z, est :
Fig. 13.27. Essai en court-circuit.
Donc :
ete
e Détermination de R,
Les transformateurs de forte puissance
(supérieure à 10 KVA) ont des rendements supérieurs à 99 %.
Les transformateurs monophasés sont
utilisés essentiellement :
— pour l'obtention de très basses tensions : 6 V, 12 V, 24 V,
— pour isoler galvaniquement deux circuits,
— pour la production de forts courants
sous de faibles tensions (poste de soudure, ….).
La tension étant réduite, le champ magnétique créé par cette
tension aura aussi une valeur maximale réduite. Les pertes
dans le fer étant proportionnelles au carré de la valeur
maximale du champ, ces pertes peuvent être négligées devant
les pertes par effet Joule R.13.. Donc :
Pis zu RAC
Soit :
R, = Pice
> +
Le
e Détermination de Lo
Z
Donc
:
S x
R,
+
jLo.
Lo = VZ?- RL
e Rendement du transformateur
Si nous appelons :
P, la puissance reçue par le transformateur,
P, la puissance fournie à la charge,
Pu la puissance correspondant aux pertes dans le fer,
p, la puissance correspondant aux pertes par effet Joule,
le rendement du transformateur est égal à :
Remarque : À la mise sous tension d'un
transformateur, le courant s'établit à la
valeur prévue après un régime transitoire
durant lequel l'intensité du courant appelé
peut prendre des valeurs très élevées (elles
La détermination du rendement, lorsque le transformateur
fournit la puissance P,, c’est-à-dire pour des conditions de
fonctionnement définies par U,, 1,, U,, L et w,, nécessite :
dépendent notamment de la valeur de la
tension appliquée au moment où le circuit
primaire est mis sous tension car la réponse
—
ne peut être la même si à cet instant u, = 0
ou si u, = ÿ,.
— la mesure des pertes p, par un essai à vide, puisqu'elles ne
dépendent que de U..
260
la connaissance des pertes p, :
P=RIÿ+RAI5=
RIT
Travaux pratiques
Étude d’un transformateur monophasé
1. Plaque signalétique
Relever les indications figurant sur la plaque signalétique du transformateur. Calculer les valeurs efficaces des intensités ou tensions qui manqueraient.
2. Mesure des résistances R, et R, des enroulements
du primaire et du secondaire
Justifier l’utilisation de la méthode voltampèremétrique. Réaliser le montage, faire les mesures et
calculer les valeurs de R, et de R;.
3. Fonctionnement à vide
Réaliser le montage de la figure 13.28 après avoir
choisi les appareils de mesure en sachant que le
courant à vide a une intensité /,, proche de 5 % de
celle Z,, du courant en charge nominale. Relever 1,0,
Us, Po pour des tensions U,, variant de 0 V à
1,25 U,, (U,, tension efficace primaire nominale).
Tracer les graphes représentant Z,9(Uo) et Uo(Uo).
En déduire le rapport de transformation du transformateur et le graphe des pertes dans le fer p;(Uo).
Quelles sont les pertes dans le fer lorsque U,, = U,.
4. Fonctionnement en charge. Débit sur charge
résistive
Réaliser le montage de la figure 13.29 après avoir
choisi les appareils de mesure en fonction des
grandeurs nominales. Alimenter le Era
sous tension primaire nominale. Mesurer U,,
I,, P, pour des courants d'intensité Z, variant de 0.
à 1,25 Z,,. Tracer le graphe U,(1).
Comparer U,, à mU,, et Z,, à ml,,. Calculer :
e la chute de tension U,o — U;,,
e la valeur numérique de l'expression
(R;+m°R;)L,.
Comparer les deux résultats obtenus.
S. Fonctionnement en court-circuit
Réaliser l'essai en court-circuit sous une tension
réduite U,,L de telle sorte que 7,4, =1, (voir
fig. 13.27). Mesurer les pertes par effet Joule p;.
6. Calcul du rendement 7 au
nement nominal
Calculer le rendement 7 :
point de fonction-
e en effectuant le rapport 2,
Il
e en utilisant la méthode des pertes séparées.
Justifier la différence des résultats. Lequel des deux
résultats est à retenir?
Fig. 13.29.
Fig. 13.28.
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
13.02. |La réluctance d’un circuit magnétique est
8 = 20 kA/Wb. Quelle est la f. m.m. € qui crée dans
une spire un flux @ = 40 - 107? Wb?
R : 20 A; 40 A; 200 A; 800 A.
Un bobinage, constitué de 500 spires régulièrement réparties, parcouru par un courant
continu d'intensité 7 = 2 À, entoure un anneau non
magnétique de rayon moyen 7 = 2 cm. Quel est le
module H, du vecteur excitation magnétique en un
point de la ligne de champ moyenne?
gnétique (supposé parfait) est traversée par un
courant d’intensité i = 2,0A. L’inductance de la
R : 3000 A/m; 5000 A/m; 6500 A/m; 8000 A/m.
R : 20 Wb; 2 Wb; 0,2 Wb; 20 mWb.
[13.03. |Une bobine munie d’un noyau ferromabobine est alors L = 10 mH.
travers la bobine?
Quel est le flux g à
261
Un circuit magnétique de forme torique a
les caractéristiques suivantes :
— longueur moyenne du circuit : /= 20 cm;
— section droite constante s = 5 cm?;
— perméabilité relative y, = 1 000.
13.08. | La caractéristique Œ®(i) d’un circuit
magnétique est représentée sur la figure 13.30. Calculer l'énergie emmagasinée par le circuit lorsque
j = 1 A.
R:5:10-3J;
10 - 10-3J; 15 - 10-3 J; 20 - 107? J.
On donne : Le 8,0: 105 S.I.
Lo
Quelle est la réluctance 8 du circuit?
R : 320 kA/m; 32 kA/m; 3,20 kA/m; 320 A/m.
Une bobine torique comporte 100 spires.
Elle entoure un anneau ferromagnétique de section
droite constante s = 10 cm?, de longueur moyenne
[=20cm et de perméabilité relative u,= 2000
(constante dans le domaine d’utilisation). Calculer
l’inductance L de cette bobine.
R :1H; 0,13 H; 0,47 H; 0,2 H.
La puissance apparente d’un transformateur 220 V/127 V, considéré comme parfait, est :
S' = 1 KVA. Quelle est l’intensité efficace 7, du courant nominal au secondaire du transformateur ?
RS SO AA
SAS
9 PATTLS TA
Les résistances des enroulements primaire
et secondaire d’un transformateur parfait de rapport
de transformation m=0,50 sont respectivement
Fig. 13.30.
13.09. | Un transformateur parfait de rapport de
transformation m=5
alimente une charge R-L
d’impédance Z,= 50 +25j (ohms). Quelle est
limpédance Z «vue» de l’alimentation (en ohms)?
R :2+7; 10 + 5j; 250 + 125j; 1 250 + 625).
perdue par effet Joule dans le transformateur ?
13.10. | Le rapport de transformation d’un transformateur monophasé est m = 0,600. L’enroulement
primaire est alimenté sous 380 V. En charge, la
tension secondaire est 220 V. Quelle est alors la
chute de tension?
R : 280 W; 90 W; 130 W; 880 W.
R:6V;8
V; 10 V; 12 V.
R, = 0,50 Q et R;, = 0,20 Q. L’intensité efficace du
courant secondaire est 20 A. Quelle est la puissance
Exercice résolu
13.11. | Étude d’un transformateur monophasé
Les essais suivants ont été effectués :
— en continu au primaire : Z,,= 10 A; U,.= 5,0 V
— à vide : VU, =220 V, 50 Hz (tension primaire
nominale)
Uo = 44 V; P,9 = 80 W; 9 = 1,0 A.
— en court-circuit : U,, = 40 V; P,, = 250 W;
Ti = 20 A (courant nominal primaire).
Le transformateur est considéré comme parfait pour
proportionnelles au carré de la tension primaire,
montrer qu’elles sont négligeables par rapport aux
autres pertes dans l’essai en court-circuit.
2.2. Représenter le schéma équivalent du transformateur en court-circuit vu du secondaire.
2.3. En déduire les valeurs de R, et X, éléments de
l’impédance du modèle de Thévenin.
les courants lorsque ceux-ci ont leurs valeurs nomi-
nales.
SOLUTION
1° Essai à vide.
1° Essai à vide
1.1. Déterminer le rapport de transformation.
1.2. En déduire le nombre de spires au secondaire si
l’on compte 520 spires au primaire.
1.3. Vérifier que l’on peut négliger les pertes par
effet Joule lors de l'essai à vide.
2° Essai en court-circuit.
2.1. En admettant
262
que les pertes dans le fer sont
1.1. Rapport de transformation
Il est donné par la relation :
U;
Application numérique
1.2. Nombre de spires au secondaire
Ce rapport de transformation est aussi
2.2. Éléments du modèle de Thévenin
égal au
rapport du nombre de spires . . Donc :
il
La figure 13.31 est le modèle équivalent de Thévenin du transformateur en court-circuit vu du
secondaire.
Ze 5
N, = mN, ’
R,
+ jX,
2cc
;
Application numérique
N, = 0,2 x 520 spires > |N, = 104 spires
1.3. Pertes par effet Joule
L’essai en continu permet de déterminer la résistance de l’enroulement du primaire :
Fig. 13.31.
Détermination de Es
Application numérique
R; las
(jee < 0,50 Q.
E,;=
Pertes par effet Joule à vide : P;9 = R, 1 sl
Application numérique
P;0 = (0,5 x 12)
W
>
P50 = 0,50
W.
Effectuons le rapport _ , nous obtenons :
10
Esce = (0,2 x 40) V
Soit alors :
Or :
Les pertes par effet Joule à vide sont négligeables
devant les pertes dans le fer.
Donc :
80
>
Esce 04
Détermination de Z,
Lorsque U, = 0, l’impédance
tension Es = MUicc:
Pw_0S + Po = 6,25 + 107$ = 0,6 %.
Pio
Us = MU:
Application numérique
Z, est soumise
MmÜic = Zs De:
L= Lice è
Po
m
2
Z; = Lu
Lice
Application numérique
2° Essai en court-circuit
2.1. Pertes dans le fer
Les pertes dans le fer sont proportionnelles au carré
de la tension primaire.
{0,22
x 40
_
2 __-(Ee)
a 3 [Z.=0,08
Q
Soit : P,= KU? dans l'essai à vide et Pic = KUfce
2.3. Détermination de R, et X,
Détermination de R,
dans l’essai en court-circuit.
Comme
“es :
D'où
à la
PU?
Pix = arr
= Rsl3e et
Pix
sons :
_ [80 x (40)? W > Pre .= 2,6 W.
Pie = EE
Eds
+
Application numérique
250 x 0,2?
R, = (Ee) A >
Pic $
Effectuons le rapport —<€
:
I
M=1E€, nous en dédui-
2
|R, = 0,025 Q
Pa
Pice - 2.6 >
Pic
10-2
Les pertes dans le fer lors de l'essai en courtCircuit sont négligeables devant les pertes par effet
Joule.
|
Détermination de X,
X=VZI-R°.
Application numérique
X, = V0,080? — 0,025? > |X, = 0,076 Q
263
Exercices à résoudre
Le montage de la figure 13.32 alimente un
petit moteur M à courant continu à aimant permanent (moteur d’entraînement de bandes magnétiques de walkman ou d’ordinateur). Une masse
marquée (m = 20 g par exemple) est suspendue à un
fil enroulé sur un mandrin solidaire de l’axe du
moteur M. Le transformateur T comporte un circuit
magnétique avec un petit entrefer de 1 mm environ (par exemple transformateur démontable avec
N, = 500 spires et N, = 1 000 spires). Une source de
tension de f.é.m. E alimente le circuit primaire en
série avec une résistance R, et un bouton poussoir
K normalement ouvert. Dans le circuit secondaire
se trouve une diode de redressement D, (1 N 4007
par exemple).
2.4. Si, pendant la phase indirecte, le moteur
remonte la masse m d’une hauteur h, c’est qu’il
fournit un travail mgh. Qu'elle est l’origine de
l'énergie ainsi transformée?
3° En actionnant périodiquement K, de manière
assez rapide, on provoque la remontée de m.
Comment pourrait-on :
3.1. accélérer cette remontée?
3.2. rendre plus régulière la rotation de M?
4 On modifie le montage précédent de manière à le
rendre conforme au schéma de la figure 13.33.
Le primaire comporte ainsi un deuxième enroulement (N, = 500 spires, deuxième partie d’une
bobine de 1 000 spires) en série avec une diode D,
Fig. 13.33.
Fig. 13.32.
1° Le bouton poussoir K est ouvert.
Le sens d’enroulement du fil sur le mandrin est tel
que si on enroule le fil à la main, et que l’on relâche
la masse m, celle-ci descend très lentement. En
revanche, si l’on ouvre le circuit dont fait partie le
moteur, ou si l’on inverse le branchement de la
diode D, m descend très vite. Expliquer ces deux
constatations (on pourra faire appel à la loi de Lenz,
vue en classe de Première).
2° La résistance R, a une valeur telle que, si le
bouton poussoir K reste fermé pendant une durée
assez longue pour que l'intensité 7, atteigne sa
.
E
: 4
NO;
valeur maximale
R°
celle-ci s'établit à une valeur
proche de 1,5 A.
La masse m étant descendue, on actionne K puis on
le relâche. A partir de l’instant où on le relâche
(cette phase de fonctionnement est appelée phase
indirecte ou phase «fly-back»), m remonte de
plusieurs centimètres. En utilisant la loi de Lenz :
2.1. justifier l'existence d’un
pendant la phase indirecte;
courant
secondaire
de même type que D, ; on a par ailleurs permuté les
bornes du secondaire.
4.1. Justifier le fait qu'avec ce nouveau montage, le
moteur remonte la masse m pendant la phase
directe tandis que celle-ci redescend lentement pendant la phase indirecte.
4.2. Montrer que l'intensité j est nulle pendant la
phase directe et qu’elle est positive pendant la phase
indirecte. Quel est le rôle de ce deuxième enroulement primaire (pourvu de la diode D;) appelé
enroulement de démagnétisation?
13.13. | Un
circuit magnétique
canalise un flux
magnétique
@ de 75-107? Wb.
La réluctance du
circuit magnétique est À = 20 kA/Wb.
1° Quelle est la f. m. m. € qui crée ce flux?
2° Quelle est l’intensité Z du courant traversant les
500 spires de l’enroulement qui entoure le circuit
magnétique?
3° Le circuit magnétique est torique, de rayon
moyen 7 = 10 cm. Quelle est l’excitation magnétique
H à l’intérieur du circuit?
2.2. expliquer pourquoi il ne se passe rien au
secondaire pendant la phase directe (ou phase « forward») où l’on appuie sur K;
4 La section
Calculer :
2.3. montrer que les bornes homologues du transformateur sont bien telles qu’on les a représentées.
4.2. la perméabilité relative du matériau constituant
264
droite
du
circuit
est
s= 10 dm2.
4.1. le champ magnétique B à l’intérieur du circuit,
le circuit.
13.14.
|Le circuit magnétique de la figure 13.34 a
une section s = 20 cm? et la longueur de la ligne de
champ
moyenne
est : / = 40 cm. Avec un entrefer
d'épaisseur e = 1 cm, le circuit fonctionne en régime
linéaire pour des courants dont l’intensité7 varie
entre 0 et 10 A : dans ces conditions, 4 = 5008. Les
pertes de flux sont supposées négligeables.
Un
h(kA/m)
Fig. 13.35.
Fig. 13.34.
en
1° Calculer :
1.1. la force magnétomotrice totale nécessaire à la
magnétisation du circuit afin d’obtenir un champ
magnétique B = 1,0 T le long de la ligne moyenne
de champ;
1.2. le nombre de spires à placer sur le circuit
magnétique de manière à obtenir ce champ de 1,0 T
avec un courant magnétisant / = 10 A.
2° La bobine est maintenant soumise à une tension
sinusoidale de fréquence f = 50 Hz. Calculer la tension efficace nécessaire à l’obtention d’un champ
magnétique maximal de 1,0 T.
13.15.
|Un transformateur
monophasé,
13.17%. | Un contacteur est composé d’une armature fixe (fig. 13.36) portant une bobine de
N=1000 spires et d’une armature mobile. Elles
sont séparées par un entrefer d'épaisseur e = 1 mm.
Lorsque la bobine est alimentée par un courant
continu,
les armatures sont soumises à une force
d'attraction, qui en première approximation s'écrit :
F= B?S/2
expression dans laquelle B est le champ magnétique
dans le circuit magnétique, S la surface des armatures en regard et x la perméabilité magnétique du
vide. Les armatures sont réalisées avec le même
matériau magnétique dont la perméabilité relative
L., pratiquement constante dans le domaine d’utilisation, est voisine de 1 000.
supposé
aie
parfait, de rapport de transformation m=72 alimente un récepteur d’impédance Z. Le primaire
est traversé par un courant d'intensité Z, = 10 A
lorsqu'il est branché sur le secteur 220 V. Quelle est
l'impédance Z de ce récepteur?
[13.16. |La relation donnant les pertes dans le fer
d’un circuit magnétique est :
P ; S sdVA
en appelant / la fréquence d’utilisation, V le volume
de fer (exprimé en mètres cubes) et 4 l’aire du cycle
d’hystérésis du circuit (exprimée en teslas-ampères
par mètre). Quelle est la puissance dissipée dans un
circuit magnétique de masse "7 = 2 kg, de masse
volumique u = 7600 kg/mi utilisé à la fréquence
f=50 Hz dont le cycle d’hystérésis
représenté sur la figure 13.35?
simplifié est
| ji
HUE
armature
fixe
Fig. 13.36.
1° On désire une force d’attraction F = 50 N. Quelle
doit être la valeur :
1.1. du champ magnétique B dans l’entrefer?
1.2. de l'excitation
tures?
magnétique
1.3. de la f. m.m. & totale?
Æ dans les arma-
1.4. de l'intensité Z du courant dans la bobine?
2° Les armatures étant «collées», quelle est la force
de maintien Fy, qui s’exerce sur l’armature mobile
lorsque la bobine est traversée par le courant
déterminé précédemment sachant qu’à la saturation
on a : By = 1,8 T?
Neutre
3° Quelle est l’intensité du courant permettant de
réduire cette force de maintien à fy = 400 N°?
1318:
Un tore ferromagnétique fermé, de section
s = 2 cm? et de rayon moyen r = 5,0 cm, est placé
dans un bobinage de n = 100 spires, traversé par un
courant d'intensité / = 1 A. La perméabilité relative
du matériau utilisé est y, = 600.
1° Calculer l’excitation
riau.
magnétique
Fig. 13.37.
dans le maté-
2° En déduire le champ magnétique.
3° Quelle est l’inductance du circuit?
4 On crée dans le tore un entrefer d’épaisseur
e=0,1 mm (e < / : longueur de la ligne de champ
moyenne).
On veut déterminer le rendement d’un
transformateur monophasé par la méthode des
pertes séparées. Pour cela, trois essais sont réalisés.
Essai à vide :
U, _ 220 V,
Us =
125 IVe L\o = 0,5 A, P;0 = 79 W.
Essai en court-circuit :
4.1. Calculer :
Urxk=20V,
a) l’excitation magnétique dans le matériau;
Le=10A,
Pie = 110 W.
Essai avec une charge résistive pour un fonctionnement nominal :
b) le champ magnétique dans le matériau;
4.2. Calculer :
U,=220V,
a) l’excitation magnétique dans l’entrefer;
U,=120V,
Z,=10A.
b) le champ magnétique dans l’entrefer.
1° Calculer le rapport de transformation du transformateur.
4.3. Quelle est la nouvelle valeur de l’inductance du
circuit ?
2° Quel est le facteur de puissance à vide?
On
considère
le montage
de
la
figure 13.37 dans lequel le transformateur est alimenté sous une tension #, de valeur efficace et de
fréquence constante. L’amplificateur opérationnel
est supposé parfait.
La résistance r, est égale à 1,0 Q. Si m est le rapport
de transformation du transformateur (m =- Ha la
1
résistance r, est prise égale à mr, = m ohms. On a
par ailleurs R = 1,0 kQ et R'=10 kQ.
1° Le transformateur est à vide (i, = i,0, i = 0).
Montrer que la tension x, est proportionnelle à
l'intensité i,9. Calculer le coefficient de proportionnalité.
2° Le transformateur est chargé et délivre un courant secondaire dont l'intensité efficace J, est égale à
sa valeur nominale /;,.
2.1. Exprimer
u, en fonction de r,, m, R, R',i
et b.
2.2. Expliquer pourquoi, alors que les intensités
efficaces J, et Z, sont beaucoup plus élevées que Z,o,
la tension uw, ne change ni de forme ni de valeur
efficace par rapport à celle que l’on observe à vide.
266
3° Déterminer :
3.1. les pertes dans le fer;
3.2. les pertes par effet Joule
nement nominal.
pour
le fonction-
4° Calculer le rendement du transformateur pour le
fonctionnement nominal.
Là
|
Les
essais
d’un
transformateur
mono-
has ont donné les résultats suivants (l'indice 1
est relatif au primaire, l'indice 2 est relatif au
secondaire).
Essai à vide :
U,y=10kV,
Us = 230 V.
Essai en court-circuit :
Ur
= 600 V,
Te = 500 À,
Pre =
1 750 W.
1° Déterminer les valeurs des éléments du schéma
équivalent du transformateur vu du secondaire.
2° Quelle est la valeur efficace de la tension
secondaire lorsque ce secondaire débite un courant
d’une intensité Z,= 400 À dans un circuit inductif
dont le facteur de puissance est cos
= 0,80?
On supposera que le primaire est alimenté sous ten-
sion U, = 10 KV.
Chapitre 14
CONVERTISSEURS STATIQUES
A. REDRESSEURS
m1. REDRESSEURS NON COMMANDÉS
Nous avons déjà étudié le principe de la conversion alternatifcontinu par redressement d’une tension sinusoïdale (voir
1 F2-3-5, chap. 19). Nous nous limitons ici au redressement
double alternance en monophasé. La figure 14.01 rappelle les
principaux résultats obtenus dans le cas du redressement
double alternance en monophasé et pour une charge purement
résistive. Très souvent ce montage est complété par des
éléments permettant de diminuer l’ondulation de la tension w,
et celle du courant débité : ils réalisent une fonction defiltrage.
1.1. Filtrage par condensateur
m1.1.1. Expérience
Fig. 14.01. Redressement monophasé double
alternance. La charge est une résistance R.
Sil'on négligelachute
detension dans les diodes :
s
ü,=2Y,
Au montage précédent ajoutons un condensateur électrochimique de forte valeur (C= 1 500 HF) et un interrupteur K qui
permet de placer ce condensateur en parallèle avec la charge du
redresseur (fig. 14.02). Un oscilloscope permet de visualiser à
a
é
:
:
mt
SO
110:
tour de rôle les tensions v, ,, rii, iic, l3Ï(M1 = P2= F3 = 0,1 (2;
10 W).
TI
Fig. 14.02. Filtrage par condensateur.
B
a) Éléments du montage :
e T : transformateur 220 V/24 V; 60 VA.
e Pont compact 5 À.
e C: condensateur électrochimique 1500 uF/63 V.
e R: éostat
500 Q/1 À.
e f,, 2, l,: résistances de 0,1 ©.
b) Visualisations oscilloscopiques :
e u, eti: masse
en À, Ÿ, en B, Y,enF.
charge
e ieti,
: masse en À, Ÿ, en A, Y, en G.
e vet): masse en M, Ÿ, en N, Y, en P.
267
m1.1.2. Observations
e L'interrupteur K étant successivement ouvert puis fermé,
observons la tension u, (fig. 14.03). Nous constatons que /a
présence du condensateur se traduit par une forte diminution de
l’ondulation de la tension redressée.
La valeur moyenne üu, est également augmentée.
Fig. 14.03. Filtrage de la tension redressée par
un condensateur.
e La présence du condensateur diminue l'ondulation et augmente la valeur moyenne de la tension
(pour une même valeur de l'intensité du courant
débité).
e L'ondulation diminue quand la capacité du
condensateur augmente.
e Les résultats expérimentaux (voir oscillogrammes) avec un
condensateur de filtrage de 1 500 uF et pour une même valeur
de la résistance de charge, sont détaillés sur les chronogrammes
de la figure 14.04.
m 1.1.3. Interprétation
Soit 7 la période de la tension v(f). Comme la période de la
tension redressée est égale à 77/2, nous considérons un intervalle de temps de durée 7/2, commençant à l'instant r, et
finissant à l'instant £, = 1, + T/2 (fig. 14.04).
e Entre les instants /, et f,, deux diodes du pont conduisent
(par exemple D, et D;). En négligeant les chutes de tension
dans les diodes nous pouvons admettre que la tension y est
appliquée au condensateur et à la charge.
Nous obtenons dans ce cas:
uUÆy
Dares”
LS
et :
Fig. 14.04. Chronogrammes de \, u,, i, j eti..
Osoillogrammes pour À ,= 1 À.
e Au,=4,1 V;
e la durée de conduction sur une demi-période est
d'environ 4 ms;
e Î=)=54;
e vit) n'est plus sinusoidale lorsque le pont
conduit : le courant impulsionnel d'intensité j provoque au secondaire du transformateur une chute
de tension, brève mais assez importante.
268
dy
C—
V
dy
&
L'analyse des oscillogrammes permet d'observer
que :
il
k
soit :
ur
ic
i=itic
pos
dt
&—+C—.
dt
e La tension #, est maximale à un instant proche de f, : nous en
concluons que /a phase de conduction du pont correspond à la
phase de charge du condensateur.
e De r, à t, le pont est bloqué car la tension v est inférieure à la
tension #,. Durant cette phase, le condensateur alimente seul la
charge en se déchargeant partiellement. Par conséquent :
a) u, eti.
& 1.1.4. Conséquences
Posons :
At=t;-t.
At est la durée de conduction des diodes ; c’est une fraction assez
faible de la demi-période 77/2.
At est bref et
e Le courant qui traverse les diodes pendant
intense (dans les conditions de la figure 14.04, ? & 51,).
Fig. 14.05. Ondulation de la tension u..
Le pont conduit entre t, et t,; la tension U, est
maximale à l'instant t, très voisin de t; .
La pente deu, (t) est à chaque instant égale à . .
Le filtrage de la tension 4, réalisé ici, s'accompagne donc de
pointes de courant dans les diodes, surintensités importantes et
répétitives, qui augmentent d’ailleurs avec la capacité du
condensateur de filtrage.
e L'intensité j du courant au secondaire du transformateur est
elle-même formée d’impulsions puisque à chaque instant :
Lil=i.
Puisque de t, àt,:
dq
L=-—=-
re
tt
du
DU
dt
nous pouvons écrire :
du, is
dt
par un courant
Par conséquent le transformateur, parcouru
secondaire de forme impulsionnelle, fonctionne dans des conditions inhabituelles et défavorables. Pour cette raison, i/ ne peut
délivrer qu’une fraction assez faible de sa puissance nominale.
C
& 1.1.5. Calcul de l'ondulation
Dans le cas d’un bon filtrage (u, faiblement ondulée) il est
possible de déterminer une valeur approchée de l'ondulation
relative (fig. 14.05).
_
La tension 4, varie entre 4, et Us
AUS= E, — Us.
Posons :
Entre l'instant #, et l'instant {, Où u,= ü,, le condensateur
emmagasine la quantité d'électricité :
AQ, = CAu,.
Comme la tension u, est supposée faiblement ondulée, nous
e
pouvons admettre que l'intensité 1, est pratiquement constant
:
e
moyenn
valeur
sa
à
égale
et
|
AO
mul,
SE
le de
. Nous confondons les instants /, et { . Pendant un interval
telle
dg
quantité
d’une
varie
q
charge
la
df,
aire
temps élément
que i,= -4 (fig. 14.06). La charge du condensateur diminue
Fig. 14.06. Schéma équivalent du montage de
donc de |dgl=i, : dt.
269
De f; à f;, la diminution AQ, de cette charge est égale à :
b
10-
l
| Last
b
| dt
U
b
AQ; = i,(f3 — b)= R (B — b).
En régime permanent :
Fig. 14.07. Montage à point milieu.
V,=-V,=Ù
sinot.
AQ, = AQ,.
Par conséquent :
F|
CAu,= ?|
+ (3 b),
Ms
sets
FL
PROC
Comme (f, — {,) est un peu inférieur à <nous pouvons écrire :
Au,
_T/2
HR <——
toaRC
OÙ
AU,
1
—<——,
L,
CREER
Conclusion pratique
Lorsque la tension de sortie est bien filtrée, son ondulation
à
Le
1
relative
est t voisine dére——.
RC
lat
1.2. Applications
Ce mode de filtrage, associé à un pont de Graëtz ou à un
redresseur à point milieu (fig. 14.07), est très utilisé dans la
conversion alternatif-continu de petite puissance.
Par exemple, en associant un montage redresseur double
alternance, dont la tension de sortie est filtrée par un condensateur, à un régulateur intégré de tension (fig. 14.08), on obtient
une alimentation stabilisée de laboratoire.
Fig. 14.09. Lissage du courant au moyen d'une
bobine.
220 V-9V
50 Hz - 100VA
Fig. 14.08. Alimentation stabilisée.
C : condensateur de filtrage : 2000 uF/A; exemple
omax
= ZA > C = 4000
1F.
C, et C, sont des condensateurs de découplage qui doivent être placés le plus près possible
des bornes du régulateur.
L'alimentation est protégée thermiquement et limitée en courant par le régulateur.
1.3. Filtrage par une bobine
Si nous plaçons en série avec une charge résistive ou active une
bobine d’inductance suffisante (fig. 14.09) le courant dans la
charge présente moins d’ondulation (fig. 14.10). On dit que la
bobine permet de lisser le courant.
Fig. 14.10. Redressement monophasé double
alternance.
a) Tension u, à la sortie du redresseur.
b) /ntensité i, du courant dans la charge en
l'absence de bobine (1) et en présence d'une
bobine de lissage (2).
270
Lorsque la valeur de l’inductance augmente, l’ondulation du
courant diminue mais l'intensité moyenne 7, ne change pas
(la résistance du circuit et, s’il y a lieu, la f.é. m. du dipôle de
charge sont supposées constantes).
Ce mode de lissage est utilisé pour les forts débits en électronique de puissance et dans les alimentations à découpage.
Pour amorcer sûrement un thyristor il
faut que deux conditions soient simulta-
m2. REDRESSEURS COMMANDÉS
nément satisfaites :
Le composant
e la tension v,4 doit être positive,
thyristor. Etudions succinctement son fonctionnement.
e l'intensité /; du courant de gâchette
doit être supérieure à une valeur minimale Gr:
2.1. Thyristor
e L’amorçage n’est efficace que si,
avant la disparition du courant de
gâchette, l'intensité / du courant direct
est supérieure à un seuil appelé intensité d’accrochage. Si /; est une impulsion de courant, sa durée doit être suffisamment grande.
e Un thyristor conducteur se bloque si
l'intensité À du courant direct devient
inférieure à une valeur appelée intensité
hypostatique (ou de maintien), i,.
essentiel
d’un
redresseur
commandé
est le
Un thyristor est un dispositif semi-conducteur dont la mise en
conduction est commandable. Il est muni de deux électrodes
principales : l’anode A et la cathode K, et d’une électrode de
commande, la gâchette G (fig. 14.11).
Le courant
principal
circule
de l’anode
vers
la cathode,
le
courant de commande circule de la gâchette vers la cathode.
m 2.1.1. Fonctionnement
e Sous tension directe (v,x > 0), un thyristor est rendu conducteur par un bref courant circulant entre gâchette et cathode
(fig. 14.12).
Dès qu'il conduit, son comportement est analogue à celui d’une
diode et le courant de gâchette n’a plus aucune action sur lui.
Fig. 14.12. Amorçage d'un thyristor.
E=24V; D : diode 1N4007; T : Thyristor
8 A-400 V (TYN 408 par exemple); L, et L, : lampes
24 V-15 W.
« Fermons l'interrupteur K,, le poussoir P restant
ouvert : la lampe L, s'allume, la lampe L, demeure
Fig. 14.11. Représentation normalisée.
Les plus petits thyristors admettent une intensité
maximale de l'ordre de l'ampère. Les composants
les plus puissants, réalisés sur des disques de
silicium de 100 mm de diamètre, supportent des
intensités de 3000À et des tensions supérieures
à 4000 V.
éteinte etv,k= E.
= Appuyons un court instant sur le poussoir P (K,
étant toujours fermé) : la lampe L, s'allume et reste
toujours allumée même après disparition du courant de gâchette.
Le thyristor est amorçé.
e Sous tension inverse (vx < 0), un thyristor ne peut être rendu
conducteur (fig. 14.13).
Un thyristor est donc un redresseur commandable à la fermeture. Sa caractéristique est analogue à celle d’une diode; la
tension de seuil U, est plus grande pour un thyristor que pour
une diode prévue pour la même moyenne (fig. 14.14).
Fig. 14.14. Caractéristique statique directe
linéarisée : u=U,+R,i.
Exemple : thyristor 30 À : u, = 1,5 VetR,= 20 mQ.
Fig. 14.13. Thyristor sous tension inverse.
E=24 V; le thyristor est placé sous tension
inverse :v,4= - E < 0. Quand on enfonce le poussoir P, un courant parcourt le circuit de commande
mais le thyristor ne s'amorce pas. Placé sous
tension inverse un thyristornepeut pas conduire.
m 2.1.2. Blocage d'un thyristor
e Deux montages élémentaires permettent de mettre en évidence deux possibilités de blocage d’un thyristor :
271
—
blocage
par
suppression
de
courant
(fig. 14.15)
: c’est
l'extinction naturelle;
— blocage par mise sous tension inverse (fig. 14.16) : c’est
l'extinction forcée.
2.2. Principe du redressement commandé
Fig. 14.15. Blocage par suppression de courant
ou extinction naturelle.
Nous supposons le thyristor T conducteur (le dispositif d'amorçage n'est pas représenté). Lorsque
nous fermons l'interrupteur K, il n’y a plus de
courant dans le thyristor (celui-ci est shunté par
K,).
L'ouverture de K, ne s'accompagne pas du réamorçage du thyristor : il a perdu la propriété de
conduire (acquise lors de l'amorçage).
Nous commençons l’étude du redressement commandé par
l'analyse d’un montage simple qui n’a guère d’applications
industrielles mais qui nous permettra de préciser les idées
essentielles relatives à cette question.
Le schéma de la figure 14.17 comporte un circuit de puissance
et un circuit de commande (à droite sur le dessin) alimentés
sous une tension sinusoidale v, de fréquence f de 50 Hz.
Fig. 14.16. Blocage par application d'une ten-
sion inverse ou extinction forcée.
Eléments du montage : R=10kQ, C=4,74uF,
Fig. 14.17. Principe du redressement commandé.
Le montage est commandé par un déclencheur (voir encadré) qui reçoit un signal de synchro-
E = 24 V, L= lampe24 V-5W,.
nisation u,.
e Lorsque le thyristor T est amorcé la lampe
s'allume et le condensateur C se charge à travers
La même tension alternative v, doit alimenter le primaire du transformateur principal et celui
qui fournit u..
La tension de commande v,, permet de régler les instants d'apparition des impulsions (VSx) par
rapport aux instants de passage à zéro de la tension v,.
la résistance R(V,,=E).
e Dès que nous fermons l'interrupteur K,, la
lampe s'éteint car le thyristor a été placé sous une
tension inverse qui a provoqué son blocage.
e La réouverture de K, est sans conséquence sur
l'état du thyristor.
m 2.2.1. Commande synchronisée par le secteur
a) Montage
Le circuit de commande (voir fig. 14.18, encadré ci-après, pour
sa réalisation) comporte :
e une entrée E de synchronisation : entre E et M, il faut
appliquer une tension sinusoidale u, en phase avec la tension
d'alimentation v, du circuit de puissance;
e une entrée C de commande : la tension continue v, entre C et
M est réglable de 0 à 10 volts grâce au potentiomètre P,;
e une sortie S pouvant être mise en relation avec la gâchette G
du thyristor T tandis que la masse M du montage est reliée à
la cathode K.
b) Utilisation : retard angulaire
e Lorsque la tension v,x est positive, c’est-à-dire lorsque le
thyristor est susceptible de conduire, le circuit de commande
fournit une impulsion brève (fig. 14.19).
Celle-ci apparaît avec un retard t, par rapport à l'instant pris
comme origine des temps, qui est l'instant où la tension 4x
passe par zéro en croissant.
272
Sa position par rapport à la tension v,& est parfaitement stable :
cette impulsion est synchronisée avec cette tension.
e On appelle retard angulaire, l'angle x tel que :
œ = @y
& étant la pulsation de la tension v, («© = 2r/ ).
Comme une période T correspond à un angle de 2x radians ou
360 degrés, le retard angulaire « est réglable de 0 à x radians
(soit de 0 à 180 degrés).
Fig. 14.18. Montage à thyristors : circuit de com- >
mande ou déclencheur.
N—>
#s E :| Entrée de synchronisation
24VR
Montage à thyristors : circuit de commande ou déclencheur
Liste des composants :
Fig. 14.19. Commande par décalage du point
d'amorçage.
e Le thyristor est amorçable dés l'instant t= 0.
e A l'instant t,le déclencheur fournit une impulsion
à front raide de durée 500us environ.
L'angle « = «t, est l'angle de retard à l'amorçage.
Sa valeur apparaît sur l'axe des abscisses de la
courbe du bas.
e Par commodité on l'exprime souvent en degrés.
Il peut varier de 0 à 180 degrés environ, mais,
suivant les applications, on se limite à une plage
plus ou moins réduite.
e Pour visualiser ces courbes ilfaut relier la masse
de l'oscilloscope au point M, l'entrée de la voie 1 au
pointÀ,l'entrée de la voie 2 au point au point $.
e Tension vx : Sinusoïde complète si K, est
ouvert; courbe en rouge si K, est fermé.
(fig. 14.19)
R, : 220 KQ, 1/4W
A, : 10 KQ, 1/4 W
R, : 22kQ, 14W
R, : 10 KQ ajustable
1/2W
R, : 56 kQ, 1/4W
R, : 220 Q, 1/4W
R,,R,:47Q,12W
R,, Ro : 10 KkQ, 1/4W
R, permet de régler la
proportionnalité de « et
de
vw de façon
que
k= 18 degrés par volt.
C, : 100 1F/35V
D,, D,: 1N914
Fa, F : fusibles 0,25 À
P. : potentiomètre 1 kQ
M : masse
À : alimentation 15 V
E : entrée de synchronisation
P. : potentiomètre de réglage v, (tension de commande)
C : borne de mesure de la tension v,
S et S' : bornes de sortie (1® sortie : entre S et M; 2° sortie :
entre S’ et M).
L'alimentation (15 V), est branchée entre les bornes À et M. La
=24 V) est appliquée
tension sinusoidale de synchronisation (U,
entre les bornes E et M. Entre la borne C et la masse M on peut
mesurer éventuellement la tension de commande v, réglable par le
potentiomètre P..
Les impulsions de déclenchement sont disponibles entre les bornes
S (ou S') et M; l'impulsion recueillie entre S et M survient pendant
que la tension est positive, l'impulsion disponible entre S'etMest
générée pendant que u, est négative.
En l'absence de transformateurs d'impulsions, on peut commander
deux thyristors dont les cathodes communes sont réunies à la
|
borne M.
En ajoutant deux transformateurs d'impulsions, possédant chacun
deux enroulements secondaires, on peut commander quatre thyristors.
273
æ 2.2.2. Fonctionnement du montage
Dans le montage précédent (fig. 14.17), fermons l’interrupteur K, et observons à l’oscilloscope les tensions #4, et vx
(fig. 14.20).
e De 0 à {, la tension v,K est positive et le thyristor n’est pas
encore amorcé; la tension
parcourt la charge.
,
est
nulle,
aucun
courant
ne
e À l'instant £, le thyristor est amorcé.
e De t, à T/2 le thyristor conduit :
Var & 0
U = V.
Fig. 14.20. Principe du redressement commandé.
— Pour visualiser ces courbes il faut établir les
liaisons suivantes : A masse de l'oscilloscope,
B entrée de la voie 1, K+ entrée de la voie 2 en
prenant la précaution d'appuyer sur le bouton
inverseur pour cette voie afin d'obtenir directement
VAk (Sinon on visualise V4).
e Les notations sont celles de la figure 14.18. À
tout instant :
e À l'instant 7/2 le courant s’annule et le thyristor se bloque.
Un voltmètre magnétoélectrique placé aux bornes de la charge
permet de mesurer la tension moyenne % = U.. On constate
alors que U, diminue lorsque l’angle de retard à l’amorçage
augmente.
Conclusion
Dans un montage comportant un dispositif de redressement
commandé, la valeur moyenne de la tension aux bornes de la
charge est réglable.
Vo= Ut Vyx.
Les chronogrammes ci-dessus sont en accord avec
cette relation. La tension V, est appliquée au thy-
ristor s'il ne conduit pas, à la charge si T conduit.
2.3. Redresseur commandé double alternance
e Lorsque le retard t, augmente, la valeur
moyenne de la tension u, diminue (elle correspond
Remarque
Dans cette étude introductive nous utiliserons un montage
redresseur à point milieu (fig. 14.21). Il permet la mise en
évidence des principaux résultats. Son intérêt didactique ne
à la surface comportant une trame rouge.
doit pas faire oublier qu’il ne s’agit pas d’un montage industriel.
m 2.3.1. Débit sur résistance
e Les tensions d’alimentation v, et v,, ainsi que les impulsions
de commande de T, et T, sont représentées sur la figure 14.22 a.
e La tension instantanée aux bornes de la charge est constituée
d’une suite de morceaux d’arches de sinusoïde (fig. 14.22b). La
tension
moyenne
aux
bornes
de la charge, u, = U., est une
fonction décroissante de « (fig. 14.23).
Fig. 14.21. Redresseur commande double alter-
nance. Débit dans une résistance.
Dans ce montage le dispositif de commande, non
représenté, fournit une impulsion au thyristor T,,
(ls), lorsque v, est positive et une impulsion au thyristor T,, (1), lorsque v, est positive. Ces deux
impulsions sont donc décalées de u T étant la
période de la tension u appliquée à l'enroulement
primaire du transformateur.
Fig. 14.22. a) Tensions d'alimentation v, et v, et D
impulsions de commande des thyristors T, etT,.
b) Tension u, aux bornes de la charge. Sa valeur
moyenne Sur une période correspond à la sur-
face hachurée. (Pour visualiser u, établir les
connexions suivantes : Mr> masse de l'oscilloscope, P+ entrée d'une voie.)
274
Fig. 14.23. Variation de la valeur moyenne deu,
en fonction de l'angle de retard a de l'impulsion de
commande.
Résultat important à retenir : une
bobine d'inductance L et de résistance r
nulle, traversée par un courant périodique i,, présente entre ses bornes une
tension u, dont la valeur moyenne uw
est nulle:
Calcul de U,
T/2
EIô Il
T/2
SI
Remarque : si la résistance 7 n'est
pas suffisamment faible pour que son
influence soit négligeable (c'est-à-dire, si
Il
Lo
SI
on ne peut la considérer comme nulle)
précédente (r= 0) convient parfaitement.
©
LL
[ Ÿ sin ot dt
u = 0.
alors : U = ri...
Ce résultat est donné à titre indicatif. Le
plus souvent l'hypothèse simplificatrice
u. dt
D
als
PS
eh à FA
L
Jr2
[cos wt, — (- 1)]
soit :
&I
Il
al + COS æ).
al
Pour œ= 0, pm
he
pour un retard nul, la tension obtenue
est identique à celle que fournit un montage redresseur double
alternance à diodes; sa valeur est égale à :
is
dal à
D'où l’expression de U, :
U,= Us
1 + cos æ
——
Poe
m2.3.2. Rôle d'une bobine de lissage
Nous reprenons le même montage mais, à présent, la charge
comprend une résistance R en série avec une bobine à noyau
de fer d’inductance L importante (fig. 14.24).
A l’oscilloscope observons la tension , et l’intensité
courant dans la charge (fig. 14.25).
Fig. 14.24. Débit sur une charge R-L (conduction
ininterrompue).
Blocage d'un thyristor.
Nous constatons que :
e À l'instant (t,-e), immédiatement avant t,, T,
conduit et T, est sous tension directe. En effet
Ur =V,-V,= 2, > 0:T, est donc amorçable.
e l'intensité
rompue.
e Al'instantT,,T, est amorcé. T, est alors soumis
à la tension u,,=V,-V,= 2v,< 0 :T,, placé sous
tension inverse, se bloque.
La mise en conduction d’un thyristor provoque le
blocage de celui qui conduisait précédemment.
Nous pouvons également noter que, de ;à
à+ to, pendant que la tension v, est négative et que i, décroît, la tension ur; aux
bornes du thyristor 7; continue à être positive grâce à l'effet inductif dû à la bobine :
e la tension u, atteint des valeurs négatives;
À, ne
s’annule
pas : la conduction
ces conditions et, de ce fait, il en est de
même de la tension u:..
est ininter-
Une bobine permet donc la prolongation de Ja durée de
conduction:celle-ci peut ainsi avoir lieu même durant les
phases où la tension x,est négative. TRE re
DT"
cal
PA
Fig. 14.25. Oscillogrammes des tensions v,, v, et
u, et de l'intensité du courant i,dans la charge.
Connexions à établir selon les grandeurs visualisées :
e V,etV,:
M
masse de l'oscilloscope,
S,r entrée 1, S,r entrée 2;
e u,etv,:
LL
Un =-Ri-L—
=
dt
di
En effet, le terme (-L di)est positif dans
à du
M
masse de l'oscilloscope,
P+ entrée 1, S,r
entrée 2;
eu eti,:
M
masse de l'oscilloscope,
P++ entrée 1, N'
entrée 2.
Si nous augmentons l’angle de retard à l’amorçage 4, et 1.
diminuent. L’intensité À, du courant dans la charge peut même
s’annuler à un instant déterminé. La limite de la conduction
ininterrompue est alors atteinte.
On montre que, tant que la conduction est ininterrompue, la
tension moyenne aux bornes de la charge est égale à :
ni
0"
U, = —
COS
TI
& 2.3.3. Alimentation d'une machine à courant continu
Les
Fig. 14.26. a) Alimentation d'une machine à courant continu sous tension moyenne réglable.
e La bobine doit être peu résistive. Exemple de
redresseurs
commandés
sont
très souvent
utilisés
pour
alimenter des machines à courant continu dont la vitesse doit
pouvoir être réglée. Le montage didactique précédent convient
parfaitement pour illustrer un tel exemple d'utilisation. La
charge de ce montage est alors un petit moteur à excitation
indépendante ou un moteur à aimants permanents (fig. 14.26).
réalisation : un transformateur démontable avec un
circuit magnétique à très faible entrefer (feuille de
papier) et une bobine de 500 spires (r = 20).
b) Montage pouvant éventuellement simuler la
machine à courant continu. On adoptera par
exemple : C=2200uF et R variable de 60Q à
500 Q.
Fig. 14.27. Pont monophasé tout thyristors.
Le déclencheur doit assurer l'amorçage simultané
de T, et T, puis de T, et T,, etc.
FIL BNET SSSR:
f
"4
À
f
\
Ÿ
d
++"
À
Dans le montage à point milieu que nous venons d’étudier,
l’enroulement secondaire du transformateur est mal utilisé : il
n’y a toujours qu’un seul demi-enroulement en service. De ce
fait, pour une puissance fixée, le transformateur est surdimensionné et coûteux. Dans l’industrie on utilise des montages en
pont.
e Dans un pont de Graëtz monophasé «tout thyristors»
(fig. 14.27) les thyristors doivent être commandés deux par
deux simultanément : T, et T; , puis T, et T, , etc.
L’amorçage des uns provoque le blocage des autres selon le
même processus que celui qui a été analysé sur le montage de
la figure 14.21.
e La forme de la tension redressée, est identique à celle
observée dans le montage à point milieu, de même que le
courant en ligne, d’intensité À, qui est alternatif.
Si le montage
\
Oscillogrammes de u, et i, en conduction ininterrompue. La charge est un moteur (f.é.m. E et
inductance L).
Oscillogrammes de u, et i, en conduction interrompue (capteur pour i, :r= 1 Q).
Quand i,= 0, u,= C® (charge E, L).
276
2.4. Montages redresseurs industriels
est alimenté
par un
transformateur,
le même
enroulement fournit les deux alternances. Mais un tel pont peut
également être directement branché sur le secteur, sans l’intermédiaire d’un transformateur (ce qui est impossible avec le
montage précédent).
De nombreux variateurs de vitesse de moteur à courant
continu sont réalisés avec des ponts mixtes comportant deux
diodes et deux thyristors (voir exercices résolus).
Conduction ininterrompue.
Oscillogrammes de u, et i. On prélève une tension ri, aux bornes d'une résistance r de 1Q
(charge R, L).
Situation de conduction interrompue.
Oscillogramme de u, eti, (capteur : r = 1 Q).
Lorsque = 0, u,= 0 (charge R, L).
B. HACHEUR
M1. GÉNÉRALITÉS
Un hacheur est un convertisseur statique qui permet d’alimenter une charge sous une tension continue réglable, à partir
d’une source de fension continue constante.
Un hacheur est un convertisseur «continu — continu»
(fig. 14.28).
Le rendement de cette transformation, de même nature que
celle que réalise un transformateur dans le domaine des
courants alternatifs, est généralement bon (proche de 0,9).
Les hacheurs sont essentiellement utilisés pour alimenter les
moteurs à courant continu dont on veut faire varier la vitesse.
Dans les alimentations à découpage, qui équipent de nombreux
appareils, on utilise des principes très voisins de ceux qui sont
mis en œuvre dans les hacheurs.
®
Fig. 14.28 a Symbole
continu — continu.
d'un
convertisseur
b Symbole d'un interrupteur électronique unidirectionnel.
Un interrupteur électronique unidirectionnel peut
être commandé aussi bien à l'ouverture qu'à la fermeture. C'est ce que signifient les deux traits verticaux de la figure. En pratique, dans le domaine des
petites et moyennes puissances (jusqu'à 10 kW),
les interrupteurs électroniques sont réalisés à partir
de transistors haute tension permettant des commutations (passage de l'état bloqué à l'état conducteur et vice versa) à fréquence élevée : 20 kHz pour
des transistors bipolaires (ex. : NPN), 40 à 200 kHz
pour des transistors MOS.
Dans le domaine des fortes puissances (ex. :
traction électrique de la S.N.C.F.), on utilise des
thyristors munis de circuits d'allumage et de blo-
cage.
M2. PRINCIPE DU HACHEUR SÉRIE
2.1. Montage
Le principe du hacheur série peut être illustré par le fonctionnement du dispositif représenté sur la figure 14.29, qui alimente une charge résistive.
L’interrupteur électronique H est commandé périodiquement :
nous notons 7 la période correspondant à cette commande.
H ne peut se trouver que dans deux états : ouvert ou fermé,
pour lesquels la variable logique associée, h, prend respectivement les valeurs O0 et 1.
Remarquons que lorsqu'il est fermé, H ne peut être traversé
que par courant circulant de A vers K : c’est un interrupteur
unidirectionnel. La figure 14.30a précise la manière dont H est
commandé sur une période :
ede0àr,,H
est fermé (A= 1);
e def, à T, H est ouvert (A = 0).
Fig. 14.30
Fig. 14.29. U est la tension fournie par une
source de tension; H est un interrupteur électronique unidirectionnel, supposé parfait :
° si H est fermé(h= 1), sa résistance est nulle et
pour un courant d'intensité
i> 0, on av=U=Ri;
e si H est ouvert (h = 0), sa résistance est infinie,
eti=0, ce qui entraîne
v=0 etu,=U.
Quelle que soit la valeur de h, c'est-à-dire l'état de
la commande de H, l'intensité i ne peut être négative.
23
t,
<———
t =(1-aT
277
Le hacheur présente les propriétés les plus
intéressantes lorsque /e courant qu'il débite
est ininterrompu. L'intensité / de ce courant
évolue alors entre sa valeur minimale 4, > 0,
et sa valeur maximale 4,. C'est cette situation que nous allons étudier; elle se trouve
réalisée lorsque le moteur entraîne une
charge. En revanche, si le moteur fonc-
tionne à vide, et n'est donc traversé que par
un courant très faible, celui-ci peut être
interrompu à chaque période (le fonctionnement du hacheur est alors plus difficile à
décrire).
2.2. Rapport cyclique du hacheur
C’est le paramètre «, égal au quotient de la durée 1, de la
fermeture de H au cours d’une période par la période T ellemême.
l { et T'en secondes (s)
=
.
T\_\pas d’unité pour «
C’est un nombre sans dimension physique (pour l’exprimer il
n’y a pas d’unité à préciser), qui prend des valeurs comprises
entre 0 et 1. Généralement la valeur x souhaitée peut être
facilement obtenue — manuellement ou automatiquement —
par des moyens relevant du domaine de l’électronique.
2.3. Valeur moyenne de la tension v
La tension v(f) (fig. 14.30 b) est périodique ; sa valeur moyenne
v est telle que, S étant l’aire d’un créneau de v(f) :
x
é
ce qui conduit à :
ÿ=V.= =
à
L et _. volts (V)
Fig. 14.31. La tension moyenne V. aux bornes de
la charge est proportionnelle au rapport cyclique à.
T
Er
UaT
V = [ve dt =——=oÙ,.
E aU
a : pas d'unité
|
Le rapport cyclique x étant un nombre compris entre 0 et 1, le
hacheur série apparaît alors comme un abaisseur de tension
continue (on dit encore un dévolteur). L’action sur « permet de
régler la tension moyenne . aux bornes de la charge entre 0 et
U (fig. 14.31).
M3. Exemple d'application
3.1. Montage
La figure 14.32 est un exemple de montage simple, utilisable
pour mettre en évidence l'intérêt d’alimenter un moteur à
courant continu au moyen d’un hacheur série.
Fig. 14.32. (T) : transistor NPN BD 711 monté sur »>
dissipateur thermique (5 W); B' : bobine 1 H-10Q;
R, : 47Q-1/2W,; p= 1 kQ; D : diode rapide où, à
défaut, diode 1 N 4007 par exemple; U : tension
continue comprise entre 15 et 24 V. L'alimentation
qui fournit la tension U doit pouvoir délivrer un
courant de 1 À.
e Placer des résistances de 1 Q-1 W pour relever
les oscillogrammes des courants.
278
Une bobine B’ est placée en série avec le moteur. La
commande du moteur est réalisée à l’aide d’un générateur de
tension en créneaux, de rapport cyclique réglable, qui fournit la
tension e(f).
Nous visualisons successivement (fig. 14.33) :
e la tension v(f) aux bornes de l’ensemble B'-M;
e les intensités des courants dans l’induit (;), dans le hacheur
(ix) et dans la diode (1). Dans ce but, des résistances de faible
valeur (1 Q par exemple), non représentées sur la figure, sont
disposées dans les branches parcourues par ces courants.
Nous pouvons aisément constater que la vitesse du moteur
varie dans le même sens que le rapport cyclique ©.
3.2. Interprétation
{
Fig. 14.33. Expression de l'intensité i(t) pendant
sa phase croissante (0, a) :
Afin de simplifier le problème, nous négligeons les résistances
de l’induit et de la bobine de lissage. Nous notons Z l’inductance totale du circuit (somme de l’inductance du moteur et de
la bobine de lissage) et E la f.é. m. du moteur.
Le montage utilisé peut donc être représenté par le schéma de
la figure 14.34.
Sur chaque période, deux parties peuvent être distinguées.
Nous étudierons la courbe i(t) sur l'intervalle de temps (0, T°).
rU-E
i(t) = ve Fa
si nous désignons par L l'inductance totale du
circuit et par E la f.é. m. du moteur.
Expression de i(t) pendant sa phase décroissante
(aT, T):
i(t)= È (t-aT)+l}.
En moyenne, le transfert d'énergie s'effectue de la
source haute tension (U) vers la charge, alimentée
sous basse tension (v = aU =E).
Fig. 14.34. U : tension fournie par une source de tension; E : fé.m. du moteur; elle prend la plus
grande valeur possible permise par le hacheur. Le moteur accélère tant que l'intensité i produit un
couple supérieur au couple résistant de la charge. La diode D est supposée parfaite.
a) H est fermé (h= 1), c’est-à-dire : 0</<aT
diode
D
est alors
bloquée
et À, =i.
Nous
(fig. 14.35). La
pouvons
écrire
l'équation différentielle :
di
U=v=L—+E,
1
ce qui
î
entraine
:
L’intensité i croît de
maximale /,. Durant
(di/dt) étant égal à une
fonction du temps est
dt
di = —
U<E
—
di
F7
+
0.
sa valeur minimale Z, à sa valeur
cet intervalle de temps, le quotient
constante positive, la variation de jen
représentée par un segment de droite
279
ascendant ; l’inductance L accumule de l’énergie (wi= :Li it
b) Æ est ouvert (h = 0), c’est-à-dire àT <1<T
(fig 14.36).
La diode D: conduit : À, = 0 et i = i,. Nous avons :
di
=0=L—+E,
4
di
s
di
E
a
ñ
—=-—<0,
soi LT:
L’intensité À décroît donc de sa valeur maximale /,, à sa valeur
minimale /,; (di/dt) étant égal à une constante négative, la
variation de À en fonction du temps est un segment de droite
descendant.
Pendant cette phase, l’inducteur restitue de l’énergie au moteur.
En raison de son rôle, D est appelé diode «de roue libre».
3.3. Tension moyenne aux bornes de la charge
La courbe v(f) est la même, quelle que soit la charge. La valeur
moyenne de la tension aux bornes de cette charge est donc
donnée par la même relation dans tous les cas :
Fig. 14.35.
a) Schéma équivalent du hacheur pour tE[0, aT].
b) Courbe i().
Compte tenu
entraîne :
des
hypothèses
p=E
simplificatrices
adoptées
cela
tet: . E=oU.
Si le moteur utilisé est un moteur à excitation indépendante et
constante, sa f.é. m. E est proportionnelle à sa vitesse nr et nous
pouvons alors exprimer simplement # en fonction de a.
E=kn
> n=«u ns:
k
La vitesse n varie donc proportionnellement à «. Une telle
alimentation est souvent appelée variateur de vitesse de moteur
à courant continu.
3.4. Intensités moyennes des courants
NC
e La valeur moyenne , de i est fixée par la charge.
Si la résistance R de la charge est négligée, la courbe i(1) (voir
fig. 14.33) permet d’écrire :
Le
Ve
=
{
/
#
m
|
LÉ
e Les intensités moyennes dans H, (/;), et dans
peuvent être exprimées en fonction de Z, :
R+——————
ER-—em
Fig. 14.36.
a) Schéma équivalent du hacheur pour tE[eT, T] :
la diode D est équivalente à un court-circuit.
b) Courbe it).
280
DFE
RERE
A
D, (4,)
3.5. Ondulation du courant /(t)
L’intensité i(t) varie entre Z,, et Z,,. L’ondulation du courant est
la quantité :
Elle peut être mesurée à l’oscilloscope.
On montre qu’elle est donnée par la relation :
C. ONDULEUR AUTONOME
Rappel : valeur efficace d’une grandeur.
Pour obtenir la valeur efficace d'une
tension w il faut :
1° Élever u au carré : ici les deux
valeurs de u: Eet-E, conduisent à la
même valeur E? à tout instant.
2 Prendre la valeur moyenne ÿ? de u?
sur une période (par exemple) : u?= E?.
3° Prendre la racine carrée de u?: c'est
la valeur efficace u,, cherchée :
Un= Vu; ici Wy=E.
m1. DÉFINITION
Un onduleur est un convertisseur statique qui permet d’alimenter une charge en courant alternatif à partir d’une source continue. C’est un convertisseur continu + alternatif (fig. 14.37).
Si la source continue est une source de tension, l’onduleur est
appelé onduleur de tension; si c’est une source de courant, on
parle de commutateur de courant.
L’onduleur est dit autonome quand il impose sa propre
fréquence à la charge.
Les onduleurs autonomes sont utilisés :
e pour alimenter des moteurs synchrones ou asynchrones dont
on désire faire varier la vitesse;
e comme
alimentation de secours;
e comme alimentation de dispositifs de chauffage par induction (trempe ou fusion).
Les fréquences des courants fournis par les onduleurs sont
comprises entre quelques dizaines de hertz (alimentation des
moteurs à courant alternatif) et quelques centaines de hertz
(chauffage par induction).
ALES
LE L
L
22 cesse ie à que
convertisseur
du
Fig. 14.37. Symbole
continu — alternatif.
Il existe des onduleurs dont le rôle est d'envoyer
l'énergie électrique d'une source continue vers le
Alimentations statiques onduleurs sans coupure (2x 250 kVA).
réseau de distribution (par l'intermédiaire, éventuel
lement. d'un transformateur). Dans ce cas la fréquence de fonctionnement de l'onduleur est imposée par le réseau. Ces onduleurs, dont le fonctionnement prolonge celui des redresseurs commandés, sont appelés onduleurs assistés.
281
m2. ONDULEUR DE TENSION
2.1. Principe
Commande
électronique de K
Fig. 14.38. E est la tension aux bornes de la
source; K est un inverseur électronique, supposé
parfait.
Si K est en position 1 :u=E;
Si K est en position 2 :u= -E.
L’onduleur monophasé de tension doit permettre de connecter
une source de tension continue à une charge, dans un sens, puis
dans l’autre, alternativement, de façon à imposer une tension
alternative à la charge.
C’est ce que réalise le montage de principe de la figure 14.38,
grâce à la commande périodique de l’inverseur électronique K.
2.2. Commande symétrique
Le basculement de K est pratiquement instantané. La tension #
ne peut prendre que deux valeurs (fig. 14.39) :
e u = E quand K est dans la position 1;
e u=-EÆ quand K est dans la position 2.
La charge est soumise à une tension en créneaux :
e de valeur efficace U=E;
e de fréquence imposée par la commande électronique de K.
2.3. Commande décalée
L’inverseur K reste ouvert un court instant entre les deux
intervalles de fermeture (position 1 ou 2). La tension w peut
prendre trois valeurs (fig. 14.40) :
Position de K
Fig. 14.39. Commande symétrique. Tension délivrée par l'onduleur avec indication de la position de
l'inverseur K.
!
l
|
1
1
!
e u = E quand K est dans la position |;
e u = 0 quand K est ouvert (position 0) (nous verrons plus loin
comment cela est réalisé);
e u=-E quand K est dans la position 2.
Dans la pratique, la fonction de l’inverseur K est réalisée au
moyen d’interrupteurs électroniques (transistors ou thyristors
associés à des diodes).
La valeur efficace de la tension w aux bornes de la charge est
égale à :
L
lb
U=E\/2
T-
|
!
[ilol2fo
1fol
Position de K
M3. ONDULEUR DE TENSION A DEUX
INTERRUPTEURS ELECTRONIQUES
Fig. 14.40. Commande décalée. Tension u(t) aux
bornes de la charge.
3.1. Montage pratique
Le montage est celui de la figure 14.41.
Fig. 14.41. G, et G, peuvent être deux accumu- >
lateurs (E=12V); T,, T, : transistors de puissance, complémentaires, montés sur dissipateurs
thermiques. Ex. : TIP 111 (NPN) et TIP 116 (PNP);
D,, D, : 1 N 4007; R, : 4700-1472 W.
282
Très souvent, la charge alimentée par l’onduleur est de nature
inductive (moteur asynchrone, bobinage de chauffage par
induction).
Dans un premier temps, D est un dipôle R, L constitué d’une
bobine (1H-10Q) en série avec une résistance (10 Q-10 Wij.
La tension vs (fig. 14.42) est fournie par un générateur de
fonctions (par exemple).
3.2. Expérience
A l’oscilloscope, nous pouvons observer la tension # aux bornes
de la charge et l’intensité : du courant dans la charge. Nous
obtenons les courbes de la figure 14.43.
e Remplaçons le dipôle (R, L) par l’enroulement basse tension
d’un transformateur 12 V-220 V; 50 Hz; 63 VA. Sur l’enroulement haute tension branchons un moteur à courant alternatif
de petite puissance comme par exemple un ventilateur d’ordinateur (moteur asynchrone).
Si nous faisons varier la fréquence / de la tension vas, de 30 Hz
à 100 Hz, nous observons que la vitesse du moteur asynchrone
augmente avec f.
3.3. Interprétation
Fig. 14.43. Lorsque la charge a un caractère
inductif, la force électromotrice d'induction :
permet d'avoir une intensité i positive même
lorsque la tension u est négative (et vice versa).
m 3.3.1. Modèle équivalant au montage
De façon générale notons H, et H, les interrupteurs électroniques (ici réalisés par les transistors T,, et T).
Un interrupteur électronique étant en général unidirectionnel,
pour permettre au courant de circuler dans le sens opposé à
celui qu’impose l'interrupteur proprement dit on a placé une
diode de façon à réaliser un montage dit antiparallèle. Cela
justifie la présence des diodes D,, D, dans le montage de la
figure 14.41.
CHARGE
Fig. 14.44. Onduleur avec diodes de récupération B>
(D, et D,). Chaque branche de l'onduleur comporte
un montage antiparallèle d'un interrupteur et d'une
diode.
La convention utilisée pour la charge, portant sur u
eti, est celle d'un récepteur.
Lorsque le produit ui est positif, la charge reçoit de
l'énergie électrique;inversement, lorsqu'il est néga-
tif, la charge restitue de l'énergie à l'une des
sources G, ou G,.
283
Le dispositif de commande
fournissant la tension n’étant pas
figuré, le montage utilisé peut être représenté par un schéma
général (fig. 14.44), qui peut être associé à tout onduleur
monophasé à deux interrupteurs électroniques.
m 3.3.2. Séquences de conduction
Nous réalisons cette étude à l’aide des courbes de la
figure 14.45. L’intensité À du courant dans la charge est
sensiblement sinusoïdale bien que
soit une tension en
créneaux; { est décalée en arrière par rapport à w (fig. 14.45 a)
dans le cas du montage considéré.
Nous commençons l’étude à l'instant 1=0 : K, était
préalablement fermé, il vient d’être ouvert; K, qui était ouvert
vient d’être fermé.
a) Première demi-période
K, est fermé, K,; ouvert; la charge connectée à la source G, est
soumise à une tension : u=E, =E.
e De 0 à r, : l'intensité j est négative et c’est la diode D, qui
conduit :
= ici = ii.
C’est la charge qui impose le sens du courant et non pas le
générateur G..
La puissance reçue par la charge p = uis, = ui est également
négative : il y a donc récupération par la source G, d’une partie
de l’énergie fournie à la charge pendant la phase précédente. D,
est dite diode «de récupération ».
e De f, à T/2 : l'intensité i est positive et c’est H, qui conduit :
= loi =
La puissance p = ui est positive
l'énergie à la charge.
: la source
G, fournit de
b) Deuxième demi-période
K, est ouvert, K, fermé; la charge connectée à la source G, est
soumise à une tension négative : u=-Æ,=-E.
e De T/2 à f,: i est positive et c’est la diode D, qui conduit:
Î=— iG2 = ipo.
La puissance p = ui est négative. Il y a récupération d’énergie
par la source G;. D, est aussi une diode de récupération.
e De f, à T/2 : i est négative et c’est H, qui conduit :
IE
los = ip:
La puissance p = ui est positive
l'énergie à la charge.
re
passants
Éléments
commandés
Signe de la
puissance
reçue par
la charge
Fig. 14.45. Courbes.
284
: la source
G, fournit de
c) Conclusion
Les dates f, et f, dépendent de la charge : cela impose la
commande de H, et H;, pendant toute la durée de chaque demipériode (la commande symétrique est la seule possible).
Malgré les phases de récupération il y a bien entendu globalement transfert d'énergie de la source de tension continue
vers la charge.
Remarque
Dans l’industrie les onduleurs monophasés sont en général
des montages en pontà quatre interrupteurs (voir exercices
résolus).
Travaux pratiques
1. Redressement double alternance en monophasé.
Étude d’un pont de Graëtz
Le montage est celui de la figure 14.46.
1.4. Lissage de la tension à l’aide d’un condensateur
Le dipôle D est à nouveau la résistance À.
Placer un condensateur aux bornes de À (attention
au sens de branchement).
Noter les modifications qu’il apporte sur :
a) les formes de à, ip, À et u, et leurs valeurs
maximales respectives;
b) la durée de conduction d’une diode;
étudier l'influence de la valeur de la capacité du
condensateur ;
c) le fonctionnement du transformateur.
220 V/24 V
2. Redressement commandé bialternance
avec transformateur à point milieu
On utilise le générateur d’impulsions décrit
paragraphe 2.2.1. (voir encadré).
au
Fig. 14.46. Le montage nécessite un transformateur 220-24 V/63 VA;
quatre diodes (ex. 1 N 4007); une résistance R : 46 0-24 W; une bobine à
noyau de fer d'inductance 1 H; un petit moteur à courant continu; un
condensateur électrochimique (ex. 3300uF-63 V); des résistances
1 0-10 W permettant de visualiser les courants.
1.1. Fonctionnement sur charge résistive
Le dipôle D est une résistance À.
au
Com
mande
a) Relever les formes des intensités des courants à,
ipi» 4; des tensions €, Up, Ue.
Noter la durée de conduction d’une diode sur une
période, les valeurs maximales des intensités des
courants et des tensions, et les comparer aux valeurs
théoriques.
b) Mesurer les valeurs moyennes et efficaces des
intensités À,(1) et in, (t) et les comparer aux valeurs
théoriques.
c) Mesurer la valeur moyenne et la valeur efficace
de la tension (1) et les comparer aux valeurs théoriques.
1.2. Fonctionnement sur charge inductive :
lissage du courant par une bobine
Le dipôle D est constitué par la mise en série de la
résistance R précédente et d’une bobine d’inductance maximale 1 H.
Reprendre l’étude précédente en notant les modifications que la variation de l’inductance L apporte
sur :
Fig. 14.47.
2.1. Fonctionnement sur charge résistive
a) Relever les oscillogrammes
des courants et des
tensions pour un retard à l’amorçage de «= 2 rad,
.
:
’
LA
par exemple.
b) La valeur moyenne U, de la tension uw, aux
bornes de la résistance À étant relevée avec un
appareil magnétoélectrique, tracer la courbe
sentative de la fonction U, = f(x).
Comparer à la valeur théorique :
repré-
_2V(1+ cos x)
A,
Ÿ désignant la valeur
tensions y, et ».
:
maximale
des
commune
a) les formes de à, ip, À et We;
2.2. Fonctionnement sur charge active
b) les valeurs moyennes et efficaces des courants et
des tensions.
En particulier, vérifier que l’augmentation de L de
0,1 H à 1 H, par exemple, ne modifie pas la valeur
moyenne de i,({).
continu (moteur à excitation en série d'appareils
électroménagers ou de perceuses miniatures par
exemple) en série avec une bobine d’inductance Z
grande (1 H-10 2).
1.3. Fonctionnement sur charge active
Le dipôle D est constitué d’un moteur à courant
continu (moteur-de perceuse miniature ou d’appareil électroménager par exemple).
Reprendre l’étude précédente (paragraphe 1.1.).
La charge est constituée
a) Vérifier que
par un
moteur
constitue
le montage
un
à courant
variateur
de vitesse.
b) Relever les oscillogrammes des courants et ten*
sions
pour
un
retard
;
à l’amorçage
de
I
a“? rad
par exemple.
285
3. Étude d’un onduleur de tension, autonome, monophasé, à ondes rectangulaires
À =
Le montage est celui de la figure 14.41.
3.1. La charge est un dipôle D inductif (circuit R, L)
Ce dipôle D est consitué par une bobine (1 H-10 Q),
en série avec une résistance (10 Q-10 W).
2x VLC
Pour cette valeur de Z, faire varier R.
U et Z étant les valeurs efficaces de
et i, effectuer
les relevés nécessaires au tracé de la courbe représentative de : U=/f(1).
e Relever les formes des courants et des tensions.
Interpréter.
e Observer que si la charge est très inductive
(supprimer pour cela la résistance), l’intensité z(t)
du courant dans la charge est presque triangulaire.
3.2. La charge est un circuit R, L, C
Au dipôle (R-L) précédent est ajouté, en série, un
condensateur de 20 LEF.
On effectuera deux sortes de mesures :
e À fréquence f, fixe (par exemple 50 Hz)
Étudier l'influence de l’inductance ZL de la bobine
sur la forme du courant.
Noter en particulier la valeur de L pour laquelle le
courant est pratiquement sinusoidal et en phase
avec le fondamental de v. Comparer cette valeur à
la valeur Z, correspondant à la résonance du circuit
de charge :
e À fréquence variable
R, Let
COsontAfixés
R=10Q,
L=0,5H,
C=20 UF. On note f, la fréquence de résonance
correspondante (proche de 50 Hz). Ajuster la fréquence / de la tension de commande v»8 de manière
à réaliser l'égalité f = {,. Observer ce qui se passe si f
devient supérieure à /f, puis inférieure. Interpréter.
Reprendre cette expérience avec les valeurs suivantes : R = 10 Q, L=0,24H, C= 4,7 uF qui correspondent à f, = 150 Hz. Ajuster la fréquence f de
la tension de commande
v;g de manière à réaliser
légalité f == (f est donc voisine de 50 Hz et le
circuit R-L-C est alors accordé sur l’harmonique 3
de la tension . Relever les oscillogrammes correspondant à cette situation et interpréter.
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
REPONSE(S)
[14.01. ]Les diodes du montage de la figure 14.48
sont parfaites; u, et u, sont deux tensions sinusoidales de valeur efficace 12 V. La conduction est
continue : l’intensité À n’est jamais nulle. Quelle
est l'indication d’un voltmètre magnétoélectrique
continu branché entre A et B?
[14.02. |Dans le montage de la figure 14.49 les
diodes sont supposées parfaites. L’inductance de la
bobine a une valeur suffisante pour que l’on puisse
admettre que l’intensité À est constante. La valeur
moyenne de l’intensité du courant qui traverse une
diode est 2 A. Quelle est la valeur de R?
R : 7,8 Q; 8,0 Q; 10,8 ©; 18,0 ©.
R : 6,0 V; 10,8 V; 12,0 V; 21,6 V.
48 V
50 Hz'Ÿ
Fig. 14.48.
286
Fig. 14.49.
Un pont de Graëtz monophasé (4 diodes),
supposé parfait, est alimenté sous une tension sinusoïdale de valeur efficace 24 V. Il alimente une
résistance qui dissipe une puissance de 48 W.
Quelle est la valeur de cette résistance?
R : 9,73 Q; 12,0 Q; 19,5 Q; 24,0 Q.
14.07. | Un hacheur série parfait est alimenté sous
la tension constante U = 120 V. La charge est une
résistance de 10 Q en série avec une inductance Z.
La puissance moyenne dissipée dans la résistance
est 432 W. Quelle est l'intensité moyenne du courant qui traverse R? (On supposera le courant
parfaitement continu.)
R : 1,8 A; 3,6 A; 6,57 A; 43,2 A.
L’angle d’amorçage des thyristors, supposés parfaits, du montage de la figure 14.50, est
90°. Quelle est la valeur efficace de la tension u?
7
LIU V; 156 V.
a=0,8
rompu
Un hacheur série de rapport cyclique
fournit à une charge un courant ininterdont l’intensité a pour valeur moyenne
1,8 A.
Quelle est l’intensité moyenne À, du courant
traverse la diode de roue libre?
qui
R : 0,36 A; 0,45 A; 1,44 A; 1,80 A.
220V
50 Hz
u
Fig. 14.50.
Le dispositif représenté sur la figure 14.52
est un onduleur de tension. On suppose que l’intensité À, à un instant donné, est positive. Si, à cet
instant, de l’énergie est fournie à la charge par l’un
des deux générateurs G, et G; de fé. m. E, quel est
le générateur concerné?
R : G;, G:.
La tension # appliquée au montage de la
figure 14.51 est sinusoidale. La diode D et le
thyristor T sont parfaits. Pour un angle de retard à
l’'amorçage
du
thyristor
de
;rad,
l'intensité
moyenne du courant qui traverse T est 2 A.
Quelle est l'intensité moyenne du courant dans D?
M 0A:1A;:2
À; 4 A.
R
Fig. 14.52.
Pour le même onduleur que dans la question précédente, à un instant déterminé, l’intensité À
est positive, mais la phase de fonctionnement considérée est maintenant une phase de récupération.
Quel est l'interrupteur électronique qui conduit ?
Fig. 14.51.
R : D,, H,, D;, H.
Un hacheur série, alimenté par une source
de tension continue U = 220 V, est chargé par un
moteur. Le rapport cyclique est 0,25. Quelle est, en
admettant que tous ces éléments sont parfaits, la
tension moyenne aux bornes du moteur?
Pour le montage de l’exercice précédent,
quelle est la tension , aux bornes de l'interrupteur
électronique H, pendant la phase de récupération
ou l'intensité i est positive sachant que E = 12 V?
07:05
R : 6 V; 12 V; 24 V; 48 V.
y; 220 V; 275 V.
287
Exercices résolus
14.12. | Les diodes du dispositif redresseur de la
figure 14.53 sont supposées parfaites.
Application numérique
rer s]V s WG]
Pl
2
2° La charge est une résistance R de 10 Q
2.1. Intensité moyenne Z, du courant
L’intensité moyenne J, du courant dans la résistance
R est égale à :
I.=
le
soit :
Fig. 14.53.
TE
>
1° La tension moyenne redressé U, est égale à 15 V.
Quelle est la valeur efficace F de la tension sinusoïdale »?
2.2. Intensité maximale ?, du courant dans une
diode
L:
L’intensité maximale ;,, du courant dans une diode
est aussi l'intensité maximale ; du courant dans la
charge. Si v est la valeur maximale de la tension
2° La résistance R est égale à 10 Q. Déterminer :
d’entrée y nous pouvons écrire :
2.1. l’intensité moyenne Z, du courant débité par le
montage dans la résistance R;
2.2. l'intensité maximale
une diode;
#7, du courant qui traverse
2.3. l’intensité moyenne
Z,. du courant
dans
diode;
2.4. l’intensité efficace Z du courant dans la charge;
2.5. l’intensité
diode.
efficace
Z,F du courant
dans
sit
= (SP
V2)àà
une
une
3° On remplace R par une batterie d’accumulateurs
de f.é.m. E = 12 V et de résistance interne R'. Cette
batterie est rechargée par le redresseur.
3.1. Quelle est la valeur de R' si l’intensité maximale du courant qui traverse la batterie est 5,8 A ?
3.2. L’intensité moyenne du courant qui traverse la
batterie vaut 2,5 A. La capacité Q de la batterie
est de 30 Ah.
Quel est le temps nécessaire à la charge de la
batterie?
2.3. Intensité moyenne Z,< du courant dans une
diode
Chaque diode conduit pendant une alternance sur
deux. L’intensité moyenne 7, du courant dans une
diode est donc égale à :
soit
:
Dec LE
A
>
Lc
= 0,75 A
2.4. Intensité efficace Z du courant dans la charge
La valeur efficace U de la tension aux bornes de la
charge est égale à la valeur efficace V de y (redressement double alternance-charge résistive) U= Y.
L’intensité efficace Z de i dans la résistance R est
donnée par la loi d’'Ohm :
Im U
R
SOLUTION
1° Valeur efficace F de la tension sinusoïdale »
La valeur moyenne U. de u s'exprime en fonction
de la valeur efficace V de la tension d’entrée v par
la relation :
u.-2V2y
T
soit :
2.5. Intensité efficace Z,,K du courant dans une diode
Chaque diode conduisant une alternance sur deux,
l'intensité efficace Z,,- du courant dans une diode est
égale à :
7
I
DFE
v2
D'où la valeur de F:
V =
T
2V2
288
1= (7) À >
U..
soit
k
be=( 5 )A >
2
Le
=
1,18
À
=
3° La charge est une batterie d’accumulateurs
3.1. Résistance R'
L’intensité maximale du courant qui traverse
batterie a pour expression :
D'où :
2.3. Quelle est la valeur moyenne de l'intensité du
courant qui traverse chaque interrupteur?
la
R'=
3.2. Temps de charge
Le temps nécessaire à la recharge de la batterie est
donné par la relation :
:=
3.2. Les passages à zéro de l’intensité du courant
dans la charge sont décalés en retard de T/8 par
rapport à ceux de la tension (fr). On assimile le
courant qui traverse la charge à un courant sinu= 0,4 A.
soïdal d’intensité maximale
e Donner la forme de l'intensité du courant.
e Préciser les éléments commandés
et les éléments
qui conduisent pendant une période.
1°
Q
c
Nous exprimons Q en ampères-heures pour obtenir
t en heures:
D 220
nt
3° La charge est maintenant de nature inductive.
3.1. Pour pouvoir utiliser l’onduleur sur une telle
charge, il faut ajouter aux bornes de chaque interrupteur H une diode. Préciser le branchement de
chaque diode.
=
t=12h
SOLUTION
1° Phases de conduction
Sur une période, les éléments qui conduisent sont :
e de O0 à 7/2 : (H,, H,);
e de T/2à T : (H,, H;).
14.13. |Un onduleur à 4 interrupteurs électroniques, fonctionnant simultanément deux par deux
(fig. 14.54), est alimenté par un générateur de f.é. m.
E = 24 V. La forme de la tension #(1) est celle de
la figure 14.55.
e Uy=E.
2° Charge résistive
2.1. Allure de i(f)
La tension # aux bornes de la résistance R est telle
que u = Ri. D'où :
ri
pe
R
100
(i(A).
La courbe i(t) a même forme que la courbe u(t)
(fig. 14.56).
Fig. 14.56.
2.2. Puissance P dissipée dans la charge
La valeur moyenne de l’intensité ; est nulle, mais sa
valeur efficace est 0,24 A. La puissance moyenne
dissipée dans la résistance R se calcule à partir de la
valeur efficace du courant qui traverse R (effet
Joule) :
Fig. 14.55.
P= RI2> P=[100 x (0,24}] W > |P= 5,76 W
1° Préciser les phases de conduction de chaque
interrupteur sur une période, ainsi que la valeur de
Un.
2° La charge est une résistance de 100 ©.
2.1. Donner
l'allure
de l’intensité
du courant
qui
traverse cette résistance.
2.2. Quelle
charge ?
est Ja puissance
dissipée
dans
la
2.3. Valeur moyenne de l'intensité du courant
La forme de l’intensité du courant qui traverse un
interrupteur (H;, par exemple) est donnée sur la
figure 14.57. Appelons S l’airé d’un créneau.
L’intensité moyenne du courant est donnée par
l'expression :
—
Im
S , —
77 ln
289
3.2. Éléments commandés
La charge étant inductive, le courant est en retard
sur la tension. La figure 14.59 fournit la forme du
courant ainsi que les éléments commandés et les
éléments passants.
Fig. 14.57.
3° Charge inductive
3.1. Branchement des diodes
Les diodes doivent permettre la circulation du
courant dans le sens cathode-anode de chaque interrupteur. Elles sont montées tête-bêche sur chacun
d’eux (fig. 14.58).
Eléments
passants
Eléments
commandés
Fig. 14.59.
Fig. 14.58.
Exercices à résoudre
Dans le montage de la figure 14.60 les
diodes sont parfaites ; e est une tension sinusoïdale
de valeur efficace 220 V et de fréquence 50 Hz. La
bobine B, de résistance négligeable, a une inductance suffisamment grande pour que le courant
d'intensité À soit constant, sans ondulation :
i=1=5A.
3° la valeur de R;
4° la valeur maximale
bornes d’une diode.
de la tension
inverse
aux
|14.15. | Un pont redresseur à 4 diodes est, par
l'intermédiaire d’un transformateur, alimenté par le
réseau 220 V-50 Hz.
Il alimente un récepteur de f.é.m. E' =90 V et de
résistance R'=2,0 Q en série avec une bobine de
résistance négligeable et d’inductance L assez grande
pour que le courant dans la charge puisse être
considéré comme constant et de valeur 10 A.
Les diodes et le transformateur sont supposés parfaits.
1° Quelle est la valeur efficace de la tension aux
bornes du secondaire du transformateur?
Fig. 14.60.
2° Quel est le rapport de transformation du transformateur?
1° Expliquer le fonctionnement du montage et dessiner les tensions (1) et uy(t).
3° Quelle est la puissance moyenne dissipée :
HECAICUIEr:
3.2. dans la résistance R' uniquement?
2.1. la valeur moyenne de la tension w;
4 Quelle doit être la puissance apparente du transformateur?
2.2. la valeur efficace de la tension u;
290
3.1. dans le récepteur?
[14.16. | Un transformateur fournit une tension
secondaire de fréquence 50 Hz et de valeur efficace
V = 15 V. Il alimente un pont de Graëtz formé de
quatre diodes qui alimente
Une tension continue
l'entrée du hacheur.
U= 750 V est appliquée
à
une charge sous une
tension w, de valeur moyenne # = U,. Un condensateur électrochimique est branché à la sortie du
pont; celui-ci est susceptible d’alimenter un récep-
teur.
1° Sachant qu’à vide (lorsqu'il n’y a pas de récepteur), le condensateur se charge sous la tension
maximale Ÿ qui lui est appliquée, donner l’expres-
sion de VU, et calculer cette valeur.
—
2° Le récepteur est traversé par un courant dont
l'intensité moyenne est Z. On note alors que la
tension moyenne U, décroît de 1,0 V quand 7
augmente de 1,0 A.
A la sortie du redresseur on branche une batterie de
f.é. m. E = 12 V en série avec une résistance de protection R, = 4,7 Q. Quelle est l'intensité moyenne
du courant de charge de la batterie? Quelle est la
tension moyenne entre les bornes de sortie du pont ?
3° On suppose que Z prend la valeur / = 1 A. On
s'intéresse à l’ondulation Au de la tension (ft).
Quelle est la période T”’ de u(1)?
On admet que, pendant une période 7”, le condensateur se charge pendant une durée A, = e et se
décharge pendant une durée Ar, = 2. Quelle est la
quantité d'électricité AQ qu’il fournit à la charge
pendant cette durée Ar, ?
Déterminer la capacité C du condensateur pour que
la diminution de tension Au correspondant à la
durée Af soit égale à 1 V? On rappelle que les
grandeurs AQ, Au et C, sont liées par la relation :
AQ = CAu.
Fig. 14.61.
1° Pour la valeur «= 2/3 du rapport cyclique :
1.1. Donner l'allure des courbes v(1) et wi(t).
1.2. Quelle est la valeur de la f.é. m. E du moteur?
2° La valeur moyenne de l'intensité du courant qui
traverse le moteur
tanées de i sont :
est 340 A. Les valeurs
instan-
e à l’intant 0 : = 233 A;
e à l'instant aT : i = 447 A.
Les courbes de variations de i({) sont assimilables à
des segments de droites.
2.1. En fonction du temps, représenter les intensités
des courants dans le moteur, dans le hacheur H
et dans la diode de roue libre D.
2.2. Quelle est la valeur de l’inductance L?
Un onduleur de tension (fig. 14.52) fournit à sa charge un courant
dont l’intensité i(t) a
la forme représentée sur la figure 14.62.
Un hacheur série parfait est alimenté sous
une tension continue U = 220 V.
1° La charge du hacheur est une résistance de 55 Q
dans laquelle le courant peut être considéré comme
constant.
1.1. Calculer l'intensité du courant qui traverse la
résistance ainsi que la puissance dissipée dans la
résistance en fonction du rapport cyclique x.
1.2. Application numérique : & = 0,50.
2° Le hacheur alimente,
maintenant,
un moteur à
excitation indépendante dont la f.é.m. vaut 140 V
pour «= 2/3 et dont la résistance de l’induit est
égale à 1,2 Q.
On admet que le courant dans le moteur est
pratiquement constant.
Quelle est l’intensité de ce courant ?
Fig. 14.62.
1° Quelle est la fréquence
l’onduleur?
de fonctionnement
de
2° Dire quels sont pendant une période :
2.1. les éléments commandés;
2.2. les éléments conducteurs.
Un
hacheur
série, parfait,
alimente
un
moteur de traction électrique (fig. 14.61). La tension
aux bornes du moteur se confond avec sa f.é. m. £.
Le hacheur est commandé par un système périodique à la fréquence f = 600 Hz.
3° Quelle est la valeur maximale de l’intensité du
courant qui traverse :
3.1. un interrupteur H;
3.2. une diode de récupération?
291
Un onduleur de tension (fig. 14.54)
délivre à sa charge la tension w représentée sur la
figure 14.63.
M
Fig. 14.63.
1° Indiquer les éléments qui sont commandés
dant une période.
pen-
2° Cet onduleur est appelé onduleur de tension à
commande décalée. Justifier son nom.
Fig. 14.64. R, : 200Q-10W;R, : 47Q-10W/;
3° Monter que la valeur efficace de la tension
a pour expression :
G : batterie d'accumulateurs dont la f.é.m. E est rendue réglable en prenant
un nombre plus ou moins grand d'éléments, ou alimentation stabilisée
réglable pourvue d'un condensateur de 4700 4F en parallèle sur l'entrée.
Le transformateur est élévateur de tension : 12 V-220 V; 50 Hz; 63 VA.
CPR
=
x
ÊT
ENI1-—.
APE
14.21. | Le générateur électrique de secours d’un
établissement est un onduleur monophasé alimenté
par une batterie d’accumulateurs de f. é. m. E = 96 V
(pour son principe voir la figure 14.64).
L’onduleur fournit une tension alternative de valeur
efficace U = 220 V, et un courant sinusoidal d’inten-
sité efficace 7 = 25 A. Le facteur de puissance cos
de l'installation alimentée par l’onduleur est égal à
0,90. Le rendement #7 de l’onduleur est 85 %.
292
T : transistors de puissance NPN (BD 711 et 2N3055) montés sur dissipateur thermique 10 W;
1° Quelle est l’intensité
débité par la batterie?
moyenne
J
du courant
2° Quelle doit être la capacité de la batterie
d’accumulateurs pour que l'installation de secours
puisse fonctionner pendant 6 heures sans être
rechargée?
Chapitre"15
CONVERSION D'ÉNERGIE
MACHINES TOURNANTES
m1. MACHINES À COURANT CONTINU
MOTEUR
ÉNERGIE
FOURNIE
ÉLECTRIQUE
Une machine à courant continu est un convertisseur d’énergie.
UTILE
La figure 15.01 symbolise les deux possibilités de conversion :
ÉNERGIE
MÉCANIQUE l'énergie électrique est transformée en énergie mécanique dans
PERTES D'ÉNERGIE
[ea
=
27
ZÉ
GE
ÉNERGIE
pa
Z
UTILE
le fonctionnement en moteur, et l’énergie mécanique est
transformée en énergie électrique dans le fonctionnement en
génératrice. La machine à courant continu est un convertisseur électromécanique.
L'énergie mécanique est présente sous forme d’un couple, de
moment 7, susceptible de tourner à la vitesse angulaire ©;
l'énergie électrique, pour sa part, se manifeste sous forme de
tension et de courant continus, ou, plus généralement, unidirectionnels.
ÉNERGIE
_ ÉLECTRIQUE
1.1. Description simplifiée
PERTES D'ÉNERGIE
Fig. 15.01.
Représentations normalisées d'un mioteur à courant continu (pour une génératrice il suffit de remplacer la lettre M par G).
La figure 15.02 représente un petit moteur de servomécanisme
(coupe transversale schématique). Il se compose essentiellement :
— d’un circuit magnétique comportant une partie fixe, le
stator, et une partie tournante, le rotor, ces deux parties étant
séparées par un entrefer ;
— d’un inducteur formé d’aimants en ferrite constituant une
source de champ magnétique;
— d’un circuit électrique, appelé induit, obtenu en associant en
série des conducteurs logés dans des encoches du rotor;
— d’un collecteur formé d’un ensemble de lames de cuivre
isolées latéralement les unes des autres et disposées suivant un
cylindre, en bout de rotor.
Deux balais (fig. 15.03), portés par le stator, frottent sur les
lames du collecteur.
Levier de pression
Axe de support
de porte-balai
Collier de
Fig. 15.02. Moteur à aimants permanents. La
culasse, en fer doux, porte deux aimants en ferrite
qui constituent
les pièces polaires.
Fig. 15.03. Balai d'une machine à courant
continu.
293
Fig. 15.04. Coupe simplifiée d'une machine à D
courant continu, bipolaire, à inducteur bobiné.
Les conducteurs de l'induit, non représentés sur la
figure, sont normalement logés dans les encoches
du rotor.
Encoches pour
Rotor (induit)
les conducteurs
Collecteur
de l’induit
TS
et balais
Stator
GA
Bobines
(inducteur) a
d’excitation
Entrefer
Remarque
L’inducteur de ce moteur est formé d’aimants. Il comporte
seulement un pôle nord et un pôle sud : cette machine est
Fig. 15.05. Mise en évidence du fonctionnement
en moteur et du fonctionnement en génératrice.
La machine M,, est alimentée par une source de
tension continue réglable; la machine, M,, est
réunie à un petit rhéostat dans lequel elle peut
éventuellement débiter un courant. Ce rhéostat
constitue la charge de M,. Nous obtenons un fonctionnement en moteur pour M, en génératrice
pour M,.
dite bipolaire.
L’inducteur des machines puissantes est formé de bobines,
placées autour des noyaux polaires (fig. 15.04). Elles sont
parcourues par un courant continu appelé courant inducteur ou
courant d'excitation.
1.2. Fonctionnement
m1.2.1. Expérience
e Le dispositif expérimental
représenté
sur la figure
15.05
comporte deux petites machines identiques à celle que nous
avons décrite au paragraphe 1.1.
Elles sont mécaniquement solidaires.
Lorsque nous appliquons une tension U, suffisante entre les
bornes de M, nous constatons que l’arbre de cette machine
tourne. Une tension U, apparaît entre les bornes de la machine
M;; si K est fermé M, peut alors débiter un courant d’intensité
I, dans sa charge R.
Conclusion
La machine M, reçoit de l’énergie électrique et fournit de
l'énergie mécanique : elle fonctionne en moteur. La machine
M, , qui réalise la transformation inverse, fonctionne en génératrice.
e Nous pouvons observer également que lorsque la tension U,
augmente il en est de même de la vitesse du groupe et de la
tension U,.
m1.2.2. F.é.m. de la machine
a) Expérience
Nous reprenons
le dispositif utilisé précédemment (voir
fig. 15.05).
L’interrupteur K étant ouvert, la tension mesurée à vide est
égale à la f.é. m. de la machine M, :
E, ee Us.
Fig. 15.06. La f.é.m. d'une machine à courant
Faisons varier la vitesse de rotation {2 et représentons £;, en
continu est proportionnelle à sa vitesse de rotation.
fonction de {2 (fig. 15.06).
294
|
La caractéristique obtenue est une
traduire ce résultat par l'égalité :
droite.
Nous
pouvons
EQ _ cu,
Conclusion
La force électromotrice d’une machine à courant continu est
proportionnelle à sa vitesse de rotation.
b) Interprétation
1° F.é. m. induite dans une spire
Dans une machine électrique à courant continu, l’enroulement
d’induit est formé de spires qui, en tournant, embrassent un
flux @ variable, dû au champ magnétique créé par l’inducteur.
e Reprenons une machine très simplifiée (fig. 15.07a et b)
comportant une paire de pôles et seulement deux encoches où
sont logés deux conducteurs (un par encoche), réunis entre eux
pour former la spire ouverte AP,P,Q,Q.C.
Nous choisissons un sens positif sur la spire (de P, vers P,), et
plaçons la normale orientée # (règle de la main droite), de
manière à pouvoir donner un signe au flux g qu’elle embrasse :
dans le cas des figures 15.07a et b, o est positif et décroît.
La position de la spire dans l’entrefer_ de la machine est
repérée par l’angle 0 entre l’axe fixe OX (axe des pôles), et
la normale #1.
e Nous supposons que la vitesse angulaire du rotor est constante et égale à {2. L'origine des temps étant choisie de manière
que 0 = 0 pour { = 0, dans ces conditions : 0 =.@1.
Pour simplifier nous admettrons que le flux y embrassé par une
spire est une fonction sinusoïdale de @ (cela suppose que
le champ magnétique dans l’entrefer varie sinusoidalement
avec 6, ce qui est parfois difficile à réaliser exactement).
Comme + est maximal pour 0 = 0, nous pouvons écrire :
p = D cos 0 = D cos(Qf).
Le flux @ peut donc être considéré comme
une fonction de
l'angle 0 ou du temps £.
Fig. 15.07. F.é. m. induite dans une spire.
a) Pour rendre le dessin plus clair, les balais ont
été représentés à l'intérieur du collecteur. En réalité
ils frottent sur la partie extérieure des lames du col-
lecteur.
Le flux maximal embrassé par la spire, lorsque la
normale à coincide avec Ox, est noté ®.
Les f.é.m. induites dans les conducteurs P,P, et
Q, Q, sont figurées par des flèches, comme nous le
faisons habituellement pour des tensions, avec les
conventions suivantes :
— flèche dirigée vers l'avant de la figure : ©
— flèche dirigée vers l'arrière de la figure : @
b) Les pôles ne sont pas représentés mais le plan
neutre est défini par le contour en pointillé.
ñ est la normale à la spire orientée AP,P,Q,0Q, C.
Par commodité, la f.é.m. sinusoidale e, induite
dans la spire est représentée sur la liaison arrière
P,0Q. En réalité, c'est dans les conducteurs P,P,
et Q,Q,, appelés conducteurs actifs, que cette
fém. est induite, car ce sont eux seuls qui
coupent les lignes de champ magnétique.
Dans la situation ci-dessus P,P, est sous lepôle
nord et Q,Q, sous le pôle sud.
e La spire considérée est le siège d’une f.é.m. induite e,,
dont l’expression est donnée par la loi de Faraday (1"F,;.,
chap. 9) :
e, = -< = PQ sin (Qr).
Conclusion
La f.é.m. induite dans une spire est alternative et son amplitude est proportionnelle au produit D (fig. 15.08).
2° Redressement assuré par l’ensemble balais-collecteur
e Pour la machine très simplifiée de la figure 15.07, la fé. m.
e(t) (e(t) = vm — vw) est égale à e, lorsque le balai B, frotte sur
la lame C et le balai B, sur la lame A et à —-e, dans le cas
contraire (voir fig. 15.08). La courbe e(t) a l’allure représentée
sur la figure 15.09 : sa valeur maximale, &, est égale à D, et
sa valeur moyenne e est proportionnelle à £2.
e Les machines réelles comportent un grand nombre de spires
associées en série et régulièrement décalées à la périphérie du
rotor. De ce fait, les f.é. m. induites, régulièrement déphasées
les unes par rapport aux autres de même amplitude ®£2,
s’additionnent à chaque instant (fig. 15.10).
295
Fig. 15.08. Flux embrassé par une spire et f.é. m.
instantanée induite dans la spire en fonction de la
position de la spire tournant à la vitesse Q = C*.
Fig. 15.09. Tension unidirectionnelle (ou «redressée») obtenue à partir de la fé.m. sinusoïdale
induite dans la spire AP,P,Q,Q, C.
Fig. 15.10. Les f.é. m. induites dans les spires du bobinage de l'induit donnent, après redressement,
les f.é.m. e,, e,, e,, e, (dans l'exemple représenté on à considéré quatre groupes de spires
régulièrement décalés). La f.é. m. instantanée de la machine est :
e=e,+e,+e,+e,.
Elle est peu ondulée. Plus le nombre de spires est grand plus l'ondulation relative est faible.
Après redressement par l’ensemble balais-collecteur, la fé. m.
totale est quasi constante. Obtenue à partir de f.é. m. élémentaires dont l’amplitude commune est D), cette f.é. m. totale E
est elle-même proportionnelle à ®(2 Elle a une expression
générale :
E en volts (V)
® en webers (Wb)
{2 en radians par seconde (rad/s).
Fig. 15.11. Fonctionnement d'un moteur à couple
constant.
Sir est le rayon du mandrin, le moment résistant dû
à la masse m est égal à :
T,= mgr.
En régime permanent le moment du couple moteur
utile, T,, est égal à T,. En admettant que le moment
du couple électromagnétique, T.,, est peu différent
deT,on a:
Tom = Mr.
1.3. Couple électromagnétique
m1.3.1. Expérience
e Le moteur M, représenté sur la figure 15.11, agit comme un
treuil soulevant la masse marquée de poids p = mg. À vitesse
uniforme, le moment du couple moteur est égal au moment du
couple résistant lui-même proportionnel à m.
Pour différentes valeurs de m notons l’intensité du courant
dans le moteur.
Fig. 15.12. Moment du couple moteur.
— Si le couple de frottement est faible le moment
du couple utile est pratiquement proportionnel à |
(droite n° 1). Dans ce cas :T,=T,,,=K'.
— Pour certains moteurs présentant des frotte-
ments solides non négligeables, l'intensité du courant à vide, |,, n'est pas nulle. Dans ce cas :
Te TT, (T, Moment
du couple dépertes).
Par conséquent :
T,=K'1-T, (droite
n°2)
296
Des
relevés
effectués
(fig. 15.12),
nous
déduisons
que
le
moment du couple moteur est proportionnel
courant qui parcourt l’induit
à l'intensité du
met
I
Fig. 15.13. Les forces de Laplace créent un
couple de forces de moment résultant T,..
e Interprétation
Sur la figure 15.13 sont représentés deux conducteurs, diamétralement opposés, du rotor d’une machine à courant continu.
Aucune hypothèse n’est faite sur le sens de rotation de l’induit
(le rotor peut même être à l’arrêt).
Les deux conducteurs, placés dans le champ magnétique À sont
soumis à deux forces de Laplace F et F, formant un couple de
forces. Leur valeur commune F, donnée par la loi de Laplace
(1 F2-3-5, chap. 8), est proportionnelle à l'intensité / du
courant qui parcourt les conducteurs.
La somme des moments des couples de forces agissant sur
l’ensemble des conducteurs de l’induit est le moment du couple
électromagnétique (7:,). Nous pouvons écrire :
Ten = K'L.
cm
Pour une valeur 7 de l'intensité du courant dans l’induit, 7,
est le même, que la machine fonctionne en moteur, en
génératrice ou qu’elle soit à l'arrêt (B est supposé constant).
m 1.3.2. Moment du couple électromagnétique
Pour un moteur, avec des orientations convenables pour que
les grandeurs considérées soient positives, si l’induit présente
une f.é. m. Æ et s’il est parcouru par le courant d'intensité Z, il
reçoit une puissance électromagnétique P., = EI. D’après le
principe de conservation de l’énergie, cette puissance est égale à
la puissance développée par le couple électromagnétique tournant à la vitesse angulaire € :
GENÉRATRICE_
{2
avec
Le
D'où
soit :
:
1
Tim = KDI
|E = KDQ
_ KDQI
— TD
Tam En newtons-mètres (Nm)
® en webers (Wb)
I en ampères (A).
Conclusion
Le moment du couple électromagnétique est proportionnel à
l'intensité Z du courant dans l’induit et à la valeur ® du flux
utile sous un pôle; il est indépendant de la vitesse de rotation.
Remarque
|
)
Le couple électromagnétique 7’, est résistant dans un fonctiondans un
© sens du courant { même
conducteur
Fig. 15.14. À, F, forces de Laplace participant à
la création du couple électromagnétique.
En régime permanent un couple extérieur, de
moment T, équilibre les effets des forces telles
que À, etF,.
En génératrice, T' entraîne l'induit et les forces de
Laplace sont résistantes.
En moteur, les forces de Laplace entrainent l'induit
etT', dû essentiellement à la charge entraînée, est
résistant.
nement en génératrice. Il est moteur dans un fonctionnement
en moteur (fig. 15.14).
1.4. Modèle équivalent simplifié
e Pour établir le modèle d’un moteur à courant continu nous
admettons que le flux ® est constant et que le moment du
couple utile, 7,, est égal au moment du couple électromagnétique, Zn:
En régime permanent, un moteur (fig. 15.15) peut être représenté par le modèle équivalent de la figure 15.16. La résistance
R est égale à la résistance de l’induit; E et I sont donnés par
les relations suivantes :
297
Remarque
a) En régime permanent, l’intensité du courant qui parcourt
l’induit ne dépend que du couple résistant.
b) La f.é. m. de la machine ne dépend que de la vitesse
£2(D = C*).
Fig. 15.15. Moteur à courant continu.
Représentation mettant en évidence les grandeurs
électriques et mécaniques considérées. Les grandeurs utilisées pour décrire le fonctionnement d'un
moteur à courant continu sont de nature mécanique, électrique ou magnétique :
1.5. Vitesse du moteur
Exprimons la vitesse angulaire {2 du moteur en fonction de
la tension U et du moment 71.
e grandeurs mécaniques :
n'
T,;Q=2nn=217—
:
7n
TE
e grandeurs électriques : E, |, R, U;
e grandeur magnétique : D.
0-7
È
We
donc :
avec :’ E=U-RI
I=
o-
1:
—=
K®
| _R + Ses
K»
K®D # KD /:1.KD,
(KD} 0
La relation obtenue peut s’écrire sous la forme suivante :
Q=aU-pbT.., (fig. 15.17).
Le terme aU correspond à la vitesse à vide Q,. Le terme DT.
représente la diminution de vitesse due à la charge.
En général ce dernier terme est faible devant {, (car RI < U)et
la vitesse reste sensiblement égale à la vitesse à vide.
Fig. 15.16. Modèle équivalent d'un moteur à courant continu.
Pour une machine fonctionnant en moteur, nous
adoptons évidemment les conventions «récepteur» :U, l'etE sont des grandeurs positives (ce qui
justifie l'emploi de lettres majuscules avec nos
conventions).
Conclusion
La tension d’alimentation fixe la vitesse d’un moteur à courant
continu dans un fonctionnement à flux inducteur constant.
m2, MACHINES A COURANT ALTERNATIF
2.1. Champ tournant
Fig. 15.18. Champ tournant dans l'air.
B,, B, et B, sont trois bobines de 1000 spires
(bobines de transformateurs démontables) munies
de noyaux feuilletés parallélépipédiques. Elles sont
alimentées par un réseau triphasé sous des tensions de 127 V entre phases et neutre. Les sens
des bobinages sont repérés : les bornes homologues sont indiquées par un point.
Distance approximative du centre de symétrie de la
figure aux faces les plus proches des noyaux:
8 cm.
Longueur maximale totale de l'aiguille aimantée :
8 cm.
Fig. 15.17. Caractéristique mécanique d'un
moteur à flux constant.
Le pivot de l'aiguille aimantée doit être situé suivant
l'axe de symétrie du système des trois bobines.
Q=aU-bT,,
Q,=aU.
m2.1.1. Première expérience
En utilisation normale DT, < aU et par conséquent
Trois bobines à noyau de fer, identiques, dont les axes sont
Q=Q,,.
régulièrement décalées de 120° (fig. 15.18) sont alimentées par
298
un système triphasé de courants
Support
fixe
dont les intensités sont les
suivantes :
li = IV2 cos wt
lb = IV2 cos{ora —
l = IV2 cos
Fig. 15.19. Dispositif utilisé pour l'expérience
15.18.
L'aiguille aimantée est ainsi maintenue en position
convenable (en particulier, elle ne peut tomber).
or# mil
Une aiguille aimantée, dont l’axe de rotation est porté par un
étrier (fig. 15.19), est placée au centre du système.
e Alimentons les trois bobines. L’aiguille aimantée tourne
spontanément dans le sens horaire. Sa fréquence de rotation,
mesurée à l’aide d’un stroboscope, est n, = 50 tr/s.
Conclusion
L'ensemble des trois bobines, convenablement alimenté, crée
un champ tournant dans l'air. Celui-ci est mis en évidence par
l’aiguille aimantée dont la fréquence de rotation est exactement
égale à la fréquence des courants qui parcourent les bobines :
LE
0
La fréquence de rotation
fréquence de synchronisme.
Fig. 15.20. La permutation de deux fils de liaison
bobines-réseau entraîne le changement du sens de
rotation de l'aiguille.
du
champ
tournant
est appelée
e Permutons les liaisons des bobines B, et B, au réseau
(fig. 15.20). L’aiguille aimantée tourne encore spontanément
mais dans le sens anti-horaire; sa fréquence de rotation reste
inchangée (n, = 50 tr/s).
Conclusion
La permutation de deux phases provoque
de rotation du champ tournant.
l’inversion du sens
m2.1.2. Deuxième expérience
L’aiguille aimantée est remplacée par un cylindre creux en
cuivre (fig. 15.21). Le système des bobines et son alimentation
sont inchangés.
e Dès que les trois bobines sont alimentées, le cylindre se met à
tourner. La fréquence de rotation observée est assez faible et
dans les conditions de notre expérience, très inférieure à la
fréquence de synchronisme : la rotation est asynchrone.
e Permutons deux phases comme nous l’avons fait dans la
première expérience : nous constatons alors que le cylindre en
cuivre, comme l'aiguille aimantée précédemment, change de
sens de rotation.
2.1.3. Conclusions
Fig. 15.21. Entraînement asynchrone.
Un cylindre en cuivre, monté sur pivot, est placé au
centre du système de trois bobines. Son rayon
est assez faible devant la distance du pivot aux
bobines. ll! est spontanément entrainé à une fré-
quence n inférieure à n, (fréquence de synchronisme) : son mouvement est asynchrone.
(On a mesuré par exemple n = 1200 tr/min pour
n,= 3000 tr/min.)
Ce champ tournant
crée un couple
moteur
qui produit
un
299
mouvement synchrone lorsque le rotor est un aimant, un
mouvement asynchrone lorsque le rotor est un cylindre conducteur.
2.2. Machines triphasées
m 2.2.1. Champ tournant dans l’entrefer
— Le stator des moteurs triphasés comporte des enroulements
convenablement répartis qui, lorsqu'ils sont alimentés par un
système triphasé de tensions, créent un champ tournant dans
l'entrefer de la machine (fig. 15.22a et b).
— La vitesse de rotation {2 du champ tournant est proportionnelle à la pulsation © des tensions d’alimentation et dépend du
nombre de paires de pôles (2p) du champ tournant :
a. ="©.
D
m 2.2.2. Principe du moteur asynchrone
e Le rotor comporte soit un bobinage en court-circuit, soit des
conducteurs massifs. Dans les deux cas, on peut considérer
que le circuit rotorique forme un circuit fermé sur lui-même.
e Sous l’action du champ tournant, des f.é.m. sont induites
dans les conducteurs rotoriques. Ces derniers sont alors par-.
courus par des courants induits (courants de Foucault) et les
actions électromagnétiques entre ces courants et le champ
tournant créent un couple moteur responsable de la rotation
du rotor.
D’après la loi de Lenz, le système réagit en s’opposant à la
cause du phénomène d’induction électromagnétique, c’est-àdire au déplacement relatif du champ tournant par rapport aux
Fig. 15.22. a) Les enroulements statoriques d'un
moteur triphasé, alimentés par un système triphasé
de tensions, créent un champ magnétique dans
l'entrefer de la machine.
b) Ce
champ
est
à répartion
sinusoïdale
c'est-à-dire qu'à un instant t, sa valeur en un point
de l'entrefer est donnée par une fonction sinusoi-
dale qui ne dépend que de la position du point. Par
exemple :
si pour 8 = 0, B(t) =B,, alors sur l'axe OX on a :
((Ox, OX)=8),
B()=B,, cos.
Le champ représenté comporte une paire de pôles
(p = 1) et tourne à la vitesse Q, = do.
La structure du bobinage statorique détermine le
nombre de paires de pôles et par conséquent la
valeur du rapport 4 = p. Pour une alimentation de
fréquence 50 Hz, le champ tourne à l'une des
vitesses suivantes :
etc.
300
n,=50tr/s
avec
2pôles;
n,=25tr/s
avec
4 pôles;
n,=167tr/s
avec
6pôles;
conducteurs rotoriques.
Le champ tourne à une vitesse (2. Le rotor suit le champ
tournant et 1l tourne à une vitesse {2 qui approche 2, tout en
restant obligatoirement inférieure à cette vitesse de synchronisme. En effet, si la vitesse (2 devenait égale à ©, il n’y aurait
plus de déplacement relatif du champ par rapport aux conducteurs, donc pas d’actions électromagnétiques et pas de couple
moteur.
M 2.2.3. Principe du moteur synchrone triphasé
e Le rotor de cette machine est un aimant ou un électro-aimant
alimenté par un courant continu.
e Si le rotor est amené à une vitesse voisine du synchronisme,
la rotation se maintient. Le couple moteur obtenu résulte des
actions électromagnétiques entre le rotor et le champ tournant.
Ce moteur tourne à la vitesse du champ tournant ou vitesse de
s
@)]
synchronisme £2, =—.
P
e Si l’on
fournit
de
l'énergie
mécanique
à une
machine
synchrone elle restitue de l’énergie électrique. Elle fonctionne
alors en alternateur. Le champ tournant induit des f. é. m. dans
les enroulements
statoriques.
m3. MOTEUR ASYNCHRONE A CAGE
Cette étude est limitée au moteur asynchrone triphasé le plus
courant.
3.1. Rotor à cage d’écureuil
Fig. 15.23. Étude expérimentale d'un petit
moteur asynchrone triphasé.
Les indications W, et W, des deux wattmètres
permettent
d'obtenir
la puissance
active
P = UIV3 cos g absorbée par le moteur asynchrone : P=W,+W,. Elles permettent également
de déterminer la puissance réactive :
Q=UI
V3sin = V3(W, -W,)
(voir le chapitre 18-1"° F2-3-5)
e Un rotor à cage d’écureuil porte un système de barres
conductrices, très souvent en aluminium, logées dans un
empilement de tôles. Les extrémités de ces barres sont réunies
par deux couronnes également conductrices.
e L'ensemble ainsi réalisé présente une résistance électrique
très faible : on dit couramment que le rotor est en court-circuit.
e Cette catégorie de rotor entre dans la constitution de nombreux moteurs de petite et moyenne puissance fonctionnant en
basse tension.
3.2. Étude qualitative
e Montage
Le montage utilisé pour cette étude comporte :
— un moteur asynchrone à cage, de petite puissance, alimenté
par un réseau triphasé 220 V (fig. 15.23);
— un frein : le couple résistant, de moment réglable, peut être
exercé à l’aide d’une tresse frottant sur une poulie galbée
solidaire de l’axe du moteur (fig. 15.24).
e Observations et conclusions
— Démarrage : dès qu’il est alimenté le moteur asynchrone
démarre, sans qu’il soit nécessaire de faire appel à des dispositifs auxiliaires. Il prend rapidement sa vitesse de régime, en
charge comme à vide.
Ce moteur présente un couple de démarrage de moment
important.
— Fréquence de rotation
La fréquence de rotation nr’ du moteur :
— est proche de la fréquence de rotation n! correspondant à la
vitesse de synchronisme, mais est toujours inférieure à n; ;
— diminue peu entre la marche à vide et la marche en charge.
Pour le moteur utilisé n{ =3000 tr/min. La fréquence de
rotation reste voisine de cette valeur.
Tresse plate
e Glissement
Par définition, le glissement est égal à :
Ua— Bâti fixe
Fig. 15.24. Ce aïspositif permet d'exercer un
couple résistant réglable.
La présence du dynamomètre D n'est nécessaire
que si l'on veut mesurer le moment du couple
ee et {2 en radians
par seconde (rad/s).
Autres expressions équivalentes :
résistant
T,=(mg-F,)r.
Comme
toute l'énergie mécanique fournie
par le
moteur est convertie en chaleur par frottement, la
durée d'utilisation ne doit pas dépasser quelques
minutes.
n, et n en tours par seconde (tr/s)
n; et n' en tours par minute (tr/min).
301
Le glissement exprime donc l'écart relatif entre la vitesse (ou la
fréquence) de synchronisme et la vitesse (ou la fréquence) de
rotation de l’arbre du moteur.
g est un nombre abstrait (pas d’unité); il peut s’exprimer sous
la forme d’un pourcentage.
Exemple
Glissement g du moteur
nement en charge :
|
utilisé pour un point de fonction-
pate
RE
RE 3 7: 10 NU
Fig. 15.25. Caractéristique mécanique typique
Pour des moteurs de forte ou de moyenne puissance,
glissement à pleine charge n’excède pas 2 à 3 %.
le
sous tension constante.
e P, est le point de fonctionnement à vide.
e P, est le point de fonctionnement nominal.
Si la courbe en noir est la caractéristique mécanique d'une charge entraînée par le moteur (cette
caractéristique dépend de cette charge), le point P
d'intersection des deux caractéristiques est le point
de fonctionnement du groupe.
La partie de la caractéristique tracée en pointillé
dépend beaucoup du type de moteur.
3.3 Caractéristiques électromécaniques
m 3.3.1. Caractéristique mécanique 7, (() ou T, (g)
Son allure (fig. 15.25) traduit trois propriétés importantes :
e le moment du couple de démarrage sous tension nominale est
très important ;
e durant le fonctionnement normal (point de fonctionnement
sur la partie P,Py de la caractéristique), /a vitesse reste très
voisine de la vitesse de synchronisme.
Pour cette portion de caractéristique, le moment du couple est
sensiblement proportionnel au glissement :
T,=Kg
avec: K=C*.
m 3.3.2. Autres caractéristiques
Les courbes de la figure 15.26 montrent comment évoluent le
rendement 7, le facteur de puissance cos
et l'intensité efficace
I du courant en ligne lorsque la puissance utile P, demandée au
moteur varie. Elles renseignent l’utilisateur sur les conditions
de fonctionnement de la machine selon la charge imposée.
3.4, Applications
Le moteur asynchrone triphasé, dont la puissance va de
quelques centaines de watts à plusieurs mégawatts est le plus
utilisé de tous les moteurs électriques. Son rapport coût/puissance est le plus faible.
Fig. 15.26. Caractéristiques typiques sous tension et fréquences constantes.
302
e Tournant à vitesse relativement constante quand il est
alimenté par un réseau à fréquence constante, il peut vaincre,
même au démarrage, des couples résistants importants.
Associés à des onduleurs de tension, les moteurs asynchrones
peuvent fonctionner à vitesse variable dans un très large
domaine.
m4. MACHINE SYNCHRONE
4.1. Alternateur triphasé
m4.1.1. Exemple : alternateur d'automobile
Un alternateur triphasé d’automobile est essentiellement constitué :
— d’un stator sur lequel sont bobinés trois enroulements,
— d’un rotor (fig. 15.27), qui porte un inducteur multipolaire,
bobiné, alimenté par un courant continu grâce à un système de
bagues et de balais.
Fig. 15.27. Alternateur d'automobile démonté. >
L'inducteur
de l'alternateur est aussi le rotor.
Plateau à griffes
Plateau à griffes
(pôle nord)
(pôle sud)
Enroulement
d’excitation
Arbre de rotor
Fig. 15.28. Essai à vide d'un alternateur d'automobile. V est un voltmètre numérique RMS.
m4.1.2. Fonctionnement à vide
L’alternateur (fig. 15.28) est entraîné par un moteur auxiliaire
m (un moteur asynchrone par exemple). Un oscilloscope
permet d’observer les f.é.m. apparaissant aux bornes de
la machine.
Nous constatons que :
e les fé. m. sont alternatives et régulièrement
120 degrés les unes par rapport aux autres;
déphasées
de
e elles ont même valeur efficace;
e pour un courant d’excitation fixé, la fréquence et la valeur
efficace des f.é.m. augmentent lorsque la vitesse d’entraînement augmente ;
Fig. 15.29. Alternateur monophasé à rotor bipo-
e pour une vitesse de rotation constante, la valeur efficace des
fé. m. augmente avec l'intensité du courant d’excitation (la
fréquence ne change pas).
laire. Principe.
— Les signes © et @ définissent le sens positif
adopté pour la spire MM' (respectivement :flèche
vers l'avant et flèche vers l'arrière).
Dans la position représentée ci-dessus, le flux
md.1 3. Interprétation
L
a) Cas d’une spire
embrassé
parlaspire MM" est positif(les lignes de
Pour interpréter les observations précédentes imaginons un
+
io fotrihgles PE So
d'un même pôle traversent MM' dans le même
sens). Nous désignons ce flux maximal par ©.
alternateur très simplifié dont le stator est constitué d’une seule
spire (fig. 15.29) et dont l’inducteur comporte un pôle nord et
un pôle sud.
303
Nous désignons par ® l'amplitude du flux utile résultant
embrassé par la spire. Le rotor tourne à une vitesse angulaire
constante {2 = 2rn (n étant la fréquence de rotation de la roue
polaire exprimée en tours par seconde).
A l'instant initial (= 0), le rotor occupe la position représentée sur la figure 15.29 : la spire embrasse le flux ®.
A un instant / (fig. 15.30), la spire embrasse un flux + tel que :
p = D cos 0 = D cos 21.
Le flux g embrassé variant dans le temps,
induite dans la spire (fig. 15.31) :
Fig. 15.30. À un instant t, l'axe du champ tournant fait un angle 8 avec l'axe de la spire. Alors la
spire embrasse le flux
p=0® cos
e 072
dt
D
une f.é.m. e, est
sin (21
expression de la forme :
e =E, V2 sin œt.
=0 cos Qt.
La f.é. m. e, est sinusoidale :
e de valeur efficace E; :
E, = LILI KDQ
e de pulsation « :
o = Q = 27n
V2
e de fréquence f = es
f=n.
27
—.M
b) Généralisation
ê
——
M
'
Fig. 15.31. Modélisation de la f.é. m. induite.
e Dans le cas d’un alternateur triphasé dont l’inducteur comporte 2p pôles, la f.é. m. induite dans un enroulement présente
les caractéristiques suivantes :
e fréquence
dy
;
e,=-—"= 00 sin Qt
J= pn
E-2
e Valeur efficace
nr
v2
E = KDQ
n : fréquence de rotation du rotor (tr/s)
p : nombre de paires de pôles du rotor.
{
K : constante qui dépend de l’alternateur
® : flux utile maximal embrassé par
une spire (webers)
{2 = 2nn (rad/s).
Remarque
À vide, le flux ® dépend uniquement du courant d’excitation.
En charge, les courants qui parcourent l’induit créent un flux en
général antagoniste. Un dispositif de régulation agissant sur
l'intensité du courant d’excitation est alors indispensable pour
maintenir constante la tension aux bornes de la machine. De
même, un autre dispositif régule la vitesse d’entraînement
lorsque la fréquence doit être maintenue constante (fig. 15.32).
Moteur
thermique
tension
Fig. 15.32. Régulation d'un groupe électrogène.
e La fréquence des courants débités doit rester
constante : un régulateur de vitesse agit sur le
moteur d'entraînement.
e La valeur efficace de la tension de sortie doit
rester constante : un régulateur agit sur l'excitation
de l'alternateur.
304
4.2. Moteur synchrone
e La machine synchrone est réversible : elle peut fonctionner
en moteur (fig. 15.33) et entraîner une charge à une vitesse €
imposée par la fréquence des courants sinusoidaux qui alimentent l’induit :
=
co =
P
2x f
P
(p est le nombre de paires de pôles de l’inducteur).
E
—
Fig. 15.33. Moteur synchrone triphasé,
Lorsque la fréquence du réseau d'alimentation est
constante, la vitesse de rotation du moteur est
constante :
o=0.211
D: #P.
Un enroulement alimenté par un courant
e Le moteur synchrone triphasé est en général un moteur de
grande puissance (1 à 10 MW) fonctionnant sous tension
élevée. Il peut être utilisé, par exemple, pour entraîner des
sinusoïdal (système monophasé) produit
un champ magnétique équivalent à deux
un
MOTEURS ASYNCHRONES
MONOPHASES
champs tournant en sens inverse. Cette
propriété est utilisée dans de petits
moteurs asynchrones à usage domestique.
compresseurs, des pompes, des concasseurs.
Son principal inconvénient est de nécessiter en général
dispositif auxiliaire de démarrage.
e De très petits moteurs synchrones sont utilisés dans les
servomécanismes. Tournant à vitesse constante, ils permettent,
après démultiplication, de réaliser des positionnements augulaires dépendant uniquement de la durée de fonctionnement.
e Moteur autosynchrone.
Les progrès de l'électronique de puissance ont rendu possible le
développement de nouveaux moteurs appelés synchrones autopilotés ou autosynchrones.
Capteur de
position et de
FE
os
C1 /\
||
S
vitesse
Convertisseur
e Si aucun dispositif supplémentaire
n'est mis en œuvre, un moteur asynchrone monophasé doit être lancé au
démarrage. Après le lancement, la rotation du rotor privilégie le champ résultant qui tourne dans le même sens que
lui et affaiblit l'autre, aussi les pertormances d'un moteur asynchrone monophasé, bien qu'inférieures à celles d'un
moteur triphasé, sont-elles très acceptables.
e Pour rendre le démarrage automatique, le moteur asynchrone monophasé
est souvent pourvu d'un enroulement
auxiliaire (on reconnaît celui-ci au fait
que sa résistance est supérieure à celle
de l'enroulement principal). Mis en série
avec un condensateur, cet enroulement
est donc parcouru par un courant
déphasé par rapport à celui qui parcourt
l'enroulement principal. Cela suffit pour
créer un couple de démarrage.
de fréquence
Fig. 15.34. Organisation d'un groupe auto-synchrone.
Les bobines sont en série sous 220 V (bien respecter les positions des bornes homologues).
La figure 15.34 montre le principe selon lequel sont associés le
moteur synchrone et son dispositif d'alimentation. À chaque
instant un capteur détermine la position de l’arbre du moteur et
sa vitesse angulaire. Un bloc d’asservissement contrôle deux
ponts triphasés «tout thyristors» qui agissent en convertisseurs
de fréquence : toute modification de la vitesse du moteur,
résultant d’une modification de la charge, s'accompagne automatiquement d’un ajustement des tensions d'alimentation
délivrées par le convertisseur (d’où le nom de système autosynchrone). Dans le domaine des fortes puissances (motrices de
TGV Atlantique), ces moteurs comportent, comme les alternateurs, des rotors bobinés. Leurs propriétés leur permettent de
305
Petits moteurs asynchrones à spires
de Frager
Ces moteurs sont ceux des pompes
de machines à laver, des ventilateurs
d'ordinateurs, etc. On les appelle encore
moteurs à pôles fendus car chaque pôle
porte une encoche qui délimite sensiblement deux moitiés, l'une d'elles étant
entourée d'une spire de cuivre fermée
sur elle-même (spire de Frager). Le courant induit dans cette spire ajoute son
action magnétisante à celle du courant
parcourant le circuit principal. Le déphasage qui en résulte suffit à privilégier un
sens de rotation : le rotor passe devant
le demi-pôle non pourvu de spire avant
de passer devant l’autre.
remplacer avantageusement les moteurs à excitation en série de
la traction électrique traditionnelle (réglage de vitesse de 0
à 100 %).
Dans le domaine des puissances plus faibles, les rotors sont à
aimants permanents (au samarium-cobalt). Exemple : moteurs
commercialisés sous le nom de MASAP pour Moteur AutoSynchrone à Aimants Permanents). Non seulement ils sont
moins fragiles que les moteurs à courant continu mais, de
surcroît,
leurs
performances
ce qui concerne
30000 tr/min.
m
leur
vitesse
sont
supérieures
maximale
qui
notamment
peut
en
atteindre
MOTEURS PAS A PAS
5.1. Moteurs à aimant permanent
La figure 15.35 représente un moteur très simplifié qui comporte :
e un rotor bipolaire, constitué d’un aimant permanent,
e un stator à 4 pôles munis de bobines inductrices. Les bobines
diamétralement opposées constituent une phase: elles sont
connectées de façon à créer un pôle nord et un pôle sud. En
inversant le sens du courant dans une phase, on permute les
noms des pôles engendrés par les deux bobines.
Fig. 15.35. Principe du moteur pas à pas à
aimant permanent.
Fig. 15.36. Pilotage phase par phase.
— Le moteur est alimenté de façon qu'un courant
continu circule de À vers B. La phase CD n'est pas
alimentée (C,D,).
Dans cette situation, un pôle sud apparaît en À et
un pôle nord en B.
— La succession des modes d'alimentation, symbolisés par les figures b, c et d, entraine la rotation
du rotor par pas de 90 degrés.
306
5.2. Pilotage phase par phase
Alimentons la phase AB en respectant les polarités indiquées
sur la figure 15.36 a.
Le rotor prend une position d'équilibre stable telle que le flux
magnétique dans l’enroulement alimenté à travers chaque
bobine soit maximal (1° F,,4, chap. 8). Supprimons l’alimentation de la phase AB et alimentons la phase CD (fig. 15.36b).
Le déplacement angulaire du rotor qui en résulte est appelé pas
du moteur (90° dans cet exemple).
Par conséquent la séquence d’alimentation A,B_ — C,D_ —
B,A_ — D,C provoque une rotation, pas à pas, dans le sens
horaire (fig. 15.36a à d). La séquence A, B. — D,C. — B,A.
— C, D. provoquerait la rotation dans le sens opposé.
5.3. Pilotage biphasé
Fig. 15.37. Pilotage biphasé.
e Rotation par pas
Alimentons deux phases simultanément comme l’indique la
figure 15.37a : le bobinage présente alors deux pôles sud
consécutifs (en À et C}), et deux pôles nord consécutifs (en B
et D). Il en résulte une nouvelle position d’équilibre du rotor
que ne permettait pas d’obtenir le mode d’alimentation précédent.
La séquence d’alimentation présentée par les schémas de la
figure 15.37 provoque une rotation par déplacements successifs
d’un pas dans le sens horaire.
Fig. 15.38. Principe de la rotation par demi-pas.
e Rotation par demi-pas
Les schémas de la figure 15.38 montrent que la combinaison
des deux modes d’alimentation précédents permet d’obtenir
une rotation par demi-pas.
5,4, Moteurs à réluctance variable
Le rotor, en fer doux, d’un moteur pas à pas à réluctance
variable (fig. 15.39) comporte des dents en nombre différent du
nombre de pôles du stator. Lorsqu'une phase est alimentée
Fig. 15.39. Moteurà réluctance variable.
“(phase AA’ par exemple) elle attire la dent du rotor la plus
proche (ici la dent 1 se place en face de A) afin que l'entrefer
soit minimal et, par conséquent, que le flux embrassé par la
phase AA’ soit maximal. Cette modification relative de la
position des dents du rotor provoque une variation de réluctance
du circuit magnétique (chap. 13).
en
307
Le rotor étant en fer doux, son mouvement ne dépend pas du
sens du courant inducteur.
Avec le moteur considéré l’alimentation de la phase BB’ (après
celle de la phase AA’) provoque un déplacement du rotor d’un
pas de 15 degrés dans le sens horaire. Inversement, l’alimentation de la phase DD’ provoquerait un déplacement d’un pas
de 15° dans l’autre sens. C’est donc uniquement le choix de la
séquence d’alimentation qui détermine le sens de rotation.
Pour ces moteurs, le pilotage biphasé permet également le
déplacement par demi-pas.
5,5. Applications
Les
moteurs
pas
à pas
peuvent
être prévus
pour
plusieurs
centaines de pas par tour. Pour certains, le déplacement
angulaire élémentaire peut être inférieur à un degré.
Ils sont utilisables pour réaliser un positionnement angulure de
grande précision et aussi pour un fonctionnement à vitesse
variable.
Toutefois leur alimentation nécessite la mise en œuvre de
circuits électroniques spécifiques.
Petits moteurs synchrones utilisés pour l'entrainement des programmateurs.
>
Travaux pratiques
1. Machine à courant continu à excitation indépendante
1.1. Plaque signalétique
Sur la plaque signalétique de la machine, relever les
valeurs nominales : Ux, de la tension d’alimentation de l’induit; Z\, de l’intensité du courant dans
l'induit; iN, de l'intensité du courant d’excitation;
ny, de la fréquence de rotation.
1.2. Résistance d’induit
Mesurer la résistance R de l’induit. Pour cela, il est
nécessaire de tourner l’induit à la main, dans un
sens, puis dans l’autre, et de faire plusieurs mesures.
Interpréter. Er particulier, pour la même tension
d’induit U, comparer le rapport des fréquences de
rotation au rapport des intensités d’excitation.
b) Rechercher la tension d’induit minimale (pour
i: = in par exemple) qui permet le démarrage du
moteur. Expliquer le résultat obtenu.
2. Alternateur d’automobile
Ce sont les alternateurs que l’on peut se procurer le
plus facilement. Pour cette raison nous proposons
de les étudier.
tension d’induit
2.1. Informations préliminaires sur l’électricité automobile
L’alternateur est entraîné par le moteur thermique,
grâce à un système de poulies et de courroie; de ce
fait sa fréquence de rotation est supérieure à celle du
moteur et même si celui-ci est au ralenti, l’alter-
réglable
a) Pour i.= in, faire varier la tension U aux bornes
nateur peut jouer un rôle de générateur. Un redresseur est interposé entre l'alternateur et la batterie.
Expliquer.
1.3. Moteur
RS
à vide alimenté
2
de l'induit de RS
sous
Ux, relever n'(U). Recom-
3
;
e
mencer la même opération pour i, = 3 CN
308
La plupart des alternateurs équipant les voitures de
tourisme
sont triphasés, ce qui, par rapport à
des alternateurs monophasés, permet d’obtenir une
puissance supérieure et un courant presque continu.
e F.é.m. sans régulateur
La fréquence de rotation du moteur d’une voiture
est très variable. En l'absence de toute régulation, la
valeur efficace E, de la f.é. m. induite dans chaque
phase de l’alternateur, proportionnelle à cette fréquence de rotation, varierait beaucoup. L'inten-
sité Z, du courant continu débité dans la batterie
par l’ensemble alternateur-pont redresseur, pourrait alors atteindre des valeurs dangereuses pour
l'ensemble du dispositif. Aussi, à l’alternateur proprement dit, est-il associé, outre le pont redresseur
mentionné plus haut, un organe de contrôle appelé
régulateur, qui, comme le pont redresseur, est fixé
sur le stator de l’alternateur (fig. 15.40).
e Rôle du régulateur
Le régulateur diminue la fé.m. E, lorsque la
batterie est suffisamment chargée et que, de ce fait,
sa fé.m. Æ; dépasse sa valeur nominale. Il agit
également sur E, lorsque l'intensité /,,, devient trop
élevée (il est donc sensible à E, et à 4).
2.2. Constitution d’un alternateur d'automobile
Nous ne prenons pas en compte ceux des alternateurs dont l’inducteur est constitué d’aimants
permanents et nous nous plaçons donc dans le cas
quasi général d’un alternateur possédant un enroulement d’excitation et pourvu d'un régulateur électronique.
C'est un alternateur triphasé dont l’inducteur est
bobiné. L'induit est porté par le stator. I! est
constitué de trois bobinages séparés formant les
trois phases. L’inducteur est bobiné, il a une forme
caractéristique : une bobine inductrice unique (voir
fig. 15.27) produit un champ magnétique dont les
lignes prennent naissance le long de l'axe commun à
la bobine et aux plateaux, puis s'épanouissent dans
les six pôles nord. Elles gagnent alors les six pôles
sud en passant par le stator et en traversant au
passage les bobinages de l’induit. La fréquence de
rotation d’un alternateur d'automobile varie beaucoup, puisque celle du moteur thermique auquel il
est directement lié peut passer, suivant le régime de
fonctionnement, de 1 000 à 6000 tours par minute,
Cette variation de fréquence est sans importance
puisque les tensions obtenues sont destinées à
être redressées de manière à produire du courant
continu.
Grâce à sa constitution particulière et à la présence
d'un régulateur, l’alternateur fournit de l'énergie à la
batterie dès 1000 tr/min et fonctionne encore correctement à la fréquence de rotation maximale de
6000 tr/min.
Action du régulateur
Pour agir sur Æ, , on agit sur l'intensité à, du courant
d'excitation
de l'alternateur. Cette intensité à, est
généralement contrôlée par un transistor T, alimenté normalement par le pont redresseur associé à l’alternateur. Cependant, lors du démarrage,
l'alternateur ne fonctionnant pas encore, le courant
d’excitation doit être fourni par la batterie; à cet
effet, lorsqu'on agit sur la clef de contact, on ferme
l'interrupteur K. Lorsque K est ouvert, après la
phase de démarrage, la diode d'isolement, D, évite
la décharge de la batterie dans l’inducteur.
Lorsque la f.6. m. EÆ, de la batterie dépasse sa valeur
nominale, le transistor T, agit sur T, et en diminue
la conductivité. L’intensité 1, est alors réduite. De
même, lorsque l'intensité 2,,, atteint sa valeur maximale, un troisième transistor, T;, qui, comme T;,
est normalement non conducteur, entre alors en
action et dérive une partie du courant de commande
is de T,. La relation 4 = i, — i; — i,, montre que les
effets séparés ou conjugués de T;, et de T; provoquent bien la diminution de in.
Pont redresseur
Fig. 15.40. Alternateur d'automobile,
triphasé,
muni du pont de diodes assurant le redressement.
Le transistor T, est un élément essentiel du régulateur contrôlant le courant d'excitation i,.
L'interrupteur K n'est fermé que pendant l'action du
conducteur de l'automobile sur le démarreur. Ainsi,
en fonctionnement normal, grâce à la diode d'isolement, c'est l'alternateur qui fournit le courant, et
non la batterie.
Action du régulateur (circuit en trait rouge épais).
e Nous supposons que le transistor T, n'est pas
conducteur (i,= 0).
En fin de charge E, augmente, la diode Zener Z
devient conductrice et un courant d'intensité |,
passe par le transistor T,. L'intensité |,étant sensiblement constante, le courant de commande de T,
a une intensité \, qui diminue (\,=1,-1,) ce qui
entraîne une diminution de i,.
e Nous supposons que l'intensité |, devient trop
grande.
L'intensité |} du courant dans R' est sensiblement
égale à |,,, (le courant de base de T, est supposé
négligeable devant |;). Dès que la tension v = R'1;
atteint le seuil de 0,65 V (environ), T, devient
conducteur. Un courant d'intensité \,est dérivé par
T, et i4=i,- 3 l, décroit, ce qui entraine une
diminution dei,
309
L'intensité à, directement commandée par ip,
prend donc une valeur compatible avec le bon état
de la batterie (intensité Z,,, de charge, limitée, et
même annulée si la batterie est totalement chargée).
2.3. Essai de l’alternateur
a) Entraînement de la machine
Choisir un alternateur triphasé dont il est possible
de séparer, en les démontant, d’une part le pont
diodes, et d’autre part le régulateur électronique.
Fixer ces deux organes auxiliaires sur des plaquettes
séparées, en repérant les connexions de façon à pouvoir les reconstituer. De cette manière on pourra
étudier quelques propriétés de l’alternateur seul,
puis de l’ensemble alternateur-redresseur, et, enfin,
de l’ensemble complet alternateur-redresseur-régulateur-batterie.
Pour l’entraînement de l'alternateur, un moteur à
courant continu de 1 kW est la solution la meilleure : il permet de faire varier, dans de grandes
limites, la fréquence de rotation de l’alternateur. Ces
moteurs présentent l'inconvénient d'être coûteux, il
est souvent plus facile de récupérer un moteur de
machine à laver. Celui-ci permet d’obtenir deux fréquences de rotation très différentes (un peu moins
de 500 tr/min, en général, pour le régime correspondant au lavage, et un peu moins de 3000 tr/min
pour l’essorage). Ces moteurs, de type asynchrone,
monophasés, peuvent être alimentés par le secteur.
L’adjonction d’un alternostat permet de les alimenter sous tension réglable et de maintenir pratiquement constante la vitesse angulaire du groupe
moteur-alternateur pour des variations limitées de
charge.
b) Essai à vide
Sur l'alternateur lui-même, observer la forme de la
courbe représentative de la f.é.m. d’un enroule-
ment, pour un courant
d’excitation
fixé (i,= 1 A
par exemple).
Mesurer sa valeur efficace Æ,,, ainsi que les déphasages des différentes f. 6. m. entre elles (120).
Pour une fréquence de rotation déterminée
(n'=2950 tr/min par exemple), tracer la caractéris-
tique à vide E,, = f, (i.).
Recommencer la même opération sur l'ensemble
alternateur-redresseur (fig. 15.41), pour la caractéristique U,, = f,(i.). Noter que cette caractéristique
se déduit de la précédente
tant (U,,= 2,34 E,,,).
par un
rapport
cons-
c) Essai en charge
Il porte sur l'ensemble alternateur-redresseur.
Pour un courant d’excitation fixé, et pour une fréquence de rotation 7, maintenue aussi constante
que possible, relever deux points de la caractéristique de charge U.=g(2). Dans la mesure où
l'on modélise cette caractéristique par une droite,
on assimile l’ensemble alternateur-redresseur à un
générateur de Thévenin ayant une f.é. m. U,, et une
résistance interne r.
|
310
Q
Fig. 15.41. L'aimantation rémanente du circuit magnétique de l'alternateur est en général insuffisante pour que l'alternateur puisse fournir luimême son excitation au démarrage (d'où la présence de la résistance R et
de l'interrupteur K dans le montage complet de la figure 15.40).
Le vérifier en branchant le circuit d'excitation aux bornes P et Q. Pour le
travail proposé, le courant d'excitation (,) est fourni par une Source
auxiliaire, en série avec un rhéostat convenable.
Ces éléments dépendent tous deux de la fréquence de
rotation : la tension à vide U,, est, comme Æ,,, proportionnelle à la pulsation &, et la résistance interne
r, qui est liée à l’inductance synchrone Lw de l’alternateur, augmente également lorsque la fréquence de
rotation r croît («w = 2xn). Cette propriété a un effet
positif : l'intensité du courant traversant la batterie
est automatiquement limitée lorsque la fréquence
de rotation de l’alternateur croît. Vérifier cette propriété en relevant deux autres points de la caractéristique en charge pour une autre fréquence de rotation n;,. On constate que la chute de tension AU,
correspondant à la même variation AZ est d’autant
plus forte que la fréquence de rotation n est élevée.
d) Essai en charge avec régulateur
Cet essai concerne l’ensemble alternateur-redresseurrégulateur, auquel on adjoint une batterie destinée
à être chargée. Observer la manière dont le régu-
lateur réagit à une variation de vitesse de l’alternateur : mesurer les intensités 7, et Z, des courants
traversant la batterie, et correspondant à deux fréquences de rotation différentes n, et 7,. Reprendre
ensuite la même manipulation sans régulateur et,
pour la fréquence de rotation la plus faible, ",, régler
l'intensité à, du courant d’excitation de manière à
retrouver la valeur Z,. Sans modifier i,, repasser à
la fréquence », et noter la valeur Z3 et Æ Si la
valeur de Z, est bien choisie, on constatera l’inégalité : Z, <1; qui prouve l'efficacité du régulateur.
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
Un moteur à courant continu, à excitation
indépendante, fonctionne à flux constant. Il est
alimenté sous 120 V. Sa fréquence de rotation à
vide est de 1 200 tr/min. Quelle est sa fréquence de
rotation à vide sous 60 V ?
R : 10 tr/s; 20 tr/s; 40 tr/s; 80 tr/s.
Une
machine
à courant
continu
fonc-
tionne à flux constant. Pour un courant d’induit de
15 À le moment du couple électromagnétique est
20 Nm. Quelle est la valeur du moment du couple
électromagnétique si le courant d’induit est 30 A?
R : 10 Nm;
à donner.
20 Nm;
15.03. | Une
40 Nm;
machine
réponse
à courant
impossible
continu
fonc-
tionne à flux constant. Sa f.é. m. est de 240 V quand
elle tourne
30 tr/s?
à 1200 tr/min. Quelle est sa fé. m. à
R : 160 V; 240 V; 320 V; 360 V.
Un moteur à excitation indépendante et
constante est alimenté à courant d’induit constant.
Quelle courbe correspond à sa caractéristique mécanique sur la figure 15.42?
R : la courbe 1; 2; 3; 4.
je
©
@
La fréquence de rotation d’un moteur
asynchrone possédant 6 pôles, alimenté à 50 Hz, est
égale à 16,0 tr/s.
Quel est le glissement?
R : 2,67 %; 4,0 %; 4,16 %; 5,33 %.
Un moteur asynchrone alimenté à 60 Hz
tourne à vide à une fréquence proche de
1 800 tr/min. Quel est le nombre de pôles de ce
moteur ?
R : 1; 2; 4; réponse impossible à donner.
15.07. | À
son
point
nomid’un
moteur asynchrone est égal à 120 Nm. Le glissement atteint 4 %. Quel est le moment de son
couple électromagnétique si le glissement devient
égal à 2 %?
nal, le moment
de
fonctionnement
du couple électromagnétique
R : 30,0 Nm; 60,0 Nm; 240 Nm; 480 Nm.
La fréquence de rotation d’un moteur
synchrone alimenté sous tension constante est
n'=1 500 tr/min. Que devient cette fréquence de
rotation si la puissance qu'il fournit diminue de
moitié?
R : 750 tr/min; 3000 tr/min; elle ne change pas; la
réponse est impossible à donner.
15.09. | Un
250 tr/min
alternateur
triphasé
produit
f.é.m.
et
une
tourne
de
à
fréquence
50 Hz. Quel est le nombre de pôles du stator?
R4:
85:12:24
A vide, un alternateur monophasé, à
aimants permanents, fournit une f.é.m. de valeur
efficace 220V lorsque la roue polaire tourne à
500 tr/min. Quelle est la f.é.m. si la roue polaire
tourne à 600 tr/min?
Fig. 15.42.
R : 183 V; 220 V; 264 V; 284 V.
311
Exercices résolus
15.11. | Un moteur à courant continu fonctionne à
u x constant. Il est alimenté sous une tension
U = 220 V. L’induit tourne à la fréquence de rota-
A flux constant la fé. m. est proportionnelle
fréquence de rotation n#'
E, _n
tion #, = 1200 tr/min et il présente une résistance
R=0,2Q
1° L’induit est traversé par un courant d'intensité
I, = 20 A. Calculer :
1.1. la f.é.m. de la machine;
E,
ni;
D'où
n=n 22
E,
ne [1200 » Fe]
2 tr/min
1.2. le moment du couple électromagnétique.
> |n ©1196 tr/min
2° Que deviennent le moment du couple électromagnétique et la fréquence de rotation lorsque le courant appelé par le moteur a une intensité Z, = 24 A ?
LUS JA MN CD 1 AT
EN
ET
Vote rm
1° L’intensité du courant dans l’induit est Z, = 20 A.
1.1. F.é.m. E, du moteur.
La tension U aux bornes de l’induit est donnée par
l'expression :
U=E,
D'où :
+ RI,
E,=U-RI.,.
Soit
: E, = (220 — 0,2 x 20) V >
|E, = 216
V|.
1.2. Moment 7, du couple électromagnétique.
Le moment du couple électromagnétique est égal à :
EE
eml
TE
15.12. | Le bon de commande d’un moteur
chrone porte les indications suivantes :
e tension d’alimentation
couplage étoile;
a) Moment du couple électromagnétique
Le moment 7, du couple électromagnétique d’une
machine à courant est tel que :
e puissance utile : 15 kW; intensité en ligne correspondante : 33 A; facteur de puissance : 0,85; fréquence de rotation dans ces conditions : 720 tr/min.
A l’aide de ces indications, calculer :
1° le nombre de pôles 2p du moteur (le glissement
devant être faible);
2° son glissement en charge g;
3° le moment
Ton æ L
Tomé
1
Term? = Toni” 2.
Il
sit MT tn [344x FilSec
1° Nombre de pôles 2p du moteur
La vitesse de synchronisme nr! exprimée en tours
par minute, s'exprime en fonction de la fréquence f
par la relation :
E; =
312
po ls 000 17hit Pr
P
P
Nous en déduisons le tableau suivant en ce qui
concerne les vitesses de synchronisme possibles :
DL Lee[repefe(s
(tr/min
Ten? = 41,3 Nm
b) Fréquence de rotation du moteur
Le moteur est alimenté sous tension constante
U=220 V. Pour un courant d’induit d'intensité
I; = 24 A la f.é. m. E, est égale à :
Soit:
7, du couple utile nominal;
SOLUTION
Tim = K®I.
Le moteur fonctionnant à flux constant nous pouvons écrire :
:
50 Hz;
OT 344 NR
2° L’intensité du courant dans l’induit est Z, = 24 A.
D'où
: 220 V/380 V;
asyn-
4° le rendement 7 au régime nominal.
2an,
20 PE
>, 1200
60
à la
U-RI,
E=(220
- 0,2 x 24) V > |[E,=215,2V
La fréquence de rotation n'=720 tr/min est inférieure à la valeur n{ cherchée, mais elle est voisine
de celle-ci (le rendement du moteur reste toujours
acceptable). Cela nous conduit à adopter :
Pr
tr/min "A
Le moteur comporte 8 pôles.
2° Glissement g en charge
a
D
4° Rendement 7
Si le moteur absorbe une puissance P, quand il
fournit une puissance P,,son rendement est égal à :
Pl
1-2
nñn;s
g=150-720
a
750
Che 3
3° Moment 7, du couple utile
Ce moment est donné en fonction de la puissance
utile P, par la relation :
é
=
avec
60
RG=
[T
P,= V3UI cosp.
D'où :
1-2
15——
x 103
La puissance P, se calcule au moyen des données
correspondant aux grandeurs électriques du régime
nominal : U= 380 V (tension composée), / = 33 A
(intensité du courant en ligne), cos w = 0,85 (facteur
de puissance du moteur) :
V3 UI cos p
3
PTE
1 2x3,14 x (720/60) 7 ? Lu 19 Nm
&
=
seu
n
V3x 380x 33 x 0,85
Exercices à résoudre
15.13. | Une machine à courant continu fonctionnant à flux constant a pour f.é. m. 238 V. La tension
à ses bornes est 220 V : elle fournit une puissance
utile de 3,3 kW.
1° Fonctionne-t-elle en moteur ou en génératrice?
2° Quelle est la résistance de l’induit ?
[5.14] Un moteur à courant continu fonctionne
à flux constant. L’induit est alimenté sous 220 V et
a pour résistance 0,8 (2. A vide, l’induit est traversé
par un courant d'intensité 1,5 A. En charge, l’intensité de ce courant est égale à 25 A et la fréquence de
rotation du moteur atteint 2 200 tr/min.
Calculer :
1° pour le fonctionnement en charge :
1.1. la fé.m.:
|
Un moteur à courant continu à excitation
indépendante et constante a pour caractéristiques :
e résistance de l’induit : R = 0,8 Q;
e tension d’alimentation de l’induit : U= 130 V;
e intensité du courant traversant l’induit à vide :
lo = 1,2 A;
e intensité du courant traversant l’induit en charge,
à la fréquence de rotation n'= 1200 tr/min :
T2
SA
1° Pour le fonctionnement en charge, calculer :
1.1. la fé. m. du moteur;
1.2. le moment de son couple électromagnétique.
2° Pour le fonctionnement à vide, déterminer
fréquence de rotation du moteur.
la
1.2. le moment du couple électromagnétique;
1.3. le moment du couple utile;
2° pour le fonctionnement à vide :
2.1. la fé. m.;
2.2. la fréquence de rotation.
OS15. | Aux bornes de chaque enroulement d’un
alternateur triphasé dont l’inducteur comporte
4 pôles, on mesure une f.é.m. de valeur efficace
240 V et de fréquence 50 Hz; le flux utile maximal
embrassé par une spire est : ® = 20 mWb.
1° Quelle est la fréquence de rotation du rotor?
2° Quel est le flux utile maximal embrassé par une
spire si la f.é. m. entre deux phases du stator couplé
en étoile est égale à 220 V (50 Hz)?
Un
moteur
asynchrone
triphasé est ali-
menté à 60 Hz par un réseau dont la tension entre
fils de phases vaut 220 V.
Les enroulements du stator sont couplés en triangle.
Lorsque ce moteur entraîne sa charge nominale, il
tourne à la vitesse de 570 tr/min, en donnant en
bout d’arbre une puissance de 2,5 kW. Son rendement est alors égal à 75 % et son facteur de
puissance à 0,8.
Calculer :
1° l'intensité du courant en ligne et l’intensité du
courant dans les enroulements du stator;
2° le glissement ;
3° le moment du couple utile pour la charge nominale.
313
Chapitre 16
ÉNERGÉTIQUE
Dans les chapitres précédents nous avons effectué plusieurs
bilans d’énergie. Nous revenons maintenant sur cette grandeur
physique fondamentale.
m1. TRAVAIL. PUISSANCE
1.1. Travail d’une force
m 1.1.1. Cas d’une force F constante
Par définition le travail W/,, effectué par une force F au cours
A—B
d’un déplacement AB de son point d’application est le produit
scalaire F : AB (fig. 16.01).
Fig. 16.01. Travail d'une force F. Le travail d'une
force constante est indépendant du chemin suivi. 1!
ne dépend que de la position initiale et de la
position finale du point d'application de cette force.
Exemple : travail de pesanteur : \N = mgh, m est /a
masse du corps, g l'intensité de l'attraction terrestre (9,8 N/kg environ) et h la dénivellation entre
les points de départ et d'arrivée.
L'unité de travail est le joule (J) : une force de un
newton dont le point d'application se déplace de un
mêtre dans sa propre direction (1= 0 rad donc
cos x = 1) fournit un travail de un joule.
Dans le cas où la direction de laforce F fait un angle constant
(F, A) -= x avec le déplacement AB, le travail de F a alors pour
expression:
W (1)
Exemple
Un moteur
Wi =néAB-- cos a]
{F(N)
Far
(AB (m)
entraîne
EE.
un treuil soulevant,
à vitesse constante,
une charge M de masse m sur une distance AB = d (fig. 16.02).
Comme (F, AB) = 0, cos(F, AB) = 1. D'où : W,=F:d.
A—B
Remarque
TRAVAIL
MOTEUR
- TRAVAIL
RÉSISTANT
e Si l’angle (F, AB) est aigu, le travail
positif puisque:
0<a<> rad > 0O<cosa<l
+
:
E
La force F efjectue un travail moteur.
Wir) de la force F est
> W,>0.
A—B
Exemple
Dans le cas du treuil :(F. AB)= 0. Le travail de la force F est
positif : Wr,> 0. C’est donc un travail moteur.
Position finale
A—B
e Si l’angle (7, AB) est obtus, le travail Wir) est négatif
puisque:
5 <a<nrad
> —1<cos
a <0 > Wir, <0.
A—B
C'est un travail résistant.
Position
initiale
Fig. 16.02. Travail moteur:l'action de la force F
a lieu dans le sens du mouvement.
Travail résistant : l'action de la force P s'oppose
au mouvement.
314
Exemple
Dans le cas du treuil, au cours du déplacement de la charge M,
l’angle (P, AB) est égal à x, cos (P, AB)= — 1 et W,», est négatif.
A—B
Le poids P effectue un travail résistant au cours de la montée
de la charge.
m 1.1.2. Cas général
Lorsque la force varie ou que le déplacement AB n’est pas une
droite, il est possible de se ramener au calcul précédent. Le
parcours AB est divisé en un très grand nombre de trajets
élémentaires assimilables à des segments de droite (fig. 16.03).
Sur chacun de ces trajets élémentaires la force doit être
constante. Désignons par À la force appliquée lorsque le point
d’application effectue le trajet dZ; le travail élémentaire fourni
par la force est :
dW,=F;: di.
Le travail
Fig. 16.03. Généralisation du travail d’une
force
effectué
lors du parcours
AB
est la somme
des
travaux élémentaires sur les différents trajets définis sur AB.
Nous écrirons :
W{F)=F,: d0,+F,: dé,+..- 5 dé.
A—B
AB
Cas particulier de la rotation
Un solide mobile autour d’un axe est soumis à une force F.
(fig. 16.04). Son point d’application situé à une distance r; de
l'axe de rotation tourne d’un angle do:. Il parcourt une distance
di = r; da;. Le travail de la force F; le long du trajet d/, est :
dWw. = F; ; À do; ;
Le moment
égal à :
de la force F; par rapport à l’axe de rotation est
T; =
D'où :
F; à F; .
dW,=T,; da.
Le travail effectué lors du parcours AB est la somme des
travaux élémentaires sur les différents trajets définis sur AB.
Nous écrirons :
Fig. 16.04. Travail élémentaire d'une force en
rotation. La force F, est tangente au cercle décrit
par son point d'application.
1.2. Puissance
m 1.2.1. Puissance moyenne
Si une force F effectue un travail AW pendant une durée Aï elle
développe une puissance moyenne P :
L'unité de puissance est le wart (W).
m 1.2.2. Puissance instantanée
|
e Définition
Si entre les instants £ et { + dé, df représentant un intervalle de
temps très court, une force F effectue un travail dW, nous
pouvons écrire que la puissance développée est égale à :
n= dt
p représente la valeur de la puissance à l'instant £. Elle est
appelée puissance instantanée.
315
La puissance instantanée d’une force peut varier dans le temps
si la force ou si la vitesse de son point d’application ne sont
pas constantes.
a) Expression de p
Une force F dont le point d'application
cement
effectue
d/ pendant la durée d/, développe
un dépla-
une puissance
instantanée égale à :
Durant
l'intervalle
de temps
très petit d{ considéré,
constant
et le rapport . représente
F est
la vitesse instantanée
Ÿ
du point d’application de la force F.
Fig. 16.05. Solide mobile autour d'un axe. Si le
point d'application de la force F (de module constant) tourne d'un angle à, il parcourt une distance
AB= ra. Le travail de latorce F le long du trajet AB
est :
W (F)= Fra.
AB
Le produit Fr est le moment de la force F par
rapport à l'axe de rotation (4). D'où : W (F)= Tu.
AB
b) Cas particulier de la rotation
Un cylindre mobile autour d’un axe est soumis à une force F de
module constant appliquée tangentiellement à la surface du
cylindre et orthogonalement à l’axe de rotation (fig. 16.05).
Si r est le rayon du cylindre et {2 sa vitesse angulaire à un
instant /, la vitesse y du point d'application de la force à cet
instant a pour valeur :
v = r(2.
La puissance instantanée p développée par la force F est alors :
p=F.ÿ=F:v
soit :
car
(F,ÿ)=0
p = FrQ.
Le produit Fr est le moment
de rotation.
7 de la force F par rapport à l’axe
T' (Nm)
{2 (rad/s)
p (W).
D'où :
Remarque
Cette relation se déduit également de la définition de p.
Une force F, de moment 7 par rapport à l’axe de rotation, et
dont le point d’application décrit un arc de cercle dx en une
durée d', développe une puissance instantanée égale à :
_dW _Tda
at
cedi
La vitesse angulaire instantanée du mobile est égale à :
_ da
dt
Donc :
p = TQ.
1.3. Exemples
m1.3.1. Travail d'une force élastique
Certains dispositifs de mesure du moment d’un couple moteur
d’une machine électrique sont fondés sur la mesure d’une force.
Connaissant la position du point d'application de la force, donc
le bras de levier, il est ensuite possible de déterminer le
moment du couple moteur.
Plaçons-nous dans le cas où le capteur de force est un ressort
Fig. 16.06. Cas d'une force élastique.
316
(fig. 16.06). Soit k la constante de raideur du ressort et 4, sa
longueur initiale. Pour maintenir un allongement x, il faut
exercer sur le ressort une force de traction de valeur F =%Kx.
Allongeons lentement le ressort d’une longueur dx, la force F
fournit le travail :
dW = kx : dx.
Ce travail élémentaire Æx - dx peut être représenté par l’aire du
petit rectangle hachuré (fig. 16.07). Lorsque l’allongement du
ressort passe d’une valeur nulle à la valeur x,,, le travail
effectué est égal à la somme de tous les travaux élémentaires
représentés sensiblement par l’aire du triangle OAB. D'où :
4/
D.
LA!
0x
Fig. 16.07. Travail d'une force élastique (en
choisissant des variations dx très petites, la
somme des aires de tous les petits rectangles est
égale à l'aire du triangle AB).
5
pv À
Ka.
m
m1.3.2. Puissance disponible sur l'arbre d'un moteur
D'une façon générale l’arbre du rotor d’un moteur exerce
‘ par l’intermédiaire d’engrenages, de courroies, … des forces
motrices sur les appareils qu’il entraîne. Ce sont des forces de
contact réparties à la surface de l'arbre qui transmettent la
puissance mécanique du moteur. Ces forces de contact peuvent
être schématisées par des ensembles de deux forces de même
intensité, de même direction, de sens opposés appliquées en des
points diamétralement opposés (fig. 16.08). Ces ensembles
forment des couples dont la somme des moments est le
moment du couple moteur. La puissance de ce couple moteur
este
m2. ÉNERGIE
2.1. Formes d'énergie
Les principales formes d'énergie sont :
e l'énergie mécanique. Exemple : énergie disponible sur l’arbre
d’un moteur;
e l'énergie thermique (ou calorifique). Exemple
sipée par un radiateur;
e l'énergie chimique.
réaction chimique;
Exemple
: énergie
: énergie dis-
fournie
lors d’une
e l'énergie électrique. Exemple : énergie délivrée par un générateur électrique;
e l'énergie rayonnante. Exemple
ondes électromagnétiques ;
: énergie transportée par les
e l'énergie nucléaire. Exemple : énergie produite
fusion ou de la fission de noyaux d’atomes.
L'énergie mécanique d'un système est la
somme de deux énergies : l'une appelée
énergie cinétique (elle est liée à la vitesse),
l'autre appelée énergie potentielle (c'est
l'énergie emmagasinée par le système).
L'énergie produite par le Soleil est d'origine
nucléaire : elle provient essentiellement de
la fusion de deutérium et de tritium (isotopes
de l'hydrogène).
lors de la
2.2. Sources d'énergie
La seule source d'énergie extérieure à la Terre, utilisable
actuellement, est le Soleil.
D'autres sources d'énergie comme les combustibles fossiles
(charbon, pétrole, gaz naturel) et l'énergie hydraulique sont
d'origine solaire : en effet l'énergie chimique du charbon et
des hydrocarbures provient des réactions photochimiques pro317
Exemples d'énergies dites «nouvelles» :
e Énergie éolienne : l'énergie éolienne
n'est utilisée que de façon ponctuelle
(fermes isolées, phares en mer) car pour
les fortes puissances les éoliennes sont
encombrantes et bruyantes,.
e Énergie marémotrice : elle résulte du
phénomène des marées. Un exemple d'utilisation est l'usine de la Rance qui produit
environ 500 millions de kilowattheures par
an. Les pales des turbines sont orientables
afin de pouvoir faire tourner les alternateurs
dans le même sens à la marée montante et
à la marée descendante.
duites par le rayonnement solaire, et l'énergie potentielle de
l'eau emmagasinée dans les barrages provient de l’évaporation
de l’eau des océans.
Depuis quelques années nous assistons au développement de
l'énergie nucléaire utilisée pour la production d'énergie électrique. Le développement des énergies dites nouvelles comme
l'énergie éolienne (obtenue à partir du vent) ou la biomasse
(énergie obtenue à partir de la décomposition de végétaux)
reste limité.
2.3. Transformation de l'énergie
Dans la vie courante nous utilisons de l'énergie sous différentes
e Énergie géothermique : il existe des
formes.
gisements :
— de haute énergie dont certains sont
constitués d'eau et de vapeur d'eau sous
des pressions très élevées. Ces gisements
peuvent être utilisés à la production d'énergie électrique (centrale du Geyser aux ÉtatsUnis d'Amérique dont la puissance est de
que transformer
400 MW);
— de basse énergie : ce sont des nappes
d'eau situées à plusieurs centaines de
mètres de profondeur. La température de
l'eau est voisine de 80 °C, elle est essentiel-
Nous
ne
pouvons
pas
en
créer,
nous
ne
faisons
l'énergie d'une forme en une (ou plusieurs)
autre(s).
m 2.3.1. Exemple
Une machine-outil fournit de l'énergie mécanique pour usiner
une pièce métallique. Cette énergie provient de la transformation d'énergie électrique, absorbée par cette machine, et
fournie par l'alternateur d'une centrale thermique par exemple,
Dans ce cas l'énergie électrique est obtenue à partir de l'énergie
gie et non une unité de puissance.
mécanique d’une turbine à vapeur. Cette turbine permet la
transformation de l'énergie thermique de la vapeur d’eau en
énergie mécanique. Dans le cas d’une centrale classique,
l'énergie thermique transportée par la vapeur d'eau provient de
la combustion de pétrole (ou de charbon) donc d’une transformation d'énergie chimique produite par cette combustion.
Ne pas confondre chaleur et température!
m 2.3.2. Cas particulier des transferts de chaleur
La chaleur comme les autres formes d'énergie s'exprime en joules.
Un transfert de chaleur peut :
a) Expérience
lement utilisée pour le chauffage,
Attention, le wattheure est une unité d'éner-
e faire varier la température.
e induire un changement d'état (une fusion
par exemple) qui a lieu à une température constante.
Une enceinte adiabatique empêche tout
échange de chaleur entre l'intérieur et
l'extérieur de l'enceinte (exemple : calorimètre).
Portons
l’une des extrémités d’une tige de cuivre dans une
flamme. Si nous tenons l’autre extrémité à la main, très
rapidement nous devons retirer cette tige de la flamme pour ne
pas nous brûler : un transfert de chaleur s'est opéré d'une
extrémité de la tige à l’autre,
b) Interprétation
Un solide est un assemblage d'atomes qui oscillent en perma-
nence autour de leur position d'équilibre, Leurs oscillations
sont d'autant plus grandes que la température du solide
est élevée.
Les particules
(molécules
ou
ions) de la flamme
viennent
frapper à très grande vitesse les atomes situés à la surface du
solide et leur transmettent une partie de leur énergie. Les
oscillations de ces atomes s'’amplifient et, de proche en proche,
cette agitation gagne les autres atomes de la tige. Sa température s'accroît : le solide a reçu de la chaleur qui s’est transmise
par conduction.
Plus le milieu est dense, meilleure est la conduction : excellente
conduction dans le fer, le cuivre... très mauvaise conduction
dans l’air, Le vide ne transmet aucune chaleur par conduction.
Remarques
e En chauffant de
observer un double
318
4
l’eau dans un récipient nous pouvons
mouvement des molécules d'eau : l'eau
L'unité S.I. de température est le kelvin
(symbole : K). On utilise aussi le degré
Celsius (symbole : °C).
La capacité thermique dépend de la nature
du corps, elle peut dépendre aussi de la
température.
chaude monte et l’eau froide descend. Le transfert de chaleur se
fait alors par convection.
Des courants de convection se produisent dans un local que
l’on chauffe. A une échelle beaucoup plus grande, dans l’atmosphère, le mouvement des nuages illustre ces courants de
convection.
e Entre le Soleil et la Terre règne le vide cosmique : aucun
transfert de chaleur ne peut se faire par conduction et par
convection. Il s’effectue par rayonnement.
c) Grandeurs calorimétriques
e Quantité de chaleur et capacité thermique massique
La quantité de chaleur Q nécessaire pour élever la températuic
d’un corps de masse m de la température @, à la température
0, est donnée par la relation :
DT
Q()
m (kg)
=
c(-kg'-K!)
6, et 0, (K).
C
où c est une constante pour un corps déterminé. C’est la
capacité thermique massique ou chaleur massique du corps
étudié.
895
Le produit mc est la capacité thermique K du corps :
Exemples de capacité thermique massique
(kgK«
Aluminium
Cuivre
Fer
Plomb
e Capacité thermique
K = mc
ERA
m (kg)
cil:kgl.R!)
d) Échauffement d’un composant électrique
Un composant, de capacité thermique K, reçoit une puissance
électrique constante P. A l'instant où le composant est mis sous
tension
(1=0),
sa
température
est
égale
à la température
ambiante 0,. A l'instant { sa température a une valeur 6.
Peut-on déterminer la loi de variation 0(f)?
Analysons les échanges d’énergie dont le composant est le siège
entre les instants f et f{+ df.
e Le composant reçoit une énergie dW :
dW = P dit.
e Si sa température s'élève d’une quantité d0 c’est qu'il a
emmagasiné une énergie dW, qui ne représente qu’une partie
de l’énergie dW
dW, = K de.
e Dans le même intervalle de temps d', une énergie dW, est
dissipée par ce composant par conduction. Cette énergie est
proportionnelle à la différence de température entre le com-
posant et le milieu ambiant soit sensiblement (0 — 0.) :
Il
d
W, 2 = R— (0
( — 0,)
) dt.
th
Dans cette expression R; représente une constante appelée
résistance thermique du composant. Elle dépend du composant (surface extérieure en contact avec le milieu ambiant,
couleur).
Nous avons donc l'égalité :
dW = dW, + dW..
319
Soit :
P dt = K d0 + = (0 0.) dr.
th
Cette équation s'écrit aussi :
RKT + (0-0) = Ra.
C’est une équation différentielle. Sa résolution permet de
déterminer la loi O(f) qui traduit la variation de la température O0 du composant en fonction de la durée de fonctionnement.
Conséquences
e Régime transitoire
Durant cette phase, la température du composant s'élève (son
énergie interne s'accroît). La solution de l’équation s'écrit :
0-0, = RyP(1 — 6 RE),
e Régime permanent
Après une durée suffisamment
longue,
la température
du
composant reste constante (0= CE > e e 0).
L'énergie
reçue
est alors
égale
à l'énergie
dissipée
par le
composant. La température du composant peut être déterminée
au moyen de la relation :
0-0,
=R,;
P.
Remarque
L’équation différentielle obtenue précédemment reste utilisable
si la puissance reçue par le composant n’est pas constante. La
résolution mathématique de l’équation obtenue n’est pas toujours possible (voir exercice 16.10).
m 2.3.3. Conservation de l'énergie
a) Principe
L'énergie totale d'un système isolé reste constante.
b) Exemple d’application
Un moteur électrique en fonctionnement reçoit de l'énergie
électrique W, qu’il transforme partiellement en énergie mécanique W,. Une partie de l’énergie reçue est dissipée sous forme
d'énergie thermique W, dans les conducteurs (pertes par effet
Joule) et dans la carcasse magnétique (pertes dans le fer).
Appliquons le principe de la conservation de l’énergie puisque
le système est isolé :
W.=W,
+W..
Remarque
Du fait des pertes d’énergie mécanique dues aux frottements
(énergie W:), une partie seulement de l'énergie W,, peut être
utilisée (énergie mécanique utile W,). Nous pouvons écrire :
W, = W,+ Wi+ W.
& 2.3.4. Unités
L'unité S.I. d'énergie est le joule.
Parmi les unités usuelles citons :
.
— le wattheure (Wh) : il est utilisé pour exprimer les quantités
d'énergie électrique : 1 Wh = 3 600 J;
320
— la tonne équivalent pétrole (t.e.p.) et la tonne équivalent
charbon (.e.c.) : ces unités sont utilisées par les économistes
(1 t.e.p. = 42 GJ et 1 t.e.c. = 28 GJ, voir exercice 16.19):
— l’électron-volt (eV) : cette unité est utilisée pour exprimer les
énergies des particules (électron, atome, ….);
leV= 1640"
2.4. Puissance et rendement
m2.4.1. Puissance
Une machine absorbe (ou fournit) une énergie moyenne AW
pendant une
relation :
Fig. 16.09. Transfert de puissance.
durée
A.
Sa
puissance P est
W (1)
définie
par
la
At (s)
P (W).
m2.4.2. Rendement
La conservation de l’énergie implique la conservation des puissances. Reprenons l’exemple du moteur du paragraphe 2.3.3.
Nous avions :
W.=W,+W.+W.
En régime permanent, les puissances mises en jeu sont constantes et si le moteur absorbe une énergie électrique W.
pendant une durée ! :
L
!
W
e la puissance absorbée est : P, = La
e la puissance utile est : P, =
Wu
e et la puissance correspondant aux pertes est : p =
W:+W.
:
La conservation des puissances donne alors :
P, = Pi p.
Le rendement est le rapport entre
puissance absorbée (fig. 16.09) :
la puissance
utile et la
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
Une voiture est en translation rectiligne à
la vitesse constante
[16:01 ]Un treuil soulève, à vitesse constante, une
charge de 1 000 N d’une hauteur de 10 m. Calculer
le travail exercé par la force motrice agissant sur la
charge.
y = 60 km/h. La force motrice
est de 600 N. Quelle est la puissance développée par
cette force motrice?
R : 102 W; 1,0 KW; 10 kW; 100 kW.
R : 104 W; 102 J; 104 Nm; 10*.
Une chute d’eau a un débit de 10 m?/s. Sa
dénivellation
est de
10 m.
Calculer
la puissance
mise en jeu (le poids de 1 m* d’eau est d’environ 10*N).
R : 10? MW; 10* MW; 105 MW; 1,0 MW.
Deux machines M, et M, sont mises en
cascade. Le rendement de la première est 7, = 90 %,
celui de la seconde est 7: = 80 %. Quel est le
rendement de l’ensemble?
R : 65 %; 72 %; 85 %; 87 %.
321
16.07. | Quelle est l'énergie électrique consommée
La
chaleur
massique
du
fer est
c = 460J : kg”! - K-!. Quelle est la capacité calorifique X d’un bloc de fer de masse m = 2 kg?
par un moteur
pendant 8 h?
R : 230 J - K-!; 920 J - K-!; 1 200 J - K-!.
R : 10,8 MJ; 21,6 MJ; 43,2 MJ; 86,4 MJ.
Un bloc de cuivre de capacité calorifique X = 800J : K-! est porté d’une température
0, = 20°C à une température 0, = 60°C. Quelle est
la quantité de chaleur absorbée par le bloc métallique ?
16.08. | Un solide est en rotation uniforme sous
l’action d’un couple de deux forces F, F’ d’intensités F = F'=200 N et distantes l’une de l’autre de
d= 40 cm. La puissance développée par ce couple
est P = 100 W. Quelle est la vitesse de rotation {2 du
solide?
R : 16 kJ; 24 kJ; 32 kJ; 48 kJ.
R : 0,75 rad/s; 1,0 rad/s; 1,25 rad/s; 12,5 rad/s.
absorbant
une
puissance de 3 kW
Exercices résolus
L'usine marémotrice de la Rance ne fonctionne que par intermittence car le remplissage du
bassin de retenue est soumis au rythme des marées.
On distingue trois phases dans son fonctionnement :
e Phase 1, production d'énergie électrique quand
l’eau s’écoule du bassin vers la mer lors de la marée
descendante : W, = 540 GWh par an;
e Phase 2, production d'énergie électrique quand
l’eau s’écoule de la mer vers le bassin lors de la
marée montante : W, = 70 GWh par an;
e Phase 3, consommation d'énergie électrique pour
pomper l’eau de mer vers le bassin pendant les
heures dites «creuses » afin de fournir plus d’énergie électrique lors des heures dites de «pointe» :
W, = 60 GWh paran
1° Calculer en tonnes équivalent pétrole ou t.e.p.
(1t.e.p. & 4500 KWh électriques) l'énergie électrique fournie annuellement par l’usine marémotrice.
2° Sachant que la puissance de l’usine marémotrice
est P = 240 MW, quelle que soit la phase de fonctionnement, calculer la durée moyenne de chacune
des phases par jour.
SOLUTION
—————
om,
1° Energie fournie par l’usine marémotrice
L'énergie électrique W fournie annuellement
l'usine marémotrice est :
par
W=W,+W,-W.
Application numérique
W = (540 + 70 — 60) GWh
>
W = 550 GWh.
Comme 1 t.e.p. = 4500 KWh, nous obtenons :
W = (550 -+ 10°/4,5 : 10f) te. p.
> [W= 1,22: 10 te.
p.|
2° Durée moyenne de chaque phase
Pour obtenir la durée quotidienne de fonctionnement suivant chacune des phases, on calcule
l'énergie W: produite (ou consommée) quotidiennement
:
Æ =
(i désigne le numéro
de la phase : 1, 2
ou 3).
Comme W!=Pt, t; étant la durée moyenne
fonctionnement de la phase ;, nous avons :
de
rase
:
LGSP:
Applications numériques
540 : 10°
7 48008
20 ä 82
esan
C
, "l
#
70 - 10°
(ere
É D
u
M > 1 = 48 min
60 : 10°
Fa
É
0
min
.
7
CSmin
Une résistance à coefficient de température négatif (appelée thermistance à C.T.N.), de
résistance thermique R,, = 100 W/K, est alimentée
sous une tension U = 20 V. Elle est utilisée dans un
domaine où sa résistance À varie avec la température 0 suivant la loi :
R = R,(1 - a6), avec Ro = 1000 @ et a = 250 K-1.
1° Donner l’expression de la puissance P reçue par
la thermistance en fonction de U, R,, «a et 8.
2° La thermistance se trouve dans un milieu dont la
température (supposée constante) est 0, = 20 °C.
2.1. Établir l’équation différentielle reliant _P, X
d6
(capacité thermique), Ry,, 9, 0, et la dérivée rÉ
2.2. Donner l’équation différentielle reliant U, Ry &,
d8
X, Ry, 6, 6, et rs
t
3° Sachant qu’au-delà de 150 °C, la thermistance est
détruite, calculer la température 8 = 8, du composant lorsque l’équilibre thermique est atteint (on
admettra qu’en dessous de 150 °C l’équilibre thermique est stable).
C’est l’équation différentielle demandée.
2.2. Dans l’expression précédente, remplaçons
par sa valeur trouvée au 1. Nous obtenons :
d0 ,
-
9-0,
U2
SOLUTION
3° Température d’équilibre
1° Puissance dissipée dans la thermistance
La thermistance de résistance R alimentée sous la
tension U dissipe une puissance électrique P donnée
par l’expression :
A l’équilibre thermique, . =0
R= Roi — x6).
D'où :
D
Ou encore :
à
U?
Rs
Rol-,)
R,(8,— 8,1 - 48.) = U?2R,,.
R5202- Roll + 26.) 6, + Roô, + U2Ry =0.
2.1. Pendant une durée di, l'énergie reçue par la
thermistance est égale à :
dW = Pdt.
Une partie dW, de cette énergie a été emmagasinée
par le composant dont la température s’est élevée
d’une quantité d8 :
dW, = Kd6.
L'autre partie dW, a été cédée par conduction :
Application numérique
1000 x MT
+ 6292 1000(1+ La.
5 20) 8.
+ 1000
x 20 + 20? x 100
= 0.
Soit :
402 — 1 0808, + 60 000 = O.
Le discriminant de cette équation a pour valeur :
A = 10807 — 4 x 4 x 60000
4 - LA dt.
th
Appliquons le principe de la conservation de l’énergie :
dW
= dW, + dW..
6-0
Pdt = Kd6 + ——= dr.
D'où :
ART
Pour déterminer la température d’équilibre, il faut
résoudre cette équation du second dégré en 8..
2° Équation différentielle
&
= 1 166 400 — 960 000 = 26 400.
D'où :
8.
_ 1080
-454 78,5 °C
:
Ré
d8
VA = 454.
Les racines de l'équation du second degré sont :
et
1080 + 454
ASEEE Æ 192 °C.
Ce qui s'écrit aussi :
K
0-06.
Soit:
[Ro(1 — 28)]|
dW,
et
D'où:
P=QuRavec :
P
-
La première température d’équilibre atteinte,
78,5 °C est également la température finale car
l'équilibre thermique est stable.
8-8
Rs 2=P
Exercices à résoudre
Un
monte-charge
élève,
à vitesse
cons-
ante, une charge de masse m = 400 kg d’une hauteur
À = 5 m en une durée 7 = 105.
Un générateur de fé. m. E = 9 V, de résistance interne r = 3 (2 débite un courant d'intensité ]
dans une résistance R variable.
1° Calculer le travail W effectué par la force motrice
s’exerçant sur le monte-charge.
1° Exprimer la puissance électrique P dissipée dans
ce conducteur en fonction de R.
2° La transmission de la puissance mécanique du
moteur au monte-charge s'effectue avec un rendement y = 85 %. Quelle est la puissance mécanique
que doit développer le moteur?
2° Pour quelle valeur R, de R, cette puissance estelle maximale ?
3° Représenter graphiquement la variation de P en
fonction de R.
323
16.13. | On utilise un ressort de constante de
raideur k = 40 N/m pour mesurer l'intensité d’une
force.
de
A
#
,
1° Quelle est l'intensité de la force }° qui provoque
un allongement du ressort A/ = 2 cm?
2° Quel est le travail W de cette force au cours de
l'allongement du ressort?
16:14:
Une
perceuse
en
fonctionnement
déve-
loppe une puissance utile P = 780 W. Sa fréquence
de rotation est nr = 1 500 tr/min.
1° Quel est le moment
l'arbre du moteur?
du couple
disponible
sur
2° Un système d’engrenages permet au moteur
d'entraîner le mandrin aux fréquences de rotation
suivantes :
Un
P = 780 W.
3° On fixe dans le mandrin un foret de diamètre
d = 10 mm, En admettant que le couple produit par
le foret est dû à deux forces (fig. 16.10) dirigées
tangentiellement au foret, calculer l'intensité des
deux forces lorsque celui-ci tourne à la vitesse
de 2000 tr/min.
F
Fig. 16.10.
diamètre
Données
: K=850
W:m
?-K-!, température
du
milieu ambiant 6, = 20 °C.
Dans le montage de la figure 16.11, les
appareils
vantes :
de
mesures
13=3001A,
indiquent
les valeurs
sui-
1c=45 mA,
1° Quelle est la puissance reçue par le transistor?
2° Le transistor utilisé a pour référence 2N2219. Les
limitations données par le constructeur à 25 °C
sont :
— puissance maximale P,, admissible : 800 mW;
— intensité maximale du courant collecteur
Tcm = 800 mA;
— tension
maximale
collecteur-émetteur
VcEm = 30 V.
2.1. Représenter
P = Py à 25 °C.
graphiquement
/-(V«r)
quand
2.2. Si Ver = 16 V, quelle est la valeur maximale
possible pour 7-7?
Une cafetière électrique, alimentée par le
secteur 220 V, permet de porter à ébullition un litre
d'eau prise à 10 °C en 8 minutes. Les fuites thermiques dans l’air ambiant sont égales à 25 % de
la puissance électrique absorbée P,.
Calculer :
parcourant
le circuit
2° La valeur À de la résistance chauffante.
Donnée : capacité thermique massique de l’eau :
c= 4185 J-kg”!-K°1.
324
de
fusion est 0,= 330 °C. Sachant que les variations de
la résistivité du fil et de ses dimensions avec la
température sont négligeables, calculer l’intensité
minimale du courant qui fera fondre le fil.
F'
1° L’intensité / du courant
électrique de la cafetière,
cylindrique
puissance étant proportionnelle à la surface latérale S et à la différence de température A0 entre le
fil et le milieu ambiant : P = KSAO).
Le fil est utilisé comme fusible. Sa température de
1 000 tr/min, 1 500 tr/min et 2000 tr/min.
En négligeant les pertes lors de la transmission de
la puissance du moteur au mandrin, calculer le
moment du couple utilisable au niveau du mandrin
pour chacune des vitesses précédentes lorsque le
moteur
développe
une puissance
mécanique
fil
d=0,5 mm, de résistivité p = 22 - 107$ Qm est traversé par un courant d'intensité /. Le fil s’échauffe
et atteint une température d'équilibre 4, lorsque la
puissance produite par effet Joule est égale à la
puissance dissipée par la surface latérale du fil (cette
Fig. 16.11.
À
Chapitre 17
OPTIQUE ET ACOUSTIQUE
Les ondes, quelle que soit leur nature, ont des propriétés
communes. Il est intéressant de les connaître pour interpréter
certains phénomènes naturels et pour comprendre le fonctionnement de certains dispositifs.
L'objet de ce chapitre est d'apporter des connaissances élémentaires dans deux domaines, l’optique et l’acoustique. Les
applications très nombreuses des ondes lumineuses ou acoustiques (laser, capteurs, …) justifient amplement cette étude.
Il faut savoir aussi que l’industrie utilise de plus en plus des
systèmes microprogrammés :
e microprocesseurs gérant, par exemple, des automates ou des
variateurs de vitesse de moteurs électriques;
e ordinateurs traitant les informations pouvant provenir de
capteurs ou pilotant des machines, etc.
La liaison entre un système microprogrammé et un équipement
de puissance doit permettre la transmission de signaux utilisés
pour le contrôle ou la commande. Toutefois, le plus souvent,
les circuits électriques des deux dispositifs ne doivent pas avoir
de point commun : on dit qu’ils doivent être isolés galvaniquement. C’est l’intérêt de certaines liaisons optiques, réalisées
dans les coupleurs optoélectroniques, de permettre aisément
l'obtention de ce résultat.
m1. OPTIQUE
1.1. Radiations lumineuses
m 1.1.1. Définitions
a) Source de lumière
Une source de lumière
est un
système
qui transforme
en
énergie lumineuse une partie au moins de l'énergie qu’il
consomme (exemple : le Soleil) ou de l’énergie qu’il reçoit
(exemple : une lampe).
Une source lumineuse
1re F2-3-5, chap. 24).
surfaces d'onde
source
lumineuse
rayons
lumineux
+34
Fig. 17.01. Rayons lumineux.
émet
des
ondes
lumineuses
(voir
b) Rayon lumineux. Faisceau lumineux
Tous les points situés à la même distance 4 d’une source
ponctuelle sont dans le même état vibratoire : ils vibrent en
phase. Ces points se trouvent sur une sphère appelée surface
d'onde. Toute droite orthogonale aux surfaces d’onde est un
rayon lumineux (fig. 17.01).
: Un ensemble de rayons lumineux forme un faisceau lumineux.
m1.1.2. Principe du retour inverse
Le trajet suivi par
propagation.
la lumière
est indépendant
du sens
de
325
faisceau
cylindrique
m1.1.3. Principe de la propagation rectiligne
faisceau
divergent
Dans l'air, un laser délivre un faisceau lumineux étroit,
pratiquement cylindrique : la lumière se propage en ligne
droite; ce résultat est général :
dans un milieu transparent, homogène, la lumière se propage en
ligne droite.
diaphragme
Fig. 17.02 Phénomène de diffraction.
La lumière blanche émise par le Soleil est
constituée d'une infinité de radiations lumineuses ;on peut en observer quelques-unes
dans un arc en ciel : c'est le phénomène de
dispersion.
IUT
0,4
0,75
violet
rouge
10?
+
——————
+
+ ————
a
radiations
ultraviolettes
ca
me A UT
TAGIAHONS radiations
Visibles
Remarque
Plaçons un diaphragme à iris (diaphragme muni d’un trou de
diamètre réglable) devant un faisceau lumineux cylindrique
provenant d’un laser. Diminuons progressivement l’ouverture
du diaphragme (fig. 17.02). La section du faisceau lumineux
diminue à sa sortie du diaphragme. Lorsque l’ouverture devient
très petite, le faisceau lumineux diverge; l’ouverture joue le rôle
d’une source (émettant des ondes sphériques) : c’est le phénomène de diffraction; il montre la limite du principe de la
propagation rectiligne.
M 1.1.4. Classification
Les radiations lumineuses sont des ondes électromagnétiques.
Contrairement aux ondes mécaniques et acoustiques, elle se
propagent dans le vide. Une classification des ondes est
effectuée à partir de leur longueur d’onde À (fig. 17.03) ou de
leur fréquence f. Rappelons que, si c désigne la célérité de la
lumière dans le vide (c = 3,00 : 105 m/s), ces deux grandeurs
sont liées par la relation :
infrarouges
DS
di
Fig. 17.03. Classification.
Une lumière monochromatique
est une
radiation lumineuse de longueur d'onde
déterminée. Pour une radiation visible, cela
signifie que le rayonnement lumineux a une
couleur bien définie que l'on sait. nommer
dans quelques cas (rouge, bleu, indigo,
etc.).
La célérité de la lumière dans le vide est très
voisine de 3 : 108 m/s.
e Les rayonnements lumineux ou visibles sont ceux que l’œil
peut détecter. Ce sont donc des qualités physiologiques qui ont
été prises en compte pour définir le spectre de ces rayonnements. Ils correspondent aux longueurs d’onde 2 suivantes :
0,4 um <<
0,75 um.
Le spectre des rayonnements visibles est formé d’une infinité
de radiations colorées allant du violet (2 = 0,4 um) au rouge
(2 = 0,75 pm).
e Les radiations ultraviolettes ont des longueurs d’onde comprises entre 107? um et 0,4 um. Les ultraviolets sont absorbés
par le verre; ils excitent la fluorescence de certaines substances
et provoquent une pigmentation de la peau (bronzage).
e Les radiations infrarouges ont des longueurs d’onde comprises entre 0,75 um et 100 um. Tout corps émet un rayonnement infrarouge dont le spectre dépend de la température de
ce Corps.
miroir
1.2. Miroirs plans
surface
métallique
polie
Fig. 17.04. Miroir plan.
Un faisceau lumineux cylindrique, arrivant
Sur une surface plane non polie, peut être
renvoyé dans toutes les directions : c'est le
phénomène de diffusion.
326
Un miroir plan est une
lumière (fig. 17.04).
surface plane polie réfléchissant la
m 1.2.1. Réflexion
Par réflexion sur un miroir plan une onde lumineuse incidente
donne naissance à une onde lumineuse réfléchie. Les deux
ondes se propagent avec la même célérité :
e si l’onde incidente est normale au miroir, l'onde réfléchie se
propage dans la même direction qu’elle, mais en sens contraire;
e si l’onde incidente n’est pas normale au miroir, un changement de la direction de propagation a lieu au contact
du miroir.
À un rayon lumineux incident SO (fig. 17.05), correspond un
rayon réfléchi OR.
miroir
Fig. 17.05. Réflexion.
Nous retrouvons ici les résultats établis en classe
de première dans la leçon sur les mouvements
vibratoires (1° F2-3-5, chapitre 24).
Lois de Descartes pour la réflexion
e le rayon réfléchi OR est dans le plan d’incidence défini par
SO et la normale ON au plan du miroir;
e l'angle de réflexion r (angle formé par OR et ON) est égal à
l'angle d'incidence i (angle formé par SO et ON) :
Les miroirs plans permettent de changer seulement la direction
(ou le sens) de propagation des faisceaux lumineux.
m1.2.2. Images données par un miroir plan
miroir
observateur
sans tain
faisceau
incident
faisceau
réfléchi
12)=—
fi
lfaiscæau
éfraeté
Deux bougies de mêmes dimensions sont placées à égales
distances du plan d’un miroir sans tain (fig. 17.06). Allumons la
bougie 1. Pour un observateur placé du côté de cette bougie et
qui regarde à travers le miroir, la bougie 2 paraît allumée.
Pour l'observateur, du fait de la réflexion sur le miroir, les
rayons semblent provenir de la bougie 2 alors que la vraie
source est la bougie 1. L’image de la bougie 1 est virtuelle; elle
occupe la même position que la bougie 2. L'image est donc
symétrique de l’objet par rapport au plan du miroir.
Lorsque l’on place la main gauche devant un miroir plan,
l’image obtenue est une main droite. La main, qui est l’objet, et
son image ne sont pas superposables mais sont symétriques.
Les miroirs plans donnent une image symétrique de l'objet par
rapport à la surface réfléchissante.
1.3. Lentilles
& 1.3.1. Réfraction
eau + fluorescéine
Fig. 17.07. Phénomène de réfraction.
Un faisceau lumineux étroit rencontrant la surface de séparation de deux milieux (1 et 2) transparents et différents
(fig. 17.07) est partiellement transmis dans l’autre milieu avec,
généralement, un changement de la direction de propagation :
c’est le phénomène de réfraction.
Lois de Descartes pour la réfraction
e le rayon réfracté OR’
est dans le plan d’incidence défini par
SO et ON (fig. 17.08);
e l’angle de réfraction À, (angle formé par OR’ et ON) est lié à
l’angle d’incidence i, (angle formé par SO et NO) par la
relation :
c, et © étant les célérités des radiations iumineuses respecti‘ vement dans les deux milieux de propagation 1 et 2.
Indice de réfraction.
Ge
L'indice de réfraction du milieu 2 par rapport au milieu 1, noté
Fig. 17.08. Réfraction.
c
mn, est le rapport Fe
ll
327
Si « est la célérité de la lumière dans le vide, nous pouvons
définir l’indice d’un milieu par rapport au vide ou indice
absolu :
:
.
PT
É
:
‘
Le
C
e l'indice absolu du milieu 1 est : M, = me
Il
e l'indice absolu du milieu 2 est : N, = me
2
N, (eau)
Conséquence
ne
€ N €
sin
AN,
N
La deuxième loi de Descartes s’écrit donc aussi :
Réfraction limite. Réflexion totale
Fig. 17.09. Angle de réfraction limite.
A un angle d'incidence i,= 90? correspond un angle
de réfraction i,=A. À tout rayon incident correspond un rayon réfracté.
e N,<N, : le premier milieu est dit moins réfringent que le
second (par exemple : passage de la lumière de l’air dans l’eau
ou le verre).
A un angle i, variant de 0° à 90° correspond un angle i, variant
de 0° à une valeur limite À telle que :
sin À = à
À : angle de réfraction limite.
2
Le passage de la lumière est toujours possible du milieu 1 vers
le milieu 2 (fig. 17.09).
e N, > N, : le premier milieu est plus réfringent que le second
(par exemple : passage de la lumière de l’eau dans l’air).
Le principe du retour inverse permet d’affirmer que lorsque
l'angle d'incidence i, varie de 0° à À, l’angle de refraction varie
de 0° à 90° (fig. 17.10).
Si i, est supérieur à À, il n’y a plus de rayon réfracté : la lumière
incidente subit une réflexion totale sur la surface de séparation
des deux milieux.
Fig. 17.10. Réflexion totale.
Tant que l'angle d'incidence est inférieur à À, le
rayon lumineux passe du milieu d'indice absolu N,
dans le milieu d'indice N,. Si l'angle d'incidence (ici
10!) est supérieur à À, au rayon incident l'O cor-
respond un rayon réfléchi OR'.
Application : la fibre optique
Une fibre optique (fig. 17.11) est constituée schématiquement
d’une âme cylindrique d’indice de réfraction absolu N, et d’une
gaine concentrique d'indice absolu N, inférieur à MN,. Le
faisceau lumineux qui rentre dans le cœur de la fibre optique
subit une succession de réflexions totales et ressort à l’autre
extrémité de la fibre.
m 1.3.2. Lentilles. Présentation
Les lentilles sont des systèmes optiques qui utilisent le phénomène de réfraction pour la formation d’images.
a) Lentilles minces
e Une lentille mince est un milieu transparent limité par deux
calottes sphériques ou par une calotte sphérique et un plan
(fig. 17.12).
axe optique
e La droite qui joint les centres des sphères est l'axe optique.
Fig. 17.12. Lentille sphérique.
e C’est sur cet axe que l'épaisseur de la lentille est mesurée.
Nous ne nous intéressons qu'aux lentilles dont l’épaisseur est
faible devant le diamètre d’ouverture : d’où l’appellation de
lentilles minces.
e Deux catégories de lentilles minces peuvent être distinguées :
= les lentilles convergentes (fig. 17.13) qui transforment un
faisceau parallèle en un faisceau convergent (fig. 17.14);
C
328
— les lentilles divergentes (fig. 17.15) qui transforment
faisceau parallèle en un faisceau divergent (fig. 17.16).
un
b) Conditions de Gauss
Ce sont les conditions à réaliser pour obtenir des images de
bonne qualité avec des lentilles minces.
Lentilles à bords minces
Fig. 17.13. Lentilles convergentes.
e L'ouverture de la lentille doit être faible (fig. 17.17) afin
d'éviter des images déformées (ces défauts s'appellent des
aberrations géométriques).
e L'inclinaison du faisceau lumineux par rapport à l'axe
optique doit être faible afin d'éviter la formation d’images
irisées (ces défauts s’appellent des aberrations chromatiques).
c) Centre optique. Foyers
e Centre optique : c’est un point de l’axe optique tel que out
rayon lumineux passant par ce centre optique n'est pas dévié
(fig. 17.18).
Représentation d’une lentille
mince convergente
Fig. 17.14. Faisceau convergent.
Fig. 17.18. Centre optique.
Lentilles à bords épais
Fig. 17.15. Lentilles divergentes.
Représentation d’une lentille
mince divergente
Fig. 17.16. Faisceau divergent.
e Foyer objet : un rayon émergent parallèle à l’axe optique
provient d’un rayon incident dont le support passe par un point
de l’axe optique appelé foyer objet F (fig. 17.19).
Fig. 17.19. Foyer objet
e Foyer image : un rayon incident parallèle à l’axe optique
donne un rayon émergent dont le support passe par un point
de l’axe optique appelé foyer image F' (fig. 17.20).
lentille
Fig.17.17. Première condition de Gauss.
Fig. 17.20. Foyer image.
329
e Distance focale : le foyer objet F et le foyer image F’ sont
symétriques
système
ARE
au
centre
optique
O.
La
distance
a) Construction.
A : objet réel
A' : image virtuelle
e Point objet, point image (fig. 17.21)
Un point objet À est à l’intersection de rayons lumineux
incidents (objet réel) ou de leurs supports (objet virtuel).
Un point image A’ est à l'intersection de rayons lumineux
émergents (image réelle) ou de leurs supports (image virtuelle).
mis
e Construction de l'image d'un objet
Choisissons un objet AB assimilé à un petit segment perpendiculaire à l’axe optique (A appartenant à cet axe); nous allons
construire son image A'B’.
optique
A : objet virtuel
A' : image réelle
système
optique
rapport
M 1.3.3. Obtention d’une image
optique
À
par
OF = OF'=fest la distance focale.
;
A
A : objet à l'infini
A’ : image à l'infini
Fig. 17.21. Point objet, point image.
Un point objet ou image peut être :
— réel : des rayons lumineux se coupent réellement en ce point;
— virtuel : ce point se trouve à l'intersection des
supports des rayons lumineux ;
— à l'infini : les rayons lumineux sont parallèles.
Fig. 17.22. Image d'un objet obtenue avec une
lentille convergente.
L'expérience montre que dans les conditions de Gauss, à un
segment AB perpendiculaire à l’axe optique, correspond une
image A’B' également perpendiculaire à cet axe. Nous cherchons donc l’image de deux points pour connaître la position
du segment A’'B'.
En un premier lieu déterminons l’image du point B. Ce point
objet peut être défini au moyen de deux rayons particuliers BO
et BH.
— Le rayon incident BO passe par le centre optique : il n’est
donc pas dévié. Il lui correspond un rayon émergent de même
direction.
— Le rayon incident BH, parallèle à l’axe optique, se réfracte
en passant par le foyer image F’.
Le point B', image de B, est situé à l’intersection des deux
rayons émergents (fig. 17.22 et 17.23).
Le point A’, image de À, appartient à l’axe optique. A’ se
trouve aussi sur une droite perpendiculaire à l’axe optique et
passant par B’.
L'image A'’B' cherchée est donc parfaitement déterminée en
position et en grandeur.
b) Relation de conjugaison (fig. 17.22 et 17.23)
Choisissons un sens positif sur l’axe optique d’une lentille
mince de foyer image F’ (le sens de propagation de la lumière
par exemple). Le centre optique O est l’origine de cet axe. À un
point objet A situé sur l’axe optique correspond une image A
dont la position est donnée par la relation dite de conjugaison
(ou encore de de
at
à toute lentille mince:
c) Grandissement
Le grandissement y est le rapport de la grandeur de l’image
A'B' à la grandeur de l’objet AB. En utilisant un axe orienté,
perpendiculaire à l’axe optique, nous avons :
Fig. 17.23. Image d'un objet obtenue avec une
lentille divergente.
330
Lorsque y est positif l’image est droite et de même sens que
l'objet, lorsque y est négatif l’image est renversée par rapport à
l'objet.
Remarque
Pour les lentilles convergentes, les foyers sont
réels. Pour les lentilles divergentes, les foyers sont
virtuels.
Moyen mnémotechnique pour se rappeler la formule de conjugaison :
e à est appelée la proximité de l'objet par
rapport à la lentille (la proximité est grande si la
distance OA est faible);
e = est la proximité de l’image par rapport à
la lentille;
e La relation de conjugaison s'énonce :
proximité de l'image = proximité de l'objet + ver-
gence.
Un système optique est stigmatique si d'un point
objet À, il donne une image qui est un point image.
Un système optique est aplanétique si d'un plan
objet (P), il donne une image qui est un plan image
Fe},
d) Vergence
L’une des grandeurs caractéristiques d’une lentille est sa vergence V’; elle est égale à l’inverse de la distance focale image :
ER
OF’
La vergence s’exprime en dioptries (ô). Elle est positive pour
une lentille convergente et négative pour une lentille divergente.
m 1.3.4. Applications
Les applications des lentilles sont très nombreuses. Les systèmes à lentille unique sont de plus en plus rares. La nécessité
de grossissements importants impose des associations complexes de lentilles comme dans le cas des microscopes et
des objectifs.
1.4. Analyse et synthèse de la lumière
m 1.4.1. Analyse de la lumière
a) Spectre de la lumière blanche
—
Expérience
e Réglages préliminaires. Une lampe à incandescence
(fig. 17.24), munie d’un filtre jaune, éclaire une fente F située
dans le plan focal objet d’une lentille L, : cette lentille
permet l’obtention d’un faisceau de rayons parallèles.
filtre jaune
\
diaphragme muni d’une fente
|
Lampe |
L
Fig. 17.24. Obtention d'un faisceau lumineuxBmonochromatique parallèle.
L
Image de la fente
Une lentille L, donne l’image de la fente F sur l’écran E
qui est placé dans le plan focal image de cette lentille.
Intercalons un prisme en verre entre l’écran et la lentille
(fig. 17.25). Le faisceau est dévié vers la base du prisme. Pour
obtenir à nouveau l’image de la fente, il faut faire pivoter la
lentille L, et l’écran. Nous orientons alors le prisme afin que la
déviation du faisceau soit minimale et nous ajustons la position
de la lentille L, et celle de l’écran pour améliorer la qualité de
l'image.
Fig. 17.25. Déviation d'un faisceau lumineux par >
un prisme.
331
e Observation en lumière blanche. Sans modifier les réglages
effectués, enlevons le filtre jaune afin de réaliser l'expérience en
lumière blanche. Nous observons sur l’écran un spectre de
lumières colorées (nous retrouvons les couleurs de l’arc-en-ciel).
Le violet est plus dévié que le rouge (fig. 17.26) : c’est le
phénomène de dispersion de la lumière. Le passage d’une
couleur à l’autre se fait de façon progressive : le spectre est dit
continu.
Normale
Prisme
faisceau de
lumière blanche
rayon lumineux
rouge
Fig. 17.27. Influence de la longueur d'onde des
rayons lumineux sur l'indice de réfraction.
Appliguons la loi de Descartes aux rayons violets et
rouges :
Écran
sini=n, sini,
et:
sini=n, sini,.
Soit :
n,sni,=n,sini,.
Or :
El
Donc :
sini,< sini,.
D'où :
n,>n,.
L'indice de réfraction du prisme dépend de la
lumière qui le traverse.
rayon lumineux
violet
Fig. 17.26. Dispersion de la lumière blanche à travers un prisme.
—
Interprétation
Pour tous les rayons lumineux, l’angle d’incidence est le même
(fig. 17.27). L’angle de réfraction dépend de la couleur et plus
précisément de la longueur d’onde du rayonnement.
L'ensemble constitué par deux milieux
transparents différents et leur séparation
constitue un dioptre.
Un corps noir est un corps qui absorbe totalement les radiations qu'il reçoit.
Cependant il peut émettre des radiations
dans d'autres domaines de longueurs
d'onde.
Exemple : le charbon de bois absorbe
toutes les radiations du visible. Si nos yeux
étaient sensibles à l'infrarouge, la nuit le
charbon de bois serait l'un des corps les
plus lumineux.
La lumière blanche émise par une lampe à incandescence est
constituée d'une infinité de lumières monochromatiques.
La dispersion de cette lumière à travers un prisme donne un
spectre Continu.
b) Spectres d’émission
Les lampes à vapeur d'hydrogène, de sodium ou de mercure
par exemple émettent des lumières dont le spectre est discontinu (fig. 17.28). Pour observer les différentes raies qui
constituent chacun des spectres, il est commode d’utiliser un
spectroscope. Le principe de cet appareil correspond au montage de la figure 17.26 mais pour permettre une observation
plus aisée et des mesures, l’écran est remplacé par une lunette
d'observation.
c) Spectres d’absorption
Reprenons l’expérience de dispersion en lumière blanche. Entre
la lentille L, et le prisme, intercalons une cuve à faces planes et
parallèles contenant une solution aqueuse d’iode ou de permanganate de potassium. De larges bandes noires apparaissent dans
le spectre : certaines radiations monochromatiques ne traversent pas la solution utilisée comme filtre : nous obtenons le
spectre d’absorption du liquide contenu dans la cuve (voir
fig. 17.28).
m 1.4.2. Synthèse de la lumière
La figure 17.28 se trouve sur la page 2 de la
couverture.
Fig. 17.28.
332
a) Cas de la lumière blanche
Enlevons la cuve à faces planes du montage précédent. Sur
l'écran nous observons à nouveau le spectre continu de la
lumière blanche.
|
Éloignons la lentille L, du prisme (la distance L,-prisme doit
être supérieure à la distance focale de L.).
Ajustons la position de l’écran E jusqu’à l’obtention, sur cet
écran, de l’image de la face d’entrée du prisme : nous obtenons
une image blanche.
Le montage de la figure 17.29 permet de mettre en évidence :
— la dispersion du faisceau de lumière blanche,
— puis la synthèse des diverses radiations.
Fig. 17.29. Synthèse de la lumière. >
diaphragme
faisceau de lumière blanche
|
Prisme
Écran
tache blanche
b) Synthèse additive
On parle souvent des sept couleurs de l’arc-en-ciel. Cette
division est tout à fait artificielle car le spectre du rayonnement
visible est constitué d’une infinité de radiations (donc de
«couleurs»). Toutefois trois radiations convenablement choisies peuvent permettre de reconstituer toutes les autres teintes
du spectre. Les trois radiations suivantes peuvent être utilisées :
le rouge (un peu orangé), le vert (un peu jaune) et le bleu
(violacé).
On réalise des filtres ayant une dominante rouge, verte ou
bleue. Ils ne laissent passer qu’un tiers du spectre environ : ce
sont des filtres optiques passe-bande. Avec un dosage convenable, la superposition de trois faisceaux un rouge, un vert et
un bleu, peut donner de la lumière blanche (fig. 17.30).
Le procédé de trichromie utilisé en photographie, cinéma,
imprimerie et télévision est une application de cette propriété.
Exemple de la télévision
La reconstitution d’une image de couleurs est réalisée par la
synthèse additive de trois couleurs : rouge, vert et bleu. L'écran
La figure 17.30 se trouve sur la page 3 de la
| couverture.
Fig. 17.30.
est tapissé de milliers d’éléments de base, appelés /uminophores, constitués de trois pastilles fluorescentes : une pour
chaque couleur fondamentale. Trois canons à électrons «bombardent» ces pastilles et le flux d’électrons pour chacun d’eux
est modulé par des signaux correspondant à chacune des
composantes.
Remarque
Un signal de télévision couleur devant pouvoir être reçu par un
récepteur noir et blanc, le signal reçu par le téléviseur est un
. triple signal :
— un signal «noir et blanc» ou signal de luminance;
— deux signaux «couleur» correspondant chacun à une combinaison bien définie du signal de luminance et d’une couleur
fondamentale. La troisième couleur est élaborée par l’électronique interne du téléviseur à partir du signal de luminance et
des deux signaux «couleur» reçus.
333
c) Remarque : synthèse soustractive
On trouve des filtres correspondant aux couleurs complémentaires (fig. 17.31) des trois couleurs fondamentales : rouge, vert
et bleu.
e le cyan (bleu-vert) complémentaire du rouge,
e le magenta (bleu-rouge) complémentaire du vert,
La figure 17.31 se trouve sur la page 3 de la
couverture.
Fig. 17.31.
e le jaune (rouge-vert) complémentaire du bleu.
Chacun de ces filtres ne laisse passer que les deux tiers du
spectre. Ils peuvent être utilisés pour obtenir une teinte en
éliminant une couleur dominante (synthèse dite soustractive).
La lumière blanche est complètement absorbée par un groupement de trois filtres, si chacun d’eux correspond à l’une des
couleurs complémentaires indiquées.
Le rayonnement lumineux réfléchi par un mélange de peintures
présente une teinte qui correspond souvent à une synthèse
soustractive des couleurs des peintures associées.
1.5. Photocomposants
Les photocomposants sont classés en deux catégories :
— les composants photosensibles, qui transforment une énergie
lumineuse en énergie électrique;
— les composants électroluminescents, qui transforment une
énergie électrique en énergie lumineuse.
m 1.5.1. Effet optoélectronique
a) Aspect énergétique de la lumière
En chirurgie, l’incision de tissu est possible avec un rayonnement laser. On réalise ainsi une brûlure très localisée. Pour
interpréter un tel résultat on doit admettre que la lumière est
véhiculée sous forme de particules, appelées photons, chacune
d’elles transportant une quantité d'énergie W proportionnelle à
la fréquence / de la radiation :
W (9)
f (HZ)
h(J:s)
h est la constante de Planck (4 = 6,62 : 107% J:s).
b) Notions de photométrie
e On appelle flux énergétique la puissance transportée par
l’ensemble des radiations d’un faisceau lumineux (c’est l'énergie
transportée par les photons transmis par unité de temps). Il
s'exprime en watts.
e À un flux énergétique déterminé correspond une impression
visuelle qui dépend de la longueur d’onde (ou de l’intervalle de
longueurs d'onde) du rayonnement. Cette impression est caractérisée par le flux lumineux du faisceau. L'unité de flux
lumineux est le /umen (Im).
Exemple
En lumière jaune (4 = 0,58 1m) à un flux énergétique de 1 watt
correspond un flux lumineux de 680 Im.
e L’éclairement d’une surface est le flux lumineux reçu par
unité de surface. L'unité d’éclairement est le /ux (1x).
e La sensibilité d’un élément photosensible est le rapport-1/®
de l'intensité 7 du courant qui le traverse lorsqu'il est soumis à
un flux lumineux ® et de ce flux ®.
334
m1.5.2. Composants photosensibles
a) Photorésistance
Une photorésistance peut être assimilée à un barreau de
semiconducteur. Dans l’obscurité, la résistance du barreau est
très élevée (plusieurs mégohms): à la lumière du jour, elle est
beaucoup plus faible (de l’ordre du kilohm). C’est le phénomène de photoconduction.
photorésistance
Fig. 17.32. Montage pour le tracé de la caractéristique |(U) d'une photorésistance.
— Expérience
Une photorésistance est alimentée sous une tension U constante (fig. 17.32). Elle est éclairée successivement par différentes radiations monochromatiques.
e Pour un flux lumineux
fixé, l'intensité du courant décroît
lorsque la longueur d’onde 2 augmente; la résistance
photorésistance augmente lorsque la longueur d’onde
de la
de la
radiation augmente.
.
e Au-delà d’une certaine longueur d’onde limite À, appelée
seuil de photoconduction, l'intensité du courant traversant le
circuit est pratiquement nulle (même si le flux lumineux est
considérablement augmenté). Pour les photorésistances courantes (au silicium, au germanium ou au sulfure de cadmium)
ce seuil de conduction se situe dans l’infrarouge.
A cette longueur d’onde 2, correspond une énergie minimale W.
pour les photons : W. = 2.
bc]
Fig. 17.33. Caractéristique |(U) d'une photorésistance tracée à éclairement E constant.
Il n’y a pas photoconduction si les photons arrivant sur la
photorésistance ont une énergie W inférieure à W. (soit une
longueur À > À,).
— Les deux caractéristiques principales d’une photorésistance
sont les courbes :
e I(U) tracées à éclairement E constant (fig. 17.33),
e I(®) tracées à tension d'alimentation
U constante
(fig. 17.34).
Quel que soit le sens de branchement de la photorésistance, les
résultats obtenus sont identiques.
La photorésistance est très utilisée comme capteur, c’est-à-dire
comme
Fig. 17.34. Caractéristique
|(®) d'une photorésistance tracée à tension d'alimentation U constante.
détecteur de lumière (ou d’obscurité).
b) Photodiode
L'élément essentiel d’une photodiode est une jonction P-N
pouvant être éclairée : elle est placée dans un boîtier muni
d’une lentille pour concentrer le rayonnement lumineux sur la
jonction.
—
Expérience
e La jonction doit être polarisée en inverse (fig. 17.35).
— Pour un éclairement fixé, l'intensité du courant décroît puis
croît lorsque la longueur d’onde À augmente.
— Pour une longueur d’onde fixée, l'intensité du courant est
une fonction croissante de l’éclairement.
Fig. 17.35. Montage pour letracé de la caracté-
ristique d'une photodiode. En débranchant le volt-
mètre vérifier que le courant qui passe dans le
voltmètre a une intensité |, négligeable devant |.
Dans lecas contraire on peut retrancher |,del'indicationde l'ampéremètre ou brancher le voltmètre
aux bornes
du générateur.
Lorsque la jonction est polarisée en direct, l'influence de la
lumière n’est pas sensible sur la conduction de la photodiode
(elle se comporte alors comme une diode de redressement).
Attention, pour le vérifier, il faut obligatoirement mettre une
résistance en série avec la photodiode pour limiter l'intensité
du courant dans le composant et éviter ainsi sa destruction.
335
Comme dans le cas de la photorésistance, il existe un seuil de
photoconduction À, : les photons qui arrivent sur la jonction de
la photodiode doivent avoir une énergie supérieure à W, = .
(ou une longueur d’onde À inférieure à À.) pour qu’un courant
inverse traverse la jonction.
S
— Les deux caractéristiques principales d’une photodiode sont
les courbes :
e I(U) tracées à éclairement E constant (fig. 17.36),
e I(®) tracées à tension d’alimentation U constante
(fig. 17.37).
c) Phototransistor
Fig. 17.36. Caractéristique |(U) d'une photodiode
tracée à éclairement E constant.
— Un phototransistor a une structure analogue à celle d’un
transistor à jonctions. Le boîtier est muni d’une lentille pour
concentrer le rayonnement lumineux incident sur la jonction
collecteur-base. Cette jonction se comporte comme une photodiode.
— Un phototransistor présente un réseau de caractéristiques de
sortie Z-(V) analogue à celui d’un transistor à jonctions,
l’éclairement étant alors un paramètre (fig. 17.38).
— Les phototransistors sont souvent utilisés en association
avec les diodes électroluminescentes pour les isolations galvaniques, le comptage, etc.
d) Photopile
Une jonction P-N soumise à un rayonnement lumineux peut
fonctionner en générateur.
Fig. 17.37. Caractéristique \(®) d'une photodiode
tracée à tension d'alimentation U constante.
— Expérience (fig. 17.39).
En l’absence de lumière aucun courant ne circule dans la
résistance de charge R. Si la jonction est éclairée, le milliampèremètre détecte le passage d’un courant d’autant plus intense
que le flux lumineux est grand (fig. 17.40). Pour un éclairement
maintenu constant, l’intensité du courant croît puis décroît
lorsque la longueur d’onde diminue de À, (rouge) à À, (violet).
— Des photopiles équipent certains luxmètres utilisés pour la
mesure des éclairements. De nombreuses photopiles sont associées en batteries pour former les panneaux solaires qui
constituent des sources électriques auxiliaires notamment sur
des satellites.
m 1.5.3. Composants électroluminescents
Fig. 17.38. Caractéristique de sortie d'un phototransistor.
a) Diode électroluminescente
— Une jonction émet un rayonnement lorsqu'elle est polarisée
en direct et traversée par un courant suffisant. Il s’agit d’un
rayonnement visible dans certain cas, comme par exemple
lorsque le semiconducteur est à base de gallium.
— La caractéristique courant-tension d’une telle diode est
analogue à celle d’une diode de redressement mais avec une
tension de seuil plus élevée (1,5 V par exemple).
Fig. 17.39. Montage pour le tracé de la caractéristique d'une photopile.
336
e Les diodes électroluminescentes sont utilisées pour l’affichage lumineux et pour la réalisation de liaisons optoélectroniques lorsqu'elles sont associées à des photodiodes ou des
phototransistors.
——
—
Photodiode
Photopile
Fig. 17.40. Réseau de caractéristiques \(U) d'une
photodiode tracée à éclairement E constant.
b) Photocoupleur
Un photocoupleur est l’association d’une diode électroluminescente et d’un composant photosensible (fig. 17.41).
Des photocoupleurs sont utilisés pour la commande de circuits
de puissance qui ne doivent pas avoir de point commun avec
leur circuit de commande (isolement galvanique) : c’est un
faisceau lumineux qui assure alors la liaison entre la partie
commande et la partie puissance. Ces deux parties ne sont pas
nécessairement proches, la liaison optique pouvant se faire par
l’intermédiaire d’une fibre optique.
e Un photocoupleur peut être un capteur associé à un dispositif de comptage pour réaliser un tachymètre. Un disque,
percé de trous régulièrement répartis, doit être fixé sur l’arbre
du moteur dont on mesure la vitesse. Le disque coupe le
faisceau lumineux de l’optocoupleur et chaque fois qu’un trou
passe devant la diode électroluminescente, il y a création d’une
impulsion dans le circuit du phototransistor. Le nombre
d’impulsions est proportionnel à la vitesse du disque. Un
système de comptage et d’affichage fournit la vitesse du moteur
(voir chap. 11).
M 2. ACOUSTIQUE
Fig. 17.41. Photocoupleur.
2.1. Son
m 2.1.1. Production
La pression acoustique est donc une différentielle de pression.
La pression atmosphérique normale est
définie à O°C et sa valeur est
1,013 : 105 pascals
La pression acoustique devant la bouche
d'une personne parlant normalement, correspond au millionième de la pression atmosphérique environ.
Dans l'air, un signal acoustique résulte de variations de
pression de l’air (compression ou dépression) produites par une
source (sirène, haut-parleur). Les molécules des gaz constituant
l'air vibrent autour de leur position d’équilibre. Des molécules
sont mises en mouvement au niveau de la source. Par action
sur les molécules voisines (l’air est un milieu élastique) le
mouvement se transmet de proche en proche : le signal se
propage. Des variations de pression entretenues (par la vibration d’une membrane par exemple), donnent naissance à une
onde acoustique.
m 2.1.2. Propagation
La propagation d’un son nécessite un support élastique : gaz,
liquide ou solide élastique.
La célérité du son dépend de la nature du milieu élastique ainsi
que de la température.
A la température ordinaire (20 °C), le son se propage à une
célérité voisine :
e de 340 m/s dans l’air;
On parle de célérité d'une onde plutôt que
de vitesse car le déplacement d'une onde se
fait sans transport de matière.
e de 1 500 m/s dans l’eau.
Comme les autres ondes, les ondes acoustiques se réfléchissent,
se réfractent, se diffractent.
m 2.1.3. Son pur
La très grande majorité des personnes de plus de
60 ans n'entend
pas les sons de plus de8 kHz.
Un son pur est une onde acoustique sinusoïdale.
L'oreille est sensible aux sons dont les fréquences sont comprises entre 16 Hz et 16 kHz environ. La limite supérieure
diminue avec l’âge.
337
Une onde acoustique ayant une fréquence inférieure à 16 Hz
fait partie des infrasons. Les ultrasons ont des fréquences
supérieures à 16 kHz.
e La hauteur d’un son pur est déterminée par sa fréquence :
un son de 60 Hz est un son grave, un son de 12 kHz est un
son aigu.
e Les instruments de musique délivrent des sons qui peuvent
être considérés comme des combinaisons de sons sinusoïdaux.
Une ou plusieurs fréquences sont prépondérantes et donnent au
son une qualité physiologique appelée son timbre. Le timbre
d’un son correspond donc à l’attribut perceptif qui permet de
distinguer la même note jouée au piano, au violon, …
Remarque
Lorsque deux sons purs, de fréquences différentes, sont émis
simultanément, il est possible que l’un d’entre eux devienne
inaudible : c’est l’effet de masque.
2.2. Niveau sonore
æ 2.2.1. Pression sonore
Appelons P, la pression atmosphérique en un point A. Le
passage d’une onde acoustique en À se traduit par une
variation de la pression en ce point. La pression en A s'écrit
alors :
P;= P, + p.
p est appelée pression sonore ou pression acoustique. Elle
s'exprime en pascals.
Dans le cas d’un son pur de pulsation « = 2xf, la pression
acoustique exercée en un point s’écrit sous la forme :
p = p
sin ot = PV2 sin wt.
P est la valeur efficace de p.
Remarque
La mesure de la valeur efficace de la pression sonore se fait au
moyen d’un microphone étalonné. Il fournit une tension
électrique proportionnelle à la pression sonore p. La faible
valeur de la puissance de sortie d’un microphone nécessite
l'emploi d’un amplificateur à l’entrée de l’appareil indicateur
qui est gradué en pascals.
& 2.2.2. Intensité sonore
Pour caractériser la force avec laquelle un son est émis, on
définit une grandeur appelée intensité sonore I qui, dans le cas
d’une onde plane, est donnée par la relation :
P(Pa)
1-22
{p(kg/m)
pc
|c(m/s)
I(W/m?)
si nous désignons par P la valeur efficace de la pression sonore
D, par c la célérité de l’onde émise et par p la masse volumique
du milieu de propagation.
L’intensité sonore s’exprime en watts par mètre carré.
Remarque
La célérité d’une onde acoustique est indépendante de la
pression sonore ; pour un fluide déterminé et à une température
338
fixée l'intensité sonore Z est proportionnelle
valeur efficace P de la pression sonore p :
au carré de la
I = KP?,
& 2.2.3. Niveau sonore
L’impression sonore variant comme le logarithme de l'intensité
sonore (sensibilité logarithmique de l’oreille), on a cherché à lui
faire correspondre une «grandeur» qui traduise l’impression
ressentie. Cela a conduit à définir le niveau sonore N :
(1, : intensité de référence).
L’intensité sonore / étant proportionnelle au carré de la valeur
efficace P de la pression acoustique, le niveau sonore est
également donné par la relation :
2
N=
10185= 101
(T).
0
Soit :
É et P, en pascals (Pa)
N en décibels (dB)
si nous désignons par P la valeur efficace de la pression
acoustique en un point et par P, la valeur efficace d’une
pression conventionnelle de seuil d’audibilité (à 1 000 Hz)
choisie comme référence: Po= 20: 1076 pascal (fig. 17.42).
Le niveau sonore N s'exprime en décibels (la gamme usuelle
s'étend de 20 à 150 dB).
Fig. 17.42. Seuil d'audibilité. >
Seuil intolérable
Æ
aire d’audition
Remarque
La mesure du niveau sonore AN se confond avec la mesure de la
valeur efficace de la pression acoustique : elle se fait au moyen
d’un microphone étalonné associé à un amplificateur, puis d’un
indicateur gradué en décibels.
2.3. Bruit
Le bruit n’est pas un son pur. Il peut être considéré comme la
somme d’un très grand nombre de vibrations sinusoïdales. Au
point de vue physiologique, le bruit est un son indésirable.
339
C’est l’un des facteurs perturbants majeurs de la vie actuelle
(fig. 17.43).
Il peut avoir un effet :
e destructeur pour l'oreille : le seuil critique moyen
entre 80 et 90 dB;
se situe
e néfaste sur le rendement au travail.
Le bruit peut être également un agent d’information : il peut
prévenir du mauvais fonctionnement d’une machine ou d’un
risque d’accident.
m3. SUPERPOSITION DE DEUX ONDES
Fig. 17.43. Critère français de nocivité du bruit.
e Au-dessous de la courbe À : zone de sûreté
(risque de lésion improbable).
e Entre les courbes À et B : zone de surdité
possible pour des sujets sensibles.
e Entre les courbes B et C : zone de suraïté
possible pour plus de 50 % des sujets soumis régulièrement à des bruits de tels niveaux.
e Au-dessus de la courbe C : zone de lésions
graves après plusieurs mois d'exposition à des
bruits de tels niveaux.
Fig. 17.44. Ondes stationnaires, > .
Dans un atelier chacun peut constater que certaines zones sont
plus bruyantes que d’autres. Pour expliquer ces différences il
faut étudier quel peut être le résultat de la superposition de
plusieurs sons. Pour simplifier nous nous limitons à l’étude de
la superposition de deux sons de même fréquence.
3.1. Ondes stationnaires
m 3.1.1. Expérience
a) Matériel utilisé
Dans un long tube de verre, plaçons de la fine poudre de liège
(fig. 17.44). A l’une des extrémités de ce tube se trouve un
bouchon portant un haut-parleur. Un piston P peut être placé
en un point quelconque du tube. Il est percé d’un orifice qui
permet le passage d’une tige mobile portant un microphone qui
peut ainsi être déplacé à l’intérieur du tube de verre.
Le haut-parleur est alimenté par un générateur B.F. qui délivre
une tension sinusoidale. Le microphone est relié à l’une des
entrées d’un oscilloscope.
bouchon
ne
7 ES
oscillographe
b) Manipulation
La fréquence du générateur B.F. est réglée à 1 kHz.
Pour certaines positions du piston P nous observons
que la
poudre de liège sautille fortement en dessinant une figure
périodique : la poudre se place suivant des raies transversales,
raies regroupées en un certain nombre de fuseaux dont la forme
dépend de la distance piston-haut-parleur.
340
En explorant l’intérieur du tube avec le microphone, nous
obtenons, à l’oscilloscope, une sinusoïde d'amplitude pratiquement nulle aux «ventres» des fuseaux alors qu’elle est
maximale aux extrémités.
m3.1.2. Interprétation
e Le haut-parleur joue le rôle d’une source émettrice. Il
engendre une onde qui se propage dans le tube : c’est une onde
progressive sinusoidale. Cette onde se réfléchit sur le piston;
l'onde réfléchie se propage en sens inverse de l’onde incidente.
L'état vibratoire de tout point de l’espace situé sur la direction
EP, entre E et P, résulte de la superposition de ces deux ondes
(nous admettons que l’onde réfléchie est suffisamment atténuée
en arrivant au niveau du haut-parleur pour qu'aucune réflexion
supplémentaire ne soit à prendre en compte).
e L'observation de la poudre de liège au niveau du piston P, au
point N, montre que nous obtenons un nœud de déplacement.
L’équation représentant l’état vibratoire de N lorsque l’onde
incidente parvient seule en ce point est :
Un; = Ü COS I.
La superposition de l’onde réfléchie et de l’onde incidente fait
que le point N est immobile. Nous pouvons donc caractériser l’onde réfléchie en N par l’équation :
Un. = — Ü COS I.
afin que :
Un = Uni + Unr = 0.
e Considérons maintenant l’état vibratoire d’un point M situé
à une distance D du point N (fig. 17.45). Il résulte de la
superposition d’une onde incidente #,; et d’une onde réfléchie
Un, à un instant f :
Um = Umi + UmrL’onde incidente seule provoque au point M, à l'instant f,
le même mouvement vibratoire qu’au point N à l'instant
(4 e)si c désigne la célérité du son.
C
Donc :
Uni = Ü COS © (:+ ch
L’onde
réfléchie seule provoque
même
mouvement
au point M, à l'instant f, le
vibratoire qu’au point N à l'instant (e— : ;
c
.
Umr = — U COS ©
Au total :
D
4e. à
y = à cos o(1+)- àc0s ofs-)
1
onde
onde incidente
+
réfléchie
Ce qui donne après simplification :
MM à——————
4:
Um = — 2U Sin
Fig. 17.45. État vibratoire d'un point M situé à
Ou encore :
D
QT
:
- sin &l.
uy = 2ü sin (o» + COS (or+ s)
l'intérieur du tube de verre.
341
L’amplitude de vibration du point M est égale à :
2ü sin (o2) u
c
—
L'amplitude de vibration du point M est nulle lorsque :
Heu
C
La distance MN est alors égale à : D = kr .
Or:
27
œ=—
‘4
et
RE
|
—-=—,
œ@ 2T
cT-=1>
Donc nous observons des
distances D telles que :
D = k2
nœuds
de
vibrations
pour
des
(avec kEN).
La distance séparant deux nœuds consécutifs est égale à une
demi-longueur d'onde.
— L'amplitude de vibration du point M est maximale lorsque :
DEL
6
Donc nous observons des
distances D telles que :
EsD
ventres
de
vibration
pour
des
D=(2k+1) 5 (avec kEN).
La distance séparant deux ventres consécutifs est égale à une
demi-longueur d'onde.
boîtier de protection
cornet en plastique
céramique
pr
piézoélectrique
7718
GeRSIR
* dépôts métalliques
3.2, interférences
support
Pratiquement, pour les expériences nous utilisons des ondes
ultrasonores au lieu des ondes sonores car les mesures sont
plus aisées à réaliser avec le matériel dont nous disposons
(émetteur-récepteur-oscilloscope). Les résultats que nous obtenons sont transposables aux ondes sonores car ils découlent de
propriétés générales des ondes.
broches
Transducteur à ultrasons
|
e Le microphone est sensible à la pression de l’air. L’exploration de la colonne d’air contenue dans le tube montre qu’aux
nœuds de déplacement correspondent des ventres de pression
puisque, dans ce cas, nous obtenons un signal maximal sur
l'écran de l’oscilloscope. Aux ventres de déplacement correspondent des nœuds de pression puisque, dans ce cas, nous
n’obtenons aucun signal à l’oscilloscope.
8,3 mm
|
m 3.2.1. Transducteur ultrasonique
Un transducteur ultrasonique (fig. 17.46) transforme :
e de l’énergie électrique en énergie mécanique lorsqu'il fonctonne en émetteur;
Dimension de la céramique
piézoélectrique
Fig. 17.46. Transducteur d'ultrasons.
Nous utilisons les transducteurs ultrasoniques
MA 40 LIS et MA 40 LIR de chez MURATA.
342
e et de l'énergie mécanique
fonctionne en récepteur.
en
énergie
électrique
lorsqu'il
La longueur d’onde À des ondes ultrasonores émises dépend des
dimensions de la céramique piézoélectrique. Dans le cas de la
cellule choisie : À = 8,5 mm. Dans l’air à 20 °C, la célérité c du
son est voisine de 340 m/s et la fréquence d'émission est alors
proche de 40 kHz (f= c/).
Pour que la cellule émette des ondes ultrasonores, il suffit de
l’alimenter par un générateur B.F. fournissant, par exemple,
une tension sinusoidale de 40 kHz. La céramique entre en
résonance mécanique et émet alors des ondes ultrasonores à la
fréquence de 40 kHz.
m3.2.2. Expérience
Nous utilisons trois cellules : E, et E, fonctionnent en émetteurs
et la troisième, R, est utilisée en récepteur (fig. 17.47).
1° Réglages préliminaires
a) Plaçons la cellule réceptrice R en face de la cellule émettrice
E, à une distance D de 40 cm. Les broches de la cellule R sont
reliées à l’une des voies d’un oscilloscope. Appliquons la
tension maximale disponible à la sortie du générateur à E,. La
résistance du rhéostat Rh, est alors nulle.
Fig. 17.47. Expérience d'interférences acoustiques.
b) Ajustons la fréquence du générateur de manière à obtenir à
l’oscilloscope un signal d'amplitude maximale. Le «ronflement» de fréquence f = 50 Hz (dû au secteur) visible sur l'écran
peut être :
e réduit en plaçant une résistance de 10 k£2 entre les broches
de la cellule R ;
e pratiquement supprimé en intercalant un circuit Z—C résonnant parallèle entre les bornes du récepteur. Avec les cellules
proposées, un condensateur de capacité C = 4700 pF et une
bobine à noyau de ferrite réglable, d’inductance maximale
L=2,2 mH permettent de réaliser un accord satisfaisant.
c) Plaçons la cellule réceptrice en face de la cellule émettrice E,
à la distance D = 40 cm. Alimentons la cellule E;, au moyen du
générateur précédent (même tension). Ajustons le rhéostat Rh;,
en série avec l'émetteur afin d’obtenir, à l’oscilloscope, un
signal d'amplitude égale à celle du signal observé lors du réglage
de E, (si ce n’est pas possible, chercher un signal maximal avec
E, après avoir pris une valeur nulle pour Rh,, puis chercher un
signal identique avec E, en ajustant Rh).
2° Manipulation
Sans modifier les réglages précédents, plaçons les cellules
émettrices en S, et S, à une distance de a = 6,8 cm l’une de
l’autre (fig. 17.47). Les deux cellules émettrices étant alimentées, déplaçons la cellule réceptrice R le long de la
circonférence d’un cercle gradué, de rayon D = 40 cm, centré en
O milieu du segment S;S;.
3° Observations
a) La courbe visualisée à l’oscilloscope montre que nous
obtenons un signal dont l’amplitude est fonction de l’emplacement de la cellule.
b) Cette amplitude passe par des maximums et des minimums.
c) La distance i séparant deux positions consécutives correspondant à des signaux d’amplitudes maximales est égale à celle
qui sépare deux positions consécutives correspondant à des
signaux d’amplitudes minimales. La mesure de ; donne :
i=
5 cm.
343
d) Une augmentation de la distance D entraîne une augmentation de la distance À (si D double, i double).
e) Une diminution de la distance a entre les deux sources
entraîne une augmentation de la distance i (si a est divisé par
deux, : double).
4 Interprétation
a) Les deux sources émettent deux ondes progressives sinusoidales. L’état des deux sources à un instant / est représenté par
les égalités suivantes :
Us, = P COS @{
et
Us = D COS WI.
Les deux sources ont la même amplitude p. Elles ont la même
pulsation & et elles sont en phase : elles sont synchrones.
e Si la source placée en S, fonctionnait seule, l’état vibratoire
d’un point M situé à la distance D, de S, reproduirait celui
de S, avec un retard ()
2
A l'instant t l’état vibratoire du point M est représenté par :
x
D, Vus sé
U, = D COS © DE = D cos|
oD,
œt - ——
e
|),
e Si la source placée en S, fonctionnait seule, l’état vibratoire
du point M situé à la distance D, de S, reproduirait celui de S,
D; |}.
avec un retard |—<
Ô
A l'instant / il serait représenté par :
U, = D cos oi - ea)= Pcos oi: NS.
ë
c
e Lorsque les deux sources fonctionnent simultanément, l’état
vibratoire # du point M résulte de la superposition des deux
états précédents :
u = u, + u, = 2p cos @(D, - D) * COS Lorü ep +20]
2C
L’amplitude de vibration du point M est égale à :
2p cos @(D, - D;)
b) L’onde
T= Pen
provenant
de
S,; arrive
en
M
avec
un
retard
par rapport à celle provenant de S, (fig. 17.48),
deux cas particuliers importants sont à envisager :
Premier cas : l’amplitude de vibration du point M est maximale
Elle est alors égale à 2p. Ce cas particulier est obtenu lorsque :
cos @(D, = D) _ cos
kT =+
1e
2c
c’est-à-dire pour :
o(D, = D,;) 5 kn,
2c
ù
Fig. 17.48.
344
27
soit :
D, - D, = kc°T
(car& = a)
Donc :
[D, -D,=kà]
(puisque 1 = cT').
Notons que, dans ce cas, le décalage entre les ondes provenant de S, et S,, lorsqu'elles atteignent le point M, est égal à :
T =
D, - D,
= KT.
Il est égal à un nombre entier de périodes : ces deux ondes, qui
interfèrent, sont en phase. On comprend que leurs amplitudes
s'ajoutent puisque si deux fonctions sinusoiïdales w, et w, de
même amplitude, de même pulsation sont en phase (fig. 17.49),
leur somme est égale à :
u =
2u, =
2u;.
Second cas : l’amplitude de vibration du point M est nulle
Ce cas particulier est obtenu lorsque :
cos
(Dr Du) cos](2k+ 1) EC
2c
c’est-à-dire pour :
@(D, - D;)_
L
er SPQE Y
! [ex+ nl,
soit :
D,- D, =(2k+ Des
(caro=
À).
Fig. 17.49. Somme de deux fonctions sinusoidales en phase, de même fréquence et de même
amplitude.
Dans ce cas, lorsque les ondes provenant de S, et S; parviennent en M le décalage de l’une par rapport à l’autre est égal
à
= Di=: D) pa DL.2
;
Il est égal à un nombre impair de demi-périodes : ces deux
ondes, qui interfèrent, sont en opposition de phase. En effet
lorsque deux fonctions sinusoidales w, et u, de même amplitude, de même pulsation sont en opposition de phase
(fig. 17.50), leur somme est nulle.
Quel que soit l'instant considéré, en tout point vérifiant la
condition précédente, l'amplitude de l’onde résultante est nulle,
c) Sur l'arc de cercle C, la distance séparant deux positions
consécutives correspondant à des signaux d'amplitude maximale, est égale à 2.
Cette distance est appelée interfrange i :
Fig. 17.50. Somme de deux fonctions sinusoi-
phase, demême fréquence
tion
dales enopposide
et de même amplitude.
e Calcul de l’interfrange dans le cas de l’expérience
figure 17.47.
de la
345
Avec À = 8,5 mm, D = 40 cm et a = 3,4 cm nous obtenons :
; = (:5 + 1075 x 40 - 107?) d:
à SM
(6,8 : 107?)
Nous avons mesuré un
confirme bien le calcul.
interfrange
de 5 cm
l'expérience
e Le phénomène d’interférences se produit chaque fois qu’il y a
superposition de deux ondes progressives provenant de deux
sources synchrones. Il y a également phénomène d’interférences
lorsque les deux ondes proviennent de deux sources vibrant à
la même fréquence et dont les signaux présentent un déphasage
constant l’un par rapport à l'autre (p=0 dans l’exemple
précédent) : les sources sont dites cohérentes.
Les franges d’interférences sont décalées dans l’espace par
rapport à la position qu’elles occuperaient si les sources
étaient synchrones.
Vérification expérimentale
Si nous permutons les bornes de l’une des deux cellules
émettrices, nous introduisons un déphasage de x radians entre
les ondes émises par ces cellules. Il y a toujours un phénomène
d’interférences mais si en un point M l’amplitude du signal
résultant était maximale auparavant, elle est minimale à
présent.
Travaux pratiques
1. Utilisation d’un optocoupleur
sion d’un signal
pour
la transmis-
Un optocoupleur est une chaîne photométrique :
e la source est une diode électroluminescente ;
e le milieu de propagation est généralement l'air;
e le détecteur est un phototransistor.
L'énergie lumineuse provenant de la diode électroluminescente commande le fonctionnement du phototransistor. Source et détecteur sont placés dans
deux circuits différents.
Les deux parties du montage électronique (circuit de
commande et circuit commandé) sont totalement
séparées (isolation galvanique).
Un optocoupleur peut être utilisé par exemple :
e pour la transmission des impulsions de commande de thyristor;
e pour la transmission d'informations provenant de
capteurs et devant être traitées par un ordinateur. Les optocoupleurs sont généralement situés au
niveau de l’interface où a lieu la conversion analogique-numérique, les signaux binaires étant les seules
grandeurs qu’un ordinateur puisse traiter.
346
Caractéristiques de l’optocoupleur
On utilise lun des deux optocoupleurs se trouvant
dans le boîtier MCT6 (fig. 17.51). La diode émet des
radiations infrarouges.
8
Fig. 17.51.
7
6
5
2
3
4
Les valeurs à ne jamais dépasser sont :
e pour la diode : /1, = 40 mA, P,.,, = 100 mW:
e pour
le
Pas = 150 mW.
phototransistor
Ice = 30 mA,
1.1. Transmission de signaux sinusoïdaux
a) Polarisation du photocoupleur
On donne : Rc= 1 kQ, R;, = 330 Q.
e Réaliser le montage de la figure 17.52. Si les deux
alimentations choisies ont leurs bornes négatives
reliées à la masse, elle-même reliée à la terre du
secteur, il est impératif de respecter le branchement
proposé.
e Courbe de transfert
En plaçant l’oscilloscope sur la position XY relever
la courbe v,(v.). La fréquence étant maintenue à
1 kHz, faire varier l'amplitude de la tension v..
-En
déduire
les limites
du domaine
linéaire
et la
valeur du rapport À = F./V..
e Influence de la fréquence
Régler l’amplitude de la tension v, à 1 V. Relever
l'amplitude de la tension v. pour des fréquences
variant de 50 Hz à 100 kHz. Tracer la courbe de
gain G=201lg(V./V.) en fonction de f sur une
feuille à graduation semi-logarithmique. Jusqu'à
quelle fréquence le gain reste-t-il constant?
1.2. Transmission de signaux en créneaux
Il est possible d’utiliser le montage précédent en
remplaçant le générateur de tension sinusoïdale par
un générateur de tension en créneaux.
Le montage de la figure 17.54 évite l’utilisation de
deux sources de tension continue mais impose un
générateur B.F. avec réglage d’offset.
Réaliser ce montage avec :
Fig. 17.52.
e La source alimentant le circuit de la diode délivre
Ro=50Q,
R=5KkQ
et Ve=10V.
une tension V5, réglable de 0 à 20 V. Initialement
Von ani 0 W:
e La source alimentant le circuit du phototransistor
fournit une tension fixe égale à Pc = 20 V.
e Augmenter progressivement la tension
jusqu’à l'obtention de la tension Pc = 10 V.
Vpp
e Relever les valeurs de Zc, 15 et Vn obtenues.
Calculer le rapport Z-/15.
b) Transmission d’un signal
Montage
On donne : R, = 470 Q, C, = C;,= 100 uF.
Sans modifier les réglages réalisés précédemment,
éteindre les générateurs pour mettre les circuits hors
tension. Réaliser le montage de la figure 17.53.
Fig. 17.54.
Convention d’écriture
Écrivons la f.é. m. e; du générateur sous la forme :
es =E+e en appelant Æ, la tension continue
réglable (tension d’offset) et e la composante alternative.
L’intensité ,., du courant traversant la diode peut
s’écrire sous la forme :
ipt = po + ip;
150 est la valeur moyenne de cette intensité et 1, est
Fig. 17.53.
e Calculer les impédances des condensateurs C et
C; lorsqu'ils sont traversés par un courant sinu-
la composante alternative.
De même l'intensité du courant traversant le phototransistor peut s’écrire :
ia = co + ic
deux condensateurs?
Ico est la valeur moyenne de cette intensité et ic est
la composante alternative.
Expérimentation
Replacer les générateurs sous tension. Régler la
fréquence et l'amplitude de la tension de sortie du
générateur B.F. respectivement à 1 kHz et à 1 V.
Visualiser les tensions v, et v, et les comparer (ne
pas oublier que les deux voies de la majorité des
oscilloscopes ont une masse commune).
Visualiser les tensions aux bornes des résistances R5
ÉTAT.
Se placer dans les conditions telles que : Z = 1 mA
et ic =0,5 mA à 1 kHz. Relever les oscillogrammes
de à et de ic à 100 Hz puis à 1 kHz et enfin à
10 kHz. Comparer la forme des signaux.
soïdal de fréquence f = 1 kHz. Quel est le rôle des
Expérience
347
2. Propagation d’une onde dans une fibre optique
e Fixer ensuite convenablement les extrémités de la
2.1. Transmission d’un signal infrarouge
Montage
n.
Réaliser le montage de la figure 17.55 en utilisant :
e deux générateurs de tension (6 V par exemple);
e une
diode
électroluminescente
rouge
(ou autre
couleur);
e une résistance de 100 Q:
e une fibre optique de longueur / = 3 m environ et
de diamètre d = 1 mm;
e une diode
MFOE71);
émettrice
e un phototransistor
MFOD72),
100 Q
#
à
infrarouge
à infrarouge
fibre optique à l'émetteur et au récepteur, Alimenter
le circuit de la diode à infrarouge, Quel est le nouvel
état de la diode électroluminescente rouge?
2.2. Transmission d'un signal sonore
Montage
Réaliser le montage de la figure 17,56 en utilisant par exemple le microphone et le haut-parleur
d'un combiné téléphonique (le microphone est équivalent à une résistance variable entre 200 @ et
400 Q, celle du haut-parleur est voisine de 50 Q),
(référence
(référence
:
microphone
haut-parleur
#
A
phototransistor
phototransistor
fibre optique
Fig, 17,56.
fibre optique
Fig. 17.55.
Expérience
e Alimenter uniquement le circuit du phototransistor. Quel est l’état de la diode électroluminescente
rouge ?
Expérience
Les deux cireuits sont alimentés ; fixer les extrémités
de la fibre optique à l'émetteur et au récepteur, En
assimilant le microphone à une résistance dont la
valeur est modulée par le son reçu, expliquer la
transmission du son du microphone vers le haut.
parleur,
Contrôle des connaissances
INDIQUER LA (OU LES) BONNE(S)
RÉPONSE(S)
17.01. | Un
laser émet
un
La vergence d'une lentille est F= 108,
Quelle est sa distance focale ?
rayonnement
mono-
chromatique de longueur d'onde À = 632,8 nm.
R : 1,74: 10! Hz; 2,28 : 105 Hz; 3,14 : 10 Hz;
4,74 : 10 '* Hz.
d’un
rayon
lumi-
neux sur un miroir plan est 30°, quelle est la valeur
de l’angle de réflexion?
R : 60°; 45°; 30°; O0,
17.03. | Un rayon lumineux, se propageant dans le
vide, arrive avec un angle incident de 60° sur un
bloc de verre dont l'indice absolu est N = 1,5. Quelle
est la valeur de l’angle de réfraction?
R : 45°; 359: 250: 150,
348
+
Un point objet réel À est situé sur l'axe
Quelle est la fréquence de ce rayonnement ?
17.02. | Si l'angle d'incidence
R : 0,20 m; 0,10 m; 0,05 m; 0,01 m.
optique d'une
lentille mince
convergente,
de dis:
tance focale = 20 cm, à une distance AO = 0 em
du centre optique O. L'image A' de l'objet À est
située à la distance OA’, Calculer la mesure algés
brique OA.
R : 0,60 m; 0,50 m; — 0,40 m; — 0,20 m.
Un point objet réel A est situé sur l'axe
optique d’une lentille mince divergente de distance
focale f= 50 cm, à une distance AO=20em du
centre optique O. L'image A' de l'objet A est située
à la distance OA’. Calculer la mesure algébrique
R : 8,4 cm; 3,0 em; = 7,1 em; = 14,3 em.
[M
| La valeur efficace de la pression acoustique fournie par une source est P= O8: 10 * Pa
Quel ent le niveau sonore de cette source ?
pression sonote est P = 200 Pa (seuil intolérable) ?
R:1S4B; 21 4h; 28 4h; N ah,
[0
] Un laser émet un faisceau lumineux de
longueur d'onde À = 642,8 nm, Le faisceau éclaire
deux fentes parallèles pratiquées dans une plaque
[1708 ] La valeur efficace de la premion sonore du
seuil d'audibilité à 1 Kia ont M, = 2: 10 * Pa,
opaque, Sur un écran placé à une distance
D = KO cm des deux routes on observe un svstème
d'intertérences dont l'intertrange est : = 1,0 min,
ra l'air, cela correspond à une “intensité sonore
= 107 1 \Vm?,Quelle est l'intensité sonore £ d'un
son de 1 kble dans l'air, si la valeur efficace de la
R + 10 mi
100 Wim: 200 Wim ?: 400 W/m?,
Quelle est la distance & séparant les deux fentes ?
R à Lune OS mms 0,28 muni QE min,
Exercices résolus
Un rayon Incident LH arrive en H, sous
une Incidence de A0, sur In surlace dé séparation
de deux milieux d'indices #, et m3 (Mg, 12,87),
1° Quelle relation doit exister entre À, À, (rayons
des cercles C, et C;), #, et #, pour que ln direction
du rayon
HQ,, représenté sur ln figure 172,87, soit
celle du rayon réfracté?
2 La figure étant À l'échelle, déterminer l'indice
relatif du milieu 2 par rapport au milieu À: #4,
4 Déterminer l'angle de réfraction r
D'où :
Comme
HP = HQ, sin t = HQ, «in #
HQ, = N, et HQ, = À, nous obtenons :
R,ints
AR; in p,
(1)
Une autre relation ext obtenue en appliquant la loi
de Descartes :
n, Sn
= 3 NN PF
(2)
Des égalités (1) et (2) nous déduisons
demandée :
KR;
hs
LAN
ni
la relation
2 Caleul de m4
:
bal
Par définition :
ns
y
*
Or!
ft,
LE) =
R;, se HQ;
M,
À,
HQ,
Nous pouvons déterminer la valeur de ce rapport
par mesure
directe
de HQ,
et HQ,
sur la figure
fournie,
Pig. 17.87.
Nous obtenons :
Mn = 15
Xe Détermination de l'angle de réfraction r
Nous utilisons la loi de Descartes :
SOLUTION
1 Détermination de la relation linnt K,, Rs fi ét nt
Par construction nous avons :
HOP=1
«1 FOP-r
Les triangles HO,P et HOQ,P étant rectangles en P,
nouñ pouvons écrire :
sin 1. HE=,
HO; °
finrs HE.
HO;
|
nt Sen de ns Rin r
|
nir
Mr
= = gin à,
]
Soit :
Ninr = ain £,
Mi
Application numérique
sinre “ Le
sin p = 1%
p = [9010
349
17.11. |Deux sources S,.et S;, cohérentes et en
phase, distantes de 7,5 cm, sont animées d’un même
mouvement vibratoire de fréquence f = 50 Hz. Elles
produisent à la surface de l’eau contenue dans une
cuve à ondes, des ondes progressives circulaires, de
même amplitude, de célérité c = 1 m/s.
1° Quelle est la longueur d’onde À des ondes progressives émises par les deux sources ?
2° Qu’observe-t-on à la surface de l’eau ?
Ces franges sont obtenues en reliant, entre elles, les
intersections des cercles de même couleur.
e En trait pointillé rouge, sont représentées les
franges d'amplitude nulle : pour qu’un point M
appartienne à l’une de ces franges, il faut que :
MS, — MS;= (2k + 1) 5.
Ces franges sont obtenues en reliant, entre elles, les
intersections des cercles de couleurs différentes.
3° Représenter l’aspect de la surface de l’eau à
l'échelle 1/1 en précisant les lignes des points
d'amplitude maximale et les lignes des points
d’amplitude nulle.
SOLUTION
1° Calcul de la longueur d’onde À
Par définition :
2=cT -
Application numérique
="
3 [1=2.102m
2° Observation de la surface de l’eau
Des rides (ou franges) fixes, bien nettes, se forment
dans la région voisine du segment S;S,. Elles sont
orthogonales au segment S;S,. Elles correspondent,
alternativement, à des lignes de points d'amplitude
maximale et à des lignes de points d'amplitude
nulle : c’est un phénomène d’interférences.
3° Représentation de l’aspect de la surface de l’eau
(fig. 17.58).
e En trait fin rouge, sont représentés des cercles de
À
rayons (2k+ 1) 5 +r, r est une valeur quelconque
dépendant de l'instant choisi pour la représentation.
e En trait fin noir, sont représentés des cercles de
rayons k + r.
e En trait épais rouge, sont représentées les franges
d'amplitude maximale : pour qu’un point M appartienne à l’une de ces franges, il faut que :
MS,
350
Te MS;
=
ka.
Fig. 17.58.
Exercices à résoudre
17.12. | Deux points A et B appartiennent à un
plan qui est orthogonal à un miroir plan (M)
(fig. 17.59). Construire la marche des rayons
incident et réfléchi afin que le point A soit sur le
support du rayon incident et le point B sur celui du
rayon réfléchi.
2° O est le centre optique de la lentille et A’ un
point de l’axe optique situé sur le film, image d’un
objet À également situé sur l’axe optique. Entre
quelles limites peut varier la valeur algébrique
OA’?
L7.E5. | Une onde de fréquence f= 1 kHz se pro>
page dans l’eau à la célérité c, = 1 500 m-s-!, dans
la fonte à la célérité c, = 3000 m - s” ! et dans l’acier
à la célérité c; = 5000 m-s°!.
x
(M)
Calculer les longueurs d’onde de l’onde progressive
dans ces différents milieux.
Fig. 17.59.
17.16. | Un prisme en plexiglas d’indice relatif par
Une source lumineuse ponctuelle S éclaire
un miroir plan (M) mobile autour de l’une de ces
arêtes. Une coupe de l’ensemble est représentée sur
la figure 17.60 : l’axe de rotation passe par O ; OM,
est la position initiale du miroir, OM, est sa
position finale; «= M,OM,
rotation du miroir.
représente
rapport à l’air 72 = 1,5, a comme section droite un
triangle rectangle isocèle (fig. 17.61). Un rayon
lumineux arrive sous incidence normale sur la face
opposée à l’angle droit.
A
l’angle de
B
C
Fig. 17.61.
1° Représenter la marche du rayon lumineux.
2° Calculer l’angle formé par le rayon émergent et
le rayon incident.
1717: | Une lentille mince divergente L, est acco-
lée à une lentille mince convergente L, de distance
focale OF; =10cm (les centres optiques seront
considérés comme confondus). L'ensemble est alors
Fig. 17.60.
1° Représenter la marche du faisceau lumineux
incident et celle du faisceau lumineux réfléchi :
1.1 lorsque le miroir occupe la position OM
;
1.2. lorsque le miroir occupe la position OM;.
2° On fait tourner le miroir d’un angle æ = 10°. De
quel angle B tourne un rayon réfléchi?
assimilable à une lentille mince convergente L; de
distance focale OF; = 15 cm.
1° En choisissant un objet AB perpendiculaire à
l'axe optique (A sur l’axe optique) écrire la relation
de conjugaison :
1.1. pour la lentille divergente L, ;
1.2. pour la lentille convergente L,;
1.3. pour la lentille équivalente L;.
2° En utilisant les trois relations précédentes, calL'objectif d’un appareil photographique
appelé «grand angle» peut être considéré comme
équivalent à une lentillle mince convergente de distance focale OF’ =28 mm.
Le constructeur indique
«mise au point minimale» : D,, = 30 cm.
1° Que signifie : «mise au point minimale»?
culer la distance
gente L;.
focale OF,
de la lentille diver-
3° En choisissant OA = — 35 cm, déterminer graphiquement et à l’échelle, la position de l’image A'B'
de AB à travers
lentilles accolées.
le système
formé
par
les deux
351
TABLE DES MATIÈRES
................................
3
Te- = ST
30
3. Autres fonctions de l'électronique, associations de fonctions .......................
49
4. Fonctions analogiques non linéaires ............................................
74
224
+ esre
cr emnsomsses
95
1. Régime permanent sinusoïdal - Circuits linéaires
RON
pr
Cl TINUUÉS TATAIDPIQUES T1 2... LE. Mans eee emeseres
SAFonCHons IOnIUES IONCLIOTS HUMICHIQUSS ….{. :..
117
en...
6 Fonctions hybrides CON ALAN
RE
132
8. Circuits linéaires, circuits non linéaires en régime permanent
......................
151
J'HAphartils NUIMÉTIQUES
nee
a ntte EN
173
10. Erreurs ét incertitudes
TUE
0
MONT enr Ale.6..
7.7 ............
7... Signaux électriques - ANALYSE...
ermeinus - «+ 0e « ques is Cat
202
COMEDIE
NES
225
OI
TR
TE
247
RAS
A
RTS
267
..2,:
..,...
2.941,88
48 . OR
293
DPI
OS
314
TN
PR PEAR
ES
921
122" Génération de signauK périodiques
EU,
l4" Convertisseurs statiques
. ..#.. 8. shout
uns
RAD
À. ...,.25
mnt
hist
. Ch
en...
M.
tation PTE.
15# Conversion: d'énergie: Machinesitournantes
16. Énergétique
21...
LS ODHQUE Et ACONSHQUE
Avec les remerciements
184
2008
Lis Système comniandé.en chaîne ferméeuws
13. Cironits MasnCUiQuEs
OU
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4 754.
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de l'éditeur à M. Lévèque, société TEKLEC
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E
I.C. et M. Grimontent,
société
METRIX.
Achevé
ne
N°
d'imprimer
14110
Se
Corlet,
Condé-sur-Noireau
Imprimeur,
S.A.
(France)
d'Editeur : 10006541-11-(11)-(0SB)-80°-MCP - N° d'Imprimeur : 2842 - Précédent dépôt : octobre 1990 - Dépôt légal : octobre 1991
Imprimé en C.E.E.
PRINCIPE DE LA TRICHROMIE
Voir
chapitre
17,
figure
30
Voir
chapitre
17, figure
31
EM
Cet ouvrage présente les principes de l'électronique et de
l'électronique de puissance. || présente des fonctions de l'électronique
analogique et de l'électronique numérique et des applications (amplificateurs, oscillateurs, capteurs, systèmes asservis).
HET
CTOUUTE
— pour les élèves de la classe de terminale F2;
— pour les étudiants des diverses sections de techniciens supérieurs;
— pour les auditeurs de la formation continue.
EM
Chaque chapitre est construit selon le même
schéma
et comporte:
— un cours bref et bien structuré;
— des travaux pratiques à réaliser pour conforter les acquis théoriques;
— des exercices de contrôle
réponses;
— des exercices résolus;
des connaissances
avec
choix
de
— des exercices à résoudre, de difficultés graduées.
EM
Dans la même collection:
— Physique appliquée 1e F2-3-5
— Physique appliquée 1re F1-4-9-10
— Physique appliquée Term. F1
— Physique appliquée Term. F3.
COUVERTURE
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Manuel Physique Appliquée Électronique Terminale F2

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