La statique par les torseurs : Méthodes et applications

La statique par les torseurs
STATIQUE DU SOLIDE
IV –Résolution des problèmes de statique
Analytique (utilisée pour tout
Statique analytique- Les torseurs problème
et surtout ceux en 3D)
La résolution par les torseurs est de loin la plus puissante, la
plus rigoureuse, mais aussi la plus longue. Elle n’est à utiliser
que lorsque les autres méthodes ne sont pas adaptées.
Théorème des forces
Théorème des moments
Méthode des torseurs
Avant d’aborder cette méthode de résolution, répondons à la question :
Qu’est-ce qu’un torseur ?
Un torseur est une description complète d’une action mécanique,
exprimé par rapport à un point particulier (point choisi).
On y trouve :
- la valeur de l’effort exercé en B (aussi appelé « Résultante »),
- la valeur du moment de cet effort par rapport au point choisi.
z
RB
M/A(RB) A
x
B
RB
M/A(RB)
y
A
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Analytique (utilisée pour tout
Statique analytique- Les torseurs problème
et surtout ceux en 3D)
…Qu’est-ce qu’un torseur ? (suite)
Théorème des forces
Théorème des moments
z
RB
M/A(RB)
Méthode des torseurs
x
RB
By
A
M/A(RB)
A
Ces deux termes sont des vecteurs.
Ils possèdent donc tous deux des coordonnées dans le repère x,y,z :
RB (X,Y,Z)
M/A(R ) (L,M,N)
B
Le torseur de l’action mécanique RB, exprimé au point A s’écrit donc :
T( RB ) A=
X
Y
Z
L
M
N
Coordonnées
de la résultante
A
Coordonnées
du moment
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Analytique (utilisée pour tout
Statique analytique- Les torseurs problème
et surtout ceux en 3D)
…Qu’est-ce qu’un torseur ? (suite)
Théorème des forces
Exemples de torseurs particuliers :
Théorème des moments
Méthode des torseurs
• Torseur « couple »
z
C
x
0
y
0
0 la résultante
C’est un
torseur
est nulle.
(C
) =pour lequel
A
0 A C A
0
T
• Torseur « glisseur »
0 est nul.
C’est un torseur pour lequel0le moment
C’est le cas, par exemple à0chaque0fois que le torseur est exprimé
31
en un point
situé sur
A la droite d’action de la résultante G
T(A
) =
De même pour le poids…
T(A
T31
(P) ) ==
GB
ZA
0
0
0
-PA
Z
0
0
0
A
A31
z
x
A
P
G
B
B
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Analytique (utilisée pour tout
Statique analytique- Les torseurs problème
et surtout ceux en 3D)
…Qu’est-ce qu’un torseur ? (suite)
Théorème des forces
Exemples de torseurs particuliers :
• Les Torseurs « de liaison »
Théorème des moments
Méthode des torseurs
La présence d’un degré de liberté dans une liaison supprime toute possibilité de
transmission d’action mécanique dans la direction correspondante.
Prenons l’exemple de la liaison ponctuelle :
D13
D
D31
D
…la seule action transmissible de la pièce 1 à
la pièce 3 est précisément la force suivant z
Le seul ddl bloqué est la
translation suivant z…
La logique est la même pour toutes les autres liaisons…
Nom
de la liaison
Pivot
Hélicoïdale
Appui-plan
Glissière
Linéaire
Rotule
pivot
Encastrement
Ponctuelle
glissant
annulaire
Degrés de liberté
Exemple
2 2
2 12
22
211
111
1
A
AAAAA
A
A
112
Torseur des actions
mécaniques
transmissibles
Tx
0
0
Rx
0
X
0
L
Ty
0
0
Ry
0
Y
M
0
0
Tz
Rz
0
Z
0
0
N
Nombre
d’inconnues
de statique
6
5
6
4
3
2
1p
A
L
2
X
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Analytique (utilisée pour tout
Statique analytique- Les torseurs problème
et surtout ceux en 3D)
…Comment appliquer le PFS
avec les torseurs ?
Théorème des forces
Théorème des moments
Méthode des torseurs
Simple! Le PFS nous invite à faire la somme des actions mécaniques. Or,
il se trouve que chaque torseur représente une action mécanique…
…il suffit donc d’effectuer la somme des torseurs et de déclarer cette
somme égale à un torseur nul.
ST
SS
XA LA
XB LB
Y M + Y M +...+
=
A
A
A
ZA NA A
B
B
ZB NB A
Xi Li
0 0
Yi Mi
= 00
Zi Ni A
0 0 A
On additionne ensuite membre à membre pour obtenir un système de 6 équations :
XA + XB +…+ Xi = 0
Y + Y +…+ Y = 0
A
B
i
Torseur
de
Torseur de
ZA + ZB +…+
la liaison
A Zi =la0 liaison B
LA + LB +…+
0
exprimé
au Li =exprimé
au
point
A
MA +AMB +…+ Mpoint
i = 0
NA + NB +…+ Ni = 0
Torseur de
la liaison ‘i’
exprimé au
point A
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Analytique (utilisée pour tout
Statique analytique- Les torseurs problème
et surtout ceux en 3D)
…Comment appliquer le PFS
avec les torseurs ?
Théorème des forces
Théorème des moments
Méthode des torseurs
Simple! Le PFS nous invite à faire la somme des actions mécaniques. Or,
il se trouve que chaque torseur représente une action mécanique…
…il suffit donc d’effectuer la somme des torseurs et de déclarer cette
somme égale à un torseur nul.
ST
SS
XB LB
XA LA
Y M + Y M +...+
=
A
A
B
A
ZA NA A
B
ZB NB A
Xi Li
0 0
Yi Mi
= 00
Zi Ni A
0 0 A
Cette somme de torseurs n’est possible que si TOUS
les torseurs sont exprimés en un MEME POINT !
ATTENTION !
Le problème, c’est qu’au début, chaque action
mécanique est exprimée en son point d’origine…
 Il faut donc trouver une méthode pour
« transporter » les torseurs où bon nous semble
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Analytique (utilisée pour tout
Statique analytique- Les torseurs problème
et surtout ceux en 3D)
…Comment « Transporter » les torseurs ?
z
M
(R)
/A
Avec une brouette
B
torseur de R
X
L
exprimé au /Bpoint B
Y
M/B
Z
y
R
M/B(R)
N/B
B
Théorème des moments
Méthode des torseurs
x
R
Théorème des forces
!!!
A
M/B(R) B
( Oups !!! )
Quand on transporte un torseur, la résultante
ne varie pas, seul le moment varie
R
M/A(R)
A
torseur
de
X
L/AR
exprimé au point A
Y
M/A
Z
N/A
A
M/B(R) = M/A(R) + BA R
L/A le moment
L/Bfaut donc calculer
…il
point
« d’arrivée » …
X au L
xA-xBpar rapport
/A + yA-yB . Z - zA-zB . Y
layméthode
« BABAR
»
M…
M…avec
M/B
Y
/A + zA-zB . X - xA-xB . Z
/A
A-yB
N/B
=
+
=
N/A
zA-zB
Z
N/A + xA-xB . Y - yA-yB . X
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Analytique (utilisée pour tout
Statique analytique- Les torseurs problème
et surtout ceux en 3D)
En résumé…
Théorème des forces
La méthode de résolution reste identique aux précédentes.
Nous allons seulement devoir ajouter « quelques » étapes
de calcul pour exprimer les torseurs en un point particulier.
Théorème des moments
Méthode des torseurs
• Choisir le solide à isoler (voir graphe des liaisons)
• Faire le bilan des actions (pour choisir la bonne méthode)
• Exprimer tous les torseurs en leur point d’application :
Torseur de liaison, torseur couple, torseur glisseur…
• Transporter tous les torseurs en un même point :
Méthode BABAR
• Appliquer le PFS :
Écrire la somme des torseurs = 0
S TSS =
0
0
0
0
0
0
Additionner membre à membre
• Application numérique
Résoudre le système d’équations
Cette méthode
est à retenir
STATIQUE DU SOLIDE
IV –Résolution des problèmes de statique
Statique plane
Qu’est-ce qu’un problème plan ?
Un problème plan est un problème pour lequel les actions
mécaniques appliquées au solide sont :
- soit des forces parallèles ou symétriques au plan de l’étude
- soit des moments d’axe perpendiculaires au plan de l’étude.
Exemple sur un solide isolé :
y
z
y
y
x
Problème plan
z
xz
x
Problème spatial
plan
Problème
STATIQUE DU SOLIDE
IV –Résolution des problèmes de statique
Statique plane
Quelle est l’utilité d’un problème plan ?
Cela va simplifier (et surtout alléger) nos calculs car dans un
problème plan, nous ne pourrons pas avoir :
- de forces perpendiculaires au plan de l’étude
y
z
- ni de moments parallèles au plan de l’étude.
x
Ces actions seront
considérées nulles
Donc, un torseur ne possède
plus que trois inconnues...
Ex : cas d’un plan d’étude (x,y) 
X
Y
-
N
Torseur des actions
Nombre
mécaniques
d’inconnues
Exemple
Degrés de liberté
transmissibles
de statique
Pour cette même raison, les torseurs d ’actions
transmissibles
Nom
de la liaison
par les liaisons usuelles se simplifient
eux aussi.
X
0 Ils- se réduisent
0
Tx
au nombre de trois…
Ponctuelle
Glissière
Articulation
Ty
0
-
0
Y
-
-
Rz
0
-
0
N
1
2
A
STATIQUE DU SOLIDE
IV –Résolution des problèmes de statique
Statique graphique
La statique graphique s’applique à des problèmes plans, sans moments.
Il est possible de résoudre des problèmes avec plusieurs forces,
mais nous nous limiterons aux deux cas suivants :
- Solide soumis à deux forces
- Solide soumis à trois forces
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Méthode Graphique
Statique graphique
Exemple : Bielle (2) du
système de bridage
Solide soumis à deux forces
Solide soumis à trois forces
D
B
Isolement du système étudié
Bilan des actions extérieures
Nom de l’action
Point d’application
Direction et sens
Intensité
B12
B
?
?
D32
D
?
?
On constate que ce solide est soumis à deux forces
parallèles au plan de l’étude
Résolution graphique du problème :
Lorsqu’un solide est soumis à deux forces, alors celles-ci ont
même droite d’action, même norme, mais des sens opposés.
Tracer la droite d’action : elle passe par
les points d’application des forces.
Il y a alors deux solutions possibles …
Seul, l’isolement d’un autre solide peut lever le doute
Cette
méthode
est à
retenir
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Méthode Graphique
Statique graphique
Solide soumis à deux forces
Solide soumis à trois forces
Isolement du système étudié
Bilan des actions extérieures
Nom de
l’action
Point
d’application
Direction et sens
Intensité
C21
C
connue
connue
B21
B
connue
?
A01
A
?
?
 ce solide est soumis à trois forces parallèles au plan de l’étude
Résolution graphique du problème
Lorsqu’un solide est soumis à trois forces, alors les directions de
celles-ci sont concourantes, et la somme des trois forces est nulle.
Mises bout à bout, les trois
forces forment un triangle.
Ce triangle s’appelle
« LE DYNAMIQUE »
Voyons tout cela sur un exemple …
Cette
méthode
est à
retenir
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Méthode Graphique
Statique graphique
Exemple : bride mécanique
Solide soumis à deux forces
Solide soumis à trois forces
Isolement du système étudié :
C
6
C
p
2
O
4
3
A
1
O
A
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Méthode Graphique
Statique graphique
Exemple : bride mécanique
Isolement du système étudié : solide (2+3+6)
Solide soumis à deux forces
Solide soumis à trois forces
Bilan des actions extérieures
Résolution graphique
C
6
C
p
2
O
4
3
- Les directions des trois
forces sont concourantes
A
1
O
Action
Point d’application
Direction et sens
Intensité
A13
A
perpendiculaire au contact
800 N
Cp6
C
Droite horizontale
?
O12
O
?
A13
A
?
 ce solide est soumis à trois forces parallèles au plan de l’étude
IV –Résolution des problèmes de statique
STATIQUE DU SOLIDE
Méthode Graphique
Statique graphique
Exemple : bride mécanique
Solide soumis à deux forces
Solide soumis à trois forces
Isolement du système étudié
Bilan des actions extérieures
Résolution graphique
Cp6
C
- Les directions des trois
forces sont concourantes
- Tracé du DYNAMIQUE
O
A13
A13
O02
A
 ce solide est soumis à trois forces parallèles au plan de l’étude
STATIQUE DU SOLIDE
Statique graphique
IV –Résolution des problèmes de statique
Méthode Graphique
Solide soumis à deux forces
Solide soumis à trois forces
à axes parallèles
Solide soumis à trois
forces à axes parallèles