Deuxième bac sciences PC
/SVT /ST
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Correction des examens nationaux :
Suites numériques
Deuxième bac sciences PC /SVT /ST
Plan de chapitre 3 : Etude des
fonctions
➢ Cours détaillé
➢ Résumé de cours
➢ Série d’exercices
Correction des examens nationaux :
Géométrie dans l’espace
➢ De 2024 à 2009 session normale
et rattrapage
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b) Montrer par récurrence que , pour tout entier naturel
Rappel : Raisonnement par récurrence
Soit P(n) une proposition tel que
Pour montrer la propriété P(n) est vraie pour tout entier n n0 :
• Pour n= n0 on vérifie que P(n) est vraie
• Pour n un entier fixé tel que
On suppose que La proposition est vraie et on montre que
est vraie
Alors P(n) devient vraie
* Pour on a qui est vrai
*Soit , supposons que et montrons que
* D’où , pour tout entier naturel
2) a) Montrer que
, pour tout entier naturel
Exercice 01 (Examen 2024-Session-Normal )
Soit la suite définie par : et
, pour tout
entier naturel
1) a) Vérifier que
, pour tout entier naturel
b) Montrer par récurrence que , pour tout entier
2) a) Montrer que
, pour tout entier
b) Montrer que la suite ( ) est décroissante et déduire que
( ) est convergente.
3) Soit la suite numérique définie par
, pour tout
entier naturel
a) Montrer que ( ) est une suite géométrique de raison
b) Montrer que
, pour tout entier naturel
c) Calculer la limite de la suite .
Correction de l’exercice
Soit la suite définie par : et
, pour tout
entier naturel
1) a) Vérifier que
, pour tout entier naturel
Soit :
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Et d'où
Alors
Et puisque : d'où
Donc
Alors :
D'où est une suite décroissante
On a est décroissante et minorée par donc la suite est
convergente
3) Soit la suite numérique définie par
, pour tout
entier naturel
a) Montrer que ( ) est une suite géométrique de raison
Rappel : Suite géométrique
Définition :
en fonction de n :
Cas particulier :
Soit , on a :
Donc est une suite géométrique de raison
.
Soit , on a :
D'autre part on a :
Donc
, pour tout entier naturel
b) Montrer que la suite ( ) est décroissante et déduire que (
) est convergente.
Rappel : Suite croissante ; décroissante
➢
➢
➢
➢ Toute suite croissante et majorée est CV
➢ Toute suite décroissante et minorée est CV
Et on a :
Donc : d'où
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Exercice 2 (Examen 2024-Session-Rattrapage )
Soit la fonction
définit sur l'intervalle
➢
➢ La fonction g est strictement croissante sur
Soit ) une suite numérique définie par et la relation
pour tout .
a) Montrer par récurrence que .
b) Montrer que la suite ( ) est décroissante.
c) En déduire que la suite ( ) est convergente.
d) Déterminer la limite de .
Correction de l’exercice
Soit ) une suite numérique définie par et la relation
pour tout .
a) Montrer par récurrence que
.
➢ Pour n=0 on a
Donc la proposition est vraie pour
Soit
➢ Supposons que et montrons que.
On a la fonction est strictement croissante sur l’intervalle
donc :
;
D'après le principe de récurrence, on a :
b) Montrer que
, pour tout entier naturel
On a est une suite géométrique de raison
et de premier
terme
Donc
D'où
c) Calculer la limite de la suite .
Car
LA suite de la correction
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Correction de l’exercice
Soit la suite numérique définie par :
et pour tout n de
a) Montrer par récurrence que pour tout n de
➢ Pour n=0 on a
La propriété est donc vraie pour n = 0
➢ Soit n un entier naturel,
Supposons que et montrons que .
On sait que est strictement croissante sur et
D'après le principe de récurrence, on a :
b) Montrer que la suite est croissante
, et
Donc on pose , donc d
D’où la suite (un) est croissante
c) En déduire que est convergente et calculer sa limite
la suite (un) est croissante et majorée par 1 donc elle est
convergente.
• La fonction f est continue sur l’intervalle ; car elle est
dérivable sur
•
•
• La suite (un) est convergente
Alors la limite de la suite est L la solution de
l’équation
Et comme la suite( un) est croissante
Donc la limite de la suite est 1
b) Montrer que la suite ( ) est décroissante.
On a et on a
Donc
Donc
Donc la suite (un) est décroissante
c) En déduire que la suite ( ) est convergente.
La suite (un) est décroissante et minorée par donc convergente.
d) Déterminer la limite de .
• La suite (un) est croissante convergente.
• La fonction g est continue sur
*
•
Alors la limite de est L la solution de l’équation
dans I
Donc la limite est
Exercice 03 (Examen 2023-Session-Normal )
Soit la fonction définit sur par
➢ f est strictement croissante sur avec
➢ L’équation f(x)=x admet deux solutions
sur
➢
Soit la suite numérique définie par : et
pour tout n de
a) Montrer par récurrence que pour tout n de
b) Montrer que la suite est croissante
c) En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite
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