公平席位分配模型研究

对公平的席位分配的模型的理解及意见
摘要
本文对于公平的席位分配这一问题的建模进行了一些研究。其首先，分析了经“比例加
惯例法”与“Q值法”这两种模型，提出前者虽操作简单但可能违反席位单调性，而后者虽
然通过动态调整避免了该问题，但计算相对复杂，而且存在结果偏离理想的比例基准的可能
性。对于以上两种模型的不足，本文总结了两种改进方向：一是基于χ²拟合优度检验的统
计重构法，该方法从整体最优的统计学视角出发，得到了计算更为简便的分配规则；二是基
于算术平均的修正 Q值法，通过简化相对不公平度的定义，降低了计算的复杂度。研究表明，
虽然不存在绝对完美的分配方案，但通过模型优化可以在不同维度（如公平性、简洁性、适
用性）之间取得更优的平衡。
01 课堂模型案例
1.1 比例加惯例法
比例加惯例法可以说是最简单的分配方式，其主要步骤为先按比例计算各方的理论席
位 ，然后取其整数部分分配席位，剩余席位则依据各方理论席位的小数部分从大到小依次
分配剩余席位。该方法的优势在于操作上的简易性和直观性。
但这种方法的问题也非常明显，就如课堂上的案例中，按这种方式分配的情况下，在多
一席之后，丙系获得的名额反而减少了，显然这对于丙系来说是不公平的。可以看出，这种
处理方法对于小数部分由高到低的排序显然是武断的，导致有失公平的情况的出现。
1.2 Q 值方法
基于比例加惯例的方法出现的问题，Q值方法中引入了“相对不公平度”这一概念。其
目标即将新增的席位分配给能最大程度降低系统总体相对不公平度的一方。设 A,B 两方人数
分别是 p1,p2，占有席位分别是 n1,n2，将 rA（n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)定义为对 A
的相对不公平度，将 rB(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p1/n1)定义为对 B的相对不公平度。
初始 p1/n1>p2/n2,若 p1/(n1+1)> p2/n2,则这席应给 A;若p1/(n1+1)< p2/n2,应计算
rB(n1+1,n2);若 p1/n1> p2/(n2+1)，应计算 rA(n1,n2+1)。若 rB(n1+1, n2) < rA(n1,n2+1),

则这席应给 A，反之，则给 B，即比较(p2)*(p2)/n2(n2+1)与(p1)*(p1)/n1(n1+1)。故将 Q
值定义为 Q1=(p1)*(p1)/n1(n1+1)，将席位分配给 Q值大的一方。
该方法通过动态调整，避免了“席位悖论”这一问题。在文中三系 21 席的分配中，它
给出了（11, 6, 4）的方案，保护了少数系（丙系）在总席位增加时的利益。
然而，当我们使用这个方法后，发现其也存在着一定的问题，Q值方法可能违反另一条
理想准则：最终分配的席位可能不落在区间[[qi]–,[qi]+](qi 为理论分配席位)内，即可
能与纯粹比例值偏差超过一个席位。这意味着，它可能在追求动态公平的过程中，偏离了比
例代表性的初衷，也就是说它或许过度追求了过程公平而忽视了结果公平。同时这种方法的
计算相对比较复杂，需考虑是否有简化的可能性。
02 案例分析
已知: m 方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席
位为 N。设理想情况下 m方分配的席位分别为 n1,n2,… , nm(自然应有 n1+n2+…+nm=N)，
记qi（理论分配席位）=Npi /P（i=1,2, … , m），ni 应是 N 和 p1, … , pm 的函数，
即 ni = ni(N, p1, … , pm )。
在qi 均为整数的情况下，ni=qi 是极其明显的。然而 qi=Npi /P 不全为整数的情况是
占大多数的，在这种情况下，ni 应满足的准则：[qi]–=floor(qi),向<=qi 方向取整；
[qi]+=ceil(qi),向>=qi 方向取整。
公平的席位分配应做到以下两点，
1.[qi]–<=ni<=[qi]+(i=1,2, … , m),即ni 必取[qi]–,[qi]+之一
2.ni(N,p1,…,pm)<=ni(N+1,p1,…,pm) (i=1,2,…,m)即当总席位增加时，ni 不应减少。
比例加惯例的方法满足第一点，但不满足第二点,而Q值方法满足第二点, 但不满足第
一点。两者均存在缺陷，无法做到完全尽善尽美。
对于公平的席位分配这个问题本身，他就需要满足一些性质才会导向分配公平这一结果，
例如 2.1 中列举的两点。于是根据已知的问题就需要优化现有模型，可见基础的比例加惯例
法和 Q值方法这两种模型需要进行一些改进。
同时由于建立模型需要考虑其实用性，或许需要考虑简化 Q值方法的复杂计算，以提高
模型在实际运用中的可操作性和简洁性。
03 模型改进意见
经过对一些相关资料的调查研究，我总结了一些可能的模型改进方向来解决比例加惯例
法与 Q值方法各自的缺陷，是席位分配这一模型导向更公平或者更简洁的结果。
3.1 基于χ²拟合优度检验的统计重构法
这种方法与 Q值法的两相比较不同，而是从整体拟合的统计学视角重新定义公平。它主
要是将各团体实际获得的席位视为观测频数，将其按人口比例计算的理论席位视为期望频数，
通过最小化 Pearson χ²统计量来衡量分配结果与理想比例的总体偏离程度。通过严格的数
学推导（详见），这一复杂的整体优化目标可以转化为一个极其简单的逐席分配规则：定义
第i方的标准量为 Wi=(2ni+1)/pi，每次将下一个席位分配给当前 W值最小的一方。
基于拟合优度检验的公平席位分配模型相对更加科学地给出了满足多条性质的公平分
配方案，能相对做到更加公平的要求，是一种计算相对简单，可操作性较强的方法。
3.2 基于算术平均的修正 Q值法
该方法将原本的 Q值方法定义中“相对不公平度”的复杂性进行了简化。经典的 Q值方
法的公平性比较，实质上等价于比较各方“当前人均代表数”与“增加一席后人均代表数”
的几何平均值。修正后的 Q值方法则将之替换为相对更直观的算术平均值。

通过重新定义相对不公平度，该方法得出了一个相对更加简洁的修正 Q值的公式 Qi′
=pi/(2ni+1)，每次将席位分配给当前 Q′值最大的一方。
总的来说，这种方法虽然在追求公平性这一方面的缺陷仍然存在，但胜在简洁，它的计
算相对于传统的 Q值方法容易得多，是一种相对适用性较强的方法，有利于提高模型在实际
运用中的可操作性和简洁性。
04 总结
本文围绕关于席位公平分配的模型展开，首先分析了课堂上提出的比例惯例法与 Q值方
法两种模型，并阐述了其中存在的缺陷。经过分析，我们可以得到前者简明但可能产生席位
悖论；后者公平性更优，但计算相对较复杂，而且有偏离比例基准的可能性。
为此，我查阅了一些相关资料，总结出了两个方向的改进思路：一是基于 χ²拟合优度
检验的统计重构法，它从整体最优出发，提供了一种新思路；二是基于算术平均的修正 Q
值法，这种方法通过简化相对不公平度的定义，使计算更加简洁。他们或许在某些情况下并
不比比例加惯例法或 Q值方法更好，但却为该模型研究提供了新思路，为不同应用环境提供
了多样化的评判标准。
席位分配或许无法真正做到完全公正，但通过对于模型的优化我们或许可以在不同维度
间取得更好平衡，于是我们或许就能更多样且更适应实际场景的一些方案，并且为后续研究
这个问题奠定基础，推动该模型更深层次的优化。
参考文献
[1] 姜启源,谢金星，叶俊 数学模型[M]第5版 高等教育出版社,2018
[2] 王若鹏，徐红敏 基于 χ²拟合优度检验的席位公平分配模型[J] 系统工程理论与实践，
2014,34(7):1732-1738。
[3] 王颖 关于 Q值法的一种改进[J] 浙江科技学院学报,2015, 27(1) 11-14
[4] 王若鹏 席位公平分配问题 Q值法的改进[J] 北京石油化工学院学报，2011,19(2) 61-64
[5] 游咏琪，王若鹏 席位公平分配的 Q值法及其拓展模型[J] 北京石油化工学院学报，
2023, 31(2) 68-74
[6] 岳林 关于 Q值法的一种新定义[J] 系统工程，1995,13(4) 70-72