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Année Académique : 2023-2024
Colle d’algèbre MP
Exercice 0.0.1. Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H ∪ K
est un sous-groupe de G si, et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H.
Exercice 0.0.2. Soit G un groupe. Montrer que l’application ϕ : G −→ G, x 7−→ x2 est
un morphisme de groupes si et seulement si G est commutative.
Exercice 0.0.3. Soient m et n deux entiers naturels et on pose d = m ∧ n. Déterminer
les morphismes de groupes de Z/mZ sur Z/nZ.
Exercice 0.0.4. Soit G un groupe d’élément neutre e. Soient a, b ∈ G et n ∈ N tels que
(ab)n = e. Montrer que (ba)n = e.
Exercice 0.0.5. Montrer qu’un groupe n’ayant aucun sous-groupe propre est fini et que
son ordre est un nombre premier.
Exercice 0.0.6. Soit (G, ?) un groupe. On pose Γ = {α ∈ G | ∀x ∈ G, a ? x = x ? a}.
Montrer que Γ est un sous-groupe de G.
Exercice 0.0.7. Résourdre l’équation x2 + 2x − 3 = 0 dans Z/7Z et Z/21Z.
Exemple 0.0.8. Résoudre dans (Z/36Z)2 , le système
(
5x − y = 11
3x + 5y = 1
Exercice 0.0.9. Le groupe des inversibles de l’anneau Z/20Z est-il cyclique ?
Exercice 0.0.10. Soit A un anneau commutatif dont tout idéal est premier, i.e. si I est
un idéal de A, alors
∀xy ∈ I, x ∈ I ou y ∈ I.
Montrer que A est un corps.
2
Exercice 0.0.11. Soit
√ I un idéal d’un anneau commutatif A. On appelle radical de I
l’ensemble défini par I = {x ∈ A | ∃n ∈ N∗ , xn ∈ I}.
1. Montrer que le radical d’un idéal est un idéal.
2. Déterminer le radical d’un idéal de Z.
Exercice 0.0.12. Soient K un corps, A un sous-anneau de K tel que ∀x ∈ K ∗ , x ∈
A ou x−1 ∈ A. Soit M l’ensemble des éléments inversibles de A, i.e.
M = {x ∈ A non nul | x−1 ∈
/ A} ∪ {0}.
1. Montrer que M est un idéal de A.
2. Montrer que tout idéal de A distinct de A est contenu dans M .
Exercice 0.0.13. On se donne un K-espace E puis F1 , . . . , Fp , p sous-espaces vectoriels
de E (p ≥ 2).
1. Démontrer les assertions suivantes :
a. La somme
p
X
Fk
k=1
est directe si et seulement si
∀i ∈ [[1, p]], Fi ∩
X
Fj = {0}.
j6=i
b. La somme
p
X
Fk
k=1
est directe si et seulement si
∀i ∈ [[2, p]], Fi ∩
X
Fj = {0}.
j<i
2. Dans R4 [X], on considère F = V ect(X 2 , X 4 ), G = V ect(X), H = V ect(X 3 ).
a. Montrer que F + G + H est directe.
b. Les sous-espaces E, F, G sont-ils supplémentaires dans R4 [X].
3. Soit E = R4 . On considère (u1 , u2 , u3 , u4 ) une famille libre de E et on pose F =
V ect(u1 + u2 , u3 ), G = V ect(u1 + u3 , u4 ), H = V ect(u1 + u4 , u2 )
a. La somme F + G + H est-elle directe ?
b. Calculer dim(F + G + H).
Exercice 0.0.14. Soit E un K-espace vectoriel et E1 , E2 , E3 et E4 quatre sous-espaces
vectoriels tels que (E1 +E2 )+(E3 +E4 ) = (E1 +E2 )⊕(E3 +E4 ) et (E1 +E3 )+(E2 +E4 ) =
(E1 + E3 ) ⊕ (E2 + E4 ). Montrer que la somme E1 + E2 + E3 + E4 est directe.
3
Exercice 0.0.15. Soit E un K-espace vectoriel. Soient H1 , · · · , Hn des sous-espaces vectoriels tels que leur somme est directe. Soient F1 , · · · , Fn des sous-espaces vectoriels de E
tels que pour tout i ∈ [[1, n]], on a Fi ⊂ Hi .
1. Montrer que la somme des Fi est directe.
2. Montrer que si H1 ⊕ · · · ⊕ Hn = F1 ⊕ · · · ⊕ Fn , alors pour tout i ∈ [[1, n]], on a Fi = Hi .
Exercice 0.0.16. Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application linéeaire de
E dans F. Soient G et H deux sous-espaces vectoriels de E.
1. Montrer que f (G + H) = f (G) + f (H).
2. Montrer que si f est injective et si la somme G + H est directe, alors f (G ⊕ H) =
f (G) ⊕ f (H).
!
1 −2
Exercice 0.0.17. Soit A =
. Calculer An pour n ∈ N.
1 4
Indication : On cherchera un polynôme annulateur de A de degré 2.
Exercice 0.0.18. Résoudre dans Mn (C) l’équation
11 −5 −5
−5
3
3
−5 3
3
Exercice 0.0.19. Soit f un endomorphisme non nul de R3 tel que f 3 + f = 0.
1. Montrer que f n’est pas injectif.
2. Montrer que, pour tout x ∈ R3 tel que f (x) 6= 0, la famille (f (x), f 2 (x)) est une base
de Im(f ).
3. Montrer que E = ker f ⊕ Im(f ).
Exercice 0.0.20. Montrer qu’il n’existe pas de matrice A ∈ M3 (R) telle que A2 + I = 0.
0 1 0
Exercice 0.0.21. On pose A = 0 0 1 et E = M3 (R).
6 7 0
On définit f : E −→ E, X 7−→ AX.
1. Écrire la matrice de f.
2. Calculer son polynôme caractéristique.
3. Déterminer ses éléments propres.
Exercice 0.0.22. On pose, pour tout P ∈ Rn [X], f (P ) = XP − n1 (X 2 − 1)P 0 .
1. Vérifier que P est un endomorphisme de Rn [X].
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
4
3. f est-elle diagonalisable ?
Exercice 0.0.23. Soit, pour chaque n ∈ N∗ , la function fn déftnie sur [0, +∞[ par
√
fn (x) − nx2 e−x π .
P
1. Montrer que la série de fonctions fn converge simplennent sur [0, +∞[.
P
2. Montrer que la convergence de la série fn n’est pas
sur [0, +∞[.
normale
P∞
2
4
4. Soit un entier naturelle p > 0. Montrur que n=1 fn √p ≥ o2 . 5. La série de fonctions
P
fπ converge-t-elle uniformémnent sur [0, +∞[ ? sur ]0, +∞[ ?