epo-cpge-mp Année Académique : 2023-2024
Colle d’algèbre MP
Exercice 0.0.1. Soient Het Kdeux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H∪K
est un sous-groupe de Gsi, et seulement si H⊂Kou K⊂H.
Exercice 0.0.2. Soit Gun groupe. Montrer que l’application ϕ:G−→ G, x 7−→ x2est
un morphisme de groupes si et seulement si Gest commutative.
Exercice 0.0.3. Soient met ndeux entiers naturels et on pose d=m∧n. Déterminer
les morphismes de groupes de Z/mZsur Z/nZ.
Exercice 0.0.4. Soit Gun groupe d’élément neutre e. Soient a, b ∈Get n∈Ntels que
(ab)n=e. Montrer que (ba)n=e.
Exercice 0.0.5. Montrer qu’un groupe n’ayant aucun sous-groupe propre est fini et que
son ordre est un nombre premier.
Exercice 0.0.6. Soit (G, ?)un groupe. On pose Γ = {α∈G| ∀x∈G, a ? x =x?a}.
Montrer que Γest un sous-groupe de G.
Exercice 0.0.7. Résourdre l’équation x2+ 2x−3 = 0 dans Z/7Zet Z/21Z.
Exemple 0.0.8. Résoudre dans (Z/36Z)2,le système
(5x−y= 11
3x+ 5y= 1
Exercice 0.0.9. Le groupe des inversibles de l’anneau Z/20Zest-il cyclique ?
Exercice 0.0.10. Soit Aun anneau commutatif dont tout idéal est premier, i.e. si Iest
un idéal de A, alors
∀xy ∈I, x ∈Iou y∈I.
Montrer que Aest un corps.
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Exercice 0.0.11. Soit Iun idéal d’un anneau commutatif A. On appelle radical de I
l’ensemble défini par √I={x∈A| ∃n∈N∗, xn∈I}.
1.Montrer que le radical d’un idéal est un idéal.
2.Déterminer le radical d’un idéal de Z.
Exercice 0.0.12. Soient Kun corps, Aun sous-anneau de Ktel que ∀x∈K∗, x ∈
Aou x−1∈A. Soit Ml’ensemble des éléments inversibles de A, i.e.
M={x∈Anon nul |x−1/∈A}∪{0}.
1.Montrer que Mest un idéal de A.
2.Montrer que tout idéal de Adistinct de Aest contenu dans M.
Exercice 0.0.13. On se donne un K-espace Epuis F1, . . . , Fp,psous-espaces vectoriels
de E(p≥2).
1.Démontrer les assertions suivantes :
a. La somme p
X
k=1
Fk
est directe si et seulement si
∀i∈[[1, p]], Fi∩X
j6=i
Fj={0}.
b. La somme p
X
k=1
Fk
est directe si et seulement si
∀i∈[[2, p]], Fi∩X
j<i
Fj={0}.
2.Dans R4[X], on considère F=V ect(X2, X4), G =V ect(X), H =V ect(X3).
a. Montrer que F+G+Hest directe.
b. Les sous-espaces E, F, G sont-ils supplémentaires dans R4[X].
3.Soit E=R4. On considère (u1, u2, u3, u4)une famille libre de Eet on pose F=
V ect(u1+u2, u3), G =V ect(u1+u3, u4), H =V ect(u1+u4, u2)
a. La somme F+G+Hest-elle directe ?
b. Calculer dim(F+G+H).
Exercice 0.0.14. Soit E un K-espace vectoriel et E1, E2, E3et E4quatre sous-espaces
vectoriels tels que (E1+E2)+(E3+E4)=(E1+E2)⊕(E3+E4)et (E1+E3)+(E2+E4) =
(E1+E3)⊕(E2+E4). Montrer que la somme E1+E2+E3+E4est directe.
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Exercice 0.0.15. Soit Eun K-espace vectoriel. Soient H1,··· , Hndes sous-espaces vec-
toriels tels que leur somme est directe. Soient F1,··· , Fndes sous-espaces vectoriels de E
tels que pour tout i∈[[1, n]], on a Fi⊂Hi.
1.Montrer que la somme des Fiest directe.
2.Montrer que si H1⊕···⊕Hn=F1⊕···⊕Fn, alors pour tout i∈[[1, n]], on a Fi=Hi.
Exercice 0.0.16. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels et fune application linéeaire de
Edans F. Soient Get Hdeux sous-espaces vectoriels de E.
1.Montrer que f(G+H) = f(G) + f(H).
2.Montrer que si fest injective et si la somme G+Hest directe, alors f(G⊕H) =
f(G)⊕f(H).
Exercice 0.0.17. Soit A= 1−2
1 4 !.Calculer Anpour n∈N.
Indication : On cherchera un polynôme annulateur de Ade degré 2.
Exercice 0.0.18. Résoudre dans Mn(C)l’équation
11 −5−5
−5 3 3
−5 3 3
Exercice 0.0.19. Soit fun endomorphisme non nul de R3tel que f3+f= 0.
1.Montrer que fn’est pas injectif.
2.Montrer que, pour tout x∈R3tel que f(x)6= 0,la famille (f(x), f2(x)) est une base
de Im(f).
3.Montrer que E= ker f⊕Im(f).
Exercice 0.0.20. Montrer qu’il n’existe pas de matrice A∈ M3(R)telle que A2+I= 0.
Exercice 0.0.21. On pose A=
010
001
670
et E=M3(R).
On définit f:E−→ E, X 7−→ AX.
1.Écrire la matrice de f.
2.Calculer son polynôme caractéristique.
3.Déterminer ses éléments propres.
Exercice 0.0.22. On pose, pour tout P∈Rn[X], f(P) = XP −1
n(X2−1)P0.
1.Vérifier que Pest un endomorphisme de Rn[X].
2.Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
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3. f est-elle diagonalisable ?
Exercice 0.0.23. Soit, pour chaque n∈N∗, la function fndéftnie sur [0,+∞[par
fn(x)−nx2e−x√π.
1. Montrer que la série de fonctions Pfnconverge simplennent sur [0,+∞[.
2. Montrer que la convergence de la série Pfnn’est pas normale sur [0,+∞[.
4. Soit un entier naturelle p > 0. Montrur que P∞
n=1 fn2
√p≥4
o2. 5. La série de fonctions
Pfπconverge-t-elle uniformémnent sur [0,+∞[? sur ]0,+∞[?
1
/
4
100%