Useful Tricks: Convexity & Linear Algebra Study Guide

trucs utiles
Nathael FAURIEL, élève de MP* au lycée Descartes de Tours
2025-2026
1
Convexité
1.1
Inégalité de Jensen
Soit f une fonction convexe et λ1 , ..., λn ≥ 0 tels que
On a ∀(x1 , ..., xn ) ∈ R+ : f (
n
X
λi xi ) ≤
n
X
n
X
λi = 1
i=1
λi f (xi )
i=1
i=1
Preuve par récurrence sur n:
On exclut le cas λn = 0 puis on pose si n≥ 2
n
X
λ i xi =
i=1
n−2
X
λi xi +
i=1
(λn−1 xn−1 + λn xn )
puis en appliquant Hn−1
λn−1 + λn
1.2
Théorème de Carathéodory
Soit E un espace euclidien de dimension n ∈ N∗ et C un convexe de E:
Tout élément de C est un barycentre de n+1 ou moins éléments de C.
Preuve par récurrence:
p
X
Pour l hérédité: Soit x =
λi xi un barycentre de C avec p ≥ n + 2:
x − x1 =
p
X
i=1
i=1
p
X
λi (xi − x1 ) =
λi (xi − x1 )
i=2
#((xi − x1 ))2≤i≤p ≥ n donc cette famille est liée .
On peut donc en trouver une combinaison linéaire non triviale
p
X
i=2
nulle.
1
αi (xi − x1 )
On pose alors α1 = −
p
X
αi et λi (t) = λi + tαi et on remarque que
i=2
p
X
λi (t) = 1
i=1
Il suffit alors de prendre le plus petit ou le plus grand réel t0 tel que les λi (t0 )
soient tous positifs. par continuité des λi (.) au moins un est nul en t0 (quitte à
réordonner, on dit que λp (t0 ) = 0.
p−1
p−1
X
X
Alors, x − x1 =
λi (t0 )(xi − x1 ) ⇐⇒ x =
λi (t0 )xi
i=1
i=1
On applique après Hp−1
1.3
inégalités de convexité
1.3.1
inégalités de base
• Si x ∈ [0; π2 ]: π2 x ≤ sin(x) ≤ x
• Si x > 0: ln(1 + x) ≤ x
√
2
• 1+
xy ≤ x+y
1 ≤
2
x
y
• 1 + x ≤ ex
1.3.2
inégalité de Holder
Soit p, q > 0 tels que p1 + 1q = 1, (bi )1≤i≤n et (ai )1≤i≤n deux familles de complexes:
n
n
n
X
X
1
1 X
|bi |q ) q
|ai bi | ≤ (
|ai |p ) p (
i=1
i=1
i=1
Preuve:
q
p
Soit x, y ≥ 0 : si x ou y = 0: xy ≤ xp + yq
p
q
p
q
)
)
sinon, par concavité de ln(.): ln(x
+ ln(y
≤ ln( xp + yq )
p
q
p
q
donc xy ≤ xp + yq (i).
En posant xi =
|ai |
n
X
(
p
|ai | )
i=1
n
X
on obtient:
(
|bi |
et yi =
1
p
(
n
X
et en sommant l’inégalité (i)
q
|bi | )
1
q
i=1
|ai bi |
i=1
n
X
n
X
1
|ai |p ) (
|bi |q ) q
i=1
i=1
1
p
≤ p1 + 1q = 1.
D’où l’inégalité de Holder.
2
1.3.3
inégalité de Minkowski
On a de plus: (
n
n
n
X
X
X
1
1
1
(|ai | + |bi |)p ) p ≤ (
|ai |p ) p + (
|bi |p ) p .
i=1
i=1
i=1
Preuve:
p
Appliquer Holder à a′i = |ai | + |bi | et b′i = (|ai | + |bi |) q
2
Exponentielles de matrices et d’endomorphismes
2.1
mode de convergence
X → Sn (X) =
n
X
Xk
k=0
k!
converge normalement sur tout compact de Mn (R) vers
une limite qu’on appelle X → eX .
2.2
Propriétés
• X → eX est différentiable et de différentielle X → eX .
• eA est inversible d’inverse e−A
• (eA(t) )′ = A′ (t)eA(t) si A′ (t)A(t) = A(t)A′ (t)
• det(eA ) = etr(A)
• eA eB = eA+B si AB = BA
2.3
Surjectivité
X → eX est surjective de Mn (C) dans GLn (C). Attention, elle ne l’est pas du
tout de Mn (R) dans GLn (R) ( voir contre exemples).
Preuve: Soit In + N ∈ GLn (C), avec N nilpotente:
On pose:
• f :t→
n−1
X
(−1)k+1
i=1
tk N k
k
• g : t → ef (t)
f ′ f = f f ′ donc g ′ = f ′ g i.e N g = (In + tN )g ′ et N g ′ = (In + tN )g ′′ + N g ′ d’où
g ′′ = 0.
Donc, g ′ = g ′ (0) = N g(0) = N .
De plus, g(0) = In donc g(t) = In + tN .
3
Ainsi, In + N = ef (1) On montre ensuite facilement que cela reste vrai pour
λIn + N , avec λ ∈ C∗ . Puis on généralise à M ∈ GLn (C) avec Dunford et
l’exponentielle par blocs.
2.4
Diagonalisation
A diagonalisable ⇔ eA est diagonalisable.
Preuve:
Le sens indirect est évident.
Pour le sens indirect, on raisonne par contraposition:
Si A est non diagonalisable avec Jordan Dunford, A est semblable à une matrice
de la forme:

λ1 In1 + N1

0


..

.
0
λ 2 I n2 + N 2
..
.
0
···
···
···
0
0





λn Inr + Nr
Où les Nni sont toutes triangulaires superieures strictes et au moins une est
non nulle. Quitte à réindexer on suppose
eA est diagonalisable si et seulement si chacun de ses blocs est diagonalisable.
Donc si eA était diagonalisable, eN1 le serait et donc eN1 = In1 ce qui est impossible car N1 est triangulaire stricte non nulle. donc eA n’est pas diagonalisable.
2.5
contre-exemples
• e
Mn (R)
1
̸ GLn (R): A = (−1) ou A =
=
0
0
Car det(A) = etr(B) < 0
−1
3
Espaces vectoriels:
3.1
Caracterisations équivalentes de hyperplans:
H est le noyau d’une forme linéaire ⇔ H est le supplémentaire dans E d’une
droite.
Preuve:
(sens indirect):
Soit x tel que V ect(x) ⊕ H = E : On pose φ : y = λy x + hy → λy .
4
φ est bien définie grace à la supplémentarité de H et V ect(x) et c’est de plus
une forme linéaire.
(Sens direct):
Soit φ une forme linéaire sur E telle que H = ker(φ). Soit x ∈ E tel que
φ(x) = 1.
Soit y ∈ E on pose hy = y − φ(y)x. hy ∈ ker(φ) = H et hy + ϕ(y)x = y.
De plus, on a clairement H ∩ V ect(x) = 0
D’où E = H ⊕ V ect(x).
Il y a donc bien equivalence.
3.2
Hyperplans de E qcq:
Si H est un hyperplan d’un espace vectoriel E. H est dense dans E ou H est
un fermé de E.
Preuve:
H est un hyperplan. Il existe donc x ∈ E tel que V ect(x) ⊕ H = E.
Supposons que H n’est pas fermé, il existe (xn ) ∈ H N telle que xn → l ∈ E et
l∈
/ H. Donc il existe λ ̸= 0 et h ∈ H tels que l = h + λx.
Ainsi, yn = xλn − h → x et est à valeurs dans H.
Soit z ∈ E. z s’écrit hz + λz x avec hz ∈ H. On pose (zn ) = (hz + λz yn ) ∈ H N
tend vers z.
On a donc bien H dense dans E d’où le resultat.
3.3
réciproque de l’identité du parallèlogramme:
Une norme sur un espace préhilbertien réel vérifie l’identité
”||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 )” si et seulement si elle dérive d’un
produit scalaire.
Preuve:
• Sens direct: On pose < x; y >= 41 (||x + y||2 − ||x − y||2 ).
linéarité :Calcul direct avec l identité du parallèlogramme. homogénéité:
linéarité et continuité de la norme.
• Sens indirect: trivial.
3.4
Union finie de sev
Soit F un espace vectoriel et (Ei )i∈[[1,r]] une famille de sev de F telle que
S
1≤i≤r Ei = F .
Il existe i0 ∈ [[1, r]] tel que Ei0 = F
5
Preuve:
Raisonnons par récurrence: Initialisation:
Pour r = 1 c’est trivial
Hérédité:
raisonnons par l’absurde: S
supposons que Er ̸=
S F et 1≤i≤r−1 Ei ̸= F
Soit x ∈
/ Er et y ∈
/ 1≤i≤r−1 Ei
S
y ∈ Er donc pour tout k ∈ N: ky + x ∈
/ Er donc ky + x ∈ 1≤i≤r−1 Ei .
Par le principe desS
tittoirs, il existe i ≤ r−1 et k1 ̸= k2 tels que k1 y+x, k2 y+x ∈
Ei donc y ∈ Ei ⊂S 1≤i≤r−1 Ei ce qui est absurde.
Donc Er = F ou 1≤i≤r−1 Ei = F .
On obtient alors le résultat en appliquant l hypothese de réccurence.
4
Algèbre linéaire
4.1
Sous-multiplicativité de la norme de Frobenuis:
||.|| : A 7→
plicative .
√
< A, A > avec < A, B >= T r(AT B) est une norme sous multi-
Preuve: Soit A ∈ Mn,p (R) et B ∈ Mp,q (R).
2
||AB|| = T r(ABB t At )
= T r(At ABB t )
BB t
≤ AAt
p
= T r(AAt At A)T r(BB t B t B)
≤ T r(AAt )T r(BB t )
2
= ||A|| ||B||
2
par un calcul brutal.
4.2
Théorème de Burnside:
Soit A ∈ Mn (C), A est nilpotente ⇔ pour tout k ∈ N∗ : T r(Ak ) = 0.
Preuve:
Sens direct trivial avec la trigonalisation sur Mn (C)
Sens indirect :
6
On pose E = {λ1 , ..., λr } = SpC (A)∗ .
On suppose que E ̸= ∅.
On poseV 
la matrice de vandermonde de (λ1 , ..., λr ). Nécessairement, Det(V ) =
1
1
 
0 or V  .  = 0.
 .. 
1
C’est absurde donc E = ∅ et A est nilpotente.
4.3
décomposition OT
Soit M ∈ GLn (R), il existe O ∈ On (R), T ∈ Tn+ (R) telles que M = OT .
Preuve:
Soit M = (M1 |....|Mn ) ∈ GLn (R):
On applique le procédé de schmidt à M de sorte que :
j
n X
X
Tij ) avec Tij = − < Mi , Mj > Eij0 si i ̸= j, 1 sinon:
Si U = M (
j=1 i=1
√ 1
||M1 ||



On pose D = 



0
..
.
0
0
···
0
√ 1
..
.
0
..
.
||M2 ||
√ 1








||Mn ||
Alors: O = U D ∈ On (R)
et A
−1
=
j
n X
X
Tij ∈ Tn+ (R) donc T = D−1 A ∈ Tn+ (R) et M = OT .
j=1 i=1
4.4
Inégalité d’Hadamard
Soit U = (U1 |...|Un ) ∈ GLn (R):
n
Y
|Det(U )| ≤
||Ui ||, Avec inégalité ssi les colones de U sont 2 à 2 orthogonales.
i=1
Preuve avec décomposition OT :
Soit U = (U1 |...|Un ) ∈ GLn (R), il existe O ∈ On (R), T = (T1 |...|Tn ) ∈ Tn+ (R)
telles que U = OT = (OT1 |...|OTn ).
7
Or, on a clairement |Det(T )| ≤
n
Y
||Ti || et |Det(U )| = |Det(T )| et ||Ti || =
i=1
||OTi || = ||Ui ||
D’où |Det(U )| ≤
n
Y
||Ui ||.
i=1
Egalité ⇔ ||Ti || = |λi |∀i ⇔ T est diagonale ⇔ U est orthogonale.
4.5
Petite propriété:
Soit A ∈ Mn (R) avec n impair telle que pour tout B ∈ An (R), Det(A + B) = 0.
A ∈ An (R).
Preuve:
On décompose A en Aa + As avec Aa ∈ An (R) et As ∈ Sn (R).
Por tout B ∈ An (R), Det(A + B − Aa ) = 0 donc Det(As + B) = 0
Par théorème spectral, As est orthogonalement semblable à une matrice D ∈
Dn (R). On a aussi Det(D + B) = 0.


λ1 0
0
···
0
 0 λ2
0
···
0


 ..
.. .
.
.
.
..
..
..
On écrit D =  .
. 


 0 ···
0 λn−1 0 
0 ···
0
0
λn
Bi
4.6
Interieur de Dn (C) avec les discriminants:
L’interieur de Dn (C) est {A ∈ Mn (C)|Discr(χA ) ̸= 0}.
Preuve:
4.7
endomorphismes stabilisant GLn (C):
Les endomophismes de Mn (C) pour qui GLn (C) est stable sont exactement les
endomorphismes qui conservent le rang ou ceux tels que M ∈ Gln (C) ⇔ f (M ) ∈
GLn (C) ou encore ceux tels que rg(M ) ≤ rg(f (M )) (ces trois caracterisations
sont équivalentes) .
Preuve:
GLn (C) est stable par tout endomorphisme conservant le rang.
Soit f un tel endomorphisme. Soit A ∈ Mn (C) non inversible. Soit (e1 , ..., er )
8
une base de ker(A) et (er+1 , ..., en ) une base d’un supplémentaire de ker(f ).
Si A est nilpotente, on pose P = In .Sinon, il existe j > r tel que Am (ej ) ̸= e1
et on pose P qui à ei associe ei si 2 ≤ i ≤ r, e1 + ej si i = 1 et ei−1 sinon.
P ∈ GLn (C) et P A−1 est nilpotente donc pour tout λ ∈ C∗ , µP − λA est inversible donc µP −f (P )−1 f (A) est inversible et donc f (P )−1 f (A) est nilpotente
car sa seule valeur propre est 0. Ainsi f (M ) est non inversible.
Ainsi f (A) ∈ GLn (C) ⇔ A ∈ GLn (C).
Soit M de rang r. Il existe U, V ∈ GLn (C) telles que M = U Jr V −1 . Posons
Q = U Diag(1, 2, ..., n)V −1 ∈ GLn (C).
Q − λM est inversible pour exactement r valeurs de lambda toutes non nulles.
C est donc aussi le cas de f (Q) − λf (M ) et donc f (Q)−1 f (M ) possède r
valeurs propres non nulles différentes. Son rang est donc au moins r donc
rg(f (M )) ≥ rg(M ).
rg(M ) = n ⇔ rg(f (M )) = n
Supposons que pour m ∈ [[1, n]] fixé, rg(M ) ≥ m ⇔ rg(f (M )) = rg(M ).
Soit B de rang m − 1. Si rg(f (B)) > rg(B) alors par hypothèse de récurrence,
rg(f (B)) ≥ m et rg(f (B)) = rg(B) ce qui est absurde.
Ainsi rg(f (B)) ≤ rg(B).
De plus, rg(f (B)) ≥ rg(B) ce qui permet d’ffirmer que rg(f (B)) = rg(B).
D’où le résultat par récurrence descendante.
4.8
génération produit de GLn (C)
GLn (C) n’est pas engendré par une famille finie pour le produit.
Preuve: Det(.) est un morphisme de GLn (C) dans C∗ .
Donc si GLn (C) était engendré par une famille finie pour le produit, C∗ le serait
∗
∗
aussi. Alors, en se donnant
Pr x1 , ..., xr ∈ C qui engendrent C , et α1 , ..., αr ∈ R
leurs arguments, R = { i=1 ni αi |n1 , ..., nr ∈ Z}.
Alors, on pourrait trouver une injection de R dans Zr et donc R serait dénombrable
ce qui est absurde.
4.9
Racine carré d’une matrice
5
Polynomes d endomorphismes:
5.1
Polynome minimal ponctuel et cyclicité:
Soit u ∈ L(E) avec E evn de dimension n < +∞.
(i): u est cyclique ⇔ (ii): µu = χu ⇔ (iii): ∃x|µu(x) = χu .
Preuve:
9
((i) =⇒ (iii)):
Par définition, si u est cyclique, il existe x ∈ E tel que (x, u(x), ..., un−1 (x))
est libre. Alors, deg(µu(x) ) = n. Par ailleurs, I = {P ∈ K[X]|p(u)(x) = 0}
est un idéal de K[X] dans lequel µu(x) est de degré minimal et unitaire donc
I = µu(x) K[X].
Or χu ∈ I donc µu(x) divise χu qui est unitaire et degré n.
Ainsi, χu = µu(x) .
(iii) =⇒ (ii):
µu(x) |µu |χu = µu(x)
Ainsi, µu et µu(x) sont associés et comme ils sont tous deux unitaires, χu =
µu(x) = µu .
(ii) =⇒ (i)
Si χu = µu , µu est de degré n.
soit x ∈ E, µu(x) divise µu qui a un nnombre fini de diviseurs.
Ainsi, {µSu(y) |y ∈ E} = {µu(y) |y ∈ (x1 , ..., xp } est fini.
Or E = x∈E
S ker(µu(x) ).
Donc E = 1≤i≤p ker(µu(xi ) ).
Ainsi, il existe i0 ∈ [[1, p]] tel que ker(µu(xi0 ) ) = E. Donc µu (xi0 ) = µu est de
degré n et u est cyclique.
6
Réduction
6.1
Annexe matrices circulantes:
Définition: Une matrice A ∈ Mn (K) est dite circulante si et seulement si il existe
a0 , ..., an−1 ∈ K tels que


a0
a1
...
an−2 an−1
an−1 a0
a1
···
an−2 


A = C(a0 , ..., an−1 ) =  .
.. 
..
..
 ..
.
.
···
. 
a1
· · · an−1
a0
a0
Propriété 1:
les puissances et sommes de matrices circulantes sont encore circulantes.
Propriété 2:
i2π
C(a0 , ..., an−1 est diagonalsisable et soit ω = e n , les valeurs propres de A sont
n−1
X
les
ai wki avec 0 ≤ k ≤ n − 1.
i=0
10

1
wk
w2k
..
.







Les vecteurs propres de A sont indépendants des ai et sont les 
,




(n−1)k
w
0 ≤ k ≤ n − 1. Ils forment une base de Cn .
6.2
Similitude et extension de corps
• cas pariculier:
Soit A, B ∈ Mn (R) telles qu’il existe P ∈ GLn (C) telle que A = P BP −1 .
Il existe Q ∈ GLn (R) telle que A = QBQ−1 .
Preuve:
Il existe U, V ∈ Mn (R) telles que P = U + iV . Donc A=
On pose le polynome D : t 7→ Det(U + tV ). D(i) ̸= 0 donc D ̸= 0 ainsi, il
exite t0 ∈ R tel que D(t
( 0 ) ̸= 0
U A = BU
Or, P A = BP donc,
donc, (U + t0 V )A = B(U + t0 V )
V A + BV
Ainsi, A et B sont semblables dans Mn (R).
• cas presque général:
Soit K un corps infini et L un surcorps commutatif de K.
A ∈ M n(K) semblable à B ∈ Mn (K) dans Mn (L) ⇔ A semblable à B
dans Mn (K).
Preuve:
soit P ∈ GLn (L) tel que B = P AP −1 .
On veut montrer qu’il existe une famille libre (e1 , ..., er ) du K espace vectoriel L et M1 , ..., Mr ∈ Mn (K) telles que :
r
X
P =
Mi e i
i=1
L est un K espace vectoriel.
On pose E = V ect((pij )1≤i,j≤n ) et on en prend une base (e1 , ..., er ) qui
est donc une famille libre du K espace vectoriel L.
r
X
Pour tout pij , il existe ((mk )ij )1≤k≤r ∈ Kr tel que pij =
(mk )ij ek donc
P =
r
X
k=1
Mk ek avec Mk = ((mk )ij )1≤i,j≤r ∈ Mn (K).
k=1
11


M1 A = BM1


M2 A = BM2
P A = BP donc par liberté de (e1 , ..., er ) et commutativité de L, .
..





Mr A = BMr
r
r
X
X
Donc P ((X1 , ...Xr ))A = (
Mi Xi )A = B(
Mi Xi ) = BP (Xi )
i=1
i=1
pour tout (X1 , ..., Xr ) ∈ Lr .
On pose le polynome D : (X1 , ..., Xr ) 7→ Det(P ((X1 , ..., Xr ))) ∈ K[X1 , ..., Xr ].
D((e1 , ..., er )) ̸= 0 donc D ̸= 0.
K est un corps infini donc l’ensemble des racines de D ̸= 0 sur le K espace
vectoriel Kr y est d’intérieur vide.
Ainsi, il existe λ = (λ1 , ...λr ) ∈ Kr tel que D(λ) ̸= 0 i.e P (λ) ∈ GLn (K)
et P A = BP donc P (λ)AP (λ)−1 = B
D’où le resulat.
6.3
Réduction de Dunford
Soit L ∈ Mn (K) trigonalisable, il existe un unique couple (D, N ) ∈ Mn (K)2
avec D diagonalisable, N nilpotente, tel que N + D = M et N D = DN de plus,
N et D sont des polynomes en M .
Preuve:
existence: On commence par trigonaliser M sur chacun de ses sous-espaces
propres.Comme ils sont stables par M on obtient une matrice semblable à M
de la forme:

λ1 In1 + N1

0

B=
..

.
0
λ 2 I n2 + N 2
..
.
···
···
···
0
0
0





λr Inr + Nr
Où les Nni sont toutes triangulaires superieures strictes donc nilpotentes. M =
P BP −1

λ1 In1
 0

on pose : D =  .
 ..
0
0
λ2 In2
..
.
···
···
···

0
0 



λ r I nr
12

N1
0

etN =  .
 ..
0
N2
..
.
0
···
···
···

0
0



Nr
Par blocs, P DP −1 P N P −1 = P N P −1 P DP −1 et P N P −1 + P DP −1 = M
unicité et polynome:
6.4
Réduction de Jordan
7
Equations différentielles
7.1
Solutions qui tendent vers 0:
Soit A ∈ Mn (C):
Tout X tel que AX = X ′ tend vers 0 lorsque t → +∞ ⇔ ∀λ ∈ spC (A), ℜ(λ) < 0
Preuve:
Sens direct:
Pour tout λ ∈ spC (A), il existe un vecteur propre pour λ X(0) ∈ Cn , et X une
solution de la forme t 7→ eAt X(0) par le théoreme de Cauchy linéaire. Elle tend
vers 0 en +∞ par hypothèse.
Donc eAt X(0) = eλt tend vers 0 en +∞.
Ainsi ℜ(λ) < 0.
Sens indirect:
On résoud le problème pour une matrice A = λIn + N avec N nilpotente et
λ ∈ C tel que ℜ(λ) <!0.
n−1
X t k Ak
eAt = eλt
k!
i=0
Comme ℜ(λ) < 0, par croissances comparées, lim eAt = 0.
t→+∞
Par Dunford et exponentiation par blocs on généralise à A ∈ Mn (C) quelconque.
D’où l’équivalence.
7.2
Variation de la constante:
La variation des constantes, c’est projeter la solution sur les modes naturels du
système et laisser leurs amplitudes évoluer sous l’effet du forçage.
Pour trouver une solution particulière de l’équation y (n) +an−1 y (n−1) +...+a0 y =
13
f où an−1 , ..., a0 , f ∈ C(I ⊂ R, R) qui est équivalente à X ′ = AX + F avec


 


0
1
0
···
0
y
0
 ..

.
.
.
.
..
..
..
.. 
 .. 
 .
 y′ 
 




, X =  ..  , F =  . .
A= 0
···
0
1
0 


0
 . 
 0
···
0
0
1 
(n−1)
f
y
−a0 −a1 −a2 · · · −an−1
L’espace des solutions du systeme homogène associé à cette équation est un
espace vectoriel de dimension n.
En prenant une base de cet espace, on peut trouver une matrice Φ ∈ GLn (C)
telle que Φ′ = Aϕ.
De plus, pour tout X solution de l’équation homogène, il existe C ∈ Kn tel que
ΦC = X.
Pour trouver une solution particulière, on fait varier C:
Y = ΦC solution ⇔ Φ′ C + ΦC ′ = AΦC + F
⇔ ΦC ′ = F
⇔ C ′ = Φ−1 F
Z x
⇔ C(x) =
Φ−1 (t)F (t)dt + D
x0
Z x
⇔ Y (x) = Φ(x)(
Φ−1 (t)F (t)dt + D)
x0
7.3
Réduction de l’ordre d’une équa diff:
Si on a trouvé une solution non constante zqui ne s annule pas à une équation
différentielle homogène d’ordre 2 à coéfficients continus.
En posant y = zφ on peut se ramener à une équation d’ ordre 1 en φ′ .
Preuve:
(zφ)′′ + a(zφ)′ + bzφ = 0 ⇔ z ′′ φ + 2z ′ φ′ + φ′′ z + az ′ φ + aφ′ z + bφz = 0
⇔ φ′′ z + 2z ′ φ′ + aφ′ z = 0
⇔ φ′′ +
(2z ′ + az) ′
φ =0
z
Théorème de cauchy linéaire: Soit A
14
7.4
théorème de cauchy lipchitz:
7.5
Inégalités de Grönwall
• Forme différentielle:
Soit f ∈ C 1 (R) et g ∈ C 0 (R) telles que f ′ ≤ f g et soit t1 ≤ t2 réels.
Z t2
g(t)dt)
f (t2 ) ≤ f (t1 )exp(
t1
Preuve:
R
− t g(t)dt
.
On pose h : t →R f (t)e t1
R
− t g(s)ds
− t g(t)dt
≤0
− f (t)g(t)e t1
h′ (t) = f ′ (t)e t1
Or h(t1 ) = f (t1 ) donc h(t2 ) ≤ f (t1 ).
D’où le résultat.
• Forme intégrale:
Soit a, u ∈ C(I ⊂ R, R) telles que pour tout t ∈ I: u(t) ≤ u(t0 ) +
Z t
a(x)u(x)dx
t0
Z t
Alors u(t) ≤ u(t0 ) exp
a(s)ds .
t0
Preuve:
Z t
Z t
′
(u(t0 ) +
a(x)u(x)dx) = au ≤ a(u(t0 ) +
a(x)u(x)dx).
t0
t0
Z t
De plus, (u(t0 ) +
a(x)u(x)dx) est C 1 sur I et a est C 0 sur I. En applit0
Z t
Z t
quant la forme différentielle : u(t) ≤ u(t0 )+
a(x)u(x)dx ≤ u(t0 ) exp
a(s)ds
t0
7.6
Propriété de Sturm:
soit
( I ⊂ R et q1 ≤ q2 ∈ C(I, R).
y1′′ + q1 y1 = 0
si
alors entre deux racines de y1 se trouve au moins une racine
y2′′ + q2 y2 = 0
de y2 .
Preuve:
Soit x1 et x2 deux racines consécutives de y1 . Quitte à prendre −y1 , on peut
supposer que y1 > 0 sur ]x1 , x2 [.
On raisonne par l’absurde et on suppose que y2 ne s’annule pas entre x1 et x2 .
Quitte à prendre −y2 , on peut supposer que y2 > 0 sur ]x1 , x2 [.
15
t0
(
W (y1 , y2 )(x1 ) = −y1′ (x1 )y2 (x1 ) > 0 car sinon y1 = 0
W (y1 , y2 )(x2 ) = −y1′ (x2 )y2 (x2 ) < 0 car sinon y1 = 0
′′
y2 y1 = (q2 − q1 )y1 y2 ≥ 0
C’est absurde car W (x1 ) > W (x2 ).
Ainsi, y2 s’annule sur ]x1 , x2 [.
Alors,
7.7
W ′ = y1′′ y2 −
Vecteurs propres et equations différentielles:
Soit A ∈ Mn (K) et X(.) telle que X ′ = AX et X ′ (0) = λX(0) avec λ ∈ K.
Il existe une fonction λ(.) à valeurs dans K telle que pour tout t: X(t) =
λ(t)X(0)
Preuve:
X(t) = eAt X(0)
=
=
+∞
X
k=0
+∞
X
tk Ak X(0)
(λt)k X(0)
k=0
λt
= e X(0)
7.8
Equations différentielles et similitudes:
Soit A ∈ C(R, Mn (C) et X ∈ C 1 (R, Mn (C)) solution de AX − XA = X ′ .
Pour tout t ∈ R, X est semblable à X(0).
Preuve: Raisonnons par analye synthèse:
Si X est semblable à X(0) il existe P ∈ C 1 (R, GLn (C)) telle que X(t) =
P (t)X(0)P −1 (t).
Si P est dérivable, P −1 l’est aussi car c’est un polynome en P .
De plus,(P P −1 )′ = P ′ P −1 + P (P −1 )′ = 0
D’où (P −1 )′ = −P −1 P ′ P −1
On a AP X(0)P −1 −P X(0)P −1 A = P ′ X(0)P −1 +P X(0)(P −1 )′ = P ′ X(0)P −1 −
P X(0)P −1 P ′ P −1 .
On pose P solution de P ′ = AP avec P (0) = In :
Si il existait t0 tel que P (t0 ) soit(non iversible, alors soit Y ̸= 0 tel que
AU = U ′
P (t0 )Y = 0, P Y etant solution de
, par le théorème de cauchy,
U (t0 ) = 0
P (t)Y = 0 pour tout t ∈ R et donc P (0)Y = Y = 0 ce qui est absurde.
Ainsi pour tout t ∈ R, P (t) est inversible. Ainsi, P X(0)P −1 etant bien l’unique
16
(
AU − U A = U ′
solution de
U (0) = X(0)
t.
7.9
et elle est bien semblable à X(0) pour tout réel
Caractère isolé des zéros des solutions d’une équation
homogène à coéfficients continus:
Soit a0 , ..., an−1 ∈ C(I ⊂ R, R) et y ∈ C n (I, R) telle que y (n) = an−1 y (n−1) +
... + a0 y.
Les zéros de y sont isolés ou y = 0.
Preuve: Supposons qu’il existe x0 ∈ I et (xm )m∈N∗ tels que pour tout m ∈ N :
y(um ) = 0 et xm → x0 .
Avec le théorème de rolle qu’on itère et en invoquant le caractère C n de y, on
montre que (y(x), ..., y (n−1) (x)) = (0, ..., 0).
On utilise alors le théorème de cauchy car les coéfficients sont continus et par
unicité de la solution y = 0.
D’où le résultat.
7.10
Zéros de solutions indépendantes:
Deux solutions linéairement indépendantes d’une équation différentielle de degré
2 ne peuvent pas s’annuler en un meme point.
Preuve:
Le wronskien s’annulerait en ce point donc partout et les solutions serairent
liées.
8
Calcul différentiel:
8.1
Non differentiabilité des normes en 0:
Soit N une norme. N n’est pas différentiable en 0.
Preuve:
Supposons que N soit différentiable en 0. Alors, soit x ̸= 0, N (x) = N (0) +
dN0 (x) + o0 (x) = dN0 (x) + ||x||ε(x), où ε(x) tens vers 0 en 0.
Ainsi pour tout t ∈ R∗ , N (tx) = dN0 (tx) + |t| ||x||ε(tx) et donc |t|
t N (x) =
dN0 (x) + |t|
||x||ε(tx).
t
En faisant tendre t vers 0+ et 0− , on a N (x) = −N (x) ce qui est absurde.
Ainsi N est non différentiable en 0.
Remarque importante:
17
Ici raisonner avec o0 (x) ne suffit pas, et epsilon est nécessaire car il donne une
double dépendance en t ce qui est plus fin que la simple dépendance donnée par
o.
c’est tout le temps le cas quand on fait des changements de variables car epsilon
donne une info sur la structure alors que o0 en donne seulement sur la limite.
8.2
différentiabilité dans l’espace produit:
Soit f1 , ..., fn ∈ L(E, F ) de dim finie et f : x 7→ (f1 , ...fn ).
f est différentiable si et seulement si f1 , ..., fn le sont. De plus, on a pour tout
h∈E :
df (h) = (df1 x (h), ..., dfn x (h)).
Preuve:
Sens indirect:
Soit x ∈ E, f (x + h) − f (x) = (f1 (x + h) − f1 (x), ..., fn (x + h) − fn (x)) =
f (x) + (df1 x (h), ..., dfn x (h)) + (o1 (h), ..., on (h)).
En choisissant la norme infinie et par equivalence des normes on a que (o1 (h), ..., on (h)) =
o(h) dans F n .
De plus, (df1 x , ..., dfn x ) est linéaire donc f est différentiable.
Sens direct:
f (x + h) − f (x) = (f1 (x + h) − f1 (x), ..., fn (x + h) − fn (x)) = f (x) + df (h) + o(h)
Or par équivalence des normes o(h) est un petit o de h pour la norme N (x1 , ..., xn ) =
max(NF (xi )) sur F n donc o(h) = (o1 (h), ..., on (h)) avec les oi qui sont des petits o dans F .
De meme pour dfx qui est linéaire et qui s’écrit comme un n-uplet de fonctions
linéaires.
D’où l’équivalence.
L’égalité voulue est une siple conséquence de l’unicité du DL.
8.3
Différentielle d’une composée:
Si f est différentiable en a et g est différentiable en f (a), si la composée existe,
g ◦ f est différentiable en a et d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa .
Preuve:
18
8.4
Différentielle suivant un arc:
Soit I un intervalle ouvert de R, γ : I → E dérivable en t0 I , et f : Ω → F
différentiable en γ(t0) qu’on suppose dans Ω. f ◦ γ est dérivable en t0 , et
(t0))
(t0)>
(f )(t0)=df (t0)(
. Lorsque F = R, cette égalité devient (f )(t0)=<f (t0),
.
Preuve:
8.5
Différentielle en fonction des dérivées partielles:
Soit f : Ω ⊂ E → F et soit (e1 , ...en ) une base de E.
n
X
Dfei (a)hi .
Si f est différentiable en a, dfa (h1 e1 + ...hn en ) =
i=1
Si de plus F = R et (e1 , ..en ) est orthonormée , alors ∇fa =
n
X
Dfei (a)ei .
i=1
Preuve:
8.6
Classe C 1 et continuité des dérivées partielles:
Soit E de dimension finie et Ω un ouvert de E. f : Ω → F est C 1 si et seulement
si ses dérivées partielles existent et sont continues.
Preuve:
8.7
Règle de la chaine:
Soit U un ouvert de Rn , V un ouvert de Rp , θ : V → U différentiable en a ∈ V ,
f : U → F différentiable en b = θ(a).
Soit g = f ◦θ. g est différentiable en a et en ecrivant θ(x1 , ..., xp ) = (θ1 (x1 , ..., xp ), ..., θp (xi , ..., xn ))
on a :
∂g
∂xi (a) =
p
X
∂θk
k=1
∂xi
∂k f (b).
Preuve:
19
8.8
Théorème de Schwarz:
Soit f ∈ C k (Ω ⊂ Rn , Rp ).
Pour tout
r ≤ k , pour tout
σ ∈ Sr et pour tout 1 ≤ i1 , ..ir ≤ n:
∂r f
∂r f
=
∂xi ∂xi ...∂xi
∂xσ(i ) ∂xσ(i ) ...∂xσ(i ) .
1
n
2
1
2
n
Preuve:
seul le cas k = 2 est au programme.
8.9
Annulation du gradient en un point extremal:
Soit Ω un ouvert ,f : Ω → E une fonction différentiable et a ∈ Ω un point
extremal de f .
df (a) = 0. Si E = R, ∇f a = 0.
Preuve:
En ce point toutess les dérivées partielles s’annulent.
8.10
Jacobienne:
8.11
Théorème des acroissements finis:
9
Dénombrement
9.1
théorème de Cantor-Bernstein
∼
Soit E et F deux ensembles. Si E ,→ F et F ,→ E alors E −
→ F.
Preuve:
10
Algebre générale:
10.1
Non isomorphisme de (R∗, .) et (R, +):
(R∗, .) et (R, +) ne sont pas des groupes isomorphes.
Preuve:
Si il existait un isomorphisme entre les deux il préserverait l ordre et il y aurait
donc le meme nombre d’éléments d’ordre 2 dans ces deux groupes. Or ce n’est
pas le cas.
20
10.2
Théorème de Cauchy cas particulier:
Soit p ∈ P et G un groupe fini de cardinal pair. Il existe x ∈ P tel que ω(x) = 2.
Preuve:
Posons R telle que xRy ⇔ y ∈ {x, x−1 }. R est une relation d’équivalence.
Soit A1 , ..., An les classes d’équivalence de R sauf celle du neutre:
n
n
X
X
∀i ∈ [|1, n|] : #Ai ∈ {1, 2} et #G = 1 +
#Ai ⇔
#Ai est impaire.
i=1
i=1
Ainsi, il existe i ∈ [|1, n|] tel que #Ai = 1. Soit x un représentant de Ai :
x = x−1 et x ̸= 1 d’où ω(x) = 2.
10.3
Théorème de Cauchy:
Soit p ∈ P et G un groupe fini de cardinal multiple de p. Il existe x ∈ P tel que
ω(x) = p.
Preuve:
On pose X = {(g1 , g2 , ..., gp )|g1 g2 ...gp = e}. #X = (#G)p−1 est divisible
par p.
Soit a : (k, (g1 , .., gp )) 7→ (gk+1 , gk+2 , ...gp , g1 , ..., gk ) l’action de Z/pZ sur X.
Les cardinaux des orbites de a divisent p, donc sont égales à 1 ou p.
La somme de ces cardinaux est égale à #X et est donc un multiple de p.
Ainsi, le nombre d’orbites de cardinal 1 (i.e de points fixes de a) est un multiple
de p.
Or (e, e, ..., e) est un point fixe de a donc il existe (g1 , ..., gp ) ̸= (e, e, ..., e) qui
est un point fixe de a.
Nécessairement on a: g1 = g2 = ... = gp = g ∈ G et g p = e.
D’où le résultat.
10.4
Caractéristique d’un corps fini:
• Tout corps fini K a pour caractéristique p ∈ P.
Preuve:
21
Soit d un diviseur de p:
(d.e) ∗ ( dp .e) = p.e = 0
donc d = p ou dp = p ⇔ d = 1 d’où p ∈ P.
• Il existe n ∈ N tel que #K = pn
Preuve:
K est un Z/pZ espace vectoriel de dimension n ∈ N.
10.5
Equation aux classes:
n
X
#G
#C
G (xi )
i=1
avec {x1 , ..., xn } un systeme de représentants des classes de conjugaisons non
centrales, et CG (xi ) = {g ∈ G|gxi = xi g}.
Soit G un groupe fini. #G = #Z(G) +
Preuve:
G agit sur lui meme avec l’action a : (g, x) 7→ gxg −1 .
On pose xRy ssi il existe g ∈ G tel que a(g, x) = y. Les classes d’équivalences
de R partitionnent G.
Soit x ∈ G, clR (x) = {gxg −1 |g ∈ G} = Orb(x).
#G
Or, #Orb(x) = #Stab(x)
( Voir annexe) = #C#G
= 1 si x ∈ Z(G)
G (xi )
D’où l’équation aux classes.
10.6
Théorème de Wedderburn:
Soit K un corps fini. K est commutatif.
Preuve:
Z(K) est un sous corps de K de cardinal q ∈ N∗ donc K est un Z(K) espace
vectoriel. Soit n la dimension de cet espace, #K = q n .
Soit x ∈ K, on pose Kx = {y ∈ K|yx = xy}.
Z(K) sous corps de Kx sous corps de K.
Ainsi, pour les arguments évoqués précédemment, #Kx est de la forme q d avec
d|n.
On utilise l’équation aux classes:
Soit {x1 , ..., xr } un système de représentants non centraux pour la conjugaison
22
dans K∗ :
On pose pour tout d|n, d ̸= n: λd = #{1 ≤ i ≤ r| #Kxi = q d } ∈ N
∗
∗
#K = #Z(K ) +
r
X
X
#K∗
qn − 1
⇔ qn − 1 = q − 1 +
λd d
#(Kxi \ {0})
q −1
i=1
d|n,d̸=n
n
Par ailleurs, soit d|n, d ̸= n: ϕn |(x − 1) et P GCD(ϕn , xd − 1) = 1 . Donc
n
−1
ϕn |( xxd −1
)
n
−1
de plus, qqd −1
∈ Z et ϕn ∈ Z[X] donc ϕn (q) ∈ Z.
X
qn − 1
Ainsi ϕn (q)|(q n − 1 −
λd d
)=q−1
q −1
d|n,d̸=n
10.7
Annexe: actions de groupe
définition numéro 1: une action de groupe
f : G × X −→ X
(g, x) 7−→ g.x
d’un groupe G sur un ensemble non vide X doit vérifier ∀g, h ∈ G, x ∈ X :
• (gh).x = g.(hx)
• e.x = x
Définition numéro 2: on appelle orbite de x ∈ X l’ensemble
Orb(x) = {g.x|g ∈ G}
Lemme numéro 1: Soit x ∈ X, si G est fini de cardinal n:
#Orb(x) divise n.
Preuve:
Posons R telle que gRh ⇔ g.x = h.x qui est une relation d’équivalence sur G.
g.x = h.x ⇔ (h−1 g).x = x ⇔ h−1 g ∈ clR (e) ⇔ h = ag, avec a ∈ clR (e)
Or, u 7→ ug est injective sur clR (e) donc ∀g ∈ G : #clR (g) = #clR (e)
donc #Orb(x) = #cl#G
divise #G
R (e)
11
Polynomes:
P (N) ⊂ P: Soit P ∈ C[x] tel que P (N) ⊂ P.
P est constant.
Preuve:
Soit P : X 7→
n
X
ak X k qui vérifie cette propriété. P ∈ Q par interpolation
i=0
23
de Lagrange.
On pose R : X 7→ P (X) − a0 Soit Q ∈ N∗ tel que pour tout 1 ≤ i ≤ n : ai Q ∈ Z.
a0 = P (0) ∈ P. Soit k ∈ N:
P (Qa0 k) ∈ P. Or, P (Qa0 k) = a0 (1 + R(Qa0 k)) et R(Qa0 k) ∈ Z.
La seule possibilité est que R(Qa0 k) = 0 pour tout k ∈ N. Or Qa0 ̸= 0 donc R
admet une infinité de racines et R = 0.
Ainsi P : X 7→ a0
Remarques:
• ce resultat n’est pas valable pour toutes les fonctions DSE (prendre x 7→
cos(πx) + 5).
• P (Z) ⊂ Z ne veut pas dire P ∈ Z[X] (prendre xk ).
11.1
Polynomes tels que P (Z) ⊂ Z:
Soit P un polynome tel que P (Z) ⊂ Z.
n
X
x
Il existe a0 , ..., an ∈ Z tels que P =
ai
.
i
i=0
Preuve:
Soit P un tel polynome. Par interpolation de Lagrange, P ∈ Q[X]. Par ailleurs,
la famille des polynomes binomiaux de degré 0 à n forme une base de Qn [X]
n
X
x
donc il existe a0 , ..., an ∈ Q tels que P =
ai
.
i
i=0
a0 = P (0) ∈ Z.
Supposons que pour tout m < n: am ∈ Z:
m X
m+1
P (m + 1) = am+1 +
ai ∈ Z
i
i=0
m X
m+1
ai ∈ Z donc am+1 ∈ Z.
Par hypothèse de récurrence
i
i=0
Ainsi par réccurence forte, a0 , ..., an ∈ Z
11.2
11.3
Polynomes classiques:
• Polynomes de Legendre:
Définition: Ln (X) = 2n1n! ((X 2 − 1)n )(n) .
Proposition 1: Les polynomes de Legendre
Z forment une famille orthogo1
nale pour le produit scalaire < P ; Q >=
P (t)Q(t)dt.
−1
Ils sont scindés à racines simples dans ] − 1, 1[.
24
• Polynomes de Laguerre:
• Polynomes d’Hermite:
• Polynomes de Tchebychev:
• Polynomes de Bersnstein:
11.4
Polynomes de Bernstein:
Soit f : [0, 1] → C continue. On appelle nieme polynome de Bernstein associé à
n X
k
k
f le polynome Bn (f ) : x →
f ( )xk (1 − x)n−k .
n
n
k=0
(Bn (f ))n∈N∗ converge uniformément vers f sur [0; 1].
Preuve:
11.5
P (Q) ⊂ Q
Soit P ∈ C[X] tel que Deg(P ) = n et qu’il existe q1 < q2 < ... < qn+1 ∈ Q tels
que pour tout 1 ≤ i ≤ n + 1 : P (qi ) ∈ Q.
P ∈ Q[X].
Preuve:
11.6
P GCD des coefficients d’un polynome:
Soit P ∈ Z[X] non nul, on note Cont(P ) le pgcd des coefficients de P .
Soient A, B ∈ Z[X] tels que AB = P .
Cont(P ) = Cont(A)Cont(B).
Preuve:
Soit p ∈ P tel que p|Cont(P ).
Le représentant P de P dans Fp est nul. Ainsi A B = 0. Or, Fp est un corps
donc Fp [X] est intègre.
Ainsi, A = 0 ou B = 0 donc p|Cont(A)Cont(B).
De proche en proche, on en déduit que Cont(P ) = Cont(A)Cont(B).
25
11.7
Polynome de nombre premier:
Soit p ∈ P et a0 , a2 , ..., an ∈ [[0; 9]] tels que [p]10 = an an−1 ...a0 .
n
X
P : X 7→
ak X k est irréductible dans Z[X].
k=0
Preuve:
Raisonnons par l’absurde, soient A, B ∈ Z[X] non inversibles tels que P = AB.
P (10) = p = A(10)B(10) ∈ P. Ainsi |A(10)| = 1 ou |B(10)| = 1. Sans perdre de
généralité on suppose que A(10) = 1. A étant non inversible il ne peut pas etre
constant égal à 1 il est donc de degré au moins 1.
m
X
On ecrit A =
uk X k .
i=0
A(10) = 1 ⇔ um 10m = 1 −
m
m−1
X
uk 10k le maximum de cette quantité en valeur
k=0
−1
= 10m et est atteint uniquement en u0 = ... = um−1 =
absolue est 1 + 9 1010−1
−9. Ainsi la seule possiblité est um = 1 et u0 = ... = um−1 = −9.
r
X
bi X i alors nécésssairement, b0 = −1. 0 ≤ ai = −ai +
Donc si B =
i=0
i−1
X
ak bi−k ≤ 9 ⇔ 0 ≤ −ai − 9
k=1
i
X
bi ≤ 9 ⇔ −9 ≤ −9
k=1
deg(B)+1
i
X
bk ≤ 10 donc
k=1
|bi | ≤ 1 et p = |B(10)| ≤ 10
. en remarquant que p > 10deg(P )+1 , on a
que nécessairement deg(B) = deg(P ) et donc deg(A) = 0 ce qui est absurde.
Ainsi P est irréductible dans Z[X].
11.8
irréductibilité dans Q[X]:
Soit P ∈ Z[X] irréductible dans Z[X], P est irréductible dans Q[X].
Preuve:
Soient A, B ∈ Q[X] tels que P = AB.
on peut se ramener au cas où A ∈ Z[X] et Cont(A) = 1:
Soit b le plus petit entier strictement positif tel que bB ∈ Z[X].
Supposons que B ∈
/ Z[X], nécessairement, Cont(bB) = 1 donc:
bcont(P ) = Cont(bAB) = Cont(A)Cont(bB) = 1 Ainsi b = 1 et B ∈ Z[X].
Absurde. D’où le résultat
26
11.9
Polynomes cyclotomiques:
11.10
Annexe hypersurfaces algébriques:
Definition:
Dans un K=R ou C espace vectoriel E de dimension n finie, on appelle hypersurface algébrique l’ensemble des racines d’un polynome à n indeterminées.
Propriété 1:
Toute hypersurface algébrique est fermée.
Propriété 2:
Toute hypersuface est maigre dans Kn ou lui est égale.
Preuve:
Raisonnons par récurrence sur le nombre de variables: Si n = 1 c’est trivial.
Supposons que c’est vrai pour tout polynome de variable à n ∈ N∗ variables.
Soit P un polynome à n + 1 variables.
soit H l’ensemble des 
racinesde P . Supposons que H n’est pas maigre i.e
x1
 x2 


qu’il existe r > 0 et x =  .  ∈ Kn+1 tels que B = B(x, r) ⊂ H pour la
.
 . 
xn+1
norme infinie.
Soit a ∈ B, U :
(u
1 , ..., u
n ) 7→P (a, u1 , ..., un ) est un polynome à n variables qui
x2

 
s annule sur B  ...  , r et est donc nul par hypothèse de récurrence.
x
 n+1
y1
 y2 


Soit y =  .  ∈ Kn+1 .
 .. 

yn+1
X → P (X, y2 , .., yn+1 ) est nul pour tout X ∈ [x1 − r, x1 + r] donc il est nul.
Ainsi, P (y) = 0.
Ainsi P = 0
11.11
Annexe discriminant d’un polynome:
Soit P : X → a(x − r1 )(x − r2 )...(x − rn ) un polynome scindé de degré strictement positif et dans à coefficients dans
Y un corps.
Définition: On définit d(P ) = an−2 (ri − rj )2 le discriminant de P .
i<j
27
Propriété 1:
d(P ) ̸= 0 ⇔ P est à racines simples.
12
Suites et séries numériques:
12.1
Développement asymptotique de Hn
Soit (Hn ) le série harmonique.
1
Hn ∼ ln(n) + γ + 2n
+ O( n12 ).
Preuve:
Z n+1
0≤
n
1
1
dx ∼ .
x
n
Z n+1
Or la série de terme général
n
1
dx diverge. Donc, par intégration des relax
tions de comparaison, Hn ∼ ln(n).
Z n+1
1
1
1
1
dx ≤ −
∼ 2
x
n n+1
n
n
Donc par critère de Riemann, Hn − ln(n) converge vers une limite qu’on appelle
γ.
0 ≤ n1 −
Hn − ln(n) − γ =
+∞
X
k=n+1
=
+∞
X
1
( −
k
+∞
X
k=n+1
=
k
1
dx)
x
(
1
1
− ln(1 + ))
k
k
(
1
1
+ O( 3 ))
2k 2
k
k=n+1
=
Z k+1
1
1
+ O( 2 ) ( comparaison série intégrale, intégration des relations de comparaison)
2n
n
1
D’où, Hn = ln(n) + γ + 2n
+ O( n12 ).
12.2
Equivalence et ln:
Si 0 < un ∼ vn et que un tend vers 0 ou +∞, alors ln(un ) ∼ ln(vn ).
28
Preuve: ln(un ) − ln(vn ) = ln( uvnn ) → 0
Or, ln(un ) → ±∞ donc ln(un ) − ln(vn ) = o(ln(un )).
Ainsi, ln(un ) ∼ ln(vn ).
12.3
Equivalence convergence et cauchy:
Soit E un evn de dimension finie et (un ) ∈ E N :
(un ) est convergente ⇔ (un ) est de Cauchy.
Preuve:
• Si (un ) est convergente elle est de cuchy trivialement.
• Si (un ) est de Cauchy, (un ) est bornée.
E est de dimension finie, donc, avec Bolzano-Weierstrass, elle admet une
valeur d’adhérence l ∈ E.
′
Soit l′ une valeur d’adhérence de (u
n ), on note ϵ = l − l .
ϵ

|un − um | < 3
donc |l − l′ | < ϵ =
Si ϵ > 0, il existe n, m ∈ N tels que |un − l| ≤ 3ϵ

 ′
ϵ
|l − um | ≤ 3
|l − l′ |.
C’est absurde. Ainsi l = l′ et un → l.
12.4
équivalent de #{(m, r) ∈ N2 |m2 + r2 ≤ x2 }
On pose pour x ∈ R: C(x) = #{(m, r) ∈ N2 |m2 + r2 ≤ x2 }.
2
En l’infini : C(x) ∼ πx4 .
Preuve:
X
C(x) =
1
(m,r)∈N2 |m2 +r 2 ≤x2
=
X
X
1
√
m≤x r≤ x2 −m2
=
X
p
E( x2 − m2 ) + 1
m≤x
Or, soit n ∈ N:
29
Z n−1 p
n2 − x2 dx ≤
0
X
Z np
p
2
2
E( n − m ) + 1 ≤
n2 − x2 + 1 dx
0
m≤n
Z n−1
Z 1p
p
p
X
n
2
2
2
2
2
Donc n
1 − x dx ≤
E( n − m ) + 1 ≤ n
1 − x2 dx + n.
0
0
m≤n
Ainsi,
Z arcsin( n−1
Z π2
p
X
n )
n2
cos2 (x) dx ≤
E( n2 − m2 ) + 1 ≤ n2
cos2 (x) dx + n
0
0
m≤n
Pour finir,
2
2
2
C(n) ∼ πn4 . Donc C(n) ∼ C(n + 1) et donc C(x) ∼ C(E(x)) ∼ πE(x)
∼ πx4 .
4
2
Ainsi, on a bien C(x) ∼ πx4 .
12.5
+∞
X
sin(eπn!):
sin(eπn!) converge.
n=0
Preuve:
e=
+∞
X
1
i=0
k!
donc n!e = Nn +
+∞
X
n!
= Nn +εn donc sin(eπn!) = (−1)Nn sin(εn π).
k!
i=n+1
+∞
X
(
1
1 i
) ≤ donc εn → 0.
n
+
1
n
i=1
De plus, εn > 0 et on montre par calcul que (εn ) est décroissante et que
(−1)n = (−1)n+1 .
Par CSSA, on a le résulat.
Or, εn ≤
13
Intégration:
13.1
Lemme de Riemann-Lebesgue:
Soit I un
Z intervalle de R et f à valeurs dans C intégrable surI:
f (t)eitx dt = 0
lim
|x|→+∞
I
Preuve:
Si I = [a, b], il existe uneZ suite (fn ) de fonctions en escalier qui converge
uniZ
fn (t)eitx dt converge uniformément vers
formément vers f . Donc
I
f (t)eitx dt
I
On montre
en séparant l’intégrale de manière adaptée à fn que pour tout n ∈ N:
Z
fn (t)eitx dt = 0
lim
x→+∞
I
On applique le théorème de la double limite et on obtient le résultat voulu.
30
Si I est de la forme ]a, b[ , avec a, b ∈ R, alors il suffit de dire que comme
f est intégrable sur I, pour tout ϵ > 0, il existe A, B ∈ I tels que:
Z A
|f (t)eitx |dt +
Z b
|f (t)eitx |dt ≤ ϵ
B
a
Alors,
Z
itx
lim |
x→+∞
f (t)e
Z A
|f (t)e
dt| ≤ lim
x→+∞
I
itx
a
Z B
|dt + lim |
x→+∞
itx
f (t)e
Z b
dt| + lim
A
x→+∞
≤ϵ
.
D’où le résultat.
13.2
Intégrale de Dirichelet:
Z +∞
I=
0
sin(t)
dt est semi convergente et vaut π2 .
t
Preuve:
Z (n+1)π
1
|sin(t)|
dt ≥
.
t
(n + 1)π
nπ
Ainsi I ne converge pas absolument.
La semi-convergence de I se montre facilement avec une intégration par partie
mais pour avoir la valeur, nous allons raisonner avec des
Z intégrales à paramètre.
+∞
−xt
On pose sur]0, +∞]2 f : (x, t) 7→ sin(t)
et g : x 7→
f (x, t)dt.
t e
0
Z X
−1
∂g
i+x
−1
=
ℑ(−
)
=
,
si
bien
que
dx = g(X) − g(0)
2
2
∂x
1+x
1+x
1 + x2
Z X 0
1
Or, lim g(x) = 0 donc lim
dx = g(0)
x→+∞
X→+∞ 0
1 + x2
Ainsi, I = g(0) = π2
13.3
Z +∞
Intégrale de Gauss
√
2
e−t dt =
0
Preuve:
π
2
Z 1
On pose F (x) =
0
2
2
e−x (1+t )
dt
1 + t2
31
B
|f (t)eitx |dt
14
Analyse fonctionnelle:
14.1
Points fixes:
• Soit A : Rn → Rn linéaire et K compact et convexe tel que A(K) ⊂ K.
A admet un point fixe.
Preuve:
Soit x ∈ K, on pose yn = n1
n−1
X
Ai (x) ∈ K car K est convexe et K
i=0
est stable par A.
Par compacité de K, on peut en extraire de (yn ) une sous suite (yφ(n) )
qui converge vers l ∈ K.
1
||(Aφ(n) (x)−x)|| → 0 lorsque n tend vers l’infini.
||A(yφ(n) )−yφ (n)|| = φ(n)
Or A est linéaire en dimension finie donc continue et ||.|| est continue.
Ainsi, ||A(l) − l|| = 0 et l est un pointfixe de A.
• Soit A : Rn → Rn , k-Lipschitzienne avec k ∈]0, 1[. Soit K un compact
stable par A.
A admet un point fixe.
Preuve:
soit x ∈ K, on pose un = An (x). ||yn || = ||A(un ) − un || ≤ k n ||u0 ||.
Ainsi yn → 0.
Par ailleurs, par compacité et stabilité de K, un admet une valeur d’adhérence
l.
Par continuité de A et de ||.|| on a que ||A(l) − l|| = 0 donc A(l) = l et
donc A admet un point fixe.
• Soit A : Rn → Rn 1-Lipschitzienne, K compact convexe stable par A.
A admet un point fixe.
Preuve:
Soit x ∈ K, A admet un point fixe ⇔ B : y 7→ A(y + x) − x admet
un point fixe. Or, K − x est un compacte convexe stable par B et B est
1−Lipschitzienne.
Ainsi, on peut supposer sans perte de généralité que 0 ∈ K.
On pose C : x 7→ A( x2 ).
x
0
x
2 = 2 + 2 ∈ K car K convexe et 0, x ∈ K. De plus, K est stable par A.
On en déduit que K est un compact stable par C qui est 12 -Lipschitzienne.
On est ramené au cas précédent, d’où le résultat.
32
14.2
Inégalité de Kolmogorov:
′′
Soit f ∈ C 2 (R, E) telle que f et fp
soient bornées.
′
′
Alors f est bornée et ||f ||∞ ≤ 2 ||f ||∞ ||f ′′ ||∞
Preuve:
Soit x, t ∈ R, h > 0:
′
|mean(f )[x− h ,x+ h ] | = h1 |
2
2
′
′
′′
Z x+ h2
f ′ (t)dt| =
x− h
2
|f (x + h2 ) − f (x − h2 )|
2||f ||∞
≤
h
h
|f (x) − f (x + t)| ≤ t||f ||∞
Or, il existe c ∈ [x − h2 , x + h2 ] tel que f (c) = mean(f ′ )[x− h ,x+ h ] car f est
2
2
continue.
|c − x| ≤ h2 donc |f ′ (x) − mean(f ′ )[x− h ,x+ h ] | ≤ h2 ||f ′′ ||∞ .
2
2
D’où |f ′ (x)| ≤ h2 ||f ′′ ||∞ + 2||fh||∞
On évalue ensuite cette inégalité en h = 2
finie pour obtenir le résultat.
q
||f ||∞
∥|f ′′ ||∞
15
Suites et séries de fonctions:
15.1
Mise en garde erreur classique:
et on passe à norme in-
La convergence point par point n’implique pas trivialement la convergence d’une
suite de fonction vers la fonction définie par la limite en chaque point car la
convergence point par point n’est pas associée à une norme.
En dimension finie si les fonctions sont des endomorphismes, on s’en sort avec
une manipulation simple:
Il suffit de poser (e1 , ..., en ) une base de E et de poser la norme N (λ1 e1 +
...λn en ) = max(|λi |).
Soit N2 la norme d’opérateur associée à N , pour tout ε > 0, il existe un rang
M tel que pour tout m ≥ M et pour tout i i, N (fm (ei ) − f (ei )) ≤ ε. Ainsi,
N (fm − f ) ≤ nε tend vers 0 lorsque m tend ver l’infini.
15.2
Irrationnalité de e:
On pose pour n ∈ N : fn : x 7→ xn ex et un =
Z 1
fn (x)dx =.
0
Pour tout n ∈ N, fn est continue et |fn | ≤ φ : x 7→ ex qui est intégrable sur
[0, 1].
Ainsi, par CV D, un → 0.
Or , on montre par réccurence qu il existe an , bn ∈ Z tels que un = an + bn e.
Suppposons que e = pq ∈ Q:
qun → 0 donc qan + pqbn → 0. Or cette suite est à valeurs entières. Elle serait
donc stationnaire en 0 à partir d’un rang N .
33
Alors, uN = 0, ce qui est impossible car fN > 0.
Donc e ∈
/ Q.
15.3
Irrationalité de π:
Z π
Même idée que pour e mais en posant un =
xn (π − x)n sin(x)dx.
0
15.4
Premier théorème de Dini
Soit (fn ) ∈ C([a, b], R)N telle que pour tout n, fn est croissante, et (fn ) converge
simplement vers f ∈ C([a, b], R).
(fn ) converge uniformément sur [a, b].
Preuve:
f est continue sur un segment donc uniformément continue avec Heine. Elle
est par ailleurs décroissante.
Soit ϵ > 0 et η > 0 un module d’uniforme continuité adapté à epsilon.
Soient a = a0 < a1 < ... < ar = b tels que pour tout 1 ≤ i ≤ r : ai − ai−1 ≤ η.
Il existe N tel que pour tout n ≥ N, pour tout 1 ≤ i ≤ r :
|fn (ai ) − f (ai )| ≤ ϵ.
Soit x ∈ [a, b]: ∃i ≤ r|ai−1 ≤ x ≤ ai
Alors, fn (ai−1 ) ≤ fn (x) ≤ fn (ai ) et −f (ai ) ≤ −f (x) ≤ −f (ai−1 ).
On peut ainsi affirmer que fn (ai−1 ) − f (ai ) ≤ fn (x) − f (x) ≤ fn (ai ) − f (ai−1 ).
Donc |fn (x) − f (x)| ≤ |fn (ai ) − f (ai−1 )| + |fn (ai−1 ) − f (ai )| ≤ 4ϵ.
D’où la convergence uniforme.
15.5
Second théorème de Dini
Soit (fn )n∈N une suite croissante de fonctions continues de [a, b] ̸= ∅ dans R qui
converge simplement vers une fonction f continue.
(fn ) converge uniformément sur [a, b].
Preuve:
Soit ϵ > 0, supposons que pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ [a, b] tel que
|fn (xn ) − f (xn )| ≥ ϵ.
Soit m ≥ n: fn (xm ) ≤ fm (xm ) ≤ f (xm ) − ϵ.
[a, b] est compact donc (xn ) a une valeur d adhérence l ∈ [a, b]. Soit ϕ une
extractrice adaptée à l:
Par passage à la limite pour m et continuité de f et fϕ(n) , |fϕ(n) (l) − f (l)| ≥ ϵ
puis par passage à la limite pour n, 0 ≥ ϵ > 0, ce qui est absurde.
Ainsi, il existe n0 ∈ N tel que ||fn0 − f ||∞ ≤ ϵ.
Par croissance de (fn ), cette inégalité reste vraie pour tout n ≥ n0 .
D’où le résultat.
34
15.6
Transformée de Fourier:
Soit f une fonction contuinue et 2π périodique. f est développable en
Xsérie de
Fourier, c’est à dire qu’il existe une suite (fn ) ∈ CZ telle que f (x) =
cn einx .
1
De plus, cn = 2π
n∈Z
Z π
−inx
f (x)e
dx.
−π
Preuve:
On utilise le théorème d’approximation trigonométrique uniforme. Z
1
0
Soit < ., . > le produit scalaire sur C2π−per
(R, C) qui à f, g associe 2π
inx
π
f (x)g(x)dx.
−π
La famille b = (x 7→ e )n∈Z est une famille orthonormale pour ce produit
scalaire. elle est donc libre.
0
Par ailleurs, soit u appartenant à l’orthogonal de V ect(b) dans C2π−per
(R, C).
Soit (un ) la suite de polynomes trigonométriques qui converge uniformémént
vers u.
Pour tout n ∈ N, on a nécessairement < un , u >= 0 donc par continuité de
< ., . > par rapport à la norme infinie, et par passage à la limite, < u, u >= 0.
0
Ainsi V ect(b)⊥ ={0} et b est une base de C2π−per
(R, C).
La transformée de fourier existe et fn est donc simplement la projection de f
sur la droite de vecteur directeur x 7→ einx . Cela donne par ailleurs l’unicité des
cn .
35