COURS DE MATHÉMATIQUES
Topologie & Analyse
Espaces topologiques, Continuité, Complétude, Compacité,
Connexité
Université Département de Mathématiques
Version moderne 2026
Contents
1 Espaces topologiques
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Notion de topologie et ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espaces normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intérieur et adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Voisinages et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construction d'espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Espace quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compléments : inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
4
4
5
5
5
5
5
2 Continuité
6
3 Espaces complets
8
4 Compacité
10
5 Connexité
12
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4.1
4.2
4.3
5.1
5.2
5.3
Caractérisations de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complétude et fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries dans un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notion de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions continues sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples d'espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notion de connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples d'espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
7
7
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8
8
9
9
10
10
10
12
12
13
Chapter 1
Espaces topologiques
1.1 Notion de topologie et ouverts
Dénition 1.1 (Espace topologique). Un espace topologique est un couple
(X, T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vériant :
(T1) ∅ ∈ T et X ∈ T ,
(T2) toute intersection nie d'éléments de T appartient à T ,
(T3) toute réunion quelconque d'éléments de T appartient à T .
On appelle T la topologie sur X , et ses éléments les ouverts.
Exemple 1.1. X = Rn muni de la famille des ensembles ouverts usuels.
Exemple 1.2 (Topologie chaotique). T = {∅, X}.
Exemple 1.3 (Topologie discrète). T = P(X) (toutes les parties de X ).
Dénition 1.2 (Distance / Métrique). Soit X un ensemble non vide. Une distance
sur X est une application d : X × X → R+ telle que :
(D1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(D2) d(x, y) = d(y, x), ∀ x, y ∈ X ,
(D3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀ x, y, z ∈ X
(inégalité triangulaire).
Un espace métrique est un couple (X, d).
Exemple 1.4 (Distance euclidienne). X = Rn , d(x, y) =
n
X
!1/2
(xi − yi )2
.
i=1
Exemple 1.5 (Distance discrète). d(x, y) = 0 si x = y, d(x, y) = 1 sinon.
Dénition 1.3 (Boules). Dans un espace métrique (X, d), pour x ∈ X et r > 0 :
B(x, r) = {y ∈ X | d(y, x) < r} (boule ouverte),
B̄(x, r) = {y ∈ X | d(y, x) ≤ r} (boule ferm
Un ensemble U ⊂ X est un ouvert si ∀ x ∈ U, ∃ r > 0 tel que B(x, r) ⊂ U .
2
CHAPTER 1. ESPACES TOPOLOGIQUES
3
Proposition 1.1. Dans un espace métrique :
1. Une intersection nie d'ouverts est ouverte.
2. Une réunion quelconque d'ouverts est ouverte.
T
. 1. Soit x ∈ ni=1 Ui . Pour chaque
Tn i, ∃ ri > 0 tel que B(x, ri ) ⊂ Ui .
En posant r = min{r
,
.
.
.
,
r
}
,
on
a
B(x,
r)
⊂
n
i=1 Ui .
S 1
2. Soit x ∈ i∈I S
Ui . Il existe i0 tel que x ∈ Ui0 , qui est ouvert, donc ∃ r > 0 tel
que B(x, r) ⊂ Ui0 ⊂ i∈I Ui .
■
Démonstration
Dénition 1.4 (Espace de Hausdor). Un espace topologique (X, T ) est séparé
(ou de Hausdor) si pour tous x ̸= y dans X , il existe U, V ∈ T tels que x ∈ U ,
y ∈ V et U ∩ V = ∅.
Proposition 1.2. Tout espace métrique est de Hausdor.
Démonstration. Soient x ̸= y dans (X, d). Posons ρ = d(x, y)/2 > 0, U = B(x, ρ),
V = B(y, ρ). Si z ∈ U ∩ V , on aurait d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < 2ρ = d(x, y),
contradiction.
■
Dénition 1.5 (Fermés). Dans (X, T ), un ensemble F ⊂ X est fermé si son
complémentaire F c est ouvert.
Proposition 1.3. Dans un espace topologique :
1. Une réunion nie de fermés est fermée.
2. Une intersection quelconque de fermés est fermée.
1.2 Espaces normés
Dénition 1.6 (Norme). Soit E un espace vectoriel réel. Une norme sur E est
une application x 7→ ∥x∥ de E dans R+ vériant :
(N1) ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0,
(N2) ∥λx∥ = |λ| ∥x∥, ∀ λ ∈ R, x ∈ E ,
(N3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (inégalité triangulaire).
Un espace normé est un couple (E, ∥·∥).
Exemple 1.6. Dans Rn : ∥x∥2 =
1/2
P
∥x∥1 = |xi |, ∥x∥∞ = maxi |xi |.
1/p
P
Plus généralement, pour 1 < p < ∞ : ∥x∥p =
|xi |p
.
P
x2i
,
CHAPTER 1. ESPACES TOPOLOGIQUES
4
Proposition 1.4. Tout espace normé (E, ∥·∥) est un espace métrique pour d(x, y) =
∥x − y∥.
1.3 Intérieur et adhérence
Dénition 1.7. Soit A ⊂ X dans un espace topologique. On dénit :
◦
[
A=
(intérieur de A),
U
\
Ā =
U ouvert
U ⊂A
F
(adhérence de A).
F fermé
F ⊃A
◦
Proposition 1.5. A est le plus grand ouvert contenu dans A ; Ā est le plus petit
fermé contenant A.
Proposition 1.6. Pour toutes parties A, B :
1. A ∪ B = Ā ∪ B̄ ,
◦
◦
A ∩ B ⊂ Ā ∩ B̄ ,
◦
◦
2. (A ∩ B) = A ∩ B ,
◦
◦
(A ∪ B) ⊃ A ∪ B ,
◦
3. U ouvert ⇔ U = U ;
F fermé ⇔ F = F̄ .
1.4 Voisinages et suites
Dénition 1.8 (Voisinage). Un voisinage de x ∈ X est tout ensemble V ⊂ X
contenant un ouvert U avec x ∈ U .
Dénition 1.9 (Convergence). Une suite (xn ) ⊂ X converge vers x si tout
voisinage de x contient presque tous les termes :
∀ V ∈ Vx , ∃ NV ∈ N, ∀ n ≥ NV : xn ∈ V.
Proposition 1.7. Dans un espace de Hausdor, la limite d'une suite est unique.
Proposition 1.8 (Caractérisation séquentielle de l'adhérence). Dans un espace
métrique :
F̄ = {x ∈ X | ∃ (xn ) ⊂ F : xn → x}.
En particulier, F est fermé ⇐⇒ toute suite convergente dans F a sa limite dans
F.
1.5 Construction d'espaces topologiques
CHAPTER 1. ESPACES TOPOLOGIQUES
1.5.1 Sous-espace
Dénition 1.10 (Topologie induite). Si A ⊂ (X, T ), la topologie induite sur
A est TA = {U ∩ A | U ∈ T }.
1.5.2 Topologie produit
Dénition 1.11. Soient (Xk , Tk ), 1 ≤ k ≤ n, des espaces topologiques. La
topologie produit sur X1 ×· · ·×Xn est engendrée par les ensembles U1 ×· · ·×Un ,
Uk ∈ Tk .
Proposition 1.9. Une suite (xn ) dans X1 ×· · ·×Xk converge vers x si et seulement
si chaque composante xnk → xk dans Xk .
1.5.3 Espace quotient
Dénition 1.12. Soit ∼ une relation d'équivalence sur (X, T ) et q : X → X/∼ la
surjection canonique. La topologie quotient est TX̃ = {U ⊂ X̃ | q −1 (U ) ∈ T }.
1.6 Compléments : inégalités classiques
Théorème 1.1 (Young). Si a, b ≥ 0 et 1 < p, q < ∞ avec p1 + 1q = 1, alors :
ab ≤
ap b q
+ .
p
q
Théorème 1.2 (Hölder). Pour a, b ∈ Rn et p1 + 1q = 1 :
n
X
ai bi ≤ ∥a∥p ∥b∥q .
i=1
Théorème 1.3 (Minkowski). Pour a, b ∈ Rn et 1 < p < ∞ :
∥a + b∥p ≤ ∥a∥p + ∥b∥p .
5
Chapter 2
Continuité
2.1 Caractérisations de la continuité
Dénition 2.1 (Limite). Soient (X1 , T1 ), (X2 , T2 ) et f : X1 → X2 . On dit que
f (x) → b quand x → a si pour tout voisinage V de b, il existe un voisinage U de
a tel que f (U ) ⊂ V .
Dénition 2.2 (Continuité). f est continue en a si limx→a f (x) = f (a). Elle
est continue si elle l'est en tout point.
Théorème 2.1 (Caractérisations équivalentes). Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. f est continue.
2. f −1 (U ) est ouvert pour tout ouvert U ⊂ X2 .
3. f −1 (F ) est fermé pour tout fermé F ⊂ X2 .
4. Pour toute partie A ⊂ X1 , on a f (Ā) ⊂ f (A).
Corollaire 2.1. La composition de deux fonctions continues est continue.
2.2 Applications linéaires continues
Proposition 2.1. Soient (E, ∥·∥E ), (F, ∥·∥F ) deux espaces normés et f : E → F
linéaire. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) f est continue ;
b) f est continue en 0 ;
c) ∃ C > 0 tel que ∥f (x)∥F ≤ C ∥x∥E , ∀ x ∈ E .
Si E est de dimension nie, toute application linéaire f : E → F est continue.
Dénition 2.3 (Norme opérateur). On note L(E, F ) l'ensemble des applications
6
CHAPTER 2. CONTINUITÉ
7
linéaires continues de E dans F . Pour f ∈ L(E, F ) :
∥f ∥L(E,F ) = sup ∥f (x)∥F .
∥x∥E ≤1
L(E, F ) muni de cette norme est un espace normé. Le dual de E est E ′ = L(E, R).
2.3 Convergence uniforme
Dénition 2.4. Une suite (fn ) de fonctions X1 → X2 converge uniformément
vers f si :
∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ X1 : D(fn (x), f (x)) < ε.
Théorème 2.2. Si fn : (X, T ) → (Y, d) sont continues et fn ⇒ f uniformément,
alors f est continue.
2.4 Homéomorphismes
Dénition 2.5. Un homéomorphisme f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) est une bijection
continue d'inverse continue. On dit alors que les deux espaces sont homéomorphes.
Chapter 3
Espaces complets
3.1 Suites de Cauchy
Dénition 3.1 (Suite de Cauchy). Dans (X, d), une suite (xn ) est de Cauchy
si :
∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀ m, n ≥ n0 : d(xn , xm ) < ε.
Proposition 3.1. Dans un espace métrique :
a) Toute suite convergente est de Cauchy.
b) Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence.
c) Une suite de Cauchy converge ⇐⇒ elle a une valeur d'adhérence.
d) Toute suite de Cauchy est bornée.
3.2 Complétude
Dénition 3.2. Un espace métrique (X, d) est complet si toute suite de Cauchy
est convergente. Un espace normé complet est appelé espace de Banach.
Théorème 3.1. R est complet.
Proposition 3.2. Si (Y, D) est complet, alors Cb (X, Y ) (fonctions continues bornées)
est complet pour la distance uniforme δ(f, g) = supx D(f (x), g(x)).
Proposition 3.3. Si (E, ∥·∥E ) est normé et (F, ∥·∥F ) est de Banach, alors L(E, F )
est de Banach.
3.3 Complétude et fermeture
Proposition 3.4. Soient (X, d) un espace métrique et A ⊂ X .
a) Si (A, d) est complet, alors A est fermé dans X .
b) Si (X, d) est complet et A est fermé, alors (A, d) est complet.
8
CHAPTER 3. ESPACES COMPLETS
9
Dans un espace complet : A complet ⇐⇒ A fermé.
3.4 Théorème du point xe
Dénition 3.3. f : (X, d) → (X, d) est contractante s'il existe k < 1 tel que
d(f (x), f (y)) ≤ k d(x, y).
Théorème 3.2 (Point xe de Picard). Soient (X, d) complet et f contractante de
rapport k < 1. Alors :
a) f admet un unique point xe a ;
b) Pour tout x0 ∈ X , la suite xn+1 = f (xn ) converge vers a ;
c) d(xn , a) ≤
kn
d(x1 , x0 ).
1−k
3.5 Séries dans un espace de Banach
Dénition
3.4. La série
P
n≥0 ∥xn ∥ < ∞.
n≥0 xn dans (E, ∥·∥) est
P
absolument convergente si
Proposition 3.5. Dans un espace de Banach, toute série absolument convergente
est convergente.
Chapter 4
Compacité
4.1 Notion de compacité
Dénition 4.1 (Recouvrement ouvert)
. Un recouvrement ouvert de X est
S
une famille U ⊂ T telle que X = U ∈U U . Un sous-recouvrement ni est un
sous-ensemble ni de U qui recouvre encore X .
Dénition 4.2 (Compacité). (X, T ) est compact si tout recouvrement ouvert
admet un sous-recouvrement ni.
(X, T ) est séquentiellement compact si toute suite admet une sous-suite
convergente.
Théorème 4.1 (BorelLebesgue). Pour un espace métrique, compact ⇐⇒ séquentiellement
compact.
Théorème 4.2 (Lebesgue). Si (X, d) est séquentiellement compact et {Ui } un
recouvrement ouvert, il existe r > 0 ( constante de Lebesgue) tel que ∀ x ∈ X ,
B(x, r) ⊂ Ui pour un certain i.
4.2 Fonctions continues sur un compact
Proposition 4.1. L'image continue d'un compact est compacte.
Proposition 4.2. Toute fonction continue réelle sur un compact est bornée et
atteint ses bornes.
Théorème 4.3 (Heine). Toute fonction continue sur un espace métrique compact
est uniformément continue.
4.3 Exemples d'espaces compacts
Théorème 4.4 (BolzanoWeierstrass). Tout intervalle fermé et borné [a, b] ⊂ R
est compact.
10
CHAPTER 4. COMPACITÉ
11
Proposition 4.3. Dans Rn muni d'une norme quelconque, les compacts sont
exactement les ensembles fermés et bornés.
Théorème 4.5 (Équivalence des normes en dimension nie). Sur Rn , toutes
les normes sont équivalentes. Plus généralement, sur tout espace vectoriel de
dimension nie, toutes les normes sont équivalentes.
Théorème 4.6 (Riesz). Dans un espace normé de dimension innie, la boule
unité B(0, 1) est fermée et bornée mais non compacte.
Chapter 5
Connexité
5.1 Notion de connexité
Dénition 5.1 (Connexité). (X, T ) est connexe si les seules parties à la fois
ouvertes et fermées sont ∅ et X .
Une partie A ⊂ X est connexe si (A, TA ) est connexe.
Proposition 5.1 (Caractérisations équivalentes). Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
a) (X, T ) est connexe ;
b) Si X = F1 ∪ F2 avec F1 , F2 fermés disjoints, alors F1 = ∅ ou F2 = ∅ ;
c) Si X = U1 ∪ U2 avec U1 , U2 ouverts disjoints, alors U1 = ∅ ou U2 = ∅ ;
d) Toute fonction continue f : X → {0, 1} est constante.
Proposition 5.2. L'image continue d'un connexe est connexe. Le produit de
connexes est connexe.
Dénition
5.2 (Composante connexe). La composante connexe de x ∈ X est
S
Cx =
{A ⊂ X | A connexe, x ∈ A}.
Proposition 5.3. Les composantes connexes forment une partition de X en
fermés. Elles sont ouvertes si elles sont en nombre ni.
5.2 Exemples d'espaces connexes
Théorème 5.1. Une partie A ⊂ R est connexe ⇐⇒ A est un intervalle.
Tout ouvert de R est une union au plus dénombrable d'intervalles ouverts
disjoints.
Dénition 5.3 (Convexité, étoilé). Dans un espace vectoriel E , le segment
[x, y] = {(1 − t)x + ty | t ∈ [0, 1]}.
C est convexe si [x, y] ⊂ C pour tout x, y ∈ C .
12
CHAPTER 5. CONNEXITÉ
13
A est étoilé (par rapport à x0 ) si [x0 , x] ⊂ A pour tout x ∈ A.
Proposition 5.4. Convexe ⇒ étoilé ⇒ connexe.
normé et toute boule sont connexes.
En particulier, tout espace
5.3 Connexité par arcs
Dénition 5.4 (Connexité par arcs). (X, T ) est connexe par arcs si pour tout
x, y ∈ X , il existe une application continue f : [a, b] → X telle que f (a) = x et
f (b) = y .
Proposition 5.5. Connexe par arcs ⇒ connexe.
Théorème 5.2. Dans un espace normé, tout ouvert connexe est connexe par arcs.