Évaluation des performances des réseaux - Cours universitaire

EVALUATION DE PERFORMANCES
DES RÉSEAUX
Meriem Kassar Ben Jemaa
[email protected]
Département TIC
Ecole Nationale D’Ingénieurs de Tunis
FICHE DESCRIPTIVE
• Objectifs généraux :
– Comprendre la problématique de l’évaluation de performances des réseaux.
– Rappeler et approfondir les notions des techniques de réseaux de files d’attente.
– Appliquer au domaine des réseaux & télécommunications.
•
•
•
•
•
•
Public Cible : 3ème Année, Spécialité « Télécommunications »
Pré requis : Réseaux, Réseaux de files d’attente
Durée : 22,5 heures
Formules pédagogiques : Exposé informel, Exercices
Moyens pédagogiques : Tableau, Support de cours
Bibliographie :
[1] B.Baynat, « Théorie des Files d’Attente, des Chaînes de Markov aux Réseaux à forme produit », 2000.
[2] F.Valois, « Modélisation et Évaluation de Performances de Réseaux », INSA Lyon, 2003.
[3] O.Brun& U. Ayesta, « Evaluation de Performances & Applications aux Réseaux », 2000.
[4] G.Latouche, « Modèles Stochastiques des Systèmes Informatiques », Université Libre de Bruxelles, 2008.
[5] S.Tohmé, R.Naja & L.Decreusefond, « Analyse quantitative de réseaux », Université Versailles-Saint Qunetin en
Yvelines, 2006.
CHAPITRE 1
INTRODUCTION
1.
2.
3.
4.
Un système à évènements discrets ?
Qu’est ce que l’évaluation de performances ?
Pourquoi évaluer les performances d’un système ?
Comment évaluer les performances d’un système ?
1.
2.
5.
6.
7.
[1]
Modélisation
Analyse des performances : qualitative et quantitative
Modélisation
Analyse des résultats
Caractérisation stochastique
INTRODUCTION
• Un système à évènements discrets ?
Système décrit par des variables d’état discrètes
 Changements d’états :
- sous occurrence d’évènements,
- continus dans le temps,
- modification discrètes des variables d’état.
 Par opposition aux systèmes fluides :
- état décrit par des variables non entières,
- variation continue dans le temps.
- Exp: niveau de liquide dans un récipient
 Exemples : systèmes informatiques, système de production,
réseaux de communication, etc.
INTRODUCTION
• Qu’est ce que l’évaluation de performances ?
Calcul des paramètres de performances d’un système
 Réseaux de communication :
- Temps de réponse (délai d’acheminement de bout-en-bout),
- Débit des paquets.
 Système de production :
- Débit en produits finis,
- Charge d’une machine (taux d’utilisation).
 Guichet :
- Usager : temps d’attente au guichet,
- Direction : nombre de clients en attente.
INTRODUCTION
• Qu’est ce que l’évaluation de performances ?
Paramètres de performances d’un système :
 débit moyen X
 Temps moyen de réponse R
(temps d’attente + temps de service)
 Nombre moyen de clients Q
€
 Taux moyen d’utilisation U
€
INTRODUCTION
• Pourquoi évaluer les performances d’un système ?
Lorsque la mesure est impossible
 en conception
- le système n’existe pas,
- dimensionnement en accord avec un certain cahier des charges,
- l’expérience est insuffisante,
- pour éviter le sous-dimensionnement ou le sur-dimensionnement.
 en exploitation
- le système existe,
- le modifier  conception
- le tester en dehors de son point de fonctionnement normal (pannes,
surcharges, …)
INTRODUCTION
• Comment évaluer les performances d’un système ?
Proposer un formalisme mathématique permettant de concentrer dans un
modèle le comportement et les paramètres reproduisant au mieux le
fonctionnement d’un système.
 Modèle = abstraction (mathématique) du système.
 Système plus simple ou plus petit.
 Ensemble d’équations.
 Décrit à l’aide d’un formalisme pré-établi :
-
Les chaînes de Markov
Les réseaux de Pétri
Les réseaux de files d’attente
Les automates stochastiques
Le GRAFCET, etc.
Système
Modélisation
Analyse
des
résultats
Modèle
Analyse
Performances
INTRODUCTION
• Analyse qualitative :
 définir les propriétés structurelles et comportementales du
système :
- absence de blocage (vivacité),
- invariants du système,
- comportement fini ou borné (stabilité).
 modèle fréquemment utilisé : Réseaux de Pétri.
• Analyse quantitative
 calculer les paramètres de performances du système,
 analyse qualitative préalable nécessaire,
 modèle fréquemment utilisé : Réseaux de files d’attente.
INTRODUCTION
• Analyse quantitative
 Différentes techniques :
- La simulation à évènements discrets
- Reproduire pas à pas une trajectoire particulière de l’évolution du
système.
- Avantage : très général.
- Inconvénients : très coûteux en temps de calcul, analyse des
résultats délicate.
- Les méthodes analytiques
- Résoudre les équations associées au modèle.
- Avantages : très rapides, bonne compréhension du système.
- Inconvénients : très spécifiques.
- Possibilité d’introduire des approximations dans la résolution :
méthodes analytiques approximatives.
INTRODUCTION
• Modélisation
Les performances obtenues sont celles du modèle et non celles du système.
 Cette étape est importante !
 Différents modèles en fonction du degré d’abstraction.
 Modélisation = compromis entre précision et facilité d’analyse.
 Plus on complique le modèle
- Plus les performances obtenus sont proches de celles du système,
- Plus l’analyse est complexe,
- Plus on a besoin d’informations sur le système.
 Plus on simplifie le modèle
- Plus l’analyse est aisée,
- Non linéaire.
INTRODUCTION
• Analyse des résultats
La configuration étudiée du système répond-elle aux objectifs du cahier des charges ?
 OUI
- L’analyse s’arrête là.
- L’intuition des concepteurs était bonne.
 NON
- Complexité du système -> expérience insuffisante.
-
Que faut-il faire pour que ça marche ?
Analyse des résultats :
- Si le modèle est simple : facile
- Si le modèle est complexe : difficile
 Bonne compréhension du modèle est nécessaire
- d’autant plus facile que le modèle est simple
- Avantage des modèles analytiques
 Ebauche de méthodologie de modélisation
- Partir d’un modèle très simple
- Effectuer cette boucle d’analyse des résultats afin de configurer les paramètres de base du système
- Compliquer progressivement le modèle :
- Configurer les uns après les autres les différents paramètres du système
- Retours en arrière possibles
INTRODUCTION
• Caractérisation stochastique
En réalité tous les systèmes sont déterministes !
 en théorie, on doit donc pouvoir prévoir l’évolution de leur comportement
avec certitude (exp. le dé).
 en pratique, on ne dispose pas de toutes les informations nécessaires.
 on simplifie la caractérisation d’un système en introduisant la notion
d’aléatoire :
- Reflète vis à vis de l’aspect des performances, le comportement moyen du
système.
- Intéressant si on dispose d’outils mathématiques adaptés.
 Exemples :
 Le dé,
 Réseau de communication, routage des paquets,
 Arrivées de clients dans un système,
 Temps de service.
CHAPITRE 2 RAPPELS/GENERALITES
1. Variables aléatoires : discrète et continue
2. Exemples de variables aléatoires
1.
2.
Loi géométrique
Loi de poisson
3.
Loi exponentielle
3. Processus stochastiques
4. Processus de Poisson
Variable Aléatoire
X une variable aléatoire = variable dont la valeur
dépend de l’issue d’une expérience aléatoire.
X application probabilisable : (Ω, P) -> E
ω -> X(ω)
E : espace d’état = ensemble de valeurs que peut
prendre X (peut être fini ou infini).
si E est fini alors on s’intéressera à la probabilité
que X prenne une de ces valeurs :
P[X = x] = P[{ω ∈ Ω telqueX(ω ) = x}] pour tout x ∈ E
Discrète ou Continue ?
Variable Aléatoire discrète
E⊂Z
Variable Aléatoire continue
E⊂R
définie par :
les probabilités d’états
définie par :
la fonction densité de probabilité
p(n) = P[X = n] pour n = −∞...+ ∞
f X (x) pour x ∈] − ∞,+∞[
+∞
+∞
telles que ∫ f X (x)dx = 1
telles que ∑ p(n) = 1
−∞
n=−∞
P[x < X ≤ x + Δx]
Δx →0
Δx
f X (x) = lim
€
€
€
€
f X (x) = probabilité pour que X soit
comprise entre x et x+dx.
Discrète ou Continue ?
Une variable aléatoire est parfaitement caractérisée par sa fonction de répartition.
Variable Aléatoire discrète
Variable Aléatoire continue
x
FX (x) = ∫ f X (y)dy
n
FX (n) = ∑ p(k)
−∞
k=−∞
soit f X (x) =
€
dFX (x)
dx
Moyenne (ou espérance mathématique) E[X] et moment d’ordre k E[Xk]
+∞
+∞
E[X] = ∑ np(n)
€
n=−∞
E[X] = ∫ xf X (x)dx
−∞
+∞
+∞
E[X ] = ∑ n p(n)
k
k
n=−∞
k
E[X ] = ∫ x k f X (x)dx
−∞
Variance V[X] et Ecart type σ[X]
V[X] = E[X 2 ] − (E[X]) 2 , σ [X] = V[X]
€Coefficient de variation cv[X]
cv[X]
= σ [X]/ E[X]
€
Le cv (ou cv2) mesure la dispersion relative de X par rapport à sa moyenne.
€
Exemples de variables aléatoires
La loi géométrique modifiée de paramètre a (0 < a < 1)
Variable aléatoire discrète X à valeurs positives de probabilités
d’état :
n
P[X = n] = (1− a)a pour n = 0,1,2,...
X = nombre de tirages consécutifs de ‘pile’ lors du lancer d’une pièce.
P[X = n] : probabilité de tirer ‘pile’ exactement n fois de suite.
Où a : probabilité de tirer ‘pile’ lors d’un tirage de la pièce (truquée!).
€
1-a : probabilité de tirer ‘face’.
a
a
E[X] =
et V[X] =
Moyenne & Variance :
1− a
(1− a) 2
Propriété « sans mémoire » : P[X ≤ n + n 0 | X ≥ n 0 ] = P[X ≤ n]
€
Exemples de variables aléatoires
La loi de Poisson de paramètre λ
Variable aléatoire discrète X à valeurs positives de probabilités
d’état :
n
λ −λ
P[X = n] = e pour n = 0,1,2,...
n!
Moyenne & Variance :
E[X] = V[X] = λ
Propriété : La somme de deux lois de Poisson indépendantes X1 et X2
€ de paramètres λ1 et λ2 est une loi de Poisson de paramètre λ1 + λ2.
€
Exemples de variables aléatoires
La loi exponentielle de paramètre λ
Variable aléatoire continue T à valeurs positives de densité de
probabilité :
fT (t) = λ e− λt pour t ≥ 0
FT (t) = 1− e− λt pour t ≥ 0
Moyenne & cv2 :
E[T] =
Propriété « sans mémoire » :
€
1
et cv 2 = 1
λ
P[T ≤ t + t 0 | T > t 0 ] = P[T ≤ t]
€
« La probabilité
sachant que le phénomène que mesure T ne s’est
toujours pas produit au temps t0, pour qu’il se produise avant t
unités de temps supplémentaires,
est égale à la probabilité qu’il se
€
soit produit pendant les t premiers instants du phénomène. »
Processus Stochastiques
• Un processus stochastique {X(t)}t ∈ T est une fonction du
temps dont la valeur à chaque instant dépend de l'issue
d'une expérience aléatoire.
• A chaque instant t ∈ T, X(t) est une variable aléatoire.
• T ensemble des temps : discret ou continu.
• E espace d’état = ensemble des valeurs que peut prendre
X(t) à tout instant t ∈ T : discret ou continu.
t
T ⊂ N (ou Z)
X(t) souvent noté Xn
T ⊂ [0,+∞ [ (ou R)
E⊂N
Processus à temps discret
et espace d’état discret
ou Chaîne à temps discret
Processus à temps continu
et espace d’état discret
ou Chaîne à temps continu
E⊂R
Processus à temps discret
et espace d’état continu
Processus à temps continu
et espace d’état continu
X(t)
Processus Stochastiques
• Réalisation particulière d’un processus stochastique :
n∈N
T ∈ [0,+∞ [
E⊂N
Une suite d’entiers {xn}n ∈ Z
Une fonction discontinue x(t) à
valeurs entières
E⊂R
Une suite de réels {xn}n ∈ Z
Une fonction x(t) à valeurs réelles
 On ne s’intéressera qu’aux processus stochastiques
à espace d’état discret (chaînes).
Processus Stochastiques
• Un processus stochastique X à espace d’état discret est un
processus de comptage ssi toute réalisation particulière de ce
processus est une fonction croissante, nulle en zéro.
x0 = 0
xn-1 ≤ xn ∀ n ∈ Z
x(0) = 0
x(t) ≤ x(s) ∀ t < s
• Pour caractériser un processus stochastique, il faut donner :
P[X n = in | X n−1 = in−1, X n−2 = in−2 ,
..., X 0 = i0 ] ∀n ∈ Z
P[X(t n ) = in | X(t n−1 ) = in−1, X(t n−2 ) = in−2 ,
..., X(t 0 ) = i0 ] ∀n ∈ Z
∀ t n > t n−1 > ... > t1 > t 0 ∈ [0,+∞[
• Afin de simplifier cette caractérisation, on se limite à des processus
stochastiques possédant certaines propriétés d’uniformité :
€
Processus Stochastiques
• Un processus stochastique X est dit à incréments indépendants ssi :
les variables aléatoires
Xn-Xn-1, Xn-1-Xn-2,…, X1-X0
sont indépendantes ∀ n ∈ Z
les variables aléatoires
X(tn)-X(tn-1), X(tn-1)-X(tn-2),…, X(t1)-X(t0)
sont indépendantes ∀ n ∈ Z
∀ t n > t n−1 > ... > t1 > t 0 ∈ [0,+∞[
• Un processus stochastique X est dit stationnaire ssi :
les variables aléatoires
€
Xn+1-Xn et X1-X0
sont distribuées selon la même loi ∀ n ∈ Z
les variables aléatoires
X(s+t)-X(s) et X(t)-X(0)
sont distribuées selon la même loi
∀ s et t ∈ [0,+∞ [
• Pour caractériser un processus stochastique stationnaire et à
incréments indépendants, il suffit de caractériser la distribution de
la loi :
D = Xn+1-Xn
D(t) = X(s+t)-X(s)
∀ t ∈ [0,+∞ [
Processus de Poisson
• Une chaîne à temps continu N (processus à temps continu et à espace d’état
discret) est un processus de Poisson de paramètre λ ssi :
– N est un processus de comptage,
– N est un processus stationnaire et à incréments indépendants
k
(
λ
t)
– et P[N(s + t) − N(s) = k] =
e− λt pour k = 0,1,2,...
k!
• Propriété : ∀ t, N(t) est distribué selon une loi de Poisson de paramètre λt :
( λt) k − λt
P[N(t) = k] =
e pour k = 0,1,2,...
€
k!
• Propriétés élémentaires :
– la probabilité qu’il n’y ait pas d’arrivée dans l’intervalle (0, t] est P[N(t)= 0] = e−λt
€
– la probabilité qu’il ait au moins 1 arrivée dans l’intervalle (0, t] est
P [N(t) ≥ 1] = 1 − e−λt
– la probabilité qu’il y ait 1 seule arrivée dans un intervalle de temps infinitésimal de
durée dt est de l’ordre de λdt  Arrivées poissoniennes
– la probabilité qu’il y ait plus qu’1 arrivée dans un intervalle de temps infinitésimal de
durée dt est de l’ordre de λdt2
Processus de Poisson
• Définition :
– An = variable aléatoire mesurant l’instant d’arrivée du nième client dans le
système A0 = 0 et An = inf { t | N(t) = n}
– Tn = variable aléatoire mesurant le temps séparant l’arrivée n-1ième client et
celle du nième client : Tn = An – An-1
• Propriété : {Tn}n=1, 2, … variables aléatoires exponentielles indépendantes (et
identiquement distribuées) de paramètre λ.
Arrivées poissoniennes  Inter-arrivées exponentielles
• Propriété : la décomposition probabiliste d’un processus de Poisson de taux λ
donne un ensemble de processus de Poisson pi de taux λpi.
• Propriété : la superposition d’un ensemble de processus de Poisson
indépendants de taux λi avec i= 1, …, N donne un processus de poisson de taux
λ = λ1 +λ2 + …+λN
CHAPITRE 3 CHAÎNES DE MARKOV
1. Chaîne de Markov à Temps Discret
(CMTD)
2. Chaîne de Markov à Temps Continu
(CMTC)
Chaînes de Markov
• Deux exemples (ou une classe) de processus
stochastiques à espace d’état discret, connus
sous le nom de Chaînes de Markov.
• Deux modèles qui fourniront des outils
simples de modélisation et d’analyse d’une
classe particulière de SED.
• L’analyse des chaînes de Markov est un
préliminaire nécessaire à l’étude des
systèmes de files d’attente.
CMTD
Chaîne de Markov à Temps Discret
• Soit un processus
stochastique {X n }n ∈N
à temps discret et
espace d'états discret.
€
• E peut-être fini ou
infini (dénombrable)
Définition & Représentation
• {Xn}n ∈ N est une CMTD ssi :
P[Xn= j | Xn-1= in-1, Xn-2= in-2, ... , X0= i0] = P[Xn= j | Xn-1= in-1]
• C'est un processus sans mémoire !
• Restriction :
On ne considère que les CMTD homogènes (ces probabilités ne
dépendent pas de n).
• Probabilité de transition d’un état i vers un état j :
pij = 1
pij = P[Xn= j / Xn-1= i] ∀ n ∈ N telles que ∑
j ∈E
 p11 p12 ... p1 j 
• Matrice de transition : P = [pij]i,j ∈ E


• Représentation : Graphe orienté €
p21

P=
 ..

 pi1
– État de la chaîne  nœud
– Transition  arc pondéré par la probabilité de transition.
p22 ...
.. ...
...



pij 
Exemple : Souris dans le labyrinthe
• 2 hypothèses :
– La souris est amnésique.
– Son déplacement est aléatoire.
Processus de Modélisation
• La souris est initialement dans la pièce 2 !
1. Quelle est la probabilité qu'elle y soit à
3
nouveau après 4 déplacements ? Π(42 ) =
16
2. Combien de fois passera-t-elle en moyenne par
la pièce 3 avant de sortir ou de tomber
R23 = 2
€ 5?
définitivement dans la pièce
3. Quelle est la probabilité que la souris sorte un
1
f 26 =
jour ?
2
€
4. Combien en moyenne fera-t-elle de M 2 = 2.5
déplacements pour revenir dans la pièce 2 ?
€
€
Analyse d’une CMTD
• Régime Transitoire
• Distribution du Temps de Séjour dans un état
• Classification des États
• Régime Permanent
Régime Transitoire d’une CMTD
• Déterminer le vecteur π(n) des probabilités d'états
πj(n) = P [Xn= j] (j ∈ E) pour que le processus {Xn}n ∈ N
se trouve dans l'état j à la nième étape du processus :
)
π (n ) = [π (nj ) ] j ∈E = [π 1(n ), π (n
2 ,...]
• Dépend de :
– La matrice de transition P
– Le vecteur de probabilités initiales π(0)
€
• Description de l’évolution du processus depuis son état
initial :
– Evolution détaillée du processus,
– Evolution directe du processus.
Régime Transitoire d’une CMTD
• Evolution détaillée du processus :
 Formule des probabilités totales
π (nj ) = P[X n = j] = ∑ P[X n = j | X n−1 = i]P[X n−1 = i]
i∈E
π (nj ) = ∑ π (n−1)
pij
j
i∈E
π (n ) = π (n−1) * P
π (n ) = π (0) * P n
• Evolution directe du processus :
€
 Probabilité de transition de l’état i à l’état j en m étapes :
)
p(m
ij = P[X n +m = j | X n = i] ∀n ∈ N
)
 Matrice de transition m étapes : P (m ) = [ p(m
ij ]i, j ∈E
Régime Transitoire d’une CMTD
• Evolution directe du processus :
 Formule des probabilités totales
π (nj ) = P[X n = j] = ∑ P[X n = j | X 0 = i]P[X 0 = i]
i∈E
π (nj ) = ∑ π (0)
j pij
i∈E
π (n ) = π (0) * P n
 Formule des probabilités totales
)
p(m
ij = P[X n +m = j | X n = i]
)
€p(m
ij = ∑ P[X n +m = j | X n = i et X n +m−1 = k]P[X n +m−1 = k | X n = i]
i∈E
k ∈E
)
(m−1)
p(m
=
p
pkj
∑
ij
ik
k ∈E
P (m ) = P (m−1) * P 
→ P (n ) = P n
Distribution du Temps de Séjour dans un état
• Propriété :
Le temps (en nombre d'étapes) passé dans un état d'une
CMTD a une distribution géométrique (de paramètre pjj, pour
tout état j).
Si pjj = 0 alors on ne reste jamais dans l’état j.
Si pjj ≠ 0 alors, à chaque étape, une probabilité pjj de rester dans
l’état j et une probabilité (1-pjj) d’en sortir.
 La distribution du nombre m étapes passées dans l’état j est
donc déonnée par : (1-pjj) pjjm  distribution géométrique.
Classification des états d’une CMTD irréductible
• Définition : une CMTD est dite irréductible ssi de
tout état i on peut atteindre tout état j (en un nombre
fini d'étapes) : ∀i, j ∈ E, ∃ m > 1 tel que p(m ) ≠ 0
• Remarque : toute chaîne non irréductible possède au
moins une sous-chaîne absorbante.
ij
€
Classification des états d’une CMTD périodique
• Définition : un état j est périodique si on peut y revenir
qu'après un nombre d'étapes multiple de k > 1.
∃k > 1 tel que pij(m) = 0 pour m non multiple de k.
 la période de l'état j est alors le plus grand entier k vérifiant
cette propriété.
• Définition : la période d'une CMTD est égale au PGCD de la
période de chacun de ses états.
• Une CMTD est dite périodique si sa période est > 1 et
apériodique si sa période est = 1.
• Propriété : la période d'une CMTD est égale au PGCD de la
longueur de tous les circuits du graphe associé.
Classification des états d’une CMTD transitoire
• fjj(n) la probabilité que le premier retour en j ait lieu n étapes
après l'avoir quitté.
∞
(n )
• fjj la probabilité de revenir en j après l'avoir∞quitté : f jj = ∑ f jj
n=1
(n )
• Mj, le temps moyen de retour en j : M j = ∑ n f jj
n=1
• Définition : un état j est dit :
– Transitoire si fjj < 1
€
– Récurrent si fjj = 1
€
• Récurrent nul si le temps moyen
de retour est infini : Mj = ∞
• Récurrent non nul si le temps moyen de retour est fini : Mj < ∞
• Ergodique = apériodique et récurrent non nul.
• Propriété : tous les états d'une CMTD irréductible sont tous de
même nature.
• Propriété : tous les états d'une CMTD irréductible finie sont
récurrents non nuls.
Autres Paramètres de Performances
• fij(n) la probabilité d’aller de i à j en exactement n
étapes : (1)
(n )
(n−1)
f ij = pij et f ij = ∑ pik f kj
pour n ≥ 2
k≠ j
• fij la probabilité d’aller de i à j en un nombre
∞
quelconque, d'étapes :
(n )
f ij = ∑ f ij
€
n=1
f ij = pij + ∑ pik f kj
k≠ j
• Rij le nombre moyen de passages par l'état j sachant
que l'on vient de l'état i :
∞
€
€ par j | état initial = i]
Rij = ∑ n Pr oba[exact.
n passages
n=1
f ij
Rij =
1− f jj
Régime Permanent d’une CMTD
 étude d'un état stationnaire (s'il existe !!!)
 on s'intéresse à la limite lorsque n  ∞ du vecteur des
probabilités π(n)
• Cette limite existe-t-elle ? Comment la calculer (si oui) ?
• Propriété : Dans une CMTD irréductible et apériodique le
vecteur π des probabilités limites π j = lim π (nj ) existe toujours
n →∞
et est indépendant de la distribution des probabilités initiales π(0)
Soit tous les états sont transitoires ou récurrents nuls et πj = 0 pour tout j ∈ E
Soit tous les états sont récurrents non nuls et les πj sont solutions du système :
π = ∑ π p€ pour tout j ∈ E
 j i∈E i ij

∑ π i = 1
 i∈E
Régime Permanent d’une CMTD
π j = ∑ π j pij ,∀j ∈ E ⇔ π = πP
i∈E
π j = ∑ π j pij ⇔ ∑ π j p ji = ∑ π i pij car ∑ p ji = 1
i∈E
i∈E
j ∈E
i∈E
• πj pji = nombre moyen de transitions de j vers i par unité de
temps, donc la somme (Σ) est le flux moyen de sortie de l'état j.
€ • de même pour πi pij qui est le flux moyen d'entrée dans l'état j.
 en régime permanent, on peut écrire :
Pour tout état j, flux sortant de j = flux entrant dans j
1
• Si les probabilités stationnaires existent, alors : π i =
Mi
CMTC
Chaîne de Markov à Temps Continu
• Soit un processus
stochastique {X(t)}t≥0
à temps continu
et espace d'états discret.
• E peut-être fini ou
infini (dénombrable)
Définition
• {X(t)}t≥0 est une CMTC ssi :
P[X(tn)=j / X(tn-1)=in-1, X(tn-2)=in-2, ... , X(t0)=i0] = P[X(tn)=j / X(tn-1)=in-1]
∀ n et t0 < t1 < … < tn
• C'est un processus sans mémoire !
• Restriction : On ne considère que les CMTC homogènes:
Celles dont les probabilités pij sont indépendantes des instants
d'observations tn et tn-1 (uniquement de la durée (tn-tn-1) qui
sépare les 2 observations), soit :
pij(t) = P[X(s+t)=j / X(s)=i] ∀ s ≥ 0
 Probabilité de transition d’un état i vers un état j en un temps t.
Caractérisations d’une CMTC
1. Une CMTC est un processus stochastique à espace
d'états discret et à temps continu tel que :
– Le temps passé dans un état i a une distribution
exponentielle de taux µi.
– Les transitions d'un état i vers les autres états sont
probabilistes.
2. Partant d’un état i, la variable aléatoire mesurant le temps
de transition vers l’état j (resp. état k) suit une loi
exponentielle de taux µij (resp. µik ).
Caractérisations d’une CMTC
•
Equivalence entre les deux caractérisations :
pij
j
µij
j
µik
k
µi
i
i
pik
k
µi = µij + µik
µij
pij =
µij + µik
µik
pik =
µij + µik
µij = µi pij
µik = µi pik
Analyse d’une CMTC
•
A une CMTC, on associe une matrice Q, appelée
générateur infinitésimal tel que :
Q = [qij ]i, j ∈E
qij = µij ∀i ≠ j
qii = −∑ µij
j≠i
qii = −∑ µi pij = −µi ∑ pij = −µi
j≠i
j≠i
Régime Transitoire d’une CMTC
• Déterminer le vecteur π(t) des probabilités
d'état πj(t) = P[X(t)=j ] j ∈ E à tout instant du
processus :
π (t) = [π j (t)] j ∈E = [π 1 (t), π 2 (t),...]
• de la même façon que pour une CMTD, ce
vecteur des probabilités dépend :
€
– du générateur infinitésimal Q
– du vecteur des probabilités d'états initiales π(0)
• Solution :
π (t) = π (0)eQt
avec
2
(Qt)
eQt = I + Qt +
+ ...
2!
Régime Permanent d’une CMTC
• Comme dans le cas discret :
lim π(t) lorsque t tend vers l’infini, existe-t-elle ?
Si elle existe, peut-on la calculer ?
• Rappel :
pour une CMTD, la condition d’existence de
cette limite est d'être irréductible et apériodique !
• CMTC : pas de notion de périodicité.
Régime Permanent d’une CMTC
• Si la CMTC est irréductible
alors tous les états sont de même nature.
➔ Lien fort entre CMTC et CMTD ⇒ notion de CMTD incluse
• Définition : La CMTD incluse dans la CMTC de générateur
infinitésimal Q, avec les éléments qij = µi pij, est une CMTC
dont la matrice de transitions a pour éléments les pij.
pij
j
pij
j
µij
µij
pij =
=
µi ∑ µik
µi
i
i
k≠i
pik
k
pik
k
CMTC
CMTD incluse
€
Conséquences de la CMTD incluse
• Propriété : une CMTC est irréductible
ssi la CMTD incluse est irréductible.
i ∈ CMTC est transitoire ⇔ i ∈ CMTD incluse est transitoire
i ∈ CMTC est récurrent ⇔ i ∈ CMTD incluse est récurrent
• Propriété : Tous les états d'une CMTC
irréductible sont de même nature :
– Soit tous transitoires,
– Soit tous récurrents nuls,
– Soit tous récurrents non nuls.
Si, de plus, E est fini, tous les états sont récurrents non nuls
Régime Permanent d’une CMTC
• Propriété : Dans une CMTC irréductible, le
π j (t)
vecteur π des probabilités limites π j = lim
t →∞
– existe toujours;
– est indépendant de la distribution des probabilités initiales
π(0).
€
– Soit tous les états sont transitoires
ou récurrents
nuls et πj = 0 pour tout j ∈ E
– Soit tous les états sont récurrents non nuls et les πj
sont l'unique solution du système :
 ∑ π q = 0 ∀j ∈ E
 i∈E i ij

∑ π i = 1
 i∈E
Régime Permanent d’une CMTC
∑ π q = 0,∀j ∈ E ⇔ π Q = 0
j ij
i∈E
∑π q = 0 ⇔ ∑π q + π q = 0
j ij
i∈E
j ij
j
jj
i≠ j
or qij = µij et q jj = −∑ µ ji
i≠ j
donc ∑ π iµij = ∑ π j µ ji
i≠ j
i≠ j
 équation d'état traduisant l'équilibre entre le flux entrant dans
l'état j et le flux sortant de l'état j :
€
Pour tout état j, flux sortant de j = flux entrant dans j
Régime Permanent d’une CMTC
• Equations de Frontière
Ensemble des états E décomposé en 2 sousensembles disjoints :
E1
E2
Equations d’état
 ∑ ∑ π iµij = ∑ ∑ π j µ ji
i∈E1 j ∈E 2
j ∈E 2 i∈E1
flux de E1 vers E2 = flux de E2 vers E1
€