Champ électrostatique et potentiel - Manuels de physique

Chapitre I
CHAMP ELECTROSTATIQUE
POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
I- INTRODUCTION.
L’électrostatique est l’étude des interactions entre particules chargées immobiles.
Les particules élémentaires qui constituent la matière sont :
L’électron : q = − e = −1,610−19 C et m e = 910−31 Kg .
Le proton : q = e = 1,610−19 C et m p =1, 6710−27 Kg
Le neutron : q = 0 et m n = m p =1, 6710−27 Kg .
II- LOI DE COULOMB.
II-1 Principe fondamental de l’électrostatique.
Dans le vide, deux charges électriques q1 et q 2 aux repos et ponctuelles s’attirent ou repoussent avec
une force F donnée par :
F =k
q1 q2
d2
avec k = 9109 SI
q1 et q 2 sont de même signe.
q1q 2
r
u avec u = vecteur unitaire.
2
r
r
qq r
qq
 F = k 1 22 = k 1 32 r
r r
r
1
1 q1q2
k=
= 9109 SI avec  0 permittivité du vide  F =
r
4 0
4 0 r 3
F 1/ 2 = − F 2 /1 = k
II-2 Principe de superposition.
Soient q1 , q 2 et q 3 trois charges de même signes placées aux points A 1 , A2 et A 3 respectivement.
 F ( A1 ) = F 2 /1 + F 3/1

D’après le principe de superposition on a :  F ( A2 ) = F 1/ 2 + F 3/ 2

 F ( A3 ) = F 1/ 3 + F 2 / 3
- Dans un système quelconque de charges immobiles, l’interaction entre elles est la même que si elles
étaient seules.
- Les effets individuels des charges sont indépendants, ils s’ajoutent sans interférer.
III- DISTRIBUTION DE CHARGES ELEMENTAIRES.
III-1 Distribution volumique de charges.
Les charges électriques sont généralement réparties dans un volume V du système. Soit P un point
du volume chargé et dV un élément de volume entourant P porte une charge dq ( P ) .
La densité volumique de charges au point P est définie par :  ( P ) =
dq ( P )
dV ( P )
L’élément de volume dV contient une charge élémentaire : dq ( P ) =  ( P ) dV ( P )
La charge totale du système est : Q =  dq( P) =   ( P)dV ( P)
V
V
Req : Si la distribution de charges est uniforme, la densité est indépendante de P : Q =   dV = V
V
III-2 Distribution discrète de charges.
Lorsque les charges sont réparties en des volumes distincts de petites dimensions devant la distance
d’observation, on les assimile à des charges ponctuelles q i en des points discrets Pi .
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La charge totale du système est alors : Q =  qi elle est indépendante des positions des points Pi .
i
III-3 Distribution surfacique de charges.
Lorsque le volume chargé est de très petite épaisseur, de telle façon qu’il est assimilable à une surface
(  ) , on dit qu’on a une distribution surfacique de charges.
La densité de charges en P est :  ( P ) =
dq( P)
dS ( P )
La charge élémentaire est : dq ( P ) =  ( P )dS ( P )
La charge totale est : Q =  dq( P) =   ( P)dS ( P )


Req : Si la distribution de charges est uniforme, la densité est indépendante de P : Q =   dS =  S

avec S l’aire de la surface (  ) .
III-4 Distribution linéique de charges.
Lorsque le volume chargé est assimilable à une courbe (  ) , on dit qu’on a une distribution linéique
de charges.
La densité de charges en P est :  ( P ) =
dq( P)
dl ( P )
La charge élémentaire est : dq ( P ) =  ( P )dl ( P )
La charge totale est : Q =  dq( P) =   ( P)dl ( P)


III-5 Application.
 r2 
Un disque de centre O , de rayon R et d’épaisseur négligeable est chargé avec  ( P ) =  0 1 − 2  ,
 R 
 0 une constante et OP = r .
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Calculer la charge totale Q portée par ce disque.
Réponse.
Le point P est repéré par ses coordonnées polaire ( r ,  ) .
L’élément de surface est : dS = rdrd entourant P porte la charge élémentaire dq ( P ) =  ( P )dS ( P )
.
 r2 

r3 
Charge élémentaire : dq =  ( P ) dS ( P ) =  0 1 − 2  rdrd =  0  r − 2  drd
R 
 R 

R
2
 0 R 2
r3 
Charge totale : Q =  dq =  0   r − 2  dr  d =
0
2
 R  0
IV- VECTEUR CHAMP ELECTROSTATIQUE.
IV-1 Champ crée par une charge ponctuelle.
Une charge Q placée en un point A exerce sur une charge q placée en un point M une force
électrostatique donnée par la loi de Coulomb :
Qq
Q
F=
u = q E avec E =
u
2
4 0 r
4 0 r 2
E vecteur champ électrostatique au point M crée par la charge Q placée en A .
E ne dépend pas de la charge q mais seulement de la charge Q et de la distance r .
F =q E
F et E ont la même direction
Si q  0 , E a le même sens que F .
Si q  0 , E est de sens opposé de F .
Module : E =
F
exprimé en N/C .
q
IV-2 Superposition de plusieurs champs électrostatiques.
A) Cas d’une distribution volumique de charges.
Soit une charge dq ( P ) =  ( P ) dV ( P ) contenue dans un élément de volume dV ( P ) entourant un
point P crée en M un champ d E tel que d E =
1 dq
u
4 0 r 2
Pour tout le volume V on a E ( M ) tel que :
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 ( P ) dV ( P ) PM
 ( P ) dV ( P )
1
=
PM
3
3

V
V
4 0
4

0
PM
PM
E ( M ) =  d E ( M ) = 
V
B) Cas d’une distribution ponctuelle de charges.
Soit un système de charges q i fixes placées en des points Pi et soit q 0 une charge placée en O . q 0
est sous l’action de la force somme des forces F PO
exercées par les charges q i .
i
n
F =  F PO
=
i
i =1
Soit E =
n
qi
0 i =1
PO
i
1

4
3
n
q0 qi PO
qi PO
i
i
=
q
= q0 E

0
2
3
4 0 i =1 PO PO
i =1 4 0 PO
i
i
i
1
n
champ électrostatique.
PO
i
Le champ électrostatique vérifie le principe de superposition.
Application.
Soient trois charges ponctuelles placées aux sommets d’un triangle équilatéral de côté a . Calculer le
champ électrostatique crée par ces charges au centre de gravité du triangle.
3
E =  Ei = EA + EB + EC =
i =1

q  AG BG CG 
q
1 
=0
+
+
=
AG
+
BG
+
CG



4 0  AG 3 BG 3 CG 3  4 0 AG 3 
0


C) Cas d’une distribution surfacique de charges.
Soit un élément de surface dS ( P ) entourant un point P porte une charge dq ( P ) =  ( P ) dS ( P ) ,
crée un champ élémentaire en M donné par :
d E (M ) =
 ( P ) dS ( P ) PM
1 dq
u=
2
4 0 r
4 0
PM 3
Le champ total est :
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 ( P ) dS ( P ) PM
 ( P ) dS ( P )
1
=
PM
3


4 0
PM
4 0 
PM 3
E ( M ) =  d E ( M ) = 

D) Cas d’une distribution linéique de charges.
Soit un élément de longueur dl ( P ) entourant un point P porte une charge dq ( P ) =  ( P )dl ( P ) , crée
un champ élémentaire en M donné par :
d E (M ) =
 ( P ) dl ( P ) PM
1 dq
u=
2
4 0 r
4 0
PM 3
Le champ total est :
 ( P ) dl ( P ) PM
 ( P ) dl ( P )
1
=
PM
3


4 0
PM
4 0 
PM 3
E (M ) =  d E (M ) = 

V- TOPOGRAPHIE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE.
V-1 Lignes de champ.
Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points M au champ électrostatique en
ce même point.
Une ligne de champ est orientée dans le même sens que le champ électrostatique.
Soient deux points M et M ' voisins : E ( M )  MM ' = E ( M )  dOM = 0 permet de déterminer les
équations des lignes de champ dans le système de coordonnée utilisé.
Equations des lignes de champ :
•
•
dx dy dz
= =
Ex E y Ez
dr rd dz
=
=
Coordonnées cylindriques :
Er E Ez
Coordonnées cartésiennes :
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•
Coordonnées sphériques :
dr rd r sin( )d
=
=
Er E
E
V-2 Tube de champ.
C’est l’ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé.
VI- REGLES DE SYMETRIE.
✓ L’étude de la symétrie d’une distribution de charges permet d’obtenir des renseignements très
utiles sur le champ électrostatique, plus précisément sur sa direction et les variables d’espace
dont il dépend.
✓ Les opérations de symétrie que nous utilisons sont :
•
•
•
•
La translation.
La rotation autour d’un axe.
La rotation autour de plusieurs axes concourant en un point.
La symétrie par rapport à un plan.
✓ Le champ électrostatique a la symétrie de la distribution de charges (Principe de Curie).
VI-1 Eléments de symétrie et variables d’espace.
A) Symétrie de translation.
Si la distribution de charges reste invariante dans toute translation parallèle à un axe ( ZZ ' par
exemple), la densité de charges est alors indépendante de z . Par conséquent le champ électrostatique
créé par cette distribution est indépendant aussi de z .
B) Symétrie de révolution.
Si la distribution de charges reste invariante dans toute rotation autour d’un axe ( ZZ ' par exemple),
elle présente une symétrie de révolution.
Le système de coordonnées convenable est le système cylindrique ( r ,  , z ) avec ( ZZ ' ) l’axe de
révolution.
Du fait de la symétrie de révolution, la densité de charges est indépendante de l’angle  de rotation.
Le champ électrostatique E ( r , , z ) ne dépend pas de  ainsi : E ( r , , z ) = E ( r , z )
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C) Symétrie de révolution et de translation.
Si la distribution de charges présente la symétrie de révolution par rapport à l’axe ( ZZ ' ) et la symétrie
de translation parallèle à l’axe de rotation ( ZZ ' ) . Le champ E ( r , , z ) crée est indépendant de  et
de z : E ( r , , z ) = E ( r )
D) symétrie sphérique.
Si la distribution de charges reste invariante dans les rotations autour de tout axe passant par un point
fixe O , elle présente la symétrie sphérique.
Dans ce cas le système de coordonnées le plus adéquat est le système de coordonnées sphériques
( r , ,  ) .
La distribution de charges ne dépend ni de  ni de  et par conséquent le champ
électrostatique aussi : E ( r , ,  ) = E ( r )
VI-2 Plan de symétrie et direction du champ.
Soit une distribution de charges définie par sa densité volumique de charges  ( P ) par exemple.
La distribution de charges présente un plan de symétrie paire ( ) ou miroir si pour tout point P '
symétrique de P par rapport au plan ( ) , on a :  ( P ) =  ( P ') .
Si  ( P ) = −  ( P ') , le plan ( ') est un plan de symétrie impaire ou plan d’anti-symétrie.
Req : Le même raisonnement pour tous types de distribution de charges.
Exemple 1 : Symétrie paire.
La distribution de charges présente un plan de symétrie paire ( ) : plan médiateur du segment
 AB  .
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EA (M ) =
q
q BM
AM
et E B ( M ) =
3
4 0 AM
4 0 BM 3
E ( M ) = E A ( M ) + EB ( M ) =
q  AM
BM 
+


3
4 0  AM
BM 3 
Or on a: AM = BM = r et AM + BM = AO + OM + BO + OM = 2 OM
→ E (M ) =
q
2
OM  plan de symétrie paire ( ) .
4 0 r 3
Exemple 2 : Symétrie impaire.
La distribution de charges présente un plan de symétrie impaire ( ') : plan médiateur du segment
 AB  .
EA (M ) =
AM
− q BM
et E B ( M ) =
3
4 0 AM
4 0 BM 3
q
E ( M ) = E A ( M ) + EB ( M ) =
q  AM
BM 
−


4 0  AM 3 BM 3 
Or on a : AM = BM = r → E ( M ) =
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q
(
)
1
q AB
AM − BM =
⊥ au plan ( ') .
3
4 0 r
4 0 r 3
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Conclusion :
Symétrie paire : le champ électrostatique est continu dans le plan de symétrie.
Symétrie impaire : le champ électrostatique est perpendiculaire au plan d’anti-symétrie.
VII- RAPPELS MATHEMATIQUES.
VII-1 Circulation d’un champ de vecteur.
Soit A un champ de vecteur et  une courbe orientée, on appelle circulation élémentaire de A le
long du déplacement élémentaire dl , la quantité scalaire :
 = A ( M ) .dl
ou M un point de  et dl tangent à  en M .
La circulation de A le long du contour  est :  =  A ( M ) .dl ( M )
 dépend du chemin suivi.
✓ La circulation change de signe lorsqu’on change l’orientation de la courbe  .
✓ Si  est un contour fermé (origine = extrémité), la circulation ne dépend pas de l’origine
utilisée, pour la calculer. Elle est notée :  =   A ( M ) .dl ( M )
✓ Circulation conservative : A est dit à circulation conservative, s’il existe une fonction
scalaire U appelée potentiel lié à A telle que :
 = − dU
c’est à dire la circulation de A est une différentielle totale exacte. On dit aussi que A dérive du
potentiel U .
- La circulation de A ne dépend pas du chemin suivi. Elle dépend de l’état initial et de l’état final.
 =  A ( M ) .dl ( M ) = AB −dU = − U  A = U ( A ) − U ( B )
B
- La circulation de A sur un contour fermé est nulle :
 =   A ( M ) .dl ( M ) = 0
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VII-2 Gradient d’une fonction scalaire.
Soit U un champ scalaire, grad (U ) est le vecteur défini en coordonnées cartésiennes par:
U
U
U
U
U
U
dx +
i+
dy +
j+
dz
k et dU =
x
x
y
y
z
z
Le gradient est un opérateur différentiel qui fait correspondre à un champ scalaire un champ de
vecteur grad (U ) .
grad (U ) =
Si le champ de vecteur A dérive du potentiel U on aura :  = A ( M ) .dl = − dU
Calculons :
 U U
U 
U
U
U
grad (U ) .dl = 
i+
j+
k  . dx i + dy j + dz k =
dx +
dy +
dz = dU
y
z 
x
y
z
 x
(
)
→ A.dl = − dU = − grad (U ) .dl
Par identification : A = − grad (U )
VIII- LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE.
VIII-1 Circulation du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle.
Soit E =
q
r
le champ crée en M par la charge q placée en M tel que r = OM .
4 0 r 3
Circulation élémentaire :  = E.dr =
q r.dr
4 0 r 3
Calculons : r.dr , pour se faire calculons:
( ) ( )
( )
d ( r 2 ) = 2r.dr or r 2 = r.r → d ( r 2 ) = d r.r = dr .r + r. dr = 2 r.dr  r.dr = rdr
 =
 q 1

r .dr
q dr
=
=−d 
+k 
3
2
4 0 r
4 0 r
 4 0 r

q
La circulation de E est conservative donc il dérive d’un potentiel V dit potentiel électrostatique tel
q 1
que : V =
+ k , k une constante.
4 0 r
VIII-2 Potentiel créé par une distribution de charges.
A) Distribution volumique de charges : V ( M ) =
B) Distribution discrète de charges : V ( M ) =
1
4 
1
0
n
V
 ( P)dV ( P)
PM
qi
 PM
4
0 i =1
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C) Distribution surfacique de charges : V ( M ) =
1
4 
 ( P)dS ( P)

PM
1
 ( P)dl ( P)
D) Distribution linéique de charges : V ( M ) =

4 0 
PM
0
VIII-3 Relation entre E et V .
Puisque E est à circulation conservative, donc il dérive du potentiel V et on aura :
E = − grad (V )
- Coordonnées cartésiennes :
 V
V
V 
V
V
V
, Ey = −
, Ez = −
E =−
i+
j+
k  = Ex i + E y j + E z k  E x = −
x
z
y
z 
y
 x
- Coordonnées cylindriques :
 V
1 V
V 
V
1 V
V
E =−
u +
u +
k  = E u + E u + Ez k  E = −
, E = −
, Ez = −
z
 
z 
 

 
- Coordonnées sphériques :
 V
1 V
1
V 
E = − 
ur +
u +
u  = Er ur + E u + E u

r
r


r
sin



(
)


1
V
E = −
r sin ( ) 
 Er = −
V
,
r
E = −
1 V
,
r 
VIII-4 Surfaces équipotentielles.
C’est une surface sur laquelle le potentiel électrostatique est constant. Si on se déplace d’un vecteur
dl sur cette surface on a : dV = − E.dl = 0 → E ⊥ dl
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.
Cas d’une charge ponctuelle.
•
•
•
•
Les lignes de champ sont radiales.
Si q  0 : lignes de champ se divergent.
Si q  0 : lignes de champ se convergent.
Les surfaces équipotentielles sont des sphères de centre O .
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Application.
Soit la distribution de charges : − q en A ( −1, 0 ) et +2q en B ( +1, 0 ) .
Déterminer la nature de l’équipotentielle V = 0 .
Réponse.
Soit un point M dans le plan XOY .
q  −1
2 
1
2
=
V (M ) =
+
→ BM 2 = 4 AM 2

=0 →
AM BM
4 0  AM BM 
10
2
2
→ (1 − x ) + y 2 = 4 ( −1 − x ) + y 2  → 3x 2 + 3 y 2 + 10 x + 3 = 0 = x 2 + y 2 + x + 1


3
2
2
5
25
5
16


→  x +  + y2 +1− = 0 =  x +  + y2 −
3
9
3
9


4
 5 
C’est l’équation d’un cercle de centre P  − , 0  et de rayon R = .
3
 3 
Le système présente une symétrie de révolution autour de l’axe ( XX ' ) cela correspond dans tout
l’espace à une sphère de centre P et de rayon R .
IX- APPLICATIONS.
IX-1 Champ crée par une densité linéique de charges.
Soit un segment de droite  AB  uniformément chargé avec la densité linéique   0 . Calculer le
champ électrostatique en un point M de l’espace.
A) M est sur la médiatrice de  AB  .
On pose : AB = 2L , O = A  B , dq = dx , OM = a et OP = x
Le champ électrostatique créé par la densité de charge portée par le segment  AB  est donc, par
raison de symétrie, dirigé suivant l’axe des y .
Soit dE ( M ) =
dq PM
dx u
=
avec u vecteur unitaire.
3
4 0 PM
4 0 PM 2
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 dx cos( )
 + L dx cos( )
=j
2
AB 4
4 0 − L PM 2
0 PM
E ( M ) =  dE ( M ) =  dE ( M ) cos( ) j = j 
AB
AB
Si on choisit  comme variable d’intégration, on aura :
tg ( ) =
x
d
dx
a
→
=
→ dx =
d
2
a
cos ( ) a
cos 2 ( )
x 2 + a 2 = PM 2 = a 2tg 2 ( ) + a 2 = a 2 (1 + tg 2 ( ) ) =
E (M )= j
cos ( )
a2
1
→
=
2
2
cos ( )
PM
a2
2
 +
a
cos 2 ( )
 1 +
cos(

)
d

=j
cos ( ) d
2
2

4 0 −
cos ( )
a
4 0 a −
0
0
0
0
+
 1
2 1
sin ( 0 ) j
sin ( )  − =
4 0 a
4 0 a

L
L
Or sin ( 0 ) =
 E (M )=
j
2
2
2
2 0 a a + L2
a +L
=j
0
0
Cas limites.
•
M est très éloigné de O : a  L
L
sin ( 0 ) =
a 2 + L2
0 
L
a
 E (M )
 L
2 L 1
j=
j
2 0a a
4 0 a 2
Champ créé en M par une charge ponctuelle Q = 2 L concentrée en O .
•
0 →
M est très proche du segment : a  L

 E (M )
 1
j
2 0 a
2
Champ créé en M par un fil de longueur infini uniformément chargé.
B) M ( AB ) sauf le segment  AB  .
Soit un élément de charge dq =  dx centré en P créé en M un champ élémentaire dE ( M ) porté
par i .
dE ( M ) =
dq PM  dx i

dx
=
=
i
3
2
4 0 PM
4 0 PM
4 0 ( a − x )2
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+L

dx
 + L dx
  1 
E ( M ) =  dE ( M ) = 
i
=
i
=i


2
2

AB
− L 4
−
L
4 0
( a − x ) 4 0  a − x  − L
0 (a − x)
+L
=i
  1
1 

2L
L
−
=
i=
i


2
2
4 0  a − L a + L  4 0 a − L
2 0 ( a 2 − L2 )
Cas limite : Si M est très éloigné du segment  AB  : a  L .
 E (M )
2 L 1
i Champ créé en M par une charge ponctuelle Q = 2 L concentrée en O .
4 0 a 2
IX-2 Champ crée par un disque chargé en surface.
Soit un disque de rayon R , de centre O et d’axe (OZ ) , uniformément chargé avec une densité
surfacique de charge   0 . Calculer le champ E ( M ) électrostatique créé par le disque en un point
M de son axe (OZ ) .
Réponse.
•
Variables dont dépend E ( M ) .
- Une rotation autour de l’axe ( ZZ ' ) laisse la distribution de charge invariante donc elle possède une
symétrie de révolution autour de ( ZZ ' ) . Le système de coordonnées adéquat est le système des
coordonnées cylindriques M ( r ,  , z ) .
- La symétrie de révolution rend  indépendant de  : E ( M ) = E ( r , z ) .
- De plus M ( ZZ ') donc le champ ne dépend pas de r et par conséquence : E ( M ) = E ( r , z ) = E ( z )
•
Direction du champ E ( M ) .
Tout plan perpendiculaire au plan du disque et contenant le point M , est un plan de symétrie
paire pour la distribution de charges (il y en a une infinité), alors le champ E ( M ) doit être
contenu dans tous ces plans à la fois : E ( M ) est porté par l’axe ( ZZ ' ) : E ( M ) = E ( z ) u z
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•
Calcul de E ( M ) .
Soit un point P quelconque sur le disque. Charge élémentaire contenue dans un élément de surface
entourant P : dq ( P ) =  ( P ) dS ( P )
Cette charge crée en M un champ élémentaire donné par : dE ( M ) =
Le champ créé en M par toute la distribution est : E ( M ) = 
Disque
dq PM  dS PM
=
4 0 PM 3 4 0 PM 3
dE ( M ) = 
Disque
dE ( M ) u z
E ( M ) =  dEz =  dE cos ( )
E (M )= 
 cos ( ) dS
 cos ( ) rdrd
dq cos ( )
= 
= 
2
2
Disque
Disque
4 0 PM
4 0 PM
4 0 PM 2
2
 R cos ( )
 R cos ( )
rdr
d

=
rdr
0
4 0 0 PM 2
2 0 0 PM 2
=
2
Changement de variable.
cos ( )
cos ( )
z
1
1
cos ( ) =
→
=
→
=
2
PM
PM
z
PM
z2
2
tg ( ) =
r
d
dr
z
→
=
→ dr =
d
2
2
z
cos ( ) z
cos ( )
E (M )=
cos 2 ( ) sin ( )
 
d
 
cos

z
z
=
sin ( ) d
(
)
2
2

2 0 0
z
cos ( ) cos ( ) 2 0 0
=
max
max


 − cos ( )  0
2 0
Or cos ( max ) =
z
z 2 + R2
max
=

(1− cos ( max ) )
2 0
→ E (M )=

 
z
1 −

2
2 
2 0 
z
+
R


- Pour z  0, E ( M ) = E ( z )u z → E ( M ) =

 
z
1 −
u
2
2  z
2 0 
z
+
R


- Pour z  0 , on change z par −z dans l'expression de E ( z ) et le champ sera porté par − u z :
(
E ( M ) = E ( − z ) −u z
 z Z * → E ( M ) =
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)
→ E (M ) = −

 
z
 
1 +
u z =
 −1−
2
2 
2 0 
2 0 
z
+
R




u z
z 2 + R 2 
z

 z
z
 −
u
2
2  z
2 0  z
z
+
R


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Représentation graphique.


+
 z → 0  E ( M ) → + 2

0

 z → 0−  E ( M ) → − 

2 0
En O on à une discontinuité du champ électrostatique de

0
Cas limites.
1°) M est très éloigné du disque : z  R
z




2
2


z

z
   u z z 1 − 1 − R   =  R z u z
E (M )=
uz  −
2 0  z
z   2 z 2   4 0 z 2 z
R 2  2 0
1+ 2 

z 

Champ crée par une charge ponctuelle : Q =  R 2 placée en O .
2°) M est très proche du disque : z  R







z
1

z  z  z

E (M )=
uz
1−

uz
1−

uz
2 0
z
z  R  2 0 z
R 2  2 0
 →0 
1+ 2 

z 

3°) Plan infini uniformément chargé : R → 

 2 u z si z  0
 z
 0
E (M )=
uz = 
2 0 z
−  u si z  0
 2 0 z
E ( M ) ⊥ au plan chargé.
  0 : le champ fuit le plan.
  0 : le champ est dirigé vers le plan.
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