FACULTE POLYTECHNIQUE PREPOLYTECHNIQUE NOM :…………………………………........................... POST NOM……………………………………………… SALLE :………………………………………………..... DATE : Vendredi Le 26/06/2015 à 14 heures INTERROGATION D’ALGEBRE N°3 1. Soit f : 𝑹𝟑 (x, y, z) 𝑹𝟑 f (x, y, z) = (𝒚, − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒚, −𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛) un endomorphisme. a) f est-il diagonalisable ? justifier votre réponse b) Chercher l’endomorphisme réciproque de f s’il existe en utilisant le théorème de Cayley Hamilton ? c) Résoudre par l’algorithme de Gauss 𝑓 −1 (2, 4,6) ? 1 2 ] une matrice carrée d’ordre 2 et 3 4 F : 𝑚2 (Ɍ) 𝑚2 (Ɍ) M F (M) = A.M, un endomorphisme a) Ecrire la matrice (A) de F par rapport à la base canonique de 𝑚2 (Ɍ) ? b) Déterminer le rang de la matrice (A) définie ci-dessus ? 3. Imposer une condition à a ϵ Ɍpour que le système d’équations linéaires ci-dessous n’admette aucune solution ? 2. Soient A=[ x + y + z = a+1 ax + y + (a-1) z = a x + ay +z = 1 Durée : 1h30 Bonne chance à tous ! FACULTE POLYTECHNIQUE PREPOLYTECHNIQUE NOM :…………………………………........................... POST NOM……………………………………………… SALLE :………………………………………………..... DATE : Vendredi Le 26/06/2015 à 14 heures INTERROGATION D’ALGEBRE N°3 1. Imposer une condition à a ϵ Ɍ pour que le système d’équations linéaires ci-dessous admette plus d’une solution ? x + y + z = a+1 ax + y + (a-1) z = a x + ay +z = 1 2. Soit f un endomorphisme de Ɍ3 défini par les relations suivantes dans la base canonique de Ɍ3 y1 = 3y y2 = -3x + 6y y3 = -2x + 2y + 3z a) f est-il diagonalisable ? justifier votre réponse b) Chercher la réciproque de f si elle existe en utilisant le théorème de Cayley Hamilton ? c) Résoudre en utilisant l’algorithme de Gauss 𝑓 −1 (2, 4,6) =? 1 3 ] une matrice carrée d’ordre 2 et 2 4 F : 𝑚2 (Ɍ) 𝑚2 (Ɍ) M F(M) = A.M, un endomorphisme. a) Ecrire la matrice (A) de F par rapport à la base canonique de 𝑚2 (Ɍ) ? b) Déterminer le rang de la matrice (A) définie en 3.a ? 3. Soient A=[ Durée : 1h30 Bonne chance à tous !