Chapitre 1 : Outils Mathématiques pour l'Électromagnétisme - Systèmes de Coordonnées

Chapitre 1 : Outils Mathématiques
I. Systèmes de coordonnées
En physique, selon la physionomie du problème étudié, on choisit entre trois systèmes de coordonnées.
1) Coordonnées cartésiennes
Les coordonnées cartésiennes sont les coordonnées les plus faciles à manipuler. Un point M de l’espace est
repéré par trois coordonnées : xM, yM, zM.
  
Le repère est muni de trois vecteurs unitaires ex ,e y ,e z qui donnent l’orientation de celui-ci.


Dans ce système de coordonnées, un vecteur position est noté : OM  r  xM e x  y M e y  z M ez
son module est noté par : OM  r  xM2  y M2  z M2




dl

dxe

dye

dze
Dans ce système de coordonnées, un déplacement élémentaire est noté :
x
y
z
On peut aussi définir une surface élémentaire (dans le plan xOy par exemple) : dS  dx  dy
Enfin, on peut définir un volume élémentaire : dv  dx.dy.dz
Figure 1.1.a : Coordonnées cartésiennes
Figure 1.1.b : Volume et surface élémentaires en
coordonnées cartésiennes
2) Coordonnées cylindriques
Dans ce système de coordonnées, un point M de l’espace est repéré par un rayon rM, un angle θ (angle entre
l’axe Ox et la projection du rayon OM sur le plan xOy), et une hauteur zM (par rapport au plan xOy).
On définit aussi trois vecteurs unitaires
  
 er ,e ,ez  que l’on place généralement au niveau du point M ou
de son projeté sur le plan xOy.




dl
 drer  rd e  dzez
Dans ce système de coordonnées, un déplacement élémentaire s’écrit :
Ainsi une surface élémentaire s’écrit : dS  dr  rd
Et un volume élémentaire est défini par :
dv  dr .rd .dz
Figure 1.2.a : Coordonnées cylindriques
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Figure 1.2.b : Surface élémentaire en coordonnées
cylindriques
Page 1
3) Coordonnées sphériques
Dans ce système de coordonnées, un point M de l’espace est repéré par un rayon r =OM, et deux angles :
un angle θ (angle entre l’axe Oz et le rayon OM), un angle φ (angle entre l’axe Ox et la projection du rayon
OM sur le plan xOy).
  
Trois vecteurs unitaires er ,e ,e donnent l’orientation du repère.




Dans ce système de coordonnées, un déplacement élémentaire s’écrit: dl  drer  rd e  r sin   d e


Une surface élémentaire s’écrit : dS  rd  r sin   d 
Et un volume élémentaire est défini par : dv  dr.rd .r sin( ) d
Figure 1.3.a : Coordonnées sphériques
Figure 1.3.b: Surface élémentaire en coordonnées
sphériques
II. Champs
1) Les champs en physique
Un champ est une grandeur physique qui dépend de la position et du temps.
Par exemple, à la surface du globe, on définit le champ de température : en tout point M, T(M, t) est la
température à la date t. On définit aussi le champ de pression P(M, t). Ces deux champs sont des champs
scalaires, car la température et la pression sont des scalaires, c’est-à-dire qu’ils ne sont définis que par un
unique nombre.
Figure 1.4 : Exemple de champ vectoriel
Un champ vectoriel est, quant à lui, définit par trois nombres, les coordonnées d’un vecteur dans un espace


à trois dimensions. Toujours dans le cas météorologique, on définit le champ des vitesses v M, t , qui
représente la vitesse de l’atmosphère au point M, à la date t. On représente graphiquement ce champ
vectoriel en traçant, en de nombreux points de l’espace, le vecteur vitesse des particules.
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On passe aux lignes de champ en traçant les courbes qui sont en tout point tangentes aux vecteurs. Si une
ligne de champ montre bien la direction que prend le champ dans l’espace, l’information relative à la
norme du vecteur semble perdue. Toutefois, on peut prendre la convention que plus la norme est
importante, plus on dessine des lignes de champ serrées, convention qui est appliquée sur la figure 1.5 pour
le champ de la figure 1.4.
Figure 1.5 : Exemple de lignes de champ vectoriel.
2) Un champ vectoriel permet de décrire une interaction à distance
Lorsqu’on approche un aimant d’une pièce de 10, 25 ou 50 francs, la pièce est attirée par l’aimant. Mais
comment ? Il n’y a rien qui relie les deux objets, aucun fil visible. On utilise le concept de champ pour
interpréter cette action à distance : l’aimant crée un champ magnétique en tout point de l’espace autour de
lui et c’est ce champ qui a une influence sur la pièce métallique.
On interprète de même l’attraction gravitationnelle avec un champ gravitationnel (par exemple, le Soleil
crée dans tout le système solaire un champ gravitationnel qui agit sur les planètes) ou l’interaction
électrostatique de deux corps électrisés avec la notion de champ électrique. Dans ces théories les champs
(électrique, magnétique, de gravitation) sont les intermédiaires qui transmettent les actions mécaniquement
observables. Ils contiennent une certaine énergie, fournie à l’objet qui se met en mouvement.
III. Opérateurs différentiels
1) Champ scalaire-Champ vectoriel
     et M un point de l'espace, de coordonnées  x, y,z  :
Soit un trièdre orthonormé ex ,e y ,ez




OM  xex  yey  zez
La fonction f(M) est dite fonction scalaire de point ou champ scalaire si :
f  M   f  x, y,z 
Le vecteur vM  est dit fonction vectorielle de point ou champ vectoriel si:
vM   v x x, y, z e x  v y x, y, z e y  v z x, y, z e z
2) Gradient d'un champ scalaire
2.1 Définition

Le gradient d’un champ scalaire U(M) est un champ vectoriel noté grad U  M   , défini de la manière

suivante : la variation dU du champ pour un déplacement élémentaire dl M à partir de M est :


dU  grad U  M   dl M
dU est appelée différentielle de U(M).
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Dans le cas d’un champ U(M, t) non stationnaire, dU est la différence entre les valeurs de U en deux points

proches de M séparés de dl M au même instant t.
2.2 Conséquences

• Le vecteur grad U  M   est orthogonal aux surfaces iso-U c’est-à-dire U=cste (surfaces de niveau).
• Le gradient est orienté dans le sens des U croissants
• Le gradient donne la variation maximum de U avec la distance au point considéré, il pointe vers les plus
fortes valeurs de U.
Exemple
Dans une modélisation très simple, on peut considérer que la température en un point M situé à l’intérieur
de la Terre dépend uniquement de la distance entre M et le centre O de la Terre. Les surfaces isothermes
sont alors les sphères de centre O (en pointillé sur la figure). La température augmente quand on se
rapproche du centre de la Terre. Le gradient de température en tout point M est dirigé vers O. Il est
orthogonal à la surface isotherme passant par M (voir figure 1.6).
Figure 1.6 : Champ de température à l’intérieur de la Terre
2.3 Expressions du gradient en coordonnées cartésiennes
Le gradient d’une fonction U est une grandeur intrinsèque, indépendante du choix d’un système de
coordonnées. Mais son expression dépend du système de coordonnées. Le gradient d’une fonction scalaire

 
U a pour composantes suivant ex , e y et ez les dérivées partielles de U(M) par rapport à x, y et z
respectivement:

U  U  U 
grad U  
ex 
ey 
ez
x
y
z
      
 ez
En utilisant l’opérateur vectoriel nabla défini par   ex  e y
, le gradient d'un champ
x
y
z
scalaire U s'écrit:


U  U  U 
grad U   U 
ex 
ey 
ez
x
y
z
3) Divergence d'un champ vectoriel

La divergence (notée div) n’est définie qu’à partir d’un champ de vecteurs v  M  de points et donne un
champ scalaire de points ; en coordonnées cartésiennes la divergence est définie par :
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   v v y vz
div  v     v  x 

x y
z
4) Rotationnel d'un champ vectoriel

Le rotationnel (noté rot ) d’un champ vectoriel donne un autre champ vectoriel de points ; en
coordonnées cartésiennes le rotationnel est défini par :



ex e y e z
   


  vz v y    vx vz    v y vx  
rot  v     v 




 ex  
 ez
 e y  
x y z  y
z 
x 
y 
 z
 x
vx v y v z
5) Laplacien
5.1 Laplacien scalaire
Le laplacien scalaire d’un champ scalaire U(M) est un champ scalaire noté ∆U(M).

Par définition: U  div  grad U  
L’opérateur laplacien est un opérateur de dérivation du deuxième ordre.
Le laplacien d’un champ scalaire U est indépendant du choix des coordonnées, cependant son expression
dépend du système de coordonnées choisi.
L’expression du laplacien scalaire en coordonnées cartésiennes est :
 
 2U  2U  2U
U    U   2U  2  2  2
x
y
z
5.2 Laplacien vectoriel
Par définition:
  
  

v  grad  div  v    rot  rot  v  
L’opérateur laplacien vectoriel est un opérateur de dérivation du deuxième ordre.
Le laplacien d’un champ vectoriel est indépendant du choix des coordonnées, cependant son expression
dépend du système de coordonnées choisi.
L’expression du laplacien vectoriel en coordonnées cartésiennes est :
   2 v  2 v  2 v 


v  2  2  2  e x v x  e y v y  e z v z
x
y
z
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





    2 v x  2 v x  2 vx     2 v y  2 v y  2 v y     2 vz  2 vz  2 v z  
 v   2  2  2  e x   2  2  2  e y   2  2  2  ez
y
z 
y
z 
y
z 
 x
 x
 x






Remarque: L’intérêt de tous ces opérateurs vectoriels est d’une part, de permettre une écriture concise des
équations dites « locales » (exemple: équations de Maxwell), et d’autre part, de faciliter les calculs, grâce
aux relations vectorielles qui existent entre eux, et aux transformations intégrales qu’ils permettent
d’effectuer.
IV. Flux d’un champ de vecteurs
1) Notion de Flux
Exemple d’étude : chute d’un rayon lumineux sur une surface
Figure 1.7 : Chute d’un rayon lumineux sur une surface
Qu’est-ce que le flux ?

C’est le nombre de lignes d’une grandeur vectorielle A traversant une surface donnée.
Mathématiques


 Produit scalaire entre la grandeur vectorielle A et la surface orientée S
 
 Surface orientée = surface (aire) multipliée par le vecteur unitaire normal et sortant S  nS
 Notation du flux : ϕ
Expressions
   

 Flux élémentaire à travers une surface élémentaire dS : d  A  dS  A  ndS  
 
 Flux total à travers S:   A  dS  A  ndS


S
S
Figure 1.8 : Définition du flux élémentaire
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 Pour une surface fermée (sphère, ellipsoïde, …) le flux total à travers S:  

 
A  ndS
S
Lorsque la surface (S) est fermée, le vecteur unitaire est orienté de l’intérieur vers l’extérieur.
2) Théorème de Green-Ostrogradsky
Ce théorème peut être considéré comme une définition de la divergence d’un champ de vecteurs.
- Intérêt : Passage d’une intégrale double (surface) à une intégrale triple (volume)

- Enoncé : « L’intégrale de surface de la composante normale (flux) d’une grandeur vectorielle A à travers

une surface (S) est égale à l’intégrale de la divergence de A sur le volume V défini par la surface S. »
τ ou V étant un volume limité par une surface fermée S on a :

   A.dS   div A .dv
S
V
Figure 1.9 : Divergence d’un champ de vecteur

d  div A .dv
La divergence donne la différence entre le flux sortant et le flux entrant :



Si divA   0 alors les lignes de champ s’écartent ou « divergent »
Si div A   0 alors les lignes de champ « convergent »

Si div A  0 alors les lignes de champ sont parallèles; on dit aussi qu'il y a conservation du

flux du champ de vecteur A .

V. Circulation d’un champ de vecteurs
1) Définition


dl
Soit A un vecteur mobile et
un élément de longueur.
On définit la circulation C du vecteur Sur un contour fermé, la circulation du


A le long de la courbe (AB) par :
vecteur A s’écrit :
C


A  dl
B 
A
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C
 A  dl
A A
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2) Théorème de Stokes
- Intérêt : Passage d’une intégrale simple à une intégrale double

- Enoncé : « L’intégrale de la composante tangentielle (circulation) d’une grandeur vectorielle A sur un

contour fermé (C) est égale l’intégrale de la composante normale du rotationnel de A sur la surface S
définie par le contour C. »
S étant une surface (ouverte) s’appuyant sur le contour fermé (C) et limité par lui, on peut écrire :
 
  
C  A  dl  rot A  ndS

C
  
S
Figure 1.11 : Rotationnel d’un champ de vecteur
  
dC  rot A  ndS
 
 

Si rot( A )  0 le champ vectoriel possède une composante tournante et les lignes de champ se referment
sur elles même.
Bibliographie et webographie
1) Physique Tout-en-un MPSI/PTSI, Bernard Salamito, Damien Jurine, Stéphane Cardini, Marie-Noëlle
Sanz, Dunod, Paris 2013.
2) Physique Tout-en-un MP/MP‫٭‬, Bernard Salamito, Marie-Noëlle Sanz, François Vandenbrouck, Marc
Tuloup, Dunod, 2014.
3) Physique 1ère année ElectroMagnétisme 2014-2015, Constant NIAMIEN, Département Electronique &
Télécom, ESIGELEC
4) http://www.physagreg.fr/electromagnetisme-0-outils-mathématiques.php
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