Mercredi 22 novembre 2023 Génie des Systèmes de Production – GSP3 Examen de Mécanique : statique du solide (2h – tout document autorisé) Exercice 1 q = 150 N/m Une structure coudée ABC est encastrée à son extrémité A et est articulée sur un appui simple mobile en C ; elle est soumise à une force verticale uniformément répartie q sur sa partie (BC) et à un effort ponctuel horizontal F appliqué en B, et à son poids propre. F = 400 N C B 1°) Faire le bilan des inconnues du problème d’équilibre statique de cette structure (problème plan). 2°) S’agit-il d’un problème isostatique ou hyperstatique ? Justifier la réponse apportée. A Exercice 2 Une poutre AD est soumise à un chargement qui peut être décrit de la façon suivante : 2 forces ponctuelles appliquées en A et en D, 2 moments concentrés en A et en C, et 2 forces uniformément réparties, l’une entre B et C, et l’autre entre C et D. 2 700 Nm 500 N 400 N/m 300 Nm 3 . B A C D 1 500 N 800 N/m 1m 1m Polytech Clermont – GSP3 – Mécanique : examen du 22 novembre 2023 2m p. 1/4 1°) Exprimer le torseur des actions ponctuelles seules (forces ponctuelles et moments concentrés) au point A, dans le repère (1,2,3). 2°) Exprimer le torseur des 2 forces réparties seules au point C puis au point A, dans le repère (1,2,3). 3°) Exprimer au point D le torseur du chargement global auquel la poutre est soumise, toujours dans le même repère (1,2,3). Quelle est la nature de ce chargement global ? Exercice 3 Un poteau télégraphique de plus de 5 m de haut et d’un poids P de 1950 N est susceptible de supporter les extrémités d’un ou de deux fils, l’un à droite, l’autre à gauche (figure cidessous). Ce poteau est encastré au sol. La force de tension F1 dans le fil du côté droit est de 600 N. Au point d’attache B sur le poteau, ce fil droit forme un angle de 25° avec l’horizontale. Dans un premier temps, le fil de gauche n’est pas accroché (F2 = 0). y B 12° 25° F2 F1 5m G P A x 1°) Calculer, à l’équilibre pour ce problème plan, l’intensité de la réaction d’encastrement et celle du moment d’encastrement que le sol exerce sur le poteau en A si la force de tension F1 qu’exerce le fil droit sur le poteau est la seule force qui agit en B (c’est le cas où il n’y a pas de fil du côté gauche). 2°) Deux fils sont maintenant accrochés en B. L’effort F1 restant toujours égal à 600 N, calculer les deux valeurs de l’intensité de la force F2 transmise par le fil gauche afin que l’intensité du moment d’encastrement subi par le poteau en A soit égale à 1500 Nm. NB : il y a deux valeurs possibles pour l’effort F2 ; en effet le moment d’encastrement, pour qu’il y ait équilibre statique du poteau, peut être orienté dans un sens (sens de l’axe z si F2 est faible) ou dans l’autre (dans le sens – z si F2 est important) 3°) Quelle est, pour chacune des deux intensités de la force F2 calculées à la question précédente, l’intensité de la réaction d’encastrement du sol sur le poteau ? Rappel : l’intensité d’une force (respectivement intensité d’un moment) est la norme du vecteur force (respectivement norme du vecteur moment). Polytech Clermont – GSP3 – Mécanique : examen du 22 novembre 2023 p. 2/4 Exercice 4 Le frettage d’un tube dans un autre tube est un assemblage par adhérence qui consiste à insérer (au moyen d’une presse par exemple) le petit tube, de diamètre extérieur donné, dans un plus grand tube mais dont le diamètre intérieur est légèrement plus petit que le diamètre extérieur du petit tube. Le frettage est donc réalisé en pratique par un ajustement serré du diamètre extérieur du petit tube et du diamètre intérieur du grand tube). Dans le cas traité ici et décrit sur la figure suivante, les deux tubes sont frettés sur une longueur x égale à 50 mm, leur diamètre nominal commun étant égal à 40 mm. 40 Du fait de la position des tolérances des cotes des deux tubes, la pression p de contact qu’exercent mutuellement les deux tubes l’un sur l’autre dans leur zone de contact est de 1,5 MPa (c’est à dire 1,5 N/mm2). Cette pression est uniforme sur toute la zone de contact, qui est un cylindre de 40 mm de diamètre et de longueur 50 mm. Le coefficient de frottement propre au contact entre les deux tubes est : f = tg = 0,3. x = 50 40 En coupe par le plan vertical de symétrie : x = 50 1°) L’exercice proposé dans un premier temps consiste à déterminer l’effort axial Tmin de traction à appliquer aux extrémités de l’assemblage dans la direction longitudinale pour faire sortir par translation le petit tube du grand. La pression de frettage créant l’adhérence des 2 tubes, il faut donc appliquer un effort minimum pour arriver à faire bouger les 2 tubes l’un par rapport à l’autre. 2°) On souhaite fretter, au moyen d’une presse, les deux tubes sur une longueur x allant jusqu’à 120 mm, la pression de contact entre les deux tubes (1,5 MPa) restant toujours la même. Etablir l’évolution de l’effort de compression à appliquer sur l’assemblage, depuis la Polytech Clermont – GSP3 – Mécanique : examen du 22 novembre 2023 p. 3/4 configuration actuelle du frettage (x = 50) à celle correspondant à x = 120 mm. Tracer la courbe donnant l’évolution de cet effort de compression en fonction de x, pour : 50 < x < 120 Remarque : base du raisonnement La force équivalente dF qui résulte d’une pression uniforme p qui s’exerce sur une surface élémentaire dS est égale à : dF = p dS. Cette force est normale à la surface considérée (on note N cet effort normal dans le modèle de Coulomb du frottement) : p dF = p dS surface dS En considérant une surface élémentaire dS de la zone de contact entre les deux tubes, établir l’effort normal échangé entre les deux tubes sur cette surface élémentaire ; en déduire l’effort de frottement dans le sens longitudinal exercé par un tube sur l’autre en étendant le raisonnement sur dS à toute la zone de contact entre les deux tubes. On se place à la limite du frottement pour établir les efforts de traction ou de compression à déterminer pour les deux questions de l’énoncé. Polytech Clermont – GSP3 – Mécanique : examen du 22 novembre 2023 p. 4/4