Institut préparatoire aux études d’ingénieurs de Tunis 2021-2020 Classes MP Arithmetique dans Z Exercice 1 Quel est le reste de la division euclidienne de a par b dans les cas suivants : 1. a = 103n , n ∈ N et b = 27. 2. a = 1050 + 1060 + 1070 , et b = 37. 3. a = 2n , n ∈ N et b = 3. Exercice 2 Montrer que ∀n ∈ N 1. n7 − n ≡ 0(mod21). 2. n11 − n ≡ 0(mod66). 3. 2n+4 + 2n+1 × 54n+1 ≡ 0(mod13). Exercice 3 Soient a et b ∈ N. Posons d = a ∧ b et m = a ∨ b. 1. Montrer que ∀n ∈ N, dn = an ∧ bn et mn = an ∨ bn . 2. Déterminer en fonction de d et m le pgcd et le ppcm de nombres a2 , ab, b2 . 3. Déterminer en fonction de d et m le pgcd et le ppcm de nombres a3 , a2 b, ab2 , b3 . Exercice 4 Soient a et b ∈ Z. 1. Montrer que si a ∧ b = a ∨ b, alors |a| = |b|. etudier la réciproque. 2. Montrer que si a ∧ b = a ∧ c et a ∨ b = a ∨ c, alors |c| = |b|. √ Exercice 5 1. Montrer que 2 est irrationnel, et en general, montrer que si p est premier, alors √ p est irrationnel . √ √ 2. Montrer que 12 et 21 sont irrationnels √ Montrer que si a et b sont deux entiers naturels pemiers entre eux avec a premier, alors ab n’est pas rationnel. Exercice 6 1. Soit a ≥ 2 montrer que a est premier ssi a n’admet aucun diviseur premier p tel que p2 ≤ a . 2. Les nombres suivants sont-ils premiers ? 97, 257, 289, 599, 667. Exercice 7 Soit x1 , x2 , ...xn des entiers naturels premiers entre eux deux a deux et r1 , r2 , ...rn des entiers relatifs. On considere le systeme de congruance (S) : x ≡ r1 (x1 ) ; . . . x ≡ rn (xn ). ∏ On se propose de resoudre (S). Posons X = ni=1 xi et ∀i ∈ Nn Xi = xXi . 1. Montrer que ∀i ∈ Nn il existe (ui , vi ) ∈ Z2 tel que ui Xi + vi xi = 1 2. Montrer que x0 = r1 u1 X1 + ... + rn un Xn est une solution de S. 3. Montrer que toute autre solution x de S verifie x ≡ x0 (X). 4. Application : Resoudre les systemes suivants x ≡ 4(5); x ≡ 4(6); x ≡ 3(7). 1