Chapitre 2- Introduction aux Systèmes linaires c077c0800b590f17960e6fce42da4084

Méthodes linéaires d’analyse
numérique avec logiciel support
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Chap 2: Systèmes linéaires
8H CM & 8h TD/TP
Stéphane C. K. TEKOUABOU (PhD & Ing.)
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SYSTEMES
LINEAIRES
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1- Généralité & Introduction:
Avant-propos de vous:
1. C’est quoi une équation ?
2. Quand dit-on qu’une équation est linéaire ? Ou non ?
3. Un système d’équations ?
4. Système d’équations linéaires ?
5. Pour chacun des cas, citer quelques exemples.
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1- Généralité & Introduction:
Motivations
Les systèmes linéaires font parties de vie courante et les résoudre est une opération très courante.
•
Un grand nombre de problèmes d’ingénierie conduisent, après modélisation puis éventuellement une pr
océdure de discrétisation, à résoudre des systèmes linéaires : calculs sur des réseaux électriques ou hydra
uliques en régime stationnaire, calculs de structures, jeux vidéos, météo, écoulements de fluides, etc..
•
Cette opération intervient aussi comme “sous-procédure” dans de nombreux algorithmes : problèmes d’in
terpolation, approximation par moindres carrés, résolution de systèmes non-linéaires, optimisation, auto
matique, traitement du signal, etc...
•
Généralement, pour les problèmes concrets, on est amené à résoudre de grands systèmes linéaires (plusie
urs millions/milliards d’inconnues ...).
•
Certains problèmes (beaucoup) conduisent à des systèmes linéaires à résoudre avec une matrice creuse c’
est-à-dire qui comporte beaucoup de zéros (stockage adapté, e.g. fonction sparse en MATLAB).
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Crédit: Ref [B01]
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1- Généralité & Introduction:
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Crédit: Ref [001]
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1- Généralité & Introduction:
1. Quelques exemples
Exemple 1 : 550 personnes ont assisté à un match de football. Le prix d ’entrée est de 16€ po
ur les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on dema
nde de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au match.
Exemple 2 : En Janvier 2023, un tradeur achète 10 actions dans trois sociétés pour un mont
ant de 67 $ répartis comme suit : Apple (10$ l’action), Peugeot Citroën (5$ l’action) et Ali ba
ba (4$ l’action). Neuf mois après, supposons que l’action d’Apple a doublé, celle de Peugeot
Citroën a évolué de 20% tandis que celle d’Ali baba a diminué de 50%. Le porte feuille du tr
adeur totalise 104$. Combien d’actions le tradeur avait-il acheté dans chaque société en Ja
nvier 2023 ?
TAF : Modéliser les exemples 1 et 2 par des systèmes d’équations
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2- Définitions et notations :
Equation ? Equation linéaire ?
Une équation est une expression mathématique qui établit une égalité
entre deux quantités ou expressions.
Dans le cas d’une équation à n variables (𝑛 ∈ N et n ≥ 1) par exemple, l’équation est dite linéaire
lorsqu’on peut l’écrire sous la forme :
Dans le cas d’une équation à n par exemple, l’équation est de la forme :
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + … . + 𝑎𝑖𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 ou encore σ𝑛𝑖 𝑎𝑖𝑥𝑖 = 𝑏
(𝐸1 )
où (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑛 ) et 𝑏 sont des paramètres constants réels, (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑛 ) et le second membre
b n’étant pas simultanément nuls. (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) sont les variables ou inconnues de l’équation toutes
de puissance 1.
NB : Dans la majorité des cas qui vont suivre, n = 2 𝑜𝑢 3 et (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) souvent assimilé à (𝑥, 𝑦, 𝑧)
Si on note 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑛 ), 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑖 , . . . , 𝑥𝑛 ) avec 𝑋 𝑇 comme transposée, et (𝐸1 ) devient:
𝐴. 𝑋 𝑇 = 𝑏
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(𝐸1.1 )
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2- Définitions et notations :
Exemple 1 :
•
Prenons 𝑛 = 2 l’équation linéaire (𝐸1 ) sera sous la forme 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 =
𝑏 (𝐸12 ) avec 𝑎1 , 𝑎2 , et 𝑏 étant des réels non tous nuls simultanément.
•
(𝐸12 ) est la formule générale d’équation d’une droite.
Exemple : La modélisation des la premièr
équation du problème
n° forme
1 donnera: :
Dans le cas d’une équation à n par exemple, el’équation
est de la
•
𝑥 + 𝑦 = 550
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𝐷1
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2- Définitions et notations :
Exemple 2 :
•
Prenons 𝑛 = 3 l’équation linéaire (𝐸1 ) sera sous la forme
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 = 𝑏 (𝐸13 )
avec 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , et 𝑏 étant des réels non tous nuls simultanément.
•
(𝐸13 ) est la formule générale d’équation d’un Plan.
Dans le cas d’une équation
n par :exemple,
l’équation
estéquation
de la forme
:
• àExemple
La modélisation
des la première
du problème
n° 2
donnera :
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
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2- Définitions et notations :
Contre-exemples:
•
Les équations (𝐸14 ) et (𝐸14 ) suivantes ne sont pas linéaires
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 = 𝑏
(𝐸14 ) et 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 = 𝑏
(𝐸15 )
avec 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , et 𝑏 étant des réels non tous nuls simultanément.
Dans le cas d’une équation
àn
En effet
: par exemple, l’équation est de la forme :
•
•
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Dans (𝐸14 ) on a un terme produit de deux variables 𝑥2 𝑥3
Dans 𝐸15 on a 𝑥2 et donc la variable n’est plus de puissance 1,
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2- Définitions et notations :
Exercice :
Les équations suivantes sont linéaires, Répondre par VRAI ou FAUX et justifier.
4𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 10𝑥 (1)
𝑦 = 4𝑥 − 3 𝑧 + 5 3
(6)
Dans le cas d’une (1)
𝑥 + 3𝑦 −
𝑥𝑧 = 0 (2)
équation
à n par exemple, l’équation est de la forme :
−𝑥 − 3𝑦 = 5 (3)
4𝑥 − 3𝑦 + 5 = 𝑥
(4)
4𝑥 − 3𝑦 + 5 = 𝑥
(5)
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2- Définitions et notations :
Système d’équations linéaires (SEL) ?
Un système d’équations linéaires (𝑺𝑬𝑳) ou encore système linéaire est un e
nsemble de 𝑝 équations linéaires sur les mêmes variables, 𝑝 étant un entie
r fini supérieur ou égal à 1.
Dans le cas 𝑝 équations linéaires (p ∈ ℕ et p ≥ 1) à 𝑛 variables (𝑛 ∈ ℕ et n ≥ 1) par exemple, l’équa
tion est dite linéaire lorsqu’on peut l’écrire sous la forme :
Dans le cas d’une équation à n par exemple, l’équation est de la forme :
𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎2,1 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,1 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,1 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎1,2 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,2 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,2 𝑥𝑛 = 𝑏2
……………………………………………….
𝑆 :
𝑎1,𝑗 𝑥1 + 𝑎2,𝑗 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑗 𝑥𝑛 = 𝑏𝑗
……………………………………………….
𝑎1,𝑝 𝑥1 + 𝑎2,𝑝 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑝 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 𝑏𝑝
où (𝑎𝑖𝑗 ) et(𝑏𝑗 ) sont des matrices de paramètres constants réels, (𝑎𝑖𝑗 ) et(𝑏𝑗 ) n’étant pas sim
ultanément nuls.
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2- Définitions et notations :
Système d’équations linéaire (SEL) ?
Un système d’équations linéaires (𝑺𝑬𝑳) ou encore système linéaire est un e
nsemble de 𝑝 équations linéaires sur les mêmes variables, 𝑝 étant un entie
r fini supérieur ou égal à 1.
𝑆 se note encore
𝑎1,𝑗 𝑥1 + 𝑎2,𝑗 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑗 𝑥𝑛 = 𝑏𝑗
Dans le cas d’une équation à n par exemple, l’équation est de la forme :
𝑛,𝑝
ou encore σ
𝑖,𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 = 𝑏𝑗
où (𝑎𝑖𝑗 ) et(𝑏𝑗 ) sont des matrices de paramètres constants réels, (𝑎𝑖𝑗 ) et(𝑏𝑗 ) n’étant pas sim
ultanément nuls.
Si on note 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) avec 𝑋 𝑇 comme transposée et B = (𝑏𝑗 ) une matrice colonne
et (S) devient:
𝐴. 𝑋 𝑇 = 𝐵
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(1.2)
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2- Définitions et notations :
Système d’équations linéaire (SEL) ?
La modélisation en équations et systèmes d’équations des exemples 1 et 2 donne :
Pour l’exemple 1, en considérant X le nombre d’adultes et Y le nombre d’enfants, on a le système (𝑆1 ):
Dans le cas d’une équation à n par exemple, l’équation est de la forme :
(𝑆1 ): ቊ
𝑋 + 𝑌 = 550
(𝐸11 )
16𝑋 + 8𝑌 = 6960 (𝐸12 )
Pour l’exemple 2, en considérant X le nombre d’adultes et Y le nombre d’enfants, on a le système (𝑆2 ):
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
(𝐸21 )
(𝑆2 ): ൞ 10𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 67 (𝐸22 )
20𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 104 (𝐸23 )
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3- Représentations matricielle :
Ecriture d’un SEL sous sa forme matricielle
Considérons encore les systèmes linéaire associés aux exemples 1 et 2 :
𝑋 + 𝑌 = 550
(𝐸11 )
(𝑆1 ): ቊ
16𝑋 + 8𝑌 = 6960 (𝐸12 )
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
(𝐸21 )
(𝑆2 ): ൞ 10𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 67 (𝐸22 )
20𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 104 (𝐸23 )
L’écriture matricielle des ces deux SEL selon la formule
i = 1; : : :de
;ml’équation (1,2) donnera :
•
•
Pour le système (𝑆1 ):
𝑋
550
𝐴1 = 1 1 ; 𝑋1 = 𝑌 et 𝑏1 = 6960
16 8
1 11
10
𝑥
Pour le système (𝑆1 ) : 𝐴2 = 10 5 4 ; 𝑋2 = 𝑦 et 𝑏2 =
67
𝑧
104
20 6 2
Les matrices 𝐴1 et 𝐴2 sont appelés matrice des coefficients du SEL associé.
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3- Représentations matricielle :
Ecriture d’un SEL sous sa forme matricielle
Soit (S) un SEL à p équations et n inconnues, p ∈ ℕ ; p ≥ 1 et 𝑛 ∈ ℕ ; n ≥ 1:
La matrice des coefficients de (S) s’écrit
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𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎2,1 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,1 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,1 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎1,2 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,2 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,2 𝑥𝑛 = 𝑏2
……………………………………………….
𝑆 :
𝑎1,𝑗 𝑥1 + 𝑎2,𝑗 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑗 𝑥𝑛 = 𝑏𝑗
……………………………………………….
𝑎1,𝑝 𝑥1 + 𝑎2,𝑝 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑝 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 𝑏𝑝
i = 1; : : : ;m
𝑎1,1 𝑎2,1 … . 𝑎𝑖,1 … 𝑎𝑛,1
𝑎1,2 𝑎2,2 … . 𝑎𝑖,2 … 𝑎𝑛,2
………………………….
𝐴 = 𝑎 𝑎 ….𝑎 … 𝑎
1,𝑗 2,𝑗
𝑖,𝑗
𝑛,𝑗
………………………….
𝑎1,𝑝 𝑎2,𝑝 … . 𝑎𝑖,𝑝 … 𝑎𝑛,𝑝
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3- Représentations matricielle :
Ecriture d’un SEL sous sa forme matricielle
Soit (S) un SEL à p équations et n inconnues, p ∈ ℕ ; p ≥ 1 et 𝑛 ∈ ℕ ; n ≥ 1:
𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎2,1 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,1 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,1 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎1,2 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,2 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,2 𝑥𝑛 = 𝑏2
……………………………………………….
𝑆 :
𝑎1,𝑗 𝑥1 + 𝑎2,𝑗 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑗 𝑥𝑛 = 𝑏𝑗
……………………………………………….
𝑎1,𝑝 𝑥1 + 𝑎2,𝑝 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑝 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 𝑏𝑝
En rajoutant les termes de B on obtient la matrice augmentée de (S) représentée comme suit :
𝑎1,1 𝑎2,1 … . 𝑎𝑖,1 … 𝑎𝑛,1 𝑏1
𝑎1,1 𝑎2,1 … . 𝑎𝑖,1 … 𝑎𝑛,1 𝑏i1= 1; : : : ;m
𝑎1,2 𝑎2,2 … . 𝑎𝑖,2 … 𝑎𝑛,2 𝑏2
𝑎1,2 𝑎2,2 … . 𝑎𝑖,2 … 𝑎𝑛,2 𝑏2
…………………………. …
… … … … … … … … … … . … Ou
𝐴 𝐵 = 𝑎 𝑎 ….𝑎 … 𝑎
𝐴|𝐵 = 𝑎 𝑎 … . 𝑎 … 𝑎
𝑏𝑗
1,𝑗 2,𝑗
𝑖,𝑗
𝑛,𝑗 𝑏𝑗
1,𝑗 2,𝑗
𝑖,𝑗
𝑛,𝑗
…………………………. …
…………………………. …
𝑎1,𝑝 𝑎2,𝑝 … . 𝑎𝑖,𝑝 … 𝑎𝑛,𝑝 𝑏𝑝
𝑎1,𝑝 𝑎2,𝑝 … . 𝑎𝑖,𝑝 … 𝑎𝑛,𝑝 𝑏𝑝
NB: La maitrise de ces notations matricielles sera très importante pour la suite, (Rajouter pour le
s exemples !!!)
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3- Représentations matricielle :
Quelques oparations élémentaires :
Soit (S) un SEL à p équations et n inconnues, p ∈ ℕ ; p ≥ 1 et 𝑛 ∈ ℕ ; n ≥ 1:
𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎2,1 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,1 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,1 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎1,2 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,2 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,2 𝑥𝑛 = 𝑏2
……………………………………………….
𝑆 :
𝑎1,𝑗 𝑥1 + 𝑎2,𝑗 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑗 𝑥𝑛 = 𝑏𝑗
……………………………………………….
𝑎1,𝑝 𝑥1 + 𝑎2,𝑝 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑝 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 𝑏𝑝
On utilise généralement trois opérations fondamentales
pour simplifier les systèmes linéaires :
i = 1; : : : ;m
•
•
•
échanger la place de deux équations, c’est-à-dire permuter deux lignes ;
multiplier tous les termes d’une équation par une constante non nulle ;
modifier une équation en lui ajoutant un multiple quelconque d’une autre équation.
TAF: Utiliser ces trois opérations pour simplifier les SEL des exemples 1 et 2 précédants en
passant par les matrices des coefficients et augmentée.
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3- Solution d’un SEL :
•
•
Une s𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝′ 𝒖𝒏 𝑺𝑬𝑳 𝑆 est un n − 𝑢𝑝𝑙𝑒𝑡 qui satisfait simultan
ément toutes les équations du système.
L’ensemble des solutions du système qu’on note Sol 𝑆 étant l
’ensemble constitué de toutes les solutions possibles du systè
me 𝑆 . On note :
𝑛,𝑝
Sol 𝑆 =
𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑖 , . .i .=, 1;𝑠𝑛: : : ϵ;mℝ𝑛 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ෍ 𝑎𝑖𝑗 𝑠𝑖 = 𝑏𝑗
𝑖,𝑗
p ∈ ℕ ; p ≥ 1 et 𝑛 ∈ ℕ ; n ≥ 1
• p = 2 et 𝑛 = 2 : la solution est l’intersection entre les 2 droites,
• p = 3 et 𝑛 = 2 : la solution est l’intersection entre les 3 droites,
• p = 3 et 𝑛 = 3 : la solution est l’intersection entre les 3 plans,
• Qu’en est-il pour p = 2 et 𝑛 = 3 ?
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3- Solution d’un SEL :
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•
Si on reprend l’exemple (𝑆1 ) précédent, sa s𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑡é𝑒 𝒔𝒐𝒍(𝑆1 )
(𝑆1 ): ቊ
𝑋 + 𝑌 = 550
(𝐸11 )
16𝑋 + 8𝑌 = 6960 (𝐸12 )
𝑆𝑜𝑙 𝑆1 = {(320,230)}
230
320
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3- Solution d’un SEL :
Solution d’un SEL : Systèmes homogènes
•
Un SEL est dit homogène lorsque la matrice tous les termes d
e la matrice B sont nuls i.e 𝑏1 = 𝑏2 , = ⋯ = 𝑏𝑖 =. . . , = 𝑏𝑛 = 0:
𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎2,1 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,1 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,1 𝑥𝑛 = 0
𝑎1,2 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,2 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,2 𝑥𝑛 = 0
……………………………………………….
𝑆ℎ :
𝑎 𝑥1 + 𝑎2,𝑗 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑗 𝑥𝑛 = 0
i = 1,𝑗
1; : : : ;m
……………………………………………….
𝑎1,𝑝 𝑥1 + 𝑎2,𝑝 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,𝑝 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 0
𝑆ℎ 𝑎 𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑠1 = 𝑠2 , = ⋯ = 𝑠𝑖 =. . . , = 𝑠𝑛 = 0
appelée solution triviale.
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3- Solution d’un SEL :
Solution d’un SEL : Relation d’équivalence
•
Deux systèmes linéaires (𝑆1 ) et (𝑆2 ) ayant les mêmes inconnue
s mais les autres paramètres différents sont dit équivalents ssi:
𝑆𝑜𝑙 𝑆1 = 𝑆𝑜𝑙 𝑆2
i = 1; : : : ;m
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3- Solution d’un SEL :
Solution d’un SEL : Systèmes triangulaires
•
Un système linéaire (𝑆𝑡 ) est dit triangulaire s’il est écrit sous la f
orme :
𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎2,1 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,1 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,1 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎2,2 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,2 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,2 𝑥𝑛 = 𝑏2
………………………………….
𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑗 𝑥𝑛 = 𝑏𝑗
𝑆𝑡 :
……………….
i = 1; : : : ;m
𝑎𝑛−1,𝑝−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 𝑏𝑝−1
𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 𝑏𝑝
•
L’écriture matricielle augmentée d’un SEL triangulaire est sous la forme :
𝑎1,1 𝑎2,1 … . 𝑎𝑖,1 … 𝑎𝑛,1 𝑏1
𝑎2,2 … . 𝑎𝑖,2 … 𝑎𝑛,2 𝑏2
…………………. …
𝐴|𝐵 =
… . 𝑎𝑖,𝑗 … 𝑎𝑛,𝑗 𝑏𝑗
…………. …
𝑎𝑛,𝑝 𝑏𝑝
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3- Solution d’un SEL :
Solution d’un SEL : Systèmes triangulaires
•
•
Un système linéaire (𝑆𝑡 ) est dit triangulaire s’il est écrit sous la f
orme :
𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎2,1 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,1 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,1 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎2,2 𝑥2 + … . + 𝑎𝑖,2 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,2 𝑥𝑛 = 𝑏2
………………………………….
𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑖 + … + 𝑎𝑛,𝑗 𝑥𝑛 = 𝑏𝑗
𝑆𝑡 :
……………….
𝑎𝑛−1,𝑝−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 𝑏𝑝−1
𝑎𝑛,𝑝 𝑥𝑛 = 𝑏𝑝
i = 1; : : : ;m
Pour résoudre un système triangulaire:
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Solution d’un SEL : Théorème général
Pour tout système linéaire, la solution 3 cas de figure se présentent généralement
lors de la résolution d’un SEL quelconque 𝑆 :
y
y
y
𝐷1
x
x
𝐷2
•
•
Soit 𝑆 a un ensemble fini de solutio
ns qu’on note Sol 𝑆 .
Pour cette illustration, 𝑆 a une seul
e solution qui est l’intersection entre
𝐷1 et 𝐷2 .
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x
𝐷2
𝐷1
𝐷1
𝐷2
•
•
Soit 𝑆 n’a aucune solution qu’on no
te Sol 𝑆 = ∅.
Pour cette illustration, 𝑆 n’a pas de
solution car 𝐷1 et 𝐷2 ne se touchent
pas.
•
•
Soit 𝑆 a une infinité de solutions.
Pour cette illustration, 𝑆 a une inifi
nité de solutions car 𝐷1 et 𝐷2 sont co
nfondues.
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Solution d’un SEL : Théorème général
Pour tout système linéaire, la solution 3 cas de figure se présentent généralement
lors de la résolution d’un SEL quelconque 𝑆 :
y
y
y
𝐷1
x
x
𝐷2
𝐷2
•
•
𝐷1
Si 𝑆 a une, ou plusieurs ou une infinité de solution, le système est dit Compatible sinon, il est dit
incompatible.
Par exemple les illustrations 1 et 3 représentent les systèmes compatibles tandis que 2 représen
te un système incompatible.
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𝐷2
x
𝐷1
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4- Méthodes de résolution des SEL
4-1. Méthode de Cramer
❖ Soit 𝑆 un SEL avec autant d'équations que d'inconnues (p=n) représenté ma
triciellement par 𝐴. 𝑋 = 𝐵 (A étant la matrice des coefficients de taille nxn, X l
a matrice colonne des variables et B celle du second membre) et dont le dét
erminant de la matrice de coefficients est non nul (det(A)≠0 A est inversible)
, sous forme de quotients de déterminants.
❖ Une telle matrice associée au SEL qui n’admet qu’une seule solution notée Sol
: : :appelée
;m
S = 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑖 , . . . , 𝑠𝑛 ϵ ℝi𝑛=, 1;
est
matrice de cramer.
D’après la méthode de cramer, cette solution unique est donnée par :
det(𝐴𝑖 )
𝑠𝑖 =
, i = 1,2, … , 𝑛
det(𝐴)
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4- Méthodes de résolution des SEL
4-1. Méthode de Cramer
Résoudre le SEL suivants par les méthodes de cramer et de substitution
𝑋 + 𝑌 = 550
(𝐸11 )
(𝑆1 ): ቊ
16𝑋 + 8𝑌 = 6960 (𝐸12 )
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
(𝐸21 )
(𝑆2 ): ൞ 10𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 67 (𝐸22 )
20𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 104 (𝐸23 )
i = 1; : : : ;m
(𝑆3 ): ቊ
4𝑋 − 3𝑌 = 11
2𝑋 + 𝑌 = 3
(𝐸11 )
(𝐸12 )
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
(𝐸21 )
(𝑆4 ): ൞ 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 10 (𝐸22 )
2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −10 (𝐸23 )
Devoir 1 : Implémenter les algorithmes des méthodes de cramer et de substitutio
n et les utiliser pour résoudre ces SEL sous Matlab et Python (délai 22/09/2025)
Stéphane C. K. TEKOUABOU (PhD & Ing.)
www.tekouabou.com
Année: 2025-2026
4- Méthodes de résolution des SEL
4-1. Méthode de Cramer
det(𝐴𝑖 )
𝑠𝑖 =
, i = 1,2, … , 𝑛
det(𝐴)
❖ Exemple d’illustration N° 1
𝑥 + 𝑦 = 550
(𝑆1 ): ቊ
16𝑥 + 8𝑦 = 6960
1
det 𝐴 =
16
(𝐸11 )
(𝐸12 )
𝐴= 1
16
1
8
𝑥
𝑋= 𝑦
b=
550
6960
i = 1; : : : ;m
1
= 1 × 8 − 16 × 1 = −8
8
1 ) = 550 × 8 − 6960 × 1 = −2560
det 𝐴1 = det 𝑥 = det( 550
6960
8
det 𝐴2 = det 𝑦 = det( 1 550 ) = 1 × 6960 − 16 × 550 = −1840
16 6960
det(𝐴1 ) −2560
𝑠1 = 𝑥 =
=
= 320
det(𝐴)
−8
det(𝐴2 ) −1840
1
𝑠2 = 𝑦 =
=
= 230
det(𝐴)
−8
𝑆𝑜𝑙 𝑆
Stéphane C. K. TEKOUABOU (PhD & Ing.)
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= 320 , 230
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4- Méthodes de résolution des SEL
4-1. Méthode de Cramer
❖ Exemple d’illustration N° 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
(𝐸21 )
1
(𝑆2 ): ൞ 10𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 67 (𝐸22 )
20𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 104 (𝐸23 ) 𝐴 = 10
20
1
det 𝐴 = 10
20
det(𝐴𝑖 )
𝑠𝑖 =
, i = 1,2, … , 𝑛
det(𝐴)
1 1
5 4
6 2
𝑥
𝑋= 𝑦
𝑧
1 1
10 4
5 4
10 5
−1×
+1×
=6
5 4 =1×
20 2
6 2
20 6
6 2
10 1 1
;m 4
5 4i = 1; : : : 67
67 5
det 𝐴1 = det 𝑥 = 67 5 4 = 10 ×
−1×
+1×
= 24
104 2
6 2
104 6
104 6 2
1
10 1
67 4
10 4
10 67
det 𝐴2 = det 𝑦 = 10 67 4 = 1 ×
− 10 ×
+1×
= 18
104 2
20 2
20 104
20 104 2
1 1 10
10 67
5 67
10 5
det 𝐴3 = det 𝑧 = 10 5 67 = 1 ×
−1×
+ 10 ×
= 18
20 104
6 104
20 6
20 6 104
det(𝐴1 ) 24
𝑠1 = 𝑥 =
=
=4
det(𝐴)
6
𝑠2 = 𝑦 =
Stéphane C. K. TEKOUABOU (PhD & Ing.)
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det(𝐴2 ) 18
=
=3
det(𝐴)
6
𝑠3 = 𝑧 =
det(𝐴3 ) 18
=
=3
det(𝐴)
6
10
b = 67
104
𝑆𝑜𝑙 𝑆2 = 4, 3, 3
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4- Méthodes de résolution des SEL
4-1. Méthode de Cramer
det(𝐴𝑖 )
𝑠𝑖 =
, i = 1,2, … , 𝑛
det(𝐴)
❖ Exemple d’illustration N° 3
4𝑥 − 3𝑦 = 11
(𝑆3 ): ቊ
2𝑥 + 𝑦 = 3
det 𝐴 =
(𝐸11 )
(𝐸12 )
4 −3
= 4×1 −
2 1
𝐴 = 4 −3
2
1
𝑥
𝑋= 𝑦
i = 1; : : : ;m
−3 × 2 = 10
det 𝐴1 = det 𝑥 = det( 11 − 3 ) = 11 × 1 − −3 × 3 = 20
3
1
det 𝐴2 = det 𝑦 = det( 4 11 ) = 4 × 3 − 11 × 2 = 10
2
3
det(𝐴1 ) 20
𝑠1 = 𝑥 =
=
=2
det(𝐴)
10
det(𝐴2 ) 10
3
𝑠2 = 𝑦 =
=
=1
det(𝐴)
10
𝑆𝑜𝑙 𝑆
Stéphane C. K. TEKOUABOU (PhD & Ing.)
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11
b=
3
= 2 ,1
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4- Méthodes de résolution des SEL
4-1. Méthode de Cramer
❖ Exemple d’illustration N° 4
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
(𝐸21 )
1
(𝑆4 ): ൞ 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 10 (𝐸22 )
2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −10 (𝐸23 ) 𝐴 = 3
1
det 𝐴 = 3
2
−1
2
−3
−1
2
2 −3
det(𝐴𝑖 )
𝑠𝑖 =
, i = 1,2, … , 𝑛
det(𝐴)
2
4
−2
𝑥
𝑋= 𝑦
𝑧
5
b = 10
−10
2
2
4
3 2
3 4
− −1 ×
+2×
= −32
4 =1×
−3 −2
2 −2
2 −3
−2
5
−1 2
2 i = 1;4 : : : ;m
10
4
10
2
det 𝐴1 = det 𝑥 = 10
− −1 ×
+2×
= 40
2
4 =5×
−3 −2
−10 −2
−10 −3
−10 −3 −2
1
5
2
10
4
3 10
3 4
det 𝐴2 = det 𝑦 = 3 10
−5×
+2×
= −10
4 =1×
−10 −2
2 −2
2 −10
2 −10 −2
1 −1
5
2
10
3 10
3 2
det 𝐴3 = det 𝑧 = 3 2
− −1 ×
+5×
= −105
10 = 1 ×
−3 −10
2 −10
2 −3
2 −3 −10
det(𝐴3 ) −105 105
det(𝐴1 )
40
5
𝑠
=
𝑧
=
=
=
3
𝑠1 = 𝑥 =
=
=−
det(𝐴)
−32
32
det(𝐴)
−32
4
det(𝐴2 ) −10
5
𝑠2 = 𝑦 =
=
=
det(𝐴)
−32 16
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𝑆𝑜𝑙 𝑆4
5 5 105
= − , ,
4 16 32
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4- Méthodes de résolution des SEL
4-1. Méthode de Cramer
❖ Avantages:
• elle permet de donner la solution du système de manière explicite
• elle peut s’appliquer aux systèmes dont les coefficients dépendent de paramè
tres
• Elle permet de calculer chaque coordonnée xi de la solution indépendamme
nt des autres, un avantage quand on s’intéresse à calculer qu’une coordonné
i = 1; : : : ;m
e précise
❖ Inconvénients :
• Cette méthode est moins efficace que la méthode de Gauss
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4- Méthodes de résolution des SEL
4-2. Résolution par substitution
Pour résoudre un système d’équations linéaires par substitution, les étap
es sont les suivantes :
1.Réarranger une des équations pour isoler une inconnue.
2. Substituer cette expression dans l’autre équation et résoudre l’équation linéaire ob
i = 1; : : : ;m
tenue à une inconnue.
3. Remplacer la valeur de cette inconnue dans une des équations et calculer la valeur
de l’inconnue restante.
4. Valider la réponse en vérifiant que les valeurs des deux inconnues vérifient l’autre é
quation.
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4- Méthodes de résolution des SEL
4-2. Résolution par substitution
Résoudre le SEL suivants par les méthodes de cramer et de substitution
𝑋 + 𝑌 = 550
(𝐸11 )
(𝑆1 ): ቊ
16𝑋 + 8𝑌 = 6960 (𝐸12 )
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
(𝐸21 )
(𝑆2 ): ൞ 10𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 67 (𝐸22 )
20𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 104 (𝐸23 )
i = 1; : : : ;m
(𝑆3 ): ቊ
4𝑋 − 3𝑌 = 11
2𝑋 + 𝑌 = 3
(𝐸11 )
(𝐸12 )
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
(𝐸21 )
(𝑆4 ): ൞ 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 10 (𝐸22 )
2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −10 (𝐸23 )
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n et les utiliser pour résoudre ces SEL sous Matlab et Python (délai 22/09/2025)
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1- Bibliographie :
•
•
•
•
•
[B01] Mathématiques Numériques Chapitre 2 : Systèmes linéaires et décompositions de matrice (2022) B. Pinçon & J.-F. Scheid
[B02] Méthode de Cramer pour la résolution d'un système linéaire https://defeo.lu/in310/poly/cramer/
[B03] A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri. Méthodes numériques pour le calcul scientifique. Programmes en MATLAB, Sp
ringer, 2000.
[B04] J. P. Demailly. Analyse Numérique et Equations Différentielles, PUG, 1994. https://webusers.imj-prg.fr/~huayi.chen/E
nseignement/ParisVII/2009_2010/demailly.pdf
[B05] Représentation d’un nombre en machine, erreurs d’arrondis, https://www.math.univ-paris13.fr/~japhet/Doc/Handou
ts/RoundOffErrors.pdf
2- Webographie :
•
[W01] Pr Marc BUFFAT, Cours de Calcul Scientifique. (n.d.). Retrieved September 28, 2023, from https://perso.univ-lyon1.fr/marc.buffat/COURS/
CalculScientique_HTML/courshtml1.html
[W02] DATA and ERROR ANALYSIS https://lcn.people.uic.edu/classes/che205s17/docs/che205s17_reading_12a.pdf
[W03] Visualizing Random Measurement Error in R. (n.d.). Steven V. Miller. Retrieved September 28, 2023, from https://svmiller.com/blog/202
0/02/random-measurement-error/
[W04] Error Analysis. (n.d.). BIOLOGY FOR LIFE. Retrieved September 28, 2023, from https://www.biologyforlife.com/error-analysis.html
•
[W05] Mounaim M., Chapitre1 Analyse d’erreurs. (n.d.). Scribd. Retrieved September 28, 2023, from https://fr.scribd.com/document/488546532/Ch
•
•
•
apitre1-Analyse-d-erreurs
•
[W06] What are Truncation Errors |BYJUS. Examples (2022). https://byjus.com/maths/truncation-errors
•
[W07] Roussel, J. (n.d.). LES ERREURS NUMÉRIQUES. Retrieved September 28, 2023, from https://femto-physique.fr/analyse-nu
merique/erreurs-numeriques.php
3- Vidéographie
•
[V01] Systèmes linéaires, Exo7Math (2013) https://www.youtube.com/playlist?list=PL024XGD7WCIFSxatDf77naZwvNPiPbAe4
Stéphane C. K. TEKOUABOU (PhD & Ing.)
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