Exercice 1
On note 𝐴𝑛 l’ensemble des matrices de 𝑀𝑛 (𝐼𝑅)dites antisymétriques.
(1) Montrer que 𝐴𝑛 est un espace vectoriel.
(2) Monter que, pour toute matrice 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (𝐼𝑅) et toute matrice 𝑀 ∈ 𝐴𝑛 , on a ⬚𝑡𝐵𝑀𝐵 ∈ 𝐴𝑛
(3) Dans le cas n = 3, déterminer une base, puis la dimension, de 𝐴3.
(4) Soit 𝑀 ∈ 𝐴3 . Montrer qu’il existe un réel 𝛼 à préciser, qui dépend des coordonnées de M
dans la base explicitée ci-avant, tel que 𝑀3 = 𝛼𝑀. En déduire, par l’absurde, que M n’est pas
inversible
Exercice 2
a) Soit 𝑓 l’application qui à un polynôme 𝑃 de degré au plus 2 associe 𝑃(1) − 𝑃(2).
Montrer que 𝑓 est linéaire.
b) Déterminer 𝐾𝑒𝑟 𝑓 et en donner une base.
c) Déterminer 𝐼𝑚𝑓 et en donner une base. Vérifier alors le théorème du rang.
d) Montrer que 𝐸 est un espace vectoriel et en donner une base
𝐸 = {𝑃 ∈ 𝐼𝑅2 [𝑋], 𝑃(1) = 𝑃(2)}
Exercice 3
Soit 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 des réels distincts, soit 𝜑 l’application de 𝐼𝑅𝑛 [𝑋] dans 𝐼𝑅 𝑛+1qui, à tout
polynôme 𝑄 associe (𝑄(𝑥0 ), 𝑄(𝑥1 ), … , 𝑄(𝑥𝑛 ))
(a) Montrer que 𝜑 est une application linéaire bijective
(b) Déterminer la matrice de 𝜑 dans les bases canoniques de 𝐼𝑅𝑛 [𝑋] et 𝐼𝑅 𝑛+1
Exercice 4
Soit 𝑎 un réel. Déterminer la matrice 𝑀 dans la base canonique (𝑖, 𝑗) de l’endomorphisme 𝑓 ∈
ℒ(𝐼𝑅 2 ) défini par
𝑓(𝑖) = 𝑎𝑖 − 𝑗
𝑓 2 (𝑖) = 𝑓(𝑖)
Et vérifier que
𝑓𝑜(𝑓 − 𝑖𝑑) = 0
𝑓 est -elle bijective ? 𝑓est-elle un projecteur ?
Exercice 5
Soit E l’ensemble des fonctions définies de IR dans IR.
Soit F l’ensemble des fonctions linéaires de IR dans IR, et G l’ensemble des fonctions définies
de IR dans IR s’annulant en 1.
a) Montrer que 𝐹 et 𝐺 sont des sous espaces vectoriels de 𝐸.
b) Montrer que 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺
Exercice 6
Donner la nature de la série de terme général 𝑢𝑛
1 2𝑛
2 𝑛
𝑢𝑛 = (1 + ) − (1 + )
𝑛
𝑛
Exercice 7
Soit (𝑢𝑛 ) la suite réelle définie par :
𝑢0 = 1 𝑢𝑛+1 =
2𝑛 + 2
𝑢
2𝑛 + 5 𝑛
Soit 𝛼 réel. On pose pour tout 𝑛 ≥ 1
𝑣𝑛 =
(𝑛 + 1)𝛼 𝑢𝑛+1
𝑛 𝛼 𝑢𝑛
(a) Rappeler le développement limité ordre 2 en 0 de ln (1 + 𝑥)
Montrer que
1
5
ln(𝑣𝑛 ) = (𝛼 + 1) ln (1 + ) − 𝑙𝑛 (1 + )
𝑛
2𝑛
Pour quelle valeur 𝛼0 du réel 𝛼 la série de terme général 𝑙𝑛𝑣𝑛 est-elle convergente ? (on
trouve 3/2)
(b) En déduire qu’il existe un réel strictement positif 𝐶 tel que
𝑢𝑛 ∼
𝐶
𝑛 𝛼0
Qu’en déduit-on pour la série de terme général 𝑢𝑛 ?
Exercice 8
Donner le DL2(0) de 𝑓(𝑥) = ln (2 cos 𝑥 + sin 𝑥)
Exercice 9
Donner le DL2(0) de
𝑓(𝑥) = 𝑒 1−√1−𝑥
Préciser la position relative de Cf et de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
Exercice 10
Donner la limite de
ln (𝑥 + 𝑛) 𝑛
𝑢𝑛 = ((
) − 1) ln 𝑛 , 𝑥 𝑟é𝑒𝑙.
ln 𝑛