Chapitre 1: Rappels traitement des signaux déterministes Dr. Abdourahmane NDIAYE Sommaire I. Signaux déterministes II. Spectre des signaux déterministes 1. Spectre des Signaux continus 2. Spectre des signaux discrets I. Signaux déterministes 1.1. Qu'est-ce qu'un signal? ▪ Support de l’information échangée entre émetteur et récepteur. 1.1 Qu’est-ce qu'un signal? ▪ Grandeur physique mesurable (tension électrique, Onde, lumière) représentant l'évolution d'une information. ▪ A l'origine un signal est analogique 1.2. Exemple de signaux 1.3. Signal déterministe • Signal à évolution prévisible 1.4. Fonctions usuelles • Signal rectangle • Impulsion de Dirac • Fonction triangulaire • Fonction sinus cardinal • Fonction échelon ou Heaviside Signal rectangle 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑇 𝑡 = ቐ+1 𝑠𝑖 0 𝑇 𝑇 − ≤𝑡≤ 2 2 𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 Impulsion de Dirac 𝛿 𝑡 = 0 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 0 • ൝ +∞ −∞ 𝛿 𝑢 𝑑𝑢 = 1 • Propriété localisation impulsion Dirac Produit d’un signal 𝑥(𝑡) par l’impulsion de Dirac 𝑥 𝑡 . 𝛿 𝑡 − 𝑡0 = 𝑥(𝑡0 )𝛿(𝑡 − 𝑡0 ). Fonction triangulaire • Notée tri(t): triangle équilatéral centré à l’origine Fonction sinus cardinal • Notée sinc(t) définie par: Fonction échelon • Notée souvent u(t) ou ε(t) définie par: 1.5. Energie d’un signal • Définition • L’énergie totale d’un signal est définie par : +∞ 𝐸𝑥 = න −∞ • Signaux à énergie finie : o 𝐸𝑥 < infinie et non nulle 𝑥 2 (𝑡) 𝑑𝑡 1.6. Puissance moyenne • Définition o La puissance d'un signal correspond à une quantité d'énergie dissipée sur un certain intervalle de temps. o La puissance moyenne d'un signal 𝑥(𝑡) est donnée par: 𝑡0 +𝑇 1 𝑃𝑚𝑜𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 න 𝑥 2 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 𝑡0 1.6. Puissance moyenne • Signaux à Puissance moyenne finie : o 𝑃𝑚𝑜𝑦 < infinie et non nulle II. Spectre des signaux déterministes 1. Cas Signaux continus 2.1 Notion de spectre • L'expérience de Newton sur la décomposition de la lumière blanche. • Par analogie, le spectre d'un signal correspond à la représentation des composantes énergétiques du signal dans le domaine fréquentiel. 2.2 Exemple de spectre • Spectre signal sonore 2.2 Exemple de spectre • Spectre signal vocal • Signal • spectre 2.3. Spectre signaux à énergie finie • Le Spectre des signaux à énergie finie est déterminé par la Transformée de Fourrier • Pour un signal à énergie finie x(t) le spectre X(f) est définie par: +∞ 𝑋 𝑓 =න −∞ 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 2.3. Spectre signaux à énergie finie • Exemple: Signal Spectre 2.4. Inverse de la transformée de Fourrier Permet de reconstituer le signal temporel à partir du spectre 2.5. Spectre signaux périodiques • Définition: Le spectre des signaux périodiques est déterminé par la série de Fourrier définie par: +∞ 𝑥(𝑡) = 𝐶𝑘 𝑒 𝑗2𝜋𝑘𝑓0𝑡 𝑘=−∞ Avec Ck appelé coefficient de Fourrier: 𝑇0 1 𝐶𝑘 = න 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑘𝑓0𝑡 𝑑𝑡 𝑇0 0 2.5. Spectre des signaux périodiques • Exemple: II. Spectre des signaux déterministes 2. Cas Signaux discrets 2.6. Définition et Rappel Signal discret : signal résultant de l'échantillonnage d'un signal analogique (continu) 2 . 7 Tr a n s f o r m é e d e F o u r r i e r D i s c r è t e (TFD) • La TFD permet le calcul du spectre d’un signal discret. • La TFD notée X de la suite d’échantillon 𝑥𝑛 est définie: • avec k= 0 ; 1 ; …..N-1 • N: Nombre de valeurs de la suite 𝑥𝑛 2.8. TFD Inverse • La TFD inverse permet le restituer un signal discret à partif des ses composantes spectrales • La TFD Inverse est définie: • avec n= 0 ; 1 ; …..N-1 • N: Nombre de valeurs de la suite 𝑥𝑛 2.9. Calcul pratique de la TFD Problème ? ❑ Le calcul direct de la TFD est très complexe. ❑ La complexité s'établit en nombre d'opérations: • Nombre de sommation complexe:(N-1)xN • Nombre de Multiplication complexe : N^2 Solution ❑ Algorithme de Transformée de Fourrier Rapide (TFR) ou Fast Fourrier Transform (FFT) ❑ FFT intégré dans plusieurs outils (SCILAB ; MATLAB, Audacity) – La FFT est un algorithme qui optimise le calcul de la TFD 2.10. Qualité de la TFD La qualité d’une analyse spectrale réalisée par TFD est principalement liée : ❑ Fréquence d’échantillonnage choisie Fe ❑ Nombre de points temporels fixés (N) par la troncature du signal (c-a-d la largeur de la fenêtre de troncature) ❑ type de la fenêtre de troncature temporelle: rectangulaire, hanning, hamming, kaiser, Blackman etc… fenêtre 2 . 11 . P e r f o r m a n c e s d ' u n e f e n ê t r e temporelle Principales caractéristiques d’une fenêtre d’analyse: ❑ résolution fréquentielle. ➢ pouvoir séparateur de deux fréquences proche. ➢ caractérisée par largeur à -3 dB du lobe principal du spectre de la fenêtre temporelle; ❑ dynamique imposée par l’amplitude des lobes secondaires définit la dynamique de la fenêtre. Merci de votre Attention Esting eriure velit adipismod ea conse vulput la am del ipsusto ex elessis er si.