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Corrigé de la 1ère composition de mathématiques 2021 pour le concours ingénieurs statisticiens économistes

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
Juin 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Problème 1 :
On définit sur R+* l’application fa qui à tout x réel strictement positif associe fa(x) = xa e- x
où a est un paramètre réel.
1) Etudier les variations des fonctions f0, f2 et f-2 (dérivée première, dérivée seconde,
limites, asymptotes éventuelles, tableau de variations, …).
Donner la forme des graphes C2 et C-2 des courbes représentatives de f2 et f-2. Etudier
l’intersection des graphes C2 et C-2.
f0(x) = e-x ; f ’0(x) = - e-x < 0 ; la fonction est monotone décroissante, avec limx→+∞ f0(x) = 0 et
limx→0 f0(x) = 1. La pente en (0, 1) est -1.
f2(x) = x²e-x ; f ’2(x) = xe-x (2 – x) ; f ’’2(x) = (x² – 4x + 2)e-x .
La fonction est croissante sur (0 ; 2), puis décroissante sur (2 ; + ∞). On a limx→+∞ f2(x) = 0
et limx→0 f0(x) = 0.
La pente en (0, 0) est 0.
Le maximum est atteint en x = 2 et vaut 4e-2.
f ’’2(x) = (x² – 4x + 2)e-x = 0 admet deux solutions x* = 2 – 21/2 ≈ 0,59 et x** = 2 + 21/2 ≈ 2,41
f-2(x) = x-2 e-x ; f ’-2(x) = - e-x x-3 (2 + x) qui est toujours < 0 puisque x > 0.
f ’’2(x) = x-4(x² + 4x + 6)e-x qui n’admet pas de racine.
La fonction est donc décroissante sur R+ : on a limx→+∞ f-2(x) = 0 et limx→0 f0(x) = + ∞.
Elle n’admet pas de maximum.
Intersection des graphes : f2(x) = x²e-x = f-2(x) = x-2 e-x ; d’où x4 = 1, c’est-à-dire x = 1 ou -1.
Comme x > 0, seul x = 1 est admissible. En ce point, x = 1 et f2(1) = f-2(1) = 1/e.
1
2) Dans cette question, on suppose que a > 0.
2a) Calculer les dérivées f ’a et f ’’a et étudier leurs racines selon la valeur de a.
2b) Etudier les limites de fa quand x tend vers + ∞ et quand x tend vers 0, ainsi que la
limite de f ’a quand x tend vers 0 ; par continuité la fonction f sera alors prolongée en 0.
2c) Construire le tableau des variations de la fonction fa.
2a) f ’a(x) = xa-1(a – x)e-x
f ’’a(x) = xa-2(x² - 2ax + a(a-1))e-x
(Ces calculs ne dépendent pas du signe de a)
f ’a(x) = 0 en x = a et aussi en x = 0 si a > 1.
f ’’a(x) = xa-2(x² - 2ax + a(a-1))e-x = 0 en x = 0 si a > 2 et si x² - 2ax + a(a-1) = 0 ; le
discriminant réduit est égal à a, et deux racines non nulles existent :
x1 = a + a1/2 et x2 = a – a1/2 = a1/2(a1/2 – 1)
Comme x > 0, x1 est toujours admissible ; mais si a < 1, x2 < 0, donc non admissible.
2b) Limites :
Quand x → +∞, fa(x) → 0 ; quand x → 0, fa(x) → 0
Quand x → 0, f ’a(x) → 0 si a > 1 (tangente horizontale), et → + ∞ si a < 1 (tangente
verticale).
On prolongera donc la fonction fa en 0 par fa(0) = 0.
2c)Variations :
fa croît de 0 au maximum M(a) = aae-a sur (0 ; a), et décroît de M(a) à 0 sur (a ; + ∞).
3) Dans cette question, on suppose que a < 0. Comme à la question précédente, étudier
les variations de fa.
Comme à la question 2, on a :
f ’a(x) = xa-1(a – x)e-x
f ’’a(x) = xa-2(x² - 2ax + a(a-1))e-x
f ’a(x) = 0 pour x = a, mais comme a est < 0, pas de racine.
Le signe de f ’a est < 0.
De même, a < 0 donc pas de racines pour l’équation f ’’a(x) = 0.
Limites :
Quand x → +∞, fa(x) → 0 ; quand x → 0, fa(x) → + ∞
Variations :
La fonction fa est monotone décroissante sur R+ de + ∞ à 0.
2
4) Lorsque celui-ci existe, on note Ma (xa, ya) le point maximum de la courbe C a
représentant la fonction fa pour a réel. Donner l’expression ya = g(xa) du lieu
géométrique parcouru par les points Ma lorsque a parcourt R.
Etudier les variations de la fonction g.
Quand il existe (c’est-à-dire quand a > 0 d’après les questions 2 et 3), le maximum est
atteint en Ma d’abscisse xa = a et d’ordonnée ya = aae-a.
Le lieu géométrique de Ma est donc de la forme ya = g(xa) où la fonction g a pour
expression g(x) = xxe-x.
On a : x > 0 → g(x) > 0
Ln g = x(Lnx – 1)
Quand x → 0, g → 1 ; quand x → +∞, g → +∞
g’/g = Lnx.
Le signe de g’ est celui de Lnx, négatif pour x < 1 et positif pour x > 1.
La fonction g est décroissante sur (0 ; 1) de 1 à 1/e, et croissante sur (1 ; + ∞) de 1/e à +∞.
5) On considère l’intégrale J(a) = R+ xa e-x dx.
5a) Calculer J(0), J(2).
J(0) = 1
J(2) = 2
5b) Etablir une relation entre J(a) et J(a-1).
En intégrant par parties : J(a) = R+ xa e-x dx = [- xae-x](0, +∞) + a R+ xa-1 e-x dx
D’où : J(a) = a J(a-1)
5c) Donner la valeur explicite de J(a) dans le cas où a est un nombre entier.
J(a) = a ! pour a entier
x
6) Pour x > 0, on définit l’intégrale L(x) = 1 fa(t) dt.
6a) Calculer L(1)
J(1) = 0 (évidemment)
6b) On suppose que x ≥ 1 ; proposer un minorant de L(x) c’est-à-dire une quantité m(x)
telle que L(x) ≥ m(x). Calculer la limite de L(x) quand x → + ∞.
On a 1 ≤ t ≤ x ; e-t ≥ e-x ≥ e-1 et donc fa(t) ≥ e-1 ta
L(x) ≥ e-1 (xa+1 – 1)/(a + 1) = m(x)
Quand x → + ∞, m(x) → + ∞ et donc L(x) → + ∞.
3
Problème 2 :
Ce problème décrit un algorithme permettant de construire des codes secrets chiffrés.
Introduction :
1) Pour x réel, calculer la somme K(x) = x² + x 3 + … + xn.
2) En déduire l’expression de la somme L(x) = 2x + 3x² + 4x 3 + ….+ nxn-1.
Corrigé :
1) K(x) = x² + x3 + … + xn = x² ( 1 + x + … + xn-2) = x²(1 – xn-1)/(1 – x)
2) L(x) = K’(x) = [nxn+1 – (n+1)xn – x² + 2x]/(1 – x)²
Enoncé :
On appelle Sn la séquence de chiffres obtenue en écrivant les uns après les autres les
nombres strictement de n chiffres (le premier chiffre ne peut être nul, sinon il s’agit d’un
nombre composé de n-1 chiffres).
Dans une séquence Sn, pour chaque chiffre x, 0 ≤ x ≤ 9, on désigne par Nn(x) le nombre
d’occurrences de x dans la séquence. Par exemple, la séquence S 1 est : S1 = 0 1 2 3 4 5 6 7
8 9, et pour tout chiffre x = 0 à 9, N1(x) = 1.
1) On écrit la séquence S2 des nombres à deux chiffres, allant de 10 à 99 :
1a) Combien a-t-on écrit de chiffres au total ?
1b) Donner les valeurs de N2(x) pour x = 0 à 9.
2) Soit la séquence S3 des nombres à trois chiffres, de 100 à 999.
2a) Combien a-t-on écrit de chiffres au total ?
2b) Donner les valeurs de N3(x) pour x = 0 à 9.
3) On considère maintenant la séquence S4 des nombres à quatre chiffres, de 1000 à
9999, et on s’intéresse au seul chiffre x = 1.
3a) Combien S4 comporte-t-elle de chiffres ?
3b) Donner la valeur de N4(1).
4) On définit la suite de chiffres notée Tn et définie comme étant la juxtaposition des
séquences S1, S2, …, Sn ; par exemple, T3 est la suite des chiffres constituée à partir des
séquences S1, S2, S3, donc composée de tous les nombres allant de 0 à 999.
Pour chaque chiffre x, x = 0 à 9, on note par Mn(x) le nombre d’occurrences de x dans la
suite Tn.
4a) Combien de chiffres au total comportent les suites T2 et T3 ?
4b) Donner, pour chaque entier x, x = 0 à 9, les nombres de fois M2(x) et M3(x) où x
apparaît dans T2 et T3.
4c) Combien de chiffres au total comporte la suite T4 ?
4d) Quelle est la valeur de M4(1) ?
5) On se place dans le cas général d’une séquence S n et d’une suite Tn (telle que définie à
la question 4), n étant un entier quelconque, n > 1.
4
5a) Combien de chiffres, notés respectivement A(n) et B(n), comportent la séquence Sn et
la suite Tn ?
5b) Trouver une relation entre Mn(1), Mn-1(1) et Nn(1).
5c) Trouver une relation entre Nn(1) et Mn-1(1).
5d) Montrer que Mn(1) est une suite récurrente d’ordre 1 de la forme Mn(1) = u + vMn-1 où
u et v peuvent dépendre de n ; quelles sont les valeurs de u et v ?
5e) En déduire les expressions de Mn(1) et Nn(1) en fonction de n.
6) Pour constituer un code secret abc à 3 chiffres, on passe par deux étapes :
- la première étape consiste à utiliser un générateur de trois nombres aléatoires, notés x,
y et z ;
- la deuxième étape est la fabrication du code secret abc composé des chiffres situés
immédiatement après les xème, yème et zème chiffres 1 apparus dans une suite de type T.
La mise en œuvre de la première étape a conduit à x = 15, y = 82 et z = 1598.
Quel est le code secret abc correspondant à ce tirage ?
Corrigé
1) S2 = 1 0 1 1 1 2 ……………….. 9 8 9 9
a) De 10 à 99 il y a 90 nombres à 2 chiffres, soit une séquence 180 chiffres.
b) Chiffre 0 : on ne le trouve que dans les dizaines (de 10 à 90) soit 9 fois.
Les autres chiffres, par symétrie, ont une occurrence égale de (180 – 9)/9 = 19.
Sinon, un calcul direct permet d’aller au résultat ; par exemple pour 1, le 1 est présent
11 fois de 10 à 19, puis 1 fois par dizaine allant de 20 à 90 (soit 8 dizaines) : N2(1) =
11 + 1 x 8 = 19
2) a) Passons à S3, séquence des nombres de 3 chiffres (100 → 999) ; cela représente
un ensemble de 3 x 900 = 2700 chiffres.
b) Le plus simple est de découper par centaines (100 → 199 ; 200 → 299 …. ; 900
→ 999).
Prenons l’exemple de la première centaine allant de 100 à 199 : le nombre total de
chiffres est égal à 300.
Le nombre de 1 écrits est égal à 100 + le nombre de 1 apparaissant dans la
séquence allant de 00 à 99.
On se retrouve dans le cas de la question 2 sauf pour le chiffre 0, rencontré ici 20
fois.
Tous les chiffres x (x ≠1) sont écrits 20 fois, sauf « 1 » écrit 100 + 20 = 120 fois. On
vérifie que le nombre total de chiffres est bien égal à 300 (120 + 9 x 20).
De la même façon, pour chaque centaine commençant par x non nul, le principe est
le même, et par symétrie le nombre de x est constant pour x = 1 à 9.
Le nombre de 0 est 20 x 9 (puisque le chiffre des centaines n’est jamais 0).
Donc : N3(0) = 180 et pour x ≠ 0 N3(x) = (2700 – 180)/9 = 2520/9 = 280.
Ce résultat est aussi retrouvé, par exemple pour 1, comme 120 fois dans la 1 ère
centaine et 8 x 20 pour les 8 autres centaines, égal à 280.
5
3) a) Entre 1000 et 9999, il y a 9000 nombres de 4 chiffres, soit un total de chiffres écrits
dans S4 de 4 x 9000 = 36000.
b) Comme pour la question 2, partons du premier millier de 1000 à 1999.
Le nombre de 1 entre 1000 et 1999 est égal au nombre de 1 entre 000 et 999 + 1000
x1
Le nombre de 1 entre 000 et 999 est 300 (question 2).
Le nombre de 1 entre 1000 et 1999 est 1000 + 300 = 1300.
Dans ce même millier, le nombre de x (x différent de 0 et 1) est 300.
Par extension aux autres milliers : le nombre de 1 entre 1000 et 9999 est N4(1) =
1300 + 8 x 300 = 3700.
Nombre de 0 : N4(0) = 36000 – 9 x 3700 = 2700
Autre méthode possible : la suite (000 → 999) est la juxtaposition de (000 → 099) et
de (100 → 999).
De 000 à 099, il y a 20 « 1 ».
De 000 à 999, il y a 300 fois 0 (120 fois de 000 à 099, et 180 fois de 100 à 999
(question 2) ; on ajoute le chiffre des milliers qui va de 1 à 9 donc un total de 0 qui
vaut 9 x 300 = 2700.
4) 4a) Le nombre de chiffres de T1 est 10 (évidemment).
Pour la suite globale T2, on a un total de 190 chiffres.
Pour T3 le nombre total de chiffres est (10) + (180) + (2700) = 2890.
4b) Dans T2, M2(0) = 1+9 = 10 ; pour x = 1 à 9 on a M2(x) = 1 + 19 = 20.
(Le nombre total de chiffres écrits est bien de 10 + 9 x 20 = 190).
Dans T3 :
Nombre de 0 : M3(0) = 1 + 9 + 180 = 190
Nombre de 1 : M3(1) = 1 + 19 + 280 = 300
C’est aussi la valeur de M3(x) pour x = 2, 3, …, 9.
4c) Cas de T4
Au total le nombre de chiffres de la suite T 4 est 10 + 180 + 2700 + 36000 = 38890.
4d) D’après les résultats de la question 3, on obtient :
- 0 : M4(0) = 190 + 2700 = 2890.
- x non nul : M4(x) = 300 + 3700 = 4000, d’où M4(1) = 4000.
- D’où un total égal à 2890 + 9 x 4000 = 38890.
5) 5a) S1, séquence des chiffres, est composée de A(1) = B(1) = 10 chiffres.
Pour n > 1, Sn est la séquence des nombres à n chiffres qui vont de 10 n-1 à 10n – 1.
Elle est constituée à partir de 10 n – 10n-1 nombres.
Elle comporte donc A(n) = n(10 n – 10n-1) chiffres.
A(n) = 9.10n-1.n
La suite Tn est la juxtaposition des séquences S 1, S2, …. Sn.
On en déduit pour n > 1 :
n
n
B(n) =∑k=1 A(k) = A(1) + ∑k=2 A(k) =
𝑛
𝑛
= 10 + ∑𝑘=2(9𝑘)10𝑘−1 = 10 + 9 ∑𝑘=2 𝑘. 10𝑘−1
6
D’après les calculs introductifs : posons K(x) = x² + … + xn = x²(1 – xn-1)/(1 – x)
𝑛
∑𝑘=2 𝑘. 10𝑘−1 n’est autre que la dérivée de K(x) prise au point x = 10.
K’(x) = {(x-1)[2x(xn-1-1) + (n-1)xn] – x²( xn-1-1)}/(x-1)²
Après simplification, on trouve : K’(x) = [nxn+1 - (n+1)xn – x² + 2x]/(x-1)²
𝑛
Pour x = 10 : ∑𝑘=2 𝑘. 10𝑘−1= [n10n+1 – (n+1)10n – 80]/81
D’où l’expression de B(n), nombre de chiffres de Tn :
B(n) = 10 + [n10n+1 – (n+1)10n – 80]/9
On vérifie bien B(2) = 190, B(3) = 2890 et B(4) = 38890.
5b) On a de façon évidente : Mn(1) = Mn-1(1) + Nn(1)
5c) On a Nn(1) = 10n-1 + 9 Mn-1(1)
en ajoutant le nombre de 1 apparaissant en début de nombre aux 1 intervenant dans
les nombres ne commençant pas par 1.
5d) A partir des relations trouvées en 5b et 5c, on a :
Mn(1) = 10n-1 + 10Mn-1(1)
u = 10n-1 et v = 10
5e) En procédant par récurrence ou en écrivant la relation trouvée en 5d de n jusqu’à
1, et en multipliant par 10 la relation pour n-1, 10² celle pour n-2, etc, on trouve
aisément par élimination :
Mn(1) = n.10n-1
On en déduit, d’après 5c, pour n > 1, Nn(1) = 10n-1 + 9(n – 1)10n-2
Remarque : on retrouve par le calcul les valeurs précédemment obtenues pour M n(1)
et Nn(1) pour n = 1 à 4.
6) D’après les résultats qui précèdent, le 15 ème « 1 » est entre 10 et 99 puisque N2(1) =
19 et M2(1) = 20 ; le 82ème « 1 » survient entre 100 et 999 puisque M3(1) = 300 et le
1598ème est entre 1000 et 9999 puisque M4(1) = 4000.
Plus précisément :
- Le 15ème « 1 » arrive quand on écrit 41, dans la dizaine des « 4 » : 4 0 4 1 4 2 ; le
chiffre qui le suit est un 4.
- Positionnons le 82ème « 1 » : il y a 20 «1 » de 0 à 99, 11 de 100 à 109, 21 de 110
à 119, puis 11 ensuite par dizaine. En 149, il y a eu 85 « 1 » écrits. Le 82ème
apparaît en écrivant le nombre 146, le chiffre qui le suit est un 4.
- Positionnons le 1598ème « 1 » : d’après la question 3, le 1600ème « 1 » apparaît
quand on écrit 1999. Le 1598 ème « 1 » correspond donc au nombre 1997, le
chiffre qui suit ce « 1 » est un 9.
-
Le code secret est ainsi : 449
7
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
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ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
Juin 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
L’épreuve est composée de cinq exercices indépendants, à traiter dans un ordre
quelconque.
Exercice 1 :
1) Donner une primitive, sur son domaine de définition (que l’on ne demande pas de
préciser), de la fonction f définie par f : x → f(x) = (x² − 1) / (x3−3x+1)² .
√π
2) Calculer l’intégrale B définie par : B = ∫0 x. sin(x 2 ) dx
1) On pose u = x3 – 3x + 1 ; du/dx = 3(x² - 1)
f peut être exprimée sous la forme u’ / 3u², dérivée de - 1/3u = - 1/3(x3 – 3x + 1)
2) Calcul de B :
𝜋
On pose u = x², du = 2x.dx, et 2B = ∫0 sinu. du
D’où B = (- cos π – (- cos 0))/2 = 1
Exercice 2 :
Soit M la matrice carrée :
5 −6)
M=(
1
0
1) Déterminer les valeurs propres 1 et 2 (avec 1 < 2) et des vecteurs propres v1 et v2
associés de la matrice M.
1
2) On note par Δ la matrice diagonale formée par les valeurs propres rangées dans
l’ordre croissant.
On rappelle qu’une matrice régulière est appelée également matrice inversible.
Donner l’expression d’une matrice régulière P telle que M = P Δ P -1.
3) Calculer la matrice Mn, pour n entier positif ou nul.
4) On considère la suite u(n), n entier positif ou nul, récurrente d’ordre 2 définie par :
u(n+1) = 5u(n) – 6u(n-1) , avec u(0) = u(1) = 1
u(n + 1)
On note Vn le vecteur colonne défini par : Vn= (
)
u(n)
Trouver une relation entre Vn, Vn-1 et M.
5) Donner l’expression du terme général u(n) en fonction de n.
6) Calculer limn u(n).
1) Le déterminant de la matrice M – λI conduit à l’équation caractéristique qui est :
-(5 - ) + 6 = 0, soit ² - 5 + 6 = 0.
Cette équation admet deux racines : 1 = 2 et 2 = 3.
Vecteur propre associé à 1 = 2 :
3x – 6y = 0
Nous prendrons v1 : x = 2 et y = 1
Vecteur propre associé à 2 = 3 :
2x – 6y = 0
soit v2 : x = 3 et y = 2
2)
2
Δ=(
0
0
)
3
La matrice P est formée par les vecteurs propres.
2
P=(
1
3
)
1
−1
Un calcul simple montre que P-1 = (
1
3
)
−2
On vérifie aisément M = P Δ P-1
3) On a : Mn = P Δ n P-1
Après calculs, on trouve :
2
-2n+1 + 3n+1
3.2n+1 – 2.3n+1
-2n + 3n
3.2n – 2.3n
Mn =
4) Le résultat est évident : Vn = M.Vn-1
5) Partant de Vn = M Vn-1 et allant jusqu’à V1 = M V0, on en déduit avec une récurrence
simple :
Vn = Mn V0 , avec (V1)’ = (1, 1) (le symbole ’ désigne la transposition)
Or Vn = (u(n+1), u(n))’
Pour avoir l’expression de u(n), il suffit de prendre la somme des termes de la deuxième
ligne de Mn.
Soit u(n) = -2n + 3n + 3.2n – 2.3n = 2n+1 – 3n
6) u(n) = 2n+1 – 3n = 3n (2(2/3)n – 1) qui tend vers -  quand n   .
Exercice 3 :
On considère une expérience aléatoire E dont l’un des résultats possibles est un
événement noté A de probabilité p, 0 < p < 1 ; on posera 1 – p = q.
On réalise une suite d’expériences E à l’identique et indépendamment les unes des
autres, et on définit la variable aléatoire N comme étant le rang de la première
expérience dont le résultat est l’événement A.
1) Donner la loi de la variable N, c’est-à-dire l’expression de la probabilité P(N = n) en
fonction de p, q et de l’entier n (n > 0).
2) Calculer l’espérance mathématique E(N) de la variable N.
3) Calculer la variance V(N) de la variable N.
4) Calculer la probabilité que N soit un nombre entier pair.
5) On rappelle que si A et B sont deux événements, la probabilité conditionnelle de A/B,
c’est-à-dire que A se réalise sachant que b est réalisé, est P(A/B) = P(A∩B)/P(B).
Calculer P(N = 2/ N pair) la probabilité que N = 2 sachant que N est pair.
1) N prend des valeurs entières, N > 0 ; dire que N = n signifie que A est sorti comme
résultat de l’expérience numéro n, et donc que les n-1 premières expériences ont eu
comme résultat le complémentaire de A, de probabilité q = 1 – p.
P(N = n) = qn-1.p
∞
2) E(N) = ∑k=1 kP(N = k) = p(1 + 2q + 3 q² + …) = p(1/(1-q))’ = 1/p
3) On rappelle que V(N) = E(N²) – E²(N)
3
E(N) est donnée par la question 2.
E(N²) = Σk=1à+∞ k²P(N = k)
On remarque que k² = k(k-1) + k, d’où :
E(N²) = Σk=1à+∞ k(k-1)P(N = k) + Σk=1à+∞ kP(N = k) = Σk=1à+∞ k(k-1)pqk-1 + Σk=1à+∞ k pqk-1
E(N²) = (2pq + p²)/p3
Ce qui conduit à V(N) = q/p²
∞
4) P(N pair) = P(N = 0 ou 2 ou 4 …etc) = ∑k=1 P(N = 2k) = pq/(1 – q²) = q/(1 + q)
5) P(N = 2/ N pair) = P(N = 2)/P(N pair) = 1 – q²
Exercice 4 :
On considère le polynôme P, de degré 3, de la forme P(x) = x3 + ax² + bx, avec a et b réels.
On suppose que P vérifie la relation T :
(T)
 x  R, P(x + 1) – P(x) = 3x2
1) Calculer P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), P(-1), P(- 2).
2) Calculer les coefficients a et b.
3) Existe-t-il un polynôme de la forme x3 + ax² + bx, a et b réels, vérifiant la relation (T) ?
1) P(0) = 0
P(1) – P(0) = 0 d’où P(1) = 0
P(2) = P(1) + 3 = 3
P(3) = P(2) + 12 = 15
P(4) = P(3) + 27 = 42
Pour x = -1 : P(0) – P(-1) = 3, d’où P(-1) = P(0) – 3 = - 3
Pour x = -2 : P(-2 + 1) – P(-2) = 12 d’où P(-2) = P(-1) – 12 = - 15
2) A partir de P(1) et P(-1) :
0=1+a+b
-3 = - 1 + a - b
 a = - 3/2 et b = 1/2
3) Le polynôme P vérifiant la relation (T) s’écrit : P(x) = x3 – 3x²/2 + x/2
4
Exercice 5 :
1) Soit ab un nombre de deux chiffres, compris entre 00 et 99, écrit dans le classique
système décimal ; 0 ≤ a ≤ 9 et 0 ≤ b ≤ 9. Par convention, les chiffres 0, 1, 2, …, 9 seront
écrits avec deux chiffres : 00, 01, 02, …, 09.
On définit le nombre D égal à la valeur absolue de la différence entre ab et ba, c’est-àdire que D = │ab – ba │.
Montrer que, quel que soit le nombre ab, D est divisible par 9.
2) Soit abc un nombre de trois chiffres, compris entre 000 et 999 ; 0 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, et 0
≤ c ≤ 9.
Quels sont les diviseurs des nombres E = │ abc – cba │ et F = │ abc – bac │ ?
Corrigé :
1) Un nombre ab est égal à 10a + b.
ab – ba = 10a + b – (10b + a) = 9(a – b)
D = 9│a – b│est divisible par 9
2) abc – cba = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a = 99(a – c)
E = 99│a – c│divisible par 99, donc par 3, 9, 11, 33 (et aussi par les diviseurs de a – c)
De même : abc – bac = 100a + 10b + c – 100b – 10a – c = 90(a – b)
F = 90│a – b│divisible par 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 30, 45 (et aussi par les diviseurs de a – b)
5
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DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
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JUIN 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
La vie urbaine nous rend-elle plus solidaires ou plus solitaires ?
Sujet n° 2
La colère est-elle toujours condamnable ?
Sujet n° 3
La meilleure politique consiste-t-elle à chercher le consensus (l’accord de tous) ?
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Juin 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’épreuve comporte deux problèmes indépendants, à traiter dans un ordre
quelconque au choix du candidat.
Problème 1 :
On définit sur R+* l’application fa qui à tout x réel strictement positif associe fa(x) = xa e- x
où a est un paramètre réel.
1) Etudier les variations des fonctions f0, f2 et f-2 (dérivée première, dérivée seconde,
limites, asymptotes éventuelles, tableau de variations, …).
Donner la forme des graphes C2 et C-2 des courbes représentatives de f2 et f-2. Etudier
l’intersection des graphes C2 et C-2.
2) Dans cette question, on suppose que a > 0.
2a) Calculer les dérivées f ’a et f ’’a et étudier leurs racines selon la valeur de a.
2b) Etudier les limites de fa quand x tend vers + ∞ et quand x tend vers 0, ainsi que la
limite de f ’a quand x tend vers 0 ; par continuité la fonction f sera alors prolongée en 0.
2c) Construire le tableau des variations de la fonction fa.
3) Dans cette question, on suppose que a < 0. Comme à la question précédente, étudier
les variations de fa.
4) Lorsque celui-ci existe, on note Ma (xa, ya) le point maximum de la courbe C a
représentant la fonction fa pour a réel. Donner l’expression ya = g(xa) du lieu
géométrique parcouru par les points Ma lorsque a parcourt R.
1
Etudier les variations de la fonction g.
5) On considère l’intégrale J(a) = R+ xa e-x dx.
5a) Calculer J(0), J(2).
5b) Etablir une relation entre J(a) et J(a-1).
5c) Donner la valeur explicite de J(a) dans le cas où a est un nombre entier.
x
6) Pour x > 0, on définit l’intégrale L(x) = 1 fa(t) dt.
6a) Calculer L(1)
6b) On suppose que x ≥ 1 ; proposer un minorant de L(x) c’est-à-dire une quantité m(x)
telle que L(x) ≥ m(x) pour tout x ≥ 1. En déduire la limite de L(x) quand x → + ∞.
Problème 2 :
Ce problème décrit un algorithme permettant de construire des codes secrets chiffrés.
Introduction :
1) Pour x réel, calculer la somme K(x) = x² + x 3 + … + xn.
2) En déduire l’expression de la somme L(x) = 2x + 3x² + 4x 3 + ….+ nxn-1.
Enoncé :
On appelle Sn la séquence de chiffres obtenue en écrivant les uns après les autres les
nombres strictement de n chiffres (le premier chiffre ne peut être nul, sinon il s’agit d’un
nombre composé de n-1 chiffres).
Dans une séquence Sn, pour chaque chiffre x, 0 ≤ x ≤ 9, on désigne par Nn(x) le nombre
d’occurrences de x dans la séquence. Par exemple, la séquence S 1 est : S1 = 0 1 2 3 4 5 6 7
8 9, et pour tout chiffre x = 0 à 9, N1(x) = 1.
1) On écrit la séquence S2 des nombres à deux chiffres, allant de 10 à 99 :
1a) Combien a-t-on écrit de chiffres au total ?
1b) Donner les valeurs de N2(x) pour x = 0 à 9.
2) Soit la séquence S3 des nombres à trois chiffres, de 100 à 999.
2a) Combien a-t-on écrit de chiffres au total ?
2b) Donner les valeurs de N3(x) pour x = 0 à 9.
3) On considère maintenant la séquence S4 des nombres à quatre chiffres, de 1000 à
9999, et on s’intéresse au seul chiffre x = 1.
3a) Combien S4 comporte-t-elle de chiffres ?
3b) Donner la valeur de N4(1).
4) On définit la suite de chiffres notée Tn et définie comme étant la juxtaposition des
séquences S1, S2, …, Sn ; par exemple, T3 est la suite des chiffres constituée à partir des
séquences S1, S2, S3, donc composée de tous les nombres allant de 0 à 999.
Pour chaque chiffre x, x = 0 à 9, on note par Mn(x) le nombre d’occurrences de x dans la
suite Tn.
2
4a) Combien de chiffres au total comportent les suites T2 et T3 ?
4b) Donner, pour chaque entier x, x = 0 à 9, les nombres de fois M2(x) et M3(x) où x
apparaît dans T2 et T3.
4c) Combien de chiffres au total comporte la suite T4 ?
4d) Quelle est la valeur de M4(1) ?
5) On se place dans le cas général d’une séquence S n et d’une suite Tn (telle que définie à
la question 4), n étant un entier quelconque, n > 1.
5a) Combien de chiffres, notés respectivement A(n) et B(n), comportent la séquence Sn et
la suite Tn ?
5b) Trouver une relation entre Mn(1), Mn-1(1) et Nn(1).
5c) Trouver une relation entre Nn(1) et Mn-1(1).
5d) Montrer que Mn(1) est une suite récurrente d’ordre 1 de la forme
Mn(1) = u + vMn-1(1)
où u et v peuvent dépendre de n ; quelles sont les valeurs de u et v ?
5e) En déduire les expressions de Mn(1) et Nn(1) en fonction de n.
6) Pour constituer un code secret abc à 3 chiffres, on passe par deux étapes :
- la première étape consiste à utiliser un générateur de trois nombres aléatoires, notés x,
y et z ;
- la deuxième étape est la fabrication du code secret abc composé des chiffres situés
immédiatement après les xème, yème et zème chiffres 1 apparus dans une suite de type T.
La mise en œuvre de la première étape a conduit à x = 15, y = 82 et z = 1598.
Quel est le code secret abc correspondant à ce tirage ?
3
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ÉCONOMIE
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des deux sujets suivants.
Sujet 1
Après avoir analysé les principaux déterminants de l’accroissement des inégalités
économiques et territoriales au plan mondial, vous vous interrogerez pour savoir dans quelle
mesure la croissance des inégalités sociales est préjudiciable pour les économies des pays de
l’ouest africain ?
Sujet 2
Après avoir rappelé les principales théories relatives au développement du commerce
international, vous analyserez de façon critique le commentaire suivant de la Banque
mondiale en 2019 :
« Les pays en développement se heurtent fréquemment à des obstacles indirects qui entravent
leur accès aux marchés mondiaux : pratiques anticoncurrentielles, réglementations pesant sur
l’investissement et la croissance des entreprises ou infrastructures inadaptées. Même les pays
qui appliquent une politique commerciale libérale et transparente rencontrent des difficultés
si leurs marchés ne sont pas suffisamment intégrés. En outre, bon nombre des personnes les
plus pauvres de la planète vivent dans des régions enclavées, isolées ou sans voie d’accès aux
échanges internationaux. Le Groupe de la Banque mondiale aide ses pays clients à surmonter
ces obstacles afin d'améliorer leur accès aux marchés des pays développés et d'accroître leur
participation à l’économie mondiale ».
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DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’épreuve est composée de cinq exercices indépendants, à traiter dans un ordre
quelconque.
Exercice 1 :
1) Donner une primitive, sur son domaine de définition (que l’on ne demande pas de
préciser), de la fonction f définie par f : x → f(x) = (x² − 1) / (x3−3x+1)² .
√π
2) Calculer l’intégrale B définie par : B = ∫0 x. sin(x 2 ) dx
Exercice 2 :
Soit M la matrice carrée :
5 −6)
M=(
1
0
1) Déterminer les valeurs propres 1 et 2 (avec 1 < 2) et des vecteurs propres v1 et v2
associés de la matrice M.
2) On note par Δ la matrice diagonale formée par les valeurs propres rangées dans
l’ordre croissant.
On rappelle qu’une matrice régulière est appelée également matrice inversible.
Donner l’expression d’une matrice régulière P telle que M = P Δ P -1.
3) Calculer la matrice Mn, pour n entier positif ou nul.
1
4) On considère la suite u(n), n entier positif ou nul, récurrente d’ordre 2 définie par :
u(n+1) = 5u(n) – 6u(n-1) , avec u(0) = u(1) = 1
u(n + 1)
)
On note Vn le vecteur colonne défini par : Vn= (
u(n)
Trouver une relation entre Vn, Vn-1 et M.
5) Donner l’expression du terme général u(n) en fonction de n.
6) Calculer limn u(n).
Exercice 3 :
On considère une expérience aléatoire E dont l’un des résultats possibles est un
événement noté A de probabilité p, 0 < p < 1 ; on posera 1 – p = q.
On réalise une suite d’expériences E à l’identique et indépendamment les unes des
autres, et on définit la variable aléatoire N comme étant le rang de la première
expérience dont le résultat est l’événement A.
1) Donner la loi de la variable N, c’est-à-dire l’expression de la probabilité P(N = n) en
fonction de p, q et de l’entier n (n > 0).
2) Calculer l’espérance mathématique E(N) de la variable N.
3) Calculer la variance V(N) de la variable N.
4) Calculer la probabilité que N soit un nombre entier pair.
5) On rappelle que si A et B sont deux événements, la probabilité conditionnelle de A/B,
c’est-à-dire que A se réalise sachant que b est réalisé, est P(A/B) = P(A∩B)/P(B).
Calculer P(N = 2/ N pair) la probabilité que N = 2 sachant que N est pair.
Exercice 4 :
On considère le polynôme P, de degré 3, de la forme P(x) = x3 + ax² + bx, avec a et b réels.
On suppose que P vérifie la relation T :
(T)
 x  R, P(x + 1) – P(x) = 3x2
1) Calculer P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), P(-1), P(- 2).
2) Calculer les coefficients a et b.
3) Existe-t-il un polynôme de la forme x3 + ax² + bx, a et b réels, vérifiant la relation (T) ?
2
Exercice 5 :
1) Soit ab un nombre de deux chiffres, compris entre 00 et 99, écrit dans le classique
système décimal ; 0 ≤ a ≤ 9 et 0 ≤ b ≤ 9. Par convention, les chiffres 0, 1, 2, …, 9 seront
écrits avec deux chiffres : 00, 01, 02, …, 09.
On définit le nombre D égal à la valeur absolue de la différence entre ab et ba, c’est-àdire que D = │ab – ba │.
Montrer que, quel que soit le nombre ab, D est divisible par 9.
2) Soit abc un nombre de trois chiffres, compris entre 000 et 999 ; 0 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, et 0
≤ c ≤ 9.
Quels sont les diviseurs des nombres E = │ abc – cba │ et F = │ abc – bac │ ?
3
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apporté à la rédaction et à
la présentation des résultats.
1
Problème d’analyse
On note R, le corps des nombres réels. On note C 0 l’ensemble des fonctions continues de [a, b]
dans R avec a et b deux réels tels que a < b. Pour tout x ∈ [a, b] et tout réel r > 0, on note
B(x, r) = {y ∈ [a, b] : |y − x| < r} la boule ouverte centrée en x de rayon r, intersectée avec
l’ensemble [a, b].
Partie 1.1
1. Soit f ∈ C 0 . Soit x ∈ [a, b], on pose
Ex = {y ∈ [a, b] : f (y) ≤ f (x)}
l’ensemble des réels y ∈ [a, b] tels que l’image par f est inférieure à f (x). Montrer que
Ex = f −1 (] − ∞, f (x)])
c’est-à-dire que Ex est l’image réciproque de ] − ∞, f (x)] par la fonction f . Soit y ∈ Ex ,
alors f (y) ≤ f (x) donc f (y) ∈] − ∞, f (x)] donc y ∈ f −1 (] − ∞, f (x)]). Réciproquement si
y ∈ f −1 (] − ∞, f (x)]) alors f (y) ∈] − ∞, f (x)] donc f (y) ≤ f (x) et y ∈ Ex .
2. Montrer que Ex est une partie fermée de [a, b]. C’est l’image réciproque d’une partie fermée
par une fonction continue.
3. En déduire que Ex est une partie compacte. C’est une partie fermée de [a, b] qui est une
partie compacte, donc c’est une partie compacte.
1
4. Soient x et y ∈ [a, b]. Montrer que si Ex = Ey alors f (x) = f (y). On a x ∈ Ex = Ey donc
f (x) ≤ f (y). Et y ∈ Ey = Ex donc f (y) ≤ f (x).
5. On construit une suite (xn )n∈N telle que Exn ⊂ Exn+1 . Montrer que la suite (f (xn ))n∈N est
croissante. Soit n ∈ N, alors xn ∈ Exn par définition, et xn ∈ Exn+1 par hypothèse. Donc
f (xn ) ≤ f (xn+1 ), ce qui montre la croissance de la suite.
6. On pose M = sup f (x) la borne supérieure de f . Montrer que pour tout x ∈ [a, b], on a
x∈[a,b]
Ex ⊂ f −1 (] − ∞, M ]). La borne M n’est pas +∞, car f est bornée car continue sur un
compact. Soit x ∈ [a, b], alors pour tout y ∈ Ex , f (y) ≤ f (x) ≤ M donc y ∈ f −1 (] − ∞, M ]),
ce qui conclut la démonstration.
7. Soit ε > 0. Pour tout x ∈ [a, b], on pose
Vxε (f ) = {y ∈ [a, b] : |f (y) − f (x)| < ε}
l’ensemble des réels y ∈ [a, b] tels que l’image par f est proche de f (x) à ε près. Montrer que
Vxε (f ) = f −1 (]f (x) − ε, f (x) + ε[).
Soit y ∈ Vxε (f ), alors par définition de la valeur absolue f (y) < ε + f (x) et f (y) > f (x) − ε,
ce qui conclut la démonstration par équivalence.
8. Montrer que Vxε (f ) est une partie ouverte de [a, b]. Vxε (f ) est l’image réciproque d’une partie
ouverte par une fonction continue, donc c’est une partie ouverte.
9. Construire une fonction h ∈ C 0 telle qu’il existe x∗ ∈ [a, b] avec Vxε∗ (h) qui n’est pas une
partie ouverte de R. On pose h la fonction constante égale à 7 sur [a, b] = [0, 1] alors pour
ε
(h) = {y ∈ [0, 1] : |h(y)−7| <
x∗ = 0.33 (par exemple, mais tout autre point fonctionne) V0.33
ε
ε} = {y ∈ [0, 1] : |7 − 7| < ε} donc Vx∗ (h) = [0, 1] qui n’est pas une partie ouverte de R.
10. Soit g une fonction définie sur [a, b] qui vérifie la propriété suivante :
Propriété (P). Pour tout réel ε > 0, il existe un réel r > 0 tel que pour tout x, y ∈ [a, b]
y ∈ B(x, r) =⇒ y ∈ Vxε (g).
Montrer que la fonction g est continue. Soit g une fonction qui vérifie la propriété (P). Soit
> 0, et x0 ∈ [a, b]. Pour montrer que g est continue au point x0 , il faut montrer qu’il existe
r > 0 tel que, pour tout y ∈]x0 − r, x0 + r[∩[a, b], on ait |g(y) − g(x0 )| < ε. Or si y ∈ B(x0 , r)
avec le réel r donné par la propriété alors y ∈ Vxε0 (g) donc |g(y) − g(x0 )| < ε, et la fonction
g est donc continue.
11. Soit f une fonction dérivable telle que f 0 ∈ C 0 . Montrer qu’elle vérifie la propriété (P ). Par
théorème des accroissements, |f (x) − f (y)| ≤ sup |f 0 (z)| |x − y|. Si f 0 est identiquement
z∈[a,b]
nulle, la fonction f est constante et vérifie évidemment la propriété (P) car Vxε (f ) = [a, b]
pour tout x et ε, donc tout réel r > 0 convient. Sinon, pour tout ε > 0, on pose r =
ε
, et |x − y| < r implique |f (x) − f (y)| < ε.
supz∈[a,b] |f 0 (z)|
12. Soit f ∈ C 0 . On suppose que f ne vérifie pas la propriété (P) pour un réel ε > 0 fixé.
Construire deux suites (xn )n∈N et (yn )n∈N ∈ [a, b] telles que, pour tout entier n ∈ N
|xn − yn | < (b − a)2−n
2
et
|f (xn ) − f (yn )| ≥ ε.
Si f ne vérifie pas la propriété (P), cela veut dire que pour tout réel r > 0, et en particulier
pour r = (b − a)2−n , il existe (x, y) ∈ [a, b]2 tels que y ∈ B(x, r) et y ∈
/ Vxε (f ), donc
−n
|f (x) − f (y)| ≥ ε. En particulier pour r = (b − a)2 , on a les suites (xn )n∈N et (yn )n∈N
voulues.
13. Soit f une fonction de C 0 . Montrer que f vérifie la propriété (P).
Supposons que f ne vérifie pas la propriété (P) pour un ε > 0 quelconque. Par propriété
de Bolzano-Weierstrass, dans la partie compacte [a, b], les deux suites admettent des suites
extraites convergentes. Par l’inégalité |xn −yn | < (b−a)2−n , on conclut que les suites extraites
convergent vers une limite commune `. Par continuité, les suites (f (xφ(n) )) et (f (yφ(n) ))
convergent toutes deux vers f (`), ce qui est une contradiction avec |f (xφ(n) ) − f (yφ(n) )| ≥ pour tout n. Donc f vérifie forcément la propriété (P).
Partie 1.2
14. Rappeler la formule des coefficients de Newton (Cnk )0≤k≤n,n∈N tels que pour tous réels x et
y et tout entier n ∈ N, on a l’identité
(x + y)n =
n
X
Cnk xk y n−k .
k=0
C’est la formule du binôme de Newton. On pose Cnk =
n!
pour tout n ∈ N∗ et tout
k!(n − k)!
k ∈ N tel que 0 ≤ k ≤ n.
15. Montrer que pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N, on a
n
X
kCnk (z − a)k (b − z)n−k = n(z − a)(b − a)n−1 .
k=0
n
X
kCnk (z − a)k (b − z)n−k
=
n
X
n
k=1
n
X
k=0
= n
= n
k=1
n−1
X
(n − 1)!
(z − a)k (b − z)n−k
(k − 1)!(n − k)!
k−1
Cn−1
(z − a)k (b − z)n−k
k
Cn−1
(z − a)k+1 (b − z)n−1−k
k=0
= n(z − a)(b − a)n−1
16. Montrer que pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N, on a
n
X
k(k − 1)Cnk (z − a)k (b − z)n−k = n(n − 1)(z − a)2 (b − a)n−2 .
k=0
3
n
X
k(k − 1)Cnk (z − a)k (b − z)n−k =
k=0
n
X
n(n − 1)
k=2
= n(n − 1)
= n(n − 1)
n
X
k=2
n−2
X
(n − 2)!
(z − a)k (b − z)n−k
(k − 2)!(n − k)!
k−2
Cn−2
(z − a)k (b − z)n−k
k
Cn−2
(z − a)k+2 (b − z)n−2−k
k=0
= n(n − 1)(z − a)2 (b − a)n−2
17. Montrer que pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N, et tout p ∈ N tel que 1 ≤ p ≤ n + 1, on a
n
X
k(k − 1) . . . (k − p + 1)Cnk (z − a)k (b − z)n−k = n(n − 1) . . . (n − p + 1)(z − a)p (b − a)n−p .
k=0
Avec la première question pour (x + y)n , en dérivant p fois par rapport à x :
dp
(x + y)n = n(n − 1) . . . (n − p + 1)(x + y)n−p
dxp
n
X
=
Cnk k(k − 1) . . . (k − p + 1)xk−p y n−k .
k=0
Il suffit de prendre y = b − z et x = z − a et de multiplier le tout par (z − a)p . On peut aussi
faire un calcul direct, ou faire une démonstration par récurrence.
18. Montrer que
(k(b − a) − n(z − a))2 = (b − a)2 (k(k − 1)) + (b − a)2 k − 2n(b − a)(z − a)k + n2 (z − a)2 .
On développe le membre de gauche par une identité remarquable, et on simplifie les deux
premiers termes du membre de droite.
19. En déduire que pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N, on a
n
X
(k(b − a) − n(z − a))2 Cnk (z − a)k (b − z)n−k = n(z − a)(b − z)(b − a)n .
k=0
On a (k(b − a) − n(z − a))2 = (b − a)2 [k(k − 1)] + (b − a)2 [k] − 2n(b − a)(z − a)[k] + n2 (z − a)2 .
Donc avec les questions précédentes,
n
X
(k − nx)2 Cnk xk (1 − x)n−k
k=0
= n(n − 1)(z − a)2 (b − a)n + (b − a)2 n(z − a)(b − a)n−1
−2n(b − a)n(z − a)2 (b − a)n−1 + n2 (z − a)2 (b − a)n
= (z − a)(b − a)n (nn(z − a) − n(z − a) + (b − a)n − 2nn(z − a) + nn(z − a))
= (z − a)(b − a)n (−n(z − a) + (b − a)n)
= (z − a)(b − a)n n(b − z)
4
20. Soit f ∈ C 0 . Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que pour tout r > 0, pour tout
k
z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N∗ , pour tout k ∈ {0, . . . , n} vérifiant a + (b − a) − z ≥ r, on a
n
k
(na + k(b − a) − nz)2
.
f (z) − f a + (b − a) ≤ C
n
n2 r 2
(na + k(b − a) − nz)2
≥ 1, on a
n2 r 2
x∈[a,b]
k
(na + k(b − a) − nz)2
f (z) − f a + (b − a) ≤ C ≤ C
n
n2 r 2
On pose C = 2 sup |f (x)|. Puisque
21. Soit ε > 0 et f ∈ C 0 . Montrer qu’il existe r > 0 tel que pour tout z ∈ [a, b], pour tout
n ∈ N∗ , pour tout k ∈ {0, . . . , n} on a
(na + k(b − a) − nz)2
k
.
f (z) − f a + (b − a) ≤ ε + C
n
n2 r 2
On prend le r donné par la partie 1.1. Soit z ∈ [a, b], alors on a deux
possibilités :
k
k
Le cas z − a + (b − a) < r, qui implique f (z) − f a + (b − a) ≤ ε.
n
n
k
Le cas z − a + (b − a) ≥ r, qui se traite par la question précédente.
n
22. En déduire qu’il existe une constante D > 0 ne dépendant que de la fonction f telle que
pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N∗
n
X
k
(z − a)k (b − z)n−k
D
f a + (b − a) Cnk
≤ ε + 2.
f (z) −
n
n
(b − a)
nr
k=0
(b − z + z − a)n
devant f (z) et on développe le numérateur par la
(b − a)n
formule de Newton pour obtenir une somme
n
X
k
(z − a)k (b − z)n−k
f (z) − f a + (b − a) Cnk
.
n
(b − a)n
On fait apparaı̂tre
k=0
On utilise la majoration de la question 20 en deux termes. Pour le premier terme en ε, on
rassemble la somme par la formule de Newton, ce qui donne le terme ε. Pour le deuxième
(na + k(b − a) − nz)2
terme C
, on utilise la question 18 qui donne la majoration
n2 r 2
n
X
k=0
C
C
(na + k(b − a) − nz)2 k (z − a)k (b − z)n−k
Cn
≤ 2 2 n(z − a)(b − z)
2
2
n
n r
(b − a)
n r
et on obtient une majoration uniforme en remarquant que (z − a)(b − z) ≤ (b − a)2 . Il suffit
donc de poser D = C(b − a)2 = 2 sup |f (x)|(b − a)2 .
x∈[a,b]
5
2
Problème d’algèbre
Soit V un endomorphisme sur l’anneau des polynômes R[X]. Les compositions successives de
l’endomorphisme V seront notées V m pour tout m ∈ N, avec la convention V 0 étant l’endomorphisme identité.
Partie 2.1
On pose V l’endomorphisme suivant
V : R[X] → R[X]
1
1
X
X +1
P 7→
+ P
.
P
2
2
2
2
1. Montrer que pour tout polynôme P de degré n ∈ N, V (P ) est également un polynôme de
degré au plus n ∈ N. Par translation/dilatation, on reste un polynôme et le degré n’est pas
modifié, et par combinaison linéaire, le degré ne peut que diminuer.
2. Pour tout n ∈ N, on note Vn l’application
Vn : Rn [X] → Rn [X]
1
X
1
X +1
P 7→
P
+ P
2
2
2
2
définie sur le sous-espace Rn [X] des polynômes de degré au plus n ∈ N. Montrer que Vn est
bien un endomorphisme. Vn (λP + Q) = λVn (P ) + Vn (Q).
3. On fixe n ∈ N. Montrer que la suite (vn,m )m∈N telle que vn,m := dim(Ker Vnm ) + rang(Vnm )/2
pour m ∈ N est croissante. Par théorème du rang, quelque soit m ∈ N, on a dim(Ker Vnm ) +
rang(Vnm ) = dim Rn [X] = n + 1. Donc dim(Ker Vnm ) + rang(Vnm )/2 = n + 1 − rang(Vnm )/2.
Soit Q ∈ Im Vnm+1 alors il existe P ∈ Rn [X] tel que Vnm+1 (P ) = Q = Vnm (Vn (P )). Donc
Q ∈ Im Vnm et Im Vnm+1 ⊂ Im Vnm . Donc rang(Vnm ) est une suite décroissante.
La suite vn,m est donc croissante.
4. Montrer que, quelque soit n ∈ N, la suite (vn,m )m∈N converge quand m → +∞. La suite
est majorée par n + 1, donc elle converge.
5. Donner la matrice M de M3,3 (R) qui représente l’endomorphisme V2 dans la base canonique
B = {1, X, X 2 } de R2 [X].
1 1
X
1X +1
2X + 1
V2 (1) = + = 1, V2 (X) =
+
=
et
2 2
4
2 2
4
V2 (X 2 ) =
D’où la matrice
1 X 2 1 (X + 1)2
2X 2 + 2X + 1
+
=
.
2 4
2
4
8


1 1/4 1/8
M =  0 1/2 1/4  .
0 0 1/4
6. En déduire Ker V2 et Im V2 .
La matrice est de rang 3 donc Im V2 = R2 [X] et Ker V2 = {0}.
6
Partie 2.2
A partir de cette question, et jusqu’à la fin du problème, on fixe n = 2. On cherche à étudier
la limite d’endomorphisme V2m pour m → +∞.
7. Calculer la limite de v2,m quand m → +∞. Puisque le rang de la matrice est 3, alors il ne
diminue pas avec les compositions. Donc v2,m = 0 + 3/2 = 3/2 est une suite constante de
limite 3/2.
8. Montrer qu’il existe une base C qui diagonalise l’endomorphisme V2 . La matrice possède un
polynôme caractéristique scindé à racines simples réelles, donc elle est diagonalisable.
9. Calculer les valeurs propres de l’endomorphisme V2 et les vecteurs propres associés. 1 est
vecteur propre associé à la valeur propre 1. De plus V2 (1 − 2X) = 1 − X − 1/2 = (1 − 2X)/2
1
donc est vecteur propre associé à la valeur propre . Et
2
1 X
1 2X 2 + 2X + 1
1
2
−X +X
=
−
− +
V2
6
6
2
4
8
2
1 1
4 − 12X − 6 + 6X + 6X + 3
2
=
−X +X ,
=
24
4 6
1
d’où le dernier vecteur propre associé à la valeur propre .
4
10. Calculer la matrice de passage P de la base B à la base C. Avec la base trouvée en question
8, qui diagonalise V2 , on a


1 1 1/6
P =  0 −2 −1  .
0 0
1
11. Calculer l’inverse de la matrice P.


1 1/2
1/3
P −1 =  0 −1/2 −1/2  .
0
0
1
12. Donner la matrice ∆ de V2 dans la base C. A permutation près des coefficients diagonaux,
on obtient


1 0
0
∆ = P −1 M P =  0 1/2 0  .
0 0 1/4
13. Soit Q = cX 2 + bX + a un polynôme de R2 [X] avec a, b, c ∈ R. Calculer les coordonnées de
Q dans la base C. Par la matrice P −1 on obtient
6a + 3b + 2c b + c
1
2
−
(1 − 2X) + c
−X +X
Q=
6
2
6
7
14. Calculer la matrice qui représente l’endomorphisme V2m pour tout m ∈ N dans la base
canonique.




1 1 1/6
1
0
0
1 1/2
1/3
 0 −2 −1   0 1/2m
0   0 −1/2 −1/2 
m
0 0
1
0
0
1/4
0
0
1



m
m
1
1/2
1/(6 · 4 )
1 1/2
1/3
 0 −1/2m−1
=
−1/4m   0 −1/2 −1/2 
0
0
1 
0
1/4m
0
1 1/2 − 1/2m+1 1/3 − 1/2m+1 + 1/(6 · 4m )
.
 0
=
1/2m
1/2m − 1/4m
m
0
0
1/4
15. Montrer que les coordonnées de V2m (Q) dans la base C convergent. On peut passer à la
limite dans la matrice précédente, pour obtenir lim V2m (Q) = a + b/2 + c/3 en tant que
m→+∞
polynôme, ce qui correspond à la convergence des coordonnées.
16. Soit k · k une norme sur l’espace vectoriel R2 [X]. On note |k · k| la norme d’endomorphisme
associée, c’est-à-dire que pour tout endomorphisme V on définit
|kV k| :=
kV (Q)k
.
Q∈R2 [X],Q6=0 kQk
max
Montrer que |kV2 k| ≥ 1. Si Q est un vecteur propre (non nul) de V2 alors V2 (Q) = λQ avec
kV2 (Q)k
λ ∈ {1, 1/2, 1/4}. Donc
= λ et |kV2 k| ≥ max{1, 1/2, 1/4} = 1.
kQk
17. Montrer qu’il existe un endomorphisme U de R2 [X] tel que
kV2m (Q) − U (Q)k −→ 0.
m→+∞
On pose U l’endomorphisme tel que U (a + bX + cX 2 ) = a + b/2 + c/3 alors
kV2m (Q) − U (Q)k ≤ k − b/2m+1 − c/2m+1 + c/(6 · 4m )k + kP k/2m −→ 0.
m→+∞
où le polynôme P est explicite, mais dont la décomposition est inutile pour conclure.
18. Donner la matrice de M3,3 (R) qui représente l’endomorphisme U dans la base C.


1 1/2 1/3
 0 0
0 .
0 0
0
19. Calculer le rang de la matrice qui représente l’endomorphisme U dans la base C. Le rang
est 1.
20. En déduire si la suite v2,m = dim(Ker V2m )+rang(V2m )/2 converge ou non vers dim(Ker U )+
rang(U)/2. La suite v2,m est constante égale à 3/2, et dim(Ker U ) + rang(U )/2 = 5/2. Donc
elle ne converge pas, même si V2m (Q) → U (Q) pour tout Q ∈ R2 [X].
8
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
JUIN 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
Corrigé de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble
des nombres réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
a b b


Soit la matrice A   b a b  , où (a, b)  R 2
b b a


1. Etudier la diagonalisation de A (on précisera les valeurs propres et les sous espaces propres
associés).
La matrice étant symétrique, elle est diagonalisable.
On obtient : det ( A   I )  (a  2b   )(a  b   ) 2 .
Pour b  0
  a  b est une valeur propre double, dont le sous espace propre associé est le plan
d’équation : x  y  z  0 .
  a  2 b a pour vecteur propre associé (1,1,1).
Pour b=0, A  a 3 I
2. On suppose que a  0; b  0 , calculer A n pour n  N .
0
0 
a  b


ab
0 
La matrice A est semblable à : D   0
 0
0
a  b 

 1 0 1
 a n bn bn 


1
1
n
P   0 1 1 pour obtenir : A   bn a n bn  , où
3
3


 bn bn a n 
  1  1 1
1
et
An  P D n P 1 , avec
a n  2(a  b) n  (a  2 b) n

n
n
 bn  (a  2 b)  (a  b)
3. Déterminer, dans la base canonique de R 3 , la matrice de la projection orthogonale sur le
sous espace vectoriel d’équation : x  y  z  0 .
 1 0 


'
1
'
Cette matrice s’écrit : M  X ( X X ) X , où X   0 1  . On obtient alors :
  1  1


 2  1  1

1
M    1 2  1
3

1 1 2 
4. Déterminer, dans la base canonique de R 3 , la matrice de la symétrie orthogonale par
rapport au sous espace vectoriel d’équation : x  y  z  0 .
 1  2  2

1
La matrice de la symétrie est : S  2 M  I    2 1  2 
3

 2  2 1 
Exercice n° 2
Soit f : R 4  R 4 définie par : f ( x, y, z, t )  ( x  y, x  y, z  t , z  t ) , où  est un
paramètre réel non nul.
1. Déterminer le noyau et l’image de f selon les valeurs de  .
 1 0 0 


 1  0 0
La matrice associée à cette application linéaire est : M  
.
0 0 1 1


 0 0 1 1


Pour le noyau de f on doit avoir :  x  y  0; x   y  0; z  t  0 .
Si    1 , Ker f  0, 0, z,  z, dim ( Ker f )  1 dim (Im f )  3 et Im f  X , Y , Z , Z 
Si  1 , Ker f  x,  x, z,  z, dim ( Ker f )  2  dim (Im f )  2 et Im f  X ,  X , Z , Z 
Si    1 , Ker f  x, x, z,  z, dim ( Ker f )  2  dim (Im f )  2 et Im f  X , X , Z , Z 
2. Etudier la diagonalisation de la matrice associée à f selon les valeurs de  (on précisera les
valeurs propres).
On a : det (M   I )   (  2) (    1) (    1) , les valeurs propres sont :
0, 2,   1,   1 .
La diagonalisation va dépendre des multiplicités de ces valeurs propres :
  1  0
  1,1


   1, 3
  1  2
2
Si  1 ,   0 est une valeur propre double ainsi que   2 et les sous espaces vectoriels
propres sont de dimension 2. La matrice est donc diagonalisable.
Si   1 ,   0 est une valeur propre double et les deux autres -2 et 0 et le sous espace
vectoriel propre pour 0 est de dimension 2. La matrice est donc diagonalisable.
Si   3 ,   2 est une valeur propre double et les deux autres sont 0 et 4 et le sous espace
vectoriel propre associé à 2 est de dimension 2. La matrice est donc diagonalisable.
Dans tous les autres cas, les 4 valeurs propres sont distinctes, donc la matrice est, dans tous
les cas, diagonalisable.
Exercice n° 3
Soient a et b deux entiers strictement positifs. On considère le polynôme Pn défini par :
x n (bx  a) n
, où n N .
n!
1. Montrer que le polynôme Pn et toutes ses dérivées prennent des valeurs entières pour x=0
et x  a / b
Pn ( x) 
On développe ce polynôme par la formule du binôme d’une part et par la formule de Mac
Laurin d’autre part pour obtenir :
n
Ck
P ( h ) (0) h
Pn ( x)   (1) nk n b k a nk x n k   n
x . On en déduit :
n!
h!
k 0
h
Pn
( h)
(0)  0 si h  n ou h  2n et
C nk k nk
b a
si h  n  k (k  0,...n)
n!
Chaque terme étant un entier, Pnn k (0) est un entier.
a
a
Pour x  , on pose u  x  , il vient :
b
b
n n
n
a
b u
u (a  bu ) n
Pn ( x)  (  u ) n

 Qn (u )
b
n!
n!
Pnn k (0)  (1) nk (n  k )!
Les dérivées de Qn (u ) sont des entiers en zéro et sont égales aux dérivées de Pn (x) en x 
, car le développement de Taylor de Pn en a/b est le développement de Mac Laurin pour Qn

2. Etudier la convergence de la suite ( I n ) définie par : I n   Pn ( x) sin( x) dx
0


0
0

Mn
Mn
dx  
n!
n!
0
Posons M  Sup x (bx  a) , alors I n   Pn ( x) sin( x) dx   Pn ( x) dx  
0 x 
Donc la limite de ( I n ) est nulle.
3. Montrer que si  était un nombre rationnel et si on prenait a et b des entiers tels que
a / b   , le nombre I n serait un entier non nul, en contradiction avec le résultat de la
question précédente.
3
a
b
Pour tout x  0,   , on a : x (bx  a)  0 , donc x n (bx  a) n sin x  0 .
Par ailleurs x   / 4, 3 / 4, x n (bx  a) n sin x  ( / 4) n b n ( / 4) n ( 2 / 2)
3 / 4
1
b n 2
dx  0
Par conséquent : I n 
 

n!  / 4  4  2
Donc on trouve que I n est un entier (question 1) strictement positif, ce qui est contraire au
résultat de la question 2.
Exercice n° 4
1
Lnt
dt
Soit I   2
t

1
0
1. Montrer que I est convergente.
La fonction
En 0,
Lnt
t 1
1
Lnt


 1/ 2 .
est continue sur 0,1 . En 1, 2
2
t  1 (t  1)' t  1) t  1
t 1
Lnt
  Lnt dont l’intégrale est convergente au voisinage de 0.
t 2 1
1
2. Pour tout entier naturel k, calculer J k   t k Lnt dt
0
L’intégrale est bien convergente et on intègre par parties :
1
 t k 1 Lnt  1 t k
1
Jk  
dt  
 
(k  1) 2
 k 1 0 0 1 k
3. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :
t 2 n  2 Lnt
1

I


2
0 t 2  1 dt
k 0 ( 2k  1)
1
n
n
n
1
1  t 2n2
2k


J


t
Lnt
dt


Lnt dt
On a : 

0 
2k
2
2

1

t
k 0 ( 2k  1)
k 0
0
0
1
n
1
4. Montrer que l’on peut prolonger par continuité en 0 et 1, la fonction t 
La fonction se prolonge par continuité par 0 en 0, et par ½ en 1.
t 2 Lnt
M
5. Montrer qu’il existe une constante M>0, tel que :  t 0,1, 2
t 1
Toute fonction continue sur un compact est borné.
n
1
2
k  0 ( 2k  1)
6. En déduire que : I  Lim 
n 
4
t 2 Lnt
t 2 1
2
t 2 n 2 Lnt
M
2 n t Lnt
2n
dt

t
0 t 2  1
0 t 2  1 dt  M 0 t dt  2n  1  0
1
1
1
Evident avec les questions 3 et 6.
Exercice n° 5
Soient les fonctions réelles
f 2 ( x) 
f 2 définies respectivement par :
f 1 et
f 1 ( x) 
x2
et
2 x
12  6 x  x 2
12  6 x  x 2
1. Etudier les variations de ces deux fonctions et donner l’allure de leurs graphes dans un
même repère.
La fonction f 1 est une hyperbole équilatère qui admet comme asymptotes les droites
d’équation x=2 et y=-1.
La fonction f 2 admet pour dérivée : f 2 ( x) 
'
Cette fonction est décroissante de


 12 ( x 2  12)
.
(12  6 x  x 2 ) 2
 ,  2 3 , croissante sur  2 3,  2 3, puis
décroissante sur  2 3,   . La droite d’équation y=1 est une asymptote.
2. Déterminer le point d’intersection des graphes de f 1 et f 2 .
Le point A (0,1) répond à la question.
3. Trouver deux polynômes différents
P1
et
P2
de même degré n, tels que :
 f1 ( x)  P1 ( x)  x e1 ( x)
, où e1 et e2 sont des fonctions définies au voisinage de zéro telles

n
 f 2 ( x)  P2 ( x)  x e2 ( x)
que Lim e1 ( x)  Lim e2 ( x)  0
n
x 0
x 0
Il s’agit de développer ces fonctions au voisinage de zéro par la formule de Taylor.
On a : f1 ( x) 
x2 1
1
1
x
xn
 ( x  2)(1  x) 1  (2  x)(1   ....  n  o( x n )
2 x 2
2
2
2
2
xk
 x n e1 ( x)
k 1
k 1 2
n
D’où f1 ( x)  1  
Pour la deuxième fonction, on ne cherchera pas à expliciter le polynôme.
5
 x 2  6x 
12  6 x  x 2
1 

f 2 ( x) 

1

x
12 
12  6 x  x 2

1
4. Préciser la position relative des deux graphes au voisinage du point A (0,1) .
Supposons f1 ( x)  f 2 ( x)  2 x 3  0
Au voisinage du point considéré, le graphe de f 1 est au-dessus de celui de f 2 pour x>0 et en
dessous dans le cas contraire.
Exercice n° 6
u n 1

1
 1   o ( ) , où
un
n
n
 est une constante réelle. Etudier la convergence de la série de terme général u n selon les
valeurs du paramètre  .
v
u
 
1
 o 
Pour   0 , posons vn  n  , on a : n1  n1 
vn
un
n
n
v
u
- Si    et pour n grand , n 1  n 1 est du signe de    .
vn
un
u
v
- Si   1 , on choisit  tel que : 1     , alors  v n est convergente et n 1  n 1 , donc
un
vn
1. On considère une suite (u n ) de nombres réels positifs qui vérifie :
 u converge (rapport de d’Alembert).
n
- Si   1, on choisit  tel que : 1     , alors  v n est convergente et
 u converge (idem pour   1 ).
u n 1 v n 1

, donc
un
vn
n
2. Etudier la convergence de la série de terme général :
On a :
1  3  5.....  (2n  1)
2  4  6....  (2n)
u n1 2n  1
3
2
3
1

 1  (1  ) 1  1  n  à( 2 ) , donc la série est convergente.
un
2n  4
2n
n
2
n
6
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
JUIN 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Peut-on enseigner la responsabilité ? Vous argumenterez votre réflexion.
Sujet n° 2
Malheurs et bonheurs de la mondialisation. Vous argumentez en vous appuyant sur
l’actualité.
Sujet n° 3
L’État peut-il supprimer les inégalités ? Qu’en pensez-vous ?
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
JUIN 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apporté à la rédaction et à
la présentation des résultats.
1
Problème d’analyse
On note R, le corps des nombres réels. On note C 0 l’ensemble des fonctions continues de [a, b]
dans R avec a et b deux réels tels que a < b. Pour tout x ∈ [a, b] et tout réel r > 0, on note
B(x, r) = {y ∈ [a, b] : |y − x| < r} la boule ouverte centrée en x de rayon r, intersectée avec
l’ensemble [a, b].
Partie 1.1
1. Soit f ∈ C 0 . Soit x ∈ [a, b], on pose
Ex = {y ∈ [a, b] : f (y) ≤ f (x)}
l’ensemble des réels y ∈ [a, b] tels que l’image par f est inférieure à f (x). Montrer que
Ex = f −1 (] − ∞, f (x)])
c’est-à-dire que Ex est l’image réciproque de ] − ∞, f (x)] par la fonction f .
2. Montrer que Ex est une partie fermée de [a, b].
3. En déduire que Ex est une partie compacte.
4. Soient x et y ∈ [a, b]. Montrer que si Ex = Ey alors f (x) = f (y).
5. On construit une suite (xn )n∈N telle que Exn ⊂ Exn+1 . Montrer que la suite (f (xn ))n∈N est
croissante.
1
6. On pose M = sup f (x) la borne supérieure de f . Montrer que pour tout x ∈ [a, b], on a
x∈[a,b]
Ex ⊂ f −1 (] − ∞, M ]).
7. Soit ε > 0. Pour tout x ∈ [a, b], on pose
Vxε (f ) = {y ∈ [a, b] : |f (y) − f (x)| < ε}
l’ensemble des réels y ∈ [a, b] tels que l’image par f est proche de f (x) à ε près. Montrer que
Vxε (f ) = f −1 (]f (x) − ε, f (x) + ε[).
8. Montrer que Vxε (f ) est une partie ouverte de [a, b].
9. Construire une fonction h ∈ C 0 telle qu’il existe x∗ ∈ [a, b] avec Vxε∗ (h) qui n’est pas une
partie ouverte de R.
10. Soit g une fonction définie sur [a, b] qui vérifie la propriété suivante :
Propriété (P). Pour tout réel ε > 0, il existe un réel r > 0 tel que pour tout x, y ∈ [a, b]
y ∈ B(x, r) =⇒ y ∈ Vxε (g).
Montrer que la fonction g est continue.
11. Soit f une fonction dérivable telle que f 0 ∈ C 0 . Montrer qu’elle vérifie la propriété (P ).
12. Soit f ∈ C 0 . On suppose que f ne vérifie pas la propriété (P) pour un réel ε > 0 fixé.
Construire deux suites (xn )n∈N et (yn )n∈N ∈ [a, b] telles que, pour tout entier n ∈ N
|xn − yn | < (b − a)2−n
et
|f (xn ) − f (yn )| ≥ ε.
13. Soit f une fonction de C 0 . Montrer que f vérifie la propriété (P).
Partie 1.2
14. Rappeler la formule des coefficients de Newton (Cnk )0≤k≤n,n∈N tels que pour tous réels x et
y et tout entier n ∈ N, on a l’identité
n
(x + y) =
n
X
Cnk xk y n−k .
k=0
15. Montrer que pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N, on a
n
X
kCnk (z − a)k (b − z)n−k = n(z − a)(b − a)n−1 .
k=0
16. Montrer que pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N, on a
n
X
k(k − 1)Cnk (z − a)k (b − z)n−k = n(n − 1)(z − a)2 (b − a)n−2 .
k=0
2
17. Montrer que pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N, et tout p ∈ N tel que 1 ≤ p ≤ n + 1, on a
n
X
k(k − 1) . . . (k − p + 1)Cnk (z − a)k (b − z)n−k = n(n − 1) . . . (n − p + 1)(z − a)p (b − a)n−p .
k=0
18. Montrer que
(k(b − a) − n(z − a))2 = (b − a)2 (k(k − 1)) + (b − a)2 k − 2n(b − a)(z − a)k + n2 (z − a)2 .
19. En déduire que pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N, on a
n
X
(k(b − a) − n(z − a))2 Cnk (z − a)k (b − z)n−k = n(z − a)(b − z)(b − a)n .
k=0
20. Soit f ∈ C 0 . Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que pour tout r > 0, pour tout
k
z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N∗ , pour tout k ∈ {0, . . . , n} vérifiant a + (b − a) − z ≥ r, on a
n
k
(na + k(b − a) − nz)2
f (z) − f a + (b − a) ≤ C
.
n
n2 r 2
21. Soit ε > 0 et f ∈ C 0 . Montrer qu’il existe r > 0 tel que pour tout z ∈ [a, b], pour tout
n ∈ N∗ , pour tout k ∈ {0, . . . , n} on a
(na + k(b − a) − nz)2
k
.
f (z) − f a + (b − a) ≤ ε + C
n
n2 r 2
22. En déduire qu’il existe une constante D > 0 ne dépendant que de la fonction f telle que
pour tout z ∈ [a, b], pour tout n ∈ N∗
f (z) −
n
X
k
(z − a)k (b − z)n−k
f a + (b − a) Cnk
n
(b − a)n
k=0
2
≤ ε+
D
.
nr2
Problème d’algèbre
Soit V un endomorphisme sur l’anneau des polynômes R[X]. Les compositions successives de
l’endomorphisme V seront notées V m pour tout m ∈ N, avec la convention V 0 étant l’endomorphisme identité.
Partie 2.1
On pose V l’endomorphisme suivant
V : R[X] → R[X]
X
X +1
1
1
P
+ P
.
P 7→
2
2
2
2
3
1. Montrer que pour tout polynôme P de degré n ∈ N, V (P ) est également un polynôme de
degré au plus n ∈ N.
2. Pour tout n ∈ N, on note Vn l’application
Vn : Rn [X] → Rn [X]
1
1
X
X +1
P 7→
+ P
P
2
2
2
2
définie sur le sous-espace Rn [X] des polynômes de degré au plus n ∈ N. Montrer que Vn est
bien un endomorphisme.
3. On fixe n ∈ N. Montrer que la suite (vn,m )m∈N telle que vn,m := dim(Ker Vnm ) + rang(Vnm )/2
pour m ∈ N est croissante.
4. Montrer que, quelque soit n ∈ N, la suite (vn,m )m∈N converge quand m → +∞.
5. Donner la matrice M de M3,3 (R) qui représente l’endomorphisme V2 dans la base canonique
B = {1, X, X 2 } de R2 [X].
6. En déduire Ker V2 et Im V2 .
Partie 2.2
A partir de cette question, et jusqu’à la fin du problème, on fixe n = 2. On cherche à étudier
la limite d’endomorphisme V2m pour m → +∞.
7. Calculer la limite de v2,m quand m → +∞.
8. Montrer qu’il existe une base C qui diagonalise l’endomorphisme V2 .
9. Calculer les valeurs propres de l’endomorphisme V2 et les vecteurs propres associés.
10. Calculer la matrice de passage P de la base B à la base C.
11. Calculer l’inverse de la matrice P.
12. Donner la matrice ∆ de V2 dans la base C.
13. Soit Q = cX 2 + bX + a un polynôme de R2 [X] avec a, b, c ∈ R. Calculer les coordonnées de
Q dans la base C.
14. Calculer la matrice qui représente l’endomorphisme V2m pour tout m ∈ N dans la base
canonique.
15. Montrer que les coordonnées de V2m (Q) dans la base C convergent.
16. Soit k · k une norme sur l’espace vectoriel R2 [X]. On note |k · k| la norme d’endomorphisme
associée, c’est-à-dire que pour tout endomorphisme V on définit
|kV k| :=
kV (Q)k
.
Q∈R2 [X],Q6=0 kQk
max
Montrer que |kV2 k| ≥ 1.
17. Montrer qu’il existe un endomorphisme U de R2 [X] tel que
kV2m (Q) − U (Q)k −→ 0.
m→+∞
18. Donner la matrice de M3,3 (R) qui représente l’endomorphisme U dans la base C.
19. Calculer le rang de la matrice qui représente l’endomorphisme U dans la base C.
20. En déduire si la suite v2,m = dim(Ker V2m )+rang(V2m )/2 converge ou non vers dim(Ker U )+
rang(U)/2.
4
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DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble des
nombres réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
a b b


Soit la matrice A   b a b  , où (a, b)  R 2 .
b b a


1. Etudier la diagonalisation de A (on précisera les valeurs propres et les sous espaces propres
associés).
2. On suppose que a  0; b  0 , calculer A n pour n  N .
3. Déterminer, dans la base canonique de R 3 , la matrice de la projection orthogonale sur le
sous espace vectoriel d’équation : x  y  z  0 .
4. Déterminer, dans la base canonique de R 3 , la matrice de la symétrie orthogonale par
rapport au sous espace vectoriel d’équation : x  y  z  0 .
Exercice n° 2
Soit f : R 4  R 4 définie par : f ( x, y, z, t )  ( x  y, x  y, z  t , z  t ) , où  est un
paramètre réel non nul.
1. Déterminer le noyau et l’image de f selon les valeurs de  .
2. Etudier la diagonalisation de la matrice associée à f selon les valeurs de  (on précisera les
valeurs propres).
1
Exercice n° 3
Soient a et b deux entiers strictement positifs. On considère le polynôme Pn défini par :
x n (bx  a) n
, où n N .
n!
1. Montrer que le polynôme Pn et toutes ses dérivées prennent des valeurs entières pour x=0
et x  a / b .
Pn ( x) 

2. Etudier la convergence de la suite ( I n ) définie par : I n   Pn ( x) sin( x) dx .
0
3. Montrer que si  était un nombre rationnel et si on prenait a et b des entiers tels que
a / b   , le nombre I n serait un entier non nul, en contradiction avec le résultat de la
question précédente.
Exercice n° 4
1
Lnt
dt .
Soit l’intégrale I   2
t

1
0
1. Montrer que I est convergente.
1
2. Pour tout entier naturel k, calculer J k   t k Lnt dt .
0
3. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :
t 2 n  2 Lnt
1

I


2
0 t 2  1 dt .
k 0 ( 2k  1)
1
n
t 2 Lnt
4. Montrer que l’on peut prolonger par continuité en 0 et 1, la fonction t  2
.
t 1
t 2 Lnt
M .
5. Montrer qu’il existe une constante M>0, tel que :  t 0,1, 2
t 1
n
1
.
2
n 
k  0 ( 2k  1)
6. En déduire que : I  Lim 
Exercice n° 5
Soient les fonctions réelles
f 1 et
f 2 définies respectivement par :
12  6 x  x 2
f 2 ( x) 
.
12  6 x  x 2
2
f 1 ( x) 
x2
et
2 x
1. Etudier les variations de ces deux fonctions et donner l’allure leurs graphes dans un même
repère.
2. Déterminer le point d’intersection des graphes de f 1 et f 2 .
3. Trouver deux polynômes différents
P1
et
P2
de même degré n, tels que :
 f1 ( x)  P1 ( x)  x n e1 ( x)
, où e1 et e2 sont des fonctions définies au voisinage de zéro telles

n
 f 2 ( x)  P2 ( x)  x e2 ( x)
que Lim e1 ( x)  Lim e2 ( x)  0 .
x 0
x 0
4. Préciser la position relative des deux graphes au voisinage du point A (0,1) .
Exercice n° 6
1. On considère une suite (u n ) de nombres réels strictement positifs qui vérifie :
u n 1

1
 1   o ( ) , où  est une constante réelle. Etudier la convergence de la série de
un
n
n
terme général u n selon les valeurs du paramètre  .
2. Etudier la convergence de la série de terme général :
3
1  3  5.....  (2n  1)
.
2  4  6....  (2n)
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Le texte ci-après, de Paul PAUTREMAT, est un extrait du texte « L’Afrique : entre
défis et succès potentiels, loin des fatalités » publié sur diploweb.com par Pascal
PAUTREMAT, le 3 octobre 2015.
Il doit être résumé en 200 mots (plus ou moins 10%). Vous indiquerez en fin de copie le
nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre
écrit.
L’Afrique : entre défis et succès potentiels, loin des fatalités
(…) L’Afrique doit aussi se soustraire aux habitudes établies à l’époque coloniale en faveur
des pratiques de monoculture. Or, les investissements spéculatifs, avec une quête de
rentabilité à court terme, n’arrangent en rien la situation globale. Comment ne pas déplorer les
jeux de captation et d’achats de terres au Sud-Soudan, à des prix dérisoires – quelques
centimes d’euro par hectare – tant la perspective de les revendre à prix d’or, dans quelques
années, est alléchante pour les spéculateurs face à une raréfaction prévue des terres agricoles
en Afrique. Depuis 2000, on estime que 5% de l’espace cultivable africain a déjà été vendu à
des entreprises étrangères.
Il est clair que l’impact de l’ultralibéralisme sur les économies locales complique le
processus de renouveau africain. On ne peut que déplorer les privatisations peu ou pas
encadrées, les programmes d’ajustement structurel dans les entreprises, avec les conséquences
sociales souvent très négatives. Les successions de plans sociaux pour à la fois mieux résister
1
à la concurrence mais surtout ne pas réduire les marges bénéficiaires des actionnaires,
témoignent de dysfonctionnements conceptuels des rouages économiques qu’il faut repenser
intégralement ; et pas seulement en Afrique d’ailleurs…
Le poids des milieux financiers, des fonds d’investissement, portés par les logiques de
spéculation irrationnelle, dessert gravement la montée en puissance, dans la durée, des
économies nationales.
Malgré tout, la croissance économique de l’Afrique semble bien présente. On peut
légitimement le penser et l’espérer, au regard du taux de croissance moyen de 4,9% enregistré
en 2010, comparé au 3,1% de 2009. Il est vrai que la baisse de croissance en 2009 résultait de
la situation de récession économique mondiale.
Finalement, l’Afrique est parvenue à absorber l’onde de choc occasionnée par le krach
boursier venu du marché américain en 2008 ; krach qui a gangrené les économies
occidentales, et européennes en particulier. Certes, le rythme de la reprise, devenue palpable
en 2010, a varié selon les pays. L’économie sud-africaine s’est ainsi remise sur pied, rétablie
en 2010 avec une croissance à 2,8%, alors qu’elle était à -1,7% en 2009. Un redressement qui
a logiquement profité à l’Afrique australe. Cette zone a connu une croissance de production
de 3,3% en 2010 contre seulement 0,5% de croissance en 2009. En Afrique de l’Ouest et de
l’Est, la croissance s’est maintenue ; grâce au dynamisme économique de pays tels que le
Ghana (5,9%), le Burkina-Faso (5,7%) et le Kenya (5%). Et cela, malgré une nouvelle hausse
des prix, à l’époque, des produits alimentaires et énergétiques, sachant que les produits
énergétiques contribuent à plus de la moitié des exportations totales africaines. Quant à la part
de l’Afrique dans le commerce mondial, elle était d’environ 3,2%.
Début 2015, les institutions internationales prévoyaient que pas moins de 25 pays africains
allaient connaître, cette année, un taux de croissance de l’ordre de 6 à 13%. Et depuis 2001, la
croissance économique sur le continent ne cesse de croître, avec une hausse annuelle de 5%
du Produit intérieur brut (PIB) continental. La situation de croissance repose notamment sur
l’Afrique de l’Est, bénéficiaire d’un taux de croissance moyen de 7%, suivie de près par
l’Afrique de l’Ouest et l’Afrique centrale avec des taux de croissance compris entre 5 et 6%.
Encore faut-il, bien sûr, mettre ces chiffres de croissance économique en relation avec la
croissance démographique.
La classe moyenne africaine, selon les études internationales, serait en pleine croissance
elle aussi, réunissant actuellement quelque 300 millions de personnes.
Il est vrai que les IDE (Investissements directs à l’étranger) ont un rôle stratégique majeur
dans ce processus de croissance. Ils ont ainsi atteint 50 milliards de dollars en 2013 et 80
milliards en 2014.
2
L’Afrique est aussi très demandeuse de nouvelles technologies (fibres optiques, téléphonie
mobile, etc.). Elle voit des entreprises continentales croître de manière éclatante, à l’instar de
Aspen Pharmacie, SPAR Group, Ecobank, sur fonds de développement de vecteurs d’activités
bancaires adaptées avec les « mobile-banking », comme au Kenya.
Il existe donc des entreprises africaines, nouvelles et novatrices, dans le domaine des
services comme dans le domaine des technologies, en quête d’investisseurs africains ou
venant d’Occident ou d’Asie. Le Nigeria, le Sénégal, mais aussi le Kenya, la Tanzanie et
l’Egypte voient émerger de nombreuses start-up qui démontrent combien l’esprit
d’entreprendre n’est pas l’apanage culturel des seuls Occidentaux. Les Africains eux-mêmes
savent pertinemment qu’il faut répondre aux attentes comme aux cadrages standardisés des
marchés mondiaux.
Un désir d’autonomie et d’influence à l’international
Depuis une décennie, la volonté de nombre d’Etats africains de jouer la carte de la
diversification des partenariats économiques n’a fait que s’accentuer. L’Union africaine en
témoigne, profitant ainsi de décennies d’évolution en ce sens, portées par des chefs d’Etat
africains. Mouammar Khadafi, au-delà de ses dérives dictatoriales et de son financement de
diverses organisations terroristes, ne cessa par exemple de promouvoir un certain
panafricanisme. Si, en France notamment, certains hommes politiques et affairistes restent
convaincus de la suprématie du jeu français en Afrique, la réalité est désormais toute autre.
Certes, l’Union africaine a bien du mal à soutenir le rôle de la Cour pénale internationale
(CPI) qui poursuit des dictateurs notoires, tel Omar el-Béchir, sachant qu’à sa tête, Robert
Mugabe, lui-même largement désavoué à l’échelle internationale pour sa dérive autocratique
et dictatoriale au Zimbabwe, a fustigé la CPI, à l’issue du 45ème sommet des chefs d’État de
l’Union africaine, en Afrique du Sud, en juin 2015. Au point de vouloir que l’Afrique n’y soit
plus représentée. Cela renvoie à une réalité de l’Afrique qui contribue aussi à paralyser son
envolée économique et sociale. Car l’Afrique souffre toujours et encore – certes de façon
moins étendue qu’il y a encore quelques décennies – de la confiscation du pouvoir par des
groupes claniques ou des minorités ethniques. Ces pratiques pèsent sur le plus grand nombre
et se traduisent par l’appropriation des richesses, des moyens de production nationaux, avec
des collusion et partenariats internationaux, via des circuits financiers et bancaires des plus
nébuleux.
Quoiqu’il en soit, la volonté de divers Etats africains de prendre leur distance avec
l’empreinte post-coloniale est palpable. Divers exemples en témoignent, à l’instar du souhait
du président tchadien, Idriss Déby, mis en avant au cours de l’été 2015, de vouloir ostraciser
le Franc CFA et de promouvoir la création d’une monnaie africaine. Conjointement, il s’agit
3
de favoriser une normalisation des relations entre la France et les pays africains sur un pied
d’égalité, en faveur d’un véritable développement africain.
Responsabilisations face aux enjeux internationaux
En même temps, les pays africains, via l’Union africaine (UA), se doivent d’être crédibles
dans le traitement des grands dossiers internationaux comme sur les questions de stabilisation
et de lutte contre les menaces polymorphes. Depuis les débuts des années 2000, ils expriment
ainsi leur volonté de prendre en charge le devenir sécuritaire de l’Afrique, de juguler plus
efficacement les crises et conflits qui bouleversent de manière récurrente ce continent. Pour
cela, l’UA a élaboré entre 2002 et 2005, une Architecture Africaine de Paix et de Sécurité
(AAPS) qui s’appuie notamment sur la constitution d’une Force Africaine en Attente (FAA),
gérée par le Département paix et sécurité de l’UA, avec une mise en œuvre prévue pour 2015.
Cette FAA s’inscrit dans un contexte où les années 2000 ont vu les pays africains participer
de plus en plus aux opérations de maintien de la Paix.
Il n’en demeure pas moins que les pays africains ont toujours besoin du soutien occidental
en la matière, en vertu de coopérations polyvalentes. Cela se traduit par le programme
RECAMP (Renforcement des capacités africaines de maintien de la Paix) mis sur pied par la
France depuis 1997, complété par la mise en place, en 2004-2005, d’un partenariat stratégique
entre l’Union européenne et l’Union africaine. Ce à quoi s’ajoutent notamment les
programmes britanniques ACPP et British Peace Support Team (BPST), portugais PAMPA et
américain, avec l’African Contingency Operations Training Assistance (ACOTA).
Et au-delà des dimensions nationales, l’Afrique doit assurément prendre toute la mesure des
mutations environnementales et climatiques. Son développement à venir doit donc veiller à ne
pas faire exploser le volume de gaz à effet de serre (GES). L’ambition internationale étant de
contenir la hausse des températures à moins de 2°C, avec une politique d’entrée en vigueur en
2020. Mais l’objectif a, pour le moins déjà été tronqué par le peu de considération des pays
industriels, ces 15 dernières années, face à cet impératif.
En préambule aux négociations sur le climat prévues à Paris, sous l’égide de l’ONU, fin
2015, l’Allemagne fut le cadre de premières réflexions sur la question à Bonn entre le 31 août
et le 4 septembre 2015. Sur la cinquantaine de pays qui se sentent concernés, seuls quatre
pays africains Gabon, Maroc, Éthiopie et Kenya ont déjà fait état de résolutions pour réduire
leur production de gaz à effet de serre.
L’Afrique, indéniablement, sera la première touchée de plein fouet par les répercussions du
réchauffement planétaire, qui s’accélère : mouvements de population face à la désertification,
crises alimentaires croissantes, ressources moindres en eau…Avec toutes les conséquences
géopolitiques que l’on imagine. N’a-t-on pas prévenu, depuis des années déjà, qu’en 2050
l’Europe devrait faire face à un afflux de 50 millions de personnes venant frapper à ses
4
frontières dans l’espoir – vain – d’y trouver terres d’accueil et de subsistance ? Les réfugiés
climatiques seront assurément légions….
Retenons donc que les prévisions économiques et socio-démographiques sont de la plus
grande importance pour l’Afrique puisqu’elle devrait représenter, au milieu du XXIe siècle, le
quart de la population terrestre. Si l’on peut encore dénoncer ici ou là diverses crises
provoquées par les antagonismes claniques, sur fond de confiscation du pouvoir, il n’empêche
que les processus électoraux bénéficient aujourd’hui à la moitié de la population africaine et
doivent convaincre qu’une autre pratique de la politique est possible.
Reste à savoir si le reste du monde, notamment les pays occidentaux et asiatiques, sauront
aussi adapter leurs politiques de partenariat en promouvant une meilleure répartition des
richesses, loin de tout jeu d’influence sclérosant. Corruption et affairisme ne font que susciter,
en réaction, une certaine amertume sociale dont se nourrit le sectarisme religieux, sur fond de
dogmes conflictuels et de terrorisme économique.
Il reste donc encore à conforter les progrès lancés au début des années 1990 en faveur de la
consolidation des droits constitutionnels dans divers pays africains, loin des réflexes de
constitution de partis uniques, de régimes militaires verrouillés ou de dictatures. Un processus
qui ne peut s’appuyer que sur les classes moyennes, souvent hostiles aux autoritarismes et aux
discours réducteurs.
Les réseaux terroristes ancrés dans leurs approches dogmatiques, finalement nihilistes, se
nourrissent des âmes perdues, de personnes plus ou moins désoeuvrées, ou de personnes
soumises, fanatisées par la propagande et les discours grandiloquents. Cela contribue à
consolider une main mise totalitaire de ces mêmes structures en lieu et place des Etats
nationaux, dans une logique internationaliste. De Boko Haram, entre le Nigeria, le Cameroun
et même le Niger, aux groupes affiliés à l’Etat islamique ou à Al Qaida, en passant par Daesh,
ce sont ces véritables franchises du jihadisme international dans la vaste zone pansahélienne
qui contribuent à une insécurité sclérosante, anxiogène, loin de toute logique constructive et
réformatrice au profit des Africains. Le terrorisme ne fait que fragiliser les processus de
démocratisation en Afrique. Une constatation qui n’a pas échappé notamment à la conférence
ECAS (European Conference on African Studies) qui, en juillet 2015, réunissait à Paris, plus
de 1 500 chercheurs et analystes du monde entier, réfléchissant sur les politiques de synergie
collectives pour favoriser le développement multidimensionnel de l’Afrique.
Pour autant, il n’existe pas de fatalité. Il faut fédérer les femmes et les hommes de bonne
volonté, animés par un altruisme constructif, pour amorcer une refonte en profondeur des jeux
économiques. En cela, l’Afrique peut constituer une formidable chambre d’écho, même si les
délais d’action sont désormais très serrés.
Pascal PAUTREMAT
5
ÉCOLE NATIONALE
SUPÉRIEURE DE
STATISTIQUE ET
D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE
ÉCONOMIQUE
ENSAE - DAKAR
INSTITUT
SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE ET
D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
AVRIL 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Attention !
L’exercice 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice 1 étant notée
sur 1 point).
Toutefois cet exercice n’entre que pour un cinquième dans la note finale de cette
première épreuve de mathématiques.
Dans tous les exercices, R désigne l’ensemble des nombres réels, C l’ensemble des nombres
complexes et ln le logarithme népérien. On rappelle les relations
1 + cos θ
2 θ
cos
=
2
2
θ
θ
cos
sin θ = 2 sin
2
2
valables pour tout réel θ.
On rappelle enfin la limite classique :
ex − 1
= 1.
x→0
x
lim
Exercice 1
Z π/4
1. Calculer
cos2 x(sin x)dx.
π/6
En posant u = cos x, il vient u0 = − sin x et
1
Z π/4
cos2 x(sin x)dx =
Z √2
2
√
−u2 du
3
2
π/6
2. Exprimer la dérivée de la fonction f (x) =
f 0 (x) =
=
=
√
u3
22
=
−
=
√
√
3
2
−
.
8
12
3
√
3
2
sin x3
comme une fonction de sin x.
cos x
3 sin2 x cos2 x + sin3 x sin x
cos2 x
2
3 sin x(1 − sin2 x) + sin4 x
1 − sin2 x
− sin2 x(3 − 2 sin2 x)
1 − sin2 x
p
3. Donner la limite en −∞ de la fonction f (x) = 2x2 + x + 1 + x.
Tout d’abord, 2x2 + x + 1 > 0 pour tout réel x. De plus,
r
p
1
1
2x2 + x + 1 + x = |x| 2 + + 2 + x
x x
!
r
1
1
= x 1− 2+ + 2
x x
dès que x < 0. Par passage à la limite, comme 1 −
√
2 < 0, on a limx→−∞ f (x) = +∞.
4. Donner le comportement au voisinage de x = 0 de la fonction f (x) = sin x ln(x − x2 ).
Pour 0 < x < 1, on a
f (x) = sin x ln(x) + sin x ln(1 − x).
Le second terme du membre de droite tend vers 0, et pour le premier on a
sin x ln(x) =
sin x
x ln x.
x
sin x/x tend vers 1 quand x → 0, et par croissance comparée x ln x tend vers 0, donc
finalement la limite recherchée vaut 0.
5. Ecrire le nombre complexe z = −3 + 3i sous forme trigonométrique.
√
3π
3π
z = 3 2 cos
+ i sin
.
4
4
2
6. Si on vous demande d’étudier les variations de la fonction
2x
,
ex − e−x
expliquer quel intervalle d’étude vous choisissez, et comment vous étendez vos résultats à
l’ensemble du domaine de définition de f .
On remarque que f est une fonction paire définie sur R privé de l’origine. On peut donc
faire l’étude de f sur ]0, +∞[ et on complète par symétrie par rapport à l’axe d’équation
x = 0.
f (x) =
7. Une urne contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2. On tire au hasard
uniforme et avec remise deux fois une boule, et on fait le produit X des chiffres obtenus.
Pour toute valeur de k pertinente, donner la probabilité pour que X soit égal à k et en
déduire l’espérance de X.
X prend la valeur 1 si la boule numérotée 1 est tirée 2 fois, c’est-à-dire avec probabilité 1/9.
De même, X prend la valeur 4 si la boule numérotée 2 est tirée 2 fois, donc là aussi avec
probabilité 1/9. X vaut 2 si on a tiré soit 1 puis 2, soit 2 puis 1, donc avec probabilité 2/9.
Dans tous les autres cas, c’est-à-dire avec probabilité 1 − 1/9 − 1/9 − 2/9 = 5/9, X vaut 0.
L’espérance de X est donc égale à 0 × 5/9 + 1 × 1/9 + 2 × 2/9 + 4 × 1/9 = 1.
8. On considère la suite définie par u0 = 4 et un+1 = 21 (u2n + 4). Cette suite est-elle monotone ?
Est-elle convergente ?
1
un+1 − un = (u2n − 2un + 4).
2
Cette expression est de signe constamment positif car l’équation x2 −2x+4 = 0 n’admet pas
de racine réelle. La suite (un )n≥0 est donc croissante. Si elle convergeait, sa limite vérifierait
l2 − 2l + 4 = 0 or on vient de voir que c’était impossible : la suite diverge donc vers +∞.
9. En utilisant la double inégalité (qu’on ne cherchera pas à démontrer)
√
n
n4 + n
≤√
n
n4 + k
≤√
n
n4 + 1
valable pour tout entier n > 0 et pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ n, étudier la convergence
de la suite de terme général
un =
n
X
k=1
√
n
n4 + k
.
D’après la double inégalité de l’énoncé, on a
n
X
n
n
X
X
n
n
n
√
√
√
≤
≤
4
4
4
n + n k=1 n + k k=1 n + 1
k=1
soit
√
n
X
n2
n
n2
√
≤
≤√
n4 + n k=1 n4 + k
n4 + 1
3
ou encore
1
n
X
1
n
q
√
≤
≤q
4
n +k
1 + n13
1 + n14
k=1
et d’après le théorème de comparaison, la suite de terme général un converge vers 1.
10. Résoudre l’equation x3 + 6x2 − x = 0 dans R, puis dans C.
√
On a √
soit x=0, soit x2 + 6x2 − 1 = 0, équation qui admet les racines réelles −3 − 10 et
−3 + 10. Les racines complexes sont les mêmes que les racines réelles.
Exercice 2
Pour a ∈ R, on considère la fonction de la variable réelle
fa (x) = ax3 − 3(a + 1)x2 + x + 1
1. Dans cette partie, on pose a = −1/3 et pour simplifier on note f− 1 = f .
3
(a) Calculer f 0 , et en déduire les intervalles de croissance de f .
On a donc
x3
f (x) = − − 2x2 + x + 1
3
d’où
f 0 (x) = −x2 − 4x + 1
√
√
qui s’annule en x1 = −2 − 5 et x2 = −2 + 5, et est de signe négatif au voisinage de
l’infini. Par suite, f est décroissante sur ] − ∞, x1 [ et ]x2 , +∞[, et croissante sur ]x1 , x2 [.
(b) Calculer les limites de f en −∞ et +∞, ainsi que la valeur de f (−2).
Il vient immédiatement que limx→−∞ f (x) = +∞, limx→+∞ f (x) = −∞ et f (−2) =
−19/3.
(c) Déduire des questions précédentes que l’équation f (x) = 0 admet exactement 3 solutions qu’on placera par rapport aux valeurs −2, −1 et 0.
f est continue et strictement décroissante sur ]−∞, x1 [ avec limx→−∞ f (x) = +∞, puis
strictement croissante sur ]x1 , x2 [. Comme x1 < −2 < x2 , on en déduit que f (x1 ) < 0,
puis d’après le théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe une unique solution z1
à l’équation f (x) = 0 sur ] − ∞, x1 [, avec donc z1 < −2.
On a par ailleurs x1 < −1 < 0 < x2 , donc comme f (−1) = −5/3 < 0 etf (0) = 1, en
reproduisant le raisonnement précédent on montre l’existence d’une unique solution z2
sur ]x1 , x2 [, avec −1 < z2 < 0.
Enfin, comme f (x2 ) > f (0) = 1 > 0, il existe de même une unique solution z3 sur
]x2 , +∞[, et on a donc z3 > 0.
(d) Dresser le tableau de variations de f et tracer sa courbe représentative.
Ils se déduisent des questions précédentes.
2. On suppose désormais a quelconque.
(a) Pour un point (x, y) tel que x 6= {0, 3}, montrer qu’il existe une unique valeur de a
telle que fa (x) = y et donner la valeur de a.
fa (x) = y ssi ax3 − 3(a + 1)x2 + x + 1 = y ssi a(x3 − 3x2 ) = y + 3x2 − x − 1. Par suite,
si x 6= {0, 3}, la solution unique a vaut
4
a=
y + 3x2 − x − 1
.
x2 (x − 3)
(b) Pour y fixé, résoudre en a l’équation fa (3) = y.
On remarque que fa (3) = −23 pour tout a. Par suite l’équation considérée n’a pas de
solution si y 6= −23, et admet R comme ensemble de solutions si y = −23.
(c) Déduire de ce qui précède que toutes les courbes représentatives des fonctions fa , a ∈ R,
passent par deux points M1 et M2 du plan dont on donnera les coordonnées.
On remarque que fa (0) = 1 pour tout a, donc toutes les courbes passent par le point M1
de coordonnées (0, 1). D’après la question précédente, elles passent également toutes
par le point M2 de coordonnées (3, −23).
(d) Montrer que la tangente à la courbe de fa au point d’abscisse x = 0 ne dépend pas de
a ∈ R.
fa0 (0) = 1, donc la tangente à la courbe de fa au point d’abscisse x = 0 passe par le
point de coordonnées (0, 1) et admet 1 comme coefficient directeur : elle ne dépend
donc pas de a.
Exercice 3
On considère la fonction de la variable réelle f définie par
2
f (x) = (x − 1)e x
pour x 6= 0
1. Montrer que
2
lim x e x − 1 = 2.
|x|→∞
(on pourra utiliser le rappel donné au début de l’énoncé avant l’exercice 1)
Posons y = 2/x. On a alors
2
2
x
lim x e − 1 = lim (ey − 1) = 2
y→0 y
|x|→∞
d’après le rappel donné au début de l’énoncé.
2. Donner le domaine de définition de f , calculer les limites de f aux bornes de son domaine
de définition et étudier soigneusement ses éventuelles branches infinies.
f est définie sur R privé de 0.
2
Quand x tend vers 0 par valeurs négatives, 2/x tend vers −∞ donc e x tend vers 0 et f (x)
également.
2
Quand x tend vers 0 par valeurs positives, 2/x tend vers +∞ donc e x tend vers +∞ et f (x)
tend vers −∞ : on a donc ici une asymptote verticale d’équation x = 0.
2
Quand |x| tend vers +∞, 2/x tend vers 0 donc e x tend vers 1. Par suite f (x) tend vers +∞
si x → +∞ et f (x) tend vers −∞ si x → −∞. On a donc deux branches infinies à étudier.
Il est clair que f (x)/x tend vers 1 quand |x| tend vers +∞. On a alors
2
2
f (x) − x = x e x − 1 − e x .
5
2
D’après la première question, x e x − 1 tend vers 2 quand |x| tend vers +∞, et on a vu
2
également que e x tend vers 1. Par suite f (x) − x tend vers 1 quand |x| tend vers +∞, et
on a donc une unique asymptoque oblique d’équation y = x + 1.
3. Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations de f .
Un calcul standard montre que la dérivée de f vaut
f 0 (x) =
x2 − 2x + 2 2
e x > 0.
x2
f est donc croissante sur ] − ∞, 0[ et sur ]0, +∞[. Le tableau de variation se déduit alors des
résultats précédents.
4. Tracer la courbe représentative de f .
Elle se déduit également des résultats précédents, en remarquant que, par comparaison des
fonctions puissances et exponentielles, la limite de f 0 à gauche de 0 est nulle.
5. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, si t > 1,
2
Z t
Z t
2
2
t2 e t − e2
x
xe dx =
+
e x dx.
2
1
1
2
2
On pose u0 (x) = x et u(x) = x2 /2 d’une part, v(x) = e x et v 0 (x) = −2e x /x2 d’autre part,
la formule d’intégration par parties donne
2 t Z t 2
Z t
2
x −2 2
x 2
xe x dx =
ex −
e x dx
2
2
1
1 2 x
1
d’où le résultat demandé.
6. En déduire l’ensemble des primitives de f .
D’après ce qui précède,
2
Z t
2
t2 e t − e2
(x − 1) e x dx =
.
2
1
2
2
2
Les primitives de f sont donc de la forme F (t) = t e t2−e + C où C est une constante réelle.
7. Calculer l’aire du domaine du plan constitué des points (x, y) vérifiant 1 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤
f (x).
2
En reprenant les notations ci-dessus, l’aire demandée vaut F (2) − F (1) = 4e−e
≃ 1, 74.
2
Exercice 4
On considère la suite (In )n≥0 définie par
Z 1 n+1
x
In =
dx.
0 1+x
1. Calculer I0 et montrer que I1 = ln 2 − 1/2.
Z 1
I0 =
0
et
Z 1
x
dx =
1+x
x2
dx =
0 1+x
d’où le résultat demandé.
Z 1
Z 1
I1 =
0
0
x+1−1
dx = 1 −
1+x
x2 − 1
dx +
1+x
6
Z 1
0
Z 1
0
dx
=
1+x
dx
= 1 − ln 2
1+x
Z 1
(x − 1)dx + ln 2
0
2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,
0 ≤ In ≤
1
.
n+2
In est l’intégrale d’une fonction positive entre 0 et 1, donc elle est positive. L’inégalité de
droite découle du fait que x + 1 ≥ 1 pour x ∈ [0, 1].
3. Pour x réel différent de −1 et n entier naturel non nul, montrer que
1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn −
1
(−1)n+2 xn+1
=
.
1+x
1+x
Le début du terme de gauche est la somme des n + 1 premiers termes d’une progression
géométrique de premier terme 1 et de raison −x : elle vaut donc (1 − (−1)n+1 xn+1 )/1 + x.
Le résultat demandé s’obtient alors immédiatement.
4. On pose
Sn = 1 −
(−1)n+1
1 1
+ − ··· +
.
2 3
n
Déduire de la question précédente que
In = (−1)n (Sn − ln 2).
En intégrant l’égalité précédente entre 0 et 1, il vient :
1 1
(−1)n+1
+ − ··· +
− ln 2 = (−1)n+2 In .
2 3
n
Le résultat demandé s’obtient en multipliant les deux membres de cette équation par (−1)n ,
et en remarquant que (−1)2n−2 = 1.
1−
5. En déduire la limite de la suite (Sn )n≥1 .
In tend vers 0 d’après la question 2., donc Sn tend vers ln 2 quand n → ∞.
Exercice 5
1. On se propose de montrer par récurrence la proposition
Pn : Si n nombres réels strictement positifs a1 , a2 , · · · , an vérifient a1 a2 · · · an = 1, alors
a1 + a2 + · · · + an ≥ n.
Pour ce faire, on suppose que la proposition Pn est vérifiée pour un certain n ≥ 1, et on
considère n + 1 nombres réels strictement positifs a1 , · · · , an+1 vérifiant a1 a2 · · · an+1 = 1 .
On supposera les ai rangés par ordre croissant, c’est-à-dire a1 ≤ · · · ≤ an .
(a) Montrer que a1 ≤ 1 et an+1 ≥ 1.
Si a1 > 1, alors tous les termes de la suite sont plus grands que 1 (puisqu’on les a rangés
par ordre croissant), et donc leur produit est strictement supérieur à 1. De même, si
an < 1, tous les termes de la suite sont strictement plus petits que 1, et comme ils sont
tous positifs, leur produit est lui-même strictement inférieur à 1
(b) On pose b1 = a1 an+1 . Montrer que b1 + a2 + a3 + · · · + an ≥ n.
On a b1 a2 a3 · · · an = 1, et comme b1 , a2 , · · · , an sont n nombres strictement positifs,
d’après l’hypothèse Pn , leur somme est supérieure ou égale à n, ce qui est le résultat
demandé.
7
(c) En déduire que a1 + a2 + · · · + an+1 ≥ n + 1 + (an+1 − 1)(1 − a1 ).
On a donc
a1 + a2 + · · · + an+1 n = b1 + a2 + · · · + an + an+1 + a1 − b1
≥ n + an+1 + a1 − a1 an+1
= n + 1 + an+1 + a1 − a1 an+1 − 1
= n + 1 + (an+1 − 1)(1 − a1 )
ce qui est le résultat demandé.
(d) En déduire que la proposition Pn+1 est vérifiée, puis conclure soigneusement.
D’après la première question, (an+1 − 1)(1 − a1 ) ≥ 0, et donc Pn+1 est vérifiée d’après
l’inégalité que nous venons de montrer. Par ailleurs il est clair que P1 est vérifiée (si
a1 = 1, alors a1 ≥ 1) : comme nous avons montré que Pn ⇒ Pn+1 , nous avons bien
prouvé par récurrence que Pn est vérifiée pour tout entier n ≥ 1.
2. On considère maintenant n nombres réels strictement positifs x1 , · · · , xn . Montrer que
x1 + · · · + xn
n
1
(x1 · · · xn ) n ≤
xk
1 pour 1 ≤ k ≤ n et utiliser la question précédente).
(x1 · · · xn ) n
En utilisant l’indication de l’énoncé, on s’aperçoit que le produit des ak vaut 1, donc d’après
la question précédente la somme des ak est supérieure à n. Autrement dit,
(on pourra poser ak =
x1
(x1 · · · xn )
ou encore
1
n
+ ··· +
xn
1
(x1 · · · xn ) n
≥n
1
x1
xn
+ ··· +
≥ (x1 · · · xn ) n
n
n
d’où le résultat.
3. On considère enfin un nombre réel x > 0.
1
(a) Calculer (1 × x × x2 · · · × x2n ) 2n+1 .
En additionnant les puissances, on trouve 0 + 1 + 2 + · · · + 2n = n(2n + 1) et donc le
résultat demandé est xn
(b) Montrer que
xn
1
≤
2
2n
1 + x + x + ··· + x
2n + 1
Le résultat provient directement de l’inégalité vue à la question précédente :
1
(1 × x × x2 · · · × x2n ) 2n+1 ≤
1 + x + x2 + · · · + x2n
2n + 1
1
et du fait que (1 × x × x2 · · · × x2n ) 2n+1 = xn .
Exercice 6
Soit Q l’ensemble des nombres complexes z = a + ib tels que a > 0 et b > 0. On
définit une suite (zn )n≥0 par z0 ∈ Q et
zn+1 =
zn + |zn |
2
8
pour n ≥ 0.
1. Montrer que zn ∈ Q pour tout entier n ≥ 0.
On fait un raisonnement par récurrence : l’énoncé nous dit que z0 ∈ Q, et si zn ∈ Q, en
posant zn = an +ibn avec an et bn positifs, on a bn+1 = bn /2 > 0 et an+1 = (an +|zn |)/2 > 0,
d’où zn+1 ∈ Q et le résultat.
2. En déduire qu’il existe un unique réel positif ρn et un unique réel θn ∈]0, π/2[ tels que
zn = ρn (cos θn + i sin θn ).
Il existe de toutes façons un unique réel positif ρn et un unique réel θn ∈]0, 2π[ tels que
zn = ρn (cos θn + i sin θn ). Comme zn ∈ Q, θn ∈]0, π/2[.
3. Montrer que pour tout entier n ≥ 0,
ρn+1 = ρn cos
θn
2
et
θn+1 =
zn+1 =
θn
2
1
(ρn + ρn cos θn + iρn sin θn ) .
2
(1)
Par suite,
1 2
ρn (1 + cos θn )2 + ρ2n sin2 θn
4 2 + 2 cos θn
2
= ρn
4
ρ2n+1 =
= ρ2n cos2 (θn /2)
d’après le rappel donné au début de l’énoncé. Comme zn ∈ Q, cos(θn /2) > 0, on a donc
ρn+1 = ρn cos(θn /2).
En utilisant ce résultat et l’expression de zn+1 donnée en (1), on obtient
1
(ρn (1 + cos θn ) + iρn sin θn )
2
= ρn cos2 (θn /2) + iρn sin(θn /2) cos(θn /2)
zn+1 =
= ρn+1 (cos(θn /2) + i sin(θn /2))
d’où on conclut que θn+1 = θn /2.
4. En déduire que la suite (zn )n≥0 converge vers une limite réelle l ≥ 0.
D’après la question précédente, la suite de terme général ρn est décroissante et minorée
par 0, donc elle converge vers une limite réelle l ≥ 0. De plus la suite de terme général θn
converge évidemment vers 0. Par suite zn converge vers l(cos 0 + i sin 0) = l d’où le résultat.
Exercice 7
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère une urne dans laquelle on a mis
n boules bleues, 5 boules rouges et 3 boules jaunes, soit n + 8 boules en tout.
9
1. On tire simultanément deux boules de l’urne, et on note pn la probabilité que ces deux
boules aient la même couleur.
(a) Donner la probabilité d’avoir sorti deux boules bleues, celle d’avoir sorti deux boules
rouges et celle d’avoir sorti deux boules jaunes. En déduire la valeur de pn
Les boules étant tirées simultanément, il y a (n + 8)(n + 7)/2 paires possibles de boules
tirées, dont n(n-1)/2 permettent de sortir 2 boules bleues. La probabilité d’avoir sorti
n(n − 1)
deux boules bleues est donc de
. De même, la probabilité d’avoir sorti
(n + 8)(n + 7)
20
deux boules rouges est
et la probabilité d’avoir sorti deux boules jaunes
(n + 8)(n + 7)
6
.
est
(n + 8)(n + 7)
n(n − 1) + 26
On en déduit que pn =
.
(n + 8)(n + 7)
(b) Calculer la limite de pn quand n → +∞. Pouvez-vous donner une explication intuitive
au résultat obtenu ?
La limite de pn est celle des termes de rang principal dans la fraction ci-dessus, soit 1.
C’est intuitif car plus n est grand, plus les boules bleues sont majoritaires dans l’urne
et les chances de tirer une boule d’une autre couleur dans l’urne tendent vers 0.
2. On effectue maintenant une série de 10 tirages successifs de deux boules comme à la question
précédente, en remettant les boules dans l’urne après chaque tirage. On note X la variable
aléatoire égale au nombre de fois où, lors de ces 10 tirages, on a obtenu deux boules de même
couleur.
(a) Quelle est la loi de X ?
n(n − 1)
.
(n + 8)(n + 7)
(b) Calculer la probabilité rn d’avoir obtenu exactement 9 fois deux boules de même couleur
dans ces tirages.
Par définition de la loi binomiale,
La loi de X est une loi binomiale de paramètres 10 et
rn = 10 ×
n(n − 1)
(n + 8)(n + 7)
9 1−
n(n − 1)
(n + 8)(n + 7)
.
(c) Calculer la limite de rn quand n → +∞. Pouvez-vous donner une explication intuitive
au résultat obtenu ?
9
n(n−1)
n(n−1)
On a toujours 0 ≤ (n+8)(n+7)
≤ 1, et quand n → +∞, 1 − (n+8)(n+7)
→ 0. Par
suite, rn tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Cela signifie que l’hégémonie des boules
bleues est telle que la possibilité de tirer autre chose que systématiquement 2 boules
bleues sur 10 tirages est asymptotiquement nulle.
10
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG / ANALYSTES
STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
CORRIGÉ de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Dans toute l’épreuve, Ln désigne le logarithme népérien, e le nombre de Néper, R l’ensemble
des nombres réels et N l’ensemble des entiers naturels.
Exercice n° 1
Soit l’application f définie sur R par : f ( x)  x  Ln (1  x 2 )
1. Etudier les variations de f (on précisera son comportement aux infinis) et donner l’allure de
son graphe.
( x  1) 2
'
 0 . La fonction est donc strictement croissante
La dérivée de f est égale à : f ( x) 
1 x2
de R sur R avec une branche parabolique dans la direction de la première bissectrice.
y
10
5
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-5
-10
-15
2. Etudier la convexité de f.
2 ( x  1)( x  1)
. La fonction est donc convexe pour
(1  x 2 ) 2
x<-1 et x>1 et par conséquent concave entre -1 et 1.
La dérivée seconde est égale à : f '' ( x) 
1
3. Calculer I   f ( x) dx .
0
1
Soit J   Ln (1  x 2 ) dx que l’on intègre par parties, à savoir :
0


1
J  x Ln (1  x 2 ) 0   2
1
0
x2

1
dx  Ln 2  2 x  Arctg x0  Ln 2  2(1  ) . Par conséquent :
2
4
1 x
5

I   Ln 2 
2
2
4. Etudier la suite réelle (u n ) nN définie par la relation de récurrence : u n1  Ln (1  u n2 ) et
u0  0 .
Si la suite converge vers une limite l, cette dernière est solution de l’équation : l  Ln (1  l 2 )
ou encore f (l )  0 , soit l=0 ;
Par ailleurs  n  0, u n  0 et u n1  u n   f (u n )  0 . La suite est donc décroissante et
minorée, et elle converge vers 0.
Exercice n° 2
Pour n entier supérieur ou égal à 1, on définit la fonction numérique f n par :
ex
(1  x 2 ) n
1. Etudier les variations de f n selon les valeurs de n (on précisera son comportement à
l’infini).
ex
'
La dérivée est égale à : f n ( x) 
( x 2  2nx  1)
(1  x 2 ) n 1
f n ( x) 
ex
( x  1) 2  0 et la fonction est strictement croissante de R sur R  ,
(1  x 2 ) 2
avec une banche parabolique dans la direction verticale à plus l’infini et l’axe des abscisses
comme asymptote à moins l’infini. Son graphe admet une tangente horizontale en 1.
Si n=1, f1 ( x) 
'
Si n>1, la dérivée s’annule pour x  n  n 2  1 , la fonction est croissante pour
x  n  n 2  1 et x  n  n 2  1 et décroissante entre ces deux valeurs.
2. Tracer les graphes de f 1 et f 2 .
y1
6
5
4
3
2
1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
y2
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
2
3. Déterminer Lim  f n ( x) dx .
n 
1
Sur cet intervalle, on a : 0  f n ( x) 
e2
 0 , donc la limite est nulle.
2n
Exercice n° 3
On dispose de 12 cartes retournées sur une table (on ne voit pas la couleur de ces cartes). Ce
dispositif contient 3 cartes de chaque couleur (cœur, carreau, pique et trèfle).
On retourne au hasard les cartes une par une et sans remise. Le jeu s’arrête quand on a tiré 3
couleurs identiques.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cartes de la même couleur au troisième tirage ?
- Aucune contrainte sur la première carte,
- La deuxième carte doit être de la même couleur que la première, soit une probabilité de 2/11
- Pour la troisième, une probabilité égale à : 1/10
2 1
1
Au total, la probabilité est :  
11 10 55
2. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cartes de la même couleur au quatrième tirage ?
- Aucune contrainte sur la première carte, notons A cette première couleur et B pour les autres
couleurs.
3 possibilités pour arrêter le jeu au quatrième tirage :
2 9 1 1
AABA avec une probabilité de
  
11 10 9 55
9 2 1 1
ABBB avec une probabilité de
  
11 10 9 55
9 2 1 1
ABAA avec une probabilité de
  
11 10 9 55
Au total, la probabilité est de 3/55
3. Quel est le nombre maximal possible de tirages pour obtenir 3 cartes de la même couleur ?
Le nombre maximal est obtenu quand on a déjà tiré deux cartes de chacune des quatre
couleurs, soit donc au 9ème tirage.
4. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cartes de 3 couleurs différentes au troisième tirage ?
- Aucune contrainte sur la première carte,
- La deuxième carte doit être couleur différente, soit une probabilité de 9/11
- Pour la troisième, de couleur différente aux deux premières, une probabilité égale à : 6/10
9 6 27
Au total, la probabilité est :


11 10 55
5. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 cartes de 4 couleurs différentes au quatrième tirage ?
La probabilité est :
9 6 3 9
  
11 10 9 55
Exercice n° 4
1. On considère la suite réelle (u n ) nN définie par la relation de récurrence : u n 1 
1  u 0  2 . Etudier la convergence de cette suite (on précisera sa limite si elle existe).
On vérifie aisément par récurrence que : 1  u n  2 pour tout n.
3  u n2
et
4
(u n  1)(u n  3)
 0 . La suite étant décroissante et minorée, elle converge
4
3 l2
vers une limite l solution de l’équation l 
et on trouve l=1.
4
De plus u n1  u n 
2. Soit la suite (vn ) nN définie par vn1  vn  Ln u n et v0  0 . Etudier la convergence de cette
suite (vn ) nN .
On a vn1  vn  Ln u n  0 , car 1  u n . La suite est donc croissante. Si elle était majorée, par
exemple : vn  M , alors vn1  M  Ln u n et ce majorant est plus grand que M. La suite n’est
donc pas majorée et elle tend vers plus l’infini.
9  wn2
3. On considère la suite réelle ( wn ) nN définie par la relation de récurrence : wn 1 
et
6
w0  0 . Etudier la convergence de cette suite (on précisera sa limite si elle existe).
La suite est à termes positifs et si elle converge vers une limite l alors cette limite vérifie :
9  l2
, à savoir l=3. On vérifie par récurrence que wn  3 et que
l
6
(3  wn ) 2
wn 1  wn 
 0 . La suite étant croissante et majorée, elle converge vers l=3.
6
Exercice n° 5
Soit la fonction
f  définie sur l’ensemble des nombres réels non nuls par :
1
f  ( x)  x  sin   où  est un paramètre réel strictement positif.
 x
1. Montrer que f  est prolongeable par continuité en zéro. On notera encore f  la fonction
ainsi prolongée en zéro.
1
On a : x  sin    x   0 quand x tend vers zéro. Par conséquent, on peut prolonger par
 x
continuité en posant f  (0)  0 .
2. Etudier la dérivabilité de f  sur R.
La fonction est indéfiniment dérivable (comme composée de fonctions élémentaires
indéfiniment dérivables) sur R * . Les difficultés se posent uniquement à l’origine (idem pour
les deux questions suivantes).
1
1
Rappelons que les fonctions sin   et cos   n’ont pas de limite en zéro.
 x
 x
f ( x)  f  (0)
1
 Lim x  1 sin( )  0 si   1 . La fonction est donc dérivable en
On a : Lim 
0
0
x
x
zéro avec une dérivée nulle si   1 , sinon elle n’est pas dérivable.
3. Etudier la continuité de la fonction dérivée de f  sur R (quand elle existe).
Il faut   1.
1
1
En dehors de zéro, la dérivée est : f ' ( x)   x  1 sin( )  x  2 cos( ) .
x
x
Cette dérivée tend vers zéro pour   2 et elle est donc continue en zéro. Sinon la fonction
dérivée n’est pas continue.
4. La fonction f  est-elle deux fois continument dérivable en zéro ?
Cherchons d’abord la dérivée seconde en zéro :
'
'
f ( x)  f  (0)
1
1
Lim 
 Lim  x  2 sin( )  x  3 cos ( )  0  f '' (0) si   3
0
0
x
x
x
Puis pour x  0 ,
1
1
1
1
f '' ( x)   (  1) x  2 sin( )   x  3 cos( )  (  2) x  3 cos( )  x  4 sin( )
x
x
x
x
On a : Lim f '' ( x)  0  f '' (0) si   4 .
0
En conclusion la fonction est de deux fois continument dérivables ssi   4
5. Résoudre l’équation f  ( x)  0 . On obtient x  0 ou x 
1
.
k
Exercice n° 6
e(x )  1
Soit la fonction f définie sur R par : f (0)  0 et  x  0, f ( x) 
x
1
1. Montrer que f admet une application réciproque, notée f , définie sur R.
On va montrer que f est continue et strictement croissante, donc bijective et elle admet alors
u2
u
une application réciproque. On rappelle que e 1  u 
au voisinage de 0.
2
x2
- La fonction est continue  x  0 et en zéro : Lim f ( x)  Lim
 0  f (0)
0
0
x
- Dérivabilité de f en zéro :
2
f ( x)  f (0)
f ( x)
e(x )  1
Lim
 Lim
 Lim
 1  f ' (0) et la fonction dérivée est aussi
2
0
0
0
x
x
x
continue.
- Monotonie de f :
2
2
2
(2 x 2  1) e ( x )  1
'
On a : f ( x) 
ou encore x 2 f ' ( x) e  x  (2 x 2  1)  e ( x )
2
x
2
En remplaçant x par u, soit g (u)  (2u  1)  e u pour u  0 . Le signe de la dérivée de f est
2
le même que celui de g. On a : g ' (u)  2  e u  0 , la fonction g est donc croissante et
comme g(0)=0, on a :  u  0, g (u)  0
La fonction f est donc strictement croissante et bijective.
2. Donner un développement limité de f 1 , à l’ordre 5, au voisinage de zéro.
Le développement limité de f au voisinage de 0 est :
x3 x5
f ( x)  x 

 o (x5 )
2
6
1
f étant impaire (comme f), son développement limité sera de la forme :
f 1 ( x)  a1 x  a3 x 3  a5 x 5  o ( x 5 )
On doit avoir :
x3 x5
x3
x  f 1o f ( x)  a1 ( x 
 )  a3 ( x  ) 3  a5 x 5  o ( x 5 )
2
6
2
3
a
a1
a
x  a1 x  (  a3 ) x 3  ( 1  3  a5 ) x 5  o ( x 5 ) et par identification, on obtient :
2
6
2
1
3 1 7
. Par conséquent :
a1  1; a3   ; a5   
2
4 6 12
x3 7 5
f 1 ( x)  x 
 x  o (x5 )
2 12
ÉCOLE NATIONALE
SUPÉRIEURE DE
STATISTIQUE ET
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Attention !
L’exercice 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice 1 étant notée
sur 1 point).
Toutefois cet exercice n’entre que pour un cinquième dans la note finale de cette
première épreuve de mathématiques.
Dans tous les exercices, R désigne l’ensemble des nombres réels, C l’ensemble des nombres
complexes et ln le logarithme népérien. On rappelle les relations
θ
1 + cos θ
cos2
=
2
2
θ
θ
cos
sin θ = 2 sin
2
2
valables pour tout réel θ.
On rappelle enfin la limite classique :
ex − 1
= 1.
x→0
x
lim
Exercice 1
Z π/4
1. Calculer
cos2 x(sin x)dx.
π/6
sin x3
comme une fonction de sin x.
cos x
p
3. Donner la limite en −∞ de la fonction f (x) = 2x2 + x + 1 + x.
2. Exprimer la dérivée de la fonction f (x) =
1
4. Donner le comportement au voisinage de x = 0 de la fonction f (x) = sin x ln(x − x2 ).
5. Ecrire le nombre complexe z = −3 + 3i sous forme trigonométrique.
6. Si on vous demande d’étudier les variations de la fonction
f (x) =
2x
ex − e−x
,
expliquer quel intervalle d’étude vous choisissez, et comment vous étendez vos résultats à
l’ensemble du domaine de définition de f .
7. Une urne contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2. On tire au hasard
uniforme et avec remise deux fois une boule, et on fait le produit X des chiffres obtenus.
Pour toute valeur de k pertinente, donner la probabilité pour que X soit égal à k et en
déduire l’espérance de X.
8. On considère la suite définie par u0 = 4 et un+1 = 21 (u2n + 4). Cette suite est-elle monotone ?
Est-elle convergente ?
9. En utilisant la double inégalité (qu’on ne cherchera pas à démontrer)
n
n
n
≤√
≤√
n4 + n
n4 + k
n4 + 1
valable pour tout entier n > 0 et pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ n, étudier la convergence
de la suite de terme général
√
un =
n
X
k=1
√
n
n4 + k
.
10. Résoudre l’equation x3 + 6x2 − x = 0 dans R, puis dans C.
Exercice 2
Pour a ∈ R, on considère la fonction de la variable réelle
fa (x) = ax3 − 3(a + 1)x2 + x + 1
1. Dans cette partie, on pose a = −1/3 et pour simplifier on note f− 1 = f .
3
(a) Calculer f 0 , et en déduire les intervalles de croissance de f .
(b) Calculer les limites de f en −∞ et +∞, ainsi que la valeur de f (−2).
(c) Déduire des questions précédentes que l’équation f (x) = 0 admet exactement 3 solutions qu’on placera par rapport aux valeurs −2, −1 et 0.
(d) Dresser le tableau de variations de f et tracer sa courbe représentative.
2. On suppose désormais a quelconque.
(a) Pour un point (x, y) tel que x 6= {0, 3}, montrer qu’il existe une unique valeur de a
telle que fa (x) = y et donner la valeur de a.
(b) Pour y fixé, résoudre en a l’équation fa (3) = y.
2
(c) Déduire de ce qui précède que toutes les courbes représentatives des fonctions fa , a ∈ R,
passent par deux points M1 et M2 du plan dont on donnera les coordonnées.
(d) Montrer que la tangente à la courbe de fa au point d’abscisse x = 0 ne dépend pas de
a ∈ R.
Exercice 3
On considère la fonction de la variable réelle f définie par
2
f (x) = (x − 1)e x
pour x 6= 0
1. Montrer que
2
lim x e x − 1 = 2.
|x|→∞
(on pourra utiliser le rappel donné au début de l’énoncé avant l’exercice 1)
2. Donner le domaine de définition de f , calculer les limites de f aux bornes de son domaine
de définition et étudier soigneusement ses éventuelles branches infinies.
3. Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations de f .
4. Tracer la courbe représentative de f .
5. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, si t > 1,
2
Z t
Z t
2
2
t2 e t − e2
x
xe dx =
+
e x dx.
2
1
1
6. En déduire l’ensemble des primitives de f .
7. Calculer l’aire du domaine du plan constitué des points (x, y) vérifiant 1 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤
f (x).
Exercice 4
On considère la suite (In )n≥0 définie par
Z 1 n+1
x
In =
dx.
0 1+x
1. Calculer I0 et montrer que I1 = ln 2 − 1/2.
2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,
0 ≤ In ≤
1
.
n+2
3. Pour x réel différent de −1 et n entier naturel non nul, montrer que
1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn −
1
(−1)n+2 xn+1
=
.
1+x
1+x
4. On pose
Sn = 1 −
1 1
(−1)n+1
+ − ··· +
.
2 3
n
Déduire de la question précédente que
In = (−1)n (Sn − ln 2).
3
5. En déduire la limite de la suite (Sn )n≥1 .
Exercice 5
1. On se propose de montrer par récurrence la proposition
Pn : Si n nombres réels strictement positifs a1 , a2 , · · · , an vérifient a1 a2 · · · an = 1, alors
a1 + a2 + · · · + an ≥ n.
Pour ce faire, on suppose que la proposition Pn est vérifiée pour un certain n ≥ 1, et on
considère n + 1 nombres réels strictement positifs a1 , · · · , an+1 vérifiant a1 a2 · · · an+1 = 1 .
On supposera les ai rangés par ordre croissant, c’est-à-dire a1 ≤ · · · ≤ an .
(a) Montrer que a1 ≤ 1 et an+1 ≥ 1.
(b) On pose b1 = a1 an+1 . Montrer que b1 + a2 + a3 + · · · + an ≥ n.
(c) En déduire que a1 + a2 + · · · + an+1 ≥ n + 1 + (an+1 − 1)(1 − a1 ).
(d) En déduire que la proposition Pn+1 est vérifiée, puis conclure soigneusement.
2. On considère maintenant n nombres réels strictement positifs x1 , · · · , xn . Montrer que
1
(x1 · · · xn ) n ≤
x1 + · · · + xn
n
xk
1 pour 1 ≤ k ≤ n et utiliser la question précédente).
(x1 · · · xn ) n
3. On considère enfin un nombre réel x > 0.
(on pourra poser ak =
1
(a) Calculer (1 × x × x2 · · · × x2n ) 2n+1 .
(b) Montrer que
xn
1
≤
2
2n
1 + x + x + ··· + x
2n + 1
Exercice 6
Soit Q l’ensemble des nombres complexes z = a + ib tels que a > 0 et b > 0. On
définit une suite (zn )n≥0 par z0 ∈ Q et
zn+1 =
zn + |zn |
2
pour n ≥ 0.
1. Montrer que zn ∈ Q pour tout entier n ≥ 0.
2. En déduire qu’il existe un unique réel positif ρn et un unique réel θn ∈]0, π/2[ tels que
zn = ρn (cos θn + i sin θn ).
3. Montrer que pour tout entier n ≥ 0,
ρn+1 = ρn cos
θn
2
et
θn+1 =
θn
2
4. En déduire que la suite (zn )n≥0 converge vers une limite réelle l ≥ 0.
4
Exercice 7
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère une urne dans laquelle on a mis
n boules bleues, 5 boules rouges et 3 boules jaunes, soit n + 8 boules en tout.
1. On tire simultanément deux boules de l’urne, et on note pn la probabilité que ces deux
boules aient la même couleur.
(a) Donner la probabilité d’avoir sorti deux boules bleues, celle d’avoir sorti deux boules
rouges et celle d’avoir sorti deux boules jaunes. En déduire la valeur de pn
(b) Calculer la limite de pn quand n → +∞. Pouvez-vous donner une explication intuitive
au résultat obtenu ?
2. On effectue maintenant une série de 10 tirages successifs de deux boules comme à la question
précédente, en remettant les boules dans l’urne après chaque tirage. On note X la variable
aléatoire égale au nombre de fois où, lors de ces 10 tirages, on a obtenu deux boules de même
couleur.
(a) Quelle est la loi de X ?
(b) Calculer la probabilité rn d’avoir obtenu exactement 9 fois deux boules de même couleur
dans ces tirages.
(c) Calculer la limite de rn quand n → +∞. Pouvez-vous donner une explication intuitive
au résultat obtenu ?
5
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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AVRIL 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Pensez-vous que l'on peut avoir confiance dans l'information, quel que soit le moyen
utilisé pour la diffuser ?
Sujet n° 2
Comment pouvons-nous mieux protéger les démocraties pour éviter notamment
qu'elles soient détournées par des hommes politiques hors de contrôle ?
Sujet n° 3
Selon vous, quels risques fait courir la remise en cause du principe de la stabilité des
frontières issues de la colonisation adopté par l'Organisation de l'Union Africaine en
1964 ?
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG / ANALYSTES
STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Dans toute l’épreuve, Ln désigne le logarithme népérien, e le nombre de Néper, R l’ensemble
des nombres réels et N l’ensemble des entiers naturels.
Exercice n° 1
Soit l’application f définie sur R par : f ( x)  x  Ln (1  x 2 )
1. Etudier les variations de f (on précisera son comportement aux infinis) et donner l’allure de
son graphe.
2. Etudier la convexité de f.
1
3. Calculer I   f ( x) dx .
0
4. Etudier la suite réelle (u n ) nN définie par la relation de récurrence : u n1  Ln (1  u n2 ) et
u0  0 .
Exercice n° 2
Pour n entier supérieur ou égal à 1, on définit la fonction numérique f n par :
ex
(1  x 2 ) n
1. Etudier les variations de f n selon les valeurs de n (on précisera son comportement à
l’infini).
f n ( x) 
2. Tracer les graphes de f 1 et f 2 .
2
3. Déterminer Lim  f n ( x) dx .
n 
1
Exercice n° 3
On dispose de 12 cartes retournées sur une table (on ne voit pas la couleur de ces cartes). Ce
dispositif contient 3 cartes de chaque couleur (cœur, carreau, pique et trèfle).
1
On retourne au hasard les cartes une par une et sans remise. Le jeu s’arrête quand on a tiré 3
couleurs identiques.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cartes de la même couleur au troisième tirage ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cartes de la même couleur au quatrième tirage ?
3. Quel est le nombre maximal possible de tirages pour obtenir 3 cartes de la même couleur ?
4. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cartes de 3 couleurs différentes au troisième tirage ?
5. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 cartes de 4 couleurs différentes au quatrième tirage ?
Exercice n° 4
1. On considère la suite réelle (u n ) nN définie par la relation de récurrence : u n 1 
1  u 0  2 . Etudier la convergence de cette suite (on précisera sa limite si elle existe).
3  u n2
et
4
2. Soit la suite (vn ) nN définie par vn1  vn  Ln (u n ) et v0  0 . Etudier la convergence de
cette suite (vn ) nN .
3. On considère la suite réelle ( wn ) nN définie par la relation de récurrence : wn 1 
w0  0 . Etudier la convergence de cette suite (on précisera sa limite si elle existe).
9  wn2
et
6
Exercice n° 5
Soit la fonction
f  définie sur l’ensemble des nombres réels non nuls par :
1
f  ( x)  x  sin   où  est un paramètre réel strictement positif.
 x
1. Montrer que f  est prolongeable par continuité en zéro. On notera encore f  la fonction
ainsi prolongée en zéro.
2. Etudier la dérivabilité de f  sur R.
3. Etudier la continuité de la fonction dérivée de f  sur R (quand elle existe).
4. La fonction f  est-elle deux fois continument dérivable en zéro ?
5. Résoudre l’équation f  ( x)  0
Exercice n° 6
e(x )  1
Soit la fonction f définie sur R par : f (0)  0 et  x  0, f ( x) 
x
1
1. Montrer que f admet une application réciproque, notée f , définie sur R.
2
2. Donner un développement limité de f 1 , à l’ordre 5, au voisinage de zéro.
2
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
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ÉCOLE NATIONALE DE LA
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Le texte ci-après est tiré du livre de Messieurs Isaac GETZ et Laurent MARBACHE,
intitulé : L’ENTREPRISE ALTRUISTE, paru en Octobre 2019 aux éditions Albin
Michel.
Il doit être résumé en 250 mots (plus ou moins 10%). Vous indiquerez en fin de copie le
nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre
écrit.
Nous sommes partis à la recherche d’entreprises qui agissent avec un respect profond de leurs
fournisseurs, de leurs clients, de leurs employés ou des territoires où elles opèrent. Chemin
faisant, nous avons découvert une « espèce » nouvelle – qui existait avant cette enquête, bien
entendu, mais dont les traits communs, la philosophie commune, n’avaient jamais été décrits.
Nous avons nommé cette philosophie l’entreprise altruiste.
Nous avons identifié deux grandes idées que ces entreprises altruistes partageaient – même
si elles sont toutes différentes dans leur mode de fonctionnement.
La première est celle – qu’elles ont toutes abandonnée – selon laquelle la seule façon
d’obtenir un bon résultat économique consiste à le viser directement – mécaniquement – à
l’aide de modèles économiques et de processus. Ces entreprises considèrent plutôt leurs
résultats comme une conséquence organique, fruit d’un service authentique de tous ceux avec
qui elles interagissent. L’idée n’est pas nouvelle en soi. Un philosophe chinois
néoconfucianiste, Mencius (380-289 avant J.C.), a écrit ceci : « Essayer d’aider les pousses à
grandir en tirant sur leur tige est non seulement futile, mais cela les abîme aussi. » C’est l’idée
que plutôt qu’agir sur une chose, mieux vaut agir sur son environnement. Le bon résultat
organique de cette action – son beau fruit – n’est alors pas déterministe, même s’il est fort
probable.
1
La seconde idée – celle qu’elles ont toutes acceptée – est plus subtile : se concentrer sur
leurs interlocuteurs, sur l’autre, inconditionnellement. L’idée paraît radicale, mais c’est ainsi
que ces entreprises se prouvent d’abord à elles-mêmes, puis à leurs interlocuteurs, qu’elles
sont altruistes et ne les instrumentalisent pas. Dans la vie, on ne dit pas à une personne avec
qui on veut se lier d’amitié : « tu es un ami tant que ça ne me coûte pas trop, ou tant que ça me
rapporte. » Certes, les relations des entreprises avec leurs interlocuteurs ne sont pas à priori
des relations d’amitié. Mais elles ne doivent pas non plus nécessairement être réduites à de
simples transactions économiques. C’est ce qu’ont décidé les entreprises que nous avons
étudiées : elles essaient d’avoir des liens profondément authentiques avec toutes les personnes
avec qui elles sont en rapport. D’ailleurs, certaines n’hésitent pas à qualifier d’amis leurs
clients, leurs partenaires ou leurs fournisseurs. Pour reprendre la métaphore du jardin, pour
qu’une pousse devienne une belle fleur, il ne faut pas seulement cesser d’agir sur elle et se
concentrer sur son environnement. Il faut le faire de façon à ce que la fleur « ressente qu’on
l’aime », comme nous l’a dit un dirigeant. Enfin, en vue de servir ces interlocuteurs sans
condition, ces entreprises ont toutes été amenées à transformer leurs activités de cœur de
métier, ces dernières étant, le plus souvent, subordonnées à l’intérêt économique. Sans une
telle transformation, l’intérêt financier conditionne le service authentique des interlocuteurs de
l’entreprise, voire l’emporte sur lui tout simplement.
Cependant, ces deux grandes idées – que la performance économique ne doit pas être une
finalité, mais une conséquence organique de la finalité sociale ; et que cette finalité sociale du
service de l’autre doit être poursuivie inconditionnellement à travers les activités de cœur de
métier – ne sont pas faciles à adopter pour des dirigeants, tant les esprits sont conditionnés par
l’impératif de rentabilité immédiate.
Quelques dizaines d’entreprises de toutes tailles et de tous secteurs d’activité sur trois
continents démontrent quotidiennement qu’on peut bâtir sur de tels principes des
organisations qui créent de la valeur sociale et qui, par là même, prospèrent économiquement.
L’étude que nous avons faite de ces entreprises altruistes nous ont permis d’extraire des
enseignements communs à leurs divers chemins de transformation, enseignements qui
peuvent vous inspirer pour vous engager dans votre propre chemin.
Ces enseignements, les voici :
1- Assurez-vous que vous êtes un leader qui vit une seule vie et non pas deux – sa vie
personnelle et sa vie professionnelle. Que vous vous comportez dans l’entreprise
exactement comme avec vos amis, guidé par les mêmes convictions du service
inconditionnel
de
tous
ceux
avec
qui
vous
interagissez.
Travaillez sur vous-même, si c’est nécessaire.
2- Prenez le temps de co-construire avec vos salariés une vision, une raison d’être de
votre entreprise, tournée vers la création de valeur sociale. Cette valeur peut
s’exprimer dans le service inconditionnel de vos clients, de vos fournisseurs, de vos
partenaires, des communautés où votre entreprise opère, des jeunes de votre territoire
ou encore des anciens à l’origine d’un savoir-faire local.
3- Arrêtez de viser la création de valeur économique. Oui, vous avez bien lu. Et ne
tentez même pas de le faire en parallèle avec la création de valeur sociale. Tant que
vous visez les résultats financiers, ceux-ci vont toujours conditionner le service de
l’autre, service qui sera toujours sacrifié au moindre tassement des résultats. « A
chaque baisse de résultat, dit Odd Reitan P.D.G. du grand distributeur norvégien
Reitan, revenez encore plus fort vers [vos] valeurs. »
2
4- Transformez avec les salariés les pratiques organisationnelles, et plus important
encore, les activités de cœur de métier de votre entreprise pour qu’elle puisse servir
l’autre inconditionnellement. Le mode de fonctionnement de votre entreprise doit être
structurellement conçu pour la création de valeur sociale – et non pas pour créer de la
valeur économique. Avec le temps cependant et parfois rapidement, cette dernière sera
au rendez-vous sans que vous ayez besoin de la rechercher.
Découvrons à présent ces entreprises très différentes qui redéfinissent l’essence même de
l’entreprise capitaliste.
S’enrichir en donnant tout
[…] « Comment devenir millionnaire grâce à des actions qui mènent à un monde
meilleur ? » (Peter Drucker, journaliste)
En d’autres termes, notre thèse est que l’entreprise peut être une formidable force de progrès
social et, grâce à cela, formidablement réussir. Or, comment une entreprise peut-elle se mettre
au service de la société, alors qu’elle est structurellement au service de son propre intérêt
économique ? Cette question n’est pas récente.
Entre l’apparition au début du XIXe siècle de l’entreprise industrielle moderne et le début
du XXIe siècle, le niveau de vie moyen des pays industrialisés a été multiplié par vingt. Mais
nous savons aussi que ce progrès social a été accompagné par de multiples souffrances
humaines. A l’aube de la révolution industrielle au Royaume uni, seuls des marginaux et des
paysans ruinés ou expropriés rejoignaient les usines, tant les conditions de travail y étaient
dégradantes. Aujourd’hui, dans les pays développés, ces conditions se sont largement
améliorées, bien qu’il reste encore de nombreuses activités pénibles physiquement. La
souffrance la plus répandue a changé de registre : elle est devenue non plus physique, mais
psychologique, que ce soit du fait du stress au travail ou encore de la démotivation due au
manque de contrôle que les salariés ont sur leurs tâches. Cette souffrance psychologique n’est
pourtant pas une fatalité. Des centaines d’entreprises dites libérées, ont démontré qu’il est
possible de se transformer pour donner de la liberté et de la responsabilité d’action à tous les
salariés, contribuant ainsi à leur bien-vivre
Toutefois, l’impact de l’entreprise sur ceux qui y travaillent – si important qu’il soit – ne
constitue pas sa seule dimension sociale. A travers ses activités économiques, l’entreprise
impacte également ses clients, ses fournisseurs, ses partenaires, les communautés où elle
opère, les jeunes de son territoire, les anciens qui ont fondé le savoir-faire local – tous ses
interlocuteurs externes, faisant partie de la société, au sens large.
Historiquement, l’entreprise a eu une incidence positive sur la plupart d’entre eux. Ainsi, en
tant que clients, nous sommes tellement habitués à tous les objets qui nous facilitent la vie de
tous les jours que nous oublions parfois que ce sont des entreprises qui les ont produits et
vendus à un prix accessible au plus grand nombre. Les filatures qui sont apparues à la fin du
XVIIIe siècle, ont rendu abordable l’habillement de qualité. Les faïenceries qui datent de la
même époque, ont rendu abordable la vaisselle jusqu’alors réservée aux seuls fortunés. Les
compagnies de canaux, puis de chemins de fer, ont fait de même pour le transport longue
distance ; les imprimeries et la presse rotative l’ont fait pour les journaux ; les fabricants de
crayons, suite à l’invention de la mine par Nicolas Jacques Conté, l’ont fait pour les
instruments d’écriture – des milliers de produits et de services qui ont contribué à améliorer la
3
vie de nos sociétés. Mais les clients ne sont pas les seuls à avoir bénéficié de l’impact
socialement positif de l’activité de l’entreprise.
Fabriquer un produit utile au client suscite immédiatement l’apparition d’un autre type
d’interlocuteur indispensable : les fournisseurs. La fabrication d’un objet aussi simple qu’un
crayon en bois nécessite des dizaines de fournisseurs allant de mines de graphite, de fabricants
de poudre d’argile, de bois ou de peinture jusqu’à ceux nécessaires pour l’anneau
d’aluminium et la gomme qui couronnent tout crayon qui se respecte. D’une manière
générale, les entreprises ont toujours contribué à la subsistance, voire à la prospérité, d’un
grand tissu d’artisans, d’agriculteurs et d’autres entreprises fournisseurs. […]
Les entreprises que vous allez découvrir dans ce livre font plus que
répondre par l’affirmative à cette question – elles le démontrent jour après jour. Dans des
secteurs allant de la finance, de l’industrie et de la santé à l’agroalimentaire à la grande
distribution, ces entreprises ont choisi de se mettre progressivement au service de tous leurs
interlocuteurs sans subordonner ce choix à leurs propres intérêts économiques. Elles servent
ces « autres » de l’entreprise sans condition. Ainsi, elles sont devenues des entreprises
altruistes – un mot qui vient du latin alter (en français, « l’autre »). Étonnamment – ou plutôt
naturellement -, en devenant une force de progrès social sans condition, elles ont toutes connu
et connaissent encore un remarquable développement économique. En une phrase, l’entreprise
altruiste est celle dont l’essentiel des activités sert ses interlocuteurs externes de façon
inconditionnelle et qui, grâce à cette orientation radicale, prospère économiquement. […]
Servir inconditionnellement l’autre, c’est agir pour son autonomie
Beaucoup parmi nous aspirent à servir, aider, assister ceux qui vivent fragilisés. Le chemin
d’ailleurs paraît tout tracé. Quand nous avons plus de moyens, d’expérience, d’argent et que
nous faisons face à quelqu’un qui n’en a pas, l’action la plus naturelle est de les partager – de
donner sans la moindre contrepartie. Souvent une telle action est appelée altruiste. Grâce à
elle, la personne qui a bénéficié de notre assistance va peut-être se porter mieux. Pour notre
part, on se sent bien en ayant accompli ce qui est aussi appelé une bonne action. Il ne s’agit
pas que d’actions individuelles. Les Etats ou les entreprises, à travers des fondations ou
directement, financent de nombreux organismes ou ONG qui viennent en aide aux plus
fragiles
Et pourtant, malgré tout le soulagement que cela apporte à des millions de personnes, la
plupart des actions de bienfaisance ne changent pas fondamentalement la situation difficile
dans laquelle ils se trouvent. Pour le dire franchement, beaucoup d’actions envers les
personnes fragiles peuvent sembler « donner du poisson à celui qui a faim, plutôt que de lui
apprendre à pêcher ». L’approche de microcrédit du Prix Nobel Muhammad Yunus vise le
contraire : permettre aux pauvres de devenir des entrepreneurs pour subvenir à leurs propres
besoins et rejoindre un jour les classes moyennes. L’un de nous a créé un programme
semblable au Chili et a pu voir sur le terrain les bienfaits de cette approche. […]
Les entreprises altruistes que nous avons décrites sont engagées précisément dans ce dessein
– elles font des personnes fragiles des interlocuteurs économiques légitimes. On comprend
mieux aussi pourquoi cela prend bien plus de temps que de simplement donner. Il faut du
temps pour apprendre à une personne à bien pêcher, puis pour créer un système qui lui
permette de financer l’achat de ses outils de pêche et de les rembourser plus tard. Donner un
4
poisson ou signer un chèque pour en acheter un, est un acte qui a un effet immédiat, mais une
fois le poisson consommé, la personne se retrouve exactement dans le même état – voire pire,
car elle s’attend maintenant à ce que quelqu’un lui fournisse un autre poisson. […]
Selon le proverbe indien, « tout ce qui n’est pas donné est perdu ». Certes, le proverbe a
raison : lorsqu’on laisse passer une chance de rendre service à l’autre, l’occasion est perdue et
ne reviendra jamais. Cependant, si notre façon de donner rend l’autre dépendant, alors cela va
le desservir. Il s’agit donc de donner à l’autre de façon qu’il n’ait plus besoin de notre aide.
Donner l’occasion au meilleur de se révéler chez chacun
Tous ces exemples sont remarquables, tant il est important de permettre aux personnes
fragiles de trouver les moyens de ne plus vivre dans la dépendance et la marginalité.
Cependant, nos entreprises altruistes se sont mises également au service inconditionnel de
tous leurs interlocuteurs indépendamment de leur degré de fragilité. Elles l’ont fait de la
même manière fondamentale : en transformant leur propre entreprise et en y transformant les
activités de cœur de métier pour servir l’autre sans condition. […]
C’est justement parce que les personnes fragiles se trouvent intégrées dans les rapports
économiques des entreprises altruistes ou en interaction avec les activités économiques où
l’entreprise a sa plus grande compétence que la portée sociale de ces entreprises est forte.
Certes les entreprises altruistes ne pourront pas résoudre tous les problèmes sociaux de nos
pays, mais quand elles s’attaquent à un problème spécifique, elles sont très efficaces, car elles
utilisent tout leur savoir-faire. Cette efficacité provient aussi de leur capacité à s’y employer
sans idéologie, un être humain à la fois. Chaque résultat est important.
5
ÉCOLE NATIONALE
SUPÉRIEURE DE
STATISTIQUE ET
D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
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ÉCONOMIQUE
ENSAE-DAKAR
INSTITUT
SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE ET
D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Attention !
L’exercice 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice 1 étant notée
sur 1 point).
Toutefois cet exercice n’entre que pour un cinquième dans la note finale de cette
première épreuve de mathématiques.
Dans tous les exercices, R désigne l’ensemble des nombres réels, C l’ensemble des nombres
complexes et ln le logarithme népérien.
Exercice 1
Z π/2
cos x
dx.
3 + sin x
0
Par le changement de variable sin x = u, il vient
1. Calculer
Z π/2
0
cos x
dx =
3 + sin x
Z 1
0
du
= [ln(3 + u)]10 = 2 ln 2 − ln 3.
u+3
x + 5 cos x − ln x
.
5x + 1 + ln(x2 + 1)
La fonction cos est bornée sur R ; par ailleurs ln x et ln(x2 + 1) sont négligeables devant x
au voisinage de +∞. On en déduit que
2. Donner la limite en +∞ de la fonction f (x) =
1
lim f (x) = .
5
n→∞
1
3. Donner le comportement au voisinage de x = 0 de la même fonction.
Au voisinage de 0 (à droite pour que f soit définie), ln x tend vers −∞, donc le numérateur
de f tend vers +∞. Le dénominateur tend vers 1, donc
lim f (x) = +∞.
n→0+
√
4. Ecrire le nombre complexe z = −2 3 − 2i sous forme trigonométrique.
√
!
3 1
7π
7π
−2 3 − 2i = 4 −
.
− i = 4 cos
+ i sin
2
2
6
6
√
5. Donner le domaine de définition de la fonction
p
f (x) = ln x + x2 − 1 .
√
√
x2 − 1 est bien définie si x ≥ 1 ou x ≤ −1. Si x ≥ 1, x + x2 − 1 ≥ 1 > 0 et
√ donc f est
2
2
bien définie ;√si x ≤ −1, en √
posant u = −x, u > 0 et u > u − 1 donc u > u2 − 1. Par
2
suite, −x > x − 1 et x + x2 − 1 < 0, donc f n’est pas définie. En définitive, le domaine
de définition de f est [1, +∞[.
6. Donner une expression simple de la dérivée de la fonction définie à la question précédente.
En utilisant la formule de dérivation des fonctions composées, il vient :
0
f (x) =
=
=
1 + 2√2x
2
√ x −1
2
x+ x −1
√
x2 − 1 + x
√
√
x2 − 1
x + x2 − 1
√
1
x2 − 1
.
7. Une étude montre qu’après un repas, 1 personne sur 3 prend un café, 1 personne sur 6 en
prend 2, et les autres n’en prennent pas du tout. Deux personnes viennent de finir leur repas,
et on note X le nombre de cafés consommés : pour toute valeur de k pertinente, donner la
probabilité pour que X soit égal à k et en déduire l’espérance de X.
Notons d’emblée que d’après l’énoncé, la probabilité pour qu’une personne ne prenne pas de
café est égale à 1 − 1/3 − 1/6 = 1/2.
Le nombre de cafés consommés varie entre 0 et 4. Voici le tableau où on lit ligne à ligne
le nombre de cafés consommés par A, le nombre de cafés consommés par B, la probabilité
d’avoir cette configuration, et la valeur correspondante pour la variable X.
A
0
0
0
1
1
1
2
2
2
B
0
1
2
0
1
2
0
1
2
P 1/4 1/6 1/12 1/6 1/9 1/18 1/12 1/18 1/36
X
0
1
2
1
2
3
2
3
4
On en déduit immédiatement que la loi de X est donnée par P (X = 0) = 1/4, P (X = 1) =
1/3, P (X = 2) = 5/18, P (X = 3) = 1/9 et P (X = 4) = 1/36.
2
L’espérance de X se calcule alors comme suit :
E(X) = 0 ×
1
1
5
1
1
4
+1× +2×
+3× +4×
= .
4
3
18
9
36
3
8. On considère la suite définie par un =
n
X
k=1
1
. Cette suite est-elle croissante ? Est-elle
n+k
convergente ?
n+1
X
1
. Par suite, en éliminant 2 à 2 les termes redondants dans les
n+1+k
k=1
sommes, on obtient :
On a un+1 =
un+1 − un = =
=
=
1
1
1
+
−
2n + 1 2n + 2 n + 1
2n + 2 + 2n + 1 − 2(2n + 1)
(2n + 1)(2n + 2)
1
.
(2n + 1)(2n + 2)
On en déduit que (un ) est une suite croissante. De plus, comme
k ∈ [[1; n]], on a
un ≤
1
1
≤
pour tout
n+k
n+1
n
<1
n+1
pour tout entier n.
(un ) est donc croissante et majorée par 1, par suite elle est convergente.
9. On considère la suite définie par u0 = 0 et un+1 = 3un − 2 pour n ≥ 0. Déterminer la nature
de la suite définie par vn = un − 1, et en déduire l’étude de la convergence de la suite (un ).
vn+1 = un+1 − 1 = 3un − 3 = 3vn . La suite (vn ) est donc une suite géométrique de premier
terme −1 et de raison 3. Par suite, vn tend vers −∞ quand n → +∞, et il en va de même
pour un = vn + 1.
10. Résoudre l’equation x4 + 4x2 − 1 = 0 dans R, puis dans C.
Posons X = x2 . X est alors solution de l’équation X 2 + 4X − 1 = 0. Le discriminant réduit
√
de cette équation
du second degré est égal à 5, et ses solutions sont donc X1 = −2 + 5 et
√
X2 = −2 − 5.
Dans R, on doit q
avoir X = x2 ≥ 0 donc seul X1 correspond à deux solutions réelles qui sont
q
√
√
−2 + 5 et − −2 + 5.
Dans C, il faut ajouter
aux deux
q
q solutions précédentes les deux racines carrées complexes
√
√
de X2 , à savoir i 2 + 5 et −i 2 + 5.
Exercice 2
Pour tout entier n ≥ 1, on considère la fonction de la variable réelle
fn (x) = xn e−x
1. (a) Donner le domaine de définition de fn , et calculer sa dérivée.
fn est définie sur tout R, et sa dérivée vaut fn0 (x) = xn−1 e−x (n − x).
3
(b) Montrer que toutes les courbes représentatives de fn ont deux points communs, que
l’on déterminera.
Pour tout n, on a fn (0) = 0 et fn (1) = e−1 , donc toutes les courbes représentatives
passent par les points de coordonnées (0, 0) et (1, e−1 ).
(c) Etudier les variations des fonctions f1 , f2 et f3 , et dresser leurs tableaux de variation.
D’après le calcul de dérivée ci-dessus, les fonctions fn admettent toutes une tangente
horizontale et un maximum pour x = n, ce maximum valant donc e−1 ≃ 0, 37 pour f1 ,
4e−2 ≃ 0, 54 pour f2 , et 27e−3 ≃ 1, 34 pour f3 . Par croissance comparée des fonctions
puissance et exponentielle, il vient immédiatement que limn→+∞ fn (x) = 0.
En outre :
— si n est pair, fn0 s’annule également en 0 et fn est décroissante sur ] − ∞, 0[ et sur
]n, +∞[, croissante sur ]0, n[ ; enfin, limn→−∞ fn (x) = +∞ et limn→−∞ fn (x)/x =
−∞ : la courbe de fn admet donc une branche parabolique d’axe Oy en −∞ ;
— si n est impair et n ≥ 3, fn0 s’annule également en 0 sans changer de signe, et fn
est décroissante sur ]n, +∞[, croissante sur ] − ∞, n[ ; enfin, limn→−∞ fn (x) = −∞
et limn→−∞ fn (x)/x = +∞ : la courbe de fn admet donc une branche parabolique
d’axe Oy en −∞ ;
— si n = 1, f10 ne s’annule que pour x = 1 : f1 est décroissante sur ]1, +∞[, croissante
sur ] − ∞, 1[ ; enfin, limn→−∞ f1 (x) = −∞ et limn→−∞ fn (x)/x = +∞ : la courbe
de f1 admet donc une branche parabolique d’axe Oy en −∞.
On en déduit les tableaux de variation de ces trois fonctions.
(d) Représenter graphiquement f1 , f2 et f3 sur une même figure. On précisera notamment
les pentes des courbes au point d’abscisse 0.
Ces courbes se déduisent également de l’étude précédente, en notant que f2 et f3
admettent une tangente horizontale en 0 (qui est en fait un point d’inflexion), alors que
la courbe représentative de f1 admet une pente égale à 1/e en ce point.
(e) Ecrire l’équation de la tangente à la courbe représentative de fn au point d’abscisse 1.
L’équation de la tangente en ce point est de la forme y = ax + b. On a a = fn0 (1) =
e−1 (n − 1) et comme la droite passe par le point (1, e−1 = fn (1)), il vient que b =
(2 − n)e−1 .
(f) On suppose que cette tangente coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées
(4/5, 0) : quelle est la valeur de n ?
Il suffit d’écrire que 0 = e−1 (n − 1)(4/5) + (2 − n)e−1 pour conclure que cela n’est
possible que pour n = 6.
2. On considère la suite (In ) définie pour tout entier n ≥ 1 par
Z 1
In =
fn (x)dx
0
(a) Calculer I1 et I2 .
4
Par une intégration par parties, il vient :
Z 1
I1 =
xe−x dx
0
1
−xe−x 0 +
Z 1
=
=
0
−x 1
−1
−e − e
0
−1
= 1 − 2e
e−x dx
.
De même ;
Z 1
I2 =
x2 e−x dx
0
=
1
−x2 e−x 0 + 2
Z 1
xe−x dx
0
= −e−1 + 2I1
= 2 − 5e−1 .
(b) Etudier la monotonie de la suite In .
pour tout x ∈ [0, 1] et tout entier n , 0 ≤ xn+1 ≤ xn . Comme de plus e−x > 0, on
en déduit que 0 ≤ xn+1 e−x ≤ xn e−x , puis que 0 ≤ In+1 ≤ In : la suite (In ) est donc
décroissante.
1
(c) Montrer que In ≤ n+1
.
Pour tout x ∈ [0, 1], 0 < e−x ≤ 1, donc 0 ≤ xn e−x ≤ xn . Par suite, In ≤
R1
0 x
n dx =
1
n+1 .
(d) Conclure quant à la convergence de la suite (In ).
1
On a donc 0 ≤ In ≤ n+1
, et par le théorème dit "des gendarmes", la suite (In ) tend
vers 0.
3. (a) A l’aide d’une intégration par parties, trouver une relation entre In et In+1 .
En faisant l’intégration par parties avec u0 = xn et v = e−x , il vient :
n+1
1
Z 1
x
1
−x
In =
e
+
xn+1 e−x dx
n+1
n
+
1
0
0
1
(e−1 + In+1 ).
=
n+1
(b) En déduire que
0 ≤ In −
1
1
≤
(n + 1)e
(n + 1)(n + 2)
D’après la question précédente,
In −
In+1
1
=
.
(n + 1)e
n+1
Cette quantité est donc positive, et il suffit d’appliquer le résultat de la question 2c
pour conclure
5
(c) Déterminer la limite de la suite (nIn ) quand n → ∞.
On a donc
0 ≤ nIn −
n
n
=
.
(n + 1)e
(n + 1)(n + 2)
n
et comme limn→+∞ n+1
= 1, on conclut que
lim In =
n→+∞
1
e
Exercice 3
1. Pour a ∈ R fixé, on considère la fonction de la variable réelle fa définie par
fa (x) =
x+a
1 + x2 + a2
pour x 6= 0
(a) Faire l’étude de cette fonction, dresser son tableau de variations et montrer qu’elle
admet un unique maximum, atteint en un point xa dont on donnera l’expression en
fonction de a.
fa est définie et dérivable sur tout R. On voit immédiatement que sa limite en +∞ et
en −∞ est nulle, et un calcul élémentaire montre que
fa0 (x) =
−x2 − 2ax + a2 + 1
.
(1 + x2 + a2 )2
f 0 a est donc du signe de son numérateur, qui est un polynôme
de degré 2 en√a dont le
√
2
2
discriminant réduit vaut 2a + 1 et les racines sont −a − 2a + 1 et −a + 2a2 + 1
√
√
2
2
fa est donc
√ décroissante sur
√ ]−∞, −a− 2a + 1[ et ]−a+ 2a + 1, +∞[, et croissante
2
2
sur ]−a− 2a + 1, −a+ 2a + 1[. Le tableau de variation s’en
√ déduit immédiatement,
et on voit que fa admet son maximum au point xa = −a + 2a2 + 1.
(b) Donner la valeur de ce maximum.
fa (xa ) =
=
=
=
√
−a + 2a2 + 1 + a
2
√
1 + −a + 2a2 + 1 + a2
√
2a2 + 1
√
1 + a2 + 2a2 + 1 − 2a 2a2 + 1 + a2
√
2a2 + 1
√
2 + 4a2 − 2a 2a2 + 1
1
√
.
2
2a2 + 1 − a
(c) Dessiner la courbe représentative de la fonction f2 .
Elle se déduit simplement de ce qui précède en remarquant que x2 = 1 et f2 (x2 ) = 1/2.
6
2. On considère désormais la fonction de la variable y
g(y) =
1
p
.
2
2y 2 + 1 − y
(a) Résoudre dans R l’équation
2y =
p
2y 2 + 1
Remarquons d’emblée que toute solution réelle de cette équation doit être positive.
Cela posé, en passant au carré, il s’agit de résoudre l’équation
4y 2 = 2y 2 + 1
dont la seule solution positive est y =
√
2/2.
(b) Donner le domaine de définition et calculer la dérivée de g .
Remarquons tout d’abord que g(y) est évidemment bien définieppour tout y ≤ 0 ? Si y
est positif, y 2 < y 2 + 1 et en passant aux racines carrées, y < y 2 + 1 (puisque y est
positif. Par suite g est définie sur tout R.
D’après les formules de dérivation de fonctions composées, on a
√ 4y
−1
1
2
2y 2 +1
g 0 (y) = = − p
2
2
2y 2 + 1 − y
p
2y − 2y 2 + 1
1
= − p
.
2 p
2
2
2
2y + 1 − y
2y + 1
√
√
(c) Montrer que g 0 est de signe constant sur ] − ∞, 2/2[ et sur ] 2/2, +∞[. En déduire
la valeur maximale prise par g(y).
p
Le signe de g 0 est donc celui de −2y + √
2y 2 + 1 ; d’après la question précédente, cette
quantité
√ s’annule uniquement pour y = 2/2. Si elle prenait des signes différents sur
] − ∞, 2/2[, comme elle est continue,
d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
√
elle s’annulerait en un point y0 < 2/2,√ce qui est contradictoire avec ce qui précède :
donc g 0 est√de signe constant sur ] − ∞, 2/2[, et par le même raisonnement, c’est vrai
aussi sur ] 2/2, +∞[.
√
Comme g 0 (0) = 1/2, il découle de ce qui précède que g 0 (y) > 0 sur ] − ∞, 2/2[ et g
est croissante sur cet intervalle.
√
0
0
De même
√ g (1) est du même signe que −2+ 3, donc négatif et on en déduit que g (y) <
0 sur ] 2/2, +∞[ et g est décroissante sur√cet intervalle. De tout ce qui
√ précède,
√ on
infère que g admet son maximum pour y = 2/2 et ce maximum vaut g( 2/2) = 2/2.
(d) Dresser le tableau de variations de g.
Il se déduit de ce qui précède en notant que la limite de g en +∞ et −∞ vaut 0.
3. Donner la valeur maximale que peut prendre l’expression
x+y
1 + x2 + y 2
quand x et y décrivent R, et préciser pour quelles valeurs de x et y ce maximum est atteint.
7
D’après la première partie, le maximum en x de cette expression √
se trouve au point xy et
vaut √
g(y). D’après la deuxième partie, le maximum de g(y) vaut
2/2 et il est atteint en
√
y = √ 2/2. Donc la valeur maximale de cette expression vaut 2/2 ; elle est atteinte pour
y = 2/2 et x = x√2/2 , soit encore
√
2
x=−
+
2
Exercice 4
r
√
2
2
+1=
.
2
2
On considère la suite (In )n≥0 définie par
Z π
2
In =
sinn xdx.
0
1. (a) Calculer I0 et I1 .
Rπ
I0 = 02 dx = π/2.
Rπ
π/2
I1 = 02 sin xdx = [− cos x]0 = 1.
(b) Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,
Z π
2
In =
cosn xdx.
0
En faisant le changement de variables u = π/2 − x, du = −dx, il vient :
Z 0
In =
− sinn
π
π
2
Z 0
=
2
− u du
− cosn udu
π
2
d’où le résultat demandé.
n−1
In−2 pour n ≥ 2.
n
Posons u(x) = sinn−1 x et v(x) = sin x. On a alors u0 (x) = (n − 1) sinn−2 x cos x et
v(x) = − cos x et l’intégration par parties donne :
(c) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que In =
Z π
2
n
sin xdx =
n−1
− cos x sin
0
π/2
x 0
Z π
2
= 0 + (n − 1)
Z π
+ (n − 1)
sinn−2 xdx −
0
= (n − 1)(In−2 − In ).
On a donc nIn = (n − 1)In−2 d’où le résultat demandé.
(d) En déduire la valeur de I2n et celle de I2n+1 .
8
2
sinn−2 x cos2 xdx
0
!
Z π
2
0
sinn xdx
Partant de I0 = π/2, la relation précédente donne
1 π
×
2 2
3 1 π
=
× ×
4 2 2
etc.
I2 =
I4
et par induction,
I2n =
3 1 π
2n − 1 2n − 3
×
··· × × .
2n
2n − 2
4 2 2
De même, partant de I1 = 1, on arrive à
I2n+1 =
2n − 2
2
2n
×
· · · × 1.
2n + 1 2n − 1
3
In
n+2
.
In+1
n+1
Comme 0 ≤ sin x ≤ 1 pour tout x ∈ [0, π/2], on a sinn+1 x ≤ sinn x sur cet intervalle,
et en passant aux intégrales, on voit que la suite (In ) est décroissante. On a donc
2. (a) Montrer que la suite (In ) est décroissante et que
0<
In
In+1
≤
In
In+2
=
≤
n+2
n+1
d’après la question 1c
In
quand n → ∞. L’inégalité précédente prouve, à l’aide du
In+1
théorème dit "des gendarmes", que la suite (In ) converge vers 1
(b) En déduire la limite de
3. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, montrer que
2
1
(2n) × (2n − 2) × · · · × 2
π
= lim
.
2 n→∞ 2n + 1 (2n − 1) × (2n − 3) × · · · × 1
D’après la question 1, on a
I2n
I2n+1
=
=
2n−1
2n−3
3
1
π
2n × 2n−2 · · · 4 × 2 × 2
2n
2n−2
2
2n+1 × 2n−1 · · · 3 × 1
2n−1
2n−3
3
1
π
2n × 2n−2 · · · 4 × 2 × 2 2n + 1
×
2n
×
2n − 1
3
· · · × 1.
2n − 2
2
Il suffit de simplifier cette fraction et de remarquer qu’elle tend vers 1 quand n tend vers
l’infini (question 2) pour obtenir le résultat demandé.
4. Montrer que
(2n − 1) × (2n − 3) × · · · × 1 =
et en déduire que
√
22n (n!)2
π = lim √
.
n→+∞
n(2n)!
9
(2n)!
2n × n!
On a :
(2n − 1) × (2n − 3) × · · · × 1 =
=
=
(2n)!
(2n) × (2n − 2) × (2n − 4) · · · × 2
(2n)!
(2n) × (2(n − 1)) × (2(n − 2)) · · · × (2 × 1)
(2n)!
.
2n × n!
Par ailleurs, le numérateur de la fraction obtenue à la question 3 vaut 2n × n! et la limite
de 2n/(2n + 1) quand n → ∞ vaut 1. De tout cela on déduit que
2 2n
π =
lim
n→+∞ 2n 2n + 1
=
1
n→+∞ n
lim
(2n n!)2
(2n)!
(2n n!)2
(2n)!
!2
!2
,
et passer à la racine carrée dans le résultat ci-dessus donne le résultat demandé.
5. On lance une pièce équilibrée 2n fois et on note pn la possibilité d’obtenir exactement n
résultats "pile". Déduire de ce qui précède que
lim
√
n→+∞
1
npn = √ .
π
Le nombre de "pile" obtenu en 2n lancers est une variable aléatoire de loi binomiale de
paramètres 2n et 1/2, donc la probabilité d’obtenir exactement n "pile" en 2n lancers vaut
2n!
pn =
(n!)2
2n
1
.
2
Le résultat demandé se déduit alors immédiatement de la question précédente.
Exercice 5
1. Pour tout nombre entier n ≥ 1, montrer l’inégalité
√
Comme
que
√
k <
√
n
X
n
1
√
<
n + 1 k=1 k
n + 1 pour tout entier k compris entre 1 et n, on trouve immédiatement
n
n
X
X
1
1
n
√ >
√
=√
.
n
+
1
n
+
1
k
k=1
k=1
10
2. On considère désormais la suite définie par
n
un =
1X 1
√ .
n
k
k=1
Etudier la monotonie, puis la convergence de cette suite.
n+1
un+1 − un =
=
=
n
1 X 1
1X 1
√ −
√
n+1
n
k
k
k=1
k=1
n
1
1
1
1 X 1
√
√
+
−
n+1 n+1
n+1 n
k
k=1
!
n
1X 1
1
1
√
√
−
n+1
n + 1 n k=1 k
et le résultat de la question précédente prouve que cette quantité est négative : la suite (un )
est donc décroissante.
Par ailleurs, il est clair que un > 0 pour tout n puisqu’il s’agit d’une somme de nombres
positifs. Cette suite est donc décroissante et minorée, et par suite elle converge.
3. Prouver l’inégalité
1
1
u2n < un + √ .
2
2 n
2n
u2n =
1 X 1
√
2n
k
k=1
en utilisant le fait que
√
k>
√
=
2n
1
1 X 1
√
un +
2
2n
k
k=n+1
<
1
n 1
√
un +
2
2n n
n pour tout k ≥ n + 1, d’où le résultat demandé.
4. En déduire que limn→∞ un = 0.
On a vu que la suite (un ) converge : notons l sa limite. En faisant tendre n vers l’infini dans
l’inégalité de la question précédente, il vient l ≤ l/2 + 0, soit l/2 ≤ 0, et comme on sait déjà
que l ≥ 0, on en déduit que l = 0.
Exercice 6
1. Montrer que l’ensemble des nombres complexes z = a + ib tels que z(z + 1) ∈ R correspond
à deux droites du plan complexe que l’on dessinera.
La partie imaginaire de z(z + 1) vaut b(a + 1) + ab = b(2a + 1). Par suite, z(z + 1) ∈ R si et
seulement si cette quantité est nulle, c’est-à-dire si b = 0 ou 2a + 1 = 0. La première égalité
correspond à la droite réelle (ce qui n’est pas surprenant !), et la deuxième est la droite des
nombres complexes dont la partie réelle vaut −1/2.
11
2. On considère trois points distincts du plan affine A, B et C, d’affixes respectives zA , zB et
zC − zB
∈ R.
zC . Montrer que les trois points sont alignés si et seulement si
zB − z A
Trois points distincts du plan affine A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs
−−→
−−→
−−→
−−→
BC et AB sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel λ tel que BC = λAB. L’affixe
−−→
−−→
du vecteur BC est zC − zB , celle du vecteur AB est zB − zA , et le résultat en découle
immédiatement.
3. Déduire des questions précédentes l’ensemble des nombres complexes z tels que les images
de z, z 2 et z 4 soient alignées.
z4 − z2
D’après ce qui précède, les images de z, z 2 et z 4 sont alignées si et seulement si 2
∈ R.
z −z
2
4
Si z = 0 ou z = 1, z = z = z donc les trois points sont confondus, sinon en simplifiant
la fraction ci-dessus par z(z − 1), on trouve que les points sont alignés si et seulement si
z(z + 1) ∈ R, c’est-à-dire si l’image de z se trouve sur une des droites déterminées en 1 .
4. Illustrer ce résultat pour le nombre complexe vérifiant la propriété précédente et dont la
partie imaginaire est égale à 1 (on pourra utiliser le même graphique qu’à la question 1).
Le nombre en question est z = −1/2 + i : on a alors z 2 = −3/4 − i et z 4 = −7/16 + 3i/2,
et on vérifie graphiquement l’alignement des trois images.
Exercice 7
Deux personnes A et B jouent aux dés selon la règle suivante : A mise la somme a, B mise
la somme b. Si le dé tombe sur 1 ou 2, A récupère sa mise et empoche celle de B ; s’il tombe sur
4, 5 ou 6 B récupère sa mise et empoche celle de A ; et s’il tombe sur 3, chaque joueur récupère
sa mise. On suppose que le dé utilisé dans ce jeu n’est pas truqué, donc que chaque face apparaît
avec la même probabilité.
On note X la variable aléatoire égale au gain de A (c’est-à-dire la différence entre ce qu’il
obtient après le lancer du dé et ce qu’il a misé), et Y la variable aléatoire égale au gain de B. On
note X la variable aléatoire égale au gain de A (c’est-à-dire la différence entre ce qu’il récupère
après le lancer du dé et ce qu’il a misé), et Y la variable aléatoire égale au gain de B.
1. Donner les lois de X et Y ainsi que leurs espérances.
La variable X peut prendre les valeurs b (si le dé tombe sur 1 ou 2), −a (si le dé tombe sur
4, 5 ou 6) ou 0 (si le dé tombe sur 3). Comme le dé n’est pas truqué, la loi de X est donnée
par :
P (X = b) =
P (X = −a) =
P (X = 0) =
1
3
1
2
1
6
et l’espérance de X vaut
1
1
1
b a
E(X) = (b) + (−a) + × 0 = − .
3
2
6
3 2
De même, la variable Y peut prendre les valeurs −b (si le dé tombe sur 1 ou 2), a (si le dé
tombe sur 4, 5 ou 6) ou 0 (si le dé tombe sur 3). Comme le dé n’est pas truqué, la loi de Y
12
est donnée par :
P (Y = −b) =
P (Y = a) =
P (Y = 0) =
1
3
1
2
1
6
et l’espérance de Y vaut
1
1
1
a b
E(Y ) = (−b) + (a) + × 0 = − .
3
2
6
2 3
2. Calculer la valeur de la variable X + Y et interpréter le résultat.
Quelle que soit le résultat du dé, on voit que X + Y = 0, ce qui traduit le fait que A gagne
ce que B perd et inversement : c’est un jeu de somme nulle.
3. Le jeu est dit équitable si l’espérance du gain de chaque joueur est nulle. A quelle(s) condition(s) sur a et b le jeu ainsi défini est-il équitable ?
On a E(Y ) = −E(X), donc il suffit d’avoir E(X) = 0, c’est-à-dire que b = 3a/2 pour que
le jeu soit équitable.
13
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG / ANALYSTES
STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
CORRIGÉ de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Dans toute l’épreuve, Ln désigne le logarithme népérien, e le nombre de Néper, R l’ensemble
des nombres réels, C l’ensemble des nombres complexes et N l’ensemble des entiers naturels.
Exercice n° 1
Soit l’application f définie sur R par : f ( x) 
x 1
x2 1
1. Etudier les variations et la convexité de f .
 x2  2 x 1
La dérivée de f est égale à : f ' ( x) 
qui s’annule pour x  1 2 . La fonction
(1  x 2 ) 2
est donc croissante entre ces deux valeurs et décroissante à l’extérieur. Elle tend vers zéro aux
infinis.
2 ( x  1)( x 2  4 x  1)
La dérivée seconde de f est égale à : f '' ( x) 
qui s’annule pour trois
(1  x 2 ) 3
valeurs : x  1; 2  3 .

La

fonction
est
concave
sur
x   ,  1 et 2  3 , 2  3 et convexe sinon.
2. Tracer le graphe de f .
On a les valeurs particulières suivantes :
f (0)  1; f (1)  0; f (1  2 )  1 / 2(1  2 ); f (1  2 )  1 / 2( 2  1)
les
intervalles :
y
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
y
3. Le graphe de f admet-il un centre de symétrie ?
Si le graphe admet un centre de symétrie, alors les deux points des extrema seront symétriques
par rapport à ce centre, soit le point (1, 0). On pose X  x  1; Y  y pour obtenir :
X
et comme cette fonction n’est pas impaire, le graphe n’admet pas de centre
Y 2
X  2X  2
de symétrie.
xn 1
dx , pour tout n N * .
2
0 x 1
Pour commencer, on a :
1
4. Calculer I n  
x 1

1

I1   2
dx   Ln ( x 2  1)  Arctg x   Ln ( 2 ) 
et
4
2
0
0 x 1
1
1
x2 1
2

1
dx   1  2
dx  x  2 Arctg x0  1  .
2
2
x 1
0 x 1
0
1
1
I2  
xn 1

xn
De façon générale : I n   2
dx  J n  , avec J n   2
dx . On distingue les indices
4
0 x 1
0 x 1
pairs et impairs.
1
1
- Pour n=2p
x2p
(1) p
2 p 2
2 p 4
p 1

x

x

...

(

1
)

et
x2 1
x2 1
J2p 
1
1



 ...  (1) p 1  (1) p ; I 2 p  J 2 p 
2 p 1 2 p  3
4
4
- Pour n=2p+1
x 2 p 1
(1) p x
2 p 1
2 p 3
p 1
x
x
 ...  (1)  2
et
x2 1
x 1
J 2 p 1 
1
1
(1) p 1


 ... 
 (1) p Ln ( 2 ); I 2 p 1  J 2 p 1 
2p 2p  2
2
4
Exercice n° 2
On considère la suite (u n ) nN définie par : u 0  1
(3  u n ) u n1  1  0 .
et la relation de récurrence :
1. Calculer u1 et u 2 . Montrer que la suite est monotone.
1
4
On trouve u1   et u 2   .
4
11
Soit la fonction f correspondante à la récurrence, à savoir f ( x)  
1
. Sa dérivée est égale
3 x
1
 0 . La fonction est croissante et donc la suite est monotone. Comme
(3  x) 2
u 2  u1  u 0 , la suite est décroissante.
à f ' ( x) 
2. Etudier la convergence de la suite (u n ) nN et déterminer sa limite si elle existe.
Si la suite converge vers une limite l, cette dernière est solution de l’équation de récurrence :
3 5
(3  l ) l  1  0 , soit l 
.
2
3 5
On montre par récurrence que :
 u n  0 pour n  1.
2
3 5
La suite étant décroissante et minorée, elle converge vers
2
3. Interpréter graphiquement le résultat de la question précédente.
Le schéma représente le graphe de la fonction f et le tracé de la première bissectrice. Les points
d’intersection correspondent aux deux valeurs trouvées candidates pour être la limite.
L’interprétation se fait conformément au cours sur la convergence des suites récurrentes.
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
Exercice n° 3
On considère la fonction g définie sur l’ensemble des nombres réels négatifs ou nuls par :
g ( x)  cos (  x )
et la fonction h définie sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs par :
e x  e x
h ( x) 
2
1. Etudier les variations de h et tracer son graphe (on précisera la pente de la demie tangente en
zéro).
1
𝑒 √𝑥 −𝑒 −√𝑥
√
2
La dérivée est égale à : ℎ′ (𝑥) = 2 𝑥 (
h d (0) 
) > 0 et
1
(1  x  x / 2  (1  x  x / 2)  1 / 2 . Le graphe de la fonction admet une
4 x
branche parabolique dans la direction verticale.
'
h
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
h
1
2. Calculer I   h ( x) dx
0
1
On pose t  x  2 t dt  dx pour obtenir : I   (e t  e t ) t dt . On fait alors classiquement
0


1
une intégration par parties et on obtient : I  (e  e ) t 0   (e t  e t ) t dt
t
t
1
0


1
I  (e t  e  t ) t  (e t  e  t 0  2 
2
.
e
 g ( x) pour x  0
3. Soit la fonction numérique f définie par : f x)  
 h ( x) pour x  0
Etudier la continuité de f ainsi que de ses dérivées premières et secondes.
La fonction est indéfiniment dérivable en dehors de zéro, la question se pose uniquement en
x=0.
- Continuité de f en 0 :
f x)  Lim
h ( x)  1 , donc f est continue.
On a f ( x)  g (0)  0 et Lim


0
0
- Continuité de la dérivée f ' en 0 :
1
1
On a f g' ( 0)  g ' (0)  car g ' ( x ) 
sin (  x ) , donc f ' est continue (cf. question 1).
2
2 x
- Continuité de la dérivée seconde f '' en 0 :
1
On a 𝑓𝑔′′ (0) = 𝑔′′ (0) = 12 car g '' ( x )  
1
1 
4 x 

sin  x  cos  x  et
x

1
1
𝐿𝑖𝑚
𝑓 ′′ (𝑥) = 𝐿𝑖𝑚
ℎ′′ (𝑥) = 𝐿𝑖𝑚
(− 𝑥 (𝑒 √𝑥 − 𝑒 −√𝑥 ) + (𝑒 √𝑥 + 𝑒 −√𝑥 )), d’où en utilisant les
+
+
+ 8𝑥
0
0
√
0
développements
limités
de
l’exponentiel
au
voisinage
x x x
x x x
e x  1 x  
 o ( x 2 ) et e  x  1  x  
 o (x 2 )
2
3!
2
3!
Lim
f '' ( x)  Lim


0
0
de
zéro :
 1
2x
1 
  2 
 2  x   donc f '' est continue.
8x 
3!
 12
Exercice n° 4
On note P  z  C / Im ( z)  0 et D  z  C / z  1, où Im ( z ) désigne la partie réelle de z
et z son module. On considère l’application f définie sur C par : f ( z ) 
z i
.
zi
1. Montrer que f est une bijection de P sur D.
La fonction est bien définie puisque  i P . Il faut montrer que :  Z  D, ! z  D / Z  f ( z )
Z D  Z  1  z  i  z  i  x 2  ( y  1) 2  x 2  ( y  1) 2  4 y  0 en posant z  x  i y
Par conséquent z  P , et l’unicité est évidente donc l’application est bijective.
2. Déterminer le lieu géométrique des points d’affixe f (z )
Soit z  x  i y , alors f ( z ) 
( x 2  y 2  1)  i (2 x)
x 2  ( y  1) 2
( x 2  y 2  1)
(2 x)
.
;Y  2
2
2
x  ( y  1)
x  ( y  1) 2
On pose x  cos  ; y  1  sin  pour obtenir : X  2 sin   1; Y  2 cos  .
Par conséquent : ( X  1) 2  Y 2  4 . Le lieu géométrique est donc un cercle de centre A(1,0) et
de rayon 2.
Soit Z  f ( z )  X  i Y  X 
Exercice n° 5
On lance deux dés à 6 faces numérotées de 0 à 5. On effectue le produit des deux chiffres
obtenus et on garde le chiffre des unités. On note X cette variable aléatoire. Par exemple si on
obtient 3 et 4, le produit est égal à 12 et X=2.
1. Déterminer la loi de probabilité de X ?
Pour répondre aux différentes questions, on va présenter tous les cas possibles dans le tableau
suivant :
Dé 1 /Dé 2
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
6
8
0
3
0
3
6
9
2
5
4
0
4
8
2
6
0
5
0
5
0
5
0
5
On peut remarquer que le tableau est symétrique puisque la multiplication est commutative.
La loi de probabilité est donc :
X
36 P(X)
0
15
1
1
2
4
3
2
4
3
5
5
6
3
8
2
9
1
2. Calculer la probabilité que X=0.
On obtient : Pr ob ( X  0) 
15
36
3. Calculer la probabilité que X soit strictement supérieure à 4.
On obtient : Pr ob ( X  4) 
11
36
4. Sur ce jeu (lancement de ces deux dés), un joueur mise 10 euros.
La règle du jeu est la suivante :
- Si X=0, le joueur perd sa mise,
- Si X est pair et différent de zéro, le joueur gagne 2 euros,
- Si X est impair, non nul et strictement inférieur à 9, le joueur gagne 4 euros,
- Si X=9, le joueur gagne 60 euros.
Calculer l’espérance de gain pour ce jeu. Commenter le résultat obtenu.
15
12
8
1
34
 2
 4
 60 
 .
36
36
36
36
36
Ce jeu est tout à fait réaliste, car d’une part les gains augmentent quand la probabilité diminue
et d’autre part, l’espérance est négative, ce qui est toujours le cas des jeux d’argent (sinon
pourquoi organiser de tels jeux !). De plus la redistribution (avec cette espérance) est de l’ordre
de 9%., ce qui correspond à un chiffre moyen (ou inférieur) aux situations rencontrées dans
différents jeux dans la réalité.
Soit Y cette fonction de gain, on a : E (Y )  10 
Exercice n° 6
Pour tout entier naturel non nul n, on considère la suite (u n ) définie par :
1
1
u n   (1  t ) n e t dt , où n ! 1  2  ....  n
n! 0
1. Calculer u1
    t e dt  (e  1)  e  (e  1)  e  2
1
On a : u1   (1  t ) e dt  e
t
0
t 1
0
1
t
0
2. Trouver une relation entre u n 1 et u n , en déduire l’expression de u n .
1
On a : u n1 


1
1
1
1
(1  t ) n1 e t dt 
(1  t ) n1 e t 0  (n  1)  (1  t ) n e t dt

(n  1)! 0
(n  1)!
0
En conclusion : u n1 
n
1
1
 u n et par conséquent : u n     e  2
(n  1)!
k 2 k !
3. Déterminer Lim u n .
n
n
n
1
1
 e , donc   e  2 , d’où Lim u n  0 .
n 
k 0 k !
k 2 k !
On sait que 
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DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Dans quelle mesure les pandémies sont-elles révélatrices des fragilités et des forces
de nos sociétés ?
Sujet n° 2
Cuisiner, n’est-ce que préparer à manger ?
Sujet n° 3
Devrait-on restituer systématiquement à leurs pays d’origine les œuvres d’art qui
sont dans des musées à l’étranger ?
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AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’épreuve comporte deux exercices et un problème, indépendants, à traiter dans un ordre
quelconque.
Exercice 1
On définit la relation binaire notée * sur R² par :
(x, y) * (a, b) <==> yx² ≤ ba²
1) Rappeler les définitions des relations d’équivalence et d’ordre.
2) La relation * est-elle une relation d’ordre ? Justifier précisément votre réponse.
Exercice 2
1) Soit E l’ensemble des points M de R² de coordonnées (x, y) vérifiant le système d’inéquations
suivant :
𝑥 ≥0
𝑦 ≥0
−2𝑥 + 2𝑦 ≤ 3
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 15
{ 4𝑥 − 2𝑦 ≤ 13
Représenter graphiquement E.
2) On considère la famille de droites d’équations x + 2y = m, où m est un paramètre réel.
Déterminer le point de E pour lequel x + 2y est maximum, et déterminer cette valeur maximale.
1
Problème
On rappelle que :
- Le symbole Ln désigne le logarithme népérien
- Le symbole │. │désigne la valeur absolue
- L’inverse de la fonction tangente, notée tan, est la fonction « Arc tangente », notée
Arctan : y = Arctan(x) signifie que x = tan y. La dérivée de Arctan(x) est 1/(1 + x²).
* * *
On considère l’application fa, de R dans R, définie par :
fa : x  R → fa(x) =
xa
1+ │x│a
où a est un entier naturel.
Question préliminaire : étudier le cas particulier a = 0.
Dans toute la suite du problème, on supposera que a ≠ 0.
Partie 1
Dans cette partie, on prend a = 1.
1) L’application f1 de R dans R est-elle injective ?
2) L’application f1 de R dans R est-elle surjective ?
3) Déterminer E1, image de R par f1.
4) f désigne la restriction de l’application f1 de R dans E1.
Montrer que f admet une application inverse, notée f -1 : E1 → R.
Déterminer précisément f -1.
5) Etudier la parité/imparité de f ; en déduire l’existence d’éventuels centres ou axes de symétrie
pour la courbe C représentant l’application f.
6) Etudier les limites de f quand x tend vers + ∞ ou - ∞.
7) Calculer f ’ et f ’’, dérivées première et seconde de f.
Dresser le tableau de variation de f ; tracer l’allure générale du graphe C.
Donner l’équation de la tangente à C au point d’abscisse 0.
+1
8) Calculer l’intégrale I = ∫−1 f(x)dx
Partie 2
Dans cette partie, a = 2 ; soit f2 l’application associée. E2 désigne l’image de R par f2.
1) f2 est-elle une bijection de R dans E2 ? Justifier votre réponse.
Existe-t-il une application inverse f2- 1 ?
2) Etudier la parité/imparité de f2.
3) Etudier les limites de f2 quand x tend vers + ∞ ou - ∞.
4) Calculer f2’ et f2’’, dérivées première et seconde de f2. Etudier leur signe.
2
En déduire le tableau de variation de f2 et tracer l’allure générale du graphe C2 représentant
l’application f2.
5) Calculer une primitive F2 de f2.
En déduire la valeur de l’intégrale I2 définie par :
+1
I2 = ∫−1 f2 (x)dx
Partie 3
On considère ici l’application générale fa(x) =
xa
1+ │x│a
où a ≥ 2 ; on note par Ea l’image de R par
fa.
1) Etudier, selon les valeurs de a, si fa est une bijection de R dans Ea.
2) Déterminer les limites de fa quand x tend vers + ∞ ou - ∞.
3) Calculer fa’ et fa’’, dérivées première et seconde de fa.
Etudier leur signe.
En déduire le tableau de variation de fa selon des modalités que l’on précisera.
4) Quelle est la valeur de la pente de la tangente à Ca, graphe de fa, au point d’abscisse 0 ?
5) On prend, ici, a = 3 ; on donne Arctan(3-1/2) = π/6.
1
Donner une expression numérique de l’intégrale I3 = ∫0 f3 (x)dx.
Indication : par exemple, on pourra décomposer (1 + x3) en un produit (a + bx)(c + dx + ex²)
où a, b, c, d, e sont des paramètres réels que l’on déterminera, puis mettre (1 + x3)- 1 sous la
forme d’une somme de deux fractions rationnelles.
3
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ÉCONOMIE
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l'un des deux sujets suivants.
Sujet 1
Les ressources naturelles peuvent-elles et doivent-elles être gérées comme des biens
publics mondiaux ?
Sujet 2
Le progrès technique nuit-il à l'emploi ?
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’épreuve est composée de cinq énoncés indépendants, à traiter dans un ordre quelconque.
Exercice 1 :
E3 est l’espace vectoriel des polynômes, à une indéterminée réelle, dont le degré est inférieur
ou égal à 3.
On définit sur E3 l’application h qui, à tout polynôme P de E3, associe h(P) définie par :
 P  E3, h(P) = P + (1 – x)P’
où x est l’indéterminée et P’ la dérivée première du polynôme P.
1) Montrer que h est une application linéaire de E3 dans E3.
2) La base usuelle B de E3 est constituée des polynômes 1, x, x2, x3.
Donner l’image par h de chaque polynôme de la base B.
3) Soit F = Ker h, noyau de l’application h.
Déterminer F.
Exercice 2 :
On considère le système linéaire (S) de trois équations à trois inconnues x, y et z :
4𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 1
(S) { 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −1
− 3𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 = 2
1
1) On veut exprimer (S) sous forme matricielle. Quelle est la matrice A associée à ce système ?
2) Calculer le déterminant de A.
3) Calculer A2 et A3.
4) En déduire que A est inversible ; donner l’expression de A- 1, matrice inverse de A.
5) Résoudre le système (S).
Exercice 3 :
On se place dans l’espace F3 des matrices carrées d’ordre 3, à coefficients réels.
On donne les deux matrices I et J :
0 1 0
1 0 0
J = (0 0 1)
I = (0 1 0 )
0 0 0
0 0 1
Soit la matrice M de F3, où a et b sont deux réels fixés :
a b 0
M = ( 0 a b)
0 0 a
1) Ecrire M comme une combinaison linéaire de I et J.
2) Calculer les matrices J2, J3, Jn pour n > 3.
3) En utilisant la formule du développement du binôme, expliciter la matrice Mn.
Exercice 4 :
On considère le polynôme Pn(x) = xn + xn-1 + …. + x – 1, où n  N, n ≥ 1, et x  R+.
1) Montrer que l’équation Pn(x) = 0 admet une solution et une seule dans R+, notée un.
2) Montrer que la suite (un), n ≥ 1, est décroissante.
En déduire que la suite (un) converge.
1
3) Démontrer que, pour tout n ≥ 1, un ≥ 2.
1
4) Soit r un nombre réel tel que 2 < r < 1.
Montrer que Limn→+∞Pn(r) > 0.
1
5) En déduire que la suite (un) converge vers 2 .
2
Exercice 5 :
On rappelle que la loi de probabilité d’une variable aléatoire continue X, à valeurs réelles, est
définie par sa fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x), x  R, ou sa densité f(x).
Dans cet exercice, on suppose que X est une variable aléatoire continue positive dont la densité
f : R → R, est continue et non-nulle sur un intervalle de la forme ]0, x1[ avec x1 strictement
positif ou x1 = + ∞, et nulle sur l’intervalle [x1, + ∞[.
On définit la fonction de hasard de X, notée a, par :
f(x)
a(x) = 1−F(x)
pour x ∈ [0, x1[.
On rappelle en outre que, pour x ∈]0, x1[, on a : F dérivable en x et F’(x) = f(x).
x
1) On pose A(x) = ∫0 a(t)dt
Exprimer la forme générale de la fonction de répartition F en fonction de A.
2) Identifier les lois de probabilité admettant une fonction de hasard constante.
3) Calculer la fonction de hasard d’une v.a. X suivant la loi définie par la densité :
f(x) = a.b.xa-1.exp(-bxa)
avec x > 0, a et b deux réels strictement positifs, et où le symbole exp désigne l’exponentielle.
4) Calculer la fonction de hasard d’une v.a. X suivant une loi de densité :
f(x) = a.exp{x – a(ex – 1)}
avec x > 0 et a > 0.
3
ÉCOLE NATIONALE
SUPÉRIEURE DE
STATISTIQUE ET
D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
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ÉCONOMIQUE
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STATISTIQUE ET
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AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Attention !
L’exercice 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice 1 étant notée
sur 1 point).
Toutefois cet exercice n’entre que pour un cinquième dans la note finale de cette
première épreuve de mathématiques.
Dans tous les exercices, R désigne l’ensemble des nombres réels, C l’ensemble des nombres
complexes et ln le logarithme népérien.
Exercice 1
Z π/2
1. Calculer
0
cos x
dx.
3 + sin x
2. Donner la limite en +∞ de la fonction f (x) =
x + 5 cos x − ln x
.
5x + 1 + ln(x2 + 1)
3. Donner le comportement au voisinage de x = 0 de la même fonction.
√
4. Ecrire le nombre complexe z = −2 3 − 2i sous forme trigonométrique.
5. Donner le domaine de définition de la fonction
p
f (x) = ln x + x2 − 1 .
6. Donner une expression simple de la dérivée de la fonction définie à la question précédente.
7. Une étude montre qu’après un repas, 1 personne sur 3 prend un café, 1 personne sur 6 en
prend 2, et les autres n’en prennent pas du tout. Deux personnes viennent de finir leur repas,
et on note X le nombre de cafés consommés : pour toute valeur de k pertinente, donner la
probabilité pour que X soit égal à k et en déduire l’espérance de X.
1
8. On considère la suite définie par un =
n
X
k=1
1
. Cette suite est-elle croissante ? Est-elle
n+k
convergente ?
9. On considère la suite définie par u0 = 0 et un+1 = 3un − 2 pour n ≥ 0. Déterminer la nature
de la suite définie par vn = un − 1, et en déduire l’étude de la convergence de la suite (un ).
10. Résoudre l’equation x4 + 4x2 − 1 = 0 dans R, puis dans C.
Exercice 2
Pour tout entier n ≥ 1, on considère la fonction de la variable réelle
fn (x) = xn e−x
1. (a) Donner le domaine de définition de fn , et calculer sa dérivée.
(b) Montrer que toutes les courbes représentatives de fn ont deux points communs, que
l’on déterminera.
(c) Etudier les variations des fonctions f1 , f2 et f3 , et dresser leurs tableaux de variation.
(d) Représenter graphiquement f1 , f2 et f3 sur une même figure. On précisera notamment
les pentes des courbes au point d’abscisse 0.
(e) Ecrire l’équation de la tangente à la courbe représentative de fn au point d’abscisse 1.
(f) On suppose que cette tangente coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées
(4/5, 0) : quelle est la valeur de n ?
2. On considère la suite (In ) définie pour tout entier n ≥ 1 par
Z 1
In =
fn (x)dx
0
(a) Calculer I1 et I2 .
(b) Etudier la monotonie de la suite In .
1
.
(c) Montrer que In ≤ n+1
(d) Conclure quant à la convergence de la suite (In ).
3. (a) A l’aide d’une intégration par parties, trouver une relation entre In et In+1 .
(b) En déduire que
0 ≤ In −
1
1
≤
(n + 1)e
(n + 1)(n + 2)
(c) Déterminer la limite de la suite (nIn ) quand n → ∞.
Exercice 3
1. Pour a ∈ R fixé, on considère la fonction de la variable réelle fa définie par
fa (x) =
x+a
1 + x2 + a2
pour x 6= 0
(a) Faire l’étude de cette fonction, dresser son tableau de variations et montrer qu’elle
admet un unique maximum, atteint en un point xa dont on donnera l’expression en
fonction de a.
2
(b) Donner la valeur de ce maximum.
(c) Dessiner la courbe représentative de la fonction f2 .
2. On considère désormais la fonction de la variable y
g(y) =
1
p
.
2
2y 2 + 1 − y
(a) Résoudre dans R l’équation
2y =
p
2y 2 + 1
(b) Donner le domaine de définition et calculer la dérivée de g.
√
√
(c) Montrer que g 0 est de signe constant sur ] − ∞, 2/2[ et sur ] 2/2, +∞[. En déduire
la valeur maximale prise par g(y).
(d) Dresser le tableau de variations de g.
3. Donner la valeur maximale que peut prendre l’expression
x+y
1 + x2 + y 2
quand x et y décrivent R, et préciser pour quelles valeurs de x et y ce maximum est atteint.
Exercice 4
On considère la suite (In )n≥0 définie par
Z π
2
In =
sinn xdx.
0
1. (a) Calculer I0 et I1 .
(b) Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,
Z π
2
In =
cosn xdx.
0
(c) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que In =
n−1
In−2 pour n ≥ 2.
n
(d) En déduire la valeur de I2n et celle de I2n+1 .
2. (a) Montrer que la suite (In ) est décroissante et que
In
In+1
≤
n+2
.
n+1
In
quand n → ∞.
In+1
3. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, montrer que
2
π
1
(2n) × (2n − 2) × · · · × 2
= lim
.
2 n→∞ 2n + 1 (2n − 1) × (2n − 3) × · · · × 1
(b) En déduire la limite de
4. Montrer que
(2n − 1) × (2n − 3) × · · · × 1 =
et en déduire que
√
22n (n!)2
π = lim √
.
n→+∞
n(2n)!
3
(2n)!
2n × n!
5. On lance une pièce équilibrée 2n fois et on note pn la possibilité d’obtenir exactement n
résultats "pile". Déduire de ce qui précède que
lim
√
n→+∞
1
npn = √ .
π
Exercice 5
1. Pour tout nombre entier n ≥ 1, montrer l’inégalité
n
X
n
1
√
√
<
n + 1 k=1 k
2. On considère désormais la suite définie par
n
1X 1
√ .
un =
n
k
k=1
Etudier la monotonie, puis la convergence de cette suite.
3. Prouver l’inégalité
1
1
u2n < un + √ .
2
2 n
4. En déduire que limn→∞ un = 0.
Exercice 6
1. Montrer que l’ensemble des nombres complexes z = a + ib tels que z(z + 1) ∈ R correspond
à deux droites du plan complexe que l’on dessinera.
2. On considère trois points distincts du plan affine A, B et C, d’affixes respectives zA , zB et
zC − zB
zC . Montrer que les trois points sont alignés si et seulement si
∈ R.
zB − z A
3. Déduire des questions précédentes l’ensemble des nombres complexes z tels que les images
de z, z 2 et z 4 soient alignées.
4. Illustrer ce résultat pour le nombre complexe vérifiant la propriété précédente et dont la
partie imaginaire est égale à 1 (on pourra utiliser le même graphique qu’à la question 1).
Exercice 7
Deux personnes A et B jouent aux dés selon la règle suivante : A mise la somme a, B mise
la somme b. Si le dé tombe sur 1 ou 2, A récupère sa mise et empoche celle de B ; s’il tombe sur
4, 5 ou 6, B récupère sa mise et empoche celle de A ; et s’il tombe sur 3, chaque joueur récupère
sa mise. On suppose que le dé utilisé dans ce jeu n’est pas truqué, donc que chaque face apparaît
avec la même probabilité.
On note X la variable aléatoire égale au gain de A (c’est-à-dire la différence entre ce qu’il
obtient après le lancer du dé et ce qu’il a misé), et Y la variable aléatoire égale au gain de B.
1. Donner les lois de X et Y ainsi que leurs espérances.
2. Calculer la valeur de la variable X + Y et interpréter le résultat.
3. Le jeu est dit équitable si l’espérance du gain de chaque joueur est nulle. A quelle(s) condition(s) sur a et b le jeu ainsi défini est-il équitable ?
4
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
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ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
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ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
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AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Quels sont les moyens dont nous disposons pour lutter contre la désinformation et
les complots imaginaires ?
Sujet n° 2
Quels sont selon vous les effets des crises notamment sanitaires sur l’organisation
de nos sociétés, l’équilibre de nos institutions et la vie sociale en général ?
Sujet n° 3
On assiste à une diversification des partenariats des pays africains avec d’autres
pays dans le monde. Quels effets peut avoir cette redistribution des relations sur le
devenir des pays africains et sur le continent africain dans son ensemble ?
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Dans toute l’épreuve, Ln désigne le logarithme népérien, e le nombre de Néper, R l’ensemble
des nombres réels, C l’ensemble des nombres complexes et N l’ensemble des entiers naturels.
Exercice n° 1
Soit l’application f définie sur R par : f ( x) 
x 1
x2 1
1. Etudier les variations et la convexité de f.
2. Tracer le graphe de f.
3. Le graphe de f admet-il un centre de symétrie ?
1
xn 1
4. Calculer I n   2
dx , pour tout n N * .
x

1
0
Exercice n° 2
On considère la suite (u n ) nN définie par : u 0  1 et la relation de récurrence:
(3  u n ) u n1  1  0 .
1. Calculer u1 et u 2 . Montrer que la suite est monotone.
2. Etudier la convergence de la suite (u n ) nN et déterminer sa limite si elle existe.
3. Interpréter graphiquement le résultat de la question précédente.
1
Exercice n° 3
On considère la fonction g définie sur l’ensemble des nombres réels négatifs ou nuls par :
g ( x)  cos (  x )
et la fonction h définie sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs par :
e x  e x
h ( x) 
2
1. Etudier les variations de h et tracer son graphe (on précisera la pente de la demie tangente
en zéro).
1
2. Calculer I   h ( x) dx
0
 g ( x) pour x  0
3. Soit la fonction numérique f définie par : f (x)  
 h ( x) pour x  0
Etudier la continuité de f ainsi que de ses dérivées premières et secondes.
Exercice n° 4
On note P  z  C / Im ( z)  0 et D  z  C / z  1, où Im ( z ) désigne la partie réelle de z
et z son module. On considère l’application f définie sur C par : f ( z ) 
z i
.
zi
1. Montrer que f est une bijection de P sur D.
2. Déterminer le lieu géométrique des points d’affixe f (z ) .
Exercice n° 5
On lance deux dés à 6 faces numérotées de 0 à 5. On effectue le produit des deux chiffres
obtenus et on garde le chiffre des unités. On note X cette variable aléatoire. Par exemple si on
obtient 3 et 4, le produit est égal à 12 et X=2.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer la probabilité que X=0.
3. Calculer la probabilité que X soit strictement supérieure à 4.
4. Sur ce jeu (lancement de ces deux dés), un joueur mise 10 euros.
La règle du jeu est la suivante :
- Si X=0, le joueur perd sa mise,
- Si X est pair et différent de zéro, le joueur gagne 2 euros,
- Si X est impair, non nul et strictement inférieur à 9, le joueur gagne 4 euros,
- Si X=9, le joueur gagne 60 euros.
Calculer l’espérance de gain pour ce jeu. Commenter le résultat obtenu.
2
Exercice n° 6
Pour tout entier naturel non nul n, on considère la suite (u n ) définie par :
1
un 
1
(1  t ) n e t dt , où n ! 1  2  ....  n

n! 0
1. Calculer u1 .
2. Trouver une relation entre u n 1 et u n , en déduire l’expression de u n .
3. Déterminer Lim u n .
n
3
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ANALYSTES STATISTICIENS
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CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Le texte ci-après est tiré du livre de Stanislas Dehaene : « Apprendre ! Les talents du
cerveau, le défi des machines », paru aux éditions Odile Jacob en septembre 2018.
Il doit être résumé en 250 mots (plus ou moins 10%). Vous indiquerez en fin de copie le
nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre
écrit.
Pourquoi l’apprentissage ?
Pourquoi devons-nous apprendre ? L’existence même de la faculté d’apprentissage pose
question. Ne vaudrait-il pas mieux que nos enfants sachent parler et réfléchir dès le premier
jour, telle Athéna dont la légende dit qu’elle sortit toute armée et casquée du crâne de Zeus, en
poussant son cri de guerre ? Pourquoi ne naissons-nous pas pré-câblés, avec un logiciel
préprogrammé et doté de toutes les connaissances nécessaires à notre survie ? Dans la lutte
pour la vie que décrit Darwin, un animal qui naîtrait mature, avec plus de savoir que les
autres, ne devrait-il pas finir par l’emporter ? Pourquoi l’évolution a-t-elle donc inventé
l’apprentissage ?
Ma réponse est simple : le pré-câblage complet du cerveau n’est ni possible ni souhaitable.
Impossible vraiment ? Oui, car si notre ADN devait spécifier tous les détails de nos
connaissances, il n’aurait simplement pas la capacité de stockage nécessaire […] Le génome
humain se réduit à 750 mégaoctets – le contenu d’un CD-ROM ou d’une petite clé USB ! Et
ce calcul ne tient même pas compte des nombreuses redondances qui parsèment notre ADN.
A partir de cette modeste somme d’informations héritées des millions d’années d’évolution,
notre génome, initialement confiné à une seule cellule, l’ovule fécondé, parvient à organiser
l’ensemble du corps – chaque molécule de chacune des cellules de notre foie, de nos reins, de
nos muscles, et bien sûr de notre cerveau : 86 milliards de neurones, 1 000 milliers de
milliards de connexions… Comment pourrait-il les définir une par une ? […]
1
Pré-câbler un cerveau humain dans tous ses détails serait rigoureusement impossible, c’est
pourquoi l’apprentissage doit prolonger l’œuvre des gènes.
Ce simple argument comptable, toutefois, ne suffit pas à expliquer pourquoi
l’apprentissage est universellement répandu dans le monde animal. En effet, même des
organismes simples et dépourvus de cortex, comme le ver de terre, la mouche drosophile ou le
concombre de mer, apprennent bon nombre de leurs comportements. Prenez le petit ver qu’on
appelle « nématode », ou C. elegans, et qui est rapidement devenu une star de laboratoire. Cet
organisme est incroyablement pré-câblé : la plupart des individus comprennent exactement
959 cellules dont 302 neurones, dont toutes les connexions sont connues et reproductibles. Et
pourtant, il apprend. Les chercheurs le considéraient initialement comme une sorte d’automate
tout juste capable de ramper en avant ou en arrière, mais ils se sont ensuite aperçus qu’il
possédait au moins deux formes d’apprentissage : par habituation et par association.
L’habituation signifie que l’organisme s’habitue à la présence répétée d’une stimulation
(par exemple une molécule dans l’eau) et finit par ne plus y répondre. L’association, quant à
elle, consiste à découvrir et à retenir en mémoire quels aspects de l’environnement prédisent
les sources de nourriture ou de danger. Le ver nématode s’avère être un champion de
l’association, capable de se souvenir que tel goût, telle odeur ou telle température ont été
associées par le passé à de la nourriture (des bactéries) ou à des molécules repoussantes
(l’odeur de l’ail) et d’utiliser cette information pour choisir son chemin dans son
environnement.
Avec son petit nombre de neurones, le nématode aurait très bien pu être pré-câblé. S’il ne
l’est pas, c’est parce qu’il est avantageux, pour sa survie, de s’adapter aux conditions
spécifiques dans lesquelles il naît. Même des organismes génétiquement identiques ne
naissent pas forcément dans le même environnement. Tous ont intérêt à s’adapter rapidement
à des conditions fondamentalement imprévisibles. La sélection naturelle, qui est l’algorithme
découvert par Darwin, parvient certes à adapter chaque organisme à sa niche écologique, mais
elle le fait avec une lenteur affligeante : il faut que des générations meurent, faute d’être
adaptées, avant qu’une mutation favorable puisse augmenter la survie. La faculté
d’apprentissage, elle, agit bien plus vite : elle modifie le comportement en quelques minutes.
Et c’est ce qui fait tout l’intérêt de l’apprentissage : s’adapter, le plus vite possible, à des
conditions imprévisibles.
C’est pourquoi l’évolution a inventé la faculté d’apprendre. Au fil des générations, elle a
découvert qu’il était utile de laisser certains paramètres de l’organisme libres de se modifier
pour mieux s’ajuster aux aspects les plus changeants de son environnement. Certains aspects
de la physique du monde sont strictement invariables : la gravitation est universelle, la
propagation de la lumière ou des sons dans l’air ne change pas du jour au lendemain, et c’est
pourquoi nous n’avons – Dieu merci ! – pas besoin d’apprendre à faire pousser nos oreilles,
nos yeux, ou les labyrinthes de notre système vestibulaire qui mesurent l’accélération de notre
corps : toutes ces propriétés de notre corps et de notre cerveau sont codées génétiquement. Par
contre, l’espacement de nos yeux, le poids et la longueur de nos membres, la hauteur de notre
voix varient, et c’est pourquoi notre cerveau doit les apprendre. Notre pensée est le résultat
d’un compromis : énormément d’inné (toutes les grandes catégories intuitives à l’aide
2
desquelles nous subdivisons le monde en images, sons, mouvements, objets, animaux,
personnes, causes…), mais encore plus d’acquis qui raffine ces compétences précoces.
Notre espèce a fait de l’apprentissage sa spécialité. Dans notre cerveau, des milliards de
paramètres sont libres de s’adapter à notre milieu, notre langue, notre culture, nos parents,
notre nourriture… Ces paramètres sont choisis avec soin : au sein de notre cerveau,
l’évolution a défini avec précision, quels circuits sont pré-câblés et lesquels sont ouverts à
l’environnement. Dans notre espèce, la part d’apprentissage est particulièrement vaste, car
notre enfance se prolonge pendant de longues années. Par le biais du langage et des
mathématiques, nos espaces d’hypothèses se démultiplient en une combinatoire
potentiellement infinie – même s’ils s’appuient toujours sur des fondations fixes et
invariables, héritées de notre évolution.
Homo docens
S’il fallait résumer d’un mot le talent particulier de notre espèce, je retiendrais donc le
verbe « apprendre ». Plus que des Homo sapiens, nous sommes des Homo docens –car ce que
nous savons du monde ne nous a pas été donné : nous l’avons appris de notre environnement
ou de notre entourage. Aucun autre animal n’a su, comme nous, découvrir les secrets du
monde naturel. Grâce à l’extraordinaire flexibilité de ses apprentissages, notre espèce est
parvenue à quitter sa savane natale pour traverser déserts, montagnes, océans, et, en
quelques milliers d’années seulement, conquérir les îles les plus lointaines, les grottes les plus
profondes, les banquises les plus glaciales, et jusqu’à la Lune. Depuis la conquête du feu et la
fabrique des outils jusqu’à l’invention de l’agriculture, de la navigation ou de la fission
atomique, l’histoire de l’humanité n’est que constante réinvention. A la source de tous ces
triomphes, un seul secret : l’extraordinaire faculté de notre cerveau à formuler des hypothèses
et à les sélectionner pour transformer certaines d’entre elles en connaissances solides sur notre
environnement.
Cette remarquable capacité d’apprentissage, l’humanité a découvert qu’elle pouvait encore
l’augmenter grâce à une institution : l’école. La pédagogie active est l’apanage de notre
espèce : aucun autre animal ne prend le temps d’enseigner de nouveaux talents à ses enfants,
activement, en prêtant attention à leurs difficultés et à leurs erreurs. L’invention de l’école, en
systématisant l’instruction informelle présente dans toutes les sociétés humaines, a décuplé
notre potentiel cérébral. Nous avons compris qu’il fallait profiter de cette exubérante plasticité
du cerveau de l’enfant pour lui inculquer un maximum d’informations et de talents. Au fil des
siècles, notre système scolaire n’a cessé de progresser en efficacité, commençant toujours plus
tôt, dès la maternelle, et se prolongeant pendant une quinzaine d’années, voire plus : un
nombre toujours croissant de cerveaux bénéficient d’un enseignement supérieur, à
l’université, véritable raffinerie neuronales où nos circuits cérébraux acquièrent leurs
meilleurs talents.
Aujourd’hui, l’Education Nationale peut être considérée comme le principal accélérateur de
notre cerveau. Sa place de choix, parmi les tout premiers postes de dépenses de l’Etat, se
justifie aisément : sans elle, nos circuits corticaux resteraient des diamants bruts. La
complexité de nos sociétés contemporaines ne doit son existence qu’aux multiples
améliorations que l’éducation a apportées à notre cortex : lecture, écriture, algèbre, musique,
sens du temps et de l’espace, raffinement de la mémoire… Sait-on, par exemple, que la
3
capacité de mémoire immédiate d’un analphabète, le nombre de syllabes ou de chiffres qu’il
peut répéter, est près de deux fois plus faible que celle d’une personne scolarisée ?
Apprendre à apprendre
L’éducation démultiplie les facultés déjà considérables de notre cerveau –mais pourrait-elle
faire mieux encore ? A l’école, à l’université et au travail, contraints de nous adapter toujours
plus vite, nous jonglons avec nos algorithmes cérébraux d’apprentissage. Cependant nous le
faisons d’une façon intuitive, sans avoir jamais appris à apprendre. Personne ne nous a
expliqué les règles qui font que notre cerveau mémorise et comprend, ou, au contraire, oublie
et se trompe.
C’est dommage, car les données abondent. Un excellent site anglais,
l’Education Endowment Fund (EEF) recense les interventions pédagogiques qui marchent. Et
l’une des plus efficaces est la métacognition, c'est-à-dire le fait de mieux connaître son propre
fonctionnement cognitif. Savoir apprendre est l’un des plus importants facteurs de réussite
scolaire.
Au cours des trente dernières années, d’importants progrès ont été réalisés dans la
compréhension des principes fondamentaux de la plasticité cérébrale et de l’apprentissage. Le
fonctionnement de la mémoire, le rôle de l’attention, l’importance du sommeil sont autant de
découvertes riches de conséquences pour chacun d’entre nous. Lorsque vous refermerez ce
livre, j’espère que vous en saurez beaucoup plus sur vos propres processus d’apprentissage. Il
me paraît fondamental que chaque enfant, que chaque adulte prenne la pleine mesure du
potentiel de son propre cerveau et aussi, bien sûr, de ses limites. Les sciences cognitives
contemporaines, par la dissection systématique qu’elles pratiquent de nos algorithmes
mentaux et de leurs mécanismes cérébraux, revisitent le célèbre adage socratique « Connaistoi toi-même ». Aujourd’hui, il ne s’agit plus de pratiquer l’introspection, mais de mieux
connaître la subtile mécanique neuronale qui engendre nos pensées, afin de mieux la maîtriser
et de la mettre au service de nos goûts et de nos besoins.
Et je pense aussi, bien entendu, aux professionnels de l’apprentissage que sont les
enseignants. Je suis profondément convaincu qu’on ne peut pas enseigner convenablement
sans posséder, implicitement ou explicitement, un modèle mental de ce qui se passe dans la
tête de l’enfant : quelles sont ses intuitions, correctes ou erronées, quelles sont les étapes par
lesquelles il doit passer pour progresser, et quel facteur l’aide à développer ses compétences.
[…]
Quatre mécanismes essentiels modulent massivement notre capacité d’apprendre.
En premier vient l’attention : un ensemble de circuits neuronaux qui sélectionnent, amplifient
et propagent les signaux auxquels nous accordons de l’importance – et multiplie par cent ou
par mille leur représentation en mémoire.
En deuxième, l’engagement actif : un organisme passif n’apprend pratiquement rien, car
l’acte d’apprendre exige que le cerveau génère activement des hypothèses, avec curiosité.
Troisième volet, et complément naturel de l’engagement actif : les signaux d’erreur et de
surprise. Ce sont eux qui, en se propageant dans tout le cerveau, viennent corriger nos
modèles mentaux, éliminer les hypothèses inappropriées et stabiliser les plus justes.
4
Enfin, quatrième facteur, la consolidation : au fil du temps, notre cerveau compile ce qu’il a
acquis et le transfère en mémoire à long terme, afin de libérer les ressources pour d’autres
apprentissages. La répétition joue un rôle essentiel dans cette consolidation, et même le
sommeil, sans être une période d’inaction, constitue un moment privilégié au cours duquel le
cerveau se répète et recode les acquis de la journée.
Ces facteurs sont universels : bébé, enfant ou adulte, quel que soit notre âge, ils continuent
d’exercer leur pouvoir sur notre capacité d’apprendre. C’est pourquoi nous devons apprendre
à les maîtriser. Dans la conclusion, je reviendrai sur les conséquences pratiques de ces
avancées scientifiques. Changer nos pratiques, à l’école, en famille ou au bureau n’est pas
forcément aussi compliqué qu’on le pense. Des idées très simples, sur le jeu, le plaisir, la
curiosité, la socialisation, la concentration ou encore le sommeil, peuvent augmenter encore
ce qui est déjà le plus grand talent de notre cerveau : apprendre.
5
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apporté à la rédaction et à
la présentation des résultats.
1
Problème d’analyse
Le but du problème est d’étudier l’approximation de solutions d’équations différentielles par
des suites numériques.
Partie I
Soit x0 un réel fixé, et T > 0 un réel strictement positif.
1. Résoudre l’équation différentielle
y 0 (t) = −2y(t)
en la variable y : [0, T ] → R, partant de la condition initiale y(0) = x0 .
y(t) := x0 exp(−2t).
2. Soit h : [0, T ] → R une fonction continue. Résoudre l’équation différentielle
y 0 (t) = −2y(t) + h(t)
en la variable y : [0, T ] → R, partant de la condition initiale y(0) = x0 .
Z t
y(t) := x0 exp(−2t) +
exp(2(s − t)h(s))ds.
0
3. Montrer que la solution y de l’équation différentielle (1) est de classe C 1 (]0, T [; R).
La fonction h est continue, donc y 0 est continue.
1
(1)
4. Montrer que la dérivée y 0 de la solution y de l’équation différentielle (1) est une fonction
bornée.
La fonction y 0 est continue sur un compact, donc bornée.
5. Soit
F :
[0, T ] × R → R
(t, x) 7→ F (t, x)
une fonction continue et de classe C 1 ([0, T ] × R; R) telle que toutes ses dérivées partielles
soient bornées. Montrer que la fonction F est globalement Lipschitzienne par rapport à sa
deuxième variable, c’est-à-dire qu’il existe une constante M ≥ 0 telle que pour tout t ∈ [0, T ],
pour tous y, z ∈ R
|F (t, y) − F (t, z)| ≤ M |y − z|.
Accroissements finis, M = sup sup ∂F (t, x)/∂x.
t
x
6. Rappeler pourquoi il existe une unique solution à l’équation différentielle ordinaire suivante
y 0 (t) = F (t, y(t))
(2)
partant de la condition initiale y(0) = x0 .
Cauchy-Lipschitz, car globalement Lipschitizienne
7. Montrer que la solution y de l’équation différentielle (5) est de classe C 2 (]0, T [; R).
La fonction y 0 est C 1 donc y est C 2 .
8. Soit z : [0, T ] → R la fonction continue vérifiant l’équation intégrale suivante pour tout
t ∈ [0, T ]
Z t
z(t) = x0 +
F (s, z(s))ds.
(3)
0
1
Montrer que la fonction z est de classe C (]0, T [; R).
Dérivation d’une primitive.
9. Montrer que pour tout t ∈ [0, T ], il existe un réel a ∈ [0, T ] (dépendant de t) tel que
Z t
F (s, z(s)) = F (a, z(a)) × t.
0
Formule de la moyenne.
10. Montrer que pour tous s, t ∈ [0, T ], on a le développement limité suivant pour y la solution
de l’équation différentielle (5)
∂F
∂F
(t − s)2
y(t) = y(s) + F (s, y(s))(t − s) +
(s, y(s)) +
(s, y(s))F (s, y(s))
+ O((t − s)2 )
∂t
∂x
2
O((t − s)2 )
est bornée quand s → t.
(t − s)2
Développement de Taylor à l’ordre 2, et calcul dans (5).
où O((t − s)2 ) est une fonction telle que
2
Partie II
On considère une fonction continue et de classe C 1 (R+ × R; R) notée
F :
R+ × R → R
(t, x) 7→ F (t, x)
On suppose dans cette partie qu’il existe une constante M > 0 telle que les dérivées partielles de
la fonction F sont bornées par cette constante, c’est-à-dire
∂F
(t, x) ≤ M
t∈R x∈R ∂t
sup sup
∂F
(t, x) ≤ M.
t∈R x∈R ∂x
et
sup sup
Soit T > 0 un réel strictement positif et N un entier strictement positif avec h = T /N . Soit x0
un réel fixé, et soit (xn )n∈N la suite définie par
xn+1 = xn + hF (nh, xn ),
(4)
pour tout n ∈ N.
11. Uniquement pour cette question, on suppose que F est une fonction bornée. On note pour
xn
. Montrer que la suite (An )n∈N est bornée.
tout n ∈ N, An :=
n+1
Soit K une borne de F . Par récurrence évidente, |xn+1 | ≤ |xn | + hK ≤ |x0 | + (n + 1)hK,
|x0 |
donc avec nA tel que
< hK, alors pour tout n > nA , |An+1 | ≤ hK + hK. Les termes
nA + 2
avant nA sont bornés car en nombre fini.
12. La fonction F n’étant plus supposée bornée, on ne peut pas appliquer la question précédente,
et on ne sait a priori rien dire sur la suite (An )n∈N . Trouver une fonction F non bornée (mais
dont les dérivées partielles sont bornées) telle que la suite (An )n∈N ne soit pas bornée (on
précisera une valeur pour x0 si besoin).
Prendre F : (t, x) 7→ x. Alors avec x0 = 1, on a xn+1 = xn + hxn donc xn = (1 + h)n n’est
pas bornée.
13. Montrer que exp(x) − x − 1 est positif pour tout x ∈ R+ .
On dérive. La dérivée exp(x)−1 est positive, donc la fonction est croissante, et exp(0)−0−1 =
0.
14. Soit L > 0, soit (bn )n∈N une suite de termes positifs, et (yn )n∈N une suite telle que pour tout
n∈N
0 ≤ yn+1 ≤ (1 + L)yn + bn .
Montrer que pour tout n ∈ N
yn ≤ y0 exp(Ln) +
n−1
X
bk exp(L(n − 1 − k)).
k=0
Par récurrence. On utilise les majorations (1 + L) ≤ exp(L) avec la question 13. L’initialisation est y1 ≤ (1 + L)y0 + b0 ≤ exp(L)y0 + b0 .
3
15. Soit D > 0, soit (dn )n∈N une suite telle que pour tout n ∈ N
dn =
n−1
X
Dk exp(−kD).
k=0
Montrer qu’il existe une constante E > 0 telle que pour tout n ∈ N, |dn | ≤ E.
+∞
X
Le majorant est
Dk exp(−kD) qui est une série convergente, comme série entière dérivée
k=0
de la série entière de x 7→ exp(−Dx).
16. Montrer que la suite (xn )n∈N vérifie qu’il existe trois constantes K1 , K2 et K3 telles que
pour tout n ∈ N
|xn+1 | ≤ (1 + K1 )|xn | + K2 n + K3 .
On a
|xn+1 | ≤ |xn | + h|F (nh, xn ) − F (nh, 0) + F (nh, 0)|
≤ |xn | + hM |xn − 0| + |F (nh, 0) − F (0, 0) + F (0, 0)|
≤ |xn | + hM |xn | + M nh + |F (0, 0)|.
Donc K1 = hM , K2 = hM et K3 = |F (0, 0)|.
MT n
xn . Montrer que la suite (Xn )n∈N est bornée.
17. On note pour tout n ∈ N, Xn := exp −
N
n−1
X
Avec la question 14, on a |xn | ≤ |x0 | exp(M hn) +
(M hk + K3 ) exp(M h(n − k)). Donc
k=0
n−1
MT n
MT n X
|Xn | ≤ exp −
(M hk + K3 ) exp(M h(n − 1 − k))
|x0 | exp(M hn) + exp −
N
N
k=0
n−1
X MT
MT k
≤ |x0 | +
k + K3 exp −
.
N
N
k=0
Avec la question 15, on obtient
|Xn | ≤ |x0 | +
+∞ X
MT
k=0
N
k + K3
MT k
exp −
.
N
Partie III
Dans cette partie, on continue de considérer la fonction F de la partie II, et la suite (xn )n∈N .
De plus, on note y la solution de l’équation différentielle ordinaire
y 0 (t) = F (t, y(t))
partant de la condition initiale y(0) = x0 sur l’intervalle [0, T ]
4
(5)
18. Montrer que pour tout 0 < s < t < T , il existe ξ ∈ [s, t] tel que
y(t) = y(s) + F (s, y(s))(t − s) + y 00 (ξ)
(t − s)2
.
2
Formule de Taylor-Lagrange et y 0 solution de l’EDO.
19. Montrer qu’il existe une constante Q > 0 telle que pour tout 0 < s < t < T ,
|y(t) − y(s) − F (s, y(s))(t − s)| ≤ Q
(t − s)2
.
2
La fonction y est C 2 sur un compact donc bornée.
20. En déduire que pour tout entier 0 ≤ n < N , on a
|xn+1 − y((n + 1)h)| ≤ |xn − y(nh)|(1 + M h) + Q
h2
,
2
avec M la constante introduite en partie II.
Estimation avec les questions 18 et 19.
21. Soit ε > 0, montrer qu’il existe un entier N ∗ tel que si N > N ∗ alors pour tout entier
0 ≤ n < N , on a
|xn+1 − y((n + 1)h)| ≤ |xn − y(nh)|(1 + ε) + εh.
On écrit M h = M T /N et Qh/2 = QT /2N . Alors comme les suites tendent vers 0, il existe
un rang à partir duquel elles sont plus petites que ε fixé.
22. Soit ε > 0, montrer qu’il existe un entier N ∗ tel que si N > N ∗ alors
sup |xn − y(nh)| ≤ ε
0≤n≤N
T 1 − exp(εN )
.
N 1 − exp(ε)
On utilise les questions 14 et 20.
sup |xn − y(nh)| ≤
0≤n≤N
N
−1
X
εh exp(εk) ≤ εh
k=0
1 − exp(εN )
.
1 − exp(ε)
23. L’estimation précédente n’admet pas de limite finie quand N tend vers +∞. On va essayer
d’améliorer les résultats. Montrer que
N −1
Qh2 X
sup |xn − y(nh)| ≤
exp(M kT /N ).
2
0≤n≤N
k=0
On reprend la question 20, et par la question 14, on obtient
sup |xn − y(nh)| ≤ 0 + sup
0≤n≤N
n−1
X
0≤n≤N k=0
≤
N
−1
X
k=0
Qh2
exp(M h(N − 1 − k))
2
N −1
≤
Qh2
exp(M h(n − 1 − k))
2
QT 2 X
exp(M kT /N ).
2N 2
k=0
5
24. Montrer qu’il existe une constante C et un entier N ∗ tel que si N > N ∗ alors
N −1
QT X
exp(M kT /N ) ≤ C.
2N
k=0
T 1 − exp(M T )
exp(M T ) − 1
est
. Donc il
N 1 − exp(M T /N )
M
existe un rang N ∗ à partir duquel la valeur pour tout N > N ∗ est plus petite que 2 fois la
N
exp(M T ) − 1
QT X
exp(M kT /N ) ≤ Q
limite, c’est-à-dire tel que
2N
M
Quand N tend vers +∞, alors la limite de
k=1
25. Soit ε > 0, montrer qu’il existe un entier N ∗ tel que si N > N ∗ alors on a
sup |xn − y(nh)| ≤ ε.
0≤n≤N
Avec la question précédente, et un rang (plus grand que le précédent) tel que C
sup |xn − y(nh)| ≤ C
0≤n≤N
T
≤ ε alors
N
T
≤ ε.
N
26. Pour N choisi, on pose x0N le N -ième terme de la suite (xn )n∈N construite pour ce choix de
N . Montrer que la limite de x0N quand N → +∞ est y(T ).
Avec la question précédente |xN − y(N h)| = |xN − y(T )| ≤ ε.
6
2
Problème d’algèbre
Dans ce problème, on considère des sous-groupes de Z2 , et certains maillages générés par des
bases d’éléments. On cherche notamment à caractériser les morphismes de ces maillages.
Partie I
On pose G = {g = (g1 , g2 ) ∈ Z2 : g1 +g2 = 0 [mod 2]}. On rappelle que la notation [mod 2] dans
l’expression g1 +g2 = 0 [mod 2] signifie que 2 divise l’entier g1 +g2 . Notamment si g1 +g2 = 1 [mod 2]
c’est que 2 ne divise pas l’entier g1 + g2 . Plus simplement on pourrait écrire
G = {g = (g1 , g2 ) ∈ Z2 : g1 + g2 est un entier pair}
qui est l’ensemble composé de couple de coordonnées cartésiennes entières telles que leur somme
soit paire. Une représentation schématique de cet ensemble est donnée ci-dessous.
g2
(−2, 2)
•
(0, 2)
(−1, 1)
(−2, 0)
(−2, −2)
•
•
(2, 0)
(1, −1)
(0, −2)
•
•
•
•
•
•
(2, 2)
(1, 1)
(0, 0)
(−1, −1)
•
•
g1
•
(2, −2)
•
Pour élément g = (g1 , g2 ) et h = (h1 , h2 ) ∈ G, on note g + h le couple (g1 + h1 , g2 + h2 ).
Pour élément g = (g1 , g2 ) et h = (h1 , h2 ) ∈ G, on note g ? h le couple (g1 h1 , g2 h2 ).
Pour tout élément n ∈ Z, et tout élément g = (g1 , g2 ) ∈ G, on note n · g le couple (ng1 , ng2 ).
1. Montrer que (G, +) est un groupe.
0, + et opposé.
2. Montrer que pour tout élément n ∈ Z, et tout élément g = (g1 , g2 ) ∈ G, alors n · g est dans
G.
La parité n’est pas modifiée par multiplication par un entier naturel.
7
3. Montrer que la matrice
1
1
1 −1
est inversible.
Déterminant non nul.
4. En déduire qu’il existe deux éléments u et v ∈ G tel que pour tout g ∈ G, il existe m et
n ∈ Z tels que
g = mu + nv.
u = (1, 1) et v = (1, −1) avec m + n = g1 et m − n = g2 qui est bien un système inversible.
m = (g1 + g2 )/2 qui est pair donc divisible par 2, et n = (g1 − g2 )/2 = g1 − (g1 + g2 )/2 qui
est aussi un entier.
5. Montrer que (G, +, ?) est un anneau commutatif.
Stabilité par ?, car g1 h1 + g2 h2 = 0 [mod 2]. La commutativité provient de la commutativité
de la multiplication classique g ? h = h ? g.
6. Montrer que G possède un sous-anneau non trivial, c’est-à-dire qu’il existe un sous-anneau
H tel que (0, 0) * H * G.
L’ensemble H = {(m, m) : m ∈ Z} est un sous-groupe additif de G. Soient g = (m, m) et
h = (n, n) ∈ H alors g ? h = (mn, mn) ∈ H, c’est donc un sous-anneau. Enfin (2, 0) ∈ G et
(2, 0) ∈
/ H.
Partie II
On rappelle qu’un idéal I d’un anneau commutatif G est un sous-groupe additif tel que
∀g ∈ G,
∀i ∈ I,
g ? i ∈ I.
Pour u = (u1 , u2 ) et v = (v1 , v2 ) deux éléments de G (i.e. u1 +u2 = 0 [mod 2] et v1 +v2 = 0 [mod 2]),
on note
I[u] := {g ∈ G : Il existe m ∈ Z tel que g = m · u}
et
I[u, v] = {g ∈ G : Il existe m ∈ Z et n ∈ Z tels que g = m · u + n · v}
deux sous-ensembles particuliers de G qu’on se propose d’étudier. Une représentation schématique
de I[u] et I[u, v] est donnée ci-dessous.
8
g2
•
•
1·u+1·v
v
•
(−1) · u + v
•
2·u
•
u
g1
•
7. Vérifier que I[u] et I[u, v] sont bien des sous-ensembles de G.
Soit g ∈ I[u] et g̃ ∈ I[u, v] alors g = m · u donc g1 + g2 = mu1 + mu2 = m0 [mod 2] =
0 [mod 2]. Comme g̃ = m · u + n · v alors g̃1 + g̃2 = (mu1 + nv1 ) + (mu2 + nv2 ) = m(u1 +
u2 ) + n(v1 + v2 ) = m0 + n0 [mod 2] = 0 [mod 2].
8. Montrer que l’ensemble I[u] est un sous-groupe additif de G.
Pour g et g̃ ∈ I[u] alors g + g̃ = ((m + m̃)u1 , (m + m̃)u2 ) = (m + m̃) · u ∈ I[u]. Et on a
toujours (m + m̃)(u1 + u2 ) = (m + m̃)0 [mod 2] = 0 [mod 2] (par la question 7). L’ensemble
est également non vide car il contient (0, 0), et l’inverse d’un élément g est −1 · g.
9. Montrer que l’ensemble I[u, v] est un sous-groupe additif de G.
Soient g et g̃ ∈ I[u, v] alors g + g̃ = (m + m̃) · u + (n + ñ) · v ∈ I[u, v]. Et on a bien
(m + m̃)u1 + (n + ñ)v1 + (m + m̃)u2 + (n + ñ)v2 ) = (m + m̃)0 + (n + ñ)0 [mod 2] = 0 [mod 2].
L’ensemble est également non vide car il contient (0, 0), et l’inverse d’un élément g est −1 · g.
10. Trouver un élément u ∈ G tel que I[u] ne soit pas un sous-anneau de G.
On doit trouver un couple d’entiers (u1 , u2 ) avec u1 + u2 = 0 [mod 2] tels qu’il existe m et
n ∈ Z tels que
(m · u) ? (n · u) ∈
/ I[u]
c’est-à-dire tels qu’il n’existe aucun entier p ∈ Z avec mnu21 = pu1 et mnu22 = pu2 . Il suffit
de choisir u1 6= 0 6= u2 alors mnu1 = p = mnu2 pour obtenir une contradiction. Le choix
m = 1 = n = u1 = −u2 fonctionne.
11. Montrer que l’ensemble I[u] est un idéal si et seulement si u1 = 0 ou u2 = 0.
Ce n’est pas un idéal s’il existe g ∈ G et i ∈ I tels que g ? i ∈
/ I. Si u = (0, 0), I[u] = {(0, 0)}
est l’idéal trivial. Si u1 = 0, alors g ? i = (g1 mu1 , g2 mu2 ) = (0, g2 mu2 ) = (g2 m) · u ∈ I[u],
idem si u2 = 0. Réciproquement, si u1 6= 0 et u2 6= 0. On pose g = (1, −1) et i = u alors s’il
existe M ∈ Z tel que g ? i = M · u on aurait
g ? i = (u1 , −u2 ) = (M u1 , M u2 ) ⇐⇒ (1 = M et 1 = −M )
ce qui est une contradiction.
12. Soient u et v deux éléments de G non colinéaires, c’est-à-dire que si u = (u1 , u2 ) et v =
(v1 , v2 ) alors u1 v2 − u2 v1 6= 0. On suppose que 1/(u1 v2 − u2 v1 ) ∈ Z. Montrer que l’ensemble
9
I[u, v] est un sous-anneau de G.
C’est déjà un sous-groupe additif par la question 9. Soient g et g̃ ∈ I[u, v] alors
g ? g̃ = ((mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 ), (mu2 + nv2 )(m̃u2 + ñv2 ))
On cherche M et N ∈ Z tels que
(mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 ) := b1 = M u1 + N v1 et (mu2 + nv2 )(m̃u2 + ñv2 ) := b2 = M u2 + N v2 .
Si (u1 v2 − u2 v1 ) 6= 0 alors l’unique solution dans Q est
M=
−b1 u2 + b2 u1
b1 v2 − b2 v1
et N =
.
u1 v2 − u2 v1
u1 v2 − u2 v1
Si 1/(u1 v2 − u2 v1 ) ∈ Z, alors M ∈ Z et N ∈ Z.
On pouvait également se rendre compte que les éléments (1, 1) et (1, −1) sont dans I[u, v]
pour montrer que I[u, v] = G. En effet, (v2 −v1 )·u+(u1 −u2 )·v = (v2 u1 −u2 v1 , −v1 u2 +u1 v2 ) =
(1, 1). Cela vient de l’inversibilité de la matrice du système dans Z.
13. Sous les mêmes conditions que la question précédente, montrer que I[u, v] est un idéal de G.
Il faut montrer que pour tout m, n ∈ Z et g ∈ G, en posant i = m · u + n · v alors l’élément
g ? i = (g1 mu1 + g1 nv1 , g2 mu2 + g2 nv2 ) est un élément de I[u, v], c’est-à-dire qu’il existe un
couple d’entiers M et N tels que
(g ? i)1 := g1 mu1 + g1 nv1 = M u1 + N v1
et
(g ? i)2 := g2 mu2 + g2 nv2 = M u2 + N v2 .
Comme à la question précédente, on trouve une unique solution dans Q qui est
M=
N=
g1 mu1 v2 + g1 nv1 v2 − g2 mu2 v1 − g2 nv2 v1
,
u1 v2 − u2 v1
−g1 mu1 u2 − g1 nv1 u2 + g2 mu2 u1 + g2 nv2 u1
.
u1 v2 − u2 v1
Si on avait montré que I[u, v] = G à la question précédente, on a immédiatement que c’est
un idéal.
14. Soient u et v deux éléments de G tels que (u1 v2 − u2 v1 ) = 2. Montrer que l’ensemble I[u, v]
est un sous-anneau de G.
C’est encore un sous-groupe additif par la question 9. Comme (u1 v2 −u2 v1 ) 6= 0 alors l’unique
solution dans Q est encore donnée par
M=
−b1 u2 + b2 u1
b1 v2 − b2 v1
et N =
.
u1 v2 − u2 v1
u1 v2 − u2 v1
Mais cette fois, il faut vérifier que le numérateur est divisible par 2 pour conclure que M et
N ∈ Z. On a b1 v2 − b2 v1 = (mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 )v2 − (mu2 + nv2 )(m̃u2 + ñv2 )v1 , mais
comme u et v sont dans G, alors il existe p et q ∈ Z tels que u2 = −u1 + 2p et v2 = −v1 + 2q
10
donc b1 v2 − b2 v1 = b1 (−v1 + 2q) − b2 v1 = −(b1 + b2 )v1 [mod 2]. Il suffit donc d’étudier si
b1 + b2 est pair, or
b1 + b2 =
(mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 ) + (mu2 + n(−v1 + 2q))(m̃u2 + ñ(−v1 + 2q))
=
(mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 ) + (mu2 − nv1 )(m̃u2 − ñv1 ) [mod 2]
=
(mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 ) + (m(−u1 + 2p) − nv1 )(m̃(−u1 + 2p) − ñv1 ) [mod 2]
=
(mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 ) + (−mu1 − nv1 )(−m̃u1 − ñv1 ) [mod 2]
=
(mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 ) + (mu1 + nv1 )(m̃u1 + ñv1 ) [mod 2]
= 0 [mod 2].
Et pour N , on a −b1 u2 + b2 u1 = (b1 + b2 )u1 [mod 2] = 0 [mod 2].
15. Sous les mêmes conditions que la question précédente, montrer que I[u, v] est un idéal de G.
Il faut montrer que pour tout m, n ∈ Z et g ∈ G, en posant i = m · u + n · v alors l’élément
g ? i = (g1 mu1 + g1 nv1 , g2 mu2 + g2 nv2 ) est un élément de I[u, v], c’est-à-dire qu’il existe un
couple d’entiers M et N tels que
(g ? i)1 := g1 mu1 + g1 nv1 = M u1 + N v1
et
(g ? i)2 := g2 mu2 + g2 nv2 = M u2 + N v2 .
Avec l’unique solution dans Q, il faut vérifier que le numérateur des solutions est divisible par
2 pour conclure que M et N ∈ Z. On a qu’il existe un entier r ∈ Z tel que u1 v2 = u2 v1 + 2r
donc
g1 mu1 v2 + g1 nv1 v2 − g2 mu2 v1 − g2 nv2 v1
= g1 mu2 v1 + g1 nv1 v2 − g2 mu2 v1 − g2 nv2 v1 [mod 2]
=
(g1 m − g2 m)u2 v1 + (g1 n − g2 n)v2 v1 [mod 2]
=
(g1 − g2 )(mu2 + nv2 )v1 [mod 2]
=
(g1 + g2 )(mu2 + nv2 )v1 [mod 2] = 0 [mod 2].
Et pour l’autre numérateur
−g1 mu1 u2 − g1 nv1 u2 + g2 mu2 u1 + g2 nv2 u1
= −g1 mu1 u2 − g1 nv1 u2 + g2 mu2 u1 + g2 nu2 v1 [mod 2]
=
(g2 − g1 )(mu1 + nv1 )u2 [mod 2]
=
(g1 + g2 )(mu1 + nv1 )u2 [mod 2] = 0 [mod 2].
En réalité, on montre encore que I[u, v] = G car on peut générer (1, 1) et (1, −1). Pour
(1, 1), on trouve M = (v2 − v1 )/2 = −v1 + q et N = (u1 − u2 )/2 = u1 − p. Pour (1, −1), on
trouve M = (v2 + v1 )/2 = q et N = −(u1 + u2 )/2 = −p.
Partie III
11
Dans cette partie, on considère deux éléments fixés u = (u1 , u2 ) et v = (v1 , v2 ) de G tels que
u1 v2 − u2 v1 6= 0, et on considère encore le sous-groupe additif
I[u, v] = {g ∈ G : Il existe m ∈ Z et n ∈ Z tels que g = m · u + n · v}.
On note GL2 le groupe de transformations linéaires inversibles de R2 défini par
a b
GL2 := P =
∈ M2,2 (R) : a, b, c, d ∈ R, ad − bc 6= 0
c d
et on note O2 le groupe de transformations orthogonales de R2 défini par
a b
T
T
O2 := P =
∈ GL2 : P P = P P = Id
c d
où P T est la matrice transposée de P et Id est la matrice identité. Pour un élément P de GL2 ou
de O2 , et un élément g ∈ G on note P g le couple (ag1 + bg2 , cg1 + dg2 ) ∈ R2 .
16. Vérifier que GL2 forme un groupe pour la loi de multiplication.
L’inverse est donné explicitement par
1
d −b
.
ad − bc −c a
Un produit de matrices inversibles est encore inversible.
17. Vérifier que O2 est un sous-groupe de GL2 pour la loi de multiplication.
Si une matrice P est dans O2 , alors elle est inversible, et son déterminant est forcément 1
ou −1. Si P et Q sont dans O2 alors (P Q)T P Q = QT P T P Q = QT Q = Id, et le produit est
donc bien dans O2 . L’inverse d’un élément est sa transposée, donc l’ensemble est stable par
inverse.
18. On note Aut(I[u, v]) l’ensemble des matrices P de O2 tels que pour tout g ∈ I[u, v], on a
P g et P T g qui sont encore dans I[u, v]. Soit P ∈ Aut(I[u, v]), montrer que l’application P
suivante est un morphisme de groupe additif de I[u, v].
P:
I[u, v] → I[u, v]
g = m · u + n · v 7→ P(g) = P g
On identifiera donc la matrice P avec l’application P dans le reste du problème.
L’application est additive P(g + g̃) = P (g + g̃) = P(g) + P(g̃).
19. Montrer que l’ensemble Aut(I[u, v]) est un sous-groupe de O2 pour la loi de multiplication.
Soient deux matrices P et Q de Aut(I[u, v]). Le produit P Q est toujours dans O2 . Montrons
que pour tout g ∈ G, alors (P Q)g ∈ I[u, v]. En effet, (P Q)g = P (Qg) avec Qg ∈ I[u, v], donc
P (Qg) ∈ I[u, v]. De même, (P Q)T g = (QT P T )g = QT (P T g) ∈ I[u, v]. L’inverse est donné
par la matrice transposée qui stabilise aussi I([u, v]) et donc est un élément de Aut(I[u, v]).
20. Montrer que pour tout P ∈ Aut(I[u, v]) il existe α ∈ R tel que
cos(α) − sin(α)
cos(α) − sin(α)
P =
ou P =
.
sin(α) cos(α)
− sin(α) − cos(α)
12
Comme P P T = Id alors a2 + b2 = 1 = c2 + d2 donc il existe α tel que a = cos(α) et
b = − sin(α) et il existe β tel que c = sin(β) et d = cos(β). Mais on a aussi ac + bd = 0
donc sin(β − α) = 0, et donc β = α[π]. Si β = α on obtient la matrice anti-symétrique, si
β = α + π on obtient la matrice symétrique.
21. Soit P ∈ Aut(I[u, v]), en montrant que P −1 u + P u est un élément de I[u, v], en déduire que
la trace de P est un entier.
Aut(I[u, v]) est un groupe donc P −1 existe et stabilise I[u, v], donc P −1 u+P u ∈ I[u, v]. Si P
est une symétrie, sa trace est nulle. Autrement si P est une rotation, par le calcul P −1 u+P u
est l’élément 2 cos(α) · u. Comme cet élément est dans I[u, v] alors il existe deux entiers M
et N tels que 2 cos(α) · u = M · u + N · v. Les vecteurs étant linéairement indépendants, alors
M = 2 cos(α) et N = 0. On retrouve que la trace de P est soit nulle soit un entier.
22. Soit P un élément de Aut(I[u, v]) de déterminant 1. Montrer qu’il existe au maximum 8
valeurs possibles dans
] − π, π] pour α dans
l’écriture proposée en question 20, précisément
π π 2π
que seuls les angles 0, ± , ± , ± , π sont autorisés.
3
2
3
On vient de montrer que la trace est un entier. Nécessairement 2 cos(α) ∈ {−2, −1, 0, 1, 2},
π π 2π
donc α ∈ {0, ± , ± , ± , π}.
3
2
3
23. Supposons qu’il existe un élément P ∈ Aut(I[u, v]) de déterminant égal à 1, tel que T r(P ) =
1. Montrer qu’il existe une contradiction.
√
√
u1 ∓ 3u2 u2 ± 3u1
Comme T r(P ) = 1 alors P est la rotation d’angle π/3 ou −π/3. Donc P u = (
,
)
2
2
qui n’est pas dans I[u, v].
24. Montrer que pour tout u, v ∈ G, les angles 0 et π sont autorisés, c’est-à-dire que les éléments
−1 0
1 0
et − I =
I=
0 −1
0 1
sont des éléments de Aut(I[u, v]).
L’identité est toujours un automorphisme. Et si g = m·u+n·v, alors −g = −m·u−n·v = −Ig.
25. Montrer qu’il existe deux éléments u, v ∈ G, tels que la rotation d’angle π/2 n’est pas
autorisée comme transformation préservant I[u, v].
Avec u = (3, 1) et v = (1, 3) alors la rotation de u est (−1, 3), mais il n’existe aucun entier
m et n tels que 3m + n = −1 et m + 3n = 3 car l’unique solution est m = −6/8 et n = 10/8.
26. Soit g ∈ I[u, v] non nul, montrer que
max(|g1 v2 − g2 v1 |, |g1 u2 − g2 u1 |) ≥ u1 v2 − u2 v1
Il existe m et n tels que g = m · u + n · v donc
|g ∧ v| = |mu ∧ v| = |m||u1 v2 − u2 v1 | et |g ∧ u| = |nv ∧ u| = |n||u1 v2 − u2 v1 |
Soit m soit n est non nul, donc le maximum entre les deux déterminants est supérieur à
|u1 v2 − u2 v1 |. On peut enlever la valeur absolue.
13
q
27. Montrer qu’il existe ε tel que la norme kgk := g12 + g22 de tout élément g ∈ I[u, v] non nul
vérifie kgk > ε.
S’il existait g de norme petite alors |u ∧ v| ≤ max(|g ∧ v|, |g ∧ u|) < ε max(kuk, kvk). C’està-dire que l’angle entre u et v est forcément nul, ce qui contredit la colinéarité.
28. Soit δ = min{kgk ∈ R : g ∈ I[u, v], g 6= 0}. Montrer qu’il existe un nombre fini d’éléments
qui soient de norme δ.
p
La norme d’un élément est (mu1 + nv1 )2 + (mu2 + nv2 )2 . Les éléments de norme δ sont
donc situés sur un cercle de rayon δ. Comme G est un groupe discret, alors I[u, v] l’est
également, alors il existe un nombre fini d’éléments dans tout domaine borné.
29. Conclure qu’il existe un nombre pair d’éléments de norme minimale non nulle.
Par symétrie centrale, il en existe un nombre pair (et au moins 2).
14
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
Corrigé de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble
des nombres réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
On considère l’espace vectoriel R 4 rapporté à la base canonique. Soit f l’endomorphisme de
0 1 1 1


1 0 2 0

4
R représenté par la matrice suivante : M  
1 2 4 2


1 0 2 0


1. Déterminer l’image de f.
On remarque que : f (e4 )  f (e2 ) et f (e3 )  2 f (e1 )  f (e2 ) . L’image de cette application
est donc de dimension 2, engendrée par ces deux vecteurs.
2. Etudier la diagonalisation de f (on déterminera les valeurs propres et des vecteurs propres
pour la valeur propre double).
Comme la matrice est symétrique, elle est diagonalisable.
On a : 𝑑𝑒𝑡(𝑀 − 𝜆𝐼) = 𝜆2 (𝜆2 − 4𝜆 − 11). Zéro est donc une valeur propre double et les deux
autres sont 𝜆 = 2 ± √15.
Pour la valeur propre nulle, on peut choisir comme vecteurs propres :
(-2, 0, 1, -1) et (0, 1, 0, -1).
3. Soit q la forme quadratique sur R 4 définie par :
q ( x, y, z, t )  4 z 2  2 xy  2 xz  2 xt  4 yz  4 zt . Cette forme quadratique est-elle positive ?
La matrice de cette forme quadratique est M, qui admet une valeur propre négative, donc la
forme quadratique n’est pas positive.
1
4. Résoudre le système suivant, où m et p sont des paramètres réels :
y  z t 1


x  2z  m 2  1


 x  2 y  4 z  2t  p  2

 x  (m  1) y  2 z  2
1
1 1
0


1
0
2 0

La matrice du système est : A  
. On procède en deux temps : Résolution
1
2
4 2


1 m 1 2 0


du système homogène, puis le système général.
On peut remarquer que Ligne3-Ligne2=2Ligne1, donc le déterminant de la matrice est nul
quel que soit la valeur du paramètre m.
(i) Système homogène
- Si m=1, alors A=M et le noyau de f (sous espace vectoriel propre associé à la valeur propre
nulle) est l’ensemble des solutions.
- Si m  1, alors l’ensemble des solutions est de dimension 1, engendré par le vecteur
(2,0,-1,1).
(ii) Système général
- Si m=1, il existe un sous espace affine de solutions si et seulement si (1, 2, p  2, 2)Im f .
(𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑇) ∈ 𝐼𝑚 𝑓 ⇒ 𝑌 = 0, soit 𝑚2 + 1 = 0, donc pas de solutions au système.
- Si m  1, (𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑇) ∈ 𝐼𝑚 𝑓 ⇒ 𝑋 = −2𝑍; 𝑇 = −𝑌 − 𝑍, soit p=-6 et p=-5, donc pas de
solutions au système.
Exercice n° 2
On note E l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels, puis
S  M  E / M  M '  et A  M  E / M  M ' , où M ' désigne la matrice transposée.
1. Déterminer la dimension de S et celle de A.
a  b
 0


c  , donc Dim A=3.
 M  A , la matrice s’écrit : M    a 0
 b c 0 


d a b 


 M  S , la matrice s’écrit : M   a e c  , donc Dim S=6.
b c f 


2. Montrer que E est la somme directe de S et A.
On a :
(i) Dim E=9=Dim S + Dim A
2
M M' M M'
, le premier élément appartient à S et le deuxième à A.

2
2
On a bien une somme directe avec ces deux propriétés.
(ii)  M  E , M 
3. Soit M  A , étudier la diagonalisation de M dans R (ensemble des nombres réels) et C
(ensemble des nombres complexes).
a  b
 0


La matrice s’écrit : M    a 0
c  et det (M   I )   (a 2  b 2  c 2  2 ) qui
 b c 0 


s’annule pour les valeurs propres :   0,  i u , où u  (a, b, c) .
On a donc trois valeurs propres distinctes complexes. La matrice est diagonalisable dans C mais
pas dans R. (sauf si les 3 paramètres sont nuls)
4. Soit la matrice particulière
1  2
0


M   1 0
2 
 2 2 0 


Déterminer une base de vecteurs propres complexes de M. Indiquer comment calculer M n pour
n entier supérieur à 1 (le calcul explicite n’est pas demandé).
D’après la question précédente, les valeurs propres de la matrice sont : 0, 3i et -3i.
  3i 0 0 


La matrice est donc semblable à la matrice diagonale D   0 0 0  et on a :
 0 0 3i 


1
n
n
1
M  P D P  M  P D P , où P est la matrice de passage de la base canonique à une
base de vecteurs propres. Cherchons les vecteurs propres.
 y  2z  0
- Pour   0 , on résout le système : 
, on peut donc prendre le vecteur (2, 2, 1).
 x  2 z  0
 3i x  y  2 z  0
- Pour   3i , on résout le système : 
, on peut donc prendre le vecteur
 x  3i y  2 z  0
(5, -4+3i, -2-6i). Ce vecteur est orthogonal au précédent.
- Pour   3i , on a : M u   u  M u   u  M u   u , donc un vecteur propre est le
conjugué du précédent, à savoir : (5, -4-3i,-2+6i). La matrice de passage est :
2
5 
 5


P    4  3i 2  4  3i 
  2  6i 1  2  6i 


3
Exercice n° 3
Soit B  (e1 , e2 , e3 ) une base orthonormée de R 3 muni du produit scalaire standard. On note D
la droite vectorielle engendrée par le vecteur e1 et E l’orthogonal de D.
1. Déterminer les matrices des endomorphismes de R 3 suivants dans la base B :
- Rotation autour de D et d’angle  . On notera R cette matrice.
- Projection orthogonale sur D. On notera P1 cette matrice.
- Projection orthogonale sur E. On notera P2 cette matrice.
(a) Pour la rotation autour de D et d’angle  , on a :
R (e1 )  e1 ; R (e2 )  (cos  ) e2  (sin  ) e3 ; R (e3 )  ( sin  ) e2  (cos  ) e3 , d’où
0
1

R   0 cos 
 0 sin 

0 

 sin  
cos  
1 0 0


(b) Pour P1 , on a : P1 (e1 )  e1 ; P1 (e2 )  P1 (e3 )  0. Soit P1   0 0 0 
 0 0 0


 0 0 0


(c) Pour P2 , on a : P2 (e1 )  0 ; P2 (e2 )  e2 ; P2 (e3 )  e3 Soit P2   0 1 0 
0 0 1


0 0 0
2. Exprimer R à l’aide de 𝑃1 , 𝑃2 et 𝑀 = (0 0 −1). Quelle est la nature géométrique de
0 1 0
l’application linéaire associée à M (matrice dans la base B)?
R  P1  (cos  ) P2  (sin  ) M
Soit f l’application linéaire associée à M. On a :
f (e1 )  0 ; f (e2 )  e3 ; f (e3 )  e2 .
 0 0 0 1 0 0 



On constate que : M   0 1 0   0 0  1 , donc f  P2 o R ( / 2, D) .
0 0 10 1 0 



3. Exprimer cos  en fonction de la trace de R.
Exprimer M en fonction de R, R ' (transposée de R) et  pour   k  (k  Z ) .
La trace est un opérateur linéaire, on a : Tr R  Tr P1  (cos  ) Tr P2  (sin  ) Tr M , soit
Tr R  1
Tr R  1  2 (cos  ) . Par conséquent : cos  
.
2
1
(R  R ' )
On a : R  R '  2 (sin  ) M  M 
2 sin 
4
4. Soient u,v deux rotations de R 3 . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) u o v  v o u
(ii) u et v ont les mêmes vecteurs invariants ou u et v sont des symétries par rapport à deux
droites orthogonales.
(ii )  (i )
(a) Si u et v sont des symétries par rapport aux droites orthogonales D1 , D2 . Soit (e1' , e2 ' , e3 ' )
une base orthonormée de R 3 telle que : e1'  D1 , e2 '  D2 , e3 '  (e1' , e2' ) .
0
1 0


Si u est la symétrie par rapport à D1 , alors S (u )   0  1 0 
 0 0  1


 1 0 0 


Si v est la symétrie par rapport à D2 , alors S (v)   0 1 0 
 0 0  1


 1 0 0 


On obtient : S (u ) S (v)  S (v) S (u )   0  1 0   uov  vou
0
0
1

0
0 
1


(b) Si u et v ont les mêmes vecteurs invariants, on a : R (u )   0 cos   sin   et
 0 sin  cos  


0
0 
1


R (v)   0 cos   sin   . Par conséquent : R (u ) R (v)  R (v) R(u )  uov  vou
 0 sin  cos  


Réciproque
Soient u la rotation autour de D1  E1 (u) et v la rotation autour de D2 .
Si x D1 , x  0, u( x)  x  vou ( x)  u(v( x))  v( x) . On a v( x)  0 sinon Ker v  0et v ne
serait pas bijective, donc v (x) est un vecteur propre de u associé à la valeur propre 1. Comme
v conserve la norme et que Dim E1 (u)  1 , on en déduit que v ( x)   x .
- Si v ( x)  x , ce dernier est un vecteur propre de v associé à la valeur propre 1 et u et v ont les
mêmes invariants.
- Si v ( x)   x , alors -1 est une valeur propre de v et comme le déterminant de la matrice de v
est égal à 1, (-1) est une valeur propre double et v est une symétrie par rapport à D2 . On a :
0
1 0
 cos   sin  0 




M (v)   0  1 0  et M (u )   sin  cos  0 
 0 0  1
 0
0
1 



L’égalité uov  vou implique sin    sin     k  . Par conséquent u est une symétrie par
rapport D1 (qui est orthogonale à D2 ).
5
Exercice n° 4
Soit f la fonction réelle définie par : f ( x) 
x
si x  0 et f (0)  1
e 1
x
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en zéro.
On rappelle que : e x  
p 0
Lim f ( x)  Lim
0
Lim
0
0
xp
.
p!
x
x
 Lim  1  f (0) , donc la fonction est continue en zéro.
0
x
e 1
x
f ( x)  1
1 x  ex
1
 Lim
   f ' (0) , donc la fonction est dérivable en zéro.
x
0
x
2
x (e  1)
2. Donner un développement limité de f à l’ordre 4 au voisinage de zéro. On écrira f sous la
xp
forme f ( x)   B p
. Que valent B0 , ..., B4 ?
p!
p 0
On a :
f ( x) 
x
x x
x3 x4
x (1  


 o ( x 4 ))
2! 3! 4! 5!
2
f ( x)  1  (
f ( x)  1 
x x2 x3 x4
x x2 x3 2
x x2
x


 )( 
 )  (  ) 3  ( ) 4  o( x 4 ) , d’où
2! 3! 4! 5!
2! 3! 4!
2! 3!
2!
x 1 2
1 4

x 
x  o ( x 4 ) . On obtient :
2 12
720
1
1
1
B0  1; B1   ; B2  ; B3  0; B4  
2
6
30
3. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
e x (1  x)  1
 0 en étudiant le signe du numérateur. La
(e x  1) 2
fonction est décroissante et à valeurs dans les réels positifs. Elle admet la deuxième bissectrice
comme asymptote à moins l’infini et l’axe Ox comme asymptote à plus l’infini.
La dérivée est égale à : f ' ( x) 
6
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
y
2
f ( x)
d x.
x
1
4. Calculer I  
2
1
dx
1 e 1
I 
x
et
on
1
t  ex  d x  d t
t
pose
pour
obtenir :
 e2 1
1
 1
eé
  1
I  
  d t  Ln (t  1)  Ln (t ) e  Ln 
t

1
t
e

1




e
e2
Exercice n° 5
Soit la fonction numérique f définie par : f ( x)  x 2 Ln (1  x 2 )
1. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
2 x3
 0 pour x>0.
1 x2
La fonction est donc croissante sur les réels positifs et admet une branche parabolique dans la
direction verticale.
La fonction est paire et sa dérivée est égale à : f ' ( x)  2 x Ln (1  x 2 ) 
7
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
-0,5
-1
-1,5
-2
2. Etudier la convergence de la suite (u n ) définie par la relation de récurrence : u n1  f (u n )
et le premier terme 𝑢0 > 0.
La suite est à termes positifs et si elle converge vers une limite l, cette dernière est un point
fixe de la fonction, donc soit l=0 ou l Ln (1  l 2 )  1 .
On considère z  l Ln (1  l 2 )  1 , sa dérivée est strictement positive sur les réels positifs,
z (0)  1 et z tend vers plus l’infini à l’infini. D’après le théorème des valeurs intermédiaires,
il existe une unique valeur  telle que z ( )  0 (c’est le point d’intersection entre le graphe
de la fonction et la bissectrice, cf. graphe précédent). Comme la fonction est croissante, la
suite est monotone.
Si u 0   , la suite est décroissante et minorée par zéro, donc elle converge vers 0.
Si u 0   , la suite est croissante et elle tend vers plus l’infini.
Si u 0   , la suite est stationnaire et converge donc vers alpha.
1
3. Calculer I   f ( x) dx .
0
1
1
 x3

2
x4
dx , d’où
On a par intégration par parties : I   Ln (1  x 2 )  
2
3
0 3 0 1 x
Ln 2 2
Ln 2 4 
1
I
  (x2 1 
) dx 
 
2
3
30
3
9 6
1 x
1
Exercice n° 6
1
1. En se servant du développement en série entière de la fonction ∶ 𝑥 → 1−𝑥 , calculer
8


k 1
k 1
pour 0 < 𝑥 < 1, la somme des séries  k x k 1 et  k 2 x k 1
1
𝑘
La série ∑∞
𝑘=0 𝑥 est une série entière de rayon de convergence 1 et de somme 𝑓(𝑥) = 1−𝑥
1
𝑘
pour |x|<1, d’où pour0 < 𝑥 < 1, on peut écrire 1−𝑥 = ∑∞
𝑘=0 𝑥 .
On peut dériver terme à terme cette série pour 0 < 𝑥 < 1 et on a :
1
𝑘−1
𝑓 ′ (𝑥) = (1−𝑥)2 = ∑∞
. De même, en calculant les dérivées secondes, on a :
𝑘=1 𝑘𝑥
2
𝑘−2
2 𝑘−2
𝑘−2
𝑓 ′′ (𝑥) = (1−𝑥)3 = ∑∞
= ∑∞
− ∑∞
𝑘=2 𝑘(𝑘 − 1)𝑥
𝑘=2 𝑘 𝑥
𝑘=2 𝑘𝑥
Mais on a :
2 𝑘−1
2 𝑘−2
𝑘−1 )
∑∞
= 1 + 𝑥 ∑∞
= 1 + 𝑥(𝑓 ′′ (𝑥) + ∑∞
𝑘=1 𝑘 𝑥
𝑘=2 𝑘 𝑥
𝑘=2 𝑘𝑥
De même
𝑘−1
𝑘−2
∑∞
= 1 + 𝑥 ∑∞
= 𝑓′(𝑥)
𝑘=1 𝑘𝑥
𝑘=2 𝑘𝑥
D’où
𝑥+1
2 𝑘−1
∑∞
= 𝑥𝑓 ′′ (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥) = (1−𝑥)3
𝑘=1 𝑘 𝑥
2. Soit n un entier naturel non nul fixé. Calculer le développement en série entière de la
1
fonction 𝑥 → (1−𝑥)𝑛 et en déduire la somme de la série
∞
𝑘
∑ 𝐶𝑛+𝑘−1
𝑥𝑘
𝑘=0
(𝑛−1)!
On a d’une part 𝑓 (𝑛−1) (𝑥) = (1−𝑥)𝑛
Et d’autre part :
𝑘!
𝑘−𝑛+1
𝑘−𝑛+1
𝑓 (𝑛−1) (𝑥) = ∑∞
= ∑∞
𝑘=𝑛−1 𝑘(𝑘 − 1) … (𝑘 − 𝑛 + 2)𝑥
𝑘=𝑛−1 (𝑘−𝑛+1)! 𝑥
Ou en posant 𝑘 ′ = 𝑘 − 𝑛 + 1,
(𝑘+𝑛−1)! 𝑘
𝑓 (𝑛−1) (𝑥) = ∑∞
𝑥
𝑘=0
𝑘!
(𝑛−1)!
(𝑘+𝑛−1)! 𝑘
1
𝑥 𝑘 ou (1−𝑥)𝑛 = ∑∞
𝑘=0 (𝑛−1)!𝑘! 𝑥
𝑘!
1
𝑛−1
𝑘
𝑘
𝑘
Et comme 𝐶𝑘+𝑛−1
= 𝐶𝑘+𝑛−1
, on a ∑∞
𝑘=0 𝐶𝑘+𝑛−1 𝑥 = (1−𝑥)𝑛
Finalement, on a : (1−𝑥)𝑛 = ∑∞
𝑘=0
(𝑘+𝑛−1)!
9
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Faire nation. Que pensez-vous de cette expression ? Vous illustrerez vos propos.
Sujet n° 2
« L’anarchie c’est l’ordre par harmonie », Louise Michel, (1830-1905), institutrice,
femme politique française, Prise de possession, 1890. Expliquez et argumentez.
Sujet n° 3
Peut-on échapper à sa culture ? Discutez et illustrez vos propos.
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apporté à la rédaction et à
la présentation des résultats.
1
Problème d’analyse
Le but du problème est d’étudier l’approximation de solutions d’équations différentielles par
des suites numériques.
Partie I
Soit x0 un réel fixé, et T > 0 un réel strictement positif.
1. Résoudre l’équation différentielle
y 0 (t) = −2y(t)
en la variable y : [0, T ] → R, partant de la condition initiale y(0) = x0 .
2. Soit h : [0, T ] → R une fonction continue. Résoudre l’équation différentielle
y 0 (t) = −2y(t) + h(t)
en la variable y : [0, T ] → R, partant de la condition initiale y(0) = x0 .
3. Montrer que la solution y de l’équation différentielle (1) est de classe C 1 (]0, T [; R).
1
(1)
4. Montrer que la dérivée y 0 de la solution y de l’équation différentielle (1) est une fonction
bornée.
5. Soit
F :
[0, T ] × R → R
(t, x) 7→ F (t, x)
une fonction continue et de classe C 1 ([0, T ] × R; R) telle que toutes ses dérivées partielles
soient bornées. Montrer que la fonction F est globalement Lipschitzienne par rapport à sa
deuxième variable, c’est-à-dire qu’il existe une constante M ≥ 0 telle que pour tout t ∈ [0, T ],
pour tous y, z ∈ R
|F (t, y) − F (t, z)| ≤ M |y − z|.
6. Rappeler pourquoi il existe une unique solution à l’équation différentielle ordinaire suivante
y 0 (t) = F (t, y(t))
(2)
partant de la condition initiale y(0) = x0 .
7. Montrer que la solution y de l’équation différentielle (5) est de classe C 2 (]0, T [; R).
8. Soit z : [0, T ] → R la fonction continue vérifiant l’équation intégrale suivante pour tout
t ∈ [0, T ]
Z t
z(t) = x0 +
F (s, z(s))ds.
(3)
0
1
Montrer que la fonction z est de classe C (]0, T [; R).
9. Montrer que pour tout t ∈ [0, T ], il existe un réel a ∈ [0, T ] (dépendant de t) tel que
Z t
F (s, z(s)) = F (a, z(a)) × t.
0
10. Montrer que pour tous s, t ∈ [0, T ], on a le développement limité suivant pour y la solution
de l’équation différentielle (5)
∂F
∂F
(t − s)2
y(t) = y(s) + F (s, y(s))(t − s) +
(s, y(s)) +
(s, y(s))F (s, y(s))
+ O((t − s)2 )
∂t
∂x
2
où O((t − s)2 ) est une fonction telle que
O((t − s)2 )
est bornée quand s → t.
(t − s)2
Partie II
On considère une fonction continue et de classe C 1 (R+ × R; R) notée
F :
R+ × R → R
(t, x) 7→ F (t, x)
2
On suppose dans cette partie qu’il existe une constante M > 0 telle que les dérivées partielles de
la fonction F sont bornées par cette constante, c’est-à-dire
∂F
(t, x) ≤ M
t∈R x∈R ∂t
sup sup
∂F
(t, x) ≤ M.
t∈R x∈R ∂x
et
sup sup
Soit T > 0 un réel strictement positif et N un entier strictement positif avec h = T /N . Soit x0
un réel fixé, et soit (xn )n∈N la suite définie par
xn+1 = xn + hF (nh, xn ),
(4)
pour tout n ∈ N.
11. Uniquement pour cette question, on suppose que F est une fonction bornée. On note pour
xn
tout n ∈ N, An :=
. Montrer que la suite (An )n∈N est bornée.
n+1
12. La fonction F n’étant plus supposée bornée, on ne peut pas appliquer la question précédente,
et on ne sait a priori rien dire sur la suite (An )n∈N . Trouver une fonction F non bornée (mais
dont les dérivées partielles sont bornées) telle que la suite (An )n∈N ne soit pas bornée (on
précisera une valeur pour x0 si besoin).
13. Montrer que exp(x) − x − 1 est positif pour tout x ∈ R+ .
14. Soit L > 0, soit (bn )n∈N une suite de termes positifs, et (yn )n∈N une suite telle que pour tout
n∈N
0 ≤ yn+1 ≤ (1 + L)yn + bn .
Montrer que pour tout n ∈ N
yn ≤ y0 exp(Ln) +
n−1
X
bk exp(L(n − 1 − k)).
k=0
15. Soit D > 0, soit (dn )n∈N une suite telle que pour tout n ∈ N
dn =
n−1
X
Dk exp(−kD).
k=0
Montrer qu’il existe une constante E > 0 telle que pour tout n ∈ N, |dn | ≤ E.
16. Montrer que la suite (xn )n∈N vérifie qu’il existe trois constantes K1 , K2 et K3 telles que
pour tout n ∈ N
|xn+1 | ≤ (1 + K1 )|xn | + K2 n + K3 .
MT n
17. On note pour tout n ∈ N, Xn := exp −
xn . Montrer que la suite (Xn )n∈N est bornée.
N
3
Partie III
Dans cette partie, on continue de considérer la fonction F de la partie II, et la suite (xn )n∈N .
De plus, on note y la solution de l’équation différentielle ordinaire
y 0 (t) = F (t, y(t))
(5)
partant de la condition initiale y(0) = x0 sur l’intervalle [0, T ]
18. Montrer que pour tout 0 < s < t < T , il existe ξ ∈ [s, t] tel que
y(t) = y(s) + F (s, y(s))(t − s) + y 00 (ξ)
(t − s)2
.
2
19. Montrer qu’il existe une constante Q > 0 telle que pour tout 0 < s < t < T ,
|y(t) − y(s) − F (s, y(s))(t − s)| ≤ Q
(t − s)2
.
2
20. En déduire que pour tout entier 0 ≤ n < N , on a
|xn+1 − y((n + 1)h)| ≤ |xn − y(nh)|(1 + M h) + Q
h2
,
2
avec M la constante introduite en partie II.
21. Soit ε > 0, montrer qu’il existe un entier N ∗ tel que si N > N ∗ alors pour tout entier
0 ≤ n < N , on a
|xn+1 − y((n + 1)h)| ≤ |xn − y(nh)|(1 + ε) + εh.
22. Soit ε > 0, montrer qu’il existe un entier N ∗ tel que si N > N ∗ alors
sup |xn − y(nh)| ≤ ε
0≤n≤N
T 1 − exp(εN )
.
N 1 − exp(ε)
23. L’estimation précédente n’admet pas de limite finie quand N tend vers +∞. On va essayer
d’améliorer les résultats. Montrer que
N −1
sup |xn − y(nh)| ≤
0≤n≤N
Qh2 X
exp(M kT /N ).
2
k=0
24. Montrer qu’il existe une constante C et un entier N ∗ tel que si N > N ∗ alors
N −1
QT X
exp(M kT /N ) ≤ C.
2N
k=0
25. Soit ε > 0, montrer qu’il existe un entier N ∗ tel que si N > N ∗ alors on a
sup |xn − y(nh)| ≤ ε.
0≤n≤N
26. Pour N choisi, on pose x0N le N -ième terme de la suite (xn )n∈N construite pour ce choix de
N . Montrer que la limite de x0N quand N → +∞ est y(T ).
4
2
Problème d’algèbre
Dans ce problème, on considère des sous-groupes de Z2 , et certains maillages générés par des
bases d’éléments. On cherche notamment à caractériser les morphismes de ces maillages.
Partie I
On pose G = {g = (g1 , g2 ) ∈ Z2 : g1 +g2 = 0 [mod 2]}. On rappelle que la notation [mod 2] dans
l’expression g1 +g2 = 0 [mod 2] signifie que 2 divise l’entier g1 +g2 . Notamment si g1 +g2 = 1 [mod 2]
c’est que 2 ne divise pas l’entier g1 + g2 . Plus simplement on pourrait écrire
G = {g = (g1 , g2 ) ∈ Z2 : g1 + g2 est un entier pair}
qui est l’ensemble composé de couple de coordonnées cartésiennes entières telles que leur somme
soit paire. Une représentation schématique de cet ensemble est donnée ci-dessous.
g2
(−2, 2)
•
(0, 2)
(−1, 1)
(−2, 0)
(−2, −2)
•
•
(2, 0)
(1, −1)
(0, −2)
•
•
•
•
•
•
(2, 2)
(1, 1)
(0, 0)
(−1, −1)
•
•
g1
•
(2, −2)
•
Pour élément g = (g1 , g2 ) et h = (h1 , h2 ) ∈ G, on note g + h le couple (g1 + h1 , g2 + h2 ).
Pour élément g = (g1 , g2 ) et h = (h1 , h2 ) ∈ G, on note g ? h le couple (g1 h1 , g2 h2 ).
Pour tout élément n ∈ Z, et tout élément g = (g1 , g2 ) ∈ G, on note n · g le couple (ng1 , ng2 ).
1. Montrer que (G, +) est un groupe.
2. Montrer que pour tout élément n ∈ Z, et tout élément g = (g1 , g2 ) ∈ G, alors n·g est dans G.
5
3. Montrer que la matrice
1
1
1 −1
est inversible.
4. En déduire qu’il existe deux éléments u et v ∈ G tel que pour tout g ∈ G, il existe m et
n ∈ Z tels que
g = mu + nv.
5. Montrer que (G, +, ?) est un anneau commutatif.
6. Montrer que G possède un sous-anneau non trivial, c’est-à-dire qu’il existe un sous-anneau
H tel que (0, 0) * H * G.
Partie II
On rappelle qu’un idéal I d’un anneau commutatif G est un sous-groupe additif tel que
∀g ∈ G,
∀i ∈ I,
g ? i ∈ I.
Pour u = (u1 , u2 ) et v = (v1 , v2 ) deux éléments de G (i.e. u1 +u2 = 0 [mod 2] et v1 +v2 = 0 [mod 2]),
on note
I[u] := {g ∈ G : Il existe m ∈ Z tel que g = m · u}
et
I[u, v] = {g ∈ G : Il existe m ∈ Z et n ∈ Z tels que g = m · u + n · v}
deux sous-ensembles particuliers de G qu’on se propose d’étudier. Une représentation schématique
de I[u] et I[u, v] est donnée ci-dessous.
g2
•
•
1·u+1·v
v
•
(−1) · u + v
•
2·u
•
u
g1
•
7. Vérifier que I[u] et I[u, v] sont bien des sous-ensembles de G.
6
8. Montrer que l’ensemble I[u] est un sous-groupe additif de G.
9. Montrer que l’ensemble I[u, v] est un sous-groupe additif de G.
10. Trouver un élément u ∈ G tel que I[u] ne soit pas un sous-anneau de G.
11. Montrer que l’ensemble I[u] est un idéal si et seulement si u1 = 0 ou u2 = 0.
12. Soient u et v deux éléments de G non colinéaires, c’est-à-dire que si u = (u1 , u2 ) et
v = (v1 , v2 ) alors u1 v2 − u2 v1 6= 0. On suppose que 1/(u1 v2 − u2 v1 ) ∈ Z. Montrer que
l’ensemble I[u, v] est un sous-anneau de G.
13. Sous les mêmes conditions que la question précédente, montrer que I[u, v] est un idéal de G.
14. Soient u et v deux éléments de G tels que (u1 v2 − u2 v1 ) = 2. Montrer que l’ensemble I[u, v]
est un sous-anneau de G.
15. Sous les mêmes conditions que la question précédente, montrer que I[u, v] est un idéal de G.
Partie III
Dans cette partie, on considère deux éléments fixés u = (u1 , u2 ) et v = (v1 , v2 ) de G tels que
u1 v2 − u2 v1 6= 0, et on considère encore le sous-groupe additif
I[u, v] = {g ∈ G : Il existe m ∈ Z et n ∈ Z tels que g = m · u + n · v}.
On note GL2 le groupe de transformations linéaires inversibles de R2 défini par
a b
∈ M2,2 (R) : a, b, c, d ∈ R, ad − bc 6= 0
GL2 := P =
c d
et on note O2 le groupe de transformations orthogonales de R2 défini par
a b
O2 := P =
∈ GL2 : P P T = P T P = Id
c d
où P T est la matrice transposée de P et Id est la matrice identité. Pour un élément P de GL2 ou
de O2 , et un élément g ∈ G on note P g le couple (ag1 + bg2 , cg1 + dg2 ) ∈ R2 .
16. Vérifier que GL2 forme un groupe pour la loi de multiplication.
17. Vérifier que O2 est un sous-groupe de GL2 pour la loi de multiplication.
7
18. On note Aut(I[u, v]) l’ensemble des matrices P de O2 tels que pour tout g ∈ I[u, v], on a
P g et P T g qui sont encore dans I[u, v]. Soit P ∈ Aut(I[u, v]), montrer que l’application P
suivante est un morphisme de groupe additif de I[u, v].
P:
I[u, v] → I[u, v]
g = m · u + n · v 7→ P(g) = P g
On identifiera donc la matrice P avec l’application P dans le reste du problème.
19. Montrer que l’ensemble Aut(I[u, v]) est un sous-groupe de O2 pour la loi de multiplication.
20. Montrer que pour tout P ∈ Aut(I[u, v]) il existe α ∈ R tel que
cos(α) − sin(α)
cos(α) − sin(α)
P =
ou P =
.
sin(α) cos(α)
− sin(α) − cos(α)
21. Soit P ∈ Aut(I[u, v]), en montrant que P −1 u + P u est un élément de I[u, v], en déduire que
la trace de P est un entier.
22. Soit P un élément de Aut(I[u, v]) de déterminant 1. Montrer qu’il existe au maximum 8
valeurs possibles dans
] − π, π] pour α dans
l’écriture proposée en question 20, précisément
π π 2π
que seuls les angles 0, ± , ± , ± , π sont autorisés.
3
2
3
23. Supposons qu’il existe un élément P ∈ Aut(I[u, v]) de déterminant égal à 1, tel que T r(P ) =
1. Montrer qu’il existe une contradiction.
24. Montrer que pour tout u, v ∈ G, les angles 0 et π sont autorisés, c’est-à-dire que les éléments
−1 0
1 0
et − I =
I=
0 −1
0 1
sont des éléments de Aut(I[u, v]).
25. Montrer qu’il existe deux éléments u, v ∈ G, tels que la rotation d’angle π/2 n’est pas autorisée comme transformation préservant I[u, v].
26. Soit g ∈ I[u, v] non nul, montrer que
max(|g1 v2 − g2 v1 |, |g1 u2 − g2 u1 |) ≥ u1 v2 − u2 v1
27. Montrer qu’il existe ε tel que la norme kgk :=
vérifie kgk > ε.
8
q
g12 + g22 de tout élément g ∈ I[u, v] non nul
28. Soit δ = min{kgk ∈ R : g ∈ I[u, v], g 6= 0}. Montrer qu’il existe un nombre fini d’éléments
qui soient de norme δ.
29. Conclure qu’il existe un nombre pair d’éléments de norme minimale non nulle.
9
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AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble des
nombres réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
On considère l’espace vectoriel R 4 rapporté à la base canonique. Soit f l’endomorphisme de
0 1 1 1


1 0 2 0

4
R représenté par la matrice suivante : M 
1 2 4 2


1 0 2 0


1. Déterminer l’image de f.
2. Etudier la diagonalisation de f (on déterminera les valeurs propres et des vecteurs propres
pour la valeur propre double).
3. Soit q la forme quadratique sur R 4 définie par :
q ( x, y, z, t )  4 z 2  2 xy  2 xz  2 xt  4 yz  4 zt . Cette forme quadratique est-elle positive ?
4. Résoudre le système suivant, où m et p sont des paramètres réels :
y  z t 1


x  2z  m 2  1


 x  2 y  4 z  2t  p  2

 x  (m  1) y  2 z  2
1
Exercice n° 2
On note E l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels, puis
S  M  E / M  M '  et A  M  E / M  M ' , où M ' désigne la matrice transposée.
1. Déterminer la dimension de S et celle de A.
2. Montrer que E est la somme directe de S et A.
3. Soit M  A , étudier la diagonalisation de M dans R et dans C (ensemble des nombres
complexes).
4. Soit la matrice particulière
1  2
0


M   1 0
2 
 2 2 0 


Déterminer une base de vecteurs propres complexes de M. Indiquer comment calculer M n pour
n entier supérieur à 1 (le calcul explicite n’est pas demandé).
Exercice n° 3
Soit B  (e1 , e2 , e3 ) une base orthonormée de R 3 muni du produit scalaire standard. On note D
la droite vectorielle engendrée par le vecteur e1 et E l’orthogonal de D.
1. Déterminer les matrices des endomorphismes de R 3 suivants dans la base B :
- Rotation autour de D et d’angle  . On notera R cette matrice. (On rappelle qu’une matrice de
rotation est une matrice orthogonale de déterminant égal à 1).
- Projection orthogonale sur D. On notera P1 cette matrice.
- Projection orthogonale sur E. On notera P2 cette matrice.
0 0 0 


2. Exprimer R à l’aide de P1 , P2 et M   0 0  1 . Quelle est la nature géométrique de
0 1 0 


l’application linéaire associée à M ?
3. Exprimer cos  en fonction de la trace de R.
Exprimer M en fonction de R, R ' (transposée de R) et  pour   k  (k  Z ) .
4. Soient u et v deux rotations de R 3 . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) u o v  v o u
(ii) u et v ont les mêmes vecteurs invariants ou u et v sont des symétries par rapport à deux
droites orthogonales.
2
Exercice n° 4
Soit f la fonction numérique définie par : f ( x) 
x
si x  0 et f (0)  1
e 1
x
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en zéro.
2. Donner un développement limité de f à l’ordre 4 au voisinage de zéro. On écrira f sous la
xp
forme f ( x)   B p
. Que valent B0 , ..., B4 ?
p!
p 0
3. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
2
f ( x)
d x.
x
1
4. Calculer I  
Exercice n° 5
Soit la fonction numérique f définie par : f ( x)  x 2 Ln (1  x 2 )
1. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
2. Etudier la convergence de la suite (u n ) définie par la relation de récurrence : u n1  f (u n )
et le premier terme 𝑢0 > 0.
1
3. Calculer I   f ( x) dx .
0
Exercice n° 6
1
1. En se servant du développement en série entière de la fonction 𝑥 → 1−𝑥 , calculer


k 1
k 1
pour 0 < 𝑥 < 1, la somme des séries  k x k 1 et  k 2 x k 1
2. Soit n un entier naturel non nul fixé. Calculer le développement en série entière de la
1
p
𝑘
𝑘
fonction 𝑥 → (1−𝑥)𝑛 et en déduire la somme de la série : ∑∞
𝑘=0 𝐶𝑛+𝑘−1 𝑥 , où C n désigne le
nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n.
3
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Le texte ci-après de Clément Mweyang Aapengnuo a été publié dans le bulletin de la
sécurité africaine en avril 2010.
Il doit être résumé en 200 mots (plus ou moins 10%). Vous indiquerez en fin de copie le
nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre
écrit.
La mauvaise interprétation des conflits ethniques en Afrique
L’Afrique est souvent perçue comme un continent pris dans une spirale sans fin de
violences ethniques. Le génocide au Rwanda, les cas du Darfour, du Nord du Nigéria, de
la Côte d’Ivoire, et les lendemains violents des élections controversées au Kenya, entre
autres, semblent conforter cette perception. Tandis que les griefs s’accumulent et sont
définis au niveau du groupe plutôt qu’au niveau individuel, les représailles ne manquent
jamais de justifications. L’inertie vieille de plusieurs siècles sous-tendant cette animosité
défie de plus toute tentative de résolution. La diversité ethnique compliquée de l’Afrique
semble laisser le continent dans un état de vulnérabilité perpétuel face à des conflits
dévastateurs, axés sur la destruction réciproque. En conséquence, cette situation entrave
toutes perspectives de démocratisation et de progrès économique durables.
1
Ethnicité, mobilisation ethnique et conflit
En réalité, l’ethnicité ne se trouve généralement pas à la source des conflits en Afrique,
elle est davantage un outil utilisé par les dirigeants politiques pour mobiliser leurs
partisans dans leur conquête du pouvoir, de la richesse et des ressources. Si
l’appartenance ethnique est sans contexte le principal moyen de formation de l’identité
sociale en Afrique, la plupart des groupes ethniques coexistent pacifiquement sur le
continent, avec des niveaux élevés de mixité à travers les mariages interethniques, les
partenariats économiques et le partage de valeurs communes. Dans le cas contraire,
quasiment chaque village ou province d’Afrique serait à feu et à sang.
« Le diagnostic erroné postulant que les conflits africains sont d’origine ethnique ignore
la nature politique des points de discorde. »
Au Rwanda, l’argument d’une différence physique entre les Hutu et les Tutsi n’est tout
simplement pas recevable tant les deux groupes se sont mariés entre eux. Ils parlent la
même langue et partagent la même foi. En réalité, l’identité ethnique était étroitement
associée au métier (agriculteur ou pasteur) et l’appartenance ethnique d’un individu
pouvait donc varier au fil du temps selon les changements d’activité. La violence au
Rwanda s’est avant tout ancrée dans l’inégale distribution des ressources et du pouvoir.
Les manipulations politiques de ces conflits basés sur la conquête des ressources ont
conduit au génocide parfaitement orchestré de 1994. Les hommes politiques, les
démagogues et les média ont utilisé le concept d’ethnicité pour conquérir un soutien
populaire et éliminer les opposants politiques (à la fois Tutsi et Hutu modérés).
Au Ghana, le gouvernement militaire du général I.K. Acheampong a décidé en 1979 de
transférer le contrôle de toutes les terres du Nord du pays à quatre des dix-sept groupes
ethniques qui vivaient dans la région. À l’époque, les forces armées cherchaient à faire
accepter un gouvernement unipartite. Dans la mesure où la proposition était soumise à
un référendum national, un « Oui » du Nord était indispensable au gouvernement pour
contrer un « Non » du Sud. L’affectation des terres était au centre du marché passé entre
certains hommes politiques du Nord et le gouvernement, en échange de leur soutien. La
question est devenue un point charnière dans la mobilisation de groupes ethniques
comme les Konkonba et les Vagla au nom du développement de leur région. Les premiers
événements violents entre les communautés sont apparus peu de temps après et se sont
poursuivis durant les 15 années suivantes, le point culminant étant la guerre civile de
1994-95 qui a coûté la vie à près de 2 000 personnes. A cette époque, plus de 26 conflits
entre communautés au sujet de la terre (ressources) et des chefferies (pouvoir) ont éclaté
dans le nord du Ghana, tous caractérisés comme des conflits ethniques.
Une telle caractérisation—au Ghana comme dans beaucoup d’autres pays africains—
représente une simplification à outrance. En effet, de nombreux experts des conflits
jugent cette distinction ethnique comme étant sans fondement.
La plupart du temps, c’est la politisation de l’ethnicité qui exacerbe les perceptions de
l’injustice, du manque de reconnaissance et d’exclusion à la source du conflit, et non pas
l’ethnicité en tant que telle. Le diagnostic erroné caractérisant les conflits africains
comme étant de nature ethnique ignore la nature politique des points de discorde. Les
individus ne s’entretuent pas du fait de leurs différences ethniques. Ils s’entretuent
lorsque ces différences sont dénoncées comme étant des obstacles à leur avancement et à
leurs domaines de possibles. La tendance de certaines sociétés africaines à succomber à
2
cette manipulation d’élites politiques opportunistes souligne la fragilité du processus de
construction de l’Etat-nation sur le continent.
Dans de nombreux cas, les choix politiques adoptés par les différents Etats sont au
fondement de la mobilisation ethnique. En d’autres termes, les « conflits ethniques »
émergent souvent dans des sociétés pluriethniques sous-développées lorsque l’Etat
semble être dominé par un groupe particulier, lorsque des communautés se sentent
menacées de marginalisation, ou lorsqu’aucun recours n’existe en cas de grief.
Dans la grande majorité des cas, la pensée et la mobilisation ethniques résultent de
l’accès inéquitable au pouvoir et aux ressources, et non d’une haine intrinsèque.
Les éruptions sporadiques de violence opposant les chrétiens aux musulmans à Jos, la
capitale très cosmopolite de l’Etat nigérian du Plateau, en constituent un cas typique.
Cette violence est en général attribuée à un conflit entre communautés. Or, cette
caractérisation ignore certaines des dispositions institutionnelles du système fédéral
nigérian qui encouragent la violence. Les autorités locales et étatiques pérennisent ce
système et contrôlent dans le même temps près de 80 % du PIB du pays. En dehors de
l’allocation des ressources, les instances locales sont chargées de classifier les citoyens en
tant qu’« autochtones » ou « colons ». Les « colons » se voient refuser l’accès à certains
postes au niveau du gouvernement de l’Etat, n’ont pas droit aux subventions pour
l’éducation publique et n’ont pas le droit d’être propriétaires terriens. Dans l’Etat du
Plateau, cela se traduit par la classification des musulmans parlant le hausa comme «
colons », et ce même si leur famille vit dans la région depuis des générations. Les
tensions continues et parfois même violentes qui résultent d’une telle situation sont
prévisibles.
Contraintes institutionnelles à la mobilisation ethnique
Le fait de reconnaître que l’appartenance ethnique est un instrument et non la source
des conflits entre divers groupes devrait nous permettre de recentrer nos efforts
d’atténuation des conflits sur leurs facteurs de déclenchement politiques. La mobilisation
durant la période pré-conflictuelle souligne l’importance d’une intervention précoce,
avant le stade d’embrasement des passions ethniques.
Les institutions et les structures de l’Etat qui reflètent la diversité ethnique et le respect
des droits des minorités, un partage équitable du pouvoir et un système efficace de
contre-pouvoir permettent d’atténuer la perception d’injustice et d’insécurité propice à la
mobilisation ethnique. Le système judiciaire est donc essentiel. Dans les sociétés où la
justice ne peut pas être obtenue à travers les institutions publiques, les groupes ont plus
de risque de recourir à la violence pour résoudre leurs griefs. Une société juste ne se
limite cependant pas au système judiciaire : la primauté du droit et une réelle séparation
des pouvoirs sont nécessaires pour prévenir les abus de pouvoir de l’Etat. De telles
mesures empêchent les fonctionnaires d’utiliser leurs pouvoirs au profit de leur groupe
ethnique. Dans la plus grande partie de l’Afrique, c’est la branche de l’exécutif et non du
législatif qui détermine la plupart des politiques territoriales. Invariablement, le groupe
d’appartenance ethnique du Président bénéficie de ces politiques. Au Kenya, pendant les
années 1960 et 1970, les Kikuyu ont ainsi utilisé les avantages politiques et économiques
mis à leur disposition sous le régime Kenyatta pour créer des entreprises de rachat des
3
terres afin de faciliter l’installation de centaines de milliers de Kikuyu dans la vallée du
Rift.
Un système judicaire équitable permet également à la société civile de se rassembler
autour de préoccupations communes telles que le développement, la reddition de comptes
et le respect des droits de l’homme, au-delà des affiliations ethniques. Cette situation
facilite à son tour les échanges entre les groupes. Les associations professionnelles, les
clubs sportifs et les groupes d’artistes, entre autres, sont toutes des organisations de la
société civile capables de franchir les frontières ethniques et d’établir des collaborations
fructueuses avec le gouvernement.
Les élections et les systèmes électoraux représentent un autre domaine de focalisation
politique. Les élections en elles-mêmes ne sont pas nécessairement au fondement de la
stabilité. Au contraire, elles peuvent devenir une source de tensions et de violences
ethniques. La pratique du « le gagnant rafle toutes les voix » dans un contexte d’Etat
pluriethnique et sous-développé, où le gouvernement contrôle déjà la majorité des
ressources, transforme les élections en une question de vie ou de mort. Par conséquent, il
est fondamental que les systèmes électoraux soient indépendants du pouvoir politique.
L’une des différences entre les récentes élections au Kenya et au Ghana était
l’indépendance et la solidité de la Commission électorale ghanéenne. De plus, dès la
validation des résultats électoraux par la Commission électorale au Ghana, des groupes
privés avaient le droit de porter les irrégularités devant les tribunaux. Ces niveaux
multiples de reddition de comptes ont donné confiance aux ghanéens en leur système
électoral en dépit d’élections très serrées en 2008.
« La diversité ethnique dans le secteur de la sécurité présente des avantages tangibles
dans la mesure où les forces de police sont souvent confrontées à des conflits de niveau
infra-étatique. »
Les entités religieuses et les ONG locales ont contribué à diffuser les messages de la
CHRAJ (1) vers la base à travers des ateliers, des séminaires et actions de soutien pour
les communautés voulant soumettre leurs griefs à la Commission. Grâce à cette
infrastructure, ce système d’éducation et les ressources en place, les ghanéens en sont
arrivés à intégrer la primauté du droit et l’assurance d’une réaction rapide en cas de
dépôt de griefs au niveau de la communauté, du district et de la région.
Priorités pour l’atténuation des conflits ethniques en Afrique
La reformulation des conflits ethniques comme manœuvre politicienne pour la conquête
du pouvoir et des ressources doit nous amener à repenser notre approche des stratégies
d’atténuation. Plutôt que d’envisager le conflit identitaire comme une conséquence
inévitable de la diversité ethnique en Afrique, nous devons accorder la priorité à
certaines politiques préventives.
4
Établissement de structures institutionnelles de rassemblement
La relation entre les groupes ethniques et l’Etat dans la recherche de la sécurité et de la
reconnaissance de l’identité se situe au cœur des conflits ethniques. La manière dont
l’Etat négocie ces intérêts et ces besoins va déterminer le niveau des conflits d’identité.
Un système judiciaire complet qui respecte les droits des minorités, les protège de l’abus
de pouvoir étatique et garantit la prise en compte de leurs griefs va réduire les
possibilités de mobilisation ethnique. Une telle solution nécessite entre autres un accès
équitable aux postes de la fonction publique et aux divers services offerts par l’Etat. La
participation des minorités au sein du leadership et dans les rangs du secteur de la
sécurité reste essentielle au sein des fonctions de l’Etat. Les forces armées peuvent
constituer une institution de rassemblement créatrice de lien entre les groupes
ethniques, aidant à forger une identité nationale au-delà des ethnies, fournissant aux
jeunes la possibilité de voyager et de vivre à travers le pays, et permettant aux minorités
d’accéder à des positions de leadership par la méritocratie. La diversité de la
représentation ethnique dans le secteur de la sécurité présente également des avantages
tangibles, les forces de police étant en effet impliquées dans la gestion des conflits de
basse intensité, dans diverses sociétés.
Les élections sont souvent le détonateur de l’explosion des griefs ethniques—et
constituent de ce fait une priorité en matière d’atténuation de la violence. Elles
représentent une occasion de rêve pour les hommes politiques d’instrumentaliser les
différences ethniques. L’établissement d’une Commission électorale indépendante et
représentative menée par des individus irréprochables peut conduire à l’échec de tels
stratagèmes. Comme le montre l’exemple du Ghana, entre autres, l’efficacité d’une
Commission électorale compétente peut avoir un énorme impact dans la lutte contre la
violence ethnique. Des Commissions électorales indépendantes peuvent également
établir des règles électorales favorisant les candidats capables d’établir des coalitions
entre les régions et les groupes (ou l’exigeant véritablement des candidats). Le fait de
garantir par exemple que le découpage électoral ne coïncide pas avec les frontières
ethniques s’inscrit dans une telle stratégie.
Renforcement des normes sociales positives
Sur le moyen et le long terme, le désamorçage de l’instrumentalisation de l’ethnicité à
des fins politiques nécessite la réorientation des normes culturelles. Les campagnes de
marketing social qui encouragent l’unité nationale, la coopération entre les groupes et la
« force à travers la diversité » peuvent contribuer à reformuler le concept d’ethnicité sous
un jour positif, rendant la tâche plus ardue aux politiciens semeurs de zizanie cherchant
à jouer sur les différences pour mobiliser leurs partisans. Une telle stratégie de
communication serait complétée par une campagne de communication dans les
communautés à l’échelle du pays, et mise en œuvre par les organisations de la société
civile. Elle renforcerait auprès des jeunes le concept d’unité « un pays, un peuple »,
diffuserait les messages de tolérance envers d’autres groupes et d’importance d’une
résolution non-violente des conflits.
Le ciblage de la jeunesse est particulièrement important pour modifier les
comportements intergénérationnels concernant l’ethnicité. Les jeunes sont en effet un
groupe démographique très facile à mobiliser en faveur de la violence. Un système
5
éducatif complet et délibérément conçu pour promouvoir l’intégration et la coexistence
pacifique, avec une attention particulière portée à l’éducation civique, aux notions de
citoyenneté et de nation permet de renforcer le concept d’un même peuple partageant
une même destinée. Une campagne de marketing social va transmettre ce message de
rassemblement directement au peuple au lieu de le confier à des dirigeants politiques ou
ethniques (susceptibles de bénéficier d’une perception de divisions). Cette campagne, qui
suit le modèle de Julius Nyerere, le célèbre dirigeant tanzanien, contribuerait à la fois à
la construction d’une identité nationale commune (qui fait cruellement défaut à tant de
pays africains) et à la suppression de l’argument ethnique brandi par les acteurs
politiques.
Les média jouent également un rôle unique au niveau de la communication des
informations et des perceptions dans la société. En tant que tels, il leur incombe la
responsabilité d’encourager le débat et le dialogue, indispensables à la démocratie.
Malheureusement, dans la pratique, certains média africains sont souvent contrôlés par
des individus influents sur le plan politique, alimentant les divisions identitaires pour
soutenir leurs intérêts et contribuant beaucoup de ce fait au potentiel de conflit
identitaire. Les média peuvent aussi contribuer à l’escalade d’un conflit du niveau local
au niveau national, augmentant ainsi les risques de violence et compliquant la
résolution. Du fait de la capacité unique des média à influencer les attitudes sociales et
la mobilisation de masse, la plupart des sociétés ont intégré le fait que les média doivent
respecter certaines normes de comportement responsable. Ces normes doivent inclure
l’interdiction des programmations incitant à l’animosité ethnique. Là encore, des entités
de contrôle indépendantes, peut-être en collaboration avec des groupes de média
nationaux, devraient jouir du pouvoir d’enquêter rapidement et d’appliquer des
sanctions sévères contre les organismes ayant violé les normes contre l’incitation à la
haine.
Réponse précoce
Une leçon essentielle tirée de l’expérience de prévention et d’atténuation des tensions
ethniques en Afrique est l’importance du facteur temps : elle met en évidence la
nécessité de résoudre ces problèmes le plus tôt possible. L’atténuation des tensions est
davantage aisée et moins coûteuse en termes sociaux et financiers, si elle a lieu avant les
divisions entre les groupes et l’apparition de la violence (ce qui ensuite déclenche un
nouveau cycle encore plus polarisé de griefs, de craintes, de manque de confiance et de
revanche). Cela souligne également l’importance pour les représentants officiels de
prendre très au sérieux tout affrontement exprimé entre des groupes (par ex. des
plaintes concernant la discrimination, le dénigrement ou le déni des droits) et d’y
répondre immédiatement. Il est bien évidemment entendu que le gouvernement est
compétent et prêt à faire face à ces conflits et qu’il n’est pas une des parties au grief. La
création d’un ombudsman des droits de l’homme, considéré comme un acteur impartial
chargé de documenter les plaintes basées sur l’ethnicité et de mener l’enquête, offre le
double avantage d’un mécanisme qui traite ces plaintes de manière équitable et qui peut
contribuer à désamorcer les tensions avant leur explosion. L’assurance d’un traitement
systématique et équitable des griefs réduit la probabilité qu’un individu fasse justice luimême.
6
Enfin, la prévention de l’escalade incontrôlée des tensions ethniques requiert une
réaction rapide au sein du secteur de la sécurité et ce afin de répondre aux affrontements
entre les groupes. Les forces armées et de police doivent être formées pour réagir d’une
manière équitable mais sans équivoque, ce qui renforce la confiance en la capacité de
l’Etat d’intervenir de manière constructive. Dans la mesure où la plupart des actes de
violence ethnique se produisent au niveau local, entre des communautés voisines, une
réponse rapide avant le déclenchement d’autres événements est d’une importance vitale.
La nature locale de ces déclencheurs ethniques souligne également la nécessité d’une
formation à grande échelle des forces de sécurité. Chaque unité de police locale doit être
consciente des contextes de tensions ethniques, et savoir y répondre dans la mesure où
elle sera sûrement la première sur le terrain. Elle peut aussi être renforcée par des
forces militaires (probablement au niveau de la province) qui seront dotées, dans la
plupart des cas, de meilleures capacités de transport, de communication et de puissance
de feu pour le contrôle de la situation. Cependant, la première réponse par la police est
essentielle pour définir la trajectoire de cette confrontation.
L’homme a tendance à accentuer les différences entre les groupes. Les sociétés civilisées
apprennent à prévenir ces impulsions de polarisation de la violence. La compréhension
des racines politiques de nombreux conflits ethniques en Afrique peut nous aider à
recentrer et à réorienter nos efforts de prévention des conflits, et ce faisant, à améliorer
l’efficacité du nombre croissant des mesures correctives à notre disposition.
(1) CHRAJ : Commission pour les Droits de l'homme et la justice administrative.
Clément Mweyang Aapengnuo
7
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
L’épreuve comporte deux exercices et un problème, indépendants, à traiter dans un ordre
quelconque.
Exercice 1
On définit sur R² la relation binaire notée * par :
(x, y) * (a, b) <==> yx² ≤ ba²
1) Rappeler les définitions des relations d’équivalence et d’ordre.
2) La relation * est-elle une relation d’ordre ? Justifier précisément votre réponse.
1) Une relation R définie sur un ensemble E (d’éléments notés A, B, etc) est dite d’ordre si elle
vérifie les propriétés de réflexivité (A R A pour tout A de E), d’antisymétrie ( (A R B et B R A
==> A = B pour tous A et B de E)), de transitivité ((A R B et B R C) ==> A R C pour tous A,
B et C de E).
Une relation R définie E est dite d’équivalence si elle vérifie les propriétés de réflexivité, de
symétrie (A R B ==> B R A), et de transitivité.
2) La relation * ici définie vérifie bien la réflexivité (car ≤ contient l’égalité), la transitivité,
mais pas l’antisymétrie. En effet, yx² ≤ ba² et ba² ≤ yx² entraîne bien yx² = ba², mais cette égalité
n’implique pas a = x et b = y (par exemple, x = 2 et y = 2  yx² = 8, a = 1 et b = 8  ba² = 8,
et pourtant x ≠ a et y ≠ b).
Ce n’est donc pas une relation d’ordre.
Exercice 2
1) Soit E l’ensemble des points M de R² de coordonnées (x, y) vérifiant le système d’inéquations
suivant :
1
𝑥 ≥0
𝑦 ≥0
−2𝑥 + 2𝑦 ≤ 3
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 15
{ 4𝑥 − 2𝑦 ≤ 13
Représenter graphiquement E.
E est donc l’ensemble des points M (x,y) tels que x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ x + 1,5, y ≤ 7,5 – x, y ≥ 2x –
6,5.
Il s’agit de l’intérieur du pentagone non régulier défini par les points (0, 0), A (0, 3/2), B (3,
9/2), C (14/3, 17/6), D (13/4, 0).
2) On considère la famille de droites d’équations x + 2y = m, où m est un paramètre réel.
Déterminer le point de E pour lequel x + 2y est maximum, et déterminer cette valeur maximale.
Le maximum de x + 2y est atteint au point B (3, 9/2) ; la valeur maximale est m = 3 + 9 = 12.
Problème
On rappelle que :
- Le symbole Ln désigne le logarithme népérien
- Le symbole │. │désigne la valeur absolue
- L’inverse de la fonction tangente, notée tan, est la fonction « Arc tangente », notée
Arctan : y = Arctan(x) signifie que x = tan(y). La dérivée de Arctan(x) est 1/(1 + x²).
* * *
On considère l’application fa, de R dans R, définie par :
fa : x  R → fa(x) =
xa
1+ │x│a
où a est un entier naturel.
Question préliminaire : étudier le cas particulier a = 0.
Pour a = 0, f0(x) = 1/2, droite horizontale d’ordonnée 1/2.
Dans toute la suite du problème, on supposera que a ≠ 0.
* * *
Partie 1
Dans cette partie, on prend a = 1.
1) L’application f1 de R dans R est-elle injective ?
f1 est injective si f(u) = f(v) ═> u = v.
u
v
=
1+ │u│
1+ │v│
Les dénominateurs étant positifs, cela implique que u et v ont le même signe.
On trouve aisément que pour u > 0, on a u + uv = v + uv soit u = v ; de même pour u < 0 (u –
uv = v – uv).
2
Et si u = 0, alors v = 0.
L’application f1 est bien injective.
2) L’application f1 de R dans R est-elle surjective ?
En tant qu’application de R dans R, f1 n’est pas une surjection puisque tout point y
n’appartenant pas à E1 n’a pas d’antécédent dans R.
f1 n’est donc pas une bijection de R dans R.
3) Déterminer E1, image de R par f1.
Il est évident que f1 prend ses valeurs sur ]-1, +1[ = E1, puisque le dénominateur est toujours
supérieur au numérateur.
On peut aussi utiliser le fait que |f1(x)| ≤ 1 pour montrer que f1 n'est pas surjective de R dans R.
4) f désigne la restriction de l’application f1 de R dans E1.
Montrer que f admet une application inverse, notée f -1 : E1 → R.
Déterminer précisément f -1.
f est bien une bijection de R dans E1. Il existe donc une application inverse f -1 : E1 → R.
Soit y > 0, et donc y = x/(1 + x) : x = y/(1 – y).
Pour x  [0, 1 [, f -1(x) = x/(1 – x).
De même, pour y < 0, y = x/(1 – x) d’où x = y/(1 + y)
Pour x  ]- 1, 0] f -1(x) = x/(1 + x).
On peut donc écrire que pour tout x dans E1, f -1(x) = x/(1 - │x│).
5) Etudier la parité/imparité de f ; en déduire l’existence d’éventuels centres ou axes de symétrie
pour la courbe C représentant l’application f.
Ecrivons f selon le signe de x.
x > 0 : f(x) = x/(1 + x)
x < 0 : f(x) = x/(1 – x)
Prenons x > 0 : f(-x) = -x(1 – x) = - f(x) pour x < 0.
La fonction f est donc impaire. Elle admet le point (0, 0) comme centre de symétrie.
6) Etudier les limites de f quand x tend vers + ∞ ou - ∞.
Il est évident que Limx+∞ f(x) = 1 et que Limx-∞ f(x) = -1.
7) Calculer f ’ et f ’’, dérivées première et seconde de f.
Dresser le tableau de variation de f ; tracer l’allure générale du graphe C.
Donner l’équation de la tangente à C au point d’abscisse 0.
Pour x > 0, f ’(x) = 1/(1 + x)²
Pour x < 0, f ’(x) = 1/(1 – x)²
La forme générale de f ’ est donc : f ’(x) = 1/(1 + │x│)²
f ’ est donc strictement positive, f est monotone croissante.
Pour x > 0, f ’’(x) = - 2/(1 + x)3, toujours négative ; f est concave sur R+
Pour x < 0, f ’’(x) = 2/(1 - x)3, toujours positive ; f est convexe sur R3
Tableau de variation :
f étant impaire, on peut limiter l’étude à x > 0.
x
0
+∞
f’
+
f
0
Cas x = 0 :
Pour x = 0, f(0) = 0 ; la dérivée de f en 0 est la limite quand x tend vers 0 de (f(x) – f(0))/(x-0)
soit la limite de 1/(1 +│x│). On en déduit que la dérivée de f en 0 est égale à 1.
L’équation de la tangente à C au point (0, 0) est y = x (première bissectrice).
De même, f ’’(0) est la limite quand x tend vers 0 de (f’(x) – f’(0))/(x-0) = ((1 + │x│)-² - 1)/x,
qui tend vers l’infini quand x tend vers 0. Donc la dérivée seconde de f n’existe pas en 0.
+1
8) Calculer l’intégrale I = ∫−1 f(x)dx
0
+1
0
x
+1 x
En décomposant I = ∫−1 f(x)dx + ∫0 f(x)dx = ∫−1 1−x dx + ∫0
𝑥
1+x
dx = A + B
1
On remarque que 1−𝑥 = - 1 + 1−x
0
0
dx
A = − ∫−1 1 dx + ∫−1 1−x = Ln 2 – 1 (le symbole Ln désigne le logarithme népérien).
1 dx
1
B = ∫0 1 dx − ∫0 1+x = 1 - Ln2
D’où I = 0
Remarque : le calcul complet de A et B n’était pas nécessaire en raison de la symétrie de f.
Partie 2
Dans cette partie, a = 2 ; soit f2 l’application associée. E2 désigne l’image de R par f2.
f2(x) =
x2
1+ │x│2
x2
; E2 = [0, 1[. On remarque que l’on peut écrire simplement f2(x) = 1+ x2 .
1) f2 est-elle une bijection de R dans E2 ? Justifier votre réponse.
Existe-t-il une application inverse f2- 1 ?
f2 n’est pas injective de R dans E2 puisque à tout point y de [0, 1[ sont associées les solutions
de l’équation x² - y(1 + x²) = 0, ou x²(1 – y) = y, qui admet deux solutions x1 = [y(1 – y)-1]1/2 et
x2 = - [y(1 – y)-1]1/2
f(x1) = f(x2) et pourtant x1 ≠ x2.
f2 n’admet donc pas d’application inverse.
2) Etudier la parité/imparité de f2.
On a f2(-x) = f2(x) ; f2 est paire, l’axe Oy est axe de symétrie.
3) Etudier les limites de f2 quand x tend vers + ∞ ou - ∞.
4
Limx+∞ f(x) = 1 et Limx-∞ f(x) = 1.
4) Calculer f2’ et f2’’, dérivées première et seconde de f2. Etudier leur signe.
En déduire le tableau de variation de f2 et tracer l’allure générale du graphe C2 représentant
l’application f2.
f2’(x) = 2x/(1 + x²)² ; positive pour x > 0, négative pour x < 0.
f2’’(x) = 2(1 – 3x²)/(1 + x²)3
f2’’(x) = 0 pour x = + - 1⁄√3
Il y a changement de concavité en ces points.
Tableau de variation :
Etudions f2 sur R+ compte tenu de la symétrie axiale Oy.
x
f ’’
+∞
3-1/2
0
+
0
f’
f
-
+
1
0
La pente de la tangente au point (0, 0) est nulle. L’axe des abscisses est tangente horizontale.
5) Calculer une primitive F2 de f2.
En déduire la valeur de l’intégrale I2 définie par :
+1
I2 = ∫−1 f2 (x)dx
On a : f2(x) = 1 -
1
1+ x2
+1
+1 1
I2 = ∫−1 dx − ∫−1 1+𝑥² dx = 2 – Arctan(1) + Arctan(-1) = 2 – π/2
I2 = (4 – π)/2
Partie 3
On considère ici l’application générale fa(x) =
xa
1+ │x│a
où a ≥ 2 ; on note par Ea l’image de R par
fa.
1) Etudier, selon les valeurs de a, si fa est une bijection de R dans Ea.
Par analogie avec ce qui a été vu dans les parties 1 (a = 1, donc impair) et 2 (a = 2, donc pair),
on remarque que l’on peut écrire :
xa
-
pour x > 0 : fa(x) = 1+ xa
-
pour x < 0 : fa(x) = 1+(−x)a
xa
On en déduit que si a est pair, fa(-x) = fa(x) et la fonction fa est paire ; par contre si a est impair,
fa(-x) = - fa(x) et elle est impaire.
Il n’y a bijection que si a est impair.
5
2) Déterminer les limites de fa quand x tend vers + ∞ ou - ∞.
Pour a pair : Limx+∞ f(x) = 1 et Limx-∞ f(x) = 1.
Pour a impair : Limx+∞ f(x) = 1 et Limx-∞ f(x) = -1.
On a toujours fa(0) = 0.
3) Calculer fa’ et fa’’, dérivées première et seconde de fa.
Etudier leur signe.
En déduire le tableau de variation de fa selon des modalités que l’on précisera.
Calcul de fa’.
Pour x > 0, fa’(x) = axa-1/(1 + xa)²
Pour x < 0, fa’(x) = axa-1/(1 + (-x)a)²
La forme générique de l’expression est la même, et on peut écrire :
fa’(x) = axa-1/(1 + │x│a)²
Le dénominateur étant toujours positif, le signe de fa’ est celui du numérateur axa-1 : positif pour
x > 0 ; par contre pour x < 0, fa’ est positif pour a – 1 pair, c’est-à-dire pour a impair, alors qu’il
est négatif pour a – 1 impair et donc a pair.
Le fait que a soit pair ou impair a un impact.
a impair  fa’ > 0 pour tout x
a pair  fa’ > 0 pour x > 0 et fa’ < 0 pour x < 0.
Calcul de fa’’.
Pour x > 0, fa’’(x) = axa-2[(a – 1) – (a + 1) xa]/(1 + xa)3
Pour x < 0, fa’’(x) = axa-2[(a – 1) – (a + 1) (-x)a]/(1 + (-x)a)3
Pour a > 2, la dérivée seconde s’annule en x = 0 et en x = [(a-1)/(a+1)]1/a = xa et son symétrique.
Ecriture générale de fa’’ :
fa’’ (x) = axa-2[(a – 1) – (a + 1)│x│a]/(1 + │x│a)3
D’après les symétries apparues selon la parité de a (point O pour a impair ; axe Oy pour a pair),
il suffit de donner le tableau de variation pour x > 0.
x
0
f ’’ 0
f’
f
+∞
xa
+
0
-
+
1
0
Cas x = 0 :
Pour x = 0, f(0) = 0 ; la dérivée de f en 0 est la limite, quand x tend vers 0, de (f(x) – f(0))/(x-0)
soit la limite de xa-1/(1 +│x│)a . Comme a est supérieur ou égal à 2, on en déduit que la dérivée
de f en 0 est égale à 0.
6
De même, f ’’(0) est la limite quand x tend vers 0 de (f’(x) – f’(0))/(x-0) = xa-2/(1 +│x│)a.
Pour a = 2, f ’’(0) = 1 ; pour a > 2, f’’(0) = 0.
4) Quelle est la valeur de la pente de la tangente à Ca, graphe de fa, au point d’abscisse 0 ?
D’après la question précédente, fa’(0) = 0 pour a > 1.
5) On prend, ici, a = 3 ; on donne Arctan(3-1/2) = π/6.
1
Donner une expression numérique de l’intégrale I3 = ∫0 f3 (x)dx.
Indication : par exemple, on pourra décomposer (1 + x3) en un produit (a + bx)(c + dx + ex²)
où a, b, c, d, e sont des paramètres réels que l’on déterminera, puis mettre (1 + x3)- 1 sous la
forme d’une somme de deux fractions rationnelles.
x3
Pour x > 0, f3(x) = 1+ x3 .
1 x3
1
1
1
1
1
1
I3 = ∫0 f3 (x)dx = ∫0 1+ x3 dx = ∫0 dx – ∫0 1+ x3 dx = 1 – ∫0 1+ x3 dx = 1 – A.
On a : 1 + x3 = (1 + x)( 1 – x + x²), d’où :
1
a
1+ x3
b+cx
= 1+ x + 1−x + x2
On en déduit, par identification : a + b = 1, a + c = 0 et a = b + c, système dont la résolution
conduit à : a = 1/3, b = 2/3 et c = -1/3.
1
1
1
1
1
𝑥−2
Ln2
1
A = 3 ∫0 1+ x dx – 3 ∫0 1−𝑥+𝑥² dx = 3 – 3 B
Ln2
1
Donc I3 = 1 - 3 + 3 B
1
B = ∫0 3
4
1
B = ∫0 3
4
4
+(x−1/2)2
dx
1
𝑥−2
dx = ∫0 3
2
+(x−1/2)
𝑥−
1
C= ∫0 3
𝑥−2
1
2
+(x−1/2)2
4
1 3
2 2
𝑥− −
1
dx = ∫0 3
2
+(x−1/2)
4
𝑥−
1
2
+(x−1/2)2
3
1
dx − 2 ∫0 3
4
𝑑𝑥
+(x−1/2)2
dx ;
3
Posons u = 4 + (x − 1/2)2 ; du = 2(x – ½)dx ; x = 0 -> u = 1, x = 1 -> u = 1
1 𝑑𝑢
1
C = 2 ∫1 𝑢 = 0
Ln2
1
Donc I3 = 1 - 3 - 2 D
1
D = ∫0 3
4
𝑑𝑥
+(x−1/2)2
4
1
𝑑𝑥
= 3 ∫0 [1+4(x−1/2)2 /3]
7
3D
=C– 2
Posons v =
Donc D =
1
2
2(𝑥− )
2𝑑𝑥
√3
√3
2
√3
, dv =
;D=
2
+1
√3 𝑑𝑣
−1 2
v +1
√3
∫
√3
=
2
√3
[Arctan(1⁄√3) − Arctan(−1⁄√3)]
[2 Arctan(1⁄√3) − 1]
On en déduit : I3 = 1 – (Ln2)/3 + 1/√3 - 2 [Arctan(1⁄√3)]/ √3
La valeur approchée numérique est I3 ≈ 1 – 0,231 + 0,577 – 0,604 = 0,742
8
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2022
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
L’épreuve est composée de cinq énoncés indépendants, à traiter dans un ordre quelconque.
Exercice 1 :
E3 est l’espace vectoriel des polynômes, à une indéterminée réelle, dont le degré est inférieur
ou égal à 3.
On définit sur E3 l’application h qui, à tout polynôme P de E3, associe h(P) définie par :
 P  E3, h(P) = P + (1 – x)P’
où x est l’indéterminée et P’ la dérivée première du polynôme P.
1) Montrer que h est une application linéaire de E3 dans E3.
Soit P de degré inférieur ou égal à 3. P’ est de degré inférieur ou égal à 2, donc (1 – x)P’ est de
degré inférieur ou égal à 3, et h(P) aussi.
h est bien une application de E3 dans E3.
Linéarité :
Il est évident que si λ est un réel, h(λP) = λh(P) et que si Q est un polynôme de E3, h(P + Q) =
h(P) + h(Q).
2) La base usuelle B de E3 est constituée des polynômes 1, x, x2, x3.
Donner l’image par h de chaque polynôme de la base B.
Soit P = 1 : h(1) = 1 + (1 – x)0 = 1
h(x) = x + (1 – x)1 = 1
h(x²) = x² + (1 – x)(2x) = - x² + 2x
h(x3) = x3 + (1 – x)(3x²) = - 2x3 + 3x²
3) Soit F = Ker h, noyau de l’application h.
Déterminer F.
1
On rappelle que le noyau d’une application linéaire h est l’ensemble des polynômes P tels que
h(P) = 0.
Soit P(x) = ax3 + bx² + cx + d.
P’(x) = 3ax² + 2bx + c
P(x) + (1 – x)P’(x) = -2ax3 + (3a – b)x² + 2bx + c + d = 0
D’où : a = 0, b = 0, d = - c.
Le noyau de h est l’ensemble des polynômes c(x – 1).
Exercice 2 :
On considère le système linéaire (S) de trois équations à trois inconnues x, y et z :
4𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 1
(S) { 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −1
− 3𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 = 2
1) On veut exprimer (S) sous forme matricielle. Quelle est la matrice A associée à ce système ?
La matrice A est :
4 3 6
A = ( 1 1 2)
−3 − 3 − 5
x
1
Soit X le vecteur des inconnues (y) et C le vecteur des constantes (−1).
z
2
Le système (S) s’écrit matriciellement : AX = C
2) Calculer le déterminant de A.
Le déterminant de A est égal à 1 ; A est donc inversible.
3) Calculer A2 et A3.
Le calcul direct A.A permet d’établir :
1 −3 0
A² = (−1 − 2 − 2)
0 3 1
A3 = I, matrice identité de dimension 3
4) En déduire que A est inversible ; donner l’expression de A- 1, matrice inverse de A.
A3 = I = A.A² = A².A ; A est donc inversible et A-1 = A²
5) Résoudre le système (S).
On en déduit : X = A-1C d’où x = 4, y = -3, z = -1.
Exercice 3 :
On se place dans l’espace F3 des matrices carrées d’ordre 3, à coefficients réels.
On donne les deux matrices I et J :
2
1 0 0
I = (0 1 0 )
0 0 1
0 1 0
J = (0 0 1)
0 0 0
Soit la matrice M de F3, où a et b sont deux réels fixés :
a b 0
M = ( 0 a b)
0 0 a
1) Ecrire M comme une combinaison linéaire de I et J.
M = aI + bJ
2) Calculer les matrices J2, J3, Jn pour n > 3.
0 0 1
J² = (0 0 0) et J3 = 0
0 0 0
On en déduit que Jn = 0 pour tout n ≥ 3.
3) En utilisant la formule du développement du binôme, expliciter la matrice Mn.
Par le développement du binôme de Newton appliqué à Mn = (aI +bJ)n, et compte tenu que I et
J commutent et que Jn = 0 pour n ≥ 3, on obtient :
Mn = an In + Cn1 an-1bIn-1J + Cn2 an-2b²In-2J2 = an I + nan-1bJ +
𝑛(𝑛−1) n-2
a b²J2
2
Il s’en suit :
n
M =(
𝑎𝑛
𝑛𝑎𝑛−1 𝑏
0
𝑎𝑛
0
0
𝑛(𝑛−1)𝑎𝑛−2
2
𝑛𝑎𝑛−1 𝑏
𝑎𝑛
𝑏2
)
Exercice 4 :
On considère le polynôme Pn(x) = xn + xn-1 + …. + x – 1, où n  N, n ≥ 1 et x  R+.
1) Montrer que l’équation Pn(x) = 0 admet une solution et une seule dans R+, notée un.
Pn’(x) = nxn-1 + (n-1)xn-2 + …. + 1 est positif puisque x ≥ 0.
La fonction polynôme définie par Pn est donc continue et monotone croissante de – 1 (pour x =
0) à +∞.
Il existe donc une et une seule valeur un telle que P(un) = 0.
2) Montrer que la suite (un), n ≥ 1, est décroissante.
En déduire que la suite (un) converge.
On a : Pn+1(un) = (un)n+1 + Pn(un) = (un)n+1 > 0
Or 0 = Pn+1(un+1), d’où Pn+1(un) > Pn+1(un+1)
Comme Pn+1 est monotone continue croissante, on en déduit un+1 < un
La suite (un), n ≥ 1, est décroissante.
Elle est en outre minorée par 0 (puisque x ≥ 0).
On en déduit qu’elle est convergente.
3
1
3) Démontrer que, pour tout n ≥ 1, un ≥ 2.
Dans l’écriture de Pn(x), on reconnait la somme xn + xn-1 + …. + x = x(xn-1 + xn-2 + …. + 1) =
x(1 – xn)/(1 – x).
On peut donc écrire :
Pn(x) =
x−xn+1
1−x
-1=
2x−1− xn+1
1−x
On constate que Pn(1/2) = -2(1/2)n+1 est < 0. Comme Pn est croissante et que Pn(un) = 0, on en
conclut que un ≥ 1/2 pour tout n.
1
4) Soit r un nombre réel tel que 2 < r < 1.
Montrer que Limn→+∞Pn(r) > 0.
1
Soit donc un réel r vérifiant 2 < r < 1.
Quand n → + ∞, Pn(r) =
2r−1− rn+1
1−r
tend vers (2r-1)/(1 – r) qui est positif.
1
5) En déduire que la suite (un) converge vers .
2
Ainsi, toujours par croissance de Pn, il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0, on a :
1/2 ≤ un ≤ r.
Donc un converge vers 1/2.
Exercice 5 :
On rappelle que la loi de probabilité d’une variable aléatoire continue X, à valeurs réelles, est
définie par sa fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x), x  R, ou sa densité f(x).
Dans cet exercice, on suppose que X est une variable aléatoire continue positive dont la densité
f : R → R, est continue et non-nulle sur un intervalle de la forme ]0, x1[ avec x1 strictement
positif ou x1 = + ∞, et nulle sur l’intervalle [x1, + ∞[.
On définit la fonction de hasard de X, notée a, par :
f(x)
a(x) = 1−F(x)
pour x ∈ [0, x1[.
On rappelle en outre que, pour x ∈]0, x1[, on a : F dérivable en x et F’(x) = f(x).
x
1) On pose A(x) = ∫0 a(t)dt
Exprimer la forme générale de la fonction de répartition F en fonction de A.
a(x) = F’(x)/(1 – F(x))
x
x
En posant u = 1 – F, a = -u’/u, d’où – Ln(1 – F(x)) = ∫0 a(t)dt  1 – F(x) = e− ∫0 a(t)dt .
x
Ce qui conduit à la forme générale : F(x) = 1 – e− ∫0 a(t)dt = 1 – e-A(x)
2) Identifier les lois de probabilité admettant une fonction de hasard constante.
Supposons que a(x) soit une constante, notée a ; a ≥ 0.
Alors a(x) = ax, et la classe de fonctions de répartition associée est F(x) = 1 - eax.
3) Calculer la fonction de hasard d’une v.a. X suivant la loi définie par la densité :
f(x) = a.b.xa-1.exp(-bxa)
4
avec x > 0, a et b deux réels strictement positifs, et où le symbole exp désigne l’exponentielle.
En posant v = bxa, on a dv = abxa-1dx, et donc F(x) = 1 - exp(-bxa).
On déduit : a(x) = a.b.xa-1.exp(-bxa) / exp(-bxa) = abxa-1.
4) Calculer la fonction de hasard d’une v.a. X suivant une loi de densité :
f(x) = a.exp{x – a(ex – 1)}
avec x > 0 et a > 0.
On a : f(x) = a.exp{x – a(ex – 1)} = aexexp(-a(ex-1))
En posant v = a(ex – 1), on dv = aexdx et donc F(x) = 1 – exp(-a(ex – 1))
La fonction de hasard est a(x) = aexexp(-a(ex-1))/ exp(-a(ex – 1))
D’où a(x) = aex.
5
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
L’épreuve est composée de deux exercices et un problème, indépendants, à traiter
dans un ordre quelconque.
Exercice 1 :
1) Soit a et b deux entiers naturels tels que a < b. On suppose que a divise b, q étant
le quotient de b par a.
Montrer que a divise b – a. Quel est le quotient de (b – a) par a ?
Soit q le quotient naturel de b par a : b = qa
Alors b – a = (q-1)a, donc a divise b – a (et le quotient est q – 1).
2) En déduire les entiers naturels n tels que n – 1 divise n + 3 ?
Si n −1 divise n+3, alors, d’après la première question, puisque n – 1 < n + 3, n −1
divise aussi n+3 − (n −1) = 4.
Les diviseurs de 4 sont 1, 2 et 4.
D’où : n−1 =1 ou n−1= 2 ou n−1 = 4, ce qui conduit à n = 2 ou n = 3 ou n =5.
Les entiers naturels n tels que « n −1 divise n+3 » sont : 2, 3 et 5.
Exercice 2 :
1) On considère la fonction réelle f de la variable réelle positive x définie par :
1
f : x  ℝ+∗ → f(x) = √x(x + 2)
Etudier précisément ses variations (domaine de définition, calcul et signe des dérivées
première et seconde, branches infinies, tangentes aux points remarquables, etc …) et
tracer son graphe dans un repère orthonormé classique.
On remarque tout d’abord que f > 0, et définie pour tout x ≥ 0 ; f(0) = 0.
Dérivée première :
𝑥+1
f '(x) = [𝑥(𝑥+2)]1/2 ; f ‘ est positive.
Limx→0f ’(x) = +∞
Dérivée seconde :
f ’’(x) = -1 / [x(x+2)]3/2, négative
D’où le tableau de variations :
x 0
+∞
f ’’
–
+∞
f’
f
1
+∞
0
Branches infinies (x → +∞) :
y/x → 1
2𝑥
y – x = √x(x + 2) – x = 𝑥+ [𝑥(𝑥+2)]1/2 → 1
La droite d’équation y = x + 1 est asymptote pour f.
2) On considère la fonction réelle g de la variable réelle strictement positive x définie
par :
g : x  ℝ+∗ → g(x) = e1/x √x(x + 2)
Etudier ses variations.
g>0
Limx→0+g(x) = +∞
Dérivé première :
𝑥 2 −2
g'(x) = g(x) 𝑥²(𝑥+2)
2
Dérivée seconde :
Après calculs, on obtient :
4g(x)(x+1)²
g'’(x) = [x2 (x+2)]²
Comme g > 0, g’’ > 0
Tableau de variations :
x 0
+∞
g ’’
+
0
g ’ -∞
+∞
g
0
Problème : variations autour de l’exponentielle
Introduction : rappels et préliminaires
a) Le symbole exponentiel e désigne la base des logarithmes naturels (ou népériens),
dont le symbole est Ln ; e est défini par Ln e = 1 ; e ≈ 2,718 ; e1/2 ≈ 1,65 ; e-1/2 ≈ 0,61.
b) On rappelle que la dérivée f ’ d’une fonction réelle f est la limite, si elle est finie,
quand ε tend vers 0, du rapport [f(x+ε) – f(x)]/x :
f ’(x) = limε→0
f(x+ε)−f(x)
x
c) On rappelle que, quand u → 0, on a les équivalences suivantes :
Ln (1 + u) ≈ u
eu ≈ 1 + u
(1 + u)α ≈ 1 + α.u
d) On donne les valeurs des deux intégrales A et B suivantes :
+∞
2
+√2
2
A = ∫−∞ e−x /2 dx = √2π
B = ∫−√2 e−x /2 dx = 0,8426√2π ≈ 2,1
1
2
M = ∫0 e−x /2 dx ≈ 0,855
Partie A
3
Soit fa la fonction définie sur l’espace des nombres réels ℝ par :
fa : x  ℝ → fa(x) = 𝑒 𝑎𝑥²
où a est un paramètre réel.
1) Étudier le cas a = 0.
En préliminaire, pour a = 0, f0(x) = 1, droite horizontale d’ordonnée 1. On supposera
par la suite a ≠ 0.
2) Quelle est la valeur de l’expression fa(x).f-a(x) ?
fa(x).f-a(x) = 1 (remarque : valable aussi pour a = 0)
3) Exprimer f-‘a, dérivée première de f-a, en fonction de fa et fa’.
f'’-a(x) = - f’a(x)/f²a(x)
4) Étudier les limites éventuelles de fa(x)/x quand x tend vers + ∞ et - ∞.
Quand x tend vers + ∞ et - ∞ :
Pour a = 0 lim f0(x)/x = lim 1/x = 0
Pour a > 0 : quand x tend vers +∞, lim fa(x)/x = + ∞
Pour a > 0 : quand x tend vers -∞, lim fa(x)/x = + ∞
5) Étudier les fonctions f1 et f-1 associées respectivement aux valeurs 1 et -1 du
paramètre a.
Les fonctions f1 et f-1 sont paires (donc graphe complet par symétrie par rapport à l’axe
des ordonnées). Il suffit de les étudier sur R+.
f1(x) = 𝑒 𝑥²
f’1(x) = 2x𝑒 𝑥²
f’’1(x) = 2(2x² + 1) 𝑒 𝑥²
Sur R+, f’1 est nulle en x = 0 et > 0 pour x > 0.
Donc 𝑒 𝑥² est monotone croissante sur R+ ; f1(0) = 1, et la limite en + ∞ est égale à + ∞.
Tangente horizontale en (0, 1)
En outre la dérivée seconde est strictement positive, donc pas de changement de
courbure (fonction convexe).
f-1(x) = 𝑒 −𝑥²
4
f’-1(x) = - 2x𝑒 −𝑥²
f’’1(x) = 2(2x² - 1) 𝑒 −𝑥²
Sur R+, f’-1 est nulle en x = 0 et < 0 pour x > 0.
Donc 𝑒 −𝑥² est monotone décroissante ; f-1(0) = 1, limite en + ∞ égale à 0 (axe des
abscisses asymptote horizontale).
Tangente horizontale en (0, 1) (c’est le point maximum de la courbe représentant f -1).
En outre la dérivée seconde s’annule en 1/√2 , est négative avant, positive après (donc
d’abord concave, puis convexe).
6) Étudier la fonction fa (variations, limites, forme du graphe, …).
Donner l’équation de la tangente à la courbe représentant fa au point d’abscisse x = 1.
Fonction paire ; étude sur R+.
fa(0) = 1
f'a(x) = 2axeax² nulle en x = 0
fa’’(x) = 2a(2ax² + 1)eax²
Cas a > 0 :
fa’(x) > 0 pour x > 0 : fonction fa croissante
Limite en + ∞ égale à + ∞.
Dérivée seconde > 0 ; pas de changement de courbure, fonction convexe.
Cas a < 0 :
fa’(x) < 0 pour x > 0 : fonction fa décroissante
Limite en + ∞ égale à 0.
Dérivée seconde : nulle en x0 = √−1⁄2𝑎 (x0 > 0 puisque a < 0)
Donc changement de signe en x0, négative avant et positive après (concave puis
convexe).
Tangente en x = 1 (fa(1) = ea) : (y – ea)/(x – 1) = 2a.ea
D’où l’équation : y = 2ax.ea + ea(1 – 2a)
+∞ −x2
7) Calculer l’intégrale I = ∫0
e
dx.
+∞
2
Dans la partie « Préliminaires er rappels », nous avons vu A = ∫−∞ e−x /2 dx = √2π.
+∞ −x2 /2
De façon évidente, en raison de la parité de la fonction, A = 2C où C = ∫0
Donc C = √2π / 2 = √𝜋⁄2 .
Posons u = x/√2 ; dx = √2.du, u varie de 0 à + ∞.
+∞ −u²
C = √2 ∫0
e
du = √2 . I ==> I = C/√2
5
e
dx.
D’où I = √𝜋 / 2 ≈ 0,89.
Partie B
On définit la fonction ga sur l’intervalle [0, 2] par :
 pour 0 ≤ x < 1 : ga(x) = eax²
 pour 1 ≤ x ≤ 2 : ga(x) = a
où a est un paramètre réel.
8) Etudier les cas particuliers a = 0, a = 1 et a = - 1.
a=0
Pour 0 ≤ x < 1 : g0(x) = 1
Pour 1 ≤ x ≤ 2 : g0(x) = 0
1
1
2
a=1
Pour 0 ≤ x < 1 : g1(x) = ex²
Pour 1 ≤ x ≤ 2 : g1(x) = 1
e
1
1
2
a = -1
Pour 0 ≤ x < 1 : g-1(x) = e-x²
Pour 1 ≤ x ≤ 2 : g-1(x) = -1
1
1/e
6
1
2
9) Existe-t-il des valeurs de a telles que ga soit continue au point x = 1 ?
Au point 1, ga(1) = a
Quand x → 1-, lim eax² = ea
Pour que ga soit continue en x=1, on doit avoir ea = a.
Soit v(a) = ea – a.
v'(a) = ea – 1
v’’(a) = ea
0
a -∞
+∞
+
v’’
+∞
v’
-1
+∞
-
0
+
+∞
v
1
Le minimum de v est atteint pour a = 0, et vaut 1. v(a) ne peut être nul.
Donc il n’existe aucune valeur de a telle que ea = a, donc pas de valeur de a assurant
la continuité de ga.
2
10) On définit la fonction G(a) par : G(a) = ∫0 g a (x) dx
a) Expliciter G(a).
1
2
1
G(a) = ∫0 eax² dx + ∫1 adx = a + ∫0 eax² dx
b) Quel est le domaine de définition de G ?
G est définie pour tout a réel.
c) Calculer G(0) et G(-1).
1
G(0) = 0 + ∫0 1dx = 1
1
G(-1) = -1 + ∫0 e−x² dx = -1 + J
1
Calcul de ∫0 𝑒 −𝑥² dx = J :
7
+√2
2
Dans la partie Introduction, nous avons vu B = ∫−√2 e−x /2 dx ≈ 2,1.
+√2 −x2 /2
e
B = 2∫0
+√2 −x2 /2
dx d’où ∫0
e
dx ≈ 2,1/2.
Posons u = x/√2, u varie de 0 à 1, dx = √2.du
√2
1
2
2
∫0 e−x /2 dx = √2 ∫0 e−u du = 2,1/2
D’où J = 2,1/(2. √2) ≈ 0,74
Et donc G(-1) = -0,26.
11) On considère maintenant a ≥ 0.
a) Déterminer une borne inférieure et une borne supérieure pour G.
1
G(a) = a + ∫0 eax² dx
0 ≤ x < 1  0 ≤ x² < 1  0 ≤ ax² < a  1 ≤ eax² < ea
1
Il s’ensuit : 1 ≤ ∫0 eax² dx < ea
1
D’où a+1 ≤ G(a) = a + ∫0 eax² dx < a + ea
b) En utilisant la définition de la dérivée rappelée en introduction, donner l’expression
de G’(a).
1
1
G(a+ε) – G(a) = a+ε + ∫0 e(a+ε)x² dx – a – ∫0 eax² dx
1
1
2
= ε + ∫0 e(a+ε)x −ax² dx = ε + ∫0 eax² (eεx² - 1)dx
Or quand ε → 0, (eεx² - 1) ≈ εx²
1
Donc : G(a+ε) – G(a) = ε + ∫0 εx²eax² dx
1
[G(a+ε) – G(a)]/ε = 1 + ∫0 x²eax² dx
1
Il s’ensuit : G’(a) = 1 + ∫0 x²eax² dx
c) En déduire le tableau de variations de G.
L’expression de G’(a) montre que G’(a) > 0 pour tout a.
G(a) est donc monotone strictement croissante.
Quand a → +∞, G(a) → +∞
Quand a = 0, G(a) = 1
a 0
G’
+∞
+
+∞
G
1
12) Dans cette question, on prend a ≥ 1.
8
L’équation G(a) = 4a a-t-elle des solutions ? (On pourra étudier les variations de N(a)
= G(a) – 4a)
1
G(a) = 4a  ∫0 eax² dx = 3a
1
Posons N(a) = ∫0 eax² dx - 3a
1
N’(a) = ∫0 x²eax² dx – 3
1
N’’(a) = ∫0 𝑥 4 eax² dx
Comme N’’ est > 0, on obtient le tableau de variations suivant pour N(a) :
a 1
a*
N’’
+∞
+
+∞
N’ m(1)
N(1)
N
-
0
+
+∞
m(2)
1
N’ est croissante pour x ≥ 1 ; son minimum est en x = 1, noté m(1) = ∫0 x²ex² dx – 3.
Sur [0, 1], ex² ≤ 1.
1
1
Donc m(1) = ∫0 x²ex² dx – 3 ≤ ∫0 x²dx – 3 = - 8/3
Il s’ensuit que m(1) est négatif.
Il existe donc une valeur a* telle que N’(a*) = 0, N’ < 0 avant, et > 0 ensuite.
N est donc décroissante sur (1, a*) et croissante sur (a*, +∞).
Notons N(1) la valeur de N en a = 1 et m(2) = N(a*).
1
N(1) = ∫0 ex² dx – 3
Pour x entre 0 et 1, ex² est entre 1 et e.
1
1 < ∫0 ex² dx < e d’où -2 < N(1) < e – 3
Donc N(1) est négatif.
Il en résulte que m(2) < 0.
Comme lima→+∞N(a) = +∞. Il existe une valeur a’ de a (a’ > a*) telle N(a) = 0.
L’équation N(a) = 4a admet donc une solution et une seule.
Partie C
On considère la fonction h définie sur ℝ+ par :
 pour 0 ≤ x ≤ 1 : h(x) = 1
9

pour x > 1 : h(x) = 1 – e-(x-1)²/2
x
Soit l’intégrale H(x) = ∫0 h(t)dt.
13) La fonction h est-elle continue ? Dérivable ?
Donner son tableau de variation et la forme de son graphe.
Quelle est l’équation de la tangente au point x = 2 à la courbe représentant h ?
En x = 1, h(1) = 1
Limx→1+h(x) = 0
h n’est donc pas continue en x=1 (et donc non dérivable en ce point).
Limx→+∞h(x) = 1
Pour x ≤ 1 : h’(x) = 0
Pour x > 1 : h’(x) = (x-1)e-(x-1)²/2, qui est strictement positive
Dérivée seconde (pour x > 1) :
h’’(x) = e-(x-1)²/2(1 – (x-1)²)
h’’ s’annule en x = 2.
h’(2) = e-1/2
Tableau :
1
x 0
+∞
0
h’
+
1
h
1 constante 1
0
Forme du graphe de h :
1
1
2
Equation de la tangente en x = 2 :
h(2) = 1 – e-1/2
(y - 1 + e-1/2)/(x – 2) = e-1/2
D’où : y = e-1/2.x + 1 – 3e-1/2
10
14) Étudier la continuité et la dérivabilité de H.
Continuité :
Pour x ≤ 1, H(x) = x et H(1) = 1.
2
2
x
x
Pour x > 1, H(x) = 1 + ∫1 (1 − e−(t−1) /2 )dt = x - ∫1 e−(t−1) /2 dt
On en déduit que quand x → 1+, H(x) tend vers 1.
L’intégrale H est donc continue en 1.
Dérivabilité :
De façon évidente, u étant la dérivée de H, on a vu (question précédente) que les
limites en 1- et en 1+ étaient différentes donc H n’est pas dérivable en 1.
Pas de problème pour les autres points.
On a alors :
Pour x ≤ 1, H’(x) = 0
Pour x > 1, H’(x) = 1 – e-(x-1)²/2 (qui est positive, donc H est croissante sur l’intervalle
]1, +∞]).
15) Donner l’équation de la tangente à la courbe représentant H au point d’abscisse
x = 2.
2
2
H(2) = 2 - ∫1 e−(t−1) /2 dt
H’(2) = h(2) = 1 – e-1/2
Tangente :
(y – H(2))/(x – 2) = 1 – e-1/2
y = x(1 – e-1/2) – 2(1 – e-1/2) + H(2)
2
2
Remarque : en faisant le changement v = t-1 dans l’intégrale ∫1 e−(t−1) /2 )dt, v varie
1
2
de 0 à 1, dt = dv, et donc ∫0 e−v /2 dv est l’intégrale M de la partie introductive, voisine
de 0,34 ; soit H(2) ≈ 1,66.
Comme e-1/2 ≈ 0,61, on obtient : y = 0,39x + 0,88
16) Étudier la limite de H(x)/x lorsque x tend vers + ∞.
Existe-t-il une asymptote pour H lorsque x → + ∞ ?
x
2
Pour x « grand », H(x) = x - ∫1 e−(t−1) /2 dt
x
1
1
2
x−1 −u²/2
H(x)/x = 1 - x ∫1 e−(t−1) /2 dt = 1 - x ∫0
x−1 −u²/2
limx→+∞∫0
e
+∞ −u²/2
du = ∫0
e
e
du en posant u = t-1.
du = √𝜋/2
Il est donc évident que H(x)/x tend vers 1 quand x tend vers +∞.
Etudions la limite de H(x) – x quand x tend vers +∞.
x
2
x−1 −u²/2
H(x) – x = - ∫1 e−(t−1) /2 )dt = − ∫0
e
du
+∞ −u²/2
Quand x tend vers +∞, H(x) – x tend vers - ∫0
11
e
du = - √π/2
La droite d’équation y = x - √π/2 est asymptote pour H au voisinage de l’infini.
17) Combien l'équation H(x) = x – 1 a-t-elle de solutions dans l'intervalle [0, 2] ?
Posons L(x) = H(x) – (x – 1)
Pour x ≤ 1, on a vu que H(x) = x et donc L(x) = 1.
L ne peut s’annuler sur [0, 1].
x
x
2
2
Pour 1 < x ≤ 2, L(x) = x - ∫1 e−(t−1) /2 )dt – (x – 1) = 1 - ∫1 e−(t−1) /2 )dt
L’(x) = - e(x-1)²/2
L est donc monotone décroissante sur ]1, 2] => si L(x) = 0 a une solution sur [0, 2], elle
est comprise entre 1 et 2 et elle est unique (monotonie).
Or on a :
L(1) = H(1) = 1
L(2) = H(2) – 1
D’après la question 13, on sait que H est croissante sur [1, 2] ; H(2) > H(1) = 1, donc
L(2) est > 0.
On en déduit que l’équation proposée n’admet pas de racine sur l’intervalle [0, 2].
12
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Exercice 1 :
Soient A et B deux parties d’un ensemble E.
On appelle « différence de A et B », notée A – B, le sous-ensemble de E formé par les
éléments de A qui n’appartiennent pas à B.
1) Exprimer A – B à l’aide des opérateurs ∩ (intersection) et c (complémentaire).
2) On prend pour E l’ensemble ℕ des entiers naturels ; A est le sous-ensemble de ℕ
défini par les multiples de 5, B est le sous-ensemble des entiers pairs.
Donner la forme générale des éléments de A – B.
1) A – B = A ∩ Bc
2) A – B = {n / n = (2k+1).5, k  N}
Exercice 2 :
Soit un ensemble E ; sur E x E, on définit une relation binaire notée ∆.
On rappelle les propriétés possibles pour ∆ :
- Réflexivité (R) :  x  E, x ∆ x
- Antisymétrie (A) :  x et y  E, x ∆ y et y ∆ x => x = y
- Symétrie (S) :  x et y  E, x ∆ y => y ∆ x
- Transitivité (T) :  x, y et z  E, [x ∆ y et y ∆ z] => x ∆ z
On prend E = ℝ+ et on définit la relation ∆ sur ℝ+ x ℝ+ par :
1
(x, y) ∆ (x’, y’)  xy ≤ x’y’
1) Quelles sont les propriétés de la relation ∆ ?
2) On définit la relation H par :
(x, y) H (x’, y’)  (x, y) ∆ (x’, y’) et (x’, y’) ∆ (x, y)
2a) Donner la définition d’une relation d’équivalence.
2b) Montrer que H est une relation d’équivalence.
3) Application économique : un consommateur i veut utiliser la totalité d’un budget B
consacré aux loisirs en consommant deux quantités x et y de deux loisirs X et Y (par
exemple, sport et cinéma). Les prix unitaires de ces deux loisirs sont respectivement
notés pX et pY.
La fonction f(x, y) = xy s’appelle la fonction de satisfaction du consommateur i.
3a) Que signifie le fait que (x, y) H (x’, y’) ?
A quelle courbe appartiennent les quantités consommées x et y à satisfaction égale
notée s ?
3b) Exprimer la relation liant B, x, y, pX et pY.
3c) Mettre f(x, y) sous la forme d’une fonction S(x).
3d) Déterminer la valeur x* de x maximisant S. Que vaut alors y* ?
1) La relation ∆ vérifie R et T (Note : ce type de relation est appelé une relation de
préordre)
2a) Une relation d’équivalence vérifie R, S et T
2b) Trivial
3a) Le fait que les affectations (x, y) et (x’, y’) soient telles que (x, y) H (x’, y’) signifie
que xy = x’y’.
Cela revient à dire que les choix (x, y) et (x’, y’) faits par le consommateur lui apportent
une satisfaction égale.
Tous les points (x, y) apportant une satisfaction identique s appartiennent donc à une
hyperbole équilatère d’équation xy = s.
3b) B = xpX + ypY, puisque le consommateur dépense tout son budget B.
3c) De la relation trouvée à la question (3b), on tire y = (B – xpX)/pY
On en déduit que f’x, y) = xy devient S(x) = x(B – xpX)/pY
3d) S’(x) = (B – 2xpX)/pY (Note : S’’(x) = -2pX/pY, donc on est bien à un maximum de la
satisfaction S)
S’(x) s’annule en x* = B/2pX
D’où : y* = B/2pY
2
Exercice 3 :
Soit f l’application de l’ensemble E dans l’ensemble F définie par :
f : x  E → f(x) = 2 │x│
1) Étudier si f est une injection, une surjection, une bijection, dans chacun des quatre
cas suivants :
a) E = F = ℕ, ensemble des entiers naturels
b) E = F = ℤ, ensemble des entiers relatifs
c) E = F = ℝ
d) E = ℝ− , F = ℝ+
2) Soit g l’application de ℝ dans ℝ+ définie par :
g(x) = ex pour x ≤ 0
g(x) = √x + 1 pour x > 0
2a) Étudier la continuité et la dérivabilité de g au point x = 0.
2b) Déterminer l’application h telle que :
(h o g)(x) = 2 │x│
(La notation o désigne la composition de h et g : (h o g)(x) = h[g(x)])
1)
Cas a : injection, mais pas surjection (les entiers impairs n’ont pas d’antécédent)
Cas b : ni injection (fonction paire), ni surjection
Cas c : Idem que b
Cas d : Bijection
2a)
g(x) tend vers 1 quand x tend vers 0- ; g(x) tend vers 1 quand x tend vers 0+.
g est donc continue en 0.
g'(x) = ex qui tend vers 1 quand x tend vers 0
g’x) = 1/(2√x + 1) qui tend vers 1/2 quand x tend vers 0
g n’est pas dérivable en x = 0
2b)
Pour x ≤ 0, y = ex ≤ 1, et donc x = Ln y est négatif ; h(y) = 2 │Ln y│= - 2Ln y = Ln(1/y²).
Pour x > 0, y = √x + 1, x = y² - 1 pour y > 1
D’où h(y) = 2(y² - 1)
En synthèse :
h(y) = Ln (1/y²) pour y  ]0, 1]
3
h(y) = 2(y² - 1) pour y > 1
Exercice 4 :
On définit l’application linéaire fa de ℝ3 dans ℝ3 , a étant un paramètre réel, par :
x
(2 − a)x + (a − 1)y
fa : (y) → (2(1 − a)x + (2a − 1)y)
z
az
1) Donner la matrice M(a) représentant fa.
2) Trouver les noyaux K(0) de f0 et K(1) de f1.
3) Dans la suite de l’énoncé, on prendra a ≠ 0 et a ≠ 1. Quel est le noyau K(a) de fa ?
4) Montrer que M(a) peut s’écrire sous la forme A + aB où A et B sont deux matrices
à déterminer.
5) Calculer AB, BA, A², B² ; donner l’expression de M(a)² en fonction de A, B et a.
6) Calculer [M(a)]n en fonction de a, où n est un entier naturel.
1)
2−a
a−1 0
M(a) = (2(1 − a) 2a − 1 0)
0
0
a
2) Cas a = 0
2x – y = 0
0=0
=> K(0) = {(u, 2u, v), u et v réels}
Cas a = 1 :
x=0
y=0
z=0
K(1) est le point d’origine (0, 0, 0)
3)
(2-a)x + (a-1)y = 0
2(1-a)x + (2a-1)y = 0
az = 0
On remarque que les deux premières équations conduisent à a(y-x) = 0, d’où K(a) =
{(u, u, 0)}
4
4) M(a) = A + aB avec :
2 −1 0
−1 1 0
A = (2 −1 0) et B = (−2 2 0)
0 0 0
0 0 1
5) Des calculs simples conduisent à AB = 0, BA = 0, A² = A, B² = B
M(a)² = A² + aAB + aBA + a²B² = A + a²B
6) Raisonnons par récurrence et faisons l’hypothèse que M(a)n-1 = A +an-1B.
M(a)n = M(a)n-1.M(a) = (A +an-1B)(A + aB) = A² + aAB + an-1BA + anB²
= A + anB
On en déduit :
M(a)n =
2 − 𝑎𝑛
(2(1 − 𝑎𝑛 )
0
𝑎𝑛 − 1
0
𝑛
2𝑎 − 1 0 )
0
𝑎𝑛
Exercice 5 :
Soit un ensemble E de n éléments, n  ℕ ; on appelle combinaison d’ordre p (0 ≤ p ≤
n) tout sous-ensemble de E comportant p éléments. Le nombre total de combinaisons
n!
p
d’ordre p est égal à Cn = p!(n−p)! .
p
1) Calculer B = ∑𝑝=𝑛
𝑝=0 Cn
p
p−1
2) Montrer que Cn = f(n, p). Cn−1 où f(n, p) est une fonction de n et p à expliciter.
p
3) Calculer S = ∑𝑝=𝑛
𝑝=0 p. Cn
1) A partir du développement du binôme : (1 + 1)n = 2n = B
p
2) Immédiat à partir de la définition de Cn ; f(n, p) = n/p
p
p
𝑝=𝑛
3) ∑𝑝=𝑛
𝑝=0 p. Cn = ∑𝑝=1 p. Cn
p−1
p−1
𝑝=𝑛
𝑟=𝑛−1 r
D’après les questions 2 et 1, S = ∑𝑝=𝑛
Cn−1 = n.2n-1
𝑝=1 n. Cn−1 =n. ∑𝑝=1 Cn−1 = n. ∑𝑟=0
Exercice 6 :
On considère les deux fonctions fn et gn, définies sur ℝ, par :
5
fn(x) = (1 + x)n
gn(x) = (1 – x)n
où n est un entier naturel.
1) Par un calcul direct, donner les expressions de leurs primitives, notées
respectivement Fn(x) et Gn(x).
2) En développant fn et gn par la formule du binôme, donner deux autres expressions
de Fn(x) et Gn(x).
3) Calculer les quantités Fn(1) – Fn(0) et Gn(1) – Gn(0).
En déduire la valeur de A et B où :
1
k
A = ∑k=n
k=0 𝑘+1 Cn
1
𝑘+1
B = ∑k=n
Ck
k=0(−1)
𝑘+1 n
1) Fn(x) = ∫(1 + 𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = (1 +x)n+1/(n+1) + constante C = C + fn+1(x)/(n+1)
De même :
Gn(x) = ∫(1 − 𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = - (1 - x)n+1/(n+1) + C’ = C’ - gn+1(x)/(n+1)
k k
2) fn(x) = (1 + x)n = ∑k=n
k=0 Cn x
k k+1
D’où, Fn(x) = ∑k=n
/(k + 1) + C1
k=0 Cn x
De même :
𝑘 k k
gn(x) = ∑k=n
k=0 (−1) Cn x
𝑘 k k+1
D’où, Gn(x) = ∑k=n
/(k + 1) + C2
k=0(−1) Cn x
1
k
3) Fn(1) – Fn(0) = (2n+1 – 1)/(n+1) = ∑k=n
k=0 𝑘+1 Cn = A
1
1
𝑘+1
Gn(1) – Gn(0) = 𝑛+1 = ∑k=n
Ck = B
k=0 (−1)
𝑘+1 n
6
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Conquérir l’espace, est-ce bien raisonnable ?
Sujet n° 2
Hommages et commémorations vous semblent-elles des cérémonies toujours
nécessaires ?
Rendre hommage à quelqu’un : Témoigner son respect, son admiration, sa reconnaissance
envers quelqu’un.
Commémorer : Rappeler par une cérémonie le souvenir d’une personne ou d’un événement.
Sujet n° 3
« Il faut cultiver notre jardin. » Telle est la conclusion du conte philosophique,
Candide, de Voltaire, écrivain français du XVIIIème siècle.
Le refus du monde extérieur est-il une caractéristique de nos sociétés aujourd’hui ?
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’épreuve est composée de deux exercices et un problème, indépendants, à traiter dans un ordre
quelconque.
Exercice 1 :
1) Soit a et b deux entiers naturels tels que a < b. On suppose que a divise b.
Montrer que a divise b – a. Quel est le quotient de (b – a) par a ?
2) En déduire les entiers naturels n tels que n – 1 divise n + 3 ?
Exercice 2 :
1) On considère la fonction réelle f de la variable réelle strictement positive x définie par :
f : x  ℝ+∗ → f(x) = √x(x + 2)
Étudier précisément ses variations (domaine de définition, calcul et signe des dérivées première
et seconde, branches infinies, tangentes aux points remarquables, etc …) et tracer son graphe
dans un repère orthonormé classique.
2) On considère la fonction réelle g de la variable réelle strictement positive x définie par :
g : x  ℝ+∗ → g(x) = e1/x √x(x + 2)
Étudier ses variations.
Problème : variations autour de l’exponentielle
Introduction : rappels et préliminaires
a) Le symbole exponentiel e désigne la base des logarithmes naturels (ou népériens), dont le
symbole est Ln ; e est défini par Ln e = 1 ; e ≈ 2,718 ; e1/2 ≈ 1,65 ; e-1/2 ≈ 0,61.
1
b) On rappelle que la dérivée f ’ d’une fonction réelle f est la limite, si elle est finie, quand ε
tend vers 0, du rapport [f(x+ε) – f(x)]/x :
f ’(x) = limε→0
f(x+ε)−f(x)
x
c) On rappelle que, quand u → 0, on a les équivalences suivantes :
Ln (1 + u) ≈ u
eu ≈ 1 + u
(1 + u)α ≈ 1 + α.u
d) On donne les valeurs des intégrales A, B et M suivantes :
+∞
2
+√2
2
A = ∫−∞ e−x /2 dx = √2π
B = ∫−√2 e−x /2 dx = 0,8426√2π ≈ 2,1
1
2
M = ∫0 e−x /2 dx ≈ 0,855
Partie A
Soit fa la fonction définie sur l’espace des nombres réels ℝ par :
fa : x  ℝ → fa(x) = 𝑒 𝑎𝑥²
où a est un paramètre réel.
1) Étudier le cas a = 0.
2) Quelle est la valeur de l’expression fa(x).f-a(x) ?
3) Exprimer f-a’, dérivée première de f-a, en fonction de fa et fa’.
4) Étudier les limites éventuelles de fa(x)/x quand x tend vers + ∞ et - ∞.
5) Étudier les fonctions f1 et f-1 associées respectivement aux valeurs 1 et -1 du paramètre a.
6) Étudier la fonction fa (variations, limites, forme du graphe, …).
Donner l’équation de la tangente à la courbe représentant fa au point d’abscisse x = 1.
+∞ −x2
7) Calculer l’intégrale I = ∫0
e
dx.
Partie B
On définit la fonction ga sur l’intervalle [0, 2] par :
 pour 0 ≤ x < 1 : ga(x) = eax²
 pour 1 ≤ x ≤ 2 : ga(x) = a
où a est un paramètre réel.
2
8) Étudier les cas particuliers a = 0, a = 1 et a = - 1.
9) Existe-t-il des valeurs de a telles que ga soit continue au point x = 1 ?
2
10) On définit la fonction G(a) par : G(a) = ∫0 g a (x) dx
a) Expliciter G(a).
b) Quel est le domaine de définition de G ?
c) Calculer G(0) et G(-1).
11) On considère maintenant a ≥ 0.
a) Déterminer une borne inférieure et une borne supérieure pour G.
b) En utilisant la définition de la dérivée rappelée en introduction, donner l’expression de G’(a).
c) En déduire le tableau de variations de G.
12) Dans cette question, on prend a ≥ 1.
L’équation G(a) = 4a a-t-elle des solutions ? (Indication : on pourra étudier les variations de
N(a) = G(a) – 4a)
Partie C
On considère la fonction h définie sur ℝ+ par :
 pour 0 ≤ x ≤ 1 : h(x) = 1
 pour x > 1 : h(x) = 1 – e-(x-1)²/2
x
Soit l’intégrale H(x) = ∫0 h(t)dt.
13) La fonction h est-elle continue ? Dérivable ?
Donner son tableau de variation et la forme de son graphe.
Quelle est l’équation de la tangente au point x = 2 à la courbe représentant h ?
14) Étudier la continuité et la dérivabilité de H.
15) Donner l’équation de la tangente à la courbe représentant H au point d’abscisse x = 2.
16) Étudier la limite de H(x)/x lorsque x tend vers + ∞.
Existe-t-il une asymptote pour H lorsque x → + ∞ ?
17) Combien l'équation H(x) = x – 1 a-t-elle de solutions dans l'intervalle [0, 2] ?
3
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ÉCONOMIE
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l'un des deux sujets suivants.
Sujet 1
Après avoir décrit de manière théorique les avantages et les inconvénients des politiques
protectionnistes mises en place dans de nombreux pays ou Unions régionales, vous
analyserez les pratiques protectionnistes de certains pays ou Unions de l'Afrique.
Sujet 2
Inégalités économiques, sociales et territoriales : Après avoir décrit les facteurs
déterminants et les principales dynamiques au plan mondial, vous analyserez la
situation dans un ou deux pays.
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DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
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ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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ET DE MANAGEMENT
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AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’épreuve est composée de six énoncés indépendants, à traiter dans un ordre quelconque.
Exercice 1 :
Soient A et B deux parties d’un ensemble E.
On appelle « différence de A et B », notée A – B, le sous-ensemble de E formé par les éléments
de A qui n’appartiennent pas à B.
1) Exprimer A – B à l’aide des opérateurs ∩ (intersection) et c (complémentaire).
2) On prend pour E l’ensemble ℕ des entiers naturels ; A est le sous-ensemble de ℕ défini par
les multiples de 5, B est le sous-ensemble des entiers pairs.
Donner la forme générale des éléments de A – B.
Exercice 2 :
Soit un ensemble E ; sur E x E, on définit une relation binaire notée ∆.
On rappelle les propriétés possibles pour ∆ :
- Réflexivité (R) :  x  E, x ∆ x
- Antisymétrie (A) :  x et y  E, x ∆ y et y ∆ x => x = y
- Symétrie (S) :  x et y  E, x ∆ y => y ∆ x
- Transitivité (T) :  x, y et z  E, [x ∆ y et y ∆ z] => x ∆ z
On prend E = ℝ+ et on définit la relation ∆ sur ℝ+ x ℝ+ par :
(x, y) ∆ (x’, y’)  xy ≤ x’y’
1) Quelles sont les propriétés de la relation ∆ ?
2) On définit la relation H par :
(x, y) H (x’, y’)  (x, y) ∆ (x’, y’) et (x’, y’) ∆ (x, y)
1
2a) Donner la définition d’une relation d’équivalence.
2b) Montrer que H est une relation d’équivalence.
3) Application économique : un consommateur i veut utiliser la totalité d’un budget B consacré
aux loisirs en consommant deux quantités x et y de deux loisirs X et Y (par exemple, sport et
cinéma). Les prix unitaires de ces deux loisirs sont respectivement notés pX et pY.
La fonction f(x, y) = xy s’appelle la fonction de satisfaction du consommateur i.
3a) Que signifie le fait que (x, y) H (x’, y’) ?
A quelle courbe appartiennent les quantités consommées x et y à satisfaction égale notée s ?
3b) Exprimer la relation liant B, x, y, pX et pY.
3c) Mettre f(x, y) sous la forme d’une fonction S(x).
3d) Déterminer la valeur x* de x maximisant S. Que vaut alors y* ?
Exercice 3 :
Soit f l’application de l’ensemble E dans l’ensemble F définie par :
f : x  E → f(x) = 2 │x│
1) Étudier si f est une injection, une surjection, une bijection, dans chacun des quatre cas
suivants :
a) E = F = ℕ, ensemble des entiers naturels
b) E = F = ℤ, ensemble des entiers relatifs
c) E = F = ℝ
d) E = ℝ− , F = ℝ+
2) Soit g l’application de ℝ dans ℝ+ définie par :
g(x) = ex pour x ≤ 0
g(x) = √x + 1 pour x > 0
2a) Étudier la continuité et la dérivabilité de g au point x = 0.
2b) Déterminer l’application h telle que :
(h o g)(x) = 2 │x│
(La notation o désigne la composition de h et g : (h o g)(x) = h[g(x)])
Exercice 4 :
On définit l’application linéaire fa de ℝ3 dans ℝ3 , a étant un paramètre réel, par :
x
(2 − a)x + (a − 1)y
fa : (y) → (2(1 − a)x + (2a − 1)y)
z
az
2
1) Donner la matrice M(a) représentant fa.
2) Trouver les noyaux K(0) de f0 et K(1) de f1.
3) Dans la suite de l’énoncé, on prendra a ≠ 0 et a ≠ 1. Quel est le noyau K(a) de fa ?
4) Montrer que M(a) peut s’écrire sous la forme A + aB où A et B sont deux matrices à
déterminer.
5) Calculer AB, BA, A², B² ; donner l’expression de M(a)² en fonction de A, B et a.
6) Calculer [M(a)]n en fonction de a, où n est un entier naturel.
Exercice 5 :
Soit un ensemble E de n éléments, n  ℕ ; on appelle combinaison d’ordre p (0 ≤ p ≤ n) tout
sous-ensemble de E comportant p éléments.
p
n!
Le nombre total de combinaisons d’ordre p est égal à Cn = p!(n−p)! .
p
1) Calculer B = ∑𝑝=𝑛
𝑝=0 Cn
p
p−1
2) Montrer que Cn = f(n, p). Cn−1 où f(n, p) est une fonction de n et p à expliciter.
p
3) Calculer S = ∑𝑝=𝑛
𝑝=0 p. Cn
Exercice 6 :
On considère les deux fonctions fn et gn, définies sur ℝ, par :
fn(x) = (1 + x)n
gn(x) = (1 – x)n
où n est un entier naturel.
1) Par un calcul direct, donner les expressions de leurs primitives, notées respectivement Fn(x)
et Gn(x).
2) En développant fn et gn par la formule du binôme, donner deux autres expressions de Fn(x) et
Gn(x).
3) Calculer les quantités Fn(1) – Fn(0) et Gn(1) – Gn(0).
En déduire la valeur de A et B où :
1
k
A = ∑k=n
k=0 𝑘+1 Cn
1
𝑘+1
B = ∑k=n
Ck
k=0 (−1)
𝑘+1 n
3
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apporté à la rédaction et à
la présentation des résultats.
1
Problème d’analyse
Pour tout nombre réel α, on désigne par Eα le sous-espace vectoriel des fonctions f de [0, +∞[
dans R, continues et vérifiant
t 7→ f (t)e−αt est bornée sur [0, +∞[.
On note par Fα l’espace défini par
Fα =
\
Eβ .
β>α
On note de plus par Cα∞ l’espace vectoriel des fonctions indéfiniment dérivables sur ]α, +∞[. Pour
une telle fonction f , on notera f (p) , pour p ∈ N, sa dérivée p-ième avec la convention f (0) = f .
On définit la transformée de Laplace comme étant l’application L qui à tout élément f ∈ Fα
fait correspondre la fonction L[f ] définie sur ]α, +∞[ par
Z +∞
L[f ](s) =
e−st f (t)dt.
0
Partie 1
1. Montrer que α < δ ⇒ Eα ⊂ Eδ .
Soit f ∈ Eα , alors |f (t)e−δt | = |f (t)e−αt | × |e(−δ+α)t | ≤ |f (t)e−αt | car −δ + α < 0 et t ≥ 0.
Ce majorant est uniformément borné pour t ≥ 0 car f ∈ Eα et par suite f ∈ Eδ .
1
2. En déduire que Eα ⊂ Fα .
T
Soit f ∈ Eα . D’après la question 1, f ∈ Eβ pour tout β > α, donc f ∈ β>α Eβ = Fα .
R +∞
3. Soit α ∈ R, f ∈ Eα et s > α, montrer que l’intégrale 0 e−st f (t)dt est absolument convergente.
|e−st f (t)| = |f (t)e−αt | × |e(α−s)t |. Le premier terme est borné car f ∈ Eα et le second terme
est intégrable sur [0, +∞[ car α − s < 0.
4. Soit α ∈ R. Justifier que l’application L est bien définie sur Fα , c’est à dire que pour tout
f ∈ Fα , L[f ](s) est fini pour tout s > α.
T
Soit f ∈ Fα et s > α, alors |e−st f (t)| = |e−t(s+α)/2 f (t)| × |et(α−s)/2 |. Comme f ∈ β>α Eβ et
(s + α)/2 > α, on en déduit que f ∈ E(s+α)/2 , et donc le premier terme dans la décomposition
précédente est absolument intégrable sur [0, +∞[, d’après la question précédente. Le second
terme est quant à lui borné car α < s et t ≥ 0. Donc t 7→ e−st f (t) est absolument intégrable
sur [0, +∞[ et L est bien défini sur Fα .
5. Vérifier que pour f ∈ Fα et n ∈ N, la fonction t 7→ tn f (t) est dans Fα .
Il faut montrer que pour tout β > α, la fonction t 7→ tn f (t)e−βt est bornée sur [0, +∞[. On
a |tn f (t)e−βt | = |tn et(α−β)/2 | × |f (t)e−t(β+α)/2 |. Le premier terme est uniformément borné
car α < β (fonction continue sur [0, +∞[ qui tend vers 0 à l’infini par croissance comparée).
Le secondTest borné car f ∈ E(β+α)/2 , ce qui est une conséquence de (β + α)/2 > α et
f ∈ Fα = β>α Eβ .
Partie 2
L’objectif de cette partie est d’obtenir l’expression de la dérivée de la transformée de Laplace,
ainsi que de la transformée de Laplace d’une dérivée, et de même pour les dérivées successives.
6. Soit s > α et (sn )n≥1 une suite quelconque dans ]α, +∞[ qui converge vers s. Pour p ∈ N fixé,
on introduit la suite de fonctions (∆p,n (s, t))n∈N définies sur ]α, +∞[×[0, +∞[ par
∆p,n (s, t) =
(−t)p e−st f (t) − (−t)p e−sn t f (t)
.
s − sn
Montrer que pour tout s > α,
Z +∞
Z +∞
lim
∆p,n (s, t)dt =
(−t)p+1 e−st f (t)dt.
n→+∞ 0
0
Il s’agit d’appliquer le théorème de convergence dominée. On remarque que pour tout t > 0,
la fonction s 7→ (−t)p e−st f (t) est dérivable sur ]α, +∞[ de dérivée (−t)p+1 e−st f (t). Cela
implique que ∆p,n (s, t) converge simplement vers (−t)p+1 e−st f (t) lorsque n → ∞. Cherchons
à présent à majorer ∆p,n (s, t). D’après le théorème des accroissements finis, on sait qu’il existe
s0 (n) entre s et sn tel que ∆p,n (s, t) = (−t)p+1 e−s0 (n)t f (t). Par ailleurs, puisque (sn ) converge
2
vers s > α et est à valeurs dans ]α, +∞[, on a inf n sn > α. En notant a = min(s, inf n sn ), on
a donc s0 (n) ≥ a > α. Ainsi
|∆p,n (s, t)| ≤ |e−at tp+1 f (t)|.
D’après la question 5, t 7→ tp+1 f (t) est dans Fα car f ∈ Fα et d’après la question 4, cela
implique que la transformée de Laplace de cette fonction calculée en a > α est finie, autrement
dit que le majorant précédent est intégrable sur [0, +∞[.
Nous pouvons donc appliquer le théorème de convergence dominée pour conclure au résultat
demandé.
7. En déduire que L est une application de Fα dans Cα∞ et que pour tout p ∈ N,
(L[f ])(p) = (−1)p L[tp f (t)],
où l’on note abusivement tp f (t) la fonction t 7→ tp f (t) définie sur [0, +∞[.
Nous montrons le résultat par récurrence, l’hypothèse au rang p ∈ N étant que L est p fois
dérivable sur ]α, +∞[ avec (L[f ])(p) = (−1)p L[tp f (t)].
Pour p = 0 le résultat est évident. Supposons à présent que l’hypothèse soit vraie au rang p.
Alors, en utilisant les mêmes notations qu’à la question précédente,
Z +∞
(L[f ])(p) (s) − (L[f ])(p) (sn )
=
∆p,n (s, t)dt.
s − sn
0
R +∞
Lorsque n → +∞, cette quantité converge vers 0 (−t)p+1 e−st f (t)dt = (−1)p+1 L[tp+1 f (t)]
d’après la question précédente, ce qui montre la dérivabilité de (L[f ])(p) en s avec
(L[f ])(p+1) (s) = (−1)p+1 L[tp+1 f (t)](s).
Nous venons de montrer que pour tout p ∈ N, L[f ] est p fois dérivable sur ]α, +∞[ avec
(L[f ])(p) = (−1)p L[tp f (t)]. Cela implique qu’elle est p fois continument dérivable sur ]α, +∞[
(chaque dérivée étant dérivable donc continue), autrement dit L[f ] ∈ Cα∞ : L est bien une
application de Fα dans Cα∞
8. Soit a ∈ R et ϕk la fonction définie sur [0, +∞[ par ϕk (t) = tk eat .
a) Préciser le plus petit α pour lequel ϕ0 ∈ Fα et déterminer L[ϕ0 ].
Pour tout β > a, e−βt ϕ0 (t) = e−(β−a)t ≤ 1 donc ϕ0 ∈ Eβ . Ceci montre que ϕ0 ∈ Fa .
Montrons que ϕ0 ∈ Fα avec α < a est impossible. Cette hypothèse impliquerait ϕ0 ∈
E(a+α)/2 , or e−(a+α)t/2 ϕ0 (t) = e(a−α)t/2 n’est pas une fonction bornée (elle diverge vers
+∞ lorsque t → +∞) : il y a une contradiction. Ainsi α = a est le plus petit α pour
lequel ϕ0 ∈ Fα . On calcule aisément L[ϕ0 ](s) = 1/(s − a), pour tout s > a.
b) En déduire, pour tout k ≥ 0, le plus petit α pour lequel ϕk ∈ Fα et déterminer L[ϕk ].
D’après la question 5, ϕk ∈ Fa car ϕ0 ∈ Fa . On ne peut pas avoir ϕk ∈ Fα si α < a
pour les mêmes raisons que dans la question précédente. Donc α = a est le plus petit α
pour lequel ϕk ∈ Fα . Pour le calcul on utilise la question 7 : L[ϕk ] = (−1)k (L[ϕ0 ])(k) =
k!/(s − a)k+1 .
3
9. Soit f une fonction continument dérivable sur [0, +∞[ telle que f ∈ Fα et f 0 ∈ Fα . Montrer
que pour tout s > α
L[f 0 ](s) = sL[f ](s) − f (0).
On obtient la relation par une simple intégration par parties, soit directement sur l’intégrale
impropre, soit en tronquant la borne supérieure à n puis en faisant tendre n vers l’infini :
pour tout s > α,
Z +∞
Z +∞
h
i+∞
−st 0
−st
0
e−st f (t)dt = 0 − f (0) + sL[f ](s)
+s
e f (t)dt = e f (t)
L[f ](s) =
0
0
0
en utilisant le fait que limt→∞ e−st f (t) = 0 puisque cette fonction est intégrable sur [0, +∞[.
10. Soit f une fonction p fois continument dérivable sur [0, +∞[ telle que f (k) ∈ Fα pour tout
k = 1, 2, . . . , p. Donner l’expression de L[f (p) ] en généralisant l’égalité précédente.
P
p−1−k f (k) (0).
On vérifie par une récurrence immédiate que L[f (p) ](s) = sp L[f ](s) − p−1
k=0 s
Partie 3
On s’intéresse dans cette partie à l’application de la transformée de Laplace pour la résolution
d’équations différentielles.
On considère dans un premier temps l’équation différentielle
y (3) − 3y 00 + 3y 0 − y = et
avec y 00 (0) = y 0 (0) = y(0) = 1.
(1)
On admet que la solution y de (1) sur R est unique. On cherche à déterminer cette solution.
11. On cherche la solution y de (1) parmi les fonctions appartenant à F1 et dont les dérivées
successives appartiennent également à F1 .
a) Justifier que sous cette hypothèse on peut appliquer L à chaque terme de l’équation (1)
et préciser à quel ensemble l’image obtenue appartiendra.
Par hypothèse, toutes les dérivées successives de y sont dans F1 . Ce dernier est un espace
vectoriel en tant qu’intersection d’espaces vectoriels, donc le membre de gauche dans (1)
est dans F1 . De même le terme de droite t 7→ et est dans F1 (question 8 ou vérification
immédiate). On peut donc appliquer L à chaque terme de (1) en tant qu’application
définie sur F1 et l’image par L appartient à C1∞ (question 7).
b) Déterminer l’expression de L[y].
En utilisant les relations établies en questions 9 et 10 et le fait que L[t 7→ et ](s) = 1/(s−1)
(question 8), on obtient, pour tout s > 1,
{s3 L[y](s) − s2 y(0) − sy 0 (0) − y 00 (0)} − 3{s2 L[y](s) − sy(0) − y 0 (0)}
+ 3{sL[y](s) − y(0)} − L[y](s) =
4
1
,
s−1
c’est à dire, en utilisant le fait que y 00 (0) = y 0 (0) = y(0) = 1,
1
s−1
1
3
2
(s − 1) L[y](s) − (s − 1) =
s−1
1
1
+
.
L[y](s) =
4
(s − 1)
(s − 1)
(s3 − 3s2 + 3s − 1)L[y](s) − s2 + 2s − 1 =
12. Donner toutes les solutions à (1) trois fois continument dérivables sur R.
Dans l’expression de L[y] précédente, on reconnait la transformée de Laplace de t 7→ t3 et /3!
et de t 7→ et obtenues en question 8. Une fonction y (de F1 ) candidate pour être solution de
(1) est donc
t3
y(t) = 1 +
et .
6
On vérifie aisément qu’elle est effectivement solution. Par unicité, c’est la seule parmi les
fonctions trois fois continument dérivable.
On considère à présent l’équation différentielle, pour n ∈ N,
ty 00 (t) + (1 − t)y 0 (t) + ny(t) = 0.
(2)
13. On s’intéresse aux solutions y de l’équation différentielle (2) appartenant à F1 et dont les
dérivées successives appartiennent également à F1 .
a) Justifier que l’on peut appliquer L à chaque terme de l’équation (2) et préciser à quel
ensemble l’image obtenue appartiendra.
D’après la question 5, t 7→ ty 00 (t) ainsi que t 7→ (1 − t)y 0 sont dans F1 car y 00 et y 0 le sont.
On peut donc appliquer L à chaque terme de l’équation (2). L’image appartient à C1∞
(question 7).
b) Montrer que L[y] vérifie une équation différentielle du premier ordre que l’on déterminera.
On a d’une part, d’après la question 7, L[ty 00 ] = −(L[y 00 ])0 et d’autre part, d’après la
relation obtenue en question 10, L[y 00 ](s) = s2 L[y](s) − sy(0) − y 0 (0). En dérivant par
rapport à s cette dernière expression, on obtient
L[ty 00 ](s) = −2sL[y](s) − s2 (L[y])0 (s) + y(0).
De façon similaire on a L[(1 − t)y 0 ] = L[y 0 ] + (L[y 0 ])0 avec L[y 0 ](s) = sL[y](s) − y(0), d’où
L[(1 − t)y 0 ](s) = sL[y](s) − y(0) + L[y](s) + s(L[y])0 (s).
On en déduit qu’en appliquant L à (2), on obtient pour tout s > 1,
−2sL[y](s) − s2 (L[y])0 (s) + y(0) + sL[y](s) − y(0) + L[y](s) + s(L[y])0 (s) + nL[y](s) = 0,
soit
(−s2 + s)(L[y])0 (s) − (s − n − 1)L[y](s) = 0.
5
c) Trouver des solutions sur ]1, +∞[ de l’équation précédente et en déduire qu’il existe
un polynôme P non-nul, que l’on déterminera, tel que l’ensemble des fonctions {t 7→
λP (t), λ ∈ R} sont solutions de l’équation différentielle (2) sur R.
On a (L[y])0 (s)/L[y](s) = (n+1−s)/(s2 −s) = n/(s−1)−(n+1)/s pour tout s ∈]1, +∞[,
d’où ln(L[y](s)) = n ln(s − 1) − (n + 1) ln(s) + c où c ∈ R, soit L[y](s) = λ(s − 1)n /sn+1
où λ ∈ R.
Il s’agit à présent de trouver y tel que sa transformée de Laplace a la forme précédente.
Pour cela on développe le numérateur avec la formule du binôme de Newton pour obtenir
n n X
X
n
n
k n−k
L[y](s) = λ n+1
(−1) s
=λ
(−1)k s−k−1 .
s
k
k
1
k=0
k=0
Or on sait (question 8) que L[tk ](s) = k!s−k−1 donc on peut choisir pour y le polynôme
y(t) = λ
n X
n (−1)k
k=0
k
k!
tk ,
t ≥ 0.
On vérifie aisément que ces fonctions sont effectivement solutions de (2) sur R.
14. Pourquoi l’ensemble des solutions précédentes ne contient pas toutes les solutions de (2) sur
]0, +∞[ ?
Sur ]0, +∞[, on peut récrire (2) sous forme résolue y 00 (t) + [(1 − t)/t]y 0 (t) + [n/t]y(t) = 0. On
sait que l’ensemble des solutions d’une telle équation différentielle linéaire du second ordre
est un espace vectoriel de dimension 2. Or l’ensemble des solutions de la question précédente
forme un sous-espace vectoriel de degré 1. Il manque donc des solutions.
15. On cherche finalement à trouver toutes les solutions de (2).
a) On suppose que y et z sont deux solutions non-colinéaires de (2) sur ]0, +∞[. On définit
le Wronskien par W (t) = y(t)z 0 (t) − z(t)y 0 (t). On suppose que W (t) 6= 0 pour tout t > 0.
Montrer que pour t > 0, W 0 (t)/W (t) = (t − 1)/t et en déduire la forme de W (t).
On a W 0 = yz 00 − zy 00 qui vaut en remplaçant z 00 et y 00 par leur expression issue de (2) :
t−1 0
n
n
t−1 0
0
W (t) = y(t)
z (t) − z(t) − z(t)
y (t) − y(t)
t
t
t
t
t−1
1
t−1 0
0
z (t)y(t) − z(t)y (t) =
W (t) = 1 −
W (t).
=
t
t
t
On en déduit que pour t > 0, W (t) = µ et /t pour une constante µ ∈ R.
b) On note A(t) une primitive de t 7→ et /(tP 2 (t)) où P est le polynôme déterminé dans la
question 13 c). Donner l’ensemble des solutions de (2) sur un intervalle de ]0, +∞[ ne
contenant pas les racines de P .
On sait qu’une solution particulière de (2) est donnée par y(t) = P (t). Supposons qu’il
existe une autre solution z non-colinéaire à y telle que pour tout t > 0, y(t)z 0 (t) −
6
z(t)y 0 (t) 6= 0. Alors, d’après la question précédente, y(t)z 0 (t) − z(t)y 0 (t) = µ et /t, c’est à
dire
P (t)z 0 (t) − P 0 (t)z(t) = µ et /t.
(3)
Résolvons cette équation du premier ordre. La solution de l’équation homogène associée
est z = z0 P où z0 ∈ R. On applique la méthode de variation de la constante pour obtenir
la solution de l’équation avec second membre : la fonction z0 (t)P (t) est solution sur un
intervalle de ]0, +∞[ ne contenant pas les racines de P ssi z00 (t) = µ et /(tP 2 (t)) (qui
est bien une écriture valide sur l’intervalle considéré). On en déduit que l’ensemble des
solutions de (3) s’écrit z(t) = P (t)(c1 +c2 A(t)) où c1 et c2 sont des constantes réelles. On
vérifie par ailleurs que ces fonctions sont solutions de (2) (on le sait déjà pour c2 = 0, il
suffit de le vérifier pour c1 = 0). Cet ensemble de solutions étant un sous-espace vectoriel
de dimension 2, il contient toutes les solutions de (2) sur l’intervalle considéré.
7
2
Problème d’algèbre
Soit E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. On note 0 le vecteur nul de E et
idE l’endomorphisme identité de E. On note de plus f 0 = idE et pour n ∈ N∗ , f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f
(n fois).
Soit F un sous-espace vectoriel de E. On note f|F la restriction de f à F . Pour rappel, on dit
que F est stable par f si f (F ) ⊂ F .
Pour tout n ∈ N, on pose
Kn = Ker(f n ),
In = Im(f n ).
Partie 1
1. Montrer que :
a) la suite (Kn )n∈N est croissante ;
x ∈ Kn ssi f n (x) = 0, d’où f n+1 (x) = f (f n (x)) = 0 et x ∈ Kn+1 .
b) la suite (In )n∈N est décroissante.
y ∈ In+1 ssi ∃x ∈ E, y = f n+1 (x), d’où y = f n (f (x)) et y ∈ In .
2. Montrer que pour tout n ∈ N,
a) Kn est stable par f ;
x ∈ Kn ssi f n (x) = 0, d’où f n (f (x)) = f (f n (x)) = 0 et donc f (x) ∈ Kn .
b) In est stable par f .
y ∈ In ssi ∃x ∈ E, y = f n (x), d’où f (y) = f (f n (x)) = f n (f (x)) ∈ In .
On pose :
K=
[
Kn ,
I=
n∈N
\
In .
n∈N
3. Vérifier que K et I sont des sous-espaces vectoriels de E.
I sev de E en tant qu’intersection de sev de E.
Pour K : pour tous x1 ∈ K et x2 ∈ K, il existe n1 tel que x1 ∈ Kn1 et n2 tel que x2 ∈ Kn2 .
Comme la suite (Kn ) est croissante, x1 ∈ Kn+ et x2 ∈ Kn+ avec n+ = max(n1 , n2 ). Puisque
Kn+ est un espace vectoriel, on en déduit que pour tout λ ∈ R, λx1 + x2 ∈ Kn+ ⊂ K. De
plus K 6= ∅ puisque 0 ∈ K.
4. Montrer que K et I sont stables par f .
Conséquence immédiate de la question 2.
5. Etablir les équivalences
a) f injectif ⇔ K = {0} ;
On remarque que si f est injective alors f n est injective par une récurrence immédiate.
La réciproque est évidemment vraie par croissance de (Kn ).
Ainsi f injectif ⇔ ∀n, f n injectif ⇔ ∀n, Kn = {0} ⇔ K = {0}.
8
b) f surjectif ⇔ I = E.
On remarque de même que si f est surjective alors f n est surjective, la réciproque étant
évidente. Ainsi f surjectif ⇔ ∀n, f n surjectif ⇔ ∀n, In = E ⇔ I = E.
6. Pour les exemples suivants, déterminer I, K et montrer que
— E =I ⊕K;
q
— f|K est nilpotente, c’est à dire qu’il existe un entier naturel q tel que f|K
= 0;
— f|I est un automorphisme de I dans I.
a) f est une projection, c’est à dire f 2 = f .
Puisque f 2 = f , on en déduit par une récurrence immédiate que f n = f pour tout n ∈ N.
Cela montre In = I1 et Kn = K1 pour tout n. Etant donné que par ailleurs I0 = E et
K0 = {0}, on en déduit que I = I1 et K = K1 . Pour les 3 propriétés demandées :
— E = I1 + K1 se déduit de la décomposition x = x − f (x) + f (x) pour tout x dans E,
où f (x) ∈ I1 , et x − f (x) ∈ K1 (car f (x − f (x)) = f (x) − f 2 (x) = f (x) − f (x) = 0).
De plus la somme est directe, car si y ∈ I1 ∩K1 , alors il existe x ∈ E tel que y = f (x)
(car y ∈ I1 ) et puisque y ∈ K1 , 0 = f (y) = f (f (x)) = f (x) = y. Donc E = I1 ⊕ K1 .
— Pour x ∈ K = K1 , f (x) = 0 donc f|K est nilpotente d’ordre 1.
— f|I est un morphisme d’espaces vectoriels en tant que restriction d’un morphisme.
Montrons que f|I est bijective. y ∈ I = I1 implique qu’il existe x ∈ E tel que
y = f (x) = f 2 (x) = f (y), ce qui montre que y ∈ f (I1 ) et donc que f|I est surjective.
Par ailleurs, si y = f (x) ∈ I est tel que f (y) = 0, alors 0 = f (y) = f 2 (x) = f (x) = y
ce qui montre que f|I est injective.
b) Pour d ∈ N, E = Rd [X] est le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou
égal à d, et f est l’opérateur dérivation sur E.
Pour n ≥ d + 1, f n (P ) = 0 pour tout P ∈ E, donc Kn = E et In = {0}. On en déduit
que K = E et I = {0}. Les 3 propriétés demandées sont alors évidentes.
7. Montrer que la propriété E = I ⊕ K est fausse si f est l’opérateur dérivation sur E = R[X],
où R[X] = ∪d∈N Rd [X].
Dans ce cas f est surjective, ce qui implique I = E (question 5). De plus, Kn = Rn−1 [X] et
donc K = E également. I et K ne sont donc pas en somme directe.
Partie 2
Nous supposons dans la suite du problème que E est de dimension finie. Nous allons montrer
que les propriétés énoncées dans la question 6 sont toujours vraies dans ce cadre.
8. Soit n ∈ N. Montrer que (Kn = Kn+1 ) ⇒ (∀p ∈ N, Kn = Kn+p ).
Supposons Kn = Kn+1 et soit x ∈ Kn+2 . Alors 0 = f n+2 (x) = f n+1 (f (x)) et donc f (x) ∈
Kn+1 = Kn . Cela signifie que 0 = f n (f (x)) = f n+1 (x) et donc x ∈ Kn+1 . Ainsi Kn+2 ⊂ Kn+1
et par croissance de la suite (Kn ), Kn+2 = Kn+1 . On vient de montrer (Kn = Kn+1 ) ⇒
(Kn+1 = Kn+2 ). Une récurrence immédiate permet de conclure.
9
9. Soit m = inf{n ∈ N, Kn = Kn+1 }. Montrer que m est fini et que pour tout p ∈ N, Km+p = K.
Supposons m = +∞. Cela signifie que pour tout n ∈ N, Kn 6= Kn+1 , et puisque la suite
(Kn ) est croissante : pour tout n ∈ N, Kn est inclus strictement dans Kn+1 . Ceci implique
que la suite (dim(Kn )) est une suite d’entiers strictement croissante, ce qui est impossible en
dimension finie puisque dim(Kn ) ≤ dim(E) est bornée. Donc m < +∞.
D’après la question précédente, la suite (Kn ) est stationnaire à partir du rang m, donc K =
Km = Km+p pour tout p ∈ N.
10. Soit n ∈ N et p ∈ N. Montrer que (Kn = Kn+p ) ⇔ (In = In+p ).
Kn =
⇔ dim(Kn ) =
⇔ dim(In ) =
⇔
In =
Kn+p
dim(Kn+p ) la réciproque étant vraie car (Kn ) est croissante
dim(In+p ) par le théorème du rang
In+p
le sens direct étant vrai car (In ) est décroissante
11. Justifier que pour tout p ∈ N, Im+p = I.
On déduit de la question précédente que inf{n ∈ N, Kn = Kn+1 } = inf{n ∈ N, In = In+1 },
cet infimum étant fini égal à m d’après la question 9. De plus, d’après la question précédente
et la question 8, (Im = Im+1 ) ⇔ (Km = Km+1 ) ⇒ (∀p ∈ N, Km = Km+p ) ⇔ (∀p ∈ N, Im =
Im+p ). La suite (In ) est donc stationnaire à partir du rang m et I = Im+p pour tout p ∈ N.
q
12. Montrer que f|K est nilpotente, c’est à dire qu’il existe un entier naturel q tel que f|K
= 0.
m
Pour tout x ∈ K, puisque K = Km , f (x) = 0 et q = m convient.
13. Montrer que f|I est un automorphisme de I dans I.
f|I est un morphisme d’espaces vectoriels en tant que restriction d’un morphisme.
f|I est surjective : pour tout y de I, y ∈ Im+1 car I = Im = Im+1 donc il existe x ∈ E tel que
y = f m+1 (x) = f (f m (x)). Puisque f m (x) ∈ Im = I, on en déduit que y ∈ f (I).
f|I est injective : soit y ∈ I tel que f (y) = 0. Puisque I = Im , il existe x ∈ E tel que
y = f m (x). On a donc f (f m (x)) = 0 ce qui signifie x ∈ Km+1 . Puisque Km+1 = Km , on
obtient f m (x) = 0, autrement dit y = 0.
14. Vérifier que pour tout x ∈ E, il existe y ∈ E tel que f m (x) = f 2m (y).
Pour tout x ∈ E, f m (x) ∈ Im , or Im = I2m donc il existe z ∈ I2m tel que z = f m (x). Par
ailleurs, il existe y ∈ E tel que z = f 2m (y) car z ∈ I2m . Ainsi pour tout x ∈ E, il existe y ∈ E
tel que f m (x) = f 2m (y).
15. En déduire que E = I ⊕ K.
Tout élément x de E peut s’écrire x = x − f m (y) + f m (y) pour un certain y ∈ E vérifiant
f m (x) = f 2m (y) (l’existence de y est assurée par la question précédente). Or f m (y) ∈ Im = I
et f m (x − f m (y)) = f m (x) − f 2m (y) = 0 ce qui montre que x − f m (y) ∈ Km = K. Ainsi
E = I + K.
Soit à présent z ∈ I ∩ K = Im ∩ Km . Alors il existe x ∈ E tel que z = f m (x) et de plus
f m (z) = 0. Cela implique f 2m (x) = 0 donc x ∈ K2m . Comme K2m = Km , on en déduit z = 0.
Donc I ∩ K = {0} et par suite E = I ⊕ K.
10
16. Montrer la réciproque du résultat précédent, c’est à dire : si E = F ⊕ G avec F et G stables
par f et tels que f|F est un automorphisme et f|G est nilpotente, alors nécessairement F = I
et G = K.
Notons r un entier tel que f r (x) = 0 pour tout x ∈ G (ce r existe car f|G est nilpotente).
Montrons que F = Ir et G = Kr .
Ir ⊂ F : y ∈ Ir ⇔ ∃x ∈ E, y = f r (x). Or x = a + b avec a ∈ F et b ∈ G car E = F ⊕ G.
Puisque f r (b) = 0 par définition de r, on obtient y = f r (x) = f r (a). Comme F est stable par
f , il reste stable par f r et donc f r (a) ∈ F . Cela montre y ∈ F .
F ⊂ Ir : puisque f|F est un automorphisme, f (F ) = F et par suite pour tout n, F = f n (F ).
Or f r (F ) ⊂ Ir et donc F ⊂ Ir .
G ⊂ Kr : x ∈ G ⇒ f r (x) = 0 ⇒ x ∈ Kr .
Kr ⊂ G : tout x ∈ Kr peut s’écrire x = a + b avec a ∈ F et b ∈ G. On a f r (x) = 0 car x ∈ Kr
r ). Or f r est un automorphisme
et f r (b) = 0 car b ∈ G. Ainsi f r (a) = 0 et donc a ∈ Ker(f|F
|F
de F dans F car f|F l’est, donc a = 0. Finalement x = b ∈ G.
Puisque F = Ir , on remarque par stabilité de F que Ir = F = f (F ) = f (Ir ) ⊂ Ir+1 , ce qui
montre Ir = Ir+1 par décroissance de la suite (In ). On est donc dans le régime stationnaire
de (In ) et F = Ir = I. On a montré dans la question 10 que (Ir = Ir+1 ) ⇔ (Kr = Kr+1 )
(on peut montrer aussi directement cette dernière égalité), ce qui montre qu’on a atteint le
régime stationnaire de (Kn ) et G = Kr = K.
11
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
Corrigé de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble
des nombres réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
1
Soit f la fonction réelle définie par : 𝑓(𝑥) = 1+𝑥+𝑥 2
1. Donner un développement limité d’ordre 4 de f en 0.
1
On pose 𝑢 = 𝑥 + 𝑥 2 , pour obtenir 1+𝑢 = 1 − 𝑢 + 𝑢2 − 𝑢3 + 𝑢4 + 𝑜(𝑢4 ) et on calcule les
différentes puissances de u :
𝑢2 = 𝑥 2 + 2𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑜(𝑥 4 )
𝑢3 = 𝑥 3 + 3𝑥 4 + 𝑜(𝑥 4 )
𝑢4 = 𝑥 4 + 𝑜(𝑥 4 )
1
En conclusion : 1+𝑥+𝑥 2 = 1 − 𝑥 + 𝑥 3 − 𝑥 4 + 𝑜(𝑥 4 )
2. Etudier les variations de f, ainsi que sa convexité et donner l’allure de son graphe.
−(2𝑥+1)
La dérivée est égale à : 𝑓 ′ (𝑥) = (1+𝑥+𝑥 2 )2. La fonction est croissante avant -1/2 et décroissante
après. La fonction vaut 1 en zéro, et 4/3 en -1/2. L’axe Ox est une asymptote.
𝑥(𝑥+1)
La dérivée seconde est égale à : 𝑓 ′′ (𝑥) = 6 (1+𝑥+𝑥 2 )3 , la fonction est donc concave entre -1 et
0, sinon convexe.
1
y
1,5
1
0,5
0
3. La fonction f admet-elle un centre de symétrie ? un axe de symétrie ?
En examinant le graphe de la fonction, il ne peut pas y avoir de centre de symétrie, mais un
1
axe de symétrie. On pose 𝑋 = 𝑥 + 1/2 pour obtenir : 𝑦 = 𝑋 2 +3/4, la fonction étant paire, la
droite d’équation x=-1/2 est un axe de symétrie.
1
4. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
3/2
1
On pose 𝑋 = 𝑥 + 1/2 et on obtient : 𝐼 = ∫1/2 𝑋 2 +3/4 𝑑𝑋, puis on peut poser : 𝑡 =
D’où 𝐼 =
2
1
√3
2
2
√3
𝑋
1
(
)𝑑𝑡 = (𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 √3 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 3 )).
∫
√3 1/√3 𝑡 2 +1
√3
√
Exercice n° 2
On considère la fonction réelle définie par : 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑥2 − 5𝑥 + 6) .
1. Résoudre l’équation : 𝑓(𝑥) = 0
La fonction est définie pour x<2 ou x>3. La résolution de l’équation est équivalente à : :
(𝑥 2 − 5𝑥 + 6) = 1, soit : 𝑥 =
5±√5
2
2. Etudier les variations de f et donner l’allure de son graphe.
2𝑥−5
La fonction est définie pour : x<2 ou x>3. La dérivée est égale à : 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥2 −5𝑥+6
La fonction est décroissante pour x<2 et croissante pour x>3. La fonction admet une branche
parabolique dans la direction Ox. Les droites d’équation x=2 et x=3 sont des asymptotes
verticales. Le graphe est symétrique par rapport à la droite verticale x=5/2.
1
3. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
On fait d’abord une intégration par parties pour obtenir :
1
2 𝑥2 − 5 𝑥
1
2
[𝑥
𝐼 = 𝐿𝑛(𝑥 − 5𝑥 + 6)]0 − ∫ 2
𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 2 − 𝐽
0 𝑥 −5𝑥+6
2 𝑥 2 −5 𝑥
5
2 𝑥−5
1
1
On décompose la fraction rationnelle : 𝑥 2 −5 𝑥+6 = 2 + 2 (𝑥 2 −5 𝑥+6) + 2 (𝑥 2 −5 𝑥+6), il s’ensuit
que :
2
5
1 1
1
𝐿𝑛 3 + ∫ 2
𝑑𝑥)
2
2 0 𝑥 −5𝑥+6
𝐼 = 𝐿𝑛 2 − (2 −
Soit
1
1
1
1
1
𝐾=∫ 2
𝑑𝑥 = ∫ (
−
) 𝑑𝑥 = 2 𝐿𝑛2 − 𝐿𝑛3
𝑥−2
0 𝑥 −5𝑥+6
0 𝑥−3
En conclusion :
𝐼 = 𝐿𝑛 2 − (2 −
5
1
𝐿𝑛 3 + 𝐾) = −2 + 3𝐿𝑛3
2
2
Exercice n° 3
1
2
Soit la fonction réelle définie sur les réels positifs par : 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝐸 (𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
1. Etudier la continuité de f sur 𝑅 + .
1
- Si x >1, 𝐸 (𝑥) = 0, donc f=0 et la fonction est continue et dérivable sur cet ensemble.
1
1
1
- Si 𝑘+1 < 𝑥 < 𝑘 , 𝐸 (𝑥) = 𝑘, 𝑓 (𝑥) = 𝑘 𝑥 2 qui est continue et dérivable.
1
1
𝑘−1
- Si 𝑥 = 𝑘, 𝑓 (𝑥) = 𝑘, et lim
𝑓 (𝑥) = 𝑘 2 ≠ 𝑓(𝑥), la fonction n’est pas continue et donc non
1
𝑘
+
dérivable.
- Si x=0, 𝑓 (0) = 0. Pour 𝑥 ∈ ]0, 1[, 0 < 𝑥 ≤ 1⁄ 1 , 𝑒𝑡 𝑓(𝑥) ≤ 𝑥 2 . La fonction est
𝐸 (𝑥 )
continue.
2. Etudier la dérivabilité de f sur 𝑅 + .
La question de la dérivabilité ne se pose qu’en 0.
On a : lim
0
𝑓 (𝑥)−𝑓 (0)
𝑥
= lim
0
1
𝑥
𝑥 2 𝐸( )
𝑥
𝑛 𝑥2
𝑛
= lim 𝑥 = 1 (car 𝑛+1 < nx ≤ 1) et la fonction n’est pas
0
dérivable.
1
3. Calculer 𝐼 = ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
2 3 1/2
1 3 1
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [ 𝑥 ] + [ 𝑥 ]
1
1
3
3
1/3
1/2
1/2
1/2
3
3
1
1
1 1
3 2
227
𝐼 = 2( − ) + ( − ) = −
=
24 81
3 24
8 81 648
1/2
1
1/2
1
2
2
Exercice n° 4
On note E l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels. Autres notations :
𝑂𝑛 (𝑅) l’ensemble des matrices orthogonales de E,
𝐷𝑛 (𝑅) l’ensemble des matrices de E, diagonalisables dans R,
3
𝑆𝑛 (𝑅) = {𝑀 = (𝑎𝑖 𝑗) ∈ 𝐸 / 𝑎𝑖 𝑗) ≥ 0 , ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖 𝑗 = 1}
1. L’ensemble est-il convexe dans E ?
1
1
Non, car ±𝐼𝑛 ∈ 𝑂𝑛 (𝑅) et (2) 𝐼𝑛 + (2)(−𝐼𝑛 ) = 0 n’appartient pas à l’ensemble.
2. L’ensemble 𝐷𝑛 (𝑅) est-il convexe dans E ?
2 1
0 1
Non, car les matrices 𝐴 = (
) et 𝐵 = (
) sont diagonalisables et la moyenne de ces
0 0
0 2
1 1
deux matrices est 𝐶 = (
), matrice de Jordan non diagonalisable.
0 1
3. L’ensemble 𝑆𝑛 (𝑅) est-il convexe dans E ?
On vérifie aisément que cet ensemble est convexe.
1/2 1/4
4. Soit la matrice stochastique 𝑀 = (1/4 3/8
1/4 3/8
base de vecteurs propres de cette matrice M.
1/4
3/8). Déterminer les valeurs propres et une
3/8
Les valeurs propres sont : 0, 1 et ¼ et comme vecteurs propres associés (dans l’ordre de ces
valeurs propres) : (0, 1, -1) ; (1, 1, 1) et (-2, 1, 1). On remarque que l’on a une base orthogonale.
5. Montrer que toutes les matrices stochastiques admettent une même valeur propre quel que
soit n>1.
En additionnant toutes les colonnes sur la première colonne (par exemple), on peut mettre
1 − 𝜇 en facteur dans l’expression det(𝑀 − 𝜇 𝐼). Par conséquent 1 est une valeur propre
commune à toutes les matrices stochastiques.
Exercice n° 5
On note 𝑀𝑛 (𝑅) l’espace des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.
On rappelle qu’une matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝑅) est nilpotente si et seulement si ∃ 𝑝 ∈ 𝑁∗ / 𝐴𝑝 = 0 (le
plus petit p s’appelle l’indice nilpotent).
1. Si A est une matrice nilpotente, montrer que 𝐼𝑛 − 𝐴 est inversible et donner son inverse.
1
Pour |𝑥| < 1, 1−𝑥 = 1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 𝑛 + ⋯, d’où
(𝐼𝑛 − 𝐴)(𝐼𝑛 + 𝐴 + ⋯ 𝐴𝑝−1 ) = 𝐼𝑛 − 𝐴𝑝 = 𝐼𝑛
La matrice 𝐼𝑛 − 𝐴 est inversible et son inverse est : (𝐼𝑛 + 𝐴 + ⋯ 𝐴𝑝−1 ).
2. Soit A une matrice nilpotente, montrer que toutes ses valeurs propres sont nulles et déterminer
son polynôme caractéristique.
La matrice admet n valeurs propres complexes. Soit 𝜌 une valeur propre complexe, il existe un
vecteur propre associé qui vérifie : 𝐴 𝑢 = 𝜌 𝑢. On a par récurrence 𝐴𝑘 𝑢 = 𝜌𝑘 𝑢, donc 𝐴𝑝 𝑢 =
𝜌𝑝 𝑢 = 0 et 𝜌𝑝 = 0 , donc 𝜌 = 0 . Par conséquent toutes les valeurs propres sont nulles.
4
3. Soit A est une matrice nilpotente, montrer que : ∀ 𝑘 = 1, 2, … 𝑛, 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0, où Tr désigne
la trace.
Par hypothèse : ∃ 𝑝 ∈ 𝑁∗ /𝐴𝑝 = 0, ∀ 𝑘 = 1, 2, … 𝑛, (𝐴𝑘 )𝑝 = (𝐴𝑝 )𝑘 = 0 , donc la matrice
(𝐴𝑘 ) est nilpotente et donc toutes ses valeurs propres sont nulles. Par conséquent : 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0
3 9 −9
4. Soit 𝐴 = (2 0 0 ), calculer 𝐴𝑛 , ∀ 𝑛 ≥ 1.
3 3 −3
0
On vérifie aisément que cette matrice est nilpotente. 𝐴2 = 6 (1
1
0 0
3 −3) et 𝐴3 = 0
3 −3
5. Pour 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (𝑅) vérifiant AB=BA, où A est inversible et B nilpotente. Comparer
det(𝐴 + 𝐵) et det(𝐴).
On a : 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴, 𝐵 = 𝐴−1 𝐵𝐴, 𝐵𝐴−1 = 𝐴−1 𝐵
Comme B est nilpotente, 𝐶 = 𝐴−1 𝐵 est aussi nilpotente, car 𝐶 𝑝 = (𝐴−1 𝐵)𝑝 = 𝐴−1 𝐵 𝑝 = 0 :
Par conséquent : det(𝐼 + 𝐶) = (−1)𝑛 (−1)𝑛 = 1
On a : (det(𝐴 + 𝐵) = det 𝐴(𝐼 + 𝐴−1 𝐵) = det 𝐴 × det(𝐼 + 𝐶) = det 𝐴
Exercice n° 6
On note 𝑀𝑛 (𝑅) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.
Soit  l’application définie sur 𝑀𝑛 (𝑅) × 𝑀𝑛 (𝑅) par  ( A, B)  Tr ( A' B) où Tr désigne la trace
et A ' la transposée de la matrice A.
1. Vérifier que  est une forme bilinéaire.
2.  est-elle symétrique ? Définie positive ?
On a  ( A, B)  Tr ( A' B)  Tr ( A' B) '  Tr ( B ' A)   ( B, A) , donc elle est symétrique.
L’application est bilinéaire, car la trace est linéaire.
Si A  (ai j ) , alors A'  (a j i ) et A' A  (ci j   a k i a k j ) , d’où
k
 ( A, A)  Tr ( A A)   ci i   a  0 , la forme bilinéaire est donc définie positive.
'
2
ki
i
i, k
3. Déterminer la matrice M de  dans la base canonique de 𝑀2 (𝑅).
1 0
0 1
 0 0
 0 0
La base canonique est : E1  
 ; E 2  
 ; E3  
 ; E 4  

 0 0
 0 0
1 0
0 1
On obtient :
1 si i  j
 ( Ei , E j )  Tr ( Ei ' E j )  
 0 sinon
La matrice de l’application est donc la matrice unité d’ordre 4.
5
0
1/4 1/8 1/8
1/8 1/8
1/4
0
1
4. Soit la matrice 𝐵 = (
) et la matrice 𝑁 = 𝐵 + 2 𝐼 (où I est la
1/8 1/8 0
1/4
1/8 1/8 1/4 0
matrice unité d’ordre 4). Etudier la diagonalisation de N (on précisera ses valeurs propres).
1/2 1/4 1/8 1/8
4 2 1 1
1/4 1/2 1/8 1/8
1 2 4 1 1
On obtient : 𝑁 = (
) = 8(
). Comme la matrice est
1 1 4 2
1/8 1/8 1/2 1/4
1 1 2 4
1/8 1/8 1/4 1/2
symétrique, elle est diagonalisable et la somme des termes de chaque ligne (et chaque
colonne) est égale à 1, qui est donc une valeur propre. Par soustraction sur lignes ou colonnes,
on obtient les valeurs propres suivantes : 1, ¼ (double) et ½. On vérifie que la trace est bien
égale à 2.
6
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Croire ou savoir. Deux notions complémentaires ou opposées ? Vous illustrerez vos propos.
Sujet n° 2
Pour convaincre, discuter, émouvoir, décevoir aussi, la parole est-elle une force accessible
à chacune et à chacun ? Vous répondrez à la question.
Sujet n° 3
Le travail est-il un facteur d’inclusion sociale ? Répondez en argumentant.
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apporté à la rédaction et à
la présentation des résultats.
1
Problème d’analyse
Pour tout nombre réel α, on désigne par Eα le sous-espace vectoriel des fonctions f de [0, +∞[
dans R, continues et vérifiant
t 7→ f (t)e−αt est bornée sur [0, +∞[.
On note par Fα l’espace défini par
Fα =
\
Eβ .
β>α
On note de plus par Cα∞ l’espace vectoriel des fonctions indéfiniment dérivables sur ]α, +∞[. Pour
une telle fonction f , on notera f (p) , pour p ∈ N, sa dérivée p-ième avec la convention f (0) = f .
On définit la transformée de Laplace comme étant l’application L qui à tout élément f ∈ Fα
fait correspondre la fonction L[f ] définie sur ]α, +∞[ par
Z +∞
L[f ](s) =
e−st f (t)dt.
0
1
Partie 1
1. Montrer que α < δ ⇒ Eα ⊂ Eδ .
2. En déduire que Eα ⊂ Fα .
3. Soit α ∈ R, f ∈ Eα et s > α, montrer que l’intégrale
gente.
R +∞ −st
e f (t)dt est absolument conver0
4. Soit α ∈ R. Justifier que l’application L est bien définie sur Fα , c’est à dire que pour tout
f ∈ Fα , L[f ](s) est fini pour tout s > α.
5. Vérifier que pour f ∈ Fα et n ∈ N, la fonction t 7→ tn f (t) est dans Fα .
Partie 2
L’objectif de cette partie est d’obtenir l’expression de la dérivée de la transformée de Laplace,
ainsi que de la transformée de Laplace d’une dérivée, et de même pour les dérivées successives.
6. Soit s > α et (sn )n≥1 une suite quelconque dans ]α, +∞[ qui converge vers s. Pour p ∈ N fixé,
on introduit la suite de fonctions (∆p,n (s, t))n∈N définies sur ]α, +∞[×[0, +∞[ par
∆p,n (s, t) =
(−t)p e−st f (t) − (−t)p e−sn t f (t)
.
s − sn
Montrer que pour tout s > α,
Z +∞
Z +∞
lim
∆p,n (s, t)dt =
(−t)p+1 e−st f (t)dt.
n→+∞ 0
0
7. En déduire que L est une application de Fα dans Cα∞ et que pour tout p ∈ N,
(L[f ])(p) = (−1)p L[tp f (t)],
où l’on note abusivement tp f (t) la fonction t 7→ tp f (t) définie sur [0, +∞[.
8. Soit a ∈ R et ϕk la fonction définie sur [0, +∞[ par ϕk (t) = tk eat .
a) Préciser le plus petit α pour lequel ϕ0 ∈ Fα et déterminer L[ϕ0 ].
b) En déduire, pour tout k ≥ 0, le plus petit α pour lequel ϕk ∈ Fα et déterminer L[ϕk ].
9. Soit f une fonction continument dérivable sur [0, +∞[ telle que f ∈ Fα et f 0 ∈ Fα . Montrer
que pour tout s > α
L[f 0 ](s) = sL[f ](s) − f (0).
10. Soit f une fonction p fois continument dérivable sur [0, +∞[ telle que f (k) ∈ Fα pour tout
k = 1, 2, . . . , p. Donner l’expression de L[f (p) ] en généralisant l’égalité précédente.
2
Partie 3
On s’intéresse dans cette partie à l’application de la transformée de Laplace pour la résolution
d’équations différentielles.
On considère dans un premier temps l’équation différentielle
y (3) − 3y 00 + 3y 0 − y = et
avec y 00 (0) = y 0 (0) = y(0) = 1.
(1)
On admet que la solution y de (1) sur R est unique. On cherche à déterminer cette solution.
11. On cherche la solution y de (1) parmi les fonctions appartenant à F1 et dont les dérivées
successives appartiennent également à F1 .
a) Justifier que sous cette hypothèse on peut appliquer L à chaque terme de l’équation (1)
et préciser à quel ensemble l’image obtenue appartiendra.
b) Déterminer l’expression de L[y].
12. Donner toutes les solutions à (1) trois fois continument dérivables sur R.
On considère à présent l’équation différentielle, pour n ∈ N,
ty 00 (t) + (1 − t)y 0 (t) + ny(t) = 0.
(2)
13. On s’intéresse aux solutions y de l’équation différentielle (2) appartenant à F1 et dont les
dérivées successives appartiennent également à F1 .
a) Justifier que l’on peut appliquer L à chaque terme de l’équation (2) et préciser à quel
ensemble l’image obtenue appartiendra.
b) Montrer que L[y] vérifie une équation différentielle du premier ordre que l’on déterminera.
c) Trouver des solutions sur ]1, +∞[ de l’équation précédente et en déduire qu’il existe
un polynôme P non-nul, que l’on déterminera, tel que l’ensemble des fonctions {t 7→
λP (t), λ ∈ R} sont solutions de l’équation différentielle (2) sur R.
14. Pourquoi l’ensemble des solutions précédentes ne contient pas toutes les solutions de (2) sur
]0, +∞[ ?
15. On cherche finalement à trouver toutes les solutions de (2).
a) On suppose que y et z sont deux solutions non-colinéaires de (2) sur ]0, +∞[. On définit
le Wronskien par W (t) = y(t)z 0 (t) − z(t)y 0 (t). On suppose que W (t) 6= 0 pour tout t > 0.
Montrer que pour t > 0, W 0 (t)/W (t) = (t − 1)/t et en déduire la forme de W (t).
b) On note A(t) une primitive de t 7→ et /(tP 2 (t)) où P est le polynôme déterminé dans la
question 13 c). Donner l’ensemble des solutions de (2) sur un intervalle de ]0, +∞[ ne
contenant pas les racines de P .
3
2
Problème d’algèbre
Soit E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. On note 0 le vecteur nul de E et
idE l’endomorphisme identité de E. On note de plus f 0 = idE et pour n ∈ N∗ , f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f
(n fois).
Soit F un sous-espace vectoriel de E. On note f|F la restriction de f à F . Pour rappel, on dit
que F est stable par f si f (F ) ⊂ F .
Pour tout n ∈ N, on pose
Kn = Ker(f n ),
In = Im(f n ).
Partie 1
1. Montrer que :
a) la suite (Kn )n∈N est croissante ;
b) la suite (In )n∈N est décroissante.
2. Montrer que pour tout n ∈ N,
a) Kn est stable par f ;
b) In est stable par f .
On pose :
K=
[
Kn ,
I=
n∈N
\
In .
n∈N
3. Vérifier que K et I sont des sous-espaces vectoriels de E.
4. Montrer que K et I sont stables par f .
5. Etablir les équivalences
a) f injectif ⇔ K = {0} ;
b) f surjectif ⇔ I = E.
6. Pour les exemples suivants, déterminer I, K et montrer que
— E =I ⊕K;
q
— f|K est nilpotente, c’est à dire qu’il existe un entier naturel q tel que f|K
= 0;
— f|I est un automorphisme de I dans I.
a) f est une projection, c’est à dire f 2 = f .
b) Pour d ∈ N, E = Rd [X] est le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou
égal à d, et f est l’opérateur dérivation sur E.
7. Montrer que la propriété E = I ⊕ K est fausse si f est l’opérateur dérivation sur E = R[X],
où R[X] = ∪d∈N Rd [X].
4
Partie 2
Nous supposons dans la suite du problème que E est de dimension finie. Nous allons montrer
que les propriétés énoncées dans la question 6 sont toujours vraies dans ce cadre.
8. Soit n ∈ N. Montrer que (Kn = Kn+1 ) ⇒ (∀p ∈ N, Kn = Kn+p ).
9. Soit m = inf{n ∈ N, Kn = Kn+1 }. Montrer que m est fini et que pour tout p ∈ N, Km+p = K.
10. Soit n ∈ N et p ∈ N. Montrer que (Kn = Kn+p ) ⇔ (In = In+p ).
11. Justifier que pour tout p ∈ N, Im+p = I.
q
12. Montrer que f|K est nilpotente, c’est à dire qu’il existe un entier naturel q tel que f|K
= 0.
13. Montrer que f|I est un automorphisme de I dans I.
14. Vérifier que pour tout x ∈ E, il existe y ∈ E tel que f m (x) = f 2m (y).
15. En déduire que E = I ⊕ K.
16. Montrer la réciproque du résultat précédent, c’est à dire : si E = F ⊕ G avec F et G stables
par f et tels que f|F est un automorphisme et f|G est nilpotente, alors nécessairement F = I
et G = K.
5
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble des nombres
réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
1
Soit f la fonction réelle définie par : 𝑓(𝑥) = 1+𝑥+𝑥 2 .
1. Donner un développement limité d’ordre 4 de f en 0.
2. Etudier les variations de f, ainsi que sa convexité et tracer son graphe.
3. La fonction f admet-elle un centre de symétrie ? un axe de symétrie ?
1
4. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Exercice n° 2
On considère la fonction réelle f définie par : 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑥2 − 5𝑥 + 6) .
1. Résoudre l’équation : 𝑓(𝑥) = 0.
2. Etudier les variations de f et donner l’allure de son graphe.
1
3. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
1
Exercice n° 3
1
2
Soit la fonction réelle f définie sur les réels positifs par : 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝐸 (𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 0 , où E(x)
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
désigne la partie entière du nombre réel x.
1. Etudier la continuité de f sur 𝑅 + .
2. Etudier la dérivabilité de f sur 𝑅 + .
1
3. Calculer 𝐼 = ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
3
Exercice n° 4
On note E l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels. Autres notations :
𝑂𝑛 (𝑅) l’ensemble des matrices orthogonales de E,
𝐷𝑛 (𝑅) l’ensemble des matrices de E, diagonalisables dans R, et
𝑆𝑛 (𝑅) = {𝑀 = (𝑎𝑖 𝑗) ∈ 𝐸 / 𝑎𝑖 𝑗) ≥ 0 , ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖 𝑗 = 1}
s’appellent stochastiques).
(Les
matrices
de
cet
ensemble
1. L’ensemble 𝑂𝑛 (𝑅) est-il convexe dans E ?
2. L’ensemble 𝐷𝑛 (𝑅) est-il convexe dans E ?
3. L’ensemble 𝑆𝑛 (𝑅) est-il convexe dans E ?
1/2 1/4 1/4
4. Soit la matrice 𝑀 = (1/4 3/8 3/8). Déterminer les valeurs propres et une base de
1/4 3/8 3/8
vecteurs propres de cette matrice M.
5. Montrer que toutes les matrices de l’ensemble 𝑆𝑛 (𝑅) admettent une même valeur propre
quel que soit n>1.
Exercice n° 5
On note 𝑀𝑛 (𝑅) l’espace des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.
On rappelle qu’une matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝑅) est nilpotente si et seulement si ∃ 𝑝 ∈ 𝑁∗ / 𝐴𝑝 = 0 (le
plus petit p s’appelle l’indice nilpotent).
1. Si A est une matrice nilpotente, montrer que 𝐼𝑛 − 𝐴 est inversible et donner son inverse.
2. Soit A est une matrice nilpotente, montrer que toutes ses valeurs propres sont nulles et
déterminer son polynôme caractéristique.
2
3. Soit A est une matrice nilpotente, montrer que : ∀ 𝑘 = 1, 2, … 𝑛, 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0, où Tr désigne
la trace. On rappelle que la trace d’une matrice est la somme des éléments de sa diagonale.
3 9 −9
4. Soit 𝐴 = (2 0 0 ), calculer 𝐴𝑛 , ∀ 𝑛 ≥ 1.
3 3 −3
5. Pour 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (𝑅) vérifiant 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴, où A est inversible et B nilpotente. Comparer
det(𝐴 + 𝐵) et det(𝐴).
Exercice n° 6
On note 𝑀𝑛 (𝑅) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.
Soit  l’application définie sur 𝑀𝑛 (𝑅) × 𝑀𝑛 (𝑅) par  ( A, B)  Tr ( A' B) où Tr désigne la trace
et A ' la transposée de la matrice A.
1. Vérifier que  est une forme bilinéaire.
2.  est-elle symétrique ? Définie positive ?
3. Déterminer la matrice M de  dans la base canonique de 𝑀2 (𝑅).
0
1/4 1/8 1/8
1/8 1/8
1/4
0
1
4. Soit la matrice 𝐵 = (
) et la matrice 𝑁 = 𝐵 + 2 𝐼 (où I est la
1/8 1/8 0
1/4
1/8 1/8 1/4 0
matrice unité d’ordre 4). Etudier la diagonalisation de N (on précisera ses valeurs propres).
3
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Le texte ci-après de SOUGUEKO CHEK a été publié dans The conversation aujourd’hui.
Il doit être résumé en 150 mots (résumé au 1/6ème avec plus ou moins 10%). Vous
indiquerez en fin de copie le nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre écrit.
Changement climatique : Repenser l’agriculture africaine pour améliorer
la sécurité alimentaire
Le changement climatique risque d’entraver le développement agricole africain dans certaines
zones vulnérables. Une majorité de la population d’Afrique subsaharienne vit en effet dans des
régions rurales, où les revenus et l’emploi dépendent presque entièrement de l’agriculture
pluviale.
Le développement agricole et les systèmes alimentaires des pays d’Afrique subsaharienne
seront inexorablement confrontés à des défis considérables dans les décennies à venir. Alors
que la population mondiale devrait passer de 7,7 à 9,7 milliards en 2050, plus de la moitié de la
croissance démographique planétaire d’ici à 2050 devrait se produire en Afrique, selon
l’Organisation des Nations Unies.
1
Face à cette pression, le développement agricole fait déjà face à d’immenses défis, et l’on craint
que les changements climatiques ne les aggravent dans les zones vulnérables. Une majorité de
la population d’Afrique subsaharienne vit en effet dans des régions rurales, où les revenus et
l’emploi dépendent presque entièrement de l’agriculture pluviale.
Le secteur agricole emploie entre 65 et 70 % de la main-d’œuvre africaine et représente
généralement 30 à 40 % du produit intérieur brut. De multiples facteurs biophysiques, politiques
et socio-économiques se conjuguent pour accroître la vulnérabilité de cette région et risquent
d’entraver sa capacité d’adaptation.
Précipitations, sécheresses et désertification
Le climat africain est déterminé par trois phénomènes climatiques critiques qui sont liés entre
eux de manière complexe et qui ne sont pas encore entièrement compris. Il s’agit du mouvement
de la zone de convergence intertropicale, de l’oscillation australe El Niño et de l’alternance
annuelle des moussons. Chacun de ces phénomènes interagit avec l’autre, déterminant
les régimes régionaux de température et de précipitations.
À cela s’ajoutent les changements climatiques en cours, qui ont des répercussions sur les
précipitations et l’élévation du niveau de la mer, et entraînent une augmentation modérée à
extrême de la température mondiale.
Au-delà des hausses de température, les changements climatiques en Afrique subsaharienne
devraient entraîner des transformations dans l’intensité des précipitations, une incidence accrue
des événements extrêmes tels que les sécheresses et les inondations, le renforcement de la
désertification et l’altération de certains vecteurs de maladies entraînant des transformations
dans la transmission spatiale et temporelle des maladies infectieuses.
Un quart de la population sous-nourrie
L’un des plus grands défis auxquels nos sociétés sont actuellement confrontées est de fournir
en permanence à tous les citoyens des aliments nutritifs tout en préservant l’environnement. Ce
problème se pose avec une acuité particulière en Afrique subsaharienne, où l’on estime qu’une
personne sur quatre ne dispose toujours pas d’une alimentation suffisante pour mener une vie
saine et active.
Le terme « sécurité alimentaire » est défini comme l’accès physique, social et économique de
tous et à tout moment à une nourriture à même de satisfaire leurs besoins énergétiques et leurs
préférences alimentaires pour mener une vie saine et active.
Elle repose sur quatre piliers : la disponibilité alimentaire, l’accès à la nourriture, l’utilisation
de la nourriture et la stabilité de la disponibilité alimentaire et de l’accès aux aliments.
L’insécurité alimentaire quant à elle correspond à un manque d’accès à une nourriture
suffisante.
En dépit d’une incertitude sur les données climatiques, la littérature publiée permet de tirer
plusieurs points saillants : partout en Afrique, l’agriculture risque d’être affectée négativement
par les changements climatiques ; et dans la plupart des pays d’Afrique subsaharienne, le
rendement des cultures pourrait diminuer de 10 à 20 % d’ici à 2050 en raison du réchauffement.
Dans le cas du blé, ce rendement moyen pourrait baisser d’ici au milieu du siècle de 17 %, celui
du maïs de 5 %, celui du sorgho de 15 % et celui du millet de 10 %.
2
Même sans les changements climatiques, les agricultures africaines suscitent déjà de graves
inquiétudes en raison de la variabilité de l’approvisionnement en eau, de la dégradation des sols
et des sécheresses récurrentes. Il ne fait aucun doute que l’agriculture devra changer
radicalement pour répondre aux demandes futures.
D’autant plus si l’on tient compte des taux de croissance démographique – les plus élevés au
monde – et des modifications des habitudes alimentaires liées à l’urbanisation et à l’essor de la
classe moyenne africaine.
Régimes moins carnés et agroécologie
Le défi consiste non seulement à augmenter la production alimentaire, mais aussi à le faire de
manière durable, en réduisant nos émissions de gaz à effet de serre et en préservant la
biodiversité.
En effet, la quantité de nourriture disponible pour la consommation humaine est affectée par
l’attribution des cultures à d’autres utilisations non alimentaires, telles que l’alimentation
animale, la bioénergie et les utilisations industrielles. Au niveau mondial, seulement 67 % de
la récolte produite (en masse) ou 55 % des calories produites sont disponibles pour la
consommation humaine directe.
Le reste de la récolte a été alloué à l’alimentation animale (24 % en masse) et à d’autres
utilisations industrielles, y compris la bioénergie (9 % en masse). Dans les pays riches, de
nombreuses personnes consomment davantage de produits d’origine animale que ce qui est
recommandé sur le plan nutritionnel : c’est le cas du modèle alimentaire très carné nordaméricain ou argentin.
Or nous avons besoin de toute urgence de nouvelles alternatives pour relever les défis actuels
et futurs auxquels sont confrontés nos systèmes alimentaires. Des réformes seront donc
nécessaires, notamment l’évolution vers des régimes moins carnés, ce qui pourrait augmenter
la productivité alimentaire des terres cultivées et nourrir plus de personnes par hectare de terre
cultivée.
Dans ce contexte, l’agroécologie – qui vise à concevoir des systèmes alimentaires impliquant
moins de pressions sur l’environnement et un usage plus modéré des ressources naturelles –
sera indispensable pour améliorer la sécurité alimentaire et la nutrition ; en rétablissant et en
maintenant les écosystèmes, en offrant des moyens de subsistance durables aux petits
exploitants et en renforçant la résilience pour s’adapter aux changements climatiques.
Cette analyse a été rédigée par Sougueh Cheik, docteur en sciences de l’environnement à
l’Institut de recherche pour le développement (IRD).
3
INSTITUT
ÉCOLE NATIONALE ÉCOLE NATIONALE DE LA
SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE ET DE
SUPÉRIEURE DE
STATISTIQUE ET
L'ANALYSE ÉCONOMIQUE
STATISTIQUE ET
D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
PIERRE NDIAYE
D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ENSAE - DAKAR
ENSEA - ABIDJAN
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
Attention !
L'exercice 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l'exercice 1 étant notée
sur 1 point).
Toutefois cet exercice n'entre que pour un cinquième dans la note nale de cette
première épreuve de mathématiques.
Dans tous les exercices, R désigne l'ensemble des nombres réels, C l'ensemble des nombres
complexes et ln le logarithme népérien.
Exercice 1
x)
1. Calculer cos(ln
dx.
x
On fait le changement de variable t = ln x, dt = dx/x et il vient :
Z 2
1
Z 2
1
cos(ln x)
dx =
x
Z ln 2
cos tdt
0
2
= [sin t]ln
0
= sin(ln 2).
2. Donner la limite en +∞ de la fonction
√
x sin x − x
f (x) =
x2 − 1
√
sin x − 1/ x
f (x) =
.
x − 1/x
. On a
Quand x tend vers +∞, le numérateur reste borné et le dénominateur tend vers +∞, donc
lim
f (x) = 0.
1
x→+∞
3. Donner le comportement au voisinage de x = 1 de la même fonction.
Quand x tend vers 1, le numérateur de la fonction tend vers sin 1−1 < 0, et le dénominateur
tend vers 0 par valeurs inférieures ou supérieures selon que x est plus petit ou plus grand
que 1.
Par suite, la limite à gauche de f en 1 est +∞, et sa limite à droite est −∞.
4. Écrire le nombre complexe z = 2 − 2i sous forme trigonométrique.
√ !
2
2
z = 2 2
−
i
2
2
π
π √ = 2 2 cos −
+ i sin −
.
4
4
√
√
5. Si on vous demande d'étudier les variations de la fonction
f (x) = tan(x/2) cos(2x),
expliquez quel intervalle d'étude vous choisissez, et comment vous étendez vos résultats à
l'ensemble du domaine de dénition de f .
La fonction x 7→ tan(x/2) est impaire, périodique de période 2π et n'est pas dénie au points
multiples impairs de π. La fonction x 7→ cos(2x) est paire et de période π. La fonction f est
donc impaire et de période 2π, avec le même ensemble de dénition que x 7→ tan(x/2). Par
suite on étudie cette fonction sur l'intervalle [0, π[, on fait ensuite la symétrie par rapport à
l'origine sur l'intervalle ] − π, 0] et on reproduit la courbe obtenue par translation périodique
à tout l'ensemble de dénition.
6. Dériver la fonction dénie à la question précédente.
En combinant les formules de dérivation d'un produit et de dérivation des fonctions composées, il vient :
1
f 0 (x) = (1 + tan2 (x/2)) cos(2x) − 2 tan(x/2) sin(2x).
2
7. Dans un jeu opposant les joueurs A et B, on lance un dé équilibré. Si le dé tombe sur 5 ou
6, B réalise un score égal au résultat du lancer. Si le dé tombe sur 1, 2, 3 ou 4, A réalise un
score égal à k fois le résultat du lancer. Quelle doit être la valeur de k pour que le score soit
équitable, c'est-à-dire pour que la diérence entre les scores soit d'espérance nulle?
Le joueur A fait un score égal à 5 avec probabilité 1/6, un score égal à 6 avec probabilité
1/6, et un score égal à 0 avec probabilité 4/6. L'espérance de son score est donc égale à
0 × 4/6 + 5/6 + 6/6 = 11/6.
Le joueur B fait un score égal à k, 2k, 3k ou 4k avec probabilité 1/6, et un score égal à 0 avec
probabilité 2/6. L'espérance de son score est donc égale à 0×2/6+k/6+2k/6+3k/6+4k/6 =
10k/6.
Le jeu est équitable si les deux espérances de gain sont
égales, soit si k = 11/10.
p
8. On considère la suite dénie par u > 0 et u = u + · · · + u pour n ≥ 0. Cette suite
est-elle croissante? Est-elle convergente?
0
n+1
2
2
0
2
n
, donc u > u , et comme tous les termes de la suite sont évidemment
positifs,
et la suite est croissante. Par ailleurs, pour n ≥ 1, u −u > u et cette
diérence ne tend donc pas vers 0 quand n → +∞ : la suite (u ) n'est donc pas convergente,
elle tend vers l'inni, et il en est donc de même de la suite (u ).
9. On considère la suite dénie par u = 1/4 et u = u + 1/4 pour n ≥ 0. Étudier la
convergence de la suite (u ).
A l'évidence, on a u > 0 pour tout entier n. La fonction f (x) = x + 1/4 est croissante sur
R , donc la suite (u ) est monotone. Comme u > 1/4 = u , elle est croissante.
Si la suite converge ce sera vers une solution de l'équation f (l) = l, soit l + 1/4 = l. La
seule racine positive de cette équation est l = 1/2, et comme u < 1/2, la croissance de
f implique par une récurrence immédiate que u < 1/2 pour tout n. La suite est donc
croissante, majorée par 1/2, donc elle converge et sa limite est la seule possible, c'est-à-dire
1/2.
10. Résoudre l'equation x + 4x − 4x − 1 = 0 dans R, puis dans C.
x = 1 est solution évidente de cette équation, et on peut donc factoriser l'expression de
l'énoncé par x − 1.
Un calcul immédiat montre que x + 4x − 4x − 1 = 0 = (x − 1)(x + 5x + 1). Il reste donc
à calculer les solutions de l'équation x + 5x + 1 = 0. Le discriminant de cet équation
√ du
deuxième degré√est égal à 25 − 4 = 21, les solutions cherchées sont donc (x = −5 − 21)/2
et (x = −5 + 21)/2.
Les solutions réelles de l'équation donnée par l'énoncé sont donc x , x et x , et ce sont
aussi ses solutions complexes.
Exercice 2 Dans cet exercice, on se donne un nombre réel a, et on considère l'application
u2n+1 = u20 + · · · + u2n
un+1 > un
2
n+1
2
n
2
n+1
2
n
2
n
2
0
n
0
2
n
n+1
n
2
n
+
n
1
0
2
0
n
3
2
1
3
2
2
2
2
3
1
2
3
fa (x) = exp(xa ln x)
1. Donner le domaine de dénition de f , et calculer sa dérivée.
f (x) est dénie pour tout x > 0 et dérivable sur l'ensemble de son domaine de dénition.
Si a 6= 0, sa dérivée vaut
a
a
fa0 (x) = axa−1 ln x + xa−1 exp(xa ln x) = xa−1 (a ln x + 1) exp(xa ln x).
Si a = 0, f (x) = x donc f (x) = 1.
2. Montrer que toutes les courbes représentatives de f , a ∈ R, ont un point commun, que l'on
déterminera.
Pour tout a ∈ R, f (1) = exp(0) = 1. Donc toutes les courbes passent par le point de
coordonnées (1, 1).
3. Étudier la branche innie de f en +∞ selon les valeurs de a.
si a ≥ 0, lim x ln x = +∞ donc lim f (x) = +∞ ; de plus, si a > 0,
f (x)/x = exp((x −1) ln x) et lim
exp((x −1) ln x) = +∞, donc lim
f (x)/x =
+∞ et la courbe représentative de f admet une branche parabolique d'axe y y en +∞ ;
enn, f (x) = x et donc la courbe représentative de f est confondue avec son asymptote
d'équation y = x ;
0
0
0
a
a
a
x→+∞
a
a
a
x→+∞
x→+∞ a
a
a
0
0
3
x→+∞ a
0
si a < 0, lim x ln x = 0 par croissance comparée des fonctions puissance et logarithme, donc lim f (x) = 1 ; dans ce cas, la courbe représentative de f admet une
asymptote horizontale d'équation y = 1 en +∞.
4. Discuter, selon les valeurs de a, de la limite de f à droite de 0.
si a > 0, lim x ln x = 0 par croissance comparée des fonctions puissance et logarithme, donc lim f (x) = 1 ;
si a ≤ 0, lim x ln x = −∞ donc lim f (x) = 0.
5. Discuter, selon les valeurs de a, de la limite de f à droite de 0.
si a > 1, lim x (a ln x + 1) exp(x ln x) = 0 par croissance comparée des fonctions
puissance et logarithme, donc lim f (x) = 0 ;
si a = 1, f (x) = (ln x + 1) exp(x ln x) ; le premier terme de ce produit tend vers −∞ et
le second vers 1 quand x tend vers 0 par la droite; donc lim f (x) = −∞.
si 0 < a < 1, lim x (a ln x + 1) exp(x ln x) = −∞ comme produit de trois fonctions tendant respectivement vers = ∞, −∞ et 1, donc lim f (x) = −∞ ;
si a = 0, f (x) = 1 en tout point, donc également par limite à droite de 0;
si a < 0, par croissance comparée des fonctions puissance et exponentielle (ou en passant
aux logarithmes, en mettant ln x en facteur et en faisant tendre x vers 0 à droite) il vient
que lim f (x) = 0.
6. Ecrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
On sait déjà que f (1) = 1 pour tout réel a, et un calcul rapide montre qu'on a également
f (1) = 1 pour tout réel a : par suite, l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse
1 est, pour tout a, y = x.
7. Dresser les tableaux de variations de f correspondant à tous les cas que vous avez distingués
aux questions précédentes. On précisera notamment les valeurs des maximums et minimums
locaux de f
f (x) est, pour tout x > 0, du signe de (a ln x + 1). Si a > 0, on a donc f (x) < 0 ssi
x < exp(−1/a) et f (x) > 0 ssi x > exp(−1/a) : f est donc successivement décroissante
puis croissante et atteint son minimum en un point x compris entre 0 et 1. Si a < 0, c'est
le contraire qui se produit : f est successivement croissante puis décroissante, et atteint son
maximum en un point x supérieur à 1.
Dans tous les cas, x = exp(−1/a) correspond à un extremum local dont la valeur est
f (exp(−1/a)) = exp(−1/ae).
Les tableaux de variations se déduisent alors des considérations précédentes.
8. Représenter graphiquement sur une même gure les courbes représentatives correspondant à
ces tableaux de variations. On précisera notamment les pentes des courbes au point d'abscisse
0.
Les courbes se déduisent sans peine des informations contenues dans les tableaux correspondants.
9. Calculer f (10 ) et commenter le résultat obtenu au vu des résultats précédents.
x→+∞
a
x→+∞ a
a
a
x→0+
a
x→0+
a
a
x→0+
x→0+
x→0+ a
0
a
a−1
a
0
a
x→0+
0
1
x→0+
a−1
0
0
x→0+
x→0+
0
1
x→0+
0
a
a
0
a
a
0
a
a
a
0
a
0
a
0
a
a
a
a
a
a
−0,1
10
4
f−0,1 (1010 ) = exp
1010
−0.1
ln 1010
= exp 10−1 × 10 ln 10
= exp(ln 10)
= 10.
On a vu plus haut que comme −0.1 < 0, lim f (x) = 1. Le calcul ci-dessus montre
que la convergence vers l'asymptote est lente, d'autant que la fonction décroit depuis l'instant
x = exp(10)...
x→+∞ −0.1
Exercice 3
1. On considère l'application f qui à tout nombre réel x associe f (x) = x − 2x − 1/2.
(a) Calculer f (−1), f (−1/2), f (0) et f (1).
On trouve par un calcul immédiat : f (−1) = 1/2, f (−1/2) = 3/8, f (0) = −1/2 et
f (1) = −3/2.
(b) Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations de f .
p
p
f (x) = 3x − 2. f s'annule donc
− 2/3 et x = 2/3. Par suite, f
p aux points x = p
estpcroissante
p entre −∞ et − 2/3 ainsi qu'entre 2/3 et +∞, et décroissante entre
− 2/3 et 2/3. On en déduit le tableau de variations de f .
(c) Déduire de ce qui précède que l'équation f (x) = 0 admet exactement 3 solutions qu'on
placera par rapport à −1, −1/2, 0 et 1.
On a f (1) < 0 et lim f (x) = +∞ ; par ailleurs, p2/3 < 1 donc f est strictement croissante sur [1, +∞]. Comme f est continue, d'après le théorème des valeurs
intermédiairesp elle s'annule une unique
fois sur cet intervalle.
De même, − 2/3 < −1/2 < 0 < p2/3 donc f est continue et strictement décroissante
sur l'intervalle [−1/2, 0]. Comme f (−1/2) > 0 et f (0) < 0, le même argument montre
que f s'annule une unique fois sur cet intervalle.p
De ce qui précède, on tire également que f (− 2/3) > f (−1/2) > 0. Comme par
ailleurs limp f (x) = −∞, on déduit de la croissance et de la continuité de f entre
−∞ et − 2/3 que f s'annule une unique fois sur cet intervalle. Enn, f (−1) > 0
montre que cette dernière solution est inférieure à −1.
En résumé, f s'annule donc 3 fois : une fois en un point x situé à gauche de −1, une
fois en un point x situé entre −1/2 et 0, et une fois en un point x situé à droite de
1.
(d) Tracer la courbe représentative de f .
Elle se déduit aisément de ce qui précède.
2. On considère désormais la fonction de la variable réelle
3
0
2
0
x→+∞
x→−∞
1
2
3
g : x 7→
5
tan x
.
1 + 2 cos x
(a) Donner le domaine de dénition de g.
g(x) est bien dénie si tan x est bien dénie et 1+2 cos x 6= 0. La première condition est
satisfaite ssi x 6= π/2 + kπ, k ∈ Z ; la deuxième est satisfaite ssi cos x 6= −1/2, c'est-à
dire que x 6= −2π/3 + 2kπ et x 6= 4π/3 + 2kπ, toujours avec k ∈ Z. On en déduit le
domaine de dénition de g.
(b) Étudier la parité et la périodicité de g ; en déduire l'intervalle sur lequel vous allez
étudier cette fonction.
Il est clair que si x est dans le domaine de dénition de g, c'est aussi le cas de −x. Par
ailleurs, on a
g(−x) =
=
tan(−x)
1 + 2 cos(−x)
− tan x
1 + 2 cos x
et il s'ensuit que la fonction g est impaire. De plus, g est clairement périodique de
période 2π. On étudiera donc g sur l'intervalle [0, π] privé des points π/2 et 2π/3 où
elle n'est pas dénie.
(c) Étudier les branches innies de g.
Sur l'intervalle considéré, il sut de regarder les limites à droite et à gauche en π/2 et en
2π/3. Il vient facilement que lim
= +∞ ; lim
= −∞ ; lim
= −∞ ;
et lim
= +∞ : on a donc deux asymptotes verticales d'équations x = π/2 et
x = 2π/3 sur notre intervalle d'étude.
(d) Calculer la dérivée de g, et exprimer g (x) en fonction de cos x.
x→π/2−
x→2π/3−
x→π/2+
x→2π/3+
0
0
g (x) =
=
=
=
1+2 cos x
+ 2 tan x sin x
cos2 x
(1 + 2 cos x)2
1 + 2 cos x + 2 sin2 x cos x
cos2 x(1 + 2 cos x)2
1 + 2 cos x + 2(1 − cos2 x) cos x
cos2 x(1 + 2 cos x)2
−2 cos3 x + 4 cos x + 1
.
cos2 x(1 + 2 cos x)2
(e) En vous aidant des résultats de la question 1, montrer que g s'annule une unique fois
sur l'intervalle d'étude, en un point x situé entre π/2 et 2π/3.
D'après l'expression précédente, le signe de g est donc celui de −2 cos x + 4 cos x + 1 =
−2f (cos x).
Quand x parcourt l'intervalle d'étude [0, π], cos x décroît continûment de 1 à −1. Une
nouvelle application du théorème des valeurs intermédiaires dit qu'il passe une unique
fois par x , qui est la seule valeur annulant f (x) entre −1 et 1. Plus précisément, l'étude
faite à la question 1 montre que cette valeur est comprise entre −1/2 et 0, et pour avoir
−1/2 ≤ cos x ≤ 0 avec x ∈ [0, π], il faut avoir π/2 ≤ x ≤ 2π/3, ce qui achève la
démonstration.
6
0
0
0
2
3
(f) Dresser le tableau de variations de g.
Il résulte de la question précédente que g (x) > 0 ssi f (cos x) < 0 ce qui implique que
cos x ≥ cos x et nalement, étant donné la décroissance de cos sur [0, π], que x ≤ x ,
x désignant le point de [0, π] tel que cos x = x
(g) Donner l'allure de la courbe représentative de g.
Elle se déduit des questions précédentes sans oublier de compléter par symétrie par
rapport à l'origine (g est impaire), puis par translations horizontales de vecteur 2kπ,
0
0
0
0
0
2
k∈Z
Exercice 4
On considère la suite (I ) dénie par
n n≥0
Z 1
1
dx.
1 + x + xn
In =
0
1. Calculer I et I .
0
1
Z 1
I0 =
0
1
dx = ln 3 − ln 2.
2+x
Z 1
1
1
dx = ln 3.
1 + 2x
2
I1 =
0
2. Montrer que la suite (I ) est croissante.
Si 0 ≤ x ≤ 1 et n ∈ N, alors x ≥ x donc 1 + x + x ≥ 1 + x + x donc 1 + x1+ x ≤
1
et nalement I ≤ I . La suite (I ) est donc croissante.
1+x+x
3. Montrer que pour tout n,
Z
n n≥0
n
n+1
n
n+1
n
n+1
n
n+1
n n≥0
1
In ≤
0
1
dx.
1+x
Ce résultat
provient
immédiatement du fait que si 0 ≤ x ≤ 1 et n ∈ N, alors x ≥ 0 donc
1
1
≤
.
1+x+x
1+x
4. Conclure quant à la convergence de I .
On a donc
Z
1
n
n
n
1
In ≤
1+x
dx = ln 2.
La suite (I ) est donc croissante et majorée par ln 2, donc convergente.
5. Montrer que
Z
0
n n≥0
1
ln 2 − In =
0
xn
dx.
(1 + x + xn )(1 + x)
Z 1
ln 2 − In
Z 1
1
1
dx −
dx
=
1
+
x
1
+
x
+ xn
0
0
Z 1
xn
=
dx.
n
0 (1 + x)(1 + x + x )
7
6. Montrer que
Z 1
xn
dx = 0
n→+∞ 0 (1 + x + xn )(1 + x)
(In )n≥0
lim
et en déduire la limite de la suite
.
Pour tout x ∈ [0, 1], (1+x+x )(1+x) ≥ 1 donc 0 ≤ (1 + x +xx )(1 + x) ≤ x et nalement
n
n
n
n
Z 1
0≤
0
xn
dx ≤
(1 + x + xn )(1 + x)
Z 1
0
1
.
n+1
0
n+1
xn dx =
Le théorème dit "des gendarmes" permet alors de conclure au résultat demandé, d'où on
déduit immédiatement que lim I = ln 2.
Exercice 5 On considère la suite (u )
dénie par u = 1 et u = √u + n + 1 pour
tout n ≥ 0.
1. (a) Montrer que √n ≤ u ≤ √2n pour tout entier n ≥ 1.
Il est clair que, pour tout entier n, u > 0 et donc u = √n + 1 d'où la première
inégalité.
√
On montre
la
deuxième
inégalité
par
récurrence
:
u = 2 permet d'initialiser, et si
p
√
√
√
= u +n+1≤
2n + n + 1.
u ≤ 2n, alors u
Par ailleurs, pour√ tout n ∈ N, on a 2n ≤ n + 2n + 1 = (n + 1) . En passant à la racine
carrée, ilpvient 2n ≤ n + 1 ce qui, reporté dans l'équation de récurrence, montre que
u
≤ 2(n + 1), ce qui conclut la démonstration.
(b) En déduire que
s
√
n→+∞ n
n n≥0
n
n
n
n+1
1
n
n+1
n
2
2
n+1
u
√n ≤
n
2n − 2
n
1+
et donner la limite de u /√n quand n → ∞.
n
u
√n
n
√
un−1 + n
√
n
s
√
2n − 2
≤
+ 1.
n
≤
Le membre de droite de cette√inégalité converge vers 1, et comme on sait que u ≥ √n,
on conclut que lim u / n = 1.
2. (a) Calculer
u
n
n→+∞
n
lim
n→+∞
n−1
n
un−1
un−1
=√
n
n−1
.
√
n−1
.
n
La première fraction de cette expression tend vers 1 d'après la question précédente,
tandis que la deuxième tend vers 0. Par suite,
un−1
= 0.
n→+∞ n
lim
8
(b) Montrer que
√
lim
x→0
1+x−1
1
= .
x
2
On peut soit multiplier √numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du
numérateur (c'est-à-dire 1 + x + 1) pour√ lever l'indétermination, soit reconnaître la
dérivée au point 0 de l'application x 7→ 1 + x : les deux méthodes amènent directement au résultat demandé.
(c) Déduire des questions précédentes la valeur de
q
1 + un−1
n −1
lim
un−1
n
n→+∞
.
Il sut en eet de coupler les résultats des deux questions précédentes pour trouver
que
q
1 + un−1
n −1
lim
n→+∞
un−1
n
√
= lim
x→0
3. Montrer que
lim un −
√
n→+∞
un −
√
1
1+x−1
= .
x
2
1
n= .
2
√
un−1 + n − n
r
√
un−1
=
n
+1−1
n
hq
i
un−1
+
1
−
1
√ un−1
n
=
n
un−1
n
n
hq
i
un−1
+
1
−
1
n
un−1
= √
.
un−1
n
n
n =
√
Le second terme de ce produit tend vers 1/2 d'après la question 2c; quant au premier terme,
il vaut
u
√ n−1
n−1
r
n−1
n
et tend donc vers 1 d'après la question 1b : cela conclut la démonstration.
Exercice 6
On considère l'ensemble U des nombres complexes de module égal à 1. Soit a un nombre
complexe a tel que |a| =6 1.
1. Montrer que l'application f donnée par
a
fa (z) =
9
z+a
1 + āz
est bien dénie pour tout élément z de U.
f (z) est bien dénie ssi 1 + āz 6= 0, c'est-à-dire āz 6= −1. Mais comme z ∈ U, |āz| = |ā| =
|a| =
6 1 par hypothèse. Comme | − 1| = 1, on ne peut donc pas avoir āz = −1, et f (z) est
bien dénie pour tout élément z de U.
2. Montrer que, si z ∈ U, alors z̄ = 1/z.
Si, z ∈ U z s'écrit sous forme trigonométrique z = cos θ + i sin θ et donc z̄ = cos θ − i sin θ .
En multipliant et divisant par la quantité conjuguée, on trouve que
a
a
z̄ =
(cos θ − i sin θ)(cos θ + i sin θ)
cos2 θ + sin2 θ
1
=
= .
cos θ + i sin θ
cos θ + i sin θ
z
3. En déduire que si z ∈ U, alors f (z) ∈ U.
Si z ∈ U, alors
a
fa (z) =
=
=
z+a
z z1 + ā
z+a
z (z̄ + ā)
z+a
.
z (z + a)
Comme |z| = 1 et |z + a| = |z + a|, le module d'un produit étant le produit des modules, on
en conclut que |f (z)| = 1 d'où le résultat demandé.
4. Réciproquement, montrer que tout élément t de U est l'image par f d'un unique élément
z de U que l'on déterminera.
a
a
z+a
1 + āz
⇔ t + āzt = z + a
t = fa (z) ⇔ t =
⇔ z(1 − āt) = t − a
t−a
⇔ z=
.
1 − āt
Notons que comme | − a| 6= 1, le dénominateur de cette dernière expression n'est pas égal
à 0 comme nous l'avons vu à la question 1. Par suite on a bien déterminé l'unique nombre
complexe z tel que f (z) = t. Par ailleurs, z = f (t), et comme t ∈ U, on déduit de la
question 3 que z ∈ U , ce qui achève le raisonnement.
5. Déduire de ce qui précède que f est une bijection de U sur U et préciser sa bijection
réciproque.
Nous venons de montrer que pour tous z et t dans U, t = f (z) ssi z = f (t), ce qui prouve
que f est une bijection de U sur U dont la bijection réciproque est f .
6. Donner l'ensemble des points z dont l'image par f appartient à l'ensemble {−1, 1, i, −i}
dans chacun des cas suivants :
10
−a
a
a
a
−a
−a
a
a
(a) a = 2 ;
D'après ce qui précède, il sut de calculer les images par f des points considérés, et
on trouve respectivement les valeurs de z égales à −1, 1, (−4 − 3i)/5 et (−4 + 3i)/5.
(b) a = 2i ;
De même, en calculant les images par f des points considérés, on trouve respectivement les valeurs de z égales à (3 − 4i)/5, (−3 − 4i)/5, i et −i.
(c) a = 1 + i.
Le même procédé donne les résultats (−3 − 4i)/5, −1, −i et (−4 − 3i)/5.
−2
−2i
Exercice 7
On joue suivant la règle suivante : on est en possession d'un pion initialement placé au point
0 sur une règle graduée; à chaque lancer du dé, on avance de 3 cases si le résultat est un multiple
de 3, et on recule de 2 cases dans le cas contraire. Le joueur ou la joueuse gagne si, au bout de 5
lancers, le pion est sur une case positive ou nulle.
1. Soit X la variable aléatoire égale à 3 si le résultat du k−ième lancer est un multiple de 3,
et à −2 sinon. Donner la loi de X .
X est égal à 3 si le dé tombe sur 3 ou 6. La loi de X est donc donnée par P (X = 3) =
2/6 = 1/3 et P (X = −2) = 1 − P (X = 3) = 2/3.
2. Pour tout entier k, on pose Y = (X + 2)/5. Donner la loi de Y ainsi que la loi de la
variable
X
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
5
S=
Yk .
k=0
Si X = −2, Y = 0 ; si X = 3, Y = 1. Y est donc une variable de loi de Bernoulli de
paramètre 1/3, qui vaut 1 quand le k−ième lancer fait avancer le pion (on appellera cette
situation un succès).
On en déduit que S, qui représente le nombre de succès en 5 lancers indépendants, est de
loi binomiale de paramètres (5, 1/3).
3. En déduire la probabilité de gagner à ce jeu.
P
La
position
du
pion
au
bout
de
5
lancers
est
égale
à
X . On a X = 5Y − 2, donc
P
X = 5S − 10 = 5(S − 2).
On en déduit qu'on a gagné si et seulement si S ≥ 2. Or
k
5
k=1
k
k
k
k
5
k=1
k
k
k
k
P (S ≥ 2) = 1 − P (S = 0) − P (S = 1)
5
4 2
2
1
= 1−
−5
3
3
3
≃ 0, 54
4. Pouvez-vous étendre votre raisonnement :
(a) au cas où on avance de 3 cases si le résultat est 6, et on recule de 2 cases dans le cas
contraire?
11
(b) au cas où on gagne si le pion est sur une case positive après 10 lancers?
Donner la probabilité de gain dans chacune de ces situations.
Pour le cas (a), On fait exactement le même raisonnement, si ce n'est que S est de loi
binomiale de paramètres (5, 1/6). On trouve alors une probabilité de gain égale à 0, 20.
Pour le cas (b), S est de loi binomiale de paramètres (10, 1/6) et un calcul analogue au
précédent montre que l'on gagne si S ≥ 4. Après calculs, on trouve que la probabilité
de gagner est égale à 0, 44.
12
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
CORRIGÉ de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Dans toute l’épreuve, Ln désigne le logarithme népérien, e le nombre de Néper, R l’ensemble
des nombres réels et N l’ensemble des entiers naturels.
Exercice n° 1
1
Soit l’application f définie sur R par : 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥
1. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
Cette hyperbole admet les droites y=1 et x=0 comme asymptotes. La fonction et décroissante.
2. Le graphe de f admet-il un centre de symétrie ?
Le point de coordonnées (0, 1) est un centre de symétrie (fonction impaire dans le changement
de repère).
1
3. Calculer lim+ ∫𝜖 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.
𝜖→0
1
On a : lim+ ∫𝜖 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim+[𝑥 + 𝐿𝑛 𝑥]1𝜖 = lim+ (1 − 𝜖 − 𝐿𝑛 𝜖) = +∞.
𝜖→0
𝜖→0
𝜖→0
4.Etudier la convergence de la suite (u n ) nN définie par : 𝑢0 > 0 et la relation de
récurrence : 𝑢𝑛+1 = 𝑓 (𝑢𝑛 ).
On vérifie aisément par récurrence que la suite est toujours à termes strictement positifs.
Si la suite converge, elle converge vers un point fixe l de la fonction, à savoir : 𝑙 =
1+√5
2
Comme la fonction est décroissante, la suite n’est pas monotone, donc on étudie la suite des
termes de rang pair et celle de rang impair.
Si 𝑢0 > 𝑙, on vérifie que l’on a : 𝑢2𝑛 > 𝑙 et que la suite est décroissante, donc elle converge
vers l. Raisonnement analogue avec la suite des termes de rang impair, les deux suites sont
adjacentes et la suite (u n ) nN converge vers l.
Raisonnement du même ordre si 𝑢0 < 𝑙 (dans le cas où 𝑢0 = 𝑙, la suite est stationnaire).
Exercice n° 2
1
On considère l’application f définie sur R par : 𝑓(𝑥) = 1+𝑒 −𝑎𝑥 , où a est un paramètre réel
strictement positif.
1
1. Etudier les variations et la convexité de f.
𝑎 𝑒 −𝑎𝑥
La dérivée est égale à : 𝑓 , (𝑥) =
> 0, la fonction est donc croissante avec deux
−𝑎𝑥
−𝑎𝑥
(1+𝑒
)(1+𝑒
)
asymptotes horizontales en 0 et 1.
La fonction est convexe sur les réels négatifs et concave sur les réels positifs.
2. Montrer que f admet un centre de symétrie (que l’on précisera).
Le point A(0, ½) est un centre de symétrie. On vérifie avec le changement de variables X=x et
Y=y-1/2 que la fonction est impaire.
3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation : 𝑓 (𝑥) = 𝑥 .
Résoudre cette équation est équivalent à : 𝑥 + 𝑥 𝑒 −𝑎𝑥 − 1 = 0
On étudie la fonction 𝑧 = 𝑥 + 𝑥 𝑒 −𝑎𝑥 − 1 pour x>0.
Avec le tableau des variations, la fonction z est croissante de -1 à plus l’infini. D’après le
théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution comprise entre zéro et 1.
1
4. Calculer 𝐼(𝑎) = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
On effectue le changement de variable : 𝑢 = 𝑒 𝑎𝑥 pour obtenir
1
1
1 + 𝑒𝑎
𝑎
𝐼(𝑎) = [𝐿𝑛 (1 + 𝑢)]1𝑒 = 𝐿𝑛 (
)
𝑎
𝑎
2
Exercice n° 3
Soit f : 0,    R définie par : f (t ) 
Ln t
si t  1 et
t 1
f (1)  1 (où Ln désigne le
logarithme népérien).
x2
Soit F : 0,    R définie par : F ( x)   f (t ) dt
x
1. Etudier la continuité de f sur 0,  
Le seul problème est au point 1.
Ln t
Ln (1  u )
u
Lim f (t )  Lim
 Lim
 Lim  1  f (1) , donc f est continue sur 0,  
t 1
t 1 t  1
u 0
u 0 u
u
2. Déterminer le signe de f et celui de F sur 0,   .
Si t  1 , t  1  0 et Ln t  0 , donc la fonction f est positive et
Si 0  t  1, t  1  0 et Ln t  0 , donc la fonction f est encore positive.
Comme x  0 et f positive, F est positive.
3. Montrer que F est dérivable et calculer sa dérivée.
F est dérivable comme composée de fonctions dérivables et pour x différent de 1 :
𝐿𝑛(𝑥 2 )
𝐿𝑛𝑥
𝐹 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥) = 2𝑥. 𝑥 2 −1 − 𝑥−1 =
𝐹 ′ (1) = 𝐿𝑖𝑚
𝑥→1
𝐹(𝑥)−𝐹(1)
𝑥−1
= 𝐿𝑖𝑚
𝑥→1
′
(𝑥 2 −𝑥)𝑓(𝑐(𝑥))
(𝑥−1)
(3𝑥−1)𝐿𝑛𝑥
𝑥 2 −1
, et
= 𝐿𝑖𝑚𝑥. 𝑓(𝑐(𝑥)) = 1, car f est continue.
𝑥→1
4. La fonction dérivée 𝐹 est-elle continue ?
La question ne se pose qu’en x=1. On a :
(3𝑥−1)𝐿𝑛 𝑥
𝐿𝑛 𝑥
𝐿𝑛 (1+𝑢)
𝐿𝑖𝑚 𝐹 ′ (𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 𝑥 2 −1 = 𝐿𝑖𝑚 (𝑥−1) = 𝐿𝑖𝑚 𝑢
= 1 = 𝐹 ′ (1), la fonction est donc
𝑥→1
𝑥→1
𝑥→1
𝑢→0
continue.
2
5. Etudier les variations de F sur 0,   .
Pour 0 < 𝑥 < 1/3, 3𝑥 − 1 < 0, 𝐿𝑛𝑥 < 0 et 𝑥 − 1 < 0, donc F est décroissante.
Pour 1/3 < 𝑥 < 1,3𝑥 − 1 > 0, 𝐿𝑛𝑥 < 0 et 𝑥 − 1 < 0, donc F est croissante.
Pour x  1, 3𝑥 − 1 > 0, 𝐿𝑛𝑥 > 0 et 𝑥 − 1 > 0, donc F est croissante.
Exercice n° 4
1. Dans une tombola de 100 billets, deux sont gagnants. Combien faut-il acheter de billets pour
avoir une probabilité supérieure à ½ d’obtenir au moins un billet gagnant ?
Soit n le nombre de billets et 𝑝𝑛 la probabilité d’avoir au moins un billet gagnant.
𝐶𝑛
(100−𝑛)(99−𝑛)
100
100×99
On a : 𝑝𝑛 = 1 − 𝐶 𝑛98 = 1 −
.
L’inéquation : 𝑝𝑛 ≥ 1/2 revient à résoudre : 𝑛2 − 199 𝑛 + (50 × 99) ≤ 0 et on obtient 29
billets.
2. Dans une autre tombola composée également de 100 billets, sachant que le prix d’un billet
est de 1 euro et qu’un billet gagnant rapporte 20 euros, combien faut-il de billets gagnants dans
cette loterie pour que l’espérance de gain des joueurs soit la plus proche de zéro.
L’espérance est égale à : 𝐸(𝑋) = (−1)(100 − 𝑝) + 20 𝑝 = 0, où p est le nombre de billets
gagnants. Il faut 5 billets.
3. Dans une troisième tombola contenant 1000 billets, il y a 3 billets gagnants qui rapportent
chacun 50 euros et 20 autres billets gagnants qui rapportent chacun 20 euros. Les autres billets
sont perdants.
Sachant que le prix d’achat d’un billet est toujours d’un euro, calculer l’espérance de gain pour
cette tombola.
977
3×50
20×20
On a : 𝐸 (𝑋) = (−1) 1000 + 1000 + 1000 = −0,427
Exercice n° 5
Les trois questions sont indépendantes.
1. Résoudre dans R l’équation : 𝐿𝑛 (𝑥 2 − 1) − 𝐿𝑛 (2𝑥 − 1) + 𝐿𝑛 2 = 0.
𝑥 2 −1
1
L’équation est définie pour x>1 et équivalente à : 2𝑥−1 = 2
On obtient : 𝑥 =
1+√3
2
𝑥 + 𝑦 + 1 = −4
(𝑥 + 2)(𝑦 − 1) = −45
(𝑥 + 2) + (𝑦 − 1) = −4
Le système s’écrit aussi : {
(𝑥 + 2)(𝑦 − 1) = −45
En posant X=x+2 et Y=y-1, il s’agit de trouver deux nombres connaissant la somme et le produit.
On obtient -9 et 5. Par conséquent on a deux solutions : (x=-11, y=6) et (x=3, y=-8).
2. Résoudre dans 𝑅 2 , le système : {
3
3. Résoudre dans R l’inéquation : (𝑚 − 3)𝑥 2 − 2 𝑚 𝑥 + 12 ≥ 0, où m est un paramètre réel.
On obtient les résultats suivants :
- Si m=3, alors 𝑆 = ]−∞, 2]
- Si m=6, alors 𝑆 = 𝑅
6
- Si m<3, alors 𝑆 = [𝑚−3 , 2]
6
- Si 3<m<6, alors 𝑆 = ]−∞, 2] ∪ [𝑚−3 , +∞[
6
- Si m>6, alors 𝑆 = ]−∞, 𝑚−3] ∪ [2, +∞[
Exercice n° 6
On cherche à déterminer toutes les fonctions numériques continues f qui vérifient :
x
f ( x)  1   ( x  t ) f (t ) dt
0
Supposons que f soit une solution de cette équation, alors
x
x
0
0
f ( x)  1  x  f (t ) dt   tf (t ) dt et en particulier f (0)  1 .
Le terme de droite de l’équation précédente étant dérivable, f est dérivable.
x
x
Et f ( x)   f (t ) dt  xf ( x)  xf ( x) , soit f ( x)   f (t ) dt  0 .
'
'
0
0
x
Posons y( x)   f (t ) dt , on obtient l’équation différentielle : y '' ( x)  y( x)  0 .
0
La solution générale est y ( x)  A cos x  B sin x et avec les conditions y (0)  0 et
y ' (0)  1 , y ( x)   sin x et f ( x)   cos x
On vérifie aisément que f ( x)   cos x est solution de l’équation proposée.
4
ÉCOLE NATIONALE
SUPÉRIEURE DE
STATISTIQUE ET
D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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ÉCOLE NATIONALE DE LA
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SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE ET
D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
Attention !
L'exercice 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l'exercice 1 étant notée
sur 1 point).
Toutefois cet exercice n'entre que pour un cinquième dans la note nale de cette
première épreuve de mathématiques.
Dans tous les exercices, R désigne l'ensemble des nombres réels, C l'ensemble des nombres
complexes et ln le logarithme népérien.
Exercice 1
1. Calculer
Z 2
1
cos(ln x)
dx.
x
√
x sin x − x
2. Donner la limite en +∞ de la fonction f (x) =
.
x2 − 1
3. Donner le comportement au voisinage de x = 1 de la même fonction.
4. Écrire le nombre complexe z = 2 − 2i sous forme trigonométrique.
5. Si on vous demande d'étudier les variations de la fonction
f (x) = tan(x/2) cos(2x),
expliquez quel intervalle d'étude vous choisissez, et comment vous étendez vos résultats à
l'ensemble du domaine de dénition de f .
6. Dériver la fonction dénie à la question précédente.
1
7. Dans un jeu opposant les joueurs A et B , on lance un dé équilibré. Si le dé tombe sur 5 ou
6, B réalise un score égal au résultat du lancer. Si le dé tombe sur 1, 2, 3 ou 4, A réalise un
score égal à k fois le résultat du lancer. Quelle doit être la valeur de k pour que le score soit
équitable, c'est-à-dire pour que la diérence entre les scores soit d'espérance nulle ?
8. On considère la suite dénie par u0 > 0 et un+1 =
est-elle croissante ? Est-elle convergente ?
p
u20 + · · · + u2n pour n ≥ 0. Cette suite
9. On considère la suite dénie par u0 = 1/4 et un+1 = u2n + 1/4 pour n ≥ 0. Étudier la
convergence de la suite (un ).
10. Résoudre l'equation x3 + 4x2 − 4x − 1 = 0 dans R, puis dans C.
Exercice 2
Dans cet exercice, on se donne un nombre réel a, et on considère l'application
fa (x) = exp(xa ln x)
1. Donner le domaine de dénition de fa , et calculer sa dérivée.
2. Montrer que toutes les courbes représentatives de fa , a ∈ R, ont un point commun, que l'on
déterminera.
3. Étudier la branche innie de fa en +∞ selon les valeurs de a.
4. Discuter, selon les valeurs de a, de la limite de fa à droite de 0.
5. Discuter, selon les valeurs de a, de la limite de fa0 à droite de 0.
6. Ecrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
7. Dresser les tableaux de variations de fa correspondant à tous les cas que vous avez distingués
aux questions précédentes. On précisera notamment les valeurs des maximums et minimums
locaux de fa .
8. Représenter graphiquement sur une même gure les courbes représentatives correspondant à
ces tableaux de variations. On précisera notamment les pentes des courbes au point d'abscisse
0.
9. Calculer f−0,1 (1010 ) et commenter le résultat obtenu au vu des résultats précédents.
Exercice 3
1. On considère l'application f qui à tout nombre réel x associe f (x) = x3 − 2x − 1/2.
(a) Calculer f (−1), f (−1/2), f (0) et f (1).
(b) Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations de f .
(c) Déduire de ce qui précède que l'équation f (x) = 0 admet exactement 3 solutions qu'on
placera par rapport à −1, −1/2, 0 et 1.
(d) Tracer la courbe représentative de f .
2. On considère désormais la fonction de la variable réelle
g : x 7→
tan x
.
1 + 2 cos x
(a) Donner le domaine de dénition de g .
(b) Étudier la parité et la périodicité de g ; en déduire l'intervalle sur lequel vous allez
étudier cette fonction.
2
(c) Étudier les branches innies de g .
(d) Calculer la dérivée de g , et exprimer g 0 (x) en fonction de cos x.
(e) En vous aidant des résultats de la question 1, montrer que g 0 s'annule une unique fois
sur l'intervalle d'étude, en un point x0 situé entre π/2 et 2π/3.
(f) Dresser le tableau de variations de g .
(g) Donner l'allure de la courbe représentative de g .
Exercice 4
On considère la suite (In )n≥0 dénie par
Z 1
In =
0
1
dx.
1 + x + xn
1. Calculer I0 et I1 .
2. Montrer que la suite (In )n≥0 est croissante.
3. Montrer que pour tout n,
Z
1
In ≤
0
4. Conclure quant à la convergence de In .
5. Montrer que
Z
1
ln 2 − In =
0
6. Montrer que
Z 1
lim
n→+∞ 0
1
dx.
1+x
xn
dx.
(1 + x + xn )(1 + x)
xn
dx = 0
(1 + x + xn )(1 + x)
et en déduire la limite de la suite (In )n≥0 .
Exercice 5
On considère la suite (un )n≥0 dénie par u0 = 1 et un+1 =
tout n ≥ 0.
√
√
1. (a) Montrer que n ≤ un ≤ 2n pour tout entier n ≥ 1.
(b) En déduire que
s
√
u
√n ≤
n
1+
2n − 2
n
√
et donner la limite de un / n quand n → ∞.
2. (a) Calculer
lim
n→+∞
(b) Montrer que
√
lim
x→0
un−1
.
n
1+x−1
1
= .
x
2
(c) Déduire des questions précédentes la valeur de
q
1 + un−1
n −1
lim
n→+∞
3
un−1
n
.
√
un + n + 1 pour
3. Montrer que
lim un −
√
n→+∞
1
n= .
2
Exercice 6
On considère l'ensemble U des nombres complexes de module égal à 1. Soit a un nombre
complexe a tel que |a| =
6 1.
1. Montrer que l'application fa donnée par
fa (z) =
z+a
1 + āz
est bien dénie pour tout élément z de U.
2. Montrer que, si z ∈ U, alors z̄ = 1/z .
3. En déduire que si z ∈ U, alors fa (z) ∈ U.
4. Réciproquement, montrer que tout élément t de U est l'image par fa d'un unique élément
z de U que l'on déterminera.
5. Déduire de ce qui précède que fa est une bijection de U sur U et préciser sa bijection
réciproque.
6. Donner l'ensemble des points z dont l'image par fa appartient à l'ensemble {−1, 1, i, −i}
dans chacun des cas suivants :
(a) a = 2 ;
(b) a = 2i ;
(c) a = 1 + i.
Exercice 7
On joue suivant la règle suivante : on est en possession d'un pion initialement placé au point
0 sur une règle graduée ; à chaque lancer du dé, on avance de 3 cases si le résultat est un multiple
de 3, et on recule de 2 cases dans le cas contraire. Le joueur ou la joueuse gagne si, au bout de 5
lancers, le pion est sur une case positive ou nulle.
1. Soit Xk la variable aléatoire égale à 3 si le résultat du k−ième lancer est un multiple de 3,
et à −2 sinon. Donner la loi de Xk .
2. Pour tout entier k, on pose Yk = (Xk + 2)/5. Donner la loi de Yk ainsi que la loi de la
variable
S=
5
X
Yk .
k=0
3. En déduire la probabilité de gagner à ce jeu.
4. Pouvez-vous étendre votre raisonnement :
(a) au cas où on avance de 3 cases si le résultat est 6, et on recule de 2 cases dans le cas
contraire ?
(b) au cas où on gagne si le pion est sur une case positive après 10 lancers ?
Donner la probabilité de gain dans chacune de ces situations.
4
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2023
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
La reconfiguration des équilibres internationaux à l’œuvre actuellement, une guerre aux
portes de l’Europe, la résurgence de multiples conflits locaux, sont autant de signes
préoccupants de bouleversements dont on ne maitriserait que partiellement l’issue. La
relance d’une gouvernance mondiale suffirait-elle selon vous à apaiser ces tensions ?
Quelles autres mesures d’accompagnement à mettre en place s’avéreraient nécessaires
selon vous ?
Sujet n° 2
La dépendance de nos pays à la production étrangère dans des secteurs stratégiques, la
forte augmentation des coûts de l’énergie et ses effets sur les transports, ont posé la
question d’une remise en cause partielle de la mondialisation au profit d’une
relocalisation d’activités et d’une réindustrialisation dans les pays concernés. Quelles
stratégies devraient-elles être mise en place par les Etats dans cette configuration selon
vous en tenant compte d’une révision des échanges mondiaux dans un sens plus
équilibré ?
Sujet n° 3
La planète compte actuellement 8 milliards d’individus répartis dans des zones
géographiques dont certaines sont régulièrement soumises aux effets du changement
climatique provoquant à terme le déplacement probable des populations concernées.
Quelles mesures pourrait-on prendre au sein de la communauté des Etats pour anticiper
le mieux possible les conséquences du changement climatique sur les populations
localisées dans les zones géographiques touchées ? Quelles solutions pourrait-on
apporter au nécessaire déplacement de populations dans les zones qui subiront les
conséquences les plus graves du changement climatique ?
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Dans toute l’épreuve, Ln désigne le logarithme népérien, e le nombre de Néper, R l’ensemble
des nombres réels, C l’ensemble des nombres complexes et N l’ensemble des entiers naturels.
Exercice n° 1
1
Soit l’application f définie sur R par : 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥
1. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
2. Le graphe de f admet-il un centre de symétrie ?
1
3. Calculer lim+ ∫𝜖 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.
𝜖→0
4. Etudier la convergence de la suite (u n ) nN définie par :
𝑢0 > 0 et la relation de récurrence : 𝑢𝑛+1 = 𝑓 (𝑢𝑛 ).
Exercice n° 2
1
On considère l’application f définie sur R par : 𝑓(𝑥) = 1+𝑒 −𝑎𝑥 , où a est un paramètre réel
strictement positif.
1. Etudier les variations et la convexité de f.
2. Montrer que f admet un centre de symétrie (que l’on précisera).
3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation : 𝑓 (𝑥) = 𝑥 .
1
4. Calculer 𝐼(𝑎) = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Exercice n° 3
Soit f : 0,    R définie par : f (t ) 
Ln t
si t  1 et f (1)  1 .
t 1
x2
Soit F : 0,    R définie par : F ( x)   f (t ) dt
x
1. Etudier la continuité de f sur 0,   .
2. Déterminer le signe de f et celui de F sur 0,   .
3. Montrer que F est dérivable et calculer sa dérivée.
4. La fonction dérivée 𝐹 ′ est-elle continue ?
5. Etudier les variations de F sur 0,   .
1
Exercice n° 4
1. Dans une tombola de 100 billets, deux sont gagnants. Combien faut-il acheter de billets pour
avoir une probabilité supérieure à ½ d’obtenir au moins un billet gagnant ?
2. Dans une autre tombola composée également de 100 billets, sachant que le prix d’un billet
est de 1 euro et qu’un billet gagnant rapporte 20 euros, combien faut-il de billets gagnants dans
cette loterie pour que l’espérance de gain des joueurs soit la plus proche de zéro.
3. Dans une troisième tombola contenant 1000 billets, il y a 3 billets gagnants qui rapportent
chacun 50 euros et 20 autres billets gagnants qui rapportent chacun 20 euros. Les autres billets
sont perdants.
Sachant que le prix d’achat d’un billet est toujours d’un euro, calculer l’espérance de gain pour
cette tombola.
Exercice n° 5
Les trois questions sont indépendantes.
1. Résoudre dans R l’équation : 𝐿𝑛 (𝑥 2 − 1) − 𝐿𝑛 (2𝑥 − 1) + 𝐿𝑛 2 = 0.
2. Résoudre dans 𝑅 2 , le système : {
𝑥 + 𝑦 + 1 = −4
(𝑥 + 2)(𝑦 − 1) = −45
3. Résoudre dans R l’inéquation : (𝑚 − 3)𝑥 2 − 2 𝑚 𝑥 + 12 ≥ 0, où m est un paramètre réel.
Exercice n° 6
Déterminer toutes les fonctions numériques continues f qui vérifient :
x
f ( x)  1   ( x  t ) f (t ) dt
0
2
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DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Le texte ci-après est tiré du livre de Monsieur Mathieu Farina et Madame Elena
Pasquinelli : « L’Art de faire confiance. Pour un nouveau contrat entre la science et les
citoyens » paru en 2020 aux éditions Odile Jacob.
Il doit être résumé en 250 mots (plus ou moins 10%). Vous indiquerez en fin de copie le
nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre
écrit.
La confiance est un ingrédient indispensable dans la vie d’une société et de chacun de ses
membres. Au moment de prendre une décision, nous nous laissons guider par notre jugement
ou par les conseils d’autres personnes. Pour se forger une opinion, nous nous appuyons sur
des informations collectées par nous ou d’autres, et nous accordons notre confiance à ces
données et à leurs sources. Nous sommes conscients que nous pouvons nous tromper, ou que
les autres peuvent nous tromper, par ignorance ou par malveillance ; mais nous faisons
néanmoins confiance, et même plus souvent que nous le pensons. Comment pourrait-il en être
autrement ? Nos sociétés se sont construites grâce à la capacité à exploiter les connaissances
produites par d’autres. C’est la confiance qui nous permet de bénéficier des avancées de notre
culture. Nous faisons confiance à l’ingénieur qui planifie le pont, au boulanger qui fabrique
notre pain, à l’enseignant qui nous délivre son savoir… Nous devons faire confiance.
Si cette confiance est indispensable, des outils de vigilance sont nécessaires, car nous ne
pouvons pas accorder notre confiance de manière aveugle. Comment discerner le bon grain de
l’ivraie dans l’ensemble des informations – parfois divergentes – auxquelles nous sommes
confrontés ?
1
La question se fait aujourd’hui plus pressante du fait d’une profusion d’informations
faciles d’accès. En tant que citoyens curieux et responsables, consommateurs quotidiens
d’Internet, nous sommes submergés d’informations de qualité variable. Ces informations sont
obtenues à très bas coût : un clic. Téléphones et tablettes les ont rendues omniprésentes : une
bibliothèque et un kiosque à presse dans votre poche, partout, tout le temps. Pour autant,
sommes-nous réellement capables d’en tirer profit ?
Le domaine de la santé nous offre quantité d’exemples qui illustrent la difficulté à discerner
le vrai du faux dans la masse d’informations que le Web place à portée de nos doigts.
Imaginons, par exemple, que nous cherchions à vérifier l’affirmation selon laquelle
consommer de la vitamine C permettrait d’écourter, prévenir ou soigner le rhume. Direction
Internet : Nous commençons donc par écrire dans l’espace dédié du moteur de recherche les
mots suivants : « rhume » et « vitamine C ». En 0,41 seconde 569 000 résultats s’affichent.
Pour les anglophones, l’attente est encore moins longue – 0,38 seconde - et la pêche encore
plus riche : 201 millions de pages Web prêtes à répandre leurs lumières sur notre
interrogation. Quand la question qui nous taraude présente un enjeu réel, nous pouvons nous
sentir désemparés, perdus au milieu d’une jungle d’informations souvent contradictoires.
Comment reconnaître dans cet enchevêtrement d’opinions la connaissance fiable sur laquelle
fonder ses décisions ?
Le problème du tri des informations n’est cependant pas nouveau. Par le passé, déjà, nous
devions faire face à des rumeurs, à des vérités assenées par certains et rejetées par d’autres.
Ainsi les saignées (1) ont-elles continué à être pratiquées jusqu’au XXème siècle bien que
leurs bases théoriques aient été mises à mal depuis la Renaissance, et que leur manque
d’efficacité ait été prouvé au début du XIXème siècle. Tout comme nous aujourd’hui, les
femmes et les hommes de l’époque avaient des idées bien arrêtées sur mille sujets, et ils les
relayaient sans s’être assurés de leur bien-fondé. Le citoyen du XIXème siècle, soucieux de se
forger une opinion, aurait certainement éprouvé toutes les difficultés à accéder à la meilleure
connaissance disponible.
Dans notre contexte moderne, le problème des fake news a certainement pris une forme et
une ampleur nouvelles, mais ses racines sont plutôt à rechercher dans notre nature et notre
façon de penser le monde. Le succès immédiat d’une idée ne dépend pas uniquement des
preuves qui la sous-tendent. Les informations capables d’évoquer des émotions négatives –
comme la peur d’un attentat ou d’une maladie - ou qui se révèlent surprenantes - comme
celles révélées par des légendes urbaines – sont par exemple plus à même de capter notre
attention et de rester dans notre mémoire. Elles sont également plus largement partagées via
les réseaux sociaux ou le bouche-à-oreille. Les faits objectifs ne sont pas forcément ceux qui
circulent le mieux. Certaines informations étayées ne font pas le poids face à des affabulations
concurrentes. Ces dernières résistent aux preuves et se diffusent.
Développer l’esprit critique dans notre société ne peut donc se résumer à rassembler
quelque part les bonnes informations que l’on mettrait à la disposition de tout un chacun. Un
effort supérieur est requis. Voilà pourquoi nous avons décidé de vous inviter à réfléchir aux
mécanismes cognitifs qui sous-tendent la construction d’une idée ou l’évaluation d’une
information afin de découvrir dans quelles situations nos attitudes spontanées se révèlent
insuffisantes et limitées. Une fois que vous serez sensibilisés à certaines limites de notre
2
cognition, nous partirons en quête des outils et solutions que notre culture a apportés pour les
dépasser. Ces solutions que nous évoquerons, ce sont celles de la science. […]
L’esprit critique est une quête de confiance bien placée
En tant que citoyens curieux et responsables, consommateurs quotidiens d’internet, nous
sommes submergés d’informations de qualité variable, que nous recherchons ou qui,
simplement nous tombent dessus. Comment se sortir de cette jungle d’informations ?
Comment distinguer entre, d’un côté les déclarations qui relèvent de simples opinions et, de
l’autre, les affirmations qui s’appuient sur des connaissances scientifiques bien établies ?
Nous sommes capables au quotidien de construire des connaissances simples par nos
propres moyens. Cependant, l’accès à la grande masse des connaissances produites et
accumulées par notre espèce au cours de son histoire exige de notre part un effort
supplémentaire : faire confiance aux autres. Au fil de ces chapitres, nous avons cherché à
convaincre le lecteur que faire preuve d’esprit critique ne signifie pas s’armer comme des Don
Quichotte pour courir après tous les moulins à vent du monde de l’information. L’esprit
critique est une forme de confiance éclairée qui doit guider une prise de décision plus juste.
Dans cette quête de confiance bien placée, la science doit jouer un rôle clé.
Science et cognition
Pendant que l’humanité inventait de nouveaux outils pour observer la réalité qui nous
entoure de manière plus rigoureuse, elle acquérait dans le même temps une meilleure
connaissance de son propre fonctionnement. En appliquant les outils de la science à nos
propres comportements, nous avons ainsi construit une science de nous-mêmes. Nous sommes
passés de l’autre côté du miroir. Les chercheurs savent maintenant que nous possédons des
capacités, des limites, des préférences et des tendances qui sont universelles et qui
caractérisent notre nature humaine. Celles-ci sont le fruit de millions d’années d’évolution.
Notre capacité d’observation sommaire, notre rapidité à suspecter la cause d’un malheur,
notre tendance à nous accrocher à nos idées et à convaincre nos pairs de leur bien-fondé ont
dû nous nous sauver maintes fois lorsqu’il s’agissait de survivre, dans un monde incertain,
changeant et déjà social. Aujourd’hui, nous avons besoin d’outils supplémentaires pour nous
en sortir dans un monde qui a tant changé et que nous avons contribué à changer.
Des outils et des stratégies pour une confiance éclairée
C’est avec cette considération en tête que nous nous sommes embarqués dans un voyage
d’épistémologie de terrain. Nous avons contacté des laboratoires de recherche scientifique,
dialogué avec ses acteurs et essayé de comprendre leur quotidien et les outils qu’ils mobilisent
pour répondre à un objectif de connaissance fiable. Ces outils ne sont pas toujours à notre
portée. Nous avons cependant appris à les employer pour reconnaître une information fiable
fondée sur des méthodes rigoureuses. Une telle expertise nous offre la possibilité de fonder
nos choix les plus importants sur la meilleure information disponible à un instant donné.
3
Mais voilà que survient un événement polémique, un scandale, un incident qui touche de
trop près la science… et la confiance de nouveau vacille. Et si cette fois les scientifiques se
trompaient ? A moins qu’ils ne soient sciemment en train de nous tromper ? Certes notre
méfiance peut naître pour des raisons légitimes – l’histoire nous offre malheureusement des
exemples qui ont alimenté cette méfiance et de tels événements restent gravés dans notre
mémoire collective… Pourtant chaque faille devrait être mise en balance avec l’ensemble des
bénéfices produits par la science, sur le long terme, et domaine par domaine. De son côté, la
science a le devoir de veiller à ce que ses principes soient respectés dans la pratique et ses
outils améliorés Elle doit mériter notre confiance. Si celle-ci est perdue, nos opinions et nos
décisions risquent de se retrancher dans l’horizon restreint de nos intuitions individuelles ou
de groupe, sans garantie de succès.
Entre nous et la science
Si nous voulons vraiment profiter de la richesse des connaissances produites par notre
société, nous ne pouvons pas faire l’économie d’une compréhension suffisante de la science.
Cependant, même une alphabétisation scientifique avancée ne peut pas suffire. Confrontés à
des débats d’experts, à une information trop technique ou contradictoire sur Internet, nous
serons dépassés si nous ne pouvons compter que sur nous-mêmes. Nous avons donc besoin de
nous appuyer sur une couche d’experts de proximité, jouant le rôle d’intermédiaires entre la
science et la société.
L’expert de proximité – médecin, journaliste, enseignant, scientifique vulgarisateur, etc. –
serait celui qui possède l’expertise nécessaire pour comprendre, évaluer l’information avec
l’aide de critères, et transmettre le savoir de la science. Il porterait aussi la responsabilité
d’interroger la science et de lui demander des comptes quand celle-ci s’écarte de ses
principes. On constate cependant que le déficit de connaissance de la méthode scientifique
n’affecte pas uniquement les citoyens, mais aussi certains de ceux qui pourraient les informer
et les éclairer. C’est donc une condition à améliorer pour établir une chaîne de confiance qui
relie la science au grand public. […]
Eloge de la lente amélioration des choses
La science n’est pas certes parfaite, et les scientifiques, dans leur vie quotidienne comme
dans leur travail, sont des êtres humains qui montrent les mêmes limites et les mêmes
« mauvaises » habitudes que tout un chacun – ou presque. Ils commettent des erreurs, leurs
résultats sont susceptibles de biais. Ils disposent cependant d’un ensemble d’outils fournis par
la science pour contrôler ces biais. Aucune entreprise humaine ne sera jamais totalement
exempte d’erreur. Nous ne pouvons pas en demander autant. La science poursuit pourtant
l’objectif de construire des connaissances objectives. Elle n’est pas le mieux mais le meilleur
possible. Ses stratégies nous permettent de faire mieux qu’une observation improvisée, qu’un
pressentiment ou une explication basée sur des faits anecdotiques. La méthode scientifique
non plus, n’est pas parfaite, pas plus que les connaissances qu’elle permet de produire. Elle
est pourtant le seul bouclier que nous possédons contre les arnaques pseudoscientifiques, les
charlatans et autres douces illusions… Nous associons les progrès de la science à des
4
instruments technologiques comme le microscope, le télescope ou les ordinateurs de plus en
plus puissants et rapides. Nous en venons à oublier les outils d’ordre épistémologiques que
nous avons rencontrés tout au long de cet ouvrage. De la grille d’observation aux protocoles
expérimentaux les plus complexes – comme les essais randomisés, contrôlés et effectués en
double ou triple aveugle -, des statistiques pour calculer les erreurs aux outils mathématiques
pour prédire le futur… toutes ces stratégies et artéfacts ont eux aussi participé à une marche
en avant de la science vers toujours plus de fiabilité. […]
Même si les moyens intellectuels et matériels de la science augmentent sans cesse, les
défis auxquels l’humanité se confronte sont toujours plus grands. La recherche scientifique a
toujours été et restera difficile. Et pour cela, on ne peut rien. Si ce n’est développer notre
patience. La science se doit – et nous doit – de ne pas courir vers de nouvelles découvertes,
mais de prendre le temps de répliquer les études, de multiplier les données et de croiser les
méthodes d’investigation. Cela peut être dur à accepter, notamment quand on attend de la
science qu’elle nous aide à sauver des vies, mais courir ne rend pas nécessairement service :
se précipiter donne des solutions apparentes mais qui ne sont pas nécessairement les bonnes.
Il y a un facteur temps incompressible dans la phase de recherche puis dans celle de validation
d’une connaissance nouvelle. La science est donc lente et doit le rester. C’est à ce prix qu’elle
produit des découvertes solides et fiables, que l’on pourra appliquer et utiliser pour mieux
décider en connaissance de cause.
Exercer son esprit critique : le kit de survie
[…] Faire preuve d’un esprit critique relève d’un ensemble d’attitudes à adopter, de
compétences à développer et de connaissances à acquérir. La tâche n’est pas facile. Il ne s’agit
pas de baisser la confiance en soi-même ou envers les autres et devenir plus méfiants. Bien au
contraire, il s’agit d’apprendre à calibrer sa confiance pour qu’elle soit en adéquation avec les
circonstances. Pour cela, nous avons besoin, en premier lieu, de penser à rendre explicite
notre évaluation des informations : pourquoi faisons-nous confiance à cet informateur ?
Pourquoi cette information suscite-t-elle en nous une réaction de rejet ou d’incrédulité ?
Pourquoi nous sentons-nous si sûrs de l’affirmation que nous venons de formuler ? En
somme, faire l’effort d’apprendre à s’autoévaluer et à se poser des questions sur ce qu’on sait
ou sur ce qu’on ne sait pas. Tout cela nous rendra un peu plus lents mais un peu plus justes
dans nos jugements. […]
Nous demandons aux scientifiques plus de transparence dans la production de leurs
résultats. Nous devrions nous engager à notre tour à être des citoyens informés, exigeants
envers nos sources d’information, attentifs à ne pas répandre inutilement des informations
douteuses, actifs dans la correction de celles qui nous tombent sous la main. C’est le prix à
payer pour avoir le droit de profiter du monde d’Internet et d’une société de la connaissance.
(1) - Saignée : prélèvement de sang pratiqué sur un malade pour améliorer son état.
5
REMARQUES ET RECOMMANDATIONS DU JURY
Concours ISE OPTION ECONOMIE
SESSION 2024
Ordre général
Les trois sujets proposés aux candidats du concours pouvaient être facilement traités par une bonne analyse et en
mettant en œuvre la réflexion. La culture générale à laquelle ils faisaient appel portait en partie sur l’actualité pour les
deux premiers. Celui sur la guerre posait une question que tout un chacun, s’intéressant un peu à l’actualité, a pu se
poser au cours de l’année.
Les étudiants se sont partagés à parts égales les sujets 1 et 2, pratiquement à la copie près. Le troisième a eu
largement moins de succès, sans doute parce qu’il n’a pas toujours été bien compris, comme on le verra.
La méthode de la dissertation est désormais acquise pour beaucoup. Pour les rappels essentiels, j’invite à se reporter
aux rapports des années passées.
Je voudrais cependant insister sur quelques points.
Les introductions des dissertations ne doivent pas prendre un tiers du devoir, parfois même davantage. Certaines
copies présentent déjà des arguments et des citations. Or cette partie a pour objectif simplement d’analyser
clairement le problème posé, mais non d’y répondre. Elle énonce une problématique et annonce un plan clair, mais il
ne s’agit pas de multiplier des questions auxquelles il ne sera pas répondu. Il semblait également essentiel pour
l’analyse de définir clairement certaines notions. Le mot « guerre », sans doute, qui est aujourd’hui largement
employé, était à préciser, de même que le mot « crime » dans ce contexte. En revanche, inutile de définir « attacher
de l’importance », « manière de s’habiller ». Il est nécessaire de faire en cela, appel au bon sens.
Il ne faut jamais utiliser le « tu » pour s’adresser au correcteur. On ne s’adresse jamais directement au correcteur,
c’est une convention.
Enfin, j’insiste encore sur l’importance de la présentation de la copie avec des sauts de lignes après l’introduction,
entre les parties et avant la conclusion, ainsi que des passages à la ligne pour marquer les paragraphes. Cela est
crucial pour la lisibilité et manifeste que le candidat a une pensée structurée.
Pour réussir au mieux leur devoir, les étudiants doivent bien avoir à l’esprit les critères sur lesquels ils sont jugés car
ce concours est très sélectif.
Une bonne maîtrise de l’exercice de la dissertation est indispensable. La réflexion est à l’évidence essentielle. Cela
signifie que le correcteur demande des arguments et non simplement des faits. On attend que l’étudiant révèle sa
capacité à prendre de la hauteur, à généraliser, abstraire, à sortir du factuel.
Entre dans la notation également : la propreté de la copie, la clarté de la présentation, l’écriture lisible ou non, la
correction du français (orthographe et syntaxe), la richesse du vocabulaire et l’aisance dans l’usage de la langue. Ces
derniers points sont très importants, dans la mesure où il s’agit avant tout de se faire comprendre.
Enfin, il faut bien savoir que les citations qui ne sont pas connues du correcteur sont vérifiées (le texte et l’auteur). Il
ne s’agit pas d’essayer de le tromper au risque d’obtenir une note éliminatoire.
Le premier sujet posait la question : Faut-il attacher de l’importance à la manière de s’habiller ?
Le vêtement est un langage qui dit beaucoup de choses sur celui qui le porte. Il est normé, selon les sociétés, les
cultures, les époques tout en laissant aussi une incontestable liberté. On s’habille pour soi, mais également pour les
autres puisqu’il est une image immédiate de ce qu’on veut montrer de nous.
Pour traiter le sujet, il fallait éviter d’énumérer les circonstances dans lesquelles il est nécessaire de porter attention à
sa tenue (entretien d’embauche, cérémonies…) et en contrepartie, celles où ce n’est pas nécessaire (à la maison…).
On attendait plus largement que le candidat s’interroge sur le rôle du vêtement. Celui-ci révèle tout d’abord avec
évidence une identité sociale, culturelle, religieuse. Pour certains, la manière de s’habiller n’aura pas d’autre langage,
par manque de liberté ou par choix. Dans ce dernier cas, il serait bon de s’interroger sur les raisons de ce
conformisme. D’autres peuvent par leur vêtement affirmer leur opposition à la norme. Il est intéressant alors de savoir
comment et pourquoi.
Le vêtement dépasse aussi cet aspect normatif. Il est l’expression d’une liberté d’expression de soi et dans ce sens le
regard de l’autre n’est pas nécessairement important. C’est également un art qui se manifeste à travers les créations
des grands couturiers. Des musées leur sont consacrés.
Pour toutes ces raisons, il est juste d’être attentif à la manière dont on s’habille et intéressant d’observer la tenue des
autres. Par ailleurs, on peut déplorer l’importance excessive accordée au vêtement.
En effet, la mondialisation brouille les cartes : chacun peut se procurer les vêtements qu’il désire porter à peu près
partout, et les images des influenceurs diffusées largement sur internet envahissent le monde entier.
On pouvait aussi déplorer les fashion victimes et les dégâts engendrés sur le plan environnemental par les vêtements
achetés et portés une ou deux fois avant d’être jetés.
Ce sont là simplement quelques pistes pour un énoncé riche en réflexions.
Il était demandé, en somme, aux candidats de réfléchir, s’interroger, montrer que les différentes cultures n’ont pas le
même rapport au vêtement. Mais en aucun cas, il ne s’agissait de porter un jugement, d’énoncer des obligations qui
pouvaient se révéler, in fine, des propos homophobes et/ou misogynes.
Le deuxième sujet invitait à réfléchir sur une citation d’E. Hemingway : « Qu’elle soit nécessaire ou même justifiée, ne
croyez jamais que la guerre n’est pas un crime »
À l’évidence, il ne s’agissait pas de traiter un pour / contre la guerre, ni de parler de ses effets néfastes ou négatifs
puis de ses effets positifs, pas plus que de ses avantages et inconvénients. Il fallait observer de près la citation. E.
Hemingway affirme que la guerre est toujours un crime, sans contestation possible, ce que les candidats étaient
amenés à justifier. Il se place du côté des hommes, c’est un humaniste. La notion de « crime » existe en matière de
guerre. Les procès de Nuremberg en sont la preuve, ainsi que l’existence de la Cour Pénale Internationale, juridiction
internationale permanente chargée de juger les génocides, crimes contre l’humanité, crimes d’agression et crimes de
guerre. Il était nécessaire d’en parler et de définir précisément ce qu’on entend par « crime » en matière de guerre.
Pour anticiper sur les arguments d’une thèse adverse, l’écrivain américain spécifie « qu’elle soit nécessaire ou même
justifiée », car il sait bien qu’une guerre peut l’être pour des raisons cette fois politiques, économiques idéologique.
Mais il a vécu deux guerres mondiales et on comprend ce qu’il entend par « crime » : des millions de morts, le
génocide des juifs. Pourtant, c’est bien dans ces deux termes « nécessaire », « justifiée », qu’il est possible de trouver
des arguments pour non pas contrer, mais désamorcer l’aspect criminel de la guerre. Certains candidats ont bien
perçu cette idée en montrant qu’il y a des guerres qui sont menées pour éviter des crimes ou s’y opposer. Cela
n’empêche pas les crimes, mais il faut se poser la question : est-ce un crime de se défendre contre un crime ? Un
envahisseur qui cherche à s’emparer d’un pays, à massacrer des populations, à le coloniser ? Les exemples n’ont pas
manqué pour illustrer les devoirs : guerres coloniales, lutte contre Daesh, l’Ukraine qui se défend de l’invasion russe,
guerre à Gaza.
Le sujet semblait simple, mais ne l’était pas tout à fait. Beaucoup de candidats, en l’absence de réflexion, se sont
fourvoyés.
Le sujet 3 a eu peu de succès : « Il n’y a vraiment de beau que ce qui ne peut servir à rien ; tout ce qui est utile est
laid » a dit Théophile Gautier. Qu’en pensez-vous ?
Le sujet demandait une certaine culture artistique, certes, mais qui ne se limitait pas à Gautier ni à la poésie ou même
la littérature. Il portait clairement sur la notion de beau et d’utile : « tout ce qui est utile est laid ». Il ne s’agissait donc
pas d’un sujet sur l’esthétique et l’éthique. En revanche, la notion de littérature engagée faisait partie éventuellement
de la manière de le traiter. Il fallait en réalité s’interroger sur la beauté des objets du quotidien, que ce soit en matière
d’architecture, de design, de mode… On pouvait aussi se demander pourquoi et comment rendre beau ce qui
apparemment ne l’est pas. On pense à l’œuvre de Marcel Duchamp, la Fontaine, un urinoir devenu œuvre d’art en
s’exposant dans un musée, ou à la photographe américaine Dorothea Lange qui a produit des photos magnifiques
des misérables de la Grande Dépression.
Cette fois encore, une réflexion sur le sujet était nécessaire pour le traiter, sans s’inquiéter d’un manque de
connaissance en littérature, car il portait sur un domaine bien plus vaste.
En conclusion, je voudrais remercier certains candidats qui m’ont procuré une réelle satisfaction à la lecture de leur
copie d’un très bon niveau intellectuel et rédigée dans une langue fluide, parfois riche.
Je déplore en revanche que certains puissent tenir, dans un concours de ce niveau, des propos que je juge
inadmissibles sur les femmes, manifestant en cela une absence de distance et de réflexion suffisante. La correctrice
que je suis est pourtant d’une grande ouverture d’esprit.
Première composition de mathématiques
1. Objectif de Mathématiques 1
L’épreuve de Mathématiques 1 aide à sélectionner, en principe, des étudiants en économie dont l’objectif est, au
terme de leur formation, d’être à l’aise avec l’application des méthodes quantitatives de la statistique et de la
modélisation économique dans les futures études d’ISE et les métiers auxquels ouvrent ces mêmes études.
Son but est donc de dégager une « tête » de concours composée de candidats ayant, a priori, les meilleures chances
de comprendre, d’assimiler, puis d’utiliser les enseignements formalisés à dominante scientifique liés au diplôme ISE,
diplôme d’ingénieur, et, en même temps, d’éliminer les candidats aux connaissances insuffisantes ou mal orientés.
En outre, cette « tête » doit être suffisamment large pour que l’épreuve de Maths 2 et les autres épreuves du concours
contribuent efficacement à la meilleure sélection et à la diversité des connaissances.
Pour ce faire, l’épreuve de Maths 1 doit :
-
d’une part, valider à la fois les connaissances et les compétences dans un domaine précis des mathématiques
(connaissances et compétences ne sont pas synonymes) : cette année, de l’analyse
d’autre part, détecter et éliminer les candidats n’ayant pas assimilé les prérequis considérés comme nécessaires à
des études d’ingénieur statisticien.
2. L’épreuve Maths I de 2024 (4 heures)
Le thème était unique et portait sur l’analyse ; elle était constituée d’un exercice et un problème, indépendants.
L’exercice (2 questions) portait sur une suite de la forme un+1 = u2n .
- Le problème s’articulait en 5 grandes parties d’une difficulté de formalisation croissante, pour un total de 26
questions. Le sujet tournait autour d’une fonction f a(x) = (4 + 3x)a, où a était un nombre réel quelconque.
3. Déroulement de l’épreuve Maths 1 et observations après correction
L’exercice comptait sur 4 points, et le problème sur 16.
Exercice :
Cet exercice, pourtant simple, a dérouté la très grande majorité des candidats. Est-ce parce que ce n’était pas une
suite de la forme aun-1 + b ou aun-1 + bun-2 + c ? Le nombre de candidats l’ayant bien traité se compte sur les doigts
d’une seule main.
Problème :
Les cinq parties ont permis d’affiner la hiérarchie entre les candidats et d’atteindre leur objectif de sélection.
A noter une bonne maîtrise des calculs d’intégrales qui étaient demandés, et globalement une bonne présentation des
copies au niveau de la forme.
Il est quand même étonnant de constater, à ce niveau de formation et de recrutement :
- que pour de nombreux candidats (10 %), (4 + 3x)1/2 est égal à (4)1/2 + (3x)1/2
- que près de 15 % des candidats ne savent pas dériver (4 + 3x) a et écrivent cette dérivée a(4 + 3x)a-1 en
oubliant systématiquement le 3, ou encore a(4 + 3x)a+1.
- que le point (-1, 1) se situe sur la bissectrice y = x
En synthèse, cette première épreuve a permis de mettre en évidence un sous-groupe de candidats ayant eu une note
de 10 ou plus (10 est une barre « psychologique » et statistique, sans oublier ceux ayant eu 9 ou 9,5 et restent en lice
pour la suite du concours), ce qui signifie qu’ils ont traité au moins trois parties du problème.
Economie
L’épreuve d’économie comportait deux sujets au choix : l’un concernait les zones monétaires avec une application à la
Zone franc ; l’autre proposait une analyse de texte à savoir un paragraphe du dernier rapport de l’OCDE sur l’Afrique
qui traitait des investissements directs étrangers.
Un sujet n’a pas été significativement préféré à un autre. Sur le sujet n°2, de très nombreux candidats ont mal compris
l’intitulé. En effet, l’intitulé reproduisait un paragraphe du dernier rapport de l’OCDE tout en citant son titre. Certains
candidats n’ont pas commenté ledit paragraphe mais uniquement le titre du rapport. Ils étaient ainsi hors-sujets.
Le niveau global des candidats, quel que soit le sujet choisi, est assez moyen voire médiocre. Quelques copies sont
tout de même brillantes. Les principales difficultés des candidats résident dans la difficulté d’analyse ou de proposer
un raisonnement cohérent sur des questions économiques. De nombreux candidats « récitent » des cours plutôt
correctement assimilés mais ont beaucoup de mal à décrire ou commenter des faits économiques simples.
Deuxième composition de mathématiques
L’épreuve était constituée de cinq exercices indépendants balayant un large spectre du programme. Elle
comportait en tout 19 questions avec :
— Le premier exercice portant sur les matrices (en dimension 3).
— Le deuxième exercice de probabilités discrètes.
— Le troisième exercice concernant l’étude d’une suite de polynômes à coefficients réels.
— Le quatrième exercice plus composite, sur les fonctions réelles.
— Le cinquième exercice sur une suite d’intégrales généralisées.
D’un point de vue général, la réussite des candidats sur les exercices s’est avérée très irrégulière, suivant les
thèmes abordés par les exercices. Plus précisément :
Exercice 1 : C’est l’exercice le mieux réussi par les candidats. On peut regretter que ceux-ci utilisent souvent les
méthodes les plus calculatoires pour répondre aux questions, perdant souvent un temps précieux. C’est en
particulier le cas pour le déterminant et la démonstration que 0 est l’unique valeur propre. Beaucoup trop de
confusions entre inversibilité et diagonalisabilité.
Exercice 2 : Exercice trop souvent peu ou pas abordé. Les deux premières questions, élémentaires, se sont
avérées particulièrement classantes. Les probabilités discrètes sont au programme, et certainement pas à négliger !
Exercice 3 : La première question est généralement très bien traitée. Pour la deuxième, les candidats affirment
trop souvent que Pn(x) valant −1 et 0 en 0 et 1, il est négatif sur [0,1]. Hors le calcul de 𝑃𝑛′ (𝑋), les deux dernières
questions sont souvent mal traitées, les candidats ne pensant pas à les aborder comme des questions de variations
pour une fonction.
Exercice 4 : La première question est souvent bien traitée quand les candidats ont compris que T
était une application entre espaces de fonctions. La dernière question a presque systématiquement été mal
comprise, les candidats n’ayant pas saisi que l’ensemble F n’était pas celui des fonctions 𝑥 → 𝜆ln⁡(𝑥)⁡. On peut
regretter que cela amène à des écritures d’expressions du genre ln(−1) sur les copies...
Exercice 5 : La première question a révélé que les intégrales généralisées, explicitement au programme, étaient
bien trop souvent inconnues des candidats. Aussi a-t-elle été régulièrement comprise comme portant sur la
convergence de la suite (In), ce qui était l’objet de la question suivante. La deuxième question a plutôt été bien
traitée, par double intégration par parties la plupart du temps.
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
L’épreuve est composée d’un exercice et un problème, indépendants, à traiter dans un ordre
quelconque.
Exercice :
On rappelle qu’une suite 𝑢𝑛 est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
On définit la suite récurrente (𝑢𝑛 ), où 𝑛 est un entier naturel, par son premier terme 𝑢0, avec
𝑢0 > 0, et sa relation générale :
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛2
1) Montrer que la suite (𝑢𝑛 ) est monotone. Pour quelles valeurs de 𝑢0 la suite (𝑢𝑛 ) est-elle
croissante ? Décroissante ?
La suite est de façon évidente à termes positifs.
un+1 – un = u²n – u²n-1 = (un – un-1) (un + un-1)
Le signe de (un+1 – un) est le même que celui de (u n – un-1), puisque (un + un-1) > 0. Ainsi, par
simple récurrence, (un+1 – un) a le même signe que (u1 – u0). La suite (un) est monotone.
Donc si u1 > u0, un+1 > un et la suite est monotone croissante.
Et si u1 < u0, un+1 < un et la suite est monotone décroissante.
Ecrivons u1 – u0 = u0² – u0 = u0 (u0 – 1).
Comme u0 est positif strictement, le signe de u1 – u0 est celui de (u0 – 1), d’où :
- Si u0 > 1, la suite (un) est monotone croissante
- Si u0 < 1, la suite (un) est monotone décroissante
Cas particulier : u0 = 1 → un = 1 pour tout entier n, la suite est une suite constante égale à 1.
1
2) En déduire les valeurs de 𝑢0 pour lesquelles la suite (𝑢𝑛 ) converge et calculer sa limite.
Supposons u0 > 1 et donc la suite (un) est monotone croissante.
Il est évident que un → + ∞ et diverge.
Si u0 < 1, la suite (un) est monotone décroissante ; comme u0 > 0, la suite est décroissante et
minorée par 0, donc convergente.
Sa limite L vérifie L = L², soit L(L – 1) = 0.
Comme u0 < 1, la seule solution possible est L=0.
𝑛
Remarque : on peut établir aussi, par récurrence, la forme générale de u n : un = 𝑢02 .
Les résultats qui précèdent peuvent également s’en déduire aisément.
Problème :
Le symbole Ln désigne le logarithme népérien.
On définit la fonction 𝑓𝑎 de la variable réelle 𝑥 par :
𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑓𝑎 (𝑥) = (4 + 3𝑥)𝑎 ,
où D est l’ensemble ] − 4/3, +∞ [, et a un nombre réel quelconque.
Partie I
Dans cette partie, on prend 𝑎 = 1⁄2.
I.1) Calculer les dérivées première et seconde de 𝑓1⁄2. Etudier leur signe.
Soit y = f1/2(x) = (4 + 3x)1/2.
y' = 3(4 + 3x)-1/2/2
y’’ = - 9(4 + 3x)-3/2/4
On déduit immédiatement que y’ > 0 et y’’ < 0.
La fonction f1/2 est donc croissante et concave.
I.2) Calculer les limites de 𝑓1⁄2 (𝑥) et 𝑓1′⁄2 (𝑥) quand 𝑥 → −4/3.
Quand x → - 4/3, f1/2(x) → 0 et f ’1/2(x) → + ∞.
I.3) Quelles sont les coordonnées de A, point d’intersection de (C 1/2), courbe représentant
𝑦 = 𝑓1⁄2 (𝑥), et de la droite (B) d’équation 𝑦 = 𝑥 ?
Donner l’équation de la tangente à la courbe (C1/2) au point A.
Soit donc à résoudre x = (4 + 3x)1/2, ou encore x² – 3x – 4 = 0, d’où deux solutions : x1 = -1 et
x2 = 4.
Or f1/2(x1) = -1, ce qui est impossible puisque f1/2 est positive.
Donc la seule solution possible est A (4, 4).
Au point d’abscisse 4, f’1/2(4) = 3/8.
D’où l’équation de la tangente à C1/2 au point A est :
3𝑥
5
(y – 4)/(x – 4) = 3/8 → y = 8 + 2
2
I.4) Donner le tableau de variations de 𝑓1⁄2 et tracer son graphe.
x
4
-4/3
+∞
–
f ’’
f’
–
+
+∞
f
0
4
I.5) Calculer l’intégrale 𝐼(1⁄2) = ∫−1 𝑓1⁄2 (𝑥)𝑑𝑥.
En posant u = 4 + 3x, u varie de 1 à 16, dx = du/3, on a :
4
16
I(1/2) = ∫−1 𝑓1⁄2 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑢1⁄2 𝑑𝑢⁄3 = 2(163/2 – 1)/9 = 2(64 – 1)/9 = 14
Partie II
Dans cette partie, le paramètre a de la fonction 𝑓𝑎 (𝑥) = (4 + 3𝑥)𝑎 est un nombre réel positif
ou nul.
II.1) Quelles sont les courbes représentant les cas particuliers 𝑎 = 0 et 𝑎 = 1.
Pour a = 0, f0(x) = 1, droite y = 1.
Pour a = 1, on a la droite d’équation y = f1(x) = 4 + 3x.
II.2) Calculer 𝑓𝑎′ et 𝑓𝑎′′ , respectivement dérivées première et seconde de 𝑓𝑎 .
Etudier leur signe selon les valeurs de 𝑎.
f 'a(x) = 3a(4 + 3x)a-1
f’’a(x) = 9a(a-1)(4 + 3x)a-2
On en déduit :
f 'a(x) > 0 pour tout a > 0
f ’’a(x) est négative pour a < 1 (fa concave) et positive pour a > 1 (fa convexe)
(Les cas a = 0 et a = 1 ont été vus à la question 1)
II.3) Montrer que toutes les courbes (𝐶𝑎 ) représentant les fonctions 𝑓𝑎 passent par un point
commun F dont on calculera les coordonnées (𝑥𝐹 , 𝑦𝐹 ). Donner l’équation de la tangente à (𝐶𝑎 )
au point F.
On voit immédiatement que pour x = -1, fa(-1) = 1 ; donc F est le point (- 1, 1), xf = -1 et yF = 1.
Tangente : (y – 1)/(x + 1) = 3a → y = 3ax + 3a + 1
3
II.4) Etudier les limites de 𝑓𝑎 (𝑥) et 𝑓𝑎′ (𝑥) quand 𝑥 tend vers – 4/3 et vers + ∞.
Quand x tend vers – 4/3 :
fa(x) → 0
f ’a(x) → + ∞ si a < 1 et → 0 si a > 1
Quand x tend vers + ∞.
fa(x) → + ∞
f ’a(x) → 0 si a < 1 et → + ∞ si a > 1
II.5) Donner le tableau de variations de 𝑓𝑎 et tracer son graphe.
On a : limx→+∞fa(x)/x = 0 quand a < 1 et limx→+∞fa(x)/x = + ∞ quand a > 1.
Deux cas à étudier : a < 1 et a > 1.
a) a < 1
x
-4/3
–
f ’’
+∞
-1
f’
–
+
+∞
f
1
0
b) a > 1
x
-4/3
f ’’
+
f’
+∞
-1
+
+
+∞
f
1
0
4
II.6) Calculer l’intégrale 𝐼(𝑎) = ∫−1 𝑓𝑎 (𝑥)𝑑𝑥 .
4
16
En posant u = 4 + 3x, on a : I(a) = ∫−1 𝑓𝑎 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑢𝑎 𝑑𝑢⁄3 = (16a+1 – 1)/3(a+1)
4
II.7) On note, comme en Partie I, par A le point d’intersection de la droite 𝑦 = 𝑥 avec la courbe
(𝐶𝑎 ) représentant 𝑓𝑎 . On note (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ) ses coordonnées.
𝑥
Donner, en fonction de 𝑥𝐴 , l’expression de l’intégrale 𝐼𝐴 = ∫−1𝐴 𝑓𝑎 (𝑥)𝑑𝑥 .
𝑥
4+3𝑥𝐴
Toujours avec u = 4 + 3x, IA = ∫−1𝐴 𝑓𝑎 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫1
𝑢𝑎 𝑑𝑢⁄3 = ((4+3xA)a+1 – 1)/3(a+1)
Or xA vérifie xA = (4 + 3xA)a, ou (xA)1/a = (4 + 3xA).
Donc IA = ((xA)(a+1)/a – 1)/3(a+1)
Une écriture alternative serait :
𝑥𝐴
1
1
𝑥𝐴
𝑥𝐴
[(4 + 3𝑥)𝑓𝑎 (𝑥)]−1
𝐼𝐴 = ∫ 𝑓𝑎 (𝑥)𝑑𝑥 =
[(4 + 3𝑥) (𝑎+1) ]−1 =
3(𝑎 + 1)
3(𝑎 + 1)
−1
1
=>𝐼𝐴 = 3(𝑎+1) ((4 + 3𝑥𝐴 )𝑥𝐴 − 1)
II.8) Soit un réel positif 𝑏 tel que 𝑏 > 𝑎. Comparer les positions respectives des courbes (𝐶𝑎 )
et (𝐶𝑏 ).
Calculons fb(x)/fa(x).
fb(x)/fa(x) = (4 + 3x)b-a
Ln fb(x)/fa(x) = (b-a) Ln(4 + 3x)
Puisque b > a, le signe de Ln fb(x)/fa(x) est celui de Ln(4 + 3x), qui est strictement positif si
Ln(4+3x) > 0, c’est-à-dire 4 + 3x > 1, ou x > -1.
On conclut que pour x > -1, la courbe Cb est au-dessus de Ca, et que pour x < -1, Cb est audessous de Ca.
En x = -1, on a le point commun de toutes les courbes, donc pas de problème.
Partie III
Dans cette partie, on prend 𝑎 réel quelconque.
III.1) Calculer la valeur de 𝑓𝑎 . 𝑓−𝑎 .
Pour tout a réel, et pour tout x, on a fa(x).f-a(x) = 1.
III.2) Calculer les expressions de 𝑓𝑎′ et 𝑓𝑎′′ et étudier leur signe.
On a, comme à la question II.2 :
f 'a(x) = a(4 + 3x)a-1
f’’a(x) = a(a-1)(4 + 3x)a-2
Signes :
f ’a(x) < 0 pour a < 0 et pour tout x de D.
a(a-1) > 0 pour a < 0 donc f’’a(x) > 0 ; les fonctions fa sont convexes pour a < 0.
III.3) Le point F est-il aussi un point commun pour toutes les courbes (𝐶𝑎 ), 𝑎 réel ?
Oui : fa(-1) = 1
5
III.4) Donner le tableau de variations de 𝑓𝑎 , pour 𝑎 réel.
Pour a > 1 et 0 < a < 1, les tableaux de variation ont été vus au II.5.
Pour a < 0 : on remarque que fa(x) tend vers 0 quand x tend vers l’infini ; la droite y = 0 est
asymptote horizontale.
x
-4/3
f ’’
+
f’
+∞
-1
+
-
+∞
f
1
0
III.5) Tracer les fonctions 𝑓−1/2 et 𝑓−1.
Selon la question III.4, f-1/2 est décroissante de l’infini à 0
De même pour f-1(x) = 1/(4 + 3x).
Partie IV
On définit la suite récurrente (𝑢𝑛 ), 𝑛 étant un entier naturel, par :
𝑢0 (𝑢0 > - 4/3)
𝑢𝑛+1 = 𝑓1/2 (𝑢𝑛 ) = √4 + 3𝑢𝑛
IV.1) En supposant que la suite (𝑢𝑛 ) admette une limite L quand 𝑛 → +∞, calculer L.
L vérifie L = (4 + 3L)1/2, ou L² - 3L – 4 = 0
Les racines sont -1 et 4.
La suite étant à termes tous positifs à partir de n = 1, L ne peut être négatif : - 1 est à exclure.
Donc si la suite (un) converge, L = 4
IV.2) On suppose que 𝑢0 < 4. Etudier la convergence de la suite 𝑢𝑛 .
Montrons par récurrence que un<4. u0<4 est vrai par hypothèse. De plus, si u n<4, alors un+1 =
(4+3 un)1/2 < (16)1/2=4. La récurrence est donc montrée.
On a par ailleurs un+1 – un = (4 + 3un)1/2 – un. Cette quantité est strictement positive si et
seulement si (4 + 3un)1/2 > un. Cela est toujours vrai si un <0. Si un est positif, cela est vrai si et
seulement si 4+3un>un2 ce qui est équivalent à un2-3un-4<0. Or un2-3un-4=(un+1)(un-4) est
strictement négatif pour tout un dans l’intervalle ]-1,4[, donc est négatif pour un dans [0,4[.
On a donc ainsi dans tous les cas un+1 > un pour tout n. La suite un est donc croissante
et majorée par 4, donc elle converge vers L = 4.
6
IV.3) On suppose que 𝑢0> 4. Etudier la convergence de la suite 𝑢𝑛 .
Comme dans la question précédente, on montre par récurrence que u n > 4 et d’après le
raisonnement effectué dans cette question, on en déduit que dans ce cas un+1 < un. La suite
un est donc décroissante et minorée par 4 ; elle est donc convergente et a pour limite 4.
IV.4) Etudier le cas 𝑢0 = 4.
Pour tout n, un = 4 → suite constante.
Partie V
On définit la suite récurrente (𝑢𝑛 ), 𝑛 étant un entier naturel, par :
𝑢0 (𝑢0 > - c/d)
𝑢𝑛+1 = √𝑐 + 𝑑𝑢𝑛
où 𝑐 et 𝑑 sont deux paramètres vérifiant 𝑐 > 0 et 𝑑 > 0.
V.1) En supposant que la suite (𝑢𝑛 ) admette une limite M quand 𝑛 → +∞, calculer M.
M vérifie l’équation M = (c + dM)1/2, ou M² - dM – c = 0
Les racines sont :
M(1) = [d + (d² + 4c)1/2]/2
M(2) = [d - (d² + 4c)1/2]/2
La suite (un) étant à termes tous positifs à partir de n = 1, M ne peut être négatif : la racine
M(2) est à exclure. Elle est en effet négative puisque le produit des deux racines vaut -c<0,
alors que M(1) est positive.
Donc, si la suite converge, la limite ne peut être que M = M(1).
V.2) On suppose que 𝑢0 < M. Etudier la convergence de la suite 𝑢𝑛 .
On montre par récurrence que u n<M. Cela est vrai pour u0 par hypothèse. De plus si u n<M
alors un+1=(c + dun)1/2 <(c + dM)1/2=M par définition de M. La récurrence est donc montrée.
Par ailleurs un+1-un>0 si et seulement si (c + du n)1/2>un. Cela est toujours vrai si u n<0. Sinon,
cela est vrai si et seulement si u n2-dun-c<0 si et seulement si u n appartient à l’intervalle
[M(1),M(2)] où M(2)=M. Or dans le cas où un est positif, cela est toujours vrai puisque M(1)<0
et que nous avons montré que un<M. Nous en déduisons que un+1-un>0 pour tout n.
La suite un est donc croissante et majorée par M, donc elle converge vers M d’après la question
V.1.
V.3) On suppose que 𝑢0 > M. Etudier la convergence de la suite 𝑢𝑛 .
La réponse est analogue à celle de la question V.2 (en changeant le sens des inégalités). On
montre que un est décroissante et minorée par M, donc converge vers M (question V.1)
V.4) Etudier le cas 𝑢0 = M.
Si u0 = M, on a pour tout n, un = u0 = M, suite constante.
7
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
L’épreuve est constituée de cinq exercices indépendants à traiter dans un ordre quelconque. Le
plus grand soin sera apporté à la rédaction et à la présentation des résultats.
Exercice 1


−3 4 3
On considère la matrice A =  −1 1 1 .
−2 3 2
1. Calculer le déterminant de A. En déduire une valeur propre de A.
La troisième ligne est somme des deux premières lignes de la matrice, donc le déterminant
est égal à 0. La matrice A n’est donc pas inversible et elle admet 0 comme valeur propre.
2. Calculer A3 . En déduire que A n’admet qu’une valeur propre.
On a A3 = 03 . Soit λ une valeur propre de A et soit X un vecteur propre associé. On a
A.X = λX donc en multipliant par A2 , on obtient λ3 .X = 0. Comme X est non nul car
vecteur propre, la seule valeur propre possible pour A est 0. D’après la première question le
spectre de A est donc bien {0}.
3. Montrer que A n’est pas diagonalisable.
On procède par l’absurde. Si A était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice nulle car
0 est sa seule valeur propre. Elle serait donc nulle. C’est faux, donc A n’est pas diagonalisable.

n
−2 4 3
4. Soit n ∈ N. Calculer  −1 2 1  à l’aide des questions précédentes.
−2 3 3
1
Cette matrice est A + I3 . Comme A et I3 commutent, et puisque A3 = 03 , par la formule du
binôme de Newton pour les matrices, on a
2 X
n k
(A + I3 ) =
A
k
n
k=0
= I3 + nA +
n(n − 1) 2
A
2


1 − 3n − n(n − 1)/2 4n + n(n − 1)/2
3n + n(n − 1)/2
.
−n
1+n
n
=
−2n − n(n − 1)/2 3n + n(n − 1)/2 1 + 2n + n(n − 1)/2
Exercice 2
On considère deux dés à six faces équilibrés, un rouge et un blanc. On lance simultanément les
deux dés jusqu’à obtenir avec le dé blanc un résultat strictement supérieur à celui du dé rouge. On
note N le nombre de lancers effectués.
1. Déterminer la probabilité p d’obtenir un résultat strictement supérieur sur le dé blanc lors
d’un seul lancer.
Les 36 couples résultats (b, r) sont équiprobables. On a 15 couples tels que 6 ≥ b > r ≥ 1,
5
donc la probabilité est égale à 15
36 = 12 .
2. Rappeler la loi suivie par la variable aléatoire N et préciser son espérance.
N est le nombre d’expériences effectuées pour obtenir un succès dans un schéma de Bernoulli
de paramètre p, elle suit donc la loi géométrique de paramètre p. Son espérance est donc
E(N ) = p1 = 12
5 .
3. On note M le nombre de fois, parmi les N lancers, où les deux dés ont donné simultanément
un 1. Soit n ∈ N∗ . Soit k ∈ N∗ . Donner la probabilité conditionnelle que M = k sachant que
N = n, notée P(N =n) (M = k), suivant les valeurs de n et de k.
Si k > n, cette probabilité conditionnelle est clairement nulle. Sinon, on se retrouve dans le
cas de n − 1 tirages dans un schéma de Bernoulli. A chaque tirage, les résultats possibles sont
les (b, r) tels que b ≤ r, donc on a 21 résultats possibles, équiprobables. Seul le résultat (1, 1)
est un succès. On a donc en utilisant la loi binomiale :
n − 1 20n−1−k
P(N =n) (M = k) =
.
k
21n−1
4. En utilisant la formule du binôme de Newton négative, assurant que si r ∈ N et x ∈ [0, 1[ on
a:
+∞ X
1
n n−r
=
x ,
r+1
(1 − x)
r
n=r
2
déterminer la loi de M .
On a M (Ω) = N. Soit k ∈ N. On a par la formule des probabilités totales, en utilisant le
système complet d’événements (N = n)n∈N∗ :
P (M = k) =
=
+∞
X
P ((M = k) ∩ (N = n))
n=1
+∞
X
P ((M = k) ∩ (N = n))
n=k+1
+∞ X
n−1
7
n − 1 20n−1−k 5
=
n−1
21
12 12
k
n=k+1
n−1−k
+∞ 5 1 X n−1
20
=
k
12 36
k
36
n=k+1
k
5
1
1
=
k+1
12 36
1 − 20
36
15 1
=
.
16 16k
Exercice 3
On note pour tout n entier supérieur ou égal à 3 :
Pn (X) = X n − X 2 + X − 1
1. Déterminer les racines réelles de P3 (X).
On peut écrire P3 (X) = (X − 1)(X 2 + 1) donc la seule racine réelle de P3 (X) est 1.
2. Montrer que Pn (x) est négatif pour tout x ∈ [0, 1].
Soit x ∈ [0, 1]. On a xn − x2 + x − 1 = x2 (xn−2 − 1) + x − 1 donc Pn (x) ≤ 0 comme somme
de deux nombres négatifs.
3. Calculer Pn0 (X). En déduire que si n est impair alors l’unique racine réelle de Pn (X) est 1.
On a Pn0 (X) = nX n−1 − 2X + 1. Donc la fonction polynomiale Pn est strictement croissante
sur R− , car dérivable de dérivée strictement positive, puisque n − 1 est pair. Or Pn (0) = −1 et
la fonction Pn est continue et strictement croissante sur R− donc Pn est négative sur ] − ∞, 1]
d’après la question précédente. Elle est strictement supérieure à 0 sur ]1, +∞[ comme somme
de deux nombres strictement positifs, donc elle ne peut avoir que 1 comme racine réelle.
4. Justifier que Pn (X) a exactement deux racines réelles si n est pair.
On a Pn0 (X) strictement positif sur [1, +∞[, ce qui se voit facilement via la décomposition
Pn0 (X) = (n − 2)X n−1 + 2X(X n−2 − 1) + 1. Il est strictement négatif sur ] − ∞, −1] car
3
nX n−1 < nX sur ] − ∞, −1], n étant pair, et donc
Pn0 (X) < nX − 2X + 1 = (n − 2)X + 1 ≤ −n + 3 ≤ 0.
Or Pn (X) est négatif sur [−1, 1]. Finalement, comme Pn a pour limite +∞ en −∞, on en
déduit par théorème de bijection continue que Pn (X) a deux racines réelles si n est pair, une
appartenant à ] − ∞, −1], l’autre égale à 1.
Exercice 4
On considère l’espace vectoriel E des fonctions continues de R dans R et F l’espace vectoriel
des fonctions continues de R2 dans R. Soit l’application T définie de E dans F par
T (f )(x, y) = xf (y) + yf (x)
1. Montrer que T est une application linéaire.
Soit λ ∈ R et soient f1 , f2 deux fonctions de E. On a pour tous x, y de R :
T (λf1 + f2 )(x, y) = x((λf1 + f2 )(y)) + y((λf1 + f2 )(x))
= xλf1 (y) + xf2 (y) + yλf1 (x) + yf2 (x)
= λ.T (f1 )(x, y) + T (f2 )(x, y)
donc T est bien linéaire.
2. Soit f élément de E tel que pour tous x, y de [0, 1] on ait
T (f )(x, y) ≤ 1.
Montrer qu’on a
Z 1
f (t)dt ≤
0
π
.
4
En appliquant les changements de variables t = cos(u) et t = sin(v), on a :
Z 1
0
Z π
Z 1
f (t)dt +
2
f (t)dt =
0
Z π
2
sin(u)f (cos(u))du +
0
cos(v)f (sin(v))dv
0
Z π
2
=
sin(t)f (cos(t)) + cos(t)f (sin(t))dt.
0
En utilisant la majoration par 1 avec x = sin(t) et y = cos(t) on obtient :
Z π
Z 1
2
f (t)dt ≤
2
0
0
ce qui donne l’inégalité demandée.
4
1dt =
π
2
3. On rappelle que l’ensemble des fonctions f définies sur R∗+ satisfaisant
∀x, y > 0, f (xy) = f (x) + f (y)
est constitué des fonctions de la forme f : x 7→ λ. ln(x) où λ ∈ R et où on note ln la fonction
logarithme népérien. Soit G l’ensemble des éléments de E tels que T (f )(x, y) = f (xy) pour
tout x et tout y réels.
(a) En considérant cette dernière égalité pour x > 0 et y > 0, déterminer la forme de f (x)
sur R+ .
Pour x et y strictement positifs, on a en divisant par xy :
f (xy)
f (y) f (x)
=
+
,
xy
y
x
satisfait g(xy) = g(x) + g(y) pour tous réels x et y
donc la fonction g : x 7→ f (x)
x
strictement positifs. On peut donc affirmer que g est de la forme g(x) = λ ln(x) avec
λ ∈ R. Cela donne, pour x > 0 :
f (x) = λx ln(x).
Comme f est continue, et comme x ln(x) tend vers 0 en 0 par croissances comparées, on
a f (0) = 0.
(b) Montrer que pour tout f ∈ G on a f (−1) = 0 et en déduire que f est impaire.
On 0 = f ((−1)2 ) = −2f (−1) donc f (−1) = 0. Pour tout x réel on a donc
f (−x) = −f (x) + xf (−1) = −f (x)
ce qui donne bien f impaire.
Exercice 5
Soit n ∈ N∗ . On note :
Z +∞
In =
cos(x)e−nx dx
0
1. Montrer que l’intégrale In est convergente.
L’intégrale est impropre en +∞. On a pour x voisin de +∞ :
x2 .| cos(x)e−nx | ≤ x2 .e−nx ,
or x2 .e−nx tend vers 0 quand x tend vers +∞, donc R| cos(x)e−nx | est négligeable devant 1/x2
+∞ 1
au voisinage de +∞. Comme l’intégrale de Riemann 1
dx est convergente, par théorème
x2
de comparaison, l’intégrale In est absolument convergente, donc convergente.
5
2. Calculer la valeur de In en fonction de n et montrer que la suite (In ) est convergente de limite
nulle.
On a par double intégration par parties (tous les termes apparaissant sont bien définis) :
Z +∞
+∞
In = sin(x)e−nx 0 + n
sin(x)e−nx dx
0
Z +∞
+∞
−nx
−nx
cos(x)e
dx
= n − cos(x)e
−n
0
0
= n(1 − nIn ).
Par conséquent, on a :
(1 + n2 )In = n
n
ce qui donne In = 1+n
2 . On retrouve bien la limite égale à 0 quand n tend vers +∞.
6
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Faut-il attacher de l’importance à la manière de s’habiller ?
Sujet n° 2
« Qu’elle soit nécessaire ou même justifiée, ne croyez jamais que la guerre
n’est pas un crime ».
Partagez-vous cette opinion de l’écrivain américain Ernest Hemingway
(1899-1961) ?
Sujet n° 3
« Il n’y a vraiment de beau que ce qui ne peut servir à rien ; tout ce qui est
utile est laid » a dit l’écrivain Théophile Gautier au XXème siècle. Qu’en
pensez-vous ?
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DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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ET DE MANAGEMENT
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AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’épreuve est composée d’un exercice et d’un problème, indépendants, à traiter dans un ordre
quelconque.
Exercice :
On rappelle qu’une suite 𝑢𝑛 est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
On définit la suite récurrente (𝑢𝑛 ), où 𝑛 est un entier naturel, par son premier terme 𝑢0, avec
𝑢0 > 0, et sa relation générale :
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛2
1) Montrer que la suite (𝑢𝑛 ) est monotone. Pour quelles valeurs de 𝑢0 la suite (𝑢𝑛 ) est-elle
croissante ? Décroissante ?
2) En déduire les valeurs de 𝑢0 pour lesquelles la suite (𝑢𝑛 ) converge et calculer sa limite.
Problème :
Le symbole Ln désigne le logarithme népérien.
On définit la fonction 𝑓𝑎 de la variable réelle 𝑥 par :
𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑓𝑎 (𝑥) = (4 + 3𝑥)𝑎 ,
où D est l’ensemble ] − 4/3, +∞ [, et a un nombre réel quelconque.
Partie I
Dans cette partie, on prend 𝑎 = 1⁄2.
I.1) Calculer les dérivées première et seconde de 𝑓1⁄2. Etudier leur signe.
1
I.2) Calculer les limites de 𝑓1⁄2 (𝑥) et 𝑓1′⁄2 (𝑥) quand 𝑥 → −4/3.
I.3) Quelles sont les coordonnées de A, point d’intersection de (C 1/2), courbe représentant
𝑦 = 𝑓1⁄2 (𝑥), et de la droite (B) d’équation 𝑦 = 𝑥 ?
Donner l’équation de la tangente à la courbe (C1/2) au point A.
I.4) Donner le tableau de variations de 𝑓1⁄2 et tracer son graphe.
4
I.5) Calculer l’intégrale 𝐼(1⁄2) = ∫−1 𝑓1⁄2 (𝑥)𝑑𝑥.
Partie II
Dans cette partie, le paramètre a de la fonction 𝑓𝑎 (𝑥) = (4 + 3𝑥)𝑎 est un nombre réel positif
ou nul.
II.1) Quelles sont les courbes représentant les cas particuliers 𝑎 = 0 et 𝑎 = 1.
II.2) Calculer 𝑓𝑎′ et 𝑓𝑎′′ , respectivement dérivées première et seconde de 𝑓𝑎 .
Etudier leur signe selon les valeurs de 𝑎.
II.3) Montrer que toutes les courbes (𝐶𝑎 ) représentant les fonctions 𝑓𝑎 passent par un point
commun F dont on calculera les coordonnées (𝑥𝐹 , 𝑦𝐹 ). Donner l’équation de la tangente à (𝐶𝑎 )
au point F.
II.4) Etudier les limites de 𝑓𝑎 (𝑥) et 𝑓𝑎′ (𝑥) quand 𝑥 tend vers – 4/3 et vers + ∞.
II.5) Donner le tableau de variations de 𝑓𝑎 et tracer son graphe.
4
II.6) Calculer l’intégrale 𝐼(𝑎) = ∫−1 𝑓𝑎 (𝑥)𝑑𝑥 .
II.7) On note, comme en Partie I, par A le point d’intersection de la droite 𝑦 = 𝑥 avec la courbe
(𝐶𝑎 ) représentant 𝑓𝑎 . On note (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ) ses coordonnées.
𝑥
Donner, en fonction de 𝑥𝐴 , l’expression de l’intégrale 𝐼𝐴 = ∫−1𝐴 𝑓𝑎 (𝑥)𝑑𝑥 .
II.8) Soit un réel positif 𝑏 tel que 𝑏 > 𝑎. Comparer les positions respectives des courbes (𝐶𝑎 )
et (𝐶𝑏 ).
Partie III
Dans cette partie, on prend 𝑎 réel quelconque.
III.1) Calculer la valeur de 𝑓𝑎 . 𝑓−𝑎 .
III.2) Calculer les expressions de 𝑓𝑎′ et 𝑓𝑎′′ et étudier leur signe.
III.3) Le point F est-il aussi un point commun pour toutes les courbes (𝐶𝑎 ), 𝑎 réel ?
III.4) Donner le tableau de variations de 𝑓𝑎 , pour 𝑎 réel.
III.5) Tracer les fonctions 𝑓−1/2 et 𝑓−1.
Partie IV
On définit la suite récurrente (𝑢𝑛 ), 𝑛 étant un entier naturel, par :
𝑢0 (𝑢0 > - 4/3)
𝑢𝑛+1 = 𝑓1/2 (𝑢𝑛 ) = √4 + 3𝑢𝑛
IV.1) En supposant que la suite (𝑢𝑛 ) admette une limite L quand 𝑛 → +∞, calculer L.
IV.2) On suppose que 𝑢0 < 4. Etudier la convergence de la suite 𝑢𝑛 .
2
IV.3) On suppose que 𝑢0> 4. Etudier la convergence de la suite 𝑢𝑛 .
IV.4) Etudier le cas 𝑢0 = 4.
Partie V
On définit la suite récurrente (𝑢𝑛 ), 𝑛 étant un entier naturel, par :
𝑢0 (𝑢0 > - c/d)
𝑢𝑛+1 = √𝑐 + 𝑑𝑢𝑛
où 𝑐 et 𝑑 sont deux paramètres vérifiant 𝑐 > 0 et 𝑑 > 0.
V.1) En supposant que la suite (𝑢𝑛 ) admette une limite M quand 𝑛 → +∞, calculer M.
V.2) On suppose que 𝑢0 < M. Etudier la convergence de la suite 𝑢𝑛 .
V.3) On suppose que 𝑢0 > M. Etudier la convergence de la suite 𝑢𝑛 .
V.4) Etudier le cas 𝑢0 = M.
3
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ÉCONOMIE
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l'un des deux sujets suivants.
Sujet 1
Après avoir décrit de manière théorique les avantages et les inconvénients des zones
monétaires, vous analyserez les enjeux actuels de la Zone franc dans un contexte
globalisé.
Sujet 2
Analysez le commentaire du Rapport 2023 sur l’Afrique de l’Organisation de coopération
et de développement économiques (OCDE) « Dynamiques du développement en Afrique.
Investir dans le développement durable » suivant :
« Depuis le début du 21e siècle, l’Afrique affiche le deuxième taux de croissance
économique le plus élevé au monde, après l’Asie en développement. Pourtant, malgré
cette croissance dynamique, l’investissement mondial s’est détourné de l’Afrique. Sa part
des investissements directs étrangers (IDE) en faveur de nouveaux projets est passée de
12 % du total mondial en 2017 à moins de 6 % en 2021 – contre 15 % pour l’Asie en
développement et 10 % pour l’Amérique latine et les Caraïbes. »
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AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L’épreuve est constituée de cinq exercices indépendants à traiter dans un ordre quelconque. Le
plus grand soin sera apporté à la rédaction et à la présentation des résultats.
Exercice 1


−3 4 3
On considère la matrice A =  −1 1 1 .
−2 3 2
1. Calculer le déterminant de A. En déduire une valeur propre de A.
2. Calculer A3 . En déduire que A n’admet qu’une valeur propre.
3. Montrer que A n’est pas diagonalisable.

n
−2 4 3
4. Soit n ∈ N. Calculer  −1 2 1  à l’aide des questions précédentes.
−2 3 3
Exercice 2
On considère deux dés à six faces équilibrés, un rouge et un blanc. On lance simultanément les
deux dés jusqu’à obtenir avec le dé blanc un résultat strictement supérieur à celui du dé rouge. On
note N le nombre de lancers effectués.
1. Déterminer la probabilité p d’obtenir un résultat strictement supérieur sur le dé blanc lors
d’un seul lancer.
1
2. Rappeler la loi suivie par la variable aléatoire N et préciser son espérance.
3. On note M le nombre de fois, parmi les N lancers, où les deux dés ont donné simultanément
un 1. Soit n ∈ N∗ . Soit k ∈ N∗ . Donner la probabilité conditionnelle que M = k sachant que
N = n, notée P(N =n) (M = k), suivant les valeurs de n et de k.
4. En utilisant la formule du binôme de Newton négative, assurant que si r ∈ N et x ∈ [0, 1[ on
a:
+∞ X
1
n n−r
=
x ,
(1 − x)r+1 n=r r
déterminer la loi de M .
Exercice 3
On note pour tout n entier supérieur ou égal à 3 :
Pn (X) = X n − X 2 + X − 1
1. Déterminer les racines réelles de P3 (X).
2. Montrer que Pn (x) est négatif pour tout x ∈ [0, 1].
3. Calculer Pn0 (X). En déduire que si n est impair alors l’unique racine réelle de Pn (X) est 1.
4. Justifier que Pn (X) a exactement deux racines réelles si n est pair.
Exercice 4
On considère l’espace vectoriel E des fonctions continues de R dans R et F l’espace vectoriel
des fonctions continues de R2 dans R. Soit l’application T définie de E dans F par
T (f )(x, y) = xf (y) + yf (x)
1. Montrer que T est une application linéaire.
2. Soit f élément de E tel que pour tous x, y de [0, 1] on ait
T (f )(x, y) ≤ 1.
Montrer qu’on a
Z 1
f (t)dt ≤
0
π
.
4
3. On rappelle que l’ensemble des fonctions f définies sur R∗+ satisfaisant
∀x, y > 0, f (xy) = f (x) + f (y)
2
est constitué des fonctions de la forme f : x 7→ λ. ln(x) où λ ∈ R et où on note ln la fonction
logarithme népérien. Soit G l’ensemble des éléments de E tels que T (f )(x, y) = f (xy) pour
tout x et tout y réels.
(a) En considérant cette dernière égalité pour x > 0 et y > 0, déterminer la forme de f (x)
sur R+ .
(b) Montrer que pour tout f ∈ G on a f (−1) = 0 et en déduire que f est impaire.
Exercice 5
Soit n ∈ N∗ . On note :
Z +∞
In =
cos(x)e−nx dx
0
1. Montrer que l’intégrale In est convergente.
2. Calculer la valeur de In en fonction de n et montrer que la suite (In ) est convergente de limite
nulle.
3
REMARQUES ET RECOMMANDATIONS DU JURY
Concours ISE OPTION MATHEMATIQUES
SESSION 2024
Ordre général
1. Les sujets, des choix relativement équilibrés
Contrairement à l’année précédente, cette année les choix de sujets ont été équilibrés. Si le sujet n°1 « pourquoi
punir ? » arrive en tête des choix, les deux autres sujets ont été largement traités aussi.
Pourquoi punir ? Ce sujet a donné lieu à de très bonnes copies où la notion de coercition était envisagée à différents
niveaux : personnels, sociétal, éducatif, judiciaire. Quelques copies ont pointé le paradoxe du sujet ou comment
obtenir un bien en utilisant la soumission, la contrainte. L’écueil du sujet était de s’embourber dans une liste
d’exemples et de contre-exemples. Cependant j’ai découvert avec plaisir une référence à Surveiller et punir de M.
Foucault.
Vivre avec son temps. Impératif ou illusion. Sujet d’abord « plus facile » qui a été amplement traité avec un plan
classique de thèse, antithèse, synthèse. J’ai pu lire des réflexions intéressantes sur les normes et les contraintes de
chaque époque et l’envie et parfois la nécessité de s’en affranchir quitte à ne plus vire avec son temps.
« Si je ne suis pas moi-même alors je ne suis personne ». La citation de Virginia Woolf a engendré des bonnes et des
mauvaises copies. Sujet marqué dans « l’air du temps » où les injonctions à être soi-même sont pléthoriques et
envahissantes. J’ai pu lire des réflexions pertinentes sur les injonctions paradoxales de notre époque : du groupe à
l’individualisme le plus marqué et l’identité comme affirmation et contrainte.
2. Quelques remarques sur le fond
L’épreuve 2024 restera comme assez mitigée avec dans l’ensemble de visibles efforts sur la forme mais contrecarrés
par des copies mauvaises voire très mauvaises. Comme souvent dans ce type d’examens la gestion du temps, plus
exactement la mauvaise gestion du temps, est très visible sur les copies. Nous passons souvent d’un début très
abouti et travaillé à une fin bâclée et hors sujet.
3. Quelques remarques sur la forme
Beaucoup de fautes d’orthographe « punission », « malgrés », « temp », etc. En revanche, et comme souvent, les
erreurs de syntaxe m’interpellent : l’absence des marques de pluriel sur les substantifs, les adjectifs, les verbes
conjugués, la mauvaise conjugaison de certains verbes simples au futur.
Peu de citations cette année dans les copies mais utilisées de façon pertinente. Cependant encore et toujours la
citation de T. Hobbes « L’homme est un loup pour l’homme » attribuée correctement mais aussi de façon plus
fantaisiste à Rousseau, Voltaire et d’autres.
Enfin l’articulation entre les parties est parfois inexistante ou mal utilisée. Ainsi débuter son premier argumentaire par
« enfin » est inadapté.
Première composition de mathématiques
Présentation de l’épreuve et résultats
La première composition de mathématiques, d’une durée de 4h, était constituée de deux problèmes : un problème
d’analyse et un problème d’algèbre.
Le problème d’analyse portait sur l’étude d’une suite d’intégrales dépendantes d’un paramètre. Après avoir étudié
différents cas particuliers dans les Parties I et II, la Partie III proposait le calcul d’un équivalent de la suite. Ce
problème faisait intervenir plusieurs savoir-faire du programme : étude d’intégrales impropres, intégrations par parties,
calculs d’équivalents et développements asymptotiques, changement de variable, calcul d’une série de Fourier,
manipulation d’inégalités, entre autres.
Le problème d’algèbre était lui construit sur la base des propriétés de l’application linéaire de dérivation discrète des
polynômes. Il était alors possible d’étudier en partie les caractéristiques des polynômes de Hilbert et de Bernoulli. En
rassemblant les résultats obtenus, on établissait une formule explicite pour calculer les nombres de Bernoulli. Encore
une fois, les candidats étaient invités à utiliser les compétences attendues du programme pour résoudre des
problématiques diverses autour des espaces vectoriels, des applications linéaires, des polynômes et des calculs
algébriques.
L’épreuve contenait donc à la fois de nombreuses questions liées directement aux définitions et aux connaissances
exigibles et des questions plus techniques ce qui a permis de classer naturellement les candidats :
-Un certain nombre de candidats ne maitrisent pas les notions élémentaires du programme et la note attribuée à leur
copie est donc très faible.
-Cette épreuve a permis aux candidats de niveau convenable d’aborder des questions un peu plus techniques et
d’obtenir alors des résultats satisfaisants.
-Quelques candidats ont traité de nombreuses questions avec efficacité, et ont su ainsi dévoiler leur savoir-faire,
obtenant ainsi de très bonnes notes.
Contenu des copies
La plupart des candidats n’apportent pas suffisamment de soin à la présentation de leur copie : l’écriture est bâclée, il
n’y a pas d’espace entre les différentes questions et les résultats ne sont quasiment jamais encadrés ou même
soulignés.
De très nombreux candidats recopient l’énoncé des questions, c’est une perte de temps pour eux et cela n’apporte
rien à la valeur de la copie. En revanche, les candidats devraient introduire chaque question en précisant la méthode
qu’ils vont employer (par exemple, dire « je vais effectuer une démonstration par récurrence », ou « calculons cette
intégrale » ...) et ils devraient surtout conclure chaque question par une petite phrase soulignée ou encadrée qui
montre qu’ils ont répondu à la question posée.
Les candidats présentant ce concours aspirent à devenir ingénieurs statisticiens et il semble souhaitable qu’ils soient
en mesure de présenter leur travail avec clarté.
Globalement, la plupart des candidats ont traité des questions dans les deux problèmes de cette épreuve. C’est une
très bonne initiative puisque, aussi bien en analyse qu’en algèbre, le sujet contenait des questions s’appuyant sur des
définitions et des notions élémentaires du programme.
Concernant le sujet d’analyse :
-La Partie I a été traitée par la quasi-totalité des candidats. Un certain nombre d’entre eux devraient pouvoir fournir
une rédaction plus concise et plus précise des études d’intégrabilité. Dès le début, la question 2.b) a permis de
distinguer les candidats de bon niveau. Cependant, il est regrettable que les intégrations par parties ne soient pas
justifiées.
-La Partie II a été également beaucoup abordée. L’application du théorème du changement de variable à la question 4
a malheureusement été faite systématiquement sans justification. Dans les questions 5 et 6, presque tous les
candidats ont cherché à intégrer une série de fonctions terme à terme sans aucune justification, ou en évoquant des
théorèmes confus avec des énoncés inexacts, alors que l’énoncé incitait justement à manipuler uniquement des
sommes finies. Enfin, le calcul des coefficients de Fourier demandé en question 8. a) a été globalement mal réussi.
-La Partie III a été peu traitée et avec peu de succès, à part pour les questions 11. à 13. a) qui étaient largement
abordables. La fin du problème était très technique et très peu de candidats ont cherché à aborder ces questions.
Concernant le sujet d’algèbre :
-La Partie I a été abordée par presque tous les candidats. Malheureusement, les notions d’endomorphisme,
d’isomorphisme et de sous-espace vectoriel ne sont pas connues de tous.
-Dans les parties II et III, beaucoup de candidats ont pioché les questions qui leur semblaient faisables pour récupérer
des points. Dans les questions 8 et 14, beaucoup de candidats donnent les degrés des polynômes sans aucune
justification. Les questions 10, 11 et 16 ont permis de mettre en valeur quelques candidats de très bon niveau.
-Malheureusement la partie IV, donnant une forme explicite des nombres de Bernoulli n’a jamais été achevée.
Deuxième composition de mathématiques
Contexte
L’épreuve est composée de 6 exercices indépendants. Deux exercices portent sur l’algèbre (diagonalisation de
matrices, inverse, ensemble convexe, espace euclidien) et les quatre autres sur l’analyse (continuité, dérivabilité,
suites, étude de fonctions, calcul intégral, fonction de deux variables)
Comme les années précédentes, l’épreuve est peut-être un peu longue, mais il s’agit d’un concours et elle a été
strictement notée sur vingt.
Résultats
Il me semble que les résultats sont moins bons cette année.
Des difficultés sont à noter dans le calcul intégral et la détermination des valeurs propres d’une matrice (souvent les
candidats se lancent dans les calculs sans remarquer les simplifications possibles par des combinaisons linéaires des
lignes ou des colonnes de la matrice). Notons également que l’exercice sur une fonction de deux variables a été
moins traité.
Chaque question a toujours été traitée par au moins une dizaine de candidats. L’étude des fonctions est le thème le
mieux réussi dans l’ensemble, mais très souvent des résultats évidents sont détaillés. Les candidats perdent trop de
temps sur ces résultats simples.
Contraction de texte
Cette année, le texte choisi était un article intitulé « La digitalisation agricole africaine décryptée ». Il parle d’un rapport
publié en 2019 par le centre technique de coopération agricole et rurale (le CTA) qui brosse un tableau précis de la
situation. L’article explique en quoi ce rapport est une référence pour tous les acteurs du secteur agricole et expose
les enjeux de la digitalisation agricole sur le continent.
L’article est principalement centré sur la situation en Afrique mais par son actualité, la thématique dépasse les
frontières. Riche d’informations, le texte ne comporte pas de jargon mais nécessite de bien comprendre les nuances
et les liens entre les parties.
D’une longueur de 1812 mots, le texte était à réduire en 180 mots avec 10% de marge.
Pour réduire le texte, il s’agissait d’identifier les idées principales et de les lier, de soigner l’expression écrite pour
retrouver la logique du texte, son esprit et le point de vue de l’auteur. L’exercice n’est pas aisé et demande de la
méthode et de l’entrainement.
Les notes tiennent compte de la compréhension du texte, du niveau de synthèse des idées, de la qualité de
l’expression écrite et de la construction générale du résumé.
Les candidats ont fourni dans l‘ensemble un travail sérieux et ont usé de stratégies pour embrasser l’essentiel du texte
en peu de mots. Les productions sont hétérogènes. Les notes vont de 0 à 20. Quelques copies excellentes sortent du
lot dans chaque pays.
Observations
La longueur
Les candidats ont inscrit le nombre de mots en fin de copie, souvent encadré du nombre de mots minimum et
maximum (sauf pour une petite dizaine de copies où le nombre de mots n’est pas inscrit).
La règle de comptage est que chaque signe vaut un mot (l’= 1).
- Les nombres et des symboles (%) doivent être écrits en lettres et comptabilisés.
- S’il y a des intertitres, les mots sont comptés.
- Encore beaucoup de copies dépassent la longueur maximale exigée, ce qui est sanctionné par un 0/20.
La consigne
Souvent bien comprise, elle n’a pas été respectée dans les cas suivants (hors sujet) :
- le texte est recopié mots pour mots jusqu’à atteindre une longueur de 180 mots ;
- des paragraphes du texte sont cités entre guillemets ;
- l’exercice n’est pas un commentaire de texte : aucune interprétation des idées, pas d’extrapolation, de jugement, ni
de « nous », « il pense que », « l’auteur dit que » … L’énonciation et la situation temporelle sont respectées.
Les candidats ont parfois ajouté à la contraction de texte, une discussion, ce qui les a sanctionnés en termes de
temps consacré à l’exercice.
La forme
Dans l’ensemble, les copies comme les écritures sont soignées et offrent une bonne lisibilité. 2 copies n’ont pu être
déchiffrées.
La forme en paragraphes était attendue.
Citer une personne : indiquer le prénom et le nom ou M. Mizzi (pas uniquement le prénom) et préciser sa fonction, qui
est-ce ? (= d’où parle-t-elle ?). Peu pertinent dans une contraction de 180 mots.
Le contenu et le sens
L’analyse et la compréhension du texte ont souvent été trop partielles ou approximatives.
Il s’agit de hiérarchiser les idées, de ne garder que les idées principales et de respecter l’équilibre des parties.
Ex. : un tiers du résumé est consacré à une seule idée, parfois secondaire.
Eliminer les détails n’apportant pas d’informations supplémentaires (une liste d’exemples, la description du
classement des données, où et à qui a été présenté le rapport…)
De quoi parle-t-on ?
Le rapport n’est parfois pas cité (titre, le CTA…).
Définir précisément le sujet, le circonscrire (le développement technologique de l’Afrique ≠ la digitalisation de
l’agriculture africaine)
La langue
L’expression écrite est d’un niveau variable, d’une non maîtrise du français à une fluidité efficace.
Vigilance sur l’orthographe, la syntaxe et la ponctuation. Beaucoup d’erreurs d’accord ont été relevées.
Le niveau de langue standard est attendu dans ce texte (≠ familier)
Attention à l’orthographe des noms propres.
Dans l’ensemble, des efforts ont été faits pour trouver des stratégies de contraction et de synthèse. Quelques
remarques :
- Le lexique du texte contracté est différent de celui du texte initial (synonymes, paraphrases, nominalisation…).
Certains mots clés restent toutefois incontournables (ex. : la digitalisation), sans synonyme adapté. Ne pas perdre le
sens dans la reformulation (ex. la digitalisation agricole ≠ l’agriculture digitale).
- Eviter la paraphrase plus longue et moins précise que la phrase originale.
- Quelques productions sont le résultat d’une succession de phrases ou d’idées sans relation logique. Le choix des
mots de liaison est parfois inadapté. Veiller à structurer votre résumé en conservant le mouvement du texte.
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apporté à la rédaction et à
la présentation des résultats.
1
Problème d’analyse
Z +∞
Dans ce problème, nous nous intéressons à des intégrales de la forme
où α est un réel strictement positif et n un entier naturel.
0
1
dt
(1 + tα )n
Partie I : Étude de cas particuliers
1. Dans cette question, traitons le cas α = 1.Z
+∞
1
dt.
(1
+
t)n
0
a) Déterminer les entiers naturels n pour lesquels l’intégrale un est convergente puis
la calculer.
Soit n ∈ N. La fonction R+ → R
est continue sur R+ et on a :
1
t 7→
(1 + t)n
On pose pour tout entier naturel n, un =
1
1
∼
n
t→+∞
(1 + t)
tn
1
donc, par le critère de Riemann, un est un intégrale convergente si et seulement si n > 1,
c’est-à-dire n ≥ 2 car n est entier.
Soit n ≥ 2. On a :
Z +∞
un =
0
+∞
1
1
1
=
.
n dt =
n−1
(1 + t)
n−1
(−n + 1) (1 + t)
0
b) Donner un équivalent de un lorsque n → +∞.
D’après la question précédente, on a : un
∼
1
n→+∞ n
.
2. À présent, on s’intéresse au cas particulierZ où α est égal à 2.
+∞
1
dt.
On pose pour tout entier naturel n, vn =
(1 + t2 )n
0
a) Déterminer les entiers naturels n pour lesquels l’intégrale vn est convergente.
Soit n ∈ N. La fonction R+ → R
est continue sur R+ et on a :
1
t 7→
(1 + t2 )n
1
1
∼
(1 + t2 )n t→+∞ t2n
donc, par le critère de Riemann, vn est un intégrale convergente si et seulement si n ∈ N∗ .
b) Montrer que pour tout entier naturel non nul n on a la relation de récurrence :
vn+1 =
2n − 1
vn .
2n
Soit n ≥ 1. On a, pour tout T > 0,
Z T
Z T
Z T
t2
1
1
dt
−
dt
=
n
n+1
n+1 dt.
2
0 (1 + t2 )
0 (1 + t2 )
0 (1 + t )
Donc par intégration par parties :
Z T
Z T
1
(−2n) × t
t2
dt
t×
n+1 dt = − 2n
2
(1 + t2 )n+1
0 (1 + t )
0
T
Z T
1
t
1
1
=−
+
dt.
2n (1 + t2 )n 0
2n 0 (1 + t2 )n
Lorsque T → +∞, les trois termes convergent donc on obtient par passage à la limite :
Z +∞
t2
vn
n+1 dt = 0 + 2n .
2
(1 + t )
0
Par conséquent,
vn+1 = vn −
2
vn
2n − 1
=
vn .
2n
2n
c) En déduire l’expression de vn+1 pour tout n ∈ N.
On montre par récurrence sur n ∈ N :
n
Y
(2k − 1)
vn+1 = k=1n
Y
v1 =
(2k)
k=1
1
(2n)!
(2n)!
v1 = 2n
v1 .
n
n
Y
Y
2 (n!)2
(2k)
(2k)
k=1
k=1
Puisque,
Z +∞
v1 =
0
π
1
dt = [Arctan(t)]+∞
= ,
0
2
1+t
2
on en déduit pour tout n ∈ N : vn+1 =
d) On rappelle la formule de Stirling : n!
(2n)!
22n+1 (n!)2
∼
n→+∞
π.
nn e−n
√
2πn.
Déterminer alors un équivalent de vn lorsque n → +∞.
On a, d’après la formule de Stirling,
√
√
(2n)2n e−2n 4πn
π −1
vn+1 ∼
π=
n 2.
n→+∞ 22n+1 n2n e−2n (2πn)
2
√
√
1
π
π −1
Ainsi, vn ∼
(n − 1)− 2 donc vn ∼
n 2.
n→+∞ 2
n→+∞ 2
Partie II : Étude du cas n = 1
Z +∞
Dans cette partie, on pose pour tout réel strictement positif α, K(α) =
0
1
dt.
1 + tα
3. Déterminer l’ensemble des réels strictement positifs α tels que K(α) soit une intégrale
convergente.
1
1
Soit α ∈ R∗+ . La fonction R+ → R
est continue sur R+ et on a :
∼
α
1 + t t→+∞ tα
1
t 7→
1 + tα
donc, par le critère de Riemann, K(α) est un intégrale convergente si et seulement si α > 1.
Dans la suite de ce problème, on fixe un réel α strictement supérieur à 1.
4. Démontrer que :
Z 1
K(α) =
0
1
dt +
1 + tα
3
Z 1
0
tα−2
dt.
1 + tα
La fonction ϕ : [1, +∞[ → ]0, 1] est bijective, strictement décroissante et de classe C 1
1
t 7→
t
donc on a par le théorème du changement de variable :
Z +∞
Z +∞ −α 2
1
t t (−1)
dt = −
dt
α
−α
1+t
t + 1 t2
1
1
Z +∞
ϕ(t)α−2 0
ϕ (t)dt
=−
1 + ϕ(t)α
1
Z 0 α−2
u
=−
du
α
1 1+u
Z 1 α−2
u
=
du.
α
0 1+u
Z 1 α−2
Z 1
t
1
dt
+
dt.
Donc, on obtient par la relation de Chasles : K(α) =
α
α
0 1+t
0 1+t
5. Montrer que pour tout entier naturel n on a :
Z 1
0
n
X (−1)k
1
dt
=
+ Rn
1 + tα
αk + 1
avec
k=0
On pourra appuyer le raisonnement sur l’étude de la somme
Z 1
0
1
dt =
1 + tα
Z 1X
n
(−tα )k dt +
0 k=0
n
X
(−tα )k pour t ∈ [0, 1].
k=0
n
X
1 − (−tα )n+1
On a pour tout t ∈ [0, 1],
(−tα )k =
.
1 + tα
k=0
Donc,
D’une part,
1
.
α(n + 1) + 1
|Rn | ≤
Z 1
0
(−tα )n+1
dt.
1 + tα
Z 1X
Z 1
n
n
n
X
X
(−1)k
α k
k
(−t ) dt =
(−1)
tαk dt =
αk + 1
0
0
k=0
k=0
k=0
par linéarité de l’intégrale. Et, d’autre part,
Z 1
Z 1
(−tα )n+1
1
dt ≤
tα(n+1) dt =
.
α
1+t
α(n + 1) + 1
0
0
Donc,
Z 1
0
n
X (−1)k
1
dt
=
+ Rn
1 + tα
αk + 1
k=0
4
avec
|Rn | ≤
1
.
α(n + 1) + 1
6. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul on a :
Z 1
0
n
X (−1)k−1
tα−2
dt
=
+ Sn
1 + tα
αk − 1
|Sn | ≤
avec
k=1
−2
On a pour tout t ∈ [0, 1], t
n
X
−2
α k
(−t ) = t
k=1
−tα − (−tα )n+1
1 + tα
1
.
α(n + 1) − 1
=
−tα−2 − t−2 (−tα )n+1
.
1 + tα
Donc,
Z 1
0
tα−2
dt = −
1 + tα
Z 1
t−2
0
n
X
(−tα )k dt −
k=1
Z 1 −2
t (−tα )n+1
dt.
1 + tα
0
D’une part,
Z 1
−
−2
t
0
n
X
α k
(−t ) dt =
k=1
n
X
k−1
Z 1
(−1)
t
αk−2
dt =
0
k=1
n
X
(−1)k−1
k=1
αk − 1
par linéarité de l’intégrale. Et, d’autre part,
Z 1
Z 1 −2
1
t (−tα )n+1
dt ≤
tα(n+1)−2 dt =
.
−
α
1+t
α(n + 1) − 1
0
0
Donc,
Z 1
0
n
X (−1)k−1
tα−2
dt
=
+ Sn
1 + tα
αk − 1
avec
|Sn | ≤
k=1
1
.
α(n + 1) − 1
7. Exprimer alors K(α) sous la forme d’une série convergente.
D’après les questions 4., 5. et 6. on a pour tout entier naturel n non nul :
K(α) =
n
X
(−1)k
+
n
X
(−1)k−1
+ Sn + Rn
αk + 1
αk − 1
k=1
n X
(−1)k
(−1)k−1
=1+
+
+ Sn + Rn
αk + 1
αk − 1
k=0
k=1
n
X
=1+2
k=1
(−1)k
+ Sn + Rn .
1 − α2 k 2
Or, on a Rn −−−−−→ 0 et Sn −−−−−→ 0 donc la somme converge et on a en passant à la limite :
n→+∞
n→+∞
+∞
X
(−1)k
K(α) = 1 + 2
.
1 − α2 k 2
k=1
5
8. Soit λ un nombre réel non nul.
On considère la fonction 2π-périodique f définie sur R et dont la restriction à [−π, π[ est
[−π, π[ −→ R
.
donnée par :
t 7−→ cos(λt)
a) Déterminer les coefficients de Fourier réels de la fonction f .
Montrons tout d’abord que la fonction f est une fonction continue sur R. f est continue
sur [−π, π[. De plus, lim cos(λt) = cos(λπ) et par 2π−périodicité de f ,
t→π −
lim cos(λt) = lim cos(λt) = cos(−λπ) = cos(λπ).
t→π +
t→−π +
Donc f est continue en π puis en π + 2kπ pour tout entier k par 2π−périodicité. Ainsi,
f est continue sur R.
Ses coefficients de Fourier réels sont donnés par :
Z π
1
1
sin(λπ)
a0 (f ) =
cos(λt) dt =
[sin(λt)]π−π =
,
2π −π
2πλ
λπ
et pour n ≥ 1,
Z
1 π
cos(λt) cos(nt)dt
an (f ) =
π −π
Z π
Z
1 π
1
cos((λ + n)t)dt +
cos((λ − n)t)dt
(par parité de la fonction cos)
=
π 0
π 0
1
1
=
sin((λ + n)π) +
sin((λ − n)π)
π(λ + n)
π(λ − n)
(−1)n sin(λπ) (−1)n sin(λπ)
+
=
π(λ + n)
π(λ − n)
n
2λ sin(λπ) (−1)
=
,
π
λ2 − n2
et,
1
bn (f ) =
π
Z π
cos(λt) sin(nt)dt = 0
−π
car la fonction intégrée est impaire.
b) Étudier la convergence de la série de Fourier de f et en déduire la valeur de la somme :
1 + 2λ2
+∞
X
(−1)n
n=1
λ2 − n2
.
f est continue et de classe C 1 par morceaux sur R donc, d’après le théorème de Dirichlet, sa
série de Fourier converge normalement donc converge simplement vers f . En particulier,
+∞
sin(λπ) X 2λ sin(λπ) (−1)n
f (0) =
+
cos(n × 0).
λπ
π
λ 2 − n2
n=1
6
D’où :
+∞
1=
sin(λπ) X 2λ sin(λπ) (−1)n
+
.
λπ
π
λ2 − n2
n=1
Or,
1 + 2λ2
+∞
X
(−1)n
n=1
Donc : 1 + 2λ2
+∞
X
(−1)n
n=1
λ2 − n 2
9. Montrer que : K(α) =
On a par 7. et par 8. :
+∞
sin(λπ) X 2λ sin(λπ) (−1)n
+
λπ
π
λ 2 − n2
λπ
=
2
2
λ −n
sin(λπ)
=
!
.
n=1
λπ
.
sin(λπ)
π
π .
α sin
α
+∞
K(α) = 1 +
π
2 X (−1)k
π .
=
2
1
α
2
α
sin
−k
k=1
α
α2
10. Retrouver le résultat pour le cas α = 2.
On a bien
Z +∞
π
π
1
π .
dt = [Arctan(t)]+∞
= =
K(2) =
0
2
1
+
t
2
0
2 sin
2
Partie III : Calcul d’un équivalent dans le cas général
Z +∞
Dans cette partie, nous allons déterminer un équivalent de
Z +∞
1
Posons donc, pour α > 1 fixé, In =
dt.
(1 + tα )n
0
0
1
dt lorsque n → +∞.
(1 + tα )n
11. Déterminer les entiers naturels n tels que In soit une intégrale convergente.
est continue sur R+ et on a :
Soit n ∈ N. La fonction R+ → R
1
t 7→
(1 + tα )n
1
1
∼
α
n
αn
(1 + t ) t→+∞ t
donc, par le critère de Riemann, In est un intégrale convergente si et seulement si αn > 1
donc si et seulement si n ≥ 1.
7
nα − 1
12. Montrer que pour tout n ≥ 1, In+1 =
In .
nα
Soit n ≥ 1. Les intégrales suivantes sont convergentes donc on a :
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
tα
1
dt
=
dt
−
dt.
In+1 =
n
(1 + tα )
(1 + tα )n+1
(1 + tα )n+1
0
0
0
Or, on a pour tout T > 0 par intégration par parties,
Z T
Z T
tα
1
(−n)αtα−1
dt
=
−
t
dt
α n+1
nα 0 (1 + tα )n+1
0 (1 + t )
T
Z T
1
t
1
1
=−
+
dt.
nα (1 + tα )n 0
nα 0 (1 + tα )n
Les
convergent lorsque T → +∞ donc, on obtient par passage à la limite :
Z +∞trois termes
1
tα
n+1 dt = 0 + nα In .
α
(1 + t )
0
1
nα − 1
Ainsi, In+1 = In −
In =
In .
nα
nα
13.
a) Justifier que pour tout n ≥ 1, on a In > 0.
La fonction intégrée est continue et strictement positive sur R+ donc In > 0.
1
On pose alors pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, zn = ln(In ) + ln(n).
α
b) Montrer que la série
X
(zn+1 − zn ) est convergente.
n≥1
Soit n ≥ 1. On a :
n+1
1
zn+1 − zn = ln
+ ln
α
n
1
1
1
= ln 1 −
+ ln 1 +
nα
α
n
1
1
1
1
=−
− 2 2+
−
+ o n−2
2
n→∞
nα 2n α
nα 2αn
1 + α −2
=−
n + o n−2 .
n→∞
2α2
In+1
In
Donc la série de terme général (zn+1 − zn )n≥1 converge par comparaison à une série
convergente à termes négatifs.
c) En déduire l’existence d’un réel L strictement positif tel que : In
∼
n→+∞
1
L n− α .
Tout d’abord, montrons que la suite (zn )n≥1 est convergente.
On a, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : zn − z1 =
n−1
X
(zk+1 − zk ). Comme
k=1
la série
X
(zn+1 −zn ) est convergente, on en déduit que (zn )n≥1 converge vers une limite
n≥1
8
l ∈ R. Donc,
1
In = exp zn − ln(n)
α
1
= ezn exp ln(n− α )
En notant L = el on a bien, L > 0 et In
9
∼
n→+∞
1
L n− α .
∼
n→+∞
1
el n− α .
1
À présent, nous allons calculer la valeur de L. Pour ce faire, posons pour tout n ≥ 1, Jn = n α In .
14.
a) Montrer que pour tout réel positif t on a l’encadrement : t − t2 ≤ ln(1 + t) ≤ t.
La fonction g : R+ → R
est de classe C 1 sur R+ de dérivée donnée par
t 7→ t − ln(1 + t)
1
0
g (t) = 1 −
> 0 pour tout t ∈ R+ . g est donc croissante sur R+ et on a g(0) = 0
1+t
donc pour tout réel positif t, ln(1 + t) ≤ t.
De même, la fonction h : R+ → R
est de classe C 1 sur R+ de dérivée
2
t 7→ ln(1 + t) − t + t
1
t(2t + 1)
donnée par h0 (t) =
−1+2t =
≥ 0 pour tout t ∈ R+ . h est donc croissante
1+t
t+1
sur R+ et on a h(0) = 0 donc pour tout réel positif t, ln(1 + t) ≥ t − t2 .
b) On rappelle que la fonction Γ est définie sur R∗+ par :
Z +∞
∀x > 0, Γ(x) =
e−t tx−1 dt.
0
Montrer que pour tout entier naturel non nul n on a :
1
Γ
α
1
≤ Jn .
α
Soit n ≥ 1. On a :
1
Z +∞
Jn = n α
exp(−n ln(1 + tα )) dt
0
≥n
1
α
Z +∞
exp(−ntα ) dt
(par 13.a)
0
=n
1
α
1
Z +∞
exp(−u)
u α −1
1
du
α nα
0
Z +∞
1
1
exp(−u)u α −1 du
α 0
1
1
= Γ
,
α
α
=
où l’on a appliqué le théorème du changement de variable en posant u = ϕ(t) avec
ϕ : R∗+ → R∗+ qui est une bijection de classe C 1 .
t 7→ ntα
c) Démontrer que :
√1
e n
Jn ≤
Γ
α
1
1
1
nα
nα
+
+
.
3 n
α
nα − 1
1 + n− 4
On pourra commencer par décomposer l’intégrale In de la manière suivante :
3
Z n− 4α
In =
0
1
dt +
(1 + tα )n
Z 1
1
dt +
3
− 4α
(1 + tα )n
n
10
Z +∞
1
1
dt.
(1 + tα )n
En premier lieu,
n
1
α
3
Z n− 4α
0
1
1
n dt = n α
α
(1 + t )
1
3
Z n− 4α
exp (−n ln(1 + tα )) dt
0
3
Z n− 4α
≤ nα
exp(−ntα ) exp(nt2α ) dt
(par 13.a)
0
1
=
α
Z n 14
u2
1
e−u e n u α −1 du,
0
où l’on
leh théorème
du changement de variable en posant u = ψ(t) avec
h a appliqué
i
i
3
1
− 4α
4
ψ : 0, n
→ 0, n
qui est une bijection de classe C 1 .
t 7→ ntα
√
h
i u2
n
1
n
4
De plus, on a pour tout u ∈ 0, n , e ≤ e n . Par conséquent,
n
1
α
3
Z n− 4α
1
1 √n
dt
≤
en
n
(1 + tα )
α
0
Z n 14
e
−u
u
1
−1
α
0
1 √n
du ≤ e n
α
Z +∞
√1
−u
e
u
1
−1
α
0
e n
Γ
du =
α
Ensuite,
1
nα
1
Z 1
3
1
1
1
nα
n (1 − n− 4 ) ≤ .
dt ≤ n α n
3
3
3 n
α
n− 4α (1 + t )
1 + n− 4
1 + n− 4
Enfin,
n
1
α
Z +∞
1
1
1
n dt ≤ n α
α
(1 + t )
Z +∞
1
1
tnα
dt = n
1
α
+∞
1
nα
t−nα+1
=
.
−nα + 1 1
nα − 1
Par conséquent, nous avons prouvé :
√1
e n
Jn ≤
Γ
α
1
1
1
nα
nα
+
+
.
3 n
α
nα − 1
1 + n− 4
d) Démontrer que :
1
In ∼
Γ
n→+∞ α
1
1
n− α .
α
√1
On a tout d’abord, e n −−−−−→ 1. Ensuite, on a par la question 13.a),
n→+∞
1
nα
= exp
3 n
1 + n− 4
1
ln(n)
ln(n)
− 43
− 12
4
− n ln(1 + n ) ≤ exp
−n +n
−−−−−→ 0.
n→+∞
α
α
11
1
.
α
Enfin,
1
1
nα
n α −1
∼
−−−−−→ 0
nα − 1 n→+∞ α n→+∞
(car α > 1).
Donc, d’après le lemme des gendarmes, on obtient avec les questions 13. b) et 13. c),
1
1
.
Jn −−−−−→ Γ
n→+∞ α
α
En conclusion,
1
In ∼
Γ
n→+∞ α
12
1
1
n− α .
α
2
Problème d’algèbre
Notations
Dans ce problème, nous utiliserons les notations suivantes :
• N désigne l’ensemble des entiers naturels.
• Z désigne l’ensemble des entiers relatifs.
• Pour tout entier naturel n, J0, nK désigne l’ensemble {k ∈ N | 0 ≤ k ≤ n}.
n
n
n!
• Pour deux entiers naturels n et p, on note
l’entier défini par
=
lorsque
p!(n − p)!
p
p
n
p ∈ J0, nK et
= 0 lorsque p > n.
p
• R[X] désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, muni des lois + et . usuelles.
• Pour n un entier naturel, Rn [X] désigne le sous-espace vectoriel de R[X] formé par les polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Soit E un espace vectoriel. On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E.
On définit IdE : E → E et 0L(E) : E → E où 0E désigne le vecteur nul de E.
x 7→ x
x 7→ 0E
Pour toute application linéaire u ∈ L(E), on définit par récurrence l’endomorphisme un pour tout
(
u0 = IdE
entier naturel n par :
un = un−1 ◦ u si n ∈ N∗
Partie I : Étude de la dérivation discrète
Pour P ∈ R[X], on pose ∆(P )(X) = P (X + 1) − P (X).
1. Montrer que ∆ : P 7→ ∆(P ) est un endomorphisme de R[X].
Soit P et Q deux éléments de R[X] et λ un réel. On a :
∆(λP + Q)(X) = (λP + Q)(X + 1) − (λP + Q)(X)
= (λP (X) − λP (X + 1)) + (Q(X) − Q(X + 1))
= [λ∆(P ) + ∆(Q)] (X).
Donc ∆ est un endomorphisme de R[X].
2. Déterminer le noyau de ∆.
Soit P ∈ R[X]. Si deg(P ) ≥ 1, alors ∆(P ) 6= 0. Et, si deg(P ) = 0, alors ∆(P ) = 0.
Par suite, Ker(∆) = R0 [X].
13
3. Soit n ≥ 0. On note ∆n la restriction de ∆ à Rn [X]. Démontrer que ∆n est un endomorphisme
de Rn [X].
Remarquons que pour tout p ≥ 1,
∆(X p ) = (X + 1)p − X p =
p−1 p X
X
p
p
Xk.
Xk − Xp =
k
k
k=0
k=0
Donc ∆(X p ) est un polynôme de terme de plus haut degré égal à pX p−1 . Par conséquent,
n
X
si P (X) =
ap X p est un polynôme de degré n, c’est-à-dire an 6= 0, alors ∆(P ) est un
p=0
polynôme de degré n − 1 exactement.
Ainsi, ∆n (P ) ∈ Rn [X] et ∆n est un endomorphisme de Rn [X].
∼
4. Soit F = {P ∈ R[X] | P (0) = 0}. On note, ∆ la restriction de ∆ à F et pour tout n ≥ 1, on
∼
note ∆n la restriction de ∆n à Rn [X] ∩ F .
a) Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de R[X].
F contient le polynôme nul. De plus, si P ∈ F , Q ∈ F et λ ∈ R, alors λP (0) + Q(0) = 0
donc λP + Q ∈ F et ainsi F est un sous-espace vectoriel de R[X].
∼
b) Soit n ≥ 1. Montrer que ∆n est un isomorphisme de Rn [X] ∩ F sur Rn−1 [X].
∼
∼
Tout d’abord, ∆n est injective sur Rn [X]∩F car Ker(∆n ) = Ker(∆) ∩ Rn [X] ∩ F = R0 [X] ∩ F
et le seul polynôme constant vérifiant P (0) = 0 est le polynôme nul.
De plus, Rn [X] ∩ F est le noyau de la forme linéaire Rn [X] → R
donc c’est un
P 7→ P (0)
hyperplan de Rn [X].
∼
Ainsi, dim(Rn [X] ∩ F ) = dim(Rn [X]) − 1 = dim(Rn−1 [X]) donc ∆n est un isomorphisme
de Rn [X] ∩ F sur Rn−1 [X].
∼
c) En déduire que ∆ est un isomorphisme de F sur R[X].
∼
∼
Tout d’abord, on a Ker(∆) = Ker(∆) ∩ F = R0 [X] ∩ F = 0R[X] donc ∆ est injective.
De plus, soit Q ∈ R[X]. En notant n = deg(Q), on a Q ∈ Rn [X] donc il existe
∼
∼
∼
P ∈ Rn [X] ∩ F tel que ∆n (P ) = Q. Dans ce cas, P ∈ F et ∆(P ) = Q donc ∆ est
surjective.
∼
Ainsi, ∆ est un isomorphisme de F sur R[X].
Z 1
5. Soit G =
P ∈ R[X] |
∧
P (t) dt = 0 . On note, ∆ la restriction de ∆ à G.
0
a) Démontrer que G est un sous-espace vectoriel de R[X].
G contient le polynôme nul. De plus, si P ∈ G, Q ∈ G et λ ∈ R, alors
Z 1
Z 1
Z 1
(λP + Q)(t) dt = λ
P (t) dt +
Q(t) dt = 0,
0
0
0
donc λP + Q ∈ G et ainsi G est un sous-espace vectoriel de R[X].
14
∧
b) Démontrer que ∆ est un isomorphisme de G sur R[X].
∧
Pour tout n ≥ 1, on note ∆n la restriction de ∆n à Rn [X] ∩ G. Commençons par montrer
∧
que ∆n est un isomorphisme de Rn [X] ∩ G sur Rn−1 [X].
∧
∧
Tout d’abord, ∆n est injective sur Rn [X]∩G car Ker(∆n ) = Ker(∆) ∩ Rn [X] ∩ G = R0 [X] ∩ G
Z 1
P (t) dt = 0 est le polynôme nul.
et le seul polynôme constant vérifiant
0
De plus, Rn [X] ∩ G est le noyau de la forme linéaire Rn [X] → R
donc c’est
R1
P 7→ 0 P (t) dt
un hyperplan de Rn [X].
∧
Ainsi, dim(Rn [X] ∩ G) = dim(Rn [X]) − 1 = dim(Rn−1 [X]) donc ∆n est un isomorphisme
de Rn [X] ∩ G sur Rn−1 [X].
∧
À présent, montrons que ∆ est un isomorphisme de G sur R[X].
∧
∧
On a : Ker(∆) = Ker(∆) ∩ G = R0 [X] ∩ G = 0R[X] donc ∆ est injective.
De plus, soit Q ∈ R[X]. En notant n = deg(Q), on a Q ∈ Rn [X] donc il existe
∧
∧
∧
P ∈ Rn [X] ∩ G tel que ∆n (P ) = Q. Dans ce cas, P ∈ G et ∆(P ) = Q donc ∆ est
surjective.
∧
Ainsi, ∆ est un isomorphisme de G sur R[X].
6. Pour P et Q deux polynômes de R[X] tels que ∆(Q) = P , on dira que P est la dérivée discrète
de Q et que Q est une primitive discrète de P .
a) Soit P ∈ R[X]. Justifier l’existence d’une primitive discrète de P .
D’après la question 3., il existe Q ∈ F tel que ∆(Q) = P donc P admet bien une
primitive discrète.
b) Soit P ∈ R[X] et Q0 une primitive discrète de P . Déterminer l’ensemble des primitives
discrètes de P .
Soit Q ∈ R[X]. On a :
∆(Q) = P ⇔ ∆(Q) = ∆(Q0 ) ⇔ ∆(Q−Q0 ) = 0 ⇔ Q−Q0 ∈ Ker(∆) ⇔ Q−Q0 ∈ R0 [X],
car le noyau de ∆ est constitué des polynômes constants. Ainsi, l’ensemble des primitives
discrètes de P est {Q0 + c | c ∈ R}.
c) Soit P ∈ R[X] et Q une primitive discrète de P . Montrer que pour tout n ∈ N, on a :
n
X
P (k) = Q(n + 1) − Q(0).
k=0
On a ∆(Q) = P , c’est-à-dire Q(X + 1) − Q(X) = P (X). Ainsi, pour tout n ∈ N,
n
X
k=0
P (k) =
n
X
(Q(k + 1) − Q(k)) = Q(n + 1) − Q(0).
k=0
15
d) Soit n un entier naturel. Utiliser la formule précédente pour déterminer la valeur de
n
X
k.
k=0
X(X − 1)
Posons P (X) = X et Q(X) =
. Alors Q(X + 1) − Q(X) = X = P (X) donc Q
2
est une primitive discrète de P . Ainsi,
n
X
k=0
k=
n
X
P (k) = Q(n + 1) − Q(0) =
k=0
n(n + 1)
.
2
Partie II : Les polynômes de Hilbert
7. Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes (Hp )p∈N , appelés polynômes de Hilbert,
tels que :


H0 = 1
∆(Hp ) = Hp−1 , pour p ≥ 1


Hp (0) = 0, pour p ≥ 1
Démontrons par récurrence sur p ≥ 0 l’existence et l’unicité d’une telle suite de polynômes.
Tout d’abord, H0 = 1 est défini de manière unique. Supposons qu’il existe un rang p ≥ 0
pour lequel Hp soit défini de manière unique. On sait, d’après la question 3., que Hp admet
un unique antécédent Hp+1 par ∆ qui s’annule en 0. Alors Hp+1 existe et est unique. Donc
la suite (Hp )p≥0 est bien définie de manière unique.
8. Soit n un entier naturel. Démontrer que la famille (Hp )0≤p≤n est une base de Rn [X].
Nous avons prouvé en question 2 que pour tout polynôme P , le degré de ∆(P ) vaut deg (P ) − 1.
Par conséquent, la famille (Hp )0≤p≤n est une famille libre de Rn [X] comme famille de polynômes non nuls échelonnés en degrés à n + 1 éléments. Donc c’est une base de Rn [X]
9. Montrer que pour tout entier naturel non nul p on a :
p−1
Hp (X) =
1 Y
(X − k).
p!
k=0
p−1
1 Y
(X − k)
p!
k=0
pour tout p ≥ 1. Pour démontrer que Kp = Hp pour tout entier naturel p, il suffit de vérifier
que la suite de polynômes (Kp )p≥0 vérifie les trois conditions données en question 6. puisqu’il
y a unicité d’une telle famille.
Tout d’abord, K0 = 1 et on a bien Kp (0) = 0 pour tout p ≥ 1.
Introduisons la suite de polynômes (Kp )p≥0 définie par K0 = 1 et Kp (X) =
16
Ensuite, on a : ∆(K1 )(X) = X + 1 − X = K0 (X) et pour p ≥ 2,
∆(Kp )(X) = Kp (X + 1) − Kp (X)
=
=
p−1
p−1
k=0
p−1
Y
k=0
p−1
Y
1 Y
1 Y
(X + 1 − k) −
(X − k)
p!
p!
1
p!
1
p!
(X − (k − 1)) −
k=0
(X − k)
p−2
k=0
p−1
Y
j=0
k=0
Y
1
1
= (X + 1)
(X − j) −
p!
p!
(X − k)
(en posant j = k − 1)
p−2
1 Y
(X − j) × (X + 1 − (X − (p − 1)))
=
p!
j=0
p−2
Y
1
=
(X − j)
(p − 1)!
j=0
= Kp−1 (X).
Ainsi, Kp = Hp pour tout entier naturel p donc on a bien pour tout p ≥ 1,
p−1
1 Y
Hp (X) =
(X − k).
p!
k=0
10. Démontrer que pour tout entier naturel n et tout polynôme P de Rn [X],
P (X) =
n
X
∆i (P )(0)Hi (X).
i=0
On procède par récurrence sur n ∈ N. Tout d’abord, si deg(P ) = 0, alors
P (X) = P (0) = ∆0 P (0)H0 (X).
Supposons qu’il existe un rang n ≥ 0 tel que pour tout polynôme P de Rn [X], on ait
n
X
P (X) =
∆k (P )(0)Hk (X). Soit Q un polynôme de Rn+1 [X]. Alors ∆(Q) est de degré n
k=0
donc :
∆(Q)(X) =
n
X
∆k (∆(Q))(0)Hk (X).
k=0
D’après la définition des polynômes de Hilbert, on en déduit que
n
X
∆k (∆(Q))(0)Hk+1 est
k=0
une primitive discrète de ∆(Q). Donc, d’après la question 5.,
Q(X) = Q(0) +
n
X
∆
k+1
(Q)(0)Hk+1 (X) =
k=0
n+1
X
k=0
17
∆k (Q)(0)Hk (X).
Nous avons démontré que pour tout entier naturel n et tout polynôme P de Rn [X],
P (X) =
n
X
∆i (P )(0)Hi (X).
i=0
11.
a) Montrer que pour tout entier naturel i on a :
i
X
i−k i
∆ (P )(X) =
(−1)
P (X + k).
k
i
k=0
On procède par récurrence sur i ∈ N. Tout d’abord,
∆0 (P )(X) = P (X) =
0
X
(−1)0−k P (X + k).
k=0
Supposons que l’égalité soit vérifiée pour un certain rang i ≥ 0. Alors,
∆
i+1
i
X
i−k i
(P )(X) =
(−1)
∆(P )(X + k)
(par linéarité)
k
k=0
i
i
X
X
i−k i
i−k i
=
(−1)
P (X + k + 1) −
(−1)
P (X + k)
k
k
k=0
k=0
i
i+1
X
X
i
i+1−k i
i+1−k
(−1)
P (X + k)
(−1)
P (X + k) +
=
k
k−1
k=0
k=1
i
X
i+1−k i + 1
i+1 i
0 i
=
(−1)
P (X + k) + (−1)
P (X) + (−1)
P (X + i + 1)
k
0
i
k=1
(par le triangle de Pascal)
i
X
i+1−k i + 1
i+1 i + 1
0 i+1
P (X) + (−1)
P (X + i + 1)
P (X + k) + (−1)
=
(−1)
i+1
0
k
k=1
i+1
X
i+1−k i + 1
=
(−1)
P (X + k).
k
k=0
Donc, pour tout entier naturel i on a :
i
∆ (P )(X) =
i
X
k=0
i−k
(−1)
i
P (X + k).
k
b) Soit n un entier naturel. En déduire, pour P ∈ Rn [X], l’expression de P dans la base
(Hp )0≤p≤n en fonction de {P (k), 0 ≤ k ≤ n}.
18
Soit P ∈ Rn [X]. On a :
P (X) =
n
X
∆i (P )(0)Hi (X) =
n
X
i=0
i=0


i
X
 (−1)i−j i P (j) Hi (X).
j
j=0
c) Soit n un entier naturel et P ∈ Rn [X]. Démontrer la proposition suivante :
[∀k ∈ Z, P (k) ∈ Z] ⇔ [∀k ∈ J0, nK, P (k) ∈ Z.]
L’implication directe est vérifiée. Supposons que P (k) ∈ Z pour tout 0 ≤ k ≤ n. Soit
q ∈ Z. Alors :


n
k
X
X
 (−1)k−j k P (j) Hk (q).
P (q) =
j
j=0
k=0
On a, par hypothèse, P (j) ∈ Z pour tout j compris entre 0 et n. De plus, pour tout
0 ≤ i ≤ n,
k−1
q!
q
1 Y
(q − j) =
=
∈ N.
Hk (q) =
k!
k! (q − k)!
k
j=0
Donc, P (q) ∈ Z.
12. Dans cette question, on introduit pour deux entiers naturels non nuls n et p la somme
n
X
Sn (p) =
k p . Également, pour tous entiers naturels r et s on appelle nombre de Stirling la
k=0
quantité :
avec la convention
0
0
r
s
s
1X
s−t s
=
(−1)
tr
s!
t
t=0
= 1.
p
X
n+1
p
a) Montrer que pour tous entiers naturels non nuls n et p, on a : Sn (p) =
i!
.
i
i+1
i=0
On a d’après la question 10.b), avec P (X) = X p ,


p
p
i
X
X
X
i
p
p
i−j
p

X =
(−1)
j
Hi (X) =
i!
Hi (X).
i
j
i=0
j=0
i=0
Donc pour tout k ∈ J0, nK, on a :
p
X
p
k =
i!
Hi (k).
i
p
i=0
19
Ainsi,
X
p
n
X
p
Sn (p) =
i!
Hi (k)
i
i=0
k=0
p
X
p
=
i!
(Hi+1 (n + 1) − 0)
i
(d’après 5.c))
i=0
i
Y
(n + 1 − k)
p
X
p k=0
=
i!
i
(i + 1)!
i=0
p
X
n+1
p
=
i!
.
i
i+1
(par la question 8.)
i=0
b) En déduirel’expression
n (2) et deSn (3)
en fonction de l’entier naturel non nul n.
de S
2
2
2
= 1 donc pour tout n ≥ 1,
= 1 et
= 0,
On trouve
2
1
0
n+1
n+1
n(n + 1) n(n + 1)(n − 1)
n(n + 1)(2n + 1)
Sn (2) =
+2
=
+
=
.
2
3
2
3
6
3
3
3
3
= 1 donc
= 3 et
= 1,
On trouve également,
= 0,
3
2
1
0
pour tout n ≥ 1,
n+1
n+1
n+1
Sn (3) =
+6
+6
2
3
4
n(n + 1)
n(n + 1)(n − 1)(n − 2)
=
+ n(n + 1)(n − 1) +
2
4
n2 (n + 1)2
=
.
4
Partie III : Les polynômes de Bernoulli
13. Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes (Bn )n∈N , appelés polynômes de Bernoulli,
tels que :


B0 = 1
∆(Bn ) = nX n−1 , pour n ≥ 1

R 1
0 Bn (t) dt = 0, pour n ≥ 1
Soit n ≥ 1. On sait, d’après la question 4., que nX n−1 admetZ un unique antécédent Bn par
1
∆ qui appartient au sous-espace vectoriel G, c’est-à-dire que
Bn (t) dt = 0.
0
20
14.
a) Soit n ≥ 1. Déterminer le degré de Bn .
On a : deg(nX n−1 ) = n − 1 = deg(∆(Bn )) = deg(Bn ) − 1. Donc, deg(Bn ) = n.
b) Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : Bn (1) = Bn (0).
On a d’une part, ∆(Bn )(0) = Bn (1) − Bn (0) et, d’autre part, ∆(Bn )(0) = n0n−1 = 0
car n − 1 ≥ 1. Ainsi, Bn (1) = Bn (0) pour tout n ≥ 2.
15. On introduit l’application d : R[X] → R[X] où P 0 désigne le polynôme dérivé de P .
P 7→ P 0
a) Vérifier que d est un endomorphisme de R[X] qui commute avec ∆.
La linéarité de l’application d est donnée par la linéarité de la dérivation. De plus, pour
tout polynôme P de R[X] :
(∆ ◦ d)(P )(X) = P 0 (X + 1) − P 0 (X) = ∆(P )0 (X) = (d ◦ ∆)(P )(X).
b) Montrer que pour tout n ≥ 1, on a : (d(Bn ) − nBn−1 ) ∈ Ker(∆).
D’après la question précédente on a pour n ≥ 2 :
∆(d(Bn )−nBn−1 )(X) = d(nX n−1 )−n∆(Bn−1 )(X) = n(n−1)X n−2 −n(n−1)X n−2 = 0.
Pour n = 1, on a ∆(d(B1 ) − B0 )(X) = d(∆(B1 ))(X) − ∆(B0 )(X) = (d(1) − 0)(X) = 0.
c) En déduire que pour tout n ≥ 1 et pour tout k ∈ J0, nK, dk (Bn ) =
n!
Bn−k .
(n − k)!
Pour k = 0, on a Bn = Bn donc le résultat est vrai.
À présent, démontrons le résultat par récurrence sur l’entier k ≥ 1.
Commençons par prouver le résultat pour k = 1 : montrons que d(Bn ) = nBn−1 si n
est supérieur ou égal à 1. Pour n = 1, on sait que B1 est de degré 1 et que ∆(B1 ) =
B0 = 1 donc le coefficient dominant de B1 vaut 1 et ainsi d(B1 ) = 1. Par conséquent,
d(B1 ) − B0 = 1 − 1 = 0. Et, pour n ≥ 2, on sait que d(Bn ) − nBn−1 ∈ Ker(∆) donc il
existe une constante réelle cn telle que d(Bn ) − nBn−1 = cn . Dans ce cas,
Z 1
Z 1
d(Bn )(t) dt −
nBn−1 (t) dt = cn .
0
0
Puisque n ≥ 2, cela donne Bn (1) − Bn (0) − 0 = cn et donc cn = 0.
Supposons maintenant qu’il existe un entier k ∈ J1, n−1K tel que dk (Bn ) =
n!
Bn−k .
(n − k)!
Alors,
dk+1 (Bn ) =
n!
n!
n!
d(Bn−k ) =
(n − k) Bn−k−1 =
B
.
(n − k)!
(n − k)!
(n − (k + 1))! n−(k+1)
Ainsi, pour tout n ≥ 1 et pour tout k ∈ J0, nK, dk (Bn ) =
n!
Bn−k .
(n − k)!
Dans la suite du problème, on notera pour tout entier naturel k, bk = Bk (0).
bk est appelé le k-ième nombre de Bernoulli.
21
16.
a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n on a, ∆Bn (X) =
n X
n
k=1
k
Bn−k (X).
La formule de Taylor pour les polynômes donne :
∆Bn (X) = Bn (X + 1) − Bn (X)
n
X
1 k
=
d (Bn )(X)1k − Bn (X)
k!
k=0
n
X
n!
Bn−k (X) − Bn (X)
k!(n − k)!
k=0
n X
n
=
Bn−k (X) − Bn (X)
k
k=0
n X
n
=
Bn−k (X).
k
=
k=1
p
b) En déduire que pour tout entier naturel p, on a : (p + 1)X =
p X
p+1
Bk (X).
k
On applique la formule de la question précédente avec n = p + 1 ce qui donne :
k=0
p p+1 X
X
p+1
p+1
Bp+1−k (X) =
Bj (X)
(p + 1)X = ∆Bp+1 (X) =
k
j
p
k=1
j=0
avec le changement d’indice j = p + 1 − k et en utilisant la propriété de symétrie des
coefficients binomiaux.
p X
p+1
c) Montrer alors la relation suivante pour tout entier p non nul :
bk = 0.
k
k=0
Cette relation permet de calculer les nombres de Bernoulli par récurrence à partir de
b0 = B0 (0) = 1. Calculer b1 , b2 et b3 .
Il suffit d’évaluer la relation de la question précédente en 0 (on a bien 0p = 0 car p est
1
1
non nul). On obtient ainsi, b1 = − , b2 = et b3 = 0.
2
6
17.
a) Soit n et p des entiers naturels non nuls. On rappelle que l’on note Sn (p) =
n
X
kp .
k=0
1
(Bp+1 (n + 1) − Bp+1 (0)).
Démontrer : Sn (p) =
p+1
On a par définition des polynômes de Bernoulli, (p + 1)X p = Bp+1 (X + 1) − Bp+1 (X),
donc :
n
X
k=0
p
k =
n
X
k=0
1
1
(Bp+1 (k + 1) − Bp+1 (k)) =
(Bp+1 (n + 1) − Bp+1 (0)) .
p+1
p+1
22
p 1 X p+1
bk (n + 1)p+1−k .
b) En déduire pour tous entiers non nuls n et p, Sn (p) =
p+1
k
k=0
La formule de Taylor donne :
Bp+1 (n + 1) =
p+1
X
1
k=0
p+1
X
k!
dk (Bp+1 )(0)(n + 1)k
(p + 1)!
Bp+1−k (0)(n + 1)k
k!(p + 1 − k)!
k=0
p+1 X
p+1
bj (n + 1)p+1−j
(avec j = p + 1 − k)
=
j
j=0
p X
p+1
bj (n + 1)p+1−j
= Bp+1 (0) +
j
=
j=0
avec le changement d’indice j = p + 1 − k et en utilisant la propriété de symétrie des
p 1 X p+1
coefficients binomiaux. D’où, Sn (p) =
bk (n + 1)p+1−k .
p+1
k
k=0
c) Retrouver les valeurs de Sn (1), Sn (2) et Sn (3).
On retrouve :
n
X
n(n + 1)
1
k=
b0 (n + 1)2 + 2b1 (n + 1) =
,
2
2
k=0
n
X
k2 =
k=0
n(n + 1)(2n + 1)
1
b0 (n + 1)3 + 3b1 (n + 1)2 + 3b2 (n + 1) =
,
3
6
et
n
X
k=0
k3 =
n2 (n + 1)2
1
b0 (n + 1)4 + 4b1 (n + 1)3 + 6b2 (n + 1)2 + 4b3 (n + 1) =
.
4
4
Partie IV : Nombres de Stirling et nombres de Bernoulli
18. À l’aide des résultats établis dans les deux parties précédentes, démontrer que pour tout entier
p
X
p
i i!
naturel p supérieur ou égal à 1, on a : bp =
.
(−1)
i
i+1
i=1
En déduire une formule explicite des nombres de Bernoulli :
p
i
X
1 X
j i
∀p ≥ 1, bp =
(−1)
jp.
i+1
j
i=1
j=1
Soit n ≥ 2. D’une part, on a par la question 11. et la question 16. :
p
p X
n
1 X p+1
p
Sn−1 (p) =
i!
=
bk np+1−k .
i
i+1
p+1
k
i=0
k=0
23
Donc on a l’égalité entre polynômes :
p p
X
1 X p+1
p X(X − 1) . . . (X − i)
bk X p+1−k
i!
=
i
k
(i + 1)!
p+1
i=0
k=0
car leur différence admet une infinité de racines (tous les entiers naturels supérieurs ou égaux
à 2.) En particulier, leurs coefficients de degré 1 sont identiques, c’est-à-dire :
p
X
(−1)i i!
p
i!
= bp
i
(i + 1)!
i=0
et donc
p
X
(−1)i
p
i!
= bp
i
i+1
i=1
car
p
0
= 0.
On obtient la dernière formule en remplaçant
bp =
p
X
i=1
p
i
par sa valeur :

p
i
i
i
X
X
X
i
(−1)
1
i p
1
i−j
p
j
=
(−1)
j 
(−1)
j
i! 
i!
i+1
i+1
j
j

j=0
i=1
car 0p = 0 puisque p ≥ 1.
24
j=1
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
Corrigé de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble des
nombres réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
Soit f la fonction réelle définie par : 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +𝑥+1
𝑥+1
.
1. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
1
La fonction s’écrit aussi : 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥+1. Son graphe admet la première bissectrice et la
droite x=-1 comme asymptotes.
𝑥(𝑥+2)
Sa dérivée est égale à : 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)2 . La fonction est croissante pour x<-2 et pour x>0, sinon
décroissante. On a : f(-2)=-3 et f(0)=1.
2. Montrer que f admet un centre de symétrie (que l’on précisera).
Le point A(-1,-1) est un centre de symétrie, en effet on pose x=X-1 et y=Y-1 pour obtenir :
𝑌=
𝑋 2 +1
𝑋
qui est une fonction impaire.
1
3. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
On obtient :
1
𝑥2
1
𝐼 = [ + 𝐿𝑛(𝑥 + 1)] = + 𝐿𝑛 2
2
2
0
4. Etudier la convergence de la suite (𝑢𝑛 ) définie par la relation de récurrence :
𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛 ) − 𝑢𝑛 et 𝑢0 > 0.
1
1
La suite peut s’écrire : 𝑢𝑛+1 = 1+𝑢 = 𝑔(𝑢𝑛 )
𝑛
On vérifie par récurrence que la suite est à termes strictement positifs.
1
− 1+√5
Si la suite converge, sa limite vérifie : 𝑙 = 1+𝑙 à savoir l= 2 .
Comme la fonction est décroissante, la suite n’est pas monotone. L’idée est d’étudier la
suite des termes de rang pair et celle de rang impair.
1+𝑣
Soit (𝑣𝑛 ) la suite des termes de rang pair. On a : 𝑣𝑛 = 2+𝑣𝑛−1 .
𝑛−1
Si 𝑢0 > 𝑙, la suite (𝑣𝑛 ) est minorée par l (on peut le vérifier par récurrence) et décroissante,
1+𝑥
elle converge vers l, qui est solution de l’équation 𝑥 = 2+𝑥 et aussi un point fixe pour g. De
même la suite des termes de rang impair est croissante et majorée par l. Les deux suites sont
− 1+√5
adjacentes et la suite (𝑢𝑛 ) converge donc vers 2 .
Le raisonnement est analogue si 𝑢0 < 𝑙. Et si 𝑢0 = 𝑙, la suite est stationnaire.
Exercice n° 2
Soit f la fonction réelle définie sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs par :
𝐿𝑛𝑥
𝑓(𝑥) = √1+𝑥 2 .
1. Etudier les variations de f et donner l’allure de son graphe.
La dérivée de la fonction est égale à :
2)
(1+𝑥 2 )−𝑥 2 𝐿𝑛𝑥
. Le signe de la dérivée dépend du
𝑥 √1+𝑥 2 (1+𝑥 2 )
2
numérateur : 𝑧 = (1 + 𝑥 − 𝑥 𝐿𝑛𝑥.
La dérivée de z est égale à : 𝑥 (1 − 2 𝐿𝑛 𝑥) qui s’annule en 𝑥 = √𝑒.
La dérivée de z est positive pour 𝑥 < √𝑒 et négative sinon. Par conséquent la fonction z est
d’abord croissante puis décroissante.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur 𝛼 ∈ ]𝑒, 𝑒 2 [ qui
annule la fonction z, car 𝑧(0) = 1, 𝑧(𝑒) = 1 > 0, 𝑧(𝑒 2 ) = 1 − 𝑒 2 < 0 .
La fonction f est croissante pour 𝑥 < 𝛼 et décroissante sinon. Les deux axes sont des
asymptotes et la fonction s’annule en 1.
y
0,5
0
0
1
2
3
4
5
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
2
6
7
8
2. Trouver une primitive de la fonction g définie sur les nombres réels strictement positifs par :
𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥).
Soit 𝐼 = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [√1 + 𝑥 2 𝐿𝑛 𝑥] − ∫
√1+𝑥 2
𝑥
𝑑𝑥 . On pose 𝐽 = ∫
√1+𝑥 2
𝑥
𝑑𝑥.
Pour calculer J, on effectue un changement de variable : 𝑢 = √1 + 𝑥 2 . On obtient :
𝑢2
1 1
1
1
𝑢−1
𝐽=∫ 2
𝑑𝑢 = ∫(1 + (
−
) 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐿𝑛(
)
𝑢 −1
2 𝑢−1 𝑢+1
2
𝑢+1
,
1
√1+𝑥2 −1
On obtient comme primitive : √1 + 𝑥 2 (𝐿𝑛 𝑥 − 1) + 2 𝐿𝑛 (√
1+𝑥2 +1
)
Exercice n° 3
4−𝑎
On considère la matrice 𝑀(𝑎) = ( −6
2
quelconque.
1
−1 − 𝑎
1
−1
2 ), où a est un paramètre réel
1−𝑎
1. Déterminer les valeurs propres de la matrice M(a).
On calcule le déterminant det(𝑀(𝑎) − 𝜇 𝐼) . Pour calculer ce déterminant, on retranche la
troisième ligne à la première, puis après une mise en facteur de l’expression (2 − 𝑎 − 𝜇), on
ajoute la troisième colonne à la première, puis on développe le déterminant pour obtenir :
det(𝑀(𝑎) − 𝜇 𝐼) = (2 − 𝑎 − 𝜇)(𝜇 − 1 + 𝑎)2 . En conclusion, 1-a est une valeur propre
double et 2-a est une valeur propre simple.
2. Etudier la diagonalisation de cette matrice.
La matrice est diagonalisable si et seulement si la dimension du sous espace vectoriel propre
associé à la valeur propre 1-a est de dimension 2.
3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
−6𝑥
− 2𝑦 + 2𝑧 = 0
Le système s’écrit : {
2𝑥 + 𝑦 = 0
On constate que la première équation est proportionnelle à la deuxième, donc il ne reste que
deux équations : 3x+y-z=0 ; 2x+y=0. Le sous espace est de dimension 1 et engendré par exemple
par le vecteur 𝑒1 = (1, −2,1). La matrice n’est pas diagonalisable, mais seulement
triangularisable.
3. Déterminer la valeur de a et une base dans laquelle la matrice M(a) est semblable à la matrice
1 1 0
suivante : 𝑁(𝑎) = (0 1 0)
0 0 2
D’après ce qui précède, la matrice est semblable à une matrice triangulaire de la forme :
1−𝑎
∗
∗
( 0
1−𝑎
∗ ). En comparant cette matrice avec celle recherchée, il faut a=0.
0
0
2−𝑎
Pour obtenir la matrice semblable N(a), on doit chercher un deuxième vecteur de base 𝑒2
tel que : 𝑀(𝑒2 ) = 𝑒1 + 𝑒2 , soit à résoudre le système : 3x+y-z=1 ; 2x+y=1, on peut donc
choisir 𝑒2 = (1, −1,1). Le troisième vecteur de la base sera un vecteur propre associé à l’autre
valeur propre 2-a=2. On peut prendre 𝑒3 = (1, −2,0).
3
Exercice n° 4
0
si
𝑦=0
Soit f : R 2  R définie par : 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑦 2𝑛 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 ) si 𝑦 ≠ 0 , où n est un entier naturel non
𝑦
nul.
1. Etudier la continuité de f
Pour tout le problème les difficultés se situent sur la droite y=0, et en dehors la fonction est
indéfiniment différentiable.
Le problème de la continuité se situe donc sur la droite y=0, à savoir aux points (𝑥0 , 0).
Donc
𝐿𝑖𝑚 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 = 𝑓(𝑥0 , 0) (car la fonction sinus est majorée par 1 en valeur
(𝑥,𝑦)→(𝑥0, 0)
absolue) et f est continue.
2. Montrer que f admet des dérivées partielles premières en tout point.
𝑥
𝑥
𝑥
Pour y  0 , 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 𝑦 2𝑛−1 𝑐𝑜𝑠( ) et 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 2𝑛𝑦 2𝑛−1 𝑠𝑖𝑛( ) − 𝑥𝑦 2𝑛−2 𝑐𝑜𝑠( )
𝑦
𝑦
𝑦
Pour y=0 :
f ( x, 0)  f ( x0 ,0)
 0 et
x  x0
x  x0
f x' ( x0 , 0)  Lim
𝑓𝑦′ (𝑥, 0) = 𝐿𝑖𝑚
𝑦→0
𝑓(𝑥,𝑦)−𝑓(𝑥,0)
𝑦
𝑥
= 𝐿𝑖𝑚 𝑦 2𝑛−1 𝑠𝑖𝑛 𝑦 = 0.
𝑦→0
Ces deux dérivées partielles existent et sont nulles.
3. Etudier la continuité des dérivées partielles premières de f .
Comme précédemment, le problème se pose uniquement aux points (𝑥0 , 0).
On a : 𝐿𝑖𝑚 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 0 = 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 0) et cette dérivée partielle est continue.
(𝑥0 ,0)
𝑥
On a : 𝐿𝑖𝑚 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 𝐿𝑖𝑚 𝑥 𝑦 2𝑛−2 cos (𝑦) = 0 , si n>1.
(𝑥0 ,0)
(𝑥0 ,0)
Pour n=1 : Si 𝑥0 ≠ 0, la limite n’existe pas et la dérivée partielle par rapport à y n’est pas
continue et si 𝑥0 = 0, la limite est nulle.
En conclusion, cette dérivée partielle première est continue sauf si n=1 et 𝑥0 ≠ 0.
4. Etudier la différentiabilité de f .
Si f est différentiable en (x, 0), alors sa différentielle est nulle.
𝑓(𝑥,𝑦)
Donc f est différentiable en (𝑥0 , 0) si et seulement si 𝐿𝑖𝑚
(𝑥0, 0) √(𝑥−𝑥 2 +𝑦2
0)
= 0, ce qui est vérifié car
le numérateur est en 𝑦 2𝑛 en passant en coordonnées polaires, à savoir : 𝑥 − 𝑥0 = 𝑟 cos 𝛼 𝑒𝑡 𝑦 =
𝑟𝑠𝑖𝑛 𝛼
4
Exercice n° 5
1. On considère deux suites numériques (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) définies par les relations de récurrence
1
𝑢𝑛+1 = 3 (2 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 )
suivantes : {
et (𝑢0 , 𝑣0 ) ∈ 𝑅 2
1
𝑣𝑛+1 = 3 (𝑢𝑛 + 2𝑣𝑛 )
Etudier la convergence de ces deux suites.
On peut faire une démonstration par combinaison (b) ou en utilisant la matrice du système (a).
Il en est de même pour la deuxième question.
1 2 1
1
1 1
(a) Soit la matrice du système : 𝑀 = 3 (
) = 3 (𝐴 + 𝐼), où 𝐴 = (
).
1 2
1 1
1
(1+2)𝑛 −1
On a 𝐴𝑝 = 2𝑝−1 𝐴. En utilisant la formule du binôme, on obtient : 𝑀𝑛 = 3 (𝐼 +
𝐴)
2
𝑛
𝑛
3 +1 3 −1
1
𝑢𝑛
2 ) (𝑢0 )
(𝑣 ) = 𝑛 ( 𝑛 2
𝑛
3 − 1 3 + 1 𝑣0
𝑛
3
2
2
𝑢 +𝑣
En conclusion : lim 𝑢𝑛 = lim 𝑣𝑛 = 0 2 0
1
(b) On a : 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑣𝑛−1 = ⋯ = 𝑢0 + 𝑣0 et 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛 = 3𝑛 ( 𝑢0 − 𝑣0 )
Bien sûr on obtient le même résultat.
2. On pose la même question pour les 3 suites numériques suivantes (on pourra chercher une
suite géométrique combinaison linéaire de ces trois suites) :
1
𝑢𝑛+1 = 3 (2 𝑣𝑛 + 𝑤𝑛 )
1
𝑣𝑛+1 = 3 (2 𝑤𝑛 + 𝑢𝑛 ) et (𝑢0 , 𝑣0 , 𝑤0 ) ∈ 𝑅 3
1
{
𝑤𝑛+1 = (2 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 )
3
On cherche une suite (𝑡𝑛 ) combinaison linéaire des 3 suites de la forme
𝑡𝑛 = 𝛼𝑢𝑛 + β𝑣𝑛 + γ 𝑤𝑛 telle que cette suite soit géométrique. Deux possibilités :
𝛼 + β + γ = 0 ou 𝛼 + β + γ ≠ 0 (et alors 𝛼 2 + αβ + 𝛽 2 = 0 ).
Soit le système :
𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 + 𝑤𝑛 = 𝑢0 + 𝑣0 + 𝑤0
𝑗 2 −1
𝑛
𝑢𝑛 + 𝑗𝑣𝑛 + 𝑗 2 𝑤𝑛 = ( 3 ) (𝑢0 + 𝑗𝑣0 + 𝑗 2 𝑤0 )
𝑗−1 𝑛
{
𝑢𝑛 + 𝑗 2 𝑣𝑛 + 𝑗𝑤𝑛 = ( 3 ) (𝑢0 + 𝑗 2 𝑣0 + 𝑗𝑤0 )
Comme les modules des deux coefficients à droite sont strictement inférieurs à 1, on en
déduit : lim(𝑢𝑛 + 𝑗 2 𝑣𝑛 + 𝑗𝑤𝑛 ) = lim(𝑢𝑛 + 𝑗𝑣𝑛 + 𝑗 2 𝑤𝑛 ) = 0. Par conséquent
𝑢0 + 𝑣0 + 𝑤0
lim 𝑢𝑛 = lim 𝑣𝑛 = lim 𝑤𝑛 =
3
5
Exercice n° 6
On note 𝑀𝑛 (𝑍) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans Z (ensemble des
entiers relatifs).
1. Soit 𝑀 ∈ 𝑀𝑛 (𝑍). Montrer que M est inversible dans 𝑀𝑛 (𝑍) si et seulement si son
déterminant est égal à plus ou moins 1.
Si la matrice est inversible, on a : 𝑀 𝑀−1 = 𝐼, soit det(𝑀) × det(𝑀−1 ) = 1 et comme ces
déterminants sont des entiers, on obtient : det(𝑀) = ∓1. Réciproquement si le déterminant
est égal à plus ou moins 1, la matrice est bien sûr inversible, il reste à vérifier que son inverse
1
se trouve dans 𝑀𝑛 (𝑍). En effet en utilisant la matrice des cofacteurs : 𝑀−1 = det 𝑀 (𝑐𝑜𝑀)′
Et comme les cofacteurs sont des entiers, alors 𝑀−1 ∈ 𝑀𝑛 (𝑍).
2. Soit 𝑞: 𝑍 3 → 𝑍 définie par : 𝑞 (𝑋) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 , où 𝑋 = (𝑥, 𝑦, 𝑧). On dit que
𝑀 ∈ 𝑀𝑛 (𝑍) conserve q si on a ∀ 𝑋 ∈ 𝑍 3 𝑞 (𝑋) = 𝑞(𝑀𝑋).
Montrer que l’ensemble des matrices qui conservent q est un groupe multiplicatif, que l’on
notera 𝑂 (𝑞).
1
On a : 𝑞 (𝑋) = 𝑋 ′ 𝑃𝑋 avec 𝑃 = (0
0
0 0
1 0 ) et 𝑞 (𝑀𝑋) = (𝑀𝑋)′ 𝑃(𝑀𝑋). Par conséquent :
0 −1
𝑀 ∈ 𝑂 (𝑞) ssi 𝑋 ′ 𝑃𝑋 = (𝑀𝑋)′ 𝑃(𝑀𝑋) = 𝑋 ′ (𝑀′ 𝑃𝑀)𝑋, soit 𝑀′ 𝑃𝑀 = 𝑃 (i)
Ainsi, il est clair que la multiplication est une opération interne et que la matrice unité
appartient à l’ensemble.
Il reste à montrer que si 𝑀 ∈ 𝑂 (𝑞), alors la matrice est inversible et son inverse appartient
aussi à 𝑂 (𝑞). On a, d’après (i), det(𝑀′ ) × det (P) × det(𝑀) = det(𝑃) ≠ 0, d’où
(det(𝑀))2 = 1 et la matrice est inversible.
D’après (i) : 𝑃 = 𝑃−1 = (𝑀′ 𝑃𝑀)−1 = 𝑀−1 𝑃(𝑀−1 )′ et la matrice inverse appartient à
l’ensemble.
2 1 2
3. Soit 𝐴 = (1 2 2).
2 2 3
a) Montrer que 𝐴 ∈ 𝑂 (𝑞)
On vérifie (i) : 𝐴′ 𝑃𝐴 = 𝑃
6
b) En déduire un mode de construction d’une famille de solutions de l’équation 𝑞(𝑋) = 0 (on
pourra exhiber une solution, à termes non nuls, de cette équation.
Comme 𝐴 ∈ 𝑂 (𝑞), le sous-groupe engendré par A est contenu dans 𝑂 (𝑞) et par conséquent
𝐴𝑝 ∈ 𝑂 (𝑞). On peut vérifier que : 32 + 42 − 52 = 0 donc 𝑞 (𝑋0 ) = 0 pour 𝑋0 = (3,4,5). Par
conséquent : 𝑞(𝐴𝑝 𝑋0 ) = 0. Ainsi on a un procédé de construction de solutions. Par exemple
avec 𝐴2 𝑋0 = (20,21,29); 𝐴3 𝑋0 = (119,120,169).
c) La matrice A est-elle diagonalisable ?
Par exemple, en ajoutant la deuxième colonne à la première, puis en ajoutant la deuxième
ligne à la première, on obtient 3 valeurs propres distinctes (1, 3 ∓ 2√2), la matrice est donc
diagonalisable.
7
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Pourquoi punir ? Répondez et argumentez.
Sujet n° 2
Vivre avec son temps. Impératif ou illusion ? Vous répondrez à la question en illustrant
vos propos.
Sujet n° 3
« Si je ne suis pas moi-même je ne suis personne. »
Virginia Woolf (1882-1941), autrice britannique, Journal d’un écrivain (1915-1941). Que
pensez-vous de cette injonction ?
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apporté à la rédaction et à
la présentation des résultats.
1
Problème d’analyse
Z +∞
Dans ce problème, nous nous intéressons à des intégrales de la forme
où α est un réel strictement positif et n un entier naturel.
0
1
dt
(1 + tα )n
Partie I : Étude de cas particuliers
1. Dans cette question, traitons le cas α = 1.Z
+∞
1
dt.
(1 + t)n
0
a) Déterminer les entiers naturels n pour lesquels l’intégrale un est convergente puis
la calculer.
On pose pour tout entier naturel n, un =
b) Donner un équivalent de un lorsque n → +∞.
2. À présent, on s’intéresse au cas particulierZ où α est égal à 2.
+∞
1
On pose pour tout entier naturel n, vn =
dt.
(1 + t2 )n
0
1
a) Déterminer les entiers naturels n pour lesquels l’intégrale vn est convergente.
b) Montrer que pour tout entier naturel non nul n on a la relation de récurrence :
vn+1 =
2n − 1
vn .
2n
c) En déduire l’expression de vn+1 pour tout n ∈ N.
d) On rappelle la formule de Stirling : n!
∼
n→+∞
nn e−n
√
2πn.
Déterminer alors un équivalent de vn lorsque n → +∞.
Partie II : Étude du cas n = 1
Z +∞
Dans cette partie, on pose pour tout réel strictement positif α, K(α) =
0
1
dt.
1 + tα
3. Déterminer l’ensemble des réels strictement positifs α tels que K(α) soit une intégrale
convergente.
Dans la suite de ce problème, on fixe un réel α strictement supérieur à 1.
4. Démontrer que :
Z 1
K(α) =
0
Z 1
0
tα−2
dt.
1 + tα
avec
|Rn | ≤
1
dt +
1 + tα
5. Montrer que pour tout entier naturel n on a :
Z 1
0
n
X (−1)k
1
dt
=
+ Rn
1 + tα
αk + 1
k=0
On pourra appuyer le raisonnement sur l’étude de la somme
n
X
1
.
α(n + 1) + 1
(−tα )k pour t ∈ [0, 1].
k=0
6. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul on a :
Z 1
0
n
X (−1)k−1
tα−2
dt
=
+ Sn
1 + tα
αk − 1
avec
|Sn | ≤
k=1
7. Exprimer alors K(α) sous la forme d’une série convergente.
2
1
.
α(n + 1) − 1
8. Soit λ un nombre réel non nul.
On considère la fonction 2π-périodique f définie sur R et dont la restriction à [−π, π[ est
[−π, π[ −→ R
.
donnée par :
t 7−→ cos(λt)
a) Déterminer les coefficients de Fourier réels de la fonction f .
b) Étudier la convergence de la série de Fourier de f et en déduire la valeur de la somme :
1 + 2λ
2
+∞
X
(−1)n
n=1
9. Montrer que : K(α) =
λ2 − n2
.
π
π .
α sin
α
10. Retrouver le résultat pour le cas α = 2.
Partie III : Calcul d’un équivalent dans le cas général
Z +∞
Dans cette partie, nous allons déterminer un équivalent de
Z +∞
1
Posons donc, pour α > 1 fixé, In =
dt.
(1 + tα )n
0
0
1
dt lorsque n → +∞.
(1 + tα )n
11. Déterminer les entiers naturels n tels que In soit une intégrale convergente.
12. Montrer que pour tout n ≥ 1, In+1 =
13.
nα − 1
In .
nα
a) Justifier que pour tout n ≥ 1, on a In > 0.
On pose alors pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, zn = ln(In ) +
b) Montrer que la série
X
1
ln(n).
α
(zn+1 − zn ) est convergente.
n≥1
c) En déduire l’existence d’un réel L strictement positif tel que : In
3
∼
n→+∞
1
L n− α .
1
À présent, nous allons calculer la valeur de L. Pour ce faire, posons pour tout n ≥ 1, Jn = n α In .
14.
a) Montrer que pour tout réel positif t on a l’encadrement : t − t2 ≤ ln(1 + t) ≤ t.
b) On rappelle que la fonction Γ est définie sur R∗+ par :
Z +∞
∀x > 0, Γ(x) =
e−t tx−1 dt.
0
1
Montrer que pour tout entier naturel non nul n on a : Γ
α
1
≤ Jn .
α
c) Démontrer que :
√1
e n
Jn ≤
Γ
α
1
1
nα
nα
1
+
+
.
3 n
α
nα − 1
1 + n− 4
On pourra commencer par décomposer l’intégrale In de la manière suivante :
3
Z n− 4α
In =
0
1
dt +
(1 + tα )n
Z 1
1
dt +
3
− 4α
(1 + tα )n
n
d) Démontrer que :
1
In ∼
Γ
n→+∞ α
4
1
1
n− α .
α
Z +∞
1
1
dt.
(1 + tα )n
2
Problème d’algèbre
Notations
Dans ce problème, nous utiliserons les notations suivantes :
• N désigne l’ensemble des entiers naturels.
• Z désigne l’ensemble des entiers relatifs.
• Pour tout entier naturel n, J0, nK désigne l’ensemble {k ∈ N | 0 ≤ k ≤ n}.
n
n
n!
lorsque
• Pour deux entiers naturels n et p, on note
l’entier défini par
=
p!(n − p)!
p
p
n
p ∈ J0, nK et
= 0 lorsque p > n.
p
• R[X] désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, muni des lois + et . usuelles.
• Pour n un entier naturel, Rn [X] désigne le sous-espace vectoriel de R[X] formé par les polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Soit E un espace vectoriel. On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E.
On définit IdE : E → E et 0L(E) : E → E où 0E désigne le vecteur nul de E.
x 7→ x
x 7→ 0E
Pour toute application linéaire u ∈ L(E), on définit par récurrence l’endomorphisme un pour tout
(
u0 = IdE
entier naturel n par :
un = un−1 ◦ u si n ∈ N∗
Partie I : Étude de la dérivation discrète
Pour P ∈ R[X], on pose ∆(P )(X) = P (X + 1) − P (X).
1. Montrer que ∆ : P 7→ ∆(P ) est un endomorphisme de R[X].
2. Déterminer le noyau de ∆.
3. Soit n ≥ 0. On note ∆n la restriction de ∆ à Rn [X]. Démontrer que ∆n est un endomorphisme
de Rn [X].
∼
4. Soit F = {P ∈ R[X] | P (0) = 0}. On note, ∆ la restriction de ∆ à F et pour tout n ≥ 1, on
∼
note ∆n la restriction de ∆n à Rn [X] ∩ F .
a) Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de R[X].
5
∼
b) Soit n ≥ 1. Montrer que ∆n est un isomorphisme de Rn [X] ∩ F sur Rn−1 [X].
∼
c) En déduire que ∆ est un isomorphisme de F sur R[X].
Z 1
5. Soit G =
P ∈ R[X] |
∧
P (t) dt = 0 . On note, ∆ la restriction de ∆ à G.
0
a) Démontrer que G est un sous-espace vectoriel de R[X].
∧
b) Démontrer que ∆ est un isomorphisme de G sur R[X].
6. Pour P et Q deux polynômes de R[X] tels que ∆(Q) = P , on dira que P est la dérivée discrète
de Q et que Q est une primitive discrète de P .
a) Soit P ∈ R[X]. Justifier l’existence d’une primitive discrète de P .
b) Soit P ∈ R[X] et Q0 une primitive discrète de P . Déterminer l’ensemble des primitives
discrètes de P .
c) Soit P ∈ R[X] et Q une primitive discrète de P . Montrer que pour tout n ∈ N, on a :
n
X
P (k) = Q(n + 1) − Q(0).
k=0
d) Soit n un entier naturel. Utiliser la formule précédente pour déterminer la valeur de
n
X
k.
k=0
Partie II : Les polynômes de Hilbert
7. Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes (Hp )p∈N , appelés polynômes de Hilbert,
tels que :

H0 = 1

∆(Hp ) = Hp−1 , pour p ≥ 1


Hp (0) = 0, pour p ≥ 1
8. Soit n un entier naturel. Démontrer que la famille (Hp )0≤p≤n est une base de Rn [X].
9. Montrer que pour tout entier naturel non nul p on a :
p−1
1 Y
Hp (X) =
(X − k).
p!
k=0
6
10. Démontrer que pour tout entier naturel n et tout polynôme P de Rn [X],
P (X) =
n
X
∆i (P )(0)Hi (X).
i=0
11.
a) Montrer que pour tout entier naturel i on a :
i
X
i−k i
∆ (P )(X) =
P (X + k).
(−1)
k
i
k=0
b) Soit n un entier naturel. En déduire, pour P ∈ Rn [X], l’expression de P dans la base
(Hp )0≤p≤n en fonction de {P (k), 0 ≤ k ≤ n}.
c) Soit n un entier naturel et P ∈ Rn [X]. Démontrer la proposition suivante :
[∀k ∈ Z, P (k) ∈ Z] ⇔ [∀k ∈ J0, nK, P (k) ∈ Z.]
12. Dans cette question, on introduit pour deux entiers naturels non nuls n et p la somme
n
X
Sn (p) =
k p . Également, pour tous entiers naturels r et s on appelle nombre de Stirling la
k=0
quantité :
avec la convention
0
0
r
s
s
1X
s−t s
(−1)
tr
=
s!
t
t=0
= 1.
p
X
n+1
p
.
a) Montrer que pour tous entiers naturels non nuls n et p, on a : Sn (p) =
i!
i
i+1
i=0
b) En déduire l’expression de Sn (2) et de Sn (3) en fonction de l’entier naturel non nul n.
Partie III : Les polynômes de Bernoulli
13. Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes (Bn )n∈N , appelés polynômes de Bernoulli,
tels que :

B0 = 1

∆(Bn ) = nX n−1 , pour n ≥ 1

R 1
0 Bn (t) dt = 0, pour n ≥ 1
14.
a) Soit n ≥ 1. Déterminer le degré de Bn .
b) Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : Bn (1) = Bn (0).
7
15. On introduit l’application d : R[X] → R[X] où P 0 désigne le polynôme dérivé de P .
P 7→ P 0
a) Vérifier que d est un endomorphisme de R[X] qui commute avec ∆.
b) Montrer que pour tout n ≥ 1, on a : (d(Bn ) − nBn−1 ) ∈ Ker(∆).
c) En déduire que pour tout n ≥ 1 et pour tout k ∈ J0, nK, dk (Bn ) =
n!
Bn−k .
(n − k)!
Dans la suite du problème, on notera pour tout entier naturel k, bk = Bk (0).
bk est appelé le k-ième nombre de Bernoulli.
16.
a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n on a, ∆Bn (X) =
n X
n
k=1
p
b) En déduire que pour tout entier naturel p, on a : (p + 1)X =
k
p X
p+1
k=0
k
Bn−k (X).
Bk (X).
p X
p+1
bk = 0.
k
k=0
Cette relation permet de calculer les nombres de Bernoulli par récurrence à partir de
b0 = B0 (0) = 1. Calculer b1 , b2 et b3 .
c) Montrer alors la relation suivante pour tout entier p non nul :
17.
a) Soit n et p des entiers naturels non nuls. On rappelle que l’on note Sn (p) =
n
X
kp .
k=0
1
(Bp+1 (n + 1) − Bp+1 (0)).
Démontrer : Sn (p) =
p+1
p 1 X p+1
b) En déduire pour tous entiers non nuls n et p, Sn (p) =
bk (n + 1)p+1−k .
p+1
k
k=0
c) Retrouver les valeurs de Sn (1), Sn (2) et Sn (3).
Partie IV : Nombres de Stirling et nombres de Bernoulli
18. À l’aide des résultats établis dans les deux parties précédentes, démontrer que pour tout entier
p
X
p
i i!
naturel p supérieur ou égal à 1, on a : bp =
(−1)
.
i
i+1
i=1
En déduire une formule explicite des nombres de Bernoulli :
p
i
X
1 X
j i
∀p ≥ 1, bp =
(−1)
jp.
i+1
j
i=1
8
j=1
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
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AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble des nombres
réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
Soit f la fonction réelle définie par : 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +𝑥+1
𝑥+1
.
1. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
2. Montrer que f admet un centre de symétrie (que l’on précisera).
1
3. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
4. Etudier la convergence de la suite (𝑢𝑛 ) définie par la relation de récurrence :
𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛 ) − 𝑢𝑛 et 𝑢0 > 0.
Exercice n° 2
Soit f la fonction réelle définie sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs par :
𝐿𝑛𝑥
𝑓(𝑥) = √1+𝑥 2 .
1. Etudier les variations de f et donner l’allure de son graphe.
2. Trouver une primitive de la fonction g définie sur les nombres réels strictement positifs par :
𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥).
1
Exercice n° 3
4−𝑎
On considère la matrice 𝑀(𝑎) = ( −6
2
quelconque.
1
−1 − 𝑎
1
−1
2 ), où a est un paramètre réel
1−𝑎
1. Déterminer les valeurs propres de la matrice M(a).
2. Etudier la diagonalisation de cette matrice.
3. Déterminer la valeur de a et une base dans laquelle la matrice M(a) est semblable à la matrice
1 1 0
suivante : 𝑁 = (0 1 0)
0 0 2
Exercice n° 4
0
si
𝑦=0
Soit f : R 2  R définie par : 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑦 2𝑛 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 ) si 𝑦 ≠ 0 , où n est un entier naturel non
𝑦
nul.
1. Etudier la continuité de f .
2. Montrer que f admet des dérivées partielles premières en tout point.
3. Etudier la continuité des dérivées partielles premières de f .
4. Etudier la différentiabilité de f .
Exercice n° 5
1. On considère deux suites numériques (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) définies par les relations de récurrence
1
𝑢𝑛+1 = 3 (2 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 )
suivantes : {
et (𝑢0 , 𝑣0 ) ∈ 𝑅 2
1
𝑣𝑛+1 = 3 (𝑢𝑛 + 2𝑣𝑛 )
Etudier la convergence de ces deux suites.
2
2. On pose la même question pour les 3 suites numériques suivantes (on pourra chercher une
suite géométrique combinaison linéaire de ces trois suites) :
1
𝑢𝑛+1 = 3 (2 𝑣𝑛 + 𝑤𝑛 )
1
𝑣𝑛+1 = 3 (2 𝑤𝑛 + 𝑢𝑛 ) et (𝑢0 , 𝑣0 , 𝑤0 ) ∈ 𝑅 3
1
{
𝑤𝑛+1 = 3 (2 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 )
Exercice n° 6
On note 𝑀𝑛 (𝑍) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans Z (ensemble des
entiers relatifs).
1. Soit 𝑀 ∈ 𝑀𝑛 (𝑍). Montrer que M est inversible dans 𝑀𝑛 (𝑍) si et seulement si son
déterminant est égal à plus ou moins 1.
2. Soit 𝑞: 𝑍 3 → 𝑍 définie par : 𝑞 (𝑋) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 , où 𝑋 = (𝑥, 𝑦, 𝑧).
On dit que 𝑀 ∈ 𝑀𝑛 (𝑍) conserve q si on a ∀ 𝑋 ∈ 𝑍 3 𝑞 (𝑋) = 𝑞(𝑀𝑋).
Montrer que l’ensemble des matrices qui conservent q est un groupe multiplicatif, que l’on
notera 𝑂 (𝑞).
2 1 2
3. Soit 𝐴 = (1 2 2).
2 2 3
a) Montrer que 𝐴 ∈ 𝑂 (𝑞).
b) En déduire un mode de construction d’une famille de solutions de l’équation 𝑞(𝑋) = 0 (on
pourra exhiber une solution, à termes non nuls, de cette équation).
c) La matrice A est-elle diagonalisable ?
3
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’article ci-après de Yanne Boloh et Susanna Cartmell-Thorp a été publié dans Spore,
n°194 sept-nov. 2019.
Il doit être résumé en 180 mots (plus ou moins 10%). Vous indiquerez en fin de copie le
nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre écrit.
La digitalisation agricole africaine décryptée
Rapport du Centre technique de coopération agricole et rurale* (CTA).
En Afrique, où 80 % de la nourriture est produite par de petits producteurs, les technologies
digitales pourraient provoquer une nouvelle révolution, comme le souligne une étude du CTA
et de Dalberg Advisors, qui fournit la première analyse de ce genre. Le document met en
lumière près de 400 solutions digitales et relève que 33 millions de petits producteurs du
continent y sont inscrits, avec une croissance annuelle de 45 % du nombre d’inscriptions depuis
2012. Néanmoins, plus de 90 % du marché des services digitaux aux agriculteurs africains
demeure inexploité, avec un chiffre d’affaires évalué à 127 millions d’euros sur un marché
potentiel de 2,3 milliards d’euros.
Le Rapport sur la digitalisation de l'agriculture africaine du CTA et de Dalberg Advisors a été
présenté à Rome, en Italie, le 21 juin 2019 lors de la conférence des ministres de l'agriculture
de l’UA et de l’UE, et en Afrique, lors du Forum 2019 sur la révolution verte en Afrique, à
Accra, au Ghana. Cet imposant rapport offre une idée précise de l’émergence récente de la
digitalisation dans l’agriculture africaine. Il présente aussi une distribution géographique des
applications et de leurs fournisseurs (ONG, gouvernements, secteur privé...). En plus d’analyser
le paysage des innovations digitales pour l’agriculture (D4Ag) et de fournir un aperçu de
l’utilisation actuelle de ces solutions dans l’agriculture sur le continent (principalement
l’Afrique subsaharienne), le rapport offre aussi des prévisions pour la période 2025-2030 – une
1
première pour le secteur agricole. Le rapport montre aussi ce que les solutions digitales ont
permis de réaliser à ce jour, présente les perspectives de croissance à court et moyen terme et,
surtout, analyse l’impact que pourrait avoir l’exploitation de tout le potentiel du secteur. Alors
que la qualité des données s’améliore, le rapport note que le nombre d’entrepreneurs
développant de nouvelles solutions digitales pour l’agriculture augmente de façon
exponentielle.
“En 2013, lorsque le CTA a organisé une grande conférence internationale sur les technologies
de l’information et de la communication pour l’agriculture au Rwanda, il se passait peu de
choses dans ce domaine. Mais ces cinq ou six dernières années ont vu une augmentation très
importante des nouvelles solutions digitales apparaissant sur le marché”, relève Michael Hailu,
directeur du CTA, dans un récent entretien avec Spore.
Un baromètre de l’agriculture digitale
Le rapport du CTA et de Dalberg sera remis à jour tous les ans ou tous les deux ans, comme un
baromètre. Les différents opérateurs disposent désormais d’une base compilant des données
consolidées, plus pertinentes que des données isolées ou spécifiques à tel ou tel sujet. En tout,
17 institutions se sont coordonnées au sein d’un comité consultatif pour établir une
méthodologie, collecter les données et les mettre en forme. Les solutions digitales destinées à
l’agriculture ont été classées en cinq grandes catégories primaires (conseil, contacts
commerciaux, accès au financement, gestion de la chaîne de valeur, intelligence macro),
subdivisées en catégories secondaires. Les experts proposent, de surcroît, d’utiliser de
nouveaux termes – comme middleware – pour qualifier les infrastructures de données
nécessaires au déploiement de solutions digitales concrètes comme les drones, les stations
météorologiques, les équipements de diagnostic de qualité des sols, des maladies et des plants,
ainsi que les capteurs de champ.
Christian Merz, conseiller principal à l’Agence allemande de coopération internationale pour
le développement (GIZ) et membre du conseil consultatif, déclare : “Ce rapport historique
fournit des informations extrêmement utiles sur le marché des solutions agricoles numériques
en Afrique subsaharienne. Les parties prenantes du secteur, notamment les donateurs, les
gouvernements et les investisseurs, mais aussi les responsables de la mise en œuvre et les
fournisseurs de solutions, doivent avoir une bonne compréhension de l’ampleur, de la nature et
de la couverture du marché pour optimiser les interventions, choisir la meilleure solution,
définir les stratégies de déploiement et de commercialisation, etc.”
Leonard Mizzi, chef d'unité au sein de la direction générale de la coopération internationale et
du développement de la Commission européenne, partage cet avis : “Nous vivons une époque
de transformation et de changement technologique sans précédent. Le numérique peut
contribuer à stimuler l'innovation pour développer des systèmes agroalimentaires durables et à
produire des aliments de meilleure qualité et plus sûrs tout en préservant les ressources
naturelles et la biodiversité. Mais nous devons en être conscients et soutenir des solutions
durables, adaptées aux besoins des pays et intégrées dans des systèmes d'innovation plus vastes
et mieux adaptés. Tout cela s’inscrit dans le droit fil des objectifs de la stratégie
Digital4Development de l’UE et des ODD (Objectifs de développement durable) que nous
sommes fiers de promouvoir.”
2
Fracture numérique
Malgré de considérables résultats dans la transformation digitale, les femmes ne comptent que
pour un quart des inscrits aux solutions digitales, bien qu’elles représentent près de la moitié de
la main-d’oeuvre agricole en Afrique subsaharienne. Sachant qu’en Afrique un mégabyte de
données mobiles coûte en moyenne 10 % du revenu moyen mensuel, les femmes qui gagnent
souvent moins que les hommes sont laissées de côté. Pourtant, les solutions digitales pourraient
accentuer leur capacité à produire et vendre plus et de meilleure qualité. De leur côté, les jeunes
sont surreprésentés parmi les utilisateurs (65 %). Le numérique constitue d’ailleurs un levier
pour les attirer ou les maintenir en agriculture. Cette donnée indique néanmoins un important
fossé entre générations qui doit être dépassé afin d’impliquer une proportion significative
d’agriculteurs parmi les plus âgés. Autre tendance remarquable : les utilisateurs sont beaucoup
plus nombreux en Afrique de l’Est, avec le Kenya en tête, tandis que les solutions se trouvent
en plus grand nombre à l’Ouest du continent. L’Afrique centrale et l’Afrique australe restent
globalement moins représentées. Enfin, malgré un grand nombre d’acteurs qui composent ce
jeune marché, une quinzaine de solutions digitales, principalement dans l’univers du conseil,
dominent le marché avec 70 % des agriculteurs enregistrés.
Passer à grande échelle
Les auteurs du rapport se sont concentrés sur le nombre d'utilisateurs enregistrés – une donnée
intéressante pour les donateurs – mais relèvent que le nombre d’utilisateurs actifs est beaucoup
plus faible. Plus d'un tiers des utilisateurs interrogés ont déclaré utiliser au moins une solution
technologique de pointe (drones, capteurs de terrain, big data ou machine learning). Toutefois,
40 % d’entre eux disent les utiliser souvent. Les utilisateurs très actifs ne représentent que 10 à
20 % de tous les utilisateurs enregistrés. Pourtant, près de 60 % des utilisateurs interrogés ont
indiqué qu’ils envisageaient d’intégrer ces technologies dans leurs activités au cours des trois
prochaines années. “Sachant que l’objectif africain de plein accès du continent à la téléphonie
sera une réalité dans les années à venir, nous tablons sur le fait qu’environ 100 millions de petits
agriculteurs s'abonneront à un service numérique ou similaire d’ici à 2020, un chiffre qui
atteindra probablement les 200 millions d’ici à 2030”, indiquent les auteurs du rapport. Dans 5
ans, 87 % des utilisateurs de la téléphonie mobile d’Afrique subsaharienne devraient avoir accès
à l’Internet mobile. “Ce rapport indique que, malgré les défis, les facteurs économiques
s’améliorent rapidement, avec une poignée d’acteurs commençant à développer des affaires
viables à grande échelle. Pour atteindre le plein potentiel, les entreprises auront désormais
besoin de se concentrer sur la conversion de leur base clientèle en utilisateurs réels afin que ces
modèles économiques portent leurs fruits”, affirme Michael Hailu.
Les données recueillies et leur analyse, ainsi que toutes les réussites de projet mises en avant
dans le rapport, sont autant d’éléments de preuve solides de nature à convaincre tout
investisseur potentiel. Ce rapport fait prendre conscience des défis et des opportunités liés aux
technologies numériques, non seulement en Afrique, mais dans l'ensemble de la région ACP
(les pays d’Afrique, des Caraïbes et du Pacifique). La digitalisation de l'agriculture aide le
secteur agro-industriel et les gouvernements à avoir une meilleure vision de leurs objectifs, ce
qui leur permet de mieux adapter leurs produits, services, politiques et actions, d’une manière
générale. Selon une étude publiée en 2018 dans le Journal of the British Blockchain
Association, la traçabilité améliorée des données sur International Business Machines
3
Corporation, la plateforme blockchain utilisée par Walmart, réduit de 7 jours à 2,2 secondes le
temps nécessaire pour retracer le trajet d’une mangue, de l’arbre au supermarché.
Toutefois, l’étude souligne que les investissements dans la digitalisation pour l’agriculture sont,
à ce jour, isolés, dispersés et fragmentaires, avec des efforts de passage à l’échelle dupliqués
sans que cela soit nécessaire, ce qui a entraîné un manque d’efficacité et a ralenti la croissance
à long terme et à large échelle. “Alors que l’opportunité est immense, le rapport ne fait preuve
d’aucune naïveté sur les défis à relever et le travail considérable requis par les entreprises
d’agribusiness, les gouvernements, les donateurs et les investisseurs afin de maximiser les
impacts transformateurs de l’agriculture digitale dans les années à venir”, affirme Michael Tsan,
de Dalberg Advisors et co-leader du département Pratiques digitales et utilisation des données.
La nécessaire implication de tous les acteurs
Tous les résultats soulignés dans ce rapport montrent à quel point il est essentiel que toutes les
parties prenantes investissent dans le digital destiné à l’agriculture, des bailleurs de fonds aux
grandes entreprises technologiques, en passant par l’agro-industrie. Les investissements dans
le secteur proviennent principalement des donateurs, mais le secteur privé rattrape son retard.
Les recommandations formulées dans le rapport seront essentielles pour le développement de
politiques appropriées aux niveaux national, régional et continental, de même que pour le
développement des ressources humaines, des infrastructures publiques et des régulations.
Pour Enock Chikava, directeur adjoint du département Développement agricole de la Fondation
Bill & Melinda Gates, les pays doivent commencer par avoir une vision claire de leur
agriculture et du potentiel de sa digitalisation. “Une fois cette vision définie, il est nécessaire
de disposer d’infrastructures. Vous ne pouvez pas vous lancer dans l’agriculture numérique si
les infrastructures ne permettent aucune connectivité. Nous avons donc besoin de
réglementations et de politiques pour encourager les investissements de la part du secteur
privé”, a-t-il déclaré dans une interview avec Spore. Néanmoins, Enock Chikava incite à la
prudence : “Si les données déjà collectées, standardisées et analysées restent entre les mains et
sous le contrôle d’une minorité, cela va à l’encontre de l’objectif même de la digitalisation. Il
faut que les données soient largement partagées pour que les nouveaux arrivants ne doivent pas
consacrer autant de temps et d’efforts pour recueillir le même type de données.”
“La digitalisation change la donne dans la transformation de la petite agriculture, mais, il faut
lui accorder l’importance qu’elle mérite dans les politiques et les investissements”, confirme
Michael Hailu. “Les gouvernements devraient considérer la digitalisation comme un domaine
primordial qui pourra avoir une forte incidence sur la transformation de l’agriculture,
l’amélioration de la productivité, le renforcement de la résilience face aux changements
climatiques et la création d’opportunités pour les jeunes et les femmes. Les gouvernements
devraient sérieusement s’intéresser aux bénéfices qu’ils pourraient tirer de la digitalisation dans
le cadre de leurs stratégies de transformation de l’agriculture.”
* Le CTA est régi par l’Accord de Cotonou entre le groupe des pays d’Afrique, des Caraïbes
et du Pacifique (ACP) et l’Union européenne.
4
REMARQUES ET RECOMMANDATIONS DU JURY
Concours ISE CYCLE LONG – ANALYSTE STATISTICIEN
SESSION 2024
Première composition de mathématiques
1 Remarques générales
Comme les années précédentes, le sujet était composé de sept exercices, indépendants entre eux, qui balayaient
l’ensemble du programme du concours. Comme annoncé, l’exercice 1 (éliminatoire par ailleurs) comptait pour 20% de
la note finale, tandis que les six autres exercices avaient peu ou prou le même poids dans la notation.
Le sujet était volontairement long, pour permettre aux candidats de briller sur leur thème de prédilection. Il y avait
beaucoup de questions simples (où on attendait de la précision et de la rigueur, voir plus bas pour quelques
explications), ainsi que des questions nécessitant une réelle réflexion et un certain recul (où la notation était plus
clémente), ce qui a permis de bien discriminer les candidats.
Les candidats ont, par nécessité ou par choix, abordé le sujet de différentes manières. Certains ont préféré traiter
en profondeur (et parfois même de manière remarquable) 3 ou 4 exercices, alors que d’autres, essentiellement les
copies les plus faibles, n’ont abordé que superficiellement les exercices.
Beaucoup de réponses étaient données, pour permettre aux candidats de vérifier leurs résultats, et ainsi de
continuer les exercices sereinement. On attendait donc des justifications rigoureuses et convaincantes : il ne suffisait
d’affirmer, ou de paraphraser l’énoncé, mais il fallait vérifier les hypothèses des théorèmes invoqués, laisser les
étapes importantes des calculs. Très peu de candidats ont compris cela, et ont saisi l’opportunité d’admettre certaines
réponses.
• Exercice 1. Comme d’habitude, l’exercice 1 était composé de 10 questions indépendantes entre elles, balayant
l’ensemble du programme du concours.
Les candidats se sont visiblement entraînés à traiter cet exercice : on sent un réel effort de concision et de
précision. Cependant, la rédaction seule de cet exercice ne suffit pas à obtenir une bonne note. Il faut veiller à
ne pas passer un temps démesuré sur ce premier exercice, et faire l’effort de traiter le reste du sujet.
• Exercice 2. Cet exercice, dont la fin était très difficile et abstraite, proposait d’établir la bijectivité d’une fonction,
et d’en étudier la réciproque.
Les 4 premières questions ont été plutôt bien traitées. Les choses se sont compliquées par la suite. Pour la
question 5, où la réponse était dans la question, il va de soi qu’une réponse du type « il est bien connu que
cette relation est vraie » ne convenait pas. Il fallait utiliser les données de l’énoncé.
Dans la question 6.a), si beaucoup ont bien senti le résultat (qui était annoncé !), encore fallait-il l’établir avec
les outils au programme. Il ne suffisait pas de montrer lim ℎ𝑎 (𝑥) = lim ℎ𝑎 (𝑥) = +∞ et d’invoquer la continuité
𝑥→−∞
𝑥→+∞
de ha (même si c’est vrai) : il fallait déterminer le signe de ℎ𝑎′ . Cependant, celui-ci n’était pas évident. Et ce n’est
pas parce que lim ℎ𝑎′ (𝑥) = −∞ et lim ℎ𝑎′ (𝑥) = +∞ , que ℎ𝑎′ est strictement croissante !
𝑥→−∞
𝑥→+∞
Ensuite, pour la question 6.b), si tous les candidats ont bien compris que ma est défini par la relation ℎ𝑎′ (𝑚𝑎 ) =
0, peu arrivent en fin de compte à inverser la formule correctement.
Ceux qui n’avaient pas trouver le bon résultat à la question 6.b) ne s’en sont pas rendu compte (alors que
parfois leurs résultats contredisaient l’énoncé ou le vidait de sa substance), et ont tout de même continué
l’exercice, avec des fortunes diverses : ceux qui ont gardé une certaine rigueur ont réussi à obtenir des points,
les autres se sont perdus dans de longues explications.
• Exercice 3. L’objet de cet exercice était d’étudier une fonction assez simple, composée d’une fonction
polynôme de degré 3 et de la fonction sinus. Cette fonction était un prétexte pour tester les connaissances des
candidats sur les symétries des graphes, ainsi que sur l’étude de fonctions de références.
La première question portait sur la réduction de l’intervalle d’étude, ainsi que sur les symétries de la courbe Si
beaucoup ont appris des formules et ont réussi les questions 1.a), 1.b) et 1.c), assez peu finalement ont
réellement compris les transformations sur le graphe : la question 1.d) a trop souvent été une simple redite des
questions précédentes, souvent peu convaincante.
Dans la deuxième question, on étudiait d’abord une fonction polynôme. On attend des candidats une étude
simple et rapide sur de telles fonctions. La question 2.c) n’a pas eu beaucoup de succès : si beaucoup ont vu
que 𝜑 = 𝜓 𝑜 𝑠𝑖𝑛, peu invoquent la monotonie de la fonction sinus.
Enfin, seule une petite dizaine de candidats a réussi à donner une représentation graphique correcte.
• Exercice 4. On étudiait la fonction Bêta d’Euler, prétexte pour tester les candidats sur les différentes techniques
d’intégration. Il a été plutôt bien réussi.
Pour définir une intégrale, il faut que l’intégrande soit continue sur le SEGMENT [0,1].
Pour la suite, les résultats étaient donnés : on attendait donc le détail des calculs. Parfois, un «−» se
transformait opportunément en un «+» pour aboutir au résultat de l’énoncé. Cela a été sanctionné : il ne faut
pas aboutir par tous les moyens au résultat, quitte à maquiller les calculs. Les correcteurs restent vigilants et
attentifs sur tous les détails.
Certains candidats justifient soigneusement les différentes étapes des calculs (linéarité, division par 0,...), et
vérifient les hypothèses des théorèmes (celui d’intégration par parties). Cela a été apprécié.
• Exercice 5. On étudiait une suite définie par récurrence : limite puis vitesse de convergence.
La première question, très classique, testait les candidats sur le raisonnement par récurrence (voir plus bas),
ainsi que sur le théorème de la limite monotone, thèmes déjà évalués dans l’exercice 1. Cette question a
permis de mettre en lumière des erreurs de logique graves. Par exemple, ce n’est pas parce qu’une fonction
possède un point fixe que la suite converge.
L’obtention de la vitesse de convergence nécessitait plus de calculs. Les questions 2. et 3. n’ont pas été bien
réussies. Pourtant, elles étaient simples ! Dans la question 2., les fractions ne sont données sous forme
irréductibles, et dans la question 3.a), en plus du fait que beaucoup ne mentionnent pas le caractère dérivable
de la fonction, les dérivées sont fausses !
La question 4 était très technique, et nécessitait d’être à l’aise dans la manipulation des sommes. Certains
candidats ont montré une réelle dextérité dans l’enchaînement des calculs !
• Exercice 6. Exercice sur les nombres complexes : on y étudiait une équation algébrique de degré 6.
Visiblement, les candidats ont déjà rencontré ce type d’exercice. La preuve : pour calculer une racine carrée de
80+18i, beaucoup calculent aussi le module, en plus des relations sur a2−b2 et 2ab (même si ce n’était pas
nécessaire).
Certains ont évacué la première question en passant par « l’exponentielle complexe » et les formules de
Moivre, sans se douter ce qui se cache réellement derrière ces formules.
Enfin, on calculait les racines cubiques de −8 et de 1+i. Il fallait faire attention à ce que la méthode était
imposée : certains ont appliqué dans les deux cas la formule des racines n-ièmes, alors qu’on demandait dans
la question 3. de factoriser z3+8.
• Exercice 7. Pour terminer, le sujet proposait un exercice simple de probabilité. Il a été boudé par les candidats.
C’est dommage, car les premières questions ne posaient pas de difficulté. La dernière question était ouverte.
Peu ont réussi à exposer clairement leur raisonnement.
2
Quelques erreurs récurrentes
Une attention particulière est donnée à l’énoncé des théorèmes, ainsi qu’à la vérification des hypothèses. Parmi les
erreurs courantes, on trouve les récurrences et les études de fonctions.
2.1
Utiliser un théorème
Pour invoquer un théorème, il ne suffit pas d’en énoncer les conclusions, il faut aussi en citer les hypothèses (et les
vérifier !), ainsi que son nom (s’il en a un). Par exemple :
— pour montrer qu’une fonction réalise une bijection, on peut invoquer le théorème des valeurs intermédiaires
strictement monotone. Pour ce faire, il faut vérifier que la fonction est continue et strictement croissante. L’oubli
d’une de ces hypothèses rend caduque le théorème.
— pour montrer qu’une suite est convergente, on peut invoquer le théorème de la limite monotone. Pour ce faire, il
faut vérifier la stricte monotonie, puis distinguer selon que la suite est bornée ou non.
2.2
Monotonie d’une fonction
Il est souvent demandé de montrer qu’une fonction est croissante. Il y a plusieurs façons de procéder. On peut
dériver, mais ce n’est pas obligatoire ! On peut par exemple revenir à la définition d’une fonction croissante :
On dit qu’une fonction f : I →ℝ est croissante si : ∀a,b ∈ I, a < b ⇒ f(a) ≤ f(b).
Pour utiliser la « caractérisation des fonctions monotones dérivables », il faut au préalable vérifier que la fonction est
dérivable.
2.3
Récurrence
Les récurrences sont très rarement bien faites. Il y a quatre points de vigilance : énoncer l’hypothèse de récurrence,
vérifier l’initialisation, démontrer l’hérédité, et énoncer la conclusion.
L’hypothèse à démontrer n’est jamais clairement écrite. Par exemple certains annoncent : « Montrons par
récurrence que ∀n ∈ℕ, P(n) ». Déjà, cette propriété ne dépend pas de n.
Pire : certains commencent l’hérédité par « On suppose que pour tout n ∈ ℕ, Pn est vraie ». Mais en supposant cela,
il n’y a plus rien à démontrer !
Ordre général
Sujet n°1 :
De nombreuses polémiques se font jour actuellement au sujet du développement de l’intelligence artificielle. Quels
rôles ce nouveau champ de développement de la technologie peut-il jouer dans notre société ? Quels progrès cette
technologie pourrait-elle engendrer, quels dangers pourrait-elle entraîner ?
Sujet n°2 :
Les pays du Moyen-Orient semblent jouer progressivement un rôle différent que celui qui leur était habituellement
connu en tant que principaux producteurs de ressources d’hydrocarbures. Comment voyez-vous l’évolution de cette
nouvelle zone émergente au niveau de la région considérée et au sein du concert des nations ?
Sujet n°3 :
Nos cultures et nos traditions sont de plus en plus confrontées à une sorte d’uniformisation portée par la
mondialisation. Quelles initiatives pourrait-on engager ou poursuivre afin que nos pays, nos régions, voire des
ensembles supranationaux, valorisent leur patrimoine culturel tout en restant ouverts aux transformations apportées
par les échanges entre des espaces culturels différents ?
Remarques générales
Les candidats doivent intégrer une fois pour toutes que la longueur de la copie ne fait pas sa qualité. Loin s’en faut. En
général, les candidats qui ont ce penchant, ne contrôlent pas leur pensée, ni la structure qu’il souhaitent donner à leur
copie. En bref, ils ne maitrisent pas le sujet et s’enferrent dans des digressions, des extrapolations qui les mènent très
rapidement vers le hors sujet ou des répétitions imparablement sanctionnées par le correcteur. On souligne
également que les candidats ne doivent pas se précipiter sur le sujet apparaissant facile. Ce malentendu peut mener
à une sorte d’enthousiasme trompeur où les candidats s’engagent dans une rédaction longue sous l’effet d’une trop
grande confiance. L’analyse du sujet est donc un exercice essentiel avant de se mettre au travail et de se lancer dans
le développement. Avant toute chose, il faut que les candidats testent leur capacité à traiter le sujet au moyen d’un
brouillon qui doit faire apparaitre un plan qui doit répondre au sujet. Si le candidat a le moindre doute sur le choix du
sujet après ce court galop d’essai, il doit se demander si son choix initial qui l’a conduit à choisir l’un des trois sujets,
est le bon, et en tirer les conséquences au besoin en s’orientant vers un autre sujet. Si le candidat estime que les trois
sujets lui posent des difficultés, il doit choisir celui qui lui donnera le plus de chances de s’exprimer. Le travail au
brouillon avec un exercice de construction du plan est plus que jamais indispensable dans un tel cas de figure. On
rappelle, s’il en était besoin, qu’une copie claire et bien agencée a toujours plus de chances d’être mieux notée qu’une
longue copie écrite à la volée avec une structure peu apparente voire pas du tout.
Pour cette session, on a constaté un net effort de structuration des copies qui respectent quasiment toutes le principe
Introduction/développement/conclusion. L’expression écrite s’améliore également : on ne trouve pratiquement plus de
copies extravagantes ou sans objet. On a également apprécié parfois les efforts consentis par certains candidats qui
ont de réelles capacités d’écriture, emploient un vocabulaire adapté et recherché, disposent de qualités d’analyse
parfois remarquables.
Il reste des efforts à faire sur différents points. Sur la question du plan. Les candidats structurent leur propos en
fonction du sujet. Un sujet qui suggère de disserter sur les avantages et les inconvénients d’un sujet à traiter apporte
une certaine aide à la structuration de la copie et permet au candidat d’organiser son propos en deux parties, sans
risque. Quand le sujet choisit ne suggère pas cette organisation, on voit assez nettement que les candidats ont plus
de difficultés pour trouver un plan suffisamment organisé, répondant au sujet tout en valorisant les idées et les
connaissances du candidat. Encore faut-il d’ailleurs que ce projet de plan soit suivi d’effets dans le développement. Il
reste donc une marge de progression sur la structuration des dissertations. Il reste par ailleurs encore des copies qui
font apparaitre les titres et têtes de chapitre dans leur copie. Il reste aussi des cas encore trop nombreux où les idées
du candidat apparaissent sous forme de tirets et d’idées juxtaposées. L’effet sur le correcteur est évidemment
dévastateur : même si les idées alignées peuvent s’avérer acceptables (c’est finalement assez peu le cas), on ne peut
se résoudre à noter correctement des copies qui se sont limitées à cet exercice au lieu d’écrire une vraie dissertation.
On trouve encore trop souvent des copies qui multiplient les citations pas toujours à bon escient avec finalement un
effet contre-productif. On ne peut pas également prendre le correcteur à témoin, le vouvoyer, le tutoyer même.
Bien que les expressions extravagantes soient bien moins nombreuses qu’auparavant, on en trouve encore trop
fréquemment, certaines d’ailleurs étant grossières. L’effet, on s’en doute, est catastrophique sur l’appréciation du
candidat et la valeur de la note.
Il est inutile enfin de reproduire le sujet dans l’introduction. Cela n’apporte rien de plus et a pour effet de semer le
doute sur la valeur du candidat, ce, dès les premières lignes de la copie. Paraphraser le sujet dans l’introduction
produit le même effet.
Sujet n°1 :
De nombreuses polémiques se font jour actuellement au sujet du développement de l’intelligence artificielle. Quels
rôles ce nouveau champ de développement de la technologie peut-il jouer dans notre société ? Quels progrès cette
technologie pourrait-elle engendrer, quels dangers pourrait-elle entraîner ?
Il s’agit du sujet qui a eu le plus de succès auprès des candidats. Il est vrai que cette thématique fait l’objet de débats
constants au travers une multitude d’articles, émissions, rapports d’experts, opinions diverses et pléthoriques sur les
réseaux sociaux, agitant finalement toute une série de phantasmes et projections sur une transition vers un monde
numérique total et incontrôlable.
Les candidats ont tous eu beaucoup de choses à dire montrant au moins qu’ils étaient informés et qu’ils s’étaient
forgés une opinion sur le sujet de l’intelligence artificielle. On n’en attendait pas moins au vu du véritable battage
médiatique actuel.
Ce sujet paraissant des plus évidents, cela aurait dû provoquer une certaine méfiance chez les candidats. Ce n’est
pas parce que le monde entier s’empare d’un sujet que son traitement dans une dissertation est un exercice facile. On
ne demandait pas évidemment que les candidats se posent en spécialistes de la question mais traitent le sujet au
cours d’une discussion. Or, bien souvent des candidats se sont contentés d’écrire des banalités. C’est d’ailleurs sur ce
sujet que l’on a observé proportionnellement le plus de digressions en s’éloignant progressivement du sujet jusqu’au
hors sujet. Ainsi, la majorité des copies a mis de l’intelligence artificielle partout. Dans nos maisons, nos équipements,
dans les champs, les transports, l’Etat, l’économie, l’armée, l’administration, dans la vie de tous les humains. A peu
près tous les objets électroniques étaient munis selon les candidats d’une intelligence artificielle alors que tel n’est pas
le cas. Les avantages ont été bien vus sur le mode d’une aide apportée dans toutes les activités humaines. Les
inconvénients ont été pour leur part assez bien relevés notamment avec la mention systématique du risque de
chômage de masse dans certaines branches d’activité occupées progressivement par l’intelligence artificielle (tâches
répétitives, gestion, administration, entreprises). Mais on ne pouvait accepter que l’IA soit accusée de provoquer des
guerres jusqu’à lire dans certaines copies que les bombardements nucléaires de la seconde guerre mondiale étaient
dus à l’IA… De même on ne pouvait pas accepter que les copies nous mettent en situation dans un monde qui
n’existe pas. Ainsi de nombreuses copies ont considéré que toute notre vie était accompagnée par des robots dans
nos actes de tous les jours, des robots qui font la cuisine, s’occupent des tâches ménagères, conduisent nos voitures,
tous évidemment munis d’intelligence artificielle. Ce qui est évident est que beaucoup de copies n’ont pas mesuré que
nous sommes dans une phase de transition comme pour beaucoup de sujets actuellement, de sorte qu’il fallait faire
un état des lieux de ce que représente l’IA actuellement et en mesurer les effets bénéfiques et les dangers dans un
avenir plus ou moins proche. Les copies qui ont bien traité le sujet se sont astreintes justement à définir ce qu’est
l’intelligence artificielle, ce qui permettait de décortiquer ses principes et d’en démystifier le poids. Cette démarche
permettait de se projeter vers des dispositions nécessaires à prendre pour limiter l’influence de l’IA et conserver un
contrôle sur cette technologie. Les propositions de régulation de l’IA étaient tout à fait bienvenues dans ce contexte.
Sujet n°2 :
Les pays du Moyen-Orient semblent jouer progressivement un rôle différent que celui qui leur était habituellement
connu en tant que principaux producteurs de ressources d’hydrocarbures. Comment voyez-vous l’évolution de cette
nouvelle zone émergente au niveau de la région considérée et au sein du concert des nations ?
Le sujet n°2 avec le dernier sujet (sujet n°3), a attiré un nombre restreint de candidats. On espérait que ceux-ci, peu
nombreux, auraient eu le mérite de rendre des copies de qualité. Il n’en est rien. Pratiquement tous ne savent pas où
se situe le Moyen-Orient alors qu’on les mettait sur la piste en leur parlant des ressources en hydrocarbures. La
grande majorité des candidats a donc confondu le Proche-Orient, constitué notamment des pays du bassin Est de la
Méditerranée, avec le Moyen-Orient qui regroupe essentiellement les pays du Golfe Persique. De fait certains se sont
laissés entrainer vers la question du conflit israélo-palestinien avec des considérations qui n’avaient que peu ou pas
de liens avec le sujet proposé, outre il est vrai, l’intermédiation du Qatar notamment. Les copies qui pouvaient
prétendre à la moyenne au moins ont bien articulé leur propos entre la situation actuelle des pays actuels de la région,
identifiés comme les pourvoyeurs d’une bonne part du pétrole mondial, et leur évolution vers l’après pétrole. Mais peu
ont cité les démarches des pays du Golfe dédiées à cette transition, notamment avec les plans de développement de
capacités de formation, de recherche, d’innovation localisées dans ces pays via des plans de développement adoptés
et mis en œuvre à marche forcée. Peu de copies, voire pas du tout, ont relevé également la reconfiguration
géopolitique qui s’opère alors que les pays du Golfe diversifient leurs partenaires internationaux en direction de l’Est,
notamment en se tournant vers la Chine depuis peu. On souligne à ce titre l’exemple du début de rapprochement
entre l’Arabie Saoudite et l’Iran sous l’égide de la Chine en avril 2023, événement qui a interloqué une bonne partie
des analystes de la région. Tout au plus, certaines copies ont relevé que les pays du Golfe attiraient de plus en plus
de touristes captivés notamment par les villes modernes à Dubaï ou ailleurs. Mais cela demeurait une idée isolée qui
ne montrait pas vraiment en quoi les pays du Golfe évoluent vers quelque chose d’autre que le pétrole. Ont été mieux
identifié en revanche la question du changement climatique, les mesures à prendre pour s’en préserver, la conversion
progressive des pays concernés à une économie de la connaissance capable de favoriser leur intégration dans le
concert des nations.
Sujet n°3 :
Nos cultures et nos traditions sont de plus en plus confrontées à une sorte d’uniformisation portée par la
mondialisation. Quelles initiatives pourrait-on engager ou poursuivre afin que nos pays, nos régions, voire des
ensembles supranationaux, valorisent leur patrimoine culturel tout en restant ouverts aux transformations apportées
par les échanges entre des espaces culturels différents ?
Comme on l’a mentionné, le sujet n°3, comme le sujet n°2, n’a pas retenu l’attention de beaucoup de candidats. Il
semblait pourtant suffisamment accessible notamment dans la mesure où toutes les cultures de nos pays sont
concernées par la mondialisation, notamment les cultures des pays d’Afrique. Ceci laissait toute latitude à ceux qui
souhaitaient choisir ce sujet, de prendre des exemples proches de leur vie de tous les jours de façon à illustrer leur
propos. Quelques candidats s’y sont essayés. Ils ont en général plutôt bien réussi à traiter en quoi la mondialisation a
des effets néfastes par une sorte d’uniformisation préjudiciable aux cultures de nos pays. Ce fait est en effet assez
classiquement traité dans une multitude de débats, d’articles, de livres etc. Dans la série de mesures que l’on pouvait
prendre pour parvenir à équilibrer les influences partagées entre différentes cultures, des candidats se sont parfois
concentrés sur la religion. Cela était tout à fait recevable en tant que composante de la culture à condition que le
propos ne soit pas limité à ce seul point. D’autres points de vue se sont focalisés sur la période coloniale afin de
souligner que la culture africaine était sous emprise occidentale depuis des dizaines d’années, ce qui n’était pas faux
en soi, à condition là encore que le propos ne soit pas limité à cette seule question. Au titre des propositions, toute
une série d’actions étaient proposées dans les copies, certaines tout à fait sensées, notamment sur la valorisation des
cultures locales dès la petite enfance à l’école avec le soutien apporté à l’apprentissage de dialectes, de coutumes
locales, de traditions culinaires etc. D’autres propositions soulignaient l’importance d’initiatives d’Etat via les ministères
en charge de la culture afin d’organiser des festivals culturels et la promotion d’initiatives locales dédiés par exemple à
la musique, les arts culinaires, etc.
On a regretté que les copies ne fassent pas mention de la complexité des actions dédiées au soutien de la culture,
dans la mesure notamment où une politique d’Etat dédiée à la culture reste en général portée par une volonté
d’uniformisation nationale sans forcément prendre en compte les cultures locales plus particulières. Nous savons en
effet que les politiques culturelles menées au niveau national portent une volonté d’uniformisation au niveau d’un pays
parfois au détriment des cultures locales. Ce point pouvait être cité afin également d’aborder la question sous l’angle
ethnologique ou anthropologique alors que les frontières des pays africains notamment ont été tracées sans
forcément prendre en compte les ethnies et leurs langues qui dépassent ces frontières un peu arbitraires. Aborder
cette question permettait de répondre à la question de la défense d’espaces culturels supranationaux donnant la
possibilité aux Etats de s’entendre sur cette question par-delà les frontières. Cette question pouvait d’ailleurs
parfaitement être travaillée sur la base d’exemples pris partout dans le monde où justement des espaces culturels
sont progressivement reconnus au-delà de frontières dans le monde entier. On pense notamment à la Catalogne,
région transfrontalière entre l’Espagne et la France. Cette incise permettait par la même occasion d’aborder la
question de la défense des aires culturelles et ses conséquences géopolitiques qui suscitent parfois une certaine
méfiance de la part des Etats concernés.
Deuxième composition de mathématiques
Contexte
Comme les années précédentes l’épreuve est composée de six exercices indépendants. Conformément au
programme commun des terminales scientifiques des pays concernés, cinq exercices portent sur l’analyse, avec
comme incontournables : l’étude de fonctions, le calcul intégral et les suites. Le sixième exercice concerne les
probabilités discrètes. Dans l’un des exercices (exercice 4), il s’agissait de mettre en équation (premier degré) une
situation concrète.
L’épreuve a été strictement notée sur vingt. Chaque exercice étant noté sur 3 ou 4 points
Rappelons que les copies de cette deuxième épreuve ne correspondent qu’aux candidats non éliminés par la
première épreuve de mathématique. Par conséquent, les notes sont, en moyenne, bonnes.
Résultats
Chaque question a toujours été traitée par plusieurs dizaines de candidats. L’étude des fonctions est, comme toujours,
le thème le mieux réussi dans l’ensemble, avec le calcul intégral.
Les candidats ont rencontré de grandes difficultés pour l’exercice « simple » (du niveau de la troisième) où il s’agissait
d’une mise en équations (premier degré) d’une situation pratique. Il ne faut pas oublier que la formation dans les
écoles est centrée aussi sur des cours d’économie où la modélisation a son importance. On trouve encore dans
l’exercice de probabilités, des variances négatives…
Contraction de texte
1. Introduction
Le texte choisi cette année était tiré du livre : « Le cerveau, machine à inventer ; comment naissent les grandes
découvertes ». L’auteur Monsieur Yves AGID est médecin neurologue, professeur à Sorbonne Université et membre
de l’académie des sciences.
Les concepts abordés pouvaient être compris par tous le candidat quel que soit leur contexte culturel.
Le texte comportait plusieurs idées principales, quelques-unes secondaires et quelques exemples. Faire une
synthèse de ces idées assez nombreuses représentait une certaine difficulté.
2. Observations
Dans l’ensemble, les copies témoignent d’une réelle application et d’un travail sérieux. La consigne a été dans
l’ensemble respectée, et les observations des années précédentes ont été prises en compte.
De moins en moins de très mauvaises copies. Tout cela témoigne d’un réel travail en amont, d’une amélioration
incontestable du niveau des étudiants ce qui est positif et très encourageant.
3. Erreurs et lacunes
Les idées principales ont le plus souvent été repérées, alors que les idées secondaires ont été beaucoup plus
inégalement restituées. Les exemples ont souvent donné lieu à des développements excessifs.
Les candidats ont du mal à équilibrer leur résumé en s’étendant trop longuement sur certaines idées au détriment
d’autres, importantes aussi, qui n’apparaissent pas.
Malgré l’attention portée à la consigne de longueur du résumé, on trouve encore des résumés beaucoup trop
longs ou, plus rarement, trop courts.
La compréhension des arguments de l’auteur n’est souvent pas assez précise et trop approximative. Les
périphrases inutiles et vagues sont fréquentes, conduisant à un manque de concision et de clarté particulièrement
indispensables dans cet exercice.
Au plan de la construction du résumé, on constate souvent une énumération des idées sans enchaînements ni
liens logiques témoignant de la difficulté à synthétiser.
Au plan de la maîtrise de la langue certaines copies, sont d’un très bon niveau.
Les lacunes portent sur les maladresses et incorrections plus ou moins nombreuses, rendant les propos difficiles à
percevoir.
On note des phrases trop longues, sans ponctuation devenant incompréhensibles, avec un vocabulaire pauvre et
répétitif voire fantaisiste.
Les mots de liaison que les candidats s’efforcent d’utiliser pour bien faire, ne sont pas toujours adaptés pouvant
même conduire à des contresens…
4. Appréciation du niveau des candidats
Les notes tiennent compte :
Du respect de la consigne.
De l’analyse du texte et de la restitution des idées.
De la maîtrise de la langue écrite.
De la construction du résumé dans son ensemble.
I NSTITUT SOUS - RÉGIONAL
É COLE NATIONALE SUPÉRIEURE
É COLE NATIONALE
DE STATISTIQUE
DE LA STATISTIQUE
DE STATISTIQUE
ET D ’ ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE L’ ANALYSE ÉCONOMIQUE
ET D ’ ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA-A BIDJAN
ENSAE P IERRE N DIAYE -DAKAR
ISSEA-YAOUNDÉ
AVRIL 2024
C ONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTE STATISTICIEN
ISE cycle long / AS
Première composition de mathématiques
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Exercice 1
Z √π
1. Calculer l’intégrale
x sin(x2 )dx.
0
D’après le théorème fondamental du calcul intégral :
Z √π
0
√
2 ) x= π
cos(x
x sin(x2 )dx = −
= 1.
2
x=0
s
2. Déterminer le domaine de définition de la fonction x 7→
Dressons d’abord le tableau de signes de l’expression
x
x3
.
x−1
x3
suivant les valeurs de x ∈ R.
x−1
0
1
x−1
−
−
x3
−
0
+
+
x3
x−1
+
0
−
+
0
+
On en déduit que la fonction est définie sur ]−∞, 0] ∪ ]1, +∞[.
x2 − 5x + 7
possède une asymptote
x−2
oblique au voisinage de +∞, dont on déterminera une équation cartésienne.
3. Montrer que la courbe représentative de la fonction x 7→
Pour tout x > 2 :
x2 −5x+7
x−2
x
x2 − 5x + 7
=
−−−−→ 1,
x(x − 2) x→+∞
puis :
x2 − 5x + 7
−3x + 7
−x =
−−−−→ −3.
x−2
x − 2 x→+∞
Ainsi, la droite d’équation : y = x − 3
est asymptote à la courbe au voisinage de +∞.
1
4. Déterminer les limite à gauche et à droite en 2 de la fonction de la question précédente.
x2 − 5x + 7
x2 − 5x + 7
= +∞ et lim
= −∞.
Par quotient : lim
x−2
x−2
x→2+
x→2−
i π πh
5. Calculer la dérivée de la fonction x 7→ sin(x) ln(cos(x)) définie sur − , .
2 2
La fonction est dérivable par composition et par produit, de dérivée
x 7→ cos(x) ln(cos(x)) −
sin(x)2
.
cos(x)
√
6. Déterminer une forme trigonométrique !
du nombre complexe a = −3 + i 3.
√
√
√
√
1
3
5π
5π
On a : −3 + i 3 = 2 3 −
+i
= 2 3 cos
+ i sin
.
2
2
6
6
7. Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher : deux boules avec le numéro 1,
une boule avec le numéro 5 et une boule avec le numéro 8. On pioche au hasard sans remise
une première boule, puis une deuxième. On note X la variable aléatoire égale à la somme des
numéros obtenus. Calculer l’espérance de X.
Notons a le résultat du premier tirage, et b le résultat du second tirage, puis X = (a, b) le couple
formé par ces deux tirages, et enfin G = a + b le gain. À l’aide d’un arbre, il vient :
(1, 1) (1, 5) (1, 8) (5, 1) (5, 8) (8, 1) (8, 5)
1
1
1
1
1
1
1
P[X = (a, b)]
6
6
6
6
12
6
12
G
2
6
9
6
13
9
13
X
1
1
1 45
1
Ainsi : E[G] = 2 × + 6 × + 9 × + 13 × = .
6
3
3
6
6
8. On note (un )n∈N la suite définie par son premier terme u0 > 0 et pour tout n ∈ N : un+1 =
u2n + 2un . Étudier la monotonie de la suite, puis déterminer sa limite.
Pour tout n ∈ N : un+1 − un = u2n + un .
Mais par récurrence immédiat : ∀n ∈ N, un ≥ 0, et donc (un )n∈N est croissante.
En vertu du théorème de la limite monotone, elle possède une limite ` ∈ R ∪ {+∞}.
Supposons ` ∈ R. Alors en passant à la limite : ` = `2 + 2`, donc : ` = 0 ou ` = −1.
C’est absurde, car pour tout n ∈ N : un ≥ u0 > 0. Donc la suite diverge vers +∞.
3 ln(n)4 − n3 + e−n
. Étudier la limite de la suite (vn )n∈N .
9. Pour tout n ∈ N, on pose : vn =
1 + cos(n) + 2n3
4
3 ln(n)
1
1 1 − n3 − en n3
1
−−−−→ −
Pour tout n ∈ N : vn = − ×
cos(n)
1
2
1 + 3 + 3 n→+∞ 2
2n
par croissance comparée.
2n
1 4
10. Résoudre l’équation :
x − 2x2 − 3 = 0 d’inconnue x ∈ R, puis d’inconnue x ∈ C.
2
On reconnaît une équation du second degré homogène en x2 , dont le discriminant est 10 :
√ √ 1 4
1
x − 2x2 − 3 = x2 − (2 + 10) x2 − (2 − 10) .
2
2
q
q
√
√
√
√
Mais : 2− 10 < 2− 9 = −1 < 0, donc les solutions réelles sont 2 + 10 et − 2 + 10,
q
q
q
q
√
√
√
√
tandis que les solutions complexes sont 2 + 10, − 2 + 10, i
10 − 2 et −i
10 − 2.
∀x ∈ C,
2
Exercice 2
1. Question préliminaire. Montrer que la composée d’une fonction croissante et d’une fonction
décroissante est décroissante.
Soient E et F deux ensembles de R, f : E → F et g : F → R deux fonctions. On suppose f
croissante et g décroissante.
Méthode
1. Pour tous
a, b ∈ E, si : a < b, alors : f (a) < f (b) car f est croissante, puis :
g f (a) > g f (b) car g est décroissante. Conclusion : g ◦ f est décroissante.
Méthode 2. Si f et g sont supposées dérivables, alors f ◦ g est aussi dérivable, et pour tout
x ∈ E : ( f ◦ g)0 (x) = g0 (x) × f 0 g(x) . Par produit, on a : ( f ◦ g)0 (x) ≤ 0 pour tout x ∈ F,
donc f ◦ g est décroissante.
Dans cet exercice, on note I l’intervalle [−1, +∞[, et on appelle f la fonction définie par :
∀x ∈ I,
f (x) = xex .
2. Dresser le tableau de variation de f .
Par produit, f est définie et dérivable sur I, et sa dérivée est x 7→ (x + 1)ex .
Par ailleurs : lim f (x) = +∞. On en déduit le tableau :
x→+∞
x
−1
f 0 (x)
0
+∞
+
+∞
f
−e−1
3. Montrer que la fonction f réalise une bijection de I sur un intervalle J à préciser.
La fonction f est continue et strictement croissante sur I, donc d’après le théorème de la bijection (ou celui des valeurs intermédiaires strictement monotone), elle réalise une bijection de I
sur son intervalle image : J = [−e−1 , +∞[.
On note g la réciproque de la fonction f , c’est-à-dire la fonction définie par la relation :
∀x ∈ I,
∀y ∈ J,
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y).
4. Donner sans démonstration le tableau de variations complet de la fonction g, et préciser g(0).
On a : f (0) = 0, donc : g(0) = 0, et :
x
−e−1
+∞
+∞
g
−1
5. Montrer que pour tout x ∈ J : g(x)eg(x) = x.
Soit x ∈ J. Posons : y = g(x).
Alors : x = f (y) = f g(x) , c’est-à-dire : g(x)eg(x) = x.
3
Pour tout réel a > 0, on note ha la fonction x 7→ e−x + ax2 définie sur R.
6. Soit a > 0.
(a) Montrer que la fonction ha admet un minimum.
La fonction ha est définie et infiniment dérivable sur R, de dérivée première x 7→ −e−x +
2ax et de dérivée seconde x 7→ e−x + 2a. On en déduit le tableau :
−∞
x
h00a (x)
+∞
+
+∞
h0a
−∞
La fonction h0a s’annule donc une unique fois, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, disons en α. La conclusion découle du tableau suivant :
−∞
x
+∞
α
h0a (x)
−
+
0
??
??
ha
ha (α)
On note ma le point en lequel ce minimum est atteint.
(b) Exprimer ma en fonction de a et à l’aide de la fonction g.
D’après la question précédente, ma est l’unique solution de l’équation : −e−x + 2ax = 0
d’inconnue x ∈ R. Or :
1
1
−ma
−ma a6=0
ma
−e
⇐⇒ ma = g
.
+ 2ama = 0 ⇐⇒ 2ama = e
⇐⇒ ma e =
| {z } 2a
2a
f (ma )
(c) Montrer que : ha (ma ) =
On a :
−ma
2ama = e
,
e−ma
(ma + 2).
2
donc :
−ma
ha (ma ) = e
e−ma
ama =
,
2
et :
e−ma
e−ma
2
−ma
+
+ ama = e
× ma =
(2 + ma ).
2
2
7. Montrer que la fonction a 7→ ma définie sur ]0, +∞[ est décroissante, puis calculer ses limites
aux bornes de son domaine de définition.
1
est décroissante, et par continuité de g sur R∗+ :
Par composition, la fonction a 7→ g
2a
1
1
lim g
= lim g(x) = +∞ et
lim g
= lim g(x) = 0.
x→+∞
a→+∞
2a
2a
a→0+
x→0+
4
8.
(a) Montrer que la fonction a 7→ ha (ma ) est croissante.
e−ma
Pour tout a > 0 : ha (ma ) =
(ma + 2).
2
e−x
Méthode 1. La fonction x 7→ (x + 2)
est décroissante sur R∗+ , car de dérivée x 7→
2
e−x
−(x + 1)
, donc par composition la fonction a 7→ ha (ma ) est croissante.
2
e−ma
m0 e−ma
Méthode 2. La fonction a 7→
(ma +2) est dérivable sur R∗+ , de dérivée a 7→ − a
(ma +
2
2
1), donc elle est croissante.
(b) Déterminer la limite de la fonction a 7→ ha (ma ) lorsque a tend vers +∞.
e−ma
1
On a : ma −−−−→ 0 donc par composition ha (ma ) =
(ma + 2) −−−−→ × 2 = 1.
a→+∞
a→+∞ 2
2
Exercice 3
On note ϕ la fonction x 7→ 3 sin(x)5 − 5 sin(x)3 + 1 définie sur R, et C sa courbe représentative
dans un repère orthonormé (O;~i, ~j).
1. Le but de cette question est de trouver un intervalle d’étude intelligent de ϕ permettant de tracer
entièrement la courbe C .
(a) Expliquer pourquoi l’étude de ϕ sur l’intervalle [−π, π[ permet de tracer entièrement C .
La fonction ϕ est 2π-périodique, donc C est invariante par translation de vecteur (2π, 0).
(b) Montrer que le point I(0; 1) est un centre de symétrie de C .
Il s’agit de montrer que pour tout x ∈ R : ϕ(−x) − 1 = − ϕ(x) − 1 .
Or pour tout x ∈ R :
ϕ(−x) − 1 = 3 sin(−x)5 − 5 sin(−x)3 + 1 − 1 = −3 sin(x)5 + 5 sin(x)3
= − 3 sin(x)5 − 5 sin(x)3 + 1 − 1 = − ϕ(x) − 1 .
(c) Montrer que la droite d’équation :
x=
π
2
Il s’agit de montrer que pour tout x ∈ R :
Or pour tout x ∈ R :
ϕ
π
2
− x = 3 sin
π
2
−x
5
π
est un axe de symétrie de C .
π
π
ϕ
−x = ϕ
+x .
2
2
3
− x + 1 = 3 cos(x)5 − 5 cos(x)3 + 1
2
π
5
π
3
π
= 3 sin
+ x − 5 sin
+x +1 = ϕ
+x .
2
2
2
− 5 sin
h πi
permet de tracer entièrement la
(d) Expliquer finalement pourquoi l’étude de ϕ sur 0,
2
courbe C .
h πi
Supposons construite la courbe sur 0, . Alors on déduit la courbe sur [0, π] par symétrie
2
π
axiale d’axe : x = , puis sur [−π, π] par symétrie centrale de centre I(0; 1), puis sur
2
R tout entier par translation de vecteur (2π, 0).
2. On note ψ la fonction x 7→ 3x5 − 5x3 + 1 définie sur R.
5
(a) Calculer ψ(0), ψ(1) et ψ(−1).
Immédiatement : ψ(0) = 1, ψ(1) = −1
et ψ(−1) = 3.
(b) Dresser le tableau de variations de la fonction ψ.
La fonction ψ est définie et dérivable sur R car polynomiale, de dérivée
x 7→ 15x4 − 15x2 = 15x2 (x − 1)(x + 1).
On en déduit le tableau suivant :
x
−∞
−1
ψ 0 (x)
+
0
−
0
0
+∞
1
−
0
+
+∞
3
ψ
1
−∞
−1
h πi
(c) En déduire les variations de ϕ sur 0, .
2
h πi
: ϕ(x) = ψ sin(x) .
Pour tout x ∈ 0,
2
h πi
Méthode 1. Or la fonction sin est croissante sur 0,
et à valeurs dans [0, 1]. Comme
2
h πi
la fonction ψ est décroissante sur [0, 1], la fonction ϕ est décroissante sur 0,
par
2
composition.
h πi
Méthode 2. Pour tout x ∈ 0,
: ϕ 0 (x) = cos(x)ψ 0 sin(x) ≥ 0 car sin(x) ∈ [0, 1].
2
π Enfin : ϕ(0) = ψ(0) = 1 et ϕ
= ψ(1) = −1.
2
3. Construire la courbe C .
h πi
On construit le graphe de φ sur 0, . . .
2
. . . qu’on complète sur [0, π] par symétrie par
π
rapport à l’axe : x = . . .
2
~j
~j
O
O
~i
~i
. . . qu’on complète sur [−π, π] par symétrie . . . qu’on complète sur R par 2π-périodicité.
centrale de centre O. . .
~j
~j
O
O
~i
6
~i
Exercice 4
On note B la fonction définie pour tous a, b ∈ [0, +∞[ par : B(a, b) =
Z 1
t a (1 − t)b dt.
0
1. Justifier que la fonction B est bien définie.
Pour tous a, b ∈ R+ , la fonction t 7→ t a (1 −t)b est continue sur le segment [0, 1], donc l’intégrale
définissant B(a, b) est bien définie.
1 1
2. Le but de cette question est de calculer B , .
2 2
(a) En effectuant le changement de variable t = cos(θ )2 , montrer que :
Z π
1 1
2
=2
B ,
cos(θ )2 sin(θ )2 dθ .
2 2
0
Si on pose : t = cos(θ )2 ,
alors :
1 1 Z 0 q
= π
B ,
cos(θ )2 (1 − cos(θ )2 ) × (−2 sin(θ ) cos(θ )dθ )
2 2
2
Z π
2
=2
|cos(θ )| × | sin(θ )| sin(θ ) cos(θ )dθ
0
Z π
2
=2
cos(θ )2 sin(θ )2 dθ .
0
(b) Montrer que pour tout θ ∈ R :
Pour tout θ ∈ R :
1 − cos(4θ )
.
8
cos(θ )2 sin(θ )2 =
sin(2θ ) = 2 sin(θ ) cos(θ ),
donc :
cos(θ )2 sin(θ )2 =
sin(2θ )2 1 − cos(4θ )
1 − cos(2θ )
, donc :
=
.
2
4
8
1 1
(c) En déduire la valeur de B , .
2 2
π
Z π
1 1
2 1 − cos(4θ )
π
1
sin(4θ ) θ = 2
Enfin : B ,
dθ =
θ−
= .
=2
2 2
8
4
4
8
0
θ =0
puis :
sin(2θ )2
,
4
sin(θ )2 =
3. Soient a, b ∈ [0, +∞[.
a+1
B(a, b + 1).
b+1
En intégrant par parties, les fonctions t 7→ t a+1 et t 7→ (1 −t)b étant de classe C 1 sur [0, 1] :
(a) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
Z 1
B(a + 1, b) =
t a+1 (1 − t)b dt
0
t=1 Z 1
(1 − t)b+1
(1 − t)b+1
a+1
a
= t
− (a + 1)t × −
dt
× −
b+1
b+1
0
t=0
a+1
=
B(a, b + 1).
b+1
B(a + 1, b) =
7
(b) Vérifier que : B(a + 1, b) + B(a, b + 1) = B(a, b).
Par linéarité de l’intégrale :
Z 1
B(a + 1, b) + B(a, b + 1) =
t
a+1
b
(1 − t) dt +
0
Z 1
t a (1 − t)b+1 dt
0
Z 1
=
t a+1 (1 − t)b + t a (1 − t)b+1 dt = B(a, b).
{z
}
0 |
=t a (1−t)b (t+1−t)
=t a (1−t)b
(c) En déduire une expression de B(a + 1, b) en fonction de B(a, b).
Q 3.b) a + 1
Q 3.a) a + 1
B(a, b + 1) =
Ainsi : B(a + 1, b) =
B(a, b) − B(a + 1, b) ,
b+1
b+1
a+1
a+1
B(a, b),
1+
B(a + 1, b) =
b+1
b+1
donc :
a+1
B(a, b).
a+b+2
(d) Au moyen d’un changement de variable, montrer que : B(a, b) = B(b, a).
Effectuons le changement de variable : u = 1 − t, il vient :
d’où : B(a + 1, b) =
Z 1
B(a, b) =
a
b
t (1 − t) dt =
Z 0
0
a b
(1 − u) u (−du) =
Z 1
1
ub (1 − u)a du = B(b, a).
0
5 3
(e) En déduire la valeur de B , .
2 2
5 3 Q 3.c) 3 + 1
1
3 3
3 3
2
Il vient : B ,
,
= B
,
,
= 3 3
B
2 2
2
2
2
2
2
+
+
2
2
2
3 3
B
,
2 2
1 3
,
et : B
2 2
=
3 1
= B
,
2 2
Q 3.d)
Q 3.c)
1
1 3
3
1 3
2 +1
B
,
= B
,
,
1
3
2
2
8
2
2
+
+
2
2
2
Q 3.c)
=
puis :
5 3
B
,
2 2
1
+
1
1
1
1
1
1
2
,
= B
,
.
B
1
1
2 2
2
2 2
+
2
2 +2
Finalement :
3
1 1
3π
= B
=
,
.
32
2 2
256
Exercice 5
On note (un )n∈N la suite définie par u0 ∈]0, 1[ et pour tout n ∈ N :
1.
un+1 = un − u3n .
(a) Montrer que pour tout n ∈ N : un ∈]0, 1[.
Pour tout n ∈ N, on note Hn la propriété : « un ∈]0, 1[ ».
Initialisation. Par hypothèse, H0 est vraie.
Hérédité. Soit n ∈ N. On suppose un ∈]0, 1[. Alors 1 − u2n ∈]0, 1[, donc par produit :
un+1 = un (1 − u2n ) ∈]0, 1[. C’est exactement Hn+1 .
8
(b) Montrer que la suite converge vers 0.
Pour tout n ∈ N : un+1 − un = −u3n < 0, donc (un )n∈N est décroissante. Décroissante
et minorée, elle converge en vertu du théorème de la limite monotone. Sa limite ` ∈ [0, 1]
vérifie l’équation : ` = ` − `3 , donc ` = 0.
1
1
Pour tout n ∈ N, on pose : vn = 2 − 2 .
un+1 un
2. Exprimer vn en fonction de un pour tout n ∈ N. En déduire que la suite (vn )n∈N converge vers 2.
Pour tout n ∈ N :
vn =
1
u2n+1
−
1
1
1
1 − (1 − u2n )2
2u2n − u4n
2 − u2n
=
−
=
=
=
.
u2n u2n (1 − u2n )2 u2n
u2n (1 − u2n )2
u2n (1 − u2n )2 (1 − u2n )2
Mais : un −−−−→ 0,
n→+∞
donc par composition : vn −−−−→
n→+∞
2−0
= 2.
(1 − 02 )2
2−x
définie sur l’intervalle ]0, 1[.
(1 − x)2
(a) Montrer que f est croissante.
Par quotient, la fonction f est définie et dérivable sur ]0, 1[, et pour tout x ∈]0, 1[ :
2 − (2 − x) × − 2(1 − x)
(−1)
×
(1
−
x)
3−x
f 0 (x) =
=
> 0.
4
(1 − x)
(1 − x)3
3. On note f la fonction x 7→
Donc f est croissante.
(b) En déduire que la suite (vn )n∈N est décroissante.
Méthode 1. Pour tout n ∈ N : 0 < un+1 < un < 1, donc : 0 < u2n+1 < u2n < 1 car
la fonction x 7→ x2 est croissante sur ]0, 1[, donc par croissance de f : f (u2n+1 ) < f (u2n ),
c’est-à-dire : vn+1 < vn .
1
1
× 1+
≥ 2 car un ∈]0, 1[.
Méthode 2. Pour tout n ∈ N : vn =
1 − u2n
1 − u2n
(c) Montrer que pour tout n ∈ N : vn ≥ 2.
Pour tout n ∈ N : un ∈]0, 1[, donc : u2n ∈]0, 1[, donc par croissance de f :
vn = f (u2n ) ≥ f (0) = 2.
1 n
v0 + · · · + vn
.
vk =
Pour tout n ∈ N, on pose : xn =
∑
n + 1 k=0
n+1
4.
(a) Justifier que pour tout n ∈ N : v0 ≥ xn ≥ vn .
Soit n ∈ N. Pour tout k ∈ {0, . . . , n} on a : v0 ≥ vk ≥ vn ,
n
croissante. En sommant, il vient :
n
n
n
car la suite (vn )n∈N est dé-
∑ v0 ≥ ∑ vk ≥ ∑ vn, c’est-à-dire : (n + 1)v0 ≥
k=0
k=0
k=0
∑ vk ≥ (n + 1)vn. Par suite : v0 ≥ xn ≥ vn.
k=0
(b) Montrer que la suite (xn )n∈N est décroissante. En déduire qu’elle converge, puis que sa
limite L vérifie : L ≥ 2.
Pour tout n ∈ N :
1
1
1
xn+1 =
(vn+1 + (n + 1)xn ) ≤
(vn + (n + 1)xn ) ≤
(xn + (n + 1)xn ) = xn .
n+2
n+2
n+2
Donc (xn )n∈N est décroissante. Comme elle est minorée par 2, elle converge et : L ≥ 2.
9
(c) Montrer que pour tout n ∈ N :
Pour tout n ∈ N :
2x2n+1 − xn =
2x2n+1 − xn ≤ vn+1 .
En déduire que L = 2.
2n+1
2 2n+1
1 n
simplification 1
v
−
v
=
k
k
∑
∑
∑ vk
2n + 2 k=0
n + 1 k=0
n + 1 k=n+1
1
1 2n+1
vn+1 =
× (2n + 1 − (n + 1) + 1)vn+1 = vn+1 .
≤
∑
n + 1 k=n+1
n+1
En passant à la limite : 2L − L ≤ 2,
Or : L ≥ 2, donc : L = 2.
c’est-à-dire : L ≤ 2.
(d) Exprimer simplement xn−1 en fonction de un pour tout n ∈ N.
1 n−1
1 n−1 1
1
1 télescopage 1 1
Pour tout n ∈ N : xn−1 = ∑ vk = ∑ 2 − 2
−
.
=
n k=0
n k=0 uk+1 uk
n u2n u20
(e) En déduire la limite de (nu2n )n∈N .
On en déduit que pour tout n ∈ N :
nu2n =
1
1
−−−−→ .
1 n→+∞ 2
xn−1 + nu2
0
Exercice 6
1. Question de cours. Dans cette question, on fixe deux nombres réels a et b.
(a) Montrer que :
cos(a) + i sin(a) × cos(b) + i sin(b) = cos(a + b) + i sin(a + b).
Il suffit de développer et de reconnaître les formules d’addition :
cos(a) + i sin(a) × cos(b) + i sin(b)
= cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) +i cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b)
|
{z
} |
{z
}
=cos(a+b)
=sin(a+b)
= cos(a + b) + i sin(a + b).
n
(b) Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N,
cos(a) + i sin(a) = cos(na) + i sin(na).
n
Pour tout n ∈ N, on note Hn la propriété : « cos(a) + i sin(a) = cos(na) + i sin(na) ».
0
Initialisation. On a : cos(0a)+i sin(0a) = 1 = cos(a)+i sin(a) , donc H0 est vraie.
n
Hérédité. Soit n ∈ N. On suppose :
cos(a) + i sin(a) = cos(na) + i sin(na). Aussitôt :
n+1
n
cos(a) + i sin(a)
= cos(a) + i sin(a) × cos(a) + i sin(a)
HR
= cos(na) + i sin(na) × cos(a) + i sin(a)
Q 1.a)
= cos (n + 1)a + i sin (n + 1)a .
C’est exactement Hn+1 .
L’objectif de cet exercice est de résoudre l’équation : z6 + (7 − i)z3 − 8 − 8i = 0
10
d’inconnue z ∈ C.
2.
(a) Déterminer a, b ∈ R de sorte que : (a + ib)2 = 80 + 18i.
Pour tous a, b ∈ R, on a : (a + ib)2 = a2 − b2 + 2iab.
On cherche donc a, b ∈ R pour lesquels : a2 − b2 = 80 et 2ab = 18.
Les nombres : a = 9 et b = 1 conviennent, et on peut vérifier que :
(9 + i)2 = 81 + 18i − 1 = 80 + 18i.
(b) En déduire les racines de l’équation :
Le discriminant de l’équation est :
x2 + (7 − i)x − 8 − 8i = 0
d’inconnue x ∈ C.
(7 − i)2 − 4 × 1 × (−8 − 8i) = 49 − 14i − 1 + 32 + 32i = 80 + 18i = (9 + i)2 .
−(7 − i) − (9 + i)
−(7 − i) + (9 + i)
= 1 + i et
= −8.
2
2
(a) Vérifier que pour tous a, b ∈ C : a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
En développant : (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 + a2 b + ab2 − ba2 − ab2 − b3 = a3 − b3 .
Les solutions sont donc :
3.
(b) En déduire les racines cubiques complexes de −8, c’est-à-dire les nombres complexes
z ∈ C pour lesquels : z3 = −8.
√ −8=(−2)3
∆=−12
Pour tout z ∈ C : z3 + 8
=
(z + 2)(z2 − 2z + 4) = (z + 2)(z − (1 + i 3) (z −
√ √
√
(1 − i 3) = 0. Les racines cubique de −8 sont donc −2, 1 − i 3 et 1 + i 3.
4.
(a) Écrire 1 + i sous forme trigonométrique.
π √ π + i sin
.
On a : 1 + i = 2 cos
4
4
(b) En déduire les solutions de l’équation : z3 = 1 + i d’inconnue z ∈ C.
Vous écrirez les solutions sous forme trigonométrique.
Soit z = ρ cos(θ ) + i sin(θ ) une solution de l’équation écrite sous forme trigonométrique.
π √ π Alors : z3 = 1 + i ⇐⇒ ρ 3 cos(3θ ) + i sin(3θ ) = 2 cos
+ i sin
, donc :
4
4
√
π
ρ 3 = 2 et 3θ ≡ [2π]
4
q
√
π 2π
3 √
6
et donc : ρ =
2 = 2 et θ ≡
.
12 3
Les solutions sont donc :
π
π √
√
3π
3π
6
6
2 cos
+ i sin
,
2 cos
+ i sin
12
12
4
4
√
17π
17π
6
et
2 cos
+ i sin
.
12
12
Exercice 7
Une entreprise fabrique des casques audio. Dans sa production, 5% des casques ne sont pas
conformes (ils ont un défaut). Afin de détecter les casques défaillants, l’entreprise met en place un
11
contrôle qualité : ce contrôle permet de rejeter 96% des casques défaillants, mais rejette malheureusement également 7% des casques en état de marche.
Dans la suite, on note R l’évènement « le casque est rejeté », et D l’évènement « le casque est
défaillant ».
1. On choisit un casque au hasard dans cette production.
(a) Calculer P R ∩ D , c’est-à-dire la probabilité que le casque ne soit pas rejeté au contrôle
qualité et qu’il soit défaillant.
On a : P R ∩ D = P R|D × P(D) = 0, 04 × 0, 05 = 0, 002.
(b) Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle ?
Il y a une erreur de contrôle lorsque le casque n’est pas défaillant et qu’il est rejeté, ou
bien lorsque le casque est défaillant et qu’il n’est pas rejeté. On cherche donc :
P (R ∩ D) t (R ∩ D) = P R ∩ D + P R ∩ D = P R|D × P(D) + P R|D × P D
= 0, 04 × 0, 05 + 0, 07 × 0, 95 = 0, 0685.
(c) Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas rejeté par ce contrôle ?
Un casque n’est pas rejeté s’il n’est pas défaillant et qu’il n’est pas rejeté, ou bien s’il est
défaillant et qu’il est rejeté. On cherche donc :
P (R ∩ D) t (R ∩ D) = P R ∩ D + P R ∩ D = 0, 95 × 0, 93 + 0, 05 × 0, 04 = 0, 8855.
À la suite du test, les casques qui sont détectés défaillants sont détruits, et ne sortent donc pas de
l’usine. L’entreprise fabrique 10000 casques chaque jour.
2. Combien de casques sortent effectivement chaque jour de l’entreprise en moyenne ?
Le nombre de casques suit une loi binomiale de paramètres 10000 et 0, 8855, dont l’espérance
vaut : 10000 × 0, 8855 = 8855.
La production d’un casque coûte 20 euros. Chaque casque sortant de l’usine est vendu 80 euros, et on
suppose que tous les casques sont vendus. Cependant, l’entreprise, qui tient à sa réputation, promet
de payer 160 euros aux malheureux clients qui auraient acheté un casque défectueux.
3. Combien rapporte en moyenne un casque à l’entreprise ?
Les casques détruits coûtent 20 euros à l’entreprise (perte sèche), les casques conformes qui
sortent de l’usine rapportent 60 euros, tandis que les casques non conformes qui sortent de
l’usine coûtent 100 euros. Si on note G le gain d’un casque :
E[G] = 60 × P D ∩ R − 20 × P (D ∩ R) t (D ∩ R) − 100 × P D ∩ R
= 60 × 0, 95 × 0, 93 − 20 × (0, 95 × 0, 07 + 0, 05 × 0, 96) − 100 × 0, 05 × 0, 04
= 50, 52.
12
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG / ANALYSTES
STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
Corrigé de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Exercice n° 1
𝑥2
Soit l’application f définie sur 𝑅 + par : 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 𝐿𝑛 (𝑥) − 2 si x>0 et f(0)=0.
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en zéro.
1
La fonction est bien continue en zéro à droite : 𝐿𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 𝑥 2 (𝐿𝑛 𝑥 − 2) = 0 = 𝑓(0)
Pour la dérivée à droite en zéro, on a : 𝐿𝑖𝑚
0
𝑓(𝑥))
𝑥
0
0
= 0.
2. Etudier les variations de f et donner l’allure de son graphe.
La dérivée de f est égale à : 2 𝑥 𝐿𝑛 𝑥 qui s’annule pour 0 (avec la condition f(0)=0) et en 1. La
fonction est décroissante entre 0 et 1, puis croissante. Elle vaut -1/2 en x=1. Son graphe admet
une branche parabolique dans la direction Oy.
De plus, la fonction est convexe pour x>1/e. La fonction s’annule en racine de e.
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
y
𝑒
3. Calculer 𝐼 = ∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 .
𝑒
𝑒 𝑥2
On a : 𝐼 = ∫1 𝑥 2 𝐿𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 − ∫1
2
𝑑𝑥 = 𝐽 −
(𝑒 3 −1)
6
𝑥3
𝑒
𝑒 𝑥2
𝑒3
𝑥3
𝑒
Puis on intègre J par parties, pour obtenir : 𝐽 = [ 3 𝐿𝑛 𝑥 ] − ∫1 3 𝑑𝑥 = 3 − [ 9 ] .
1
1
1
3
Par conséquent : 𝐼 = 18 (5 + 𝑒 )
4. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 admet deux solutions sur 𝑅 + dont l’une est comprise entre
√𝑒 et 𝑒.
1
x=0 est une solution triviale. Pour x>0, on étudie les variations de y=x Ln x-x/2 -1 : cette
1
1
fonction est décroissante et négative pour 0 < 𝑥 ≤ 𝑒 et strictement croissante pour 𝑥 > 𝑒.
√
𝑒
√
Elle vaut de plus -1 en 𝑥 = √𝑒 et 2 − 1 ≈ 0.65 en 𝑥 = 𝑒. D’après le théorème des valeurs
intermédiaires, elle admet donc une unique racine comprise entre √𝑒 et 𝑒.
Exercice n° 2
Soit la fonction g définie sur 𝑅 + par : 𝑔 (𝑥) = 𝑒 −2𝑥 (2𝑥 2 + 1).
1. Etudier les variations de g et tracer son graphe.
La dérivée est égale à : 𝑒 −2𝑥 (−4𝑥 2 + 4𝑥 − 2) < 0, la fonction est donc décroissante de 1 à 0.
y
1,5
1
0,5
0
y
2. Etudier la convexité de g.
La dérivée seconde est égale à : 8𝑒 −2𝑥 (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) > 0 et la fonction est strictement
convexe.
1
3. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 .
Une primitive de g sera de la forme : 𝐺 (𝑥) = 𝑒 −2𝑥 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐). On calcule sa dérivée et
on identifie les polynômes pour obtenir : 𝐺 (𝑥) = −𝑒 −2𝑥 (𝑥 2 + 𝑥 + 1), d’où la valeur de
3
l’intégrale : 𝐼 = 1 − 𝑒 2
Exercice n° 3
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé.
Soit A le point de P d’affixe 2i.
𝑧+1
Soit 𝑓: 𝑃 − 𝐴 → 𝑃 définie par : 𝑓(𝑧) = 𝑧−2𝑖.
1. Déterminer l’ensemble E des points de P dont l’image par f est un nombre réel non nul.
𝑧+1
On doit résoudre : 𝑧−2𝑖 = 𝑎, où a est un nombre réel non nul, soit le système :
𝑥 + 1 = 𝑎𝑥; 𝑦 = 𝑎(𝑦 − 2) et en éliminant a entre les deux équations, on obtient : 𝑦 = 2𝑥 + 2
(à l’exception du point A).
2. Déterminer l’ensemble F des points de P dont l’image par f a pour affixe un nombre
imaginaire pur non nul.
2
On procède de façon analogue pour obtenir le système : 𝑥 + 1 = −𝑎(𝑦 − 2); 𝑦 = 𝑎𝑥 et en
1
5
éliminant a entre les deux équations, on obtient : (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 4.
√5
Il s’agit donc d’un cercle de centre A(-1/2,1) et de rayon 2 .
Exercice n° 4
Les deux questions suivantes sont indépendantes.
1. Une entreprise de location de voitures particulières propose à sa clientèle deux tarifs :
Tarif A : prise en charge 60 dollars par jour et prix unitaire au km : 0,40 dollar.
Tarif B : prise en charge 80 dollars par jour et prix unitaire au km : 0,30 dollar.
Un automobiliste va effectuer un voyage d’affaires de 3 jours.
Déterminer le tarif le plus avantageux pour l’automobiliste en fonction du nombre de kilomètres
parcourus.
Pour le tarif A : 𝑦 = 3 ∗ 60 + 0,4𝑥 et pour le tarif B : 𝑦 = 3 ∗ 80 + 0,3𝑥. Ces deux droites se
coupent pour x=600. Par conséquent, si l’automobiliste parcourt plus de 600 kms, le tarif B est
préférable, sinon c’est le tarif A.
2. La fonction d’offre Q exprime la quantité produite q d’un bien en fonction de son prix p :
4
𝑠𝑖 0 < 𝑝 < 2
−1/2
𝑠𝑖 2 ≤ 𝑝 < 5
𝑞 = 𝑄(𝑝) où 𝑄 (𝑝) = {8(6 − 𝑝)
3
(𝑝 − 3) 𝑠𝑖 𝑝 ≥ 5
Etudier la continuité et la convexité de Q sur chaque intervalle (de la définition) et tracer son
graphe.
La fonction est continue, car les fonctions ont les mêmes valeurs en 2 et 5.
La fonction n’est pas dérivable en 2, car la dérivée à gauche est nulle et celle à droite vaut ½.
De même, la fonction n’est pas dérivable en 5, car la dérivée à gauche est égale à 4 et celle à
droite vaut 12.
La fonction est convexe sur chaque sous intervalle car les dérivées secondes sont positives ou
nulles. Et même la fonction est convexe sur son ensemble de définition.
Q
50
0
Q
Exercice n° 5
Une urne contient 8 boules numérotées : 3 boules portent le chiffre 1, 3 boules le chiffre 2, 1
boule le chiffre 3 et 1 boule le chiffre 4. On tire au hasard simultanément deux boules et on note
x et y les deux chiffres obtenus.
On considère la variable aléatoire X définie par : X  x  y .
3
1. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance.
8×7
Le nombre total de cas est : 𝐶82 = 2 = 28. La loi de probabilité est :
X
0
1
2
3
P (X)
6/28
13/28
6/28
3/28
L’espérance est :
3
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑝𝑖 𝑥𝑖 =
𝑖=0
13 + 12 + 9 17
= .
28
14
2. Calculer la variance de X.
2
On a : 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋)) et
3
𝐸(𝑋
16
17 2
2)
= ∑ 𝑝𝑖 𝑥𝑖2 =
𝑖=0
13 + 24 + 27 16
= ,
28
7
159
d’où 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 7 − (14) = 196.
3. Soit la variable aléatoire Y= - 2X+1. Calculer son espérance et sa variance.
On obtient : E (Y )  2 E ( X )  1  10 / 7 et 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 4𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 159/49
Exercice n° 6
n
Pour n entier naturel non nul, on considère la fonction f n définie par : f n ( x)  x 2 .
1 x
1. Etudier les variations de f n selon les valeurs de n.
Si n est pair, la fonction est également paire et si n est impair, la fonction est impaire. On fera
donc l’étude que sur les réels positifs.
x n 1 (n  (n  2) x 2 )
La dérivée est égale à : f ' n ( x) 
(1  x 2 ) 2
- Si n=1, la dérivée est égale à : f '1 ( x) 
(1  x 2 )
qui s’annule pour x=1. La fonction est
(1  x 2 ) 2
croissante entre 0 et 1 puis décroissante.
2x
qui s’annule pour x=0. La fonction est
(1  x 2 ) 2
croissante sur les réels positifs et son graphe admet une asymptote horizontale y=1.
- Si n>2, la fonction est strictement croissante sur les réels positifs.
- Si n=2, la dérivée est égale à : f 2 ( x) 
'
2. Tracer le graphe de f1 et celui de f 2 .
- Graphe de f1
4
y
1
0,5
0
-0,5
-1
y
- Graphe de f 2
y
1
0,5
0
y
1
3. Soit I n   f n ( x) dx
0
- Calculer I1 et I 2

1

1
Ln 2
x
1
dx  Ln (1  x 2 ) 0 
2
2
2
0 1 x
I1  
x2
1

1
I2  
dx   (1 
) dx  x  Arctgx0  1 
2
2
4
1 x
0 1 x
0
1
1
- Calculer I n pour tout n (on distinguera selon que n est pair ou impair).
Pour n pair (𝑛 = 2𝑝) :
𝑥 2𝑝
1
2𝑝−2
2𝑝−4
𝑝+1
𝑝
(−1)
(−1)
=
𝑥
−
𝑥
+
⋯
+
+
1 + 𝑥2
1 + 𝑥2
et
1
1
𝜋
𝐼2𝑝 =
−
+ ⋯ + (−1)𝑝+1 + (−1)𝑝 .
2𝑝 − 1 2𝑝 − 3
4
Pour n impair (𝑛 = 2𝑝 + 1) :
𝑥 2𝑝+1
𝑥
= 𝑥 2𝑝−1 − 𝑥 2𝑝−3 + ⋯ + (−1)𝑝+1 𝑥 + (−1)𝑝
2
1+𝑥
1 + 𝑥2
et
1
1
1
𝐿𝑛 2
𝐼2𝑝+1 =
−
+ ⋯ + (−1)𝑝+1 + (−1)𝑝
.
2𝑝 2𝑝 − 2
2
2
5
I NSTITUT SOUS - RÉGIONAL
É COLE NATIONALE SUPÉRIEURE
É COLE NATIONALE
DE STATISTIQUE
DE LA STATISTIQUE
DE STATISTIQUE
ET D ’ ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE L’ ANALYSE ÉCONOMIQUE
ET D ’ ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA-A BIDJAN
ENSAE P IERRE N DIAYE -DAKAR
ISSEA-YAOUNDÉ
AVRIL 2024
C ONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
Première composition de mathématiques
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Avertissement !
• Le sujet comporte quatre pages numérotées de 1 à 4.
• L’exercice 1 est composé de 10 questions indépendantes entre elles, toutes notées sur 1
point. Une note strictement inférieure à 6 est éliminatoire. Toutefois, cet exercice ne comptera que pour un cinquième dans la note finale de cette première épreuve.
N OTATIONS .
— On désigne par N l’ensemble des entiers naturels.
— On désigne par R l’ensemble des nombres réels.
— On désigne par C l’ensemble des nombres complexes — il contient l’ensemble des nombres
réels R, ainsi qu’un élément i qui vérifie : i2 = −1.
Exercice 1
Z √π
1. Calculer l’intégrale
x sin(x2 )dx.
0
s
2. Déterminer le domaine de définition de la fonction x 7→
x3
.
x−1
x2 − 5x + 7
possède une asymptote
x−2
oblique au voisinage de +∞, dont on déterminera une équation cartésienne.
3. Montrer que la courbe représentative de la fonction x 7→
4. Déterminer les limites à gauche et à droite en 2 de la fonction de la question précédente.
i π πh
5. Calculer la dérivée de la fonction x 7→ sin(x) ln(cos(x)) définie sur − , .
2 √2
6. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe a = −3 + i 3.
7. Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher : deux boules avec le numéro 1,
une boule avec le numéro 5 et une boule avec le numéro 8. On pioche au hasard sans remise
une première boule, puis une deuxième. On note X la variable aléatoire égale à la somme des
numéros obtenus. Calculer l’espérance de X.
8. On note (un )n∈N la suite définie par son premier terme u0 > 0 et pour tout n ∈ N : un+1 =
u2n + 2un . Étudier la monotonie de la suite, puis déterminer sa limite.
1
9. Pour tout n ∈ N, on pose : vn =
10. Résoudre l’équation :
3 ln(n)4 − n3 + e−n
.
1 + cos(n) + 2n3
1 4
x − 2x2 − 3 = 0
2
Étudier la limite de la suite (vn )n∈N .
d’inconnue x ∈ R, puis d’inconnue x ∈ C.
Exercice 2
1. Question préliminaire. Montrer que la composée d’une fonction croissante et d’une fonction
décroissante est décroissante.
Dans cet exercice, on note I l’intervalle [−1, +∞[, et on appelle f la fonction définie par :
∀x ∈ I,
f (x) = x ex .
2. Dresser le tableau de variation de f .
3. Montrer que la fonction f réalise une bijection de I sur un intervalle J à préciser.
On note g la réciproque de la fonction f , c’est-à-dire la fonction définie par la relation :
∀x ∈ I,
∀y ∈ J,
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y).
4. Donner sans démonstration le tableau de variations complet de la fonction g, et préciser g(0).
5. Montrer que pour tout x ∈ J : g(x)eg(x) = x.
Pour tout réel a > 0, on note ha la fonction x 7→ e−x + ax2 définie sur R.
6. Soit a > 0.
(a) Montrer que la fonction ha admet un minimum.
On note ma le point en lequel ce minimum est atteint.
(b) Exprimer ma en fonction de a et à l’aide de la fonction g.
e−ma
(ma + 2).
(c) Montrer que : ha (ma ) =
2
7. Montrer que la fonction a 7→ ma définie sur ]0, +∞[ est décroissante, puis calculer ses limites
aux bornes de son domaine de définition.
8.
(a) Montrer que la fonction a 7→ ha (ma ) est croissante.
(b) Déterminer la limite de la fonction a 7→ ha (ma ) lorsque a tend vers +∞.
Exercice 3
On note ϕ la fonction x 7→ 3 sin(x)5 − 5 sin(x)3 + 1 définie sur R, et C sa courbe représentative
dans un repère orthonormé (O;~i, ~j).
1. Le but de cette question est de trouver un intervalle d’étude intelligent de ϕ permettant de tracer
entièrement la courbe C .
(a) Expliquer pourquoi l’étude de ϕ sur l’intervalle [−π, π[ permet de tracer entièrement C .
(b) Montrer que le point I(0; 1) est un centre de symétrie de C .
π
(c) Montrer que la droite d’équation : x =
est un axe de symétrie de C .
2
h πi
(d) Expliquer finalement pourquoi l’étude de ϕ sur 0,
permet de tracer entièrement la
2
courbe C .
2
2. On note ψ la fonction x 7→ 3x5 − 5x3 + 1 définie sur R.
(a) Calculer ψ(0), ψ(1) et ψ(−1).
(b) Dresser le tableau de variations de la fonction ψ.
h πi
(c) En déduire les variations de ϕ sur 0, .
2
3. Construire la courbe C .
Exercice 4
On note B la fonction définie pour tous a, b ∈ [0, +∞[ par : B(a, b) =
Z 1
t a (1 − t)b dt.
0
1. Justifier que la fonction B est bien définie.
1 1
2. Le but de cette question est de calculer B , .
2 2
(a) En effectuant le changement de variable t = cos(θ )2 , montrer que :
Z π
1 1
2
B ,
=2
cos(θ )2 sin(θ )2 dθ .
2 2
0
(b) Montrer que pour tout θ ∈ R : cos(θ )2 sin(θ )2 =
1 1
(c) En déduire la valeur de B , .
2 2
3. Soient a, b ∈ [0, +∞[.
(a) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
1 − cos(4θ )
.
8
B(a + 1, b) =
a+1
B(a, b + 1).
b+1
(b) Vérifier que : B(a + 1, b) + B(a, b + 1) = B(a, b).
(c) En déduire une expression de B(a + 1, b) en fonction de B(a, b).
(d) Au moyen d’un changement de variable, montrer que :
5 3
(e) En déduire la valeur de B , .
2 2
B(a, b) = B(b, a).
Exercice 5
On note (un )n∈N la suite définie par u0 ∈]0, 1[ et pour tout n ∈ N :
1.
un+1 = un − u3n .
(a) Montrer que pour tout n ∈ N : un ∈]0, 1[.
(b) Montrer que la suite converge vers 0.
1
1
Pour tout n ∈ N, on pose : vn = 2 − 2 .
un+1 un
2. Exprimer vn en fonction de un pour tout n ∈ N. En déduire que la suite (vn )n∈N converge vers 2.
2−x
3. On note f la fonction x 7→
définie sur l’intervalle ]0, 1[.
(1 − x)2
(a) Montrer que f est croissante.
(b) En déduire que la suite (vn )n∈N est décroissante.
(c) Montrer que pour tout n ∈ N : vn ≥ 2.
3
v0 + · · · + vn
1 n
vk =
.
∑
n + 1 k=0
n+1
4. (a) Justifier que pour tout n ∈ N : v0 ≥ xn ≥ vn .
(b) Montrer que la suite (xn )n∈N est décroissante. En déduire qu’elle converge, puis que sa
limite L vérifie : L ≥ 2.
(c) Montrer que pour tout n ∈ N : 2x2n+1 − xn ≤ vn+1 . En déduire que L = 2.
(d) Exprimer simplement xn−1 en fonction de un pour tout n ∈ N.
(e) En déduire la limite de (nu2n )n∈N .
Pour tout n ∈ N, on pose : xn =
Exercice 6
1. Question de cours. Dans cette question, on fixe deux nombres réels a et b.
(a) Montrer que :
cos(a) + i sin(a) × cos(b) + i sin(b) = cos(a + b) + i sin(a + b).
n
(b) Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N,
cos(a) + i sin(a) = cos(na) + i sin(na).
L’objectif de cet exercice est de résoudre l’équation : z6 + (7 − i)z3 − 8 − 8i = 0 d’inconnue z ∈ C.
2. (a) Déterminer a, b ∈ R de sorte que : (a + ib)2 = 80 + 18i.
(b) En déduire les racines de l’équation : x2 + (7 − i)x − 8 − 8i = 0 d’inconnue x ∈ C.
3. (a) Vérifier que pour tous a, b ∈ C : a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
(b) En déduire les racines cubiques complexes de −8, c’est-à-dire les nombres complexes
z ∈ C pour lesquels : z3 = −8.
4. (a) Écrire 1 + i sous forme trigonométrique.
(b) En déduire les solutions de l’équation : z3 = 1 + i d’inconnue z ∈ C.
Vous écrirez les solutions sous forme trigonométrique.
Exercice 7
Une entreprise fabrique des casques audio. Dans sa production, 5% des casques ne sont pas
conformes (ils ont un défaut). Afin de détecter les casques défaillants, l’entreprise met en place un
contrôle qualité : ce contrôle permet de rejeter 96% des casques défaillants, mais rejette malheureusement également 7% des casques en état de marche.
Dans la suite, on note R l’évènement « le casque est rejeté », et D l’évènement « le casque est
défaillant ».
1. On choisit un casque au hasard dans cette production.
(a) Calculer P R ∩ D , c’est-à-dire la probabilité que le casque ne soit pas rejeté au contrôle
qualité et qu’il soit défaillant.
(b) Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle ?
(c) Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas rejeté par ce contrôle ?
À la suite du test, les casques qui sont détectés défaillants sont détruits, et ne sortent donc pas de
l’usine. L’entreprise fabrique 10000 casques chaque jour.
2. Combien de casques sortent effectivement chaque jour de l’entreprise en moyenne ?
La production d’un casque coûte 20 euros. Chaque casque sortant de l’usine est vendu 80 euros, et on
suppose que tous les casques sont vendus. Cependant, l’entreprise, qui tient à sa réputation, promet
de payer 160 euros aux malheureux clients qui auraient acheté un casque défectueux.
3. Combien rapporte en moyenne un casque à l’entreprise ?
4
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
De nombreuses polémiques se font jour actuellement au sujet du développement
de l’intelligence artificielle. Quels rôles ce nouveau champ de développement de
la technologie peut-il jouer dans notre société ? Quels progrès cette technologie
pourrait-elle engendrer, quels dangers pourrait-elle entraîner ?
Sujet n° 2
Les pays du Moyen-Orient semblent jouer progressivement un rôle différent que
celui qui leur était habituellement connu en tant que principaux producteurs de
ressources d’hydrocarbures. Comment voyez-vous l’évolution de cette nouvelle
zone émergente au niveau de la région considérée et au sein du concert des
nations ?
Sujet n° 3
Nos cultures et nos traditions sont de plus en plus confrontées à une sorte
d’uniformisation portée par la mondialisation. Quelles initiatives pourrait-on
engager ou poursuivre afin que nos pays, nos régions, voire des ensembles
supranationaux, valorisent leur patrimoine culturel tout en restant ouverts aux
transformations apportées par les échanges entre des espaces culturels
différents ?
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG / ANALYSTES
STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Dans toute l’épreuve, Ln désigne le logarithme népérien, e le nombre de Néper, R l’ensemble
des nombres réels, C l’ensemble des nombres complexes et N l’ensemble des entiers naturels.
Exercice n° 1
𝑥2
Soit l’application f définie sur 𝑅 + par : 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 𝐿𝑛 (𝑥) − 2 si x>0 et f(0)=0.
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en zéro.
2. Etudier les variations de f et donner l’allure de son graphe.
𝑒
3. Calculer 𝐼 = ∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 .
4. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 admet deux solutions sur 𝑅 + dont l’une est comprise entre
√𝑒 et 𝑒.
Exercice n° 2
Soit la fonction g définie sur 𝑅 + par : 𝑔 (𝑥) = 𝑒 −2𝑥 (2𝑥 2 + 1).
1. Etudier les variations de g et tracer son graphe.
2. Etudier la convexité de g.
1
3. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 .
Exercice n° 3
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé. On note A le point de P d’affixe 2i.
𝑧+1
Soit 𝑓: 𝑃 − {𝐴} → 𝑃 définie par : 𝑓(𝑧) = 𝑧−2𝑖.
1. Déterminer l’ensemble E des points de P dont l’image par f est un nombre réel non nul.
2. Déterminer l’ensemble F des points de P dont l’image par f a pour affixe un nombre
imaginaire pur non nul.
1
Exercice n° 4
Les deux questions suivantes sont indépendantes.
1. Une entreprise de location de voitures particulières propose à sa clientèle deux tarifs :
Tarif A : prise en charge 60 dollars par jour et prix unitaire au km : 0,40 dollar.
Tarif B : prise en charge 80 dollars par jour et prix unitaire au km : 0,30 dollar.
Un automobiliste va effectuer un voyage d’affaires de 3 jours.
Déterminer le tarif le plus avantageux pour l’automobiliste en fonction du nombre de kilomètres
parcourus.
2. La fonction d’offre Q exprime la quantité produite q d’un bien en fonction de son prix p :
4
𝑠𝑖 0 < 𝑝 < 2
−1/2
𝑠𝑖 2 ≤ 𝑝 < 5
𝑞 = 𝑄(𝑝) où 𝑄 (𝑝) = {8(6 − 𝑝)
3
(𝑝 − 3) 𝑠𝑖 𝑝 ≥ 5
Etudier la continuité et la convexité de Q sur chaque intervalle (de la définition) et tracer son
graphe.
Exercice n° 5
Une urne contient 8 boules numérotées : 3 boules portent le chiffre 1, 3 boules le chiffre 2, 1
boule le chiffre 3 et 1 boule le chiffre 4. On tire au hasard simultanément deux boules et on note
x et y les deux chiffres obtenus.
On considère la variable aléatoire X définie par : X  x  y .
1. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance.
2. Calculer la variance de X.
3. Soit la variable aléatoire Y= - 2X+1. Calculer son espérance et sa variance.
Exercice n° 6
Pour n entier naturel non nul, on considère la fonction f n définie par : f n ( x) 
1. Etudier les variations de f n selon les valeurs de n.
2. Tracer le graphe de f1 et celui de f 2 .
1
3. Soit I n   f n ( x) dx
0
- Calculer I1 et I 2 .
- Calculer I n pour tout n (on distinguera selon que n est pair ou impair).
2
xn
.
1 x2
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
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STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
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STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Le texte ci-après est tiré du livre de Monsieur YVES AGID, intitulé « LE CERVEAU,
MACHINE A INVENTER Comment naissent les grandes découvertes » paru en avril
2023 aux éditions Albin Michel.
(Il comporte quelques illustrations graphiques qui n’ont pas été reproduites.)
Il doit être résumé en 250 mots (plus ou moins 10%). Vous indiquerez en fin de copie le
nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre
écrit.
POURQUOI FAIRE DES DECOUVERTES
Pourquoi, à la différence des autres animaux, l’homme a-t-il une telle soif de progrès ?
L’histoire montre qu’une civilisation survit si elle progresse et s’éteint faute de progrès. Le
progrès semble donc inhérent à l’idée de civilisation. Encore faut-il s’entendre sur la notion
de progrès. Le progrès n’est pas seulement social, économique, politique, scientifique ou
philosophique. Il est tout à la fois, chacun de ces domaines favorisant les autres. Les avancées
se font lentement par accumulation de connaissances, à partir de l’existant, rarement par sauts
successifs. C’est ainsi que l’Humanité a passé son temps à progresser dans une direction ou
dans une autre, aujourd’hui de manière exponentielle. Des petits pas dans le passé, des grands
pas récemment.
Progresser, c’est bien, mais comment ? Le progrès ne peut se faire qu’à partir de ce qui est
disponible. Avant de savoir pourquoi c’est ainsi, il faut commencer par savoir comment ça
marche. Homo sapiens dispose pour cela d’une faculté où il excelle, celle de comprendre, et
d’une faculté qui lui est quasiment spécifique, celle de créer. La créativité, cette insatiable soif
1
de progresser, permet d’œuvrer au bien de la société, et si possible, d’éviter les dérives
sociales, politiques et morales.
Créer – mot qui a la même origine que croître -, c’est apporter du nouveau, souvent avec la
connotation d’inhabituel, d’inattendu. Mais, faire du nouveau, ce n’est pas seulement faire
différemment, il faut aussi que la nouveauté soit originale, singulière, comme la création
artistique, ou qu’elle apporte une solution à laquelle on n’aurait pas pensé auparavant. Il faut,
de plus, qu’elle ait une valeur, petite (un dessin d’enfant) ou grande (la théorie de la sélection
naturelle), et qu’elle soit adaptée au contexte (qu’elle tienne compte des besoins, par exemple
la réduction de la production d’oxyde de carbone pour lutter contre le réchauffement
climatique). Le processus de créativité, loin d’être continu, est constitué de différentes phases
qui alternent, d’idées qui se multiplient et qui sont sélectionnées pour aboutir à la création.
C’est donc le contraire du banal, du conforme, du classique, de l’académique et du routinier.
Mais alors, comment fait-on pour créer ? Il y a trois façons de créer : inventer, innover,
découvrir. […]
La vie de tous les jours donne-t-elle souvent l’occasion de faire des découvertes ? En
l’absence de difficultés personnelles ou de cataclysme, ne suffit-il pas de « vivre sa vie » en se
contentant des habitudes héritées, des routines apprises, ce qu’on pourrait appeler une « bonne
vie », celle à laquelle aspire l’immense majorité des habitants de cette planète ? Pourquoi en
faire plus si tout va bien ? Ce serait oublier qu’Homo sapiens est avide de connaissances.
Mais comment connaître, car, si l’on sait, il est inutile de chercher, et, si l’on ne sait pas, on
ignore ce qu’il faudrait chercher puisqu’on ne connaît pas la nature de ce que l’on cherche.
Telle est la leçon du Menon, un dialogue de Platon. Heureusement, l’homme est créatif. Il a
en lui ce besoin étrange de rendre maitrisable ce qui l’entoure et, si possible de le rendre
calculable. Il veut tout comprendre, tout maîtriser, tout prévoir. Incroyable désir ! Comme le
monde avance à toute vitesse, il se sent obligé de trouver des solutions pour ne pas stagner,
pour ne pas dépérir. Ce comportement s’impose à lui quand tout va mal, mais aussi quand tout
va bien –comme à cet industriel qui disait : « tout marche bien, c’est le moment de changer. »
[…]
LA RECHERCHE : UNE CONSTRUCTION LABORIEUSE, CONSCIENTE ET
SUBCONSCIENTE
L’activité de recherche est une construction, une construction longue, laborieuse, souvent
décourageante. […] Ainsi va la science, qui est une accumulation d’innombrables expériences
s’échelonnant dans le temps. Mais il ne suffit pas d’accumuler des expériences pour faire des
découvertes, car, comme disait Henri Poincaré : « une accumulation de faits n’est pas plus une
science qu’un tas de pierre n’est une maison. »
Certains, souvent les meilleurs, s’accrochent alors à l’hypothèse qu’ils ont formulée et
feront tout pour la démontrer envers et contre tous. L’exemple le plus connu est celui de la
découverte des hiéroglyphes par Jean-François Champollion, incroyable érudit qui commença
à étudier la Pierre de Rosette en 1808, à l’âge de dix-huit ans, et qui trouva la clé du
déchiffrement de cette écriture inconnue en 1822. Nous en avons une illustration plus récente
avec la découverte du vaccin contre le Covid-19.
2
LA DECOUVERTE DU VACCIN A ARN :
LA SCIENTIFIQUE QUI LUTTE, QUI CHUTE, QUI REUSSIT
Tout débute en 2005. Une scientifique d’origine hongroise, Katalin Karikö, a passé sa vie à
travailler sur une molécule : l’ARN. Emigrée aux Etats-Unis, elle rencontra un immunologiste
Drew Weissman, qui la convainquit d’utiliser son savoir-faire pour produire un vaccin. Ces
substances que l’on inocule à une personne sont habituellement constituées de microbes, de
protéines, d’ADN. A priori, aucune raison de collaborer avec Madame K. qui est une
spécialiste de l’étude de l’ARN messager (ARNm), une substance qui, dans la cellule, permet
à l’ADN de fabriquer des protéines et ne devrait donc pas être envisagée comme support de
vaccin. Depuis les années 1985, cette scientifique n’a rencontré que suspicion, voire
moquerie, chaque fois qu’elle exposait son projet d’utiliser l’ARNm comme moyen
thérapeutique, en particulier parce que la molécule se dégrade rapidement et crée des
réactions inflammatoires. Pour empêcher cette dégradation, la chercheuse s’est acharnée à
modifier la molécule d’ARNm à l’aide de diverses combinaisons chimiques. « Etre tenace
n’est pas s’entêter » dit-elle après avoir été rejetée par un grand nombre de laboratoires.
Pourtant, au bout de trente ans, ses recherches aboutirent à la création d’un vaccin contre le
virus Covid-19, avec le succès planétaire que l’on connaît. […]
Pour découvrir, il faut voir ce qui est couvert, ce qu’on ne voit pas. Nos cinq sens ont des
limites pour ce qui est de voir et de comprendre le monde. L’homme ne peut appréhender
qu’une partie infime du réel. Son ingéniosité lui a heureusement permis d’inventer des
instruments toujours plus performants, capables d’augmenter le champ de ce qui est
perceptible. D’où la production de microscopes de plus en plus pointus pour voir le plus petit,
de télescopes de plus en plus puissants pour voir le plus grand, de synchrotrons(1) qui révèlent
la structure de la matière, de microscopes à force atomique et autres spectromètres qui
révèlent la signature d’un objet, etc. Les scientifiques ont même réussi à voir l’invisible à
l’aide des méthodes de la physique corpusculaire (nature des atomes) et de la chimie
(structure des molécules). Cette segmentation en objets de plus en plus petits, apparemment
dépourvus de signification, prend du sens lorsqu’on les assemble : ils finissent par donner une
image cohérente du tout. L’identification d’un phénomène n’est pas suffisante, il faut encore
quantifier, expliquer, réunir les données pour les généraliser si possible en un concept ou une
loi. Après avoir mis en pièce tous les éléments d’un objet, il faut lui donner du sens … […]
L’irruption de l’informatique.
Par le passé le chercheur pouvait aisément dominer son sujet; la littérature scientifique était
maigre, avec un petit nombre de journaux dont il fallait photocopier les articles. Aujourd’hui,
le scientifique noyé dans le magma des connaissances de sa spécialité subit le bombardement
continu d’informations de valeur inégale. Comment isoler l’information pertinente ? Par le
biais de l’intelligence artificielle et de l’informatique. L’ordinateur, grâce à sa mémoire et à sa
rapidité colossale fait tout à notre place. Il peut classer, former de nouvelles combinaisons,
proposer des probabilités ; bref, il peut trouver toutes les solutions de manière rétrospective
parmi les milliards d’informations qu’il a emmagasinées. Encore faut-il qu’il choisisse la
bonne. Comment reconnaître le résultat digne d’intérêt à partir de la gigantesque quantité de
data qui s’accroît de façon quasi exponentielle ? L’ordinateur est une simple prothèse à
l’intelligence humaine…
3
Mais l’ordinateur peut-il créer ? Comme les performances informatiques s’accroissent, il est
à prévoir que les découvertes seront plus nombreuses. Verra-t-on bientôt un Homo sapiens
augmenté, comme les transhumanistes le prédisent ? Ce sera peut-être le cas pour les organes
du corps dont la physiologie est relativement simple, mais probablement pas pour le cerveau,
que l’on commence seulement à comprendre et que l’on n’est pas prêt de reproduire ou
d’améliorer (sauf peut-être dans un avenir lointain).
L’« homme-machine » n’est pas pour demain, car ce qui fait l’homme, c’est son cerveau. Or,
le cerveau humain, cette masse gélatineuse de moins d’un kilo et demi, vivante, malléable,
adaptable, capable d’émotions, de conscience et de créativité, est d’une complexité qui
dépasse l’imagination.
Il y a pourtant quelque analogie entre le cerveau et l’outil numérique qu’est Internet.
Comme le cerveau, la toile est un immense réseau possédant des centaines de milliards de
ramifications liées entre elles. Comme le cerveau, Internet apprend de manière continue, c’est
ce que nous enseigne le mathématicien Etienne Ghys : chaque page a un classement qui
augmente en fonction du nombre de pages consultées, si bien que, lorsqu’on cherche une
information en tapant des mots-clés, on est amené à choisir un petit nombre de pistes de
recherche dans l’immensité des possibles. Dans ces conditions, pourquoi une machine du
futur ne pourrait-t-elle pas créer ?
Pour créer, comme on l’a vu plus haut, il convient de faire du nouveau, de l’original,
quelque chose qui soit adapté au contexte et qui ait de la valeur. N’est-ce pas ce qu’a fait le
programme de Google AlphaZero en 2017 en battant aux échecs le programme Stockfish 8,
qui était champion du monde (28 victoires, 72 parties nulles) ? C’est d’autant plus surprenant
qu’AlphaZero n’avait appris à jouer aux échecs que quatre heures plus tôt, que ses capacités
étaient plus faibles que celles de l’adversaire […]
FAIRE UNE DECOUVERTE, C’EST UN TRAVAIL COLLECTIF
A l’échelle mondiale, la communication scientifique est confrontée au paradoxe d’une
gigantesque quantité de publications scientifiques issues des quatre coins du monde : un
nombre incalculable d’articles sont publiés mais présentent un intérêt limité (pourtant
nécessaire pour compléter l’immense puzzle de la connaissance), la plupart se perdent dans le
néant (certains seront peut-être redécouverts sur le tard), face à un petit nombre d’articles
innovants (qui lancent les nouvelles pistes de recherche). Avec ses milliers de journaux
scientifiques distribués dans le monde et autant de colloques nationaux et internationaux
ubiquitaires(2) qui permettent les échanges et la confrontation, la science est devenue
collective. La pullulation de l’information, qui rend de plus en plus difficile la détection de
celle qui est pertinente, a fait émerger une nouvelle catégorie de scientifiques : ceux qui
savent identifier l’information utile ou déterminante pour avoir l’idée que les autres n’ont pas
encore eue.
Y a-t-il encore aujourd’hui des découvreurs isolés qui font seuls des découvertes comme on
le faisait au temps passé ? Si tant est qu’il y en ait jamais eu, car l’historiographie(3) est
souvent trompeuse. Aujourd’hui, en tout cas, s’il y a découverte, elle n’est jamais le fait d’un
seul individu. Selon la personnalité, selon la formation, selon la discipline, les uns apportent
de nouveaux outils, les autres une conception différente du questionnement ; un dernier qui
s’était tu jusque-là pose soudain la question inattendue ou jette une idée qui change la donne.
4
La meilleure preuve en est la diversité des profils psychologiques et des potentiels des
chercheurs. La réalité scientifique est là : les découvertes sont collectives, dans le laboratoire
ou dans le monde, étalées dans le temps et dans l’espace. Bien souvent, les idées sont dans
l’air, mais on n’y pense pas et c’est dans l’échange qu’on saisit l’idée nouvelle.
La découverte n’est donc pas une jubilation solitaire. C’est un engouement collectif tel que
l’équipe scientifique entre véritablement en communion. Il est ainsi des moments rares dans
un cursus scientifique où l’équipe de recherche ressent une sorte de ferveur, comme
probablement seuls les religieux en connaissent. Ce qui n’empêche pas le rire, communicatif,
entrainant. Et, à cet instant non prévu, sans raison apparente, tout d’un coup émerge une
force collective capable d’imaginer, de concevoir, d’aboutir, de trouver, de découvrir.
L’entente de plusieurs participants aux compétences complémentaires devient soudainement
productive. Comme une même recette de cuisine dont l’un tirera un frichti insipide, un autre
un mets délicieux, un troisième une nouvelle recette. Il est vrai qu’en cuisine il ne suffit pas
de travailler au sein d’une brigade pour être créatif. Combien d’équipes de recherche et autres
comités ne sont que des foyers d’idées reçues sinon d’obscurantisme trompeur ou d’hystérie
collective futile. C’est la raison pour laquelle la réflexion collective impose un leader qui
écoute, suscite les échanges, entraîne, résume les idées, restitue la synthèse, conclut, instille
un certain état d’esprit.
Finalement le nombre et l’importance des découvertes dépendent aussi de la disposition de
la société dans laquelle se déroule la recherche. Ce n’est pas dans les pays en situation de
misère que peut s’effectuer une recherche de haut niveau, laquelle se concentre donc dans les
pays les plus développés, qui ne sont du reste pas nécessairement les plus puissants, mais qui
sont ceux où la quête de progrès est prioritaire. […]
La mise en place d’une politique scientifique, nécessairement lente, ne donne pas toujours
les résultats escomptés, car la science progresse de plus en plus vite. Il est donc difficile
d’anticiper la bonne science de demain, et à fortiori, la science qui permettra de faire des
découvertes.
Que sera le bon scientifique du futur, étouffé par la routine, asphyxié par des techniques de
plus en plus sophistiquées ? Le chercheur scientifique deviendra-t-il un bricoleur ou un
ingénieur. Oui, certainement les deux à la fois. Il devra travailler en collectivité, avec
l’ensemble de la communauté scientifique, en apportant des idées simples et nouvelles –
idées qu’il restera à mettre en œuvre, ce qui implique de la liberté, du temps, de l’ambition, et
de la confiance en soi.
(1) – synchrotron : instrument électromagnétique de grande taille.
(2) – ubiquitaire : présent partout.
(3) – historiographie : travail de l’écrivain qui était chargé officiellement d'écrire l'histoire
de son temps ou d'un souverain.
5
REMARQUES ET RECOMMANDATIONS DU JURY
Concours ISE OPTION ECONOMIE
SESSION 2025
Ordre général
Les sujets de culture générale proposés cette année aux candidats portaient sur des thèmes suffisamment variés pour
laisser un large choix : l’éducation, la ville, l’art. Ces trois thèmes sont classiques, voire attendus, l’objectif n’étant pas
de déconcerter mais de laisser une bonne part à la réflexion de chacun.
Sur les 570 copies reçues, 330 ont traité le sujet sur la ville, 160 celui sur l’éducation et 80 celui sur l’art. Cette
répartition n’est pas étonnante de la part d’étudiants en économie qui se sont montrés à l’aise pour parler de la ville.
Le sujet sur l’éducation s’est souvent prêté à des hors sujet, peut-être justement à cause du biais cognitif de leurs
études. L’art a eu moins de succès comme c’est presque toujours le cas quand ce thème est proposé, mais il a permis
à des candidats cultivés dans ce domaine de donner le meilleur.
Comme je l’indiquais déjà l’année dernière, l’exercice de la dissertation est maîtrisé pour une majorité des candidats.
De ce fait, ceux qui l’ont moins bien acquis sont sanctionnés plus sévèrement. C’est pourquoi je les invite à se mettre
rapidement au niveau.
Je voudrais rappeler que la première image que donne un devoir joue un rôle à ne pas négliger. Il est donc important
de montrer au correcteur qu’on tient à être conforme à ce qui est demandé, dans la forme. Je précise qu’il ne s’agit en
aucun cas d’une conformité (à quoi ?) sur le fond. On peut ainsi regretter que certains devoirs soient encore présentés
comme des blocs, sans manifester clairement par des sauts de ligne et des passages à la lignes les différentes
parties et les paragraphes, même si, dans le discours tenu, il existe bien une organisation. On trouve également des
copies écrites visiblement au fil de la plume, sans réflexion préalable et sans plan véritablement pensé, tout en
présentant des parodies de paragraphes !
Il va de soi dans cette optique de donner une bonne image au correcteur, qu’un devoir n’est pas un brouillon raturé et
que l’écriture est parfaitement lisible. Il est dommage d’avoir à le redire.
La maîtrise de la langue française est également un préalable dans un concours de ce niveau. On attend une syntaxe,
une orthographe, des tournures de phrases correctes. Le niveau de langue est soutenu, jamais familier. Sont donc à
proscrire des expressions comme « aller au boulot », « faire un topo », « il urge ». En revanche, l’élégance du style,
un vocabulaire bien maîtrisé et riche sont des atouts incontestables.
Je reviens encore une fois sur les citations. Elles sont certes les bienvenues dans un devoir de culture générale. Elles
sont vérifiées systématiquement, si elles sont ignorées par le correcteur, il est donc impossible de le tromper.
Certaines, bien connues pourtant, ne sont pas attribuées au bon auteur : « L’homme est un loup pour l’homme » n’est
pas de J.P. Sartre et Rousseau n’a jamais dit que « L’homme est un roseau pensant ». Il vaut mieux se priver de
présenter des citations dont on n’est pas assuré de l’auteur ou même de l’exactitude de leur énoncé.
J’aimerais terminer sur cet aspect général en insistant sur l’importance accordée à la réflexion préalable sur le sujet.
Qu’il ait été choisi par affinité ou par défaut par le candidat, il ne faut pas se lancer en se disant qu’on le maîtrise. Un
thème (ville, éducation, art) n’est pas le sujet. À chacun lui sont associés d’autres termes qui donneront lieu au
propos : éducation / l’autorité, ville / épanouissement des hommes, art / changer les choses. Ce sont ces relations qui
sont à traiter et qui doivent être analysées dans l’introduction et développées par la suite.
La ville est-elle pour vous un milieu favorable à l’épanouissement des hommes ?
De par leur formation, les étudiants disposaient de connaissances et d’outils conceptuels qui pouvaient les aider à
traiter ce sujet. Cela explique son succès. Encore fallait-il réfléchir à ce qu’on peut entendre par l’expression
« épanouissement des hommes ». Il ne s’agit pas de traiter du rôle de la ville, ni de savoir si elle favorise le
développement d’un pays, sa croissance économique, mais de parler des hommes qui y vivent. Pour le concept
d’épanouissement, certains étudiants se sont appuyés sur la pyramide de Maslow. Il était possible d’ajouter aux cinq
besoins de la pyramide ceux qu’il cite également : besoins cognitifs, d’esthétique et valeurs humanistes. C’était un bon
point d’appui pour s’emparer du sujet. Encore fallait-il ensuite regrouper les idées et les organiser. Une troisième
partie sur le rôle des pouvoirs publics pour améliorer les villes et permettre un meilleur épanouissement des hommes
était attendu.
Plusieurs points sont à souligner pour ce sujet.
Tout d’abord, il fallait envisager les deux aspects du problème comme toujours, même pour traiter une question qui
implique le candidat. Quelle que soit le point de vue, la thèse adverse doit être développée.
Par ailleurs, il ne s’agissait pas de présenter seulement des faits : la présence d’infrastructures comme les écoles, les
hôpitaux, mais d’expliquer systématiquement en quoi cela permettait l’épanouissement des hommes. Donc ne pas
dire : « la ville a des infrastructures bien développées », mais « la ville permet aux hommes d’être épanouis / libres /
d’avoir une cohabitation heureuse… grâce à etc. ». Je rappelle la nécessité quel que soit le sujet de s’y rapporter
constamment. C’est une bonne technique pour ne pas s’en écarter.
Ensuite, les idées ne manquant pas, il était indispensable de les organiser. D’où l’utilisation par exemple de la
pyramide de Maslow qui définit les besoins des hommes selon leur importance.
Trop souvent les idées apparaissent dans les devoirs au fil de la pensée du candidat, certains présentant par exemple
comme premier point le cinéma, lui consacrant un paragraphe et s’intéressant plus loin à la facilité pour trouver un
emploi.
Enfin, il était indispensable d’apporter des exemples concrets pour appuyer les arguments. Les villes africaines sont
particulièrement intéressantes et présentent pour traiter le problème posé tout ce dont on a besoin, sans aller
chercher obligatoirement d’autres villes dans le monde.
L’autorité est-elle une dimension nécessaire de l’éducation ?
La question posée a fait l’objet de contresens et donc de nombreux hors-sujets. Pourtant les concepteurs du sujet
sont très vigilants sur les possibilités d’erreurs de compréhension, mais celle-ci n’avait pas été envisagée. Quand on
parle de l’autorité dans l’éducation, il ne s’agit pas d’une autorité ou des autorités, instances qui s’occupent dans un
pays du problème de l’Éducation nationale, mais de l’autorité développée par les parents ou l’éducateur dans la
formation de l’enfant.
Une autre erreur, fondamentalement moins grave pour répondre au sujet, mais qui n’a pas permis de nuancer le
propos, est de considérer l’autorité uniquement comme un moyen de contrainte. La langue française est nuancée et
l’autorité n’est pas « l’autoritarisme » (l’absolutisme) et avoir de l’autorité n’est pas la même chose « qu’être
autoritaire » (user de toute son autorité sans supporter les contradictions). Il fallait certes envisager ce sens du terme :
l’autorité est bien, entre autres, le pouvoir d’imposer l’obéissance et dans cette acception, elle est fermeté, affirmation
d’une supériorité, voire domination, y compris par la force. Mais une autre forme d’autorité s’impose par le mérite, le
charisme (on parle d’une autorité naturelle), par des compétences et une expérience reconnue qui la légitiment, et elle
provoque alors respect et confiance de la part de l’enfant.
On peut enfin définir ce qu’est l’éducation d’un enfant pour ne pas la limiter à l’apprentissage de connaissances. Selon
l’article 29 des droits de l’enfant, l’éducation doit « favoriser l’épanouissement de la personnalité de l’enfant et le
développement de ses dons et de ses aptitude mentales », et aussi lui inculquer le respect des droits de l’homme et
des libertés, le respect de ses parents et de sa culture etc.
Une fois ces notions bien définies, le sujet ne posait plus de problèmes. L’autorité, si elle est considérée par le
formateur comme un moyen de contrainte parfois violente pose des problèmes que les candidats ont bien vus :
ressentiment, peur, manque de confiance en soi, habitudes de soumission, absence de créativité. Une autorité
bienveillante, en revanche, fondée sur l’écoute, la compréhension, le respect mutuel, l’empathie, permet à l’enfant de
comprendre et intégrer les règles, ses devoirs et ses droits et de développer ses aptitudes et capacités sans se sentir
brimé dans sa liberté.
Enfin, la question telle qu’elle était formulée légitimait de s’interroger sur une éducation faite sans l’autorité d’un maître
quel qu’il soit, dans laquelle l’enfant est laissé entièrement à lui-même, dans une liberté totale. Les étudiants se sont
bien posé la question avec les enfants des rues qui sont nombreux dans les villes africaines. Une excellente copie fait
référence à l’ouvrage de Rousseau, Émile ou de l’éducation. Pour le philosophe, l’homme est naturellement bon et
c’est la société qui le corrompt. Il faut donc laisser libre cours à la nature de l’enfant, pour qu’il se développe en accord
avec elle, dans la liberté. L’éducateur écarte simplement les obstacles pour créer les meilleures conditions possibles
au développement de ses instincts naturels, sans user d’aucune autorité.
L’art a-t-il le pouvoir de changer les choses (que ce soit en bien ou en mal) ?
Les candidats se sentent peut-être moins armés pour se lancer dans un sujet sur l’art. Pourtant, il s’agissait de l’art en
général et donc de peinture, sculpture, littérature, architecture, cinéma, de toutes les musiques classiques et
populaires, de la danse, la BD. Bien sûr le correcteur attend des références précises, des connaissances sur des
œuvres, mais la diversité des arts laissait un large choix et l’art africain pouvait illustrer tous les arguments avancés.
Il faut toujours bien cerner la question posée. On ne pose pas ici celle du rôle de l’art en général et l’aspect
économique par exemple ne rentre pas dans le sujet. Le sujet ne s’interroge pas non plus sur l’influence positive ou
négative de l’art, même si cet aspect peut être traité à un moment donné dans le devoir, ce n’est pas la question
centrale.
Il s’agit de savoir si l’art possède ou non le pouvoir de changer les choses. L’art peut avoir une visée purement
esthétique, comme le mouvement parnassien qui cherche la perfection formelle. Les romantiques prônent au contraire
l’engagement social et politique comme beaucoup d’autres à leur suite et encore de nos jours. La question est de
savoir si les artistes ont dans les faits un pouvoir. On peut le supposer puisque les pouvoirs politiques dans les
dictatures ou les gouvernements autoritaires cherchent d’une part à le contrôler par la censure voire le rejet des
artistes dissidents, d’autre part à se l’accaparer pour leur propagande. Le sujet invitait à mettre en perspective la
volonté des artistes, la réception des œuvres et la relation de l’art avec la politique et le pouvoir.
Je voudrais féliciter pour finir certains candidats (et leurs enseignants) pour l’excellent niveau de plusieurs copies.
J’incite ceux qui ont plus de difficultés à travailler la méthode et à faire une bonne analyse du sujet.
Première composition de mathématiques
1. Objectif de Mathématiques 1
L’épreuve de Mathématiques 1 participe à la sélection d’étudiants à dominante économique dont l’objectif est, au
terme de leur formation, d’être à l’aise avec la bonne compréhension et l’application des méthodes quantitatives de la
statistique et de la modélisation économique dans les futures études d’ISE et les métiers auxquels ouvrent ces
mêmes études.
Son but est donc de dégager une large « tête » de concours composée de candidats ayant, a priori, les meilleures
chances de comprendre, d’assimiler, puis d’utiliser les enseignements formalisés à dominante scientifique liés au
diplôme ISE, diplôme d’ingénieur, et, en même temps, d’éliminer les candidats aux connaissances insuffisantes, ou
mal assimilées et intégrées, ou éventuellement mal orientés.
En outre, cette « tête » doit être suffisamment dense pour permettre à l’épreuve de Maths 2 et à toutes les autres
épreuves du concours de contribuer efficacement à la meilleure sélection possible et à la diversité des connaissances.
Pour ce faire, l’épreuve de Maths 1 doit :
- d’une part, valider à la fois les connaissances et les compétences dans un domaine précis des mathématiques
appliquées (connaissances et compétences ne sont pas synonymes) : cette année, très majoritairement de
l’analyse,
- d’autre part, détecter et éliminer les candidats ne maîtrisant pas les prérequis considérés comme nécessaires à
des études d’ingénieur statisticien.
2. L’épreuve Maths I de 2025 (4 heures)
Elle était constituée d’un exercice d’arithmétique et d’un problème d’analyse, indépendants.
L’exercice (2 questions) portait sur la somme des nombres impairs.
- Le problème s’articulait en 5 grandes parties d’une difficulté croissante de formalisation, pour un total de 26
questions. En quelques mots, le sujet tournait autour d’une généralisation de la densité de la loi log-normale
(mais sans aucune référence à la probabilité et la statistique) dépendant de deux paramètres, sous la forme
b
e−(Ln x)
exp [(−lnx)b ]
=
.
xa
Les cinq parties successives à traiter étaient définies par diverses valeurs de a et b, dans un ordre croissant
de difficulté : b=0, a=0 et b=2, a=1 et b=2, b=2 et enfin le cas général.
xa
3. Déroulement de l’épreuve Maths 1 et observations après correction
L’exercice comptait sur 2,5 points, et le problème sur 17,5.
Exercice :
Cet exercice, pourtant extrêmement simple et sans aucun piège, a dérouté la majorité des candidats. Est-ce vraiment
difficile de faire la somme des 2, 3 ou 4 premiers nombres impairs ? Et cependant bien moins d’un candidat sur deux
a pu y répondre.
Problème :
Les cinq parties ont permis d’affiner la hiérarchie entre les candidats et d’atteindre l’objectif de présélection.
Les trois premières parties étaient basées sur des valeurs spécifiques du couple a et b, les deux dernières étaient plus
générales. A noter que les meilleures copies sur le fond sont souvent aussi celles qui sont les mieux présentées en
matière de forme.
Au vu des copies, il est quand même étonnant de constater certains points, à ce niveau de formation :
- une compréhension difficile et aléatoire de la forme f = (exp(-(Lnx)b), souvent transformée en x b ou en x-b (il
est évident que ce type d’écriture, évidemment fausse, employé dès la Partie 1 du problème, a conduit à des
notes très faibles puisqu’au lieu de traiter la fonction de la forme donnée au §2, les candidats traitaient x b-a, ce
qui est évidemment plus simple mais entièrement faux.
- le remplacement du symbole e par sa valeur numérique 2,718, ce qui ne simplifie pas la présentation et la
clarté des écritures
- pour calculer des dérivées de f, seuls deux candidats (sur plus de 900) ont pensé passer par les logarithmes
et utiliser simplement le fait que (Lnf)’ = f’/f, ce qui facilite énormément les calculs.
Economie
L’épreuve proposait aux candidats deux sujets au choix. Ces derniers ont été globalement traités de manière
équilibrée, sans qu’aucun ne se distingue par une préférence marquée. Le niveau général des copies peut être
qualifié de moyen, avec quelques très bons devoirs, même si certaines limites récurrentes méritent d’être soulignées.
Observations générales sur les copies
Les candidates se sont, dans l’ensemble, légèrement mieux illustrées que leurs homologues masculins, notamment
par une meilleure structuration des dissertations et une mobilisation plus précise des références théoriques.
Il est également apparu que nombre de candidats se contentent de réciter leur cours, sans réelle prise de distance
critique ni capacité d’analyse autonome. Si la restitution des connaissances est généralement correcte, l’aptitude à
mobiliser ces savoirs pour construire une réflexion originale fait souvent défaut.
Analyse par sujet
Aucune différence significative n’a été observée entre les deux sujets en termes de difficulté ou de traitement par les
candidats. Les copies brillantes sont réparties équitablement entre les deux.
Recommandations aux futurs candidats
Pour se démarquer, il est désormais essentiel que les futurs candidats dépassent le simple exercice de restitution de
cours. La maîtrise des concepts reste bien sûr indispensable, mais elle doit être au service d’une problématisation
claire et d’un raisonnement structuré.
Il leur est fortement recommandé :
• De s’exercer régulièrement à la rédaction de dissertations dans des conditions réelles ;
• D’apprendre à mobiliser de manière pertinente les modèles économiques étudiés ;
• D’approfondir leur compréhension des enjeux économiques contemporains afin de nourrir leur réflexion ;
• Et surtout, de s’entraîner à formuler une problématique originale et à articuler un raisonnement rigoureux
autour de celle-ci.
L’épreuve d’économie vise à évaluer la capacité des candidats à penser en économistes, c’est-à-dire à analyser,
problématiser et argumenter à partir d’outils conceptuels. Elle ne saurait se limiter à une restitution mécanique des
cours.
Deuxième composition de mathématiques
L’épreuve était constituée de cinq exercices indépendants balayant un large spectre du programme. Elle comportait
en tout 25 questions avec :
— Le premier exercice portant sur les intégrales généralisées.
— Le deuxième exercice mêlant suites et arithmétique.
— Le troisième exercice de probabilités discrètes.
— Le quatrième exercice plus abstrait, sur une équation fonctionnelle sur R.
— Le cinquième exercice étudiant une famille de matrices carrées de M3(R).
D’un point de vue général, tout comme l’année dernière, la réussite des candidats sur les exercices s’est avérée très
irrégulière, suivant les thèmes abordés par les exercices.
Pour rentrer un peu dans le détail :
Exercice 1 : Les deux premières questions sont généralement traitées, avec notamment une large majorité de bonnes
réponses pour l’intégration par parties. La notion de convergence d’une intégrale, est en revanche souvent mal
maitrisée. Ce problème devient criant à la troisième question.
La majorité des candidats majorent en effet le terme général de l’intégrale par une fonction positive d’intégrale
divergente, ce qui ne montre rien !
Exercice 2 : La première question, peu difficile, a fait la différence entre les candidats sachant rédiger une récurrence
et les autres. On peut regretter que beaucoup de copies oublient de montrer que un est entier. La question 3 a permis
aux candidats sachant organiser proprement leur rédaction de faire leurs preuves. La fin de l’exercice a été peu
abordée.
Exercice 3 : Les manques de connaissances en probabilités discrètes sont à nouveau apparus cette année, même si
de manière un peu moins flagrante. Les premières questions, accessibles, ont permis à la moitié environ des
candidats de faire de vraies différences. La fin était plus délicate mais a été bien traitée par quelques candidats.
Exercice 4 : C’est l’exercice le moins abordé. Le raisonnement sur la première question est trop souvent mal rédigé.
La notion d’image d’un élément par une application est en particulier souvent mal comprise. Si l’utilisation de la
monotonie est bien présente dans une partie raisonnable des copies pour la question 2, l’utilisation convenable de la
continuité et de l’injectivité pour la justifier a été bien plus rare. Seuls quelques candidats ont fourni un exemple
pertinent pour la question 3, alors qu’il était finalement assez simple d’en produire un.
Exercice 5 : La question 1 donne trop souvent lieu à des calculs de polynômes caractéristiques, alors qu’il suffisait
d’appliquer le théorème spectral. A noter l’oubli trop fréquent de l’hypothèse à coefficients réels pour la matrice
symétrique. On rappelle ainsi que la matrice n’est pas diagonalisable. Le calcul de la dimension de l’espace propre est
trop souvent incomplet, les cas particuliers a = 1 et a = −1 n’étant souvent pas traités. Les trois dernières questions
sont souvent convenablement résolues, mais rarement avec les méthodes les plus efficaces. L’utilisation de la trace
de Aa et Aa2 aurait épargné des calculs un peu lourds et pas mal de temps à de nombreux candidats.
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
L’épreuve est composée d’un exercice et d’un problème, indépendants, à traiter dans
un ordre quelconque. Le problème comporte cinq parties qu’il est recommandé
d’aborder dans l’ordre proposé.
Exercice 1 :
On considère la somme S(n) = ∑nk=1(2k − 1), où n est un nombre entier supérieur ou
égal à 1.
1) Calculer S(1), S(2), S(3), S(4).
Que remarquez-vous à partir de ces résultats ?
2) Trouver la valeur de S(n) en fonction de n.
Indication : on pourra soit passer par un calcul direct, soit procéder par récurrence.
Corrigé :
1) S(n) est la somme des n premiers nombres impairs.
S(1) = 1
S(2) = 1 + 3 = 4 = 2²
S(3) = 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
S(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
2) Calcul direct :
Premier calcul : S(n) = 2 (∑nk=1 k) – n = 2n(n+1)/2 – n = n²
Deuxième calcul : S(n) est égal à la somme des 2n premiers nombres entiers moins
la somme des n premiers entiers pairs.
1
n
S(n) = ∑2n
k=1 k – ∑k=1 2k
∑2n
k=1 k =
2n(2n+1)
2
= n(2n+1)
∑nk=1 2k = 2 ∑nk=1 k = n(n+1)
D’où S(n) = 2n² + n – n² - n = n²
Récurrence :
Hypothèse H0 : S(n) = n²
Vrai pour n = 1
Supposons H0 vraie en n.
S(n+1) = n² + (2n+1) = (n+1)²
Problème :
Les symboles e et Ln désignent respectivement l’exponentielle (e = 2,718) et le
logarithme népérien.
+∞
2
On donne la valeur de l’intégrale G = ∫−∞ e−t dt : G = √𝜋 .
Les paramètres a et b sont des entiers naturels positifs ou nuls ; on considère la famille
de fonctions fa,b définie sur ℝ∗+ par :
x → fa,b(x) =
e−(Ln x)
xa
b
=
exp[−(Ln x)b ]
xa
Partie 1 :
Dans cette première partie, on prend b = 0. La fonction est notée f a,0.
1) On désire étudier précisément les variations de la fonction f a,0.
Selon les valeurs de a, calculer les dérivées première et seconde, f’ a,0 et f’’a,0 de fa,0.
Quel est leur signe ?
2) Donner les limites de fa,0 quand x → 0 et quand x → +∞.
3) Etablir le tableau de variations de fa,0. Donner la forme du graphe C(a,0) de fa,0.
4) Soient a et a’ deux entiers de ℕ, avec a’ > a.
Comparer les positions respectives des graphes C(a,0) et C(a’,0) des fonctions fa,0 et
fa’,0.
5) Donner, selon les valeurs de a, une primitive de f a,0.
6) Dans cette question, on prend b = 1. Montrer que fa,1 peut s’écrire sous la forme
k.fa’,0 pour laquelle on précisera la valeur de a’ en fonction de a et la valeur de k.
1) Forme générale : fa,0(x) = x-a/e.
Pour a = 0, f0,0(x) = 1/e, droite horizontale. Dans la suite on prendra a ≥ 1.
Pour a = 1, f1,0(x) = 1/(e.x) : hyperbole équilatère
Dérivée première : f'a,0(x) = -a /(e.xa+1).
Dérivée seconde : f’’a,0(x) = a(a+1)/(e.xa+2)
Comme a appartient à ℕ et x ≥ 0, f’a,0 est négative et f’’a,0 est positive
2) Pour a=0, f0,0(x) = 1/e qui est donc la limite en x → 0 et x → +∞.
Pour a ≥ 1, fa,0(x) → +∞ pour x → 0, et fa,0(x) → 0 x → +∞.
2
3) Tableau de variations, pour a ≥ 1,
x
+∞
0
f’’a,0
+
f’a,0
+∞
f a,0
0
4) Les courbes C(a,0) et C(a’,0) associées aux fonctions fa,0 et fa’,0 se coupent au point
d’abscisse 1 et d’ordonnée 1/e.
Pour x > 1, xa’ > xa et donc x-a’ < x-a ; la courbe C(a’,0) est en-dessous de C(a,0).
Inversement, pour x < 1, x-a’ > x-a et C(a’,0) est en-dessus de C(a,0).
5) Primitives :
Pour a = 0, F0,0(x) = x/e + K
Pour a = 1, F1,0(x) = Ln(x)/e + K
Pour a > 1, Fa,0(x) = x1-a/(e.(1-a)) + K
6) On a ici b = 1.
fa,1(x) = e-Ln x/xa ; or e-Ln x = eLn(1/x) = 1/x
Donc fa,1(x) = 1/xa+1 = e.fa+1,0(x) = e.fa’,0(x)
On a donc k = e et a’ = a+1.
Partie 2
Dans cette deuxième partie, on prend a = 0 et b = 2 ; la fonction est notée f0,2.
7) Calculer la dérivée première de f0,2 ; étudier les solutions de l’équation f’0,2(x) = 0 et
en déduire le signe de f’0,2.
8) Calculer la dérivée seconde de f0,2 ; étudier les solutions de l’équation f’’0,2(x) = 0 et
en déduire le signe de f’’0,2.
9) Donner les limites de f0,2 quand x → 0 et quand x → +∞.
10) Calculer la limite de f’0,2 quand x tend vers 0.
11) Montrer que f0,2 passe par un maximum M dont on donnera les coordonnées x(M)
et y(M).
Ecrire le tableau de variations de f0,2 et donner la forme de son graphe C(0,2).
+∞
12) Calculer les intégrales A = ∫0
+∞
f0,2 (x) dx et B = ∫0
2
7) f0,2(x) = e−(Ln x)
De façon évidente, on a f0,2(x) > 0.
Dérivée première :
3
xf0,2 (x) dx
On a : Ln f0,2(x) = - (Ln x)²
En dérivant :
f '0,2(x)/ f0,2(x) = - 2 Ln(x)/x
D’où : f’0,2(x) = -2
Ln x −(Ln x)²
e
x
f’0,2(x) = 0 pour x = 1 ; pour x < 1, la dérivée est > 0 ; pour x > 1, elle est négative.
8) Dérivée seconde :
En dérivant une deuxième fois l’expression f '0,2(x)/ f0,2(x) = - 2 Ln(x)/x, on obtient :
[f0,2(x)f’’0,2(x) – (f’0,2(x))²]/(f0,2(x))² = - 2 (1- Ln(x))/x²
Il s’en suit :
f'’0,2(x) = 2[2(Ln(x))² + Ln(x) – 1]f0,2(x) / x²
f'’0,2(x) = 0 si et seulement si [2(Ln(x))² + Ln(x) – 1] = 0
Posons X = Ln(x)
L’équation 2X² + X – 1 = 0 admet deux solutions X1 et X2 :
X1 = - 1 d’où x1 = 1/e ≈ 0,37
X2 = ½ d’où x2 = e1/2 ≈ 1,65
9) Quand x → 0, f0,2(x) → 0.
Quand x → +∞, f0,2(x) → 0.
10) Posons u = Ln(x) ; quand x tend vers 0, u tend vers - ∞.
f'0,2(u) = -2u/eu(u+1) → 0 quand u → -∞.
La pente à l’origine est horizontale.
11) D’après les questions 7 et 8, le maximum est atteint en un point M d’abscisse x(M)
= 1 et donc d’ordonnée y(M) = f0,2(1) = 1 : M(1, 1).
Tableau de variations :
x
0
f’’0,2
+
f’0,2
+
1/e
1
e1/2
0
-
0
0
+∞
+
-
1
f 0,2
0
0
On remarque que la courbe C(0, 2) présente deux points d’inflexion : le premier pour
x = 1/e (et donc d’ordonnée 1/e) et le second pour x = e1/2 (d’ordonnée e-1/4).
4
+∞
12) A = ∫0
+∞
f0,2(x) dx = ∫0
𝑒 −(𝐿𝑛 𝑥)² dx
Posons u = Ln(x) : u varie de - ∞ à +∞.
du = dx/x, dx = eudu
+∞
+∞
2
A = ∫−∞ 𝑒 𝑢 𝑒 −𝑢² du = ∫−∞ 𝑒 −(𝑢 −𝑢) du
u² - u = (u - 1/2)² - ¼ ; en posant v = u – ½, on a :
+∞
A = e1/4 ∫−∞ 𝑒 −𝑣² dv
En utilisant le résultat donné en introduction :
A = e1/4 √π
+∞
Calcul de B = ∫0
xf0,2 (x) dx
En faisant le même changement de variable que pour le calcul de A, on obtient :
+∞
+∞
2
B = ∫−∞ 𝑒 𝑢 𝑒 −𝑢² 𝑒 𝑢 du = ∫−∞ 𝑒 −(𝑢 −2𝑢) du
u² - 2u = (u – 1)² - 1 = v² - 1 en posant v = u – 1.
+∞
B = e ∫−∞ 𝑒 −𝑣² dv
B = e √π
Partie 3
Dans cette troisième partie, on prend a = 1 et b = 2 ; la fonction sera notée f1,2.
13) Calculer les dérivées première et seconde de f 1,2 ; étudier les solutions des
équations f’1,2(x) = 0 et f’’1,2(x) = 0.
En déduire le signe de f’1,2 et f’’1,2.
14) Donner les limites de f1,2 quand x → 0 et quand x → +∞.
15) Montrer que f1,2 passe par un maximum N dont on donnera les coordonnées x(N)
et y(N).
16) En déduire le tableau de variations de f 1,2 et la forme de son graphe C(1,2).
+∞
17) Calculer l’intégrale C = ∫0
f1,2 (x) dx.
13) f1,2(x) = e-(Ln x)²/x
Dérivée première :
Ln(f1,2(x)) = - (Ln x)² - Ln x
En dérivant : f’1,2(x)/f1,2(x) = - (2Ln(x) + 1)/x
D’où :
f'1,2(x) = - (2Ln(x) + 1)e-(Ln x)² /x²
La dérivée première est nulle pour 2Ln(x) + 1 = 0, c’est-à-dire pour x = e-1/2.
Pour x > e-1/2, la dérivée f’1,2 est négative.
Pour x < e-1/2, la dérivée f’1,2 est positive.
Dérivée seconde :
En faisant comme dans la question 8 de la Partie 2, on obtient :
[f1,2(x)f’’1,2(x) – (f’1,2(x))²]/(f1,2(x))² = (2Ln(x) – 1)/x²
On en déduit :
f'’1,2(x) = 2Ln(x)(2Ln(x) + 3)f1,2(x)/x²
5
Comme x > 0 et f1,2(x) > 0, f'’1,2(x) s’annule pour Ln x = 1 et Ln x = -3/2, donc pour x =
e et x = e-3/2.
La dérivée seconde est positive pour x < e-3/2 et x > e ; elle est négative sur l’intervalle
]e-3/2 , e[.
14) Quand x → 0, f1,2(x) → 0.
Quand x → +∞, f1,2(x) → 0.
15) Nous avons vu à la question 13 que la dérivée première s’annule en x = e -1/2.
L’ordonnée est f1,2(e-1/2) = e1/4.
Le point N est donc de coordonnées (x(N) = e-1/2, y(N) = e1/4).
16) Tableau de variations :
x
0
f’’1,2
+
f’1,2
+
e-3/2
e-1/2
e
0
-
0
0
+∞
+
-
e1/4
f 1,2
0
0
La courbe C(1, 2) présente deux points d’inflexion : le premier pour x = e-3/2 (et donc
d’ordonnée e-3/4) et le second pour x = e (d’ordonnée e-2).
+∞
17) Calcul de C = ∫0
f1,2 (x) dx.
Faisons le changement de variable u = Ln x, du = dx/x, u varie sur ℝ.
+∞
C = ∫−∞ e−u² du = √π.
Partie 4
Dans cette quatrième partie, on prend b = 2 ; la fonction sera notée fa,2.
18) Calculer les dérivées première et seconde de f a,2 ; quelles sont les solutions des
équations f’a,2(x) = 0 et f’’a,2(x) = 0 ?
Donner le signe de f’a,2 et f’’a,2.
19) Donner les limites de fa,2 quand x → 0 et quand x → +∞.
20) Montrer que fa,2 passe par un maximum P dont on donnera les coordonnées x(P)
et y(P).
21) Déterminer l’équation du lieu géométrique de P.
22) Donner le tableau de variations de f a,2 et la forme de son graphe C(a,2).
+∞
23) Calculer l’intégrale D = ∫0
fa,2(x) dx.
6
2
fa,2(x) =
e−(Ln x)
xa
Remarque : pour a = 1, on retrouve la Partie 3
18) Ln(fa,2(x)) = -(Ln x)² - a Ln(x)
Dérivée première :
f’a,2(x)/fa,2(x) = - (2Ln(x) + a)/x
f’a,2(x) = - (2Ln(x) + a)fa,2(x)/x
f’a,2(x) s’annule pour Ln(x) = -a/2, ou x = e-a/2.
Signe :
Pour x > e-a/2, la dérivée f’a,2 est négative.
Pour x < e-a/2, la dérivée f’a,2 est positive.
Dérivée seconde :
[fa,2(x)f’’a,2(x) – (f’a,2(x))²]/(fa,2(x))² = (2Lnx + a - 2)/x²
On en déduit :
f'’a,2(x) = [4(Lnx)² + (4a+2)Ln(x) + a² + a – 2)]fa,2(x)/x²
Comme x > 0 et fa,2(x) > 0, f'’a,2(x) s’annule pour :
4(Ln(x))² + (4a+2)Ln(x) + a² + a – 2 = 0
En posant X = Ln(x), le discriminant ∆’ de l’équation 4X² + 2(2a+1)X + a² + a – 2 = 0
est égal à (2a+1)² -4(a² +a – 2) = 9, donc il y a deux racines :
X1 = Ln(x1) = [-(2a+1) + 3]/4 = (1 – a)/2, d’où x1 = e(1-a)/2
X2 = Ln(x2) = [-(2a+1) - 3]/4 = -(a+2)/2, d’où x2 = e-(a+2)/2
La dérivée seconde est positive pour x < x2 et x > x1 ; elle est négative sur l’intervalle
]x2 , x1[.
Remarque 1: en calculant le ratio x1/x2, on trouve x1/x2 = e3/2 > 1 donc x1 > x2.
Remarque 2 : en faisant a = 1, on retrouve les résultats de la Partie 3.
19) Quand x → 0, fa,2(x) → 0.
Quand x → +∞, fa,2(x) → 0.
20) A la question 18, on a établi que f’a,2 s’annulait pour x = e-a/2 = x(P).
On en déduit : y(P) = ea²/4.
21) Au point P, Ln x = -a/2, donc a = -2Ln x
y(P) = e(Ln x)²
L’équation du lieu géométrique de P est y = e(Ln x)².
22) Tableau :
x
0
f’’1,2
+
f’1,2
+
e-(a+2)/2
e-a/2
e(1-a)/2
0
-
0
0
-
+∞
+
7
ea²/4
f 1,2
0
0
+∞
23) Calcul de D = ∫0
fa,2(x) dx.
Soit u = Ln x, x = eu, dx = eu du, u varie sur ℝ
+∞
+∞
2
D = ∫−∞ 𝑒 (1−𝑎)𝑢 𝑒 −𝑢² du = ∫−∞ 𝑒 −(𝑢 +(𝑎−1)𝑢) du
u² + (a-1)u = (u + (a-1)/2)² - (a-1)²/4
On pose v = u + (a-1)/2
+∞
D = e(a-1)²/4∫−∞ e−v²dv = e(a-1)²/4 √π.
Partie 5
Cette cinquième partie aborde le cas général fa,b.
24) Calculer la dérivée première de fa,b.
Etudier, selon les valeurs de b, l’existence de solutions de l’équation f’a,b(x) = 0.
Quel est le signe de f’a,b ?
25) Donner les limites de fa,b quand x → 0 et quand x → +∞.
26) Montrer que toutes les courbes C(a, b) passent par un point fixe F dont on précisera
les coordonnées.
Donner l’équation de la tangente en F à C(a, b).
24) Ln(fa,b(x)) = -(Ln x)b – a Ln(x)
En dérivant : f’a,b(x)/fa,b(x) = -[b(Ln(x))b-1 + a]/x
D’où : f’a,b(x) = -[b(Ln(x))b-1 + a].fa,b(x) / x
Le signe de la dérivée dépend de l’expression [b(Ln(x))b-1 + a].
Considérons l’équation f’a,b(x) = 0, ou encore b(Ln(x))b-1 + a = 0.
1er cas : si b est impair, b-1 est pair et donc b(Ln(x))b-1 + a est > 0.
La dérivée f’a,b(x) est donc négative, et fa,b est décroissante.
2ème cas : si b est pair, b-1 est impair, et la dérivée s’annule pour (Ln(x))b-1 = -a/b,
(
1
)
soit en x* = 𝑒 −(𝑎/𝑏) 𝑏−1
f’a,b(x) est positive pour x < x* et négative pour x > x*, et f a,b est croissante jusqu’en x*
puis décroissante ensuite.
25) Toujours en faisant le changement u = Ln(x), quand x → 0, fa,b(x) → 0.
Quand x → +∞, fa,b(x) → 0.
26) Pour x=1, y = fa,b(1) =1.
Le point F(1, 1) est donc un point fixe pour toutes les courbes C(a, b).
8
La tangente en F à C(a, b) a pour équation :
(y – 1)/(x – 1) = f’a,b(1) = - a
Soit : y = - ax + a + 1
9
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la COMPOSITION D’Économie (sujet1 & sujet2)
.
Sujet 1
"Comment l'Afrique peut-elle réduire sa dépendance économique face aux défis
climatiques pour construire une croissance résiliente et durable ?"
Correction : Proposition de plan détaillé
Introduction :
•
Accroche : Mention des défis économiques et environnementaux majeurs en
Afrique (exemple : dépendance aux exportations de matières premières et
vulnérabilité aux changements climatiques).
•
Contexte : Les économies africaines subissent les fluctuations des marchés
mondiaux tout en étant parmi les plus exposées aux effets des changements
climatiques.
•
Problématique : Comment les pays africains peuvent-ils construire une économie
autonome et durable face à ces enjeux ?
•
Annonce du plan : Analyse des causes de la dépendance économique, des défis
climatiques aggravants, et des solutions pour construire une croissance durable.
Partie I : Une double dépendance : économique et climatique
1. Dépendance économique :
o
Dépendance historique aux exportations de matières premières (exemple :
pétrole, minerais, cacao).
o
Faible diversification des économies, rendant les pays vulnérables aux
fluctuations des prix mondiaux.
2. Défis climatiques aggravant la dépendance :
o
Impact des catastrophes climatiques sur les secteurs clés comme
l’agriculture (sécheresses, inondations).
o
Réduction de la productivité économique et augmentation des besoins
d’importation.
Partie II : Construire une croissance résiliente et durable : des opportunités à saisir
1. Diversification économique :
o
Valoriser les ressources locales au-delà des matières premières :
transformation industrielle, production locale.
o
Développer des secteurs d’avenir comme les énergies renouvelables et le
tourisme durable.
2. Transition climatique comme opportunité :
o
Rôle des énergies vertes (exemple : fermes solaires au Maroc, géothermie
au Kenya).
o
Agroécologie et pratiques agricoles durables pour renforcer la sécurité
alimentaire.
Partie III : Les conditions nécessaires à une croissance durable
1. Investir dans les infrastructures et les compétences :
o
Développer les infrastructures énergétiques et numériques pour stimuler
les économies locales.
o
Former la population aux métiers verts et aux compétences nécessaires
pour une transition écologique.
2. Renforcer l’intégration régionale et les coopérations Sud-Sud :
o
Exemple de la ZLECAF pour créer des chaînes de valeur intra-africaines.
o
Coopération entre pays africains pour mutualiser les ressources et les
solutions technologiques.
3. Mobiliser les financements climatiques :
o
Utiliser les fonds climatiques internationaux pour soutenir des projets
durables et autonomes.
Conclusion :
•
Synthèse : Résumer les défis liés à la double dépendance économique et
climatique et les solutions proposées.
•
Ouverture : Insister sur la nécessité d’une gouvernance africaine unifiée pour
réussir cette transition vers une économie résiliente et durable.
Guide de notation
Critères principaux :
1. Compréhension de la problématique (4 points)
o
Reformulation claire de la problématique et pertinence des enjeux
identifiés.
2. Structure et argumentation (6 points)
o
Plan bien articulé (introduction, développement en 2 ou 3 parties,
conclusion).
o
Arguments cohérents et progression logique dans la réflexion.
3. Mobilisation du programme (6 points)
o
Utilisation des concepts liés à la dépendance économique, à la
diversification, et aux politiques climatiques.
o
Illustration avec des exemples africains concrets (pays ou initiatives).
4. Qualité de l’analyse (4 points)
o
Capacité à équilibrer les aspects économiques et climatiques.
o
Propositions réalistes et adaptées au contexte africain.
5. Qualité de la rédaction (4 points)
o
Langage clair et structuré, absence de fautes majeures.
o
Bonne maîtrise des termes économiques et climatiques.
Répartition des points :
•
Introduction : 4 points
o
•
Accroche (1 point), contextualisation (1 point), problématique (1 point),
annonce du plan (1 point).
Développement : 10 points
o
Partie I : 3 points.
o
Partie II : 4 points.
o
•
Conclusion : 3 points
o
•
Partie III : 3 points.
Synthèse (2 points), ouverture (1 point).
Références et exemples : 3 points
o
Qualité et pertinence des exemples pour illustrer les arguments.
Total : 20 points
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sujet 2
"L’intelligence artificielle en Afrique : moteur de développement économique ou facteur
d’aggravation des inégalités ?"
Correction : Proposition de plan détaillé
Introduction :
•
•
•
•
Accroche : Chiffres récents sur l’adoption de l’IA en Afrique ou sur son impact
économique mondial.
Contexte : L’IA est perçue comme une révolution technologique majeure qui
transforme les économies. En Afrique, elle pourrait être un levier puissant pour le
développement, mais elle soulève également des questions d’équité et d’inclusion.
Problématique : Comment l’intelligence artificielle peut-elle contribuer au
développement économique de l’Afrique tout en évitant d’aggraver les inégalités ?
Annonce du plan : Analyse des opportunités offertes par l’IA, des risques qu’elle
représente et des moyens de maximiser ses bénéfices tout en limitant ses effets
négatifs.
Partie I : L’intelligence artificielle, un levier pour le développement économique en Afrique
1. Amélioration de la productivité dans les secteurs clés :
•
•
•
Agriculture : prédiction météorologique, gestion des ressources, lutte contre les
ravageurs (exemple : plateforme de prévision agricole au Kenya).
Santé : diagnostic à distance, optimisation des services de santé (exemple : Babyl
au Rwanda).
Éducation : apprentissage en ligne adapté grâce à l’IA.
2. Attractivité des investissements étrangers :
•
•
L’IA comme secteur émergent pour les start-ups africaines (exemple : Nigeria,
Afrique du Sud).
Développement de hubs technologiques (Nairobi, Accra).
3. Optimisation des politiques publiques :
• Identification des bénéficiaires des aides sociales, réduction des fraudes, urbanisme
intelligent.
Partie II : L’intelligence artificielle, un facteur d’aggravation des inégalités
1. Fracture numérique :
• Inégalités d’accès aux infrastructures technologiques entre les zones rurales et
urbaines.
• Coût élevé de l’accès à l’IA pour les pays à faible revenu.
2. Menaces pour l’emploi :
• Automatisation des tâches peu qualifiées : impact sur les secteurs industriels et
agricoles.
• Absence de reconversion professionnelle adaptée (écart entre compétences
disponibles et compétences nécessaires).
3. Concentration des bénéfices :
• Risque de captation des profits par des multinationales étrangères.
• Dépendance accrue vis-à-vis des géants technologiques (USA, Chine).
Partie III : Maximiser les bénéfices de l’IA tout en limitant les risques
1.
•
•
2.
•
•
3.
•
•
Investissements dans les infrastructures et la formation :
Développer l’éducation technologique et les compétences en IA.
Stimuler la recherche locale pour une IA adaptée aux besoins africains.
Favoriser une régulation inclusive :
Réglementer l’utilisation des données pour garantir l’équité et la confidentialité.
Stimuler l’adoption de solutions IA open source accessibles aux petites entreprises.
Encourager les partenariats intra-africains :
Coopération régionale pour mutualiser les ressources technologiques.
Mise en œuvre de projets communs dans le cadre de la ZLECAF.
Conclusion :
•
•
Synthèse : Résumer les principaux arguments en faveur du rôle de l’IA comme
moteur de développement tout en soulignant les risques d’inégalités.
Ouverture : L’importance d’un modèle africain d’IA adapté aux réalités locales pour
un développement inclusif et durable.
Guide de notation
Critères principaux :
1. Compréhension de la problématique (4 points)
o
Capacité à identifier clairement les enjeux du sujet.
o
Reformulation pertinente de la problématique dans l’introduction.
2. Structure et argumentation (6 points)
o
Plan bien structuré (introduction, développement en 2 ou 3 parties,
conclusion).
o
Cohérence des idées et fluidité dans l’enchaînement des arguments.
3. Mobilisation du programme (6 points)
o
Référence aux concepts économiques liés au développement, à la croissance,
et aux inégalités.
o
Usage pertinent d’exemples africains pour illustrer les arguments.
4. Qualité de l’analyse (4 points)
o
Analyse équilibrée entre les opportunités et les risques.
o
Proposition de solutions réalistes dans la dernière partie.
5. Qualité de la rédaction (4 points)
o
Clarté et précision du langage.
o
Bonne utilisation des termes économiques et absence de fautes majeures.
Répartition des points :
•
Introduction : 4 points
o
•
•
Développement : 10 points
o
Partie I : 5 points.
o
Partie II : 5 points.
Conclusion : 3 points
o
•
Accroche (1 point), contextualisation (1 point), problématique (1 point),
annonce du plan (1 point).
Synthèse (2 points), ouverture (1 point).
Références et exemples : 3 points
o
Qualité et pertinence des exemples, capacité à illustrer les arguments.
Total : 20 points
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
CORRIGÉ de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
L’épreuve est constituée de cinq exercices indépendants à traiter dans un ordre quelconque. Le
plus grand soin sera apporté à la rédaction et à la présentation des résultats.
Exercice 1 :
On considère la fonction f : x 7→ sinx x définie sur R∗+ . On s’intéresse ici à la convergence et à la
R +∞
convergence absolue de 0 f (t)dt.
1. Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0 et préciser la valeur f (0) donnant ce
prolongement.
Comme au voisinage de 0 on sin(x) ∼ x, la limite en 0 de sinx x est égale à 1. La fonction f se
prolonge donc par continuité en 0 par f (0) = 1.
2. On note pour tout X > π2 :
Z X
sin(t)
dt
t
π/2
IX =
Montrer l’égalité :
cos(X)
IX = −
−
X
Z X
cos(t)
dt
t2
π/2
et en déduire la convergence de l’intégrale
Z +∞
f (t)dt.
π/2
On admet que l’on peut montrer de même que
1
R +∞ cos(t)
π/2
t
dt converge.
On effectue une intégration par parties, on obtient :
Z X
cos(t) X
cos(t)
IX = −
−
dt
t
t2
π/2
π/2
cos(X)
−
=−
X
Z X
cos(t)
dt
t2
π/2
Comme la fonction cos est bornée par 1, la limite de cos(X)
en +∞ est nulle. De plus on
X
R +∞ 1
cos(t)
1
≤ t2 et l’intégrale de Riemann π/2 t2 dt est convergente, donc par théorème de
a
t2
R +∞
comparaison l’intégrale π/2 cos(t)
dt est absolument convergente, donc convergente. On en
t2
déduit
que
I
admet
une
limite
finie
quand X tend vers +∞, ce qui veut dire que l’intégrale
X
R +∞
π/2 f (t)dt converge.
3. Montrer que l’intégrale
R +∞
π/2
|f (t)|dt diverge.
Soit t ≥ π/2. Comme | sin(t)| ≤ 1 on a :
|f (t)| ≥
sin2 (t)
1 − cos(2t)
≥
t
2t
R +∞
Or l’intégrale π/2 cos(2t)
2t dt converge d’après ce qui a été admis précédemment. Comme l’inR +∞
R +∞ 1
tégrale π/2 t dt est une intégrale de Riemann divergente, on en déduit que π/2 |f (t)|dt
diverge.
Exercice 2 :
On considère la suite (un )n∈N définie par u0 = 2 et pour tout n ∈ N :
un+1 = u2n − 1
1. Montrer que pour tout entier naturel n le terme un est entier et vérifie un ∈ [2, +∞[.
On procède par récurrence sur n. Pour n = 0, on a bien un entier et appartenant à [2, +∞[.
Soit n ∈ N. On suppose que un est entier supérieur ou égal à 2. On a alors u2n − 1 clairement
entier et comme un ≥ 2, on a u2n ≥ 4 ⇔ u2n − 1 ≥ 3 donc un+1 ≥ 2. Par principe de récurrence,
on a bien montré le résultat pour tout entier naturel n.
2. Soit n un entier naturel, exprimer un+2 en fonction de un .
On a
un+2 = u2n+1 − 1 = (u2n − 1)2 − 1 = u4n − 2u2n
3. Soit p un entier naturel non nul strictement supérieur à 1. On note vp (n) la plus grande
puissance entière de p qui divise un . Ainsi v2 (2) = 3 car 23 divise u2 = 8 mais pas 24 .
2
(a) Montrer que pour tout entier naturel n, u2n est pair et u2n+1 est multiple de 3.
On procède à nouveau par récurrence sur n. On a u0 = 2 et u1 = 3, donc la propriété
est bien vraie pour n = 0. Soit n ∈ N. On suppose la propriété vraie pour n. Alors
u2n+2 = u42n − 2u22n = u22n (u2n − 2). Or u2n est pair, donc u2n+2 également. De même,
u2n+3 = u42n+1 − 2u22n+1 = u22n+1 (u2n+1 − 2) et comme u2n+1 est divisible par 3, u2n+3
l’est également. Par principe de récurrence, on a bien montré le résultat pour tout entier
naturel n.
(b) Montrer que pour tout entier naturel n on a v2 (2n + 2) = 2v2 (2n) + 1.
Soit n un entier naturel. On note α = v2 (2n). Remarquons que l’on a α > 1 d’après la
question précédente. On a u2n = 2α .m avec m un entier impair. D’où :
u2n+2 = u22n (u22n − 2) = 22α .m2 (22α .m2 − 2) = 22α+1 .m2 (22α−1 .m2 − 1).
Comme m2 (22α−1 .m2 − 1) est impair, on obtient bien v2 (2n + 2) = 2v2 (2n) + 1.
(c) Déterminer une relation similaire entre v3 (2n + 3) et v3 (2n + 1).
On procède de même en notant β = v3 (2n + 1). Alors u2n+1 = 3β .m avec m non divisible
par 3. On écrit :
u2n+3 = u22n+1 (u22n+1 − 2) = 32β .m2 (32β .m2 − 2)
Comme 2 n’est pas un multiple de 3, m2 (32β .m2 − 2) n’est pas un multiple de 3. On en
déduit que
v3 (2n + 3) = 2v3 (2n + 1).
4. Montrer que pour tout entier naturel n on a :
1
1
1
1
≤ n+1 et
≤ n+1
u2n
2
u2n+1
3
1
Par récurrence immédiate, on a v2 (2n) ≥ 2n v2 (0), donc u12n ≤ 221n ≤ 2n+1
car v2 (0) = 1. De
n
n
n+1
même, v3 (2n + 1) = 2 v3 (1) = 2 donc u2n+1 ≥ 3
et on obtient la deuxième inégalité.
5. À l’aide de la question précédente
et en distinguant les cas k pair et k impair, montrer que
P
la suite de terme général nk=0 u1k est bornée par 32 et converge.
Si n = 2p + 1 est impair, en distinguant les cas où k est pair (k = 2i) et k est impair
(k = 2i + 1), on peut écrire
2p+1
X
k=0
p
p
i=0
i=0
X 1
X 1
1
=
+
.
uk
u2i
u2i+1
D’après la question précédente, on a donc
2p+1
X
k=0
p
p
i=0
i=0
X 1
X 1
1
≤
+
,
uk
2i+1
3i+1
3
qui est croissant en p et a pour limite 1 + 12 = 23 .
Si n = 2p est pair, on peut revenir au cas précédent car uk > 0 pour tout k :
2p
X
1
k=0
Ainsi la suite (
uk
≤
2p+1
X
k=0
1
3
≤ .
uk
2
Pn
1
3
k=0 uk )n∈N est croissante, majorée par 2 , elle est donc convergente.
Exercice 3 :
On considère trois dés à six faces équilibrés. On les lance simultanément, et on note D1 , D2 et
D3 les variables aléatoires indépendantes égales au résultat de chacun des dés. On note X la valeur
minimale de D1 , D2 et D3 et Y leur valeur maximale. Ainsi, si on a lancé les trois dés et obtenu 2,
3 et 5, on a X = 2 et Y = 5.
1. Rappeler la loi suivie par chacune des variables D1 , D2 et D3 . Rappeler également son espérance.
Chacune de ces variables suit la loi uniforme sur {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On a donc P (Di = k) = 1/6
pour tout k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L’espérance est 6(6+1)
= 72 .
12
2. Déterminer n ∈ N tel que la variable aléatoire ∆1 = n − D1 suive la même loi que D1 .
Pour que cette variable ait la même loi que D1 , il faut ∆1 ait le même ensemble de valeurs
∆1 (Ω) que D1 . Elle doit donc prendre valeurs entières de 1 à 6. Comme D1 prend ces mêmes
valeurs, cela impose n = 7. On a alors pour tout k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} :
P (∆1 = k) = P (7 − D1 = k) = P (D1 = 7 − k) = 1/6
et ∆1 suit donc bien la même loi que D1 .
3. Justifier que ∆2 = n − D2 et ∆3 = n − D3 suivent également la même loi que D2 et D3 .
D2 suit la même loi que D1 , donc ∆2 = n − D2 suit la même loi que ∆1 = n − D1 , c’est à dire
celle de D1 d’après la question précédente, qui est celle de D2 . De même D3 suit la même loi
que D1 et on aboutit à la même conclusion : ∆3 suit la même loi que D3 .
4. Soit k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(a) Calculer P (Y ≤ k).
On a (Y ≤ k) = (D1 ≤ k) ∩ (D2 ≤ k) ∩ (D3 ≤ k) et comme les variables aléatoires D1 ,
D2 et D3 sont indépendantes, on a :
P (Y ≤ k) = P (D1 ≤ k) × P (D2 ≤ k) × P (D3 ≤ k)
3
k
k3
=
=
6
216
4
(b) En déduire P (Y = k).
On peut écrire (Y = k) ∪ (Y ≤ k − 1) = (Y ≤ k), et cette union est disjointe. On en
déduit
P (Y = k) + P (Y ≤ k − 1) = P (Y ≤ k).
Avec la question précédente, cela donne :
P (Y = k) =
k 3 − (k − 1)3
3k 2 − 3k + 1
=
216
216
(c) En admettant que ∆1 , ∆2 et ∆3 sont indépendantes (au même titre que D1 , D2 et D3 ),
montrer que P (X = 7 − k) = P (Y = k).
On peut écrire comme auparavant :
P (X = 7 − k) = P (X ≥ 7 − k) − P (X ≥ 8 − k)
= P (D1 ≥ 7−k)×P (D2 ≥ 7−k)×P (D3 ≥ 7−k)−P (D1 ≥ 8−k)×P (D2 ≥ 8−k)×P (D3 ≥ 8−k)
= P (7−D1 ≤ k)×P (7−D2 ≤ k)×P (D3 ≤ k)−P (7−D1 ≤ k−1)×P (7−D2 ≤ k−1)×P (7−D3 ≤ k−1)
= P (∆1 ≤ k)×P (∆2 ≤ k)×P (∆3 ≤ k)−P (∆1 ≤ k −1)×P (∆2 ≤ k −1)×P (∆3 ≤ k −1)
Et si on note M le maximum de ∆1 , ∆2 et ∆3 , alors on obtient comme précédemment :
P (M = k) = P (∆1 ≤ k)×P (∆2 ≤ k)×P (∆3 ≤ k)−P (∆1 ≤ k−1)×P (∆2 ≤ k−1)×P (∆3 ≤ k−1)
Les variables ∆1 , ∆2 et ∆3 étant indépendantes et de même loi que D1 , D2 et D3 , leur
maximum a la même loi que Y , donc on a bien montré l’égalité demandée.
5. Calculer l’espérance de Y puis de X.
Avec la formule usuelle pour l’espérance,
6
X
6
1 X 3
3k − 3k 2 + k
216
k=1
k=1
2 2
6 .7
6.7.13 6.7
1
3
−3
+
=
216
4
6
2
1
1
=
(27.49 − 21.13 + 21) = (9.49 − 7(13 − 1))
216
72
357
1
= (441 − 84) =
72
72
E(Y ) =
On en déduit :
E(X) =
kP (Y = k) =
6
X
kP (X = k) =
k=1
=7
6
X
6
X
kP (Y = 7 − k)
k=1
P (Y = 7 − k) −
k=1
6
X
(7 − k)P (Y = 7 − k)
k=1
= 7 − E(Y ) =
5
147
72
Exercice 4 :
Soit α ∈ R. On se propose de répondre à la question suivante : existe-t-il des fonctions continues
sur R telles que pour tout réel x on ait f (f (x)) = α.x ? On dira qu’une telle fonction possède la
propriété P.
1. On suppose ici α non nul. Soit f une fonction possédant la propriété P. Montrer que si deux
réels x et x0 on la même image par f alors ils sont égaux.
Comme f (x) = f (x0 ), on a f (f (x) = f (f (x0 )) donc α.x = α.x0 et comme α est non nul,
x = x0 .
2. À l’aide de l’étude de la monotonie de f , démontrer par l’absurde que si α < 0, alors il n’existe
pas de fonction ayant la propriété P.
On a montré à la question précédente que f était injective si α était non nul. Comme elle
est de plus continue, elle est strictement monotone. Qu’elle soit strictement croissante ou
strictement décroissante, f ◦ f est alors strictement croissante. Par conséquent, on ne peut
avoir f ◦ f (x) = αx car la fonction x 7→ αx est strictement décroissante sur R. Il n’existe donc
pas de telle fonction si α < 0.
3. Montrer qu’il existe une fonction ayant la propriété P dans le cas α ≥ 0.
√
Dans ce cas, la fonction f : x 7→ α.x est une solution évidente.
Exercice 5 :

1 a −1
Soit a un réel quelconque. On considère la matrice Aa =  a 1 a .
−1 a 1

1. Montrer que Aa est diagonalisable sans calcul.
Comme A est symétrique réelle, elle est diagonalisable.
2. Montrer que 2 est une valeur propre de Aa et déterminer la dimension de l’espace propre
associé en fonction de a.


−1 a −1
On note I3 la matrice identité d’ordre 3. La matrice Ba = Aa − 2I3 =  a −1 a 
−1 a −1
n’est pas inversible car sa première et sa troisième ligne sont identiques. Donc 2 est bien une
valeur propre de Aa . Son espace propre est de dimension 2 si et seulement si la matrice Ba
est de rang 1. Pour cela la deuxième ligne doit être un multiple de la troisième, ce qui est
le cas si et seulement si −1 = a2 . En conclusion, la dimension de l’espace propre pour 2 est
égale à 1 si a est différent de 1 et de −1 et est égale à 2 sinon.
3. Calculer A2a .


a2 + 2
a
a2 − 2
.
a
2a2 + 1
a
On a A2a = 
2
2
a −2
a
a +2
6
4. On suppose dans cette question a 6= −1 et a 6= 1. On note λ1 et λ2 les deux valeurs propres
de Aa distinctes de 2.
(a) Montrer que l’on a :
λ1 + λ2 =
1
2
2
2
λ1 + λ2 = 4a + 1
On sait que Aa est diagonalisable, donc semblable à


2 0 0
 0 λ1 0 
0 0 λ2
La trace de deux matrices semblables étant égale, la trace de A est égale à 2+λ1 +λ2 . De
même la trace de A2a est égale à 4 + λ21 + λ22 . Cela donne les deux équations du système.
(b) En déduire le produit λ1 .λ2 en fonction de a.
En élevant la première ligne du système au carré, on a :
λ21 + 2λ1 .λ2 + λ22 = 1
et en retranchant à cette équation la deuxième ligne du système on en déduit :
2λ1 .λ2 = −4a2
et
λ1 .λ2 = −2a2
(c) Déterminer λ1 et λ2 en fonction de a.
On connaı̂t la somme et le produit de λ1 et λ2 . Or ce sont les racines du polynôme :
X 2 − (λ1 + λ2 )X + λ1 .λ2
que l’on réécrit :
X 2 − X − 2a2
Le discriminant de ce polynôme est 1 + 8a2 , donc les valeurs de λ1 et λ2 sont
√
√
1 + 1 + 8a2
1 − 1 + 8a2
et
.
2
2
7
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
L’autorité est-elle une dimension nécessaire de l’éducation ?
Sujet n° 2
La ville est-elle pour vous un milieu favorable à l’épanouissement des hommes ?
Sujet n° 3
L’art a-t-il le pouvoir de changer les choses ? (que ce soit en bien ou en mal)
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ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’épreuve est composée d’un exercice et d’un problème, indépendants, à traiter dans
un ordre quelconque. Le problème comporte cinq parties qu’il est recommandé
d’aborder dans l’ordre proposé.
Exercice 1 :
On considère la somme S(n) = ∑nk=1(2k − 1), où n est un nombre entier supérieur ou
égal à 1.
1) Calculer S(1), S(2), S(3), S(4).
Que remarquez-vous à partir de ces résultats ?
2) Trouver la valeur de S(n) en fonction de n.
Indication : on pourra soit passer par un calcul direct, soit procéder par récurrence.
Problème :
Les symboles e et Ln désignent respectivement l’exponentielle (e = 2,718) et le
logarithme népérien.
+∞
2
On donne la valeur de l’intégrale G = ∫−∞ e−t dt : G = √𝜋 .
Les paramètres 𝑎 et 𝑏 sont des entiers naturels positifs ou nuls ; on considère la famille
de fonctions 𝑓𝑎,𝑏 définie sur ℝ∗+ par :
x → 𝑓𝑎,𝑏 (x) =
e−(Ln x)
x𝑎
𝑏
=
exp[−(Ln x)𝑏 ]
x𝑎
Partie 1 :
Dans cette première partie, on prend 𝑏 = 0. La fonction est notée 𝑓𝑎,0 .
1) On désire étudier précisément les variations de la fonction 𝑓𝑎,0 .
1
′
′′
Selon les valeurs de 𝑎, calculer les dérivées première et seconde, 𝑓𝑎,0
et 𝑓𝑎,0
de 𝑓𝑎,0 .
Quel est leur signe ?
2) Donner les limites de 𝑓𝑎,0(x) quand x → 0 et quand x → +∞.
3) Etablir le tableau de variations de 𝑓𝑎,0. Donner la forme du graphe C(𝑎,0) de 𝑓𝑎,0 .
4) Soient 𝑎 et 𝑎′ deux entiers de ℕ, avec 𝑎′ > 𝑎.
Comparer les positions respectives des graphes C(𝑎,0) et C(𝑎′ ,0) des fonctions 𝑓𝑎,0 et
𝑓𝑎′ ,0.
5) Donner, selon les valeurs de 𝑎, une primitive de 𝑓𝑎,0.
6) Dans cette question, on prend 𝑏 = 1. Montrer que 𝑓𝑎,1 peut s’écrire sous la forme
k.𝑓𝑎′ ,0 pour laquelle on précisera la valeur de 𝑎′ en fonction de 𝑎 et la valeur de k.
Partie 2
Dans cette deuxième partie, on prend 𝑎 = 0 et 𝑏 = 2 ; la fonction est notée 𝑓0,2 .
′
7) Calculer la dérivée première de 𝑓0,2 ; étudier les solutions de l’équation 𝑓0,2
(x) = 0 et
′
en déduire le signe de 𝑓0,2
.
′′
8) Calculer la dérivée seconde de 𝑓0,2 ; étudier les solutions de l’équation 𝑓0,2
(x) = 0 et
′′
en déduire le signe de 𝑓0,2 .
9) Donner les limites de 𝑓0,2(x) quand x → 0 et quand x → +∞.
′
10) Calculer la limite de 𝑓0,2
(x) quand x tend vers 0.
11) Montrer que 𝑓0,2 passe par un maximum M dont on donnera les coordonnées x(M)
et y(M).
Ecrire le tableau de variations de 𝑓0,2 et donner la forme de son graphe C(0,2).
+∞
12) Calculer les intégrales A = ∫0
+∞
𝑓0,2 (x) dx et B = ∫0
x𝑓0,2 (x)dx.
Partie 3
Dans cette troisième partie, on prend 𝑎 = 1 et 𝑏 = 2 ; la fonction sera notée 𝑓1,2 .
13) Calculer les dérivées première et seconde de 𝑓1,2 ; étudier les solutions des
′
′′
équations 𝑓1,2
(x) = 0 et 𝑓1,2
(x) = 0.
′
′′
En déduire le signe de 𝑓1,2
et 𝑓1,2
.
14) Donner les limites de 𝑓1,2 (x) quand x → 0 et quand x → +∞.
15) Montrer que 𝑓1,2 passe par un maximum N dont on donnera les coordonnées x(N)
et y(N).
16) En déduire le tableau de variations de 𝑓1,2 et la forme de son graphe C(1,2).
+∞
17) Calculer l’intégrale C = ∫0
𝑓1,2 (x) dx.
Partie 4
Dans cette quatrième partie, on prend 𝑏 = 2 ; la fonction sera notée 𝑓𝑎,2 .
18) Calculer les dérivées première et seconde de 𝑓𝑎,2 ; quelles sont les solutions des
′
′′
équations 𝑓𝑎,2
(x) = 0 et 𝑓𝑎,2
(x) = 0 ?
′
′′
Donner le signe de 𝑓𝑎,2 et 𝑓𝑎,2
.
19) Donner les limites de 𝑓𝑎,2 (x) quand x → 0 et quand x → +∞.
20) Montrer que 𝑓𝑎,2 passe par un maximum P dont on donnera les coordonnées x(P)
et y(P).
21) Déterminer l’équation du lieu géométrique de P.
2
22) Donner le tableau de variations de 𝑓𝑎,2 et la forme de son graphe C(𝑎,2).
+∞
23) Calculer l’intégrale D = ∫0
𝑓𝑎,2 (x) dx.
Partie 5
Cette cinquième partie aborde le cas général 𝑓𝑎,𝑏 .
24) Calculer la dérivée première de 𝑓𝑎,𝑏 .
′
Etudier, selon les valeurs de 𝑏, l’existence de solutions de l’équation 𝑓𝑎,𝑏
(x)=0.
′
Quel est le signe de 𝑓𝑎,𝑏 ?
25) Donner les limites de 𝑓𝑎,𝑏 (x) quand x → 0 et quand x → +∞.
26) Montrer que toutes les courbes C(𝑎, 𝑏) passent par un point fixe F dont on précisera
les coordonnées.
Donner l’équation de la tangente en F à C(𝑎, 𝑏).
3
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ISE Option Économie
ÉCONOMIE
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l'un des deux sujets suivants.
Sujet 1
L’intelligence artificielle en Afrique : moteur de développement économique ou facteur
d’aggravation des inégalités ?
Sujet 2
Comment l'Afrique peut-elle réduire sa dépendance économique face aux défis climatiques
pour construire une croissance résiliente et durable ?
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’épreuve est constituée de cinq exercices indépendants à traiter dans un ordre quelconque. Le
plus grand soin sera apporté à la rédaction et à la présentation des résultats.
Exercice 1 :
On considère la fonction f : x 7→ sinx x définie sur R∗+ . On s’intéresse ici à la convergence et à la
R +∞
convergence absolue de 0 f (t)dt.
1. Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0 et préciser la valeur f (0) donnant ce
prolongement.
2. On note pour tout X > π2 :
Z X
sin(t)
dt
t
π/2
IX =
Montrer l’égalité :
IX = −
cos(X)
−
X
Z X
cos(t)
dt
t2
π/2
et en déduire la convergence de l’intégrale
Z +∞
f (t)dt.
π/2
On admet que l’on peut montrer de même que
3. Montrer que l’intégrale
R +∞
π/2
|f (t)|dt diverge.
1
R +∞ cos(t)
π/2
t
dt converge.
Exercice 2 :
On considère la suite (un )n∈N définie par u0 = 2 et pour tout n ∈ N :
un+1 = u2n − 1
1. Montrer que pour tout entier naturel n le terme un est entier et vérifie un ∈ [2, +∞[.
2. Soit n un entier naturel, exprimer un+2 en fonction de un .
3. Soit p un entier naturel non nul strictement supérieur à 1. On note vp (n) la plus grande
puissance entière de p qui divise un . Ainsi v2 (2) = 3 car 23 divise u2 = 8 mais pas 24 .
(a) Montrer que pour tout entier naturel n, u2n est pair et u2n+1 est multiple de 3.
(b) Montrer que pour tout entier naturel n on a v2 (2n + 2) = 2v2 (2n) + 1.
(c) Déterminer une relation similaire entre v3 (2n + 3) et v3 (2n + 1).
4. Montrer que pour tout entier naturel n on a :
1
1
1
1
≤ n+1 et
≤ n+1
u2n
2
u2n+1
3
5. À l’aide de la question précédente
et en distinguant les cas k pair et k impair, montrer que
P
la suite de terme général nk=0 u1k est bornée par 32 et converge.
Exercice 3 :
On considère trois dés à six faces équilibrés. On les lance simultanément, et on note D1 , D2 et
D3 les variables aléatoires indépendantes égales au résultat de chacun des dés. On note X la valeur
minimale de D1 , D2 et D3 et Y leur valeur maximale. Ainsi, si on a lancé les trois dés et obtenu 2,
3 et 5, on a X = 2 et Y = 5.
1. Rappeler la loi suivie par chacune des variables D1 , D2 et D3 . Rappeler également son espérance.
2. Déterminer n ∈ N tel que la variable aléatoire ∆1 = n − D1 suive la même loi que D1 .
3. Justifier que ∆2 = n − D2 et ∆3 = n − D3 suivent également la même loi que D2 et D3 .
4. Soit k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(a) Calculer P (Y ≤ k).
(b) En déduire P (Y = k).
(c) En admettant que ∆1 , ∆2 et ∆3 sont indépendantes (au même titre que D1 , D2 et D3 ),
montrer que P (X = 7 − k) = P (Y = k).
5. Calculer l’espérance de Y puis de X.
2
Exercice 4 :
Soit α ∈ R. On se propose de répondre à la question suivante : existe-t-il des fonctions continues
sur R telles que pour tout réel x on ait f (f (x)) = α.x ? On dira qu’une telle fonction possède la
propriété P.
1. On suppose ici α non nul. Soit f une fonction possédant la propriété P. Montrer que si deux
réels x et x0 on la même image par f alors ils sont égaux.
2. À l’aide de l’étude de la monotonie de f , démontrer par l’absurde que si α < 0, alors il n’existe
pas de fonction ayant la propriété P.
3. Montrer qu’il existe une fonction ayant la propriété P dans le cas α ≥ 0.
Exercice 5 :


1 a −1
Soit a un réel quelconque. On considère la matrice Aa =  a 1 a .
−1 a 1
1. Montrer que Aa est diagonalisable sans calcul.
2. Montrer que 2 est une valeur propre de Aa et déterminer la dimension de l’espace propre
associé en fonction de a.
3. Calculer A2a .
4. On suppose dans cette question a 6= −1 et a 6= 1. On note λ1 et λ2 les deux valeurs propres
de Aa distinctes de 2.
(a) Montrer que l’on a :
λ1 + λ2 =
1
λ21 + λ22 = 4a2 + 1
(b) En déduire le produit λ1 .λ2 en fonction de a.
(c) Déterminer λ1 et λ2 en fonction de a.
3
REMARQUES ET RECOMMANDATIONS DU JURY
Concours ISE OPTION MATHEMATIQUES
SESSION 2025
Ordre général
1. Les sujets, des choix relativement équilibrés
Comme en 2024, le choix des sujets a été assez également réparti avec cependant une légère avance pour le sujet
sur la citoyenneté.
Peut-on apprendre la citoyenneté ?
Ce sujet a suscité plus que des réflexions, une série d’exemples pratiques et
concrets. Dans ces exemples nous pouvions trouver pêle-mêle l’école, la religion, la famille, etc. La citoyenneté a très
souvent été évoquée comme un ensemble de devoirs, de liens sociaux et d’obligations sans lesquels la vie en société
est difficile voire chaotique. En revanche peu de copies ont abordé la citoyenneté en lien avec les droits et la
nationalité.
« La race naît du racisme, et non le contraire. ». Ta-Nehisi Coates (1975-), Ce sujet a donné des copies de valeurs
assez inégales.
Un des écueils majeurs consistait à simplement décrire le racisme dans tout un ensemble de
manifestations (dans la rue, au travail, à l’école, etc.). Dans la majorité des copies les notions de hiérarchie politique,
d’enracinement social n’étaient pas abordées.
« La misère peut soutenir le fanatisme : quand il n'y a plus aucune ressource, on se tourne vers Dieu... ». Germaine
Tillion (1907-2008). La citation de Germaine Tillion est à l’origine de très bonnes copies … et de moins bonnes. La
citation a soulevé une vague d’approbation, de compréhension et pléthore d’exemples. Le lien entre misère, fanatisme
et religion a été expliqué et souvent largement illustré.
2. Quelques remarques sur le fond
Remarque récurrente d’une année sur l’autre mais encore vérifiée cette année : la gestion du temps de l’épreuve revêt
une vraie difficulté pour bien des candidat.es. Pléthore de copies proposent une introduction bien constituée, de
même la première partie mais la suite se déroule sans articulation, ni structure mais « au fil de l’eau » avec in fine une
conclusion bâclée.
3. Quelques remarques sur la forme
Beaucoup de fautes grammaticales et syntaxiques (l’accord verbe/sujet, la ponctuation, la conjugaison). L’absence
des marques du pluriel est encore trop fréquente ou alors mal comprise. Par exemple : ils disents. L’utilisation des
citations est parfois appropriée et pertinente cependant j’ai lu dans quelques copies six ou sept citations dont
certaines franchement hors sujet. Une seule citation congruente et bien insérée dans l’argumentaire visera plus juste
que trop de citations.
A noter quelques bonnes copies bien rédigées, propres, solidement construites et fort agréables à lire.
Première composition de mathématiques
Présentation de l’épreuve
La première composition de mathématiques, d’une durée de 4h, était constituée de deux problèmes : un problème
d’analyse et un problème d’algèbre. Le sujet était long par rapport à la durée imposée ce qui a permis de classer les
candidats sur leur rapidité d’exécution en plus de la maîtrise des concepts fondamentaux du programme. Il n’était
évidemment pas nécessaire de traiter l’ensemble des questions pour obtenir une excellente note.
Le problème d’analyse portait sur l’étude de la fonction zêta de Riemman. Dans la Partie I, on détermine les variations
et l’allure du graphe de la fonction zêta. La Partie II proposait un prolongement à l’aide de la fonction zêta alternée. La
Partie III présentait une méthode pour calculer deux valeurs particulières de zêta à partir du calcul de séries de
Fourier. Enfin, la Partie IV permettait d’étudier la nature de la série des inverses des nombres premiers à partir de
propriétés de la fonction zêta. Ce problème faisait intervenir plusieurs savoir-faire fondamentaux du programme :
séries à termes positifs, étude de séries de fonctions, comparaison série/intégrale, séries alternées, calcul de séries
de Fourier, entre autres.
Le problème d’algèbre avait lui pour objectif de démontrer le théorème de Perron pour les matrices primitives et de
l’appliquer à l’étude de la suite des itérées d’une matrice stochastique primitive. Ce problème, long et croissant en
difficulté, demandait notamment une maîtrise des techniques en calcul matriciel et en topologie.
L’épreuve contenait donc, dans les deux problèmes, à la fois de nombreuses questions liées directement aux
définitions et aux connaissances exigibles et des questions plus techniques ce qui a permis de classer naturellement
les candidats.
Notons que quelques candidats ont traité de nombreuses questions avec efficacité, malgré la longueur du sujet et ont
su dévoiler leur savoir-faire, obtenant ainsi de très bonnes notes.
Contenu des copies
La qualité de la présentation est prise en compte dans l’évaluation. En particulier, chaque question devrait se terminer
par une petite phrase soulignée ou encadrée qui montre qu’une réponse à la question posée a été trouvée.
Globalement, la plupart des candidats ont traité des questions dans les deux problèmes de cette épreuve. C’est une
très bonne initiative puisque, aussi bien en analyse qu’en algèbre, le sujet contenait des questions accessibles
s’appuyant sur des notions élémentaires ou incontournables du programme.
Concernant le sujet d’analyse :
-La Partie I a été traitée par la quasi-totalité des candidats. Les hypothèses des théorèmes du programme sur les
séries de fonctions ne sont pas connues de tous. La question 5.b) a permis de distinguer les candidats de bon niveau.
-La Partie II a été également beaucoup abordée. L’application du critère spécial des séries alternées est connue d’une
bonne partie des candidats.
-Les Parties III et IV ont été traitées en partie par un certain nombre de candidats. De très bonnes copies se sont
distinguées en traitant avec efficacité des calculs parfois techniques
Concernant le sujet d’algèbre :
-La Partie I a été abordée par presque tous les candidats. Malheureusement, les candidats ne connaissant pas la
formule du produit matriciel n’ont pas pu marquer de points sur ces questions.
-Dans la Partie II, beaucoup de candidats ont pioché les questions qui leur semblaient faisables pour récupérer des
points. La question 7 a souvent été traitée car elle faisait directement référence à une définition du programme.
Quelques candidats de très bon niveau ont montré une maîtrise importante en topologie sur les questions 8 à 11.
-La partie III a été peu traitée.
- Dans la partie IV, seules les questions 18 et 19 ont été abordées.
Deuxième composition de mathématiques
Contexte
L’épreuve est composée de 7 exercices indépendants. Quatre exercices portent sur l’analyse (étude de fonctions,
intégration, développements limités, suites et fonctions de deux variables). Les autres exercices concernent la
géométrie et l’algèbre.
L’épreuve est peut-être un peu longue, mais il s’agit d’un concours et elle a été strictement notée sur vingt.
Résultats
Chaque question a toujours été traitée par au moins une dizaine de candidats. L’étude des fonctions est le thème le
mieux réussi dans l’ensemble, mais très souvent des résultats évidents sont détaillés et les difficultés escamotées.
Contraction de texte
Cette année, l’épreuve demandait la contraction d’un article de 1047 mots en 150 mots (plus ou moins 10%).
L’article intitulé « Cultiver sans eau ou presque : la technique du zaï au Sahel » et publié sur le site de la revue The
Conversation FR le 3 août 2023, a été écrit en français par trois chercheurs en agronomie.
Il décrit la technique du zaï développée au Sahel par les agriculteurs pour cultiver des céréales dans un contexte de
faible pluviométrie et de ressource en eau presque inexistante. Les auteurs citent en exemple Yacouba Sawadogo, un
paysan Burkinabé qui a redécouvert cette technique qui a fait ses preuves face à la désertification et qui s’est diffusée
sous différentes formes dans la région.
Ils mettent en miroir cette approche minimaliste et la tendance mondiale qui consiste à innover pour stocker et drainer
l’eau au profit de l’agriculture à coût de technologies aux conséquences écologiques et socio-économiques
désastreuses. La conclusion tirée est que ces savoirs ancestraux sont une source d’expérience dont nous pouvons
nous inspirer pour adapter notre modèle agricole aux conditions climatiques extrêmes prédites.
Riche d’informations, le texte expose la problématique historique de l’eau au Sahel, la genèse de la technique du zaï,
sa description et ses variantes, et il finit par comparer deux approches de gestion de l’eau pour l’agriculture
diamétralement opposées dans un contexte de changement climatique.
Il comporte peu de mots spécialisés (un poquet, une daba…) qui ne font pas obstacle à la compréhension.
Il nécessite de hiérarchiser les idées (principales ou secondaires), de reformuler les idées, de lier logiquement les
parties, de soigner l’expression écrite tout en respectant l’énonciation.
L’exercice n’est pas aisé et demande de la méthode et de l’entrainement.
Les productions sont évaluées selon les critères suivants :
- l’expression écrite : respect de l’énonciation (situation temporelle et énonciatrices, position de l’auteur,
neutralité…), la reformulation (pas de répétition), l’équilibre des parties, l’organisation logique.
- Les idées principales – hiérarchisation : présentation du sujet et du contexte (l’eau/ au Sahel)
- Des solutions agricoles (exemple, le zaï, Yacouba Sawadogo, savoir-faire testé et amélioré, existant avec des
variantes dans les pays voisins)
- Résultat : ce qui se passe ailleurs, le zai et autres techniques ancestrales innovantes et sobres, une solution
pour des pays face aux défis climatiques prochains.
Les candidats ont fourni dans l‘ensemble un travail sérieux et ont usé de stratégies pour embrasser l’essentiel du texte
en peu de mots. Les productions sont hétérogènes. Quelques copies excellentes sortent du lot dans chaque pays.
Observations
La longueur Dans l’ensemble, les candidats ont inscrit le nombre de mots en fin de copie, souvent encadré du
nombre de mots minimum et maximum.
Certains n’ont pas indiqué le nombre de mots en fin de copie ou ont indiqué un nombre en deçà du nombre total réel
(165 pour 223 mots !!).
A l’avenir, une indication tous les 10 mots sera demandée (ex. : une barre).
La règle de comptage est que chaque signe vaut un mot (l’ = 1).
- Les nombres et les symboles sont comptés comme des mots (27 = 1 mot) et gardent la même forme que
dans le texte (en chiffres / en lettres). Rectification : % = 1 mot.
- S’il y a des intertitres, les mots sont comptés.
- Encore beaucoup de copies dépassent la longueur maximale exigée, ce qui est sanctionné par un 0/20.
La consigne
Souvent bien comprise, elle n’a pas été respectée dans les cas suivants (hors sujet) :
- le texte est recopié mots pour mots jusqu’à atteindre une longueur de 150 mots ;
- des paragraphes du texte sont cités entre guillemets ;
-
l’exercice n’est pas un commentaire de texte : aucune interprétation des idées, pas d’extrapolation, de
jugement ni de « l’article parle de », « les auteurs disent que »… L’énonciation, la situation temporelle et le
positionnement des auteurs sont respectés.
Attention !! Dans certains pays, les candidats ont ajouté à la contraction de texte, une discussion, ce qui les
pénalisent en terme de temps consacré à l’exercice. Et ce n’est pas évalué.
La forme
Dans l’ensemble, les copies sont propres, les écritures sont soignées et offrent une bonne lisibilité. Quelques rares
copies n’ont pu être déchiffrées.
Pour la forme, la structure en paragraphes est attendue.
Citer une personne : indiquer le prénom et le nom (pas uniquement le prénom) et la situer si nécessaire.
Le contenu et le sens
La compréhension du texte a parfois été approximative et des contre-sens apparaissent (confusion entre la partie 2 et
la partie 3) Il s’agit de hiérarchiser les idées, de ne garder que les idées principales et de respecter l’équilibre des
parties.
Ex. : un tiers du résumé est consacré à une seule idée, parfois secondaire.
Eliminer les détails (une liste d’exemples comme les variantes du zai, les titres reçus, la description de la zone du
Sahara, la description de la savane qui verdit avec la pluie…) Les idées sont répétées d’un paragraphe à l’autre.
Utiliser différents procédés de reprise pour synthétiser la pensée, garder la cohérence et éviter la répétition (pronoms
personnels, compléments, …)
De quoi parle-t-on ?
L’objectif de cet exercice est de transmettre fidèlement les informations essentielles à une autre personne comme si
elle avait lu le texte, Certains mots sont donc incontournables comme le zaï et ne peuvent pas être remplacés par des
synonymes.
Définir précisément le sujet : une technique agricole, la pénurie en eau, au Sahel
La langue
L’expression écrite est d’un niveau variable, d’une non maîtrise du français à une fluidité efficace.
Vigilance sur l’orthographe, la syntaxe et la ponctuation. Beaucoup d’erreurs d’accord ont été relevées ainsi que des
constructions inappropriées (ex. : innover des technologies) Le niveau de langue standard est attendu dans ce texte
(≠ familier).
Eviter les néologismes ou anglicismes : booster, maximiser, disponibiliser… Attention à l’orthographe des noms
propres et des mots extraits du texte (paysant, encestrale…)
Dans l’ensemble, des efforts ont été faits pour trouver des stratégies de contraction et de synthèse.
Quelques remarques pour vous aider :
- Le lexique du texte contracté est différent de celui du texte initial (synonymes, paraphrases,
nominalisation,…). Certains mots clés restent toutefois incontournables (ex. : le zaï), sans synonyme adapté.
Ne pas perdre le sens dans la reformulation.
- Eviter la paraphrase plus longue et moins précise que la phrase originale, ainsi que les tournures avec « il y
a… qui… (il y a des techniques qui sont des variantes du zaï).
- Veiller à lier logiquement les idées du texte et les paragraphes en conservant le mouvement du texte. Choisir
les mots de liaisons adaptés et éviter la succession de phrases ou d’idées sans relation logique.
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. La qualité de la rédaction sera prise en compte dans
l’évaluation. Tous les résultats seront encadrés.
1
Problème d’analyse
Dans ce problème, nous nous intéressons à l’étude de certaines propriétés de la fonction zêta de
+∞
X
1
.
Riemann définie par ζ(x) =
nx
n=1
Partie I : Graphe de la fonction ζ
1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction ζ.
X 1
Soit x ∈ R. La série de Riemman
converge si et seulement si x > 1.
nx
n≥1
Par conséquent, le domaine de définition de ζ est D =]1, +∞[.
2. Démontrer que ζ est continue sur D.
1
= exp(−x ln(n)) est continue sur ]1, +∞[.
nx
1
1
Soit a > 1. On a pour tout x ∈ [a, +∞[, x ≤ a et la série de Riemann de terme général
n
n
X
1
converge. On en déduit donc que la série de fonctions
fn converge normalement
a
n n≥1
Pour tout n ≥ 1, la fonction fn : x ∈ D 7→
n≥1
donc uniformément sur tout intervalle de la forme [a, +∞[ avec a > 1.
Par suite, ζ est continue sur ]1, +∞[.
1
3. Déterminer la limite de ζ(x) lorsque x tend vers +∞.
1
1
Tout d’abord, on a x −−−−→ 1 et pour tout n ≥ 2, x −−−−→ 0.
1 x→+∞
n x→+∞
Soit a > 1. D’après la question précédente, la série de fonctions définissant ζ converge uniformément sur [a, +∞[. On en déduit :
lim ζ(x) = lim
x→+∞
4.
x→+∞
+∞
X
1
n=1
nx
=
+∞
X
n=1
1
= 1.
x→+∞ nx
lim
a) Démontrer que la fonction ζ est de classe C ∞ sur son domaine de définition D et donner
l’expression de ses dérivées sous forme de séries.
1
Tout d’abord, pour tout n ≥ 1, la fonction fn : x ∈ D 7→ x = exp(−x ln(n)) est de
n
(− ln(n))k
(k)
∞
.
classe C sur ]1, +∞[ et pour tout k ≥ 1 et pour tout x ∈]1, +∞[, fn (x) =
nx
ln(n)k
(k)
Soit a > 1. On a pour tout x ∈ [a, +∞[, fn (x) ≤
. Or,
na
a+1
n 2
ln(n)k
ln(n)k
=
−−−−−→ 0
a−1
n→+∞
na
n 2
1
par croissances comparées. La série de Riemann de terme général
car
converge
a+1
n 2
n≥1
X
a+1
> 1, on en déduit donc que la série de fonctions
fn(k) converge normalement
2
n≥1
donc uniformément sur tout intervalle de la forme [a, +∞[ avec a > 1.
Par suite, ζ est de classe C ∞ sur ]1, +∞[ et pour tout k ≥ 1 et x ∈]1, +∞[,
ζ (k) (x) =
+∞
X
(− ln(n))k
n=1
nx
.
b) En déduire les variations de la fonction ζ ainsi que sa convexité.
D’après la question précédente, on a pour tout x > 1, ζ 0 (x) = −
+∞
X
ln(n)
n=1
nx
< 0 donc ζ
est strictement décroissante sur ]1, +∞[.
+∞
X
ln(n)2
00
De plus, on a pour tout x > 1, ζ (x) =
> 0 donc ζ est convexe sur ]1, +∞[.
nx
n=1
5.
Z n+1
1
1
1
a) Soit n ≥ 1 et x ∈ D. Montrer que :
≤
dt ≤ x .
x
(n + 1)x
t
n
n
1
La fonction t ∈ [1, +∞[7→ x est décroissante donc on a pour tout t ∈ [n, n + 1],
t
1
1
1
≤ x ≤ x.
x
(n + 1)
t
n
2
Z n+1
Par croissance de l’intégrale on en déduit
n
Z n+1
1
1
1
c’est-à-dire :
≤
dt ≤ x .
(n + 1)x
tx
n
n
1
dt ≤
(n + 1)x
Z n+1
n
1
dt ≤
tx
Z n+1
n
1
dt,
nx
b) En déduire un équivalent de ζ(x) lorsque x → 1+ .
On fixe x > 1. Soit N ≥ 1. Sommons les inégalités obtenues précédemment de 1 à N :
N
X
n=1
N
X
1
≤
(n + 1)x
Z n+1
n=1 n
N
X 1
1
dt
≤
.
tx
nx
n=1
Par changement d’indice sur le terme de gauche et par relation de Chasles sur le terme
central, on obtient :
N
+1
X
n=2
D’une part,
Z N +1
1
N
X 1
1
dt ≤
x
t
nx
(?)
n=1
N
X
1
N
+1
X
n=1
n=2
Z N +1
1
1
≤
nx
−−−−−→ ζ(x). Ensuite,
nx N →+∞
N +1
X 1
1
=
− 1 −−−−−→ ζ(x) − 1. Enfin,
N →+∞
nx
nx
n=1
1−x N +1
t
(N + 1)1−x
1
1
1
1
dt
=
=
−
−−−−−→ −
=
x
t
1−x 1
1−x
1 − x N →+∞
1−x
x−1
car 1 − x < 0.
1
≤ ζ(x),
x−1
+ 1. Cette inégalité étant vérifiée pour tout x > 1, on
Par passage à la limite dans l’équation (?) on obtient alors ζ(x) − 1 ≤
1
1
≤ ζ(x) ≤
x−1
x−1
+
obtient lorsque x → 1 , (x − 1)ζ(x) −−−−→ 1 donc ζ(x) ∼
c’est-à-dire,
x→1+
x→1+
1
.
x−1
6. En utilisant l’ensemble des questions précédentes, donner une représentation graphique la
plus précise possible de la fonction ζ sur son domaine de définition.
3
y
x=1
1
y = 1 + x−1
y = ζ(x)
y=1
1
1
y = x−1
x
1
Partie II : Un prolongement de la fonction ζ
On pose η(x) =
+∞
X
(−1)n−1
nx
n=1
.
7. Démontrer que η est défini sur ]0, +∞[.
1
(−1)n−1
∗
est alternée et la suite
est décroissante et
Soit x ∈ R+ . La suite
x
n
nx n≥1
n≥1
tend vers 0 donc le théorème spécial des séries alternées assure la convergence de la série
X (−1)n−1
. Par conséquent, η est bien définie sur ]0, +∞[.
nx
n≥1
8. Montrer que pour tout x > 1, on a : ζ(x) − η(x) = 21−x ζ(x).
Soit x > 1. On a
ζ(x) − η(x) =
+∞
X
1
n=1
nx
−
+∞
X
(−1)n−1
n=1
nx
=
+∞
X
1 + (−1)n
nx
n=1
=
+∞
X
p=1
+∞
X 1
2
1−x
=
2
= 21−x ζ(x)
(2p)x
nx
n=1
car les termes impairs s’annulent.
b
9. Démontrer que la fonction ζb définie pour tout x ∈ R∗+ \ {1} par ζ(x)
=
η(x)
est un
1 − 21−x
prolongement de classe C ∞ de la fonction ζ.
Tout d’abord, ζb est un prolongement de ζ car ζb|]1,+∞[ = ζ. De plus, d’après la question 4., ζb
est de classe C ∞ sur ]1, +∞[.
La fonction ]0, 1[ → R
est de classe C ∞ sur ]0, 1[.
1
1
x 7→
=
1−x
1−2
1 − exp((1 − x) ln(2))
4
Il reste donc à prouver que la fonction η est également de classe C ∞ sur ]0, 1[.
est de classe C ∞ .
Soit n ≥ 1. La fonction gn : ]0, 1[ → R
(−1)n−1
x 7→
nx
(−1)n−1 (− ln(n))k
(k)
Pour k ≥ 1 et x ∈]0, 1[ fixés, on a gn (x) =
.
nx
ln(n)k
(−1)n−1 (− ln(n))k
est alternée et la suite
converge vers 0.
Or, la suite
nx
nx
n≥1
n≥1
Démontrons que cette dernière suite est décroissante à partir d’un certain rang.
Pour cela on considère la fonction ϕ : [1, +∞[ → R
. La fonction ϕ est dérivable sur
ln(t)k
t 7→
tx
0
k−1
−x−1
[1, +∞[ et pour tout t ∈ [1, +∞[, ϕ (t) = ln(t)
t k (k − x ln(t)). Ainsi, ϕ est décroissante
ln(n)
sur exp( xk ), +∞ . Par conséquent, la suite
est décroissante à partir du rang
nx
n≥1
N0 = bexp( xk )c + 1.
On peut donc appliquer leX
critère spécial des séries alternées qui assure la convergence simple
de la série de fonctions
gn(k) . Soit a ∈]0, 1[. On a pour tout N ≥ N0 et x ∈ [a, 1[,
n≥1
+∞
X
n=N
(−1)n−1 (− ln(n))k
nx
série de fonctions
X
≤
ln(N )k
ln(N )k
≤
−−−−−→ 0. Donc la suite des restes de la
N →+∞
Nx
Na
gn(k) converge uniformément vers 0 sur tout intervalle de la forme [a, 1[
n≥1
avec a > 0. On en déduit que η est de classe C ∞ sur ]0, 1[.
Ainsi, la fonction ζb est un prolongement de classe C ∞ de la fonction ζ.
Partie III : Calcul de valeurs particulières
Dans cette partie on se propose de calculer les valeurs de ζ(2) =
+∞
X
1
n=1
n2
et ζ(4) =
+∞
X
1
n=1
n4
à
l’aide d’une série de Fourier.
Soit f la fonction de R dans R, 2π-périodique et paire, telle que f (x) = x pour tout x ∈ [0, π].
10. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction f .
5
y
π
y = f (x)
0
x
π
f est une fonction paire donc pour tout n ≥ 1 on a bn (f ) = 0.
Z
Z
1 π
2 π
2π 2
De plus, le terme constant vaut a0 (f ) =
f (t) dt =
t dt =
= π.
π −π
π 0
2π
Z
Z
2 π
1 π
f (t) cos(nt) dt =
t cos(nt) dt.
Enfin, pour tout n ≥ 1 on a : an (f ) =
π −π
π 0
On effectue une intégration par parties :
Z π
Z π
sin(nt)
cos(nπ) − 1
t sin(nt) π
cos(nt) π
(−1)n − 1
−
=
t cos(nt) dt =
dt = 0 +
=
n
n
n2
n2
n2
0
0
0
0
car sin(nπ) = 0 et cos(nπ) = (−1)n . Donc, pour tout n ≥ 1, an (f ) =
2
((−1)n − 1).
πn2
+∞
11.
a) Justifier que pour tout x ∈ [−π, π] on a : |x| =
π
4 X cos((2n + 1)x)
−
.
2 π
(2n + 1)2
n=0
La fonction f est continue sur [0, π] puis sur [−π, π] par parité et enfin sur R par 2πpériodicité. f est de plus de classe C 1 sur tout intervalle de la forme ]kπ, (k+1)π[ pour tout
k ∈ Z. Et, pour tout p ∈ Z, lim f 0 (x) = −1, lim f 0 (x) = 1,
lim
f 0 (x) = 1
et
lim
x→(2p+1)π +
x→2pπ −
x→2pπ +
x→(2p+1)π −
0
1
f (x) = −1. Donc f est de classe C par morceaux sur R.
Par suite, d’après le théorème de Dirichlet, f est égale à la somme de sa série de Fourier.
Ainsi pour tout x ∈ R,
f (x) =
+∞
+∞
n=1
n=1
π
2 X (−1)n − 1
a0 (f ) X
+
an (f ) cos(nx) = +
cos(nx).
2
2 π
n2
Or, pour tout p ≥ 0 on a (−1)2p − 1 = 0 et (−1)2p+1 − 1 = −2 donc
+∞
X
(−1)n − 1
n=1
n2
cos(nx) = −2
+∞
X
p=0
6
1
cos((2p + 1)x).
(2p + 1)2
+∞
π 4 X cos((2n + 1)x)
Pour tout x ∈ [−π, π], f (x) = |x| donc on retrouve bien |x| = −
.
2 π
(2n + 1)2
n=0
π2
.
6
Évaluons la relation obtenue à la question précédente en x = 0. On obtient :
+∞
+∞
X
π
1
1
π2
4X
c’est-à-dire
=
=
.
2
π
(2p + 1)2
(2p + 1)2
8
b) En déduire que ζ(2) =
p=0
p=0
Or, par somme de séries convergentes,
+∞
X
1
n=1
n2
=
+∞
X
p=1
+∞
+∞
p=0
p=1
X
1
1
1X 1
π2
+
=
+
.
(2p)2
(2p + 1)2
4
p2
8
+∞
+∞
n=1
n=1
X 1
π2
π2
3X 1
=
ce
qui
donne
bien
=
.
Donc,
4
n2
8
n2
6
12. En utilisant la question 10. déterminer ζ(4).
La fonction f est continue donc l’égalité de Parseval s’écrit :
+∞
Z π
n=1
−π
|a0 (f )|2 1 X
1
+
|an (f )|2 =
4
2
2π
Cela donne :
+∞
π2 1 X 4
1
+
((−1)n − 1)2 =
4
2
π 2 n4
π
f (t)2 dt.
Z π
n=1
t2 dt,
0
donc, de la même manière qu’en 11.a),
+∞
16
1 π3
π2 1 X
+
=
.
2
4
4
2
π (2p + 1)
π 3
p=0
On obtient ainsi :
+∞
X
p=0
π4
1
=
×
(2p + 1)4
8
Or, par somme de séries convergentes,
Donc,
15
16
+∞
X
n=1
π4
1
=
ce qui donne
n4
96
1 1
−
3 4
+∞
X
1
n=1
+∞
X
n=1
n4
=
=
+∞
X
p=1
16π 4
π4
.
96
+∞
+∞
p=0
p=1
X
1
1
1 X 1
π4
+
=
+
.
(2p)4
(2p + 1)4
16
p4 96
π4
1
=
=
.
n4
15 × 96
90
7
Partie IV : un lien avec les nombres premiers
N
Y
Soit (un )n≥1 une suite de réels strictement positifs. Lorsque la suite
!
converge vers
un
n=1
N ≥1
une limite finie non nulle, on dit que le produit infini de terme général (un )n≥1 converge et on note :
+∞
N
Y
Y
un = lim
un .
N →+∞
n=1
n=1
Dans le cas contraire, on dit que le produit infini de terme général (un )n≥1 diverge.
13.
a) Soit (un )n≥1 une suite de réels strictement positifs. Démontrer
X que le produit infini de
ln(un ) est convergente.
terme général (un )n≥1 converge si et seulement si la série
n≥1
Dans un premier temps, supposons que la série
X
ln(un ) est convergente. Soit N ≥ 1.
n≥1
On a :
N
Y
un = exp ln
n=1
La suite
N
Y
n=1
N
Y
!!
un
= exp
n=1
!
ln(un ) .
n=1
!
un
N
X
converge donc vers exp
+∞
X
!
ln(un )
> 0 par continuité de la
n=1
N ≥1
fonction exponentielle donc le produit infini de terme général (un )n≥1 converge.
Réciproquement, supposons que le produit infini de terme général (un )n≥1 converge.
Alors,
!
!
N
N
+∞
X
Y
Y
ln(un ) = ln
un −−−−−→ ln
un
n=1
car
n=1
N →+∞
n=1
+∞
Y
un > 0 par définition de la convergence du produit infini et par continuité de la
X
fonction logarithme. Ainsi, la série
ln(un ) est convergente.
n=1
n≥1
b) Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
Supposons par l’absurde que l’ensemble des nombres premiers soit fini, on le note donc :
{p1 , p2 , . . . , pn0 } où n0 ∈ N∗ désigne le nombre de nombres premiers. On pose :
P = 1+p1 ×p2 ×· · ·×pn0 . Alors P est un entier naturel non nul donc il admet une décomposition en facteurs premiers ce qui implique l’existence d’un indice i0 ∈ J1, n0 K tel que pi0
divise P . Or pi0 divise aussi p1 ×p2 ×· · ·×pn0 donc pi0 divise P − p1 × p2 × · · · × pn0 = 1
ce qui n’est pas possible.
En conclusion, l’ensemble des nombres premiers est bien infini.
c) On note (pn )n≥1 la suite des nombres premiers rangés dans l’ordre croissant et on fixe
x > 1.
X 1
i) Démontrer que la série
converge.
(pn )x
n≥1
8
La suite (pn )n≥1 est une suite d’entiers strictement croissante, elle vérifie donc pour
1
1
tout n ≥ 1, pn ≥ n. On a donc pour tout n ≥ 1, x ≤ x . Or, la série de terme
pn
n
1
général
converge car x > 1 donc par théorème de comparaison des séries
nx n≥1
X 1
à termes positifs, la série
converge.
pxn
n≥1
1
ii) Après avoir justifié que pour tout n ≥ 1,
−x > 0, établir la convergence du
1 − pn
1
produit infini de terme général
.
1 − p−x
n
n≥1
1
> 0.
Soit n ≥ 1. On a pn > 1 donc 1 − p−x
n > 0 donc
1 − p−x
n
X
1
ln
À présent, étudions la nature de la série
. On a,
1 − p−x
n
n≥1
1
= − ln(1 − p−x
∼ p−x
ln
n ) n→+∞
n .
1 − p−x
n
1
Or, la série de terme général
converge donc par théorème de comparaison des
pxn n≥1
X 1
séries à termes positifs, on en déduit que la série
ln
converge et donc que
1 − p−x
n
n≥1
1
converge.
le produit infini de terme général
1 − p−x
n
n≥1
14. Soit x > 1.
a) Fixons deux entiers naturels non nuls m et M . Justifier que
m
Y

M
X

k=1
On a :


k=1
M
X

1
ik x
ik =0 (pk )
=
M X
M
X
...
i1 =0 i2 =0
=
X
M
X
1
im x
pi1 x pi22 x . . . pm
im =0 1
1
(pi11 pi22 . . . pimm )x
0≤i1 ,i2 ,...,im ≤M
X
=
n∈Am,M
9
1
.
nx
1
ik x
ik =0 (pk )
n
o
où Am,M = pi11 pi22 . . . pimm | (i1 , . . . , im ) ∈ J0, M Km .
m
Y

=
X
n∈Am,M
1
nx
+∞
Y
1
.
1 − p−x
n
n=1
Soit N ≥ 1. On se donne m0 et M0 tels que J1, N K ⊂ Am0 ,M0 . Par exemple, en prenant m0
l’indice du plus grand nombre premier apparaissant dans les décompositions en facteurs
premiers de tous les nombres de J1, N K et M0 la plus grande puissance apparaissant dans
les décompositions en facteurs premiers de tous les nombres de J1, N K.
Remarquons qu’alors, on a J1, N K ⊂ Am,M pour tous m ≥ m0 et M ≥ M0 .
N
+∞
X
X 1
X
1
1
Soit donc m ≥ m0 et M ≥ M0 . On a :
≤
≤
, c’est-à-dire :
x
x
n
n
nx
n=1
n=1
n∈Am,M


m
N
M
Y
X
X
1
1 

≤
≤ ζ(x).
i
x
n
(pkk )x
b) En déduire que ζ(x) =
n=1
k=1
ik =0
Or, pour tout k ∈ J1, mK,
M
X
1
ik x
ik =0 (pk )
M
X
=
ik =0
1
1
−−−−−→
.
(pxk )ik M →+∞ 1 − p−x
k
Ce qui donne alors en passant à la limite M → +∞,
en passant à la limite m → +∞, on obtient :
N
X
1
n=1
nx
N
X
1
n
≤
x
n=1
+∞
Y
≤
m
Y
1
≤ ζ(x), puis,
1 − p−x
k
k=1
1
≤ ζ(x).
1 − p−x
k
k=1
Il ne reste plus qu’à faire tendre N vers +∞ pour avoir ζ(x) =
15. Déterminer la nature de la série
+∞
Y
1
.
1 − p−x
k
k=1
X 1
n≥1
Supposons par l’absurde que la série
.
pn
X 1
n≥1
pn
soit convergente. Dans ce cas, de manière similaire
à 13.c)ii) on obtiendrait la convergence de la série
X
ln
1
1 − p−1
n
(puisque ln
1
1 − p−1
n
∼
n→+∞
n≥1
1
.
et donc du produit de terme général
1 − p−1
n
n≥1
1
1
Or, pour tout x > 1 et tout n ≥ 1, 0 ≤
ce qui implique que pour tout
−x ≤
1 − pn
1 − p−1
n
N
N
Y
Y
1
1
N ≥ 1,
. En faisant tendre N vers +∞ on obtient d’après la
−x ≤
1 − pn
1 − p−1
n
n=1
n=1
+∞
Y
1
ce qui implique que ζ est bornée sur ]1, +∞[.
question précédente ζ(x) ≤
1 − p−1
n
n=1
Or, on a observé que cela est faux en Partie I car ζ(x) −−−−→ +∞.
x→1+
X 1
En conclusion, la série
diverge.
pn
n≥1
10
p−1
n )
2
Problème d’algèbre
Notations
Dans ce problème n est un entier naturel fixé supérieur ou égal à 2. Nous utiliserons également
les notations suivantes :
• Pour tout nombre complexe z, le réel positif |z| désigne le module de z.
• Mn (R) (resp. Mn (C)) désigne l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels
(resp. complexes).
• Rn (resp. Cn ) désigne l’ensemble des vecteurs à n coordonnées réelles (resp. complexes)
• Pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn , on note : kxk1 =
n
X
|xk |.
k=1
• Pour A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (C), la matrice |A| est la matrice donnée par (|aij |)1≤i,j≤n .
De même, pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn , le vecteur |x| est le vecteur donné par (|xi |)1≤i≤n .
• Pour A ∈ Mn (C), on note SpC (A) l’ensemble des valeurs propres complexes de A (qui est
non vide) et on définit ρ(A) = max{|λ| ; λ ∈ SpC (A)}.
• Pour A ∈ Mn (R), on note SpC (A) l’ensemble des valeurs propres complexes de A considérée comme un élément de Mn (C) (qui est non vide) et on définit de la même manière
ρ(A) = max{|λ| ; λ ∈ SpC (A)}.
• Soit A ∈ Mn (C) et λ0 ∈ SpC (A). On dira que λ0 est une valeur propre dominante de A si
pour tout λ ∈ SpC (A), on a λ 6= λ0 =⇒ |λ| < |λ0 |.
Partie I : Généralités sur les matrices positives
• Une matrice A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) est dite positive (resp. strictement positive) si on a
pour tous (i, j) ∈ J1, nK2 , aij ≥ 0 (resp. aij > 0). On notera alors A ≥ 0 (resp. A > 0).
• Si A et B sont deux matrices de Mn (R) telles que A − B est positive (resp. strictement
positive), on notera A ≥ B (resp. A > B).
• De même, un vecteur x ∈ Rn est dit positif (resp. strictement positif) lorsque pour tout
i ∈ J1, nK, xi ≥ 0 (resp. xi > 0). On notera alors x ≥ 0 (resp. x > 0).
• Si x et y sont deux vecteurs de Rn tels que x − y est positif (resp. strictement positif), on
notera x ≥ y (resp. x > y).
1. Exhiber une matrice
non nulle, qui ne soit pas strictement positive.
positive,
1 0
La matrice A =
convient.
0 0
11
2. Soit A ∈ Mn (R) une matrice positive et B ∈ Mn (R) une matrice strictement positive.
Démontrer que si AB = 0, alors A = 0.
On note A = (ai,j )1≤i,j≤n et B = (bi,j )1≤i,j≤n . Soit (i, j) ∈ J1, nK2 . On a AB = 0 donc
n
X
ai,k bk,j = 0. Comme A ≥ 0 et B > 0 cela implique pour tout k ∈ J1, nK, ai,k bk,j = 0 puis
k=1
ai,k = 0. Ceci est vérifié pour tout i ∈ J1, nK donc A = 0.
3. Soit A ∈ Mn (R). On suppose qu’il existe un vecteur x ∈ Rn strictement positif et tel que
Ax = |A|x. Démontrer que A est une matrice positive.
n
X
On note A = (ai,j )1≤i,j≤n et x = (x1 , . . . , xn ). On a pour tout i ∈ J1, nK,
(|ai,k |−ai,k )xk = 0.
k=1
Comme x est strictement positif, on obtient |ai,k | = ai,k pour tout (i, k) ∈ J1, nK2 et donc A
est bien une matrice positive.
4. Soit A une matrice de Mn (C) et x ∈ Cn . Démontrer que |Ax| ≤ |A||x|.
On note A = (ai,j )1≤i,j≤n et x = (xi )1≤i≤n . Soit i ∈ J1, nK. La i-ème coordonnée de |Ax| est
n
n
X
X
ai,k xk qui est inférieure ou égal à
|ai,k | |xk | par inégalité triangulaire, qui est la i-ème
k=1
k=1
coordonnée de |A||x|. Par conséquent, on a |Ax| ≤ |A||x|.
5. Soit A ∈ Mn (R). Démontrer que A est positive si et seulement si pour tout vecteur x ∈ Rn
positif, le vecteur Ax est positif.
On note A = (ai,j )1≤i,j≤n . Si A est positif et x = (x1 , . . . , xn ) est positif, alors pour tout
n
X
ai,k xk ≥ 0, donc les coordonnées de Ax sont toutes positives ce qui prouve que
i ∈ J1, nK,
k=1
Ax est positif.
Réciproquement, supposons que pour tout vecteur x ∈ Rn positif, le vecteur Ax est positif.
On fixe i ∈ J1, nK et on pose x(i) le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la
i-ème qui vaut 1. Le vecteur x(i) est positif et Ax(i) est la i-ème colonne de A. Donc tous les
vecteurs colonnes de A sont positifs et ainsi A est positive.
6. Soit A ∈ Mn (R). Démontrer que A est strictement positive si et seulement si pour tout
vecteur x ∈ Rn positif et non nul, le vecteur Ax est strictement positif.
On note A = (ai,j )1≤i,j≤n . Si A est strictement positive et x = (x1 , . . . , xn ) est positif non nul,
n
X
alors il existe k0 ∈ J1, nK tel que xk0 > 0 et donc pour tout i ∈ J1, nK,
ai,k xk ≥ ai,k0 xk0 > 0,
k=1
donc les coordonnées de Ax sont toutes strictements positives ce qui prouve que Ax est
strictement positif.
Réciproquement, supposons que pour tout vecteur x ∈ Rn positif et non nul, le vecteur Ax
est strictement positif. On fixe i ∈ J1, nK et on pose x(i) le vecteur dont toutes les coordonnées
sont nulles sauf la i-ème qui vaut 1. Le vecteur x(i) est positif et non nul et Ax(i) est la i-ème
colonne de A. Donc tous les vecteurs colonnes de A sont strictement positifs et ainsi A est
strictement positive.
12
Partie II : Théorème de Perron pour les matrices strictement positives
Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) une matrice strictement positive.
L’objectif de cette partie est de démontrer les résultats suivant :
G ρ(A) > 0,
G ρ(A) est une valeur propre de A,
G ρ(A) est une valeur propre dominante de A considérée comme une matrice de Mn (C),
G l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite vectorielle dirigée par un vecteur
strictement positif.
7. Démontrer que k.k1 définit bien une norme sur Cn .
Soit x = (x1 , . . . , xn
) ∈ Cn . Supposons que kxk
n
X
1 = 0, alors
|xi | = 0 donc tous les xi sont
i=1
nuls donc x = (0, . . . , 0).
Ensuite, soit x = (x1 , . . . , xn
) ∈ Cn et λ ∈ C. Alors kλxk
1 =
n
X
|λxi | = |λ|
i=1
n
X
|xi | = |λ|kxk1 .
i=1
Enfin, soit x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn et y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Cn .
n
n
X
X
Alors : kx + yk1 =
|xi + yi | ≤
(|xi | + |yi |) = kxk1 + kyk1 .
i=1
i=1
Ainsi, k.k1 est une norme sur Cn .
8. On considère l’ensemble X = {x ∈ Rn ; x ≥ 0 et kxk1 = 1}.
Soit x ∈ X. On pose K(x) = {t ∈ R+ ; tx ≤ Ax}.
a) Démontrer que K(x) ⊂ [0, α] où α = n max ai,j .
1≤i,j≤n
Soit t ∈ K(x). Montrons que t ≤ α. On note i0 l’indice de la plus grande coordonnée de
x. Alors xi0 > 0 puisque x est un vecteur positif non nul car kxk1 = 1.
Comme tx ≤ Ax, on a en particulier
txi0 ≤
n
X
k=1
ai0 ,k xk ≤ xi0
n
X
k=1
ai0 ,k ≤ xi0 n max ai,j = xi0 α,
1≤i,j≤n
donc t ≤ α. Ainsi on a bien K(x) ⊂ [0, α].
b) Démontrer que K(x) est un fermé de R.
Soit (tp )p∈N une suite d’éléments de K(x) convergeant vers un élément t ∈ R. Alors, on
n
n
X
X
a pour tout p ≥ 0 et pour tout i ∈ J1, nK, tp xi ≤
ai,k xk donc txi ≤
ai,k xk par
k=1
k=1
passage à la limite. Par conséquent, t ∈ K(x) et donc K(x) est un fermé de R.
c) Montrer que K(x) est un compact de R et que K(x) contient au moins un élément
strictement positif.
13
K(x) est un fermé borné de R donc un compact de R. Il reste à prouver que K(x)
contient au moins un élément strictement positif. Soit t0 = min ai,i > 0. Alors, pour
1≤i≤n
tout i ∈ J1, nK,
(Ax)i =
n
X
ai,k xk ≥ ai,i xi ≥ t0 xi ,
k=1
ce qui signifie que t0 x ≤ Ax et donc que t0 ∈ K(x) avec t0 > 0.
d) Justifier que l’ensemble K(x) admet un maximum que l’on notera θ(x).
Soit x ∈ X. K(x) est un compact de R, il admet donc un maximum.
e) Justifier que l’ensemble {θ(x) ; x ∈ X} admet une borne supérieure r0 vérifiant r0 ∈]0, +∞[.
Pour tout x ∈ X, on a θ(x) ≤ n max ai,j . Donc, {θ(x) ; x ∈ X} est une partie non-vide
1≤i,j≤n
et majorée de R+ , elle admet donc une borne supérieure r0 dans R. Étant donné que
pour tout x ∈ X, K(x) contient au moins un élément strictement positif, on a bien
r0 ∈]0, +∞[.
9. Dans cette question, on suppose qu’il existe un élément x0 ∈ X tel que θ(x0 ) = r0 et
Ax0 6= r0 x0 .
a) Démontrer que le vecteur A(Ax0 − r0 x0 ) est strictement positif.
Comme θ(x0 ) = r0 , le vecteur Ax0 − r0 x0 est positif et il est non nul par hypothèse donc
d’après la question 6., A(Ax0 − r0 x0 ) est strictement positif.
b) En déduire qu’il existe un réel > 0, que l’on fixera, tel que A(Ax0 − r0 x0 − x0 ) ≥ 0.
Notons u = A(Ax0 − r0 x0 ) > 0 et v = Ax0 > 0 (d’après la question 6.).
uj
Alors, en posant = min
, on a pour tout i ∈ J1, nK,
1≤j≤n vj
uj
vi ui
≥ ui −
= 0.
1≤j≤n vj
vi
(u − v)i = ui − vi min
Donc u − v = A(Ax0 − r0 x0 − x0 ) ≥ 0.
1
Ax0 . Démontrer que y ∈ X et que θ(y) ≥ r0 + .
kAx0 k1
Le vecteur y est strictement positif donc positif car x0 est positif et A est strictement
1
positive. De plus, par homogénéité de la norme, on a bien kyk1 =
kAx0 k1 = 1.
kAx0 k1
Donc on a bien y ∈ X.
Ensuite,
1
1
(r0 + )y =
(r0 + )Ax0 ≤
A(Ax0 ) = Ay.
kAx0 k1
kAx0 k1
c) On pose y =
Comme y ∈ X, on a par définition de θ(y) que θ(y) ≥ r0 + .
d) Conclure que si un élément x0 ∈ X vérifie θ(x0 ) = r0 , alors on a Ax0 = r0 x0 .
Le résultat précédent contredit la définition de r0 donc l’hypothèse de l’énoncé est fausse.
On a donc démontré par l’absurde que si un élément x0 ∈ X vérifie θ(x0 ) = r0 , alors on
a forcément Ax0 = r0 x0 .
14
10.
a) Démontrer que X = {x ∈ Rn ; x ≥ 0 et kxk1 = 1} est un sous-ensemble compact de Rn .
X est un ensemble fermé de Rn car toute limite de suite convergente de X N est également
dans X par passage à la limite dans les n inégalités larges portant sur les coordonnées
et par continuité de la norme k.k1 . De plus X est borné car borné pour la norme k.k1 en
dimension finie.
Donc X est un compact de Rn .
b) Démontrer l’existence d’un vecteur x0 ∈ X tel que θ(x0 ) = r0 .
On pourra commencer par introduire une suite (x(k) )k∈N ∈ X N telle que θ(x(k) ) −−−−→ r0 .
k→+∞
Par définition de la borne supérieure, on fixe une suite (x(k) )k∈N ∈ X N telle que θ(x(k) ) −−−−→ r0 .
k→+∞
L’ensemble X étant compact, on a l’existence d’une extractrice ϕ telle que la suite
(x(ϕ(k)) )k∈N converge vers un élément x0 ∈ X.
Pour tout k ∈ N, on a θ(x(ϕ(k)) )x(ϕ(k)) ≤ Ax(ϕ(k)) , donc en passant à la limite on
obtient : r0 x0 ≤ Ax0 ce qui implique r0 ≤ θ(x0 ). Par définition de r0 , on obtient donc
que r0 = θ(x0 ).
11. Déduire des questions 9. et 10. que r0 = ρ(A), que ρ(A) > 0 et que ρ(A) est une valeur propre
de A.
On a démontré qu’il existe un vecteur x0 ∈ Rn non nul tel que θ(x0 ) = r0 ce qui implique
Ax0 = r0 x0 . Ainsi, r0 est une valeur propre de la matrice A.
Soit λ ∈ SpC (A). Montrons que |λ| ≤ r0 . Soit v un vecteur propre pour la valeur propre λ.
On a : |λ||v| = |λv| = |Av| ≤ |A||v| = A|v| donc |λ| ≤ θ(|v|) ≤ r0 .
Ainsi, on a bien r0 = ρ(A) et en particulier ρ(A) est une valeur propre de A et ρ(A) > 0.
12. Il reste à prouver que ρ(A) est une valeur propre dominante de A considérée comme une
matrice de Mn (C) et que l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite
vectorielle dirigée par un vecteur strictement positif. Pour cela on considère une valeur propre
λ ∈ SpC (A) de A vérifiant |λ| = ρ(A) et on fixe un vecteur propre v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Cn
associé à la valeur propre λ tel que kvk1 = 1.
a) Démontrer que |v| est un vecteur propre de A pour la valeur propre ρ(A) et en déduire
que |v| > 0.
On a ρ(A)|v| = |λ||v| = |λv| = |Av| ≤ |A||v| = A|v| donc ρ(A) ≤ θ(|v|). Or, ρ(A) = r0
donc ρ(A) = θ(|v|) donc, par la question 9. |v| est un vecteur propre pour la valeur
1
propre ρ(A). De plus, on a ρ(A) > 0 donc |v| =
A|v| > 0 d’après la question 6.
ρ(A)
b) En justifiant la relation |Av| = A|v|, déduire que pour tout i ∈ J1, nK,
n
X
k=1
On a ρ(A)|v| = A|v| donc |Av| = A|v|.
n
n
X
X
Or, pour tout i ∈ J1, nK, (|Av|)i =
ai,k vk et (A|v|)i =
ai,k |vk |.
k=1
k=1
On obtient ainsi que pour tout i ∈ J1, nK,
15
n
X
k=1
ai,k vk =
n
X
k=1
ai,k |vk |.
ai,k vk =
n
X
k=1
ai,k |vk |.
c) Démontrer que v est colinéaire à |v|, c’est à dire qu’il existe ξ ∈ C tel que v = ξ|v|.
On pourra commencer par introduire les angles (θ1 , . . . , θn ) ∈] − π, π]n tels que pour tout
k ∈ J1, nK, vk = |vk |eiθk .
Comme suggéré dans l’énoncé, on écrit pour tout k ∈ J1, nK, vk = |vk |eiθk . On a alors :
n
X
2
ai,k vk
=
k=1
n
X
k=1
=
n
X
Et,
a2i,k |vk |2 + 2
X
ai,k ai,j |vk ||vj | cos(θk − θj ).
1≤j<k≤n
!2
ai,k |vk |
ai,k ai,j |vk ||vj |eiθk e−iθj + ai,k ai,j |vk ||vj |e−iθk eiθj
1≤j<k≤n
k=1
n
X
X
a2i,k |vk |2 +
=
k=1
dente, on a donc : 2
n
X
X
a2i,k |vk |2 + 2
k=1
X
ai,k ai,j |vk ||vj |. D’après la question précé-
1≤j<k≤n
ai,k ai,j |vk ||vj |(1 − cos(θk − θj )) = 0.
1≤j<k≤n
Ainsi, pour tout (j, k) ∈ J1, nK2 , cos(θk − θj ) = 1 c’est-à-dire θk = θj . Par conséquent, on
a pour tout k ∈ J1, nK, vk = eiθ1 |vk |, ou encore v = eiθ1 |v|, et donc v est colinéaire à |v|.
−x0,j
d) Soit x0 = (x0,1 , . . . , x0,n ) ∈ X un vecteur tel que θ(x0 ) = ρ(A). On pose t = max
1≤j≤n
|vj |
et y = x0 + t|v|.
i) Calculer Ay et en déduire que y = 0.
Le vecteur y est positif mais pas strictement positif car la coordonnée où le maximum
est atteint est nulle. Donc, par la question 6. si y 6= 0, on a Ay > 0. Or,
Ay = Ax0 + tA|v| = ρ(A)(x0 + t|v|) = ρ(A)y
est positif mais non strictement positif. Par suite, on a bien y = 0.
ii) Montrer que v est colinéaire à x0 .
Ainsi, |v| est colinéaire à x0 . Or v et |v| sont colinéaires donc v est colinéaire à x0 .
e) Conclure que λ = ρ(A) et en déduire que ρ(A) est une valeur propre dominante de A
considérée comme une matrice de Mn (C).
On a démontré que tout vecteur propre pour la valeur propre λ était colinéaire à x0 qui
est un vecteur propre pour la valeur propre r0 = ρ(A) donc λ = ρ(A).
Par suite, tout élément µ ∈ SpC (A) distinct de ρ(A) vérifie |µ| =
6 ρ(A). Or, on a toujours
|µ| ≤ ρ(A), donc cela implique |µ| < ρ(A).
Ainsi, ρ(A) est une valeur propre dominante de A.
f) Conclure que l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite vectorielle
dirigée par un vecteur strictement positif.
Soit x0 ∈ X un vecteur tel que θ(x0 ) = ρ(A). Alors, on a montré que tout vecteur
propre pour la valeur propre ρ(A) est colinéaire à x0 . On en déduit que l’espace propre
associé à la valeur propre ρ(A) est une droite dirigée par le vecteur x0 qui est un vecteur
1
Ax0 .
strictement positif puisque x0 =
ρ(A)
16
Partie III : Généralisation aux matrices primitives
• Soit A ∈ Mn (R) une matrice positive. On dit que A est une matrice primitive s’il existe un
entier k ∈ N tel que Ak est une matrice strictement positive.
13. Donner un exemple d’une matrice primitive qui ne soit pas strictement positive.
2 1 1
1 1
2 1
La matrice
n’est pas strictement positive mais elle est primitive car
=
.
1 0
1 0
1 1
L’objectif de cette partie est de généraliser les résultats obtenus en Partie II aux matrices
primitives. On fixe donc une matrice primitive A ∈ Mn (R). On fixe un entier k tel que Ak soit une
matrice strictement positive et on pose B = Ak .
14. Démontrer que SpC (B) = {λk ; λ ∈ SpC (A)} et en déduire que ρ(A) > 0.
Les matrices A et B sont trigonalisables dans Mn (C) et leurs valeurs propres se lisent sur la
diagonale des matrices triangulaires associées. Par multiplication de matrices triangulaires, on
en déduit que SpC (B) = {λk ; λ ∈ SpC (A)}. D’après la partie II, ρ(B) > 0. Or, ρ(B) = ρ(A)k
donc ρ(A) > 0.
15.
a) On fixe λ ∈ SpC (A) tel que λk = ρ(B). Montrer que λ = ρ(A), ce qui prouve en
particulier que ρ(A) est une valeur propre de A.
Soit y un vecteur propre pour A associé à la valeur propre λ. Alors y est un vecteur propre
pour B associé à la valeur propre ρ(B). D’après la Partie II, on a donc un complexe ξ
tel que y = ξx où x est un vecteur strictement positif. Par suite x est un vecteur propre
pour A associé à la valeur propre λ donc Ax = λx. Or A est positive et x est strictement
positif donc, comme λ 6= 0, on a λ > 0 d’après la question 5. ce qui implique λ = ρ(A).
b) Démontrer que ρ(A) est une valeur propre dominante de A considérée comme un élément
de Mn (C).
Soit λ ∈ Sp(A). Si |λ| = ρ(A) alors |λk | = ρ(B). Par la Partie II, cela implique λk = ρ(B)
et donc λ = ρ(A). Ainsi, ρ(A) est une valeur propre dominante de A.
16. Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite vectorielle dirigée
par un vecteur strictement positif.
Soit x un vecteur de Cn qui est un vecteur propre pour A associé à la valeur propre ρ(A).
Alors, x est un vecteur propre pour B associé à la valeur propre ρ(A)k = ρ(B). Or, par la
Partie II, l’espace propre pour la matrice B associé à la valeur propre ρ(B) est une droite
vectorielle dirigée par un vecteur strictement positif. Ainsi, l’espace propre associé à la valeur
propre ρ(A) est une droite vectorielle dirigée par un vecteur strictement positif.
17. Conclure que les résultats obtenus en Partie II se généralisent aux matrices primitives.
On a montré : ρ(A) > 0 (question 14), ρ(A) ∈ SpC (A) et ρ(A) est une valeur propre dominante
de A (question 15) et l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite vectorielle
dirigée par un vecteur strictement positif (question 16).
Ainsi, on a bien généralisé le résultat de la Partie II aux matrices primitives.
17
Partie IV : Application à la convergence de la suite des itérées des matrices
stochastiques primitives
• Une matrice A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) est dite stochastique si elle est positive et si pour
n
X
tout i ∈ J1, nK,
ai,j = 1.
j=1
(p)
• Si A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R), alors pour tout entier naturel non nul p, on notera (ai,j )1≤i,j≤n
les coefficients de la matrice Ap .
• Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R). On dira que la suite de matrices (Ap )p≥0 converge vers une
(p)
matrice B = (bi,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) si pour tout (i, j) ∈ J1, nK2 , ai,j −−−−→ bi,j .
p→+∞
18. Démontrer qu’un produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique.
Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n et B = (bi,j )1≤i,j≤n deux matrices stochastiques.
n
X
2
Tout d’abord on a pour tout (i, j) ∈ J1, nK ,
ai,k bk,j ≥ 0 car A et B sont positives.
Ensuite, pour tout i ∈ J1, nK,
n
n
X
X
j=1
k=1
!
ai,k bk,j
k=1
=
n
X
ai,k
k=1
n
X
bk,j =
j=1
n
X
ai,k = 1.
k=1
Donc AB est bien une matrice stochastique.
19. Démontrer qu’une matrice stochastique et primitive admet 1 comme valeur propre dominante
et que l’espace propre associé est une droite vectorielle dirigée par un vecteur strictement positif. Déterminer alors l’unique vecteur propre x associé à la valeur propre 1 qui soit strictement
positif et tel que kxk1 = 1.
Soit A une matrice stochastique et primitive. D’après la Partie III, ρ(A) est une valeur propre
dominante pour A et l’espace propre associé est une droite vectorielle dirigée par un vecteur
strictement positif. Démontrons donc que ρ(A) = 1.
Soit λ ∈ SpC (A) et x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
Notons i0 l’indice de J1, nK tel que |xi0 | = max |xk | > 0. On a |Ax| = |λx| = |λ||x| donc
1≤i≤n
|λ||xi0 | =
n
X
k=1
ai0 ,k xk ≤
n
X
ai0 ,k |xk | ≤ |xi0 |
k=1
n
X
ai0 ,k = |xi0 |,
k=1
donc |λ| ≤ 1 ce qui prouve que ρ(A) ≤ 1. Or, pour x = (1, . . . , 1), on a Ax = x car A est
stochastique donc ρ(A) = 1 et l’unique vecteur propre associé à la valeur propre A qui soit
1
strictement positif et tel que kxk1 = 1 est (1, . . . , 1) .
n
20. Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R). Démontrer que pour tout p ≥ 1 on a :
!p−1
n
X
(p)
max ai,j ≤ max |ai,j | × max
|ak,j |
.
1≤i,j≤n
1≤i,j≤n
18
1≤j≤n
k=1
On démontre l’inégalité par récurrence sur p ≥ 1.
Pour p = 1, on a bien max |ai,j | ≤ max |ai,j |.
1≤i,j≤n
1≤i,j≤n
Supposons que l’égalité soit vérifiée à un certain rang p ≥ 1. Alors, pour tout (i, j) ∈ J1, nK2 ,
(p+1)
|ai,j | =
n
n
n
X
X
X
(p)
(p)
(p)
ai,k ak,j ≤
|ai,k ||ak,j | ≤ max |ai,j |
|ak,j |,
k=1
1≤i,j≤n
k=1
k=1
donc, par hypothèse de récurrence,
(p+1)
|ai,j | ≤ max |ai,j | ×
1≤i,j≤n
max
1≤j≤n
n
X
!p−1
|ak,j |
×
k=1
n
X
|ak,j | ≤ max |ai,j | ×
1≤i,j≤n
k=1
max
1≤j≤n
n
X
!p
|ak,j |
,
k=1
ce qui achève l’hérédité en passant au maximum sur (i, j) à gauche de l’inégalité.
Ainsi, on a démontré que pour tout p ≥ 1 on a :
!p−1
n
X
(p)
.
|ak,j |
max ai,j ≤ max |ai,j | × max
1≤i,j≤n
1≤i,j≤n
1≤j≤n
k=1
21. Dans cette question on fixe A une matrice stochastique et primitive.
a) Justifier
matrice inversible P ∈ Mn (C) telle que P −1 AP soit de la
 l’existence d’une

1 0 ... 0
0



forme  .
 où T ∈ Mn−1 (C) est une matrice triangulaire supérieure dont
.
.

T
0
les coefficients diagonaux sont tous de module strictement inférieur à 1.
La matrice A est trigonalisable dans C et ses valeurs propres se trouvent sur la diagonale
de la matrice triangulaire alors obtenue. De plus, elle admet 1 comme valeur propre
dominante et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle stable par A.


1 0 ... 0
0



Donc il existe une matrice P inversible telle que P −1 AP soit de la forme  .

.
.

T
0
où T ∈ Mn−1 (C) est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux
sont tous de module strictement inférieur à 1.
b) Pour tout δ > 0, on définit la matrice D(δ) = diag(1, δ, δ 2 , . . . , δ n−2 ) diagonale de coefficients diagonaux successifs 1, δ, δ 2 , . . . , δ n−2 et on pose T̂ = D(δ)−1 T D(δ).
On note T̂ = (t̂i,j )1≤i,j≤n−1 .
n−1
X
Démontrer qu’il existe δ0 > 0 tel que pour tout δ ∈]0, δ0 [, on ait max
|t̂k,j | < 1.
1≤j≤n−1
On a : T D = ti,j δ
j−1
1≤i,j≤n−1
puis T̂ =
19
δ j−1
ti,j
δ i−1
1≤i,j≤n−1
k=1
= (ti,j δ j−i )1≤i,j≤n−1 .
On a donc pour tout j ∈ J1, n − 1K,
n−1
X
|t̂k,j | =
k=1
n−1
X
|tk,j |δ j−k = |tj,j | +
k=1
j−1
X
|tk,j |δ j−k ,
k=1
car T est triangulaire supérieure donc k > j =⇒ tk,j = 0.
j−1
j−1
X
X
j−k
On a
|tk,j |δ
=δ
|tk,j |δ j−k−1 −−−→ 0. Or tous les coefficients diagonaux de T
k=1
δ→0
k=1
sont de module strictement plus petit que 1 donc, il existe donc δ0 > 0 tel que pour tout
j−1
1 − max |tj,j |
X
1≤j≤n−1
k−j
.
δ ∈]0, δ0 [, on ait : max
|tk,j |δ
≤
1≤j≤n−1
2
k=1
Par conséquent, pour δ ∈]0, δ0 [, on a :
max
n−1
X
1≤j≤n−1
1 + max |tj,j |
|t̂k,j | ≤
1≤j≤n−1
k=1
2
< 1.
c) Démontrer que la suite (T p )p≥1 converge vers la matrice nulle.
Tout d’abord, on a, d’après les questions 20 et 21.b) :
!p−1
n−1
X
(p)
t̂i,j ≤ max |t̂i,j | ×
max
|t̂k,j |
−−−−→ 0
max
1≤i,j≤n−1
1≤i,j≤n−1
pour δ ∈]0, δ0 [ car
max
1≤j≤n−1
n−1
X
1≤j≤n−1
k=1
p→+∞
|t̂k,j | < 1.
k=1
Donc (T̂ p )p≥1 converge vers la matrice nulle donc (T p )p≥1 = (D(δ)T̂ p D(δ)−1 )p≥1 aussi
par continuité de la multiplication matricielle.
d) En déduire la convergence de la suite (Ap )p≥0 vers une matrice stochastique ayant toutes
ses lignes égales.
Soit p ≥ 1. On a, par multiplication de matrices diagonales par bloc,


1 0 ... 0
0



(P −1 AP )p =  .
.
.
p
.

T
0

1 0 ...
0

Or, (P −1 AP )p = P −1 Ap P donc Ap = P  .
 ..
Tp
0

0

 −1
P .



1 0 ... 0
0


 −1
Ainsi la suite (Ap )p≥1 converge vers la matrice A∞ = P  .
 P . On note
.
.
(0) 
0
−1
P = (pi,j )1≤i,j≤n et P = (qi,j )1≤i,j≤n . Par trigonalisation, la première colonne de P est
20
constituée d’un vecteur propre pour A associé à la valeur propre 1. D’après la question
19, on peut choisir comme première colonne deP le vecteur 
(1, 1, . . . , 1). Alors, par
1 0 ... 0
0


 −1
produit matriciel, le coefficient (i, j) ∈ J1, nK2 de  .
 P vaut q1,j si i = 1
.
.
(0) 
0
et 0 sinon.
Donc, par produit matriciel, le coefficient (i, j) ∈ J1, nK2 de A∞ est donné par q1,j . Ainsi


q1,1 q1,2 . . . q1,n
q1,1 q1,2 . . . q1,n 

la matrice A∞ est de la forme : A∞ = 
 . . . . . . . . . . . .  donc toutes ses lignes
q1,1 q1,2 . . . q1,n
sont égales.
Enfin, A∞ est une matrice stochastique par la question 18. car pour tout j ∈ J1, nK,
n
X
(p)
(p)
q1,j = lim a1,j ≥ 0, et, par passage à la limite dans les relations
ai,j = 1 pour tout
p→+∞
i ∈ J1, nK ce qui donne
j=1
n
X
q1,j = 1.
j=1
21
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
Corrigé de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble des nombres
réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien
Exercice n° 1
Soit p la projection vectorielle de 𝑅3 sur le plan P d’équation : x+y+z=0 parallèlement à la droite
𝑦
𝑧
D d’équation : 𝑥 = 2 = 3.
1. Montrer que 𝑅3 est la somme directe de P et D.
La droite D est engendrée par le vecteur 𝑒3 = (1,2,3) et ce vecteur n’est pas dans le plan P,
donc l’intersection entre D et P est réduite au vecteur nul. De plus, dim D + dim P=3. On a bien
une somme directe.
2. Soit 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 , déterminer p(u) et donner la matrice de p dans la base canonique de
𝑅3 .
1
Pour 𝛼 ∈ 𝑅 , on a : 𝑢 − 𝛼 𝑒3 ∈ 𝑃 ↔ (𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 2𝛼, 𝑧 − 3𝛼) ∈ 𝑃 ↔ 𝛼 = 6 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧).
La projection de u sur le plan P et parallèlement à D est :
𝑝 (𝑢 ) = 𝑢 −
𝑥+𝑦+𝑧
6
1
𝑒3 = 6 (5𝑥 − 𝑦 − 𝑧, −2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧, −3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧)
5 −1 −1
1
La matrice de p dans la base canonique est donc : 𝑀(𝑝) = 6 (−2 4 −2)
−3 −3 3
3
3. Déterminer une base de 𝑅 dans laquelle la matrice de p est diagonale.
La matrice de p est diagonale dans une base de vecteurs propres, formée avec le vecteur 𝑒3 pour
la valeur propre zéro et deux vecteurs (propres pour la valeur propre 1) de P, par exemple :
𝑒1 = (1, −1,0) ; 𝑒2 = (1,0, −1).
1
Exercice n° 2
1. La matrice adjacente associée au graphe (cf. énoncé) s’écrit :
0 0 1 0
𝐴 = (0 0 1 0) et son noyau est : 𝐾𝑒𝑟 𝐴 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑅4 /𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 + 𝑡 = 0} de
1 1 0 1
0 0 1 0
dimension 2.
2. Les valeurs propres de A sont : zéro (double) et ±√3 (il suffit de développer le déterminant
de 𝐴 − 𝛾 𝐼 par rapport à la première colonne).
1 1 0 1
3. Pour le calcul des puissances de la matrice A, on a : 𝐴 = (1 1 0 1), puis : 𝐴3 = 3𝐴.
0 0 3 0
1 1 0 1
En conclusion : 𝐴2𝑛+1 = 3𝑛 𝐴 et 𝐴2𝑛 = 3𝑛−1 𝐴2 (la récurrence est immédiate).
2
4. Les matrices demandées sont les suivantes :
1
𝐷 = (0
0
0
0
1
0
0
1
0
0) et 𝐿 = ( 0
0
−1
1
0
0
0
3
0
0
1
−1
0
−1 0
−1 0).
3 −1
−1 1
Pour calculer le polynôme caractéristique de la matrice L, on peut (par exemple) ajouter toutes
les autres colonnes à la première colonne pour mette en facteur le paramètre, puis on développe
par rapport à la première ligne pour obtenir : det(𝐿 − 𝜆𝐼) = 𝜆(𝜆 − 1)2 (𝜆 − 4).
Les valeurs propres sont donc : 0, 1 (double) et 4.
Exercice n° 3
Soit la fonction numérique f définie par : f ( x) =
1
(e + 1)(e − x + 1)
x
1
1. Calculer I =  f ( x) dx
0
e
1
1
1
 1 
I =  f ( x) dx = 
dt = −
= −
(en posant t = e x )
2

 t + 1 1 2 1 + e
0
1 (1 + t )
1
e
+
2. Etudier la convergence de l’intégrale J =  f ( x) dx
0
En +  : f ( x) =
x
e
1
1
 x qui est convergente car, par exemple, Lim ( x 2 . x ) = 0
x 2
+

e
(1 + e )
e
3. Etudier les variations et tracer le graphe de la fonction f.
2
La fonction est paire (graphe symétrique par rapport à l’axe verticale et on restreint l’étude aux
e−x − e x
nombres réels positifs). Sa dérivée est égale à : f ' ( x) =
qui s’annule pour
(1 + e x ) 2 (1 + e − x ) 2
x=0 et est négative. La fonction est strictement décroissante de 0, +  sur 1 / 4, 0 .
Exercice n° 4
1
Soit la fonction numérique g définie par : 𝑔(𝑥) = (𝑥+1)2
(3−𝑥)
1. Déterminer la primitive G de g sur l’intervalle ]−1,3[ telle que : G(1)=0.
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples pour obtenir :
1
1
4
1
𝑔(𝑥) = 16 (𝑥+1 + (𝑥+1)2 − 𝑥−3) et pour la primitive :
1
4
𝐺(𝑥) =
(𝐿𝑛(𝑥 + 1) −
− 𝐿𝑛 (3 − 𝑥) + 2)
16
𝑥+1
2. Donner un développement limité d’ordre n de g au voisinage de 0.
On rappelle les développements suivants :
𝑛
1
= (∑(−1)𝑘 𝑥 𝑘 ) + 𝑜(𝑥 𝑛 )
1+𝑥
𝑛
𝑘=0
1
= (∑(−1)𝑘 (𝑘 + 1)𝑥 𝑘 ) + 𝑜(𝑥 𝑛 )
2
(1 + 𝑥)
𝑘=0
𝑛
−1
1
1
𝑥
=
= (∑( )𝑘 ) + 𝑜(𝑥 𝑛 )
𝑥
𝑥 − 3 3(1 − ) 3
3
𝑘=0
3
On obtient :
𝑛
1
1
𝑔(𝑥) =
(∑((−1)𝑘 (4𝑘 + 5) + 𝑘+1 )𝑥 𝑘 ) + 𝑜(𝑥 𝑛 )
16
3
𝑘=0
3. En déduire la valeur de la dérivée troisième de G en zéro.
On a :
𝐺 (3) (0) = 𝑔(2) (0) =
44
27
Exercice n° 5
On considère les suites (u n ) et (n ) définies par les relations de récurrence :
u n +1 =
1 + un

;  n +1 = n
2
u n +1
3
1. Montrer que pour u1 = 0 et 1 = 2 , il existe deux autres suites ( n ) et ( n ) telles que pour
tout entier n strictement positif, on a :
u n = cos ( n ); n =  n sin ( n ); 0   n   / 2 . Montrer que la suite (n ) est convergente, on
précisera sa limite.
Montrons par récurrence sur n, la propriété :
 
 
P(n) : u n et  n existent et valent u n = cos  n ;  n = 2 n sin  n 
2 
2 
1
𝜋
𝜋
On peut calculer 𝑢2 = √2 = 𝑐𝑜𝑠 ( 4 ) et 𝜆2 = 2√2 = 4 𝑠𝑖𝑛 ( 4 )
La propriété précédente est vraie pour n=1.
 
1 + cos  n 
 2  = cos   
est positif, u n +1 existe et vaut u n +1 =
 n +1 
2
2 
Comme u n
𝜆𝑛
Et 𝜆𝑛+1 = 𝑢
𝑛+1
𝜋
=
2𝑛 𝑠𝑖𝑛(2𝑛 )
𝜋
𝑐𝑜𝑠( 𝑛+1)
On pose alors  n =

2
𝜋
𝜋
𝜋
= 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 (2𝑛+1) (on écrit 2𝑛 = 2 × 2𝑛+1 ).
 
 
;  n = 2 n . Lim  n = Lim 2 n sin  n  = Lim 2 n  n  = 
n
n
n
2
2 
2 
n
2. En utilisant la formule de Taylor, montrer que, pour tout n  1, on a l’inégalité :
 − n 
3
6  4n
. En déduire un entier N tel que :  − N  10 −6
Rappelons que : sin ( 2 p +1) ( x)  1 . L’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 2p+1 appliquée à la
fonction sinus entre 0 et x donne :
𝑝
|𝑠𝑖𝑛( 𝑥) − ∑(−1)𝑘
𝑘=0
|𝑥|2𝑝+3
𝑥 2𝑘+1
|≤
(2𝑘 + 1)!
(2𝑝 + 3)!
En particulier pour p=0 et x =
𝜋
𝜋
2
2

2n
|𝜋 − 𝜆𝑛 | = 2𝑛 |𝑠𝑖𝑛 ( 𝑛) − 𝑛| ≤
, on en déduit :
𝜋3
et on peut prendre N=12, car
6×4 𝑛
𝜋3 ×106
6
≤ 412
4
Exercice n° 6
Soit f une fonction numérique définie sur R 2 par f (0, 0) = 0 et :
f ( x, y ) =
4 xy( x 2 − y 2 )
si ( x, y )  (0, 0) .
x2 + y2
1. Etudier la continuité de f sur R 2 .
La fonction est indéfiniment différentiable sur R 2 − (0,0) . Tout le problème est à l’origine pour
chaque question. En utilisant les coordonnées polaires, à savoir : 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 :
4𝑟 4 cos 𝜃 sin 𝜃(cos2 𝜃 −sin2 𝜃)
lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim
= 0 = 𝑓(0,0)
(0,0)
𝑟→0
𝑟2
et f est continue.
2. Etudier la différentiabilité de f sur R 2 .
f ( x,0) − f (0,0)
= 0 = f y' (0,0), car f ( x, y ) = − f ( y, x)
x →0
x
Si f est différentiable à l’origine, alors sa différentielle est nulle. Ce qui est le cas, car
f x' (0, 0) = Lim
𝐿𝑖𝑚
𝑓(𝑥,𝑦)
(0,0) √𝑥 2 +𝑦
= 𝐿𝑖𝑚
2
𝑟→0
𝑟4 𝜑(𝜃)
𝑟3
= 0, où 𝜑(𝜃) = 4 cos 𝜃 sin 𝜃 (cos2 𝜃 − sin2 𝜃).
3. La fonction f est-elle de classe C 2 sur R 2 ?
Si la fonction f est de classe C 2 sur R 2 , alors f xy'' (0, 0) = f yx'' (0,0)
f x' (0, y ) − f x' (0,0)
− 4y5
= Lim
= −4
On a : f (0, 0) = Lim
y →0
y →0
y
y5
''
xy
Et comme f ( x, y ) = − f ( y, x) , on a : f yx'' (0, 0) = 4 et f n’est pas de classe C 2 .
Exercice n° 7
On considère la fonction réelle f définie sur l’intervalle [0, 2] par
𝑓(𝑥) = {
1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ √3
√4 − 𝑥 2 𝑠𝑖 √3 ≤ 𝑥 ≤ 2
Soit D le domaine du plan défini ainsi : 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝑅2|0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}.
On considère le solide engendré par la rotation de ce domaine D autour de l’axe des abscisses.
1. Calculer le volume de ce solide.
On considère les disques autour de l’axe des abscisses. On a :
5
2
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝜋(∫
0
√3
0
2
𝑑𝑥 + ∫ (4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥) = 𝜋(
√3
16
− 2√3)
3
2. En utilisant la même démarche qu’à la question précédente, retrouver le volume d’une
sphère de rayon R.
On considère le domaine plan 𝐸 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 / 0 ≤ 𝑥; 0 ≤ 𝑦; 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑅2 }.
𝑅
4
Le volume est égal à : 𝑉 = 2𝜋 ∫0 (𝑅2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 𝜋 𝑅3
3
6
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Peut-on apprendre la citoyenneté ? Argumentez et étayez votre point de vue.
Sujet n° 2
« La race naît du racisme, et non le contraire. ».
Ta-Nehisi Coates (1975-), écrivain et journaliste américain. Citation tirée de Une colère
noire paru en 2015. Commentez cette citation et argumentez.
Sujet n° 3
« La misère peut soutenir le fanatisme : quand il n'y a plus aucune ressource, on se tourne
vers Dieu... ».
Germaine Tillion (1907-2008), ethnologue et résistante française. Citation tirée de La
Traversée du mal, livre d’entretien, paru en 1997. Vous éclairerez cette citation en
illustrant vos propos.
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Tout résultat donné dans l’énoncé
pourra être admis dans les questions suivantes. La qualité de la rédaction sera prise en compte dans
l’évaluation. Tous les résultats seront encadrés.
1
Problème d’analyse
Dans ce problème, nous nous intéressons à l’étude de certaines propriétés de la fonction zêta de
+∞
X
1
Riemann définie par ζ(x) =
.
nx
n=1
Partie I : Graphe de la fonction ζ
1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction ζ.
2. Démontrer que ζ est continue sur D.
3. Déterminer la limite de ζ(x) lorsque x tend vers +∞.
4.
a) Démontrer que la fonction ζ est de classe C ∞ sur son domaine de définition D et donner
l’expression de ses dérivées sous forme de séries.
b) En déduire les variations de la fonction ζ ainsi que sa convexité.
1
5.
1
a) Soit n ≥ 1 et x ∈ D. Montrer que :
≤
(n + 1)x
Z n+1
n
1
1
dt ≤ x .
x
t
n
b) En déduire un équivalent de ζ(x) lorsque x → 1+ .
6. En utilisant l’ensemble des questions précédentes, donner une représentation graphique la
plus précise possible de la fonction ζ sur son domaine de définition.
Partie II : Un prolongement de la fonction ζ
On pose η(x) =
+∞
X
(−1)n−1
n=1
nx
.
7. Démontrer que η est défini sur ]0, +∞[.
8. Montrer que pour tout x > 1, on a : ζ(x) − η(x) = 21−x ζ(x).
b
=
9. Démontrer que la fonction ζb définie pour tout x ∈ R∗+ \ {1} par ζ(x)
prolongement de classe C ∞ de la fonction ζ.
η(x)
est un
1 − 21−x
Partie III : Calcul de valeurs particulières
Dans cette partie on se propose de calculer les valeurs de ζ(2) =
+∞
X
1
+∞
X
1
n
n4
n=1
et ζ(4) =
2
n=1
à
l’aide d’une série de Fourier.
Soit f la fonction de R dans R, 2π-périodique et paire, telle que f (x) = x pour tout x ∈ [0, π].
10. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction f .
+∞
11.
4 X cos((2n + 1)x)
π
.
a) Justifier que pour tout x ∈ [−π, π] on a : |x| = −
2 π
(2n + 1)2
n=0
b) En déduire que ζ(2) =
π2
6
.
12. En utilisant la question 10. déterminer ζ(4).
2
Partie IV : un lien avec les nombres premiers
Soit (un )n≥1 une suite de réels strictement positifs. Lorsque la suite
N
Y
!
converge vers
un
n=1
N ≥1
une limite finie non nulle, on dit que le produit infini de terme général (un )n≥1 converge et on note :
+∞
N
Y
Y
un = lim
un .
N →+∞
n=1
n=1
Dans le cas contraire, on dit que le produit infini de terme général (un )n≥1 diverge.
13.
a) Soit (un )n≥1 une suite de réels strictement positifs. Démontrer
X que le produit infini de
ln(un ) est convergente.
terme général (un )n≥1 converge si et seulement si la série
n≥1
b) Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
c) On note (pn )n≥1 la suite des nombres premiers rangés dans l’ordre croissant et on fixe
x > 1.
X 1
converge.
i) Démontrer que la série
(pn )x
n≥1
1
ii) Après avoir justifié que pour tout n ≥ 1,
−x > 0, établir la convergence du
1 − pn
1
produit infini de terme général
.
1 − p−x
n
n≥1
14. Soit x > 1.
a) Fixons deux entiers naturels non nuls m et M . Justifier que
m
Y

k=1
n
o
où Am,M = pi11 pi22 . . . pimm | (i1 , . . . , im ) ∈ J0, M Km .
b) En déduire que ζ(x) =
+∞
Y
1
−x .
1
−
p
n
n=1
15. Déterminer la nature de la série
X 1
n≥1
pn
.
3

M
X

1
ik x
ik =0 (pk )
=
X
n∈Am,M
1
nx
2
Problème d’algèbre
Notations
Dans ce problème n est un entier naturel fixé supérieur ou égal à 2. Nous utiliserons également
les notations suivantes :
• Pour tout nombre complexe z, le réel positif |z| désigne le module de z.
• Mn (R) (resp. Mn (C)) désigne l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels
(resp. complexes).
• Rn (resp. Cn ) désigne l’ensemble des vecteurs à n coordonnées réelles (resp. complexes)
• Pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn , on note : kxk1 =
n
X
|xk |.
k=1
• Pour A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (C), la matrice |A| est la matrice donnée par (|aij |)1≤i,j≤n .
De même, pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn , le vecteur |x| est le vecteur donné par (|xi |)1≤i≤n .
• Pour A ∈ Mn (C), on note SpC (A) l’ensemble des valeurs propres complexes de A (qui est
non vide) et on définit ρ(A) = max{|λ| ; λ ∈ SpC (A)}.
• Pour A ∈ Mn (R), on note SpC (A) l’ensemble des valeurs propres complexes de A considérée comme un élément de Mn (C) (qui est non vide) et on définit de la même manière
ρ(A) = max{|λ| ; λ ∈ SpC (A)}.
• Soit A ∈ Mn (C) et λ0 ∈ SpC (A). On dira que λ0 est une valeur propre dominante de A si
pour tout λ ∈ SpC (A), on a λ 6= λ0 =⇒ |λ| < |λ0 |.
Partie I : Généralités sur les matrices positives
• Une matrice A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) est dite positive (resp. strictement positive) si on a
pour tous (i, j) ∈ J1, nK2 , aij ≥ 0 (resp. aij > 0). On notera alors A ≥ 0 (resp. A > 0).
• Si A et B sont deux matrices de Mn (R) telles que A − B est positive (resp. strictement
positive), on notera A ≥ B (resp. A > B).
• De même, un vecteur x ∈ Rn est dit positif (resp. strictement positif) lorsque pour tout
i ∈ J1, nK, xi ≥ 0 (resp. xi > 0). On notera alors x ≥ 0 (resp. x > 0).
• Si x et y sont deux vecteurs de Rn tels que x − y est positif (resp. strictement positif), on
notera x ≥ y (resp. x > y).
1. Exhiber une matrice positive, non nulle, qui ne soit pas strictement positive.
4
2. Soit A ∈ Mn (R) une matrice positive et B ∈ Mn (R) une matrice strictement positive.
Démontrer que si AB = 0, alors A = 0.
3. Soit A ∈ Mn (R). On suppose qu’il existe un vecteur x ∈ Rn strictement positif et tel que
Ax = |A|x. Démontrer que A est une matrice positive.
4. Soit A une matrice de Mn (C) et x ∈ Cn . Démontrer que |Ax| ≤ |A||x|.
5. Soit A ∈ Mn (R). Démontrer que A est positive si et seulement si pour tout vecteur x ∈ Rn
positif, le vecteur Ax est positif.
6. Soit A ∈ Mn (R). Démontrer que A est strictement positive si et seulement si pour tout
vecteur x ∈ Rn positif et non nul, le vecteur Ax est strictement positif.
Partie II : Théorème de Perron pour les matrices strictement positives
Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) une matrice strictement positive.
L’objectif de cette partie est de démontrer les résultats suivant :
G ρ(A) > 0,
G ρ(A) est une valeur propre de A,
G ρ(A) est une valeur propre dominante de A considérée comme une matrice de Mn (C),
G l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite vectorielle dirigée par un vecteur
strictement positif.
7. Démontrer que k.k1 définit bien une norme sur Cn .
8. On considère l’ensemble X = {x ∈ Rn ; x ≥ 0 et kxk1 = 1}.
Soit x ∈ X. On pose K(x) = {t ∈ R+ ; tx ≤ Ax}.
a) Démontrer que K(x) ⊂ [0, α] où α = n max ai,j .
1≤i,j≤n
b) Démontrer que K(x) est un fermé de R.
c) Montrer que K(x) est un compact de R et que K(x) contient au moins un élément
strictement positif.
d) Justifier que l’ensemble K(x) admet un maximum que l’on notera θ(x).
e) Justifier que l’ensemble {θ(x) ; x ∈ X} admet une borne supérieure r0 vérifiant r0 ∈]0, +∞[.
9. Dans cette question, on suppose qu’il existe un élément x0 ∈ X tel que θ(x0 ) = r0 et
Ax0 6= r0 x0 .
a) Démontrer que le vecteur A(Ax0 − r0 x0 ) est strictement positif.
b) En déduire qu’il existe un réel > 0, que l’on fixera, tel que A(Ax0 − r0 x0 − x0 ) ≥ 0.
5
c) On pose y =
1
Ax0 . Démontrer que y ∈ X et que θ(y) ≥ r0 + .
kAx0 k1
d) Conclure que si un élément x0 ∈ X vérifie θ(x0 ) = r0 , alors on a Ax0 = r0 x0 .
10.
a) Démontrer que X = {x ∈ Rn ; x ≥ 0 et kxk1 = 1} est un sous-ensemble compact de Rn .
b) Démontrer l’existence d’un vecteur x0 ∈ X tel que θ(x0 ) = r0 .
On pourra commencer par introduire une suite (x(k) )k∈N ∈ X N telle que θ(x(k) ) −−−−→ r0 .
k→+∞
11. Déduire des questions 9. et 10. que r0 = ρ(A), que ρ(A) > 0 et que ρ(A) est une valeur propre
de A.
12. Il reste à prouver que ρ(A) est une valeur propre dominante de A considérée comme une
matrice de Mn (C) et que l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite
vectorielle dirigée par un vecteur strictement positif. Pour cela on considère une valeur propre
λ ∈ SpC (A) de A vérifiant |λ| = ρ(A) et on fixe un vecteur propre v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Cn
associé à la valeur propre λ tel que kvk1 = 1.
a) Démontrer que |v| est un vecteur propre de A pour la valeur propre ρ(A) et en déduire
que |v| > 0.
b) En justifiant la relation |Av| = A|v|, déduire que pour tout i ∈ J1, nK,
n
X
k=1
ai,k vk =
n
X
ai,k |vk |.
k=1
c) Démontrer que v est colinéaire à |v|, c’est à dire qu’il existe ξ ∈ C tel que v = ξ|v|.
On pourra commencer par introduire les angles (θ1 , . . . , θn ) ∈] − π, π]n tels que pour tout
k ∈ J1, nK, vk = |vk |eiθk .
−x0,j
d) Soit x0 = (x0,1 , . . . , x0,n ) ∈ X un vecteur tel que θ(x0 ) = ρ(A). On pose t = max
1≤j≤n
|vj |
et y = x0 + t|v|.
i) Calculer Ay et en déduire que y = 0.
ii) Montrer que v est colinéaire à x0 .
e) Conclure que λ = ρ(A) et en déduire que ρ(A) est une valeur propre dominante de A
considérée comme une matrice de Mn (C).
f) Conclure que l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite vectorielle
dirigée par un vecteur strictement positif.
6
Partie III : Généralisation aux matrices primitives
• Soit A ∈ Mn (R) une matrice positive. On dit que A est une matrice primitive s’il existe un
entier k ∈ N tel que Ak est une matrice strictement positive.
13. Donner un exemple d’une matrice primitive qui ne soit pas strictement positive.
L’objectif de cette partie est de généraliser les résultats obtenus en Partie II aux matrices
primitives. On fixe donc une matrice primitive A ∈ Mn (R). On fixe un entier k tel que Ak soit une
matrice strictement positive et on pose B = Ak .
14. Démontrer que SpC (B) = {λk ; λ ∈ SpC (A)} et en déduire que ρ(A) > 0.
15.
a) On fixe λ ∈ SpC (A) tel que λk = ρ(B). Montrer que λ = ρ(A), ce qui prouve en
particulier que ρ(A) est une valeur propre de A.
b) Démontrer que ρ(A) est une valeur propre dominante de A considérée comme un élément
de Mn (C).
16. Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre ρ(A) est une droite vectorielle dirigée
par un vecteur strictement positif.
17. Conclure que les résultats obtenus en Partie II se généralisent aux matrices primitives.
Partie IV : Application à la convergence de la suite des itérées des matrices
stochastiques primitives
• Une matrice A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) est dite stochastique si elle est positive et si pour
n
X
tout i ∈ J1, nK,
ai,j = 1.
j=1
(p)
• Si A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R), alors pour tout entier naturel non nul p, on notera (ai,j )1≤i,j≤n
les coefficients de la matrice Ap .
• Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R). On dira que la suite de matrices (Ap )p≥0 converge vers une
(p)
matrice B = (bi,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) si pour tout (i, j) ∈ J1, nK2 , ai,j −−−−→ bi,j .
p→+∞
18. Démontrer qu’un produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique.
19. Démontrer qu’une matrice stochastique et primitive admet 1 comme valeur propre dominante
et que l’espace propre associé est une droite vectorielle dirigée par un vecteur strictement positif. Déterminer alors l’unique vecteur propre x associé à la valeur propre 1 qui soit strictement
positif et tel que kxk1 = 1.
7
20. Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R). Démontrer que pour tout p ≥ 1 on a :
(p)
max a
1≤i,j≤n i,j
≤ max |ai,j | ×
1≤i,j≤n
max
1≤j≤n
n
X
!p−1
|ak,j |
.
k=1
21. Dans cette question on fixe A une matrice stochastique et primitive.
a) Justifier
matrice inversible P ∈ Mn (C) telle que P −1 AP soit de la
 l’existence d’une

1 0 ... 0
0



forme  .
 où T ∈ Mn−1 (C) est une matrice triangulaire supérieure dont
.
.

T
0
les coefficients diagonaux sont tous de module strictement inférieur à 1.
b) Pour tout δ > 0, on définit la matrice D(δ) = diag(1, δ, δ 2 , . . . , δ n−2 ) diagonale de coefficients diagonaux successifs 1, δ, δ 2 , . . . , δ n−2 et on pose T̂ = D(δ)−1 T D(δ).
On note T̂ = (t̂i,j )1≤i,j≤n−1 .
n−1
X
Démontrer qu’il existe δ0 > 0 tel que pour tout δ ∈]0, δ0 [, on ait max
|t̂k,j | < 1.
1≤j≤n−1
k=1
c) Démontrer que la suite (T p )p≥1 converge vers la matrice nulle.
d) En déduire la convergence de la suite (Ap )p≥0 vers une matrice stochastique ayant toutes
ses lignes égales.
8
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Dans toute cette épreuve, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R l’ensemble des nombres
réels, e le nombre de Néper et Ln le logarithme népérien.
Exercice n° 1
Soit p la projection vectorielle de 𝑅3 sur le plan P d’équation : x+y+z=0 parallèlement à la droite
𝑦
𝑧
D d’équation : 𝑥 = 2 = 3.
1. Montrer que 𝑅3 est la somme directe de P et D.
2. Soit 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 , déterminer p(u) et donner la matrice de p dans la base canonique de
𝑅3 .
3. Déterminer une base de 𝑅 3 dans laquelle la matrice de p est diagonale.
Exercice n° 2
On considère le graphe suivant :
1
1
1
3
4
2
Ce graphe est constitué de 4 sommets numérotés et de 3 arêtes (ou segments qui relient deux
sommets).
On appelle matrice adjacente à ce graphe, la matrice symétrique, notée A, de terme général 𝑎𝑖𝑗
tels que : 𝑎𝑖𝑗 = 1 si les sommets i et j sont reliés par une arête, sinon 𝑎𝑖𝑗 = 0.
1
1. Expliciter la matrice A et déterminer son noyau.
2. Déterminer les valeurs propres de A.
3. Calculer 𝐴𝑛 pour tout entier naturel non nul (on pourra calculer 𝐴2 et 𝐴3 ).
4. On appelle matrice des degrés, la matrice diagonale, notée D, de terme général 𝑑𝑖𝑗 tel que :
𝑑𝑖𝑗 = 0 si 𝑖 ≠ 𝑗 et 𝑑𝑖𝑖 = le nombre d’arêtes connectées au sommet i. Puis on note L la matrice
définie par : L=D-A. Déterminer les valeurs propres de L.
Exercice n° 3
Soit la fonction numérique f définie par : f ( x) =
1
(e + 1)(e − x + 1)
x
1
1. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
2. Etudier la convergence de l’intégrale 𝐽 = ∫0
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .
3. Etudier les variations et tracer le graphe de la fonction f.
Exercice n° 4
1
Soit la fonction numérique g définie par : 𝑔(𝑥) = (𝑥+1)2(3−𝑥)
1. Déterminer la primitive G de g sur l’intervalle ]−1,3[ telle que : G(1)=0.
2. Donner un développement limité d’ordre n de g au voisinage de 0.
3. En déduire la valeur de la dérivée troisième de G en zéro.
Exercice n° 5
On considère les suites (u n ) et ( n ), n  1 , définies par les relations de récurrence :
u n +1 =
1 + un

;  n +1 = n
2
u n +1
1. Montrer que pour u1 = 0 et 1 = 2 , il existe deux autres suites ( n ) et ( n ) telles que pour
tout entier n strictement positif, on a : u n = cos ( n ); n =  n sin ( n ); 0   n   / 2 .
Montrer que la suite (n ) est convergente, on précisera sa limite.
2
2. En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que, pour tout n  1, on a l’inégalité :
 − n 
3
6  4n
. En déduire un entier N tel que :  − N  10 −6 .
Exercice n° 6
Soit f une fonction numérique définie sur R 2 par f (0, 0) = 0 et :
f ( x, y ) =
4 xy( x 2 − y 2 )
si ( x, y )  (0, 0) .
x2 + y2
1. Etudier la continuité de f sur R 2 .
2. Etudier la différentiabilité de f sur R 2 .
3. La fonction f est-elle de classe C 2 sur R 2 ?
Exercice n° 7
On considère la fonction réelle f définie sur l’intervalle [0, 2] par
𝑓(𝑥) = {
1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ √3
√4 − 𝑥 2 𝑠𝑖 √3 ≤ 𝑥 ≤ 2
Soit D le domaine du plan défini ainsi : 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝑅2|0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}.
On considère le solide engendré par la rotation de ce domaine D autour de l’axe des abscisses.
1. Calculer le volume de ce solide.
2. En utilisant la même démarche qu’à la question précédente, retrouver le volume d’une
sphère de rayon R.
3
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’article ci-après a été publié sur le site de la revue The Conversation FR, le 3 août 2023.
Il a été écrit en français et en collaboration par trois chercheurs en agronomie : Raphaël
Belmin, Hamado Sawadogo et Moussa N'Dienor.
L’article compte 1047 mots et doit être résumé en 150 mots (plus ou moins 10%) avec le
nombre de mots indiqué en fin de copie.
L’évaluation de cet exercice tiendra compte du fond et de la forme de votre écrit
(l’orthographe, la ponctuation et la présentation).
Cultiver sans eau ou presque : la technique du zaï au Sahel.
« À l’échelle cosmique, l’eau liquide est plus rare que l’or », écrivait le célèbre astrophysicien
Hubert Reeves. Ce qui vaut pour l’univers est encore plus vrai au Sahel, cette immense bande
aride qui parcourt l’Afrique d’est en ouest, à la lisière du Sahara. Au Sahel, le premier des biens,
c’est l’eau. Depuis le IIIᵉ millénaire av. J.-C., les peuples de la région ont réalisé des efforts
considérables et déployé des trésors d’imagination pour capter et maîtriser cette ressource si
rare. Face à une eau mal répartie dans l’espace et le temps, ils ont dû inventer des méthodes
intelligentes et parcimonieuses pour tirer parti de la moindre goutte.
Autrefois ignorés, les secrets des paysans sahéliens attirent aujourd’hui l’attention des
chercheurs et des décideurs. Et pour cause, ils inspirent de nouvelles voies d’adaptation au
changement climatique pour l’agriculture africaine, et au-delà.
L’art de capturer la pluie
Chaque année dans le Yatenga, au nord du Burkina Faso, les premières pluies de juin viennent
apaiser les brûlures d’une interminable saison sèche. Les sols imbibés d’eau font alors renaître
1
la vie dans les champs de brousse. Partout ou presque, des bouquets de mil et de sorgho
jaillissent de terre, transformant les savanes arides en bocages verdoyants.
Mais dans certains villages, la période de grande sécheresse des années 1970-80 a bouleversé
le fragile écosystème sahélien : avec l’amincissement de la couverture végétale, les sols
instables et ferrugineux du Yatenga ont été décapés par l’érosion ; ils sont devenus si pauvres
et encroûtés que les pluies torrentielles ne font que ruisseler sans pouvoir s’infiltrer. Au lieu
d’apporter la vie, l’eau érode les terres et emporte les espoirs des paysans.
Dans ce paysage hostile, certains paysans tentent de s’adapter et d’innover. Yacouba Sawadogo
est l’un d’eux. Dans un champ stérile du village de Gourga, Yacouba et sa famille s’affairent
pour percer le sol encrouté avant l’arrivée des premières pluies. Armés de leur daba (pioche
traditionnelle), ils creusent la terre rouge de latérite. Dans une chorégraphie vigoureuse, les
paysans quadrillent ainsi la parcelle de ces trous réguliers. Ils y glissent une poignée de
compost, quelques graines de sorgho, une pellicule de terre légère : et voilà, le champ est prêt
pour accueillir la prochaine pluie d’orage !
Semer comme cela des graines en pleine saison sèche, dans un champ que l’on parsème de
trous, l’idée peut sembler contre-intuitive à l’œil extérieur, mais elle relève en réalité d’une
expertise séculaire des habitants du Yatenga : le zaï. Cette technique agricole révolutionnaire
les a rendus maîtres dans l’art de capturer la pluie. L’histoire orale raconte que dans l’ancien
temps, la technique était utilisée par les familles dotées de très petites surfaces et de terres
pauvres, avant de tomber dans l’oubli dans les années de 1950, période marquée par des pluies
abondantes.
Mais dans les décennies désespérément sèches de 1970-1980, face à l’avancée du
désert, Yacouba Sawadogo a fait un choix singulier : celui de ne pas fuir. Au lieu de cela, il a
exhumé le zaï, technique grâce à laquelle il est parvenu à revitaliser et reboiser 27 hectares de
terres dégradées. Celui qu’on surnomme « l’homme qui a arrêté le désert » a ainsi redonné
espoir à tout son village. Primé « champion de la Terre » par les Nations unies et rendu célèbre
grâce à un livre, Yacouba Sawadogo est devenu le symbole d’une Afrique qui innove face à la
désertification.
Au Burkina Faso, dans le cadre du projet Fair Sahel, les chercheurs de l’INERA1 réalisent des
essais agronomiques visant à substituer une partie du fumier organique des poquets2 de zaï par
des microdoses d’engrais minéral. Une manière d’améliorer les rendements du sorgho tout en
faisant sauter un verrou majeur d’adoption : la cherté de la matière organique. Les agronomes
travaillent également à associer dans les mêmes poquets des céréales comme le sorgho avec des
légumineuses comme le niébé. Ils testent enfin le zaï sur de nouvelles cultures, à l’instar du
maïs, du coton, de la pastèque et des cultures horticoles comme l’aubergine.
Dans les zones maraîchères du Sénégal, la technique du zaï s’est également diffusée en
produisant de nombreux avatars. Lorsque l’eau devient rare et chère, les paysans cherchent
1.
2.
Institut National pour l’Etude et la Recherche Agronomique (INERA)
Un poquet est un petit trou dans lequel on sème les graines.
2
par tous les moyens à économiser la ressource. À Fatick, dans l’ouest, ils utilisent des pneus
recyclés pour concentrer les apports de fumier et d’eau au niveau des racines des pieds de
piment. Dans la région littorale de Mboro, ils sculptent les parcelles d’oignons de minuscules
casiers qu’ils inondent au sceau. Au sud, à Kolda, ils repiquent les aubergines dans des poquets
recouverts de paille. Ces innovations sont frugales et suivent toutes la même logique :
concentrer l’eau et la fertilité dans de petites poches de vie, à l’abri d’un environnement
extérieur hostile.
Une « autre » v o i e d ’ ad ap tati o n
En réponse au changement climatique, les États du monde entier se sont engagés dans une
compétition pour augmenter la disponibilité de l’eau pour leur agriculture.
Barrages, mégabassines, périmètres irrigués… partout, la politique dominante consiste à
étendre à tout prix les surfaces irriguées.
Mais ce choix, s’il répond à un besoin à court terme, s’accompagne d’un sérieux risque
de « mal-adaptation » : dégradation des ressources en eau, injustices sociales et tensions
géopolitiques sont la contrepartie cachée des grands projets hydroagricoles. Le modèle agricole
qui se dessine pour demain semble bien fragile et vulnérable, car dépendant d’une eau captée
et acheminée à grand renfort d’énergie fossile.
À contre-courant du régime d’innovation dominant, les paysans sahéliens ont choisi la voie de
la sobriété. Confrontés depuis des siècles à d’importantes limitations sur la ressource en eau,
ces millions de « chercheurs aux pieds nus » n’ont cessé d’innover en silence. Au « toujours
plus d’eau, quoiqu’il en coûte », ils ont préféré un principe de parcimonie. Et le zaï, aussi
médiatisé soit-il, n’est que la face émergée de l’iceberg : demi-lunes, cordons pierreux, cuvettes
fruitières, mares, cultures stratifiées… Ces techniques ancestrales méritent toute notre attention
car elles représentent des formes intelligentes d’adaptation à des conditions thermiques et
hydriques extrêmes, proches de ce que vivront les pays méditerranéens en 2100 dans un
scénario climatique à plus quatre degrés.
Pour construire un nouveau récit sur l’avenir mondial de l’eau, tendons donc l’oreille et
écoutons les secrets des paysans sahéliens.
3
REMARQUES ET RECOMMANDATIONS DU JURY
Concours ISE CYCLE LONG – ANALYSTE STATISTICIEN
SESSION 2025
Première composition de mathématiques
1 Remarque générales
Comme les années précédentes, le sujet était composé de sept exercices, indépendants entre eux, qui balayaient
l’ensemble du programme du concours. Comme annoncé, l’exercice 1 (éliminatoire par ailleurs) comptait pour 20% de
la note finale. Les autres exercices pesaient sensiblement le même poids dans la note finale. Certains candidats ont
réussi à traiter l’intégralité du sujet.
Remarques sur la présentation. Toutes les bonnes copies — à quelques exceptions près — sont bien présentées :
ceci suggère qu’avant de travailler le fond, il faut soigner la forme. Par exemple, il est important de commencer par
l’exercice 1 (qui est corrigé en premier), et de ranger les copies dans le bon ordre (pour éviter au correcteur de
reconstituer des centaines de « puzzles »). Par ailleurs, commencer un exercice en bas d’une feuille n’est pas non
plus un bon signe envoyé au correcteur : mieux vaut commencer un exercice en haut d’une feuille, et même de
changer de copie (pour pouvoir y revenir plus tard le cas échéant). Même si le correcteur fait preuve de
compréhension quant à la présentation, et fait l’effort de lire l’intégralité de la copie, certaines copies sont vraiment
illisibles : il n’attribue aucun point à une réponse qu’il n’arrive pas à lire. Les candidats qui ne respectent pas ces
règles élémentaires ne peuvent qu’être pénalisés.
Exercice 1. L’exercice est standard, calqué sur celui de l’année dernière, jusqu’à l’ordre des questions. Les candidats
éliminés à l’issue de cet exercice ont montré de graves lacunes (calcul, logique, notation).
1. La première question est le calcul d’une intégrale. Si tout le monde essaie de la calculer à l’aide d’une primitive de
l’intégrande (on pouvait la donner directement), une poignée de candidats seulement pense à énoncer le théorème
qui fait le lien entre les notions géométriques et analytiques (voir plus bas).
Certains candidats ont donné directement une approximation numérique de l’intégrale, certainement à l’aide d’une
calculatrice. Cette réponse n’est évidemment pas prise en compte.
2. À travers l’étude du domaine de définition d’une fonction composée, on attendait une discussion sur le signe d’un
trinôme du second degré. Le concours étant très exigeant, le correcteur attend que les étudiants traitent parfaitement
ce qui a trait aux polynômes de degré 2 : racines, signe, extremum et graphe.
3. La question est bien réussie en général.
Pour être clair : on cherche a,b ∈ R pour lesquels : lim 𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0.
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
Le calcul de lim 𝑓(𝑥) est inutile, et le calcul de lim
𝑥→+∞ 𝑥
𝑥→+∞
ne suffit pas.
Certains ont invoqué la « règle de l’Hopital », qui n’est pas au programme du concours, et donc non prise en compte
dans la correction.
4. L’étude des limites pose problème. Très peu ont une idée claire de cet objet.
Certains factorisent par 𝑥 4 exp⁡(𝑥) de manière pavlovienne, alors que ce n’était pas le terme prépondérant du
dénominateur.
S’il est vrai que : lim 𝑥 3 = lim 𝑒 𝑥 , écrire ceci masque la prépondérance de l’exponentielle par rapport au monôme.
𝑥→+∞
𝑥→+∞
Rappelons qu’on n’écrit pas « lim » au début du calcul : il faut travailler l’expression pour traiter le cas des formes
indéterminées.
5. Question bien réussie. Certains ont justifié la bonne définition de la fonction, ce qui a été apprécié.
6. Question bien réussie. De manière très surprenante, il y a eu beaucoup d’erreurs dans le développement du carré
1
1
2
𝑢𝑛+1
, et dans le calcul pourtant élémentaire de 1 + 4 − 2.
7. La question a eu très peu de succès : c’est dommage pour de futurs statisticiens ! C’était pourtant simple.
Quelques-uns n’ont pas compris que l’énoncé donnait un exemple pour n = 4, mais qu’il fallait traiter le cas général.
D’autres donnent des justifications visiblement fausses, tandis que d’autres n’essaient même pas.
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
8. Au sens strict, il fallait donner 2 (cos (− ⁡) + 𝑖 sin (− ⁡)) et non 2 (cos ( ⁡) − 𝑖 sin ( ⁡))
6
6
6
6
9. Sans doute la question la plus pointue de l’exercice, car à la limite du programme. Ce n’est pas une raison pour
écrire des énormités. On attendait justement une discussion sur les différents termes mis en jeu. La correction a été
clémente avec les réponses cohérentes.
Cependant, les candidats doivent comprendre qu’il n’y a aucun sens à donner à « ln(1+i) » , ni à « 1+i < 2 ».
10. Il fallait voir une équation homogène en 𝑥 2 , c’est-à-dire une équation « bicarrée ». Là encore, on attend une
maîtrise parfaite des équations de degré 2. Il était pourtant facile de vérifier le résultat. Par exemple, si a est solution,
alors −a l’est aussi. L’ensemble solution doit faire apparaître cette propriété.
𝑖
𝑖
Les solutions réelles sont aussi des solutions complexes : certains donnent : 𝒮ℝ = {√2, −√2}, puis : 𝒮ℂ = { , − }.
√2
√2
Exercice 2 Exercice d’analyse où on étudiait une fonction (domaine de définition, prolongements, dérivée), puis une
suite définie implicitement à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires (voir en annexe). Beaucoup n’ont pas
compris la différence avec une suite définie par une relation « 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛 ) », et la divergence de la suite en question
3.c) n’a été que très rarement faite.
Beaucoup de résultats étaient donnés, pour permettre aux candidats de terminer l’exercice. Il fallait cependant être
pertinent dans les réponses à donner.
Exercice 3 On étudiait dans cet exercice une approximation rationnelle de la racine d’une équation algébrique de
degré 3, à l’aide de l’inégalité des accroissements finis, ce qu’une majorité de candidats a remarqué (il est à noter que
le correcteur n’est pas sensé connaître tous les acronymes, comme par exemple TIAF, IAF, TAF, TVI, …). Il a été
bien réussi en général : les candidats ont visiblement déjà travaillé ce type d’exercice.
À noter une réponse très surprenante à ce niveau : « Comme f (0) > f (1), alors f est décroissante. ». On pouvait ici au
choix montrer la décroissance avec la définition en manipulant des calculs algébriques, soit en étudiant le signe de la
dérivée (après avoir justifié la dérivabilité).
Le correcteur a noté un réel travail sur le raisonnement par récurrence (question 4) : propriété clairement annoncée,
initialisation et hérédité correctement faites, et quantification claire. Ça a été très apprécié, et met en perspective les
raisonnements faux, ou mal menés, d’autres copies.
Dans la dernière question, on attendait la justification au bon endroit du fait que : «Comme |k|<1, alors : lim 𝑘 𝑛 = 0.»
𝑛→+∞
Par ailleurs, parmi les candidats qui arrivent à montrer que : N ≥ −20ln(10)/ln(k) ≈ 30,6, beaucoup donnent N = 30, ce
qui ne répond clairement pas à la question.
Exercice 4 On étudiait une équation complexe. L’exercice a été bien réussi. Les candidats semblent à l’aise avec
cette partie du programme, et passent facilement de la forme algébrique aux formes trigonométriques/exponentielles,
donnent les racines n-ièmes d’un complexe.
La question 3.b) n’a pas été correctement traitée. Si beaucoup prennent le module, peu pensent à factoriser
l’équation, et oublient donc de traiter les cas 𝑧0 = 0 et 𝑧0 = 1.
Exercice 5 Exercice de probabilité, qu’une poignée seulement de candidat a essayé de traiter (comme l’année
dernière). C’est dommage, car il ne présentait pas de difficulté.
Exercice 6 Exercice de géométrie élémentaire du plan. Il a été bien réussi, beaucoup de candidats le traitant en
intégralité.
Si quelques candidats ont reconnu la « droite d’Euler », l’invocation de ce théorème ne peut justifier l’alignement des
points dans la dernière question : on attendait un calcul !
Exercice 7 Les candidats ont eu des fortunes diverses sur cet exercice. On attendait notamment l’invocation des
propriétés de l’intégrale d’une fonction continue : croissance, positivité, linéarité. . ..
Il ne suffit pas d’empiler les calculs. La question 1 était pointue : il fallait invoquer des arguments du programme. Par
exemple, une part non négligeable des candidats utilisent les propriétés de la fonction « arctangente », qui n’est pas
au programme du concours. Dans la question 2, si beaucoup pensent à majorer l’intégrande, peu pensent à invoquer
la croissance de l’intégrale (c’était pourtant un des points essentiel de la notation). De même, dans la question 3, il
suffisait reconnaître une somme géométrique (de raison différente de 1), mais il fallait l’indiquer clairement : certains
candidats alignent les calculs, sans commenter ce qu’ils font, en recopiant presque l’énoncé. Ça ne convainc pas le
correcteur.
2 Remarque spécifique : le théorème des valeurs intermédiaires
Les remarques des années précédentes (récurrence, monotonie d’une fonction, évoquer un théorème. . .) restent
d’actualité.
On demande régulièrement en analyse de démontrer l’existence et l’unicité du zéro d’une fonction (exercice 2 question 2 et exercice 3 - question 1). Pour cela, on attend l’évocation du théorème des valeurs intermédiaires, avec
la présence claire et précise des hypothèses du théorème : la continuité, la stricte monotonie, et les limites aux bornes
du domaine. Une réponse du type « Voir le tableau de variation » n’est pas suffisante.
Il est attendu une bonne maîtrise de cette question pour les années à venir.
Ordre général
Remarques générales
Il est toujours préférable de se conformer au modèle d’une copie relativement courte mais bien structurée plutôt
qu’une copie qui traîne en longueur : en général les copies longues ou trop longues présentent le danger réel pour les
candidats de se perdre dans des détails, de se répéter ou, ce qui est plus grave, de dériver vers le hors sujet. Il est
donc essentiel que les candidats maitrisent le cheminement de leur développement et s’astreignent à donner une
structure à leurs écrits, ce qui les aidera à construire un devoir concis et clair. Ainsi il ne faut pas se précipiter pour
écrire directement mais se réserver un temps à la fois i) pour bâtir un plan, ii) pour coucher ses idées au brouillon. Les
éléments recueillis doivent être passés au crible de la problématique qui est évoquée dans le sujet de sorte que le
plan et le brouillon doivent être le résultat de la réponse apportée à la question posée. L’aller-retour permanent entre
le sujet et ce que l’on est en train d’écrire est obligatoire afin d’éviter toute dérive qui soit préjudiciable au traitement
correct du sujet. Pour cette session, un effort de structuration de la dissertation a été constaté, avec l’effort de faire
figurer une introduction qui annonce peu ou prou le plan du devoir, un déroulé qui tente de reprendre le plan annoncé,
une conclusion. Mais il reste beaucoup à faire. Ainsi, le plan annoncé ne répond pas toujours à la question posée et le
développement s’en ressent évidemment, avec donc des manques sur ce que l’on était en droit d’attendre. Le travail
sur le plan, on ne le répétera jamais assez, est donc le travail premier sur lequel il faut passer du temps.
On a vu encore trop de copies qui font figurer des têtes de chapitres et/ou de paragraphes directement dans la copie,
d’autres qui ont une fâcheuse tendance à se contenter d’énumérer des idées au moyen de paragraphes qui débutent
par un tiret sans faire apparaitre de discussion du sujet. Un avatar de cette tendance apparait parfois sous la forme
d’un plan « à tiroirs » qui liste des idées sans faire place à une discussion de tous les aspects du sujet. Il reste encore
également du travail à faire sur la qualité de l’écriture. Si l’introduction figure en bonne place dans chaque copie (audelà de sa qualité), la conclusion est bien souvent négligée. Soit elle traine en longueur dans une sorte de répétition
de tous les éléments du développement, soit elle se réduit à quatre lignes tout au plus et ne dit finalement rien.
Beaucoup de candidats doivent faire des efforts sur l’orthographe. Les accents par exemple sont encore très mal
maitrisés (céla par exemple au lieu de cela). Parfois l’influence de la langue anglaise se fait sentir (resources au lieu
de ressources, supporter au lieu de soutenir) notamment dans le cadre du sujet n°2 sur les réseaux sociaux : si l’on
pouvait accepter facilement l’expression Fake News apparue dans de nombreuses copies traitant ce sujet, il était
nécessaire d’utiliser les guillemets. Trop de copies encore contiennent des éléments qui ne doivent pas apparaitre
dans une copie de concours : « arnaque » ou « arnaqueur », d’autres mots parfois grossiers… Il n’est pas possible
par ailleurs de prendre le correcteur à témoin, de le remercier à la fin du devoir, d’utiliser le « tu », de signer sa copie
avec la date et le nom de du candidat (un cas). La ponctuation enfin est assez mal maitrisée. Il est essentiel de
s’obliger à faire des phrases courtes qui débutent par une lettre majuscule et se terminent par un point. Dès que les
candidats dérivent vers l’utilisation du point-virgule, cela donne lieu à des phrases interminables où le candidat ne
maitrise plus rien si ce n’est de juxtaposer des idées sans but et sans réflexion. L’impression que l’on en retire est très
mauvaise devant un candidat incapable de maitriser sa pensée et de structurer sa copie. Les citations sont les
bienvenues, à condition que cela soit utilisé à bon escient. Il est inutile d’apprendre des phrases toutes faites pour les
placer quel que soit le sujet, au risque notamment de faire figurer une citation en décalage avec la question posée,
finalement proche du hors sujet. Enfin, on ne mentionnera jamais assez qu’il faut aérer la copie, ce qui donne au
moins dans la forme, visuellement, l’impression d’une certaine clarté.
Sujet n°1 :
Selon vous quelles conséquences pourraient entraîner l’élection de M. Donald Trump à la présidence des Etats-Unis
d’Amérique pour l’équilibre des relations internationales ?
Ce sujet est parmi ceux qui a été le plus choisi, en lien avec l’actualité du moment, ce qui laissait le choix de disserter
à peu près correctement. Beaucoup de candidats, sûrs de leurs informations, se sont lancés dans l’évaluation des
pourcentages de droit de douanes imposés par la nouvelle administration américaine vis-à-vis d’une longue série de
pays. Compte tenu de l’évolution constante de l’application des droits de douanes et des multiples volte-face de
l’administration Trump sur ce sujet, cet écueil devait être évité. Ainsi certaines copies se sont senties obligées de
disserter sur ce point au sein de longs paragraphes pour finir par se contredire et terminer leur propos par des
conclusions sans intérêt réduites finalement à une sorte de « bataille de pourcentages ».
Ces restrictions et conséquences sur le commerce international ont été vues en creux comme une opportunité pour
les pays qui en seraient victimes, comme un stimulus en quelque sorte pour que les pays touchés par l’application des
droits de douanes développent des relations commerciales avec des pays autres que les Etats-Unis d’Amérique. La
Chine a été à ce sujet à peu près universellement citée à ce sujet. Toute une série de conséquences ont été
relativement bien évaluées, étayées d’exemples connus comme la déstabilisation de l’ordre mondial à l’aune des
prétentions affichées par M. Trump sur le Canada ou le Groenland. En général, les copies qui ont eu la moyenne,
inscrivaient leur propos dans une perspective historique rappelant que c’est tout le système international initié par les
Etats-Unis après la deuxième guerre mondiale qui est actuellement remis en cause par ceux-là même qui l’avaient
porté sur les fonds baptismaux. Sur la déstabilisation de l’ordre mondial, volet géopolitique, certains candidats sont
allés allégrement vers l’annonce d’une troisième guerre mondiale, conclusion téméraire (même si la situation reste
inquiétante) sans évoquer peut-être que la multiplication des annonces de l’administration américaine actuelle, peut
s’apparenter à une sorte de méthode du chaos, afin de revisiter la place des Etats-Unis et de tirer avantage de cette
situation dans un environnement bouleversé. Une méthode, s’il s’agit bien de cela, qui permettait d’identifier une sorte
de fin du multilatéralisme au profit d’accords et de négociations avec chaque pays, au cas par cas ou de gré à gré en
quelque sorte. S’emparer de cette thématique permettait ainsi de poser la question des effets de bord et
conséquences de cette politique notamment sur l’Union Européenne ou d’autres interlocuteurs transnationaux, en
développant des hypothèses d’ajustement de la nouvelle politique américaine justement en fonction du degré de
solidité de certaines alliances internationales. Certes, beaucoup de copies ont mentionné que les Etats-Unis
remettaient en question leur contribution au sein de l’ONU (ce qui d’ailleurs n’est pas une nouveauté) montrant par-là
que le multilatéralisme, n’est plus au centre des préoccupations du moment du côté de la nouvelle administration
américaine. Bien peu de copies en revanche n’ont pas ou peu posé la question d’un possible appauvrissement de
l’attractivité des Etats-Unis en matière de d’Enseignement supérieur, de Recherche et d’innovation à l’aune des
multiples entraves aux mobilités étudiantes et de Recherche, ce qui aurait pu permettre de se poser la question d’un
possible futur appauvrissement des capacités de recherche et d’innovation de ce pays face à d’autres pays comme la
Chine. Ainsi, les injonctions adressées par l’administration Trump aux universités américaines pour restreindre leur
indépendance de recrutement et réorienter certains champs de la Recherche (développement durable, changement
climatique, genre…) ont été peu relevées alors que ce sujet comme ceux relatifs à l’économie pouvaient permettre
d’élargir le questionnement sur un possible moment historique de réagencement mondial. Certains candidats se sont
approchés de cette thématique mais sur le versant des entraves à la limitation des visas et du refoulement des
populations en situation illégale sur le sol des Etats-Unis d’Amérique.
Sujet n°2 :
L’omniprésence des réseaux sociaux et la diffusion en continu de l’information peuvent conduire à une certaine
manipulation des esprits. Quels moyens nos sociétés pourraient-elles mettre en œuvre afin que la parole des
gouvernants, des experts, des scientifiques puisse être mieux entendue par la population noyée dans un flot
d’informations contradictoires et de qualité très inégale ?
Ce sujet a également séduit une bonne proportion de candidats. Il s’agissait ici encore d’un sujet relativement
accessible puisque les réseaux sociaux et les problèmes qu’ils posent sont connus de tous et font les bonnes heures
de débats, de conférences, de livres ou d’articles, quasiment journellement, tout autant qu’ils agitent la sphère
familiale et les relations sociales. Beaucoup de copies ont remarqué avec justesse qu’une partie des solutions à
proposer passait par l’éducation à la fois familiale, au sein du système scolaire, voire dans l’enseignement supérieur
en identifiant le rôle de l’Etat. Mais beaucoup de copies se sont lancées dans une description de solutions
vigoureuses qui faisaient une place très (voire trop) importante à la mise en place d’un arsenal répressif. Cela
s’avérait non seulement difficile à mettre en œuvre dans une proposition de création d’un organe de contrôle en
pensant au recrutement d’une force de police pléthorique, mais surtout cette ligne de conduite ne prenait pas en
compte l’atteinte aux libertés fondamentales que cela pouvait entraîner. Ainsi, des pays comme la Corée du Nord ou
la Chine ont été cités à plusieurs reprises comme exemple de contrôle des informations diffusées par les réseaux
sociaux, une solution toute trouvée en quelque sorte ! Il était au contraire important d’indiquer que l’accès à
l’information était un bien à protéger afin que chaque citoyen puisse avoir accès au savoir, communiquer, recevoir des
informations, soulignant par-là que c’est moins l’accès à l’information qui posait problème mais sa qualité, ce qui est
finalement un problème universel qui va bien au-delà des informations diffusées par les réseaux sociaux. On pouvait
rappeler à cette occasion que quasiment de tous temps la qualité de l’information est un enjeu crucial dont des
exemples pouvaient être pris dans différentes périodes, notamment celle de la guerre froide alors que les réseaux
sociaux n’existaient pas. En somme, il s’agissait plus de disserter sur le rôle de l’information, problématique décuplée
par les moyens électroniques de diffusion que nous avons à notre disposition. Les bonnes dissertations se sont
efforcées justement de souligner que l’essentiel du sujet résidait dans l’éducation des populations par le
développement de l’esprit critique et le croisement des sources, ce qui annonçait en général un traitement correct du
sujet.
Sujet n°3 :
Dans un proche avenir, on estime qu’un tiers de la population mondiale sera confronté à la raréfaction de la ressource
en eau en raison du changement climatique tandis que sa répartition inégale entre les pays devrait renforcer les
tensions internationales. Selon vous, comment pourrions-nous mieux gérer la ressource en eau aussi bien au niveau
local que transnational afin que tous les pays et leurs populations puissent y avoir accès équitablement ?
C’est le sujet qui a un peu moins séduit les candidats, mêmes si on peut remarquer que cette année le choix se
répartit un peu plus uniformément entre les trois sujets proposés.
Un défaut majeur a été relevé dans bien des copies. Beaucoup de candidats se sont appesantis sur la thématique du
changement climatique, certains n’ont d’ailleurs traité que cela. On a découvert des variantes au sein de cette
tendance, avec une insistance à traiter la pollution et ses effets sur le changement climatique, la déforestation, la fonte
des glaces, le supposé effet des retombées radioactives sur le changement climatique… Il était acceptable que, dans
l’entame du sujet à traiter, on pouvait parler effectivement du changement climatique, ne serait-ce qu’en raison de la
mention du changement climatique dans le sujet. Ainsi, on pouvait aborder la question selon le rôle joué par le
changement climatique sur la raréfaction de la ressource en eau tout en évoluant rapidement vers le cœur du sujet qui
relevait beaucoup plus de l’aménagement, de l’adaptation, de politique publique, de politique internationale. Lorsque
certaines copies n’ont traité que la question du changement climatique et de ses causes, il s’agissait évidemment d’un
quasi hors sujet sanctionné par une note sévère. D’où l’on peut répéter qu’il est essentiel que les candidats relisent le
sujet durant toute la durée de la dissertation afin de ne pas s’enferrer dans de mauvaises directions. Il est regrettable
par ailleurs qu’une minorité de copies ne se soit pas préoccupée de la gestion transnationale de l’eau qui était un des
points mentionnés dans l’intitulé. Il s’agissait ici d’aborder la question de la gestion de l’eau au niveau d’un bassin
versant commun à plusieurs pays par exemple, d’un fleuve ou d’une rivière en limite de territoire de deux Etats, de la
nappe phréatique qui par définition ne connait pas de frontières. La question devenait intéressante sur ce volet dans la
mesure où elle impliquait de s’emparer de la question politique et géopolitique de l’entente entre Etats pour une
exploitation raisonnée de la ressource hydrique en contre point en quelque sorte aux différentes annonces polémiques
promettant régulièrement une « guerre de l’eau ». Il est vrai que beaucoup de copies se sont efforcées effectivement
de traiter le volet international de la gestion de l’eau. Des suggestions, des exemples ont été cités au titre des
programmes d’instances internationales dépendante de l’ONU ou de coopérations internationales avec différents pays
au titre d’échanges d’expériences et de l’aide apportée dans le cadre d’une gestion raisonnée de la ressource en eau.
Ce point tout à fait conforme à ce qui était attendu constituait un volet du raisonnement mais se trouvait assez souvent
orphelin en l’absence de poursuite vers la question importante d’une entente entre Etats limitrophes pour s’accorder
sur une gestion commune de la ressource via des programmes conjoints et/ou des accords entre Etats voisins sur
cette question. Ainsi, s’engager dans ce volet particulier présentait l’avantage d’ouvrir le sujet vers des exemples qui
pouvaient être pris dans de multiples pays, et pas seulement en Afrique, et d’explorer les solutions d’ententes entre
Etats pour une gestion commune de la ressource en eau, d’identifier les obstacles éventuels à leur mise en œuvre
(instabilité politique, conflits, règlement des différends, aspects socio-économiques et culturels, intérêts
économiques…).
Deuxième composition de mathématiques
Contexte
Comme les années précédentes, l’épreuve est composée de six exercices indépendants. Conformément au
programme commun des terminales scientifiques des pays concernés, cinq exercices portent sur l’analyse, avec
comme incontournables : l’étude de fonctions, le calcul intégral et les suites. Le sixième exercice concerne les
probabilités.
L’épreuve a été strictement notée sur vingt. Chaque exercice étant noté sur 3 ou 4 points.
Rappelons que les copies de cette deuxième épreuve ne correspondent qu’aux candidats non éliminés par la
première épreuve de mathématique. Par conséquent, les notes sont, en moyenne, relativement bonnes.
Résultats
Chaque question a toujours été traitée par plusieurs dizaines de candidats. L’étude des fonctions est, comme toujours,
le thème le mieux réussi dans l’ensemble, avec le calcul intégral.
Contraction de texte
Dans l’ensemble l’exercice était bien compris et les consignes bien suivies. J’ai majoritairement noté les copies entre
10 et 12.
Concernant le principe de contraction de texte.
La consigne était bien comprise. Il y avait très peu de copies qui se présentaient sous forme de résumé ou d’analyse
d’une partie du sujet. Quelques copies proposaient une contraction d’une seule partie du texte (le début ou la fin).
Le texte proposé était très fourni en indications quantitatives et il était utile de conserver quelques chiffres clés. Une
minorité de copies a pris en compte cette donnée. Les copies qui présentaient au moins 2 données chiffrées étaient
les meilleures copies.
Indication du nombre de mots.
Il y avait régulièrement des oublis de mention du nombre de mots ce qui m’obligeait à les compter alors même que
l’intervalle était souvent respecté. Cela ne met pas la correctrice dans des conditions favorables. Il est utile de bien
vérifier avoir précisé le nombre de mots utilisés.
Il y avait des copies qui présentaient une grande différence entre le nombre de mots annoncé et la réalité, ce qui était
visible pour une correctrice qui lit des centaines de copies. Il est moins coûteux en points de notation d’indiquer un
nombre de mots réel, même s’il est en dessous du minimum attendu, que de donner l’impression d’avoir essayé de
tromper la correctrice.
Orthographe et grammaire
Il y avait des fautes d’orthographe sur des mots présents dans le texte d’origine. Il est nécessaire de bien se relire et
de vérifier l’orthographe des mots réutilisés si l’on a un doute.
La majuscule pour les noms de pays était très souvent oubliée. Il serait utile de rappeler cette règle.
Des mots invariables restaient méconnus. Ex : la préposition malgré était souvent écrite avec un « s » à la fin.
Le vocabulaire était parfois familier : « en gros », « les gosses », etc. Il est préférable d’utiliser un vocabulaire de
registre plus soutenu pour un écrit.
Des mots écrits sur une base phonétique pouvaient traduire une méconnaissance de leur signification. Ex : « le tôt de
natalité », « Plutard », « En quel que sorte », « D’un notre côté ».
J’ai fréquemment trouvé des erreurs de conjugaison du type « Nous somme ». La conjugaison des auxiliaires être et
avoir au présent sont des bases à maîtriser.
J’ai également pu lire plus d’une dizaine de copies sans aucune faute d’orthographe, ce qui est remarquable.
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ANALYSTES STATISTICIENS
ISE Cycle long /AS
CORRIGÉ de la 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Avertissement !
• Le sujet comporte cinq pages numérotées de 1 à 5.
• L’exercice 1 est composé de 10 questions indépendantes entre elles, toutes notées
sur 1 point. Une note strictement inférieure à 6 est éliminatoire. Toutefois, cet
exercice ne comptera que pour un cinquième dans la note finale de cette première
épreuve.
Notations
— On désigne par N l’ensemble des entiers naturels, et on pose :
N∗ = N \ {0}.
— On désigne par R l’ensemble des nombres réels, R+ l’ensemble des nombres réels positifs ou
nuls, et on pose : R∗ = R \ {0}.
— On désigne par C l’ensemble des nombres complexes — il contient l’ensemble des nombres
réels R, ainsi qu’un élément i qui vérifie : i2 = −1.
Exercice 1
Z 2
1. Calculer l’intégrale
2
xe−x dx.
0
D’après le théorème fondamental du calcul intégral :
"
Z 2
xe
0
−x2
e−x
dx = −
2
1
2
#x=2
=
x=0
1 − e−4
.
2
p
2. Déterminer le domaine de définition de la fonction numérique x 7→ ln(x2 + x − 1).
La fonction est définie pour tout x ∈ R tel que : x2 + x − 1 > 0 et : ln(x2 + x − 1) ≥ 0,
c’est-à-dire tel que : x2 + x − 1 > 0 et : x2 + x − 1 ≥ 1.
√
1± 5
2
2
Or le discriminant de x + x − 1 est : 1 − 4 × 1 × (−1) = 5, donc les racines sont
,
2
√
√
−1 − 5 −1 + 5
donc : x2 + x − 1 > 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞,
|∪]
, +∞[.
2
2
2
2
De même : x + x − 1 ≥ 1 ⇐⇒ x + x − 2 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞, −2] ∪ [1, +∞[.
√
√
√
−1 − 5
−1 + 5
<0<
< 1, donc la fonction est
Mais : 2 < 5 < 3, donc : −2 <
2
2
définie sur ] − ∞, −2] ∪ [1, +∞[.
3x2 + 7x − 1
possède une asymptote
x+3
oblique au voisinage de +∞, dont on déterminera une équation cartésienne.
3. Montrer que la courbe représentative de la fonction x 7→
Pour tout x > 0 :
3x2 +7x−2
x+3
x
=
7
− 3x22
3x2 + 7x − 2
3x2 1 + 3x
=
×
−−−−→ 3×1 = 3,
x→+∞
x2 + 3x
x2
1 + x3
puis :
3x2 + 7x − 2 3x(x + 3)
−2x − 2
3x2 + 7x − 2
− 3x =
−
=
−−−−→ −2.
x+3
x+3
x+3
x + 3 x→+∞
Donc la fonction possède la droite d’équation cartésienne :
voisinage de +∞.
x2 − 3x3
4. Étudier la limite de 4 x
lorsque x tend vers −∞.
x e −1
1
1 − 3x
x2 − 3x3
3
On a :
=
3x
×
.
x4 ex − 1
1 − x4 e x
y = 3x − 2
pour asymptote au
x2 − 3x3
donc par produit :
−−−−→ −∞.
x→−∞
x4 ex − 1 x→−∞
i πh
5. Calculer la dérivée de la fonction x 7→ ln cos(3x) définie sur 0, .
6
i πh
−3 sin(3x)
La dérivée de la fonction est x 7→
= −3 tan(3x) sur 0, .
cos(3x)
6
6. On note (un )n∈N la suite définie par son premier terme u0 > 0 et pour tout n ∈ N : un+1 =
p
1
1 + un + u2n − . Montrer que la suite (un + u2n )n∈N est arithmétique. Préciser sa raison.
2
Pour tout n ∈ N :
p
p
1
1 2
2
2
2
un+1 + un+1 = 1 + un + un − +
1 + un + un −
2
2
p
p
1
1
= 1 + un + u2n − + 1 + un + u2n − 1 + un + u2n +
2
4
3
2
= un + un + .
4
Par croissance comparée :
x4 ex −−−−→ 0,
La suite est arithmétique de raison
3
.
4
2
7. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On lance n fois de suite une pièce équilibrée, et
l’on note P lorsque la pièce tombe sur pile , et F lorsque la pièce tombe sur face . Le
résultat est alors donné par une liste de n lettres P ou F . Par exemple, pour n = 4, on note
P F P P pour indiquer qu’on a tiré pile au premier lancer, puis face au deuxième, puis
pile au troisième et au quatrième.
(a) Combien y a-t-il de listes possibles ?
Il y a 2n possibilités.
(b) Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux pile lors des n lancers.
n
n(n − 1)
Il y a
=
possibilités.
2
2
1
n(n − 1)
× n.
Comme elles sont toutes équiprobables, la probabilité est :
2
√ 2
8. Déterminer une forme trigonométrique
! du nombre complexe a = 3 − i.
√
π
π √
3
i
−
= 2 × cos −
+ i sin −
.
On a : a = 3 − i = 2 ×
2
2
6
6
9. Déterminer la limite de la suite (vn )n∈N définie par : ∀n ∈ N, vn =
√
1+i
2
(1 + i)n
Pour tout n ∈ N :
=
< 1, donc :
−−−−−→ 0.
n→+∞
2
2
2n
(1 + i)n
.
2n
10. Résoudre l’équation : 2x4 − 3x2 − 2 = 0 d’inconnue x ∈ R, puis d’inconnue x ∈ C.
On reconnaı̂t une équation homogène en x2 . 1
2
, donc pour tout x ∈ C :
Or pour tout z ∈ C : 2z − 3z − 2 = 2(z − 2) z +
2

√
√
1

2

2(x − 2)(x + 2) x +
1
2 2x4 − 3x2 − 2 = 2(x2 − 2) x2 +
=
√
√
i
i

2

x− √
.
2(x − 2)(x + 2) x + √
2
2
√
√
√
√
i
i
Les solution réelles sont 2 et − 2, et les solutions complexes sont 2, − 2, √ et − √ .
2
2
Exercice 2
Pour tout entier non nul n ∈ N∗ , on note fn la fonction définie sur R par la relation :
−n
xe x si x 6= 0
∀x ∈ R, fn (x) =
0
si x = 0.
1. Dans cette question, on fixe l’entier naturel n ∈ N∗ .
(a) La fonction fn est-elle continue en 0 ? Justifier.
Par produit : lim fn (x) = 0 donc fn est continue à gauche, et par croissance comx→0+
parée :
lim fn (x) = −∞,
x→0−
donc fn n’est pas continue à droite.
Conclusion : fn n’est pas continue en 0.
3
(b) Étudier les limites de fn en +∞ et −∞.
Par produit :
lim fn (x) = −∞ et :
x→−∞
lim fn (x) = +∞.
x→+∞
(c) Justifier que fn est dérivable sur R∗ , et calculer fn0 .
Par produit et composée, fn est dérivable sur R∗ et pour tout x ∈ R∗ :
n
n n n −n
fn0 (x) = 1 × e− x + x × 2 e− x = 1 +
e x.
x
x
(d) Dresser le tableau de variation complet de fn sur R.
n
x+n
Pour tout x ∈ R∗ : fn0 (x) =
× e− x , d’où le tableau :
x
x
−∞
fn0 (x)
−n
+
0
+∞
0
−
+
−ne
+∞
fn
−∞
−∞
0
2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , l’équation : fn (x) = 1 d’inconnue x ∈ R+ possède une
unique solution, qu’on note un .
La fonction fn est strictement croissante sur R+ , donc l’équation possède au plus une solution.
Mais : lim fn (x) = 0 et :
lim fn (x) = +∞, et comme fn est continue sur R+ ,
x→+∞
x→0+
l’équation possède au moins une solution d’après le théorème des valeurs intermédiaires.
Conclusion : l’équation possède exactement une solution.
En fait, fn réalise une bijection de R+ sur R+ .
3. (a) Justifier que pour tout n ∈ N∗ : un ≥ 1.
Pour tout n ∈ N∗ : fn (1) = e−n < 1, et comme fn est strictement croissante sur R+ ,
il vient : un ≥ 1.
(b) Montrer que (un )n∈N est strictement monotone.
On pourra commencer par calculer et simplifier fn+1 (un ) pour tout n ∈ N∗ .
Soit n ∈ N∗ . On a :
n+1
n
1
1
1
fn+1 (un ) = un e− un = un e− un × e− un = fn (un ) × e− un = e− un < 1 = fn+1 (un+1 ).
Comme fn+1 est strictement croissante sur R+ , c’est que :
un < un+1 .
(c) Montrer que (un )n∈N diverge vers +∞.
La suite est strictement croissante, donc possède une limite ` ∈ [1, +∞[∪{+∞} d’après
le théorème de la limite monotone.
n
Si ` ∈ [1, +∞[, alors en passant à la limite dans la relation : un e− un = 1, et par
composition, il vient : 0 = 1, ce qui est absurde.
Donc : ` = +∞.
4
4. (a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ :
un ln(un ) = n.
n
Soit n ∈ N∗ . De la relation : un e− un = 1,
il vient :
ln(un ) −
n
= 0,
un
et donc :
un ln(un ) = n.
ln(x) + ln ln(x)
(b) Étudier la limite :
lim
.
x→+∞
ln(x)
ln(n)
En déduire la limite de
lorsque n tend vers +∞.
ln(un )
ln(x) + ln ln(x)
ln ln(x)
Pour tout x > 1 :
= 1+
−−−−→ 1 par croissance comx→+∞
ln(x)
ln(x)
parée.
ln un ln(un )
ln(un ) + ln ln(un )
ln(n)
Ainsi :
=
=
−−−−−→ 1 par composition
n→+∞
ln(un )
ln(un )
ln(un )
des limites.
ln(n)
converge, et préciser la limite.
(c) Montrer que la suite un
n
n∈N
ln(n)
un ln(un )
ln(n)
Enfin : un ×
=
×
−−−−−→ 1 par produit.
n
n
ln(un ) n→+∞
Exercice 3
On note (E) l’équation : x3 + 3x − 1 = 0
d’inconnue x ∈ R.
1. (a) Montrer que (E) possède une unique solution.
Vous n’essaierez pas de la calculer, c’est l’objectif de la suite de l’exercice.
ϕ
La fonction x 7→ x3 + 3x − 1 est dérivable sur R, et pour tout x ∈ R :
ϕ0 (x) = 3x2 + 3 > 0.
Elle est donc strictement croissante sur R.
Or :
lim ϕ(x) = −∞ et :
lim ϕ(x) = +∞,
x→−∞
x→+∞
et comme ϕ est continue sur R, le
théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence d’une unique racine.
On note ρ l’unique solution de (E).
1
(b) Justifier que : ρ ∈]0, 1[, puis que : ρ = 2
.
ρ +3
On a : ϕ(0) = −1 < 0 et : ϕ(1) = 3 > 0, donc ρ ∈]0, 1[.
1
ρ2 +36=0
Par ailleurs : ρ3 + 3ρ − 1 = 0 ⇐⇒ ρ(ρ2 + 3) = 1 ⇐⇒ ρ = 2
.
ρ +3
1
On note f la fonction x 7→ 2
sur R, et (ρn )n∈N la suite définie par :
x +3
ρ0 = 0
et pour tout n ∈ N : ρn+1 = f (ρn ) =
On admet que pour tout n ∈ N : ρn ∈ [0, 1].
5
1
ρ2n + 3
.
2. Donner f (0) et f (1). Montrer que f est strictement décroissante sur [0, 1].
1
1
On a : f (0) =
et f (1) = .
3
4
La fonction f est dérivable sur [0, 1] et pour tout x ∈]0, 1] : f 0 (x) = −
2x
(x2 + 3)2
< 0,
donc
f est strictement décroissante sur [0, 1].
3. (a) Déterminer un réel k ∈]0, 1[ pour lequel : ∀x ∈ [0, 1], |f 0 (x)| ≤ k.
2×1
2
2x
≤
= .
Par quotient, pour tout x ∈ R+ : |f 0 (x)| = 2
2
2
(x + 3)
(0 + 3)
9
(b) En déduire que pour tout n ∈ N : |ρn+1 − ρ| ≤ k|ρn − ρ|.
Soit n ∈ N. Comme ρn , ρ ∈ [0, 1], l’inégalité des accroissements assure que :
|ρn+1 − ρ| = |f (ρn ) − f (ρ)| ≤
2
× |ρn − ρ|.
9
4. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N : |ρn − ρ| ≤ k n .
Pour tout n ∈ N, on note P(n) la propriété : |ρn − ρ| ≤ k n .
Initialisation. On a : |ρ0 − ρ| = ρ < 1 = k 0 , donc P(0) est vraie.
Hérédité. Soit n ∈ N. Supposons P(n) vraie. Aussitôt :
Q3.
HR
|ρn+1 − ρ| ≤ k|ρn − ρ| ≤ k × k n = k n+1 .
Donc P(n + 1) est vraie.
Conclusion. Par principe de récurrence : ∀n ∈ N, |ρn − ρ| ≤ k n .
5. (a) Montrer finalement que (ρn )n∈N converge vers ρ.
Comme : 0 ≤ k < 1, on a : k n −−−−−→ 0.
n→+∞
Par encadrement :
ρn −−−−−→ ρ.
n→+∞
(b) Déterminer un entier N pour lequel : |ρN − ρ| ≤ 10−20 . Vous détaillerez votre raisonnement.
Un entier N tel que : k N ≤ 10−20 convient. Or :
k N ≤ 10−20 ⇐⇒ N ln(k) ≤ −20 ln(10) ⇐⇒ N ≥
On a :
−20 ln(10)
≈ 30, 6,
ln(k)
donc :
N = 31
−20 ln(10)
.
ln(k)
convient.
Exercice 4
1. Soit n ∈ N∗ .
(a) Résoudre l’équation : cos(nθ) = −1
tions à cette équation ?
Pour tout θ ∈ R :
d’inconnue θ ∈ [0, 2π[. Combien y a-t-il de solu-
cos(nθ) = −1 ⇐⇒ nθ ≡ π (2π) ⇐⇒ ∃k ∈ Z/
Les solutions dans [0, 2π[ sont
π 3π
(2n − 1)π
,
, . . .,
— il y en a n.
n n
n
6
θ=
π 2kπ
+
.
n
n
(b) Soient θ ∈ R et ρ ∈ R∗+ . On pose : z = ρ cos(θ) + i sin(θ) ∈ C.
Donner sans démonstration une forme trigonométrique de z n .
On a : z n = ρn cos(nθ) + i sin(nθ) .
(c) En déduire les solutions de l’équation : z n = −1 d’inconnue z ∈ C.
Pour tout z ∈ C :
z n = −1 ⇐⇒ ρn cos(nθ) + i sin(nθ) = 1 × cos(π) + i sin(π)
⇐⇒ ρn = 1
et nθ ≡ π
(2π)
⇐⇒ ∃k ∈ {0, . . . , n − 1}/
Pour tout n ∈ N, on note (En ) l’équation :
z = cos
(2k + 1)π
n
z̄(z − 1) = z n (z̄ − 1)
+ i sin
(2k + 1)π
n
.
d’inconnue z ∈ C.
2. (a) Résoudre l’équation (E0 ), c’est-à-dire l’équation z̄(z − 1) = z̄ − 1 d’inconnue z ∈ C.
Pour tout z = a + ib ∈ C sous forme algébrique :
z̄(z − 1) = z̄ − 1 ⇐⇒ (a − ib)(a + ib − 1) = a − ib − 1
⇐⇒ a2 + b2 − a + ib = a − ib − 1
⇐⇒ a2 + b2 − 2a + 1 = 0
⇐⇒ b = 0
et
2b = 0
2
et a − 2a + 1 = 0
⇐⇒ z = 1.
(b) Résoudre l’équation (E1 ), c’est-à-dire l’équation z̄(z − 1) = z(z̄ − 1) d’inconnue z ∈ C.
Pour tout z ∈ C : z̄(z − 1) = z(z̄ − 1) ⇐⇒ z̄z − z̄ = z z̄ − z ⇐⇒ z − z̄ = 0 ⇐⇒ z ∈ R.
Dans la suite de l’exercice, on fixe un entier naturel n ∈ N tel que : n ≥ 2.
3. (a) Montrer que 0 est solution de (En ).
On a : 0̄(0 − 1) = 0 et 0n (0̄ − 1) = 0,
Soit z0 ∈ C une solution non nulle de (En ).
donc 0 est solution de (En ).
(b) Montrer que : |z0 | = 1.
En prenant le module : |z¯0 (z0 − 1)| = |z0n (z¯0 − 1)|.
Or pour tout Z, Z 0 ∈ C : |Z̄| = |Z| et |ZZ 0 | = |Z| × |Z 0 |, donc on obtient :
|z0 | × |z0 − 1| = |z0 |n × |z0 − 1|
Donc, comme n ≥ 2, :
z0 = 0
| {z }
ou
c’est-à-dire
z0 = 1
|z0 | × |1 − z0 | × (1 − |z0 |n−1 ) = 0.
ou |z0 |n−1 = 1,
exclu
1
(c) Montrer que : z0 = , puis que : (z0 − 1)(z0n + 1) = 0.
z0
On a : |z0 | = 1 ⇐⇒ |z0 |2 = 1. Or : |z0 |2 = z0 z0 .
7
donc : |z0 | = 1.
Ainsi :
z¯0 (z0 − 1) = z0n (z¯0 − 1)
z¯0 = z1
1
(z0 − 1) = z0n
⇐⇒
z0
0
1
−1
z0
×z0 6=0
⇐⇒ (z0 − 1) = z0n (1 − z0 )
⇐⇒ (z0 − 1)(z0n + 1) = 0.
(d) En déduire les valeurs possibles pour z0 .
Ainsi : z0 = 1 ou z0n = −1, donc d’après la question 1 :
(2k + 1)π
(2k + 1)π
z0 ∈ 1, cos
+ i sin
.
n
n
k=0,...,n−1
(e) En déduire toutes les solutions de (En ) lorsque n ∈ N et n ≥ 2.
On a vu que 0 est solution,
et que toute autre
solutionest nécessairement soit égale
(2k + 1)π
(2k + 1)π
+ i sin
pour k ∈ {0, . . . , n − 1}. Or
à 1 soit de la forme cos
n
n
on vérifie que réciproquement toutes ces possibilités
sont solutions
de
(En ). On a donc
(2k + 1)π
(2k + 1)π
bien identifié toutes les solutions : 0, 1 et cos
+ i sin
pour
n
n
k ∈ {0, . . . , n − 1}.
Exercice 5
Dans cet exercice, on fixe un entier naturel n ∈ N∗ .
1. Dans cette question, y0 , . . . , yn sont des nombres réels positifs, et Y est une variable aléatoire
à valeurs dans {y0 , . . . , yn }.
(a) Montrer l’inégalité de Markov : ∀ε > 0, E(Y ) ≥ εP(Y ≥ ε).
Indication. Vous pourrez partir de la définition de l’espérance.
Soit ε > 0. On a :
E(Y ) =
n
X
k=0
yk P(Y = yk ) ≥
X
yk P(Y = yk ) ≥
yk ≥ε
X
εP(Y = yk ) = εP(Y ≥ ε).
yk ≥ε
Dans la question suivante, on note m l’espérance de Y , et σ 2 sa variance.
(b) En déduire l’inégalité de Bienaymé-Chebychev : P(|Y − m| ≥ ε) ≤
σ2
.
ε2
Pour commencer : P[|Y − m| ≥ ε] = P[(Y − m)2 ≥ ε2 ].
Appliquons à présent l’inégalité de Markov à la variable aléatoire (Y − m)2 :
E (Y − m)2
σ2
2
2
=
.
P (Y − m) ≥ ε ≤
ε2
ε2
8
Une population de personnes présente une maladie avec une proportion inconnue p ∈]0, 1[. On
choisit un échantillon de n personnes, et on pose Xi = 1 si le i-ième individu est malade, 0 sinon.
On considère que les variables aléatoires Xi ainsi définies sont indépendantes et suivent toutes une
loi de Bernoulli de paramètre p.
2. Quelle est la loi suivie par Sn = X1 + · · · + Xn ? Rappeler l’espérance et la variance de Sn .
On a : Sn ∼ B(n, p), donc : E(Sn ) = np et V(Sn ) = np(1 − p).
1
3. (a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] : 0 ≤ x(1 − x) ≤ .
4
Par produit : ∀x ∈ [0, 1], x(1 − x) ≥ 0.
Pour tout x ∈ [0, 1] :
1
1
1 2
2
x(1 − x) − = −x + x − = − x −
≤ 0.
4
4
2
Sn
1
(b) Montrer que pour tout ε > 0 : P
−p >ε ≤
.
n
4nε2
Vous pourrez
de Bienaymé-Chebychev.
appliquer l’inégalité
Sn
On a : P
− p > ε = P (|Sn − np| > nε).
n
D’après l’inégalité de Bienaymé-Chebychev : P (|Sn − np| > nε) ≤
np(1 − p)
p(1 − p)
=
.
2
(nε)
nε2
1
p(1 − p)
≤
.
2
nε
4nε2
4. Pour ε = 0, 01, quelle taille N de l’échantillon doit-on choisir pour que SN /N soit voisin de
p à ε-près avec une probabilité supérieure à 95% ?
1
1
On cherche un entier N tel que :
≤ 0, 05, c’est à dire N ≥
= 500.
2
−4
4N × 0, 01
4 · 10 × 0, 05
Par exemple N = 500 convient.
D’après la question précédente :
Exercice 6
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~i, ~j), et on considère les points A(−3; 1), B(1; 5)
et C(3; −3).
1
1. Donner les coordonnées du centre de gravité
du triangle ABC. On le notera G dans la suite.
1
1
On a : G = (A + B + C), d’où G
;1 .
3
3
2. (a) Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de A.
Pour tout M (x; y) :
−−→ −−→
x+3
2
AM · BC = 0 ⇐⇒
·
= 0 ⇐⇒ x − 4y + 7 = 0.
y−1
−8
1. On rappelle que le centre de gravité du triangle ABC est le point de concours des médianes. C’est aussi le
barycentre du système {(A, 1), (B, 1), (C, 1)}.
9
(b) Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de B.
Pour tout M (x; y) :
−−→ −→
x−1
6
BM · AC = 0 ⇐⇒
·
= 0 ⇐⇒ 3x − 2y + 7 = 0.
−4
y−5
(c) En déduire les coordonnées de l’orthocentre 2 de ABC. On le notera H dans la suite.
Pour tout M (x; y) :


 y = 7
x − 4y = −7 substitution
x = 4y − 7
5
⇐⇒
⇐⇒
7
3x − 2y = −7
3(4y − 7) − 2y = −7

 x = −
5
7 7
.
D’où H − ;
5 5
12
8
78
= 0.
3. On note E l’ensemble d’équation cartésienne : x2 − x + y 2 − y −
5
5
5
12
(a) Déterminer α, β ∈ R tel que : ∀x ∈ R, x2 − x = (x − α)2 + β.
5
Pour tout x ∈ R : (x − α)2 + β = x2 − 2αx + α2 + β.
12
6
On peut choisir α, β tels que : 2α =
et α2 +β = 0, c’est-à-dire : α =
et β =
5
5
36
− .
25
(b) Montrer que E est un cercle, dont on précisera son centre Ω et son rayon R.
Pour tout (x, y) ∈ R2 :
12
8
78
6 2 36
4 2 16 78
2
2
x − x+y − y−
= 0 ⇐⇒ x −
−
+ y−
−
−
=0
5
5
5
5
25
5
25
5
6 2
4 2 442
⇐⇒ x −
+ y−
=
.
5
5
25
√
442
6 4
;
et de rayon
.
On reconnaı̂t le cercle de centre Ω
5 5
5
(c) Montrer que E est le cercle circonscrit 3 au triangle ABC.
On sait que E est un cercle. S’il passe par A, B et C, c’est le cercle circonscrit au triangle.
8
78
12
Or on vérifie que : (−3)2 −
× (−3) + (1)2 − × (1) −
= 0, donc A ∈ E.
5
5
5
De même, on vérifie que B, C ∈ E.
Ainsi, E est le cercle circonscrit au triangle ABC.
4. Montrer que les points H, Ω et G sont alignés.
13
13
−
−
−−→ −→
15
On calcule : [ΩH, ΩG] = 35
1 = 0, donc Ω, H et G sont alignés.
5
5
2. On rappelle que l’orthocentre du triangle ABC est le point de concours des hauteurs.
3. On rappelle que le centre du cercle circonscrit du triangle ABC est le point de concours des médiatrices. C’est
aussi le centre de l’unique cercle passant par A, B et C.
10
Exercice 7
Z 1
On pose :
I=
0
1
dt.
1 + t2
1. (a) Justifier que I est bien définie.
1
est continue sur le segment [0, 1], donc l’intégrale I est bien
La fonction t 7→
1 + t2
définie.
Z tan(x)
i π πh
1
(b) Montrer que pour tout x ∈ − ;
:
dt = x.
2 2
1
+
t2
0
Z tan(x)
1
Vous commencerez par montrer que la fonction x 7→
dt est dérivable sur
1 + t2
0
i π πh
l’intervalle − ; , et calculerez sa dérivée.
2 2
Z x
1
1
ψ
dt est une primitive de x 7→
sur R.
D’après le TFCI, la fonction x 7→
2
1
+
t
1
+
x2
0
Z tan(x)
i π πh
1
Par composition, la fonction x 7→
dt
=
ψ
tan(x)
est
dérivable
sur
− ; ,
1 + t2
2 2
0
et sa dérivée vaut :
(ψ ◦ tan)0 (x) = tan0 (x) × ψ 0 tan(x) = 1 + tan(x)2 ×
i π πh
,
Donc il existe λ ∈ R tel que : ∀x ∈ − ;
2 2
En évaluant en 0, il vient : λ = 0.
1
= 1.
1 + tan(x)2
(ψ ◦ tan)(x) = x + λ.
(c) En déduire la valeur de I.
π
Évaluons la dernière expression en : I =
4
Z 1
tn
2. Pour tout n ∈ N, on pose : Jn =
dt.
2
0 1+t
(a) Justifier que pour tout n ∈ N :
0 ≤ Jn ≤
Z 1
0
1
dt =
1 + t2
4
0
1
π
dt = .
1 + t2
4
1
.
n+1
tn
≤ tn ,
1 + t2
Z 1
0 ≤ Jn ≤
tn dt =
Soit n ∈ N. Pour tout t ∈ [0, 1] :
Z tan( π )
0≤
0
donc par croissance de l’intégrale :
1
.
n+1
(b) En déduire la limite de (Jn )n∈N .
Par encadrement : Jn −−−−−→ 0.
n→+∞
3. Dans cette question, on fixe un entier n ∈ N.
n
(a) Montrer que pour tout t ∈ R :
2n+2
X
1
k 2k
n+1 t
=
(−1)
t
+
(−1)
.
1 + t2
1 + t2
k=0
11
Pour tout t ∈ R : −t2 6= 1,
n
X
(−1)k t2k =
k=0
donc :
n
2n+2
X
1 − (−t2 )n+1
1
n+1 t
(−t2 )k =
=
−
(−1)
,
1 − (−t2 )
1 + t2
1 + t2
k=0
n
d’où :
2n+2
X
1
k 2k
n+1 t
=
.
(−1)
t
+
(−1)
1 + t2
1 + t2
k=0
(b) En déduire que : I =
n
X
(−1)k
k=0
2k + 1
+ (−1)n+1 J2n+2 .
On a :
Z 1
1
dt
2
0 1+t
Z 1X
n
t2n+2
Q3.a)
(−1)k t2k + (−1)n+1
=
dt
1 + t2
0 k=0
Z 1 2n+2
Z 1
n
X
t
linéarité
t2k dt + (−1)n+1
(−1)k
dt
=
1
+ t2
0
0
I=
k=0
n
k
simplification X (−1)
=
k=0
2k + 1
+ (−1)n+1 J2n+2 .
(c) Expliquer comment obtenir une approximation rationnelle de π à 10−10 près.
n
X
(−1)k
1
D’après ce qui précède : I −
= J2n+2 ≤
, et donc :
2k + 1
2n + 3
k=0
n
π X (−1)k
1
−
≤
4
2k + 1
2n + 3
c’est-à-dire
k=0
π−4
n
X
(−1)k
k=0
2k + 1
≤
4
.
2n + 3
Pour obtenir une approximation rationnelle de π à 10−10 près, il suffit de trouver N tel
N
X
4
(−1)k
−10
10 3
que :
≤ 10 , c’est-à-dire : N ≥ 2·10 − , puis de calculer 4
.
2N + 3
2
2k + 1
k=0
12
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG / ANALYSTES
STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
Corrigé de la 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Exercice n° 1
Soit l’application f définie sur 𝑅+ par : 𝑓 (𝑥) = √𝑥 − 𝑥 .
1. Étudier les variations de f et donner l’allure de son graphe.
1
La dérivée de la fonction est égale à : 2√𝑥 − 1 s’annule pour x=1/4.
La fonction est croissante entre 0 et ¼, et décroissante après.
𝑓(𝑥)
On a : lim 𝑓(𝑥) = −∞ , lim 𝑥 = −1 et lim ( 𝑓(𝑥) + 𝑥) = +∞, par conséquent le
𝑥→→+∞
𝑥→→+∞
𝑥→→+∞
graphe admet une branche parabolique dans la direction y=-x.
De plus la tangente est verticale à l’origine et f(0)=f(1)=0 et f(1/4)=1/4.
y
0.5
0
-0.5
0
1
2
3
4
5
-1
-1.5
-2
-2.5
1
2. Calculer 𝐼𝑛 = ∫0 𝑥 𝑛 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, où n est un entier naturel non nul.
1
1
1
1
On a : 𝐼𝑛 = ∫0 𝑥 𝑛 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫0 (𝑥 𝑛+2 − 𝑥 𝑛+1 ) 𝑑𝑥 = (𝑛+2)(2𝑛+3).
3 1
3. Calculer 𝐽 = ∫2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 .
√3 2
On effectue un changement de variable : 𝑡 = √𝑥 , et on obtient : 𝐽 = ∫√2 1−𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝐿𝑛 (
1
√2−1
√3−1
).
Exercice n° 2
On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle 1, +  par :
f ( x) = − x − x 2 − 1 et g ( x) = − x + x 2 − 1
1. Étudier les variations de f et g sur 1, +  .
x
La dérivée de f est f ' ( x) = −1 −
 0 et la fonction est décroissante de -1 à −  sur
x −1
l’intervalle d’étude (la fonction n’est pas dérivable à droite en 1).
La dérivée de g est g ' ( x) = −1 +
2
x
x −1
2
 0 et la fonction est croissante de -1 à 0 (la fonction
tend vers 0 à plus l’infini).
2. Pour k ∈ 𝑁, non nul, on pose : 𝐼𝑘 = [−𝑘 + √𝑘 2 − 1, +∞[ et 𝐽𝑘 = ]−∞, −𝑘 − √𝑘 2 − 1].
Montrer que ces deux suites ( I k ) et ( J k ) sont des suites monotones de segments emboîtés pour
l’inclusion.
Comme g est croissante, on a : 𝐼𝑘+1 ⊂ 𝐼𝑘
Comme f est décroissante, on a : 𝐽𝑘+1 ⊂ 𝐽𝑘
3. Pour k entier naturel non nul, on pose : f k ( x) = x 2 + 2kx + 1 . Donner l’ensemble de
définition de f k (x) en fonction de I k et J k , et en déduire l’ensemble de définition de la
fonction numérique 𝜑𝑛 définie par : 𝜑𝑛 (𝑥) = (∑𝑛𝑘=1 √𝑥 2 + 2𝑘𝑥 + 1) − √𝑛 2𝑥 2 + 1, où n est un
entier naturel strictement supérieur à 1.
La résolution de l’inéquation 𝑥 2 + 2𝑘𝑥 + 1 ≥ 0, montre que le domaine de définition de f k (x)
est I k  J k et on en déduit que le domaine de définition de 𝜑𝑛 est I n  J n .

1 
2
4. Calculer Lim  f k ( x) − x + 2  et en déduire 𝐿𝑖𝑚 𝜑𝑛 (𝑥).
x → +
𝑥→+∞
n 


1 
Lim  f k ( x) − x 2 + 2  = k et 𝐿𝑖𝑚 𝜑𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 = 𝑛(𝑛+1).
2
x → +
𝑥→+∞
n 

2
Exercice n° 3
Soit la fonction f définie sur 𝑅 − {−1} par : f ( x) =
1+ x2
.
1+ x
1. Etudier les variations de f et tracer son graphe.
1+ x2
2
= x −1+
. Cette fonction admet la droite
1+ x
1+ x
d’équation y=x-1 comme asymptote oblique et la droite x=-1 comme asymptote verticale.
La fonction peut s’écrire : f ( x) =
Sa dérivée est égale à : f ' ( x) = 1 −
Par ailleurs, f (−1 − 2 ) = −
2
x 2 + 2x − 1
et elle s’annule pour x = −1  2 .
=
(1 + x) 2
(1 + x) 2
4+2 2
2
et f (−1 + 2 ) =
4−2 2
2
.
Tableau des variations :
x
−
f ( x)
f (x)
− 1− 2
+
'
-
-
+
−
−
+
−1+ 2
-1 -1
+
+
On a une hyperbole non équilatère.
2. Montrer que le graphe de f admet un centre de symétrie que l’on précisera.
2
. Le point de
X
coordonnées (-1,2) est donc un centre de symétrie (point d’intersection des deux asymptotes).
On pose Y = y + 2; X = x + 1 pour obtenir la fonction impaire : Y = X +
1
3. Calculer I =  f ( x) dx
0
1
 x2

1
I =  f ( x) dx = 
− x + 2 Ln ( x + 1) = − + 2 Ln 2
2
2
0
0
1
4. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C, l’équation : f ( z ) = 1 + i , où la
fonction f est prolongée sur 𝐶 − {−1}.
On pose z = x + i y , d’où 1 + ( x + i y) 2 = (1 + i)(1 + x + i y) , ce qui donne le système :
1 + x − y = 1 + x 2 − y 2
( x − y )( x + y − 1) = 0
ou encore 

 1 + x + y = 2 xy
 1 + x + y = 2 xy
Si x + y − 1 = 0 , alors dans la deuxième ligne, on obtient : − x 2 + x − 1 = 0 qui n’admet pas de
racines réelles.
3
Si x − y = 0 , alors dans la deuxième ligne, on obtient : 2 x 2 − 2 x − 1 = 0 , soit x =
1 3
=y
2
Exercice n° 4
1. Étudier la suite (u n )1 n de nombres réels définie par la relation de récurrence :
un +1 = un sin( un ) et 0  u1  1 .
un +1
= sin( un )  1 . La suite est donc
un
décroissante et minorée, elle converge vers une limite l solution de l’équation : l = l sin( l ) , soit
l=0.
u 
2. Étudier la suite (vn )1 n définie par la relation de récurrence : vn +1 = Ln  n +1 
 un 
On a : vn +1 = Ln (sin( un ) )  Ln (un ) → − (car la suite un tend vers zéro).
On vérifie aisément par récurrence que : 0 < 𝑢𝑛+1 < 1 et
Exercice n° 5
On considère les deux fonctions f et g définies sur l’ensemble des nombres réels positifs par :
1
1
f ( x) = Ln ( x + e) et g ( x) = x + 1 . On note 𝑥0 la solution de l’équation
+
= 1 et on
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
admet que 𝑥0 ≈ 3,7.
1. Résoudre l’équation f ( x) = g ( x)
On considère la fonction : h ( x) = f ( x) − g ( x) , sa dérivée est égale à :
h ' ( x) =
2 x + 1 − ( x + e)
1
1
. Le dénominateur est positif et on pose
−
=
x + e 2 x +1
2( x + e) x + 1
u ( x) = 2 x + 1 − ( x + e) , dont la dérivée est strictement négative, et u est à valeurs dans
2 − e, −  . La dérivée de h est donc négative et la fonction est décroissante négative. Par
conséquent, seule x=0 est solution de l’équation.
2. Dans une course à pied de 15 kms, après 15 minutes de course, les deux concurrents en tête
(A et B) se trouvent sur une même ligne. On note x la distance restante à parcourir (en kms),
que l’on suppose supérieure à 𝑥0. On fait alors l’hypothèse H suivante :
1
H : La probabilité que le coureur A gagne la course est égale à 𝑓(𝑥) et la probabilité
1
que ce soit B est égale à 𝑔(𝑥).
L’hypothèse H a-t-elle un sens ? Sous cette hypothèse, qui a le plus de chance de gagner la
course entre A et B ?
1
1
On a, pour x positif, f (x ) et g (x ) minorés par 1, donc les valeurs 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) sont comprises
entre zéro et 1 et peuvent correspondre à des probabilités. Pour que l’hypothèse H ait un sens,
1
1
il faut de plus que la somme de ces probabilités soit inférieure à 1. Or la fonction 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) est
4
1
1
décroissante comme somme de deux fonctions décroissantes ( 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) sont effectivement
décroissantes en tant qu’inverse de fonctions croissantes). Ainsi pour tout 𝑥 > 𝑥0,
1
1
1
1
+
<
+
= 1.
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥0 ) 𝑔(𝑥0 )
L’hypothèse H a donc bien un sens.
Soit à présent y = f ( x) − g ( x) = Ln ( x + e) − x + 1 sur R + , d’après la première question y est
décroissante et négative. En conclusion : f ( x)  g ( x) ce qui signifie que A a plus de chances
de gagner la course. On peut remarquer que le résultat ne dépend pas de la distance à parcourir,
ni de l’instant où les deux coureurs sont sur la même ligne.
Exercice n° 6
Le profil d’un toboggan est modélisé (représenté) par une fonction f définie sur l’intervalle 1, 8
(unité de mesure en mètres) par : f ( x) = (ax + b) e − x , où a et b sont deux entiers naturels. On
donne 𝑒 ≈ 2,7; 𝑒 −1 ≈ 0,37 et 𝑒 −8 ≈ 0.
1. Seulement dans cette question a=3 et b=1. Étudier les variations de f et sa convexité. Tracer
son graphe.
On obtient f ' ( x) = (2 − 3x) e − x . Cette dérivée est toujours négative sur l’intervalle considéré et

la fonction est décroissante de 1, 8 sur 4 / e, 25 / e 8

−x
Sa dérivée seconde est égale à : f ( x) = (3x − 5) e . La fonction est concave pour x<5/3 et
convexe pour x>5/3.
''
f
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2 4.6 5 5.4 5.8 6.2 6.6 7 7.4 7.8
2. Déterminer la valeur de b pour que la demie tangente au graphe de f au point d’abscisse 1
soit horizontale.
Il faut que la dérivée soit nulle en 1, soit f ( x) = (−ax − b + a) e
b=0.
'
−x
et f (1) = (−b) e
'
−1
= 0 , donc
3. On souhaite de plus que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut.
Déterminer la valeur de a et représenter ce tobogan.
5
On a : f ( x) = ax e − x et pour x=1, 3,5  y = f (1) =
a
 4 . Comme e  2,7 , on obtient a=10.
e
Allure du tobogan :
f
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
1.4 1.8 2.2 2.6
3
3.4 3.8 4.2 4.6
5
5.4 5.8 6.2 6.6
7
7.4 7.8
f
4. Le mur de soutènement du toboggan (partie entre le sol et le toboggan) sera peint par un
artisan sur une seule face. Sur le devis proposé, l’artisan demande un forfait de 200 euros
augmenté de 30 euros par mètre carré peint. Quel sera le montant du devis ?
8
Calculons la surface à peindre, soit I =  10 x e
−x
dx . En intégrant par parties, on obtient :
1
8
−𝑥
8
𝐼 = [−10𝑥𝑒 ]1 + ∫ 10𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −80𝑒 −8 + 10𝑒 −1 + 10[−𝑒 −𝑥 ]18 = −90𝑒 −8 + 20𝑒 _1
1
≈ 7,4
Donc le devis sera de 200+30*7,4=422 euros.
6
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE Cycle long /AS
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Avertissement !
• Le sujet comporte cinq pages numérotées de 1 à 5.
• L’exercice 1 est composé de 10 questions indépendantes entre elles, toutes notées
sur 1 point. Une note strictement inférieure à 6 est éliminatoire. Toutefois, cet
exercice ne comptera que pour un cinquième dans la note finale de cette première
épreuve.
Notations
— On désigne par N l’ensemble des entiers naturels, et on pose :
N∗ = N \ {0}.
— On désigne par R l’ensemble des nombres réels, R+ l’ensemble des nombres réels positifs ou
nuls, et on pose : R∗ = R \ {0}.
— On désigne par C l’ensemble des nombres complexes — il contient l’ensemble des nombres
réels R, ainsi qu’un élément i qui vérifie : i2 = −1.
Exercice 1
Z 2
1. Calculer l’intégrale
2
xe−x dx.
0
2. Déterminer le domaine de définition de la fonction numérique x 7→
p
ln(x2 + x − 1).
3x2 + 7x − 1
possède une asymptote
x+3
oblique au voisinage de +∞, dont on déterminera une équation cartésienne.
x2 − 3x3
4. Étudier la limite de 4 x
lorsque x tend vers −∞.
x e −1
3. Montrer que la courbe représentative de la fonction x 7→
1
i πh
5. Calculer la dérivée de la fonction x 7→ ln cos(3x) définie sur 0, .
6
6. On note (un )n∈N la suite définie par son premier terme u0 > 0 et pour tout n ∈ N : un+1 =
p
1
1 + un + u2n − . Montrer que la suite (un + u2n )n∈N est arithmétique. Préciser sa raison.
2
7. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On lance n fois de suite une pièce équilibrée, et
l’on note P lorsque la pièce tombe sur pile , et F lorsque la pièce tombe sur face . Le
résultat est alors donné par une liste de n lettres P ou F . Par exemple, pour n = 4, on note
P F P P pour indiquer qu’on a tiré pile au premier lancer, puis face au deuxième, puis
pile au troisième et au quatrième.
(a) Combien y a-t-il de listes possibles ?
(b) Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux pile lors des n lancers.
√
8. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe a = 3 − i.
(1 + i)n
9. Déterminer la limite de la suite (vn )n∈N définie par : ∀n ∈ N, vn =
.
2n
10. Résoudre l’équation : 2x4 − 3x2 − 2 = 0 d’inconnue x ∈ R, puis d’inconnue x ∈ C.
Exercice 2
Pour tout entier non nul n ∈ N∗ , on note fn la fonction définie sur R par la relation :
−n
xe x si x 6= 0
∀x ∈ R, fn (x) =
0
si x = 0.
1. Dans cette question, on fixe l’entier naturel n ∈ N∗ .
(a) La fonction fn est-elle continue en 0 ? Justifier.
(b) Étudier les limites de fn en +∞ et −∞.
(c) Justifier que fn est dérivable sur R∗ , et calculer fn0 .
(d) Dresser le tableau de variation complet de fn sur R.
2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , l’équation :
unique solution, qu’on note un .
fn (x) = 1
d’inconnue x ∈ R+ possède une
3. (a) Justifier que pour tout n ∈ N∗ : un ≥ 1.
(b) Montrer que (un )n∈N est strictement monotone.
On pourra commencer par calculer et simplifier fn+1 (un ) pour tout n ∈ N∗ .
(c) Montrer que (un )n∈N diverge vers +∞.
4. (a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ : un ln(un ) = n.
ln(x) + ln ln(x)
(b) Étudier la limite :
lim
.
x→+∞
ln(x)
ln(n)
En déduire la limite de
lorsque n tend vers +∞.
ln(un )
ln(n)
(c) Montrer que la suite un
converge, et préciser la limite.
n
n∈N
2
Exercice 3
On note (E) l’équation : x3 + 3x − 1 = 0
d’inconnue x ∈ R.
1. (a) Montrer que (E) possède une unique solution.
Vous n’essaierez pas de la calculer, c’est l’objectif de la suite de l’exercice.
On note ρ l’unique solution de (E).
1
(b) Justifier que : ρ ∈]0, 1[, puis que : ρ = 2
.
ρ +3
1
On note f la fonction x 7→ 2
sur R, et (ρn )n∈N la suite définie par :
x +3
ρ0 = 0
et pour tout n ∈ N : ρn+1 = f (ρn ) =
1
ρ2n + 3
.
On admet que pour tout n ∈ N : ρn ∈ [0, 1].
2. Donner f (0) et f (1). Montrer que f est strictement décroissante sur [0, 1].
3. (a) Déterminer un réel k ∈]0, 1[ pour lequel : ∀x ∈ [0, 1],
(b) En déduire que pour tout n ∈ N :
|f 0 (x)| ≤ k.
|ρn+1 − ρ| ≤ k|ρn − ρ|.
4. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N :
|ρn − ρ| ≤ k n .
5. (a) Montrer finalement que (ρn )n∈N converge vers ρ.
|ρN − ρ| ≤ 10−20 . Vous détaillerez votre raison-
(b) Déterminer un entier N pour lequel :
nement.
Exercice 4
1. Soit n ∈ N∗ .
(a) Résoudre l’équation : cos(nθ) = −1
tions à cette équation ?
d’inconnue θ ∈ [0, 2π[. Combien y a-t-il de solu-
(b) Soient θ ∈ R et ρ ∈ R∗+ . On pose : z = ρ cos(θ) + i sin(θ) ∈ C.
Donner sans démonstration une forme trigonométrique de z n .
(c) En déduire les solutions de l’équation : z n = −1
n
d’inconnue z ∈ C.
Pour tout n ∈ N, on note (En ) l’équation : z̄(z − 1) = z (z̄ − 1)
d’inconnue z ∈ C.
2. (a) Résoudre l’équation (E0 ), c’est-à-dire l’équation z̄(z − 1) = z̄ − 1 d’inconnue z ∈ C.
(b) Résoudre l’équation (E1 ), c’est-à-dire l’équation z̄(z − 1) = z(z̄ − 1) d’inconnue z ∈ C.
Dans la suite de l’exercice, on fixe un entier naturel n ∈ N tel que : n ≥ 2.
3. (a) Montrer que 0 est solution de (En ).
Soit z0 ∈ C une solution non nulle de (En ).
(b) Montrer que : |z0 | = 1.
1
(c) Montrer que : z0 = , puis que : (z0 − 1)(z0n + 1) = 0.
z0
(d) En déduire les valeurs possibles pour z0 .
(e) En déduire toutes les solutions de (En ) lorsque n ∈ N et n ≥ 2.
3
Exercice 5
Dans cet exercice, on fixe un entier naturel n ∈ N∗ .
1. Dans cette question, y0 , . . . , yn sont des nombres réels positifs, et Y est une variable aléatoire
à valeurs dans {y0 , . . . , yn }.
(a) Montrer l’inégalité de Markov : ∀ε > 0, E(Y ) ≥ εP(Y ≥ ε).
Indication. Vous pourrez partir de la définition de l’espérance.
Dans la question suivante, on note m l’espérance de Y , et σ 2 sa variance.
σ2
(b) En déduire l’inégalité de Bienaymé-Chebychev : P(|Y − m| ≥ ε) ≤ 2 .
ε
Une population de personnes présente une maladie avec une proportion inconnue p ∈]0, 1[. On
choisit un échantillon de n personnes, et on pose Xi = 1 si le i-ième individu est malade, 0 sinon.
On considère que les variables aléatoires Xi ainsi définies sont indépendantes et suivent toutes une
loi de Bernoulli de paramètre p.
2. Quelle est la loi suivie par Sn = X1 + · · · + Xn ? Rappeler l’espérance et la variance de Sn .
1
3. (a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] : 0 ≤ x(1 − x) ≤ .
4
Sn
1
(b) Montrer que pour tout ε > 0 : P
−p >ε ≤
.
n
4nε2
Vous pourrez appliquer l’inégalité de Bienaymé-Chebychev.
4. Pour ε = 0, 01, quelle taille N de l’échantillon doit-on choisir pour que SN /N soit voisin de
p à ε-près avec une probabilité supérieure à 95% ?
Exercice 6
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~i, ~j), et on considère les points A(−3; 1), B(1; 5)
et C(3; −3).
1. Donner les coordonnées du centre de gravité 1 du triangle ABC. On le notera G dans la suite.
2. (a) Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de A.
(b) Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de B.
(c) En déduire les coordonnées de l’orthocentre 2 de ABC. On le notera H dans la suite.
12
8
78
3. On note E l’ensemble d’équation cartésienne : x2 − x + y 2 − y −
= 0.
5
5
5
12
(a) Déterminer α, β ∈ R tel que : ∀x ∈ R, x2 − x = (x − α)2 + β.
5
(b) Montrer que E est un cercle, dont on précisera son centre Ω et son rayon R.
(c) Montrer que E est le cercle circonscrit 3 au triangle ABC.
4. Montrer que les points H, Ω et G sont alignés.
1. On rappelle que le centre de gravité du triangle ABC est le point de concours des médianes. C’est aussi le
barycentre du système {(A, 1), (B, 1), (C, 1)}.
2. On rappelle que l’orthocentre du triangle ABC est le point de concours des hauteurs.
3. On rappelle que le centre du cercle circonscrit du triangle ABC est le point de concours des médiatrices. C’est
aussi le centre de l’unique cercle passant par A, B et C.
4
Exercice 7
Z 1
On pose :
I=
0
1
dt.
1 + t2
1. (a) Justifier que I est bien définie.
Z tan(x)
i π πh
1
(b) Montrer que pour tout x ∈ − ;
dt = x.
:
2 2
1 + t2
0
Z tan(x)
1
Vous commencerez par montrer que la fonction x 7→
dt est dérivable sur
1
+
t2
0
i π πh
l’intervalle − ; , et calculerez sa dérivée.
2 2
(c) En déduire la valeur de I.
Z 1
tn
2. Pour tout n ∈ N, on pose : Jn =
dt.
2
0 1+t
1
(a) Justifier que pour tout n ∈ N : 0 ≤ Jn ≤
.
n+1
(b) En déduire la limite de (Jn )n∈N .
3. Dans cette question, on fixe un entier n ∈ N.
n
(a) Montrer que pour tout t ∈ R :
2n+2
X
1
k 2k
n+1 t
=
(−1)
t
+
(−1)
.
1 + t2
1 + t2
k=0
(b) En déduire que : I =
n
X
k=0
(−1)k
2k + 1
+ (−1)n+1 J2n+2 .
(c) Expliquer comment obtenir une approximation rationnelle de π à 10−10 près.
5
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
Selon vous quelles conséquences pourraient entraîner l’élection de M. Donald
Trump à la présidence des Etats-Unis d’Amérique pour l’équilibre des relations
internationales ?
Sujet n° 2
L’omniprésence des réseaux sociaux et la diffusion en continu de l’information
peuvent conduire à une certaine manipulation des esprits. Quels moyens nos
sociétés pourraient-elles mettre en œuvre afin que la parole des gouvernants,
des experts, des scientifiques puisse être mieux entendue par la population
noyée dans un flot d’informations contradictoires et de qualité très inégale ?
Sujet n° 3
Dans un proche avenir, on estime qu’un tiers de la population mondiale sera
confronté à la raréfaction de la ressource en eau en raison du changement
climatique tandis que sa répartition inégale entre les pays devrait renforcer les
tensions internationales. Selon vous, comment pourrions-nous mieux gérer la
ressource en eau aussi bien au niveau local que transnational afin que tous les
pays et leurs populations puissent y avoir accès équitablement ?
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG / ANALYSTES
STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Ce sujet se compose de six exercices indépendants. Dans toute l’épreuve, Ln désigne le
logarithme népérien, e le nombre de Néper, R l’ensemble des nombres réels, 𝑅 + l’ensemble des
nombres réels positifs, C l’ensemble des nombres complexes et N l’ensemble des entiers
naturels.
Exercice n° 1
Soit l’application f définie sur 𝑅 + par : 𝑓 (𝑥) = √𝑥 − 𝑥 .
1. Étudier les variations de f et donner l’allure de son graphe.
1
2. Calculer 𝐼𝑛 = ∫0 𝑥 𝑛 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, où n est un entier naturel non nul.
3 1
3. Calculer 𝐽 = ∫2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 .
Exercice n° 2
On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle 1, +  par :
f ( x) = − x − x 2 − 1 et g ( x) = − x + x 2 − 1 .
1. Étudier les variations de f et g sur 1, +  .
2. Pour k ∈ 𝑁, non nul, on pose : 𝐼𝑘 = [−𝑘 + √𝑘 2 − 1, +∞[ et 𝐽𝑘 = ]−∞, −𝑘 − √𝑘 2 − 1 ].
Montrer que ces deux suites ( I k ) et ( J k ) sont des suites monotones de segments emboîtés pour
l’inclusion.
1
3. Pour k ∈ 𝑁, non nul, on pose : f k ( x) = x 2 + 2kx + 1 . Donner l’ensemble de définition de
f k (x) en fonction de I k et J k , et en déduire l’ensemble de définition de la fonction numérique
𝜑𝑛 définie par : 𝜑𝑛 (𝑥) = (∑𝑛𝑘=1 √𝑥 2 + 2𝑘𝑥 + 1) − √𝑛2 𝑥 2 + 1, où n est un entier naturel
strictement supérieur à 1.

1 
4. Calculer Lim  f k ( x) − x 2 + 2  et en déduire 𝐿𝑖𝑚 𝜑𝑛 (𝑥).
x → +
𝑥→+∞
n 

Exercice n° 3
Soit la fonction f définie sur 𝑅 − {−1} par : f ( x) =
1+ x2
.
1+ x
1. Étudier les variations de f et tracer son graphe.
2. Montrer que le graphe de f admet un centre de symétrie que l’on précisera.
1
3. Calculer 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .
4. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C, l’équation : f ( z ) = 1 + i , où la
fonction f est prolongée sur 𝐶 − {−1}.
Exercice n° 4
1. Étudier la suite (u n )1 n de nombres réels définie par la relation de récurrence :
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 sin(𝑢𝑛 ) et 0  u1  1 .
u 
2. Étudier la suite (vn )1 n définie par la relation de récurrence : vn +1 = Ln  n +1  .
 un 
Exercice n° 5
On considère les deux fonctions f et g définies sur l’ensemble des nombres réels positifs par :
1
1
f ( x) = Ln ( x + e) et g ( x) = x + 1 . On note 𝑥0 la solution de l’équation
+
= 1 et on
𝑓(𝑥)
admet que 𝑥0 ≈ 3,7.
1. Résoudre l’équation f ( x) = g ( x) .
2
𝑔(𝑥)
2. Dans une course à pied de 15 kms, après 15 minutes de course, les deux concurrents en tête
(A et B) se trouvent sur une même ligne. On note x la distance restante à parcourir (en kms),
que l’on suppose supérieure à 𝑥0 . On fait alors l’hypothèse H suivante :
1
H : La probabilité que le coureur A gagne la course est égale à 𝑓(𝑥) et la probabilité
1
que ce soit B est égale à 𝑔(𝑥).
L’hypothèse H a-t-elle un sens ? Sous cette hypothèse, qui a le plus de chance de gagner la
course entre A et B ?
Exercice n° 6
Le profil d’un toboggan est modélisé (représenté) par une fonction f définie sur l’intervalle 1, 8
−x
(unité de mesure en mètres) par : f ( x) = (ax + b) e , où a et b sont deux entiers naturels. On
donne 𝑒 ≈ 2,7; 𝑒 −1 ≈ 0,37 et 𝑒 −8 ≈ 0.
1. Seulement dans cette question a=3 et b=1. Étudier les variations de f et sa convexité. Tracer
son graphe.
2. Déterminer la valeur de b pour que la demie tangente au graphe de f au point d’abscisse 1
soit horizontale.
3. On souhaite de plus que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut.
Déterminer la valeur de a et représenter ce tobogan.
4. Le mur de soutènement du toboggan (partie entre le sol et le toboggan) sera peint par un
artisan sur une seule face. Sur le devis proposé, l’artisan demande un forfait de 200 euros
augmenté de 30 euros par mètre carré peint. Quel sera le montant du devis ?
3
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE
APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
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STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
AVRIL 2025
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
CONTRACTION DE TEXTE
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Le texte ci-après est tiré du livre d’Evelyne Heyer intitulé « La vie secrète des gènes » paru
en novembre 2022 aux éditions Flammarion. L’autrice est professeure d’anthropologie
génétique au Muséum national d’histoire naturelle, établissement français de recherche,
d’enseignement et musée.
Il doit être résumé en 250 mots (plus ou moins 10%). Vous indiquerez en fin de copie le
nombre de mots utilisés.
Il sera tenu compte de l’orthographe, de la ponctuation et de la présentation de votre écrit.
Toujours plus nombreux.
L’espèce humaine s’est multipliée à une vitesse folle depuis deux siècles. Mais la population
finira vraisemblablement un jour par se stabiliser, voire par diminuer, à cause du phénomène
de transition démographique.
Les chiffres de la démographie mondiale donnent le tournis. Chaque seconde, l’air que nous
respirons s’emplit des cris de 4 nouveau-nés supplémentaires (la moyenne statistique exacte est
de 4,66 nouvelles naissances par seconde). Chaque année, la planète héberge147 millions
d’êtres humains en plus. Ce nombre descend à 90 millions si l’on tient compte du nombre de
morts (1,81 décès par seconde). Il n’empêche : au total depuis l’aube de l’humanité, on estime
que nous avons été 80 milliards d’individus. Cette croissance démographique est vertigineuse !
Nous sommes actuellement 7,8 milliards d’humains sur la planète, or nous étions moins d’un
milliard il y a 200 ans ! Quand je suis née, nous étions presque moitié moins sur la planète.
Où nous mène cette augmentation si rapide et comment l’expliquer ? Par un phénomène bien
connu des démographes : la transition démographique. Les Européens franchissent cette étape
ces derniers siècles. Au XVIIe siècle, en France, les gens avaient beaucoup d’enfants, mais
ceux-ci mouraient fréquemment : seule la moitié des enfants atteignaient quinze ans ! Avec
1
l’amélioration de l’alimentation et de l’hygiène, ajoutées à la vaccination, cette mortalité a chuté
rapidement. Ce recul est la première phase de la transition démographique. La seconde est la
baisse de la fertilité. En somme, schématiquement, les familles basculent d’un modèle avec
beaucoup d’enfants, mais qui meurent souvent, à peu d’enfants, mais qui survivent.
Pourquoi ce revirement explique-t-il la croissance exponentielle de la population mondiale ?
En réalité, les pays qui s’engagent dans la transition démographique ne voient pas
immédiatement le nombre d’enfants baisser. Aussi, pendant quelques décennies, conservent-ils
une natalité solide sans contrepartie négative. Les mères continuent d’avoir des familles
nombreuses sans qu’elles soient grevées par une santé fragile. C’est durant cette période que la
croissance démographique est extrêmement forte. Par exemple, l’Angleterre est passée de 7
millions d’habitants en 1750 à 40 millions en 1900, soit 6 fois plus en 150 ans tout juste. Et
c’est sans compter les quelques millions d’individus qui sont partis coloniser l’Amérique du
Nord, l’Afrique du Sud ou l’Australie. Par comparaison, pendant ce temps, la France, qui avait
déjà fait sa mue, s’est contentée d’une augmentation de 5 millions d’habitants, montant de 25 à
30 millions.
La transition démographique a commencé en Europe à la moitié du XVIIIe siècle et a fait son
chemin partout à la surface du globe. Aujourd’hui, tous les pays du monde ont entamé ou on
finit la leur. A l’échelle mondiale, le taux de natalité est passé de 5 enfants par femme en 1800
à 2,4 actuellement. Par rapport à notre propre histoire européenne, les choses s’accélèrent un
peu partout ailleurs. Là où il a fallu à l’Europe plus de 150 ans pour passer le cap, l’Iran y est
arrivé en seulement 20 ans ! Les pays d’Amérique du Sud et d’Afrique du Nord ont aussi vécu
une transition rapide, en seulement 30 à 50 ans. Les pays d’Afrique subsaharienne sont les
derniers à être entrés dans cette transition démographique et la font à des rythmes variables.
Pour preuve, actuellement, à l’échelle mondiale, la fécondité varie entre 4,4 en Afrique, 2,1 en
Asie et seulement 1,6 en Europe.
L’amélioration des conditions de santé n’est pas le seul facteur déclencheur. Dans certains pays
comme la Chine, c’est une volonté forte de l’État qui a imposé la politique de l’enfant unique.
Cette décision accélère un virage qui était déjà entamé. Dans les autres pays, amorcée grâce à
de meilleurs soins, la baisse de la natalité s’est vue renforcée par l’élévation du niveau de vie
et, surtout, par l’éducation des femmes. Mais qu’advient-il du nombre de naissances une fois la
transition démographique achevée ? Plusieurs pays sont allés encore plus loin que le taux de
natalité minimum requis pour que la population se renouvelle, qui correspond à 2,1 enfants par
femme. Par exemple, à Singapour, on compte 1,1 enfant par femme, en Chine 1,6, en Corée du
Sud 1,27. Et en Europe, tous les pays sont au-dessus de 2 enfants par femme. L’Italie et
l’Allemagne affichent seulement 1,4 contre autour de 1,9 pour l’Irlande et la France.
D’ailleurs, la faiblesse de ces taux de natalité a conduit certains pays à s’alerter de la
décroissance attendue de leur population, en l’absence d’immigration. Pour l’éviter, ces nations
mettent en place des politiques incitant les femmes à avoir plus d’enfants. Ainsi, Singapour
accorde une prime aux femmes qui font un enfant, et le gouvernement a même ajouté en 2021
une prime spéciale Covid pour rassurer les futurs parents sur leur avenir financier.
Vers quel futur nous amènent ces transitions en cascade, qui se réalisent aux quatre coins de la
planète ? Les projections démographiques s’accordent toutes sur une croissance de la
population humaine qui durera encore 30 ans, grimpant jusqu’à 9, voire 10 ou 11 milliards
d’humains. Ensuite, certains démographes prédisent une décroissance de la population
2
humaine. Tous les pays auraient alors terminé leur transition, et nous devrions commencer à
être moins nombreux sur la planète. Ce qui ne dit rien de la pression que nous exercerons alors
sur l’environnement. […]
Le hasard, à la source de la vie.
Sur la côte ouest de l’Australie, le golf de Shark Bay est une fenêtre vers les origines de la vie.
Ce qui ressemble à des rochers parsemant le sable est en réalité … vivant. Les centaines de
grosses boules noires sont des stromatolithes, c’est à dire des concrétions1 minérales bâties par
des algues microscopiques. Les biologistes pensent qu’elles offrent un aperçu des tous premiers
organismes qui ont fleuri sur Terre, il y a 3,5 milliards d’années.
L’instant zéro de la vie sur notre planète a pu être bien antérieur (certains évoquent la date de 4,29 milliards d’années), mais une chose est avérée : entre ces espèces pionnières et toute la
variété de formes de vie existantes aujourd’hui, tout a reposé sur le hasard. En quoi a-t-il joué
dans l’arbre de la vie ? En fait, nous sommes les descendants des premières cellules qui
contenaient de l’ADN2 (ou de l’ARN3 au sein des cellules, mais qui aurait pu jouer un rôle
majeur lors de l’apparition de la vie). Or, avec ce type de molécule, le hasard est devenu la base
de l’évolution biologique.
En effet, à chaque division cellulaire, l’ADN se voit recopié afin de fournir deux exemplaires
d’ADN qui habiteront les cellules filles. Pour autant, cette copie n’est jamais parfaite : de façon
aléatoire, des erreurs se glissent lors de la reproduction. Imaginez si l’on devait recopier lettre
à lettre un livre : inévitablement, même le copiste le plus talentueux ferait quelques coquilles.
Pour vous donner un ordre d’idée du défi que relèvent constamment les cellules, voici quelques
chiffres : notre ADN contient 3 milliards de lettres, or seules entre 30 et 40 mutations entachent
en moyenne sa copie à chaque génération. 30 à 40 mutations vous séparent donc à la naissance
de l’ADN de chacun de vos parents – vous êtes en somme porteur de 70 « coquilles ».
Une trentaine d’erreurs sur 3 milliards de lettres, c’est vraiment très peu. En d’autres termes,
notre ADN est super-robuste et fichtrement bien copié ! Ce n’est pas le cas de tous les
organismes. Par exemple, le fameux virus SARS-CoV-2, dont le génome4 est beaucoup plus
petit (30 000 lettres), affiche un taux de mutations environ mille fois plus élevé. Quant au virus
de la grippe, il mute encore deux fois plus.
Pourquoi ces mutations aléatoires sont-elles fondamentales à la vie ? Parce qu’elles sont les
moteurs de l’évolution. Les mutations chez l’humain sont pour la plupart neutres, et, pour une
minorité, néfastes, c’est-à-dire que leurs porteurs survivent moins bien ou ne se reproduisent
pas aussi efficacement. Toutefois, dans quelques très rares cas, le hasard fait bien les choses, et
ces mutations dotent l’individu d’un avantage dans son milieu. Elles peuvent être
immédiatement bénéfiques ou révéler leur intérêt lors de l’émergence d’une nouvelle maladie,
1 Réunion de parties en un corps solide ; ce corps.
Abréviation de « acide désoxyribonucléique ». La molécule d’ADN se trouve dans toutes nos cellules et
contient toutes les informations nécessaires au développement et au fonctionnement du corps.
3 Abréviation de « acide ribonucléique ». Cette molécule biologique a une structure moléculaire très proche de
l’ADN.
4 Ensemble de l'information génétique d'un organisme contenu dans chacune de ses cellules sous la forme de
chromosomes.
2
3
par exemple. Les mutations sont en quelque sorte un réservoir de potentialités pour des
adaptations futures.
Ainsi les Bajo en Indonésie ont eu la chance de voir apparaître dans le génome de leurs ancêtres
une mutation qui allait devenir fort avantageuse : elle permet de nager en apnée plus de 10
minutes ! Cette mutation n’a certainement aucun intérêt pour la plupart d’entre nous et est dite
neutre. Chez les Bajo, pêcheurs d’éponges, elle s’est en revanche révélée un sacré avantage !
L’aléa génétique est le carburant de toutes les grandes inventions évolutives depuis l’origine de
la vie : la respiration des premières bactéries qui a enrichi l’atmosphère en oxygène, le passage
d’organismes unicellulaires à des individus constitués de plusieurs cellules, l’apparition du
cerveau comme système nerveux central… Dans des temps plus proches, nos ancêtres ont eu la
chance de porter des mutations favorisant le développement d’un cerveau particulièrement
efficace, de la bipédie, du langage, etc. Bref, nous sommes les descendants de tous ces heureux
gagnants à la loterie des mutations. […]
Notre évolution va-t-elle se poursuivre ? […]
Il serait faux de croire que, puisque l’essentiel d’entre nous ne vit plus comme des chasseurscueilleurs soumis aux aléas de la nature, nous ne nous émanciperons pas de ce grand principe
universel qui veut que toutes les espèces vivantes évoluent : à chaque fois que deux être
humains engendreront un enfant, des mutations, des nouveautés génétiques apparaitront par
hasard dans notre ADN. Pour l’essentiel, ces altérations ne changeront pas grand-chose, mais
une infime partie d’entre elles se révèleront positives et seront retenues par la sélection
naturelle.
Mais de quelle sélection s’agit-il ? L’amélioration incessante de la qualité de vie depuis 200
ans, dans les pays riches, donne l’impression que la sélection naturelle s’est presque tarie :
quasiment tous les enfants atteignent l’âge adulte, alors que presque la moitié mourait il y a
deux siècles. En fait, la sélection joue à présent sur la fertilité et la reproduction. On voit déjà
que, dans certaines régions polluées, les chromosomes Y, plus fragiles que le reste du génome,
entrainent une infertilité masculine. La sélection naturelle dépend du milieu dans lequel nous
vivons, celui que nous créons.
Dans quelles directions ira l’évolution ? Question épineuse. Cela dépendra du hasard des
mutations et, justement, de l’environnement dans lequel nous habiterons. Deux éléments bien
difficiles à prédire ! Inutile de lorgner vers des hypothèses fantasques de science-fiction : nous
n’aurons pas les jambes plus courtes car nous marcherions moins, ni un sixième doigt pour
mieux utiliser les smartphones. Et s’il est difficile d’anticiper à long terme où nous amènera le
jeu de la vie, il y a au moins un aspect humain qui ne changera pas.
Lequel ? Nos incessantes migrations. Nous sommes une espèce qui a la bougeotte. En cela,
nous nous distinguons de nos cousins, les grands singes non humains, qui sont restés rivés à
leur berceau, l’Afrique tropicale et l’Asie du Sud-Est pour les orangs-outans. La migration fait
partie du succès de notre espèce. Un futur sans ces échanges de gènes me semble irréaliste. Cela
peut vous paraître étrange, mais c’est la leçon que retient la généticienne anthropologue que je
suis. Vous songez certainement davantage à un futur empli de fusées vers Mars ou de voitures
4
volantes. Moi, j’imagine les déplacements humains. Et un ticket pour Mars, n’est-ce pas déjà
une forme de migration ?
Une chose que l’on peut prédire dans un futur proche avec une quasi-certitude, c’est l’envolée
de notre démographie. Nous atteindrons un pic de population d’environ 10 milliards d’humains
dans 30 à 50 ans. L’essentiel de ce boom aura lieu en Afrique. Or notre impact sur la planète
varie d’un facteur 100 selon que l’on est européen ou américain, ou qu’on habite en Afrique.
Donc, pour que nous puissions vivre bien et plus nombreux sans détruire davantage notre
biotope5, il est indispensable que les pays riches basculent vers des modes de consommation
plus en adéquation avec le futur de la planète. Nous sommes les héritiers des générations
passées, soyons maintenant solidaires des générations futures !
5 Milieu de vie, environnement avec des caractéristiques physiques spécifiques (sol et ses constituants, air,
température, humidité, lumière, climat, etc.)
5

Corrigé de la 1ère composition de mathématiques 2021 pour le concours ingénieurs statisticiens économistes

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