COSINUS D’UN ANGLE AIGU Mathsenligne.net EXERCICE 1 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et BC = 7 cm. Calculer la mesure de l’angle (arrondie à l’unité). EXERCICE 2 DEF est un triangle rectangle en E tel que DF = 15 cm et DE = 8 cm. Calculer la mesure de l’angle (arrondie à l’unité). EXERCICE 5 PQR est un triangle rectangle en R tel que PR = 45 cm et = 53°. Calculer la longueur de [PQ] (arrondie au dixième). EXERCICE 6 RST est un triangle rectangle en R tel que RS = 13,5 cm et = 25°. Calculer la longueur de [ST] (arrondie au dixième). EXERCICE 8 Calculer les mesures des 3 angles du triangle ABC arrondies au dixième de degré : A C A B 8 cm 7 cm D H E EXERCICE 3 IJK est un triangle rectangle en I tel que JK = 10 cm et = 55°. Calculer la longueur de [IJ] (arrondie au dixième). EXERCICE 4 LMN est un triangle rectangle en N tel que LM = 11 cm et = 33°. Calculer la longueur de [MN] (arrondie au dixième). EXERCICE 3 F B 5 cm C 3,5 cm EXERCICE 9 Calculer la longueur de la diagonale [AC] de ce losange arrondie au mm : B J 5 cm I K 20° A C O L N M EXERCICE 10 C D H B P 17 cm R Q T 40° a. Calculer la longueur AH. b. Calculer la longueur BH. c. Calculer la longueur AC. d. Calculer la longueur CH. 30° A [On arrondira les longueurs au mm] R EXERCICE 7 ABC est un triangle rectangle en A. S EXERCICE 11 C 30° 10 m 5 cm B 4 cm Calculer les mesures des angles arrondies au degré prés. 3 cm A et 1,80 m Un personnage mesurant 1,80 m se trouve à 10 m du pied d’un arbre. Alors qu’il regarde la cime, son regard fait un angle de 30° avec l’horizontale. Quelle est la hauteur de l’arbre (arrondie au dm)? Mathsenligne.net COSINUS D’UN ANGLE AIGU CORRIGE – M. QUET EXERCICE 1. (TYPE 1.) ABC est un triangle rectangle en A tel que AB= 6cm et BC= 7 cm. Calcul de la mesure de l’angle BA cos = C BC 6 cos = 7 cos = 0,857 A B 31° EXERCICE 2. (TYPE 1.) DEF est un triangle rectangle en E , DF= 15 cm et DE= 8 cm Calcul de la mesure de l’angle : DE D cos = DF 8 cos = 15 cos = 0,533 E F = 58° EXERCICE 3. (TYPE 2.) IJK est un triangle rectangle en I tel que JK= 10cm et = 55°. Calcul de la longueur de [IJ] : JI cos = J JK JI cos 55 = 10 JI 0,574 = I K 10 0,574 10 = JI JI 5,7 cm EXERCICE 4. (TYPE 2.) LMN est un triangle rectangle en N tel que LM=11cm et = 33°. Calcul de la longueur de [MN] MN cos = L ML MN cos 33 = 11 MN 0,839 = N M 11 0,839 11 = MN MN 9,2 cm EXERCICE 5. (TYPE 3.) PQR est un triangle rectangle en R tel que PR=45cm et = 53°. EXERCICE 3 Calcul de la longueur de [PQ] : PR cos = P PQ 45 cos 53 = PQ 45 0,602 = R PQ 45 PQ = 74,8 cm 0,602 Q EXERCICE 6. (TYPE 3.) RST est un triangle rectangle en R tel que RS=13,5cm et =25°. Calcul de la longueur de [ST] : SR cos = T ST 13,5 cos 25 = ST 13,5 0,906 = R S ST 13,5 ST = 14,9 cm 0,906 EXERCICE 7. ABC est un triangle rectangle en A. Calcul des mesures des angles et Calcul de l’angle : BA cos = BC 5cm 4 cos = 5 cos = 0,8 B 37° 4cm Calcul de l’angle CA cos = BC 3 cos = 5 cos C 3cm A : = 0,6 53° Ou bien : on utilise la propriété: « La somme des angles d’un triangle vaut 180°. » + + = 180 + 37 + 90 = 180 = 180 – 90 – 37 = 53° COSINUS D’UN ANGLE AIGU Mathsenligne.net EXERCICE 8. Calculer les mesures des 3 angles de ce triangle : A 8 cm 6 cm 5 cm 3,5 cm C Calcul de l’angle : Dans le triangle ABH, rectangle en H, on a : BH cos = BA 5 cos = 8 cos = 0,625 51° Donc 51° AC = 2 AO 2 4,7 9,4 cm EXERCICE 10. Donc B 17 cm 40° = 0,583 54° 54° 30° A Calcul de l’angle : D’après la propriété: « La somme des angles d’un triangle vaut 180° », dans le triangle ABC, on a : + + = 180 54 + 51 + = 180 = 180 – 54 – 51 = 75° EXERCICE 9. Calcul de la longueur de la diagonale [AC] de ce B losange: 5 cm A H C Calcul de l’angle : Dans le triangle ACH, rectangle en H, on a : CH cos = CA 3,5 cos = 6 cos ABCD est un losange donc ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de [AC]. Autrement dit : AC = 2 AO Calcul de la longueur du segment [AO]: Dans le triangle ABO, rectangle en O, on a : AO cos = AB AO cos 20 = 5 AO 0,94 = 5 0,94 5 = AO AO 4,7 cm H B EXERCICE 3 20° O D C a. Calcul de la longueur AH. Dans le triangle ABH, rectangle en H, on a : AH cos = AB AH cos 30 = 17 AH 0,866 = 17 0,866 17 = AH AH 14,7 cm b. Calcul de la longueur BH. Dans le triangle ABH, rectangle en H, on a : = 180 – 90 – 30 = 60° BH cos = BA BH cos 60 = 17 BH 0,5 = 17 COSINUS D’UN ANGLE AIGU Mathsenligne.net EXERCICE 3 CM CO 0,5 17 = BH BH 8,5 cm D’où : c. Calculer la longueur AC. Pour calculer ainsi la longueur CM, on a donc besoin de connaître la longueur de l’hypoténuse, CO. Dans le triangle ACH, rectangle en H, on a : AH cos = AC 14,7 cos 40 = AC 14,7 0 ,766 = AC 14,7 AC = 19,2 cm 0,766 Calcul de CO : OM OC 10 cos 30 = OC 10 0,866 = OC 10 OC = 0,866 OC 11,5 m cos d. Calculer la longueur CH. Dans le triangle ACH, rectangle en H, on a : = 180 – 90 – 40 = 50° CH cos = CA CH cos 50 = 19,2 CH 0,643 = 19,2 0,643 19,2 = CH CH 12,3 cm O 30° 1,80 m 10 m M P Un personnage mesurant 1,80m se trouve à 10m du pied d’un arbre. Alors qu’il regarde la cime, son regard fait un angle de 30° avec l’horizontale. Quelle est la hauteur de l’arbre? La hauteur de l’arbre est égale à la longueur CP. CP = CM + MP On sait que MP = 1,80 m. Calculons la longueur CM : Dans le triangle CMO rectangle en M, on a : CM cos = CO = 180 – 90 – = 180 – 90 – 30 = 60° = On reprend alors le calcul de CM : CM cos 60 = 11,5 CM 0,5 = 11,5 0,5 11,5 = CM CM 5,8 m Finalement : CP 5,8 + 1,8 = 7,6 mètres. C EXERCICE 11. cos 60 =