Devoir maison MF1 bonus PSI2 – 2025/2026 DM MF1 – Vol d’une balle de golf L’objectif du golf est de parvenir, en un nombre de coups le plus faible possible, à envoyer la balle dans chacun des 18 trous du parcours, en la frappant à l’aide d’un instrument appelé club. La tête de club est assimilable à une surface plane dont l’inclinaison avec la verticale varie en fonction du type de club. L’impact de cette surface avec la balle est un phénomène très violent et très bref. Typiquement, lors d’un coup frappé avec un club de type driver avec une vitesse de la tête de club d’environ 50 m · s−1 , la balle passe d’une vitesse initiale nulle à environ 70 m · s−1 à la fin du contact avec la tête, qui dure ≃ 0,50 ms. Cependant l’inclinaison de la tête de club entraîne un glissement de la balle le long de celle-ci pendant l’impact, ce qui conduit à une mise en rotation de la balle. Ainsi une balle frappée avec un driver quitte le sol en effectuant de l’ordre de 60 rotations par seconde. Dans le cas d’un coup sans aucun effet l’axe de rotation de la balle est horizontal et perpendiculaire à sa vitesse à la sortie du club. On s’intéresse dans ce problème à l’effet de la rotation de la balle sur sa trajectoire aérienne. Pour cela, on effectue un changement de référentiel en se plaçant dans un référentiel où le centre de la balle est immobile et l’air en écoulement. On considérera ce référentiel galiléen pour l’étude de l’écoulement de l’air. Afin de mettre en évidence l’importance de la rotation, on s’intéresse à un modèle d’écoulement autour d’un cylindre de longueur infinie, de rayon R, animé y d’un mouvement de rotation autour de son axe (Oz) fixe, avec un vecteur-rotation M → − → dans le référentiel R(0, − →, − → − → Ω = Ω− u u z x uy , uz ) galiléen. r Dans le référentiel R, l’air est en écoulement parfait, stationnaire, irrotationθ nel, homogène et incompressible et on notera ρ sa masse volumique. On néglige z x la gravité. Loin du cylindre, en amont de celui-ci, l’écoulement a une vitesse uniO → − − → → − − → v forme, v0 = −v0 ux , avec v0 une constante positive. On repère un point M de 0 = −v0 ux l’espace par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) d’axe (Oz). 1. En étudiant les symétries et les hypothèses du problème, de quelles variables − r, θ, z et/ou t le champ de vitesse → v dépend-il ? − 2. Quelles sont les deux conditions aux limites vérifiées par → v ? p Afin d’étudier cet écoulement, on propose le potentiel des vitesses φ(r, θ) = −v0 r − cos θ + R2 Ωθ où p 2πr est une constante qui sera déterminée dans la suite. −−→ 1 ∂φ − ∂φ → − → + ∂φ − →. ur + u u En coordonnées cylindriques, on rappelle l’expression : grad φ(r, θ, z) = z θ ∂r r ∂θ ∂z 3. Justifier l’introduction du potentiel des vitesses φ. 4. Établir les expressions des composantes vr et vθ du champ de vitesse. En déduire une interprétation physique des trois termes de l’expression du potentiel. 5. Vérifier les conditions aux limites et en déduire p en fonction de R et v0 . 6. À l’aide de la relation de Bernoulli P (M ) + 21 ρv 2 (M ) = cste le long d’une ligne de courant, déterminer le champ de pression P (r = R, θ) à la surface du cylindre, en fonction de ρ, R, Ω, v0 , θ et P0 , valeur de la pression loin du cylindre, considérée uniforme. − → 7. En déduire, à l’aide d’un schéma clair et d’arguments de symétrie, que la résultante Fp des forces de pression →. a une composante nulle selon − u x − → → et mettre 8. En raisonnant sur une portion de cylindre de hauteur h, déterminer la force de pression Fp selon − u y → − − → − → → − finalement Fp sous la forme Fp = α v0 ∧ Ω en exprimant la constante α en fonction des données. Z 2π On pourra utiliser les intégrales 3 Z 2π sin θdθ = 0 et 0 sin2 θdθ = π. 0 On admet que le résultat ci-dessus. établi pour un cylindre, se transpose à une balle de golf, à condition de prendre pour le coefficient α une valeur appropriée à la nouvelle géométrie. − → 9. Commenter la direction et le sens de la force Fp selon que le golfeur a correctement frappé la balle (Ω > 0) ou a totalement raté son coup (Ω < 0). 10. Calculer la norme de cette force au départ d’un coup de driver : Ω = 3,8 × 102 rad · s−1 , v0 = 70 m · s−1 et α ≈ 1,5 × 10−5 u.S.I.. Commenter, sachant que la balle a une masse Mb = 46 g. →? 11. Que risque le golfeur si, à cause d’un swing imparfait, le vecteur-rotation n’est pas tout à fait porté par − u z 12. Quel phénomène négligé ici faudrait-il prendre en compte pour une description complète des forces subies par la balle ? Quelle est sa conséquence sur la vitesse et la rotation de la balle au cours de son vol ? D. Manuel 1/ 1 Lycée Kléber