MMC
MécaniqueSULTAN
des milieux
continus
UNIVERSITE
MOULAY
SLIMANE
FACULTE DES SCIENCES SMP6
ET TECHNIQUES BENI-MELLAL
Chapitre II : E de de d f
ai
d
ilie c
SMP6
i
Objet : Définir les grandeurs permettant de caractériser la
"déformation" d n milie con in .
I. DEFORMATIONS D UN MILIEU CONTINU
I.1 Description de la déformation ( point de vue lagrangien)
Pour caractériser la déformation au voisinage d'un élément
matériel, on considérera des particules infiniment voisines.
=
;
;
;
;
Cours de mécanique des milieux continus
Cours MMC FI GP & PM
.
1
1
Pr H. AIT RIMOUCH
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.1 Description de la déformation
La position, dans R O;
=
,
,
𝑋, 𝑡 soit
, de la particule M0 à l in an t est :
𝑋 ,𝑋 ,𝑋 ,𝑡 ,
𝑋, 𝑡 .
Ö
Da
Ö
e part :
𝐼
(1) et (2) Ö
𝑢 𝑋, 𝑡 .
le domaine (D) e e amin dan
Soit :
avec : 𝐹 𝑋, 𝑡
𝐹
𝐼
,𝑡
En BOD : Fij = xi,j = Gij + ui,j
.
𝑋+
on a d fo m Ö
𝑢
dt (1)
(2)
𝑑𝑡
,𝑡 .
,𝑡
, ,
Univ. Cours
Sultan Moulay
Slimane des
FST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
de mécanique
milieux
continus
𝑡
𝑢
𝑡
0
{ tenseur gradient de
la transformation en M0.
Pr H. AIT RIMOUCH
2
2
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.1 Description de la déformation
Signification physique des composantes du tenseur gradient de
la transformation
𝐹
Soit :
,𝑡 .
avec 𝐹 𝑋, 𝑡
En B.O.D : 𝐹
,𝑡
Öd
𝑑𝑋
.
,𝑡
𝑢
𝑑𝑋
𝑋
𝑒
𝑑𝑋
𝑢
𝑑𝑋
Cas d n problème plan
𝑒
𝐼
𝐹
,𝑡
𝑢
𝑑𝑋
𝑋
𝑑𝑋
de mécanique
milieux
continus
Univ. Cours
Sultan Moulay
Slimane des
FST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
𝑢
𝑑𝑋
𝑋
𝑑𝑋
𝑢
𝑑𝑋
𝑋
Pr H. AIT RIMOUCH
3
3
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.2 Formules de transports convectifs
Transport
C
Transport
𝐹 𝑋, 𝑡 .
élément de fibre matériel :
: 0 < de 𝐹 𝑋, 𝑡
𝐽 𝑋, 𝑡
∞
élément de volume :
dVt = det 𝐹 𝑋, 𝑡 dV
𝐽 𝑋, 𝑡 dV
Remarque :
La condition sur de 𝐹 𝑋, 𝑡 signifie que le volume d n domaine fini
dans une configuration donnée, ne peut ni ann le , ni devenir infini.
Transport
élément de surface orientée :
𝐽 𝑋, 𝑡
.
𝐹 𝑋, 𝑡
Univ. Cours
Sultan Moulay
Slimane des
FST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
de mécanique
milieux
continus
Pr H. AIT RIMOUCH
4
4
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.3 Déformations
{ changement de forme
{ variations de longueurs et a
(observables)
{ variation du produit scalaire (calcul).
é
Outil mathématique (produit scalaire):
.
′
Variation du produit scalaire des 2 vect. matériels
.
′
Univ. Sultan
Slimane des
FSTmilieux
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
CoursMoulay
de mécanique
continus
.
,
,
Pr H. AIT RIMOUCH
′
et
′
5
5
MMC
Chap. II : E de de d f
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.3 Déformations
I.3.1 Tenseur des dilatations 𝐶 𝑋, 𝑡 :
.
,
′
On définit ainsi, un tenseur symétrique 𝐶 𝑋, 𝑡 par :
appelé Tenseur des dilatations
de Cauchy
Les composantes de 𝐶 𝑋, 𝑡 , en base orthonormée, valent :
𝐶 𝑋, 𝑡
𝐹 𝑋, 𝑡 . 𝐹 𝑋, 𝑡
𝐶
𝐹 𝐹
≜𝐹 𝐹
𝐶
Attention il faut permuter
Comme: 𝐹 𝑋, 𝑡
𝐶 𝑋, 𝑡
𝐼
𝐼
𝑢 𝑋, 𝑡
𝑢 𝑋, 𝑡 , on peut aussi écrire que :
𝑢 𝑋, 𝑡
Univ. Sultan
Moulay
Slimane des
FSTmilieux
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
Cours
de mécanique
continus
𝑢 𝑋, 𝑡 . 𝑢 𝑋, 𝑡
Pr H. AIT RIMOUCH
6
6
MMC
Chap. II : E de de d f
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.3.1 Tenseur des dilatations 𝐶 𝑋, 𝑡
Interprétation géométrique du tenseur des dilatations
Dilatation dans la direction
à l instant t :
,
Variation de
longueur
d’un vecteur
Allongement unitaire dans la direction
:
1
Angles de glissement (Transformations d angles)
,
,
.
,
Variation d’angles = glissement
L'angle
= angle de glissement dans les 2 directions
Univ.
Slimane des
FSTmilieux
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
Pr H. AIT RIMOUCH
. Sultan
CoursMoulay
de mécanique
continus
′.
et
7
7
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.3.2 Tenseur des déformations 𝐸 𝑋, 𝑡
Les tenseurs de déformations sont définis à partir de la différence
des carrées de longueurs infinitésimales, en effet :
,
,
1
𝐸 𝑋, 𝑡
𝐶 𝑋, 𝑡
𝐼
2
1
𝑢 𝑋, 𝑡
𝑢 𝑋, 𝑡
𝑢 𝑋, 𝑡 . 𝑢 𝑋, 𝑡
2
𝐸 𝑋, 𝑡 e le tense r des d formations de Green lagrange en M0 ,
il est symétrique. En coordonnées cartésiennes orthonormées on a :
𝐸
.
1
2
𝑢
𝑋
𝑢
𝑋
𝑢
𝑢
.
𝑋
𝑋
1
𝑢,
2
CoursMoulay
de mécanique
milieux
continus
Univ. Sultan
Slimane des
FST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
𝑢,
𝐸𝑗𝑖
𝑢 , .𝑢 ,
Pr H. AIT RIMOUCH
8
8
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.3.2 Tenseur des déformations 𝐸 𝑋, 𝑡
𝐸
1
2
𝑢
𝑋
𝑢
𝑋
𝑢
𝑢
.
𝑋
𝑋
1
𝑢,
2
𝑢,
𝑢 , .𝑢 ,
𝐸𝑗𝑖
On remarque que 𝐸 est non linéaire par rapport aux dérivées
Lagrangiennes du déplacement.
.
CoursMoulay
de mécanique
continus
Univ. Sultan
Slimane des
FSTmilieux
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
Pr H. AIT RIMOUCH
9
9
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.3.2 Tenseur des déformations 𝐸 𝑋, 𝑡
L info ma ion relative à la déformation locale est entièrement
contenue dans 𝐸 𝑋, 𝑡 . En effet :
Posons 𝑑𝑀
𝑑𝑠 𝑁 et 𝑑𝑀
𝑑𝑠𝑛 , avec 𝑁
𝑁 𝐶 𝑋, 𝑡
S il n
𝐼𝑁
𝑛
1.
𝑁 2𝐸 𝑋, 𝑡 𝑁 .
a pas de déformations au voisinage de M0, alors :
∀𝑁,
, 𝐶 𝐼 et 𝐸 0
ce qui prouve que l info ma ion relative à la déformation locale
est contenue entièrement dans 𝐸 .
.
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
Pr H. AIT RIMOUCH
10 10
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
,
I.3.2 Tenseur des déformations
Autre écriture de
Dilatation en M0 dans la direction
𝑁 ≜
𝑑𝑋
,
𝑑𝑠 𝑁) à l in an t :
(𝑑𝑋
𝑁𝐶 𝑋, 𝑡 𝑁
Dilatations selon les axes
1
𝑑𝑋
𝑁
1
Allongements unitaires selon les axes
𝐶
1
.
2 𝑁𝐸 𝑋, 𝑡 𝑁
du repère cartésien orthonormé :
𝐶
1 2𝐸
(𝑑𝑋
𝑑𝑠 𝑁) :
2 𝑁𝐸 𝑋, 𝑡 𝑁
1
Allongement unitaire en M0 dans la direction
𝑁 ≜
SMP6
1
du repère cartésien :
1 2𝐸
1
mécanique
milieux
continus
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
Pr H. AIT RIMOUCH
11 11
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
I- DEFORMATIONS
SMP6
,
I.3.2 Tenseur des déformations
A
i
c
a
Angle de glissement dans les 2 directions
et
:
avec ∶ 𝑐𝑜𝑠
En coordonnées cartésiennes orthonormées, si 𝑁
𝑒 et 𝑁′
𝑒
alors : c𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑖𝑛
2𝐸
1
2𝐸
𝐶
1
2𝐸
𝐶 𝐶
≡ angle de glissement dans
les 2 directions orthogonales 𝑒 et 𝑒 .
.
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
Pr H. AIT RIMOUCH
12 12
MMC
Chap. II : E de de d f
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.4. Déformations et Directions principales
𝐶 𝑋, 𝑡 et 𝐸 𝑋, 𝑡 sont réelles symétriques, donc chacun possède
un repère principal et trois valeurs propres réelles. Leur repère
principal sont identiques et leur valeurs propres, notées
respectivement 𝐶 et 𝐸 sont liées par :
𝐸
1
𝐶
2
1
Soit donc 𝑁 , 𝑁 , 𝑁 les vecteurs unitaires d n repère principal de
déformation en M0. Les valeurs propres correspondantes Ci de
𝐶 𝑋, 𝑡 sont :
Ci = O2(𝑁 ) (i=1, 2, 3)
où O(𝑁 ) représente la dilatation dans la direction principale 𝑁 en
M0, on l a elle dilatation principale en M0, on la note souvent Oi
.
).
mécanique
milieux
continus
13
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
Pr H. AIT RIMOUCH
13
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.4. Déformations et Directions principales
Propriétés géométriques importantes :
Pour 2 fibres élémentaires suivant 2 D.P. distincts 𝑁 , 𝑁 on a :
avec ∶ 𝑐𝑜𝑠
0
Ö le repère 𝑀; 𝑛 , 𝑛 , 𝑛 , transformé de 𝑀 ; 𝑁 , 𝑁 , 𝑁 , est
encore un repère orthogonal. Donc, il n a pas de glissement, dans
le transport convectif de C0 à Ct, pour les D.P. de 𝐸 .
Et puisque det(𝐹 ) > 0, le trièdre transporté 𝑛 , 𝑛 , 𝑛 dans Ct a
même orientation que le trièdre des D.P. 𝑁 , 𝑁 , 𝑁 dansC0 .
Réciproquement, tout trièdre orthogonal dans C0 qui reste
orthogonal et de même orientation dans le transport convectif entre
C0 et Ct est un trièdre de directions principales pour 𝐸 (ou 𝐶 ).
.
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
Pr H. AIT RIMOUCH
14 14
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.4. Déformations et Directions principales
Pour un élément d ni ai e la D.P. 𝑁 , on a:
𝑑𝑠
𝑁 2𝐸 𝑋, 𝑡 𝑁
si 𝐸
0 on a une dilatation en M0 pour la direction 𝑁 ,
si 𝐸
0 on a contraction en M0 pour la direction 𝑁 .
2𝐸
Remarques:
- Allongements unitaires principaux Gi* (elles sont associées aux D.P 𝑁 )
∗
𝑁
𝑁
1
1
2𝐸
1
- Dilatation cubique ou augmentation relative de volume :
𝑑𝑉 𝑑𝑉
𝐶𝐶 𝐶
1
1 2𝐸 1 2𝐸 1 2𝐸
𝑑𝑉
Univ. Sultan Moulay Slimane
FST Béni-Mellal / Cours MMC FI GP & PM
. Cours de mécanique des milieux continus
Pr H. AIT RIMOUCH
1
15
15
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
I- DEFORMATIONS
SMP6
I.5. Tenseur des déformations ( point de vue Eulérien)
I.5. Tenseur des déformations ( point de vue Eulérien)
&
& & &
L
de an e l ienne, donc u dépend des &coordonnées spatiales: u = u ( x , t)
&
& & &
On c i l q a ion (3) sous la forme:
X ( x , t) = x - u ( x , t)
&
&
&
&
Dans le cas statique, la différentielle de ( x , ) c i alo : dX = [ I - ( x , t) ] d x
& 2 T & & T & & T &
&
&
2
L q a ion (20) c i : - dM 0 = dx . dx - dX . dX = [ dx ] 2 E '( x , t) [ dx ]
T
T
&
& &
& &
& &
1ª & &
E '( x , t) = «u ( x ,t ) u ( x ,t ) u ( x ,t ).u ( x ,t )º»
où:
2¬
(2
¼
&
E '( x , ) e le en e de d fo ma ion d E le -Almansi.
(27)
En coordonnées cartésiennes orthonormées on a:
𝐸 ′
.
.
=
𝑢,
mécanique
milieux
continus
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
𝑢,
𝑢 , . 𝑢(k, indice 𝐸
muet)
𝑗𝑖’
Pr H. AIT RIMOUCH
16 16
(28
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
SMP6
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
La majorité des matériaux utilisés en construction mécanique ou en
génie civil sont peu déformables
Hypothèses des petites perturbations (abv. HPP) :
- H1) Pour chaque particule M0, 𝑢 𝑋, 𝑡 est petit (l
confondu avec l
- H2)
≪ 1 et
Montrons
a non déformé).
≪ 1 (composantes de 𝑢 négligeables devant l ni )
HPP (
≅
):
w ui
w ui
w ui
w ui
w u w uk
=
+¦ i
=
+ terme d' ordre 2 #
wXj
w xj
w xj
w xj
k w xk w X j
w ui
terme negligeable devant
.
a déformé peut être
w xj
mécanique
milieux
continus
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
Slimane desFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
En HPP, dans le
calcul de 𝑢, on
pourra confondre
𝑋 et .
Pr H. AIT RIMOUCH
17 17
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
SMP6
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
II.1. Tenseur de déformation linéarisé (élasticité linéaire)
En HPP les tenseurs de déformations 𝐸 et 𝐸 ' se réduisent à un
tenseur symétrique, noté
, appelé tenseur de déformation
infinitésimale :
𝐸≅𝐸
𝐸
é
é
1
2
𝑢
𝑢
En coordonnées cartésiennes orthonormées, ses composantes s'écrivent:
1
2
𝑢
𝑢
1
𝑢,
2
𝑢,
𝑗𝑖
Le tenseur des dilatations se réduit à :
𝐶 é
𝐼 +2
é
.
mécanique
milieux
continus
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
Pr H. AIT RIMOUCH
18 18
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
i
SMP6
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
a) Les interprétations physiques établies, pour 𝐶 et 𝐸 peuvent
être reproduites, à l'ordre d'approximation adopté, pour :
1
2
M0
𝑢
𝑢
Allongement unitaire en M0 dans la direction
𝑁 ≜
Soit :
où :
𝑑𝑋
𝑁
𝑁
𝑁 M0 𝑁
1
1
2 𝑁 M0 𝑁
𝑑𝑠 𝑁) en HPP:
1 ≅ 𝑁 M0 𝑁
𝑁.
M0 𝑁 = vecteur déformation en M0 dans la direction 𝑁;
𝑁.
= allongement unitaire en M0 dans la direction 𝑁.
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
.
(𝑑𝑋
Pr H. AIT RIMOUCH
19 19
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
a) Interprétations physiques
Dilatation en M0 dans la direction
𝑁
1
𝑁
(𝑑𝑋
𝑑𝑠 𝑁) en HPP:
1
Déformation angulaire en M0 dans les directions et ′ en HPP:
& &
T
& &
cos T0 2 N .H .N '
T
# cos T 0 2 N.H .N '
cos T
&
&
&
&
(1T N .H .N ) (1T N '.H .N ' )
- L angle de glissement dans 2 directions orthogonales N et N est:
γ
car: γ
2 𝑁 M0 𝑁′
𝑒𝑡 en HPP, γ est petit Ö: cos ( )= cos (
γ) = sin γ ~ γ ;
En HPP la déformation volumique en M0 se réduit à :
(dV dV0)/ V0 ≃ [ ] = 11 + 22 + 33 = di (𝑢)
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
Slimane FST Béni-Mellal / Cours MMC FI GP & PM
mécanique des milieux continus
.
Pr H. AIT RIMOUCH
20 20
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
b) Expression du tenseur
M0
/
,
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
M0 dans la base cartésienne :
Déformations
tangentielles
,
,
& &
Hij = e i.H e j
,
Déformations normales
T
Signification physique de Hij (i z j) :
J12 = S/2 - T12 = glissement en M0 dans
les directions orthogonales , .
En HPP, l'angle de glissement J12 est petit (sin J12 ~ J12), d o :
&
&
J12 = 2 e 1.H e 2 = 2H12
T
H12 constitue ainsi la demi distorsion
de l'angle droit ( 𝑒 , 𝑒 ).
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
.
Pr H. AIT RIMOUCH
21 21
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
ilie c
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
c) Déformations principales - directions principales de
:
ε M0 est réel symétrique en chaque point M0 du milieu :
- ses vect. propres, normés à 1, 𝑁 sont appelés directions principales de
sont les allongements unitaires principaux Gi*; en effet :
∗
/
𝑁
1 2
1≅
- ses val. propres
- Dans la base constituée des D.P., la matrice
/
,
est diagonale:
,
,
,
- Dans un repère principal, un cube de côté unité se transforme en un
parallélépipède à faces rectangulaires ;
- si
𝑁
𝑁, alors 𝑁 est D.P.;
est la déformation principale associée.
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
.
Pr H. AIT RIMOUCH
22 22
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
ilie c
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
Remarques :
Dans le cas général, les D.P. différent d'une particule à l'autre.
si
, alors 𝑁 est la D.P. associée à
et toute direction 𝑁 A
à 𝑁 est elle même D.P. associée à ; on dit que
est de révolution
autour de 𝑁 ; la D.P. 𝑁 associée à
est choisi telle que (𝑁 , 𝑁 ,
𝑁 ) soit une B.O.D., c.à.d. 𝑁
𝑁 ⋀𝑁 .
si
sphérique (
O, toute direction est principale et le tenseur
est
𝐼 ).
On dit que
définit une "extension" simple dans la direction 𝑁, si 𝑁
est D.P. et si la valeur propre associée est la seule valeur propre non nulle de
(
est alors uniaxial dans la direction 𝑁). Toutes les longueurs des
vecteurs élémentaires normaux à 𝑁 sont conservées.
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
Slimane desFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
.
Pr H. AIT RIMOUCH
23 23
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
ilie c
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
Remarques :
On dit que
définit un glissement simple dans les 2 directions
orthogonales 𝑒 𝑒𝑡 𝑒 si
ci :
0
0
/
,
,
0
0
0
0
0
,
,
Exercice : Montrer q n tenseur est de glissement simple si, et seulement
si, l'un des allongements principaux est nul et si la somme des 2 autres
allongements principaux est nulle.
On dit que
est un tenseur de déformations planes si l'un des
allongements unitaires principaux est nul. Le plan de déformation est le
plan déterminé par les 2 D.P. correspondant aux 2 valeurs propres non
nulles. La longueur des vecteurs élémentaires normaux à ce plan est
conservée.
Univ. Cours
Sultan de
Moulay
Slimane desFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
.
Pr H. AIT RIMOUCH
24 24
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
ilie c
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
d) Invariants principaux du tenseur des déformations :
L q a ion caractéristique associée au tenseur
de la base choisie et c i :
de (
est indépendante
O𝐼 ) = (H1 - O)(H2 - O)(H3 - O)
=-O3 + (H1+H2+H3)O2 - (H1H2+H3H1+H2H3)O + H1H2H3
=0
Ceci met en évidence les trois invariants scalaires de :
&
HI = H1+H2+H3 = H11+H22+H33 = tr( H ) = div u
HII = H1H2+H3H1+H2H3 = H11H22+H33H11+H22H33 - H122 - H132 - H232
2
1 ­ª
º
ªtr (H 2 )º ½
tr
(
H
)
®
»¼ «¬
»¼ ¾
2 ¯«¬
¿
HIII = H1H2H3 = det( H )
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
SlimanedesFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
.
Pr H. AIT RIMOUCH
25 25
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
ilie c
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
e) Décomposition de en partie sphérique et partie déviatrice:
Il est parfois utile de séparer en sa partie sphérique et son déviateur, soit :
é
•
•
𝑡𝑟
𝐼 : tenseur diagonale ayant 3 val. propres égales à 𝑡𝑟
et admet toute direction comme D.P. ;
é
: tenseur dont la trace est nulle, donc correspondant à
une dilatation volumique nulle (cisaillement pur),
- ses val. propres sont : H1D = H1 - 𝑡𝑟 , H2D - 𝑡𝑟 , H3D - 𝑡𝑟
- ses D.P. sont les mêmes que ceux de ( HijS = Hkk Gij, HijD = Hij - Hkk Gij ).
change le volume sans changer la forme, alors que é change la
forme à volume constant ( tr( é ) = 0 ).
é = 0 , alors
• Si
est un tenseur de dilatation uniforme; les
allongements unitaires dans toutes les directions sont égaux.
Univ.Cours
Sultan de
Moulay
Slimane desFST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
mécanique
milieux
continus
Pr H. AIT RIMOUCH
26 26
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
f) Lieu des extrémités du vect. déformation &n , quand
Dans la base principale de
&
n
H
&≜
H
n
𝑋𝑁
𝑌𝑁
H
M0 , on pose :
𝑍𝑁
𝑁
et
𝑁
varie:
𝑁
ª X º § H1 0 0 · ªD º
¸ « »
«Y » = ¨ 0 H
0 ¸ «E » Ö X = H D ; Y = E H ; Z = J H
M0 𝑛 Ö « » ¨
2
1
2
3
«¬ Z »¼ ¨© 0 0 H 3 ¸¹ «¬ J »¼
𝑁
étant unitaire, donc D2 + E2 + J2 =1 $$
2
2
§X· §Y · §Z ·
¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸
© H1 ¹ © H 2 ¹ © H 3 ¹
&
n
H
2
1
𝑁
𝑁
Cette équation décrit la surface d ne
ellipse, appelée « ellipsoïde de Lamé »
les Hi représentent les valeurs extrêmes de l
tensoriel.
a
&
La pointe de est un ellipsoïde
n
H
d a e principaux les D.P. de
M0 et de demi axes les
déformations principales Hi.
Univ. Sultan
Moulay
Slimane
FST BM
/ Cours MMC FI GP & PM
Cours de
mécanique
des milieux
continus
Pr H. AIT RIMOUCH
27 27
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
&
f) Lieu des extrémités du vect. déformation , quand
n
H
varie:
𝑁
&
n
2
2
§X· §Y · §Z ·
¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸
© H1 ¹ © H 2 ¹ © H 3 ¹
H
2
1
𝑁
𝑁
Cette
représentation
l incon nien d
de
l
a
de
déformation
présente
e tridimensionnelle et donc peu aisée à dessiner.
Il est possible d ob eni une représentation plane en considérant le
plan formé par les deux vecteurs 𝑛 et &n . Ce plan présente
H
généralement une intersection avec le plan orthogonal au vecteur 𝑛.
Univ. Sultan
Slimane des
FST
Béni-Mellal
/ Cours MMC FI GP & PM
Cours Moulay
de mécanique
milieux
continus
.
Pr H. AIT RIMOUCH
2828
Chap. II : E de de d f
MMC
ai
d
ilie c
II. DEFORMATIONS INFINITESIMALES
i
SMP6
II.2. Etude de la déformation infinitésimale
g) Représentation de Mohr
H H ·
§
§H H ·
¨H ¸ H t¨
¸
2 ¹
©
© 2 ¹
2
2
2
3
nn
2
2
3
nt
H1 H 3 ·
§
§ H1 H 3 ·
2
¨ H nn ¸ H nt d ¨
¸
2 ¹
©
© 2 ¹
2
2
H1 H 2 ·
§
§ H1 H 2 ·
2
¨ H nn ¸ H nt t ¨
¸
2 ¹
©
© 2 ¹
2
P
P
Pr H. AIT RIMOUCH
3333
O
2
Univ. Sultan
Moulay Slimane FST Béni-Mellal / Cours MMC FI GP & PM
Cours de mécanique des milieux continus
.
P