LYCÉE MÉDITERRANÉEN - MPSI2
05/10/2025
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Nombres complexes.
Trigonométrie
Exercice 0
Montrer que pour tout z ∈ C de module 2 on a : 2 ≤ |z − 4| ≤ 6.
Exercice 1
z − uz̄
Soit u ∈ C \ {1} et z ∈ C \ R. Montrer que
est réel si et seulement si |u| = 1.
1−u
Exercice 2
Soient z1 , z2 ∈ C tels que |z1 | = |z2 | = 1 et z1 z2 ̸= −1. Montrer que
z1 + z2
∈ R.
1 + z1 z2
Exercice 3
1
Montrer que pour tout z ∈ C on a |1 + z| ≥ √ ou bien 1 + z 2 ≥ 1.
2
Exercice 4
Montrer que pour tout z ∈ C : ℜ (z) <
z
1
⇒
< 1.
2
1−z
Exercice 5
1
.
z
Déterminer les complexes z ∈ C∗ tel que : |z| = |z − 1| =
Exercice 6
1 1
1
−
< .
z
2
2
Soit z ∈ C tel que ℜ (z) > 1. Montrer que
Exercice 7
Montrer que pour tous u, v ∈ C :
|u|
|v|
|u + v|
≤
+
1 + |u + v|
1 + |u| 1 + |v|
Montrer de manière générale que pour tous z1 , z2 , . . . , zn ∈ C :
|
n
P
zk |
k=1
n
P
1+|
≤
zk |
n
X
k=1
|zk |
1 + |zk |
k=1
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M.Elouafi
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Exercice 8
Soient z1 , z2 des nombres complexes.
1. Montrer que |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 .
2. Interprétation géométrique.
Exercice 9
1. Montrer que ∀(a, b, c) ∈ C3 :
|a||b − c| ≤ |b||c − a| + |c| |a − b|
2. En déduire que ∀(a, b, c, d) ∈ Cd :
|a − d||b − c| ≤ |b − d||c − a| + |c − d| |a − b|
(Inégalité de Ptolémée)
3. Donner une interprétation géométrique de cette inégalité.
Exercice 10
Soit a, b ∈ C. Montrer que
|a| + |b| ≤ |a + b| + |a − b|
Préciser les cas d’égalité.
Exercice 11
3
Déterminer les complexes z ∈ C tel que z = z.
Exercice 12
1+z
. Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixes z tels
Pour z ∈ C\ {1} on pose Z =
1−z
que :
1. |Z| = 1.
2. |Z| = 2.
3. Z ∈ R.
4. Z ∈ iR.
Exercice 13
Déterminer l’ensemble des z ∈ C tels que les points d’affices 1, z, z 2
1. Soient alignés.
2. Sont les sommets d’un triangle rectangle.
Exercice 14
Soient A, B, C trois points du plan complexe, d’affixes respectives a, b, c.
1. Montrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si
a2 + b2 + c2 − (ab + ac + bc) = 0.
2. Montrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si
a + jb + j 2 c = 0
ou a + j 2 b + jc = 0.
Exercice 15
Soit θ ∈ R. Résoudre pour z ∈ C l’équation z 2n − 2z n cos nθ + 1 = 0.
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Exercice 16
On pose ωk = e
i2kπ/n
1.
n−1
P
2
2.
n−1
P
. Calculer
|1 − ωk | .
k=0
|1 − ωk | .
k=0
3.
n−1
P
kωk
k=0
4.
n−1
P
k=0
n
k ωk
Exercice 17
Soit a, b, c des nombres complexes non nuls tels que |a| = |b| = |c| .
1. Montrer que si l’équation az 2 + bz + c = 0 à une racine de module 1 alors b2 = ac.
2. Montrer que si chacune des équations az 2 + bz + c = 0 et bz 2 + cz + a = 0 à une racine de module
1 alors
|a − b| = |a − c| = |c − b|
Exercice 18
Soient p, q des nombres complexes tels que q ̸= 0 et z1 , z2 les racines complexes de z 2 + pz + q 2 = 0. On
suppose que |z1 | = |z2 | = r.
p2
2
= 2 + 2 ℜ (z1 z2 ) .
2
q
r
p
2. En déduire que ∈ R.
q
1. Montrer que
Exercice 19
∗
Soit n ∈ N . Résoudre pour z ∈ C l’ équation (z + i)n − (z − i)n = 0.
Exercice 20
Soit x ∈ C \ [−1, 1]. Montrer qu’il existe un unique z ∈ C, |z| > 1 et
1
1
x=
z+
2
z
Exercice 21
Montrer que
1. Un ⊂ Um ⇔ n divise m.
2. Un ∩ Um = 1 ⇔ n est premier avec m.
Exercice 22
Déterminer tous les m ∈ C tel que l’equation
z 2 − (2 + im)z − (1 + im) = 0
admette deux racines imaginaires conjuguées.
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Exercice 23
∗
Soit n ∈ N , ω = exp(i 2π
n ) et z ∈ C. Simplifier :
n
X
(z + ω k )n
k=1
Exercice 24
On pose P = {z ∈ C|ℑz > 0} et D = {z ∈ C| |z| < 1}. On note f l’application définie pour tout z ̸= −i
par
z−i
f (z) =
z+i
Montrer que f réalise une bijection de P sur D.
Exercice 25
′
Montrer que deux rotations r et r de C commutent, c.a.d, ror′ = r′ or, si et seulement si elles ont le
même centre.
Exercice 26
Soit d, n ∈ N. On propose de calculer la somme suivante : Sn,d =
n
P
i=0
dn
.
di
1. Cas d = 2.
(a) Calculer
2n
P
p=0
2n
p
2n
et
(−1)
.
p
p=0
2n
P
p
(b) En déduire la valeur de Sn,2 .
2π
2. Cas général. On note ω = ei d
et on pose pour k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n − 1 : δk =
d−1
P
ω kj .
j=0
(a) Calculer, suivant k, la valeur de δk .
Pnd d−1
P nd kj
(b) Montrer que : k=0
ω = dSn,d .
k
j=0
(c) En déduire que : Sn,d = d1
d−1
P
1 + ωj
nd
.
j=0
3. Montrer que : Sn,3 = 23 23n−1 + (−1)
n
2π
. (On notera j = ei 3 )
n
4. Montrer que : Sn,4 = 22n−1 22n−1 + (−1) .
Exercice 27
On pose z0 = ei2π/5 .
1. Soient a = z0 + z04 et b = z02 + z03 . Montrer que a et b sont des racines d’une équation du deuxième
degré.
2. En déduire une expression par radicaux de cos (2π/5) .
Exercice 28
Soient z1 , . . . , zn ∈ U tels que z1 + · · · + zn = n. Montrer que
z1 = · · · = zn = 1
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Exercice 29
Soient λ ∈ R et n ∈ N, n ≥ 2. On suppose que z ∈ C est solution de l’équation :
λ (z + z n ) = i (z − z n ) .
1. Montrer que |z| = 1 ou |z| = 0.
2. On suppose que z ̸= 0. On justifiant qu’il ’ existe t ∈ R tel que
possibles de z.
−λ + i
= eit , trouver les valeurs
λ+i
Exercice 30
Soient a, b, c des nombres complexes distincts tels que |a| = |b| = |c| = 1.
c−b
b
≡ arg [2π].
c−a
a
2. Donner une interprétation géométrique au résultat précèdent.
1. Montrer que 2 arg
Exercice 31
2+i
Montrer que u =
n’est pas une racine n-iéme de l’unité.
2−i
Exercice 32
Soit n ∈ N. Montrer qu on peut écrire cos(nx) et
Déterminer la valeur de cos
π
12
sin((n + 1)x)
comme des polynômes en cos(x).
sin(x)
Exercice 33
π
et sin
.
12
Exercice 34
Calculer sin (4x) sachant que tan (x) = 3.
Exercice 35
Résoudre les équations suivantes :
π
π
1. cos 3x −
= sin 2x +
pour x ∈ R.
4
3
2. tan (2x) + tan (x) = 0 pour x ∈ [0, π] .
3. sin (x) − sin (3x) = 1 − cos (2x) pour x ∈ [0, π] .
√
4. cos (x) = 3 sin (x) + 1 pour x ∈ [0, π] .
Exercice 36
Montrer que
tan
π
9
+ 4 sin
π
9
=
√
3.
Exercice 37
Résoudre x ∈ R les équations suivantes :
1. cos(x) + 2 cos(2x) + cos(3x) = 0.
2. sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0.
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Exercice 38
Montrer que
cos
π
7
cos
2π
7
cos
3π
7
=
1
.
8
Exercice 39
Montrer que
P = sin
π
3π
5π
1
sin
sin
= .
14
14
14
8
Exercice 40
Montrer l’identité
sin 3x = 4 sin x sin
π
π
+ x sin
−x .
3
3
Exercice 41
1. Simplifier Pn (x) =
2. Montrer l’identité :
n
Q
(2 cos(2k−1 x) − 1).
k=1
n
Q
sin x
1 + 2 cos 2x
=
x .
3k
k=1
sin n
3
Exercice 42
1. Résoudre l’équation cosn x + sinn x = 1, où n ∈ N∗
2. Résoudre cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = 1 sur [0, π].
√
√
3. Résoudre l’équation cos x + sin x = 1.
Exercice 43
π
Calculer cos 5a en fonction de cos a. En déduire cos .
10
Exercice 44
π
Soit a, b dans R+ tels que a + b ≤ .
2
Montrer que sin2 a + sin2 b ≤ sin2 (a + b). Donner le cas d’égalité.
Exercice 45
2
Trouver le maximum de sin (x) sin(2x) sur√[0, π].
n
k=n
Q
3
k
.
En déduire l’inégalité :
sin(2 x) ≤
2
k=0
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