CPGE Mohammed V – Casablanca DS MPSI – 5 DS N°1 Devoir surveillé N°1 : Physique – chimie *** Lundi 28/10/2024 ∆𝒕 = 𝟑𝒉 *** On veillera à une présentation et rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Dans le cas où un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale très lisiblement dans sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence. **** Partie : CHIMIE – 10 pts – Autour du Soufre On introduit dans un creuset à combustion une masse 𝑚 = 0,30 𝑔 de fleur de soufre (soufre pur solide se présentant sous forme d’une poudre jaune). On enflamme le soufre avec un bec bunsen et on place immédiatement le creuset dans un flacon de volume 𝑉 = 1,0 𝐿 contenant de l’air sous pression initialement de 𝑃 = 1,0 𝑏𝑎𝑟. On referme hermétiquement le flacon. On observe alors une combustion lente du soufre dans l’air avec une flamme bleue caractéristique. On modélise cette transformation par une réaction chimique d’équation bilan : 𝑆(𝑠) + 𝑂2(𝑔) ⇄ 𝑆𝑂2(𝑔) On rappelle que l’air est un mélange constitué de 80% de diazote et 20% d’oxygène. Les pourcentages correspondent aux fractions molaires. Bien qu’étant présent dans le flacon, le diazote n’est ni un réactif ni un produit de la transformation. Même si la température augmente légèrement pendant la combustion avant de redescendre ensuite, on admet pour simplifier qu’elle est toujours voisine de 𝑇 = 25°𝐶. A cette température, la constante d’équilibre de la réaction de combustion vaut 𝐾° = 4 × 1052 . Données : 𝑀(𝑂) = 16,0 𝑔/𝑚𝑜𝑙 , 𝑀(𝑆) = 32,1 𝑔/𝑚𝑜𝑙 et 𝑅 = 8,314 𝐽. 𝑚𝑜𝑙 −1 . 𝐾 −1 1. Calculer les quantités de matière initiales de soufre, de dioxygène et de diazote contenues dans le flacon. 2. Construire le tableau d’avancement de la réaction. Identifier le réactif limitant. La réaction peut-elle être totale ou est-elle forcément équilibrée ? 3. Que peut-on dire de la quantité de matière totale de gaz au cours de la transformation ? Qu’en déduit pour la pression ? 4. Déterminer la composition finale du système : masse restante de soufre et pression partielle des différents gaz. Le dioxyde de soufre produit par la transformation précédente peut être valorisé en trioxyde de soufre, lors d’une étape intermédiaire à la production d’acide sulfurique. On considère l’équilibre suivant : 2𝑆𝑂2(𝑔) + 𝑂2(𝑔) ⇄ 2𝑆𝑂3(𝑔) Se produisant dans un réacteur maintenu à 𝑇 = 800°𝐾 et 𝑃 = 1 𝑏𝑎𝑟. La constante d’équilibre à cette température est 𝐾° = 1,2 × 1010 . A l’entrée du réacteur, on envoie un gaz de composition 7 mol de 𝑆𝑂2, 10 mol de 𝑂2 et 83 mol de 𝑁2 pour un total de 100 mol. 5. Exprimer 𝐾° en fonction de 𝑃 et 𝜉. 6. Calculer à l’aide d’une approximation logique la quantité restante de 𝑆𝑂2 à l’équilibre. 1 Pr. Youssef AADEL 2024 - 2025 CPGE Mohammed V – Casablanca DS N°1 MPSI – 5 Partie : PHYISQUE -30 pts Exercice 1 : Batterie tampon -4,5 ptsIl s’agit d’illustrer l’intérêt, dans un réseau électrocinétique, d’une batterie tampon (ou de secours). 1. Une pile notée (1), de résistance interne 𝑟1 constante, alimente, à partir d’un instant pris comme instant initial 𝑡 = 0 (date de fermeture de l’interrupteur K), un résistor AB, de résistance R (figure 1). Cette pile présente une force électromotrice f.e.m 𝑒1 (𝑡) qui, lorsqu’elle débite, décroît linéairement au cours du temps selon la loi 𝑒1 (𝑡) = 𝑒0 − 𝑘. 𝑡, avec 𝑒0 et 𝑘 constantes positives. Exprimer, en fonction de certaines des données de l’énoncé (𝑒0 , 𝑘, 𝑟1 𝑒𝑡 𝑅) les grandeurs suivantes : a) Le courant i(t) qui circule, au temps t, dans le résistor AB de résistance R. b) La variation 𝜂 = 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 de ce courant i(t) avec le temps. 2. L’expérience précédente est recommencée, mais avec un montage modifié. Dans le but de stabiliser le courant dans le résistor de résistance R, une batterie d’accumulateurs, notée (2), de résistance interne 𝑟2 et de f.e.m 𝑒2 (caractéristiques constantes pour la durée de l’expérience), est branchée aux bornes du dipôle AB. A partir d’un instant pris comme instant initial 𝑡 = 0, l’interrupteur K est fermé. La f.e.m de la pile (1) vaut 𝑒1 (𝑡 = 0) = 𝑒0 à la fermeture de K, puis 𝑒1 (𝑡) = 𝑒0 − 𝑘. 𝑡 pour 𝑡 > 0 (figure 2). Exprimer, en fonction de certaines des données de l’énoncé (𝑒0 , 𝑘, 𝑒2 , 𝑟1 , 𝑟2 𝑒𝑡 𝑅), les grandeurs suivantes : 2 Pr. Youssef AADEL 2024 - 2025 CPGE Mohammed V – Casablanca MPSI – 5 DS N°1 a) Le courant i’(t) qui circule, au temps 𝑡 > 0, dans la résistance R. b) La variation 𝜂′ = 𝑑𝑖 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 de ce courant i’(t) avec le temps. 𝑒0 = 6,0 𝑉 ; 𝑘 = 5,0 × 10−4 𝑉. 𝑠 −1 ; 𝑒2 = 4,0 𝑉 ; 𝑟1 = 5,0 Ω ; 𝑟2 = 1,0 × 10−1 Ω ; 𝑅 = 10 Ω. a) Calculer i(t=0) et i’(t=0), courants à l’instant initial (date de fermeture de l’interrupteur K) dans la résistance R. b) Comparer les valeurs numériques de 𝜂 et 𝜂′. c) La présence de la batterie (2) dans le montage se justifie-t-elle ? 3. Applications numériques : Exercice 2 : Circuit du second ordre -10 pts - On considère le circuit de la figure ci-dessus, dans lequel l’interrupteur 𝑇𝑟 est fermé depuis un temps suffisamment long pour que le régime permanent soit établi. La résistance r et le générateur E représentent la modélisation de Thévenin d’un générateur de tension réel. On s’intéresse au régime transitoire qui suit l’ouverture de l’interrupteur à l’instant 𝑡 = 0. 1. Représenter les branchement de l’oscilloscope permettant de mesurer les tensions 𝑣𝑠 en voie 1 et la tension de sortie du générateur en voie 2. On utilisera sur le schéma les notations CH1 et CH2 et masse de l’oscilloscope. 2. Proposer un protocole expérimental pour mesurer la résistance interne r du GBF. Faire un schéma. Donner un ordre de grandeur de r. 3. Etablir l’équation différentielle concernant 𝑣𝑠 sous la forme canonique, après l’ouverture de l’interrupteur. Donner les expressions de la pulsation propre 𝜔0 et le facteur de qualité Q. 4. Déterminer numériquement ces deux coefficients à partir des valeurs numériques suivantes : 𝐸 = 15 𝑉, 𝑟 = 5 Ω, 𝐿 = 0,1 𝐻, 𝐶 = 1000 𝜇𝐹 et 𝑅 = 200Ω. 5. On cherche ensuite les conditions initiales pour 𝑣𝑠 . Montrer que : 𝑑𝑣 𝐸 𝑣𝑠 (0+ ) = 0 et 𝑠 (0+ ) = 𝑑𝑡 𝑟𝐶 6. Justifier brièvement le type de régime et ainsi que l’on peut chercher des solutions 𝑣𝑠 (𝑡) de l’équation différentielle sous la forme : 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝐴 − 𝐵𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) 7. Expliciter les variables 𝐴, 𝐵, 𝛼, 𝜔 et 𝜙 en fonction des données du problème. 8. Représenter l’allure de 𝑣𝑠 (𝑡). 3 Pr. Youssef AADEL 2024 - 2025 CPGE Mohammed V – Casablanca MPSI – 5 DS N°1 Problème : Voie Electrifiée – 15,5 pts Une motrice de train (locomotive) est alimentée en courant continu. L’alimentation est réalisée par des sous-stations 𝑆𝑖 distantes de D. Ces sous stations relient les rails (portées au potentiel nul 𝑉𝑇 = 0) à la caténaire AB. Chaque source 𝑆𝑖 sera représentée par un générateur idéal de tension E (borne positive du côté de la caténaire). La motrice M est branchée entre les rails et la caténaire. On supposera que son moteur est alimenté par un courant constant 𝜂, c’est-à-dire qu’il pourra être modélisé par un générateur de courant idéal. De plus, la caténaire présente une résistance électrique proportionnelle à sa longueur : si elle mesure 𝑙, sa résistance est 𝜌 × 𝑙, 𝜌 est la résistance linéique (d’unité Ω. 𝑚−1). La résistance électrique des rails est négligée, le système (représenté ci-dessous à gauche) est donc, du point de vue électrique, équivalent au circuit ci-dessous à droite (figure 1). Figure 1 : système et son équivalent électrique. 1. On considère une section de ligne de longueur D alimentée par deux stations (figure 1). On note x la longueur de la caténaire séparant la motrice de la sous station 𝑆1. a) En appliquant la loi des mailles, exprimer 𝑖1 en fonction de 𝑥, 𝐷 𝑒𝑡 𝜂. b) Exprimer la tension U aux bornes de la motrice en fonction de 𝐸, 𝜌, 𝑥, 𝐷 𝑒𝑡 𝜂. c) En déduire la chute de tension ∆𝑈 = 𝐸 − 𝑈 en fonction de 𝑥, 𝐷 𝑒𝑡 𝜂. 𝐷 d) Montrer que la chute de tension est maximale en 𝑥 = 2 . Que vaut alors ∆𝑈𝑚𝑎𝑥 ? e) Calculer 𝐷𝑚𝑎𝑥 la valeur maximale de D pour maintenir une valeur de ∆𝑈 inférieure à ∆𝑈𝑚𝑎𝑥 , valeur maximale admissible pour que le moteur de la motrice fonctionne correctement. Faire l’application numérique : 𝜌 = 5. 10−5 Ω. 𝑚−1, 𝜂 = 800 𝐴 et ∆𝑈𝑚𝑎𝑥 = 45 𝑉. 2. Une section de même longueur D est (dans cette question) alimentée par une seule station selon la figure 2 ci-dessous. La caténaire est constituée de deux fils identiques AB et A’B’ (longueur D, résistance linéique 𝜌) reliés aux extrémités. La motrice est branchée entre les rails et l’un des fils. 4 Pr. Youssef AADEL 2024 - 2025 CPGE Mohammed V – Casablanca MPSI – 5 DS N°1 Figure 2 : Système à double caténaire. a) Déterminer l’équivalent électrique de ce nouveau système (de façon similaire à la figure 1). b) Montrer que le circuit est équivalent au schéma ci-dessous avec 𝑅é𝑞 = 𝜌2 𝑥(2𝐷−𝑥) 2𝜌𝐷 c) En déduire la chute de tension ∆𝑈 = 𝐸 − 𝑈 en fonction de 𝑥, 𝜌 𝑒𝑡 𝐷. d) Pour quelle valeur de x a-t-on ∆𝑈 maximale ? On pourra s’aider des calculs précédents en transposant le résultat. e) Calculer 𝐷𝑚𝑎𝑥 la valeur maximale de D pour maintenir une valeur de ∆𝑈 inférieure à ∆𝑈𝑚𝑎𝑥 , valeur maximale admissible pour que le moteur de la motrice fonctionne correctement. Faire l’application numérique avec les valeurs précédentes. 3. On revient à un système de deux stations, mais avec une caténaire à deux fils courtcircuités au milieu de la ligne (figure 3 ci-dessous). Figure 3 : Système à deux sous-stations 5 Pr. Youssef AADEL 2024 - 2025 CPGE Mohammed V – Casablanca MPSI – 5 DS N°1 a) Déterminer l’équivalent électrique de ce nouveau système. b) Montrer que 𝑈 = 𝐸 − 𝜌𝑥(2𝐷−3𝑥) 2𝐷 𝜂. Vue la symétrie du système, on se contentera 𝐷 de faire l’étude pour 0 < 𝑥 < 2 . c) En déduire la chute de tension ∆𝑈 = 𝐸 − 𝑈 en fonction de 𝑥, 𝜌 𝑒𝑡 𝐷. d) Pour quelle valeur de x a-t-on ∆𝑈 maximale ? On pourra s’aider des calculs précédents en transposant le résultat. e) Quel est, à votre avis, le meilleur de ces trois systèmes ? Justifier. ***FIN*** DS 6 Pr. Youssef AADEL 2024 - 2025