Coefficients thermoélastiques I52. ( Une mole d’un gaz obéit à l’équation PV = RT 1 − ) a , où R et a sont des constantes. V 1) Quelle est l’équation pour n moles ? 2) Quelles sont les unités de R et a ? 1 ⎛ ∂V ⎞⎟ 3) Exprimer la compressibilité isotherme χT = − ⎜⎜ . V ⎝ ∂ P ⎠⎟T 4) Dépend-elle de n ? II11. G G G On suppose le champ de pesanteur localement uniforme g = −gez , où ez est le vecteur unitaire dirigé selon la verticale ascendante. Constantes et données numériques. Constante des gaz parfaits : R = 8, 3 J K−1 mol−1 ; accélération de la pesanteur : g = 9, 8 m s−2 ; air sec : masse molaire : Ma = 29 g mol−1 ; capacité thermique massique à pression constante cp = 1, 0 × 103 J K−1 kg−1 ; rapport des capacités thermiques à P et V constants : γ = cp / cv = 1, 40 . Les mouvements d'air dans l'atmosphère peuvent se présenter sous forme d'oscillations verticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques. 1. Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique », les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l'altitude z. a) Donner l'équation qui relie à l'équilibre la pression P (z ) , la masse volumique ρ(z ) et g . b) On considère l'air sec comme un gaz parfait ; on suppose de plus l'atmosphère isotherme de température T0 . Déterminer P ( z ) et ρ ( z ) à l'aide de P ( 0 ) , ρ(0) , Ma , g , R et T0 . 2. Pour étudier la stabilité de l'équilibre, on considère une petite masse d'air m que l'on déplace verticalement dans l'atmosphère supposée être en équilibre hydrostatique mais non isotherme a priori. On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une fine enveloppe du type « bulle de savon » d'effet négligeable. La pression dans la bulle est supposée être à tout instant égale à la pression extérieure correspondant à l'altitude où se trouve la bulle. Avant d'être déplacée, la bulle de volume V0 est en équilibre à l'altitude z 0 et sa température et sa pression sont égales à celles de l'air environnant, soit T (z 0 ) et P ( z 0 ) . a) La bulle est déplacée à la hauteur z 0 + h . En supposant son évolution adiabatique et réversible, et les variations assez petites pour être traitées linéairement, déterminer la variation δV de volume en fonction de V0 , ρ , g , h et du 1 dV coefficient de compressibilité adiabatique χQ défini par χQ = − pour une transformation adiabatique V dP réversible. b) Déterminer la poussée d'Archimède exercée par l'atmosphère sur la bulle ; on introduira le gradient relatif de masse 1 dρ volumique : . ρ dz c) En déduire l'équation du mouvement de la bulle. d) Quelle condition doit vérifier le gradient de masse volumique pour que l'équilibre de l'air en z 0 soit stable ? Déterminer dans ce cas la pulsation Ω(z 0 ) des oscillations d'une bulle autour de l'altitude z 0 . La pulsation Ω(z 0 ) est appelée « pulsation de Väisälä-Brunt ». 3. On considère l'air comme un gaz parfait. a) Expliciter χQ à l'aide du coefficient γ = cp / cv . Traduire la condition de stabilité sur le gradient de masse volumique sous la forme d'une condition relative au gradient de température dT / dz . b) Montrer alors qu'une atmosphère isotherme est stable. Déterminer dans ce cas la pulsation Ω(z 0 ) en fonction de g , γ et ρ0 / p0 . c) Calculer numériquement Ω(z 0 ) et la période τ correspondante pour une température de 15 °C . III25. Une mole d’un gaz de volume V , pression P et température absolue T obéit à l’équation d’état de Dieterici : a , où a, b et R sont des constantes. P (V − b ) = RT exp − RTV ( ) DS : coefficients thermoélastiques, page 1 1) Montrer que R est la constante des gaz parfaits. 2) Quelle est l’équation pour n moles ? 3) Exprimer en fonction de V , T , a , b et R son coefficient de dilatation isobare α = 1 ⎛ ∂V ⎞⎟ ⎜ . V ⎜⎝ ∂T ⎠⎟P Réponses ( na I. 1) pV = nRT 1 − V ) ; 2) R en J.mol–1.K–1 et a en m3.mol–1 ; 3) χT = V2 ; 4) non. RT (V − 2a ) Mg Mg z ) ; ρ = ρ(0) exp ( − z ; 2.a) δV = χ V ρgh ; ( RT RT ) II. 1.a) dP = −ρgdz ; 1.b) P = P (0) exp − Q ⎛ ⎞ ⎛ 1 dρ ⎞ 1 dρ 1 dρ h + χQ ρgh ⎟⎟⎟ ; 2.c) h = g ⎜⎜ + χQ ρg < 0 ; 2.b) Π ≈ mg ⎜⎜ 1 + + χQ ρg ⎟⎟⎟ h ; 2.d) ⎝ ⎠ ⎝ ρ dz ⎠ ρ dz ρ dz Ω= ⎛ 1 dρ ⎞ 1 dT ⎛1 ⎞ ρg ⎛1 ⎞ Mg ; ; 3.b) Ω = > ⎜⎜ − 1 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟⎟ −g ⎜⎜ + χQ ρg ⎟⎟⎟ ; 3.a) χQ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ RT ⎝ ρ dz ⎠ γ P γ γP dz 3.c) Ω = 0, 01824 rad/s τ = 344 s . a an 1+ − V RTV III. 2) P − b = RTe RTV ; 3) α = . VT a n − V − b RV ( ) DS : coefficients thermoélastiques, page 2 Mg 2 ⎛ 1⎞ ⎜ 1 − ⎟⎟ ; ⎜ ⎝ RT γ ⎠⎟ Corrigé I. ( 1) Il faut remplacer V par V/n : PV = nRT 1 − –1 –1 3 na V ) –1 2) R s’exprime en J.mol .K et a en m .mol . 3) RT (2a − V ) ∂P RT aRT RT 2aRT 1 − 2 ⇒ =− 2 + = ⇒ χT = − P = ∂P ∂V V V V V3 V3 V ∂V ( ) χT = V3 =− VRT (2a − V ) V2 RT (V − 2a ) 1 ⎛ ∂V ⎞⎟ 4) χT = − ⎜⎜ est indépendant de n, car V est proportionnel à n tandis que Pet T n’en dépendent pas. V ⎝ ∂ P ⎠⎟T II. 1.a) dP = −ρgdz 1.b) L’équation des gaz parfaits PV = m m MP = . La condition d’équilibre devient alors RT montre que ρ = V RT M MP g dz RT dP Mg =− dz P RT dP = − P z P 0 0 dP Mg ∫ P = − RT ∫ dz ( ) P Mg ln =− z P (0) RT Mg z) ( RT Mg ρ = ρ(0) exp ( − z RT ) P = P (0) exp − δV 1 ⎛ ∂V ⎞⎟ 1 2.a) χQ = − ⎜⎜ =− × ⇒ δV = χQV ρgh ⎟ ⎝ ⎠ V ∂P S V −ρgh 2.b) Notons ρ la masse volumique de l’atmosphère (et non celle de la bulle). ⎛ ⎛ 1 d ρ ⎞⎟ 1 dρ δV ⎞⎟ h ⎟⎟ (V + δV )g ≈ ρVg ⎜⎜ 1 + h+ Π = (ρ + δρ)(V + δV )g ≈ ρ ⎜⎜ 1 + ⎟ ⎝ ⎝ V ⎠⎟ ρ dz ⎠ ρ dz ⎛ ⎞ 1 dρ h + χQ ρgh ⎟⎟⎟ Π ≈ mg ⎜⎜ 1 + ⎝ ⎠ ρ dz ⎛ ⎞ ⎛ 1 dρ ⎞ 1 dρ 2.c) mh = −mg + Π = −mg + mg ⎜⎜ 1 + h + χQ ρgh ⎟⎟⎟ = mg ⎜⎜ + χQ ρg ⎟⎟⎟ h ⎝ ⎠ ⎝ ρ dz ⎠ ρ dz 2.d) L’équilibre de l’air est donc stable si 1 dρ + χQ ρg < 0 . Alors, Ω = ρ dz ⎛ 1 dρ ⎞ h = g ⎜⎜ + χQ ρg ⎟⎟⎟ h ⎝ ρ dz ⎠ ⎛ 1 dρ ⎞ −g ⎜⎜ + χQ ρg ⎟⎟⎟ ⎝ ρ dz ⎠ 3.a) Calcul de χQ : PV γ = cste ln P + γ lnV = ln cste dP dV +γ =0 P V dP dV = −γ P V 1 dV χQ = − V dP 1 dρ ρg + <0 ρ dz γP MP M 1 dρ 1 dP 1 dT 1 dT ρg Or ρ = ⇒ ln ρ = ln P − lnT + ln = − =− − RT R p dz T dz P T dz ρ dz ρg 1 dT ρg La condition de stabilité devient − − + <0 P T dz γP Condition de stabilité : DS : coefficients thermoélastiques, page 3 χQ = 1 γP ⎛1 ⎞ ρg ⎛1 ⎞ Mg dT > ⎜⎜ − 1 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟⎟ ⎝γ ⎠P ⎝γ ⎠ RT dz 3.b) Comme γ > 1 , cette condition est vérifiée pour une atmosphère isotherme. Alors ⎛1 ⎞ ρg −g ⎜⎜ − 1 ⎟⎟⎟ ⎝γ ⎠ p Ω= 3.c) Ω = 9, 8 Mg 2 ⎛ 1⎞ ⎜ 1 − ⎟⎟ γ ⎠⎟ RT ⎝⎜ Ω= 0, 029 1 (1 − ) = 0, 01824 rad/s 8, 3 × 288 1, 4 τ = 2π = 344 s Ω III. 1) Quand le volume tend vers l’infini, l’équation d’état devient approximativement PV = RT , or le gaz tend vers un gaz parfait, donc R est la constante des gaz parfaits. an − V − b = RTe RTV . 2) V est en réalité le volume molaire V / n , donc l’équation d’état pour n moles est P n a a 3) P (V − b ) = RT exp − ⇒ ln P + ln (V − b ) = ln R + ln T − RTV RTV Différentions à P constant : dV dT a dT dV = + + V −b T RTV T V a dT a 1 dV − = 1+ 2 V − b RTV T RTV a 1+ dV RTV = V a VdT T − V − b RTV a a 1+ 1+ RTV RTV α= = V a VT a T − − V − b RTV V − b RV ( ( ) ( ( ) ) ( ( ( ) ) ) DS : coefficients thermoélastiques, page 4 )